Introduccion al analisis y Diseño con MaterialesCompuestos

UNIVERSIDAD DE SEVILLA ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS Grupo de Elasticidad y Resistencia de Materiales

INTRODUCCION AL ANALISIS Y DISEÑO CON MATERIALES COMPUESTOS

F. París J. Cañas J.C. Marín

UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD DE SEVILLA

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES INDUSTRIALES Grupo de Elasticidad y Resistencia de Materiales ___________________________________________________________________________

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS Y DISEÑO CON MATERIALES COMPUESTOS

FEDERICO PARIS CARBALLO Dr. Ingeniero Industrial Catedrático de Universidad JOSE CAÑAS DELGADO Dr. Ingeniero Industrial Catedrático de Universidad JUAN CARLOS MARIN VALLEJO Dr. Ingeniero Industrial Profesor Colaborador GRUPO DE ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES, ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS, DEPARTAMENTO DE MECANICA DE MEDIOS CONTINUOS, TEORIA DE ESTRUCTURAS E INGENIERIA DEL TERRENO.

Sevilla, 2006

TITULO: AUTORES: FECHA:

INTRODUCCION AL ANALISIS Y DISEÑO CON MATERIALES COMPUESTOS Federico París Carballo, José Cañas Delgado, Juan Carlos Marín 2006

© Es propiedad. Reservado todos los derechos (1993, 2002 y 2006)

Prohibida su reproducción total y parcial por cualquier medio sin autorización expresa del autor Inscrito en el Registro General de la Propiedad Intelectual con el número :

I.S.B.N :

INDICE

ÍNDICE: CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES COMPUESTOS

1.1.- DEFINICIÓN DE MATERIAL COMPUESTO 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS MATERIALES COMPUESTOS 1.3.- FIBRAS Y MATRICES 1.3.1.- Fibras 1.3.2.- Matrices 1.3.3.- Unión Fibra-Matriz 1.4.- FABRICACIÓN DE MATERIALES COMPUESTOS DE FIBRA 1.5.- COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE MATERIALES COMPUESTOS REFORZADOS CON FIBRA 1.6.-APLICACIONES DE LOS MATERIALES COMPUESTOS DE FIBRA CAPÍTULO II: LEY DE COMPORTAMIENTO DE UNA LÁMINA

2.1.- INTRODUCCIÓN 2.2.- LEY DE COMPORTAMIENTO PARA MATERIALES ELÁSTICOS EN 3-D 2.3.- VALOR DE LAS CONSTANTES 2.3.1.- Materiales isótropos 2.3.2.- Materiales ortótropos 2.4.- RELACIÓN TENSIÓN-DEFORMACIÓN EN TENSIÓN PLANA EN MATERIALES ORTÓTROPOS 2.4.1.- Direcciones principales del material 2.4.2.- Direcciones cualesquiera CAPÍTULO III: COMPORTAMIENTO MECANICO DE UNA LÁMINA

3.1.- INTRODUCCIÓN 3.2.- DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA RIGIDEZ DE UNA LÁMINA 3.2.1.- Determinación de E11, E22 , ν12 3.2.2.- Determinación de G12 3.2.2.1.- Ensayos sobre láminas con fibras orientadas (Off-Axis Tension Test) 3.2.2.2.- Ensayos sobre laminados equiangulares ±45º 3.2.2.3.- Ensayo de cortadura con railes (Rail Shear Test) 3.2.2.4.- Ensayo de cortadura sobre probetas con doble muesca. 3.2.2.5.- Ensayo de torsión sobre tubos. 3.3.- DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA RESISTENCIA DE UNA LÁMINA 3.3.1.- Resistencias a la tracción en las dos direcciones de ortotropía de la lámina. 3.3.2.- Resistencias a compresión en las dos direcciones de ortotropía ort otropía de la lámina. 3.3.3.- Resistencia a cortadura de la lámina Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

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2 2 6 6 9 11 11 13 15 17

18 21 31 31 34 37 37 39 45

46 47 50 54 54 59 60 62 67 68 68 70 72

INDICE

3.4.- CRITERIOS DE RESISTENCIA BIAXIAL DE UNA LÁMINA 3.4.1.- Teoría de la máxima tensión 3.4.2.- Teoría de la máxima deformación 3.4.3.- Criterio de Tsai-Hill 3.4.4.- Criterio de Tsai-Wu 3.4.5.- Criterios de Hashin 3.4.6.- Criterio de Puck 3.5.- MICROMECANICA DE MATERIALES COMPUESTOS 3.5.1.- Determinación de las características de rigidez 3.5.1.1.- Determinación de E11 3.5.1.2.- Determinación de E22 3.5.1.3.- Determinación de ν12 3.5.1.4.- Determinación de G12 3.5.2.- Determinación de características de resistencia

72 73 74 76 78 80 83 91 91 91 93 95 96 97

APENDICE 3.I: DETERMINACIÓN DEL TENSOR DE DEFORMACIONES EN UN PUNTO A PARTIR DE LA LECTURA DE TRES BANDAS EXTENSOMÉTRICAS

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CAPÍTULO IV: COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE UN LAMINADO

4.1.- TEORÍA GENERAL DEL LAMINADO 4.2.- CASOS PARTICULARES 4.2.1.- Configuraciones de una sola capa 4.2.1.1.- Capa isótropa 4.2.1.2.- Capa ortótropa en ejes principales 4.2.1.3.- Capa ortótropa en ejes no-principales 4.2.1.4.- Capa anisótropa 4.2.2.- Configuraciones de varias capas simétricas 4.2.2.1.- Varias capas isótropas 4.2.2.2.- Varias capas especialmente ortótropas 4.2.2.3.- Varias capas generalmente ortótropas 4.2.2.4.- Varias capas anisótropas 4.2.3.- Configuraciones de varias capas antisimétricas 4.2.3.1.- Laminados cruzados antisimétricos 4.2.3.2.- Laminados angulados antisimétricos 4.3.- RESISTENCIA DE LAMINADOS 4.4.- EFECTO DE LA TEMPERATURA DE CURADO 4.5.- EJEMPLOS 4.5.1. - Ejemplo 1 4.5.2.- Ejemplo 2 4.5.3.- Ejemplo 3 4.6.- ANÁLISIS TRAS EL FALLO A PRIMERA LÁMINA. MODELOS DE DEGRADACIÓN 4.6.1. - Modelos de degradación total. 4.6.2. - Modelo de daño progresivo. 4.6.3. - Aplicación de los modelos de degradación. 4.7.- TENSIONES INTERLAMINARES

Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

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106 111 111 111 111 112 112 112 113 113 114 115 115 116 116 117 121 124 124 131 145 148 150 151 152 159

INDICE

CAPÍTULO V: ANÁLISIS DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE MATERIAL COMPUESTO

5.1.- ANÁLISIS DE VIGAS 5.1.1.- Vigas de sección rectangular 5.1.1.1.- Ejemplos 5.1.1.2.- Resumen de fórmulas para vigas de sección rectangular 5.1.2.- Vigas con sección de pared delgada 5.2.- ANÁLISIS DE PLACAS 5.2.1.- Aplicación BIBLIOGRAFÍA


167

168 168 174 181 183 188 191 195

INDICE


Introducción a los Materiales Compuestos

CAPITULO I

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN A LOS MATERIALES COMPUESTOS

1.1.- DEFINICIÓN DEL MATERIAL COMPUESTO 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS MATERIALES COMPUESTOS 1.3.- FIBRAS Y MATRICES 1.4.- FABRICACIÓN DE LOS MATERIALES COMPUESTOS DE FIBRA 1.5.- COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES COMPUESTOS DE FIBRA 1.6.- APLICACIÓN DE LOS MATERIALES COMPUESTOS DE FIBRA


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CAPITULO I


1.1.- DEFINICIÓN DE MATERIAL COMPUESTO.

La definición de material compuesto ha sufrido sucesivas revisiones para poder incorporar nuevos productos y mantener diferencias con los existentes que no se consideran dentro de esta definición. Se suele definir el material compuesto como la combinación a escala macroscópica de dos o más materiales con interfases de separación entre ellos para formar un nuevo material. El material compuesto, tiene como objetivo tanto el obtener propiedades que no pueden ser alcanzadas por ninguno de los constituyentes actuando aisladamente, como aunar las propiedades individuales de dichos constituyentes en un solo material. Las propiedades que suelen ser de interés en estos materiales son: - Resistencia Mecánica - Resistencia a corrosión - Peso - Aislamiento térmico

- Rigidez - Resistencia a la abrasión - Vida a fatiga - Aislamiento acústico

Aunque en el contexto que aquí se utiliza el material compuesto guarda como característica adicional el ser un producto fabricado, existen también en la naturaleza ejemplos de asociaciones de diferentes elementos que funcionan como un conjunto. Así, los músculos y ciertos tejidos humanos se componen de una fibra muy resistente embebida en una matriz de menor rigidez pero que aporta consistencia al conjunto. El bambú y la madera, en otro apartado de la Naturaleza, son también ejemplos de materiales compuestos que no han sido concebidos y fabricados por el hombre. 1.2.- CLASIFICACION DE LOS MATERIALES COMPUESTOS.

Existe tal variedad de materiales compuestos que resulta difícil realizar una clasificación de aceptación general sobre todo teniendo en cuenta que cualquier clasificación si bien ayuda a resaltar aspectos comunes no es menos cierto que oculta otros. La primera cuestión es acordar con respecto a qué factor se va a realizar la clasificación. Dado que la mayoría de los materiales compuestos fabricados lo han sido para mejorar propiedades mecánicas tales como resistencia, rigidez, tenacidad o propiedades a alta temperatura, parece razonable realizar la clasificación sobre el mecanismo que produce ésta mejora, el cuál depende en gran medida de la geometría del refuerzo que se introduce dentro de un material base que se denomina matriz. Con esta idea se obtiene la clasificación que aparece en la Fig. I.1., siendo preciso inicialmente realizar la distinción entre fibra y partícula. Una fibra se distingue porque una dimensión, su longitud, es mucho mayor que las otras dos (las características de la sección transversal). El resto de los refuerzos están agrupados como partículas pudiendo ser esféricos, cúbicos, laminares o irregulares. La Fig. I.2. da una imagen de algunos de los materiales que aparecen en la Fig. I.1., haciendo referencia a cada uno de ellos más adelante. En los compuestos de partícula, Fig. I.2.a , el refuerzo puede tener objetivos diferentes. En general, y a diferencia de lo que sucede en los compuestos de fibras, las partículas no tienden

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CAPITULO I

a absorber una parte importante de la carga que soporta el material compuesto por lo que apenas si se mejora la resistencia del material base que forma la matriz. MATERIALES COMPUESTOS

REFORZADOS CON PARTICULAS

REFORZADOS CON FIBRAS

UNA SOLA CAPA ( o varias igualmente orientadas y con las mismas propiedades)

MULTICAPA

LAMINADOS

HIBRIDOS

ORIENTACION ALEATORIA ORIENTACION PREFERENTE

FIBRA CONTINUA FIBRA DISCONTINUA ORIENTACION PREFERENTE ORIENTACION ALEATORIA REFUERZO UNIDIRECCIONAL REFUERZO BIDIRECCIONAL (fibra entrecruzada) Figura I.1.- Clasificación de los materiales compuestos.

Incluso puede aparecer una disminución de resistencia cual es el caso de la introducción de partículas duras en matrices frágiles, dado que aquellas provocan concentraciones de tensión que afectan a la resistencia de éstas. El refuerzo con partículas es, sin embargo, ampliamente usado para mejorar ciertas propiedades de los materiales bases que forman las matrices tales como conductividades térmicas y eléctricas, comportamiento a alta temperatura, reducir fricción, aumentar resistencia a la abrasión, maquinabilidad, dureza, etc., y en ciertos casos simplemente para reducir el costo de fabricación. Como ejemplo de estos fines puede citarse la inclusión del plomo en el acero y de aleaciones de cobre para mejorar su maquinabilidad. El plomo es también un lubricante natural en cojinetes hechos de aleaciones de cobre. Partículas de metales frágiles como el tungsteno, el cromo y el molibdeno son incorporados en metales dúctiles para mejorar sus propiedades a alta temperatura sin alterar sensiblemente su tenacidad a temperatura ambiente. Partículas inorgánicas son muy usadas para mejorar ciertas propiedades de los plásticos como la dureza superficial. El uso de partículas en forma de láminas delgadas resulta atractivo por impartir de manera natural propiedades idénticas en todas las direcciones de un plano, lo que no resulta inmediato Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

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CAPITULO I


con el uso de fibras. Adicionalmente, cuando las láminas se sitúan paralelas pueden alcanzar una participación en el volumen total del compuesto muy superior al caso de fibras y partículas con otra forma. Como ejemplo de aplicaciones de un compuesto de láminas delgadas puede citarse el uso de láminas de mica en aplicaciones de aislamiento térmico o eléctrico. Las láminas de aluminio son comúnmente empleadas en pinturas y capas de recubrimientos, orientándose paralelas a la capa.

Compuesto de partículas (a)

Compuesto de fibra discontinua. (orientación aleatoria) (b)

Laminado de fibra continua' reforzado en una dirección (c)

Laminado de fibra continua reforzado en dos direcciones (d)

Laminado de tres capas (e) Figura I.2.- Configuración esquemática de varios materiales compuestos.

Los materiales compuestos reforzados con fibra, la otra gran rama de la clasificación establecida en la Fig. I.1., van a constituir en lo que sigue el objetivo de mayor interés, por sus aplicaciones en base a sus excelentes propiedades mecánicas. Experimentalmente se comprueba que la resistencia real de la mayoría de los materiales es sensiblemente inferior a la que teóricamente debería poseer por el tipo de estructura que el material tiene. La razón de esta discrepancia está en la existencia de imperfecciones en el material, de manera que cualquier acción encaminada a la reducción de éstas tiene un efecto beneficioso sobre la 4



CAPITULO I

resistencia . En particular, las grietas que aparecen en sentido perpendicular a la dirección de la carga son particularmente negativas para la resistencia, estando ésta controlada en tales situaciones por tenacidad a fractura. Esto explica que un filamento de un material no polimérico exhiba una resistencia a la tracción en el sentido del filamento muy superior al mismo material pero con dimensiones del mismo orden en las tres direcciones, dado que se reduce la aparición de defectos en el filamento debido a las pequeñas dimensiones de la sección transversal. En el caso de los materiales poliméricos, es la orientación de la estructura molecular la responsable de la resistencia y rigidez. Sin embargo, las fibras, debido principalmente a las pequeñas dimensiones de la sección transversal, no son directamente usables en las aplicaciones ingenieriles. Son por ello embebidas en matrices para formar los materiales compuestos reforzados con fibras. La matriz une las fibras transfiriendo la carga (sobre todo en el caso de fibras discontinuas o cortas) y las protege contra agentes exteriores así como frente al daño derivado de su uso y manipulación. Siguiendo la clasificación esbozada en la Fig. I.1. los compuestos de fibras pueden de forma amplia clasificarse en compuestos de una sola capa o multicapa. En realidad los compuestos de una sola capa están generalmente formados también por múltiples capas, llamadas láminas, pero teniendo todas las mismas propiedades y orientación por lo que el laminado (resultante de la unión de varias láminas) se suele llamar de una capa, dado que sus propiedades y su modelo de análisis no se diferencia en nada del caso de una sola lámina. En general, los materiales compuestos que se usan en la mayoría de las aplicaciones estructurales están formados por diferentes láminas, dado que el espesor de cada una de ellas (del orden de 0,1 mm) hace inviable su uso aislado. Cuando todas las láminas son del mismo material (misma fibra y matriz y volumen relativo de ambos), si bien con orientaciones diferentes debido a las necesidades de diseño, el material compuesto recibe el nombre de laminado, Fig. I.2.e, siendo la situación más común en Ingeniería. Dada la definición de laminado, la clasificación que afecta a las láminas (o laminados de una sola capa) afecta también a los laminados, tal y como se representa en la Fig. I.1. El nombre de laminado híbrido se reserva para el caso de que las láminas sean de diferentes materiales constituyentes. Por ejemplo que unas láminas sean de fibra de vidrio y resina epoxy y otras de fibra de carbono y resina epoxy. Es posible, aunque no usual, que en una misma lámina se mezclen dos tipos diferentes de fibra. Laminados híbridos se han usado con éxito para la mejora de ciertas propiedades. Así, los laminados de fibra de carbono y matriz epoxy mejoran significativamente su resistencia al impacto cuando se introduce una pequeña cantidad de fibras de vidrio, con la ventaja adicional del bajo coste de éstas en comparación con las fibras de carbono. Otro de los conceptos que se vierten en la Fig. I.1. es el de fibra continua o discontinua. No es posible dar una definición cuantitativa de cuando, en función de la longitud de la fibra, se está en una u otra situación. Cualitativamente, por contra, la distinción es clara. Un material compuesto se dice de fibra discontinua o corta, cuando la longitud de la fibra afecta a las propiedades del material. En el material de fibra continua la carga es soportada fundamentalmente por las fibras, siendo la principal función de la matriz el mantener unidas a las fibras y protegerlas. El modo de fallo en estos compuestos viene gobernado por las fibras, salvo para fracciones volumétricas de fibra muy bajas.


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CAPITULO I


Dentro de las láminas de fibra continua cabe que el refuerzo se produzca en una dirección, Fig. I.2.c, o en dos direcciones, Fig. I.2.d. Las de una dirección suelen aparecer comercialmente en cintas enrolladas de fibras pre-impregnadas de matriz (reciben el nombre de pre-preg). La cinta está adherida a un material de desecho, que se elimina en el instante de utilizarla para formar un laminado (o para su uso), que da una cierta rigidez a la cinta y al mismo tiempo impide el pegado de la cinta consigo misma al enrollarla. Los compuestos unidireccionales son muy rígidos y resistentes en la dirección de la fibra pero muy débiles en la dirección perpendicular, por lo que su uso se reduce a aplicaciones en que trabajan estructuralmente como un tirante. Generalmente las láminas reforzadas en una dirección se usan para unirlas entre sí con orientaciones diferentes y obtener un laminado de propiedades deseadas. En cualquier caso también se puede proceder a reforzar con fibras en dos direcciones cuál es el caso de usar tejidos de fibra de vidrio entrelazados en direcciones perpendiculares, lo que proporciona similares características a la lámina en las dos direcciones. Cuando se usa fibra discontinua, Fig. I.2.b, resulta más difícil controlar la orientación de las fibras, por lo que en la mayoría de los casos se supone que la fibra está orientada de forma aleatoria, teniendo el material compuesto propiedades cuasi-isótropas. 1.3.- FIBRAS Y MATRICES.

En lo que concierne a los Materiales Compuestos reforzados con fibra, a continuación se recogen las características mecánicas de los elementos que componen estos materiales: las fibras y las matrices. 1.3.1. Fibras.

Las más usadas son las de carbono, vidrio, boro (en menor medida) y las orgánicas (registradas como Kevlar). Las fibras de carbono tienen un diámetro de 7 a 8 µm y sus propiedades dependen del grado de perfección de la orientación de los planos de las capas de grafito que deben estar orientadas paralelamente al eje de la fibra. Existen varios procedimientos de grafitización (conseguir el efecto anterior) que se realizan a una cierta temperatura que influye en las características de resistencia y rigidez de las fibras (más detalles de los procesos de fabricación pueden encontrarse en Hull). SiO2 Al2,O3, Fe2O3 Ca O Mg O Na2O, K 2 Ba2 O3 Ba O

Vidrio E 52,4 14,4 17,2 4,6 0,8 10,6 ____

Vidrio C 64,4 4,1 13,4 3,3 9,6 4,7 0,9

Vidrio S 64,4 25,0 ____ 10,3 0,3 ____ ____

______________________________________________________________________________

Tabla I.1. Composiciones de diferentes vidrios usados en la fabricación de fibra.

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CAPITULO I

Las fibras de carbono son frágiles y muestran una recuperación elástica del 100% cuando se someten a esfuerzos inferiores a los de rotura. Lógicamente las propiedades transversales de las fibras son muy inferiores a las longitudinales. Uno de los mayores problemas de las fibras de carbono es la variabilidad de sus propiedades, condicionadas en gran medida por su longitud ya que al aumentar ésta aumenta también la posibilidad de existencia de un defecto. En lo que se refiere a las fibras de vidrio, se han usado muchas combinaciones de vidrios minerales . Todas tienen como base sílice (Si O 2) con adiciones de óxidos de calcio, boro, sodio, hierro y aluminio. La Tabla I.1. da las composiciones de tres fibras de vidrio muy usadas. El vidrio E es el más usado por sus buenas propiedades de resistencia, rigidez, eléctricas y de desgaste. El C tiene una mayor resistencia a la corrosión química, pero es más caro y de menor resistencia. El S es también más caro que el E pero es más rígido y más resistente a la temperatura. El diámetro de las fibras de vidrio oscila entre 8 y 15 µm. A diferencia de las fibras de carbono, las fibras de vidrio son isótropas, consecuencia directa de la estructura tridimensional de la red del vidrio. La resistencia a la rotura del vidrio viene en gran medida condicionada por el daño superficial que pueden sufrir al rozar entre sí durante su manipulación. Por ello se les suele aplicar una capa protectora que adicionalmente puede generar una unión química entre la superficie del vidrio y la matriz, creando una interfase de alta resistencia. Carbono Base Carbono Base PAN Tipo I PAN Tipo II 7,6-8,6 7,0-9,7

Unidades

Propiedades Diámetro

µm

Densidad

10 3 kgm -3

1.95

Módulo de Young E 11

GPa

Módulo de Young E 22 Resistencia a tracción Alargamiento de rotura Coeficiente de dilatación térmica (0 a 100 º C)

Vidrio E

Kevlar 49 Poliamida

8-14

11.9

1.75

2.56

1.45

390

250

76

125

GPa

12

20

76

GPa

2.2

2.7

1.4-2.5 (típica) 3.5 (estirada recientemente)

%

0,5

1.0

1.8 - 3.2

-0.5 a -1.2 (paralelo) 7-12 (radial)

-0.1 a -0.5 (paralelo) 7-12 (radial)

105

24

10 -6

C

-1

Conductividad térmica -1 C -1 (paralela al eje de la fibra) W m

4.9

2.8-3.6 2.2 - 2.8 -2 (paralelo) 59 (radial)

1.04

0.04

Tabla I.2. Propiedades de las fibras de Carbono, Vidrio y Kevlar 49 a 20º C.


