1 NTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO DE UNA VARIABLE SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGÚN SISTEMA O MÉTODO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACIÓN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACIÓN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACIÓN), CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. DERECHOS RESERVADOS:
El estudio del análisis real es de enorme valor para cualquier estudiante que quiera llegar más allá del manejo rutinario de fórmulas para resolver problemas comunes, ya que la capacidad para aplicar el pensamiento deductivo y analizar ejemplos complicados resulta esencial para modificar y extrapolar los conceptos a nuevos contextos. Además, los conceptos torales de límite y continuidad del análi sis real desempeñan un papel crucial en muchas áreas de la matemática y de sus aplicaciones. De hecho, la matemática se ha convertido en una herramienta indis pensable en muchos campos, incluyendo la economía y las ciencias de la adminis tración así como las ciencias físicas, la ingeniería y la ciencia de las computadoras, y el análisis real es uno de los pilares fundamentales de la matemática. Nuestra meta es ofrecer un libro de texto accesible para los estudiantes de estos campos que avance de manera gradual en los conceptos y las técnicas básicas del análisis real. A pesar de los múltiples retos que plantea, el análisis real demuestra su valor en el trabajo posterior dentro de la matemática y sus aplicaciones. Se restringe la atención aquí a las funciones de una variable; se remite a los lectores que deseen estudiar funciones de varias variables al libro Introducciónal análisis matemático de Robert G. Bartle, publicado también por Editorial Limusa. La primera edición de esta obra tuvo una excelente acogida y en esta segunda edición hemos conservado tanto su espíritu como el enfoque amistoso para el usua rio. Se revisó cada sección, se cambió de lugar a algunos temas y se agregaron algunos temas nuevos; estos cambios se describen a continuación. Los problemas fueron objeto de una revisión total, siendo el resultado la modificación de algunos ejercicios y la incorporación de un número considerable de nuevos ejercicios. En el texto hay más material del que se necesitaría en un semestre y se ha tenido en cuenta que varias secciones se pueden omitir parcial o totalmente. A fin de proporcionar cierta ayuda cuando los estudiantes analicen las demos traciones de los teoremas, se ha incluido un apéndice sobre "Lógica y demostra ciones", donde se explican temas tales como la implicación, los cuantificadores, la negación, el contrapositivo y los diferentes tipos de demostraciones. Se ha conser vado la explicación informal a fin de evitar quedar empantanados en los detalles técnicos de la lógica formal. Su colocación en un apéndice indica que es una lectu ra opcional y se puede examinar en cualquier momento del curso o cuando sea necesario. Se cree que es una experiencia de mayor utilidad analizar y hacer de mostraciones de teoremas que limitarse a leer acerca de las mismas.
PRÓLOG(I
Un cambio significativo en esta edición es que los conceptos topológicos, como conjunto abierto, conjunto cerrado y compacidad, se han reunido y colocado en un nuevo capítulo: el capítulo 10, La topología de R. En la primera edición es tos temas estaban intercalados a lo largo del libro, pero nuestra experiencia nos ha demostr~do la conveniencia ~e reunirlos en un solo sitio en vez de tenerlos disper sos en diferentes partes del libro. Ahora presentamos desde un principio teoremas acerca de funciones en intervalos abiertos y cerrados, pero las demostraciones se dan en una forma que se adapta con facilidad a situaciones más generales, de tal modo que los estudiantes no necesitarán olvidar las demostraciones en un nuevo contexto. Un instructor puede pasar perfectamente al capítulo 10 en cualquier mo mento, por ejemplo, en conexión con el capítulo 5, si así lo desea. En el capítulo 1 se presenta un breve resumen de las nociones y notaciones de conj~ntos y ~uncio~:s que se :r:iplean en el libro. Se incluye asimismo una expli cacion de la inducción matemática, ya que esta técnica de demostración se presen ta co~ reg.ul~ridad. s.e recomi~nda que este capítulo se estudie con rapidez; se debera resistir cualquier tentación para extenderse en el formalismo de la teoría de conjuntos, ya que tal estudio no presagia de manera precisa la naturaleza del aná lisis real. En el capítulo 2 se presentan las propiedades del sistema de los números rea les. En las tres primeras secciones se ofrece práctica en el pensamiento deductivo básic~ Y ~n la elabo:ación de demostraciones; se pueden cubrir con rapidez, en ~special sr los estudiantes cuentan con experiencia previa de esta naturaleza. La importante propiedad de completidad del sistema de los números reales se estable ce en la sección 2.4 como la propiedad del supremo, y sus ramificaciones se anali zan en la sección 2.5. Estas dos secciones se deberán estudiar con atención, ya que el uso de supremos es esencial en el material posterior. La propiedad de los inter val~~ anidados se_ trata en la secci.ón 2.6. En la sección 2.7 se demuestra que el COnJU~to de los nu~eros reales es mcontable; esta demostración es precedida por ~n cuidadoso estudio de los conjuntos finitos, un tema cuyas sutilezas suelen de jarse de lado y que proporciona una excelente oportunic ad para aplicar el razona miento inductivo. En el capítulo 4 se presenta un tratamiento exhaustivo de las sucesiones de números reales y los conceptos de límites relacionados. Este material es, desde luego, de máxima importancia; afortunadamente, los e studiantes lo encuentran muy natural. El teorema de BolzanoWeierstrass para suc esiones se establece en la sección 3.4 demostrando primero que toda sucesión re. ti tiene una subsucesión monótona. El capítulo 4 sobre límites y el capítulo 5 sobre funciones continuas constitu yen el corazón del libro. El estudio de límites de funciones depende en gran medi ~a ~el uso de s~cesbnes; este tratamiento paralelo refuerza la comprensión de los límites y permite tratar los teoremas básicos con bastante rapidez. (Algunos ins tructores .q~izás prefieran saltarse la sección 4.3 en un curso introductorio.) De manera similar, los resultados iniciales relativos a las funciones continuas del ca pítulo 5 se construyen con base en la teoría de límites establecida en las secciones anteriores. Las propiedades fundamentales de las funciones continuas en interva
1'1(1 )1 ()(1()
l11s ~>1· dl:sarrnll1111 un la sección 5.3, y la continuidad uniforme se introduce en la svn·i1111 5.4. ll11 estas dos secciones, se explota el potencial pleno de la teoría pre via a fin de establecer las profundas propiedades de las funciones continuas. Las propiedades de las funciones monótonas se establecen en la sección 5.5. l .a teoría básica de la derivada se presenta en las dos primeras secciones del cupítulo 6. La sección 6.2 es en esencia una secuencia de consecuencias del teore ma del valor medio. La teoría básica de la integral de Riemann está contenida en las tres primeras secciones del capítulo 7. La integral se introduce por medio de las integrales superior e inferior, y el criterio de Riemann se usa como herramienta básica para establecer la existencia de la integral. La sección 7.3 sobre el teorema fundamental del cálculo se ha redactado de nuevo en su totalidad a fin de clarificar las relaciones entre los diferentes aspectos de dicho teorema. En las secciones posteriores de los capítulos 6 y 7 se estudian otras propiedades de la derivada y la integral que se pueden cubrir si el tiempo lo permite. En el capítulo 8 se explica la convergencia uniforme. Los instructores quizás prefieran estudiar la sección 8.1 después del capítulo 5 y considerar después los teoremas de "preservación" de la sección 8.2 a medida que vayan avanzando en los demás capítulos. En las secciones 8.3 y 8.4 las funciones trascendentales bási cas, las cuales suelen darse por descontadas, se estudian sobre fundamentos teóri cos firmes usando la convergencia uniforme. El capítulo 9 sobre series infinitas se ha revisado y ampliado ligeramente con secciones separadas donde se estudia la convergencia absoluta y no absoluta de las series. Los capítulos 8 y 9 poseen una importancia y un interés intrínsecos, pero a la vez muestran la manera en que el material visto en los capítulos anteriores se puede aplicar en temas numéricos y analíticos. El capítulo 10 es nuevo y versa sobre conceptos topológicos. Las demostra ciones anteriores dadas para intervalos se extienden ahora a su contexto más abs tracto y se hace el énfasis debido en el concepto de compacidad. Se incluye una muy breve introducción a los espacios métricos. Puesto que muchos conceptos y argumentaciones se generalizan de inmediato a los espacios métricos, la inclusión de este tema proporciona una situación privilegiada para introducir las nociones de carácter bastante abstracto discutidas en las secciones previas del capítulo. A lo largo del libro se ha prestado mayor atención que la acostumbrada a los temas del análisis numérico y a la teoría de las aproximaciones. Lo hemos hecho debido a la importancia creciente de estos temas para el estudiante contemporáneo y porque la comprensión apropiada de estos temas cuenta con bases más sólidas en el contexto del análisis real. Al mismo tiempo, estos temas también mejoran la comprensión de ideas "puramente analíticas" En muchos de los ejercicios se ofrecen "sugerencias", por lo general incom pletas y en ocasiones un tanto misteriosas. Su intención es ayudar a encaminar a los estudiantes hacia Ja solución, pero los detalles adicionales deben proporcio narlos ellos. Es una experiencia satisfactoria observar la manera en que aumenta la madu rez matemática de los estudiantes y como aprenden gradualmente a trabajar con soltura con conceptos que en un principio parecían tan misteriosos. Por supuesto,
J()
P1u'1J ,()( l
en un semestre no es posible cubrir todos los temas cid libro, pc1'0 lrn1 lm1111N hupor tantes se pueden estudiar con profundidad si uno no se quedo ompuntnnndo nl principio en los preliminares. Hay abundante material para que se puedan seguir los intereses particulares del instructor y de los estudiantes. Hemos recibido muchos comentarios valiosos de colegas de una amplia varie dad de instituciones que han enseñado con la primera edición, y expresamos nues tra apreciación para ellos. Sus observaciones y críticas resultaron en extremo va liosas en la elaboración de esta edición. Nuestro agradecimiento por comunicarse con nosotros, deseándoles éxito en sus empresas futuras para impartir el desafío y la excitación del análisis real a sus estudiantes. Es nuestra esperanza que encuen tren esta nueva edición aún más útil que la primera.
Ypsilanti and Urbana
Robert G. Bartle Donald R. Sherbert
< 'APDTULO UNO
l. l. Álgebra de conjuntos 1.2. Funciones 22 1 .3. Inducción matemática
Las propiedades algebraicas de R 38 Las propiedades de orden de R 44 Valor absoluto 53 La propiedad de completidad de R 58 Aplicaciones de la propiedad del supremo Intervalos y decimales 68 Conjuntos infinitos 75
62
85
Sucesiones
Sucesiones y sus límites 85 Teoremas de límites 96 Sucesiones monótonas 105 Subsucesiones y el teorema de BolzanoWeierstrass Criterio de Cauchy 118 Sucesiones propiamente divergentes 126
CAPÍTULO CUATRO 41.1. 4.2. 4.3.
15
Los números reales
CAPÍTULO TRES 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.
15
Preliminares
129
Límites
Límites de funciones 129 Teoremas sobre límites 139 Ampliaciones del concepto de límite
112
148
11il111
11
NllHI
t 'ON l'\INllHI
12
403
CAPÍTULO CINCO 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.
