O, de modo que P(F(X) = F(X0 )) >O e F( X) nao poderia distribuir-se uniformemente em (O, 1).)
e
- ·;
'
Pode-se tamhem prosseguir em outra dire<;:ao. Seja F urna fun<;:ao de distribui<;:ao continua que e estritamente crescente em algurn intervalo I e tal que, F = O a esquerda de I se I for limitado inferiormente e, F= l a direita de I se I for Iimitado superiormente. Entao para O < y < l, pelo teorema do valor medio de ca!culo, existe urn unico valor de x tal que y = F(x). Assirn F- 1 (y), O < y < l. e bem definida. Sob estas condi<;:5es, se Y for urna varidvel aleatória uniformemente distribuz'da em (0,1) entao a varidvel aleatória F - 1 (Y) tern F co mo sua fun~ao de distribui~ao. Pode-se usar dois exemplos da Se<;:ao 5.2. 1 para ilustrar o resultado acima . No Exemplo 6 obtivemos variaveis aleatórias exponencialmente distribuidas como transformadas de urna variavel aleatória uniformemente distribuida . O leitor poderia checar e veria que estas transforrna<;:oes poderiam ser obtidas pelo metodo do paragrafo acima. No Exemplo 11 mostramos que se e for uniformernente distribuida em (-rr/2. rr/2). entao tg e tera a distribui<;:ao de Cauchy. Suponha que . Y se distribua uniformemente em (O. 1). Entao e = rrY - rr /2 distribuise uniformemente cm ( - rr / 2. rr / 2), de modo que
X
= tg e = tg
( rr Y - ;)
tera a distribui<;:ao de Cauchy. Este e exatamente o que obteriamos usando o resultado do paragrafo anterior. De acordo com o Exemplo l O, a fun<;:ao de distribui<;:ao de Cauchy e dada por
l
l l F(x) = -;:;- + - arctg x, ~
(
_ oo
1[
< oo,
e a equa<;:ao y = F(x), ou
Y = -
l
2
l
+ - arctg x , 1[
tem a solu<;:ao
135
:__
· .: ~
propósitos e desejavel gerar urna variavel aieatória X tendo urna
- ~ :._,-m uiyao pre-estabelecida F . Urna maneira de faz~-lo egerar inicialmente · el aieatória uniformemente distri bu ida Y e entao fazer X= F- 1 (Y).
o e especialmente util em computadores digitais ja que existem metodos satisfatórios para gerar (o que se comporta com o) variaveis aleatórias uni.emente distribuldas em tais computadores. Suponha por exemplo que dese_;amos urna rotina para gerar urna variavel aieatória X com densidade normai padrac n(O, l). Usariamos urna sub-rotina para gerar urna variavel aieatória Y uniformemente distribuida em (0,1) e urna sub-rotina para computar a fun~ao numerica
.:=--
·:
te
..
As fun~6es inversas de distribui~ao sao uteis para outros propósitos. Suponha por exemplo que X tenha a densidade normai n(J.L, a2 ) e lembre-se da Se~ao 5.3.1. que
P( X
~ b) =
Suponha que desejamos escolher b tal que P(X ~b) = 0 ,9. Precisamos resolver em b a equa~ao
A
solu~ao
e dada por
ou b= J1 + a
1,28a)=0,9 .
Em estatistica aplicada o numero b =J.! + l ,28 a chama-se decil superior da distribui~ao n (J.L, a 2 ).
Seja F urna fun~ao de distribui~ao qualquer que satisfaz as condi~6es para que F- 1 (y), O< y < l , seja hem defmid~, conforme a discussao acima. Entao m = F - 1 ( 1/2) chama-se mediana de F, F- 1 (3/4) e F- 1 (1/4) chama-se quartis superior e inferior de F , F- 1 (0,9) chama-se decil superior e F- 1 (k/100) chama-se 136
l.
1
k-percenti/ superior. 'Estas defmiy6es podem ser modificadas para aplicei-las
afunyao arbitraria de distribuiyao, e em particular as fun96es discretas de distribuiyiio. ·Se X tiver urna densidade sirnetrica entao X tera daramen te a mediana m = O. Para urn exemplo mais interessante, seja X urna variavel aleatória exponencialmente distribuida com parametro A. Entao sua mediana e dada por l -e- "A m = 1/2, que tern a solu9ao m = A- l log 2. Suponha que X represente o tempo para urna partieula radioativa se desintegrar. Entao se tivermos urn numero bastante grande de tais particulas, esperaremos que a metade das particulas tenham se desintegrado ate o tempo m . Em fisica este tempo chama-se meia-vida da particula. Se observarmos a meia-vida m poderemos usa-la para determinar a taxa de desintegra9ao A= m- 1 log 2. Para urna aplicayiio finał das fun96es inversas de distribuiyiio, seja X urna variavel aleatória com densidade normai n(JJ., a 2 ) e suponha que desęjarnos determinar a >O tal que P(JJ.- a ~ X ~ JJ. +a)= 0,9. Entao de acordo com (25) precisamos resolver em a a equa~ao $
(~)
-
~ (- ~)
= 0,9.
Como <1>(-x}= 1-
(~)
- l= 0,9
e portanto a= a
P(JJ.- 1,645a ~X ~ JJ. + 1,645a) = 0,9. Usando
amesma tecnica obternos P(JJ.- 0 ,675a ~X ~JJ. + 0,675a ) = 0,5
ou equivalente, P(l X- JJ. I ~ 0,675a )
= 0,5
Isto indica que se X tiver a densidade normai n(JJ., a 2 ), entao X deferira de JJ. por menos de 0,675a com probabilidade urn meio e por mais de 0,675a com probabilidade urn meio. Se pensarmas em JJ. como urna quantidade fisica real e X como urna medida de J.l., entao l X - J.1. l representa o erro de medida. Por esta razao 0,675a eeonhecido como o erro provdvel. 137
Exercicios l. Seja X
urna variavel aleatória tal que P( l X - l l = 2) P( l X - l l ;;;. 2) em termos da fun9ao de distribui9ao Fx .
=
O.
Expresse
2. Considere urn ponto escolhido aleatoriamente no interior de urn disco de raio R no plano. Seja X o quadrado da distancia do centro do disco ao ponto escolhido. Obtenha a fun9ao de distribui9ao de X .
3. Considere urn ponto escolhido uniformemente numa bola sólida de raio R no espa9o tridimensional. Seja X a distancia do centro da bola ao ponto escolhido. Obtenha a fun9ao de distribui9ao de X. 4 . Considere urn ponto escolhido uniformemente no intervalo [0, a]. Seja X a distancia da origem ao ponto escolhido. Obtenha a fun9ao de distribui9ao de X. 5. Considere urn ponto escolhido uniformemente no interior de urn triangulo de base l e altura h . Seja X a distancia da base ao ponto escolhido. Obtenha a fun9ao de distribui9ao de X.
6. Considere urn triangulo eqiiilatero de lado s. Seja urn ponto escolhido uniformemente sobre urn lado do triangulo. Seja X a distancia entre o ponto escolhido e o vertice oposto. Obtenha a fun9ao de distribui9ao de X.
7. Seja o ponto (u, v ) escolhido uniformemente no quadrado O ~ u ~ l, O ~ v ~ l. Seja X a.variavel aleatória que associa o numero u + v ao ponto (u , v), Obtenha a fun9ao de distribui9ao de X. 8. Seja F a fun9ao de distribui9ao dada pela fórmula (3). Obtenha urn numero m tal que F(m) = 1/ 2. 9. Seja X o tempo ate a desintegra9ao de algurna partieula radioativa e suponha que a fun9aO de distribui9aO de X e dada pela fórmula (3). Suponha que A. seja tal que P(X ;;;. 0,01) = 1/2. Obtenha urn n\lmero t tal que P(X;;;. t)= 0,9. 10. Seja X a variavel aleatória do Exercicio 4. Obtenha a fun9ao de distribui9ao de Y= Min (X, a/2). 11 . Seja X urna variavel aleatória cuja fun9ao de distribui9ao F e dada por
o, X
F(x)
3' = X 2' l,
138
X< O, O~x<
l,
l
2,
~X<
X~.
2.
Detennine: (a) (b) (c) (d) (e)
P( l j2<, X<,3 j2); P(l /2 <, X<, l); P(l / 2<,X< l); P(l <,X<,3j2); P(l
12. Se a funyao de distribuiyao .de X fosse definida de urna das formas abaixo , descreva corno as propriedades (i)-(iv) da Se9ao 5 .1.1 teriam de ser rnodificadas ern cada caso :
(a) F(x) = P(X < x); (b) F(x) =P(X>x) ; (c) F(x) =P(X;;;.x) . 13 . Escolhe-se aleatoriamente urn ponto ern ( - 10, 10). Seja X urna variavel aleatória definida de tal forma que X represente a coordenada do ponto se o rnesrno estiver ern [- 5, 5 ], X = -5 se o porlto estiver-ern (-1 O, -5) e X= 5 se o ponto estiver ern (5, l 0). Obtenha a funyao de distribuiyao de X.
14. Seja X urna variavel aleatória continua tendo a densidade de f f(x) = (l / 2)e-l x l,
dada por
-=
Obtenha P(l <, l X l <, 2).
15. Seja F a fun9ao de distribuiyao defmi da por l
F (x) =
2
Obtenha urna densidade F '(x) = f (x) ?
X
+ 2(1x l + l) '
f
para
F.
_oo
x
terernos
16. Obtenha urna funs;ao de densidade para a variavel aleatória do Exercicio 3. 17. Obtenha urna funs;ao de densidade para a variavel aleatória do Exercicio 7. 18. Seja X urna variavel aleatória continua de de11sidade f. Obtenha urna-fórmula para a densidade de Y = l X 1. 19. Sejam X e Y = X 2 du as variaveis aleatórias continuas positivas ten do densidades f e g, respectivamente. Obtenha f ern termos de g e g ern termos de f . 20 . Suponha que X se distribui uniformernente ern (0,1). Obtenha a densidade de Y= Xl lil, onde 13 =F O. 21. Seja X urna variavel aleatória continua positiva de densidade f . Obtenha urna fórmula para a densida de de Y= l /(X + 1).
22. Seja X urna variavel aleatória , g urna funyao de densidade ern relayao a integrayao e <{) urna fun9ao diferenciavel estritamente crescente ern ( - =, oo). Suponha que
139
P(X :s; x)
=
q>(x)
J
-oo
g(z) dz,
-oo
Mostre que a variavel aleatória Y= IP(X) tern densidade g. 23. Seja X urna variavel aleatória com distribui<,:ao uniforme em (a, b). Obtenha urna fun<,:ao linear IP tal que Y= IP(X) tenha distribui<,:ao uniforme em (0, 1). 24. Suponha que X tenha urna densidade exponencial de parametro A.. Obtenha a densidade de Y= eX, onde c> O.
25. Seja g(x) = x(I - x) 2 , O.;;;:; x.;;;:; l, e g(x) =O para outros valores de x. Como se deve normalizar g para transforma-la em urna densidade? 26. Suponha que X tenha a densidade de Cauchy. Obtenha a densidade de Y=a +bX, b -=1= O. 27. Seja X o seno de urn angulo escolhido aleatoriamente em ( -rr/2, rr/2). Obtenha a densidade e a fun<,:lio de distribui<,:lio de X. 28. Seja X urna variavel aleatória continua com densidade simetrica X 2 tenha urna densidade exponencial de parametro A. Obtenha f.
f e tal que
29. Seja X urna variavel aleatória continua tendo urna fun<,:ao de distribui<,:ao F e urna fun<,:ao de densidade f. Diz-se entao que f e simetrica em rela<,:ao
a a se f( a + x) = f(a - x), -= < x < =. Obtenha as condi<,:6es equivalentes em termos de variavel aleatória X e em termos de fun<,:ao de distribui<,:ao F.
30. Define-se a fun<,:ao de erro por erf(x)
2
= J;c
Jo{"' e -y
2
.
dy,
-oo
Expresse 4> em termos de fun<,:ao de erro. 31. Suponha que X
tern a densidade normai n(O, a 2 ). Obtenha a densidade
de Y= lXI. 3 2. Suponha que X tern a densidade normai n (JJ. , a 2 ). Obtenha a densidade de Y= eX. Esta densidade chama-se densidade log norma/. 33. Suponha que X se distribui norrnalmente com parametros JJ. e a 2 • Obtenha P(IX -JJ.I.;;;; a). 34. Suponha que X se distribui norrnalmente com parametros JJ. e a 2 • Determine os numeros a e b tais que a + bX tenha a densidade normai padrao.
e
a 2 = 4. 35. Suponha que X se distribui norrnalmente com parametros JJ. = O Seja Y urna variavel aleatória inteira defmida em termos de . X por Y = m se m- 1/2.;;;:; X< m+ 1/2, onde m e urn numero inteiro tal que -'S.;;;:; m.;;;:; 5, Y= -6 se X< -5,5 e Y= 6 se X;;;;. 5,5. Obtenha [y e fa<,:a urn grafico desta densidade. 36 . Suponha que o peso de urna pessoa selecionada ao acaso de urna certa popula<,:lio distribui-se normalmente com parametros JJ. e a. Suponha tamhem que P( X .;;;:; 160) = 1/ 2 e P(X.;;;:; 140) = 1/4. Obtenha JJ. e a e deterrnine
P(X ;;;. 200). De todas as pessoas pesando no minimo 200 libras, que percentagem pesani mais de 220 libras? 37. Seja tP. urn numero tal que
38. Suponha que urn numero bastante grande de particulas radioativas identicas tcnha tempo de desintegras;ao ąue se distribua exponencialmente com urn cert0 parametro i\. Se a metade das partfculas se desintegram no primeiro segundo, quanto tempo levani para 75% das partfculas se desintegrarem? 39. Suponha que X se distribui exponencialmente com panimetro i\. Seja Y a va!ia_vel aleatória inteira definida em termos de X por Y = m se m ~ X < m + l , on de m e urn numero inteiro nao-negativo . Como se distribui Y?
40. Seja T urna variavel aleatória continua ·positiva que representa o tempo de falha de urn certo sistema, seja F a funs;ao de distribuis:ao de T e suponha que F( t)< l para O< t<""· Entao podemos escrever F( t)= l - e- G(t), t> O. Suponha que G'( t)= g( t) existe para t> O. (a) Mostre que T tern densidade
f( t) l -F(t)
A funs:ao g
f dada por
= g(t),
O
econhecida como "taxa de falha", pois heuristicamente f( t) d t P( t ~ T ~ t + d t l T> t) = l _ F (t)
= g( t) d t.
(b) Mostre que para s> O e t> O,
P(T > t+ s l T> t)= e-s:+•,
du.
(c) Mostre que o sistema melhora com a idade (isto e, para urn s fixo a expressao em (b) cresce com t) se g for urna fun9[o decrescente, e o sistema deteriora com a idade se g for urna funs:ao crescente. (d) Mostre que
f'
g(u) du
= oo.
(e) Como se comporta g se T tern distribuis:ao exponencial? (f) Se G(t) = 'A.f\ t> O, para que valores de a o sistema melhora, deteriora e nao se altera com a idade? 41. Suponha que X tern a densidade gama f(o:, i\). Obtenha a densidade de Y=cX, onde c>O. 141
42. Mostre que se
a> l ,
a densidade gama tern urn maxima em (a- 1)/A..
43. Suponha que X tern a densidade gama r(a, /..) . Obtenha a densidade de
Y=-JX: 44. Suponha que Y se distribui uniformemente em (0,1). Obtenha urna func,:ao .p tal que X = .p( Y) tenha a densidade f dada por f(x) = 2x, O .:;;;; x .:;;;; l e f(x) =O para outros valores de x.
45. Suponha que Y se distribui uniformemente em (0,1). Obtenha urna func,:ao .p tal que .p(Y) tenha a densidade gama r(l/2, 1/2). Sugestiio: use o Exemplo 12. 46. Determine <1>- 1 (t) para t = 0,1; 0,2; . .. ; 0,9 e use estes valores para construir. urn gnifico de <1>- 1 .
4 7. Suponha que X tern a densidade normai n(Jl, a 2 ) . Obtenha o quartil superior de X. 48 . Suponha que X tern a densidade de Cauchy. Determine o quartil superior de X. 49. Suponha que X tern a densidade normai com panimetros J1 e a = 0,25. Determine urna constante c tal que 2
P( l X - 111.:;;; c)= 0,9.
50. Seja X urna variavel aleatória inteira com func,:ao de distribuic,:ao F, e suponha que Y se distribui uniformemente em (0,1). Defina a variavel aleatória inteira Z em termos de Y por
Z=m se F(m-l)
VARIA VEIS ALEATÓRIAS COM DISTRIBUI<;AO CONJUNTA Nas primeiras tres se96es deste capftulo discutiremos urn par de variaveis aleatórias continuas X e Y e algumas de su as propriedades. Nas quatro se96es restantes consideraremos as extens6es de duas para n variaveis aleatórias X 1 , X 2 , ••• , X n. A discussao de estatisticas de ordem da SeyaO 6.5 e opcional e nao sera necessaria nos capitulos subseqiientes deste livro. A Se9ao 6.6 e essencialmente urn resumo dos resultados de distribui96es amostrais que sao liteis na estatfstica e serao necessanos no Volume II. O material coberto na Se9ao 6.7 sera usado somente mi demonstrayao do Teorema l do Capitulo 9 e Teorema l do Capitulo 5 do Volume II.
6.1. PROPRIEDADES DAS DISTRIBUI<;ÓES BIDIMENSIONAIS Sejam X e Y duas variaveis aleatórias definidas no rnesmo espayo .de probabilidade. Define-se a suafunj:iio de distribuij:iio eonjunta F por
F(x,y)
=P(X~x, Y~y),
_oo
Para ver se F e bem definida, observe que {w/X( w) ~ x} e { w/Y (w) ~ y} ambos sao eventos ja que X e Y sao variaveis aleatórias. Asua uniao {w/X(w) ~x e Y( w) ~ y} e tambemurn evento, e portanto sua pr~babilidade e bem definida. Pode-se usar a fun9ao de distribuiyao eonjunta para calcular a probabilidacie de que o par (X, Y) es tej a em urn re tangulo no plano. Considere o retiingulo
R = on de
(l)
a~
{(x,y)la
b e c~ d. Entao
P((X,
Y)ER)=P(a
=F( b, d)- F( a, d)- F( b , c)+ F( a, c).
Para verifiear que (l) e verdadeiro , observe que P(a
Analogamen te P(a
Assim P(a < X
ś
b, c < Y
ś
d)
=
P(a < X ś b, Y ś d) - P (a < X ś b, Y ś c)
=
(F(b, d ) - F(a, d )) - (F(b, c) - F(a, c))
e portanto (l) e verdadeiro eomo desejado. As funyoes de distribuiyao unidirnensional F x e F y definidas por
e
Fx(x) =P(Xs;;;.x)
Fy (y) =P(Y s;;;. y)
sao ehamadas de fu nroes de dis trib użriio marginal de X e Y. Elas se relacionam com a funyao de distri buiyao eonjunta F atraves de
F x(x ) = F(x . co) = !im F(x, y) y - oo
Fr(Y)
=
F( co, y)
Se existir urna fun yao nao-negativa
(2)
F(x , y) =
11m F(x, y).
=
f tal que
f ro (f oo f (u, v) dv) du ,
- co <
X,
Y <
CXJ,
entao f e ehamada de funyao de densidade eonju nta (em rela9ao a integrayao) da funyao de densidade eonjunta F ou do par de variaveis aleatórias X e Y. A menos que se espeeifique em eontrario , usaremos ao longo de todo este eapitulo o termo fun yoes de densidade para fazer refereneia a funyoes de densidade em relay[O aintegray[O em vez de funy6es de densidade disereta. Se P tiver densidade o b ten do
(3)
P(a < X
ś
f, podemes reeserever a Equayao (l) em termos de f, b, c < Y
ś
d)
=
f (f
f( x, y) dy ) dx.
Usando as propriedades da integrayao e a definiyao de espa9os de probabilidade, pode-se mostrar que a relayao
(4)
P((X , Y) EA) =
II A
144
f(x, y) dx dy
l
t
se verifica para subconjuntos A no plano do tipo considerado em ccilculo. Fazendo A representar todo o plano, obtemos de (4) que
f~"' f~"' f(x, y) dx dy
(S) Obtemos tamhem de ( 4) que Fx(x)
= P(X :::; x) =
f"' (f~"'
= l.
f(u , y) dy) du
de modo que Fx tern densidade marginal fx dada por fx(x)
f~"' f(x,
=
que satisfaz
=
Fx(x)
f "'
y) d y
fx(u) du .
Analogamen te F y tern densidade margin al fy dada por
fr(Y) =
f~"' f(x,
y) dx .
Como no caso unidimensional, f nao e unicamente defmida por (2). Podemos alterar f em urn numero fmito de pontos ou mesmo sobre urn numero fmito de curvas suaves no plano sem afetar a integral de f sobre subconjuntos do plano. Novamente como no caso unidimensional , F determina f nos pontos de continuidade de f. Pode-se ob ter este fa to de (3 ). Diferenciando (2) e aplicando as regras de calcu! o o b ternos
a F(x , .y)
f
-
x - oo
ay
=
e
(6)
(aay JY
- oo
f(u, v) dv) du
f "' J( u,y) du
a2 ax ay
F(x,y) = f(x,y).
Sob algumas condiy5es brandas adicionais podemos justificar estas oper~5es e mostrar que (6) e vcilido nos pontos de continuidade de f. Em casos especificos, em vez de verificar se as etapas que conduzem a (6) sao validas, e geralmente mais simpies mostrar que a funyao f obtida de (6) satisfaz (2) . Exemplo l . llustraremos as definię6es e fórmulas acima reconsiderando o Exemplo l do Capituło S. Lembre-se que naquele exemplo escolhemos uniformemente urn ponto de urn disco de raio R. Suponha que os pontos do plano sao determinados por suas coordenadas cartesianas (x, y) . Entao o disco pode ser representado como
145
Sej am X e Y as variaveis aleatórias que representam as coordenadas aleatórias do ponto escolhido. Correspondendo a hipótese de uniforrnidade supomos que X e Y tern densidade eonjunta f dada por ·
(n~2 '
f(x, y) =
(7)
O,
outros valores de x e y.
Entao para qualquer subconjunto A do disco (digamos do tipo considerado em c:ilculo),
P((X, Y)
A)= J ff (x , y) dx i_·
E
A
area de A
nR 2 que concorda com nossa hipótese de uniforrni dade. A
e dada por
fx(x)
=
oo
J
- oo
=
f(x , y) d y
l
J .j R2-x 2
-~- -~
- -! R 2 - x 2 ~ ~ R
dy
de margin al
ens.i
= -
fx
R'
~ ~
.. R
x-
para ~ R < x < R e fx(x) =O para outros valores de :x . A ensidade m arginal fy(y) e dada. pela mesma fórmula com y substituindo x . a ~
Diz-se que as variaveis X b e c~ d , en tao
(8)
P(a
sempre que a = c pendentes, en tao
(9)
< X~
b. c<
= ~=
b
e
Y
Y~
= x,
sao varifh:eis a
;órias independentes se
d) = P a< X~ b P( c<
Y~
d).
e d = y, segue-se que se X e Y fore m inde~=
F (x y) = F x (x )Fy(y),
Reciprocamente (9) implica que X e Y sao independentes. Pois se (9) for ver· dadeiro, entao de acordo com (l) o primeiro membro de (8) e
F(b, d)
~
F(a, d ) - F(b, c)
+
=
Fx(b) Fy(d)
=
(Fx(b)
=
P (a
~
< X
F (a, c) ~
Fx(a)Fy(d)
Fx(a))(Fr(d) ~ b)P(c
~
< Y
~
Fx(b)Fy(c)
+
Fx(a)Fy(c)
Fy(c)) ~ d) .
Pode-se mostrar de unia forma mais geral que se X e Y forem independentes e A e B forem uni6es de urn numero finito ou infinito enumeravel de intervalos, en tao 146
1'
4. lr
P(XEA, Y EB) = P(XEA )P(Y EB)
ou em outras palavras os eventos
{wiX(w)EA}
e
{wiX(w)EB}
serao eventos independentes.
t'
Sejam X e Y variaveis aleatórias ten do densidades marginais fx e fy. Entao X e Y sao ipdependentes se, e somente se, a fun<;:ao f definida por
_ oo
f(x,y) = fx(x)fy(y),
for urna densidade eonjunta para X e Y. !sto de independencia e da fórmula
e ums
conseqiiencia da defini<;:ao
Como urna ilustra<;:ao de variaveis aleatórias dependentes, sejam X e Y as variaveis definidas no Exemplo l. Entao para -R
(lO)
4
fx(x)fy(y) =
v'ff2 - x2 v' R2 2
n R
- y2
4
'
que nao concorda com a densidade eonjunta dessas variaveis aleatórias no ponto = O, Y = O. Como (0,0) e urn ponto de continuidade das fun<;:6es definidas por (7) e (10), segue-se que X e Y sao variaveis aleatórias dependentes. !sto esta de acordo com a nossa no<;:ao intuitiva de dependencia, pois quando X esta próximo de R , Y deve es tar próximo de zero, e assim informa<;:ao sobre X nos da informa<;:ao sobre Y. Pode-se defmir diretamente as fun<;:6es de densidade, corno vimos ern outros contextos. Urna fun(:iio de densidade bidimensional f e urna fun<;:ao nao-negativa em R 2 tal que X
J~"' J~"' f (x, y) dx dy 7
'
=
l.
Correspondendo a qualquer fun<;:ao de densidade bidimensional existem urn espa<;:o de probabilidade e urn par de variaveis aleatórias X e Y defmidas neste espa<;:o cuja densidade eonjunta e f. A rnaneira mais facil de construii fun<;:6es de densidade bidirnensional e a partir de duas densidades unidimensionais f 1 e f 2 e defmir a fu~<;:ao f atraves de
(11)
_oo
Entao, f sera urna fun<;:ao de densidade bidimensional ja que ela nao-negativa e
J~oo J~oo f(x,
y) dx dy
=
J~oo / (x) dx f~oo / (y) dy 1
2
e claramente
= l. 147
Se as variciveis aleatórias X e Y tern f como sua densidade conjunta, ent.ao X e Y sao independentes e tern densidades marginais fx = f 1 e fy = f 2 . Como urna ilustra~ao de (11) , suponha que f 1 e f 2 sao arnbas densidade normai padrao n(O,l). Entao f e dada por f(x y) =_l_ e- x' /2 _ l_ e- y ' / 2
,
ou (12)
Y2ri
...;"Frr
f(x,y)= 21rr e-(x'+y') /2,
-=
A densidade dada em (12) charna-se densidade normai bidimensional padriio. 1 o exemplo seguinte modificaremos um pouco o segundo membro de (12) para obter urna fun~ao de densidade eonjunta que corresponde ao caso em que as duas variaveis aieatórias tendo densidades marginais normais sao dependentes. Exemplo 2. Suponha que X e Y tern a fun~ao de densidade eonjunta f dada por f(x,y)=ce - (x' - xy+y') / 2,
-=
onde c e urna eonstanie positiva que serci deterrninada no decorrer de nossa d.iscussao. lnicialmente "completamos o quadrado" em termos envolvendo y e reescre· vemos f como f(x, y)
= ce- [{y -
2
2
x/2) + 3x / 4) /2,
e entao observamos que fx('x)
=
s:", /(x,
=
y) dy
Fazendo a mudan9a de variavel u
=y
-=
ce-3x2/8J:oo
e- ( y-x 2 ) 2 2
dy .
- x/2, vemos que
Conseqiien te me n te fx(x) = c .J'fT[e- 3x' /8.
Agora toma-se claro que fx portanto
ea
densidade normai n(O, a2 ) com a2
= 4/3
e #
c.Jl;
=
a
)Tn2rr
ou c= ...(3!4ir. Conseqiientemente
(13)
f(x, y)
=
'{! e-
(x
2
1.
- xy+ y )/ 2, 2
-=
,\fk
Os cc1lculos acima mostram que fx e a densidade normai n(O, 4/3). Anaiogamente podemas mostrar que fy e tainbem n(O, 4/3). Como f(x, y) fx(x) fy(y), e claro que X e Y sao dependentes.
*
148
t
l
· ------------------------------------~ 6.2. DISTRIBUiyAO DE SOMAS E QUOCIENTES
Sejam X e Y variaveis aleatórias tendo urna densidade eonjunta f. Em muitos contextos ternos urna variavel aleatória Z definida em termos de X e Y e desejarnos determinar a densidade de Z . Suponha que Z seja dada por· Z= ~~?(X, Y), onde 4' e urna funvao real cujo dorninio eontern o contradominia de X e Y. Para urn z fpco o evento {Z ..:;; z} e equivalente ao evento {(X, Y) E A z}, onde A z e o subconjunto de R 2 definido por
Az Assim
=
{(x,y)
Fz(z) = P(Z
i~~?(x , y)..:;; ~
z }.
z)
=
P((X , Y)
=
JJ!(x , y) dx dy.
E
Az)
A.
Se pudermas obter urna funyao nao-negativa g tal que
JJ f (x , y) dx dy
f oo g(v) dv,
=
- o::i - < z
< oo ,
A,
entao g sera necessariamente urna densidade de Z. Usaremos este metodo para obter as densidades de X+ Y e Y/X.
6.2.1. I)ISTRIBUiyAO DE SOMAS. Seja Z= X+ Y. Entao Az = {(x,y)lx+y..;;z} e simplesmente o serni-plano a Figura l. Assim
Fz(z)
....
=
a esquerda
Jff(x, y) dx dy
=
inferior da reta x + y
J~oo
A,
Fazendo a mudanya de variavel y
Fz(z)
= v- x
(f:x
=z
como mostra
f(x, y) dy) dx.
na integral interna ternos
(foo f(x, v -
=
J~oo
=
foo (J~oo f(x, v -
x) dv) dx x) dx) dv,
on de invertemos a ordem de integravao. Assim a densidade·de Z= X+ Y
(14)
fX+r(z) =
J~CX) f(x,
z - x) dx,
-00
< z <
e dada por
00.
149
Y
(O, z)
x+y-z
------.li. ii~.~~~ii~~~~~~z.~·EO~)--~x 4,
Figura l Na maiorla das aplica96es de (14), X e Y sao independentes e pode-se reescrever (14) como
Se
J~,x,fx(x)fr(z
fx+r(z) =
(15) X
e
Y
- x) dx,
- 00
< z <
00.
forem variaveis aleatórias independentes nao-negativas, entao
f x + y( z) = O para z . ;;;; O e (16)
fx+r(z)
=
J: fx(x)Jy(z - x) ix,
O < z < oo .
O segundo membro de (15) sugere urn metodo de obter densidades . Dadas duas densidades unidimensionais f e g, a fun9ao h defmi da por
h(z)
= f~a\ f(x)g(z
- x) dx,
- oo < z < oo,
e urna fun9lio de densidade unidimensional que se chama convoluriio de f e g. Assim a densidade da soma de duas variaveis aleatórias independentes e a convolu9lio das densidades individuais. Exemplo 3. Sejam X e Y variaveis aleatórias independentes, cada urna com densidade exponencial de parametro A.. Obtenha a distribui9ao de X+ Y. A densidade de X e dada por fx(x) = A.e- A.x para X ::;", o e fx(x) =o para x < O. A densidade de Y e a mesma. Assim f x + y(z) = O para z ..;;;; O e, de acordo com (16), para z> O
fx+r(z)
=
J: A.e-lxA_e-l(z-x) dx
= A_2e-lz
,
r·
Jo
dx
=
Vemos que X.+ Y tern a densidade gama r(2, A.). 150
A_2ze-).z.