7

CAPITULO I


Tensión GPa Kevlar 49

3 Carbono (Tipo 2) Carbono (Tipo 1)

vidrio E

2

1

deformación (%) 1

2

3

Figura I.3. Diagramas tensión-deformación de las fibras de carbono, vidrio y Kevlar 49.

Las fibras orgánicas se fundamentan en la alta resistencia y rigidez teórica que se puede obtener de polímeros completamente alineados. Los valores reales se ven reducidos por los alineamientos imperfectos, los pliegues de las cadenas y por el valor finito de la longitud de la cadena. Al igual que sucede en las fibras de carbono, las fibras orgánicas tienen propiedades transversales muy inferiores a las longitudinales. De las fibras orgánicas, la más conocida y usada es la Kevlar de la que existen dos modelos, Kevlar 29 y 49, siendo éste último el de mejores prestaciones, aunque ninguno de los dos tiene resistencia apreciable a compresión axial. La Tabla II.2 (tomada de Hull) establece una serie de valores comparativos entre diferentes propiedades de dos fibras de carbono, la fibra de vidrio E y la fibra de Kevlar 49. Los diagramas tensión deformación de estas cuatro fibras se representan en la Fig. I.3 . Sólo la fibra de Kevlar presenta una cierta ductilidad en la rotura con estrechamiento local en la zona de fractura. Desde el punto de vista de las propiedades absolutas puede decirse que la fibra de Kevlar es la más resistente y la de carbono la más rígida, siendo la de vidrio la menos resistente y la menos rígida, aunque la más barata. Dado que una de las razones del uso de los materiales compuestos es su bajo peso, es también interesante comparar entre sí los valores de resistencia y rigidez de las fibras en relación a la densidad (valores específicos). La Tabla I.3. (Tomada de Agarwal y Broutman) incluye estos valores así como el de otros materiales convencionales: acero, aluminio, etc. Puede observarse que mientras en términos absolutos los valores son del mismo orden, en términos específicos los valores de las fibras son muy superiores a los de los materiales convencionales. De cualquier forma, dado que la fibra no se utiliza aisladamente es más realista, como se hará más adelante, comparar valores de laminados dado que la matriz, como 8



CAPITULO I

se verá a continuación, tiene unas propiedades muy inferiores a las de las fibras lo que redunda en una disminución general de las características mecánicas del material compuesto.

MATERIAL

Densidad

Resistencia Específica

Módulo Específico E/ ρ

Módulo de Elasticidad E (GPa)

Resistencia a la tracción ( σu (GPa)

72.4 85.5

2.1 2.1

2.54 2.48

0.826 0.846

28.5 34.5

390.0

2.1

1.90

1.1

205.

240.0 385.0 72.4 414.0 240.0 130.0

2.5 2.8 5.8 4.2 1.3 2.8

1.90 2.63 2.19 19.30 1.83 1.50

1.3 1.1 2.65 0.22 0.71 1.87

126. 146. 33. 21. 131. 87.

210.0 70.0 70.0 350.0 300.0

0.34-2.1 0.14-0.62 0.7-2.1 1.1-4.1 0.7

7.8 2.7 2.5 19.30 1.83

0.043-0.27 0.052-0.23 0.28-0.84 0.057-0.21 0.38

26.9 25.9 28.0 18.1 164

ρ (g/cm3

)

σ /ρ

u

Fibras Vidrio - E....................... Vidrio - S....................... Grafito (Módulo alto)............................... Grafito(alta resistencia a la tracción)................. Boro................................ Silice.............................. Tungsteno....................... Berilio........................... Kevlar-49..................... Materiales convencionales Acero.............................. Aluminio aleado.............. Vidrio.............................. Tungsteno........................ Berilio............................

Tabla I.3. Propiedades específicas de rigidez y resistencia.

Además de las propiedades puramente mecánicas, es necesario considerar el comportamiento ante otros efectos cual puede ser la estabilidad ante las variaciones de temperatura. La fibra de grafito mantiene inalterada sus propiedades hasta los 2000º C. Las de la fibra de vidrio comienzan a disminuir a partir de los 200º C y las del Kevlar aún antes. No obstante el uso de todas es compatible con las matrices poliméricas ya que éstas pierden sus propiedades por encima de los 200º C. Adicionalmente, las fibras de Kevlar experimentan una cierta degradación ante la exposición a la luz por lo que es preciso recubrir el material compuesto de una capa que absorba la luz. 1.3.2. Matrices.

Las materias primas más usadas como matrices en los materiales compuestos son las resinas epoxi y poliéster con gran variedad en sus propiedades mecánicas y químicas. Su propiedad más interesante, que les da nombre (termoestables), es su respuesta al calor ya que no se funden al calentarlas (a diferencia de los plásticos) si bien pierden propiedades de rigidez a partir de una cierta temperatura por lo que este valor ( hasta 300º C para las epoxi y 110 para las de poliester) representa una limitación real para su uso. La tabla I.4 (tomada de Hull) recoge las principales propiedades de las resinas epoxi y poliéster, observándose que Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

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CAPITULO I


aquellas son en general superiores a éstas, aunque más caras, por lo que se usan en aplicaciones tecnológicamente más avanzadas mientras que las de poliéster se usan (generalmente con fibra de vidrio) en aplicaciones de menor nivel de exigencia en cuanto a resistencia estructural. _______________________________________________________________________ Propiedad Unidades Resinas Epoxy Resinas Poliéster _______________________________________________________________________ Densidad Mg m-3 1.1-1.4 1.2-1.5 Módulo de Young GPa 3-6 2-4,5 Coef. Poisson 0.38-0.4 0.37-0.39 Resist. Tracción Mpa 35-100 40-90 Resist. Compresión Mpa 100-200 90-250 Alarg. Rotura (Tracción) % 1-6 2 Conduct. Térmica W m-1 C-1 0.1 0.2 Coef. dilatación 10 -6 ºC-1 60 100-200 Temp. distorsión ºC 50-300 50-110 Contracción Curado % 1-2 4-8 Absor. de Agua % 0.1-0.4 0.1-0.3 (24 h a 20 ºC)

_______________________________________________________________________ Tabla I.4. Propiedades típicas de las resinas epoxi y poliéster usadas en los materiales compuestos.

140 120

Compresión

100 ) a p M ( 80 n ó i s n e T 60

Tracción

40 20

Deformación (%) 2

4

6

8

10

12

Figura. I.4. Diagrama tensión-deformación de resinas termoestables.

Las resinas termoestables son materiales dúctiles como puede apreciarse en las curvas tensión deformación que se incluyen en la Fig. I.4. La línea de trazos que aparece en el ensayo de tracción representa la evolución que seguiría en caso de no producirse las roturas prematuras debido a la concentración e intensificación de tensiones provocadas por los defectos superficiales y/o microfisuras, que no afectan al comportamiento a compresión, donde se 10



CAPITULO I

aprecia una gran deformación plástica antes de que aparezca la rotura. Esta característica de ductilidad de las resinas junto a un comportamiento comportamiento isótropo justifican justifican comportamientos comportamientos nolineales de los materiales compuestos, ante solicitaciones en que la matriz juegue un papel importante en el mecanismo de resistencia del material compuesto. Las matrices termoplásticas (polipropileno, nylon, policarbonatos) también se utilizan en aplicaciones con materiales compuestos pero donde no se vaya a producir incrementos de temperatura importantes. Se suelen usar con refuerzos de fibra corta y en cualquier caso en aplicaciones de baja exigencia en cuanto a resistencia, dado que sus propiedades mecánicas son muy inferiores a las de las resinas epoxi. 1.3.3. Unión Fibra-Matriz.

El comportamiento y propiedades del material compuesto, compuesto, está no sólo condicionado por las propiedades de cada uno de los elementos aislados que se acaban de indicar, sino también por la naturaleza y características de la interfase que se forma entre ambos elementos. La interfase es la responsable de la transmisión de cargas de la matriz a las fibras, lo que condiciona en gran medida la resistencia final del material compuesto. Por supuesto que el mecanismo de transferencia de carga es mucho más importante en los compuestos de fibra corta debido a las concentraciones de tensión que aparecen en los extremos de la fibra. La naturaleza de la unión fibra-matriz junto a las características aisladas de estos dos componentes condicionan el modo de fisuración del material compuesto. Así, cuando la interfase es muy resistente, las grietas no se propagan a lo largo de las fibras (separando a éstas de la matriz). De esta forma el refuerzo de la fibra permanece efectivo incluso después de que la fibra, debido a la carga externa se haya roto en algunos algunos puntos separados una cierta distancia a lo largo de su longitud. Una interfase resistente es también esencial para que el material compuesto experimente una buena resistencia ante acciones transversales así como para una buena defensa ante acciones de agresión ambiental. Por contra, la tenacidad a fractura de materiales compuestos puede verse disminuida por una unión fibra-matriz muy alta. La razón está en que esta propiedad limita la aparición de nuevas superficies, que es uno de los mecanismos de absorción de energía en un proceso de fractura, debido a que como se ha comentado anteriormente las fisuras no se propagarán a lo largo de la interfase. 1.4.- FABRICACIÓN DE MATERIALES COMPUESTOS DE FIBRA.

En cualquiera cualquiera de los múltiples procesos existentes para la fabricación fabricación de materiales compuestos reforzados con fibra se pueden distinguir dos fases: la configuración del laminado y el curado. La primera incluye con carácter general el conjunto de acciones que es preciso realizar hasta obtener la configuración final del material compuesto. Así, podría para algunos materiales, constar de la disposición de fibras en una matriz para obtener una lámina y a continuación de la disposición de una serie de láminas para obtener un determinado laminado.


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CAPITULO I


El curado es el proceso de secado o polimerización de la matriz para formar los enlaces permanentes entre la matriz y las fibras en una lámina y a su vez entre las propias láminas. El curado se puede producir de manera natural o puede requerir, para acelerar el proceso de polimerización, polimerización, la aplicación independiente independiente o combinada combinada de calor y presión en autoclaves, autoclaves, hornos, etc. La primera fase admite múltiples variantes, de las cuales se van a describir muy brevemente las más difundidas. difundidas. Una descripción descripción más detallada de de los procedimientos procedimientos de fabricación fabricación puede encontrarse en Schwartz y en Chretien. El método de apilado manual (“hand lay-up”) consiste en disponer sobre un molde previamente elaborado las fibras que se impregnan de la resina con brocha o rodillo. Se van sucediendo capas de matriz y resina hasta alcanzar el espesor de diseño. Las fibras, cuando se utiliza este procedimiento suelen venir en fieltros enrollados pudiendo estar la fibra dispuesta en una o dos direcciones. direcciones. También, aunque aunque más raramente, puede puede estar la fibra dispuesta en mechas a las que se aplica la misma técnica. En este método, el curado se realiza al ambiente ambiente sin ayuda de de presión ni calor. Es usual usual aplicar aplicar este método método a materiales materiales compuestos de poliéster y fibra de vidrio con bajos requerimientos estructurales o en geometrías que no permiten una mayor automatización. automatización. El método de enrollado de filamentos (“Filament winding”) consiste en pasar hilos o mechas continuas de fibras por un baño de resina enrollándolos a continuación sobre un molde giratorio que dispone del mecanismo adecuado para orientar la fibra con el ángulo adecuado de diseño con respecto al eje longitudinal. Este procedimiento se utiliza con los mismos materiales que en el caso anterior y en geometrías de revolución: tubos, depósitos, etc. Permite un mayor control y fiabilidad del producto final que el método manual. En el método de bolsa de vacío, presión o autoclave se suele utilizar como material base los pre-preg, aunque también se puede partir de las capas de fibras, ahora unidireccionales generalmente, impregnarlas y curarlas parcialmente. Las láminas se colocan en la superficie del molde en el orden de apilamiento y con las direcciones adecuadas para formar un laminado. Se cubren con un saco de presión para introducirlos introducirlos en el autoclave a temperatura temperatura y presión adecuadas adecuadas para provocar el curado final del del conjunto. Esta es la técnica técnica mas difundida en materiales materiales compuestos de fibra fibra de carbono y resina epoxi que se utilizan para paneles y elementos de aviones. El método de proyección (Spray-up) se usa en el caso de que el refuerzo no sea continuo ni tenga orientación preferente. En este caso se proyectan simultáneamente los hilos ya cortados y la resina a un molde, consolidando el compuesto con el rodillo. Se usa generalmente para compuestos de resina poliéster y fibra corta de vidrio. Todos los procedimientos indicados se realizan en molde abierto. Existen también muchos procedimientos basados en la utilización de un molde cerrado, inyectando la resina en el molde, donde previamente se ha dispuesto la fibra en las direcciones adecuadas, o mezclando previamente fibra y resina (para el caso de fibra corta) e inyectando el conjunto a alta presión en el molde. Dentro del proceso de fabricación fabricación hay que indicar las operaciones finales finales de ensamblado que pueden incluir pegado después del curado, procesos con máquinas herramientas para

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CAPITULO I

configurar zonas difíciles de realizar con el molde o simplemente ejecución de orificios para proceder a realización r ealización de uniones atornilladas y finalmente el pintado. Las piezas fabricadas deben pasar un cierto control (inspección visual, rayos X, ultrasonidos y ensayos de resistencia) que permiten detectar los principales defectos que pueden presentarse: 

       

Discontinuidades entre láminas producidas por la existencia de aire atrapado, falta de resina o delaminaciones que aparecen durante el curado. Curado incompleto de la resina. Exceso de resina entre láminas. Porosidad y agujeros en la matriz. Orientación incorrecta de las láminas para formar el laminado. Daño en las fibras. Inclusiones. Variaciones en el espesor. Uniones inaceptables.

1.5.- COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE MATERIALES COMPUESTOS REFORZADOS CON FIBRA.

La estructura de los materiales compuestos reforzados con fibra es heterogénea y anisótropa. La heterogeneidad implica que las propiedades del material son función de punto y la anisotropía implica que además es función de la dirección a la que se refiera. En algunos casos de apilamiento apilamiento de láminas unidireccionales, unidireccionales, se pueden producir situaciones particulares de ortotropía (tres planos principales de simetría del material) o incluso de cuasi-isotropía si por ejemplo las láminas se sitúan con diferentes orientaciones relativas. La complejidad de un análisis heterogéneo heterogéneo ha hecho necesario el realizar algunas hipótesis de comportamiento cuyos buenos resultados justifican su mantenimiento. Estas hipótesis están conectadas con una división clásica, aunque tiene aspectos distorsionantes, realizada en la mayoría de los libros sobre composites, y que considera el análisis de éstos desde dos puntos de vista: Micromecánico y Macromecánico. Macromecánico. En el análisis Micromecánico se reconoce la existencia de dos componentes: fibra y matriz aunque sin considerar la estructura interna de cada uno de ellos. El objetivo de este análisis sería, por ejemplo, el de definir las propiedades de una lámina homogénea y ortótropa que se comportara de forma equivalente, desde el punto de vista mecánico, que la lámina real de material compuesto compuesto formada por una cierta distribución distribución de fibras embebidas en una una matriz. Para efectuar esta equivalencia es preciso realizar algunas hipótesis adicionales que permitan calcular unas propiedades representativas de la lámina a partir de las propiedades de los componentes y del porcentaje de ellos existente en el compuesto. En el análisis Macromecánico se considera la lámina como un material homogéneo con unas propiedades representativas que son las calculadas en el análisis anteriormente descrito. Por consiguiente la microestructura de la lámina no es considerada salvo en el hecho de que existen propiedades diferentes en la dirección de la fibra y en la dirección perpendicular. La lámina ortótropa se toma ahora como base para diseñar elementos laja, placa o lámina a los cuales se les aplica las teorías del cálculo estructural. La Fig. I.5. recoge esquemáticamente estas ideas. Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

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CAPITULO I


El funcionamiento como material compuesto que se acaba de esbozar incita a profundizar en dos aspectos que, en gran medida, han favorecido el uso extensivo de los materiales compuestos. El primer aspecto es el de las propiedades del material en relación a su peso. Con anterioridad se han visto las excelentes propiedades de rigidez y resistencia de las fibras que se utilizan en los materiales compuestos en relación a los materiales clásicos (acero, aluminios, etc). Resulta mucho más real establecer esta comparación entre el conjunto fibramatriz y los materiales clásicos. La Tabla I.5. representa valores de rigidez y resistencia de varios laminados cruzados (con laminados unidireccionales se obtienen valores aún mayores pero sus aplicaciones son mucho más restringidas). A) MICROMECANICA FIBRA

LAMINA REFORZADA EN UNA DIRECCION

Ef νf Gf

MATRIZ Em νm Gm

EQUIVALENCIA LAMINA HOMOGENEA ORTOTROPA

E11 E22 ν12 G 12

2 1

B) MACROMECANICA

LAMINADO

2 1

2 1

2 2

1 1

Figura I.5.- Caracterización analítica de Materiales Compuestos.

Como puede observarse, los materiales compuestos reforzados con fibra son muy superiores a los convencionales en rigidez y resistencia específica (salvo los de fibra de vidrio y resina poliéster). Por consiguiente la comparación entre los materiales convencionales y los compuestos a efectos de propiedades mecánicas está condicionada por el papel que el peso juegue en el diseño total de la estructura. El otro aspecto de interés es relativo al fácil control que se puede alcanzar sobre la anisotropía de las propiedades finales. De esta forma pueden disponerse "a medida" los refuerzos de fibra para soportar de la forma más óptima posible el estado tensional que se va a producir. Así, en un depósito cilíndrico cerrado sometido a presión interna, la tensión longitudinal es la mitad 14



CAPITULO I

de la tensión radial, lo que permite una distribución racional de la fibra en las dos direcciones en que se va a reforzar la matriz. Fracción de volumen de fibra (V f ) %

Material

Módulo de Elasticidad (E) (GPa ) 210

Acero Aluminio 2024-T4 6061-T6 E-Fibra de vidrio-Epoxy Kevlar-49-epoxy Fibra de carbono-Epoxi Boro-Epoxy

57 60 58 60

73 69 21.5 40 83 106

Resistencia a la tracción σu (GPa)

0.45-0.83 0.41 0.26 0.57 0.65 0.38 0.38

Densidad (g/cm3 )

Módulo específico (E/ρ )

7.8

26.9

0.058-0.106

2.7 2.7 1.97 1.40 1.54 2.00

27.0 25.5 10.9 29.0 53.5 53.0

0.152 0.096 0.26 0.46 0.24 0.19

ρ

Resistencia específica ( σu ρ )

Tabla I.5.- Tabla de resistencias y rigideces (Tomada de Agarwall y Broutman).

1.6.- APLICACIONES DE LOS MATERIALES COMPUESTOS DE FIBRA.

El uso de un material en aplicaciones ingenieriles está no tanto condicionado por sus propiedades mecánicas cuanto por el costo real de su fabricación y puesta en servicio. Dado que éste es un aspecto cuyo refinamiento tecnológico está muy condicionado por el tiempo, es lógico que los procedimientos de fabricación de los materiales compuestos (de las fibras aisladamente y del conjunto, adicionalmente) hayan condicionado, por el elevado precio que confieren al producto, el uso extensivo de este tipo de materiales. Solamente en situaciones en que el factor peso juega un papel muy importante (ingeniería del espacio) o el precio no es un obstáculo (aplicaciones deportivas), o el procedimiento de fabricación está bastante afinado (elementos de revolución), es cuando los materiales compuestos han irrumpido en el mercado con carácter extensivo. Adicionalmente a las ventajas o inconvenientes asociados al material existen aspectos educacionales asociados a los ingenieros que deciden el material a utilizar en una determinada aplicación. En efecto, hasta ahora el ingeniero seleccionaba el material más adecuado, de entre una lista de materiales con sus correspondientes propiedades, a una aplicación determinada. Con las posibilidades que permiten los materiales compuestos el nuevo ingeniero debe ser capaz de diseñar el material adecuado a la aplicación, eligiendo los elementos base, combinándolos correctamente y constituyendo el laminado óptimo. Naturalmente esta educación es un proceso que requiere un tiempo que aún se está muy lejos de alcanzar. En la actualidad, los materiales compuestos de alta tecnología (resina epoxy con fibras de carbono, boro o Kevlar) se han utilizado en la industria aeronáutica, fundamentalmente en las alas, fuselajes y tren de aterrizaje, de forma claramente incremental. Así mientras en el Airbus 300 (Año 1974) el porcentaje del peso de la estructura de materiales compuestos al peso de la Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

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CAPITULO I


estructura total era del 6%, en el Airbus, 310-200 (Año 1982) era del 8% y en el Airbus 320 (Año 1988) se acerca al 20%. En la industria automovilística se ha empleado para toda la carrocería sólo en prototipos. En modelos de gran producción se ha incluido en parrillas, parachoques, ballestas y bastidores de asiento. Sólo muy aisladamente se ha utilizado en piezas del motor. En la ingeniería naval se han empleado sobre todo en cascos cubiertas y mástiles, sobre todo en embarcaciones deportivas donde se requieren grandes prestaciones de los materiales a emplear y poco peso. En la industria química se están utilizando cada vez más en conducciones y recipientes a presión, consiguiendo con capas internas de resinas de propiedades específicas las adecuadas resistencia a corrosión frente a agentes químicos. En estas aplicaciones se suele utilizar fibra de vidrio con resina de poliéster. Dentro de la industria deportiva se ha aplicado profusamente en raquetas de tenis, cañas de pescar, palos de golf, esquíes, canoas, pértigas, etc., con resultados sorprendentes. Una utilización menos conocida pero muy extensa la han alcanzado los materiales compuestos, debido a sus buenas propiedades aislantes, en la ingeniería eléctrica, fabricándose con ellos paneles, cajas de interruptores, soportes, etc.