Funciones continuas 159 Combinaciones de funciones continuas 165 Funciones continuas en intervalos 171 Continuidad uniforme 179 Funciones monótonas e inversas 191
CAPÍTULO SEIS 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.
8.1. 8.2. 8.3. 8.4.
216
La integral de Riemann
Convergencia puntual y uniforme 309 Intercambio de límites 317 Las funciones exponencial y logarítmica Las funciones trigonométricas 335
CAPÍTULO NUEVE
251
265 274
Sucesiones die funciones
309
324
Series infinitas
343·
9.1. Convergencia de series infinitas 343 9.2. Criterios de convergencia absoluta 351 9.3. Criterios de convergencia no absoluta 361 9.4. Series de funciones 366
CAPÍTULO DIEZ 10.1. 10.2. 10.3. 10.4.
La topología de R
Conjuntos abiertos y cerrados en R Conjuntos compactos 384 Funciones continuas 389 Espacios métricos 394
· 376
1wmlkt·.
1 ,6gka y demostraciones
1 1•1 ouuuduciones para ejercicios 'wh1t'l'lo11mlos 417
203
Integrabilidad de Riemann 252 Propiedades de la integral de Riemann El teorema fundamental del cálculo La integral como un límite 286 Integración aproximada 296
CAPÍTULO OCHO
159
Derivación
La derivada 204 El teorema del valor medio Reglas de L'Hospítal 227 Teorema de Taylor 236
CAPÍTULO SIETE 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5.
l"funcioncs cuuttnuu»
375
mlk1·
435
405
( ~A P l T IJ J .o lJ NO
J>!~ELIMINARES
En este capítulo inicial se presentarán los fundamentos necesarios para el es tudio del análisis real. Las secciones 1.1 y 1.2 se dedican a un breve repaso del álgebra de conjuntos y de las funciones, dos herramientas vitales para la matemá tica en general. El término "conjunto" se considerará sinónimo de "clase", "colec ción" y "familia", pero estos términos no se definirán así como tampoco se dará una lista de axiomas para la teoría de conjuntos. Suele hacerse referencia a este enfoque pragmático como teoría de conjuntos "nai've" y resulta bastante adecuada para trabajar con los conjuntos definidos en el contexto del análisis real. La sección 1.3 se ocupa de un método especial de demostración llamado in ducción matemática. Se relaciona con las propiedades básicas del sistema de los números naturales y aunque se encuentra restringido a la demostración de propo siciones de tipos particulares, es importante y su aplicación es frecuente. En el apéndice se puede encontrar un estudio informal relativo a los diferentes tipos de demostraciones que se usan en el análisis y en la matemática en general. Además de introducir conceptos básicos y de establecer la notación y la ter minología, este capítulo también proporciona al lector cierta experiencia inicial para trabajar con definiciones precisas y en la escritura de demostraciones. El es tudio atento del análisis real implica de manera inevitable la lectura y la escritura de demostraciones, habilidades que, como cualquier otra, es necesario practicar. El presente capítulo es un punto de partida.
SECCIÓN 1.1 El álgebra de conjuntos Si A denota un conjunto y x es uno de sus elementos, se escribirá xEA
como una forma abreviada de la afirmación de que x es un elemento de A, o que x es miembro de A, o quex pertenece aA, o que el conjunto A contiene al elemento x o que x está en A. Si x es un elemento que no pertenece a A, se escribirá X
$.A.
Si A y B son conjuntos tales quex EA implica quex EB (es decir, que todo elemen to de A también es elemento deB), entonces se dirá que A está contenido enB, que B contiene a A o que A es un subconjunto de B, y se escribirá
1'1{1·:1,IMI
N/\Rl:.s
o
A~B
Si A ~By existe un elemento en B que no está en A, se dirá que A es un subconjunto propio de B. Deberá notarse que la proposición A ~ B no excluye de manera automática la posibilidad de queA cubre la totalidad de B. Cuando esto es cierto, los conjuntos A y B son "iguales" como se define a continuación.
1.1J. Definiclón. Dos conjuntos A y B son iguales si contienen los mismos elementos. Si los conjuntos A y B son iguales, se escribe A= B. Por tanto, para demostrar que los conjuntos A y B son iguales, debe probarse queA ~By queB ~A. Un conjunto se puede definir numerando sus elementos o especificando una propiedad que determine los elementos del conjunto. No es sencillo definir con precisión el término "propiedad", pero no dudaremos en usarlo en la manera infor mal ordinaria. Si P denota una propiedad que tenga sentido y no sea ambigua para una colección de elementos, entonces se escribe
{x: P(x)} para el conjunto de todos los elementos x para los cuales se cumple la propiead P. La notación se lee "el conjunto de todas las x tales que P(x)". Si es necesario especificar los elementos que se están considerando para la propiedad P, se puede escribir
{x ES:
P(x)}
para denotar el subconjunto de S cuyos elementos cumplen con la propiedad. En este libro se usan varios conjuntos particulares que se denotan por símbo los comunes como se indica a continuación. (El símbolo:= se emplea para indicar que el símbolo de la izquierda se define por la expresión de la derecha.) º El conjunto de los números naturales N := {l, 2, 3, ... } e El conjunto de los enteros Z := {O, 1, 1, 2, 2, ... } • El conjunto de los números racionales Q := {m/n: m, n EZ y n =fo O} 0 El conjunto de los números reales R El conjunto Res de importancia fundamental y se examinará en detalle en el capí tulo 2. Ejemplos.
a) El conjunto
{x EN: x2
-
3x
+ 2 =O}
consta de los números naturales que satisfacen la ecuación enunciada. Puesto que las únicas soluciones de la ecuación cuadrática x2 - 3x + 2 =O son x = 1 y x = 2, en lugar de escribir la expresión anterior, este conjunto se denota generalmente por {1, 2}, es decir, numerando sus elementos.
l'I. i\1(IJllllV\1)11.
17
( 'ON.ltJN'l'OS
b ) 1~11111·11sii•ncs se puede usar una Iórrnula para abreviar la descripciónde un conju 1110. Pnr ejemplo, el conjunto de tocios los números naturales pares se podría denotar por {2x: x EN}, en lugar de usar la expresión más complicada {y EN: Y=
2x,
X
EN}.
e) El conjunto {x EN: 6 < x < 9} se puede escribir en forma explícita como {7, 8}, con lo cual se ponen de manifiesto los elementos de conjunto. Desde luego; hay muchas otras descripciones posibles para este conjunto. Por ejemplo,
{x EN: 40 < x2 < 80}, {x EN: x2
15x + 56 =O},
-
{7+x:x=O
o
x=I}.
Operaciones con conjuntos A continuación se dan algunos métodos para construir nuevos conjuntos a partir de otros ya dados.
1.L2 Definición. a) Si A y B son conjuntos, entonces su intersección, deno tada por A n B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto a A como a B. (Ver la figura l. l. l.) En otras palabras, se tiene A
n B '= { x : x
E
A
y
X E
B}
b) La unión de A y B, denotada por A U B, es el conjunto de todos l~s ele mentos que pertenecen a A o B. (Ver la figura 1.1.1 .) En otras palabras, se tiene
AUB:={x:xEA
o
xEB}.
En relación con la unión de dos conjuntos, es importante tener presente el hecho de que el vocablo "o" se está usando en el sentido inclusivo. Decir que x pertenece a A o B deja abierta la posibilidad de que x pertenezca a ambos conjun tos. En terminología legal este sentido inclusivo en ocasiones se indica por "y/o". Se ha supuesto tácitamente que la intersección y la unión de dos conjuntos también es un conjunto. Entre otras cosas, esto requiere la existencia de un conjunto que no tenga elementos en absoluto (ya que si A y B no tienen elementos en común, su intersección no tiene elementos).
1.1.3 Definición. El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto va cío y se denotará por el símbolo 0. Si A y B son conjuntos sin elementos en co mún (es decir, si A n B = 0), entonces se dice que A y B son disjuntos o que no se intersecan. El resultado siguiente establece algunas de las propiedades algebraicas de las operaciones con conjuntos que se acaban de definir. Puesto que las dernostracio nes de estas afirmaciones son rutinarias, se dejarán en su mayoría corno ejercicios para el lector.
JiJWLIMli'li\lU~S
:tl.4 Teorema. Sean A, By C conjuntos cualesquiera, entonces a) A n A =A, A U A = A; b) A n B = B n A, A U B = B U A; e) (A () B) () e = A n (B í) C), (A u B) d) A n (B u C) = (A n B) u (A n C), A U (B n C) = (A U B) n (A U C).
11)
11 1\1 \111,lllli\ IJlit'tlNlllN'l'0~1 1
u e = A u (B u C);
1. 1. 1, ~:,· concluye
i>11:o1· r11 111 1kl iuiciou
'1111
11 (,.\ 11
que los cunjuntos A
n (8 U
C)
y (A n
B)
e') :>1111 iru;1ks.
( 'ousidcraudo las relaciones del teorema 1.1.4 e), se acostumbra omitir los y escribir simplemente
¡ 1:ir~nt isis
AnBnc,
En ocasiones se hace referencia a estas igualdades como propiedades de idempotencia, conmutativa, asociativa y distributiva, respectivamente, de las ope raciones de intersección y unión de conjuntos. En calidad de ejemplo de una demostración, se probará la primera ecuación de el). Sea elemento de A n (B u C), entonces X EA y X E B u c. Esto significa que X EA y que X EB o KE C. Por tanto se tiene que i x EA y x EB o que ii x EA y x E C. Por lo tanto, x EA n B ox EA ne, de donde X E (A n B) u (A n C). Con esto se demuestra que A n (Bu C) es un subconjunto de (A n B) U (A n C). Recíprocamente, sea y un elemento de 0 n B) U (A n C). Entonces, iii y EA n B o iv y EA n c. Se concluye que y EA y que y EB o y E C. Por tanto,y EA y y EB u e de modo que y EA n (B U C). Así, (A n B) U (A n C) es un subconjunto de A n (B U C).
X Ull
A U BU
C.
1 '.s
posible demostrar que si {Al' A2, ... , A) es una colección de conjuntos, enton existe un conjunto A con una definición única que consta de todos los elernen 111s que pertenecen al menos a uno de !os conjuntosA1,j = 1, 2, ... , n; y que exis te un conjunto B con una definición única que consta de todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos Aj, j = 1, 2, ... , n. Omitiendo los paréntesis, se escribe <"C.'>
A =A .
1
B =A1
U A 2 U ... U A 11 := {x : x EA} para alguna 1'} ,
í1A2 n ... nA :== {x :xEA para todaj}. 11
En ocasiones, a fin de economizar espacio, se imita la notación empleada en las sumatorias y se usa una notación más condensada, tal como n
A =
U
Aj=
LJ
{Aj: j = I, 2, ... ,
n},
A1 =
íl
{A1: j = 1, 2, ... ,
n}.
j~I
A
B =
íl j~I
AnB
De manera similar, si para todaj de un conjunto J existe un conjunto Aj' enton ces U {A: j E J} denota el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a un~ de los conjuntos A,. Del mismo modo, n {Aj: j E.!} denota el conjunto de todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos Aj para j EJ. Se introduce ahora otro método para construir un nuevo conjunto a partir de dos conjuntos dados.