Exemplo 4. Stipoilha ·que X e Y se distribuem independente e uniformemente em (0, 1). Obtenha a densidade de X+ Y.
A densidade de X e dada por fx(x) = l para o < X < l e fx(x) = o para outros valores de x. A densidade de Y e a mesma. Assim fx + y(z) = O para z ~O. Para z> O aplicamos (16). O integrando fx(x) fy(z- x) assume apenas os v:alores de O e l. Ele assume O valor 1- se x e z sao tai s q ue O ~ x ~ l e O~z-x~l. Se O~z~l, ointegrandotemvalorlnointervalo O~x~z e zero caso contnirio. Portanto obtemos de (16) que .,_ O~z~l.
fx+y(z)=z,
Se l < z ~ 2? o integrando tern valor l no intervalo ? - l ~ x ~ l e zero caso .../ contnirio. Assim, de acordo com (16) l
fx+y(z)=2-z, Se 2
e identicamente zero e portanto
fx+y(z) =O,
2
Em resumo
o :-: :;
,z,
l,
l < z :-: :; 2,
fx+r(z) ;", 2 -:- z, { O, .
o
z :-:::;
para outros valores de x .
1
2
Figura 2 O grafico de f e da do na Figura 2. Pode-se tamhem o b ter a densidade de X+ Y determinando a area do eonjunto
Az= {(x,y)IO~x~l,O~y~l ( ver Figura 3) e diferenciando o resultadó em
rela~ao
e
x+y~z}
a z.
1
Figura 3 151
O Exemplo 3 .tern urna iinportante generaliza9ao, que se pode formular como segue. Teorema l. Sejam X e Y variaveis aleatórias independentes tais que X tern a densidade gama r(a 1 , A.) e Y tern a densidade gama r(a 2 , A.). Entao X+ Y tern a densidade gama
Demonstra~ao.
Observamos que X e Y sao variaveis aleatóriaspositivas e que
X> 0, e A.~l y~l- 1
e- ;.y
r(az)
fr(Y) =
'
Y> O.
Assiin fx+y(z)=O para z~O e,deacordocom(l6),para z>O
Fazendo a mudan~a de variavel x
(17)
= zu
(com dx
= z d u)
na integral aciina, obtemos
z' > O,
on de (18) . Pode-se determinar a constante c pelo fa to de que a in te grał de f x + y e l. De ( 17) e da defmi9ao de densidades gama torna-se claro que f x + y deve ser a densidade gama r( a 1 + a 2 , A.) com o foi afirmado. De (17) e da defmi9ao de densidade gama vemos tamhem que c = 1/r(a 1 + a2 ) . Isto juntamente com (18) permite-nos determinar a integral defmida que aparece em (18) em termos de fun9ao gama:
(19)
11 u~'-1(1 - uyl-1 du = r(a1)r(az) Jo r(a 1 + a 2 )
o
Esta fórmula permite-nos defmir outra fam!1ia de densidades com dois parametros chamadas densidades Beta. A densidade Beta de parametros a 1 e a 2 e defmida por
(20)
0
A razao desta terminologia e que a fun9iiO de a: l e B(lXI,
defmida por
0:2
_ r(a 1)r(a 2 )
IX2 ) -
real + a2) '
chama-se fun9ao beta. Nossa aplica9iiO fmal da fórmula de convolu9iiO sera normalmente distribuidas.
a variaveiś
aleatórias
Teorema 2. Sejam X e Y vari
Demonstra~o.
Suponhamos inicialmente que JJ. 1
f X(X )
__
r( ) Y
JY
=
,
-oo
,
- oo < y < oo.
-x2 j 2a1
a1
e
l_ J-e 2n
_ l_ -y 2 f2a~ a 2 2n
J- e
Assim de acordo com ( 15) l fx+r(z) = - 2n:a 1 a 2
= JJ. 2 = O.
J co exp [- co
(x
2
-l 2 2 a1
+
(z - x) a 22
Entao
2 )] .
dx .
Infelizmente a determina9ao desta integral requer alguns calculos laboriosos ( que nao sao suficientemente importantes parajustificar seu doniinio). Urna das maneiras de proceder e fazer inicialmente a mudan9a de variavel
u=
..J ai
+a~
Ol 02
x.
Após algumas transform~oos algebricas obtemos
fx+r(z) = 2n:J ai. 1 + a~ J-coco exp [-!2 (u
2
2
-
uza 1
a 2J ai
+ a~
+
z:)] du .
a2
A seguir completamos o quadro em u e observamos que
Entao fazendo urna segunda mudan9a de variavel V= U
vemos que 153
Ji;r,j a f + a~ ' que
e simplesmente a densidade normai
n(O, a
i
+a
n.
No caso gerai X - 11 1 e Y- 11 2 sao independentes e tern densidades normais n(O, a i) e n(O, a~), respectivamente. Assim de acordo com o caso especiai acima, (X - 11d +(Y -11 2 ) = X+ Y- (11 1 + 11 2 ) tern a densidade normai n(O, aj.+ a~), e portanto X+ Y tern a densidade normai
n(111 + 112, aj+ a~) com o afirmamos. A demonstra9ao acima e elementar porem trabalhosa. Urna demonstra9ao menos computacionai· envolvendo tecnicas mais avan9adas sera dada na SeifaO 8.3 . Outra demonstra9ao e indieacta no Exercicio 36 no finał deste capitulo. Exemplo 5. Sejam X e Y variaveis aleatórias independentes cada urna com X Y e X 1 +Y2• densidade normai n(O, a 2 ). Obtenha as densidades
Pelo Teorema 2 vemos de imediato que X r tern a densidade normai C pi o 5, X 2 e Y 2 tern individualmente a densidade gama r (l - · l - - . 'e-se "acilmente que X 2 e Y 2 sao independentes. Assim, pelo Te e~~ ~ _ X- - Y 2 tern a densidade gama r(l, l / 2a 2 ) que e tamhem a en ial de parametro l /2 a 2 .
n{O, 2a 2 ) . De acordo com o Exemplo : _
6.2.2. DISTRIBUI<;AO DE QlJoc:IEI.TES. * Suponha que X e Y representam variaveis aieatórias com densidade eonjunta f. Derivaremos a seiwir urna fórmula para a densidade da variavel aieatória Z = Y/X. A figura 4 mastra o eonjunto
Az = {(x,y) l yjx,.;;z} Se x
\
~·
A 1 = {(x,y )lx
l
C onseqtien tern en te
Fr 1x(z) = Jf!(x,y) dxdy A:
["'
x: f(x, y) dy) dx
+
L'' (f~
f(x, y) dy) dx.
154
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ \!
Y
Y
l
X
z >O
z
Figura 4
=
Fazendo a mudanc;:a de variavel y o b ternos
Frtx(z)
=
xv (com dy
=
x dv) nas integrais intemas
f oo (i- oo xf(x, xv) dv) dx +
Loo (foo xf(x, xv) dv) dx
f oo (foo (-x)f(x, xv) dv) dx + Loo (foo xf(x, xv) dv) dx J~"
(fo: l~lf(x,
xv) dv) dx.
Invertendo a ordem de integrayao vemos que (21)
F r 1x(z) =
- ::c
-.
x _ x . xr) dx dr. -
- ::c< = < ::c .
X:
Segue-se de (21) que Y/ X tern a (22)
fr 1x(z) =
J:"'
x
x
.x= -ix..
No caso especial em que X e _tivas,(22) reduz-se a IY;x(z) = O pa: _ .: .;;;;: :::
(23)
o teorema a seguir e urna aplicac;:ao direta
- ~<
= <::::::
= < .: <
Teorema 3. Sejam X e Y variaveis aleatórias independentes com densidades gama r( a: 1 , A) e re a: 2 , A) , respectivamente . Entao Y/X tern a densidade dada por [y ;x(z) =O para z,.;;: O e (24)
fYJX(z) = Demonstra~o.
real + a z) z"2 -l ) )r(a (z + l Y' +• 2 1 2
r(-;
o<
'
z <
00.
Lembre-se que
A."'x"'- 1 e- A:" fx(x) = real) '
X> O,
e
De acordo com a Equa~ao (34) do Capi"tulo 5
roo x•t+a2-le-x).(z+ l) dx )o
=
real+ az) ().(z + l))"' +• 2
•
Conseqiientemente a fórmula (24) e valida como foi afirmado . Urna vez que (24) defme urna fun~ao de densidade, vemos que para a: 1 , a: 2 >O
roo
Jo
z•2-l(z + 1)-(•t h2) dz = r(al)r(az) .
real + az)
Exemplo 6. Sejam X e Y variaveis aleatórias independentes, cada urna com densidade normai n(O, a 2 ). Obtenha a densidade de Y 2 /X 2 . As variaveis aleatórias sao as mesmas do Exemplo 5. Assim X 2 e Y 2 sao novamente independe1:1tes e tern a densidade gama r(l/2 , l/2a 2 ). O Teorema 3 e entao aplicavel e Y 2 /X 2 tern a densidade /y> /X' dada por /y> /X' (z)= 0 para z,.;;: O e r(l) z-1 { 2 jy2fX2(z) = r(l/2)r(l/2) (z + l) l
o<
z <
00.
l)Jz' (Lembramos da Equa~ao (35) do Capituło 5 que r(l/2) = VJr ). A titulo de exerci'cio deixamos para o leitor mostrar que, sob as mesmas condi~6es, tanto Y/X como Y/1 X l tern a densidade de Cauchy. 156 n(z
+
6.3. DENSIDADES CONDICIONAIS Para motivar a defmi9ao de densidades condicionais de variaveis aleatórias cont(nuas, discutiremos inicialmente as variaveis aleatórias discretas. Sejam X e Y duas variaveis aleatórias discretas tendo densidade eonjunta f. Se x e urn valor poss!vel de X, entao
P(Y=yiX=x)=
P(X = x, Y= y) _ f(x,y) P(X=x) - fx(x)
A func;:ao [y ;x defmida por (25)
fr1xC Y l x)
= (
f(x, y) f.x(x) '
O,
fx(x) # O,
fx(x) =O,
chama-se densidade condicional de Y da do X. Para qualquer valor possivel x de X,
Lfr1xCY l x) = Lyf(x,y) = lj(x) Y fx(x) fx(x)
= l,
de modo que para qualquer x nestas condic;:oes fy ;x(yjx) defme urna fun9ao de densidade discreta de y, conhecida com o densidade condicional de Y dada X = x. No caso discreto as densidades condicionais nao envolverri nenhum conceito novo. Entretanto se X e urna variavel aleatória contlnua, entao P(X = x) = O para todo x, de modo que P( Y = y jX = x) e sempre indefm!do. Neste caso, qualquer defmic;:ao de densidades condicionais envolve necessariamente urn conceito novo. A maneira mais simpies de defmir densidades condicionais de variaveis aleatórias cont!nuas e urna analogia com a Fórmula (25) do caso discreto.
Definic;:ao l. Sejam X e Y variaveis aleatórias cont!nuas tendo densidade eonjunta f. Defme-se a densidade condicional fy /X atraves de (26)
fr,x(Y l x)
f(x, y)
O < f x(x)
O,
para outros valores de x e y .
= ( fx(x) '
Segue-se imediatamente desta defmic;:ao que, com o urna func;:ao de y, fy ;x(yjx) e urna densidade sempre que o< fx(x) < 00 (novamente denorninada densidade condicional de Y dada X = x). Pode-se utilizar as densidades condicionais para defmir pro babilidades condicionais. Assim defmirnos
(27)
P(a :o; Y :o; b IX= x) = f!Y/x(Y l x) dy,
a :o; b.
Alternativamente podeńamos tentar defmir a probabilidade condicional de (27) atraves do seguinte limite:
(28 )
P(a :o; Y :o; b l X
=
x)
= lim P(a :o; Y :o; b l x :..... h
~ X :o; x
+
h) .
h)O
157
Pode-se reescrever o segundo membro de (28 ) em termos de
e contin ua em
f
Wf(u. r) dy)_du ( l j 2h) t ~ ;:J~( u ) du .
lim _(1/211 ) J:~ ~ ~
hm j~:~ \J~ f( u, r ) dr) du h , L) i~ =- ~ n ~ y f( U, _\' ) dr) du
Se
f como
hl O
f (u , y ) dy
u para u = x , o numeradar do ultimo lirnite converge para
f .rcx, y) dy quando h .J, O. Se f x e continua no ponto x , o denominador converge para fx(x) quando h .J, O. Sob a con di~ao adicional de que fx (x) =fo O, somos levados de (28) a
P(a
:S;
Y
:S;
blX
=
x) =
J~ .[(x_,
y) dy,
fx( x)
que concorda com (27) . Em resumo , definirnos densidades condicionais e probabilidades condicionais no caso contlnuo em analogia com o caso discreto. Observamos tamhem que, sob restri~6es adicionais, urn processo envolvendo lirnites produziria a mesma defmi~ao de probabilidades condicionais. Acontece que e bastante dificil trabalhar com tais processos, de modo que os mesmos nao mais serao usados . Segue-se irnediatamente da defmi~ao de fun~ 6es de densidades condicionais que (29)
f (x,y) = f x (x) f n x(Y lx) ,
- oo < x , y
Se X e Y sao independentes e
(30)
f(x,y) = fx(x) f y(y),
- oo
entao
(31 )
fnx(ylx)=[y( y),
O< fx(x) < oo
e
- oo
Reciprocamente, se (31) e verdadeiro , segue-se de (29) que (30) e verdadeiro e X e Y sao independentes. Assirn (31) e urna condi~ao necessaria e suficiente para q ue duas variaveis aleatórias ten do urna densidade eonjunta sejam independentes.
Exemp1o 7. Suponha que X e Y tern a densidade bidimensional f dada pela Fórmula (13) , ou seja f( x, y ) -_
J3 -- e
4n
- (x 2 - xy+y') f 2
,
- w< x, y
Entao , como vimos no Exemplo 2, X tern densidade normai n(O, 4/3). Assirn para -oo < x , y
i '
J3 e
frrx(Y l x)
=
- ( x2-x y+y2) f 2
4n
-~---
_
-J3 --e -3x2 f S 2.fin
l
- -= e J2n
-(y-x / 2)2 / 2
.
Em outras palavras, a densidade condicional de Y dado X = x e a densidade normai n(x/ 2, 1). Ate aqui partirnos de densidades conjuntas e atraves delas construimos densidades marginais e densidades condicionais. Em certas situac;:5es podemes inverter este procedimento e comec;:ar com densidades marginais e densidades cóndicionais, usando-as para construir densidades conjuntas. Exemplo 8. Seja X urna vańavel aleatóńa uniformemente distńbui'da em (0, l) e seja Y urna vańavel aleatóńa uniformemente distńbui'da em (0, X). Obtenha a densidade eonjunta de X e Y e a densidade marginal de Y. Pelo enunciado do probierna vemos que a densidade marginal de X e dada por fx(x)
=
l~
para
para outros valores de x
A densidade de Y dado X= x
=
O< x < l.
l
e uniforme em (0, x), de modo que
1/x O,
para
A densidade eonjunta de X e Y
e dada
por
para
O
hix(Y lx)
f(x,y)
=
lt
A densidade margillal de Y fr(Y)
=
J oo
- oo
O
para outros valores de x e y
e
•
f(x, y) dx =
Jl ~l dx = Y
-log y,
O < y < l,
e [y(y) =O para outros valores de y . 6.3.1. REGRA DE BA YES. Naturalmente podemes inverter os papeis de X e Y e defmir a densidade condicional de X dado Y= y atraves da fórmula
(32)
fx1 y(x l y)
=
f(x,y) [y(y) ,
o<[y(y) < oo,
Urna vez que
!59
f(x, y) = fx(x)frlx(Y
l x)
e fr(Y)
=
J:oo f(x, Y) dx = J:oo fx(x)frJx(Y l x) dx,
podemos reescrever (32) como fxlr(x l y) = fx(x)ffix(Y l x ) · J~oofx(x)frJx(Y l x) dx
(33)
Esta fórmula ~ o amilogo continuo da famosa regra de Bayes discutida no Capituło l. Nos Capftulos 3 e 4 consideramos variaveis aleatórias X e Y que eram ambas discretas. At~ aqui no Capituło 6 consideramos principalmente variaveis aleatórias X e Y que sao ambas contlnuas. Existem casos em que estamos interessarlos simultaneamente em variaveis aleatórias discretas e continuas. Deve ficar claro para o leitor como podemos modificar nossa discussao para incluir esta possibilidade. Algumas das aplica~5es mais interessantes de (33) sao deste tipo.
Exemplo 9. Suponha que o nfunero de acidentes automobilisticos em que se envolve urn motorista durante urn ano e urna variavel aleatória Y tendo urna distribui~ao de Poisson de parametro A, onde A depende do motorista. Se escolhemos urn motorista ao acaso de urna certa popularr3"o, podemos supor que A varia e defme urna variavel aleatória continua ,\ tendo urna densidade t~~.. A densidade condicional de Y dado = A e urna densidade de Poisson de parametro A dada por i. 1 e -
fr ., (Y i.) =
o,
;.
y.
Assim a densidade eonjunta de A e Y
f()., y)
=
( O,
f~~.(J..)J/e-l
y!
para
y = O, l, 2, .. . ,
para outros valores de y
e para
y = O, l , 2, .. . ,
para outros valores de y
Em geral nao podemos obter urna fórmuia simpies para a densidade marginal de Y ou a densidade condicional de A dado Y = y ja que nao podemos determinar as integrais necessarias. Entretanto podemos obter fórmuias simpies no caso especial em que f e urna densidade gama r(o:, J3). de modo que para A>
o-
para outros valores de y. Neste caso, 160
,-
oo pa).a-le-;.p ).Ye-;.
=
f
o
re()()
- - - - - d).
roo
= __!!__
y!r(CI()Jo
re()( +
y!
).a+y-le-l(/3+1) d).
y)pa
= Y! r(CI()({J +
l)a+y.
O valor da tlltima integral foi obtido usando a fórmula (34) do Capituło 5. Deixamos para o leitor a tftulo de exercicio mostrar que [y e a densidade binomial. negativa de parametros a e p = {3 /(1 + {3). Ternos tamhem que para A. > O e y inteiro nao-negativo, r J t.IY
().
1
y)
= f(). , Y2 fr( Y)
{Ja).a+y-le- l( /3 + l) Y!
r (CI()y! r(a ({J
+
r(CI()({J
+
+
l)a+y
y){Ja
l) a+ y).a+ y- 1 e -;.(p+ 1 l
rca
+
y)
que nos diz que a derisidade condicional de i\ dado Y = y e a densidade gama r(a + y, {3 + 1). Se alguem de urna companhia de seguros desejasse resolver urn probierna deste tipo, possivelmente tentaria aproximar a densidade real f A para urna densidade r(a, {3), onde a e {3 seriam determinados de modo que a aproximayao fosse a melhor possivel.
6.4. PROPRIEDADES DE DISTRIBUic;OES MULTIDIMENSIONAIS
•
Pode-se estender imediatamente para n variaveis aleatórias os conceitos ate aqui discutidos em rela9ao a duas variaveis aleatórias X e Y. Indicaremos brevemente nesta se9ao como isto pode ser feito. Sejam n variaveis aleatórias X 1 , • . • , X n defmidas em urn espa9o comurn de probabilidade. Defme-se sua funfiiO de distribuifiio eonjunta F atraves de
Defmem-se as fun9oos de distribui9ao marginal F x m, m
= l,
... , n atraves de
161
faz.:n o x 1 . .
Pode-se o b ter o valor de F x m (xm) a partir de F
.. .
x • _: .
tenderero to dos a + = . Diz-se que urna fun9ao nao-nega tiva f e urna fun _-o ensidade onjun2 (em rela~ao integrayao) para a fun9ao de disuib i~ -o - ~Jun F, ou para as
X m+ 1 , . •• , X n
a
variaveis aleatórias X 1 ,
... ,
F(xl, . . . ' Xn) =
(34)
X n se
f'"' ... r~
f (ul . ... . u. d : . . . dua.
<
X . ... . Xn
nos pontos de continuidade de F. Se 3 fo~ eonjunto qualquer de Rn do tipo considerado em cal •lo.
o e A
-
X
<
CO.
Sob algumas condi96es brandas adicionais, a equa , ao
e valida
for urn sub-
-o
Em particular
(35) e se am .;;;;; bm para m = l, . . . , n, entao
= A variavel aleatória Xm de
f
Jb,
.,
bft
J (x 1
• •. ,
tern densidade marginal fxm
x") dx 1
• • •
dxn .
obtida pela integra9ao
sobre as n - l variaveis restantes. Por exemplo
fx2(x2) =
f~"'
... f~"'
f(x,, ... ' xn) dx, dx3 . . ·dx".
Em geral diz-se que as variaveis aleatórias X 1 ,
. • . ,
X n sao independentes
sempre que a m.;;;;; b m, para m= l" ... , n , entao
P(a 1
< X 1 .;;;;; b1 , . . . , an
Urna condiyaO necessaria e sufłciente de independencia e
162
i ''-
A necessidade e óbvia, mas a parte da suficiencia para n > 2 depende de artificios peculiares e nao sera demonstrada aqui. Se F tern densidade f, en tao X 1 , . . . , X n sao independentes se, e somente se, pudermes escolher f de modo que
Pode-se tamhem definir diretamente urna densidade n-dimensional como urna funyao nao-negativa em Rn para a qual (35) e valido. A maneira mais simpies de construir densidades n-dimensionais e a partir de n densidades unidimensionais f 1 , ••• .!n e definir f atraves de (36) Se X 1 , • • • , X n sao variaveis aleatórias cuja densidade eonjunta f e dada por (36), entao X 1 , • • • , X n sao independentes e X m tern densidade marginal f m. Exernplo 10. Sejam X 1 , • • • , X n variaveis aleatórias independentes, cada urna com densidade exponencial de parametro 'A .• Obtenha a densidade eonjunta de
XJ, ... ,Xn. A densidade de X m e dada por
A.e- hm
fxJxm)
= {O,
para
0 < X m < 00, para outros valores de x.
Assim f e dada por para x 1 , ••• ,x.>0, para outros valores de x 1 ,
••• ,
x n.
Para determinar a densidade de somas de n variaveis aleatórias independentes, bem como para muitos outros propósitos, necessitamos do seguinte resultado. TPorema 4. Sejam n variaveis aleatórias independentes X 1 , ••• , X n. Seja Y urna variavel aleatória definida em termos de X 1 , • • • , X m e seja Z urna variavel aleatória definida em termos de X m + 1 , . . . , X n (com l ":;;m < n) Entao Y e Z sao independentes. r
•
A demonstrayao deste teorema nao sera apresentada ja que ela envolve argumentos da teoria da medida. Usando este teorema e urn argurnento envolvendo induyao matematka, podemos estender os Teoremas l e 2 para somas de n variaveis aleatórias independentes como segue. Teorerna 5. Sejam X 1 , • • • , X n variaveis aleatórias independentes tais que X m tern densidade gama r(am' 'A) para m = l, ... , n. Entao XI + ... +Xn tern densidade gama r(a, 'A), onde a= al + ... + an. Lembre-se que a densidade exponencial de parametro 'A e a densidade gama r(l, 'A). Assim, com o urn caso especial des te teorema, ternos o seguinte corolariÓ: 163
Se X 1 , • • • , X n siio varióveis aleatórias independentes, exponencial de panimetro ~ entiio X 1 + · · · + X n tern der..sf.±.de .s- ..= Teorema6. Sejam X 1 , • • • , Xn variaveis aleatórias · ~~- _._ que X m tern densidade normal n(Jl m• a?n ), m = l, . . . . . E;:-:-
X1 +···+Xn tern densidade normal n(a, a 2 ), onde Jl
= lll
+···+Jln e a2 =aj +···+ah .
Se X 1 , ••• , X n tern urna densidade eonjunta f, entao qualquer su bcol~o destas variaveis aleatóńas tern urna densidade eonjunta que p'ode ser obtida in-;egrando f sobre as variaveis restantes. Por exemplo, se l~ m< n,
Pode-se tambem definir de maneira óbvia a densidade condicional de urna de X 1 , ••• , X n, dadas as variaveis restantes. Assim, a densidade eon· dicional de X m+ l' . . . 'X n dados XI' ... 'X m e defrnida por
subcole~ao
onde f e a densidade eonjunta de X 1 , •• • , X n. Freqtientemente expressa-se as densidades condicionais atraves de urna nota~ao urn tanto diferente. Por exemplo, sejam n + l variaveis aleatóńas com densidade eonjunta f . Entao a densidade condicional de Y da dos X 1 , . • • , X n e defrnida por
f:YIX
1 , ...
, x" ( Y
l X1, · · · '
Xn
) = f f(x l, ·(· · , Xn, Y) ) Xt . . .. ,x" X1, · · · ' Xn
6.5 ESTATisTICOS DE ORDEM* Sejam U1 , • • • , Un variaveis aleatóńas eontinuas independentes, cada urna de distńbui~ao F e fun~a:o de densidade f. Sejam X 1 , • •• , X n as vańaveis aleatóńas obtidas representando por X 1 (w), .. . , X n (w) o conjunt~ U1 (w) , . . . , Un(w) ordenado em ordem erescente. Em particular, X 1 e Xn sao defrnidas como sendo as funiroes com
fun~ao
X 1 (w)= min (U 1 (w), . .. , Un(w)) e
Xn(w)
= max (U 1 (w), . .. , Un(w)).
A variavel aleatóńa X k chama-se k-esimo estatistico de ordem. Outra variavel eorrelata de interesse e a amplitude R defrnida eomo 164
·~
..
..................................
~ ~---------i
R(w)
= Xn(w) - X 1(w)
=
(
'
~
max (U1 (w), ... , Un(w)) - min (U 1(w), ... , UnCw)).
Segue-se das hipóteses sobre Ui, . _ . , Un que os Ui sao distintos com probabilidade l e portanto X 1 < X 2 < · · ·
Exemplo 11 . Considere urna maquina tendo n componentes cujos tempos de falha satisfazem as hipóteses desta se
e
urna vez que e aplicavel a distribui<;ao binornial de parametros n p = F(x). O evento {Xk .;;;;; x} ocorre se, e somente se, k ou mais dos Ui estiverem em (- oo, x] . Assim
(37)
F xJx)
=
P(Xk ~ x)
±(~)
i=k
J
Fi(x)(l - F(x))"- i , '
- 00
<
X
<
00.
Em particular, pode-se escrever com muita simplicidade as fun
_oo
-oo
165
e
- oc
fx (x)=nf(x)(I-F(x))n- t, 1
A derivayao eorrespondente para X k em geral
fxJx) =
L .
e urn pouco mais trabalhosa.
De (3
' l
l
n
n· . f (x)F j - 1 (xX1 - F x))" - i i=k (J - l)! (n - J) ! 1
n-1
- L .
n: f(x)F i(x l - Fx) i=kJ!(n - J - l)!
= L
l
n
- j - t
l
~(
n. f(x)F i - (x l - F(x)r - i i=k ( j - l)! (n - j)! 1
l
n
n. f( )F (. l) l ( .) l X ' , =k+ 1 1 . n - 1 . ~
. ./..;
1
•
X
-
F( )) - i X
e por eaneelayao
(38 ) - 00
<
X
<
CJ:;.
Para obter a densidade da amplirude R , deri ·amos inicialmente a densidade eonjunta de X 1 e X n. Supernos que n~ 2 Qa que R = O se n = 1). Seja x ~y. Entao P(X 1 > x , Xn ~y) = P(x
< U 1 ~ y, ... ,x < Un ~y)
= (F(y) - F(x ))n,
e naturalmente
Conseqiien te me n te
Fx 1 .dx, y) = P(X 1 :5: = P(Xn :5: =
x,
i
Xn :5: y)
l
y) - P(X 1 > x, X n :5: y)
F"(y) - (F(y) - F(x))n.
l
.:n
A densidade eonjunta e dada por
al
f xt.Xn(x, y) = ax ay F Xt .Xn(x, y) = n( n -
166
l)f(x)f(y)(F(y) - F(x))"- 2,
X
:5: y.
E óbvio e demonstra-se
facilmente que
x>y. Modificando urn pouco o argumento usado na Sec,:ao 6.2.1 para obter a densidade de urna soma, o b ternos q ue a densi da de de R = X n - X 1 e dada por
'• Em outras palavras
fR(r)
=
(n( n -
l)
J~oo f(x) f( r + x)(F(r +
O,
x) - F(x)t -
2
dx ,
r>O
r
Pode-se avaliar facilmente estas fórmulas quando U 1 , . •• , Un sao independentes e se distribuem uniformemente em (0 ,1). Deixamos esta avaliac,: ao para o leitor a titulo de exercicio. Existe urna forma "heuristica" bastante Util para derivar as fórmulas acima. Como ilustrac,:ao, derivaremos novamente a fórmula para f x k · Seja dx urn numero positivo pequeno. Entao ternos a aproximac,:ao
A maneira mais provavel de ocorrer o evento { x .;;;; Xk .;;;; x + dx} e k - l dos Ui estarem em (- 00 , X], urn dos Ui em (x, X+ dx] e n- k dos Ui em (x + dx, oo) ( ver Figura 5). A derivac,:ao da distri buic,: ao multinomial dada no Cap ftul o 3 e aplicavel e a probabilidade de . que o numero indicado de u i esteja nos intervalos apropriados
f x.(x)
e
n'· dx~(k - l)!l!(n-k) !
X(fa) f(u) dur-l J: +dx f( u) du (L: dxf(u) du r -k
n! :::::: - - - - -k-)! f(x) dxFk- 1 (x)(l - F(x))"-k, (k - l)!(n da qual obtemos (38). Nao tentaremos dar rigor a este metodo. k-1 .
n-k
x
x+dx
Figura 5 167
6.6. DISTRIBUH;óES AMOSTRAIS* Sejam X 1 , ••• , X n variaveis aleatóńas independentes, cada urna com dens.idade normai n(O, a 2 ). Obteremos nesta se<;:ao as fun<;:5es de distńbui<;:ao de diversas variaveis aleatórias defmidas em termos dos X. Alem de se constituirem em aplica<;:5es do material acima, estas distribui<;:oes sao de importancia fundamental na inferencia estatistica e serao necessańas no Volume II. A constante a 2 econveniente mas nao essencial, urna vez que Xtfa, ... , X n/ a sao independentes e cada urna tern a densidade normai padrao n(O, 1). Assim podemos sempre tornar a 2 = l sem perda de generalidade. De acordo com o Teorema 6, a variavel aleatóńa X 1 + · · · + X n tern a densidade normai de parametros O e na 2 • Se dividirmos esta soma por diferentes constantes obtemos formas altemativas deste resultado. Assim
XI+ .. · +Xn n distńbui-se normalmente com parametros O e a 2 jn e
tern densidade normai padrao n(O, 1). Como Xtfa tern a densidade normai padrao segue-se do Exemplo 12 do Capituło S que xifa 2 tern a densidade gama r (l 2, 1/2). Assim, de acordo com o Teorema S
tern a densidade garna r (n/2, 1/2). Esta densidade gama particular e bastante importante em estatistica onde se diz que a variavel aleatóńa correspondente tern distńbui<;:ao qui-quadrada ~) com n graus de liberdade que e representada por x2 (n). Aplicando o Teorema S obtemos o seguinte resultado sobre as distńbui<;:5es x2 • Teorema 7. Sejarn Y 1 . . . , Y n variaveis aleatóńas mdependentes ·tais que Y m tern a distńbui<;:ao ~(km). Entao Y 1 + · · · + Y n tern a distribui<;:ao x2 (k), onde k=k1 +·· · +kn. Por hipótese Y m tern a distribui<;:ao gama f(k/2, 1/2). Assim pelo Teorema S, Y 1 + · · · + Y n tern a distribui<;:ao gama r(k/2, 1/2), onde k = k 1 + · · · + kn. Mas esta distńbui<;:ao e x2 (k) por defini<;:ao. Demonstra~o.