16


Ley de Comportamiento de una Lámina

CAPITULO II

CAPÍTULO II LEY DE COMPORTAMIENTO DE UNA LÁMINA

2.1.-

INTRODUCCIÓN

2.2.-

LEY DE COMPORTAMIENTO PARA MATERIALES ELÁSTICOS 3-D

2.3.-

VALOR DE LAS CONSTANTES

2.4.-

RELACIÓN TENSIÓN DEFORMACIÓN PARA TENSIÓN PLANA EN MATERIALES ORTÓTROPOS


17

CAPITULO II


2.1.- INTRODUCCION. Los materiales compuestos, como todos los sólidos deformables, se caracterizan porque al actuar sobre ellos un sistema de cargas exteriores en equilibrio, cambian las posiciones relativas de los diferentes puntos del material dando lugar a una nueva configuración geométrica que se denomina configuración deformada. El sistema de fuerzas exteriores en equilibrio puede ser aplicado directamente, Fig. II.1.a, o indirectamente, Fig. II.1.b, aplicando un sistema de fuerzas cualesquiera en una zona del contorno pero limitando desplazamientos en otra zona de tal forma que en ella se generarán las fuerzas que necesariamente tienen que equilibrar el sistema exterior aplicado. Cargas exteriores en equilibrio

configuración indeformada

configuración deformada configuración indeformada a)

Desplazamientos impedidos

b)

Figura II.1.- Sólido deformable.

Las magnitudes físicas que intervienen en el proceso de deformación de un sólido son las cargas exteriores (aplicadas en el dominio, F i, y/o en el contorno, t i) y los desplazamientos u i del sólido. Es habitual en la Mecánica de Medios Continuos definir variables internas (tensiones y deformaciones), de carácter tensorial, que están relacionadas con las magnitudes de equilibrio. Así, el tensor de tensiones σij (con i y j variando de1 a 3) en un punto caracteriza la transmisión de fuerzas por el interior del sólido y representa en unos determinados ejes la acción que el resto del dominio hace sobre dicho punto al actuar las cargas exteriores. Dicha acción se visualiza a través de tres planos perpendiculares, asociados a los ejes de referencia, tal como se indica en la Fig. II.2, donde se han representado las nueve componentes del tensor de tensiones.

18



CAPITULO II

3 σ33 σ

σ32

31

σ23 σ13 σ 11

σ21

σ 12

2

σ 22

1 Figura II.2.- Tensor de tensiones en un punto.

Estableciendo las condiciones de equilibrio en un punto material sobre el que pueden actuar unas cargas exteriores X i (i = 1,3) por unidad de volumen se obtienen las siguientes ecuaciones. σ ji,j + Xi = 0

(II.1)

σ ji = σij

(II.2)

o lo que es lo mismo: σ ij,j + Xi = 0

(II.3)

que constituyen las ecuaciones de equilibrio interno del sólido. Después de II.2. son 6 las variables que definen el estado tensional en un punto de tal forma que a partir de dicho estado puede calcularse, el vector tensión en un plano orientado de forma cualquiera en relación a los ejes de referencia tomados, lema de Cauchy, Fig. II.3: 3 n

Tn

2

1

Figura II.3.- Vector tensión en un plano de orientación arbitraria.

Tni = σij n j Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

(II.4) 19

CAPITULO II


Hay que insistir en que las ecuaciones anteriores son válidas para cualquier tipo de sólidos independientemente de la forma de comportarse del mismo. La única hipótesis que se realiza es la de plantear el equilibrio en la situación indeformada por lo que únicamente dejan de ser válidas cuando la magnitud del campo de desplazamientos, en relación a las dimensiones del problema hace errónea esta hipótesis. En lo que respecta a las deformaciones εij (con i y j variando de 1 a 3) son magnitudes, que para el caso en que los desplazamientos sean pequeños frente a las dimensiones del sólido, están asociadas a los cambios de forma y de volumen que experimentan los puntos del sólido. Su relación con los desplazamientos, para este caso y despreciando términos de orden superior (hipótesis de pequeñas deformaciones), es: εij = 1/2 (ui,j +u j,i)

(II.5.a)

El tensor de deformaciones, al igual que el de tensiones, es un tensor de segundo orden simétrico. Las componentes de la diagonal principal están asociadas al cambio de volumen, Fig. II.4.a, y el resto al cambio de forma, Fig. II.4.b. ε11 =

∂u1 ∂x1

x2

∂u1 ∂x1

ε12 =

· dx 1

x2

1  ∂u1 ∂u 2  +   2  ∂x 2 ∂x1 

∂u1 ∂x 2

· dx

2

dx2 dx2

ε11 =

∂u1

∂u 2

∂x1

dx1

∂x 1

x1

a)

dx1

· dx 1

x1

b)

Figura II.4.- Interpretación geométrica de las componentes del tensor de deformaciones.

Las ecuaciones II.5.a se satisfacen automáticamente si el campo de deformaciones cumple las ecuaciones de compatibilidad de Saint-Venant. εij,kl + εkl, ij - εik,jl- ε jl,ik = 0

20


(II.5.b)


CAPITULO II

Al igual que sucedía con las ecuaciones de equilibrio interno las ecuaciones II.5a y b son independientes del material, lo que quiere decir que en ellas no aparecen valores de constantes asociadas al mismo. Se trata de relaciones geométricas que, eso sí, pueden alterarse tomando otras expresiones, también geométricas, cuando según el tipo de material que se esté estudiando, los desplazamientos alcanzan unos ciertos valores frente a las dimensiones del dominio en estudio. El problema del medio continuo, con la introducción de las variables tensiones y deformaciones, puede por tanto esquematizarse como se indica en la Fig. II.5. Fi ; t i

ui Relaciones ε− u

Ecuaciones de equilibrio

(Ecuaciones de compatibilidad)

σ

ij

Ley de comportamiento (Ecuaciones constitutivas)

ε ij

Figura II.5.- Esquema del Problema de medios deformables.

Dado que las tensiones están únicamente relacionadas con las cargas exteriores, al igual que las deformaciones con los desplazamientos y dada la relación entre éstos y las cargas, debe existir una relación característica de cada material entre las tensiones y las deformaciones. Esta relación se conoce como ley de comportamiento o ecuaciones constitutivas del material. El conjunto de las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad, y ley de comportamiento junto a las condiciones de contorno del problema permiten la correcta formulación del medio continuo deformable. Por consiguiente, las peculiaridades de los materiales compuestos sólo afectan a la ley de comportamiento, que va a ser estudiada con carácter general en este capítulo. Una mayor profundización en las relaciones F, t - σ y u-ε o/y las propiedades de estos tensores puede obtenerse en cualquier Tratado de Elasticidad o de Mecánica de Medios Continuos. 2.2.- LEY DE COMPORTAMIENTO PARA MATERIALES ELASTICOS LINEALES EN 3-D. El estudio de la ley de comportamiento se va a ceñir al caso elástico (desaparición de las deformaciones y tensiones cuando desaparecen las acciones exteriores) y lineal (proporcionalidad entre acciones y desplazamientos y por tanto entre tensiones y deformaciones). En este contexto la relación más general que puede plantearse entre el tensor de tensiones y el de deformaciones es: σij = Cijkl εkl


(II.6)

21

CAPITULO II


con i,j,k y l variando de 1,3 y siendo C ijkl un tensor de cuarto orden que incluiría 81 constantes de rigidez. Aprovechando la simetría de los tensores de tensión y deformación, puede simplificarse la expresión anterior. Agrupando los seis valores independientes de los tensores tensión y deformación en los vectores σi y εi (i = 1,6), con la siguiente equivalencia: σ1 = σ11 ; σ2 = σ22 ; σ3 = σ33 ; σ4 = σ23 ; σ5 = σ13 ; σ6 = σ12; ε1 = ε11 ; ε2 = ε22 ; ε3 = ε33 ; ε4 = γ 23 ; ε5 = γ 13 ; ε6 = γ 12;

La ley de comportamiento elástica lineal se pondría ahora: σi = Cij ε j

(II.7)

con i y j variando ahora de 1 a 6, lo que reduce a 36 el número de constantes de rigidez. Este número puede reducirse introduciendo el concepto de energía de deformación, función potencial del estado de deformación, con la siguiente propiedad: ∂U (ε ij ) ∂ε ij

= σ ij

(II.8)

Aplicando esta propiedad con la nomenclatura introducida para II.7. ∂U ∂εi

= σi = Cij ε j

Y por tanto: ∂2U = C ij ∂ε i ∂ε j

(II.9)

Alternativamente: ∂U = σ j = C ji ε i ∂ε i

Y por tanto: ∂2U = C ji ∂ε j∂ε i

(II.10)

Dada la indiferencia en el orden de las derivadas, de (II.9) y (II.10) se concluye que: Cij = C ji

22


(II.11)


CAPITULO II

Por lo que el tensor de rigidez de 2º orden que define la ley de comportamiento elástica lineal es simétrico y un material de esta clase se define por 21 constantes asociadas a un sistema de referencia determinado. La ley de comportamiento quedaría: σ11  C11 C12 C13    C22 C 23 σ 22      C 33 σ 33  =  σ    23   σ   Sim  13   σ12  

C14 C24 C34 C44

C15 C25 C35 C45 C55

C16  ε11    C 26 ε 22    C 36 ε 33  C 46 γ 23  C 56 γ 13    C 66 γ 12 

(II.12)

Es interesante observar en este tipo de material (anisótropo) el acoplamiento existente entre componentes normales y tangenciales de la tensión y deformación, produciéndose deformadas como la que aparece indicada en la Fig. II.6, (bastaría invertir II.12).

Figura II.6.-

Acoplamiento entre componentes normales y tangenciales de tensión y deformación.

Hay que insistir en que las 21 constantes que definen un medio anisótropo van asociadas a un determinado sistema de referencia. Así, al igual que los tensores σij y εij (pseudovectores σi y ε j en II.7) dependen de la orientación de los ejes, el tensor de las constantes de rigidez también. La reducción del número de constantes necesarias para definir un material sólo se produce cuando éste tiene alguna simetría en su constitución. En efecto, muchos medios elásticos tienen simetría geométrica de la estructura interna (forma cristalográfica, disposición de fibras o partículas, etc). Esto puede hacer que sus propiedades elásticas sean idénticas en varias direcciones. Supongamos en primer lugar que un sólido tiene una estructura interna con simetría respecto al plano 12. Para ver si este hecho condiciona el valor de alguna de las constantes del material razonaremos sobre un punto sometido a cualquier estado tensional referido a los ejes 1-2-3. Dado que el plano que contiene a los ejes 1-2 es de simetría, cualquier solicitación que respete una simetría debe estar asociada a una deformada también simétrica. Consideremos una solicitación σ11 que mantiene la simetría respecto al plano 1-2. La relación general de σ11 con las deformaciones es:


23

CAPITULO II


σ11 = C11 ε11 + C12 ε22 + C13 ε33 + C14 γ 23 23 + C15 γ 13 + C16 γ 12 12

Dado que las deformaciones ε11, ε22, ε33 y γ 12 12 no rompen la simetría existente, las correspondientes constantes C 11, C12, C13 y C16 pueden tomar valores cualesquiera. Ahora bien las deformaciones deformaciones γ 23 respecto 23 y γ 13 13, como se aprecia en la Fig. II.7, no guardan simetría respecto al plano 1-2, por lo que los coeficientes asociados a estas deformaciones, C 14 y C15, deben ser nulos para garantizar que en ningún caso existe acoplamiento acoplamiento entre σ11 y γ 23 23 o γ 13 13. γ 23

3

3 P.S

1

P.S.

γ 13

P.S

2

1

2

Plano de simetría Figura II.7.- Deformadas γ 13 y γ 23.

Un razonamiento análogo para σ22 llevaría a: C24 = C25 = 0 En el caso de σ33 conduciría a: C34 = C35 = 0 Y en el caso de σ12 conduciría a: C64 = C65 = 0 Dado que ni σ13 ni σ23 son simétricas respecto al plano 12 nada puede decirse de los coeficientes coeficientes que relacionan r elacionan estas componentes componentes del tensor de tensiones con las deformaciones. deformaciones. Unas conclusiones análogas, y que permiten una sistemática más fácil de aplicar para sucesivas posibilidades de simetría, se obtienen razonando de la siguiente forma. Si un plano es de simetría elástica, las constantes de rigidez no deben cambiar cuando se toma como tercer eje del sistema uno de los dos normales a dicho plano, Fig. II.8.

24



CAPITULO II

3

2 ≡ 2´

P.S 1 ≡ 1´

3´

Figura II.8.-Transformación de coordenadas cuando el plano 1-2 es de simetría.

En el sistema 1-2-3 se cumple: σi = Cij ε j

(II.13)

σi´ = C´ij ε´ j

(II.14)

Cij = C´ij

(II.15)

En el sistema 1´- 2´- 3´ se cumple:

La simetría antes enunciada exige:

Ahora bien entre las componentes del tensor de tensiones en los sistemas 1-2-3 y 1´-2´-3´ existe la relación: σ´kl = nki nlj σij

(II.16)

con i, j, k y l variando de 1 a 3 y siendo: nki = cos (x´k , xi) nlj = cos (x´l, x j) En el caso de la Fig. II.8: n11 = 1 n21 = 0 n31 = 0

n12 = 0 n22 = 1 n32 = 0

n13 = 0 n23 = 0 n33 = -1

Aplicando la expresión (II.16): σ´11 = σ11 ; σ´ 22 = σ22 ; σ´ 33 = σ3 ; σ´12 = σ12 ; σ´ 13 = - σ13 ; σ´ 23 = - σ23

(II.17)

Análogamente, Análogamente, para el tensor de deformaciones: deformaciones: Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

25

CAPITULO II


ε´11 = ε11 ; ε´22 = ε22 ; ε´33 = ε33 ; γ ´12 = γ 12 12 ; γ ´13 = - γ 13 13 ; γ ´23 = - γ 23 23

(II.18)

Explicitando Explicitando para σ11 la relación de comportamiento en los sistemas 1-2-3 y 1´-2´-3´: σ11 = C11 ε11 + C12 ε22 + C13 ε33 + C14 γ 23 23 + C15 γ 13 13 + C16 γ 12 12

(II.19)

σ´11 = C´11 ε´11 + C´12 ε´22 + C´13 ε´33 + C´14 γ ´23 + C´15 γ ´13 + C´16 γ ´12

(II.20)

Si en (II.20), introducimos (II.15), (II.17) y (II.18): (I I.18): σ11 = C11 ε11 + C12 ε22 + C13 ε33 - C14 γ 23 23 - C15 γ 13 13 + C16 γ 12 12

(II.21)

El cumplimiento de (II.19) y (II.21) para todo estado tensional exige: C14 = C15 = 0

(II-22.a)

Si lo mismo que se ha hecho para σ11, se hace para los demás ( σ22, σ33, σ12, σ13, σ23) se obtienen las siguientes relaciones: C24 = C25 = 0 C34 = C35 = 0 C46 = 0 C56 = 0

(II.22.b)

resultados análogos a los obtenidos anteriormente. Con lo que la ecuación de comportamiento queda: σ11  C11    σ 22  C12    σ 33  = C13 σ   0  23   σ13   0    σ12  C16

C12 C 22 C 23 0 0 C 26

C13 0 0 C23 0 0 C33 0 0 0 C 44 C 45 0 C45 C 55 C36 0 0

C16   ε11    C26  ε22    C36  ε33  0  γ 23 0  γ 13    C66  γ 12 

(II.23)

Este material se llama monoclínico y hay 13 constantes independientes del material. Si el material tiene tres planos de simetría elástica se pueden hacer dos operaciones equivalentes equivalentes a la anterior (2 ≡ -2´ y 1 ≡ -1´). De esta forma: La relación queda: 26

C16 = C26 = C36 = C45 = 0



CAPITULO II

σ11  C11 C12 C13 0 0 0   ε11       0 0  ε22  σ 22  C12 C 22 C23 0      σ C C C 0 0 0  33  =  13  ε33  23 33 σ   0 0 0 C 44 0 0  γ 23  23   σ13   0 0 0 0 C 55 0  γ 13       σ12   0 0 0 0 0 C66  γ 12 

(II.24)

Obsérvese: 







Hay 9 constantes que definen el material ortótropo. No hay acoplamiento entre tensiones normales y deformaciones tangenciales, en los planos principales del material. No hay acoplamiento entre tensiones tangenciales y deformaciones normales en los planos principales del material, es consecuencia consecuencia de lo anterior por la simetría. No hay acoplamiento entre tensiones tangenciales de un plano y deformaciones tangenciales tangenciales de otro plano.

Esto ya implica que en los ejes principales del material se producen las deformaciones básicas de la Fig. II.9

Misma forma: se mantienen los ángulos

Misma área

Figura II.9.- Configuraciones deformadas básicas en ejes principales pr incipales del material.

Si existe un plano en el cual todas las direcciones son de comportamiento idéntico, el material se llama de comportamiento comportamiento isótropo transversal. En principio caben hacer infinitas combinaciones de ejes 1-2-3 y 1´-2´-3´ aunque muchas de ellas serán combinaciones lineales unas de otras. De hecho sólo dos darán alguna relación diferente de identidades. identidades. Supongamos que el plano es el 1-2. 1.- Giro de 90º alrededor de 3, Fig. II.10


27

CAPITULO II


3 ≡ 3'

2'

2 ≡ 1' 1

Figura II.10.- Sistemas de referencia equivalentes.

Aplicando la transformación (II.16). σ´11 = σ22 ; σ´22 = σ11 ; σ´33 = σ33 ; σ´12 = σ12 ; σ´13 = σ23; σ´23 = σ13 ε´11 = ε22 ; ε´22 = ε11 ; ε´33 = ε33 ; γ ´12 = γ 12 ; γ ´13 = γ 23; γ ´23 = γ 13

tomamos σ´11 σ´11 = C11 ε´11 + C12 ε´22 + C13 ε´33

transformando σ 22 = C11 ε22 + C12 ε11 + C13 ε33

escribiendo la ecuación de σ22 en ejes 1-2-3. σ22 = C12 ε11 + C22 ε22 + C23 ε33

Identificando ambas expresiones de σ22 C22 = C11 ; C23 = C13

(II-25.a)

Tomando ahora σ´13 σ´13 = C55 γ ´13

y transformando σ23 = C55 γ 23

Por otra parte, escribiendo directamente σ23 en 1-2-3. σ23 = C44 γ 23

luego C44 = C55

28


(II-25.b)


CAPITULO II

Las demás expresiones producen identidades. 2.- Giro de 45 ° alrededor de 3, Fig. II.11 3 ≡ 3´ 2´ 2 1

1´

Figura II.11.- Sistemas de referencia equivalentes.

