Unidad 7 Análisis de sensibilidad sensibilidad
S� ���� �� �������� ��� ������������� �� ����������� y resolución de los problemas problemas de programación lineal (PL) es encontrar la solución óptima, esto es, el valor de cada una de las variables del problema, de las variables de holgura y el valor máximo (o mínimo) que puede obtener la función objetivo (FO), el trabajo no termina allí. El análisis de sensibilidad o pos-optimalidad que se presenta en esta unidad es tan importante como la solución óptima para la toma de decisiones. Pero ¿qué trata de responder este análisis? En todos los problemas planteados se llega a la representación Máx (Mín)Σ c i x i s.a. Σ a ji x i ≤ b j ji x i ≥ 0 donde se suponen conocidos los valores de los coeficientes a ijij, b j y c i i ; esto quiere decir que el modelo está totalmente determinado. Sin embargo, esto no es cierto; en la mayoría de los casos estos valores son solamente estimaciones estimaciones de los valores que tomarán los parámetros, o pueden variar si cambian las condiciones del mercado o, en el caso de la disponibilidad de recursos, incluso pueden modificarse por decisión de la gerencia. El análisis de sensibilidad permite estudiar cómo las variaciones en los valores de los coeficientes del modelo modificarán la solución óptima sin tener que resolver el problema para las distintas posibilidades. Este análisis constituye una parte muy importante en el estudio de los problemas de PL. La justificación formal del análisis de sensibilidad la da el estudio del problema dual al problema principal que se está viendo. Las relaciones entre la solución del problema permiten calcular otros parámetros como los precios sombra de los recurdual y el primal permiten sos, los límites de variación aceptables para que no se modifique la solución óptima, las holguras complementarias o cómo cambiarían las cosas si se debe introducir una nueva restricción. Todos Todos estos parámetros se pueden analizar de manera analítica, aunque no se hará en el presente texto pues el enfoque es aprender por medio del análisis de problemas. 169
PROGRAMACIÓN LINEAL
Al final de esta unidad se da la bibliografía bibliografía complementaria sobre sobre este tema y en el Apéndice se pueden pueden encontrar los fundamentos del álgebra del Simplex, Simplex, la dualidad y la sensibilidad. En esta unidad utilizaremos el criterio empleado en las unidades anteriores: primero se tratará de visualizar gráficamente el efecto de alguno de estos cambios y se definirán los conceptos fundamentales; posteriormente se mostrará cómo se puede obtener esta información utilizando la herramienta computacional Solver de Excel, que se presentó en la unidad 5, haciendo especial hincapié en la interpretació interpretaciónn de los resultados. El Apéndice podrá satisfacer la curiosidad de quienes prefieran las explicaciones formales. Análisis de sensibilidad: sensibilidad: interpretación gráfica
El análisis de sensibilidad estudia los efectos sobre la solución óptima debidos a: a) cambios en los coeficientes de la FO, b) cambios en la disponibilidad de los recursos, c) cambios en los coeficientes técnicos debidos, por ejemplo, a cambios en la tecnolo-
gía o en las materias primas utilizadas, d) la introducción de un nuevo productos (otra variable), e) la introducción de una nueva restricción. e ya Centraremos el análisis en los puntos a , b y e ya que son los que suelen cambiar más a menudo y son fáciles de visualizar con el método gráfico. Los cambios en los coeficientes técnicos sólo ocurren cuando se cambia la tecnología de producción, por ejemplo, por cambios en el proceso o la introducción de maquinaria, y esto no ocurre frecuentemente frecuentem ente y puede ameritar un análisis completamente diferente. Ejemplo 7.1
Para realizar el análisis se utilizará el mismo ejemplo que se usó en la unidad 4 para introducir el método Simplex. Simplex. El modelo de PL para el ejemplo es este: Variables de decisión: x 1: cantidad de artículo � a producir x 2: cantidad de artículo � a producir Función objetivo: Máx U = 150x 1 + 200x 2 170
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ANÁLISIS D E SE NSIBILI DAD
Restricciones: Mano de obra: Materias primas: Demanda:
8x 1 + 8x 2 ≤ 64 horas 4x 1 + 2x 2 ≤ 24 unidades x 2 ≤ 6 artículos
Su solución gráfica se muestra en la gráfica 7.1, en la que se indica que la solución óptima será 2 unidades del artículos � y 6 del �, obteniendo una utilidad de $1 500. Gráfica 7.1. Solución óptima del ejemplo
14 12 4x 1 + 2x 2 = 24 10 8x 1 + 8x 2 = 64
8
: 0x 1 + 1x 2 = 6
6 4
Payoff: 150x 1 + 200x 2 = 1500
2 0 0
2
4
6
8
10
12
14
Optimal Decisions (x 1, x 2) : (2, 6) : 8x 1 + 8x 2 ≤ 64 : 4x 1 + 2x 2 ≤ 24 : 0x 1 + 1x 2 ≤ 6
Análisis del vector recursos
Comenzaremos a analizar qué pasaría si cambia el vector de recursos. Hay que señalar que el análisis de sensibilidad se hace para cada una de las restricciones por separado, dejando todos los demás parámetros como estaban. ¿Qué pasará si la mano de obra pasa de 64 a 65 horas, o a 66?, y si continúa aumentando, ¿hasta cuánto vale la pena que lo haga?