Podemos tamhem aplicar o Teorema 3 para obter a distribui<;:ao da razao de duas variaveis aleatórias independentes Y 1 , e. Y 2 tendo distńbui<;:ao x2 (kt) 168
e . x2 (k2 ) respectivamente. E tradicional em estatistica expressar os resultados em termos das variaveis normalizadas Ytfk 1 e y2 /k 2 • A distribui~ao de
e conhecida como
distribui~lfo
sentada por F( k 1 , k 2 ).
F com k 1 e k 2 graus de liberdade, sendo repre·
Teorema 8. Sejam Y1 e Y 2 variaveis aleatórias independentes tendo distribui~oos x2 (kd e x2 (k 2 ). Entlfo a variavel aleatória Ytfk , __ 1
Y2/k2 que tern a distribui~ao F(k 1 , k 2 ), tern densidade f dada por f(x) para x ";;;;;O e (39)
O
X> O. Demonstra~o.
Pelo Teorema 3 a variavel aleatória YtfY 2 tern densidade com a 1 = kt/2 e a 2 = k 2 /2. Assim a densidade
e dada por (24) k 2 Ytfk 1 Y 2 e dada por
g, on de g
f de
=
e (39) segue-se de (24 ). Podemos aplicar este resultado as variaveis aleatórias X 1 , ••• , X n defmidas no inicio desta se~ao. Suponha que l ";;;;;m< n. Pelo Teorema 4 as variaveis aleatórias e
x~+l
+ . .. +
x~
a2
sao independentes. Como elas tern distribui~ao mente, vemos que a variavel aleatória
x2 (m )
e
x2 (n
- m) respectiva-
(XI + · · · + X~ )/ m (X~+l + .. · + X~ )/(n-m)
tern a distribui~ao F(m, n - m) e a densidade dada por (39), onde k 1 = m e k 2 =n- m. Tabelas das distribui~5es F sao dadas no Volume II.
169
O caso m= l e especialmente importante. A variavel aleatória
(X~
+ · · · + Xh )/(n- l)
tern distribuiyao F(l, n - 1). Podemos usar es te fa to p·ara o bter a distribuiyao de
Y= Como
xl
aleatória
xl
J (X~
+ · · · + Xh )/(n- l)
tern urna funyaO de densidade simetrica e e independente da variavel
J (X~
+ · · · + Xh )/(n - l). Segue-se facilmente do Teorema 2 do
Capituło 5 que Y tern urna funcao de densidade simetrica fy. De acordo com o Exemplo 5 do Capituło 5, a densidade fy 2 esta relacionada com f y atraves de
fy•(z) =
·
1
;-:: (fy(-yz)+ fy(Vz)),
z>O.
2vz
Usando,,a simetrica de fy e fazendo z= y 2 vemos que
Y 2 tern a densidade F(l, n - l) k 2 = k = n - l, o bternos
Como
dada por (39) com
k1
l
e
_Lyj_(} /k) r[(k +_ 1)/2] (y / k)_-~ = f(l/2) f(k /2) [l + (y2 /k)]
fr(Y)
Como r(l/2) (40)
= v'1T,
fr( Y)
=
esta expressao se reduz a
r[(k
'~ -~
+ 1)/2] [1 + (y 2f k)r(k+l)fl -- - --
J krr f(k/2)
'
- oo < y < co.
Diz-se que urna variavel aleatória cuja densidade e dada por (40) tern distribuiyao t com k graus de liberdade. Observamos que a distribuiyao t com l grau de liberdade e a distribuiyao de Cauchy discutida no Capituło 4. Tabelas das distribuiyoes t sao dadas no Volume II. A distribuiyao da variavel aleatória
Y=y (X22 170
2 +· · ·+Xn)/(n-l)
'
que e urna distribuic,:ao t com (n -
l) graus de liberdade depende apenas do
fa to de que e
X~ +···+X~ a2
f
sao indepen dentes e tern distribuic,:ao n(O, l) e ternos o seguinte resultado.
x2 (n -
1), respectivarnente. Assirn
leorema 9. Sejam X e Y variaveis aleatórias independentes com distribuic,:ao n (O, l) e x2 (k), respectivarnente. Entao X
.JY7k tern distribuic,:ao t com k graus de liberdade.
6 .. :\fUDAN<;AS MULTIDIMENSIONAIS DE VARIAVEIS* Sejam X,, .. . , X n variaveis aleatórias tendo densidade eonjunta f. Sejarn Y 1 . . . , Y n variaveis aleatórias defmidas ern termos de X~ N es ta sec,:ao discu- . tiremos urn metodo para obter a densidade eonjunta dos Y ero termos de f. ConsiC.eraremos principalmente o caso ern que se defmern os Y corno func,:oos lineares de X . S ponha entao que
Yi =
L"
auXi,
i= l, .. . , n.
j= 1
Os coe - · nres eonstan tes a i i de terminaro urna rnatriz n x n
- ~;:a 2.
es- matriz esta o seu determinante det A
Se -' ~: A = D. existe urna unica rnatriz inversa B e ~-= ·~==-::.e::::.e ~
L"
k=l
l, bikaki = {O,
= [ b;j ] i
=
tal que BA =I ou
j,
i i' j . 171.
•
l Pode-se o b ter as eonstantes bij resolvendo para eada i o sistema (41) de n equa· 90es a n ineógnitas bi 1 , • • • , b i~· Alternativamente, as eonstantes bij podem ser unieamente definidas exigindo que as equa96es Yi
=
n
L
j=l
i
aijxi,
= l, ... , n,
tenham solu96es n
(42)
xi Teorema 10. Sejam X 1 ,
= L
j=l
• •• ,
i= l, ... , n.
bijyi,
X n variaveis aleatórias ten do densidade eonjunta
f e suponha que as variaveis aleatórias
Y1 ,
n
.
Yi =
L
j= l
aijxi ,
i
. •• ,
Y n sao definidas por
= l, . . . '
11,
onde a matriz A = [ a ij ] tern determinante nao-nulo de t A. En tao Y 1 , ••• , Y n tern a densidade eonjunta f y, , .. . ,f y n dada por
(43)
fr,, ... ,Y"(yl, · · ·, Yn)
=
l jdet
Al
onde os x sao defmidos em termos de y unieadasequa96es Y i = LJ=l ai jx j.
f(x l, · · ·' Xn),
por (4 2) ou eomo a solu9ao
Este teorema, que nao sera demonstrado aqui , e equivalente ao teorema demonstrado em eursos avan9ados de ealeulo em urn eontexto rnais geral envolvendo " Jaeobianos". Do resultado geral dernonstrado em caleulo avan9ado , podernos estender o teorerna acima a mudan9as nao-lineares de variaveis. Descreveremos brevemente esta extensao . embora ela nao seja necess
Considere as equa96es eorrespondentes (44)
i =l , .. . , n .
Suponha que estas equa96es defmem unieamen te os x em termos de y, q ue as derivadas parciais oy if oxi existem e sao continuas e que o Jaeobiano
DY1 DX t
q~ DXn
DYn DX!
DYn DXn
J(xl , . .. ' xn)
e sempre
nao-nulo. Entao as variaveis aleatórias Y1 , tern urna densidade eonjunta dada por
••• ,
Y n sao eontinuas e
172
........................................... ~
(45 onde os x
es re,
g ; sej -
sao definidos implicitamente em termos de y por (44). Pode-se m.ais esta fórmula de mudan~a de variavel, exigindo que as fun~5es ....... Luu•=-> , apenas em algurn subconjunto aberto S de Rn tal que
No especial em que Y; = 2.:}= 1 a;jxj, vemos que 3yżl3xi = .a;j e J x 1 , . •• x e simplesmente a eonstan te de t A = de t l a ij 1. Assim, torna-se laro q e ( 4 - se reduz a (43) no caso linear. Ex empi o 13. Sejam X 1 , • • • , X n variaveis aleatórias independentes, cada nsidade exponencial de parametro A. Defina Y 1 , • •• , Y n por urna om Y; = X 1 -r · · • + X;, l ";;;; i ";;;; n. Obtenha a densidade eonjunta de Y1 , ••• , Y n· A
triz [aij]
e
o
o
[! Seu determinante
e claramente l.
As
equa~oes
i= l, ... , n,
Y;=XI +·.·+X;,
tern a solu ao
X;=y; -Yi-1• A ensida e eonjunta de XI' . .. 'X n
(46 )
(x
·
l • .. . '
xn) =
f
e dada por >O n ' para outros valores de x 1 ,
)."e-).(x,+·· ·+x.,)
\O,
fr" .... d
X
'
Assirn a densidade conjun ta f y 1 , ••• , y n
4 )
i= 2, ... ,n.
• •• ,
xn
e dada por
f J."e-J.y.,,
Yt · ···•Yn)= \0,
X
l' . . . '
O < Y l < ... < Yn, paraoutrosvaloresdey 1 ,
•..
,yn
:\aturalmente podemos aplicar o teorema ern sentido inverso. Assirn se , Yn tern a densidade eonjunta dada por (47), e as variaveis aleatórias , Xn sao defmidaspor X 1 = Y 1 e X;= Y;- Y;_ 1 para 2 ";;;·i";;;; n, entao os X tern a densidade eonjunta dada por (46). Em outras palavras, X 1 . . . • , X n sao independentes, cada urna com distribui~ao exponencial de parametro ń. . saremos este resultado no Capituło 9 na discussao de processos de Poisson. Y 1 . .•• X 1 •••.
173
Exercicios l. Sejam X e Y variaveis aleatórias con tinu as ten do fu n~ao de de nsidade eonjunta f. Obtenha a fun~ao de distribui ~ ao eonjunta e a fun ~ ao de densidade eonjunta das variaveis aleatórias W = a + b X e Z = c + d Y, on de b > O e d > O. Mostre que se X e Y sao independentes, entao W e Z sao independentes.
2. Sejam X e Y variaveis aleatórias cont inuas tendo fu n~ ao de distribui~ao eonjunta F e fun~ao de densidade eonjunta f. Obtenha a fun ~ao de distribui~ao eonjunta e a fun~ao de densidade eonjunta das va riaveis aleatórias W= X 2 e Z = Y 2 • Mostre que se X e Y sao independe ntes, entao W e Z sao independentes. 3. Sejam X e Y variaveis aleatórias independen te s. cada urna com uniforme em (0 ,1). Obtenha
distribui~ao
(a) P(IX- Yi <>;; 0,5), (b)
P( j ~
- 1/ :<; 0,5) ,
(c) P(Y ;;;. XI Y ;;;. I/2) . 4 . Sejam X e Y variaveis aleató ri as independentes , cada urna com distribui~ao normai n(O , a2 ) . Obtenha P(X 2 + Y 2 <>;; l). Sugestiio: usar coordenadas polares. 5. Suponha que X e Y tern urna densidade eonjunta f uniforme no interior do trifulgulo com vertices e m (O, 0), (2, O) e (l, 2). Obtenha P(X <>;; l e Y<>;; l). 6. Suponha que os teropos que dois estudantes levam para resolver urn probierna sao independentes e se distribuem exponencialmente com parametro "A. Deterrnine a probabilidade de que o primeiro estudante necessite pelo menos do dobro do tempo gasto pelo segun do estudante para resolver o problema. 7. Sejam X e Y variaveis aleatórias continuas tendo fu n~ ao de densidade eonjunta dada por f (x, y) = "A 2 e- ń.y, O<>;; x <>;; y, e f(x , y) = O para outros valores de x e y . Obtenha as densidades marginais de X e Y. Obtenha a fun~ao de distribui~ao eonj unta de X e Y . 8. Seja f(x , y) de x e y .
= c(y
- x)a, O<>;; x
<>;; l , e f(x , y)
=O
para ou tros valores
(a) Para que valorcs de a se pode escolher c para fazer de f urn a fun ~ ao de densidade? (b) Como se deve escolher c (quando possivel) parafazer de f urna densidade? (c) Obtenha as densidades marginais de f. 9. Seja f(x , y)= ce-
174
2
l O. Sejam X e Y variaveis aleatórias continuas independentes ten do densidade eonjunta f. Derive urna fórmula para a densidade de Z= Y - X. 11. Sejam X e Y va riaveis aleatórias continuas independentes tendo as densidadeś marginais especificadas abaixo. Obtenha a densidade de Z= X+ Y. (a) X e Y distribuem-se exponencialmente com parametros A1 e A2 , on de
A1 = i\2 ·
e uruforme em (O, l ) e
(b) X
12. Suponha que Obtenh
Y distribui-se exponencialmente com parametro X.
X e Y tern a densidade eonjunta f
dada no Exercicio 8.
densida de de Z = X + Y.
13. Suponh que X e Y sao independentes e distribuem-se uniformemente em (a. b). Obtenha a densida de de Z= l Y - X 1.
_:r
1-L Sejam Derive
e Y vari aveis aleatórias contlnuas tendo densidade eonjunta -órmula para a densida de de Z= aX +bY, on de b i= O.
15. Seja ; - urna densida de Be ta de parametros a: 1
f
>
l e a: 2
>
f.
l. Em que ponto
assurn" o seu \'alor maximo?
16. Seja.-:1 X e }' vamiveis aleatórias independentes, tendo as densidades normais n~ - 1 . G ! e n · 1 , a~), respect ivamente. Obtenha a densidade de Z= Y- X. q.!" se escolhe aleatoriamente urn ponto no plano de tal forma que
s· < :-oo- nadas se distribuem independentemente segundo a densidade normai n O. G: _ Ob enha a fun~ao de densidade da variavel aleatória R que representa a
· ----~ - ~ ·o ponto escolhido a origem. (Esta densidade ocorre em engenharia -' -;;:-_ se. 'o onhecida como densidade de Rayleigh).
l . Sej a.- X e }. rariaveis aleatórias continuas tendo densidade eonjunta De ·."a :ó:-wula para a densidade de Z= X Y. 19.
X " Y variaveis alea tórias independentes, cada urna com a densidade
~--
t:
_o.
f.
ex c_:'-:·.
O. a:). \!ostre que tanto
Y/X como Y/lXI tern a densidade
SeJ=u X
e Y defini dos como no Exercicio 19. Obtenha a densidade de
Z= Y
;r .
::! l. Sejam X e Y d u as variaveis aleatórias indepeildentes, c a da urna com distribui~ao ex ponencial de parametro A. Obtenha a densidade de Z= Y/X. 21. Sejam X e Y duas variaveis aleatórias independentes tendo as densidades gama r(a: 1 , A) e r(a: 2 , X), respectivamente. Obtenha ,a densidade de Z= X / (X + Y) . Sugesttio: expresse Z em termos de Y/X. 23. Suponha que X e Y tern a densidade eonjunta a densidade condicional f YIX em cada caso. (a) (b) (c)
f f f
f
indicada abaixo. Obtenha
como no Exerclcio 7, como no Exerclcio 8, comono Exerclcio 9. 175
....c X
~
Y se dis tribuem como as variaveis definidas no Exemplo 7 .
. ·=-"e P Y ~ - I X= l).
- . iosrre que a densidade marginal f y no Exemplo 9 e binomial negativa com parametros a: e p = {3 /(13 + 1). Sugestiio: use a fórmula (36) do Capituło 5.
2.6. Seja Y urna variavel aleatória discreta tendo a distribui9ao binomial de panimetros n e p. Suponha que p se comporta como urna variavel aleatória rr ten do a densidade Beta de parametros a: 1 e a: 2 • Obtenha a densidade condi· cional de rr, dado Y= y. 27. Suponha que Y se distribui exponencialmente com parametro A. Suponha que A se comporta como urna variavel aleatória A tendo a densidade gama f(a:, {3). Obtenha a densidade marginal de Y e a densidade condicional de A dado Y=y.
28. Suponha que XI , x2' e x3 representarn os componentes da velocidade de urna molecula de gas. Suponha que XI ' x2 e x3 sao independentes, cada urna com densidade normai n (O, a 2 ) . Diz-se e m fisica que a magnitu de da velocidade Y = (Xi + X~ + X D \6 tern urna distribui9ao de Maxwell. Obtenha [y. 29. Sejam X 1 , • • • , X n variaveis aleatórias independentes ten do urna densidade normai comum. Mostre que existem constantes A n e B n tais que
tern a mesma densidade de X 1 •
30. Sejarn X I , x2 e x3 variaveis aleatórias independentes , individualmente uniformesem (O, l ). Obtenha a densidade da variavel aleatória Y = X 1 + X 2 + X 3 . Determine P(X1 + X 2 + X3 ~ 2). 3 1. Suponha que se escolhe X 1 uniformemente em (O , l ), X 2 uniformemente em (0 , X 1 ) e que se escolhe X 3 uniformemente em (O, X 2 ). Obtenha a densidade eonjun ta de X I , x2 e x3 e a densidade marginal de x3. 32. Sejam U 1 , . • . , Un variaveis aleatórias indepen dentes, cada urna com distri· bui9ao uniforme em (0 , l ). Sejam X b k = l , .. . , n , e R definidos como na Se9ao 6.5. (a) Obtenha a densidade eonjunta de X 1 e Xn. (b) Obtenha a densidade de R. (c) Obtenha a densidade de X k. 33. Sejam U 1 , • . . , U n variaveis aleatórias in de pendentes, cada urna com densidade exponencial de parametro A. Obtenha a de nsidade de X 1 = min ( U1, . . . , Un) . 34. Obtenha urna fórmula para a densidade 176
x2 (n).
f
35 . Sejam X e Y variaveis aleatórias independentes tendo as densidades x2 (m) e 2 (n . respe tivamente. Obtenha a densidade de Z= X/(X + Y). Sugestiio: use a r~sposta do E..xercicio 22. 36. Sej X e Y \·ariaveis aleatórias independentes, cada urna com a densidade noc::n.ai -o. O tenha a densidade eonjunta de aX + b X e b X- a Y, on de ; - . : > O. Cse este resultado para dar urna outra demonstrac;ao ao T re;r:.a:...
37. Sej"
·aveis aleatórias independentes com densidade comurn eonjunta de X e Z= X+ Y.
ex Z =X -
39. R 40.
- = :.
·a,·eis aleatórias independentes, cada urna com a densidade - euo 'A. Determine a densidade condicional de X dado 5ugestao: use o resultado do Exercfcio 37.
para o caso em que X e Y se distribuam uniforme-
-~
s
~
de
J- sao variaveis aleatórias independentes, cada urna com cl
(a) (b) (
-o. Seja Z = p U+
l - p 2 V, on de - l
< p < l.
de Z. ..._;_""",.....~ -onjunta de U e Z. onjunta de X=p 1 +a 1 U e Y=p 2 +a2 Z, onde Esta densi dade e conhecida como densidade normai
'
o dicional de Y dado X= x.
41. Sej -
_"
~
~ ~
J
....,.~.,..'-""'-=
(dJ
q
f.
Y.-
~
,.
2!..-iź;e · -
=
alea órias continuas positivas com urna densidade
Y X e Z = X + Y. Obtenha a densidade eonjunta :. Sugest.iio: use a Equac;ao (45).
ea órias indepen dentes tendo as densidades gama respe ·,·amente. Use o Exercicio 41 para mostrar _,- - F --o · :ia·:e·- rueatórias independentes.
r -:. . .
43 . Sej de
e :órias independentes tais que R tern a densidade
f- r
=
O.
r ~O, r
e
. tri ui uniformemente em (-rr. rr). Mostre que X= R cos e Y = R sen 8 sao ,·ariaveis aleatórias independen tes e que cada urna tern a densidade normal n(O, a 2 ). Sugestiio : use a equac;ao (45).
e 8
se
177
EXPECT ANCIAS E O TEOREMA DO LIMITE CENTRAL l
......"_
Nas primeiras .quatro se-;:oes deste cap!tulo estudamos a defini-;:ao e propriedades das expectiincias de variaveis aleatórias que nao sao necessariamente discretas. Na Se-;:ao 7.5. discutimos o Teorema do Limite Central. Este teorema, urn dos mais importantes na teoria da probabilidade , justifica a aproxima-;:ao de muitas fun-;:oes de distribui-;:ao pela fun-;:ao normai apropriada.
7.1. EXPECTANCIAS DE VARIAVEIS ALEATÓRIAS CONTiNUAS Lembrem as a defini-;:ao e expectiincia de urna variavel aleatória discreta X de densidade f (Capftulo 4). Dizemos que X tem expectiincia finita se Lx lx l f(x ) < =, e neste caso definimos sua expectiincia EX, como EX=
L xf(x). X
A maneira mais facil de definir expectiincias de variaveis aleatórias contfnuas que possuem de nsidades e em analogia com o caso discreto. Definiyao l . Seja X urna variavel aleatória continua de densidade que X tem expec tiincia finita se
J:
x
JxJ/(x) dx <
f. Dizemos
e neste caso definimos sua expectiincia por meio de EX
=
J:oo xf(x) dx.
Usan do esta defini-;:ao, podemas calcular facilmente as expectiincias de variaveis aleatórias contfnuas tendo as diversas densidades discutidas nos Capftulos S e 6. Exemplo l. Suponha que X se distri bu i uniformemente em (a, b). En tao
a + b 2
Exemplo 2.
Suponha que X tern a densidade gama r(o:, X). Entao
=
A."'
r(cx)
f'Xl
Jo
A."' r(cx
r(cx)
x"'e-J.x dx
+ l)
A."'+ l
(X
= ~·
onde usamos as fórmulas (34) e (36) do Capituło 5. Fazendo o: = l vemos que se X tern urna densidade exponencial de panimetro X, entao EX= X-l. Exemplo 3. Suponha que X tern a densidade de Cauchy f dada por l
-oo
Entao X nao tern expectancia finita, pois
f'"
- ro
lxl
rr( l
l
+
-- dx
x 2)
21""o l + x
rr
-2 lim rr e- ro
!
dx
-X-2
= -
lc +
x - -dx o l x2
!im log (l
1! c _. oo
+
x 2 )1co
= 00.
7.2. UMA DEFINI(:AO GERAL DE EXPECT ANCIA A definiyao de expectancia dada na Seyao 7.1 e certamente apropriada do ponto de vista computacional para o caso de variaveis aleatórias continuas que possuem densidades. Entretanto , para definir expectancia em geral e melhor estender a no9ao de expectancia diretamente do caso discreto ao caso geral. Os detalhes precisos requerem conhecimentos adicionais da teoria da medida e integra9ao. Vamos supor em nossa discussao que todas as variaveis aleatórias em considerayao sao definidas em urn espa9o fixo de probabilidade (D., d , P).
Sejam X e Y variaveis aleatórias discretas tais que P( l X - Y l ..;;:; E) = l para algurn E> O. Segue-se dos Teoremas 2 (iii) e 3 do Capituło 4 que se Y tern expectancia finita, X tamhem a tern e l EX - EY l ..;;:; E. Segue-se tambem que se Y mło tern expectancia fmita , X tamhem nao tern. Quando se define expectancia em geral , estas propriedades devem continuar sen do va.Jidas.
o
, te
.
Suponhamos que este e o caso e seja X urna variavel aleatória qualquer. Suponha que desejamos calcular EX com erro nao superior a e, para algurn e > O. Tudo que precisamos fazer e obter urna variavel aleatória discreta Y tal que P( l X - Y l ~ e) = l e determinar EY de acordo com os metodos do Capituło 4.
E facil obter tais aproximat;:oes para X. Seja 1
r
X E a variavel aleatória discreta-
definida por
(l)
e'k ~X< e(k + l) para k inteiro.
se
X E= ek
Pode-se tambem definir esta variavel aleatória em termos da funt;:ao de maior inteiro [ ] como XE =e(X/e]. Se e= 10-n paraalguminteironao-negativo n, XE(w) pode ser obtido de X(w) escrevendo X(w) em forma decimał e desprezando todos os digitos que estiverem a n ou mais casas alem do ponto decimal. Segue-se imediatamente de (l) que X( w)-
e portanto P( l X- X € fx.(x)
l
e< Xe(w) ~X( w),
~e)=
= {~(ek ~
X
w E
n,
l. A funt;:ao de densidade de X E e dada por
< e(k + 1))
se x = e k para k inteiro para outros valores de x.
A variavel aleatória X E tern expectancia fmita se e somente se
L lxlfx.(x)
=
L lekiP(ek
=
L t:kP(ek
X
~ X < e(k
+
l)) < co,
k
neste caso EX,
~ X
< e(k
+
1)).
k
Pode-se escrever estas expressoes em termos de F x. Para P(ek~X
l))= P(X
e pela Equat;:ao {5) do Capituło 5, P(X
< x)
= F(x-) se verifica para todo x.
O teorema seguinte, que enunciamos sem demonstrar, sera usado para dar urna
!'
definit;:ao geral de expectancia.
Teorema l. Seja X urna variavel aleatória e suponha que X e, e> O, seja definido por {l) . . Se XE tern expectancia fmita para algurn e> O, entao Xe tern expectancia fmita para todo e·> O e lim EX, ,~co
existe e e finito. Este teorema e a nossa discussao precedente sugerem a seguinte defint;:ao geral de expectancia. 181
Defini~o 2. Seja X urna variavel aleatória e suponha que X E E > O. scj defmido por (1). Se X E tern expectancia finita para algurn E > O, dizernos q e X tern expectancia fmita e defmirnos sua expectancia EX atraves de
EX= !im EX, .
,-o
No caso contrario dizemos que X nao tern expectancia fmita. Da discussao que precede o Teorema l segue-se que a definic;ao de EX pode ser dada em termos da func;ao de distribuic;ao de X e que se duas variaveis aleatórias tern a mesma fun9ao de distribui9ao, suas expectancias sao iguais (o u ambas nao sao finitas). Usando tecnicas da teoria da medida e integrac;ao, pode-se mostrar que a Defmi9ao 2 conduz aos mesmos valores que as defmic;oes anteriores para os casos em que X e discreto ou quando X e urna variavel aleatória continua que possui urna densidade. Existe urn analogo do Teorema l do Capituło 4 que enunciamos sem demonstra9ao. Neste teorema, cp pode ser qualquer func;ao do tipo considerado em calculo.
Teorerna 2. Sejam X 1 , • . • , X n variaveis aleatórias continuas ten do densidade eonjunta f e seja Z urna variavel aleatória definida em termos de X 1 , ••• , X n atraves de Z= cp(X 1 ,. _ . , X n). Entao Z tern expectancia finita se e somente se
e neste caso EZ
=
J~""
J_""co cp(x
1 , ..• ,
x.)f(x 1 ,
... ,
x.) dx 1
• • •
dx •.
Podemos mostrar que as propriedades basicas da expectancia demonstradas no Capituło 4 para variaveis aleatórias discretas sao vilidas em geral. Em particular os Teoremas 2, 3 e 4 do Capituło 4 sao vilidos e serao usados livremente. Como no caso discreto , nos referimos , as vezes, a EX como media de X. As defmic;oes de momentos , momento central , variancia, desvio padrao , covariancia e correlac;ao dadas no Capituło 4 para variaveis aleatórias discretas dependem somente da noc;ao de expectancia e estendem-se imediatamente para o caso geral. Em geral, como no caso discreto , se X tern urn momento de ordem r, entao X tern urn momento de ordem k para todo k !!( r. Os Teoremas 6 e 7 do Capitulo 4 sao tamhem validos em geral. O leitor deve rever os teoremas e defini<;5es mencionadas no Capituło 4 antes de prosseguir para a se9ao seguinte. 7.3. MOMENTOS DE VARIAVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS Seja X urna variavel aleatória continua tendo densidade f e media 11 _ Se X tern urn m-esimo momeńto finito , entao pelo Teorema 2 182
\l
J_"'x
EX" =
x"'f(x) dx
e
Em particular, se X tern segundo momento finito, sua variancia ·o 2 e dada por
Observe que o 2 > O. Pois se o2 = O, teriamos pelo argumento da Sec;:ao 4.3 que P(X = J1) = l, o que contradiz a hipótese de que X e urna variavel aleatória continua.
Exemplo 4. Suponha que X tern a densidade gama r(Q, A.). Obtenha os momentos e a variancia de X. O m-esimo momento de X e dado por
de modo que pelas fórrnulas (34) e (36~do Capituło 5
(2)
EXm = }."r(m
+ ex)
;.m+~r(cx)
+
ex(ex
l) · · · (ex
;.m
+ m -
l)
A variiincia de X e dada por
o2 = EX2 - (EX)2
=
Q
(a +2 l) -(A.Q)2 A.
Fazendo Q = l, vemos que se X tern densidade exponencial de parametro A., en tao EX m = m! A.- m e X tern variancia A.- 2. Com o urn segundo caso especial, suponha que X tern a distribuic;:ao x2 (n) que, de acordo com a Sec;:ao 6.6, e a distribuic;:ao r(n/2, 1/2). Entao
EX= n/ 2 =n 1/2
e
n/2 Var X= (1/ ) 2 = 2n. 2 183
Freqiientemente podemos tirar partido da silnetria na determina~ao de momentos. Por exemplo, se X tern densidade simetrica, se Exm existe e se m e urn nfunero inteiro positivo irnpar, entao Exm = O. Para verificar este resultado, observe que pelo Teorema 2 do Capituło 5, X e -X tern a mesma fun~ao de distribui~ao. Assim xm e ( -X)m = -xm tern a mesma fun~ao de distribui~ao e conseqtientemente a mesma expectancia. Em outras paiavras Exm = E(- xm) = - Exm, o que implica em EXm = O. Exemplo S. Suponha que X tern a densidade normai n(J.l, a 2 ). Obtenha a media e os momentos centrais de X. A variavel aleatória X- J.l tern a densidade normai n(O, a 2 ), que e simetrica. Assim E(X - J.l )m = O para todo numero inteiro positivo impar m. Em particular E(X- J.l) = O, o que mostra que o parametro J.l da densidade normai n(J.l, a 2 ) e simplesmente a media da densidade. Segue-se entao que todos os momentos centrais de ordem impar de X sao iguais a zero. Para determinar os momentos centrais de ordem par, lembramos da Se~ao 5.3.3 que Y= (X- J.l) 2 tern a densidade gama f(l/2, l/2a 2 ). Como E(X- J.l)m = EYmf 2 , para m par, segue-se do Exemplo 4 que
r(T) (2~ 2 r
12
r
(D
~·~···(Y) )m/2
_l (
2a 2
aml · 3 ···(m -
Usaodo as fórmulas (35) e (38) do
Capituło
1).
5, obtemos a fórmula aiternativa
(3)
Em particular a 2 representa as variancias de X e E(X- JJ-) 4 = 3a 4 • Sejam X e Y variaveis aieatórias continuas tendo densidade eonjunta [, me dias J.lx e J.l y, e segundos momentos finitos. Sua covariiincia e dada por
(4)
E(X -' Jlx)(Y - Jly)
=
f~"' f~"' (x
- Jly)(y - Jlr)f(x, y) dx dy.