Se toma en este caso la relación: σ12 = C66 γ 12

Y en ejes 1´-2´ -3´: σ´12 = C66 γ ´12

Teniendo en cuenta, aplicando la transformaciones. II.16 con los valores de la Fig. II.11, que: σ´12 = 1/2 ( σ22 - σ11) γ ´12 = (ε22 - ε11)

la ecuación anterior queda: (σ22 - σ11) = 2 C66 (ε22 - ε11) Ahora bien, de acuerdo a los resultados obtenidos hasta ahora: σ22 = C12 ε11 + C11 ε22 + C13 ε33 σ11 = C11 ε11 + C12 ε22 + C13 ε33

Por lo que sustituyendo en la relación anterior: (C12 ε11+ C11 ε22 + C13 ε33) - (C11 ε11+ C12 ε22 + C13 ε33)= 2 C66 (ε22 - ε11) (C12 − C11) ε11 + (C11 - C12) ε22 = 2 C66 (ε22 - ε11) ( ε22 - ε11 ) [ C11 - C12] = 2 C66 (ε22 - ε11) de donde: 2 C66 = C11 - C12 Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

(II.26) 29

CAPITULO II


Con lo que la relación σ-ε para un material transversalmente isótropo será, aplicando (II.25) y (II.26): 0 σ11  C11 C12 C13 0    0 σ 22  C12 C11 C13 0   C C 0 0 13 C33 σ 33  =  13 σ   0 0 0 C 44 0  23   σ   0 0 0 0 C 44  13   σ12   0 0 0 0 0

 ε11     ε22     ε33   γ    23  γ    13  C11 − C12   2   γ 12 

0 0 0 0 0

(II.27)

donde sólo hay cinco constantes independientes. Si todas las direcciones son iguales, material isótropo, bastaría repetir las dos operaciones anteriores para los planos 1-3 y 2-3 hasta que se obtiene la siguiente relación con dos constantes, donde ya no cabe ninguna simplificación: σ11  C11 C12 C12    σ 22  C12 C11 C12   C C 12 C11 σ 33  =  12 σ   0 0 0  23   σ   0 0 0  13   σ12   0 0 0

0 0 0 C11 − C12 2

0 0

0 0 0 0 C11 − C12 2

0

  ε11     ε22     ε33   γ    23   γ    13  C11 − C12   12  2   γ

0 0 0 0 0

(II.28)

Se pueden definir unas relaciones ε-σ para los diferentes materiales considerados , inversas a las anteriores, donde las constantes que aparecerán ahora son coeficientes de flexibilidad. Las más importantes son: Material ortótropo: ε11  S11 S12 S13 0 0 0  σ11       0 0  σ 22 ε22  S12 S22 S23 0      ε S S S 0 0 0  33  =  13 23 33  σ 33 γ   0 0 0 S 0 0  σ 23 44  23   γ 13   0 0 0 0 S 55 0  σ13       γ 12   0 0 0 0 0 S 66  σ12 

30


(II.29)


CAPITULO II

Material isótropo: ε11  S11 S12 S12   σ11  0 0 0      ε S S S 0 0 0  22   12 11 12  σ 22       0 0 0 ε33  = S12 S12 S11  σ 33  γ   0 0  σ  0 2(S11 − S12 ) 0 0  23     23  γ   0 0  σ  0 0 2(S11 − S12 ) 0  13     13  γ 12   0 0 0 0 0 2(S11 − S12 ) σ12 

(II.30)

Las relaciones entre los coeficientes de las matrices C y S son, para materiales ortótropos, las siguientes: C11 = ( S22 S33 - S223 ) / ∆

C12 = ( S13 S23 - S12 S33 ) / ∆

C22 = ( S33 S11 - S213 ) / ∆

C13 = ( S12 S23 - S13 S22 )

/∆

C33 = ( S11 S22 - S212 ) / ∆

C23 = ( S12 S13 - S23 S11 )

/∆

con ∆ = S11 S22 S33 - S11 S223 - S22 S213 - S33 S212 + 2 S12 S23 S13 C44 = 1/S44

;

C55 = 1/S55 ;

C66 = 1/S66

(II.31)

2.3. VALOR DE LAS CONSTANTES. 2.3.1. Materiales isótropos. Es usual en Ingeniería adoptar unas constantes diferentes (aunque iguales en número), a las que aparecen en las relaciones anteriores. Así, en la relación ε-σ, ecuación (II.30), se suele tomar: S11 = 1/E ; S12 = - ν /E ; S11- S12 = 1/2 G

(II.32)

Como sólo dos son independientes, debe cumplirse necesariamente que: G = E / 2(1 + ν)

(II.33)

Con las definiciones II.32, las ecuaciones II.30, conocidas como ley de Hooke generalizada quedan:


31

CAPITULO II


ε11 = 1/E (σ11 - ν (σ22 + σ33)) ε22 = 1/E (σ22 - ν (σ11 + σ33)) ε33 = 1/E (σ33 - ν (σ11 + σ22)) γ 23 = 2 ε23 = σ23/G γ 13 = 2 ε13 = σ13/G γ 12 = 2 ε12 = σ12/G

(II.34)

o en notación matricial: εij = (1 + ν )/ E σij - ν / E σkk δij

(II.34)

Las constantes introducidas tienen el siguiente significado: 





E llamado módulo de elasticidad longitudinal (o de Young) representa la constante de proporcionalidad entre una tensión normal aplicada y la deformación a ella asociada. Numéricamente representaría el valor de la tensión normal que hay que aplicar para que la deformación normal a ella asociada alcance el valor unidad. ν llamado coeficiente de Poisson, representa la relación entre la contracción lateral unitaria y el alargamiento longitudinal unitario al aplicar una tensión longitudinal. G conocido como módulo de elasticidad tangencial o de cizalladura, es la constante de proporcionalidad entre las tensiones y deformaciones tangenciales.

En la relación II.28, suele hacerse: C12 = λ

y

C11 - C12 = 2G

con lo que las ecuaciones II.28, conocidas como ecuaciones de Lamé, quedan: σ11 σ22 σ33 σ23 σ13 σ12

= = = = = =

2 2 2 2 2 2

G G G G G G

ε11 + λ θ ε22 + λ θ ε33 + λ θ ε23 ε13 ε12

con: θ = ε11 + ε22 + ε33

En notación matricial:

32


(II.35)


σij = 2 G εij + λ εkk δij

CAPITULO II

(II.35)

λ, conocida como constante de Lamé, se puede relacionar con cualquier pareja de valores de E, ν o G. λ =

E ν = 2 G ν 1+ ν 1 - 2 ν 1 - 2 ν

=

G E - 2G 3G - E

E y ν se pueden medir de forma directa mediante un ensayo, por lo que son los dos valores habitualmente empleados para definir un material, calculándose los demás a partir de ellos. Atendiendo a algunas consideraciones empíricas o conceptuales, pueden establecerse algunas cotas sobre los campos de validez de las constantes λ, G, E y ν. De la realización del ensayo de tracción se observa que: E≥0

y

ν ≥ 0

(II.36.a)

La energía de deformación en un sólido elástico lineal es: U = 1 / 2 σij εij introduciendo II.35: U = G εij εij + λ εkk 2 / 2 Y dado el carácter definido positivo de U, se deduce que: G

≥

0

,

λ ≥ 0

(II.36.b)

Finalmente, sumando las tres primeras expresiones de (II.35). σkk = (3λ + 2G) εkk = (E / (1-2 ν)) εkk

Si a un sólido se le somete a tricompresión ( σkk ≤ 0) disminuye su volumen ( εkk = ∆V / V 0) por lo que: E / 1-2 ν

≥

≤

0

luego necesariamente: ν ≤ 1 / 2

(II.36.c)

Las ecuaciones II.36 representan las cotas que pueden establecerse sobre el valor de las constantes asociadas a materiales isótropos.


33

CAPITULO II


2.3.2. Materiales ortótropos. Las constantes ingenieriles de los materiales ortótropos son una extensión de las definidas anteriormente en los isótropos. Así, la ecuación (II.29) adopta la forma:

ε11 ε22 ε33 γ 23 γ 13 γ 12

=

1 E11

- ν 21 E22

- ν 31 E33

- ν 12 E11

1 E22

- ν32 E33

- ν 13 E11

- ν23 E22

1 E33

0 1 G23

0

1 G31

σ11 σ22 σ33 σ23 σ13 σ12

(ΙΙ.37)

1 G12

habiendo tomado: γ ij = 2 εij

(II.38)

En la matriz de constantes: 

 

Eii representan los módulos de elasticidad longitudinales asociados a los ejes principales del material. Gij representan los módulos de elasticidad tangenciales. νij representan los coeficientes de Poisson con el siguiente significado: νij = - εi jj / εiii

(II.39)

siendo εi jj la deformación en la dirección j provocada por una tensión en la dirección i, por lo que νij se define como el acortamiento unitario en la dirección j en relación al alargamiento unitario en la dirección i provocado por una tensión en dicha dirección i. En la matriz S hay implicadas 12 constantes E 11, E22, E33, G12, G13, G23, ν12, ν13, ν23, ν21, ν31, ν32. Ahora bien, sólo 9 son independientes ya que debido a la simetría de S: Sij = S ji es decir: νij / Eii = ν ji / E jj

34


(II.40)


CAPITULO II

Usualmente y a efectos de determinación de las constantes, E 11, E22, E33; G12, G13, G23 son junto a 3 νij considerados como los valores independientes. En orden a profundizar un poco en la idea de la relación entre ciertas constantes puede ser instructivo el siguiente análisis. Sea una laja ortótropa que sometemos a tensión en la dirección 1 y en la 2 independientemente, Fig. II.12. σ ∆ 22

σ

σ

2

2

L

1

∆ 21

L

1

1 ∆1

σ

2 ∆1 L

Figura II.12.- Estados elementales de deformación.

Las relaciones de comportamiento desarrolladas anteriormente, permiten establecer: ν ε111 = σ ; ε122 = - 12 σ ; E11 E11

ν ε222 = σ ; ε211 = - 21 σ E22 E22

Y consecuentemente los alargamientos: 1 ∆1 =

σ L ; ∆ 1 = - ν12 σL ; ∆ 2 = σ L ; ∆ 2 = - ν21 σL 2 2 1 E11 E11 E22 E22

Obviamente si E 22 ≠ E11, ∆11 ≠ ∆22 (ε111 ≠ ε222); pero sin embargo ∆12 = ∆12 (ε211 = ε122) independientemente de los valores de las constantes, debido a la simetría de S. Esta conclusión sería una clara extensión del Teorema de Betti o de reciprocidad aplicado a materiales compuestos. La matriz de rigidez se obtiene invirtiendo la matriz S con lo que las ecuaciones II.37 invertidas son:


35

CAPITULO II

σ11 σ22 σ33 σ23 σ13 σ12


1- ν23 ν32 ν12+ ν32 ν13 ν13+ ν12 ν23 E22E33∆ E11E33∆ E11E22∆ 1- ν13 ν31 ν23+ ν21 ν13 ν12+ ν32 ν13 E11E33∆ E11E33∆ E11E22∆ ν13+ ν12 ν23 ν23+ ν21 ν13 1- ν12 ν21 E11E22∆ E11E22∆ = E11E22∆

0

ε11 ε22 ε33 γ 23 γ 13 γ 12

G23

0

G31

(ΙΙ.41)

G12 donde: ν ν − ν23 ν32 − ν31 ν13 − 2 ν21 ν32 ν13 ∆ = 1 - 12 21 E11E22E33

Obsérvese que estas relaciones están definidas en los ejes principales. Un material fabricado ortótropo no presenta ninguna dificultad para determinar dichas direcciones. En caso de que sea un material no determinado pero supuesto ortótropo, sólo los desacoplamientos entre tensiones y deformaciones que se derivan de la configuración de S pueden inducir la correcta orientación de los ejes 1, 2 y 3, principales del material. Algunas cotas pueden ser establecidas para las constantes de los materiales ortótropos, siguiendo razonamientos intuitivos. Si aplicamos sólo una tensión, la correspondiente deformación vendrá asociada al término de la diagonal principal y como el trabajo desarrollado por la tensión aplicada debe ser positivo: Sii > 0 Es decir: E11, E22, E33, G12, G13, G23 > 0

(II.42.a)

Análogamente, si aplicamos una sola deformación: Cii > 0

(II.42.b)

Ahora bien, dado que la energía se puede poner como: U ==

1 ε 2

T

σ =

1 ε 2

T

C ε >0

esto implica que la matriz C debe ser definida positiva. (La expresión anterior es justamente, salvo el 1/2, la definición de matriz definida positiva). Las condiciones para que sea definida

36



CAPITULO II

positiva es que el determinante sea positivo y también los menores obtenidos a partir del primer elemento de la diagonal principal, orlando con filas y columnas. Dado que: C = ∆ / G12G23G31

y teniendo en cuenta las restricciones anteriores sobre E 11, E22, E33, G12, G13, G23: 1 - ν12 ν21 − ν23 ν32 − ν31 ν13 − 2 ν21 ν32 ν13 > 0

(II.42.c)

Consecuentemente, de las relaciones anteriores (C ii > 0): 1 - ν12 ν21 > 0 1 - ν23 ν32 > 0 1 - ν13 ν31 > 0

(II.42.d)

Las relaciones de simetría de la matriz S permiten encontrar, a partir de las restricciones indicadas, otras relaciones en que se ven implicadas constantes E y ν. En cualquier caso, estas cotas tienen como gran utilidad el poder servir de filtro a constantes medidas de ensayos experimentales, cuya fiabilidad no siempre es la deseable. Obsérvese que algunas restricciones típicas de los materiales isótropos desaparecen. Así por ejemplo el valor de νij no queda acotado a 1/2, sino que depende de la relación entre E 11 y E22. Por ejemplo, si E 11 = 9E22 (valor que puede representar el comportamiento de un compuesto epoxy-fibra de boro), se tendrá que: 1 - ν12 ν21 >0

y

ν12 / E11 = ν21 / E22 ⇒ ν21 = E22 /E11 ν12

1 - ν122 E22 /E11 > 0 ν12 < 3

y

ν122 < E11 / E22 ν21 < 1 / ν12

con los valores indicados de E 11 y E22. 2.4. RELACIÓN TENSIÓN-DEFORMACIÓN PARA TENSIÓN PLANA EN MATERIALES ORTÓTROPOS. 2.4.1. Direcciones principales del material. El estado de tensión plana en una lámina viene caracterizado por (suponiendo la lámina en el plano 1-2): σ33 = 0 , σ23 = 0 , σ13 = 0


(II.43)

37

CAPITULO II


Para el caso de material ortótropo, en las direcciones principales del material, esto implica que (II.29): ε33 = S13 σ11 + S23 σ22 ε23 = 0

y

ε13 = 0

(II.44)

Por consiguiente la relación ε-σ en ejes principales queda (poniendo γ 12 = (2 ε12), en lugar de ε12): ε11 ε22 γ 12

S11 S12 0 = S12 S 22 0 0 0 S66

σ11 σ22 σ12

(ΙΙ.45)

con: S11 = 1 ; S22 = 1 ; S66 = 1 ; S12 = - ν12 = - ν21 E11 E22 G12 E11 E22 o bien en notación matricial: ε12 = S12 σ12

(II.45)

Obsérvese que si bien en la ley ε−σ sólo influyen cuatro variables independientes (E 11, E 22, G12, ν12 (o ν21), si se quisiera conocer ε33 sería preciso determinar también ν13 y ν23. La relación σ−ε puede obtenerse invirtiendo las anteriores: σ11 σ22 σ12

Q11 Q12 0 = Q12 Q22 0 0 0 Q66

ε11 ε22 γ 12

(II.46)

o bien en notación matricial: σ12 = Q12 ε12

(II.46)

donde: S22 S11 S22 - S212 S11 Q22 = S11 S22 - S212 - S12 Q12 = S11 S22 - S212 Q66 = 1 S66

Q11 =

38


(II.47)


CAPITULO II

o poniendo S en función de E, G y ν: E11

( = E para isótropos) 1 - ν12 ν21 1 - ν2 E22 Q22 = 1 - ν12 ν21 Q12 = ν12E22 = ν21E11 ( = E ν para isótropos) 1 - ν12 ν21 1 - ν12 ν21 1 - ν2 Q66 = G12 Q11 =

(II.48)

Estas relaciones también se podrían haber obtenido particularizando los C ij para ciertos valores de νij que simulen la tensión plana ( ν13, ν31, ν23 , ν32 = 0). 2.4.2. Direcciones cualesquiera. Las direcciones principales del material (dirección de comportamiento ortótropo) no coinciden habitualmente con las direcciones utilizadas para definir la geometría del material, pudiendo incluso estar en sistemas de referencia diferentes. Dado que habitualmente los criterios de resistencia están referidos a los ejes principales del material y las cargas a los ejes geométricos, es preciso disponer de las relaciones anteriores en ejes cualesquiera. Los estados de tensiones σ referidos a los ejes geométricos (x,y) y principales (1, 2) se pueden relacionar a través de una matriz de giro, función del ángulo que forman ambos sistemas de ejes (según se indica en la Fig. II.13). y 2

1

θ

x Figura II.13.- Sistemas de referencia.

σx σy σxy

=

cos2θ

sen2θ

−2 senθ cosθ

sen2θ

cos2θ

2senθ cosθ

−senθ cosθ

cos2θ − sen2θ

senθ cosθ

σ11 σ22 σ12

= Τ

−1

σ11 σ22 σ12

(II.49)

Puede observarse el carácter de pseudovector del estado tensional plano ya que aunque se estructura es la de un vector, su transformación en otros ejes es diferente, como corresponde al verdadero carácter tensorial de sus componentes. En notación matricial, II.49 queda: Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

39

CAPITULO II


σxy = T-1 σ12 ;

σ12 = T σxy

(II.49)

Una relación idéntica pudiera establecerse para las deformaciones, aunque con εxy y ε12 en lugar de γ xy y γ 12. Para incluir los componentes γ , basta hacer: ε11 ε22 γ 12

1 0 0 = 0 1 0 0 0 2

ε11 ε22 ε12

= R

ε11 ε22 ε12

(ΙΙ.50)

Luego: R -1 εxy = T-1 R -1 ε12 o bien:

εxy = R T-1 R -1. ε12

(II.51)

ε12 = R T R -1 . εxy

(II.52)

Sustituyendo en la ecuación de comportamiento en ejes principales, II.46: T σxy = Q12 R T R -1 εxy σxy = T-1 Q12 . R T R -1 εxy = Qxy εxy

(II.53)

llamando: Qxy = T-1 Q12 . R T R -1

(II.54)

las componentes de Q xy adoptan los siguientes valores: Q11 = Q11 cos4 θ + 2 ( Q 12 + 2 Q66 ) sen 2θ cos2θ + Q22 sen4 θ Q12 = (Q11 + Q22 - 4 Q66 ) sen2 θ cos2 θ + Q12 (sen4 θ + cos4 θ ) Q22 = Q11 sen4 θ + 2 ( Q 12 + 2 Q66 ) sen2θ cos 2+ Q22 cos4 θ 3

3

Q16 = (Q11 - Q12 - 2 Q66 ) senθ cos θ + (Q12 - Q22 + 2Q66)sen θ cosθ

(II.55)

Q26 = (Q11 - Q12 - 2 Q66 ) sen3 θ cosθ + (Q12 - Q22 + 2Q66)senθ cos3 θ Q66 = (Q11 + Q22 - 2 Q12 - 2 Q66 ) sen2 θ cos2 θ + Q66 (sen4 θ + cos4 θ ) Obsérvese que aunque Q xy es una matriz llena con 6 componentes (debido a la simetría) de valores diferentes, estos valores se obtienen a partir de los 4 linealmente independientes que definen Q12. Por supuesto, si θ = 0 , Qxy = Q12. Qxy no presenta ninguna diferencia con respecto a una matriz Q que relacionara σ y ε en un material anisótropo, solamente que Q xy está asociada a un material que puede caracterizarse 40



CAPITULO II

más fácilmente mediante ensayos de laboratorio, siempre que las direcciones principales del material puedan identificarse para proceder a los ensayos. Análogamente se puede plantear la relación inversa ε-σ, en ejes no principales, sin más que invertir la relación anterior: εx εy γ xy

S11 S12 S16 =

o bien en notación matricial:

σx σy σxy

S12 S22 S26 S16 S26 S66 Sxy σxy

εxy =

(ΙΙ.56)

(II.56)

donde: 2

S 11 = S 11 cos4 θ + (2 S 12 + S 66 ) sen θ cos2 θ + S 22 sen4 θ S 12 = (S 11 + S 22 - S 66 ) sen2 θ cos2 θ + S 12 (sen4 θ + cos4 θ ) S 22 = S 11 sen4 θ + (2 S 12 + S 66 ) sen2 θ cos2 θ + S 22 cos4 θ S 16 = ( 2 S 11 - 2 S 12 - S 66 ) senθ cos3 θ + ( 2 S 12 - 2 S 22 + S 66)sen3 θ cosθ

(II.57)

S 26 = ( 2 S 11 - 2 S 12 - S 66 ) sen3 θ cosθ + ( 2 S 12 - 2 S 22 + S 66)senθ cos3 θ S 66 = 2 ( 2 S 11 + 2 S 22 - 4 S 12 - S 66 ) sen2 θ cos2 θ + S 66 (sen4 θ + cos4 θ ) Al igual que sucedía con la relación de Lamé, no hay diferencia entre la matriz S xy para un material ortótropo y la matriz S para un material anisótropo. Las nuevas componentes no nulas de S xy en relación a S 12 pueden tener también una interpretación ingenieril, a partir de la interpretación que estas constantes tienen en materiales anisótropos. σy

σxy

σx

σx σxy

σy

Figura II.14.- Estado tensional.

Siguiendo a Lekhnitski en cuanto a nomenclatura y las ideas expresadas anteriormente para definir los valores de S ij en función de constantes ingenieriles, tendremos para un punto sometido al estado tensional bidimensional de la Fig. II.14: Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

41

CAPITULO II


εx = εx (σx) + εx (σy) + εx (σxy)

o bien: εx = σx /Ex - νyx εy (σy) + ηx,xy γ xy (σxy)

(II.58)

donde: 



νyx: Acortamiento unitario transversal en la dirección x en relación al alargamiento unitario longitudinal en la dirección y cuando actúa σy. ηx,xy: Alargamiento unitario en la dirección x en relación a la deformación tangencial unitaria γ xy en el plano xy cuando actúa σxy.

La relación anterior se puede poner como: εx = σx /Ex - ( νyx /Ey ) σy + (ηx,xy /Gxy) σxy

(II.59)

Si se considera ahora γ xy: γ xy = γ xy (σx) + γ xy (σy) + γ xy (σxy)

o bien: γ xy = ηxy,x εx (σx) + ηxy,y εy (σy) + σxy /Gxy γ xy = ηxy,x σx/ Ex + ηxy,y σy/Ey + σxy /Gxy

(II.60)

donde: 

ηxy,x: Deformación tangencial unitaria en el plano xy en relación al alargamiento unitario en dirección x provocado por σx.

Lógicamente debido a la simetría: ηx,xy/Gxy = ηxy,x/Ex ; ηy,xy/Gxy = ηxy,y/Ey

(II.61)

lo que se podría generalizar a: η j,ij/Gij = ηij,j/E j

i,j = 1,2

Con estos coeficientes de influencia, la matriz tendrá la estructura siguiente:

42


(II.62)


εx εy γ xy

=

1 Ex

ν - xy Ex

ν - xy Ex ηxy,x

1 Ey

Ex

ηxy,y Ey

ηx,xy Gxy ηy,xy

Gxy

CAPITULO II

σx σy σxy

(ΙΙ.63)

1 Gxy

Estas constantes ingenieriles de la lámina ortótropa en ejes no principales, lo que hace que se comporte como aparentemente anisótropa, se pueden calcular a partir de las constantes ingenieriles en ejes principales relacionando las matrices S en ambos ejes, lo que conduce a: 1 = 1 cos4 θ + ( 1 - 2 ν12 )cos2θ sen2θ + 1 sen4 θ Ex E11 G12 E11 E22 1 = 1 sen4 θ + ( 1 - 2 ν12 )cos2θ sen2θ + 1 cos4 θ Ey E11 G12 E11 E22 1 = 2 ( 2 + 2 + 4 ν12 - 1 ) cos2θ sen 2θ + 1 ( sen4 θ + cos4θ) Gxy E11 E22 E11 G12 G12 ν νxy = Ex 12 ( sen4 θ + cos4 θ ) - ( 1 + 1 - 1 ) cos2θ sen2θ E11 E11 E22 G12 2ν12 ηx,xy = Gxy ( 2 + - 1 ) cos3θ senθ + ( 1 - 2 - 2ν12 ) cosθ sen3θ E11 E11 G12 G12 E22 E11 2ν12 ηy,xy = Gxy ( 2 + - 1 ) cosθ sen3 θ + ( 1 - 2 - 2ν12 ) cos3θ senθ E11 E11 G12 G12 E22 E11

(II.64) Dado que las constantes que definen un material ortótropo como aparentemente anisótropo pueden representarse a partir de las constantes ortótropas y el ángulo que relaciona la posición de los ejes principales con los ejes de aparente anisótropía, resulta instructivo el representar dicha variación (Fig. II.15 y Fig. II.16 tomadas del libro de Jones). La conclusión más importante (ver por ejemplo E x /E22 para boro/epoxy) es que los valores extremos de las constantes (máximos o mínimos) no necesariamente se producen para los ejes principales del material.


