5. FLEXION 5.1 INTRODUCCION. Los elementos sometidos a cargas de flexión reciben el nombre de vigas. Una viga es un elemento estructural largo sobre el que actúan cargas perpendiculares al eje (estas cargas pueden ser fuerzas o momentos). La barra de las pesas de la figura 5.1 puede modelarse como una viga, ya que su longitud es mucho mayor que su anchura y espesor y tanto el peso de las ruedas que se está levantando como las reacciones en los apoyos, (las manos de la pesista) son perpendiculares al eje longitudinal de la barra.
Figura 5.1 Barra sometida a flexión.
Los elementos horizontales del puente grúa mostrado en la figura 5.2 también se modelan como vigas, que transmiten la acción del peso que se está levantando a las columnas verticales en las que se apoyan. Las vigas son elementos estructurales muy comunes y constituyen las estructuras de soporte en autos, aviones y edificios.
5.2 CLASIFICACION DE LAS VIGAS. Una viga que está sostenida en sus dos extremos por un pasador, rodillo o superficie lisa fig. 5.3a y que tiene un solo claro claro se denomina viga simple. Si uno o ambos extremos de la viga se extiende
más allá de sus apoyos se dice que es una viga simple con uno o dos voladizos fig. 5.3b. Una viga en cantiliver es una en la cual un extremo está empotrado en un muro o en otro apoyo apoyo de modo
Fig. 5.2 Vigas en un puente grua. que el extremo empotrado no puede moverse moverse transversal mente ni ni rotar fig. 5.3c. Una viga con más de dos apoyos simples se llama una viga continua fig. 5.3d.
Fig. 5.3a Viga simple.
Fig. 5.3b Viga simple con dos voladizos.
Fig. 5.3c Viga empotrada o cantiliver
Fig. 5.3d Viga Continua
5.3 PANORAMA EN EL ANALISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN VIGAS. En el análisis de una viga se parte de la viga con sus apoyos y la carga externa aplicada, Fig. 5.4
Fig. 5.4 Inicio del análisis de una viga. Luego se hace le diagrama de cuerpo libre para el análisis estático, teniendo en cuenta el tipo de viga que se tenga, y se determinan las reacciones, para así completar la carga externa Fig. 5.5.
Fig. 5.5 Diagrama de cuerpo libre. Seguidamente se pasa un corte por la sección de interés que se quiera analizar y con las ecuaciones de equilibrio para uno cualquiera de los lados del corte se determinan las fuerzas internas necesarias para mantener el equilibrio. En el caso de la flexión se observa que para mantener el equilibrio se necesita una fuerza interna vertical V (La cual es una fuerza cortante ya que es paralela a la sección transversal), y un momento interno M (El cual es un momento flector ya que su dirección es perpendicular al eje longitudinal de la viga). Fig. 5.6
Fig. 5.6 Carga interna en una sección de interés.
Habiendo determinado los valores de estas cargas internas se procede al cálculo de los efectos internos que estas producen; como ya se sabe estos efectos internos son dos: esfuerzos y deformaciones.
ESFUERZOS. Como en este caso hay dos cargas internas entonces habrá dos esfuerzos. Como V es una fuerza cortante es obvio que ésta producirá esfuerzos cortantes
τ.
Por su parte el momento M es el
responsable de que la viga tienda a doblarse, esto hace que las fibras superiores se compriman y las inferiores se tensionen es decir el momento produce esfuerzos normales
σ.
La curva que toma el eje de la viga al flectarse se llama la elástica de la viga. Fig. 5.7
Fig. 5.7. Viga flectada.
DEFORMACIONES.
La fig. 5.8 representa el diagrama de deformaciones en flexión, la cual muestra la posición inicial del eje de la viga (línea horizontal) Y la posición final después de flectarse (elástica). Al observar lo
ocurrido al punto Q ubicado sobre el eje de la viga en la posición inicial, se ve que este se desplaza al punto Q’ ubicado sobre la elástica (posición final). Comparando los dos punto Q Y Q’ se observan dos cosas: 1. Al trazar la tangente en Q (posición inicial) se ve que ésta es horizontal; mientras al trazar la tangente en Q’ (sobre la elástica) se ve qu e esta tiene un inclinación, esto es que el punto sufrió una rotación θQ (La cual se llama rotación absoluta de Q). 2. El punto Q al pasar de Q a Q’ sufrió un desplazamiento Y Q La cual se llama flecha o deflexión de Q.