Exemplo 6. Suponha que X e Y tern a densidade eonjunta f do Exemplo 2 · do Capituło 6. Obtenha a correla~ao entre X e Y. De acordo com o Exemplo 2 do CapituJo 6. 184
f( x , y)
=
4:
e-[ (x2-.ry+y2) f 2l
_ - 3e -3x2 f 8 e -[(y-x/ 2)2 / 2] . 4n l
l.
Vimos naquele exemplo que tanto X como Y tern a densidade normai n(O, 4/3). Assim !J x =p y = O e Var X= Var . Y·= 4/3. Da Equa9ao (4) e da segunda expressao de f ternos Ex Y
3 = --
2J2;r
f"'
xe -(3x
2/8)
-oo
- oo
f"'
.
· Mas
f"'
dx
l -((y-x/2)2 / 2] d y -=e yJ 2n
l e -[(y-x/2)2/2] d y. y -=
J2n
-oo
f"' (u+-X) -= l e -oo
·
-(u2f2)
2 J2n
d u-- X ,
2
de modo que EXY
=
f"'
1
2
(J3)
1/2
f:"'
J2n
x 2 e-(3x
2
/ Sl
dx
-oo
2
x n(x; O, 4/3) dx
1/2.4/3 = 2/3. A correla9ao p entre X e Y p
=
e dada por
EXY v'Var X v'Var Y
2/3
i 2
Exemplo 7. Sejam U1 , • • • , U n variaveis aleatórias independentes, cada urna com distribui9ao uniforme em (O, l) e seja
e
Obtenha os momentos de X e Y e a correla9ao entre X e Y. Estas variaveis aleatórias foram estudadas na Se9ao 6.5 (on de foram representadas por X1 e Xn). Especializando os resultados daquela se9ao para U; que se distribuem uniformemente, concluimos que X e Y tern a densidade eonjunta f dada por
185
T f(x, y)
(5)
= {~~n-
0 ::::; X ::::; Y ::::; l , outros valores de x e y .
l)(y- xy-2,
Os leitores que ornitiraro a Seyao 6.5 podem pensar no presente probierna como o de obter a correlayao entre as variaveis aleatórias X e Y cuja densidade eonjun ta
e dada por (5).
e dado por
O m-esimo momentode X
EXm = n(n - l)
=
n( n - l)
=
n
f
s:
xm dx
l
xm dx
l
o
f
(y - xY-
2
dy
(y _ x)"-1 \y=l n - l
1
y=x
xm(l - xY- 1 dx.
A integral defmida que aparece nesta expressao e urna integral Beta e foi determinada na fórmula (19) do Capituło 6. Daquela fórmula obtemos
EXm = nr(m + l)r(n) = m! n! r(m + n + l) (m + n)! Em particular EX= 1/(n + l) e EX 2 = 2/(n + l)(n + 2). Segue-se que V ar X= (EX 2 O m-esimo momento de Y
)-
(EX ) 2 = _ _ _ n_ _ (n+l ) 2 ( n+ 2).
e dado por Y
EY
= n( n -
l)
l)
n(n -
n
o
o
l
y"' d y
J O
y m+ n-1
o
( y - x)"- 2 d x
(
r - 1(
ym dy Y - x n - l
l) lx=y x =O
dy
n
m+ n Assim EY = n f(n + l) e Var Y= _ n_
n+ 2
-
Alternativamente, estes resultados podem ser obtidos das densidades marginais
de X e Y. Para obter a covariancia de X e Y comeyamos com 186
f J:
= ·n(n - l)
EXY
x(y - x)"-
y dy
2
dx.
Com o x(y -x)n-2 =y(y -x)n-2 -:-(Y - x)n-1,
,obtemos EXY
= n(n - l ) (
1
Jo
- n(n - l)
n( n - l)
= ·
i
l
O
- n(n - l)
=
f
11
e
(y - x)"- 2 dx
. Jo
/
dy
f J: y dy
(y - x)"-
1
dx
2 (Y - X)"- l ( - l) l' X= Y Y dY · ·n-1 x=O
l
i
o
y dy
(y - x)"( -l) lx=y ·- n x=O
y"+ 1 dy - (n- l)
J:
y"+
1
dy
+2
n Conse que n temen te
Cov (X, Y)
=
EXY - EXEY
n. = - - · - -- -2 n
+
2
(n
+
1)
l
Finalmente obtemos para a correla~ao entre X e Y Cov (X, Y)
p=
· .Jvar X Var Y
=
(n + l)!(;+ 2) / (n +
l)~(n + 2)
l n
r
.4 . EXPECf ANCIA CONDICIONAL Sej arn X e Y variaveis continuas tendo densidade eonjunta f e suponha que Y em expectancia finita. Na Se~ao 6.3 definimos a densidade condicional de Y dada X = x atraves de
187
fr1xCY
l x)
=
(
f(x, y) fx(x) '
O,
O < fx(x) < oo,
para outros valores de x e y .
A funs:ao fy 1x(y l x), - 00 < y < oo, e urna funs:ao de densidade para cada x tal que O< fx(x) < oo de acordo com a Definis:ao 5 do Capituło 5. Assim podemos pensar em varios momentos desta densidade. A sua media chama-se expecttincia condicional de Y dado X= x, sendo representada por
E[ Yl (6)
E[Y
X~x]
ou E[ Y l x ]. Assim
l X = x] = f_"""" yf(y l x) dy
=
s~ oo )f(x, y) dy
fx(x) quando O < f x (x) < 00 • Para outros valores definimos E [ Y l X= x ] = O. A funs:ao defmida por m(x) = E[ Y l X = x ] chama-se em estatistica funriio de regressiio de Y sobre X. Como veremos no Volume II, as expeetancias. condicionais oeorrem em problemas estatisticos que envolvem predi93o e estimas;ao bayesianas. De urn ponto de vistamais geral, elas saotamhem importantes na teoria avans;ada de probabilidade. Nos lirnitaremos a algumas aplieas;6es elementares de expeetaneias condicionais. A teoria geral e bastan te sofistieada e nao sera requerida neste livro. Exemplo 8. Suponha que X e Y tern a densidade eonjunta do Exemplo 2 do Capituło 6. Obtenha a expectancia condicional de Y dado X= x. X=
X
No Exemplo 7 do Capitulo 6 vimos que a densidade condicional de Y dado e a densidade normai n(x/2, l) que sabemos ter media x/2. Assim
Neste exemplo a variancia eondieional de Y dado X= x e a constante l. Exemplo 9. Sejam X e Y variaveis aleatórias ten do densidade eonjunta f · dada por (5). Na ses;ao precedente detenninamos vanos momentos envolvendo X e Y. Deterrninaremos aqui a densidade condieional e a expeetaneia condicional de Y dado X=x. A densidade marginal de X e dada por
fx(x)
=
n(n -
l)
f
(y -
x)n~l dy 0 ::;;
e fx(x)=O paraoutrosvaloresde 188
X.
X ::;;
l,
Assimpara o.;;;;x< l,
(n -
f(ylx)=
Conseqiientemente, para E[Y
lX
=
x] =
(
O,
l)(y - xt- 2 (1-xt - 1
Y < l,
~
para outros valores de y . .
< l,
O~ x
J:ro yf( y l x) dy
L L 1
=(n - l)( l - x) 1 -" =
X
'
(n - 1)( 1 - x) 1-"
1
y(y - x)"- 2 dy [( y - x)" - 1 + x(y- x)"- 2 ] dy
[(l-
= (n- 1)(1- x)l -n
x)"
+
n
=
1)(1 - x) n
(n -
+
x(1- x)"-1] n - l
x
+x
n- l n
As
vezes
e conveniente calcular a expectancia de
(7)
EY
=
J:ro E[ Y l X
Y de :acordo com a fórmula
= x]fx(x) dx.
Esta fórmula e urna decorrencia imediata de (6). Para
J:ro E[Y l X=
x]fx(x) dx
=
=
J:ro dx L: yf(x, y) dy
J:ro J:ro
yf(x, y) dx dy
= EY. Aplicando esta fórmula ao Exemplo 9, obtemos
EY =
f (n - ~ + x) e (l -
= n Jo
1
n(l -
x)"-
1
dx
/ )orl (l -
x)"- dx -
l
n
n + l
.n + 1
xt dx
=1- - - = - - ,
que esta de acordo com o resultado obtido no Exemplo 7. · Pode-se naturalmente defmir de urna forma semelliante as expectancias condicionais para variaveis aleatóńas discretas.
189
7.5. O TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Atraves de toda esta se~ao X 1 , X 2 , • representarao variaveis aieatórias independentes, identicamente distribuidas com media }1 e variiincia fmita nao-nula a 2 • Estaremos interessados em estudar a distribui~ao de S n = X 1 + · · · +Xn· Observe antes demais nada que S n tern media n}l e variiincia na 2 . Suponha a seguir que X 1 tern densidade f. Entao S n tera urna densidade · fsn para todo n ~ l, Sn. Como f s, =f, pode·se calewar sucessivamente _as outras densidades usando as fórmulas obtidas nos Capitu1os 3 e 6 para a densidade da soma de duas variaveis aieatórias independentes. Ternos que
fs"(x)
='L fs"_ ,( y)f(x
- Y)
Y
ou
conforme o tipo da variavel aieatória X 1 discreta ou continua. Para certas escolhas de f (por exemplo, binomiai, binomiai negativa, Poisson, normai e gama), podemes obter fórmulas simpies para fsw Entretanto , em geral ternos que recorrer a metodos numericos. Urn dos resultados mais importantes e extraordinarios da teoria da probabilidade e que , para vaiores grandes de n, a distribu i~ao de Sn depende essenciaimente da distribui~ao de X 1 apenas atraves de 11 e a 2 • Pode-se discutir mais facilmente este resultado em termos de variavel aleatória normalizada
S* = n
s. -
ES. Var s.
s.-
nf.J.
a) n
que tern media o e variiincia l. Para se ter urna ideia do comportamento da fun~ao de distribui~ao de s; quando n ~ ex> , consideremos iniciaimente urn caso especial em que a distribui~ao · exata de s; pode ser obtida facilmente. Suponha entao que X 1 tern a distribui~ao normai de media 11 e variancia a 2 • Entao, de acordo com os resultados do Capituło 6, s; distribui-se normalmente com media O e variiincia l , ou em outras paiavras, s; tern a fun~ao de distribui~[o normai padrao <1>. Suponha a seguir que X 1 a8sume os vaiores l e O com probabilidades p e l - p, respectivamente. Ent[o, como vimos no Capituło 3, Sn tern a distribui~[o binomiai de parametros n e p; isto e
P(S.
=
k)
= (~)
pk(l - p)"-k.
Foi descoberto por DeMoivre (1667-1754) e Laplace (1749-1827) que, neste caso, a fun~ao de distribui~ao de S~ se aproxima de <1>, a fun~ao de distribui~ao normai padrao, quando n~ ex> . 190
Houve mais recentemente diversas extensoes o teo:-e- :o _· _- -~ ::.:- - • Laplace, todas conhecidas como "teoremas do limite cen mais eonhecido desses resultados foi demonstrado por Lindebergem : Teorema 3 . Teorema do Limite Centra l. Sejam X I,
x2 . . .
tórias independentes, identićamente distribufdas com me dia fmita nao-nula a 2 • Seja S11 = X 1 + · · · +X11 . Entao
(8)
!im P n-HX:l
(S" Jnnf.J. :;:; x) n
=
- Co <
X
<
~
~.",..: ~=-
e
~7-.:-
CO.
(J
A generalidade deste teorema e extraordimiria. A variavel aleatória XI pode ser discreta, continua ou mista. Alem do mais, a conclusao e vilida mesmo que X 1 nao tenha nenhum momento alem do segundo. Outro aspecto bastante sur· preendente do teorema e que a distribui9a0 limite de independe da distribui9a0 especffica de X 1 (naturalmente desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas). Entretanto, nao devemos ficar surpresos com o fato de que ci> e esta distribui9ao limite, pois vimos que isto e verdade quando XI tern distribui9[0 normai ou binomial. A demonstra9ao do Teorema do Limite Central sera adiada para o Capituło 8, urna vez que ela requer tecnicas avan9adas ainda nao discutidas que envolvem fun96es caracteristicas. E possivel dar urna demonstra9ao elementar, porem, labariosa do teorema de DeMoivre-Laplace, o caso especial do Teorema do Limite Centralem que X 1 tern distribui9ao binomial. Existem maneiras elementares de tornar plausivel o Teorema do Limite Central, mas elas nao sao demonstra96es. Urna dessas maneiras e mostrar que se X 1 tern m-esimo momento fmito, entao para qualquer numero inteiro positivo m
S;
!im E "~ "'
(S" - nf.J.)m CJ) n
existe e e igual ao m-esimo momento da distribui9ao normai padrao. Neste estagio e mais interessante compreender o significado do Teorema do Limite Central e ver como podemas aplica-lo em situa96es tipicas.
Exemplo 10. Sejam XI' x2'.. . variaveis aleatórias independentes, identicamente distribufdas segundo urna distribui9ao de Poisson de parametro A. Entao, de acordo com os resultados do Capituło 4, J.J. = a 2 =A e S11 tern ~ma distribui9ao de Poisson de parametro n A. O Teorema do Limite Central implica em . p l lffi "~ "'
(s" l
n}, :;:;
v nA.
X
)
=
m( X, ) o.v
-oo
Pode-se es tender o re suita do deste exemplo e mostrar que se X t variavel aleatória com distribui9lio de Poisson de parametro A= t, entao
e urna 191
(9)
p
l lffi r-oo o
o
(Xr - EXr :5: -- ~---===.-
.Jvar X 1
X)
= "'( w X ),
-oo
A Equac;ao (9) e tamhem v:ilida para o caso em que X t tern urna distribuic;ao gama r(t, A) com A flxo ou urna distribuic;ao binomial negativa de pariimefros a= t e p flxoo 7.5.1. APROXIMA«;(ms NORMAIS. O Teorema do Limite Central sugere fortemente que para n grande devemos fazer a aproxima9ao
:s; x)
~
P(S. :s; x) ~
x -
p
(S•(JJ~n_l!_
. - oo <
x<
oo,
<
<
ou equivalentemente
(10)
(J.J nn11)
=
s.
- 00
X
00.
Nós nos referimos a {10) como urna fórmula de apr.oximarao norma/. De acordo com esta fórmula, aproximamos a func;ao de distribuic;ao de S n pela func;ao de distribuic;ao normai de mesma media e variiinciao Urna dificuldade em aplicar a fórmula de aproximac;ao normai e decidir sobre a ordero de grandeza de n para que (lO) seja v:ilida com urn desejado grau de precisaoo Diversos estudos numericos indiearo que em aplicac;oes pniticas tfpicas , n = 25 e suficientemente grande para que (10) seja vilida. Com o urn exemplo em que a aproximac;ao normai e aplicavel, sejam X 1 , X 2 , •• • variaveis aleatórias independentes, cada urna com densidade exponencial de pariimetro A= l. Entao (lO) transforma-se em (11)
P(S. :s; x ) :::::;
X -
/l
<
,
~--
X
<
OOo
' n
Graflcos mostrando a precisao desta aproximac;ao sao dados na Figura l para n= 10.
---
100
· o.a 0,6
7 l
0,4
'/ ~
0,2
o
5
l
- - Fum;ao Real de Distribui~iio - - Aproxirna~o NonnaJ
10
Figura l 192
15
20
.-.
Exemplo 11. Suponha que a durayao de urn certo tipo de Iampada depois de instalada distribui-se, exponencialmente, com durayaO media de l 0 dias. Quando urna łampada queima, instala-se outra do inesmo tipo em seu lugar. Obtenha a probabilidade de que sejam necess3.rias mais de 50 lampadas durante o periodo de urn ano. Para resolver este probierna representamos por· Xn a durayao da n-esima łampada que e instalada. Supomos que XI' x2 ' ... sao variaveis aleatórias independentes com densidade exponencial de media 10 ou panimetro ;\ = 1/10. Entao Sn = X 1 + · · · + Xn representa o tempo ern que se queima a n-esima lampada. Desejamos determinar P(S 50 < 365). Sabernos que S5 0 tern media 50;\ -l = 500 e variancia 50;\ - 2 = 5000. Assim, pela fórrnula de aproximayao normai (10) P(S50
'..=
< 365) ~ =
ci> ( 365 - 500)
v' 5000 =
ci>( - 1,91 )
0,028.
~ portanto bastante improvavel que sejarn necess3.rias rnais de 50 lampadas.
Suponha que Sn e urna variavel aleatória continua com densidade fsn· Diferenciando os termos de (10) obtemos (12)
fsn(x)
~ 0 ~ ..p
( xa-.;,;.) .
-oo
Embora, a derivayao de (1 2) esteja longe de ser urna demonstrayao, (12) e 1,1ma aproximayao boa para n grande (sob a condiyao branda adicional de que fsn seja urna funyao limitadapara algurn n). Como urn exerriplo desta aproximayao, suponha que X 1 se distribui exponencialmente com parametros f... = l , de modo que (II) e aplicavel. Entao (12) transforma-se em
(13)
fsn (x ) ~
l Vn
( xYn - n)
,
_oo
Graficos mostran do a precisao des ta aproximayao sao dados na Figura 2 para n = l O. - - Fun~o de Densidade Real
0,15
- _-
Aproxima~o
Normai
0,10
0,05
l
o
5
10
15
20
Figura 2 193
As formas do Teorema do Limite Central que envolvern densidades er:1! das fun90es de distribui9ao sao conhecidas como teorernas do limite central .. l e. Elas sao tamhem importantes, especialmente na teoria· avanyada da probabili Existe urna aproximayao semelhante a (12) para variaveis aleatórias di.scretas. Naturalmente o estabelecimento preciso de tal aproximayao depende da naturez.a dos valores possiveis de Sn' isto e, aqueles valores de X tal que fsn (x) = P(Sn = x) >O. Por simplicidade fazemos as duas hipóteses seguintes:
(i) Se X e urn valor possivel de X1, entao X e inteiro; (ii) Se a e urn valor possivel de xl ' entao o maxima divisor carnum do eonjunto {X -
a j X e UID valor possivel de
X1 }
e urn. Excluimos, por exemplo, a variavel aleatória X 1 tal que P(X 1 = l) = pois neste caso o maxima divisor comurn do eonjunto indicado e 2. Sob as hipóteses (i) e (ii), a aproxima9ao
= P(X1 = 3) = .1/2,
(14)
x inteiro
e vilida para n gran de. Exemplo 12. Seja X 1 urna variavel aleatória que assume os valores l e O com probabilidades p e l -p , respectivarnente. Entao (i) e (ii) sao satisfeitas e (14) e aplicavel com p. =p e a 2 = p(l -p). Como S n tern a distribuiyao binomial de parametros n e p , ternos a aproximayao
l
::::; ---:-=-=-=-====-· t:p
np(l - p)
x -
np
x inteiro
, np(l - p)
A Figura 3 m ostra es ta aproximayao para n = l O e p = 0,3. A Figura 3 nos conduz a outro metodo de a proxiinar fsn (x) no caso discreto, isto e, a integral do segundo membro de (14) sobre o eonjunto [ x- 1/2, x + 1/2 ). Expressando essa integral em termos de <1>, obtemos como urna altemativa para (14)
(16)
fs"(x) ::::;
(X + (~3~ - nJl)
_ (x ~
"'
194
~ (1 /2) -
a)~
nJl)
'
x inteiro.
'"•r
o
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figura 3 A area da regilio SOmbreada da Figura 3 e urna aproximayao para P(Sn = 5). Finalmente somand o ( 16) sobre o eonjunto {... , x - 2, x - l, x} (17)
P(Sn <(x):=::: (
x + (1/2) -
ayn
np.) ,
x inteiro,
Quando Sn e discreto e as condi96es (i) e (ii) se verificam, (17) e em geral mais precisa do que a fórmula original de aproximayao normai (lO). Na Figura 4 comparamas as aproxima96es das fórmulas (lO) e (17) quando Sn tern a distribuiyao binomial de panimetros n = l O e p = O,3.
Figura 4 Exemplo 13. Urn certo jogador de basquetebol sabe que eonverterei em media 60% dos seus lances-livres. Qual a probabilidade de que ele tenha exito em mais da metade das vezes em 25 lances-livres?
...
Suponhamos que a implicay[O do probierna e que o numero Sn de sucessos em n lances-livres distribui-se binomialmente com parametros n e p = 0,6. Como P(Sn ;;a.x)= l -P(Sn <(x -l) obtemosde(17)aaproximayao 195
(18)
P(Sn ~x) ~ l-~ (
Para o nosso caso np
Assirn
a
= 25(0,6) = 15 -
e a
. .
P(S25 ~ 13 ) ~ l -
= =
,.,;n _ ,
x- {l/2)- np)
x inteiro.
yn = ..j 25(0,6)(0,4) = ~ "'o,_.. _
(13 -(1/2)-15) 5
y'Q,24
l -
=
0,846.
7.5.2. APLICA(:AO A AMOSTRAGEM. Pode-se considerar o Teorema do l.irrri:re Central e as correspondentes fórmulas de aproximayao normai como refina::n tos da Lei Fraca dos Grandes Numeros discutida no Capituło 4. Lembramos que esta lei estabelece que para n gran de S n/n deve es tar próximo de J.! com p oba ·eaee l. Entretanto, a lei fraca por si só nao fomece info~o algurna quznto a tal estimativa. Como vimos no Capituło 4, a Densidade de Che _w· luz sobre esta questao. A fórmula de aproximayao normaJ (10) e tambero est.e t.exto. Para c> O P
(! ~n
- Jl l ~
c
nJl - ·nc) - P S ~ nJl - nc) ~ <1> ( - n~) _ 1 _ <1> ( nc_) =
P(S. $
a-... n
[t- (c n)].
a-... n
-
=
2
<1>
a
Em outras palavras
(19) on de (20)
O
= CVn. a
Exemplo 14. Decide-se tornar urna amostra de tamanho n para determinar a porcentagem de eleitores que tencionam votar em determinado candidato em urna eleiyao. Seja Xk = l se o k-esinio elemento da amostra tenclona votar no candidato e Xk = O caso contni!io. Supomos que X 1 , ••• , X n sejam variaveis aleatóńas independentes, identicamente distńbuidas, de tal sorte que P(X1 I) = p e 196
=
P(X1
::-t
=
O)
=
l -p. E'!tao p. =p e a 2
= p(l
-p ). Supernos tamhem que o
valor de p seja suficientemente próximo de 0,5 para que a = v' p (l - p) possa ser aproximado satisfatoriamente por a ::::;. 1/2 (observe que a tern urn maxuno de 1/2 para p = 0,5 e que a permanece acima de 0,3 ~p ~ 0,1, quando a · v~a de 0,458, o que e suficientemente próximo de 1/2). A variavel aleatória S n/n representa a frayao de pessoas na amostra que tencienam votar no candida to, e pode ser usada para estimar a proporyao verdadeira porem desconhecida, p. Usaremos as aproximayóes normais para resolver os tres problemas seguintes: (i) Suponha que n
= 900.
Obtenha a probabilidade de
ls: - l ; ;.
-·-
l
p
(ii) Suponha que n
= 900.
0,025.
Determine c tal que
Sn- p p. ( -
n
(iii) Determine n tal que
p(l ~· - l .. p
0,02} 0,01
Soluriio de (i). De acordo com (20) " - (0,025) y'900o5 - 1,5,
u -
'
de modo que em virtude de (19)
p( l; - 1-p
r
0,025)
~ 2(1 - ~1,5)) =
2(0,067)
=
0,134.
Soluriio de (ii). Escolhemos inicialmente o de tal forma que 2(1 -( o))= ou ( o) = 0,995. Urna inspeyao da Tabela I mostra que o. = 2,58. Resolvendo (20) em c obtemos
= 0,1
c=
ba
.;n=
Soluriio de (iii). Com em (ii),
(2,58)(0,5)
y'900
o = 2,58.
0,043. Resolvendo (20) em n, obtemos 197
(2,58) 2 (0,25)
2663.
(0,025?
Yale a pena compararos resultados de (ii) e (iii). Em ambos os casos
li
l
Ternos c= 0,043 e n = 900 em (ii), enquanto c = O 025 e n = _663 em C} Assim, para reduzir c proporcionalmente ao fator 43/25 somos for a os a au· mentar n proporcionalmente ao quadrado deste fa tor. !sto e vilido em geral sempre que desejamos manter
constante. Pois entao o e determinado por (19) e, de acordo com (20), n est3 relacionado com c pela expressao n =o 2 o 2 /c 2 . No mesmo contexto se aumen· tarnos n proporcionalmente a urn dado fator , reduzimos c proporcionalmente araiz quadrada do mesmo fator.
Exercicios l . Suponha que X tern urna densidade Beta de parametros a 1 e a 2 . Obtenha EX. 2. Sejam X e Y aleatórias independentes tendo e r(a 2 , A) respectivamente. Seja Z= Y/ X. tera Z urna expectancia finita? Obtenha EZ vej a o Teorema 3 do Capituło 6 e discussao sobre
as densidades gama r(a 1 , A) Para que valores de a 1 e a 2 quando ela existe. Sugestiio: o mesmo.
3. Suponha que X tern a densidade normai n(O, o 2 use o resultado do Exercicio 31 do Capituło 5. ~-
).
Obtenha E lXI. Sugestiio:
Suponha que X tern urna densidade exponencial de parametro A e que X€ seja defmido em termos de X e € >o atraves de (l). Qual e a distribuiyaO X
"· - ..!pOilha que X tern urna distribuiyao
Y=.JY.
- ' fu
x2
com n graus de liberdade. Obtenha
- Seja X a ·ariavel aleatória do Exemplo 7. Obtenha Exm a partir da densidade ~~ .~X · !l.
Sej:a Z
•
·a,·el aleatória do Exercfcio 2. Obtenha a variancia de Z.
j
'
\
9. Sejam ul e u2 variaveis aleatórias independentes que tern densidade exponencial de parametro 'A e seja Y = max ( U 1 , U2 ). Obtenha a media e variancia de Y (ver Se<;:ao 6.5). 10. Seja X a variavel aleatória do Exemplo l do e variancia de X.
Capituło
5. Obtenha a media
11. Seja X a variavel aleatória do Exemplo l do Capituło 6. Obtenha a media e variancia de X. Sugestiio: reduza EX 2 a urna integral Beta. 12. Obtenha a media e variancia da variavel aleatória Z do Exercicio l 7 do Capitulo 6. 13. Obtenha a media e variancia da variavel aleatória Y do Exercicio 28 do Capitulo 6. 14. Seja X
o seno de urn lingulo em radianos escolhido uniformemente em
( -rr/2, rr/2). Obtenha a media e variancia de X.
15. Suponha que X tern a densidade normai n(O, a 2 cia das seguintes variaveis aleatórias:
).
Obtenhaamediaevarian-
(a) lXI;
(b) X 2 ;
(c) etX.
16. Suponha que X tern a densidade gama I'(a, 'A). Determine os valores de t para os quais et X tern expectancia fmita. Obtenha E et X para estes valores de t. 17. Suponha que X tern a densidade I'(a, 'A). Determine os valores de r para os quais xr tern expectancia fmita. Obtenha EX 7 para estes valores de r. 18. Seja X urna variavel aleatória continua nao-negativa que tern densidade f e fun<;:ao de distribui<;:ao F. Mostre que X tern expectancia finita se e soniente se
foce (l - F(x)) dx < oo e entao
EX =
Leo (l
- F(x)) dx.
Sugestiio : veja a demonstra<;:ao do Teorema 5 do
Capituło
4.
19. Seja Xk o k-esimo estatistico de ordem de urna amostra das variaveis aleatórias U 1 , ••• , U n que sao independentes e se distribuem uniformemente em (0, 1). Obtenha a media e variancia da X k.
20. Sejam X e Y as variaveis aleatórias do Exemplo 7 e seja R = Y- X. Obtenha a media e variancia de R. Sugestiio: use a Equa<;:ao (16) do Capituło 4. 21. Suponha que X e Y . tern a densidade Obtenha a correla<;:ao entre X e Y.
f dada no Exercicio 9 do Capituło 6. 199
22. Sejam X e Y yariaveis independentes tais que X tern a densidade normai n(Jl , a 2 ) e Y a densidade gama r(o:, X). Obtenha a media e variancia de
Z=XY. 23. Sejam X e Y variaveis aleatórias que tern media O, variancia l e correla9ao p. Mostre que X- pY e Y nao sao correlacionadas e que X- pY tern media Oe variancia l - p 2 • 24. Sejam X, Y e Z variaveis aleatórias que tern media O e variancia l. Seja p 1 a correla9ao entre X e Y, p 2 a correla9ao entre Y e Z e P3 a cor· rela9ao entre X e Z. Mostre que
Sugestiio: escreva
XZ = [p 1 Y+ (X- p 1 Y)][p 2 Y+ (Z-
P2
Y)],
e use o Exercfcio 23 e a desigualdade de Schwarz. 25. Sejam X, Y e Z como no exercfcio anterior. Suponha que p 1 p 2 ;;;:. 0,8. O que sepode dizer acerca de p 3 ?
;;;:.
0,9 e
26. Suponha que X e Y tern urna densidade f uniforme no interior do triangulo com vertices em (O, 0), (2, O) e (I, 2). Obtenha a expectancia condicional de Y dado X. 27. Sejam X e Y variaveis aleatórias independentes tendo as densidades gama r(o: 1 , X) e r(o: 2 , X), respectivamente, e seja Z= X+ Y. Obtenha a expec· tancia condicional de X dado Z. 28. Sejam n e Y as variaveis aleatórias do Exercicio 26 do a expectancia condicional de n dado Y,
Capituło
6. Obtenha
29. Sejam X e Y variaveis aleatórias continuas tendo .urna densidade conjunta. Suponha que Y e 10( X) Y tern expectancias finitas. Mostre que Ecp(X)Y
= J~oo
cp(x)E[Y l X
=
x]fx(x) dx.
30. Sejam X e Y variaveis aleatórias continuas tendo urna densidade conjunta, e seja Var [Y l X = x] a variancia condicional de Y dado X= x. Mostre - que se E [ Y l X= x] = J1 independentemente de X. Entao EY = J1 e Var Y =
J~oo
Var [Y l X = x]fx(x) dx.
31. Sejam XI' x2' ... variaveis aleatórias independentes, identicamente distribuidas com media O e variancia frnita nao nula a 2 e seja Sn = X 1 + · · ·+Xn. Mostre que se X 1 tern terceiro momento frnito, entao ES~ = nEXf e
_oo
~~
p: D
!; • •L
l' r
J1V'f ~ S if' ·4 f)i=
"'"'"Jr.r
~....,
...
!im E ( n-+
S;-) av n
3
=
O,
que e o terceiro momento da distribuiyao normai padrao. 3
Sejam X 1 , . • . , Xn e Sn como no Exercicio 31. Mostre que se X 1 tern quarto momento fmito, entao
Es: = nEX1
+ 3n(n - l)a 4
e
. E ( - s.l1m a.J~
..... oo
)4
3,
que e o quarto momento da distribuiyao norma! padrao. Sugestfio: ·o termo 3 n (n - l) vem da expressao
(n)2 2!4!2!. 33. Suponha que X tern a densidade gama r(o:, X). Obtenha a aproximayao norma! para P(X~x). 34. Sejam X 1 , X 2 , ••• variaveis aleatórias independentes com distribuiyao norma! de media o e variancia a 2 • (a) Quais sao a media e variancia da variavel aleatória Xi ? (b) Como se deve aproximar P( X i + · · · + X~ ~ x) em termos de
Determine Determine Determine . • Determme
P(Xi + · · · + Xioo ~ 120). P(80 ~ X i + · · · + Xi 00 ~ 120). c tal que P(Xi + · .. + Xioo ~ 100 +c)= 0,95. 2 2 c tal que P(lOO- c~ X1 + · · · + X1oo ~ 100 +c)= 0,95.