43

CAPITULO II


Figura II.15.- Módulos normalizados y coeficientes para compuestos de fibra de vidrio-epoxy.

Figura II.16.- Módulos normalizados y coeficientes para compuestos de fibra de boro-epoxy.

44


Comportamiento Mecánico de una Lámina

CAPITULO III

CAPÍTULO III COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE UNA LÁMINA

3.1.- INTRODUCCIÓN 3.2.- DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA RIGIDEZ DE UNA LÁMINA 3.3.- DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA RESISTENCIA DE UNA LÁMINA 3.4.- CRITERIOS DE RESISTENCIA BIAXIAL DE UNA LÁMINA 3.5.- MICROMECÁNICA APENDICE 3.1: DETERMINACIÓN DEL TENSOR DE DEFORMACIONES EN UN PUNTO A PARTIR DE LA LECTURA DE TRES BANDAS EXTENSOMÉTRICAS


45

CAPITULO III


3.1.- INTRODUCCIÓN. El objeto de este Capítulo es el de caracterizar mecánicamente el material en orden a la realización del análisis (determinación de las propiedades de rigidez que se utilizan en él) y del diseño (determinación de las características resistentes en direcciones principales y criterios de rotura ante cualquier tipo de solicitaciones). Esta caracterización sería equivalente en todo a la de los materiales isótropos. En materiales ortótropos cobra una especial importancia la contribución de los elementos que conforman el material compuesto a las propiedades finales del conjunto. Esta parcela, que se conoce con el nombre de micromecánica, permite crear un material de manera que se pueda adaptar a las solicitaciones exteriores. En lo que respecta a los ensayos para establecer características de rigidez y resistencia, son en general una continuación de los que se realizan para isótropos, si bien es preciso tomar algunas precauciones que derivan de la existencia de acoplamiento entre tensiones y deformaciones normales y tangenciales. En cuanto a los criterios de resistencia, a diferencia de los materiales isótropos, no tiene sentido plantearlos en términos de tensiones o deformaciones principales, sino referidos a ejes de ortotropía de la lámina. Los cuales no tienen en general porqué coincidir con los ejes principales. De hecho, sólo en el caso particular en que las direcciones principales de tensión o deformación coincidan con las direcciones de ortotropía del material, se producirá la coincidencia entre las direcciones principales de tensión y deformación. En general, lo que se hace es comparar un estado real con un estado admisible del material. Ambos están referidos a los ejes de ortotropía de la lámina. El real, en el caso de que la lámina tenga unas cargas que permitan la determinación fácil de las tensiones en otras direcciones, se obtiene por simple rotación del tensor, y el admisible está en función de las propiedades resistentes de la lámina en las propias direcciones de ortotropía. En principio sería necesario definir cinco características en el plano de la lámina: Xt = Xc = Yt = Yc = S =

Resistencia longitudinal a tracción. Resistencia longitudinal a compresión. Resistencia transversal a tracción. Resistencia transversal a compresión. Resistencia a cortadura.

En direcciones principales del material, la resistencia a cortadura es única, independientemente del sentido de la solicitación, como se ve en la Fig. III.1, dado que las dos configuraciones en tracción-compresión son idénticas. En cambio, en direcciones no principales no sucede así, dado que la tracción actúa en la configuración (a) de la Fig. III.2 en el sentido de las fibras, y en la (b) en el sentido transversal a las mismas.

46



CAPITULO III

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

Figura III.1.- Solicitación según los ejes principales. (b)

(a)

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

Figura III.2.- Solicitación según los ejes no principales.

Aunque aparentemente los criterios de plastificación para materiales isótropos y los de rotura para ortótropos (que veremos en este capítulo), representan cosas diferentes, pueden verse con un significado común: el fin del comportamiento elástico lineal. Por ello, no debe extrañar que se hayan utilizado en algunos criterios de rotura de materiales ortótropos ideas equivalentes a las usadas para la transición a comportamiento plástico de materiales isótropos dúctiles. No obstante, en la actualidad, y a pesar de que la mayor parte de los criterios se siguen formulando sobre variables macromecánicas, es admitido que éstos han de basarse en los mecanismos de funcionamiento interno del material, por lo que cobra cada vez más importancia el estudio de la micromecánica. 3.2.- DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA RIGIDEZ DE UNA LÁMINA. Las constantes ingenieriles de rigidez se obtienen experimentalmente mediante unos ensayos adecuados. Conviene hacer notar que dichas constantes relacionan magnitudes sin Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

47

CAPITULO III


entidad física inmediata (tensiones y deformaciones), lo que conlleva que los ensayos a realizar correspondan a problemas cuya resolución analítica sea posible, con objeto de que las tensiones y deformaciones puedan ser obtenidas a partir de los datos experimentales (normalmente fuerzas y alargamientos). Tanto para materiales isótropos como ortótropos, el ensayo más extendido para conocer el valor de las constantes es el ensayo de tracción. La razón de ello es doble, por una parte si a una pieza prismática recta de sección transversal arbitraria se la somete a un estado de tracción pura, la solución analítica a dicho problema es conocida, por otro lado la realización experimental de tal ensayo resulta fácil. No obstante, para materiales ortótropos, no basta en general el ensayo de tracción para obtener de forma fiable todas las constantes del material debiéndose acudir a otro de tipo de ensayos que serán objeto de un estudio detallado en el presente capítulo. A modo de ilustración, veamos cómo es posible obtener a partir del ensayo de tracción las constantes E y ν para un material isótropo. Sección transversal

F

Estado tensional : F σ 33 = ; resto σ ij = 0 Ω

Ω

3 L

2 1

Campo de deformaciones : νF νF F ε11 = − ; ε 22 = − ; ε 33 = ; ∀i ≠ j ε ij = 0 EΩ EΩ EΩ Campo de desplazamientos : νF νF F u1 = − x1 ; u 2 = − x 2 ; u3 = x EΩ EΩ EΩ 3

F

(a) Esquema del ensayo de (b) Solución elástica tracción Figura III.3.- Ensayo de tracción y solución análitica para materiales isótropos.

Supongamos una probeta recta de longitud L y sección transversal circular (ya dijimos antes que la sección puede ser arbitraria, la elección de la sección circular se ha adoptado por comodidad a la hora de realizar el ensayo) de área transversal Ω. Si mediante algún dispositivo (una máquina universal de ensayos mecánicos por ejemplo) sometemos la probeta en sus extremos a una tracción de resultante F, la solución tensional en una zona suficientemente alejada de la zona de aplicación de la carga (Principio de Saint-Venant) se ha uniformizado y resulta valer: σ33 = F/Ω, y el resto de las componentes de σij iguales a cero. El tensor de deformaciones puede obtenerse a partir de las ecuaciones constitutivas y por integración de éste obtener el correspondiente campo de desplazamientos (vease Fig. III.3). Si antes de comenzar el ensayo realizamos en el sólido 4 marcas, A y B en el sentido longitudinal y separadas inicialmente L o y C y D en sentido diametral (d o), los incrementos 48



CAPITULO III

de distancia ( ∆L y ∆d) que sufren estos puntos para un incremento de carga dado ( ∆F) son facilmente medibles en el laboratorio. A partir de dichas medidas, se obtienen las constantes buscadas (E y ν), (Fig. III.4). *A

F

B*

D ** 2

C*

F

1 Lo F/ Ω

* *

(F2 ; ∆ L2)

(F1 ; ∆ L1)

do ∆L =

∆d =

∆F L o EΩ

ν ∆ F d EΩ o

∆ L/L o Figura III.4.- Resultados del ensayo de tracción para materiales isótropos.

Conviene hacer notar que el desarrollo realizado hasta ahora está basado en un comportamiento elástico lineal. Por ello, sería también conveniente comprobar que tal comportamiento se produce. Para ello es aconsejable comprobar: a) Al incrementar la carga, el incremento de longitud que sufre la probeta lo hace en la misma proporción. Para realizar dicha comprobación, lo mejor es trazar un gráfico en el que se recojan la carga aplicada y el alargamiento que se origina en la probeta. Tal gráfico deberá ser una línea recta (nótese que si representamos carga unitaria frente a alargamiento unitario, la pendiente de la recta es precisamente el Módulo de Elasticidad del material). b) Al desaparecer la carga, el incremento de longitud sufrido por la probeta deberá ser cero. El problema resulta algo más complejo para materiales ortótropos. Así, para láminas reforzadas en una dirección y con el mismo comportamiento en tracción que en compresión las características que es preciso determinar mediante ensayos son: • • • •

E11 = Módulo de Elasticidad según la dirección 1. E22 = Módulo de Elasticidad según la dirección 2. ν12 = - ε22 (σ11) / ε11 (σ11) con σ11 = σ ; σ22 = σ12 = 0. ν21 = - ε11 (σ22) / ε22 (σ22) con σ22 = σ ; σ11 = σ12 = 0.


49

CAPITULO III


G12 = Módulo de Elasticidad Tangencial o de cortadura en el plano 1-2. Naturalmente de los cuatro primeros valores sólo tres son independientes. •

En toda la determinación de propiedades y descripción de experimentos que sigue, se supone que el comportamiento es lineal, lo cual es razonablemente cierto para fibras de vidrio y carbono y sólo aproximado para compuestos de fibra de boro. En cualquier caso, el comportamiento ante solicitaciones tangenciales es no-lineal y el valor de G 12 será por tanto función de la carga a aplicar. 3.2.1.- Determinación de E 11, E22 y 12. La determinación de estas constantes experimentales se realiza mediante un simple ensayo de tracción haciendo uso de dos laminados unidireccionales, uno con orientación 0º y otro con orientación 90 ° (Fig. III.5). F

F

t b Sección A = b x t

x

F Probeta con orientación 0 º

y

F Probeta con orientación 90º

Figura III. 5 .- Esquema de las probetas objeto de ensayo.

A ambas probetas se les colocan bandas extensométricas. En concreto a la probeta de orientación 0 ° respecto al eje x se le colocan en la parte central dos galgas, una según la dirección x y otra según la dirección y. Ambas galgas permiten medir las deformaciones εx y εy cuando la probeta se somete a tracción. A partir de estas medidas, de la carga aplicada y de la geometría de la probeta, se determina E 11 y ν12. A la probeta cuyas fibras están orientadas 90 ° respecto al eje x se le coloca una banda según la dirección de x. A partir de la lectura de ésta, de la carga aplicada y de las dimensiones de la probeta, se obtiene la otra constante E 22. En efecto, cuando la probeta se somete a una tracción de valor F, el tensor de tensiones solución del problema viene dado por σx = F/A, donde A es la sección transversal de la

50



CAPITULO III

probeta, y el resto de las componentes cero. Usando las ecuaciones constitutivas y las relaciones entre constantes en ejes arbitrarios y en ejes de ortotropía particularizadas para θ=0° llegamos a: εx = σx / E11 ; εy = -( ν12/E11) σx ; γ xy = 0 de donde se deduce: E11 = σx /εx y ν12 = - εy / εx De igual forma se procedería con la orientación de 90 °, obteniendo ahora: E22 = σx /εx Por consiguiente los valores de E 11, ν12 y E22 son: Probeta con orientación 0 °: E11 = ∆F / (A ∆εx) ν12 = - ∆εy / ∆εx Probeta con orientación 90 °: E22 = ∆F / (A ∆εx)

(III.1)

Conviene notar, que la medida de ν12 se efectúa a partir de la probeta de orientación 0 ° y no a partir de la de orientación 90 °. La razón de ello es que la medida sobre la probeta de orientación 90 ° conduce, normalmente, a obtener resultados no satisfactorios como consecuencia de la pequeña deformación transversal, debido a la orientación de la fibra, que en dicha probeta se origina. Tejido Tipo Hueso

Cinta 0º Recta con tacos

Cinta 90º Recta con tacos

Fibra de carbono

Fibra de vidrio


51

CAPITULO III


Figura III.6.- Configuraciones de las probetas para el ensayo de tracción.

Tanto la geometría de las probetas a emplear, el procedimiento o técnica experimental a utilizar, las recomendaciones sobre el ensayo y los resultados a obtener del mismo se recogen en las diversas normas que regulan este ensayo, las cuales son específicas para cada tipo de material y de refuerzo (unidireccional o tejido). En la figura III.6 se muestran distintas configuraciones de las probetas empleadas para estos ensayos. A continuación se recogen algunas de las recomendaciones de la norma ASTM D-3039 que regula los ensayos para los compuestos de fibra de carbono. a) Probetas. a.1.) Geometría. La geometría de las probetas será como la indicada en la Fig. III.7. Los extremos de las mismas se encontrarán reforzados con objeto de que el fallo de la probeta ocurra en una zona alejada de la de aplicación de la carga. El número de probetas a ensayar para obtener una propiedad será no menor a 5. L + 2b

≥

38 mm

b Espesor de probeta d Espesor de refuerzo e ≥

5°

Dimensiones

Orientacion 0°: b = 12.7 mm. y L = 127 mm. Orientacion 90°: b = 25.4 mm. y L = 38.1 mm. Refuerzo de Grafito e = 0.508 ÷ 2.54 mm.

Figura III.7.- Probeta de ensayo según ASTM D-3039.

b) Condiciones de ensayo. b.1) Alineamiento de la carga. Se procurará que la carga actuante sobre la probeta no origine flexión en la misma. Con tal objeto se deberá verificar que tal estado no ocurre, o que no altera sensiblemente los resultados. Para ello, sobre la probeta se colocarán 3 galgas (la galga numerada como 3 es la utilizada como galga de medida) situadas como se muestra en la Fig. III.8.

52



1

3 2

CAPITULO III

2

, 3

1

9.525 mm Figura III.8.- Sistemas de galgas para alineamiento.

Se considerará que el alineamiento es satisfactorio si se verifican las condiciones siguientes : ε + ε2 ε3 − 1 ∗ 100 % ≤ 5% y 2

ε1 − ε2 ∗ 100 % ≤ 5% ε1

(III.2)

donde el subíndice corresponde a la lectura de la galga de igual numeración. b.2) Condiciones standard. Temperatura 23 ± 1 °C , humedad 50 ± 10 % y velocidad de deformación entre 16.7 y 33.4 mm/s . c) Obtención de las constantes elásticas. Las constantes se obtendrán de aplicar las ecuaciones III.1 tomando el incremento de carga y de deformación en la zona en la que el comportamiento es lineal. Para cada serie (de 5 probetas cada serie) se determinarán las magnitudes siguientes: n

∑ Xi

Valor medio X = i =1 n

n

∑ X i2 − n X

Desviación típica s = i =1

2

n −1

Coeficiente de variación η =

(III.3)

100s X

donde X es el valor considerado y n el número de muestras. 3.2.2.- Determinación de G 12. Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

53

CAPITULO III


La determinación de la rigidez a cortadura (G 12) es mucho más complicada de obtener que las otras constantes comentadas ya en el apartado anterior. Podemos decir, que existen dos grandes bloques de métodos para obtenerla. El primero está basado en la obtención indirecta de G 12 a partir de un ensayo de tracción sobre una lámina o laminado con sus fibras orientadas un determinado ángulo con la dirección de la carga. El segundo bloque está basado en la obtención directa de G 12 a partir de conseguir sobre la probeta un estado de deformación tangencial pura y uniforme. Los ensayos más representativos de ambos bloques son los que se muestran en la tabla adjunta.

Métodos indirectos

- Ensayos sobre láminas con fibras orientadas (Off-Axis Tension Test) - Ensayos sobre laminados equiangulares ± 45° - Ensayos de cortadura con raíles (Rail Shear Test)

ENSAYOS PARA DETERMINAR G12

- Ensayo de cortadura sobre probeta con doble muesca ( Iosipescu y Compact)

Métodos directos

- Ensayos de torsión sobre tubos

3.2.2.1- Ensayos sobre láminas con fibras orientadas (Off-Axis Tension Test). Una forma relativamente simple de evaluar G 12 es la de someter una lámina, cuya fibras están orientadas un ángulo θ respecto al eje x, a una carga de tracción (Fig. III.9). F

x 1 y

L

2

Espesor = t F 2h

Figura III.9.- Probeta con fibras orientadas.

54



CAPITULO III

Una galga situada según la dirección del eje x permite obtener el valor de εx y a partir de éste, y del valor de la carga aplicada, es posible obtener E x (tal razonamiento fue ya empleado en el apartado anterior). σx = F = Ex εx Α

Ex = F A εx

⇒

(III.4)

donde A (A=2h x t) es el área de la sección transversal de la probeta. Conocido el valor de Ex y habiéndose realizado previamente un ensayo para determinar E 11, E22 y ν12 (ASTM D3039), podemos determinar el valor de G 12 de forma indirecta a partir de las ecuaciones desarrolladas en el Capítulo anterior. G12 =

cos2θ sen2θ

(III.5)

1 cos4θ - 1 − 2ν12 cos2θ sen2θ + 1 sen4θ E11 Ex E11 E22

También se puede colocar una roseta en el centro de la probeta, determinar γ 12 a partir de las medidas obtenidas y calcular el valor de G 12 como: G12 =

σ12 γ 12

;

F A

σ12 = − sen θ cos θ

(III.6)

Este último procedimiento resulta más conveniente puesto que aportaría un valor de G independiente del resto de propiedades.

12

No obstante, la realización del ensayo en cuestión presenta algunos serios problemas derivados del acoplamiento entre tensiones normales y deformaciones tangenciales. En efecto, si sometemos la probeta de la Fig. III.10.a a tracción, se origina, como consecuencia de que la carga no actúa en las direcciones de ortotropía, una deformación tangencial.

(a)

(b)

(c)

Figura III.10.- Deformada de la probeta.


55

CAPITULO III


El diseño de mordazas que permitan tal deformación tangencial no es fácil, y las máquinas de ensayos standard imponen restricciones a que tal deformación se produzca. En este caso se deben desarrollar en los extremos de la probeta un esfuerzo cortante y un momento flector con objeto de anular la deformación tangencial (Fig. III.10.b). Ello, origina que el cuerpo se deforme de acuerdo a la Fig. III.10.b y que en él se genere un complejo estado tensional no uniforme cuya solución analítica no es conocida. Ello hace, que el procedimiento anteriormente descrito para calcular G 12 no sea de aplicación directa. Para solventar estos problemas, se han planteado dos líneas de actuación, una consistente en tratar de modificar la configuración del ensayo para obtener una respuesta aproximada a la de la configuración ideal (Fig. III.10.a), y otra consistente en mantener la configuración simple del ensayo (probeta rectangular de tamaño moderado (relación L/2h < 10), y mordazas convencionales) y corregir los resultados directos del mismo. En la primera línea se han planteado gran cantidad de propuestas, desde la más simple consistente en utilizar probetas muy esbeltas (relación L/2h > 14, Chamis y Sinclair) donde los efectos de la acción de las mordazas en los extremos se ven atenuados en el centro del especimen (zona de medida), hasta configuraciones especiales de mordazas que tratan de permitir el giro de los extremos (Pindera y Herakovich), o el empleo de refuerzos ("tabs") especiales para la sujeción de las probetas (C.T. Sun). La segunda de las líneas, corrección de los resultados del ensayo, parte del trabajo de Pagano y Halpin (68), los cuales obtuvieron la solución analítica a un problema con condiciones de contorno simplificadas para la línea central de la probeta (Fig. III.10.c). En este caso, la solución de tensiones viene dada por: σ x = C2 σ xy = −C o h

2

(III.7)

σy = 0

donde: Co =

6S16 εo Co (6S66 h2 + S11 L2 ) 2 2 2 ; C2 = 6S16 6h (S11 S66 − S16 ) + S11 L 2

(III.8)

donde εo es la deformación media εx de la línea central, L es la longitud de la probeta y h es la mitad del ancho de la misma. Las tensiones σx y σxy pueden relacionarse usando las ecuaciones III.7 y 8 . σ xy = βσ x

6S16 h2 ; β= 2 6h S66 + S11 L2

(III.9)

la relación entre la tensión media σ x ( σ x = F/2ht , siendo t el espesor de la probeta) y σx puede ser expresada sabiendo que F es la resultante de tensiones σx: h 2 S16 2 F = t ∫ − h σ x (L2 ,y)dy = 2thC2 − hC  3S11 o 

56


(III.10)


CAPITULO III

y la relación es: 6S162 h2 σx = ; η= 2 2 2 6h S66 S11 + S11 L2 1− η 3 σx

(III.11)

Usando ahora las fórmulas de transformación al sistema de ortotropía, la tensión tangencial σ12 puede ser expresada en función de σ x : σx

sen θ cos θ − β(cos2 θ − sen 2 θ)) ( 2 1− η

σ12 = −

(III.12)

3

En la práctica se ha seguido la costumbre de ignorar la tensión tangencial σxy producida por las restricciones de los extremos de la probeta, y se ha venido usando σ x por σx , en este caso, la tensión σ12* aparente viene dada por la expresión III.13, que es la misma que la de la Ec. III.6: (en la Fig. III.11 se muestra el estado tensional en los ejes de ortotropía con o sin la inclusión de σxy). * σ12 = −σx sen θ cos θ

(III.13)

σ22

(a)

σ12

σ xy

σx

*

σ 22

* σ12

(b)

σx

Figura III.11.- Efectos de las restricciones de desplazamientos sobre el campo de tensiones. a) Con inclusión de restricciones en desplazamientos; b) Idem sin inclusión.