171
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PROGRAMACIÓN LINEAL
Gráficas 7.2. Solución óptima para la restricción mano de obra a) 64 horas
b) 65 horas
12
12 Payoff: 150x 1 + 200x 2 = 1500
10
: 8x 1 + 80x 2 = 64
8
6
4
4
2
2
0
2
4
: 8x 1 + 8x 2 = 65
8
6
0
Payoff: 150x 1 + 200x 2 = 1518.7
10
6
8
10
12
0
14
0
2 4 6 8 10 Optimal Decisions (x 1, x 2) : (21, 6)
c) 66 horas
14
16
12
14
16
12
14
16
d) 72 horas
12
12
10
Payoff: 150x 1 + 200x 2 = 1 537.5
8
8
: 8x 1 + 8x 2 = 66
6
4
4
2
2
0
2
4
6
Payoff: 150x 1 + 200x 2 = 1 650
10
6
0
12
8
10
12
14
0
16
: 8x 1 + 8x 2 = 72
0
2
4
6
8
10
Optimal Decisions (x , x ) : (3.0, 6.0) 1
e) 74 horas
f ) 80 horas 12
12 10
10
Payoff: 150x 1 + 200x 2 = 1650
8
6
4
4
2
2
0
2
4
6
Payoff: 150x 1 + 200x 2 = 1650
8
: 8x 1 + 8x 2 = 74
6
0
2
8
10
12
14
0
16
: 8x 1 + 8x 2 = 80
0
2
4
6
8
10
Optimal Decisions (x , x ) : (3.0, 6.0) 1
2
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ANÁLISIS D E SE NSIBILI DAD
En las gráficas 7.2 se muestra cómo al incrementarse la cantidad de horas hombre disponibles, la región factible se agranda, y el punto solución se desplaza y aumenta la utilidad. Pero después de cierto valor, la forma de la región factible cambia, y la solución que inicialmente se encontraba en la intersección de las rectas correspondientes a las restricciones de mano de obra y demanda pasa a un nuevo vértice en el que los recursos que ahora determinan la máxima producción son la demanda y la disponibilidad de materias primas. En el cuadro 7.1 se muestran los valores de las variables de decisión, las variables de holgura y de la utilidad total. Cuadro 7.1 Valores de las variables para distintos valores de la disponibilidad de mano de obra Disp. mano de obra (h)
A
B
Utilidad ($)
Holgura mano de obra
Holgura mat. prima
Holgura demanda
64
2
6
1 500.00
0
4
0
65
2.13
6
1 518.75
0
3.5
0
66
2.25
6
1 537.50
0
3
0
67
2.38
6
1 556.25
0
2.5
0
68
2.50
6
1 575.00
0
2
0
70
2.75
6
1 612.50
0
1
0
72
3
6
1 650.00
0
0
0
74
3
6
1 650.00
2
0
0
80
3
6
1 650.00
8
0
0
De las gráficas 7.2 y el cuadro 7.1 se pueden obtener las siguientes conclusiones: a) Si se aumentan las horas de mano de obra disponibles, aumenta la utilidad. b) Cuando se aumenta una hora, de 64 a 65, la utilidad aumenta en $18.75; si se au-
mentan dos horas, de 64 a 66, el incremento de la utilidad es de $37.50, que equivale a 37.50/2 = 18.75 $/hora. c) Este incremento por hora agregada o incremento marginal se mantiene hasta que se llega a las 72 horas de mano de obra. En las gráficas se observa que la región factible aumenta exactamente hasta ese valor. d) Las holguras iguales a cero indican que se está cumpliendo exactamente con esa restricción. Inicialmente los recursos escasos o restricciones activas corresponden a la mano de obra y a la demanda. Si se aumenta la mano de obra por encima de 72 horas, el recurso que ahora limita el incremento de la utilidad es el de las materias primas. La solución cambió de vértice y por lo tanto de variables básicas . 173
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PROGRAMACIÓN LINEAL
Se sugiere al lector que analice qué ocurre si la cantidad de mano de obra disponible disminuyera de 64 a 63, 62, 60 horas. ¿Aparece algún límite? ¿Cuál es este? En este momento se van a definir dos conceptos muy importantes en el análisis de sensibilidad de los problemas de PL: precio sombra y límites . Se define el precio sombra de una restricción como el aumento (o disminución) provocado en el valor de la FO debido a un incremento de una unidad del recurso correspondiente. Pero este valor del precio sombra está acotado dentro de ciertos límites del valor del recurso. Los límites superior e inferior del recurso son los valores para los cuales otra restricción que era pasiva se agota y, por lo tanto, pasa a ser una restricción activa. Visto gráficamente la restricción en cuestión llega a otro vértice determinado por otra restricción. En el ejemplo, el precio sombra de la mano de obra es de 18.75 $/h, siempre que la disponibilidad de mano de obra esté entre 48 y 72 horas. Fuera de esos límites el valor del precio sombra cambia. En este caso particular, para más de 72 horas el precio sombra es 0, pero debajo de 48 horas la utilidad disminuirá por encima de 18.75 $/h. El precio sombra puede considerarse como la utilidad marginal alrededor del punto óptimo con respecto al recurso que se considera. Este valor sólo es válido dentro de ciertos límites; fuera de ellos no se puede decir nada, debe volver a resolverse el nuevo problema. Pero