36. Urn corredor procura controlar seus passos em urna corrida de 100 metros. Seus passos distribuem-se independentemente com media J.l. = 0,97 metros e desvio padr!i'o a= 0,1 metros. Determine a probabilidade de que 100 passos difiram de l 00 metros por nao mais de 5 metros. 37. Arredonda-se vinte numeros para o inteiro mais próximo e soma-se os numeros resultantes. Suponha que os erros individuais de arredondamento sao independentes e se distribuem uniformemente etn (-1/2, 1/2). Determine a probabilidade de que a soma obtida difira da soma dos vinte nómeros originais por mais de 3. 38. l.anya-se urna moeda equilibrada ate observar 100 caras. Determine a probabilidade de que sejam necessanos 226lanyamentos no minimo. 201
39.
o exerciCIO anterlor determine a probabilidade de que sejam necessarlos ex atamente 226 lanc,:amentos. 1
40. Suponha que X tern urna distrlbuic,:ao de Poisson de panimetro X. (a) Como se deve aproximar f x(x) em termos da densidade normai padrao
202
Capituło
4 usando a aproximac,:ao normal.
FUN<;OES GERATRIZE~ DE MOMENTOS E FUN<;OES CARACTERiSTICAS Alguns dos instrumentos mais importantes na teoria da probabilidade provem de outros ramos da matematica. Discutiremos neste capftulo dois de tais instrumentos intimamente relacionados. Comeyaremos com funy5es geratrizes de momfmtos e a seguir trataremos de funy5es caracteristicas. Estas sao de compreensao urn pouco mais diffcil em nfvel elementar porque requerem o uso de numeros complexos. Entretanto vale a pena superar este obstaculo, pois o conhecimento das propriedades das func;:oes caracteristicas nos perruitira demonstrar tanto a Lei Fraca dos Grandes Numeros como o Teorema do Limite Central (Seyao 8.4).
8.1 . FUN<;ÓES GERATRIZES DE MOMENTOS Define-se a funfiio geratriz de momentos Mx(t) de urna variavel aleatória X atraves de
Mx(t) =EetX.
d
dominio de M x e constitufdo por to do real t para o qual e t X tern expectancia finita.
Exemplo l.
Seja X urna variavel aleatória com distribuiyao n9rmal de media
11 e variancia a 2 • En~ao
Mx(t)
=
Ee'x
=
e'x
Jco -co
!'t -e
Jco -co
l_ a.J 2n
l
r
av 2n
e-[(x ~I'-J2/2cr2J
dx
ery-(y2 f2cr2) d y.
Mas
+ - 2
Conse que n tern en te p.t u>t M xt=ee ()
2 /2
Joo - oo r;
l J_ e 2n
[(y -u>r)l 2al]
d
r.
Corno a ultirna integral representa a integral da densidade normai n(a: . a~ seu valor e urn e portaJ)tO
-00< t< oo.
(l)
Exemplo 2. Suponha que X tern a densidade garna de parametros a e t-. Entao ł
A."'r(a)
= -
i"" o
'
X a-l e -().-t)x
dX
A."' r(a) r(a) (A. -t)"'
para -
oo
< t< t-.
A integral diverge para
Ą~
t< 00.
Assirn
(2) Suponha agora que X e urna variavel aleatória discreta cujos valores possfveis S[O todos inteiros nao-negativos. Entao
Mx(t) =
L
e"'P(X = n).
n= O
No Capftulo 3 deflllirnos a funyao geratriz de probabilidades de tais variaveis aleatórias corno
00
L
n=O
t" P(X = n).
Das duas fórmulas acirna toma-se claro que
(3)
Mx(t) = x(ef).
A fórmula (3) nos permite obter a funylro geratriz de mornento diretarnente da funyao geratriz de probabilidade. Por exernplo, se X tern urna distribuiyao binornial de parametros n e p, entao corno foi vista no Exernplo 16 do Capituło 3, x (t)
= (p t + l
-p )n.
Segue-se irnediatarnente que
Mx(t)=(pet + 1-p)n. _()4
. J
l
Analogamente, se X tern urna distribui9ao de Poisson de panimetro /.. , entao de acordo com o Exemplo 18 do Capituło 3, x(t)=e"A(t-1~
Conseqtientemente
Naturalmente nestes dois exemplos M x (t) poderia tamhem ser facilmente obtido diretamente da defini9ao de fun9ao geratriz de momento. Se X e Y sao variaveis aleatórias independentes, etX e etY sao tambem independentes. Conseqtientemente
Mx + y(t)
= Eet(X +Y)= EetX et Y= E et X E et Y =Mx(t)My(t).
Segue-se facilmente que se X 1 , tribui9ao, entao
(4)
••• ,
X n sao independentes e tern a mesma dis-
Mx. +···+X n (t)= (Mx. (t))n.
Para ver a razao pela qual chamarnos M x(t) escrevemos
Mx(t)
=
fun9ao geratriz de momento,
Loo -t" X" .
Eerx =E
n=O
n!
Suponha que Mx(t) e fmito em -t0
(5)
Mx(t) =
L EX" t" n! oo
n=O
para -t0 < t< {0 . Em particular, -(5) e vilido para todo t se Mx(t) para todo t. A serie de Taylor por Mx(t) e
(6)
Mx(t) =
L t"- -d" 00
n=O
n! dt"
Mx(t) l
e finito
.
t=O
Comparando os coeficientes de tn em (5) e (6), vemos ·que
(7)
dn
.
dtn
X
Exn = - M (t )
t =O
205
Exemplo 3. Suponha que X se distribui normalmente com media Oe variancia a 2 • Cse a func;ao geratriz de momentos para obter os momentos de X. Observe inicialmente de (l) que Mx(t)
=
eu't' / 2
=
·f
(CT2t2)n l_
n=O
2
n!
Assim os momentos de ordem impar de X sao iguais a zero , e os momentos de ordem par sao dados por
EX2n (2n)!
a2n 2nn!
ou . EX2n
=
a2n (2n )! 2nn!
.
Istci esta de acordo com os resultados obtidos no Capituło 7. Este exemplo pode ser usado para ilustrar (7). Urna vez que
_!!._ea't' /2 = a2tea't 2 /2 dt e
segue-se que
E_ e"''' -
dt
O t=O
e
que sao simplesmente os dois primeiros momentos de X.
8.2. FUN<;ÓES CARACTERlSTICAS Define-se a funrao caracterz'stica de urna variavel aleatória X como 'Px(t) = EeitX,
- oo
onde i = v'=-T As func;oes caracteristicas sao urn pouco mais complicadas do que as func;oes geratrizes de momento, na medida em que envolvem numeros complexos. Entretanto elas possuem duas vantagens importantesem relac;ao as func;oes 206
geratrizes de momentos. Em primeiro lugar . x(r) e frr..i o ~ ", as •·aria ·eis aleatórias X e todos os numeros rea.is r. Em segun do lugar, a fu n9ao de · - ~~~ bui9ao de X e em geral a funyao de densidade , quando existe, podem ser ob · ·-~ da fun9ao caracterfstica atraves de urna " fórmula de inversao" . Usando as proprie~ dades das fun96es caracterfsticas poderemos demonstrar a Lei Fraca dos Grandes Nfuneros e o Teorema do Limite Central, o que nao era possfvel atraves de fun96es geratrizes de momento. Antes de discutir as fun96es caracterfsticas faremos urn breve resumo de alguns fatos complexos, envolvendo variaveis , que serao necessarios. Podemos escrever qualquer numero complexo z na forma z = x + iy, onde x e y sao numeros rea.is. Defme~se o valor absoluto l z l de urn numero complexo z atraves de l z l = (x 2 + y 2 ) Y:.. Define-se a distancia entre dois numeros complexos z 1 e z2 comosendo lz 1 - z2 1.
Se a fun9ao de urna variavel real tern urna expansao em serie de potencia com urn raio de convergencia positivo, podemos usar esta serie de potencia para definir urna fun9ao córrespondente de urna variavel complexa. Assim defmimos oo
%
e
n
~ z = '-'-
n=O
n!
para qualquer numero complexo z. A rela9ao
permanece valida para todos os numeros complexos z 1 e z 2 • Fazendo z = it, onde t e urn numero real, vemos que eir
=
(it)n L-oo
n= o.
n!
(l + 2 t4 - +== (l 2! 4!
t2 it 3 it - - - 3!
t2
t4 +-+ 4!
i~;
- ... )
t3 ts ) . - · · ·)+ i ( t-3!+5!-· ··
Com o as duas series nesta ultima expressao correspondem a cos t e sen t, segue-se que
(8)
eit
= cos t + i sen t.
Usando a fato de que cos ( - t)= cos t e sen (-t) = - sen t , vemos que e- it
= cos t- i sen t.
Dessas fórmulas podemos obter cos t e sen t :
207
J
coś
t
eit
+ e-it
= -'-------
sen t=
e
2
eit_e-it
2i
Segue-se tamhem de (8) que
l e i t l = (cos2 t + sen 2 t) Y.. = l. Se f( t) e g( t) sao fun96es reais de t, entao h (t)= f( t)+ ig(t) defme urna fun9ao complexa de t. Podemos diferenciar h(t) diferenciando f(t) e g(t) separadamente, isto
e,
~'(t)= f'(t)
+ ig'(t),
desde que f'(t) e g'(t) existem. Da mesma forma defmirnos
f
h(t) dt
=
f
f(t) dt
desde que as ińtegrais indicadas envolvendo
- d ect dt
f
+
i
f
g(t) dt,
e g existem. A fórmula
= cect
e vilida
o
para qualquer constante complexa c. teorema fundamental de ccilculo continua vilido e, em particular, se c e urna constante complexa nao-nula, entao
Pode-se escrever urna variavel aleatória complexa Z na forma Z = X + iY, onde X e Y sao variaveis aleatórias reais. Define-se sua expectancia EZ como EZ = E(X + iY) =EX+ iEY
sempre que EX e EY forem bem definidas. Como no caso das variaveis aleatórias reais, Z tern expectancia fmita se , e somente se , E l Z l < oo, e neste caso IEZ I ,;;;; EIZI
A fórmula
e vilida quando
a 1 e a2 forem constantes complexas e Z 1 e Z 2 forem variaveis
aleatórias complexas com expectancia fmita.
208
Representamos por X e Y, com ou sem subscritos, as variaveis aleatórias reais. Assim, na frase "seja X urna variavel aleatória ... " fica subentendido que se trata de urna variavel aleatória real. Suponha entao que X e urna variavel aleatória e t e urna constante (reservamos · o simbolo t para constantes reais). Entao, leitX l= l, de modo que eitX tern expectancia fillita e a funyao caracterfstica ł{)x(t), __ oo
-00< t< oo,
ł{)x(t) =EeitX,
e bem definida.
Vemos que ł{)x(O) = Ee 0 =El= l e, para lł{)x(t)l
00
= IEeitXI ~ EleitXj =El = l.
A razao pela qual funy5es caracterfsticas sao fmitas para todo t , enquanto funy5es geratrizes de momento, nao slro finitas em geral e que eit, - 00
Exemplo 4. Seja X urna variavel aleatória que assume o valor a com a probabilidade l. Entao ł{)x(t)
=EeitX
= eita,
-00<
t<
oo.
Em particular, se X assume o valor zero com probabilidade l , sua funyao carac- · terfstica e identicamente igual a l. Se X e urna variavel aleatória e, a e b sao constantes reais , entlro
=
Eeir(a+bX)
de modo que
(lO) Exemplo 5. para t =l= O
-00<
t<
oo.
Suponha que U se distribui uniformemente em ( - l , l ). Entao
({Ju(t) =
J 1
l
eiru -
2
-1
=
du
! eiru l1 2 it
-1
sin t Para a < b seja
209
X =
a;
b
+
(b ; a) U.
Entao X distribui-se uniformemente em (a , b), e de acordo com (l O para r = O sin ((b- a)t/2)
(b- a)t/ 2
Al terna tivamen te
ą>x(t) =
Jb eirx _ l_ dx a b- a
= _ l_ eitx lb b - a it a
it(b - a)
E facil checar por meio de (9) que estes dois resultados estao de acordo. Exemplo 6. Suponha que X tern urna distribui9ao exponencial de parametro A. Entao
ą>x(t) = = =
fooo eirxA.e-lx dx
A. fooo e-(l-ir)x dx _ A._ e- (l - ir)x lo . A. - i t .
Com o limx ....
00
e- A X =
oe
eitx
elimita do em
X'
segue-se que
lim e- p. - ir )x
As sim A
~ l f
(\- zt
Suponha que X e Y sao variaveis aleatórias independentes. Entao eitX e eitY saotamhem variaveis aleatórias independentes; consequentemente 'l'X+ y( t)
= Eeit (X+ Y) = EeitX eit Y = EeitX Eeit Y
e portanto
(I l) 210
'PX+Y(t)
=
-00< t< oo,
Pode-se estender a fórmula (11) para mostrar que a funyao caracteristica da soma de urn numero fmito de variaveis aleatórias e o produto das fun y5es caracteristicas individuais. Pode-se mostrar que ~Px(t) e urna funyao continua de t . Alem do mais, se X tern momento fmito de ordem n, entao IP<;)(t) existe, e continua em t , e pode ser calculada como
dn dn EeitX = E _ eitX = E(iX)n eitX . dtn dtn
IP (n ) (t)= _
X
-l
Em particular (12) Podemos tentar expandir
(13)
_ E
(/Jx ( t ) -
~Px(t)
itX _
e
-
emserie de potencia de acordo com a fórmula
E ~ (itX)" _ ~ i"EX" '-'
n=O
n!
n
__, '-' - - t . n=O
n!
Suponha que M x(t)
"' EX" t"
= L
n=O
n!
e finito em -t0
Exemplo 7. Suponha que X se distribui normalmente com media O e variancia a 2 • Obtenha ~Px(t) .
Sabemos do Capituło 7 que EXn = O para qualquer numero inteiro positivo impar n. Alem do mais , se n= 2k e urn inteiro par, entao
-/
Portanto
De urna forma mais geral suponha que X se distribui normalmente com media J1 e Vananeta a 2 • Entao, Y = X - J1 distribui-se normalmente com media o e variancia a 2 . Como X =p. + Y, vemos da fórmula (lO) e do Exemplo 7 que (14)
- 00< t< oo. 211
Seja X urna variavel aleatóńa cuja fun~ao geratriz de momento fini ta em - t 0
e JJ x
t)
Mx(t)=EetX e
IPx(t) =EeitX, deveriarnos esperar que (15)
t
IPx(t) =Mx(it).
--~_
Em outras palavras, deveriarnos esperar que substituindo t por it, na fórm ula da fun~ao geratńz de momento, obteremos a fórmula da fun~[o caracterfstica correspondente. Isto realmente acontece, mas a compreensao total dos problem as envolvidos requer urn conceito sofisticado (continua~ao analitica) da teońa de variavel complexa. Como urn exemplo de (15), suponha que X se distńbui normalmente com me.dia p. e variancia a 2 • Entao como ja vimos
e portanto
Mx(it ) = eJJ.Cit)ea• (it)• /2
= eiJJ.te- a 2 t 2 / 2 que de acordo com (14)
e IP x (t ).
8.3. FÓRMULAS DE INVERSAO E O TEOREMA DA CONTINUIDADE Seja X urna
vańavel aleatóńa
inteira. Sua
({Jx(t) =
fun~ao
caracteristica e dada por
00
L
- oo
eii'fx(j).
Urna das propńedades mais uteis de 1P x (t) e que ela pode ser usada para calcuJar fx(k). Especificarnente ternos a "fórmula de inversao" (16)
fx(k)
= -l
2n
J" e-•kt({Jx( . t) dt. -rr
Para veńficar ( 16) escrevemos o segundo membro des ta fórmula como
_J2
l
..
Urn teorema da teoria de integra9ao justifica a inversao ·da ordem de integra9ao e . somatóńo para obter a expressao
f -ro
f"
fx(j) _}___
2n
eiU-k)t
dt.
-n
Para completar a demonstra9ao de (16) devemos mostrar que a Ultima expressao e igual a f x ( k ). Para isso e suficiente mostrar que
l
_2n}_ _ f"_"
(17)
eiU-k)t
= k,
A fórmula (17) e óbvia quando j t. Se j k, entao
*
-l
2n
" f
ei(j - k)t
{lo
dt =
se j = k, se j # k.
pois neste caso ei(j-k )t
dt =
-"
e
=l
para todo
i(j-k)tl" . _"
2ni(j - k) 2ni(j - k)
_ sen (j - k )n _
-
n(j -_ k)
- 0'
pois sen m1r = O para todos inteiros m . Isto compieta a demonstra9ao de (17) e portanto de (16).
Exemplo 8. Sejam X 1 , X 2 , •• -~ , X n variaveis aleatórias inteiras independentes e identicamente distribuidas e seja S n= X 1 +···+Xn. Entao '{!S n (t)= ('{!x, {t))n, e conseqiientemente de acordo com {16) {18)
fsJk)
= -l
2n
f" -n
.
e-'k'(ą>x,(t))" dt .
A fórmula {18) e a base para quase todos os metodos de analisar o comportamento de fsn(k), para valores grandes de n e, em particular, a base para demonstra9ao do Teorema de Lirnite Central "local" disc~tido no Capituło 7. Existe tamhem urn anruogo de {16) para variaveis aleatórias continuas. Seja X urna variavel aleatória cuja fun9li0 caracteristica '{!x(t) e integravel, isto e,
J~ro
Jcpx(t)J dt <
00.
Pode-se mostrar que neste caso X e urna variavel aleatória continua cuja densidade e dada por
fx
213
(19)
fx(x)
1 J oo e-IXICfJx(t) . dt. 2rr - oo
=
Exemplo 9. Suponha que X se distribui normalmente com media O e variancia a 2 . Mostraremos diretamente que (19) e v:ilido para tal variavel aleatória. Do 2 Exemplo 7 sa bernos que a funs:ao caracteristica de X e r.p x(t) =e- 02 t / 2 • Assim pela defmis:ao de funs:oes caracteristicas,
e -a2t2j2
=
J oo
eitx
- oo
l
-_~.
e
-x 2/2a 2 d x.
(J.J2n
Se substituimos t por - t e a por 1/a nesta fórmula ela se transforma em e
-t2 j2a2
=
J oo e - itx .J- e -a 2x2 j2 d x -oo 2rr (J
ou equivalente
- l-_- e -t2 /2a2 a.J 2n
= -l ·J oo 2n
- oo
e - itx e -a2x2 /2 d x.
Finalmente, invertendo as funs:oes dos simbolos x e' t na ultima equas:ao obtemos - l-_- e -x2 /2a2
a.J2n que
J oo
= -l
- oo
2n
e - ·itx e -a2t2/2 d t,
e simplesmente (19) neste caso especial.
Seja agora X urna variavel aleatória qualquer. Seja Y urna variavel aleatória independente de X que tern a distribuis:ao normai padrao, e seja c urna constante positiva. Entao X+ c Y tern a funs:ao caracteristica
r.px(t)e-cl t' /2. Como r.px(t) e limitado em valor ąbsoluto por l e e-c' t'/ 2 e integravel, segue-se que X + cY tern urna funs:ao caracterfstica integravel. Conseqiientemente (19) e aplicavel e X+ c Y e urna variavel aleatória ten do urna densidade dada por
f X+cY (x) --
__!_ 2.n
J oo - oo
e-itxrn (t)e- c2t2 /2 dt • 't'X
Se integramos ambos os lados desta equas:ao sobre de integras:ao, concluirnos que
P(a ::::;; X
+
cY ::::;; b)
x
~b
e invertemos a ordem
2n:
Jb (Joooo e-itxCfJx(t)e-c 212 12 dt) dx
__!_ 2n:
J oo - oo
= __!_
=
a~
a
-
(Jb e-itx dx) CfJx(t)e- c2t2/2 dt a
ou 214
l
(20)
P(a :s; X
+
cY :s; b)
l
= -
2rr
Jco (e-ibr _. e-iar) CfJx(t)e-c ' 12 dt . 2 2
- co
- !t
A importancia de (20) e que e vilida para urna variavel aleatória arbitraria X. O segundo membro de (20) depende de X apenas atraves de
e cpy( t ) Conse qiien te me n te
Assim a fun9ao caracteristica de X + Y e a fun9ao caracterfstica de urna variavel ale atóri :~ com distribui9ao normai de media J.1 1 + J.1 2 e variancia a i + a~. Pelo teorema de unicidade esta deve ser a distribui9ao de X+ Y. A aplica9aO mais importante da fórmula de inversao (20) e que elapode ser usada para derivar o resultado seguinte, que e a base da demortstra9ao da Lei Fraca dos Grandes Numeros e do Teorema do Limite Central. Teorema 2. Sejam X n, n ~ l, e X variaveis aleatórias tais que (21 )
lim cpdt) = CfJx(t) , ·
n-co
-00
< t <
00.
En tao
(22) em todos os pontos
X
onde Fx e continua.
Este teorema estabelece que a convergencia das fun96es caracterfsticas irnplica na convergencia das fun9oes de distribui9ao correspondentes ou, em outras palavras, 215
que as fun90es, de distribui9ao "dependem continuamente" de suas fun96es caracteristicas. Por esta razao o Teorema 2 e eonhecido comumente como "Teorema da Continuidade".
A demonstra9ao deste teorema e razoavelmente complicada. Nao apresentaremos os detalhes da demonstra9ao, mas indicaremos brevemente as ideias prlncipais de urn metodo de demonstra9[0. Escolliemos em primeiro lugar urna variavel aleatória Y que tern distribui9ao normai padrii'o e e independente das variaveis aleatórias X n, n;;;", ( Seja a versao (20)
(23)
P(a ::;; Xn
e seja c urna constante positiva. Entao pela fórmula de in-
cY::;; b)
+
= _!_ 2n:
e P(a :s; X
(24)
+
l c Y :s; b) = 2n:
J oo - oo
(e -ibr - . e-iar)
J"' (e-
ą>x"(t)e-c2r2;z dt
-lt
·
ibr _ e- iar) 2 2 . ą>x( t)e-c 1 12 dt. -l t
Por hipótese, l{)xn(t) ~ l{)x(t) a rnedida que n ~ oo. Por urn teorema da teoria da integra9ao, segue-se que o segundo membro de (23) converge para o segundo membro de (24) medida que n~ oo. Conseqiientemente
a
lim P( a :s; X n
(25)
n-+ oo
+ cY
:s; b)
= P( a :s; X + c Y :s; b).
Existem mais duas etapas para a demonstra9ao do teorema. Primeiro mostrar (fazendo em (25)) que
a~ -oo
(26)
lim P(X"
n-+ cc
+
cY :s; b) = P(X
+
cY :s; b).
Finalmente mostrar (fazendo c~ O em (26)) que
!im P(Xn :s; b) = P(X :s; b) Sempre que P(X = b)
8.4.
= O.
O ultimo resultado equivale
a conclusao do teorema.
A LEI FRACA DOS GRANDES NUMEROS E O TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Usaremos nesta se9ao o Teorema da Continuidade para demonstrar os dois importantes teoremas da teoria da probabilidade mendonados no titulo desta se9ao. Ambos os teoremas foraro discutidos sem demonstra9ao em capitulos anteriores. Para demonstrar estes teoremas precisamos inicialmente estudar o comportamento assintóticode logl{)x(t) próximode t=O. ~ 16
Seja z urn numero complexo tal que l z - l l < l. Podemos defmir log z atraves da serie log z ~ (z - l)-
(z - 1) 2 (z- 1) 3, + 3 2
( outras definiy5es de log z sao necessarias para l z - l l ;;;" 1). Com es ta definiyao ternos as propriedades usuais de que log l = O, elogz=z ,
lz-1 1 <1,
e se h(t), a< t< b, e urna funyao complexa diferenciavel tal que l h(t)- l l
Seja X urna variavel aleatória tendo funyao caracterfstica
e diferenciavel
!im log px(t) = lim log Cf?x_(t)_=___l_?_g Cf?x(O) t r~o t - O
r~o
=
_d_ log Cf?x(t) l dt t=O cp~(O)
Cf?x(O) i/)..
Conseqiientemente,
(27 )
!im log Cf?x(t) - iJJ. t t
=
O.
r ~o
Suponha a seguir que X tamhem tern variancia finita a 2 • Entao
Podemos aplicar a regra de l'Hóspital para obter
l l
i
217
l lffi o
log (/)x(t) - ipt t
t-O
2
=
cpX.{t) - i p !im .!..(/)~x-'-(1..:....)_ _ t-O 2t
= !im cpX.(t) -
iflcpx(t ) 2tcpx(t)
t-o
=
!im cpX.(t) - if1cpx(t). t-o 2t
Urna segunda aplicafi:li'O da regra de l'Hospital mastra que !im~~ (/)x(t) - ipt t-O t2 .
cp;(O) - if1cpx(O) 2 -(p2
+
0'2) - (ip)2
2
Em outras palavras l im log i:px(t) - ipt = 2 r-o t
(28)
2
u 2
Teorema 3. Lei Fraca dos Grandes Numeros. Sejam XI' x2' ... varfaveis aleatórias independentes, identicamente distribuidas tendo media finita J1 eseja Sn =X 1 +·· ·+Xn. Entaoparaqualquer e> O (29)
!im p Demonstra~o.
A fun9lio caracteristica de Xt+ · ··+Xn -J.L n
Suponha que t e fixo. Entao para n suficientemente grande, t/n esta próximo de zero o bastan te para que log .p x l (t/n) seja be m de finido e
(30)
e-i"t(cpx,Ct/n))" = exp [n(log (/)x,(t/n) - iJL(t/n))J.
A seguir afirmamos que
(31 )
218
!im n(log (/)x,(t /n) - ip(t /n)) n- a>
= O.
Li; ~ .1 e o a para t== O urna vez que log 10x, (O) == log 1 == O. Se t i:= O po dernos es.cre er o primeiro me m bro de (31) com o t
~
: ~ -
..: =r:~-2
o
lim •- "'
log cr>x(t/n) - iJ1(l /n)
.
tjn
» -+ ""." Je mo!io ~e o illtJmą lirułte ~ Q 4.e -€.'Q,r4.1\' '~~
(27). !sto compieta a demonstrayao de (31 ). Segue-se de (30) e (31) que a funyao caracteris tica de
Sn - - ; - - jJ.
a
se aproxima de l medida quę n -+ 00• Mas l e a funy[O caracteristica de urna variavel aleatória X tal que P(X = O) = l. A funyao de distribuiyao de X e dada por
Fx(x)
se x ~O, se x
= {~
Esta funyao de distribuiyao e sempre continua exceto para x Pelo Teorema .da Continuidade,
(32)
lim P (S• - p.
n
n-+CO
~
-e) = Fx(
~
e)
-e)
=
O. Seja
€
> O.
=O
e !im P (S• - J1
n
n-+00
=
Fx(e)
=
l.
O Ultimo resultado implica que lim P (S· - J1 >
n
n-+00
e)
=
O,
que juntamente com (32) mostra que (29) e vlilido como desejado. Para o teorema seguinte e necessario lembrar que ll>(x) representa a funy[O de distribuiyao normai padrao dada por
.fx -l-. e-y2Jz dy, -ro
·
Jzn
-oo
l..embramos tambem que esta funy[O de distribuiyaO e continua para todos OS valores de _X. Teorema 4. Teorema do Limite Central. Sejam X 1 , X 2 , • • • variaveis independentes, identicamente distribuidas tendo media jJ. e variancia flnita nao-nula a 2 • Entao
Em n-+ 00
P
(S•
J
nJ1 a n
~
x)
=
-oo ..:;: x < oo. 219
l
L_
Seja
Demonstra~o.
*
Sn
S n- nf.J.
= av-l"n
Entao para t flxo e n suflcientemente grande,
cpdt) = e-inJjtf(f.;~CfJsn(t/rJJ~) =
e-in!'t/".;~(cpx,(t/rJJ~))",
ou (33)
CfJs~(t) = exp [n(log CfJxJt/rJJ~) - ifl(t/rJJ~))].
A seguir aflrmamos que
(34) n~
co
Se t = O, ambos os membros de (34) sao iguais a zero e (34) Se t =l= O podemos escrever o primeiro membro de (34) com o
t 2 . log CfJxJt/rJJ~) - if1(t/rJJ~) 2 1lffi ' (J n~ oo (t /rJ..Jn) 2
eobviamente va!ido.
'
que de acordo com (28) e igual a
;: (- ~)
Assim (34)
e vilido para to do . l1m
w 5~
2
t . Segue-se de (33) e (34) que
( 1) = e - r' 2 ,
- 00
< t <
CXJ .
De acordo com o Exemplo 7 e-r' 2 e a funyiio caracteristica de urna variavel aleatória X tendo a funyao de distribuiyao normai padrao (x). Assim pelo Teorema de Continuidade. lim P(S"* ~ x) =
- cc
que e a conclusao desejada. Exercicios l. Suponha que X se distribui uniformemente em (a, b). Obtenha Mx(t).
2. Expresse a funyiio geratriz de momento de Y= a+ bX em termos de Mx(t) (onde a e b saoconstantes). 3. Suponha que X tern distribuiyao de Poisson de parametro X. Use a funyao geratriz de momento para obter a media e variaocia de X. 220
que X "-
te1)1 distribuiyao binomial negativa de parametros a e p .
O renha a funyao geratriz de memento de X. Use esta funyao geratriz de memento para obter a media e variancia de X.
- Seja X urna variavel aleatória continua tendo a densidade
-= < x
<=.
f x(x) = (1/2)e-l x
l
(a) Mostre que Mx(t) = 1/(1- t 2 ), -1
+ ··· +
X.) 3
-
nEXf
+
+
n(n -
3n(n -
l)EXfEX 1
l)(n - 2)(EX 1 ) 3 .
Sugestiio: obtenha (d 3 /dt 3 )(MxJt)tlr=o · 8. Seja X urna variavel aleatória tal que Mx(t) e fmito para todo t. Use o mesmo argumentoda demonstrayao da Desigualdade de Chebyshev para concluir que P(X~x)
",;;; e-txMx(t),
t~
o.
Segue-se que
P(X
~
x) ::5: min e-txMx(t), t
des de que e- tx M x (t) tenha urn t;ninimo em O",;;; t< 00 •
9. Suponha que X tern distribuiyao gama de parametros a e A. Use o resultado do Exercicio 8 para mostrar que P(X ~ 2a/A) ",;;; (2/e )O<. 10. Suponha que X tern distribuiyao de Poisson de parametro A. Obtenha ~Px(t). 11. Suponha que X tern distribuiyao geometrica de parametro p. Obtenha IP x (t). 12. Sejam X 1 , X 2 , • • • , X n variaveis aleatórias independentes, cada urna com distribuiyao geometrica de parametro p. Obtenha a funyao caracteristica de X=X 1 +···+Xn. 13. Sejam X 1 , X 2 , • •• , Xn variaveis aleatórias indepi:mdentes, cada urna com distribuiyao exponencial de parametro A. Obtenha a funyao caracteristica de X= X 1 +·· · +Xn. 221
14. Seja X urna variavel aleatória discreta cujos valores possfveis sao todos inteiros nao-negativos. Que relacrao deverfamos esperar que exista entre a funcrao caracteristica de X e a funcrao geratriz de probabiłidade de X (lembre-se das fórmulas (3) e (15))? 15. Seja X urna variavel aleatória qualquer. (a) Mostre que ~PxU) =E cos tX +i E sen tX. (b) Mostreque 11'-x(t)=EcostX-iEsentX. (c) Mostreque 11'-x(t)=~Px(-t). 16. Seja X urna variavel aleatória simetrica, isto e, tal que X e -X tern a mesma funcrao de distribuiyao. (a) Mostreque EsentX=O eque (b) Mostre que ~Px(-t) = ~Px(t).