-
1.1.5 Definición. Si A y B son conjuntos, entonces el complemento de B con respecto aA es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a B. Este conjunto se denotará por A \B (léase "A menos B"), aunque en ocasiones otros autores usan las notaciones afines A - B y A - B. (Ver la figura 1.1.2.) En la notación introducida anteriormente, se tiene A\B A UB FIGURA 1.1.l
1Jffi1J1m
:=
{x
E
A: x ft; B}.
En ocasiones el conjunto A se sobrentiende y no necesita mencionarse explícita merite. En esta situación se hace referencia simplemente al complemento de B y A \B se denota por -é'(B).
La intersección y la unión de dos conjuntos.
/
l'ltlil IMlll1\l0lll
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111 A!.<1111\llA
1)11, ( 'ON.Jlll\l'l'()S
?.I
AxB JI ----•(a,h)
/¡
1
a A FIGURA :U.3 El producto cartesiano. FIGURA 1.1.2 El complemento relativo. Se enuncian a continuación las leyes de De Margan para tres conjuntos; en lo.~ ejercicios se dará una formulación más general de ellas.
3
1.1.6 Teorema. Si A, By C son conjuntos cualesquiera, entonces
A\(B U C) = (A\B)
íl
(A\C),
A\(B
íl
C)
=
(A\B)
U
2
{A\C).
1
Demostración. Se hará la demostración de la primera relación y la segunda se deja al lector. Para establecer la igualdad de los conjuntos, se prueba que to· do elemento de A \(B U C) está contenido tanto en (A \B) como en (A \C), y recí procamente.
Si x está en A \(B U C), entonces x está en A pero no está en B U C. Por tanto, x está en A, pero no está en B ni en C. (¿Por qué?) Por lo tanto, x está en A pero no en B, y x está en A pero no en C. Es decir, x EA \B y x EA \C, con lo cual se demuestra que X E (A \B) n (A \C). Recíprocamente, si x E (A \B) n (A \C), entonces x E (A \B) y x E (A \C). Por tanto, x EA y x e: By x e: C. Se concluye que x EA y x e: (B U C), de donde x EA \(B U C). Puesto que los conjuntos (A \B) n (A \C) y A \(B U C) contienen los mismos elementos, son iguales por la definición 1.1.1.
Q.E.D.
Producto cartesiano A continuación se define el producto cartesiano de dos conjuntos.
1.1. 7 Definición. Si A y B son dos conjuntos no vacíos, entonces el producto cartesiano A xB de A y Bes el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) con a EA y b EB. (Ver la figura 1.1.3.) Por tanto, si A = {l, 2,~} y B = { 4, 5}, entonces el conjunto A x B es el conjunto cuyos elementos son los pares ordenados (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5).
,. ~
1
AxB
2
FIGURA 1.1.4 El producto cartesiano de A y B.
1 ¡ ,.1111junlo
A x B se puede representar como el conjunto de los seis puntos del . . . ( ·() n Irecuencia se traza un diagrama (como el de la figura l. l. 3) para indicar 1 l ¡n(Jduclo cartesiano de dos conjuntos A~ B. ~i~ embargo, .deberá t~ne~~ pre 1ti 11¡11 que este diagrama puede ser un tanto simplificado. Por ejemplo, s1A . {x E 1 x::::; 2} y B := {x ER: O::::; x::::; 1 ó 2::::; x::::; 3}, entonces en lugar de un · 11,< líl11gulo, se tendría un trazo como el de la figura 1.1.4. pl~11111 <"on las coordenadas que se acaban de enumerar.
u
n~¡crddos de fa sección 1.1 1. Trazar un diagrama para representar los conjuntos mencionados en el teore
2. 3. 4. 5.
ma 1.1.4. Demostrar el inciso c) del teorema 1.1.4. Demostrar la segunda parte del inciso d) del teorema 1.1.4. Demostrar que A e B si y sólo si A n B =A. Demostrar que el conjunto D de todos los elementos que pertenecen a~ o a~ pero no a ambos está dado por D = (A\B) U (B\A). Este conju~to sue e llamarse la diferencia simétrica de A y B. Representarlo en un diagrama.
22
PRELIMlNMlES
6. Demostrar que la diferencia simétrica D, definida en el ejercicio anterior, también está dada por D = (A U B)\(A n B). 7. Si B ~A, demostrar que B =A \(A \B). 8. Dados los conjuntos A y B, demostrar que los conjuntos A n B y A \B son disjuntos y que A =(A n B) U (A \B). 9. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, demostrar que A n B =A \(A\B). 10. Si {A P A2, ... , A) es una colección de conjuntos y si E es un conjunto cual quiera, demostrar que
En
"
"
j-1
11.
n
LJ{EnAJ,
LJA1=
EU
j=l
LJAJ= J-1
"
LJ(EUAJ).
"
íl" (En
Aj=
j=l
n
EU ílA1=
Aj),
J-1
J-1
íl"
A1
=
J-1
"
" E\ LJA1=
LJ ( E\A1), j-1
j-1
f( x)
x2 + 3x - 5,
:=
que asocia a cada número real x otro número real f(x). Probablemente se habría suscitado una controversia entre dichos matemáticos en cuanto a si el valor abso luto
h(x):=lxl
íl" (E u AJ.
de un número real es una "función honesta" o no. Porque después de todo la defi nición de lxJ se da "en partes" por [x]
J1
12. Sea E un conjunto y {A1, A2, ... , A,,} una colección de conjuntos. Establecer las leyes de De Margan: E\
:ihord:111dikrc11li.;s1 ipns de funciones, pero por lo general con un grado de abstrae 111<.:1wr que en esta sección introductoria. l'ara el matemático del siglo pasado el término "función" por lo general signi Iicaba una fórmula definida, como
ci<'111
j-1
Si {A1, A2, ... , A,,} es una colección de conjuntos y si E es un conjunto cual quiera, demostrar que
En íl
23
l·l IN( '11 JNl~S
n
íl(E\AJ. j-1
Obsérvese que si E\Ai se denota por -ef(A¡), las relaciones adoptan la forma
:=
X {
-x,
'
si
x ~ O,
SÍ
X
<
Ü.
A medida que se desarrolló la matemática, llegó a ser cada vez más claro que el requisito de que una función fuera una fórmula era indebidamente restrictivo y que sería útil una definición más general. También llegó a ser evidente la importancia de hacer una clara distinción entre la función en sí y los valores de la función. Nos proponemos actualizar la definición con el uso corriente, lo cual haremos en dos pasos. Nuestra primera definición revisada de función sería: Una función! de un conjunto A a un conjunto Bes una regla de correspondencia que asigna a cada x de A un elemento determinado de manera únicaf(x) de B.
13. Sea J un conjunto cualquiera y sea que AJ esté contenido en E para cada j EJ. Demostrar que
t>(
n {A/j
EJ}) =
t>( U {A1:j EJ})
=
LJ {t>(A1):j EJ}, íl {ef(1j):jEJ}.
14. Si B1 y B2 son subconjuntos de By si B = B1 U B2, entonces A
X
B = (A X B 1) U (A x B z).
SECCIÓN 1.2 Funciones Se analiza ahora la noción fundamental de función o mapeo. Se verá que una función es un tipo especial de conjunto, aunque hay otras representaciones que con frecuencia resultan más sugerentes. En todas las secciones subsecuentes se /
Sin importar lo sugerente que pueda resultar la definición propuesta, tiene un defecto significativo: no es clara. Persiste la dificultad para interpretar la frase "regla de correspondencia". Seguramente los lectores podrán pensar en frases que sean más satisfactorias para ellos que ésta, pero no es probable que puedan despe jar por completo la bruma. La solución más satisfactoria parece ser definir "fun ción" exclusivamente en términos de conjuntos y de las nociones introducidas en la sección anterior. Esto presenta la desventaja de ser más artificial y de perder parte del contenido intituitivo de la descripción previa, pero la ganancia en clari dad supera estas desventajas. La idea clave es pensar en la gráfica de la función: es decir, en una colección de pares ordenados. Se hace notar que una colección arbitraria de pares ordenados no puede ser la gráfica de una función, ya que una vez que se nombra el primer miembro del par ordenado, el segundo queda determinado de manera única.
]..2.1 Deñnícíén. SeanA y B conjuntos. Una función de A a Bes un conjunto
f de pares
ordenados en Ax B tal que para cada a EA existe una b E B única con (a, b) e]; es decir, si (a, b) e] y (a, b') E f, entonces b = b', Al conjunto A de los
1110:.1.1M1
l•llN( 'l(lNl•,S
NA lill~I
b = f(a)
A
B
FlGURA 1.2.2 Una función como una transformación . .¡.
-4---A-ª---+1~1 J<'IGlJRA 1.2.1 Una función
X
t
como una gráfica.
f
de los elementos de/se le lla 11111 dm11inlo de /y en ocasiones se denota por D(f). Al conjunto de todos los ele 111r11l11:1 tic JI que pueden figurar como segundo componente de los elementos de f :w k 1 luma codomiuio de /y en ocasiones se denota por R(f). (Ver la figura 1.2.1.) rh•n1l·11tos
que nparcccn como primer componente
t
1 .u notación
f:
f(x)
A--+ B FIGURA 1.2.3 Una función como una máquina.
indica que fes una función de A a B; con frecuencia se dirá que fes un mapeo de A en B o que fmapea A en B. Si (a, b) es un elemento de f, se acostumbra escribir b = f(a) en lugar de (a, b) E f. Con frecuencia se hará referencia a b como el valor de f en el punto a,-o como la imagen del punto a bajo f.
Transformaciones y máquinas Además de las gráficas, una función se puede representar como una transformación del conjunto A = D(f) a una parte de B. En estos términos, cuando (a, b) E f, fse concibe como si tomara el elemento a de A y lo "transformara" o "mapeara" en un elemento b = f(a) del subconjunto R(f) de B. Es común dibujar un diagrama como el de la figura 1.2.2. Esta representación geométrica de una función se usa con frecuencia aun cuando los conjuntos A y B no sean subconjuntos del plano. Hay otra manera de representar una función: a saber, como una máquina que acepta elementos deD(f) como materia prima y produce los elementos correspon dientes de R(f) como productos finales. Si se toma un elemento x de D(f) y se alimenta enf, se produce el valor correspondientef(x). Si se alimenta un elemento diferente y deD(f) enf, se obtienef(y) [que puede ser diferente o no def(x)]. Si se
intenta introducir enf algo que no pertenece aD(f), se encontrará que no es acep tado, ya que f sólo puede operar con elementos que pertenezcan a D(f). (Ver la figura 1.2.3.) Esta última representación aclara la diferencia entre f y f(x): la primera es la máquina, la segunda es lo que produce la máquina cuando se alimenta co~,x. Des de luego, resulta muy conveniente distinguir una máquina de su producción. ~un cuando seguramente nadie confundiría un molino de carne con la carne molida, tantas personas han confundido las funciones con sus valores que bien val~ ,la pena hacer un modesto esfuerzo para distinguir ambos conceptos por su notación.