La relación entre la tensión dada por la solución análitica del problema aproximado y la aparente ( σ12* ) viene dada, del uso de las ecuaciones anteriores, por: * σ12

cos2 θ − sen 2 θ 1 − β  σ12 = − 2  θ θ  sen cos 1− η 3


(III.14)

57

CAPITULO III


Pindera y Herakovich utilizaron la anterior relación para obtener una expresión de corrección del valor aparente G 12*. Relacionando el módulo de cortadura (G 12) con la tensión tangencial (G12 = σ12 / γ 12 ), la relación entre los módulos de cortadura del problema aproximado (G 12) y aparente (G12* = σ12* / γ 12) vendrá dado por: G12* cos 2 θ − sen2 θ   G12 = − 1− β 2  θ θ  sen cos 1− η 3

(III.15)

Es preciso remarcar que el valor corregido que se obtiene de esta expresión será un valor aproximado de G 12, ya que proviene de la solución analítica de un problema aproximado. Esta solución resulta una buena aproximación del problema empotrado para relaciones de aspecto L/2h > 6, como se puede observar en la Fig. III.12, donde se representa la evolución de la relación σ12/σ12* frente al ratio L/2h para los problemas ideal, aproximado (Pagano y Halpin), y empotrado (solución numérica). Asi mismo, conviene hacer notar que los parámetros η y β que aparecen en el factor de corrección dependen de las propiedades del material, incluida G 12, por lo que es preciso un análisis iterativo para su correcto uso. 1.2

1.0

0.8

0.6 12

/

2 1

/* 2

12

*

1

0.4

Pagano y Halpin Empotrado Ideal

0.2

0.0 0

2

4

6

8

10

Ratio (L/2h)

Figura III.12.- Comparación de los estados tensionales de los distintos problemas en función del ratio del especimen.

Como se ha comentado anteriormente, el método de corrección propuesto por Pindera y Herakovich se basa en la solución de un problema aproximado al empotrado, por lo que un método de corrección más ajustado se podría obtener si dispusiéramos de la solución del problema empotrado. Siguiendo esta idea, Cañas y otros han usado el método de los Elementos Finitos para obtener la solución de tensiones en una probeta de dimensiones conocidas con condiciones de desplazamientos prescritos en los extremos. Se ha podido comprobar numéricamente, que la tensión tangencial σ12 se ve muy poco afectada al variar

58



CAPITULO III

las constantes E 11, E22 y ν12 viéndose solamente afectada por la relación L/2h, la orientación de las fibras y el valor de G 12. No obstante, la corrección es válida si en la realización del ensayo se dan las condiciones de empotramiento consideradas. Los resultados numéricos obtenidos, permiten la obtención de curvas como la mostrada en la Fig. III.13 para una relación L/2h = 10. En concreto, la curva mostrada resulta válida para aquellos materiales cuyas constantes estén comprendidas entre los siguientes valores: 100 GPa < E 11 < 160 GPa 5 GPa < E22 < 12 GPa 0.2 < ν12 < 0.4 La forma de usar la curva se describe a continuación. Del ensayo se determina a partir de las lecturas de las galgas γ 12 y εo, y a partir de la carga, σ x . Conocidos estos valores se calcula G12* y el cociente γ 12/εo . Con dicho cociente se entra en el gráfico apropiado (orientación θ y ratio L/2h) y se determina el valor de G 12/G12*, lo que permite una vez conocido G 12* determinar G12. 1.5

ENSAYO OFF-AXIS TENSION 1.25

θ θ θ θ

1

* 2 1 G / 2 1 G

0.75

= 45° = 30° = 15° = 10°

0.5

θ = 5°

.

0.25

0 0

0.9

1.8

2.7

3.6

4.5

γ 12 / ε o

Figura III.13.- Gráfica para determinar G12 en una probeta de relación L/2h=10.

3.2.2 2.- Ensayos sobre laminados equiangulares ± 45. Una manera de paliar los inconvenientes esbozados en el apartado anterior es utilizar un laminado simétrico equiangular cuyas láminas están orientadas a ±45 °. Dicho laminado está formado por láminas de las mismas características y espesor pero con orientación cambiada de signo respecto al plano medio. Con esta disposición se consigue que los efectos derivados de la deformación angular se cancelen entre sí. En la Fig. III.14 se muestra tal efecto.


59

CAPITULO III


F

F

F

F

F

F

Figura III.14.- Deformación de un laminado equiangular.

En este caso, G 12 puede ser evaluado directamente a partir de la medida tomada de dos galgas situadas ortogonalmente entre sí, y orientadas de forma que una siga la dirección de la carga (eje x). A partir de estas dos medidas, la deformación angular γ 12 puede ser obtenida mediante las ecuaciones de trasformación del sistema x-y al sistema 1-2: γ 12 = εx - εy

(III.16)

Por otro lado, la carga aplicada provocará una tensión normal de valor σx = F/A donde A es el área transversal del laminado, siendo cero el resto de las componentes del tensor. El paso de este tensor al sistema de ortotropía permite obtener el valor de σ12 ( σ12 = F/2A). Conocido σ12 y γ 12, la ley constitutiva en el sistema ortótropo nos da directamente el valor de G12: G12 = σ12 γ 12

(ΙΙΙ.17)

Aunque los ejes 1 y 2 son diferentes en cada lámina las fórmulas anteriores son válidas para ambas. En cualquier caso se trata de un laminado cuyo estado tensional se analizará en el Capítulo correspondiente a la Teoría general de laminados. El ensayo en cuestión viene recogido en la norma ASTM D-3518. Las condiciones generales de dicho ensayo son las mismas que las descritas en la norma ASTM-D-3039 y que fueron ya comentadas en el apartado 3.2.1. 3.2.2.3.- Ensayo de cortadura con railes (Rail Shear Test). Es quizás este ensayo el más extendido para evaluar el módulo de cortadura G 12. A grandes rasgos, el método consiste en someter una lámina o un laminado unidirecional (normalmente θ=90°) a un estado de deformación tangencial pura en la línea central de la probeta. Ello se intenta conseguir mediante el desplazamiento relativo de dos raíles que se encuentran solidarios con la probeta. En el centro de la probeta se sitúan dos galgas que forman ±45° con las fibras. A partir de las medidas de las galgas, cuando el conjunto se 60



CAPITULO III

somete a tracción o compresión, se puede evaluar G 12. En la Fig. III.15 se esquematiza el ensayo en cuestión. Si admitimos que el centro de la probeta está sometido a tensión tangencial pura el tensor de tensiones en dicha cara vendrá dado por: σx = σy = 0

σxy = F/Ld

(III.18)

siendo d el espesor de la probeta. Conviene hacer notar no obstante, que tal estado de deformación tangencial pura no se produce, como puede deducirse facilmente del equilibrio de la probeta. Resultados experimentales obtenidos por Whitney han puesto de manifiesto que a pesar de la falta de uniformidad del estado tensional, los resultados son satisfactorios para relaciones L/b superiores a 10, donde b es la distancia entre los raíles. La medida de las galgas situadas a ±45 ° respecto al eje x se puede expresar en función de las componentes del tensor de tensiones : ε±45º = g

1 2

±1

2

εx γ xy

2

γ xy

2 εy

1 2 ± 1 2

=

εx + εy ± γ xy

2

(III.18)

Galgas

L

b

Figura III.15.- Esquema del dispositivo de ensayo.

Así, γ xy en función de las lecturas de las galgas vendrá dada por: γ xy = ε+g 45 - ε-g 45


(III.19) 61

CAPITULO III


Particularizando las ecuaciones de transformación de los tensores de tensión y deformación en ejes 1, 2 y en ejes x, y para θ=90° o θ=0° llegamos a que G 12 viene dado por (ya que σ12 = σxy y γ 12 = γ xy): G 12 =

F Ld γ xy

(III.20)

El ensayo en cuestión, está regulado por la norma ASTM D-4255. En ella se detallan las dimensiones de los raíles así como de la probeta objeto del ensayo. También establece (de manera análoga a la norma ASTM-D-3039) las condiciones bajo las que se realiza el ensayo y los resultados a obtener del mismo. 3.2.2.4.- Ensayo de cortadura sobre probetas con doble muesca. El objetivo de este ensayo es idéntico al del ensayo anterior, es decir, conseguir en una sección de una probeta un estado de tensión tangencial pura y uniforme. A partir de este estado, las medidas de dos galgas orientadas a ±45 ° y situadas en el punto central de la sección, nos darán la deformación tangencial. Relacionando ésta con la tensión tangencial media, se obtendrá el módulo de cortadura. La probeta más extendida para la realización de este ensayo es la probeta Iosipescu (Fig. III.16.a). La sección central de la probeta es la que se desea que esté a tensión tangencial pura y uniforme. Para ello la probeta se somete a ensayo mediante el dispositivo esquematizado en la Fig. III.16.b, dicho ensayo se encuentra regulado por la norma ASTM D-5379. El objeto de la doble muesca que se mecaniza en la probeta es el de concretar la zona de interés favoreciendo distribución uniforme de tensiones tangenciales y que la rotura se produzca en esa zona. La sección AB se encuentra solicitada sólo a esfuerzo cortante, admitiendo que el estado de tensiones tangenciales que origina dicho esfuerzo cortante es uniforme, dos galgas situadas en un punto medio de la sección de interés y orientadas ±45 ° respecto al eje x (galgas 1 y 3) nos darán directamente la deformación tangencial γ xy (al igual que ocurría con el ensayo anterior). Para probetas con orientación de fibras de 0 ° o 90°, se identifica G xy con G12. Sin embargo, el estado de tensión tangencial uniforme no se produce exactamente y el valor de G12 calculado es un valor aparente. G*12 = τmed/ γ o

(III.21)

donde τmed = F/A y γ o = ε1-ε3, F es la fuerza aplicada y A el área de la sección de interés.

62



Orientación 0°

(a)

A

CAPITULO III

R= 0.05"

ε1 ε2 ε3

0.45"

x

0.75"

90 ° B

Orientación 90 °

3"

F

(b)

Figura III.16.- (a) Probeta Iosipescu. (b) Dispositivo de ensayo.

Varios investigadores han utilizado técnicas numéricas y experimentales con objeto de evaluar la zona de tensión tangencial uniforme. Las conclusiones conclusiones de tales investigaciones investigaciones son que dicha zona es pequeña y su tamaño depende de la orientación de las fibras, del perfecto alineamiento alineamiento de la carga y del radio de la muesca.

d e m U A T / y x U A T

1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -1

Orientación 0° Orientación 90°

Secuencia (0/90)s

.

PROBETA IOSIPESCU -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y/ymax Figura III.17.- Tensión tangencial normalizada a lo largo de la zona zona central de la probeta para diferentes orientaciones.


63

CAPITULO III


En concreto, Pintado y otros han utilizado la técnica de Elementos Finitos con objeto de evaluar la distribución de tensiones en la zona central de la probeta poniéndose de manifiesto que para determinadas orientaciones es necesario emplear un factor de corrección para calcular G 12, dado que en el punto central la tensión tangencial difiere notoriamente del valor medio empleado para evaluar el módulo de cortadura. En la Fig. III.17 se muestra la distribución de tensión tangencial a lo largo de la línea central obtenida para diferentes orientaciones de fibras. Además, para determinadas orientaciones, aparecen otras componentes del tensor de tensiones ( σx y σy) que alteran la forma de cálculo del G 12. La zona transversal de uniformidad resulta también de interés dado el carácter finito de la galga extensométrica. extensométrica. Dicha zona también está fuertemente fuertemente afectada por la orientación de las fibras tal como se muestra en la Fig. III.18. Otro inconveniente del ensayo en cuestión es la repetibilidad del mismo.

Figura III.18.- Resultados numéricos de la probeta de Iosipescu. Tensión tangencial.

Recientemente, Ifju y Post han propuesto otro tipo de probeta que denominan CompactDouble-Notched (CDN) para la determinación del Módulo de Cortadura. En la Fig. III.19 se muestran las dimensiones de la probeta, el dispositivo de carga y las acciones que el dispositivo hace sobre la probeta. A priori, la probeta en cuestión presenta claras ventajas frente a la probeta Iosipescu: 

 

64

Dimensiones más pequeñas. Ello permite la extracción de probetas incluso de elementos curvos ya que el efecto de la curvatura será muy pequeño. Mas fácil de mecanizar ya que no precisa el radio de acuerdo de la probeta Iosipescu. El dispositivo de ensayo es más simple y los experimentos son más repetitivos.



ANGULO DE FIBRAS 90º

0.25"

CAPITULO III

R=0.125"

y x

1.5"

0.75"

ANGULO DE FIBRAS 0º 0.25" 0.75" PROB PROBET ETA A COMP COMPAC ACT T DOUB DOUBLE LE NOTC NOTCHE HE

D. DIMEN DIMENSI SION ONES ES

F

0.625"

grapa de sujeción tornillo de fijación

F

1/4 F

1/4 F tornillo de fijación 1.25 "

1/4 F 1/4 F

grapa de sujeción

F

CARGAS SOBRE LA PROBETA

F ESQUEMA DEL SISTEMA DE CARGA EMPLEADO

Figura III.19.- Ensayo Compact-Double Notched.

Los primeros ensayos para comprobar la eficacia de la probeta se realizaron experimentalmente por Post usando interferometría moiré para una configuración dada. Los resultados pusieron de manifiesto que la zona de tensión uniforme es mayor que en la probeta Iosipescu y que por tanto la obtención de G 12 a partir de la tensión tangencial media podría resultar menos inexacta. En la Fig. III.20 se muestra una comparación entre la deformación tangencial normalizada a lo largo de la línea central para la probeta Iosipescu y la CDN para una determinada configuración.


65

CAPITULO III


Figura III.20.- Comparación losipescu-CDN.

Cañas y otros han realizado un estudio númerico de la probeta CDN y han puesto de manifiesto que la uniformidad de tensiones está también fuertemente influenciada por la orientación de las fibras. En la Fig. III.21 se muestra la tensión tangencial, normalizada con la tensión media, media, a lo largo de la línea central para diferentes diferentes orientaciones, orientaciones, y en la Fig. III.22 se muestra el mapa de tensión tangencial σ12 observándose la zona de tensión uniforme. Los resultados obtenidos ponen de nuevo de manifiesto la mejora sensible que se consigue usando la probeta CDN frente a la losipescu. 1.4

1.2

τxy / τ

Orientación 90º

1

0.8

Orientación Orientación 0º Secuencia (0/90)s 0.6

0.4

P ROBET ROBETA A COMPAC COMPACTT-DOUBLE DOUBLE NOTCHED NOTCHED

0.2

0 -1

- 0.8

- 0.6

- 0.4

- 0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y / ymax

Figura III.21.- Tensión tangencial normalizada a lo largo de la zona central para diferentes orientaciones.

66



CAPITULO III

Figura III.22.- Resultados numéricos de la probeta CDN.Tensión tangencial.

Sin embargo, mientras que en la probeta losipescu es la zona central la más solicitada y en consecuencia es por ella donde se produce el fallo de la probeta para valores elevados de la carga, en la probeta CDN la zona más solicitada esta fuera de esta línea central. En consecuencia, la probeta CDN no resulta adecuada para estimar la resistencia a cortadura ni en consecuencia para determinar el valor de G 12 para valores elevados de deformación. 3.2.2.5.- Ensayo de torsión sobre tubos. Es este ensayo, sin duda, el que a priori podríamos considerar el mejor para evaluar G 12. La razón de ello, es que cuando un tubo se somete a torsión, aparece un estado de tensión tangencial pura. Relacionando éste con la deformación tangencial que se origina podemos obtener directamente, si las fibras se orientan en la dirección del eje del tubo, el módulo de cortadura G12. El hecho de que tal ensayo no esté muy difundido se debe fundamentalmente a dos razones. La primera es de tipo económico dado que la fabricación del tubo en material compuesto es cara. La otra razón fundamental va asociada a la dificultad de realizar el ensayo. Así es preciso garantizar que sólo se aplica un torsor por lo que el tubo debe ser montado centrado respecto a su eje y libre para moverse axialmente, de tal forma que no se generan axiles ni flectores. Adicionalmente es necesario prevenir roturas por la zona de sujeción y por pandeo (asociado a la compresión a 45 o que genera la tensión tangencial pura). Esto último puede


67

CAPITULO III


conseguirse aumentando el espesor del tubo pero esta medida está limitada por la consecución de un estado tensional uniforme en el espesor.

x

σxy = Torsor / ( 2 π r 2 t) σx = σy = 0

Si las fibras se orientan según x σ12 = σxy ; G12 = σ12 / γ 12 Figura III.23.- Ensayo sobre tubos de radio r y espesor t.

3.3.- DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LA RESISTENCIA DE UNA LÁMINA. En este caso, las características de resistencia a determinar son:

fibras.

Xt == Resistencia a la tracción en la dirección de las fibras. Xc == Resistencia a la compresión en la dirección de las fibras. Yt == Resistencia a la tracción en la dirección transversal a las fibras. Yc == Resistencia a la compresión en la dirección transversal a las S == Resistencia a cortadura.

3.3.1.- Resistencias a la tracción en las dos direcciones de ortotropía de la lámina. A) Según la dirección de la fibra (dirección 1). En este caso la relación σ−ε en la dirección de la fibra es prácticamente lineal, dado que es la fibra la que aporta la mayor resistencia. El ensayo a realizar para determinar el valor de Xt es un simple ensayo de tracción (Fig. III.24) similar al usado para determinar las características de rigidez E 11 y ν12. σ

11 P

x σ11

E

11

=X ult

P

ε

11

Figura III.24.- Ensayo de tracción según la dirección de la fibra.

68



CAPITULO III

La resistencia se determinará dividiendo la carga máxima por el área de la sección transversal de la probeta (X t = Pult / A). En la figura III.25 se pueden observar las roturas producidas en los ensayos de un compuesto de fibra de vidrio-poliéster (a) constituido por láminas de MAT (fibras dispuestas de manera aleatoria), y de un compuesto unidireccional de fibra de carbono-epoxy (b).

(a)

(b)

Figura III.25.- Vista de las roturas producidas en los ensayos: (a) Probeta de fibra de vidrio-poliéster, (b) Probeta de fibra de carbono-epoxy.

La rotura puede ir precedida de diferentes fallos internos en el material como son la rotura de fibras, la microfisuración de la matriz y la separación de las fibras de la matriz. En el caso de que la probeta esté formada por diferentes láminas (con las fibras igualmente orientadas) se puede producir también delaminación entre las láminas. Cuando la carga es del orden del 50% de la final de rotura ya comienzan a romperse fibras. Estas roturas provocan concentraciones de tensión que pueden conducir a despegues de fibra y matriz en la sección de rotura. También puede suceder que pequeñas grietas producidas en diferentes secciones transversales coalezcan produciéndose para ello despegue generalizado de fibras y/o fallo por cortadura de la matriz. Por consiguiente los tipos de rotura de un laminado unidireccional a tracción pueden agruparse en tres: 





rotura frágil en una sección, siendo el mecanismo fundamental la rotura de las fibras en esa sección. Aparece una superficie de rotura limpia no apreciándose claramente la existencia de los dos componentes. rotura frágil en una sección pero acompañada de arranque y/o despegue de fibras. En este caso la superficie de rotura no es limpia y aparecen extremos de fibra emergiendo de dicha superficie de rotura. rotura frágil en diferentes secciones transversales con despegue de fibras y/o fallo por cortadura de la matriz.


69

CAPITULO III


Aunque es usual asociar la presencia de estos fallos a un incremento de la proporción de fibras (en el orden en que se han enumerado), no es menos cierto que pueden aparecer en probetas idénticas tipos de fallos distintos. Ello es debido a la falta de homogeneidad del material y al hecho de que la presencia de defectos unida a la influencia de la aplicación de la carga (pequeñas excentricidades) pueden condicionar fuertemente el modo de fallo. B) Según la dirección transversal a las fibras (dirección 2). En este caso, el fenómeno es más complicado estando la resistencia transversal gobernada por muchos factores que incluyen las propiedades aisladas de la fibra y de la matriz, la resistencia de la unión de la interfase, la presencia y distribución de huecos, la distribución interna de esfuerzos y deformaciones debida a la interacción entre las fibras, etc. De cualquier forma, puede casi con generalidad establecerse que la resistencia transversal (sobre todo en tracción) del conjunto es inferior a la de la matriz, de forma que las fibras crean un efecto negativo sobre el conjunto. El que la matriz juegue un papel importante, en la resistencia del conjunto frente a solicitaciones transversales a las fibras, justifica que aparezca alguna zona no-lineal en el diagrama σ−ε, pero ésta está próxima a la rotura. El mecanismo de fallo en este ensayo se produce por rotura por tracción de la matriz y/o por despegue de los constituyentes si la interfase entre fibra y matriz no es muy fuerte. Solo en el caso de comportamiento fuertemente ortótropo de la fibra podría producirse rotura de la misma separándose longitudinalmente. La determinación de la resistencia (Y t) se realiza también mediante un ensayo de tracción (Fig. III.26). σ

22 P

x σ22

E

22

=Y ult

P

ε

22

Figura III.26.- Ensayo de tracción segun la dirección normal a las fibras.