~Px(!)
ereal.
17. Sejam X e Y variaveis aleatórias independentes e identicamente distribufdas. Mostre que l!' X _ y(t) = i~Px(t) 12 • Sugestao : use o Exercicio 15·. 18. Seja X urna variavel aleatória tal que
fx(x)
=
(a) Mostre que
(c) Mostre usando (b) que e-lxl
=
Jco eixt -co
n(l
dt
l
+
t 2)
•
20. Seja X urna variavel aleatória tendo a densidade de Cauchy fx(x) = n(l
1
+
Mostre que "o x (t) = e -1 t l, x e t no Exercicio 19.
xi)' - oo
- oo < x
oo. Sugestao : inverta as funcroes de
21. Sejam X e Y variaveis aleatórias independentes tendo a densidade de Cauchy. (a) Obtenha as funcroes caracteristicas de X+ Y e de (X+ Y)/ 2. (b) Por que se segue que (X + Y)/2 tamhem tern a densidade de Cauchy?
..................................................
,~
~
22. Estenda o resultado do Exercicio 21 mostran do que se X 1 , X 2 , • • . , X n sao variaveis aleatórias iridependentes, cada urna com densidade de Cauchy, entao (X 1 +· ·· +Xn )/n tamhem tern a densidade de Cauchy. 23 . Para A > O seja X 11. urna variavel aleatória ten do de parametro A.
distribui~ao
de Poisson
(a) Usando argumentos semelhantes aqueles usados na demonstra~ao do Teorema do Limite Central m ostre que para - oo
).-+ oo
Eeit(X;.- ). }f.;;,
= !im exp ··;.- oo
U( eir;./). -
l - it/J~)]
e -r
2
/2
.
(b) Que conclusao se deve tirar de (a), atraves de urna modifica~ao adequada do Teorema da Continuidade?
.................................................................................
~ ·~ .~
CAMINHOS ALEATORIOS E PROCESSOS DE POISSON Neste capituJo discutimos dois exemplos elementares porem importantes de processos estocasticos. Urn processo estocdstico pode ser definido como qualquer coleyao de variaveis aleatórias. Geralmente, entretanto, quando nos referimos a urn processo estocastico ternos em mente urn processo que possua estrutura adicional suficiente para que resultados interessantes e liteis possam ser derivados. Isto certamente e verdade para os dois exemplos tratados neste capitulo. O material sobre processos de Poisson, nosso segundo exemplo, naó depende das duas primeiras seyóes onde discutimos carninhos aleatórios. , 9.1. CAMINHOS ALEATÓRIOS
Considere urna seqtiencia de jogos tal que, durante o n-esimo jogo, observa-se urna variavel aleatória X n e qualquer jogador participando do n-esimo jogo, recebe a importancia X n da " banca" (naturalmente o jogador paga na realidade -X n a banca se X n< O). Acompanhemos o processo de urn jogador que comeya com urn capital inicial x. Seja S n, n;;?> O, o seu capital ap ós n jogos. En tao S0 = x e
n;;;;. l. A coleyao de variaveis aleatórias S 0 , S 1 , S 2 , . . • e urn exemplo de urn processo estocastico. Para obter resultados interessantes admitiremos a hipótese de que as variaveis aleatórias XI ' x 2' . .. sao independentes e identicamente distribufdas. Sob essa hipótese o processo S 0 , S 1 , •.• chama-se caminho aleatório. Admitiremos a hipótese adicional de que os Xk tern media finita J.L . Se urn jogador participa dos n primeiros jogos, seu capital esperado no momento da conclusao do n-esimo jogo e
(l)
J
ES n =x +nJ.L.
Suponha entretanto que o jogador escolha os numeros a ~ x e b )l: x e assuma eonsigo o compromisso de abandonar o jogo quando seu capital se tornar nao maior que a ou nao menor que b. Entao o numero T de vezes que elejoga e urna variavel aleatória defmida por
Para garantir que Sn
(2)
~a
ou S n )l: b para algurn n, admitirnos que P(Xk =O)< l.
E possfvel demonstrar que a variavel aleatória T e fmita (com probabilidade I) e na realidade P( T > n) decresce exponencialmente medida que n -+ oo. Isto signitka que existem constantes positivas M e c< l tais que
a
(3)
P(T>n)
A demonstra<;ao de (3) nao e diffcil mas sera omitida para reservar espa<;o para resultados de interesse muito maior. De (3) e do Teorema 5 do Capitul o 4, segue-se que ET e todos os momentos de ordem superior de T sao finitos. Se o jogador abandona o jogo após a T -tlsirna aposta, seu capital sera S T (ver Figura I). Urna famosa identidade devida a Abraham Wald relaciona o capital esperando, quando o jogador abandona o jogo, com o numero esperado
_)
Figura l
de vezes que ele participa do jogo. Especificamente, a identidade de Wald estabelece que
(4)
EST = x +pET_
A identidade de Wald eextraordinariamente semelhante a (1). E conveniente introduzir urna nova nota9ao para demonstrar a identidade de Wald. Seja A urn evento qualquer. Representaremos por lA a variavel aleatória indicadora de A , isto e, a variavel aleatória que e l se A ocorre e, O se A nao ocorre. Por defini9ao lA + . lA c = l. Usando esta nota9ao podemes escrever ST
=
oo
T
X
L x j = X + j;J L Xjl{nj}· j ; J
+
Urna vez que o complemento do evento { T;:;:;. i }
e o evento
{ T< i}, vemos que
00
(5)
ST =
+
L j ; J
+
E
X
e portanto
(6)
ES T =
X
l (T
Xj(l -
L
X j( l -
l (T
j; l
Pode-se mostrar usando a teoria da me dia que a ordem de expectancia e somatório pode ser invertida em (6). Assim 00
(7)
EST =
X
+
L E[X /l
-
j; l
l {T
Para deterrninar se T< i, nao basta olhar as variaveis aleatórias X 1 , X 2 , •• • , X i_ 1 • Segue-se que as variaveis aleatórias X i e (l - l (r< n ) sao independentes. Conseqiien temen te E[Xj( l -
l {T< jl)J = E XjE(l = ,u( l -
l {T
P(T < j))
.= .uP(T ::.::: j). Concluimos de (6) e do Teorema 5 do EST
Capituło 00
=
X
=
X
+
.u
L
j;l
4 que P(T ::.::: j)
+ J1ET,
que compieta a demonstra9ao da identidade de Wald. Se os X n tern media J.1 = O e variancia fmita a2 , existe urna segunda identidade devida, a Wald, a saber
(8) Com o ES T
..
Var ST=a 2 ET.
=
x em ( 4), a fórmula (8) eequivalente a
227
(9) A seguir verificaremos (9). De acordo com (5)
sT -
x =
00
L xp -
j=!
I(T< j)).
e portanto 00
j= l
=
'
."
L
(Sr- x?
Xj(l -
X t(l -
l
T < ))
l tT
J
T<
l (T< j))
I
= l
00
00
L L
j=l k= l
Xi(l -
).
Para tornar asexpectancias e novamente permissfvel invener expe t.ancia e somatório. Concluirnos que 00
00
L L
(lO)
j=l k= l
E[Xp - l (T< j))X ( l - l
~l
T< ))].
Avaliaremos a seguir os termos individuais deste soma tóńo dup o. Considere inicialmente os termos correspondentes a valores de j e k tais que j < k . A variavel aleatória
depende somente de XI, X2 , - . . , xk - J, e portanto aleatória X k · Como EX k =p. = O, vemos que E[Xj{l -
l (T
e independente da variavel
l (T
= E[Xi l -
l iT< nX l -
l iT< 1)] EXk
= O.
Analogamen te os termos do segundo membro de (l O) desaparecem quando j Quando j = k obtemos
>k.
A variavel aleatória (l - l IT
Assim =
EX}E(l -
=
Var Xj ( l - P( T <
=
cr2 P( T ~ j J.
11 r<.i/)
~l
.-.
Concluimos de (lO) e do Teorema 5 do
=
E(Sy - x) 2
Capituło
4 que
00
a2
L
j=l
P(T ~ j)
=
a 2 ET,
o que demanstra (9) e portanto (8). 9.2. CAMINHOS ALEATÓRIOS SIMPLES
Admitiremos ao longo de toda esta se9ao que a ";;; x ";;; b , a
P(S T= a ou b)= P(S T= a)+ P(S T= b ) = l.
Este certamente seni o caso de (12)
P( Xk=-1 , 0 , ou1)=1 ,
e neste caso o caminho aleatório S 0 , S 1 , • • • chama-se caminho aleatório simples. A propriedade principal que distingue caminhos aleatórios simpies de outros caminhos aleatórios e que eles nao dao "saltos sobre" pontos inteiros. Sejam p
= P {Xk = l },
ą =
P {xk = -- 1} ,
r = P{Xk = 0 }. Entao p;;;;. O, q ;;;;. O, r;;;;. O e p +q + r Segue-se de ( 11) que (13)
ESr
= l.
A hipótese (2) estabelece que r < l.
= aP(Sr = a) + bP(Sr =
b)
= a(I - P(Sr = b)) + bP(Sr = b). '-.
Para caminhos aleatórios simpies podemas resolver explicitamente para P(ST=a), P(ST=b), EST e ET. Considereinicialmenteocaso p=q. Entao J1 = O e a identidade de Wald (4) se transforma em EST = x . Assim como (13) x=a(1-P(ST=b))+bP(ST=b).
Segue-se imediatamente que (14) e
(15)
x-a P(ST=b)= - b-a b-x P(ST=a)=--. b-a
229
A identidade de Wald nao da informa~ao algurna sobre ET quando 11 = O. A identidade (8) e aplicavel neste caso e obtemos que a 2 =p+ q= l - r e Var Sr = u 2 ET = (l - r)ET. Mas
Var Sr = ESf. - (ESr) 2
b 2 P(Sr
=
b)+ a 2 P(Sr
=
a) - x 2
b 2 (x - a) + a\b - x) -x 2 b - a
= (ax + bx - ab) - x 2 = (x - a)(b - x).
Assim se p= q,
ET = --'-x_-----=a ( )'-'(_b_-_x-'-) · 1- r
(16) Se r =O e p= q= 1/2, (17)
ET= (x- a)(b- x).
Exemplo l. Dois jogadores ten do capitais iniciais de S 5 e $1 O, respectivamente, eoncardam em fazer urna serie de apostas ate a ruina de urn deles. Suponha que os resultados das apostas sao independentes e que ambos os jogadores tern probabilidade 1/2 de ganhar qualquer aposta. Determine a probabilidade de que ocorra a ruina do jogadar cujo capital inicial e $1 O. Determine o numero esperado de apostas. O probierna se encaixa no nosso esquema com S n represimtando o capital do jogadar merros rico, ao cabo de n apostas , se esćolhem.os p = q = 1/2, x = 5, a= O, e b= 15. A resposta da primeira parte e
5-o l P(ST=b)= - - = 15-0 3. A resposta da segunda parte e
ET= (S- 0)(15- 5) =50. Suponha a seguir que p =l= q. Para evitar exce~6es triviais admitiremos que p > O e q > O. A identidade de Wald nao pode ser usada para obter P(S T = b) se p =l= q; portanto necessitamos de outra abordagem. Defina f(x) para x inteiro em [a , b] fazendp f(x) representar a probabilidade de S T = b quando S 0 = x . Observamos inicialmente que f satisfaz a equa~ao de diferen~as finitas
230
.....
(18)
f(x)
= pf(x +l)+ qf(x-
l)+ r[(x),
a
Isto e verdade porque
f(x) = P(Sr = b) =p · P(Sr = b l X 1 = l)
+
r · P(Sr = b
l X1
+ q· P(Sr =
b
l X1
-l)
= O)
e P(Sr
=
b
l X 1 = i) = f(x +
i= l , - l , O.
i) ,
Alem de (18) ternos as óbvias condi96es de eontamo (19) De (18) e (l - r) =p+ q, (20)
e
[(a)= O v~mos
f(x +l)- f(x)
[(b)= l.
que
=g_p
(f(x)- f(x- 1)),
a
Seja c= [(a+ l)= [(a+ l)- [(a) . Entao (20) implica que f(x
+
l) - f(x)
= C (~)x-a,
a
:$;
x < b.
Usando a fórmula da soma de urna progressao geometrica obtemos f(x) = f(x) -f( a) =
x-1
L
(f( y
+
l) - f(y))
y= a
=
"y=af
=c
C
(CI )y-a p
l - (q j p)"-a --·-- ~-
'
1 - (q fp)
a
:$;
x
:$;
b.
Do caso especial f( b) = l , ternos agora que
c=
1-(ą/p)
1_
l l
(ą/p)b-a
Substituindo este resultado na expressao de f(x), obtemos
f(x) =l - (qjp)X-a. 1 _ (qjp)b-a 231
Em outras palavras, mostramos que se p t= q e p> O, entao (21)
P(S T
=b)= l - (qjp)x-a l - (qjp)b-a'
Segue-se imediatamente de (21) que sob as mesmas condi<;:oes (22)
(qjp)X-a _ (qjp)b-a P(ST=a)= l-(qjp)b-a De (13) e (21) 1-(qjp)X-a EST=(b-a) l - ( q / p )b -a +a.
(23)
Como J.1 =p- q, segue-se agora da identidade de Wald que
(24)
ET =
(b- a) l - (q!py - • _ _x_-_a p - q
l - (q/p)b - a
p - q
a :.,::; x :.,::; b.
Exempło 2 . Modifiquemos o exemplo anterior supondo que o jogador mais rico. em virtude de sua maior habilidade, tern probabilidade 0,6 de ganhar urna aposta qualquer, com o outro jogador tendo probabilidade 0,4 de ganhar a aposta. Determine a probabilidade de que ocorra a ruina ao jogador mais rico, o ganho esperado deste jogador e o numero esperado de apostas. Para este caso tornarnos p = 0,4 e q = 0,6. A probabiłidade de que ocorra a ruina do jogador mais rico e
P(ST
= 15) =
l - (0,6/0,4) 5 l_ (0, 6 /0, 4) 15
= 0,0151.
Para obter o ganho esperado do jogador mais rico observamos inicialmente que o capital esperado do jogador mais pobre ao finał do jogo e EST = 15P(ST = 15) = 15(0,0151)
= 0,23.
Assim o ganho esperado do jogador mais rico ou a perda esperada do jogador mais pobre e $5,00- $0,23 = $4,77, urna boa percentagem do capital inicial do jogador mais pobre. o n lirnero esperado de apostas e
-4,77 -0,2 ""' 24. 23_
Suponha que b ~ oo em (21 ). Pode-se mostrar que o primeiro membro de (21) converge para P(S n > a para todo n ;:. 0). Se q
(25)
P(S, > a P"a todo n ;, O)
De forma semelhante para b ;:. x
~
t
(~)x-a
para q < p, para q ;::,:: p.
= S0
P(S, < b P"a todo n ;, O)
~ (~
(
[!_q)b-x
para p < q, para p ;::,:: q.
Exemplo 3. Urn cassino tern urn capital de cem mil dólares. Urnjogador infmitamente rico tenta quebrar o cassino. Urna vez aceito seu desafio, ele decide apostar S 1000 de cada vez. Se o jogador tern probabilidade 0,49 de ganhar cada aposta e 0,51 de perder, qual e a probabilidade de que eleeonsiga quebrar a casa? Seja S n o capital do cassino ( em militiplos de $1 000) após n jogos. Entao p = 0,51, q = 0,49, x = 100 e ó: =O. De acordo com (25) a probabilidade de que ocorra a ruina do cassino e C}_) x-a
l - P(Sn >O para todo n;:. O) = ( p
= ( O,Sl 0,49) 100
_
- 0,018.
Seja A urn subconjunto dos inteiros (nas aplica96es A tera O, l, ou 2 pontos). Para x f!. A e y f!. A, seja P A (x, y) a probabilidade de que urn caminho aleatório simpies partindo de x alcance y em algurn tempo positivo antes de alcan9ar A. Para x E A ou y E A, seja PA (x, y) = O. Estas pro babilidades podero ser determinadas em termos das fórmulas desta se9ao.
Exemplo 4.
Suponha que p= q. Deterrnine P a, b (y, y), onde a
Depois de urn passo, o carninho aleatório es ta em y - l, y, ou y + l com probabilidades p, l - 2p e p, respectivamente. De y - l, a probabilidade de retornar a y antes de alcan9ar a e (y - a - 1)/(y -a). De y + l, a probabilidade de retornar a y antes de alcan9ar b e (b - y - 1)/(b - y). Assim a probabilidade de retomar a y antes de alcan9ar a ou b e dada por
P{a,b)(y, Y)
=
P
y-a-1 y-a
+
l - 2p
+
b-y-1 p_ b-y __o__
_
ou (26)
p(b -
a)
(y - a)(b - y) 233
Para x t! A e y t! A, seja GA(x, y) o numero esperado de visitas a y (pzra Yalores positivos de n) antes de atingir A para urn caminho aleatório come'o em X. Seja GA (x, y) =o se X E A ou Y E A . Nao e dificil mostrar que o ntirnero de retornos de y a y, antes de atingir A, tern distribui9ao geometrica parametro p= l -PA (y,y). Assim pelo Exemplo 3 do Capituło 4,
pA (y, y) GA(y,y)= l-PA(y,y)
-) Se x =l= y, entao (28)
GA (x,y) =PA (x,y)(l + GA (y,y)).
Pois para ter qualquer numero positivo de visitas a y antes de atingir A , devemos primeiro chegar a y antes de atingir A . lsto ocorre com probabilidade PA (x, y). Se chegarnos a y, o numero total de visitas a y antes de alcan9ar A e l mais o numero total de retornos de y a y antes de alcan9ar A. Isto explica (28). De (27) e (28) ternos que (29)
PA (x,y) GA(x,y)= l-PA(y,y) paratodo x e y.
Exemplo 5. Retornernos ao primeiro exemplo desta se9ao. Deterrnine o numero esperado de vezes n > l que os dois jogadores retornam aos seus capitais iniciais antes que ocorra a ruina de urn deles.
Lembramos que neste exemplo p= q= 1/2, a= O, x = 5 e b= 15. Aprobabilidade de retornar aos capitais originais antes que ocorra a ruina de urn deles ·e, de acordo com (26), (1 /2)(1 5) p o, 15 (5 , 5) =l- 5. 10 = 0,85.
Assim de acordo com (27) o numero esperado de vezes que ambos os jogadores voltaro aos seus capitais iniciais antes que ocorra a ruina de urn deles e G
o ,1 5
(5, 5)
=
p
0,15
l - p 0 ,8 5 0,15
(5,5)
0,15
=
(5, 5)
5,67.
9.3. CONSTRU<;.Ao DE UM PROCESSO DE POISSON Nas se96es restantes deste capitulo consideraremos urn modelo probabilis'tico para a distribui9ao aleatória de particulas no espa9o ou eventos no tempo. Tais modelos encontram aplicac;oes em urna variedade de caropos diferentes. Como urn exemplo, suponha que ternos urna por9ao de urna substancia radioativa e suponha que urn experimento consiste em observar os tempos em que ocorrem as desintegrac;oes. Suponha que o experimento comec;a no tempo O e seja Dm o tempo da 234
r
l
m-es1ma desintegrac;:ao. Como foi discutido no Exemplo 2 do Capituło l, as leis . da fisica nos diz que os teropos Dm devem ser considerados varlaveis alea,tórias. A colec;:ao de pontos D 1 , D 2 , • • • pode ser considerada como urn subconjunto aleatórlo en urneravel de [O, oo). Como óutra ilustrac;:ao de urn fenameno que ~ essencialmente o mesmo, considere as chamadas chegando a urna central telefOnica; Seja Dm o tempo em que inicia a m-esima chama da. Nao se eonhece nenhuma forma de prever D m com exatidao, mas elas podem ser tratadas como varlaveis aleatórlas para obtenc;:ao de resultados uteis. Considere urn experimento do seguinte tipo. Introduz-se urn bastao em urn tubo contendo urna suspensao de bacterias. A seguir esfrega-se o bastao uniformemente sobre a superficie de urn disco contendo nutrientes atraves dos quais as bacterlas podem se multiplicar. Após alguns dias aparece urna colonia visivel de bacterlas em cada lugar onde foi depositacta urna bacterla. A localizac;:ao destes pontos beru como o seu numero total sao aleatórlos. A Figura 2 Hustra esta situac;:ao .
• • •
•
• • •
•
• •
•
•
•
• ••
•
•
• •
Figura 2 A localizac;:ao dos pontos pode ser vista como. urn subconjunto aleatórlo dos pontos do disco. Nos exemplos de particulas radioativas e bacterlas fornos levados a considerar urna colec;:ao aleatórla de pontos em urn certo subconjunto S do espac;:o Euclidiano. Nestes exemplos, tanto a localizac;:ao das " particulas" como seu numero total sao aleatórlos. Associadas a urna colec;:ao aleatórla deste tipo existem diversas variaveis aleatórlas tais como o numero total N de particulas em S, o numero de particulas N B em urn dado subconjunto B c S e a distancia Dm de urn dado ponto em S ate a m-esima. partieula mais próxima. Na Figura 3 as partkulas sao representadas por pontos. Nesta figura N= N 8 = 4 e NB = 2. Estudaremos as distrlbuic;:ćies e as distrlbuic;:ćies conjuntas de varlaveis aleatórlas como estas no restante deste capitul o. Existem naturalmente inumeros modelos matematicos diferentes que consideram a distrlbuic;:ao aleatória de particulas. Consideremos urn dos mais elementares e mais importantes de tais modelos, charuado processo de Poisson. Tal processo 235
esta intimarnente relacionado com a distribui9ao uniforme de partfculas que sera considerada inicialmente.
Figura 3 Considere entao urn sistema em que o numero total de particulas n e flxo, mas para o qual as localiza96es das particulas em S sao aleatórias. O modelo que desejarnos e tal que estas n partkulas se distribuem independente e uniformemente sobre o eonjunto S tendo vołume finito. Seja l B l o volume de B. Entao cada partieula tern probabilidade p = l B l/ l S l de cair em B. Consequentemente o numero de particulas N B que caem em B tern distribui((ao binomial de pariimetros n e p . De urna forma m ais geral, sejam B 1 , B 2 , . • . , B k, k subconjuntos disjunt os de S cuja uniao e S e seja Pi = l Bi 1/1 S 1. Entao as variaveis aleatórias N B,, ... , N B k te.m distribuiyao muliinomial de parametros n e p 1 , •• • , p k· Portanto se n 1 , .•• , nk saonumeros inteiros nao-negativos de soma n ,
· ) P(N B, = nt, · · ·, N Bk = nk =
n! n n Pt ' · · · P/ (n 1 !) · · · (nk!)
=~fi ISI"
j =t
IBlj. ni!
O processo de Poisson em S resulta de urna modiflcayao do sistema acima. Supomos agora que o numero total de partkulas N= N s em S, e urna variavel aleatória tendo urna distribui9ao de Poisson de parametro 'A l S 1. Alem domais admitimos que dado N= n, as partfculas se distribuem independente e uniformemente sobre S. Considere os subconjuntos B 1 , ••• , B k defłoidos anteriormente. Nossas hipóteses sao de que se n 1 , ••• , nk sao k numeros inteiros nao-negativos de soma n, entao
Portanto 236
(30)
= n!, . .. 'N Bk =
nk)
= = =
P(N
=
n! IS I"
n) -
n IB ·l"' k
j~ t
A."IS l" e-~ISI ~ n! ISI"
A."e- ~ ISI
n
j~ 1
c.J1._
nj !
n
lEX'
j~t
nj !
IBjl"'. n j!
Como os conjuntos Bi sao disjuntos e sua uniao e S,
de modo que o segundo membro de (30) pode ser escrito como
n
j~ 1
(A. IBjl)"' e- ~ IB1I ~ n j!
O evento {N =n , NB 1 = n 1 , . . . , NBk = nk } e o mesmo que o evento{NB 1 = n 1 , • . . , N B k = n k } porque n = n 1 + · · · + n k e. N = N B 1 + · · · + N B k. Portanto
Acabamos assim de demonstrar urn importante fato : (31) Em outras palavras, as varióveis a/eatórias N B 1 , • • • , N B k siio independentes e tern distribuiroes de Poisson de panimetros A l B i l , . .. , A l Bk l, respectivamente. Nao e muito surpreendente que as variaveis aleatórias N B i• l .;;;; j .;;;; k, tenharo distribui9óes de Poisson; mas e surpreendente que sejam mutuamente independentes porque no caso em que o numero de particulas e flxo, as quantidades correspondentes sao dependentes. E esta propriedade de independencia que toma facil o manuseio do processo de Poisson em aplica9óes. Nos modelos acima, o numero total de partfculas, fosse ele flxo ou aleatório, era sempre fmito, e as particulas se distribuiam sobre conjuntos tendo volume total ftnito. Entretanto para certas finalidades e teorieamen te mais simpies considerar urn numero inflnito de particulas distribuidas sobre urn eonjunto tendo volume infmito. Assim poderiamos desejar que as ·particulas se distribuissem sobre todo R' ou todo [O, oo) etc. Para cobrir tais casos, necessitamos apenas introduzir urna pequena extensao no modela anterior. A hipótese bdsica de um processo de Poisson sobre um eonjunto S tendo mlume fin ito ou infinito e que se B 1 , • •• , B k siio subconjuntos disjunto s de S
tendo volumes finitos, as varidveis aleatórias N B, , . . . , N B k siio independentes e tern distribuiroes de Poisson de parametros A l B 1 l , ... , A l B k f, respectivamente. A constante A chama-se parametro do processo de Poisson.
Seja B urn subconjunto de S tendo volume fmi to . Como urna conseqiiencia da defmi~ao de processo de Poisson, segue-se que se B 1 , B 2 , • •• , B k sao· subconjuntos de B cuja uniao e B e n 1 , n 2 , •• • , nk sao numeros inteiros naonegativos cuja soma e n, entao (32)
n)
P(NB,
-IBI"n ! jn=l IBnj!·l"i k
'-=.)__~__
•
Para verificar (32) observe que a probabilidade desejada e simplesmente
P(N 8 ,
= n1 , ... ,
N8k
P(N 8 = n)
ru= -
__
i.I Bil l)"ij nj! - 1-e--- ().I B; __ _ e- l iBI (i. IB I)"j n !
que se reduz ao segundo membro de (32). Outra interpreta~ao de (32) e a seguinte : Dado que existem n particulas em B, a distńbui9ao conjun ta das vańaveis aleatórias N B 1 , .• . , N B k e a mesma que se obtem distribuindo n particulas independente e uniformemente sobre B. Este fato e muito util na resolwrao de alguns problemas em que o processo de Poisson atua como entrada de urn sistema mais complicado. ao entraremos em maiores detalhes deste aspecto do p rocesso de Pois.son no presente texto. (Veja entretanto os Exercfcios 2 1 e 31 para ilustrayao de seus usos.)
9.4. DISTANCIA As PARTICULAs Suponha que ternos urn processo de Poisson sobre urn subconjunto S · do · espa9o Euclidiano. Se S tern volume finito , o numero N de particulas em S e fmito. Sejam D 1 ~ D 2 ~ • • • ~ D N as distfulei as da origem as particulas, ordenadas em ordem nao-decrescente. Se S tern volume infmito, o numero de particulas em S e infmito e representamos por D 1 ~ D 2 ~ • • ·~Dm · · · as distancias da .origem as particulas, ordenadas em ordem nao-decrescente. Tal arranjo e possivel porque, para qualquer num~ro positivo r, apenas urn numero finito de particulas estao a urna distancia menor que r da origem. Nesta se9ao obteremos a distribuiyao de Dm para diferentes escolhas do eonjunto S. Daremos inicialmente urn exemplo em que essas distancias ocorrem naturalmente: suponha que as estrelas situadas em urn certo eonjunto S do espayo Euclidiano tńdimensional se distribuem de acordo com urn processo de Poisson sobre S com parametro A. Suponha alem do mais que essas estrelas tern igual bńlho. A quantidade de luz de urna estrela que chega a ońgem, e proporcional ao inverso do quadrado da distancia da origem a estrela. Assim a quantidade de luz recebida de
urna estrela a urna distancia r da origem e K/r 2 para algurna eonstan te K. A quantidade de luz recebida da estrela mais próxima (e portanto aparentemente mais brilhante) e K/Di. A quantidade total de luz e
Atraves de tecnicas avanyadas de probabilidade pode-se mostrar que se S e todo o espayo tridimensional, a soma da serie acima e infmita com probabilidade l. Este fato tern interessantes implicay6es em cosmologia. Deterrninaremos agora a distribuiyao de Dm supondo por simplicidade que s tern volume infmito. Seja s r =s() X: l X l .;;;; r (isto e, seja s r o eonjunto de pontos em S que estao a urna distancia nao superior a r da origem), e seja .p(r) o volume de S,. O numero N s, de particulas em S, tern urna distribuiyao de Poisson de parametro /....p (r ). O evento {Dm .;;;; r} e mesmo o que o evento {N s, ;;;;. m}. Assim pel as Equay6es (39) e ( 40) do Capituło 5 (33) J.
=
Jo
tm-le-t :
(m - l)!
dt.
Segue-se de (33) que se .p(r) e diferenciavel, entao Dm tern funyaO de densidade
f m dada por ).m
(34)
(m - l)!
r >O.
Se .p(r) e estritarnente crescente, tern urna funyao inversa continua .p- 1 (r). Seguese de (33) que a variavel aleatória .p(Dm) tern a distribuiyao gama r(m, /...). Em inllm.eros casos irnportantes .p(r) e da forma .p(r) = crd, onde c e urna constante numerica (isto e verdade, por exemplo , se S = Rd ou se S= [O, oo )). :'\esre caso (34) se transforma em
r >O.
(35)
Diversos casos especiais desta fórmula serao considerados nos exercicios. saremos a Pórmula (35) para determinar os momentos ED/n nestes casos. Assim
ED!.,
=
=
f" f
rjfm(r) dr
d(cJ.)m r md+j-l e -cJ.rd d r. o (m - l)! cs:;
---
239
Para detenninar estes momentos, fazemos a mudanya de variavel s == A.crd e integrarnos para obter (m -
l)!