En resumen en el análisis de flexión contempla:
CRAGA EXTERNA F
y
M al eje
CARGA INTERNA. V
y
Mi
EFECTOS INTERNOS Esfuerzos:
τ
y σ
Deformaciones: θ y
Y
5.4 DETERMINACION DE LA FUERZA CORTANTE Y EL MOMENTO FLECTOR. METODO DE LAS SECCIONES. Como se mencionó en el apartado 5.3 el valor de la fuerza cortante V y del momento flector M en una determinada sección a lo largo de la viga se puede determinar por medio de las ecuaciones de equilibrio estático haciendo un corte en la sección de interés y aplicando las ecuaciones de equilibrio a uno cualquiera de los dos tramos que se forman. Este método es comúnmente conocido como el método de las secciones y se utiliza normalmente cuando se desea hacer el análisis en un punto específico determinado de la viga; tiene la desventaja de que hay que repetir el mismo procedimiento tantas veces como puntos se requiera analizar.
Ejemplo 5.1 : Para la viga de la figura 5.5 determinar la fuerza cortante interna V y el momento flector interno M para una sección Q ubicada a una distancia x=L/4 del apoyo izquierdo. Siendo L la longitud total de la viga y la carga P ubicada en el punto medio.
Fig. 5.9 corte de la viga para determinar la carga interna
Haciendo un corte de la viga a la distancia x=L/4 Y estableciendo las ecuaciones de equilibrio en el tramo izquierdo se tiene:
y 0 M Q 0
P 2 P 2
P
V 0 V . x M 0
2 P L P.L . M 0 M 2 4 8
CONVENCION DE SIGNOS PARA LAS VIGAS. Antes de presentar el otro método para determinar la fuerza cortante y el momento flector como funciones de x y trazar sus respectivas gráficas (método de los diagramas de corte y momento), es necesario primero establecer una convención de signos que permita definir fuerzas cortantes y momentos flectores internos positivos y negativos. Aunque la selección de una convención de signos es arbitraria, aquí se usará la frecuentemente utilizada en la práctica de la ingeniería y mostrada en la figura 5.10
y 5.11.
La convención es la siguiente: Las cargas externas se
consideran positivas si su sentido es hacia arriba; Las opuestas se consideran negativas. Las fuerzas cortantes internas V son positivas si generan una rotación horaria del segmento sobre el cual actúa. Por ejemplo en la fig. 5.10ª. la fuerza cortante V en el lado izquierdo genera una rotación horaria del tramo izquierdo y de igual manera la fuerza cortante V en el lado derecho genera una rotación horaria del tramo derecho por lo tanto el cortante mostrado en esa sección visto por la izquierda o por la derecha es positivo, obsérvese que esta convención no tiene nada que ver con el sentido de la fuerza de corte V respecto del eje cartesiano Y. Las fuerzas de corte contrarias a estas se consideran negativas.
V(+)
a)
V(-)
b) Fig. 5.10 Convención de signos para la fuerza cortante V Los momentos internos M se consideran positivos si generan esfuerzos normales de compresión en las fibras superiores (Fib. 5.11ª) y negativos en caso contrario. (Fig. 5.11b), obsérvese que esta convención no tiene nada que ver con el sentido del vector de M respecto del eje cartesiano Z.
M(+)
a)
M(-)
b) Fig. 5.11 Convención de signos para el momento flector.
METODO GRAFICO: DIAGRAMA DE CORTANTE Y MOMENTO. En los casos en que una viga está sometida a varias fuerzas concentradas y distribuidas, además de momentos externos aplicados, y si se requiere (como generalmente sucede) hacer el análisis en la sección crítica y en otras secciones; el método de las secciones resulta muy tedioso y poco útil. Ahora se estudiará un método más simple que permite construir los diagramas de fuerza cortante y momento flector basado en dos relaciones diferenciales que existen entre la carga distribuida, la fuerza cortante y el momento flector.
REGIONES DE CARGA DISTRIBUIDA. Considérese la viga mostrada en la fig. 5.12ª que está sometida a una carga arbitraria. En la fig. 5.12b se muestra un diagrama de cuerpo libre para un pequeño segmento
∆x
, como este
segmento se ha escogido en una posición x a lo largo de la viga donde no existe una fuerza o un momento concentrado, los resultados que se obtengan no serán aplicables en esos puntos de carga concentrada.