Restricciones y extensiones de funciones Si fes una función con dominio D(f) y D1 es un subconjunto de D(f), con frecuencia resulta conveniente definir una nueva función con dominio D1 por f (x) := f(x) para toda x ED1. Esta función se denomina la restricción de f al c1onjuntoD1. En términos de la definición 1.2.1, se tiene
t.
i.
:=
{(a,b) Ef: a E D¡}.
t;
21>
l' fll(l.J M 1 Ni\ llJI.~
En ocasiones se escribe conjunto D 1.
f1 = f JD1
1 lJNC'IC)Nl·.S
para denotar la rcstricd(rn dr L1 l1111L·io11
f
al
Una construcción similar es la noción de "extensión". Si ges una función con dominio D(g) y D2 ;:::;? D(g), entonces cualquier función g2 con dominio D2 tal como gz(x) = g(x) para toda x ED(g) se llama una extensión de gal conjunto D2.
Imagen directa e inversa Sea/: A > B una función con dominio A y codominio en B.
de IJ, entonces /' 1(1/) dl' ¡\dado por
Si 11 r.~ 1111 s11hrn11j111110 111il11·111ij1111lo
f 1(11) '"" (x
E
rn el otro sentido, por lo que en realidad se ha establecido la igualdad; se deja demostración como ejercicio. En los ejercicios también se presentan otros casos dL· interacción entre las imágenes directas e inversas de conjuntos y las operacio lll~S con conjuntos de unión e intersección. •.ipi1
1·:·lla
Tipos especiales de funciones
1.2.2 Definición. Si E es un subconjunto de A, entonces la imagen directa de E bajo fes el subconjunto f(E) de B dado por
f( E) == {f(x): x
J.
1 h' IH'l'lio, :li 1 ( /' 1( t. () 1 l), entonces f(x) E G n H, ele donde f(x) E G f~t) E H. 11.:tln i111plirn que .1· e] 1(G) y x Ef-1(il). Por tanto, X E/1(G) n f (H): Y la i11l'l11si(111 de conjuntos enunciada queda demostrada. También se cumple la inclu
E}.
la imagen inversa de H bajo
j
es el
Un tipo importante de función es el que nunca asume el mismo valor en dos puntos diferentes.
1.2.4 Definición. Se dice que una función/: A--> Bes inyectiva o uno a uno si siempre quex1 -:f. x2, entoncesj'(x.) f(x2). Sifes inyectiva, se dice que fes una
*
inyección. E
A: I(x)
E
J-I}.
/\·11. :.1 .<:<' d:1 1111 conjunto H k; A, entonces un punto y EB está en la imagen /'(/•,')si y sólo si existe al menos un punto x EE\a1 que y fi(x ). De ' .1 1 . l 1 1 11111t1l'ra s11111 ar, e ado un con.1u111"0 H k; B, un puntox EA está en la imagen inversa 1 / (/ I) si y sólo si y2 := f(x 2) está en H. (Ver la figuia 1.2.4.)
=
dl11'\'t11
De manera equivalente, una función fes inyectiva si y sólo si f(x1) = f(x2) implica que x1 = x2, para toda xi' x2 en A. . Por ejemplo, sea A:= {x ER:x 1} y se defmef:A> R por f(x) :=x/(x~ 1). Para demostrar que fes inyectiva, se supone que x 1, x2 EA y f(x 1) = f(x2). Se tiene entonces
*
X1
1.2.3. Ejemplos. a) Sea una/: R--> R definida por f(x) := x2. La Ímagen direc ta del conjunto E:« {x: O :!S; x :!S; 2} es el conjuntof(E) ={y: O""' y :!S; 4 }. Si G :={y: O :!S; y :!S; 4}, entonces la imagen inversa de Ges el conjunto ¡-1(G) = {x: 2 ~ x""' 2}. Se observa por tanto que ¡-1(/(E)) =F E. P~r otra parte, se tiene /(f1(G)) = G. Pero si H:= {y: 1 ~y~ 1 }, entonces se obtiene f(f-1(H)) = {x: O~ x :!S; 1} =F H. Un bosquejo de la gráfica de f puede ayudar a representar estos conjuntos.
b) Sea/: A -->By sean G y H subconjuntos de B. Se demostrará que
¡1(G n E
H)
~f1(G)
nf-1(H).
......... f
X2
Jo cual indica (¿por qué?) que x 1 (x2 - 1 ) = xi(x1 se concluye que fes inyectiva.
-
1 ), de donde x1 = x2. Por lo tanto,
1.2.5 Definición. Se dice que una función/: A > B es suprayectiva o que mapea A en B, sif(A) =B. Si/ es suprayectiva, se dice que/ es una suprayeccíén. De manera equivalente,/: A > B es suprayectiva si el codominio de fes la totalidad de B, es decir, si para toda y EB existe alguna x EA tal que f(x) =y. Al definir una función es importante especificar el dominio de la función Y el conjunto del cual se toman los valores. Una vez hecho esto, es posible indagar si la función es una suprayección o ·no. Por ejemplo, la función /(x) := x2 es una suprayección de R en {x ER: x:;;;;. O}, pero no de R en R. 1.2.6 Definición. Se dice que una función/: A > B es biyectíva si ~s tanto inyectiva como suprayectiva. Si fes biyectiva, se dice que es una biyección.
H
FIGURA 1.2.4 Imágenes directa e inversa bajo f
Funciones inversas · Si/ es una función de A a B (y, por tanto, un subconjunto especial de Ax B), entonces el conjunto de los pares ordenados en B xA obtenidos al intercambiar el
,IMINA1ll\H
i'IU1,l
í .V) 11;Jm1111loN. a) S0 debe observar con atención el orden de la composi Sc•11n f y íl lw: funciones cuyos valores para x E R están dados por
primero y el segundo miembro de los pares ordenados en j' pw• lo l',l'lit'11tl 110 cs una función. Sin embargo, si fes inyectiva, entonces este intcrcamhiu lleva a una función llamada la inversa de f
l'it 111,
1.2. 7 Definición. Sea f: A + B una función inyectiva con dominio A y codominio R(f) en B. Si g := {(b, a) EB xA: (a, b) E!}, entonces ges una inyec ción con dominio D(g) = R(f) y codominioA. La función g se denomina la función inversa de f y se denota por ¡1.
Puesto que D(g) es el conjunto R de todos los números reales y R(f) s R, el dominio D(g º .!) también es R, y la función compuesta g 0 f está dada por
En la notación ordinaria de funciones, la función siguiente manera;
¡1 se relaciona
con
f de
la
x = ¡-1(y) si y sólo si y= f(x). Por ejemplo, se vio antes que la funciónf(x) := x/(1-x) definida para x E A := (x: x r/1 1 ~es inyectiva. No es del todo claro si el codominio dejes la totalidad (o .~<\lo 111111 parle) de N. Para determinar esto, se resuelve la ecuación y= x/(I - x) p111·11 1 t\11 lórr111110.~ ele y, obtcniéndost; x = y/(1 +y). Con esta información, podemos !'011V1111v1•r111H1 !11· que el <:odo1n i11 io es/?(/)= {y: y -:/:- 1} y que la función inversa d1• /' l /¡1111• doin iirlo 1J11 (y: y /. · 1 l y cstú ciado por ¡1(y) = y/(I +y). JI¡¡ lr11pnr1111110 olisnvrir que si una función fes inyectiva, entonces la función l11v1~1tlll d11 /l11111hiú11 es iuyccuvu. Además, Ja función inversa de ¡1 esf Se dejan t'llltHI !'JC'rdvlo~ las demostraciones de estas afirmaciones.
f(x) ==2x,
g
0
g(x) == 3x2
f(x) = 3(2x)2
1=12x2
Pnr otra parte, el dominio de la función compuesta/ caso se tiene
f g(x) 0
= 2(3x2
0
l.
-
l.
g también es R, pero en este
1) = 6x2
-
2.
0f=!=f0 g. b) Se debe tener cuidado de verificar que el codominio de f está contenido en el dominio de g. Por ejemplo, si f(x) := 1 x2 y g(x) :=../X, entonces la función compuesta g o f dada por g 0 f(x) = ~ sólo está definida para aquellas x de D(f) que satisfacen f(x) ;,,, O; es decir, para las x que satisfacen 1 :;s; x :;s; l. Se observa que si se invierte el orden, entonces la composición/ 0 g, dada por f 0 g(x) = l -x, está definida para todax en el dominio de g, que es el conjunto {x ER: x;,,, O}.
Por tanto, g
El teorema siguiente establece una relación entre la composición de funciones y las imágenes. La demostración se deja como ejercicio.
Composición de fondones Es frecuente la necesidad de hacer la "composición" de dos funciones encon trando primero f(x) y luego aplicando g para obtener g(f(x)), pero esto sólo es posibl~ c.uando f(x) pertenece al dominio de g. Por tanto se debe suponer que el codornínío de f está contenido en el dominio de g.
1.2.8 Defínícíón. Para las funciones f: A + B y g: B + C, la función com puesta g f (¡obsérvese el orden!) es la función de A a C definida por g º f(x) := g(f(x)) para x EA. (Ver la figura 1.2.5.)
]..2.10 Teorema. Sean f' A--> By g: B--> C funciones y sea H un subconjunto de C. Entonces(! o g)-1(H) = g-1(!-1(H)). Ocurre con frecuencia que la composición de dos funciones herede las propie dades de las funciones que se están componiendo. El siguiente resultado es de este tipo. La demostración se deja como ejercicio.
0
1.2.11 Teorema. Si f' A +B.es inyectiva y si g: B--+ Ces inyectiva, entonces la composición g
B
A
e g
~
g
o
f
.
FIGURA 1.2.5 La composición de f y g.
•
0
f' A--+
Ces inyectiva.
Sucesiones Las funciones que tienen al conjunto N como dominio desempeñan un papel muy especial en el análisis. Para estas funciones se cuenta con una terminología y una notación especial, las cuales se introducen a continuación.
1.2.12 Definición. Una sucesión en un conjunto Ses una función cuyo domi nio es el conjuntoN de los números naturales y cuyo codominio está contenido en S. Para una sucesión X;.N > S, es común denotar el valor de X en n de N por x11 en lugar de X(n), y este valor suele llamarse el término nésimo de la sucesión. La
li'li H I< '\'ION M/\'J l'MA'l'll 'fl
1'1\1\LJMIN/\1@1
s~cesión en sí con fre~uencia se da por Ja notación ~1·,,: 11 l N) n, di• 11111111•111 n1:ís simple, ~~r (x,). Por e1em~l~, la sucesión en R designada poi' (J11: 11 1 N) es igual a la función X: N---> R definida por X(n) := -Jfi. Es importante hacer la diferencia entre una sucesión (x : n EN) y su codominio {x,,: 11 EN}, el cual es un subconjunto de S. Se debe considerar que los términos de una sucesión tienen un orden inducido por el orden de los números naturales, en tant? que el codominio de una sucesión es simplemente un subconjunto de un conjunto S. Por ejemplo, los términos de la sucesión ((1)": n EN) varían entre 1 Y 1, pero el codominio de la sucesión es el conjunto {1, 1 }, que consta de dos elementos de R. Las sucesiones se estudiarán con bastante detalle en el capítulo 3.