9.5. TEMPOS DE ESPERA
Ate este ponto visualizarnos urn processo de Poisson como urn modelo para a distribuiyao de partkulas no espayo. Se pensarmes no eonjunto [O, =) como sen do o eixo dos tempos, podemos considerar urn processo de Poisson em [O, oo) como a distribuiyao de teropos em que ocorrem certos eventos. No comeyo da Seyao 3, mendonarnos alguns exemplos do uso de urn processo de Poisson em [O, oo) desta maneira. Quando passarnos a pens ar e m urn processo de Poisson em [O, oo ), como a distribuiyao de eventos no tempo e nao mais com o a distribuiyao de partkulas no espayo, introduzimos urn novo eonjunto de termos. Em vez de falar de "partfculas", passarnos a falar de "eventos", e a distancia D m da origem a m-esima partieula se transforma em tempo de ocorrencia do m-esimo evento. Seja N(t) == N 10 , t] o nurnero de eventos que ocorrem no intervalo de tempo [0, t). Entao N(t) e urna variavel aleatória com distribuiyao de Poisson de parametro 7\t. Se O.;;;; s.;;;; t , N( t) - N ( s) e o nurnero de eventos que ocorre no intervalo de tempo (s, t] , e tern urna distribuiyao de Poisson de parametro X(t - s). De urna formamais geral , se O.;;;; t 1 .;;;; t 2 .;;;; • • ·.;;;; tn , entao N(t 1 ), N(t 2 ) - N (t t) , . . . , N (tn ) - N(tn _ 1 ) sao variaveis aleatórias independentes que tern distribuiy5es de Poisson de parametros
respectivarnente. Estes fatos sao decorrencias imediatas da defmiyao do processo de Poisson e sua descri9ao em linguagem de tempo. Como foi mencionado acima, Dm e o tempo do m-esimo evento. Sabemos dos resultados da SeyaO 9.4 que Dm tern distri buiyaO gama r(m, 71.). Em particular D 1 se distribui exponencialrnente com parametro X. Lembre-se do Capitulo 6 que a soma de m variaveis aleatórias independentes identicamente distribufdas com distribui9ao exponencial tern a distribuiyao gama r(m , 71.). Suponha que se define as variaveis aleatórias W1 ,W2 , . • . , Wn , ... da seguinte forma : W1 == == D 1 , Wn ==D n - D n - 1 ; n;;;;. 2. Entao claramente Dm == W1 + · · · + Wm. A discussao acima torna plausivel que W1 , W2 , . .• , Wm sejam variaveis aleatórias independentes exponencialrnente distribuidas com parametro comurn 71.. Este fato e verdadeiro , sendo urna propriedade bastante interessante e util do processo de Poisson em [O, oo ). Naturalmente a variavel aleatória Wm nao e nada mais
240
................................................
~ ~ ~~==~
~
que o tempo W1 , W2 , • • Poisson.
o (m - 1)-esimo e o m-esimo eventos , de modo que - ~;:;:;: sao tempos de espera entre eventos sucessivos de urn processo
entr~ •
~
Teorema l. Sejam W1 , W2 , ••• , Wn, ._. . os temp os de espera en tre eYentos sucessivos de urn processo de Poisson em [O, oo) de panimetro A. Entao Wn, n ~ l, sao variaveis aleatórias mutuamente independentes, exponencialmente distribuidas, como media comurn A- l . Demonstra~o.
Seja f n a densidade n-dimensional dada por para O :::;; t 1 :::;; t 2 :::;; .. • :::;; t., para outros valores de t 1 , • • • , t n.
Vemos do Exemplo 13 do Capituło 6 que o teorema e verdadeiro se, e somente se, as variaveis aleatórias D 1 , ••• , D n tern densidade eonjunta f n· lsto e verdadeiro para n = l urna vez que D 1 se distribui exponencialmente com parametro A. Urna demonstrayaO geral rigorosa e mais complicada. Antes de apresenta-la, daremos urna forma heuristica de constatar este fa to. Seja O= t 0 < t 1 <···
P(t; < D; :::;
+
t;
h, l :::;; i :::; n)
P(N( t 1 ) = O, N( t 1
+
N(t.) - NCt.-t
h) - N(t 1 ) = l, ... ,
+
h) = O, N (t.
+
h) - N (t.) ~ l)
e-lr'(Ah)e-).h ... e-).(tn -tn- 1-h )[l _ e-lh]
= ;_n-lhn - Ie-Atn(l _ e-).h). o
o t,
o
t, + h
Figura 4 Se soubessemos que as variaveis aleatórias D 1 , D 2 , • • • , D n tern urna densidade eonjunta gn que e continua no ponto (t 1 , t 2 , • •• , tn), podedarnos concluir que
on de e (h)
e algurna funyao de
h tal que
!im h jO
~?:Q = h"
O.
Seguir-se-ia entao de (36) que 241
g(t 1 ,
... ,
tn) = lim h-"P(t; < D; ::; t; h jO
. on- l e l Im,._ hJO
;.,"
+
h)
-Ah
l -- e h
como desejavamos. Daremos agora urna demonstrac,;ao elementar porem rigorosa do Teorema l. Embora esta demonstrac,;ao nao seja dificil, e urn tanto longa , e o leitor podera orniti-la se assim o desejar. Seja F n a func,;ao de distribuic,;ao que tern densidade f n. Da defmic,;ao de f n segue-se de imediato que para n~ 2, fn(s 1 ,
..•
,sn) = / 1(s 1 )fn- 1 (s 2 - s1 , ... , Sn
I'
lutegrando ambos os membros sobre o eonjunto s 1 (37)
Fn(t 1 ,
••• ,
tn) =
~
r1 ,
.. • ,
-
s 1).
sn~ t n , vemos que
/1(sl)Fn-1(t2 - S1 , .... t - 51) ds 1 •
Seja G n a distribuic,;ao eonjunta de D 1 , D 2 , ••• , Dn. Do Exemplo l O do CapituJo 6 vemos que o teorema e verdadeiro se, e somente se, as va.riciveis aleatórias D 1 , • • • , D n tern densidade eonjunta f n, e portanto a funyao de distribuic,;ao eonjunta F n. Conseqiientemente para demonstrar o te orema devemos mostrar que F n= Gn. Mas FI e simplesmente a distribuic,;ao exponencial de panimetro A. Como foi observado anteriormente, G 1 , a distribuic,;ao de D 1 , e tamhem exponencial de parametro X. Portanto F 1 = G 1 . Suponha que podemas mostrar que para n~ 2, (38)
Gn( t l>
,, • . .
,· tn) =
o
Entao como F 1 = G 1 , seguir·se-ia de (37) e (3 ) que G 2 = F 2 . ·sando o fato de que G2 = F 2 , outra aplicayao de (3 ) e (3 ) mo.srraria que G 3 = F 3 etc. Em outras palavras, se soubessemos que (38) e vilido o te o rema seguir·se·ia de (3 7) _e (38) por induc,;ao. Para es tabelecer (38) podemas su por que O ~ t 1 ~ · · · ~ t n, pois em caso contrario arnbos os memoros de (38) sao zero. Para iniciar a demonstrayao , observe que o evento Di ~ ti e o mesmo que o evento N(tż) ~i e assim
{D; ::; t;, l ::; i ::; n}
n {D; ::; t;} n {N(t;) ~ i} n
i= l
n
i; l
{N(t) ~ i, l ::;
Podemos, por>tanto, escrever 242
::; n}.
G"(t 1 , t 2 , ••• , t") = P(N(tJ Conseqtientemente (38) e o mesmo que P(N(t;) ;?: i, l :=:; i :=:; n) (39) =
L' /
i, l :=:; i :=:; n).
;?:
1(s 1)P(N(t; - s 1)
~
i -
l , 2 :=:; i :=:; n) ds 1.
Para estabelecer (39) observe inicialmente que para qualquer k ~ l
(.A.t)k e -lt = k!
(40)
l' ' o
Ae -ls [.A.(t - s)J-l e -i·(r-s) ds. (k - l)!
De fato,
l'' o
l' (
Ae -ls [.A.(t- s)Jk-1 e -l(t-s). d s -- -e-).r.A.k -t - s)k-1 d s (k - l)! (k - l)! o
= e-lr.A,k
ds = (.A.t)k e-).r. k! ",;;;tn eque l.;;;;k 1 .;;;;k2 .;;;; ••• .;;;;kn. Alegarnos
f' sk-I
(k-l)!Jo
Suponhaque o.;;;;r 1 .;;;;t2
.,;;; • ••
a seguir que
(41)
P(N(tl) = k1, ... , N (t") = k") =
J~
1
.A.e-l5 P(N(t 1 -s)= k 1
l, ... , N (t"- s) = k" - l ) ds.
-
Para verificar este fato, observe que de acordo com (40)
(42)
P(N(tl) = kt, ... , N (t") = k")
x
O[.A.(ti _
j=2
..•
ti_ 1 )Ji-kJ- •e- i.(rrr 1 - •l
.
(kj - kj-1 )!
Por ou tro lado
(43)
f'' .A.e-l5 P(N(t 1 Jo
s) = k 1
-
f'' .A.e-l P(N(t 1 = Jo 5
X
-
-
1, ... , N(t" -s) = k" - l) ds s) = k 1
n P(N(tj- s)n
j=2
-
l)
N(tj-1 -s)= kj- kj-1) ds
243
Comparando o segundo membro de (42) com o de (43) vemos que (41) e verdadeiro. A igualdade desejada (39) segue-se entao de (4 1) pela soma de ambos os membrosde(4l)'sobretodososvaloresde k 1 , .•• ,kn taisque k 1 ~k2 ~--·~ n e k 1 ~1, k 2 ~2, ... , kn~n. Exercicios l. Seja S n urn caminho aleatório com J.l =O e S 0 = x. Suponha que P(a-c~ST~b+d)=
onde a
c~O
e
l,
d~O.
(a) Mostre que (a - c)P(Sr
~
a)
+ bP(Sr
::?: b)
~ x ~ aP(Sr ~ a)
+
(b
+
d )P I Sr ::?: ó.
(b) Mostre que
2. Urn jogador faz urna serie de apostas de $1 .. Ele decide a bandonar o jogo quando seu ganho łiquido alcanya $ 25 o u su a per da łiquida · an, a -O. Suponha que tanto a probabilidade de ganhar como a de perder urna aposta sao iguais a l /2. (a) Determine a probabilidade de que tenha perd.ido S50 ao abandonar o jogo. (b) Determine sua perda esperada. (c) Determine o numero de apostas que fara antes de abandonaro jo o. 3. Suponha que o jogador descrito no Exer fcio _ esta jogando roleta e que suas pro babilidades reais de ganhar e de perder urna aposta sao 9 19 e l 0/ 19, respectivamente. Resolver (a), (b) e (c) do Exercfcio _ usando as probabili dades reais.
4. Urnjogador faz urna serie de apostas com probabilidade p de ganhar e probabilidacle q > p de perder cada aposta. Ele decide jogar a te ganhar M 1 dó1ares ou perder M 2 dó1ares, onde M 1 e M2 sao numeros inteiros positivos . Ele pode apostar l ou 1/2 dólar de cada vez. Mostre que e mais provavel ganhar M 1 dó1ares antes de perder M 2 dólares apostando 1/2 dó1ar de cada vez. Que generaliza((iiO deste resultado parece plausfvel? 5. Derive (14) resolvendo a apropriada equayao de d.iferenya finita.
6. Seja S n urn caminho aleatório simpies com p = q = 1/2 e seja a< b. Obtenha P(a ,bJ (x,y) e G(a,bJ (x,y) para a
7. Seja S n urn caminho aleatório simpies com p= q= I/2. Obtenha P roJ (x,y) e G roJ (x,y). para x>O e y>O.
'
~·
8. Seja Sn urn caminho aleatório simpies com O (x, y) e G0 (x,y) para x>O e y>O. 9. Seja Sn urn caminho aleatório simpies com O
I2. Suponha que se escolhe n pontos independente e uniformemente em urn circulo de raio R com centro na origem. Toma-se cada ponto como o centro de urn circulo cujo raio tern densidade f. Obtenha em termos de p do Exercicio II a probabilidade de que exatamente k circulos contenham a origem. 13. Obtenha a resposta do Exercicio I2 para o caso emque se substitui os n pontos por urn numero aleatório de pontos tendo urna distribui~ao de Poisson de media nR 2 o
14. Suponha que se distribui aleatoriamente N bolas em r caixas, onde N tern urna distribui~ao de Poisson de media A. Seja Y o numero de caixas vazias. Mostre que Y se distribui binomialmente com parametros r e p = e- "' /r Sugestiio: se Xi e o numero de bolas na caixa, i, entao X 1 , X 2 , • •• , X, sao variaveis aleatórias independentes com distribui~ao de Poisson de parametro f.../r. o
15° Usando o resultado do Exercicio I4 podemas derivar facilmente a probabilidade Pk(r, n) de que exatamente k caixas estejam vazias quando se distribui n bolas aleatoriamente em r caixas. Para tanto observe que P(Y
=
k)
=
L
n=O
P(N
=
n)P(Y
=
k
lN =
n)
os coeficientes de An, derive novamente a Equa~ao (16) do Capitulo 2. 245
16. Suponha que os tempos de fallias sucessivas de urna rruiq · de Poisson em [0, oo) de panimetro A.
--o:::::::le ...:::;::; ~
(a) Qual e a probabilidade de que ocorra pelo merros urna detempo (t,t+h), h>O? (b) Qual e a probabilidade condicional de pelo merros urna f t+ h, dado que nenhuma falha ocorreu ate o tempo t ? 17. Suponha que ternos urn processo de Poisson de pariimetro A em [O = . Sej 2 Z t a distiincia de t ao ponto mais próximo a direita. Obtenha a funyao de distribui~ao de Z t· 18. Suponha que ternos urn processo de Poisson de parametro A em [O, oo ). Seja Yt a distiincia de t ao ponto mais próximo a esquerda., Fa~a Yr = t se nao existe nenhum ponto a esquerda. Obtenha a fun~ao de distribuis;ao de Y r· 19. Para Zr e Yt dosExercicios 17e 18, (a) Mostre que Z t e Y t sao independentes, (b) Obtenha a distribuis;ao de Zr +Y r. 20. Suponha que particulas chegam a urn contador de acordo com urn processo de Poisson de parametro A. Cada partieula provoca urn pulso de duras;ao unitaria. O contador registra a partieula se, e somente se, nao ha nenhum pulso presente no momento da chegada. Obtenha a probabilidade de que urna partieula seja registrada entre os tempos t e t + l. Suponha que t ;;;. l. 21. Considere u~ processo de Poisson de parametro A em [O, oo) e seja T urna variavel aleatória independente do processo. Suponha que T tern urna distribuis;ao exponencial de parametro v. Seja N T o numero de partkulas no intervalo [O, T]. Obtenha a densidade discreta de Nr. 22. Resolva o Exercfcio 21 supondo que T tern distribuis;ao uniforme em [0, a], a>O.
-23. Considere dois processos independentes de Poisson em [O, oo) ten do parametros x, e x2' respectivamente. Qual e a probabilidade de que o primeiro processo tenha urn evento antes do segundo? 24. Suponha que n partkulas se distribuem independente e uniformemente sobre urn disco de raio r. Seja D 1 a distiincia do centro do disco a partieula mais próxima. Obtenha a densidade de D 1 • 25. Determine os momentos da variavel aleatória D 1 do Exercicio 24. Sugestiio: ~btenha urna integral Beta por meio de urna mudans;a de variaveL 26. Considere urn proćesso de Poisson de parametro X em R'. Para urn eonjunto A que tern volume fmito, seja N A o numero de particulas em A. (a) Determine EN'3t. (b) Se A e B sao dois conjuntos com volumes fmitos, determine E(NANB). _46
V '
27. Sejam A 1 , A 2 , •• •., A n n conjuntos disjuntos com volumes fmitos , e de urna forma semelhante sejam B 1 , B 2 , • • • , Bn n conjuntos disjun os ~o:;: volumes fi nitos. Para numeros reais a 1 , ••. , et n e ~ 1 , •.. , ~n , seja
g(x) =
n
L
i= l
f3i1 8 ,(x).
e
f(x)
=
n
L o)A,(x)
i= l
Para urn processo de Poisson de parametro A mostre que
E
(t1aiNA,) (t1/3;N B,) = (Jw f(x) dx) (L, g(x) dx) + A fw f(x)g( x) dx. .Jc
2
28. No Exercicio 27 mostre que Var
(t a;NA, ) 1
29. Considere urn processo de Poisson de parametro A em R tiincia da origem m-esima partieula mais próxima.
a
3
e seja Dm . a dis-
(a) Obtenha a densidade de Dm. (b) Obtenha a densidade de D~ . 30. Suponha que ternos urn processo de Poisson de parametro A no serniplano superior de R 2 , isto e, o processo de Poisson esta no subconjunto S = = (x,y):y>O de R 2 •
31. Considere o seguinte sistema. Os tempos de chegada de partkulas no sistema constituem urn processo de Poisson de parametro A em [O, oo ) . Cada partieula permanece no sistema durante urn certo tempo independente dos tempos de chegada das partkulas e independente dos tempos de permanencia de outras particulas. Suponha que os tempos de pennanencia das partkulas se distribuam exponencialmente com parametro comurn J.l. Seja M(t) o nuinero de particulas presentes no sistema no tempo t . Deterrnine a qistribuiyao de M(t) atraves das etapas seguintes. (a) Suponha que urna partieula chega, de acordo com urna distribuiyao uni· fonne em [ 0, t] e, pennanece durante urn tempo exponencialmente distribuido com parametro J.l , Obtenha a probabilidade Pt de que a partieula esteja no sistema no tempo t. (b) Usando o fato de que, dado N ( t ) = n, as partkulas se distribuem independente e unifonnemente em [O, t], m ostre que t
P(M(t) = k
l N(t) =n)=
(Z) p~(l -
p1)"-k.
(c) Mostre a seguir que M(t) se distribui de acordo com urna distribuiyao de Poisson de parametro At p t · • 247
RESPOST AS DOS EXERCiCIOS
CAPITULO l 2 . 18/37.
3. 1/2.
4. 1/8.
6. 3/10.
7. 1/2.
8. 3/10.
1 o. 5/8, 3/8.
9. 5/12. 12. 1/2.
11 . 4/5.
13. (a) 1/2, (b) 1/2.
14. 2/5.
15. 5/29.
16. 10/19.
18. (a) 19/25, (b) 35/38.
19. O.
(r
+
r(r - l) ' b)(r + b - 1)
(~
(r
+
(r
+
br b)(r + b -
(d) _ (r
+
20. (a) (c)
,
l)
~
b)(r
+
b -
J)
'
_bC!?__-=J.)_ _ . b)(r + b - l)
21. (a) 98/153, (b) 55/153.
22. (b) 13/25, (c) 21 /25.
23. (b) 2/5, (c) 9/10.
25. (a) 1/ 12,
26. (a) 1/4, (b) 2/5, (c) l /2.
27. 14/23 .
28. 4/9.
29. 2/13.
31 . (a) (r
+
c)/(b
37. l - (4/5)
~S.
(a)
ktO
51
+
r
+
(b) b/(b
c),
c:) (~r (~rO-k' .
6 ·122 42 . 4 13 - 124
+
(c) 6/17.
30. 1/3. r
+
c).
56/5.
39 . .9976.
45 . (a)
(b) 17/36,
(b) 1 -
(~t
40. 2.
44. 1 - (1/10) 12.
.
12) ( -1)2 (5) ( 2 6 6
41. 75/91.
1 0,
(b)
(1)k L2 (12) - (5)12-k - · k 6 6
k= O
T 46. l - (11 /4)(3/4) 7 .
CAPfTULO 2 2. (a) 2", (b 1 2(2" - l ).
1. 64.
4. (10)6 / 10 6 .
3. 1/n.
5.
(11 -
l )(rln- 1 /r".
7. 2(n - k - 1)/n(n - l ).
8. n(n + 1)/2.
9. (a) (n - 2) /n(n - 1), (b)
(a) (;)n! n-",
10.
( 11 -
2)/(n -
(;)cn-1)!/(11-1)",
(b)
l)
2
.
1/n.
(c)
c~ Jl_._!!__ b- n+ r + b) r (
13.
l
.n - l
14. (a) 4q, (b) 4
(d ) l3 ·1 2 · 4·6ą. (g) 13.
(e)4·
c;) 4 ą, 3
(h)
; . (5?)-
en . er c=:) l(:) .
Sendo q =
(c) 13 ·48 ą,
·!Oą .
13
C~)
q.
G)
5
5
(f) l0·4 ą.
~). 11· 4ą.
18. 20.
21 . 23 24
. .
25 .
_s o
k)" /(r)",
E~pandir
16. 4. (48)n-l/(52)n· Cb) ( 1 -
~r
os termos .
(~~)l G~) ·
e:r1c:) ·
C:) (:)
l
15. 81
11. (a)
(i) \3
[c;) - Cs Jl[C:) - en l· [G) - (n ~ 3) ]/G).
22
.
6 )
26.
G) G~) lG~) ·
e;),C~).
3
4 q.
11 ( /' :
b)
t CAPiTULO 3 1 . f (x) =
1/10,
0,1 , . .. ,9,
X=
{O
para outros valores de x.
2. P(X + r =n)= p' ( -r )(-1)"-'(1- p)"-', n .-= r, r + !, . ... n - r
3.
(a) P(X
c
(!) ~
= k) =
k) ,
O
(',~)
(2)"-k, (n) (3)k 5 5
(b) P(X = k) =
k
ś ś k
6, ·
O ś k ś n.
5. (a) 0,3, (b) 0,3, (c) 0,55, (d) 2/9, (e) 5/11.
4. lj(2N+l - 2).
6. (a) (! - p) 4, (b) (l - p) 4 - (l - p) 8 + (l - p) 10 , (c) (l _ p)3 _ (l _ p)6
(l _ p) 7 _ (l _ p)11.
+
7. (a) 3/4, (b) 1/ 10, (c) 1/ 25, (d) 3/50. 8. F(X = k) = (2k - 1)/144, 9. P(X= k) _
=
(k
-l);c;).
_ {p(l -
10.P(Y-x)-
pt, x
l ś k ś 12. k= 2,3, ... ,12. = 0, l , ... , M -
x=M.
(1-p)M,
l,
,
11. (a) P(X 2 = k 2 ) = p(\ - p)\ (b) P(X
(b)
13.
15.
ś
y)
=
y
n 1 n
l' ,
l, 2, ... , r -
(a) 2/3,
14. (a)
k = O, l , 2, . .. , 3 = k) = p(\ - p)k- 3, k = 3, 4, ... .
(Y) /(r)· = n n+ l, ... , P(Z ~ z)= C+ ~ - z) / C), z= 1
12. (a) P(Y .
+
(b) 2/9, 2
N + , 2(N + l)
(c) 13/27.
(b) -
1
-
N+ l
.
2(N - z)+ 1 , z= O, . .. , N, (N + 1) 2 2z + l ( b ) P (max (X, Y) = z)= , z = O, .. . , N, (N+ 1)2
(a) P (min(X, Y) = z)=
11
+
l.
1 l
(a)
P1
+
,
N+ l
X ' = z) = 2(N
P( ly -
16.
1 -
XI =· 0) = -
(c) P( IY -
++l 1)2 - z), z
(N
l
Pz , Pz - P1P2
(b)
+
P1
+ p2
Ly h(y ),
20. 5/72. 21 . (a) _ _(_2 r_) _! X l! . . . x,! r 2 r
(b) h(y)
on de
'
X
N
.
-
P 1P2 ,
Z= O, l, 2, ... .
PIP2 [(l - Pz)z+ l - (l - P !)z+l ], P 1 - P2
18. (a) g(x)
,...,
P1P2 P2 - P1P2
17. (a) densidade geometrica de parametro P1 (b)
l
=
Lx g(x). i S[O numeros inteirOS nao-negatiVOS CUja Soma
(2r)! (b) 2~r2r .
22. (a) densida:de binomial de parametros n e p 1 (b)
(z) (
p
Y P1 512 23. (53/8)e- •
1
+
Pz
25. (a) l - (5 /6) 6 , 30.
(
X -
l) (Y -
i - l
X -
l
C)
x~' 2e- l
-
(x/2) !
O
r - j
2 :::; z:::; N,
+
Nz
1 :::; z :::; 2 rv,
para outros valores de z.
( 1 - cN+ I),
1- t
e
t "# l ,
. . . , x mte1ro nao-negatwo par, para outros valores de x .
). 1 36 (x + y + z)! ( · x ! y! z ! ). 1 + Az +
37. (a) /·PC<- IJ,
24. (17/2)e- 3 . 26. p'(l.- p)x, -r ,
l) (n- Y)
o
+ p2 ,
)Y
z - l
{
N + l
(
Pz
~· z) = 2N + l - z
=
-
+
(b) 4.
32.
f x(x) =
p
P1
j -:- i -
31. P(X + Y
33 .
)z-y (
2
).3
)x·(
A1
+,
}.
2
J.2
)Y (
+ J.3,
(b) densidade de Poisson de parametro 'A.p.
;.3
)z
;., + Az + A3 .
e 2r.
CAPITULO 4 1. (2N + 1)/3. 3. A,- 1 (1 - e_ ;,).
2. 4p(I ~ p)(I - 2p). 4. 17.
6. p- 1 (1 - p)[l - (l - p)M]. e
8. EX= N/2 10. 2.
+
14. E (2 X
Var X= (N
+
2N)/12.
3Y) = 2EX + 3EY, 3 Y) = 4 Var X + 9 Var Y.
Var (2X
+
16. (a) (l -
~
(d) r
7. M+ p- 1 (1 - p)M+ 1 . 2
r
(b) (l -
;r
(c) r (l -
(1 - ;r [l - (l - ;rJ +
r(r -
17. (a) l, (b) l. k-1
1a.
L
t=1
r
~
l)[ (t - ;r- (l - ~r"J.
. l
r(l - i/r)
20.
2.
2 -(J2
V(af + aD(u} + ui) 21. 9 - 2.J2.
22. -1.
23. (a) - 1/3, (b) -1 /2. 25. (c) EXY = n( n - l) Var X
n(n -
(d)
n
26. l
o=
=
n
(!:.!) r
' 1 r2 r(r - l)
,
(1 - !:.!) ~ , rr-1
l) _0_!i_ - n 2 0' 2 r(r - l) r2
Var Y
C=;) J'~;2 (1- ~) (1 _~)
=
n
(~) r
(1 - C~) ~ ; rr-1
•
l.
27. A desigualdade de Chebyshev mostra que a= 781 sera suficiente (ver tamhem a resposta do Exercicio 46 do Capituło 7). 32. z/2. 33. zA. 2 /(A. 1 + ),2 ).
CAPITULO 5 1. Fx( -1) + l - Fx(3).
2. 3.
F(x) F(x)
4. F(x) 5. F(x)
= O, x < O; F(x) = x / R 2 , O $ x $ R 2 ; e F (x) = l, x > R 2 • = O, x < O; F(x) = x 3 j R 3 , O $ x $ R ; e F (x) = l , x > R. = O, x < O; F (x) = x/a, O $ x $ a; e F (x) = para x >a. = O, x < O; F(x) = (2hx - x 2 )fh 2 , O $ x $ h; e F(x) = l, x >
h.
253
6. F (x) =O. x < S' J /2; F (x) = "4x 2 e F(x) = l. x > s." 7.
=O.
-
3s 2 /s, s,' J /2 :<:; x :-::; s;
F(x )
x
2
,
8. m = ).- 1 loge 2. 9.
f
= -log 0,9/100 Jog 2 = 1,52
X
lQ- 3 •
10. F(x) =O, x
e
F(x) = l, x ~ a/2.
11. (a) 7/12, (b) 1/3, (c) 1/6, (d) 5/12, (e) 1/2. 12. (a) (iv)F(x-)=F(x) paratodo x; (b) (ii) F e urna fun9ao nao-crescente de x e (iii) F( - 00) = l e F(oo) = O; (c) (ii) F e urna fun9ao nao-crescente de x, (iii) F( - 00) = l e F(oo) = O, e (iv) F(x-)=F(x) paratodo x.
)L
13. F(x) = 0,~ < -5; F(x) = (x + 10)/20, -5 :-::; x < 5; e F(x) = l, x ~ 5. 14. e- 1
-
e- 2 •
15. {(x) = l/2( lxl + l )2 = F'(x) para to do x. 16./(x) = 3x 2 fR 3 ,0 < x < R; e {(x) = Oparaoutrosvaloresde x. 17. f(x) = x, O< x < l; {(x) = 2- x, l < x < 2; e f(x) =O para outros valores de
x.
18./y(Y) =f(y) +f(-y),y > 0 ; /y(Y) = O,y :<:;O.
19. f(x) = 2xg(x 2 ), x > O; e g(y) = f (·f y)/2 ·. fy, y > O. 20. Se {3 > O, entao [y(y) = (jy!3- 1 , O< y < l, e fy(y) =O para outros valores de x . Se {3
23. rp(x) = (x - a) /(b - a), - oc < x < oo. 24. Y tern urna densidade exponencial de parametro f..../c. 25. Multiplicar g por 12. 26. fr(Y) = lbl/lrW + (y - a) 2 ), - x < Y < 27. F (x) = O,x < - 1; F(x) = 1/2 + 1/n: arcsen x, -1 :-::; x :-::;l; F (x) = l. x >l. f (x) = 1/n:'- l - x 2 , - 1 < x < l, e f(x) = O para outros valores de x 28. f (x) = ). X e-;.x>. - X < X < OC . 29 . X- a e a- X tern a mesma distribui9ao. F(a- x ) = l - F(a + x) para todo x . 30.
2_ e- ' 21 2 a', a\12n:
O< y < oo,
e frl Y) = Oparaoutrosvaloresde y.
l 32. fr(Y) = - --= exp(- (logy - ,u) 2 /2a 2 ],0 < · y < oo, e fy(y)=O paraoutros ayV 2n: valores de y. 34. (X - .u)f a tern a distribui9ao normai padrao. 33. 0,6826.
254
• l
= 0.0030.
35 . f~ ( -
l ~5 1 = 0.0092. [y(-4) = 0,0279, [y(-3 ) = 0.06.:: .::. O.LJO. fl - l l = 0,1747, [y(O) = 0, 1974, [y(l) =0.1 4 - . l C I = O.L:O. _..) : = 0.0655. [y(4 ) = 0,0279 , [y(5) = 0.009~ . ') (61 = 0.00"0. _..l _\ = O para outros valores de y .
=
l i - -
36 .
f.l
=
= :
=
0.244 12.! ..!.
160. ;:;
P X~ _()() ) = 0,0885, P(X ~ 220 l X~ 200) = o
38. 2 segundos. 39. Com distribuic;ao geometrica de panimetro 1 - e -A. .
40. (e) g ( t) = A, t > O, onde A e o panimetro da distribuic;ao exponencial; (f) melhora para a < 1, deteriora para a > 1 e permanece o mesmopara a = 1. 41 . Densidade gama r ( a, A/ c).
43 • 44.
re Y ) --
JY
tp( y) =
2).' Y la-l e -
).r2
!(et) -
' y, y ~
, y >O, e fr (Y) = Opara outrosvaloresde y.
O.
45. tp(x) = [
46 . .p- l (0,1) = - 1,282, .p- 1 (0,4) = - 0,253 , .p- 1 (0,7) = 0,524 , 47. f.l + 0,675a .
1
.p- (0 ,2) = - 0 ,842, .p- 1 (0,5) = O, .p- 1 (0 ,8) = 0,84 2, 48. l.
.p- 1 (0,3) = - 0,524, .p- 1 (0 ,6) = 0,253, .p- 1 (0,9) = 1,282 . 49. 0,82.
CAPfrULO 6
1 . Fwz(W, z)= F .
(w- a,=--=..!). b
d
fwz( w, z) =
.