El cortante y el momento flector en la cara izquierda del segmento
∆x , se
denotan por V y M
respectivamente, y se supondrán positivos; además, tanto la fuerza como el momento internos resultantes que actúan sobre la cara derecha deben incrementarse por una pequeña cantidad
finita para mantener el segmento en equilibrio. La carga distribuida ha sido reemplazada por una fuerza concentrada w(x) .∆x que actúa a una distancia k.
∆x del
extremo derecho, donde x
(por ejemplo si w(x) es uniforme, k=½). Aplicando las ecuaciones de equilibrio al segmento se tiene:
y 0 :
V w( x ) . x (V V )
M O 0
0
V w( x ) . x
V . x M w( x) . x .(k. x ) (M M ) 0
M V . x w( x ) .k .( x )2 Dividiendo entre ∆x y tomando el límite cuando ∆x → 0 se obtiene:
dv dx
w( x )
dM dx
V ( x )
5.1
5.2
La ecuación 5.1 expresa que la pendiente del diagrama de fuerza cortante en cualquier punto es igual a la intensidad de la carga distribuida en dicho punto. Similarmente, la ecuación 5.2 expresa que la pendiente del diagrama de momento flector en cualquier punto es igual a la intensidad de la fuerza co rtante en dicho punto. Estas dos ecuaciones proporcionan un medio adecuado para trazar rápidamente los diagramas de fuerza cortante y momento flector; por ejemplo considérese la viga de la fig. 5.13ª. en la cual la carga distribuida es negativa y va desde 0 hasta wB. (En este texto, cualquier carga distribuida que vaya dirigida hacia abajo se considera negativa y en su gráfica no se colocará ninguna indicación, sólo si va dirigida hacia arriba se indicará en su gráfica con flechas dirigidas en dicho sentido). Por lo tanto el diagrama de fuerza cortante será una curva de pendiente negativa, dicha pendiente va variando con x desde 0 en el punto A hasta wB en el punto B, en la fig. 5.13c, se muestran las pendientes específicas del diagrama de fuerza cortante en distintos puntos. De manera similar para trazar el diagrama de momento flector teniendo en cuenta la ec. 5.2, se observa que el diagrama de fuerza cortante de la fig. 5.13c, comienza en +VA , decrece a 0 y luego se vuelve negativa, decreciendo hasta VB, por tanto el diagrama de momento flector tendrá entonces una pendiente inicial de +VA que decrece hasta 0 en el punto Q, luego se vuelve negativa y decrece hasta VB en el punto B, como se muestra en la fig. 5.13d, en la cual se muestran pendientes específicas del diagrama de momentos en distintos puntos.
Las ecuaciones 5.1 y 5.2 pueden escribirse en la forma dV = w(x).dx y dM = V(x).dx, haciendo la integral en estas ecuaciones entre dos puntos cualesquiera 1 y 2 se puede escribir:
x2
M 2
V2 V1 w( x) .dx
x2
dM V
y
( x )
M 1
x1
.dx
x1
x2
Las cual quedan:
V2 V1 w( x) .dx
5.3
x1
x2
M 2 M1 V( x ) .dx
5.4
x1
Con las ecuaciones 5.3 y 5.4 y conociendo la función w(x) de la carga se pueden hallar las funciones de V(x) y M(x) y con ellas hallar el cortante y momento para cualquier valor de x y trazar
sus correspondientes diagramas. Dado que w(x) debe integrarse para obtener V(x), si w(x) es una curva de grado n, entonces V(x), será una curva de grado n+1 y M(x), será una curva de grado
n+2; por ejemplo, si w(x) es uniforme, entonces el cortante será lineal y el momento será parabólico. O si no hay cargas distribuidas sobre la viga en un determinado tramo de esta, entonces, la pendiente del cortante será 0 y el valor del cortante se mantendrá constante en dicho tramo y el momento será lineal. Obsérvese además que w(x).dx representa el diferencial de área del diagrama de carga distribuida y que V(x).dx representa el diferencial de área del diagrama de fuerza cortante por tanto las ecuaciones 5.3 y 5.4 quedan: x2
V2 V1 w( x ) .dx V 1 dAw x1 x2
M 2 M1 V( x ) .dx M 1 dAv x1
Integrando se tiene:
V2 V 1 A w
5.5
M 2 M 1 A v
5.6
1 2
1 2
Las ecuaciones 5.5 y 5.6 permiten la construcción de los diagramas de cortante y de momento sin necesidad de hacer las integrales ya que por lo general
las áreas bajo estas curvas son
conocidas y fáciles de hallar. La interpretación de estas ecuaciones es como sigue. La fuerza cortante en cualquier punto 2 es igual al valor de la fuerza cortante en el punto anterior
1, más el área bajo la carga distribuida entre los dos puntos. El momento flector en cualquier punto 2 es igual al momento flector en el punto anterior 1, más el área bajo la curva del diagrama de cortante entre los dos puntos. De esta manera se pueden hallar los valores de la fuerza cortante y del momento flector punto a punto desde el extremo izquierdo de la viga hasta el extremo derecho. Para la aplicación de las ecuaciones 5.5 y 5.6 es necesario conocer el valor del cortante V y del momento M en un primer punto, es decir en el extremo izquierdo de la viga; estos dos valores se hallan fácilmente por el método de las secciones, haciendo un corte inmediatamente después del
extremo izquierdo (es decir en A, fig. 5.14) y con las ecuaciones de equilibrio estático para el tramo izquierdo hallar los valores de VA y MA.