3.3.2.- Resistencias a compresión en las dos direcciones de ortotropía de la lámina. La complejidad de la estructura interna del material compuesto se hace patente en la diferencia existente entre los valores de las resistencias a tracción y a compresión. Este hecho hace que sea necesario la realización de ensayos de compresión para la determinación de estas características.

70



CAPITULO III

En los ensayos de compresión, tanto los dispositivos de ensayo (figura III.27.a), como la geometría de las probetas (figura III.27.b), están diseñados para evitar los fenómenos de pandeo global del espécimen, que constituye el problema fundamental a la hora de llevar a cabo estos ensayos. Como se observa en la figura III.27.a, la probeta se dispone entre unas guías que evitan la flexión del espécimen fuera de su plano. Así mismo, las pequeñas dimensiones de las probetas, junto con los refuerzos laterales que se adhieren a éstas (figura III.27.b) contribuyen a la reducción de la esbeltez de la zona efectiva de ensayo del espécimen.

12.5±0.2 mm 80 ±0.1 mm

(a)

(b)

Figura III.27.- Configuración de los ensayos de compresión: (a) dispositivo de ensayo, (b) configuración de las probetas.

Cuando la dirección de las fibras coincide con la dirección longitudinal de la probeta la tensión última soportada por el espécimen nos dará el valor de la resistencia a compresión en la dirección de las fibras X c, mientras que disponiendo las fibras en la dirección transversal del espécimen se obtendría el valor de la resistencia a compresión en la dirección transversal a las fibras Y c. Es de observar, que habitualmente los valores de X c son sensiblemente inferiores a los de X t (por ejemplo, para el grafito-epoxy (AS4/8552) X c = 1300 MPa y Xt = 1800 MPa). Este hecho es debido a los fenómenos de inestabilidad local de las fibras a nivel micromecánico, que aparecen durante el ensayo de compresión en la dirección de las fibras. Por el contrario, en la dirección transversal a las fibras los valores de la resistencia a compresión Yc resultan superiores a la resistencia a tracción Y t, posiblemente porque los efectos (presencia de: interfase fibra-matriz, defectos, huecos) que debilitaban la resistencia del conjunto frente a la de la matriz ante la solicitación de tracción, quedan aminorados en su influencia ante la solicitación de compresión.


71

CAPITULO III


3.3.3.- Resistencia a cortadura de la lámina. La suposición del comportamiento lineal que resulta una buena aproximación para cargas normales, no resulta adecuada para solicitaciones tangenciales. La razón de ello es que la propagación de las grietas que conducen a la rotura se puede producir a través exclusivamente de la matriz sin afectar o romper a las fibras que presentan una mayor resistencia a que las fisuras se propaguen a través de ellas. Por consiguiente la curva τ − γ estará basada fundamentalmente en las propiedades de la resina que es un material con comportamiento (no lineal). En cualquier caso, la resistencia a cortadura depende de la concentración de tensiones que sobre la matriz introduce la existencia de fibras y huecos. Esta concentración de tensiones aumenta con el volumen de fibras subiendo lentamente entre 0 y 60 % y muy rápidamente para volúmenes de fibras superiores. Puede por tanto darse el caso de que un material compuesto con fibras en una dirección tenga una resistencia a cortadura inferior a la resistencia de la propia matriz. El mecanismo de fallo en este caso se produce por rotura o cortadura de la matriz y/o despegue de los elementos constituyentes. Los ensayos para determinar la resistencia a cortadura son similares a los usados para evaluar G12, presentando las mismas ventajas e inconvenientes. Hoy por hoy el que está gozando de mayor aceptación es el ensayo sobre probeta Iosipescu que ya fue comentado en el apartado anterior. 3.4.- CRITERIOS DE RESISTENCIA BIAXIAL DE UNA LÁMINA. Normalmente, las láminas de materiales compuestos estarán sometidas a solicitaciones exteriores que provocarán estados tensionales cuya determinación no necesariamente ha de hacerse en los ejes principales del material. También puede ocurrir que las cargas actuantes sobre la lámina provoquen estados no uniaxiales de tensión. En ambos casos, será necesario definir un criterio que relacione el estado actual de tensiones con uno admisible. Este estado admisible representa a la vez el fin del comportamiento elástico lineal y la rotura. En el primer aspecto no se diferencia de los criterios de plastificación de materiales isótropos, por lo que algunas de las ideas usadas para ellos también se han extrapolado para materiales ortótropos. En el segundo de los aspectos mencionados (la rotura) si existe una notable diferencia, ya que los mecanismos de fallo en materiales compuestos son más complejos y diversos que en los materiales convencionales, debido a la complejidad de la estructura interna del material (no homogeneidad). En esta línea también se han propuesto criterios, los cuales se basan en los mecanismos de fallo característicos de los materiales compuestos. Entre los que podemos situar dentro de la primera línea apuntada, y que podemos calificar como clásicos, vamos a considerar los siguientes: - Teoría de la máxima tensión - Teoría de la máxima deformación - Criterio de Tsai-Hill - Criterio de Tsai-Wu 72



CAPITULO III

En cuanto a la segunda línea mencionada, podemos destacar los criterios de Hashin, los cuales se pueden considerar como precursores de esta tendencia seguida por diversos autores actualmente (Puck, Knops, Kroll). 3.4.1.- Teoría de la máxima tensión. Es el equivalente al criterio de Rankine para el comienzo de la plastificación en materiales isótropos. Predice que la fractura no se producirá si: σ11 < Xt σ 22 < Yt

(σ11 > 0) (σ 22 > 0)

(III.22)

σ12 < S

para estados de tracción y: σ11 < X c σ 22 < Yc

(σ11 < 0) (σ 22 < 0)

(III.23)

para estados de compresión. Tal y como se ha explicado anteriormente, el sentido de σ12 es inmaterial. Si alguna de las desigualdades anteriores no se cumpliera, el material se habría fracturado de acuerdo al mecanismo asociado a la ecuación que no se ha cumplido, no habiendo, de acuerdo a este criterio, ningún tipo de interacción entre los distintos mecanismos de fallo. Tal y como se ha indicado anteriormente lo habitual es que la solicitación no permita directamente el cálculo del estado de tensiones en el sistema principal del material. Por ello, y para tener una idea aproximada de la validez del criterio consideraremos la solicitación de tracción indicada en la Fig. III.28 y comparando los resultados experimentales obtenidos y los que se predicen mediante el uso del criterio expresado en un sistema no principal para el estado de carga de la Fig. (solo existe σx), Ecs. III.24. Xt cos2 θ Yt σx < sen2 θ σx <

σx <

ó ó

Xc cos2 θ Yc σx < sen2 θ σx <

S sen θ cos θ

(III.24)

En la Fig. III.28. se representan estos resultados para un compuesto de fibra de vidrio-epoxy junto a los encontrados experimentalmente, tanto para tracción como para compresión.


73

CAPITULO III


X / cos2θ

σx

σx θ

150 100 70

θ

1

σx

ksi 2

40

S / sen θ cos θ

20

Yc / sen2 θ COMPRESSION COMPRESIÓN

10 7

TRACCIÓN TENSION

Yt / sen2 θ

4 0 15 30 45 60 75 90

σx

θ

Figura III.28.- Comparación de resultados experimentales con los resultados predichos por el Criterio de la Máxima Tensión (R.M. Jones).

Las características del material empleado para los ensayos son: Xt = Xc = 150 ksi ; Y t = 4 ksi ; Yc = 20 ksi ; S = 6 ksi El criterio se reduce a cuatro curvas, siendo la que gobierna el criterio aquella que para cada valor de θ conduce al menor valor de σx. Estas cuatro curvas producen unas cúspides en sus intersecciones, a las cuales no se adaptan bien los resultados predichos con los experimentales. 3.4.2.- Teoría de la máxima deformación. Es el criterio equivalente al de Saint-Venant para materiales isótropos. Se producirá el fallo del material si no se satisface alguna de las siguientes desigualdades: ε11 < Xεt ε 22 < Yεt

(ε11 > 0) (ε 22 > 0)

(III.25)

γ 12 < Sε

para estados de tracción y:

ε11 < X εc ε 22 < Yεc

(ε11 < 0) (ε 22 < 0)

(III.26)

para estados de compresión, donde: Xεt (Xεc) = dirección 1.

74

Máxima deformación normal de tracción (de compresión) admisible en la



Yεt (Yεc) = dirección 2. Sε =

CAPITULO III

Máxima deformación normal de tracción (de compresión) admisible en la

Máxima deformación tangencial admisible.

Cοmo se puede observar en III.25 γ 12 aparece en valor absoluto, ya que al igual que σ12 no se ve afectada por el signo. Para la misma situación del criterio anterior, lámina traccionada con las fibras en una dirección arbitraria, el criterio se podría expresar en función de las tensiones usando la relación σ-ε (Ecs. III.27): ε11 = (σ11 - ν12 σ22 ) / E11 ε22 = (σ22 - ν21 σ11 ) / E22 γ 12 = σ12 / G12

(III.27)

Expresando ahora el tensor de tensiones en ejes arbitrarios, la relación anterior se transforma en: ε11 = (cos2 θ - ν12 sen2 θ ) σx / E11 ε22 = (sen2 θ - ν21 cos2 θ ) σx / E22 γ 12 = -(sen θ cos θ) σx / G12

(III.28)

Con un comportamiento elástico lineal: Xεt = Xt / E11 ; Yεt = Yt / E22 ; Sε = S / G12 Xεc = Xc / E11 ; Yεc = Yc / E22

(III.29)

por tanto las limitaciones quedarían como: σx <

Xt

cos2 θ − ν12 sen 2 θ Yt σx < 2 sen θ − ν 21 cos2 θ σx <

ó ó S sen θ cos θ

σx <

Xc

cos2 θ − ν12 sen 2 θ Yc σx < 2 sen θ − ν 21 cos2 θ (III.30)

Con respecto al criterio anterior, la única diferencia es la inclusión del coeficiente de Poisson en las expresiones. En la Fig. III.29 se presentan los resultados obtenidos para el mismo material (fibra de vidrio-epoxy) apareciendo las mismas discrepancias, pero más pronunciadas.


75

CAPITULO III


σx θ

150 100 70 40 σx 20

ksi

COMPRESIÓN COMPRESSION

10 7

TRACCIÓN TENSION

4 0 15 30 45 60 75 90 θ

Figura III.29.- Comparación de resultados experimentales con los resultados predichos por el Criterio de la Máxima Deformación (R.M. Jones).

3.4.3.- Criterio de Tsai-Hill. Este criterio está basado en el criterio de plastificación de Hill para materiales anisótropos que a su vez es una extensión del criterio de Von-Mises para isótropos. Sin embargo, dado que no es posible en materiales ortótropos (y por supuesto en anisótropos), separar la dilatación de la distorsión, este criterio de Tsai-Hill no puede llamarse de la energía de distorsión. El criterio de Hill para materiales anisótropos es: (G + H) σ112 + (F + H) σ222 + (F + G) σ332 - 2Hσ11σ22 - 2Gσ11σ33 - 2Fσ22σ33 + 2Lσ232 + 2Mσ132 + 2Nσ122 = 1

(III.31)

donde las constantes están asociadas al final del comportamiento elástico lineal y comienzo del comportamiento plástico. Para una lámina ( σ33 = σ13 = σ23 = 0) el criterio quedaría: (G + H) σ112 + (F + H) σ222 - 2H σ11σ22 + 2N σ122 = 1

(III.32)

donde las constantes estarían asociadas al final del comportamiento elástico lineal y consecuentemente a la fractura. La determinación de estas constantes se hace considerando determinados estados límites: - Tensión tangencial pura ( σ11 = σ22 = 0 ; σ12 ≠ 0) 2N = 1/ S 2 - Tensión normal en la dirección 1 ( σ12 = σ22 = 0 ; σ11 ≠ 0) 76


(III.33)


G+H = 1/ X 2

CAPITULO III

(III.34)

- Tensión normal en la dirección 2 ( σ12 = σ11 = 0 ; σ22 ≠ 0) F+H = 1/ Y 2

(III.35)

Dado que se necesita otra ecuación para determinar F, G y H, es razonable suponer que el comportamiento en la dirección 3 es equivalente al de la dirección 2, ello conduce a: F+G = 1/ Y 2

(III.36)

De las tres últimas ecuaciones se obtiene: H = G = 1 / (2 X 2)

; F = 1 / Y2 - 1 / (2X2)

(III.37)

con lo que el criterio queda: σ211 σ222 σ212 σ11σ22 + + =1 X2 X2 Y2 S2

(III.38)

Observando el término dominante se puede predecir el tipo de rotura y en consecuencia se puede inferir si dicha lámina seguirá con capacidad resistente en determinadas direcciones. Para el caso anteriormente considerado, este criterio quedaría de la forma: cos4θ + ( 1 - 1 ) cos2θ sen2θ + sen4θ = 1 σ2x X2 S2 X 2 Y2

(III.39)

Como se ve, este es el primer criterio que se reduce a la aplicación de una sola ecuación. La Fig. III.30 muestra los resultados experimentales para el mismo material que el usado anteriormente. σx

θ

150 100 70 40 σx

ksi

20 10 7

COMPRESIÓN COMPRESSION

TRACCIÓN TENSION

4 0 15 30 45 60 75 90 θ Figura III.30.- Comparación resultados experimentales con los resultados predichos por el Criterio de Tsai-Hill (R.M. Jones).

Puede observarse que: Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

77

CAPITULO III


La variación de resistencia con θ es suave, no apareciendo saltos bruscos, como en los criterios anteriores que eran difíciles de entender y justificar. •

Las diferencias entre experimentos y predicción es pequeña. En los criterios anteriores, las discrepancias alcanzaban incluso el 100%. (Todas las representaciones están en escala logarítmica). •

En el criterio de Tsai-Hill aparece la interacción entre las tensiones normales y tangenciales que no aparecía en los criterios anteriores. •

Los criterios anteriores no se reducen al de Von-Mises para materiales isótropos, mientras que este último sí (no podría ser de otra manera dada la deducción efectuada). En efecto, para un material isótropo X = Y = √3 S. El criterio de la máxima tensión, para el caso objeto de estudio toma la forma: •

σx <

X cos 2 θ

σx <

X sen 2 θ

σx <

X 3 (senθ cos θ)

(ΙΙΙ.40)

que depende de θ, lo que es inconsistente para un material isótropo. En cambio, si en el criterio de Tsai-Hill, sustituimos la relación entre las resistencias, se obtiene: σx < X

(III.41)

3.4.4.- Criterio de Tsai-Wu. La idea de este criterio es generalizar el criterio de Tsai-Hill introduciendo términos que no aparecen en él. La expresión más general de este nuevo criterio es una curva en el espacio de tensiones de la forma: Fi σi + Fij σi σ j |i,j=1 a 6 = 1

(III.42)

donde Fi y Fij estarán relacionadas con las resistencias del material asociadas a direcciones específicas y σi es la componente i del pseudovector de tensiones (σ11, σ22, σ33, σ13, σ23, σ12). La ecuación anterior incluye 42 constantes y está asociada a un sólido tridimensional. Para una lámina, Tsai y Wu proponen: F1 σ11 + F2 σ22 + F6 σ12 + F11σ112 + F22 σ222 + F66 σ122 + 2 F12 σ11σ22 = 1

(III.43)

Se ha despreciado la interacción entre las tensiones normales y tangenciales. Los términos lineales resultarán útiles para representar estados sencillos de tracción y compresión.

78



CAPITULO III

La determinación de los coeficientes de la ecuación anterior se hace, al igual que en los casos ya estudiados, particularizando para situaciones simples. Así, para un ensayo de tracción en la dirección de las fibras ( σ1 = Xt, σ2 = σ12 = 0): F1 Xt + F11 Xt2 = 1

(III.44)

y para uno de compresión ( σ1 = Xc, σ2 = σ12 = 0): F1 Xc + F11 Xc2 = 1

(III.45)

de donde: F1 = (1 / Xt ) + (1 / X c) F11 = - 1 / ( X t Xc )

(III.46)

siendo Xt > 0 y Xc < 0. Análogamente, en la dirección perpendicular a las fibras: F2 = (1 / Yt ) + (1 / Yc) F22 = - 1 / ( Y t Yc )

(III.47)

La independencia del signo de σ12 en la resistencia a tensión tangencial implica: F6 = 0

y

F66 = 1/S2

(III.48)

Para la determinación de F 12 es preciso realizar ensayos fuera de los ejes principales del material, o bien realizar un ensayo biaxial. Así, sí σ11 = σ22 = σ y σ12 = 0, el criterio quedaría: (F1 + F2 ) σ + (F11 + F22 + 2 F12 ) σ2 = 1

(III.49)

Por lo que F 12 , introduciendo los valores de F i y Fij ya calculados, vendrá dado por: F12 =

1 2Z

2

1 -

2 1 1 1 1 1 1 + + + Z + + Z Xt Xc Yt Yc XtXc YtYc

(III.50)

donde Z sería la resistencia a tensión biaxial de la lámina.


79

CAPITULO III


3.4.5.- Criterios de Hashin. La idea de partida de Hashin es que un criterio para predecir el fallo de un material compuesto ha de basarse necesariamente en los mecanismos de fallo del mismo, en contraposición a los criterios mostrados previamente que surgían como extrapolación de criterios existentes para otros materiales. Bajo esta idea, dos son las propuestas de este autor. Una primera más simple (Hashin-Rotem, 1973) para un estado biaxial de tensiones, y una segunda más elaborada (Hashin, 1980) para un estado tridimensional de tensiones, que al particularizarlo a 2D conduce a una propuesta diferente a la anterior del año 73. Las hipótesis en las que se basan las propuestas originales son las siguientes: • Consideración separada de los distintos modos de fallo (fibra, matriz, tracción y

compresión). • En el modo de fallo de la matriz se consideran las componentes del vector tensión en el plano de fallo como responsables del mismo. • La interacción entre las distintas componentes que intervienen en un modo se supone cuadrática. Las expresiones de los criterios para el caso bidimensional de tensiones ( σi3 = 0) se recogen en la tabla III.1. Modo de fallo Hashin-Rotem (73) Fallo de la fibra σ11 = X (σ11,X > 0) en tracción (FFT) Fallo de la fibra σ11 = X c (σ11 < 0, Xc > 0) en compresión (FFC) 2 2 Fallo de la matriz σ 22  +  σ12  = 1 (σ > 0)   22 en tracción (FMT)  Yt   S  Fallo de la matriz en compresión (FMC)

 σ 22 2  σ12  2   +   = 1 (σ 22 < 0)  Yc   S 

Hashin (80)  σ11  2  σ12  2   +   = 1 (σ11 > 0)  X t   S  σ11 = X c

(σ11 < 0, Xc > 0)

2

 σ12  2   +   = 1 (σ 22 > 0)  Yt   S   σ 22  2  Yc 2 σ 22  σ12  2   +   − 1 +   = 1  2ST   2ST   Yc  S  σ 22

(σ 22 < 0)

Tabla III.1.- Criterios de Hashin para el caso bidimensional de tensiones.

El valor S T, que aparece en el modo FMC del criterio del 80, representa la resistencia a cizalladura interlaminar, es decir el valor admisible de la tensión tangencial σ23. En la figura III.31 se representan para un elemento de una lámina unidireccional las tensiones σ12 y σ23, y sus correspondientes valores admisibles S y S T.

80



CAPITULO III

σ23 ( ST )

3 2 1

σ12 ( S ) Figura III.31.- Representación de las tensiones tangenciales σ12 y σ23, y de sus valores admisibles S y ST, para un elemento de lámina unidireccional.

La evolución de los dos criterios mostrados, aunque no haya muchos cambios entre ellos, requiere de algunos comentarios. Conceptualmente ambas propuestas estiman dos mecanismos de fallo de una lámina de material compuesto: fallo de la fibra y fallo de la matriz. Esta propuesta está basada en la observación de la forma de rotura de una lámina unidireccional con un cierto ángulo de orientación de la fibra. La figura III.32.a representa la forma de rotura (que requiere el fallo de la fibra) que aparece en una probeta en que la fibra forma un ángulo de 0º con respecto a la orientación de la carga. La figura III.32.b representa la forma de rotura (que no involucra la rotura de las fibras) que aparece en una probeta en que la fibra forma 30º con respecto a la orientación de la carga.

(a)

(b)


81

CAPITULO III


Figura III.32.- Roturas de probetas unidireccionales: (a) con la fibra formando 0º con la carga, (b) con la fibra formando 30º con la carga.