hay otras dos restricciones que analizar. Si la disponibilidad de mano de obra y de materias primas no cambia, pero sí lo hace la demanda, se debe realizar un análisis similar; aquí se verá qué pasa con la solución óptima y la utilidad en el caso de que la demanda fuera de 5, 7, 8 o 9 unidades. En las gráficas 7.3 se observa que un aumento o una disminución de una unidad en la demanda produce un aumento o una disminución de $50 en el valor máximo de la FO. El precio sombra entonces es de 50 $/unidad demandada. Pero esto también tiene límites: el límite superior de la demanda es 8 y el inferior es de 4 unidades. Fuera de estos límites no se mantiene este precio sombra. Por último se analiza qué ocurre si se modifica la cantidad de materia prima disponible. Inicialmente se tienen 24 unidades de materia prima, pero se están utilizando solamente 20. La restricción de materia prima no es una restricción activa . Si se incrementa la cantidad de materia prima, la solución permanece igual, mientras que aumenta el sobrante u holgura de materia prima. Las cosas cambian si se disminuye la cantidad de materia prima. En la solución óptima sobran 4 unidades de materia prima, por lo tanto no se pueden disminuir en más que eso sin alterar la solución óptima. En las gráficas 7.4 se observa que cuando la cantidad de materia prima es igual a 20, dos de los vértices se funden en uno solo, el vértice óptimo. 174
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Gráficas 7.3. Variación del valor de la demanda 12
12
10
Payoff: 150x 1 + 200x 2 = 1 450
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Payoff: 150x 1 + 200x 2 = 1 550
0
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Optimal Decisions (x 1, x 2) : (1, 7)
Optimal Decisions (x 1, x 2) : (3.0, 5.0)
Gráficas 7.4. Variación de la cantidad de materia prima 12
12
Payoff: 150x 1 + 200x 2 = 1500
Payoff: 150x 1 + 200x 2 = 1500 10
10
: 4x 1 + 2x 2 = 25
: 4x 1 + 20x 2 = 27
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0 0
2
4
6
8
10
12
0
12
2
4
6
8
10
12
8
10
12
12
Payoff: 150x 1 + 200x 2 = 1500
Payoff: 150x 1 + 200x 2 = 1500
10
10 : 4x 1 + 2x 2 = 20
: 4x 1 + 2x 2 = 22 8
8
6
6
4
4
2
2
0
0 0
2
4
6
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10
0
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2
4
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Según lo observado en el ejemplo y las gráficas anteriores, se puede afirmar lo siguiente: 1) Que las restricciones activas, que corresponden a aquellas con holgura cero en el
punto óptimo, presentan un precio sombra diferente de cero. Si el precio sombra es positivo, indica cuánto aumenta la FO por cada unidad que aumente el recurso. Si el precio sombra es negativo, indica cuánto disminuye la FO por cada unidad que aumente el recurso. 2) El valor del precio sombra calculado para el punto solución es válido dentro de ciertos límites que es necesario determinar. 3) Si una restricción es pasiva, el precio sombra es igual a cero, pero también debe determinarse dentro de qué límites. 4) Las unidades de los precios sombra dependen de la unidad de la FO y de las unidades de cada restricción; no siempre son comparables directamente. En el ejemplo, el precio sombra de la mano de obra es de 18.75 $/h, el correspondiente a la demanda es de 50 $/unidad y el de materia prima es nulo y puede estar dado en $/t o $/kg, dependiendo de las unidades en que se midan las materias primas. Análisis de variaciones en el vector de costos
En el problema se establece que la utilidad es a razón de $150 por cada unidad � y de $200 por cada unidad �. Pero estas condiciones podrían variar si, por ejemplo, se incrementan los costos de algún insumo como la energía, o que fuera necesario bajar el precio de venta de estos productos debido a los precios de la competencia. El análisis de sensibilidad intenta decir dentro de cuáles variaciones de la utilidad del producto � y del producto � la solución óptima sigue siendo la misma. Y es preciso recalcar qué quiere decir esto: la misma solución quiere decir que a pesar de los cambios en la utilidad de uno u otro producto, aun así conviene seguir produciendo esos mismos productos en la misma proporción; gráficamente quiere decir que es el mismo vértice, aunque claro que el valor de la FO variará. Fuera de estos límites la solución óptima será otra, lo que equivale a decir que la solución básica óptima corresponde a otro vértice. En las gráficas 7.5 se muestra la FO para diferentes valores del coeficiente de la variable x 1 que corresponde a la utilidad que deja cada producto �. Al disminuir el coeficiente de x 1 , la pendiente de la recta disminuye; para maximizar habrá de producir la mayor cantidad posible de x 2 , que sigue siendo el vértice de la solución óptima (2, 6). Sólo si la utilidad c 1 fuera igual a 0 le daría lo mismo el punto (0, 6) que el (2, 6). Mientras que 0 < c1 < 150, la solución estará en el mismo vértice.