y 0 M A 0
R A V A 0 R A .0 MiA 0
V A RA
Signo de VA (+)
Mi A 0
Obsérvese que si en A hubiese un momento externo aplicado M entonces MiA = M De lo anterior, puede deducirse entonces, que el primer cortante (en A) es igual en valor y en signo a la carga concentrada externa aplicada en dicho punto; y que el valor del momento interno es igual al valor del momento externo aplicado en dicho punto y su signo de acuerdo con la convención anteriormente establecida. Nótese que si la viga está en el plano x-y, las fuerzas cortantes van en la dirección del eje y, y la dirección del vector del momento flector será la del eje
z, se dice entonces que lo cortantes son Vy y los momentos son Mz.
EJEMPLO. 5.1
Para la viga empotrada de la figura 5.15, trace los diagramas de cortante,
momento y la elástica.
Procedimiento. Hacer el diagrama de cuerpo libre y con las ecuaciones de equilibrio determinar las reacciones en el empotramiento.
Fy 0
R B P 0
M
M B P.L 0
+
B
0
R B P M B P.L .
Diagrama de cortante: Teniendo en cuenta lo anteriormente dicho, el cortante empieza en el extremo izquierdo
A, con el valor de la carga concentrada que haya en ese punto y conforme a la convención de signos anteriormente establecida el cortante en dicho punto en este caso será negativo, por eso este diagrama empieza con un valor de -P. Al trazar el diagrama de corte el siguiente punto a examinar será aquel en el que la fuerza externa distribuida tenga un cambio o donde exista una carga concentrada externa aplicada, en este punto ese es el punto B. De acuerdo con la ecuación 5.5 el cortante en B es: V B V A A w A B
Como en este caso : A 0 w
V A=V B=-P Además se sabe que la pendiente a la curva
A B
del cortante en cualquier punto es igual al valor de la carga distribuida en dicho punto, como en este caso no hay carga distribuida en toda la viga entonces la pendiente es 0, por lo tanto el cortante permanece constante desde A hasta B en un valor de – P, al llegar al punto B, se encuentra la reacción RB cuyo valor es P por tanto el diagrama que está en – P Sube P y cierra. Todo diagrama debe cerrar, de lo contrario significa que la solución de estática está mal, o que se cometió algún error en e l cálculo de los valores del cortante.
Diagrama de momentos. De igual manera, teniendo en cuenta lo explicado anteriormente, el diagrama de momentos empieza en el extremo izquierdo de la viga A, con el valor del momento externo concentrado en dicho punto y conforme a la convención de signos establecida anteriormente para el momento. Así que en este caso el diagrama de momentos empieza en 0. Al trazar el diagrama de momentos, el siguiente punto a considerar es aquel donde se registre un cambio en el cortante o donde exista un momento externo aplicado, en este caso se va directamente al punto B. Para calcular el valor del momento en este punto se tiene en cuenta la ecuación 5.6
M iB M iA A v A B
En _ este _ caso : M iB 0 ( P.L)
M iB P.L
Se sabe que la pendiente a la curva del momento en cualquier punto es igual al valor del cortante en dicho punto; en este caso ese valor es constante de – P, por lo tanto la gráfica del momento es una recta que une el punto 0 en A hasta el punto
– P.L
en B, con pendiente -P, como se muestra
en la fig. 5.15; al llegar al punto B se encuentra el valor de la reacción momento MB cuyo valor es
P.L y con el sentido mostrado en el diagrama de cuerpo libre de la fig. 5.15, el cual según la
convención de signos establecida es positivo, de modo que en B el diagrama parte de – P.L y sube el valor P.L y por lo tanto queda en 0 es decir el diagrama cierra.
TRAZADO DE LA ELASTICA. En las vigas empotradas, la elástica se traza a partir del empotramiento (B) y dirigida hacia el otrextremo (A). En el empotramiento en B se generan dos reacciones; una fuerza y un momento flector. La fuerza se encarga de restringir el desplazamiento del punto B de la viga, por tanto la flecha o deflexión de dicho punto es 0. El momento flector se encarga de restringir la rotación de la viga en ese punto; por tanto la pendiente a la elástica en B (o la rotación en dicho punto es:
0; sabiendo esto y notando que el diagrama de momentos es negativo desde A hasta B, se traza la curva de deflexión de la viga (elástica), partiendo de 0 y con pendiente 0 en B y flectando θB) =
hacia abajo y con la concavidad hacia abajo como se muestra en la fig. 5.15.
EJEMPLO. 5.2 Para la viga de la figura 5.16ª, trazar los diagramas de cortante, momento flector y la elástica.
ESTÁTICA. En la fig. 5.16b, se muestra el diagrama de cuerpo libre (D.C.L) de la viga para la aplicación de las ecuaciones de equilibrio:
Fy 0 M A 0
R A+w.a-w.a=0
R A=0
-M A-w.a.½a+w.a.2a=0
M A=-1.5wa²
El signo negativo de MA indica que su sentido es al contrario del supuesto en D.C.L. Habiendo resuelto la estática del problema, ahora s e procede al trazado de los diagramas.
DIAGRAMAS. Para el trazado de los diagramas, se procede ordenadamente, colocando una figura debajo de la otra con el fin de poder visualizar bien los valores y los cambios de cada uno a lo largo de la viga y cómo influyen estos cambios en el trazado del diagrama que le sigue. Primero se coloca el dibujo de la viga con sus apoyos y sus cargas externas. Luego se coloca el diagrama de cuerpo libre para el análisis de resistencia. Nótese que este D.C.L difiere un poco del D.C.L de la estática. Las diferencias son: 1). Las reacciones se colocan con su valor y sentidos correctos, de acuerdo con los resultados obtenidos en la estática. 2). Las fuerzas distribuidas hay que dibujarlas tal como son, sin concentrarlas como en la estática. Tal como se muestra en la fig. 5.17.
DIAGRAMA DE CORTANTE: Como la reacción en A resultó ser 0, entonces el cortante en ese punto es 0, (V A=0). Observando el D.C.L (fig. 5.17), se ve que en B ocurre un cambio en la fuerza externa, por lo cual este debe ser el siguiente punto a evaluar. De la ecuación 5.5, se deduce que:
V B V A A w A B
Reemplazando valores se tiene:
V B=0+(-w.a)
V B=-w.a
El signo negativo del cortante es debido a que la carga distribuida va hacia abajo. Por otra parte, como la pendiente a la gráfica del cortante en cualquier punto es el valor de la carga en dicho punto y como en este caso entre A y B, la carga distribuida es uniforme esto significa que la pendiente del cortante entre estos puntos es constante y por lo tanto la gráfica del corte es una línea recta entre los valores 0 en A y
– w.a
en B.
El siguiente punto a evaluar es C debido al cambio producido ahí en la fuerza externa; como entre los puntos B y C no existe carga distribuida, entonces la pendiente del cortante entre estos dos puntos es 0 y por lo tanto el valor del cortante permanece constante en
– w.a.
Al llegar al punto C con este valor, se encuentra la fuerza externa
w.a aplicada hacia arriba, con lo cual el diagrama regresa a 0, es decir cierra.
DIAGRAMA DE MOMENTOS. De igual manera, teniendo en cuenta lo explicado anteriormente, el diagrama de momentos empieza en el extremo izquierdo de la viga A, con el valor del momento externo concentrado en dicho punto y conforme a la convención de signos establecida anteriormente para el momento.