Ejercicios de la sección 1.2 1. 2.
3. 4. 5. 6. 7.
S7eaA := B := {x ER: 1 % x % l} y considérese el subconjunto C := {(x, y): x- + y2 = 1} ele A x B. ¿Este conjunto es una función? Sea/la función en R definida por f(x) := x2, y sean E:= {x ER: 1 % x ~O} Y F := {x E R: O~ x ~ 1 }. Demostrar que En F '.={O} y quef(E n F) ={O}, en tant? que j(E). = j(F) = {y ER: O < v ~ 1}. Por tanto,f(E n F) es un SL.1bcon1unto propio de f(E) n f(F). ¿Qué ocurre si el O se omite de E y F? S1 E Y F son los conjuntos definidos en el ejercicio 2, encontrar los conjuntos E\F Y f(E)\f(F) y demostrar que 110 se cumple que f(E\F) f(E)\f(F). Demostrar que sif: A~ By E y F son subconjuntos ele A, entoncesf(E u F) = f(E) u f(F) y f(E n F) f(E) n f(F). Demostrar que sif: A---> By e y H son subconjuntos ele B, entoncesf1(e u H) = ¡-1ce) u ¡-1cH) y ¡1 n H) = ¡-1ce) n ¡1cH). Sea que f esté definida por f(x) := x(-./x2 + 1, x E R. Demostrar que¡ es una biyección de R en {y: 1
s
s
ca
8. De~ostrar que si f: A~ Bes inyectiva y E s A, entonces ¡-1(f(E)) =E. Dar un e1e?1plo para demostrar que la igualdad no se cumple necesariamente si/ no es myecuva. 9. Demostr~r que si f: A~ Bes suprayectiva y H s B, entonces ¡1(f(H)) =H.' ~ar un ejemplo para demostrar que la igualdad no se cumple necesariamente si j no es suprayectiva. 10. Demostrar que.s,if es una in~ección de A a B, entoncesj=":e {(b, a): (a, b) E es ~na función con dom mio R(f). Demostrar a continuación que ¡-1 es myectrva y que fes la inversa de f 11. Suponer que f.es una inyección. Demostrar que ¡-1 o f(x) = x para toda x ED(f) y que f ¡-1(y) =y para toda y ER(f). 12. Dar un ejemplo de dos funciones! y g de R a R tales quef -:fa g, pero tales que t=s=s=I. 13. Demostrar el teorema 1.2. 10. 14. Demostrar el teorema 1.2.11.
f}
0
1\
: :!·1111
11
f y 1: 1'111wlo11l'~: y s11¡
ioncr que .J~ w /(x) =x para toda x en D(f). Demostrar l11yn:liv11 y que /i(I) G f)(g) y R(g) ;;;i D(f). S1·1111 / y g 1'1111ciu11cs la les que g 0 j{x) = x para toda x E D(f) y f 0 g(y) =y p:il'it t11d:i y E /J(g). Demostrar que g = ¡1. (jlll' /l':1
1 (1,
SECCIÓN 1.3 Inducción matemática matemática es un método importante de demostración que se frecuencia en este libro. Se trata de un método usado para establecer la vnlidcz de proposiciones que se expresan en términos de números naturales. Aun ruando su utilidad se encuentra restringida a este contexto bastante especial, la inducción matemática es una herramienta indispensable en todas las ramas de lama temática, Puesto que muchas demostraciones por inducción siguen las mismas lineas formales de argumentación, con frecuencia sólo se indicará que un resulta dn se deduce por inducción matemática, dejando que sea el lector quien aporte los detalles necesarios. En esta sección se enunciará el principio de inducción mate uuitica y se ofrecerán varios ejemplos para ilustrar la manera en que se llevan a cabo las demostraciones por inducción. Se dará por sentado el conocimiento del conjunto de los números naturales 1
.a inducción
11s11 con
N := {l, 2, 3, ... }, de
las operaciones aritméticas básicas de adición y multiplicación y del significa
do de que un número natural sea menor que otro. Se supondrá asimismo la si guiente propiedad fundamental de N.
1.3.1 La propiedad del buen orden de N. Todo subconjunto 110 vacío de N tiene un elemento menor. Una enunciación más detallada de esta propiedad es la siguiente: si S es un subconjunto de N y si S e/ 0, entonces existe un elemento m ES tal que m % k para toda k E S. Con base en la propiedad del buen orden, se derivará una versión del principio de inducción matemática expresado· en términos de subconjuntos de N. En ocasio nes se hace referencia a la propiedad descrita en esta versión como la propiedad "hereditaria" de N. 1.3.2 Principio de inducción matemática. Sea S un subconjunto de N que tiene las propiedades: 1) 1 E S; 2) si k E S, entonces k + 1 E S. Entonces S = N. Demostración. Suponer por el contrario que S o/. N. Entonces el conjunto N\S es no vacío y, en consecuencia, por la propiedad del buen orden, contiene un elemento menor. Sea m el elemento menor de N\S. Como 1 ES por la hipótesis 1),
1111111<
111{!1.1.IMINAltli'I
se sabe que m *l. Por Jo tanto, m > J, de donde 111 l 111111lil!~11 t•11 t111 11tí111cro natural. Puesto que m - 1 < m y mes el elemento menor de N 1111qlll'111 o S, debe ser el caso que m - 1 esté en S. Se aplica ahora la hipótesis 2) al elemento k := m - 1 de S, y se infiere que k + 1 = (m 1) + 1 = m está en S. Esta conclusión contradice la proposición de que m no está en S. Puesto que m se obtuvo suponiendo que N\S era no vacío, la conclu sión es que N\S es vacío. Por lo tanto se ha demostrado que S = N. Q.E.D. El principio de inducción matemática suele exponerse en el marco de las pro piedades o proposiciones relativas a números naturales. Si P(11) denota una propo sición plausible acerca de 11 EN, entonces P(n) puede ser verdadera para algunos valores de 11 y falsa para otros. Por ejemplo, si P(11) es la proposición: "112 = n", entonces P(l) es verdadera en tanto que P(11) es falsa para toda n 1 , n EN. En este contexto, el principio de inducción matemática se puede formular de la si
*
r.11 iculc
manera.
l'nrn rnd1111 G N, xca 1'(11) una proposición acerca de 11. Suponerque: I ') /'( 1) l'S verdadera; .1') si /'(k) l'S verdadera, entonces P(k + 1) es verdadera. f>'.11I01ll't..:S f)(11) es verdadera para toda n EN.
l .:1 vinculación con la versión precedente de la inducción matemática, dada en 1.3.2, se consigue haciendo S := {11 EN: P(n) es verdadera}. Entonces las condi ciuncx 1) y 2) de 1.3.2 corresponden exactam~ente con las condiciones 1') y 2'), respectivamente, La conclusión de que S = N de 1.3.2 corresponde con la conclu sión de que P(n) es verdadera para toda n EN. La suposición "si P(k) es verdadera" de 2') se llama hipótesis de inducción. Al esta blecer 2'), no interesa la veracidad o falsedad de P(k), sino sólo la validez de la implicación "si P(k), entoncesP(k + 1)". Por ejemplo, si se consideran las proposiciones P(n): n = 11 + 5, entonces 2') es lógicamente correcta. La implicación "si k = k + 5, entonces k + 1 = k + 6" es perfectamente válida, ya que tan sólo se sumó 1 a ambos miembros de la igualdad su puesta. Sin embargo, dado que la proposición P(l): 1 = 2 es falsa, no es posible usar la inducción matemática para concluir que n = 11 + 5 para toda n EN.
1 1'
~~111
1,
M'
1 = ~ · 1·(1+1), de donde ·1 ES. Por tanto, la l)esp11és se supone que k ES y a partir de esta suposición 1 S. Si k ES, se tiene entonces
li\'iW ,~111n11ces
, 111111 lt' it 111 1 ) ::r :;:it isl':1L·c. '" 1111\'11111 i11krir q11c k +
1 + 2 + ... +k ~t1
. ,. s11111a
1.3.3 Ejemplos. a) Para cada n EN, la suma de los n primeros números na turales está dada por 1+2+
··· +n=tn(n+l).
Para demostrar esta fórmula, sea Sel conjunto de todas las n EN para las cuales la fórmula se cumple. Se debe verificar que se satisfacen las condiciones 1) y 2) de
=
ik(k
+ 1).
k + 1 a ambos miembros de la igualdad supuesta, se obtiene 1
+
+ ...
2
+k
+
(k
+ 1)
=
ik(k
=
i(k
+ 1) +
(k
+ 1)
+ l)(k + 2).
+ 1, se concluye que k + .1 ~ S: Por se satisface la condición 2) de 1.3.2. Por lo tanto, por el pnncipio de 1•1111siguiente, uulucción matemática se concluye que S = N y la fórmula es válida para toda n EN. b) Para cada n EN, la suma de los cuadrados de los n primeros números 11.1111 mies está dada por la fórmula l 'uexío que esta es la fórmula original paran= k
12 l ':1r;1
+ 22 + ... +n2
=
f¡n(n
+ 1)(2n + 1).
demostrar la validez de la fórmula, se observa primero que es verdadera para
v 1 caso n = 1, ya que 12 = t · l · 2 · 3. Si esto se supone cierto para k, entonces al
12
+ 22 + ...
+k2
+ (k + 1)2 = f¡k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)2 =
i(k
+ 1)(2k2 + k + 6k + 6)
=
i(k
+ l)(k + 2)(2k + 3).
.a validez de la fórmula para toda n EN se concluye por inducción matemática. e) Dados los números a y b, se demostrará que a - bes un factor de an ~ b11 para toda n EN. Se observa primero que la proposición es evidentemente cier l;i para 11 =l. Si se supone ahora que abes un factor de aí=b", se escribe entonces
J
+ abk _ bk+1 a(ak - bk) + bk(a - b).
ak+1 _ bk+1 = ak+1
Los ejemplos siguientes ilustran la forma en que se emplea el principio de in ducción matemática como un método para demostrar afirmaciones acerca de nú meros naturales.
,l.\
'I 'I( li'I M/\'l llMA'l'll 'A
=
_
ab"
Ahora a - bes un factor de a(ak- bk) por la hipótesis de inducción, y.es claramen k + 1 bk+l p . d ., te un factor de bk(a b); por tanto, a - bes un factor de a . or m uccion matemática se concluye que a - bes un factor de a11 - b" para toda n EN. d) La desigualdad 2 (n + 1)! se puede establecer por inducción matem~ti ca de la siguiente manera. Se observa primero que es cierta para n = l. Luego, si se supone que 2k ~ (k + 1)!, del hecho de que 2 ~ k + 2 se concluye que 11
2k+I
~
= 2 · 2k.,,;; 2(k
+ l)k
(k + 2)(k + 1)!= (k + 2)!
,\11
111U\l
INI 1\1( '( 'l(>N M/\1'11.MÁ'l'I(
,IMINAlliOl
Así, si la desigualdad se cumple para k, se cumple pn1n k 1 I, 1 111 In inducción matemática, la desigualdad es verdadera para toda 11 L N. e) Sir ER, r i=- 1 y n EN, entonces 1
1
+ t: + r2 + · · · +r"
1111110,
por
LíA Prtncipio de inducción fuerte. Sea S un subconjunto de N tal que 1 ES, y si { 1, 2, ... , k} ~ S, entonces k + l E S. Entonces S = N.. Se deja al lector demostrar que 1.3.2 y 1.3.4 son equivalentes,
Ejercidos de la sección 1.3
=
l r
Con base en la inducción matemática se puede establecer ele la siguiente manera. Primero, sin= 1, se tiene 1 + r = (1 r2)/(1 r ), de modo que la fórmula es válida en este caso. Si se supone que la proposición es válida para n = k y se suma el término r* + 1 a ambos miembros, entonces se obtiene (¿por qué?)
2.
3.
4. 5. 6. 7.
1
+
+ ... +rk + rk+I =
r
1 r
+
lrk+2
rk+I
= l r
=
8.
9.
10.
se puede probar sin emplear Ja inducción matemática. Si se = r + r2 + · · · + r" + 1, de donde
11.
l\1111· hill't'
,1·11
11·111ili11dn :
1
1
r
l11111hié11
I· • • • I·
r", entonces rs,,
( l r) s 11 = s,, - rs 11 = 1 r 11 + 1 •
Si
csl:i
2 + 1/2 · 3 + · · · + 1/11 (n + 1) = n /(n + 1) para toda n E N. Demostrar que 13 + 23 + · · · + 113 = [in (n + 1)]2 para toda n EN. Demostrar que 1222 + 32 · • • + (1)11• 1n2=(1)11+1n(n + 1)/2 para toda n EN Demostrar que 113 + 511 es divisible entre 6 para toda n EN. Demostrar que 5211 1 es divisible entre 8 para toda n EN. Demostrar que 511 4n - 1 es divisible entre 16 para toda n EN . Demostrar que la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos cualesquiera n, 11 + 1, n + 2 es divisible entre 9. Demostrar que n < 211 para toda 11 EN. Conjeturar una fórmula para la suma 1/1 · 3 + 1/3 · 5 + · · · + l/(2n 1)(211 + 1) y comprobar la conjetura mediante la inducción matemática. Conjeturar una fórmula para la suma de los 11 pnrneros números. natura.l~s impares l + 3 + · · · + (2n 1 ), y comprobar la conjetura usando la inducción matemática. Demostrar la siguiente variante de 1.3.2: Sea S un subconjunto no vacío de N tal que para alguna 110 EN se cumple que a) n0 ES y b) si k > 110 Y k ES, entonces k + 1 ES. Entonces S contiene al conjunto {11EN:11 ? 110}. Demostrar que 2" < n! para toda 11? 4, 11 EN (Ver el ejercicio 11.) Demostrar que 211 - 3 ~ 2 2 para toda n ? 5, n EN. (Ver el ejercicio 11.) ¿Para qué números naturales se cumple que n2 < 2 ? Demostrar la respuesta. (Ver el ejercicio 11.) Demostrar que 1;.Jl + 1¡.J2 + · · · + l/..fii > ..fii para toda n? 2, 11.EN. Sea S un subconjunto de N tal que a) 2k ES para toda k ¿N y b) s1 k ES Y k ~ 2, entonces k- 1 E S. Demostrar que S = N. Sea {x } la sucesión definida como: x1 := 1, x2 := 2 Y x + 2 := ~ (x + 1 + xn) para toda 11 EN. Usar el principio de inducción fuerte 1.3.4 para demos trar que 1 ~ x,, ~ 2 para toda 11 EN.
l. Demostrar que 1/1 ·
Esta fórmula corresponde a la suma de los términos de una progresión geométrica.
1rk+I
'A
expresión se resuelve para s se obtiene la fórmula original. 11
f) La aplicación incorrecta del principio de inducción matemática puede lle
var a conclusiones a todas luces absurdas. Se invita al lector a encontrar el error en la "demostración" del siguiente "teorema". Sin es cualquier número natural y si 11 es el máximo de dos números naturales p y q, entonces p = q. (Por consiguiente, si p y q son dos números naturales cuales quiera, entonces p = q.) "Demostración": Sea Sel conjunto de los números natura les para los que la afirmación es verdadera. Entonces 1 ES porque si p y q están en N y si su máximo es 1, entonces p = q = 1. Si se supone que k ES y que el máximo de los números naturales p y q es k + 1, entonces el máximo de p - 1 y q - 1 es k. Por lo tanto,p1 = q1, ya que k ES, y se concluye, así, que p = q. En consecuen cia, k + 1 ES y se concluye que la afirmación es verdadera para toda 11 EN. g) Hay proposiciones que son verdaderas para muchos números naturales, pero que no lo son para todos. Por ejemplo, la fórmula p(n) = n2 - 11 + 41 da un número primo paran= 1, 2, ... , 40. Sin embargo, es evidente que p( 41) no es un número primo. Hay otra versión del principio de inducción matemática que en ocasiones re sulta de suma utilidad. Es común referirse al mismo como el "principio ele induc ción fuerte", aun cuando en realidad es equivalente a la versión anterior. Se dejará al lector establecer la equivalencia de ambas versiones.
12. 13. 14. 15. 16. 17.
11-
11
11
11
( ';\ l11ÍTlJ 1 JO DOS
i.os NÚMEROS REALES
1 ~11 este capítulo se analizarán las propiedades fundamentales del sistema de los números reales R. Aun cuando es posible hacer una construcción formal de este sistema con base en un conjunto más primitivo (tal como el conjunto N de los números naturales o el conjunto Q de Jos números racionales), hemos decidido no hacerlo. En su lugar se presenta una lista de las propiedades fundamentales asocia das con los números reales y se indica Ja manera de deducir otras propiedades a partir de ellas. Este tipo de actividad es mucho más provechosa en el aprendizaje de las herramientas del análisis que el examen de las dificultades lógicas presentes en la construcción de un modelo para R. El sistema de los números reales se puede describir como un "campo ordenado completo" y se explicará esta descripción con cierto detalle. En aras de la claridad, se prefiere no enunciar todas las propiedades de R a la vez, sino concentrarnos en los diferentes aspectos en secciones separadas. Se introducen primero, en la sec ción 2.1, las propiedades "algebraicas" (llamadas normalmente propiedades "de campo") que se basan en las operaciones de adición y multiplicación. En seguida se introducen, en la sección 2.2, las propiedades de "orden" de R, se deducen algunas de sus consecuencias junto con varias desigualdades y se ilustra el uso de estas propiedades. La noción de valor absoluto, que se basa en las propiedades de orden, se explica en la sección 2.3. En la sección 2.4 se redondea el tema agregando la crucial propiedad de "cornpletidad o completitud" a las propiedades algebraicas y de orden de R. Des pués, en la sección 2.5 se aplica la propiedad de completidad para deducir resultados fundamentales referentes a R, incluyendo la propiedad de Arquímedes, la existen cia de raíces cuadradas y la densidad de los números racionales en R. Se explica asimismo, en la sección 2.6, la propiedad de los intervalos anidados y su relación con las representaciones binarias y decimales de los números reales. En la sección final, Ja 2.7, se estudian dos tipos de conjuntos infinitos y se contrasta el conjunto de los números racionales con el de los reales demostrando que el con junto de Jos números racionales es "contable" en tanto que el de los números reales no lo es. El procedimiento de separar los diferentes aspectos del sistema de los núme ros reales puede parecer lento y un tanto disperso; pero tiene sus ventajas. Son varias las propiedades que intervienen y resulta más conveniente considerar unas cuantas a la vez a fin de ver su papel con claridad. Además, las demostraciones reque ridas en las etapas iniciales son de naturaleza diferente a las demostraciones poste
r.os
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I A:• t'l(I ll'll 1 )Al ¡11:: Al< lllllHAt<
l(llAI 1111
riores. Por otra parte, puesto que existen varias formas mlís dl' l'Xpl lv111 rl concepto de completidad de R, fue necesario tener esta importan le propiedad separada ele las demás hipótesis. Parte de la finalidad de las secciones 2.1, 2.2 y 2.3 es ofrecer ejemplos de demostraciones de teoremas elementales derivados de hipótesis enunciadas explí citamente. Así, los estudiantes pueden adquirir experiencia en la construcción de demostraciones formales antes de pasar a argumentaciones más complicadas. Sin embargo, los alumnos que hayan estudiado ya el método axiomático y la técnica de las demostraciones (quizás en un curso de álgebra abstracta) pueden pasar a la sección 2.4 después de un repaso superficial de las secciones previas.
SECCIÓN 2.1 Las propiedades algebraicas de R l·:n esta sección se analizará la "estructura algebraica" del sistema de Jos nú n1rros reales, Esto se hace presentando primero una lista de las propiedades bási 1·11s dl' In adición y 111 multiplicación. Esta lista engloba todas las propiedades 11 l¡wllnilr11s csc11ri11lcs de U en el sentido de que todas las demás propiedades afi 111·111.c p11t·11L11 dl'dt1l'ir rnn10 teoremas. En la terminología del álgebra abstracta, el 1d11f1111111 lil' los 1111111L·ros rcnlcx es un "campo" con respecto a la adición y a la 11111 lt lpl k111'i1'H1. l .us propiedades mencionadas en 2.1. l se conocen como "axiomas 1k 1•11111po". l'or npernciéu binaria en un conjunto F se entiende una función B de núme ros reales con dominio F x F y codominio en F. Por consiguiente, una operación binaria asocia a cada par ordenado (a, b) de elementos del conjunto F con un elemento único B(a, b) de F. Sin embargo, en lugar de usar la notación B(a, b), se utilizan las notaciones comunes de a+ by a· b (o simplemente ab) en la explica ción de las propiedades de la adición y la multiplicación. En los ejercicios se pue den encontrar otros ejemplos de operaciones binarias.
(ii .
(1\1 ')
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11
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'AS 1 )!'. I<
(h . <') para toda a, b, e en R (propiedad asociativa de la
//lllff/¡i{Í('(l<'ÍIÍll);
tM
existe un elemento 1 en R diferente de O tal que 1 ludu a en u (existencia de un elemento unitario); para toda a en R existe un elemento l/a en R ( l /a) ·a= 1 (existencia de recíprocos); a. (/J +e)= (a. b) +(a. c) y (b + c). a= (b : a)+ en R (propiedad distributiva de la multiplicación
1)
*
t M·I) (ll)
..
1
. a= a y a.
1
=a para
.
=
tal que a (1/a)
1
y
(c. a) para~º~,ª a, b, c sobre la adicion).
·:t lector debe estar familiarizado con estas propiedades. La ~ista no e~ "mí~i
. . . se han incluido algunas redundancias. Por eJemp o, . f' ., r 111.i pues, p01 convemencia, . . , d (Al) y (A4) se deduce de la primera a trrnacion ap i \11 sl·¡•uncla af trmac10n e ' " (!!~ 1·1111do (A1). , · operaciones El objeto de esta lista de propiedades es que todas 1 as t~cmcas y b < o11wnes del álgebra se pueden deducir de estas nueve propiedades. Lle~ar ,ªca .º t"il<1 tarea tomaría mucho tiempo y sería tediosa, de modo qu~ no se ar~, pe10 ,;·su Ita instructivo ver la forma en que se harían estas demosyac.1~nes. P.ar: 1:1. 11aturaleza básica de las propiedades mencionadas se de uciran vano dos elementales (pero importantes). . . bl . Se empieza por demostrar que los elementos O y 1, cuya existencias~ esta e , .¡(I en (A3) y (M3), en realidad son únicos.
:~~~%:r
2.1.2 Teorema. a) Si z y a son elementos de R tales que
/ = Ob)
z +a =a, entonces
Si u y b ,¡: O son elementos de R tales que u . b = b, entonces u = l.
Demostración. a) La hipótesis es que z +a= a. Se suma -a, cuya existencia está dada en (A4), a ambos miembros para obtener
(z +a)+ (a)= a+ (-a). 2.1.1 Propiedades algebraicas de R. En el conjunto R de los números reales hay dos operaciones binarias, denotadas por + y · que se denominan adición y multiplicación, respectivamente. Estas operaciones satisfacen las siguientes pro piedades: (Al) (A2) (A3) (A4) (Ml)
a+ b = b +a para toda a, ben R (propiedad conmutativa de la adición); (a + b) + c =a+ (b + c) para toda a, b, c en R (propiedad asociativa de la adición); existe un elemento O en R tal que O + a = a y a + O = a para toda a en R (existencia del elemento cero); para cada a en R existe un elemento -a en R tal que a + (-a) = O y (-a) + a = O (existencia de elementos negativos); a · b = b · a para toda a, b en R (propiedad conmutativa de la multiplicación).;-
.
.
.
t (A2) (A4) y (A3) en el primer miembro, se obtiene ,
Si se aplican suces1vamen e
(z +a)+ (-a)= z +(a+ (a))= z +O= z; si se utiliza (A4) en el segundo miembro, se obtiene a+ (a)= O. Se concluye por tanto que z =O. . . . , h. , _ La demostración del inciso b) se deja como ejercicio. Observese que 1 a ipo tesis b
* O es determmante. .
Q.E.D.
Se prueba en seguidaque para un elemento dado a en R,, e~ elemento -a y el elemento 1/a (cuando a O) están determinados de manera unica.
*
LOS NI IMl·.HON
lll\1\1
1 /\ll l'llOl'li/,ll/\1)11.~i/\l,(ll•.llRAl('/\S
1
2.1.3 Teorema. a) Si a y b son elementos de R tali:» 'I"'' 11 1 /, O, n1t1111C<'s b =-a. b) Si a O y b son elementos de R tales que a · b = 1, entonces b = l/a.
*
Demostración. a) Si a + b =O, entonces se suma -a a ambos miembros para obtener
41
l•n 111•, 111•1111·rn1·111as
pli•tli11lt"1 1 ¡1,111·11111·
csl;1hkcidos hasta este punto se han considerado las pro dr la 11dld{111 y la multiplicación por separad~. Para :xa~in~r la interac l11N d(i~ op1.:raciones se debe emplear la propiedad distributiva (D). Esto
'" ll11~.t111
r11 rl siguiente teorema.
1..1.S · teorema. a) Si a es un elemento cualquiera de R, entonces: 11·0=0, b) (-l)·a=-a, 1·) (o)= a, d) (1) · (1) =l. 11)
(a)+ (a+ b) =(a)+ O. Si se aplican (A2), (A4) y (A3) en el primer miembro, se obtiene (a)+ (a+ b) =((-a+ a)+ b =O+
lkrnostración. a) Por (M3) se sabe que a · 1 = a. Luego, al sumar a · O Y 11pli1·:1r (D), se obtiene
b = b;
a+a·O=a·l+a·O
si se aplica (A3) al segundo miembro, se obtiene
= a · (1
(a)+ O= -a. S1.: concluye por tanto que b =-a. La demostración del inciso b) se deja como ejercicio. Obsérvese el uso de la
hipótesi»
1)1', 11
F O.
Q.E.D.
Si las propiedades precedentes se consideran en términos de la resolución de ecuaciones, se observa que (A4) y (M4) permiten resolver las ecuaciones a+ x ==O y a · x == 1 (cuando a O) para x, y que el teorema 2.1.3 indica que las soluciones son únicas. El siguiente teorema muestra que el segundo miembro de estas ecuaciones puede ser cualquier elemento de R.
*
2.1.4 Teorema. Sean a, b elementos cualesquiera de R. Entonces: a) la ecuación a + x = b tiene la solución única x = (a) + b; b) si a '16 O, la ecuación a· x;:;; b tiene la solución única x = (l/a) · b.
+ O) == a · 1 == a.
a· O== O. h) Se usa (D), junto con (M3), (A4) y el inciso a), para obtener
l'•ll tanto, por el teorema 2.1.2 a), se concluye que
a+ (1) ·a= 1 ·a+ (1) ·a = (1
+ (1)) ·a== O· a== O.
Axi, por el teorema 2.1.3 a), se concluye que (1) ·a= -a. e) Por (A4) se tiene (-a) + a = O. Por tanto, según el teorema 2.1.3 a) se deduce que a= (a). d) En el inciso b) se hace la sustitución a== l. Entonces
(1). (1) = (1). l'or tanto, la afirmación se sigue del inciso e) con a= l.
Demostración. Aplicando las propiedades (A2), (A4) y (A3) se obtiene
Q.E.D.
Las deducciones formales de las propiedades de campo se concluyen con los siguientes resultados importantes:
a+ ((-a)+ b) =(a+ (-a))+ b :=O+ b = b, Jo cual indica que x =(a) +bes una solución de la ecuación a + x = b. Para probar que es la única solución, si se supone que x1 es soluciór. de la ecuación entonces a +xi = b, y si se suma -a en ambos miembros, se obtien e (a)+ (a +x1 =(-a)+ b)
*
*
Demostración. a) Se tiene que a i:- O, así que l/a existe. Sil/a== O, entonces 1 =a· (1/a) =a· O= O, contradiciendo la propiedad (M3). Por tanto, l/a OY puesto que (1/a) ·a= 1, el teorema 2.1.3 b) indica que 1/(1/a) == ~· b) Si ambos miembros de la ecuación a· b =a· e se multiplican por l/a y se
*
Si ahora usamos (A2), (A4) y (A3) en el primer miembro, obtenemos (a)+ (a+ xi)= (-a+ a)+ xi= O+ Xi= Xi· Se concluye por tanto que xi== (a)+ b. La demostración del inciso b) se deja como ejercicio.
2.1.6 Teorema. Sean a, b, e, elementos de R. a) Si a i:- O, entonces l/a O y l/(l/a) =a. b) Si a· b ==a· e y a O, entonces b =c. c) Si a · b =O, entonces a =O o b =O.
aplica la propiedad asociativa (M2), se obtiene Q.E.D.
Por tanto, 1 · b = 1 · e que es lo mismo que b =c. e) Basta suponer que a -=!= O y deducir que b =O. (¿Por qué") l'ucsto que a · b = O =a · O, se aplica el inciso b) a la ecuación a · b = a · O para concluir que b =O si a -=!= O. o.E.D. Los teoremas anteriores representan una muestra pequeña pero importante de las propiedades algebraicas de los números reales. Es posible deducir muchas con secuencias adicionales de las propiedades de R, algunas de las cuales se presentan en los ejercicios. La operación de sustracción se define por a -b :=a+ (-b) para a, ben R. De manera similar, para a, ben R, con b-=!= O, la división se define por afb :=a· (1/b). Posteriormente, se usará esta notación ordinaria para la sustracción y la división y se usarán con libertad las propiedades comunes de estas operaciones sin mayor elaboración. Asimismo, en adelante por lo general se omitirá el uso del punto para denotar la multiplicación y se escribirá ab en lugar de a · b. Como es usual, se escribirá a2 para aa, a3 para (a2)a; en términos más generales, paran EN se define a''" 1 :=(a")· a. Se adopta la convención de que a0 = 1 y de que a1 =a para toda a ER. Se deja como ejercicio para el lector demostrar (por inducción) que si a ER, entonces
para toda m, n EN. Si a -=!= O, se usará la notación a-1 para l/a, y sin escribirá a-11 en lugar de (l/a)11, cuando sea conveniente.
EN, se
q1w
43
rn Q llt.:g(\ a conocérsclcs como números Irracionales, para dar a • l" quu no son cocientes
1111 \'r11(111
l'lll(·11tlvl'
muy diferente en los idiomas modernos, se adoptará el uso este término. Su terrninu esta sección con la demostración del hecho de que no existe un 1111111un) racional cuyo cuadrado sea 2. En la demostración se usarán las nociones ik números pares e impares. Recuérdese que un número natural es par si tiene la f\mn:i 211 para alguna n EN, y es impar si tiene la forma 2n + 1 para alguna n EN. 'Iodo número natural es par o bien impar, y ningún número natural es a la vez par 1· i 111par. 1l1·11t·
1111 slgnif'icado
11111ll'1i1(llico
común
ele
2.1.7 Teorema. No existe un número racional r tal que r2 = 2. Demostración. Supóngase, por el contrario, que p y q son enteros tales que (¡i/q)2 = 2. Se puede suponer que p y q son positivos y que no tienen factores enteros comunes diferentes de l. (¿Por qué?) Puesto que p2 = 2q2, se ve que p2 es. par. Esto significa que p también es par (porque si p = 2n + 1 es impar, entonces su cuadrado p2 = 4n2 + 4n + 1=2(2n2 + 2n) + 1 también es impar). Así, puesto que p y q no tienen a 2 como factor común, q deber ser un número natural impar. Como p es par, entonces p = 2m para alguna m EN y, por tanto, 4m2 = 2q2, de donde 2m2 = q2. Por lo tanto, q2 es par, y por el razonamiento del párrafo anterior se sigue que q es un número natural par. En consecuencia, se ha llegado a una contradicción; al hecho de que ningún número natural puede ser a la vez par e impar. Q.E.D.