J.
bd
1(w - a, z -
2. Fw.z(w, z) = F(,!';,, ,j~) - F ( - ,J~, ,j~) - F(-J~. - ,j~ ) e
b
.d
c) .
+ F ( - ' -;;;,
- -J ;)
__!_..::..: (f(v-;;;, V~) +f( - v~, v;) + [ (v-;;;, -V;) . + fe - v-;;;, - ·v';)J
fw ,z(w, z) =
4v wz
para w, z > O e Fw.z(w, z) e f~. z( w, z ) sao iguais a zero para outros valores de w e z.
3. (a) 3/4 , (b) 5/ 12, (c) 3/4; estes resultados sao obtidos facilmente determinando as areas dos quadrados unitarios adequados. 4. l - e - l / lu' 5. 3/8.
6. 1/3.
7. X distribui-se exponencialmen te com panimetro A. Y tern a densidade gama r(2, t..). Fx .r(x. y) = - e- h - ),xe-"Y, O :::; x :::; y; Fx .rfx . y) = - e-'>"(J + .l.y),O:::; y < x; e Fx .r(x ,y) = Oparaoutrosvalores de x e y. 8.
(a)
~ > - l.
reJ fxtx ) = (c.~
1 1 (>l =
(1
+
(b) c
+
=
(x
+
1
,
+
2),
, O < x :::; l, e fx(x) =O para outros valores de x. O :::; y :::; l , e [y(y) = O para outros valores de y.
2)(1 - x)'T
2)y' ;
l )(CJ: 1
25 5
9. c = -.. 1·
4~ .
d.isui ui·se ~ ·o
X
. 0._ ~
'
z > O,
e
.:
Y
~-- ::--:~
s.e 5 .:;:: ~o
n (0,4/1 5). 1 O. fr-x(z ) =
J:oo f x (x ) /y ( z
11. (a) fx+r(z)
=~ At -
.L.
x )d x.
(e-;. 2 z -
e-;. ,z),
fx - r( :. )
= O, z$ O;fx+Y(z) = l - e-}.z, O $ z $ fx+Y(z) = e-J.z(e;,- 1), l < z < oo .
(b) fx+y(z)
12 •
a
+ 2 ~+ ----- z 1 , O $
.
r
·(
z $ l , JX+Y z) 2 O para outros valores de z.
fx+r(z) = fx+r(z) =
2 13. fir-x 1( z) = - - b-a
=
O. :
$
O.
),2
(t - b-a __ z_),
a
=
+
l; 2
--
2
(2 -
O< z$ b- a, e fir - x 1(z) =O para outros
valores de z.
Joc f (x, z - ax) dx,
14. /z(Z) = _l_
lbl
15. (a 1
-
18. fxr(z)
l )/(a 1
+
J
-
oc
=
b
- 00
-OC>
a2
-OO
2).
-
1
lxl
j(x, z /x )dx .
20. fz(z) = 2/ rr(l + z 2 ), z > O. e / 2 (z ) = O, z 21 . fr tx(z) = 1/(1 + z)
2
,
$
z > O, e f rtx (z ) = O, z
O. $
O.
22. Densidade Beta de panimetros a 1 , e a 2 .
23. (a) f Yix(x) = (b) !Yix(Y l x )
O $ x $ y, e fr 1x
.l.e_;_(y-x ),
=
x e z.
e 1r 1x
26 . Densidade Beta de parametros a 1 + y e a 2 + n - y. 27 . fr( y) = o.[J'((y + {J )' + 1 , y > O, e /y(Y) de l\ da do Y= y a densidade gama l(a
e
r ( ) = V2/rr_ 2 -y2 J2a 2 > O e fr( Y ) 28 · JY Y , Y , 3 Y e
= O, y $ O. A densidade condicional + l , [J + y ). =
O,
Y < O.
17
30 . /y(Y) = y 2 (2, O$ y < /y(Y) P( Xi
= y /2 - 3y + 9/2, 2 $ + X2 + x3 $ 2) = 5/6.
31 . / x,. x2 .x 3(x 1 , x 2 ,x 3 )
= l /x 1 x 2 .0 < x 3 < x 2 < x 1 < l , e igualazeroparaoutros.
valores de x 1 , x 2 e x 3 . 256
= -y 2 + 3y - 3/2, l $Y< 2 ; y $ 3, e /y(Y) = O para outros valores de y.
1 ;/y(Y)
fx,(x) = (loge x) 2 /2, O < x < l, e igual a zero para outros valores de x e y;
32. (a) fx, . xJx)
= n(n -
valores de x e y ;
= n(n -
(b) fR(r)
e igual a zero para outros
l)(y - xt- 2 O < x ~ y < l,
1)(1 -
r)r"- 2, O < r < l , e zero para outros valores de r.
(c) Densidade Beta de parametros k e n - k
+ l.
33. Exponencial de parametro n A.. 34. x<"i 2 l- 1
e-x/ 2 /2"1 2
ren/2), x > O, e O para outros valores de x.
35. Beta de parametros m/2 e n/2. 36. aX + bY e bX- aY distribuem-se conjuntamente como duas var1ave1s aleatórias independentes, cada urna com a densidade normai n(O, a 2 + b 2 ). l
37. fx,X+r(x, z)= f(x)f( z - x) . 38. Uniform e em (O, z) para z
> O.
39. Uniforine em (O ,z) para O< z <(c, e uniforme em (z -c , c) para c
=
l 2n\
1
(c) fx.r (x, y) =
(d) n
(
~2
+
2no 1 o 2 \ l - p 2
• 02
p -
2
2
- 2puz + z u -exp [ - ---::-- P2 2(1 - p2)
~ 1 ),
(x -
Ot
2 o2
exp [ -
2(1 - P
,
((~_!1_1 )
1 2
]
)
2
Ot
_ 2p (x : ~1 ) (Y : ~2)
(l
1
- p2)) .
2
+
(Y : ~2r)] ,
2
2
41. fw,z(w, z)= ( -z- ) f ( -z- , -wz- ) . w+l w+1 w+l
CAPfruLO 7
1. at/Cal + a2). 2.
z tera expectancia fmita quando a 1 EZ = a 2 /(a 1 - 1).
>l
e a2
>O.
Neste caso
3. o·h fn. 4. X,/ tem urna distribui9ao geometrica de panimetro (l- e- ?-.e ). EX, = ee-J.'/(1 - e- J.'). lim,~o EX, = 1/A.
5. EXm = rea 1 + a 2) f(a 1 + m)/rea 1) rea 1 + a2 + m). Var X= a 1a 2/(a 1 + a 2 + l)(a 1 + a 2 ) 2 . 6.
v2r (n~ )/r G). 1
8. a 2(a 1 + a 2 - l )/(a 1 - 1) 2 (a 1 9. EY = 3/2J.. ar Y= 5 4i.2 .
-
2) para
.1 1
> -·
257
10. EX= 2R/ 3, Var X= R 1 j l8 . 11. EX=O, VarX= R 1 j4.
12. EZ = a' n/ 2, Yar Z = a 1 (2 13. EY
-
n/ 2).
2a" 2/n, Var Y = a (3 - 8/n). 1
=
14. EX= O, Var X= 1/2.
l = a .Jljn, Yar l X l = a 1 (1 - 2/n); (b) EX 1 = a 1 , Var X 1 = 2a 4 ; (c) Ee'x = eq2r2/2 , Var e'x = ezq2r2- eq2r2.
15. (a) E l X
16. Ee'x
.(A-_-A_)" para t
=
17. EX'
t < A.
19. EXk = k j(n + l), Yar Xk = k(n - k
20.
ER
=
(n -
1)/(n
+ l),
Var R
=
+
=
f(a: 1
+
r) j f( a )A' para r > - '·
2) .
l) jn
+
1) (n
+
2(n - l) j(n
+
1) 1 (n
+ 2) .
21. p = 1/4. 22. EZ = f.la /A, Var Z= a(a 2 a + a 2 + f.l 2 )/A 1 .
25. p 3
;:::
0,458.
26. E[Y l X= x] = x, O < x < l; E[Y l X = x] = 2 - x, l ::::; x ::::; 2; e E [Y l X= x] = O para outros valores de x.
e o caso contnirio.
27. E [X l Z = z] = a 1zj (a 1 + a 2 ) para Z> O
28. E [n l Y = lores de y.
y]
=
(a 1
+ y)/(a 1 + a: 2 +
n), y
= O, l, 2, ... , n, e O para outros va-
33. P(X ::::; x) ~
=
a 1 e Var Xf
+ ·· · +
=
2a
4
.
x; : : ; x) ~
2
2
na )/a V2n) .
35. (a) 0,921. (b) 0,842. (c) 23,26. (d) 27,71. 36. 0,9773.
40.
38. 0,0415.
37. 0,02.
39. 0,0053.
(a) fx(x) ~ A-l/Z rp((x - . A)( .Jl),
(b) fx(x) ~
+ 1/2 - :t);.JJ.) -
41. l j.J nn. 42. l j.J nn. A aproximacrao ( 15) nao pode ser aplicada diretamente porque o maximo divisor comurn do eonjunto X - 1/x e urn valor possfvel de SI e dois e nao urn. 45. n~ 6700. 46. 551. 44. 0,523. 43. 0,133 .
CAPITUW 8
1. Mx(t) = (eb' - ea')/(b - a)t, t t:- O, e Mx(O) = l.
2. ea'Mx(bt). 4. (a) Mx(t) = [p/(1 - e'(l -p))]", - ro < t < log (1 /(1
258
-p)).
5. (b) (2n)! 6. (a)
dMx(t) = npe'(pe'
dt 2 d_ M_ (t) x _ = npe'(pe' dt
10.
2
+
l -:- p)"- 1 e
+
l - p)"- 1
+
n(n -
11. p/(1 -
el(e"-1).
12. [p/(1 14. ąJx(t) 21. (a)
l)p 2e 2'(pe'
+
l - p)"- 2 .
ei'(l - p)).
13. [.?./().- it)]" .
e''(l - p))]" .
=
(/Jx+r(t )
23. (b) !im P .<-+eX)
=
e-21<1 . e
(X"v-=J. J.
ąJ
::5 x) =
=
e-1<1.
-co < x < co .
CAPfrvW 9 2. (a) 1/3, (b) O, (c) 1250. 3. (a) ((10/9) 50
(b)
~
(c)
-
$44,75,
~
(10/9) 75 )/(1 - (10/9) 75 ) ~ 0,93,
850.
6. Para x
=y
P(a,b)(y, Y) =
e
b - a l - -)(b- - ) 2(y - a - Y
G la b)(y, y) = 2(y -
'
Para x
a)(b -
y) -
l.
b- a
Pla,b)(x, y) = - . -
Y- a
e
_ 2(x G (a,b) ( X, Y ) -
Parax>y
_ 2(y G la,bl ( X, Y) -
Para x
a)(b -
P 101 (x, Y) = x/y
P 101 (x, y)
=
l
e
e
x)
b- a
P101 (y, y) = l - l/2y e
Para x > y
.
- Y
e
=y
b- a
b- X b- -
P(a,bj(x, y) =
7. Para x
y)
a)(b -
.
G{ 01 (y, y) = 2y - l.
G{ 01 (x, y) = 2x. G101 (x, y)
=
2y.
259
8. Para x
=
y
+
P0 (y, y) = l
Para x
P0 (x, y)
>y
Para x
=
e G0 (x, y) =
l
(!r-y
P0 (x, y) =
l
e G0 (y, y)
q - p
= _
+______c_~ q- p p- q
1/(p - q).
e G0 (x,
y) =
:~P~x-y
9. P 101(-l, -1) =q e G{0 1(-l, -1) = !!. p
Para y P
11. P
13 .
101
<
-l p-q q[(qfp)Y -
(-Iy)-
=
'
~2
(nR2p)k
k!
-
L" (foR e
-"R2p
xf(x
+
l G{o 1(-l, y) = - . q(qfp)Y
e
I] z)dx
)d
12.
z.
(~)
p\1 - p)"-k .
.
16. (a) l - e-'-h,
(b) l - e-'-h.
17. Fz,(x) = O, x < O; e Fz,(x) =
- e-i.x, x ;:::: O.
18. Fy,(x) =O, x
20. J.e - J. . 21. fN/k) = vJ.kf(J. + 22. fNT(k) =
[1 - e-;.a
_!___
J.a
23. J.d(}.l +
d+ 1 ,
k = O, l, 2, ... , e zero para outros valores de k.
±(J.~)~],
J=O
),2).
24. fv,(x) = 2 nx r2 25. EDT = rmn!
(1 - ~)n-l, r2 r
k=O, l, 2, . . . , ezeroparaoutrosvaloresde k.
J.
O :::: x
s
(~ +1)/1(~+n+
r, e zero para outros valores de x.
1).
26. (a) l 2 IAI2 + J.IAI, (b) l 2 IAIIB I + J. IA n B l. 29. (a) f!!m(r) = 3(4n )J3)mr 3 m-le-u fr313 f(m - 1)!, r > O, e zero para outros valores de r. (b) Densidade gama l( m, 4nJ./3). 30. (a) fv)r) = (nJ.)mr 2 m-l e- nJ.r 2/ 2 /2m -l(m- 1)!, r > O, ezeroparaoutrosvalores de r.
31. 260
(b) EDm = (h/2)-1 /2 l(m + 1/ 2) . e (m - l ) ! ! l -Jlf (a) Pr = -l e-1'(1-s) ds = - e t o pt
i
ED;,
=
2m. nJ.
TABELA I
r
Tabela I Valores da
cf>(z) =
fun~o
z
J
- oo
z
o
l
2
de distribui~o normai padronizada
)
----= e- u2 12 du v27T
3
4
= P(Z:::; z)
5
6
7.
8
9
-3 .
.0013 .0010 .0007 .0005 .0003 .0002 .0002 .0001 .0001 .0000
-2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0 -1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -l.l -1.0 - .9 - .8 - .7 - .6 - .5 - .4 - .3 - .2 - .l - .O
.0019 .0026 .0035 .0047 .0062 .0082 .0107 .0139 .0179 .0228 .0287 .0359 .0446 .0548 .0668 .0808 .0968 .1151 .1357 . 1587 .1841 .2119 .2420 .2743 .3085 .3446 .3821 .4207 .4602 .5000
.0018 .0025 .0034 .0045 .0060 .0080 .0104 .0136 .0174 .0222 .0281 .0352 .0436 .0537 .0655 .0793 .0951 .1131 .1335 .1562 .1814 .2090 .2389 .2709 .3050 .3409 .3 783 .4168 .4562 .4960
.0017 .0024 .0033 .0044 .0059 .0078 .0102 .0132 .0170 .0217 .0274 .0344 .0427 .05 26 .0643 .0778 .0934 .1112 .1314 .1539 .1788 .2061 .2358 .2676 .3015 .3372 .3745 .4129 .4522 .4920
.0017 .0023 .0032 .0043 .0057 .0075 .0099 .0129 .0166 .0212 .0268 .0336 .0418 .0516 .0630 .0764 .0918 .1093 .1292 .1515 .1762 .2033 .2327 .2643 .2981 .3336 .3707 .4090 .4483 .4880
.0016 .0023 .0031 .0041 .0055 .0073 .0096 .0126 .0162 .0207 .0262 .0329 .0409 .0505 .0618 .0749 .0901 .1075 .1271 .1492 .1736 .2005 .2297 .2611 .2946 .3300 .3669 .4052 .4443 .4840
.0016 .0022 .0030 .0040 .0054 .0071 .0094 .0122 .0158 .0202 .0256 .0322 .0401 .0495 .0606 .0735 .0885 .1056 .1251 .1469 .1 71 t .1977 .2266 .2578 .2912 .3264 .3632 .4013 .4404 .4801
.0015 .0021 .0029 .0039 .0052 .0069 .0091 .Ol 19 .0154 .0197 .0250 .0314 .0392 .0485 .0594 .0722 .0869 .1038 .1230 .1446 .1685 .1949 .2236 .2546 .2877 .3228 .3594 .3974 .4364 .4761
.0015 .0020 .0028 .0038 .0051 .0068 .0089 .0116 .0150 .0192 .0244 .0307 .0384 .0475 .0582 ,0708 .0853 .1020 .1 210 . 1423 . 1660 .1922 .2206 .2514 .2843 .3192 .3557 .3936 .4325 .4721
.0014 .0020 .0027 .0037 .0049 .0066 .0087 .0113 .0146 .0188 .0238 .0300 .0375 .0465 .0570 .0694 .0838 .1003 .1190 .1401 . 1635 .1894 .2177 . .2483 .2810 .3516 .3520 .3897 .4286 .4681
.0014 .0019 .0026 .0036 .0048 .0064 .0084 .Ol lO .0143 .0183 .0233 .0294 .0367 .0455 .0559 .0681 .0823 .0985 . l 170 . 1379 .161 l .1867 . 2148 .2451 .2776 .3121 .3483 .3859 .4247 .4641
Reimpresso com a perrnissiio da Editora Macrnillan do original "Introduction to Probability and Statistic:s", segunda ediyao, de B.W. Lindgren e G.W. McElrath, Copyright © 1966 by B.W. Lindgren e G.W. McE!rath.
263
1
r Tabela I Valores da fun.y3o de distńbu~o nonnal padronizada
z
o
2
3
4
5
6
7
8
9 .5359 .5753 .6141 .6517 .6879 .7224 .7549 .7852 .8133 .8389 .8621 .8830 .901) .9177 .9319 .9441 .9545 .9633 .9706 .9767 .9817 .9857 .9890 .9916 .9936 .9952 .9964 .9974 .9981 .9986
.O .l .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
.5000 .5398 .5793 .6179 .6554 .6915 .7257 .7580 .7881 .8159 ;8413 .8643 .8849 .9032 .9192 .9332 .9452 .9554 .9641 .9713 .9772 .9821 .9861 .9893 .9918 .9938 .9953 .9965 .9974 .9981
.5040 .5438 .5832 .6217 .6591 .6950 .7291 .7611 .7910 .8186 .8438 .8665 .8869 .9049 .9207 .9345 .9463 .9564 .9648 .9719 .9778 .9826 .9864 .9896 .9920 .9940 .9955 .9966 .9975 .9982
.5080 .5478 .5871 .6255 .6628 .6985 .7324 .7642 .7939 .8212 .8461 .8686 .8888 .9066 .9222 .9357 .9474 .9573 .9656 .9726 .9783 .9830 .9868 .9898 .9922 .9941 P.9956 .9967 .9976 .9982
.5120 .5517 .5910 .6293 .6664 .7019 .7357 .7673 .7967 .8238 .8485 .8708 .8907 .9082 .9236 .9370 .9484 .9582 .9664 .9732 .9788 .9834 .9871 .9901 .9925 .9943 .9957 .9968 .9977 .9983
.5160 .5557 .5948 .6331 .6700 .7054 .7389 .7703 .7995 .8264 . 8508 .8729 .8925 .9099 .9251 .9382 .9495 .9591 .9671 .9738 .9793 .9838 .9874 .9904 .9927 .9945 .9959 .9969 .9977 .9984
.5199 .5596 .5987 .6368 .6736 .7088 .7422 .7734 .8023 .8289 .8531 .8749 .8944 .9115 .9265 .9394 .9505 .9599 .9678 .9744 .9798 .9842 .9878 .9906 .9929 .9946 .9960 .9970 .9978 .9984
.5239 .5363 .6026 .6406 .6772 .7123 .7454 .7764 .8051 .8315 . .8554 .8770 .8962 .9131 .9278 .9406 .9515 .9608 .9686 .9750 .9803 .9846 .9881 .9909 .9931 .9948 .9961 .9971 .9979 .9985
.5279 .5675 .6064 .6443 .6808 .7157 .7486 .7974 .8078 .8340 .8577 .8790 .8980 .9147 .9292 .9418 .9525 .9616 .9693 .9756 .9808 .9850 .9884 .9911 .9932 .9949 .9962 .9972 .9979 .9985
.5319 .5714 .6103 .6480 .6844 .7190 .7517 .7823 .8106 .8365 .8599 .8810 .8997 .9162 .9306 .9430 .9535 .9625 .9700 .9762 .9812 .9854 .9887 .9913 .9934 .9951 .9963 .9973 .9980 .9986
3.
.9987
.9990
.9993
.999"5
.9997
.9998
.9998
.9999
.9999 1.0000
-
'
Nota 1: Se urna variavel norma! X nao esta na forma padrao seus valores devem ser padronizados :
Z=(X-~)/a.
(- ~)
Istoe P(X.;;x)=
-
0
.
Nota 2: Para pro babilidades bicaudais ver Tabela l b Nota 3: Para z ;;. 4,
264
..
~
iNDICE REMISSIVO
-
a
Algebra dos conjuntos, 7 Algebra sigma, 7 Algebra sigma (a-algebra) de subconjunto, 7 Amostra aleatória, l 02 Aroostragem com reposi<;ao, 28 Veja tamhem distribui<;ao binomial Aroostragem sem reposi<;ao, 29, 31, 36-37, 52 Aroostra ordenada, 27-30 Amostras desordenadas, 31-33 Amplitude, 164 Aproxima<;ao de Poisson a distribui<;ao binomial, 70 Aproxima<;ao norma!, 192
c
Caminho aleatório, 225 simples, 229 Caminho aleatório simples, 229 Coeficiente binomial, 31 Coeficiente de correla<;ao, l 00, 182 Combina<;oes, 31-33 Complemento de urn evento, 3, 6 Convolu<;ao, 150 Covariancia, 97, 106, 182, 184 Decil inferior, 136 Decil superior, 136
d
Decis, 136 Densidade. Veja Densidade descon tfnua; densidade em rela<;ao a integra<;ao Densidade com rela<;ao aintegra<;ao, 159 Beta, 152 bidimensional, 147 condicional, 108, 157, 164 conjunta, 144,'147, 161, 162 exponencial, 121 F, 169 gama, 132 marginal, 145, 147, 162 Maxwell, 176 norma!, 128 Rayleigh, 175 simetrica, 126 t, 170 unidimensional, 144, 147 Densidade condicional, descontfnua, l 08 com rela<;ao aintegra<;ao, 157' 164 no metodo de Bayes, 159 Densidade conjunta, descontinua, 62 com respeito para integra<;ao, 144, 147, 161, 162 Densidade marginal, descontinua, 62 com rela<;ao a integra<;ao, 145, 162 Densidade simetrica, 125-126 mediana, 136-137 momentos, 184 Desigualdades de Chebyshev, 102
· e de Schwarz, l 00 ~-Bo padrao, 95, 182 DistnOuif?aO , 51 Distribui~ao Beta, 152 Distribui~ao bidimensional, 14 7 norma!, 177 normai padrao, 148 Distribui~ao binomial, 51 aplica~ao da desigualdade de Chebyshev, 103 aproxima~ao norma!, 194, 196 aproxima~ao de Poisson, 69 fun~ao geratriz de momento, 204 fun~ao geratriz de probabilidade, 73 media, 84, 90 provas de Bernoulli, 66 soma das variaveis aleatórias binomiais, 75 variancia, 98 Distribui~ao binomial negativa, 55 aproxima~ao norma!, 192 fun~ao geratriz de probabilidade, 73 media, 96-97 soma das variaveis aleatórias binarniais negativas, 75 variancia, 96-97 Distribui~ao de Bernoulli, 66 Veja tamhem distribui~ao binomial Distribui~ao de Cauchy, 124-125 soma das variaveis aleatórias de Cauchy, 222-223 Distribui~ao de Maxwell, 176 Distribui~ao de Poisson, 56 aproxima~ao da distribui'rao binomial, 69 aproxima~ao norma!, 191 fun~ao geratriz do momento, 204 fun'rao geratriz da probabilidade, 75 rela'rao com a distribuiyao gama, 134 soma da variaveis de Poisson, 7 S variancia, 97 Distribuiyao de Rayleigh, 175 J=s:~
266
Distribui~ao de x 2 , 168-169
media, 182 momentos, 183 variancia, 183 Distribuiyao exponencial, 121, 129, 21 O fun'rao caracteristica, 211 -funyao geratriz de momento, 204 momentos, 183 propnedade exponencial, 130 soma das variaveis aleatórias exponenciais, 150,163,173 tempos de espera pelo processo de Poisson, 240 variancia, 183 Distribuiyao F, 169 Distribuiyao gama, 132 aproxima'rao normal, 192 distancia as particulas no processo de Poisson, 239 funyao geratriz de momento, 204 momentos, 183 quocientes das variaveis aleatórias gama, 156 soma das variaveis aleatórias gama, 152, 163 tempos de espera no processo de Poisson, 240 variancia, 183 Distribui'rao geometrica, 55 fun'rao de distribui'rao, 59 funyao geratriz da probabilidade, 73 media, 86 , 97 propriedade especial, 59-60 soma das variaveis aleatórias geometricas, 72, 75-76 tempos de espera nas provas de Bernoulli, 70 variancia, 97 Distribuiyao hipergeometrica, 52, 91, 99 media, 90 variancia, 99 Distribuiyao log norma!, 140
..
",;
multinomial, 68 aplicaęao para estatisticos de ordem, 168 conexao com o processo de Poisson; 236 Distribuięao norma!, 127-129 aproximaęao normal, 192 bidimensional, l 77 causas das transformaę6es, 136 densidade bidimensional, 147-148 distribuięoes amostrais, 167 fórmulas de inversoes, 212 funęao caracteristica, 211-212, 214 funęao geratriz de momento, 203205 media, 184 momentos, 184, 205-206 padrao, 128 soma das variaveis aleatórias normais, 153, 163 teorema do limite central, 190-192, 219 variancia, 184 Distribuięao normai bidimensional padrao, 138-148 Distribuięao normai padrao, 127 Distribuięao t, l 70 Distribuięao uniforme , descontfnua, 55 media, 83-84 Distribuięao uniforme num intervalo, 121 envolvendo transformaę6es , 135136 funęao caracteristica, 209 media, 179 Distribuięoes amostrais, 167-168 Distribuięao
--
...
Enrolamento, 150 Erro provavel, 137 Espaęo da probabilidade, 8-9 Espaęo da probabilidade simetrica, l O, 27
da probabilidae uniforme, 9-1 O Esquema de urna de Polya, 18 Estatisticos de ordem, 164 Eventos, 3, 6 complemento, 3, 6 independente, 19, 20 interseęao, 3, 6 uniao , 4, 6, 38 Eventos independentes, 19, 20 Eventos independentes aos pares, 19 Eventos mutuamente independentes, 19-20 Expectancia condicional, variavel aleatória continua, 188 variavel aleatória independente, l 09 Expectancia, variavel aleatória complexa, 208 condicional, 109, 188 definięao geral, 182 funęao das variaveis aleatórias , 8788, 182 propriedades, 86 , 182 variavel aleatória continua, 179 variavel aleatória descontinua, 85 Espaęo
f
Fórmulas de inversao envolvendo funęoes caracteristicas, 212-214 Funęao Beta, 153 Funęao caracteristica, 206 fórmula da inversao, 212-214 soma das variaveis aleatórias independentes, 210 teorema da continuidade , 215 Fun ę ao da densidade Bernoulli, 66 binomial, 51 binomial negativa, 55 condicional, l 08 conjunta, 62 gepmetrica, 55 hipergeometrica, 52 267
' 6_ ultinomial , 6 Poisson , 56 simetrica, 125 Funyao da distribuic;ao, 112, 117 absolutamente continuas, 117 Cauchy, 124 conjunta, 143, 161 densidade simetrica, 126 envo1vendo transformac;6es, 135 gama, 134 geometrica, 59 inversa, 134 marginal, 144, 161 normal, 127 propriedades, 114-115 variavel aleatória, 57-58 uniforme , 121 Func;ao da distribuic;ao abso1utamente continua, 117 Func;ao da distribuic;ao conjunta, 143, 161 Func;ao da distribuic;ao marginal , 144, 161 Func;ao de regressao , 188 Func;ao de erro , 140 Func;ao gama, 13 2 Func;ao geratriz da probabilidade, 73 soma das variaveis aleatórias independentes, 74-75 Func;ao geratriz do momento , 203 computac;ao de momentos, 205 soma das variaveis aleatórias independentes, 205 ~ ::; :-gin
Identidades de Wald, 226 Intersec;ao de eventos, 3, 6 Interpretac;ao da freq\Hlncia re1ativa, 1-3 expectiincia, 83 pro babilidade condicional, 14
Jacobianos, 172
K-percentil superior, 136-13 7
Lei de Maxwell, 129 Lei Fraca dos Grandes Numeros, 103 , 218 Leis de De Morgan, 11
m
Mao de poquer, 4 7 Media, 84, 182 Mediana, 136 Medida de probabilidade, 9 Meia-vida, 137 Momentos, 93 , 182-183 central, 93, 182-183
Nlimero de membros de comissao, 32 Numeros complexos, 207-208
p
Partic;óes, 34-38 Percentis, 13 7 Permutac;oes, 29-31
Probabilidade condicional, 14 envoivendo variaveis aleatórias, 57 Probierna do aniversario, 29 Probierna do cupon, 45 Probiemas de ocupac;ao, 42 Probiemas de encontro, 31, 40 Processo de Poisson, 239 m-esima partieula mais distiincia
a
perto, 238-239 teropos de espera, 240 Processos estocasticos, 285 Provas de Bemoulli, 66 seqiiencias infmitas, 70-71
q
Quartis, 136 Quartil inferior, 136 Quartil superior, 136 Quociente das variaveis aleatórias, 154
lr
Regra de Bayes, 17, 159 Regularidade estatfstica, l
s
Soma das variaveis aleatórias in~epen dentes, 72 continua, 149 descontfnua, 72 funyao caracteristica, 211 funyao geratriz de memento, 205 funyao geratriz da probabilidade, 75 variancia, 98
Taxa de falha, 141 Teropos de espera, provas de Bemoulli, 70 .processos de Poisson, 240 Teorema da continuidade, 216 Teorema da imparidade envolvehdo funy6es caracteristicas, 216 Teorema do lirnite central, 191 , 219 aplicayao para amostragem, 196
aproxiplayao normal, 192 forma local, 193-195 Teorema do lirnite de DeMoivre-Laplace, 190 Teorema da probabilidade, l Troca da fórmula variavel, multidimensional, l 71 -173
Uniiio de eventos, 4, 6, 38
V
Valor possfvel, 50 Varianc~ , 9 8, 182, 183 Variaveis aleatórias independentes, 63, 64, 66 , 146 , 147, 158, 162, 163 quocientes, 154 somas, 72, 149-15 0 Variaveis aleatórias mutuamente independentes. Veja variaveis aleatórias independentes, 83 Variaveis aleatórias nao-correlatas, 100 Variaveis aleatórias simetricas, 125 mediana, 136 momentos, 184 Variavel aleatória, 11 2 complexa, 208 continua, 111 , 115 descont fn ua , 50 simetrica, 125 Variavel aleatória complexa, 208 Variavel aleatória constante, 5.2 funyao caracterist~ca, 208 Variavel aleatória continua, 111, 115 Variavel aleatória descontinua, 50 Variavel aleatória indicadora, 52 Veja tambero distribuiyao de Bernoulli Vetor aleatório descontinuo, 61
269
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COLABORE DEVOLVENDO O LIVRO NA DAT A CERTA UNIA • MOC, 142 • 8i8 / F e v/e7 • 11l.OOO
PROVE QUE SABE HONRAR OS SEUS COMPROMISSOS, DEVOLVENDO COM PONTUALIDADE ESTE LIVRO A 8 1BLIOTECA.
UNIR- MOD. 104