Así que en este caso el diagrama de momentos empieza en: MiA= 1.5w.a², con signo positivo ya que dicho momento producirá compresión en las fibras superiores de cualquier sección a la derecha de A. Al trazar el diagrama de momentos, el siguiente punto a considerar es aquel donde se registre un cambio en el cortante o donde exista un momento externo aplicado, en este caso se va al punto B, debido al cambio que se presenta en el cortante en dicho punto. Para calcular el valor del momento interno en este punto se tiene en cuenta la ecuación 5.6 M iB
M iA Av A B
a.( w.a) 2
En _ este _ caso : M iB 1.5w.a2
M iB w.a 2
Se sabe que la pendiente a la curva del momento en cualquier punto es igual al valor del cortante en dicho punto; en este caso ese valor va variando linealmente con x , por lo tanto la gráfica del momento es una parábola que une el punto 1.5wa2 en A hasta el punto wa2 en B, como se muestra en la fig. 5.17; entre los puntos B y C, se ve en el diagrama de cortante que este permanece constante por lo tanto la pendiente del momento entre B y C es esa constante lo cual hace que el diagrama de momentos entre los dos puntos sea lineal. Aplicando nuevamente la ecuación 5.6 se calcula el valor del momento en C:
M iC M iB A v
M iC w.a 2 a.( w.a) 0
B C
Con lo cual el diagrama cierra.
TRAZADO DE LA ELASTICA. En el empotramiento en A se generan dos reacciones; una fuerza y un momento flector. La fuerza se encarga de restringir el desplazamiento del punto A de la viga, por tanto la flecha o deflexión de dicho punto es 0. El momento flector se encarga de restringir la rotación de la viga en ese punto; por tanto la pendiente a la elástica en A (o la rotación en dicho punto
θA) es
de 0;
sabiendo esto y notando que el diagrama de momentos es positivo desde A hasta C, se traza la curva de deflexión de la viga (elástica), partiendo de 0 y con pendiente 0 en A y flectando hacia arriba y con la concavidad hacia arriba como se muestra en la fig. 5.17.
EJEMPLO. 5.3 Para la viga de la figura 5.18ª, trazar los diagramas de cortante, momento flector y la elástica.
ESTÁTICA. En la fig. 5.18b, se muestra el diagrama de cuerpo libre (D.C.L) de la viga para la aplicación de las ecuaciones de equilibrio:
Fy 0 M B 0
RB+RD-½w.a-2w.a=0
RB+RD=
-w.a² - ½.w.a.(a/3)+2w.a.a=RD.2a
5/2.w.a
1
RD=(5/12)w.a
Reemplazando R D en 1 se tiene: RB=(25/12)w.a
DIAGRAMA DE CORTANTE: En este ejercicio se supone que ya la metodología y el procedimiento se conocen, de modo que simplemente se practicará lo aprendido; solo se aclararán las cosas nuevas que aparezcan. Se inicia en el punto A con VA=0. Siguiente punto a evaluar: B
V B V A A w A B
V B=0+(-w.a)/2
V B=-½w.a
Como la carga entre A y B es lineal, trazar el
diagrama de corte entre los dos puntos con una parábola con pendiente desde el valor V A =0 en A hasta el valor V B=-½w.a en B.
0 en A.
Fig. 5.19c., Al llegar a B se
encuentra la reacción RB = (25/12).w.a hacia arriba, entonces el diagrama sube este valor y queda por encima con un valor de (19/25)w.a, este es el valor del cortante inmediatamente después de B. La carga externa vuelve a tener una variación en D, por lo tanto este es el siguiente punto a evaluar. V D V B A w B D
V D
19 12
w.a ( w.2a )
Luego sube la reacción RD = (5/12).w.a
V D
5 12
w.a
con lo cual el diagrama cierra.
Para el diagrama de momentos es necesario determinar el valor del cortante en C, el cual aplicando el mismo procedimiento da
Vc=(7/12).w.a. También es necesario determinar la
posición del punto en donde el diagrama de cortante pasa por 0, decir el punto Q.
Llamando XQ, la posición de Q respecto del punto C; se tiene:
VQ V C A 0 w
VQ
C Q
7 12
w.a (w.xQ ) 0
xQ
7 12
a
Entonces la distancia desde Q hasta D queda de (5/12)a.
DIAGRAMA DE MOMENTOS. Este empieza en A con un valor de MA=0, y el siguiente punto a evaluar es B.
M iB M iA A v A B
El área bajo el diagrama de cortante entre A y B es el área de la parábola que tiene como base a y altura
– w.a² ,
y cuyo vértice es el punto A (punto de pendiente 0).
El área bajo cualquier curva de la forma y=kXn y cuyo vértice (punto de pendiente 0) está en el punto de inicio de la porción que se va a calcular (Fig. 5.20) es igual a:
A
b.h n 1
a.(½).w.a M iB 0 3
M iB
w.a ² 6
El diagrama de momentos pues, parte de un valor de 0 en A y desciende a un valor de
2
– wa
/6 en
B y la curva que une estos dos puntos es una cúbica con pendiente 0 en A como se muestra en la fig. 5.19. El siguiente punto a evaluar es C, debido al momento externo aplicado en dicho punto.
19wa M iC
M iC M iB A v
B C
wa 6
2
12
7wa
12 .a 11 wa 2 2 12
El momento interno inmediatamente antes de C tiene un valor de (11/1 2)w.a 2 . Entre B y C entonces el diagrama de momentos parte de un valor de
2
– wa
/6 en B y llega a un valor de
2 (11/1 2)w.a en C, la curva que une estos dos puntos es una parábola debido a que el cortante en
esta zona es lineal, y tiene la forma mostrada en la fig. 5.19 ya que el valor de la pendiente en este tramo es decreciente. Pero en el punto C se encuentra aplicado el momento externo w.a2 como se muestra; este momento producirá tensión en las fibras superiores en cualquier sección a la derecha de C. De acuerdo con la convención de signos fijada este momento es negativo por lo tanto el valor del momento interno en C descenderá w.a2 así, el valor del momento interno inmediatamente después de C es de.
11wa 2 12
a 2
wa
2
12
El siguiente punto a evaluar es Q, debido al cambio en el diagrama de cortante.
7a 7 w.a . wa 25w.a 2 12 12 M iQ 12 2 288 2
M iQ M iC Av C Q
Ahora en el tramo Q-C el diagrama parte de
2
– w.a
/12 en C y llega a 25w.a2/288 y sigue siendo
parabólico debido a la forma del cortante en este tramo. El punto D sirve de comprobación ya que el diagrama debe cer rar.
5a (5w.a ) . 25w.a 12 12 0 M iQ 288 2 2
M iD M iQ A v
Q D
el diagrama cierra.
TRAZADO DE LA ELASTICA. Se muestra en la fig. 5.19 tenie ndo en cuenta la forma del diagrama de momentos.
EJEMPLO. 5.4 Para la viga de la figura 5.21ª, trazar los diagramas de cortante, momento flector y la elástica.
El cortante entre B y Q es parabólico con valor de w.a/6 en B y pendiente 0.
VQ V B A 0 w B Q
VQ
1 6
w.a (
1 w.xQ w.a . .xQ ) 0 6 2 3a 1
1 2
wQ .xQ ) 0
w 3.a
Q
xQ
Q
. xQ
3a
xQ a
Como el cortante en Q es 0 y es una función de x2, entonces el diagrama de momentos entre B y Q es una cúbica que empieza en B con un valor de w.a2 y con pendiente w.a/6 y termina en Q con un valor de (10/9)w.a2 y pendiente 0.
De acuerdo con lo dicho acerca de la figura 5.20, el área bajo la porción del diagrama de cortante entre B y Q es (2/3)b.h donde b=xQ =a, y h=w.a/6
M iQ M iB A v B Q
2 wa M iQ a 2 .a. 3 6
M iQ
10 9
a2 .
El diagrama debe cerrar con el área bajo el diagrama de cortante entre Q y C. Nótese que en este caso no se puede decir que dicha área sea b.h/3, ya que el punto Q no es vértice de esta porción de la parábola, en este caso hay que tomar toda el área del cortante entre B y C, descomponerla en porciones y con esta descomposición calcular el área entre Q y
C, para comprobar que en C el diagrama cierra, es decir Mc=0 TRAZADO DE LA ELASTICA. Como el diagrama de momentos es positivo desde A hasta C, la forma de la elástica será una curva que pasa por los apoyos y tiene la concavidad hacia arriba como se muestra en la fig. 5.21e.