INTERPOLASI LAGRANGE DAN NEWTON ANNISA PUSPA KIRANA, S.KOM, M.KOM
INTERPOLASI LAGRANGE
INTERPOLASI LAGRANGE
Interpolasi Lagrange pada dasarnya dilakukan untuk menghindari perhitungan dari differensiasi terbagi hingga
(Interpolasi Newton) Rumus:
n
fn x Li x .f x i i 0
dengan
Li x
n
j 0 j i
x xj xi x j
Bentuk umum interpolasi polinomial Lagrange order n adalah: (1.1) dimana, (1.2)
Nb=Simbol merupakan tanda perkalian.
Dengan menggunakan persamaan (1.1) dan persamaan (1.2) maka dapat dihitung rumus orde interpolasi Lagrange. Misal mencari ORDE 1: 1
f1(x) = Li (x) f (xi) = L0(x) f (x0) + L1(x) f (x1) i0
Dengan, x x1 L0(x)= x 0 x1
;
x x0 L1(x) = x1 x 0
jadi,rumus orde satu interpolasi lagrange adalah= x x1 x x0 f1(x)= f (x0) + f (x1) x 0 x1 x1 x 0
Dengan melakukan hal yang sama dapat diperoleh rumus untuk orde orde berikutnya. Orde 2 f2(x) =
x x0 x x2 x x1 x x 2 f (x0) + f (x1) + x1 x 0 x1 x 2 x0 x1 x 0 x 2 x x 0 x x1 f (x2) x 2 x 0 x 2 x1
Orde 3 x x0 x x 2 x x3 x x1 x x 2 x x 3 f3(x) = f (x0) + f (x1) + x 0 x1 x 0 x 2 x 0 x 3 x1 x 0 x1 x 2 x1 x 3 x x 0 x x1 x x 3 x x 0 x x1 x x 2 f (x2) + f (x3) x 2 x 0 x 2 x1 x 2 x 3 x 3 x 0 x 3 x1 x 3 x 2
Orde 4
f4(x) =
x x1 x x 2 x x 3 x x 4 f (x0) + x 0 x1 x 0 x 2 x 0 x 3 x 0 x 4 x x0 x x 2 x x3 x x 4 x1 x 0 x1 x 2 x1 x 3 x1 x 4 f (x1) + x x 0 x x1 x x 3 x x 4 x 2 x 0 x 2 x1 x 2 x 3 x 2 x 4 f (x2) + x x 0 x x1 x x 2 x x 4 x 3 x 0 x 3 x1 x 3 x 2 x 3 x 4 f (x3) + x x 0 x x1 x x 2 x x 3 x 4 x 0 x 4 x1 x 4 x 2 x 4 x 3 f (x4)
INTERPRETASI GRAFIS POLYNOMIALS LAGRANGE f 2 x L0 f x 0 L1 f x1 L2 f x 2 L2f(x2)
L0f(x0)
L1f(x1)
9
Carilah nilai dari ln 2 dengan metode interpolasi polinomial Lagrange Orde dua berdasar data sebagai berikut ln 1 = 0, ln 4 = 1,3862944 dan ln 6 = 1,7917595. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, hitung pula besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718).
Jawab : Dari soal di atas dapat diperoleh data sbg brkt.. x0 = 1 f (x0) = 0 x1 = 4 f (x1) = 1,3862944 x2 = 6 f (x2) = 1,7917595
Dari data yg diketahui masukkan ke persamaan interpolasi lagrange orde 2.. x x0 x x2 x x1 x x 2 f (x0) + f (x1) + x1 x 0 x1 x 2 x0 x1 x 0 x 2
f2(x) =
x x 0 x x1 f (x2) x 2 x 0 x 2 x1
F2(2)=
24 1 4
26 (0) + 2 1 1 6 4 1
2 1 6 1
2 4 (1,7917595) 64
F2(2)= 0,56584437
2 6 (1,3862944) + 46
Besar kesalahan adalah:
0,69314718 0,56584437 Et = 100 % = 18,4 %. 0,69314718
CONTOH : Hampiri fungsi f(x) = cos(x) dengan polinom interpolasi derajat
tiga pada range [0.0, 1.2]. Gunakan empat titik x0 = 0.0, x1 = 0.4, x2 = 0.8, x3 = 1.2 Perkirakan nilai p3(0.5) dan bandingkan dengan nilai sebenarnya.
Xi yi
0.0 1
0.4 0.8 1.2 0.921061 0.696707 0.362358
Polinom Lagrange derajat 3 yang menginterpolasi keempat titik tsb.
CONTOH :
p3 ( x) a 0 L0 ( x) a1 L1 ( x) a 2 L2 ( x) a3 L3 ( x) ( x x1 )( x x 2 )( x x3 ) ( x x0 )( x x 2 )( x x3 ) p3 ( x) y 0 y1 ( x0 x1 )( x0 x 2 )( x0 x3 ) ( x1 x0 )( x1 x 2 )( x1 x3 ) ( x x0 )( x x1 )( x x3 ) ( x x0 )( x x1 )( x x 2 ) y2 y3 ( x 2 x0 )( x 2 x1 )( x 2 x3 ) ( x3 x0 )( x3 x1 )( x3 x 2 )
( x 0.4)( x 0.8)( x 1.2) ( x 0.0)( x 0.8)( x 1.2) p3 ( X ) 1 0.921061 (0.0 0.4)(0.0 0.8)(0.0 1.2) (0.4 0.0)(0.4 0.8)(0.4 1.2) ( x 0.0)( x 0.4)( x 1.2) ( x 0.0)( x 0.4)( x 0.8) 0.696707 0.362358 (0.8 0.0)(0.8 0.4)(0.8 1.2) (1.2 0.0)(1.2 0.4)(1.2 0.8)
p3 (0.5) 0.877221
y cos(0.5) 0.877583
INTERPOLASI NEWTON
POLINOM NEWTON Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena : Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar.
Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan.
Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak
dapat digunakan. Karena tidak ada hubungannya antara pn-1(x) dan pn(x) pada polinom Lagrange
Polinom yang dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membentuk
polinom derajat yang lebih tinggi.
POLINOM NEWTON Persamaan Polinom Linier
( y1 y 0 ) p1 ( x) y 0 ( x x0 ) ( x1 x0 )
Bentuk pers ini dapat ditulis :
p1 ( x) a0 a1 ( x x0 ) Yang dalam hal ini Dan
a 0 y 0 f ( x0 )
( y1 y 0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) a1 ( x1 x0 ) ( x1 x0 )
Pers ini merupaka bentuk selisih terbagi (divided-difference)
a1 f [ x1 , x0 ]
POLINOM NEWTON Polinom kuadratik
p2 ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 )
Atau
p2 ( x) p1 ( x) a2 ( x x0 )( x x1 )
Dari pers ini menunjukkan bahwa p2(x) dapat dibentuk dari pers
sebelumnya p1(x). Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2 untuk mendapatkan f ( x2 ) a0 a1 ( x2 x0 ) a2 ( x 2 x0 )( x 2 x1 )
Nilai a0 dan a1 pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3
f ( x 2 ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) x 2 x0 x1 x0 a2 x 2 x1
POLINOM NEWTON Dengan melakukan utak-atik aljabar, pers ini lebih disukai
f ( x 2 ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) x 2 x1 x1 x0 f [ x 2 , x1 ] f [ x1 , x0 ] a2 x 2 x0 x 2 x0
Jadi tahapan pembentukan polinom Newton : POLINOM NEWTON p1 ( x) p0 ( x) a1 ( x x0 )
p1 ( x) a0 a1 ( x x0 )
p2 ( x) p1 ( x) a2 ( x x0 )( x x1 ) p2 ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 )
p3 ( x) p 2 ( x) a3 ( x x0 )( x x1 )( x x2 )
p3 ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) a3 ( x x0 )( x x1 )( x x2 )
Nilai konstanta a0, a1, a2,…, an, merupakan nilai selisih terbagi , dengan nilai
POLINOM NEWTON
a0 f ( x0 ) a1 f [ x1 , x 0 ] a 2 f [ x 2 , x1 , x 0 ] a n f [ x n , x n 1 ,..., x1 , x 0 ]
Yang dalam hal ini f [ xi , x j ]
f ( xi ) f ( x j )
f [ xi , x j , x k ]
xi x j f [ xi , x j ] f [ x j , x k ] xi x k
f [ x n , x n 1 ,..., x1 ] f [ x n 1 , x n 2 ,..., x1 , x0 ) f [ x n , x n 1 ,..., x1 , x0 ] x n x0
POLINOM NEWTON Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai : Rekurens
pn ( x) pn1 ( x) ( x x0 )( x x1 )...(x xn1 ) f [ xn , xn1 ,..., x1 , x0 ] basis
p 0 ( x) f ( x0 )
Atau dalam bentuk polinom yang lengkap sbb :
p n ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x1 , x0 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x2 , x1 , x0 ] ( x x0 )( x x1 )...(x xn 1 ) f [ xn , xn 1 ,..., x1 , x0 ]
CONTOH SOAL : Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang
menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3. xi
yi
ST-1
ST-2
ST-3
ST-4
0.0
1
-0.4597
-0.2484
0.1466
-0.0147
1.0
0.5403
-0.9564
0.1913
0.0880
2.0
-0.4161
-0.5739
0.4551
3.0
-0.99
0.3363
4.0
-0.6536
CONTOH SOAL : Contoh cara menghitung nilai selisih terbagi pada tabel : f [ x1 , x0 ]
f ( x1 ) f ( x0 ) 0.5403 1 0.4597 ( x1 x0 ) 1 0
f ( x 2 ) f ( x1 ) 0.4161 0.5403 f [ x 2 , x1 ] 0.9564 ( x 2 x1 ) 2 1 f [ x 2 , x1 ] f [ x1 , x0 ] 0.9564 0.4597 f [ x 2 , x1 , x0 ] 0.2484 ( x 2 x0 ) 20
CONTOH SOAL : Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x0 = 0 sebagai titik pertama : cos( x) p1 ( x) 1.0 0.4597 ( x 0.0) cos( x) p 2 ( x) 1.0 0.4597 ( x 0.0) 0.2484 ( x 0.0)( x 1.0) cos( x) p3 ( x) 1.0 0.4597 ( x 0.0) 0.2484 ( x 0.0)( x 1.0) 0.1466 ( x 0.0)( x 1.0)( x 2.0) cos( x) p 4 ( x) 1.0 0.4597 ( x 0.0) 0.2484 ( x 0.0)( x 1.0) 0.1466 ( x 0.0)( x 1.0)( x 2.0) 0.0147 ( x 0.0)( x 1.0)( x 2.0)( x 3.0)
Nilai sejati f(2.5) adalah F(2.5) = cos(2.5)=-0.8011
INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON