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Gráfica 7.5 Variación de la utilidad del producto a) $150
b) $120
12
12
Payoff: 120x 1 + 200x 2 = 1440
Payoff: 150x 1 + 200x 2 = 1500 10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0 0
2
4
6
8
10
12
0
2
c) $300 12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
4
6
8
10
12
Payoff: 500x 1 + 200x 2 = 3000
Payoff: 300x 1 + 200x 2 = 2000
2
6
d) $500
12
0
4
8
10
12
0
2
4
6
8
10
12
Pero al aumentar el coeficiente de x 1 en la FO, aumenta la pendiente de la recta hasta que es paralela a la restricción de mano de obra: 8x 1 + 8x 2 = 64; esto ocurre cuando los coeficientes de x 1 y de x 2 son iguales, o sea, para c1 = 200. Para ese valor la solución óptima es indiferente entre los puntos (2, 6) o (4, 4), para c 1 > 200 el punto óptimo pasa a ser (4, 4) como se muestra en la gráfica 7.5c. Si c 1 sigue aumentando, será más conveniente producir solamente el producto �, y esto se da en el vértice (6, 0) de la región factible (gráfica 7.5d), cuando c1 = 500. La transición se dará cuando la FO 177
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sea paralela a la restricción de mano de obra, o sea, c1 = 400, como puede verificarse si se observa la relación entre los coeficientes para ambas rectas. Entonces: la solución es el vértice (2, 6) si 0 < c 1 < 200 la solución es el vértice (4, 4) si 200 < c1 < 400 la solución es el vértice (6, 0) si 400 < c2 El análisis realizado para el coeficiente c 1 debe repetirse para el coeficiente c 2 dejando a todos los demás sin modificar. Este nuevo análisis mostrará entre que límites puede variar la utilidad obtenida por cada unidad del bien � antes de que cambie la solución óptima. Es cierto que los coeficientes técnicos pueden también modificarse respecto de los considerados originalmente. Estos cambios aquí no se considerarán, y en los casos en que esto ocurra será necesario volver a resolver el problema para los nuevos valores. Introducción de una nueva restricción
En el caso de agregar una nueva restricción que no había sido considerada en el problema original, es necesario determinar a cuál de los siguientes casos corresponde: 1) Es una restricción redundante y por lo tanto no afecta a la región factible, aunque
es importante considerarla porque cambios futuros pueden hacer que deje de ser redundante. 2) Es una restricción que acota aún más la región factible; en este caso es conveniente calcular la holgura de esta nueva restricción en el punto solución: si la holgura es positiva, la solución no se altera ya que es un recurso abundante; si la holgura es igual a cero, la restricción es activa, la solución no cambia, pero debido a que la restricción es activa cualquier cambio en este recurso afectará la solución; si la holgura es negativa, la solución anterior no es posible ya que este recurso no es suficiente y habrá que buscar la nueva solución. Análisis de sensibilidad: utilización e interpretación de Solver
El método gráfico permite visualizar las alteraciones que ocurren al cambiar el valor de alguno de los parámetros del modelo de PL e interpretar sus límites. Pero la mayoría de los problemas en los que interesa utilizar el modelo de PL tienen un gran número de variables, por supuesto mucho más que dos; entonces no pueden resolverse y anali178
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zarse gráficamente. La utilería Solver de Excel, que se utilizó en la unidad 5 para resolver los problemas de PL, incluye el análisis de sensibilidad. Para obtener el análisis de sensibilidad hay que introducir el modelo a Solver y solicitar la resolución del modelo; si el programa converge a una solución, se lo indica al usuario y le pregunta qué tipo de informes requiere. En la figura 7.1 se muestra la hoja de cálculo en la que se introdujo el problema resuelto gráficamente en la sección anterior; el problema ya fue resuelto por Solver, que presenta la ventana de resultados en la que se puede seleccionar el tipo de informes que el usuario desee. En este caso se seleccionaron los tres informes posibles: resultados, sensibilidad y límites. Para cada uno de ellos se creará una hoja de cálculo identificada por una pestaña. Figura 7.1. Hoja de cálculo del modelo y ventana de resultados
Aunque la hoja mostrada ya contiene la información de la respuesta óptima, en este caso A = 2, B = 6 y U = $1 500, en la hoja de respuestas que se muestra en la figura 7.2, aparecen otros detalles interesantes y en forma más comprensible. Se nos informa que se partió de una situación inicial en la que se proponía producir una unidad del bien � y otra del �, con una utilidad de $350, pero después de hacer las iteraciones necesarias se encontró que la solución óptima es producir 2 y 6 unidades 179
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respectivamente con una utilidad de $1 500. El informe indica además que las restricciones de mano de obra y demanda son restricciones activas, esto es, se cumplen exactamente. Para indicar que se trata de una restricción activa, Solver la llama “obligatoria”, mientras que a las restricciones pasivas las llama “opcionales”. Aparece una columna denominada “Divergencia”, que corresponde a las holguras de cada una de las restricciones. En este caso, se puede ver que las holguras correspondientes a las restricciones activas son cero, mientras que sobran cuatro unidades de materia prima. Figura 7.2. Informe de respuestas
El informe de sensibilidad se muestra en la figura 7.3. Consta de dos secciones, la primera para analizar los posibles cambios en los coeficientes de la FO y la segunda para analizar los cambios en los valores de las restricciones. En el recuadro señalado como “Celdas cambiantes” se dice que el valor actual del coeficiente correspondiente a la primera variable es 150 y que si éste varía dentro del rango señalado por los incrementos y decrementos permitidos: 150 - 150 < c 1 < 150 + 50, o sea, entre 0 < c1 < 200, la solución óptima sigue estando en el mismo vértice: (A, B) = (2, 6). 180
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Para el coeficiente de bien �, indica que actualmente vale 200, que puede aumentar indefinidamente (1E + 30 es un número muy grande en notación científica, 10 30), pero que no puede disminuir más que 50, por lo que 150 < c 2. O sea, si c 2 es mayor a 150, la solución óptima será la misma, aunque no así la utilidad. Aparece una columna de “Gradiente reducido” con valor igual a cero para ambos coeficientes. Nótese que aquí ambas variables son distintas de cero. Figura 7.3. Informe de sensibilidad
El gradiente reducido es la cantidad en que debe incrementarse la aportación a la FO de cada variable si se trata de maximizar, o la cantidad en que debe disminuirse si se trata de minimizar, para aquellas variables que no se encuentran en la solución básica óptima. En la sección correspondiente a las restricciones hay un renglón por cada restricción. Se señala qué valor está tomando la restricción, que en la mayoría de los casos indica la cantidad que se necesita utilizar del recurso para poder realizar las actividades (o productos) que optimicen la FO. En este caso se están utilizando las 64 horas dispo181
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nibles de mano de obra, se están produciendo los 6 artículos que requiere la demanda para lo cual se emplearon 20 de las 24 unidades disponibles de materias primas. En la columna correspondiente al “precio sombra” indica que se puede lograr un incremento de $18.75 por cada hora que se agregue a las 64 horas disponibles de mano de obra. Pero este precio sombra, que puede considerarse como la utilidad marginal de la mano de obra, sólo es válido si se tienen entre 48 y 72 horas, ya que nos dice que se pueden incrementar 8 horas o disminuir 16 horas alrededor del valor actual. Dentro de este rango el vértice solución será el mismo, el que corresponde a utilizar totalmente la mano de obra y satisfacer exactamente la demanda. Incrementar la disponibilidad de materias primas no altera la utilidad ya que de este recurso sobran 4 unidades. La hoja de sensibilidad indica que este recurso no debe disminuir en más de 4 unidades para que no se afecte la utilidad. En cuanto a la restricción impuesta por la demanda, por cada unidad extra que aumente la demanda, la utilidad se incrementa en $50, pero como el incremento permitido es de 2, la utilidad no puede crecer más que $100 ya que, aunque la demanda fuera de 10 unidades del producto �, con la mano de obra disponible solamente se pueden producir 8 unidades. Es importante reflexionar sobre las posibilidades y las debilidades de Solver. Incuestionablemente, la rapidez con que resuelve los problemas (e incluso hace el análisis de sensibilidad) lo convierte en una herramienta de cálculo poderosísima, pero es una herramienta y como tal carece de inteligencia; es el usuario el responsable de plantear correctamente el problema y de introducirlo en la hoja de cálculo; también es responsabilidad del usuario interpretar los resultados. El análisis de sensibilidad es fundamental para tomar las decisiones correctas, y para hacerlo es necesario conocer en qué unidades está cada uno de los valores. El precio sombra nos puede ayudar a modificar de la mejor manera posible los recursos disponibles, por lo que se debe conocer en qué unidades está expresado. El precio sombra indica cuánto aumenta la FO por cada unidad en que se incrementa un recurso. En el ejercicio la FO es la utilidad, en este caso expresada en pesos, y la mano de obra se da en horas, por lo tanto la unidad es pesos por hora ($/hora). En el caso de las materias primas éstas se expresan en unidades de materia prima (pudieron ser kilos, litros o toneladas); entonces el precio sombra se da en $/unidad de materia prima, y el precio sombra de la demanda está dado en $/unidad de producto � producido. Ejemplo 7.2
El problema planteado en la unidad 3 para lanzar una campaña publicitaria (problema 3.12), tiene por objetivo llegar al mayor público posible, incluidos niños, jóvenes y adultos, pero garantizando ciertas audiencias mínimas de posibles compradores hom182
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bres y mujeres; además existe una restricción presupuestal: se cuenta con $250 000. Los medios que se emplearán son anuncios en la radio y la televisión. Se requiere contestar las siguientes preguntas utilizando las herramientas disponibles: método gráfico, Simplex y Solver. a) ¿Cuál es la campaña óptima propuesta y cuántas personas se espera que verán esta b) c)
d) e)
campaña? Debido a que los principales clientes del supermercado son mujeres, ¿cómo se debe modificar la campaña para que llegue al menos a 35 000 mujeres? Se está pensando en incrementar el presupuesto a $300 000, ¿cuál será el impacto en el número de personas a las que la campaña llegará?, ¿cuál sería la campaña óptima entonces? Si se logra un descuento y ofrecen pasar los anuncios en la TV en el horario vespertino por $15 000, ¿qué puede proponer que se haga? ¿En qué unidades está expresado el precio sombra de la restricción de presupuesto? Gráfica 7.6. Solución gráfica del problema Payoff: 1200R + 20 000 TV = 300000
15
10
: 2000R + 2 500 TV = 20000 5
: 1500R + 5000 TV = 18 000
: 10000R + 20 000 TV = 250000
0 0
5
10
15
20
25
30
Optimal Decisions (R, TV) : (25, 0)
Las variables de decisión son: R: número de anuncios en la radio TV : número de anuncios en televisión 183
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PROGRAMACIÓN LINEAL
Se pretende maximizar la audiencia: Máx A = 12 000 R + 20 000 TV Sujeto a las siguientes restricciones: 10 000 R + 20 000 TV ≤ 250 000 pesos 2 000 R + 2 500 TV ≥ 20 000 mujeres 1 500 R + 5 000 TV ≥ 18 000 hombres Se construye la gráfica correspondiente a las restricciones y se dibuja la recta objetivo para determinar el vértice solución (gráfica 7.6). Respuestas a) De la gráfica se observa que la solución óptima es contratar 25 anuncios en la radio,
b)
c)
d)
e)
con un costo de 10 000 (25) = $250 000, exactamente el presupuesto disponible. La audiencia que escuchará estos anuncios será de 12 000 (25) = 300 000 personas. La campaña propuesta llegará a 2 000 (25) = 50 000 mujeres, muy por encima de las 20 000 requeridas inicialmente y también superior a 35 000, por lo que no es necesario hacer ningún cambio. Si se incrementa el presupuesto a $300 000, la recta de presupuesto se desplaza a la derecha y la solución óptima sigue siendo contratar solamente anuncios de radio, que pueden ser 30 anuncios que llegarán a 360 mil personas. Si disminuye el precio de los anuncios de televisión a $15 000, la solución cambia (gráfica 7.7); será más conveniente contratar solamente 17 anuncios de televisión, que serán vistos por 333 333 personas. Esto se debe a que los anuncios en la radio son vistos por 12 000 personas a un costo de $10 000, equivalente a 1.2 personas por peso invertido. Como cada anuncio de televisión es visto por 20 000 personas, si baja a $15 000, el número de personas por peso será de 20/15 = 1.33 personas por peso. El precio sombra de la restricción de presupuesto está dado en número de personas por cada peso (personas/$).
Estas respuestas se pudieron obtener del análisis de sensibilidad de Solver que se muestra en la figura 7.4.
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ANÁLISIS D E SE NSIBILI DAD
Gráfica 7.7. Solución gráfica para anuncios de televisión a $15 000
Payoff: 12000R + 20 000 TV = 333333 15
10
: 2000R + 2 500 TV = 20000 5
: 10000R + 15000 TV = 250 000
: 1500R + 5 000 TV = 18000
0 0
5
10
15
20
25
30
Optimal Decisions (R, TV): (-0, 17)
Figura 7.4. Respuesta de sensibilidad de Solver
a) Se muestra que la solución es 25 anuncios de radio y se calcula la audiencia para esta
solución. b) Indica que la cantidad de mujeres que escucharán los mensajes serán 50 000; además nos indica que la restricción de al menos 20 000 mujeres puede incrementarse sin alterar la solución hasta en un máximo de 30 000 por lo que el valor de 35 000 de la pregunta está comprendido en el intervalo [20 000, 50 000]. 185
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PROGRAMACIÓN LINEAL
c) Respecto a aumentar el presupuesto a $300 000, el análisis dice que puede aumen-
tar todo lo que se quiera y que la audiencia aumentará a razón de 1.2 personas por peso extra invertido. Con esto se puede calcular cuál será el incremento de audiencia: 50 000 (1.2) = 60 000 personas. La solución será del mismo tipo, pero como hay más dinero se contratarán más anuncios de radio, ¿cuántos cree que se contratarán? d) El costo reducido de los anuncios de televisión es de -4 000, lo que significa que solamente si los anuncios de televisión disminuyen su precio en $4 000 se considerarán en la campaña, ya que al precio actual no conviene contratarlos. Problema primal y dual
Para poder realizar el análisis de sensibilidad en problemas complejos es necesario resolverlo utilizando el método Simplex, interpretando cada una de las transformaciones que se realizan sobre la matriz de coeficientes y de los vectores de costos y disponibilidad de recursos. Pero es necesario ir más allá y plantear el problema dual al problema en estudio y resolverlo simultáneamente. El problema dual es otro problema de PL en el que se invierten los papeles entre las variables de decisión y las restricciones. Pero este tema requiere de un mayor rigor matemático que el utilizado en el presente texto, por lo que se anexa un apéndice con la formalización matemática del método Simplex, el concepto de dualidad y la formalización del análisis de sensibilidad a partir de la resolución de los problemas primal-dual. Las lecturas complementarias permiten abundar sobre el tema; sin embargo, no es necesario conocer la fundamentación teórica para poder analizar problemas concretos y tener los argumentos necesarios para la toma de decisiones. Lecturas complementarias
Arreola y Arreola (2003), especialmente los capítulo 11 y 12. Hillier (2003), capítulo 6. Eppen y otros (2000) y el Apéndice de este texto. Problemas de la unidad 7 Problema 7.1
Para el problema 1.1 sobre la planeación de una campaña publicitaria utilizando el método gráfico: 186
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ANÁLISIS D E SE NSIBILI DAD
a) Encuentre la solución gráfica. b) ¿Hasta dónde se podría disminuir el presupuesto de manera que la solución óptima
continúe siendo contratar solamente anuncios en la radio?, ¿por qué? c) Utilice Solver y obtenga el análisis de sensibilidad. d) ¿Qué significa el precio sombra de la restricción correspondiente al presupuesto? e) ¿Qué indica el costo reducido correspondiente a los anuncios de televisión? Problema 7.2
Para el problema 2.5 sobre la construcción de red de drenaje y agua potable: a) Encuentre la solución gráfica. b) Indique cuál es el precio sombra y en qué unidades está dado para las restricciones
de presupuesto y de mano de obra. c) ¿Cuál es el máximo de capital necesario para maximizar el beneficio sin modificar la solución actual? d) Si se dispusiera de $20 millones más y pudiera contratar más personal a 65$/hora en promedio, ¿cuál sería la mejor recomendación para aumentar el beneficio social? e) Si el beneficio social fuera idéntico para agua potable o drenaje, ¿cuál sería la mejor solución? Problema 7.3
Para el problema 3.6 en que debe adaptarse la disposición de los residuos de una ciudad a las nuevas reglamentaciones, utilice la información sobre sensibilidad del Solver: a) ¿Qué ocurriría si el tope de partículas suspendidas se redujera a 45 000? b) Si se moderniza el incinerador 2, éste podría incrementar su capacidad hasta 900 t/día
sin aumentar sus emisiones por tonelada, ¿cuál es entonces la recomendación más apropiada? c) ¿Cuál es el precio sombra y en qué unidades está dado para cada una de las restricciones? Problema 7.4
Para el problema 3.14 se requiere diseñar un desayuno para los internos de un hospital, haga uso de la información de sensibilidad del Solver y conteste lo siguiente: a) ¿Cómo quedaría la dieta si se disminuyen las calorías a 400?, ¿cuánto costaría? b) ¿Cómo debe modificarse la dieta si se requieren al menos 35 gramos de proteínas? c) Si la porción de queso disminuye a $3.50, ¿se debería incluir? 187
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PROGRAMACIÓN LINEAL
Problema 7.5
Un desarrollador de vivienda está planeando la construcción de un conjunto habitacional para satisfacer las necesidades de vivienda popular cercana a una zona industrial. Se dispone de 25 000 m 2 de terreno, pero la normatividad exige que se debe destinar 20% de la superficie a zonas verdes, calles y otros servicios urbanos. Se está pensando en construir dos tipos de vivienda, una de bajo costo muy básica y otra con mayores comodidades. De la vivienda de bajo costo se pueden construir hasta 10 viviendas en 1 000 m2, mientras que de las otras sólo se pueden construir 6. Los costos por unidad de vivienda son de $100 000 y $150 000, y se venden a $110 000 y $162 000 respectivamente. Se estima que el mercado potencial total para ambos tipos de vivienda es de más de 150 y se establece que se deben construir al menos 50 viviendas básicas más que de las otras, pero nunca menos de 80. Se dispone de 18 millones de pesos para la construcción de las viviendas. Se desea diseñar el plan que maximice la utilidad de los desarrolladores. a) ¿Cuál es la mejor solución? b) El desarrollador consigue $300 000 y piensa utilizarlos para compran 2 000 m 2 de
terreno, ¿qué le aconsejaría? c) ¿Cómo cambiaría el proyecto si se exige que edifique al menos 10 viviendas de cada tipo? Respuesta a los problemas de la unidad 7
Problema 7.1. a) La solución es contratar 25 anuncios en radio con lo que se lograría una audiencia de 300 000 personas con un costo de $250 000. b) El presupuesto puede disminuir hasta $120 000, necesarios para contratar 12 anuncios para así tener el mínimo número de hombres solicitado. c) Solver indica que el precio sombra es de 1 200 personas más de audiencia por cada $1 000 extras que se utilicen en la campaña (o 1.2 personas por peso). d) El costo reducido de -4 indica que si los anuncios en televisión llegaran a 4 000 personas más, entonces valdría la pena considerarlos, pero dado que su costo es el doble y no duplican la audiencia no son una opción que se considere. Problema 7.2. a) Conviene construir 15 km de drenaje y 67.5 km de agua potable con lo que se obtendría un beneficio de $795 millones. 188
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ANÁLISIS D E SE NSIBILI DAD
b) El precio sombra de la mano de obra está dado en $/h y el del presupuesto en $/$,
ya que aumenta el beneficio en millones de pesos por cada millón de pesos invertido. El precio sombra de la mano de obra es cero, mientras que por cada millón extra invertido se obtiene un beneficio de 1.66 millones de pesos. c) $596 millones. d) Se recomendaría no contratar gente y agregar los $20 millones a los $480 disponibles. e) Habría que construir 53.33 km de drenaje y 35.6 km de agua potable. Problema 7.3. Las unidades de los precios sombra serán las siguientes: • Partículas suspendidas: t/kg de partículas • Bióxido de azufre: t/unidades de ��2 • Incineradores: t/t/día
Problema 7.4. a) Se debería disminuir algún alimento, pero esto disminuiría la cantidad mínima de proteínas, por lo tanto con la dieta actual no es posible, deberá incluirse queso, pero el análisis de sensibilidad no lo puede responder. b) Haga un análisis similar al anterior. c) El costo reducido de la variable asociada a queso y los límites correspondientes indican a qué precio sí se incluirá este alimento. Problema 7.5. a) Conviene construir 180 casas del modelo básico con una utilidad de $1 800 000. b) No debe comprar el terreno ya que le sobra; debe construir más viviendas del modelo básico, le alcanza para tres más lo que significará un incremento de $30 000. c) El gradiente reducido indica que las casas mejoradas dan una utilidad de $3 000 por debajo de lo necesario para ser equiparables a las del modelo básico; así que si debe construir 10 de este tipo, tendrá una pérdida de $30 000 en sus ganancias (aunque será aún más pues no le alcanzaría para construir el mismo número).
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