Números racionales e Irracionales Se considera al conjunto de los números naturales como un subconjunto de R al identificar al número natural n EN con la suma repetida n veces del elemento unitario. De manera similar, se identifica a O E Z con el elemento cero de R, y a la suma repetida n veces de 1 la identificamos con el entero -n. Por consiguiente, se considera a N y Z como subconjuntos de R. A los elementos de R que se pueden escribir en la forma b]a, con a, b E Z·y a -=!= O se les llama números racionales. El conjunto de todos los números raciona les en R se denotará por la notación ordinaria Q. La suma y el producto de dos · números racionales es otro número racional (demostrar este hecho) y, además, se puede demostrar que las propiedades de campo mencionadas al principio de esta sección son válidas para Q. El hecho de que haya elementos en R que no están en Q no se percibe de inmediato. En el siglo VI A. de c. la antigua sociedad griega de los pitagóricos descubrió que la diagonal de un cuadrado con lados unitarios no se podía expresar como un cociente de enteros. De acuerdo con el teorema de Pitágoras para triángu los rectángulos, esto significa que no existe ningún número entero cuyo cuadrado sea igual a 2. Este descubrimiento tuvo un profundo impacto sobre el desarrollo de las matemáticas en Grecia. Una de sus consecuencias es que a los elementos de R
Ejercicios de la sección 2.1
1! Demostrar
el inciso b) del teorema 2.1.2. Demostrar el inciso b) del teorema 2.1.3. 3/Resolver1as ecuaciones siguientes, y justificar cada paso haciendo referencia a una propiedad o teorema pertinente. a) 2x + 5 = 8, b) 2x + 6 = 3x + 2, x2 = 2x, d) (x l)(x + 2) =O: 4. Demostrar que si a, b ER, entonces @(a+ b) =(a)+ (b). b) (a)· (b) =a· '': . e) 1/(a) = (1/a) si a i= O, d) -(a/b) = (-a)/b si b-=!= O. S~i a ER satisface a· a= a, demostrar que a= O o bien a= l. 6.' ~i a i= O y b i= O, demostrar que 1/(ab) = (l/a) · (l/b). 7./usar el razonamiento de la demostración del teorema 2.1.7 para probar que no existe un número racional s tal que s2 = 6. 8. Modificar el razonamiento de la demostración del teorema 2.1.7 para probar ).!ue no existe un número racional t tal que t2 = 3. 9. Demostrar que si; E Res irracional y r i= O es racional, entonces r + ; y son irracionales.
2/
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11\~1l'lll11'11
ll( 01(1 ll•N 1 ll• U
llAl 11•111
LOS NUM1mos 1(11.i\l Pll
44
J..J..J, 10/si x y y son números racionales, demostrar que x. +y y .1y SD11 uuionalcx. 11/si x y y son números irracionales, demostrar que no se sigue que x +y y xy ,son irracionales. 12/ Sea B una operación binaria en R. Se dice que B: i es conmutativa si B(a, b) = B(b, a) para toda a, ben R. ii es asociativa si B(a, B(b, c)) = B(B(a, b), c) para toda a, b, e en R. iii tiene un idéntico si existe un elemento e e R tal que B(a, e)= a = B(e, a) para toda a e R. Determinar cuáles de estas propiedades son válidas para las siguientes opera ciones binarias, definidas para toda a, b e R por: a) B1(a, b) :=~(a+ b), b) Bi(a, b) := ! (ab), e) B3(a, b) :=a - b, d) Bia, b) := 1 + ab. 13/ Se dice que una operación binaria B en R es distributiva sobre la adición si satisface B(a, b +e)= B(a, b) + B(a, c) para toda a, b, e en R. ¿Cuáles (en caso de haberlas) de las operaciones binarias dadas en el ejercicio 12 son distributivas sobre la adición? 14/ Usar la inducción matemática para demostrar que si a E R y m, n e N, enton ces a'"" 11 = a"'a" y que (a111)11 = a11111• 15. Demostrar que un número natural no puede ser a la vez par e impar.
SECCIÓN 2.2 Las propiedades de orden de R Las propiedades de "orden" de R se refieren a las nociones de positividad y desigualdades entre números reales. Como en el caso de la estructura algebraica del sistema de los números reales, se procede aislando varias propiedades básicas a partir de las cuales es posible deducir otras propiedades de orden y las operacio nes con desigualdades. La manera más sencilla de hacerlo es identificando un subconjunto especial de R mediante la aplicación de la noción de "positividad". 2.2.1 Las propiedades de orden de R. Existe un subconjunto no vacío P de R, llamado el conjunto de los números reales positivos, que satisface las siguien tes propiedades: i Si a, b pertenecen a P, entonces a + b pertenece a P. ii Si a, b pertenecen a P, entonces ab pertenece a P. iii Si a pertenece a R, entonces se cumple exactamente una de las siguientes afirmaciones: aEP,
a= O,
-aEP.
Las dos primeras propiedades aseguran la compatibilidad del orden con las operaciones de adición y multiplicación, respectivamente. A la condición iii se le conoce como propiedad de tricotomía, ya que divide a R en tres tipos de elemen tos distintos. Establece que el conjunto {a: a E P} de los números reales negati vos no tierie elementos en común con P y, además, que el conjunto Res la unión de tres conjuntos disjuntos.
l)dluklllu. Si o ( /',si.; dice que a es
u11
número real positivo (o estríe
1 irnu•ul•• ¡w¡¡Ulvo) y St'. escribe o ,.;.- O. Si a E PU {O} , se dice que a es un número . 11 111 no 1u1{11Uvo y se escribe 11 ;;;. O. SI 11 1 /',si.; dice que a es un número real negativo (o estrictamente negati. \'O) y ~:l' escribe a
:·k introduce ahora la noción de desigualdad entre elementos deR en termmos n•11ju11lu Pele elementos positivos.
2.2.3 Definición. Sean a, b elementos de R. i Si a - b e P, entonces se escribe a> b o b
a
< b como b < c.
p:1r;i indicar que se satisface tanto a y ¡, ~ c, se escribirá
a"" Asimismo, si a "" by b
b
De manera similar, si a "" b
""c.
< d, se escribirá a< b < d,
etcétera.
Propiedades del orden Se establecerán ahora algunas de las propiedades básicas de la relación de orden en R. Estas son las conocidas "reglas de las desigualdades" que el lector ha usado en cursos de matemáticas anteriores. Se usarán con frecuencia en las seccio nes posteriores. 2.2.4 Teorema. Sean a, b, e elementos de R. a) Si a > by b > e, entonces a > c. b) Exactamente una de las siguientes afirmaciones se cumple: a> b, a= b,
a< b. e) Si a ;;;. by b ~ a, entonces
a = b.
Demostración. a) Si a - b e P y b - e E P, entonces 2.2.1 i implica que (a - b) + (b - e)= a - e pertenece a P. Por tanto, a> b. b) Por la propiedad de tricotomía 2.2. l iii, ocurre exactamente una de las siguientes posibilidades: a - b E P, a - b = O, -(a - b) = b - a EP.
e) Si a -:/= b, entonces a - b-:/= O, de donde por el inciso b) su 1 lunc111 ¡, r /',o bien, b - a EP; es decir, a > b, o bien, b >a. En cualquiera de los dos casos, una de las hipótesis se contradice. Por lo tanto, se debe tener que a = b. Q.E.D.
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o.
/',e11lo11cescach=c(ab)EPpor2.2.liiy,portanto,
O, entonces e E P, de modo que cb- ca"' (c)(a b) E P. ch » ca cuando c < O. d) Si a .,., O, entonces a =F O (por la propiedad de .tricotornía), de modo que 1¡11 /()por 2.J.6a). Sil/a< O, entonces el inciso e) con c = l/a indica que 1 = 11( 1 /11) O, ya que las otras d(ls posibilidades se han excluido. De manera similar, si a< O, entonces la posibilidad 1/a >O lleva de nuevo a la l'1,11tradicción 1 = a(l/a)
l'or lu1ll(I,
Es natural esperar que los números naturales sean positivos. Se demuestra a continuación de qué manera esta propiedad se deriva de las propiedades básicas dadas en 2.2.1. La observación clave es que el cuadrado de cualquier número real diferente de cero es positivo.
ER y a -:/=O, entonces a2 >O. b) 1 >o. . e) Sin EN, entonces n >O. 2.2.S Teorema. a) Si a
Demostración. a) Por la propiedad de tricotomía si a i= O, entonces a E P, o bien, -a E P. Si a E P, entonces por 2.2 ii se tiene que a2 = a · a E P. De manera similar, si -a EP, entonces por 2.2.1 ii se tiene que (-a)(-a) EP. De 2.1.5 b) y 2.1.5 d), se sigue que (-a)(-a) = ((l)a)((l)a) = (1)(1) ·
a2
= a2,
de donde se deduce que a2 EP. Se concluye que si a -:/=O, entonces a2 >O. b) Puesto que 1 = (1)2, el inciso a) indica que 1 >O. e) Se aplica la inducción matemática. La validez de esta afirmación con n = 1 no es sino el inciso b ). Si se supone que la afirmación es cierta para el número natural k, entonces k EP. Puesto que 1 EP, se tiene entonces que k + 1EPpor2.2.1 i. Por tanto, la afirmación es cierta para todos los números naturales. Q.E.D.
Al combinar 2.2.5 e) y 2.2.6 d) se observa que el recíproco l/n de cualquier natural n es positivo. Por consiguiente, los números racionales que tienen la lorrna m/n = m(l/n), donde m y n son números naturales, son positivos.
número
2.2.7
Teorema. Si ay b están en R y si a< b, entonces a<~ (a+ b)
< b.
Demostración. Puesto que a < b, de 2.2.6 a) se sigue que 2a =a +a < a + b + b < b + b = 2b. Por lo tanto se tiene
y también que a
2a O y, así, por 2.2.6 d), se tiene que!> O. Por tanto de 2.2.6(d)}se infiere que u
(c.) Las propiedades siguientes relacionan el orden en R con la adición y la multi plicación. Proporcionan parte de las herramientas que se emplearán para trabajar con desigualdades. 2.2.6 a) Si b) Si e) Si
Teorema. Sean a, b, e, d elementos de R.
a a a Si a d) Si a Si a
> b, entonces a + c > b + c. > by e > d, entonces a + e > b + d.
>by c > O, entonces ca > cb. > by c < O, entonces ca < cb. >O, entonces l/a >O. < O, entonces 1/a < O.
Demostración. a) Si a - b EP, entonces (a+ c) (b +e)= a - b está en P. Por tanto a + c > b + c. b) Si a - b EP y e - d EP, entonces (a+ c) - (b + d) =(a - b) + (c - d) también pertenece a P por 2.2.1 i. Por tanto; a+ e > b +d.
a= ~(2a) < i(a + b) < ~(2b)
= b.
· Q.E.D.
Vale la pena mencionar que las propiedades de orden elementales que se han establecido hasta este punto bastan para demostrar que no puede existir un número real positivo mínimo. Esto se demuestra de la manera siguiente. 2.2.8 Corolario. Si b ERy b >O, entonces O< ib < b. Demostración. Se hace a= O en 2.2.7.
Q.E.D.
Los dos resultados siguientes se usarán más adelante como métodos de de mostración. Por ejemplo, para demostrar que un número a ~ O es igual a O, por el resultado siguiente se observa que basta probar que el número a es menor que un número positivo cualesquiera. Teorema. Si a ER es tal que O ,,; a entonces a =O. 2.2.9
< E para todo número positivo
E,
·IH
l.OS NUMl'.HClS
0
Hl(l\1.1111
11<1
~1
( D.emosfraciórn. Sup~ngase por el co~trari~ que a> U. l~nlo11c·<':1 dvl ('11n•l.;1riu ''~:_~:_8~~uc~que O< 2a O. Se concluye que a= O. · Q.E.D.