Con referencia al fallo de la fibra, la única diferencia reside en la inclusión en el criterio del 80 de la contribución de σ12 al fallo en tracción. Esta modificación intentaría ser consecuente con la segunda de las hipótesis apuntadas, que suponía que todas las componentes del vector tensión en el plano de fallo tenían contribución al mismo. No obstante, hay que remarcar que esta modificación no cuenta con claros fundamentos físicos, y en todo caso esta segunda hipótesis no se mantiene para el fallo de la matriz. Con referencia al tipo de interacción entre componentes supuesta (cuadrática), es preciso puntualizar el énfasis que el autor pone en evitar cualquier conexión en su propuesta con conceptos energéticos. La razón que esgrime para esta elección es el empleo de la forma más simple de aproximar una interacción entre diferentes efectos, dado que la interacción lineal queda descartada. Con referencia al fallo de la matriz, existen diferencias en la expresión para el caso de compresión, las cuales provienen del hecho de que la propuesta del 80 surge como una particularización de una expresión tridimensional al caso bidimensional, habiéndose abandonado, en la obtención de la expresión 3D, la segunda de las hipótesis supuestas, debido a la dificultad de determinar el plano de fallo para este mecanismo. En su lugar Hashin propone una interacción cuadrática de los invariantes del estado tensional, abandonando así la idea original de relacionar el criterio de fallo con el modo de fallo. Hay que destacar respecto a esta expresión la presencia del valor admisible S T, el cuál es una característica tridimensional dentro de una relación 2D, y la ausencia de la tensión asociada a dicha resistencia ( σ23). Una discusión sobre las implicaciones de los criterios de Hashin y la aparición de una resistencia fuera del plano en la rotura de una lámina ante carga biaxial puede encontrarse en París, F(A study of failure criteria of fibrous composite materials, Tech.Rep. NASA/CR-2001-210661). Con objeto de comparar con los criterios anteriores se ha considerado el mismo caso analizado anteriormente, una lámina sometida a tracción con las fibras formando un cierto ángulo respecto a la dirección de la carga. Las expresiones de los criterios para el estado tensional considerado se recogen en la tabla III.2. Modo de fallo Hashin-Rotem (73) Xt σx = FFT cos2 θ Xc σx = FFC cos 2 θ 1 σ = 4 x FMT sen θ + sen 2 θ cos2 θ Yt2

FMC

82

σx =

S

σx = σx = σx =

2

1 4

Hashin (80)

sen θ + sen 2 θ cos2 θ Y2c S2

σx =

1

4

cos θ + sen 2 θ cos 2 θ X 2t S2

Xc cos 2 θ

1

4

sen θ + sen 2 θ cos2 θ Yt2 S2 2

− b − b + 4a

2a  Yc2  sen2 θ sen4 θ sen 2 θ cos 2 θ + a= b =  2 −1  4ST  Yc 4S2T S2



CAPITULO III

Tabla III.2.- Criterios de Hashin para una lámina a tracción con orientación de las fibras arbitraria.

En las figuras III.33.a y b se representan respectivamente los resultados predichos por ambos criterios (73 y 80) para el mismo material considerado previamente, junto con los valores experimentales tomados de R.M. Jones. Hay que mencionar que en el criterio de Hashin (80) se ha usado como valor de S T el que da la aproximación propuesta por A. Puck, es decir S T = 0.4·Yc. Como se puede observar, ambos criterios se ajustan aceptablemente a los valores experimentales, con una aproximación del orden de la observada para el criterio de Tsai-Hill, obteniéndose en este caso, para el criterio del 80, una mejora en cuanto a la predicción del fallo en compresión. Criterio Hashin (73)

Criterio Hashin (80)

1000

1000

FFT FFC FMT FMC T C

100

FFT FFC FMT FMC T C

100

10

10

1

1 0

15

30

45

(a)

60

75

90

0

15

30

45

60

75

90

(b)

Figura III.33.- Comparación de los resultados experimentales con los resultados predichos por los criterios: (a) Hashin-Rotem (73), (b) Hashin (80).

3.4.6.- Criterio de Puck. Este criterio, como el de Hashin, plantea la consideración independiente de distintos modos de fallo, el fallo de la fibra (FF) y el fallo “entre fibras” (IFF). Este último modo se corresponde con lo que habitualmente se denomina fallo de la matriz. Así mismo, en cada uno de los modos se admite que la envolvente de fallo pueda estar compuesta de distintos tramos, que modelen los diferentes comportamientos resistentes ante tracción y compresión. Fallo de la fibra En el modo de fallo de la fibra se considera que se producirá el fallo cuando se alcance en las fibras una tensión normal longitudinal igual a la que provoca el fallo bajo un estado de tensión uniaxial σ1. Matemáticamente, esta condición se traduciría en: Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

83

CAPITULO III


σ f 1 = X fT para σ f 1 ≥ 0

;

σ f 1 = − X fC para σ f 1 < 0

(III.51)

donde σf1 es la tensión normal en las fibras en dirección paralela a las mismas, X fT es la resistencia a la tracción de las fibras, y X fC es la resistencia a la compresión de las fibras, entendidas estas dos últimas como la tensión existente en las fibras, en el seno de la lámina, cuando se produce el fallo de las fibras bajo un estado uniaxial σ1 aplicado sobre la lámina. Asumiendo un comportamiento elástico lineal del compuesto, ambas resistencias se pueden evaluar como: X fT =

XT E =ε E E1 f 1 1T f 1

;

X fC =

XC E =ε E E1 f 1 1C f 1

(III.52)

donde, XT y X C son respectivamente las resistencias a tracción y compresión del compuesto en la dirección de las fibras, E 1 y E f1 son los módulos elásticos, en dirección de la fibra, del conjunto y de la fibra respectivamente, y ε1T, ε1C son las deformaciones asociadas del conjunto, en dirección de la fibra, a tracción y a compresión. Cuando la lámina está sometida a un estado tensional completo (para el caso plano σ1, σ2, σ12) la deformación normal longitudinal en la fibra εf1 se puede expresar a través de la ley de comportamiento en la forma: ε f 1 =

σ f 1 ν f 12 − m σ E f 1 E f 1 σf 2

(III.53)

donde la tensión σf2 se ha supuesto igual a la tensión σ2 del conjunto multiplicada por un factor de magnificación m σf (los valores de este factor que se proponen son de 1.1 para los compuestos de grafito, y de 1.3 para los compuestos de vidrio). Asumiendo que existe un perfecto pegado entre las fibras y la matriz, es lógico suponer que la deformación longitudinal de las fibras εf1 es igual a la del conjunto ε1, y por tanto σf1 se puede expresar a partir (III.53) de la forma: σ f 1 = ε1E f 1 + ν f 12 m σf σ 2

(III.54)

Sustituyendo (III.52) y (III.54) en (III.51) se obtienen las siguientes expresiones. 1  ν f 12  m σf σ 2  = 1 para σ f 1 ≥ 0  ε1 + ε1T  E f 1  1  ν f 12  m σf σ 2  = −1 para σ f 1 < 0  ε1 + ε1C  E f 1 

(III.55)

Adicionalmente, y dado que el mecanismo de fallo de la fibra en compresión involucra fenómenos de inestabilidad local (micro-pandeo), Puck indica que la componente de tensiones σ12 debe ser tenida en cuenta en la expresión del fallo en compresión de la fibra, ya

84



CAPITULO III

que juega un papel induciendo este tipo de mecanismo. En consecuencia, propone una corrección de tipo empírico de la segunda de las expresiones de (III.55), quedando finalmente las expresiones del criterio para el modo de fallo de la fibra: 1  ν f 12  m σf σ 2  = 1 para σ f 1 ≥ 0  ε1 + ε1T  E f 1  1  ν f 12  m σf σ 2  + (10γ 12 ) 2 = 1 para σ f 1 < 0  ε1 + ε1C  E f 1 

(III.56)

Fallo de la matriz Dado que los materiales compuestos, en cuanto al fallo de la matriz, muestran un comportamiento en rotura frágil , Puck propone seguir un planteamiento similar al criterio de Mohr , que se emplea como criterio de fallo en materiales frágiles, y por ello se juzga más adecuado que seguir planteamientos basados en criterios de plastificación (von Mises, Hill). En este sentido, la idea básica que sustenta el criterio reside en admitir que el fallo está provocado exclusivamente por las componentes de tensión asociadas al plano de fallo. Esta hipótesis, formulada también por Hashin (que no pudo llevarla a cabo), ha sido desarrollada por Puck determinando la inclinación del plano de fallo como función del estado tensional, que suponía el mayor escollo en la implementación de dicha hipótesis. 3 σ3 σ23 σ13 σ13 σ1

σ12

τnt

τn1

σn σ23 σ2

2

σ12

1

Figura III.34.- Esquema del estado tensional y componentes de tensión en el plano de fallo.

En la figura III.34 se representan esquemáticamente las componentes del estado tensional en los planos de ortotropía del material ( σ1, σ2, σ3, σ12, σ13, σ23), y las componentes de tensión en el plano de fallo ( σn, τn1, τnt). En el caso en que la tensión normal al plano de fallo sea positiva ( σn ≥ 0), las tres componentes de tensión contribuirían al fallo, por lo que el criterio debería expresar una interacción de dichas componentes. Puesto que el signo de las componentes tangenciales no tiene influencia sobre el fallo, una interacción de tipo cuadrática sería la forma más simple que resultaría adecuada para la expresión del criterio. De esta forma la expresión quedaría:


85

CAPITULO III


2  σ   τ  2   n  +  nt  +  τ n1  R (+ )A   R A   R A  ⊥   ⊥⊥   ⊥

2

  = 1 para σ ≥ 0 n  

(III.57)

donde los términos que aparecen en los denominadores (R) representan las resistencias asociadas a cada una de las componentes de tensión en el plano de fallo. Así, R (⊥+ ) A se corresponde con la resistencia a la tracción en dirección perpendicular a las fibras Y T, y R A se corresponde con la resistencia a cizalladura intralaminar S 12. La determinación de ⊥ R A ⊥⊥ resulta más complicada, puesto que no se conocen ensayos que permitan una medida directa de esta característica, ya que un estado de cortadura pura τnt produce un fallo por tracción en un plano a 45º. Una medida indirecta de R A ⊥⊥ puede obtenerse en función de la resistencia a compresión perpendicular a las fibras Y C, ya que el mecanismo de fallo en el ensayo de compresión pura involucra a la componente τnt. Esta evaluación indirecta requiere asumir una expresión del criterio para el modo de fallo de la matriz en compresión, el cuál se tratará más adelante. Para conseguir un mejor ajuste con resultados experimentales, la expresión (III.57) se modifica introduciendo unos coeficientes c 1, c2, y un término lineal, en la siguiente forma: 2 2   σ    τ σ τ c 2  ( +n)A  + c1 (+n)A +  Ant  +  An1  R  R ⊥  R ⊥⊥   R ⊥  ⊥ 

2

  = 1 para σ ≥ 0 n  

(III.58)

Para el caso de tensión plana ( σ1, σ2, σ12), las componentes en el plano de fallo se pueden evaluar como: σ n = σ 2 cos 2 θ

τ nt = −σ 2 senθ cos θ

τ n1 = σ12 cos θ

(III.59)

donde θ sería el ángulo que formaría la normal al plano de fallo con la dirección del eje 2. Para el caso que nos ocupa σn ≥ 0 (lo que corresponde a σ2 ≥ 0), la evidencia experimental indica que el ángulo del plano de fallo es θ = 0. Por lo tanto, sustituyendo dicho ángulo en (III.59) queda: σn = σ2

τ nt = 0

τ n1 = σ12

(III.60)

Sustituyendo (III.60) en (III.58) se obtiene: 2  σ  σ  σ2 2   c 2 ( + )A + c1 (+ )A +  A12  R   R ⊥ R ⊥  ⊥  

2

  = 1 para σ ≥ 0 2  

(III.61)

Operando con dicha expresión, y estimando los coeficientes de ajuste experimental se puede llegar a la siguiente expresión: 86



 σ  12  R A  ⊥

2    p (⊥+ )   + 1− (+ ) A    R A R ⊥  ⊥   

2

2 (+)  σ  p ⊥  2  + σ 2 = 1 para σ 2 ≥ 0 A  R ( + )A  R  ⊥  ⊥

CAPITULO III

(III.62)

donde p (⊥+ ) es la pendiente de la curva de fallo para σ2 ≥ 0 en el punto de σ2 = 0. Los valores recomendados por el autor para dicha característica, son de 0.3 para los compuestos de vidrio y 0.35 para los compuestos de grafito. La (III.62) constituye la expresión del criterio para el modo de fallo de la matriz en tracción (cuando σ2 ≥ 0), lo que se denomina como modo A. En el caso en que la tensión normal al plano de fallo sea negativa ( σn ≤ 0), se considera que dicha componente σn contribuye impidiendo el fallo a cortadura que propician las componentes tangenciales en el plano de fallo ( τnt, τn1). La justificación física que se le da a este hecho es que la componente σn de compresión genera una fricción interna en el material que se opone a la acción de las componentes tangenciales. La forma de trasladar esta idea a la expresión del criterio consiste en reducir el valor de las resistencias tangenciales en el A plano de fallo (R A ⊥⊥ , R ⊥ ) proporcionalmente al valor de la tensión normal σn. La expresión del criterio para σn < 0 quedaría de la forma: 2

2     τ τ n1  nt   + = 1 para σ n < 0  R A − p ( −) σ   R A − p ( −) σ  n   ⊥⊥ ⊥⊥ n  ⊥  ⊥

(III.63)

donde p (⊥−) es la pendiente de la curva de fallo ( σn, τn1) para σn ≤ 0 en el punto de σn = 0, y −) p (⊥⊥ es la pendiente de la curva de fallo ( σn, τnt) para σn ≤ 0 en el punto de σn = 0. Con objeto de alcanzar un mejor acuerdo con resultados experimentales, la expresión anterior se modifica en la siguiente forma.

τ 2nt 2

(R A⊥⊥ )

( −) − 2 p ⊥⊥ R A ⊥⊥ σ n

+

2

(R A⊥ )

τ 2n1 ( −)

− 2 p ⊥ R A σn ⊥

= 1 para σ n < 0

(III.64)

Para simplificar el cálculo, Puck indica que, en base a la experiencia, resulta razonable asumir una relación entre las pendientes y las resistencias en el plano de fallo del tipo: −) p (⊥−) p (⊥⊥ p  = =    = cte. A A R   R ⊥⊥ R ⊥


(III.65)

87

CAPITULO III


−) de manera que p (⊥−) se puede ajustar experimentalmente, y p (⊥⊥ se estima a partir de la

expresión (III.65). Usando esta simplificación la (III.64) se reduce a:  τ nt     R A   ⊥⊥ 

2

 τ  +  n1  R A  ⊥

2

  + 2 p  σ = 1 para σ < 0   n n   R  

(III.66)

Para el caso de tensión plana ( σ1, σ2, σ12), las componentes en el plano de fallo se pueden evaluar mediante la expresión (III.59), siendo θ el ángulo correspondiente al plano de fallo. Existe una primera zona del dominio de compresión (casos en que σ2 es pequeña relativamente frente a σ12) donde se puede observar experimentalmente que el ángulo del plano de fallo es θ = 0. Esta zona del dominio de compresión se denomina modo B. Por lo tanto, sustituyendo dicho ángulo en (III.59) se obtienen los mismos valores de (III.60), y sustituyendo estas componentes de tensión en la expresión del criterio (III.66), ésta queda reducida a:  σ  12  R A  ⊥

2

  + 2 p  σ = 1 para σ < 0   2 2   R  

(III.67)

Operando con la expresión (III.67) se puede llegar a la siguiente:  σ  12  R A  ⊥

2

 2  +  p  σ 2 +  p  σ = 1 para σ < 0 2   R  2  R  2 

(III.68)

que constituye la expresión del criterio para el denominado modo B de fallo de la matriz en compresión (σ2 < 0), donde R A se corresponde con la resistencia a cizalladura ⊥ intralaminar S 12, y la constante p/R se evalúa a partir de (III.65) como: (−)

p  p  = ⊥    R  S12

(III.69)

Los valores recomendados por el autor para la característica p (⊥−) son de 0.25 para los compuestos de vidrio y 0.3 para los compuestos de grafito. La otra zona que completa el dominio de compresión (casos en que σ2 es dominante frente a σ12) es aquella en que el ángulo del plano de fallo es θ ≠ 0. Esta zona del dominio de compresión se denomina modo C. La determinación de las componentes de tensión en el plano de fallo precisa en este modo el conocimiento del ángulo θ. Para un caso tridimensional en general habría que barrer todo el rango de variación del ángulo para 88



CAPITULO III

detectar el que maximiza la expresión del criterio (III.66), sin embargo, para el caso de tensión plana es posible determinar analíticamente dicho ángulo. La expresión del ángulo que maximiza la expresión del criterio viene dada por: R A ⊥⊥

θ = arccos

− σ2

(III.70)

Se puede observar, que independientemente de la relación entre σ2 y σ12, el valor de la componente normal asociada al plano de fallo permanece constante, viniendo dada por: σ n = σ 2 cos 2 θ = − R A ⊥⊥

(III.71)

Este valor va a fijar el límite que separa los modos B y C, ya que para los valores de σ2 A comprendidos en el rango - R A ⊥⊥ ≤ σ2 ≤ 0 se producirá el modo B ( θ = 0), y para σ2 < - R ⊥⊥ se producirá el modo C. Sustituyendo el valor del ángulo del plano de fallo, dado por (III.70), en la expresión del criterio (III.66) y operando se llega a la siguiente expresión:  2    σ 1  2  +  σ12 p  A   R A   R A   2 1 +   R ⊥⊥   ⊥⊥  ⊥   R  

   

2

A

 R ⊥⊥ = 1 para σ < 0 2  −σ 2 

(III.72)

que constituye la expresión del criterio para el denominado modo C de fallo de la matriz en A se corresponde con la resistencia a cizalladura compresión ( σ2 < - R A ⊥⊥ ), donde R ⊥ intralaminar S 12, y la constante p/R se evalúa según (III.69). Como ya se mencionó previamente, para evaluar R A ⊥⊥ hay que acudir a una medida indirecta de esta característica. Para ello, se considera un estado de compresión pura ( σ2 ≠ 0, σ12 = 0), bajo dicho estado el fallo se produce para un valor de σ2 = -YC. Sustituyendo estos valores en la expresión del modo C (III.72) se obtiene la relación: R A ⊥⊥ =

YC

−) ) 2(1 + p (⊥⊥

(III.73)

−) donde los valores recomendados por el autor para la característica p (⊥⊥ son de 0.25 para los compuestos de vidrio y 0.3 para los compuestos de grafito.

La curva del criterio para el fallo de la matriz, incluyendo los modos A, B y C, se muestra en la figura siguiente.


89

CAPITULO III


Figura III.35.- Curva de fallo de la matriz que predice el criterio de Puck.

El criterio de Puck ha sido uno de los que han obtenido mejores resultados en el reciente ejercicio mundial “World Wide Failure Exercise” (WWFE), cuyos resultados globales se representan en la figura III.36. En dicha figura se representan los porcentajes de cada categoría (grados A, B, C y NA) alcanzados por cada criterio. Los grados mencionados representan: A las predicciones difieren de las medidas experimentales en menos del 10%, B las predicciones difieren de las medidas experimentales entre el 10% y el 50%, C las predicciones difieren de las medidas experimentales en más del 50%, y NA no existe predicción.

Figura III.36.- Representación de los resultados obtenidos por los diversos criterios de fallo en el “WWFE”.

3.5.- MICROMECÁNICA DE LOS MATERIALES COMPUESTOS. Tal y como se dijo en el Capítulo I, y se ha utilizado en el Capítulo II, el elemento básico del material compuesto, la lámina, se considera un material homogéneo y ortótropo.

90



CAPITULO III

Por consiguiente aunque las propiedades de rigidez y resistencia características de la lámina puedan obtenerse a partir de los ensayos descritos anteriormente, es preciso establecer la manera de obtener las características globales del elemento lámina con las propiedades de homogeneidad e isotropía, a partir de las propiedades de rigidez y resistencia de cada uno de los elementos que componen el material compuesto. De esta forma se podrá a priori diseñar una lámina de material compuesto (tipo de matriz, tipo de fibra, tanto por ciento de volumen de fibra a matriz) para que tenga unas ciertas propiedades mecánicas. El objetivo por consiguiente es el de evaluar las características de rigidez de la lámina (E 11, E22, ν12, G12) a partir de las características de rigidez de los componentes fibra (E f , νf , Gf ) y matriz (Em, νm, Gm) así como de su volumen porcentual en el material compuesto (V f , Vm). En cuanto a resistencia, el objetivo mínimo es el de evaluar la resistencia de la lámina en la dirección de las fibras a partir de las resistencias de la fibra y matriz y su porcentaje en el volumen final del composite. El análisis que se va a realizar a continuación, se ciñe al caso de láminas de materiales compuestos reforzados reforzados con fibra larga (o continua) en una sola dirección. dirección. Existen dentro de este contexto, diferentes enfoques, siendo el que sigue el más generalmente aceptado, recibiendo en algunos textos, el calificativo de enfoque de Resistencia de Materiales, dado que se usan las hipótesis típicas de esta disciplina en el estudio de dominios con características geométricas geométricas especiales (barras, placas, placas, láminas, etc.). Independientemente Independientemente de estas hipótesis, que se irán introduciendo a medida que se evalúe cada propiedad de la lámina, en todos los casos se supone que la fibra es homogénea, isótropa, de comportamiento comportamiento elástico lineal, se encuentra alineada con la dirección de refuerzo y está igualmente espaciada en la matriz. En cuanto a ésta se supone homogénea, homogénea, isótropa y elástica elástica lineal. El objetivo objetivo que se persigue implica suponer que la lámina se va a comportar macroscópicamente de forma homogénea, ortótropa ortótropa y linealmente linealmente elástica. Todo esto permite tomar tomar como volumen elemental de análisis, para hacer la equivalencia entre la lámina real y la lámina homogénea ortótropa, aquél en el cual las tensiones y deformaciones son macroscópicamente uniformes. Ello permite tomar elementos de análisis bidimensionales con una sola fibra, tal y como se verá a continuación. continuación. 3.5.1.- Determinación de las características de rigidez. Para la determinación de cualquier característica de rigidez de la lámina equivalente homogénea ortótropa, se supone que la deformación de la fibra y la matriz, en la dirección del refuerzo es la misma. 3.5.1.1 Determinación de E 11. La Fig. III.37 representa el volumen elemental que se considera, cargando en la dirección de refuerzo, dirección 1.


91

CAPITULO III


fibra deformada

matriz

2

∆w/2

w

1

σ 11 σ11 ∆w/2

∆L/2

∆L/2

L

Figura III.37.- Elemento representativo cargado en la dirección 1.

La deformación en la lámina equivalente será:

/

ε11 = ∆L L

(III.74)

que de acuerdo con la hipótesis básica anteriormente enunciada: ε11 = εf = εm

(III. 75)

por lo que según la ley de comportamiento adoptada para cada elemento, las tensiones en la fibra y en la matriz serán: σf = Ef εf = Ef ε11 σm = Em εm = Em ε11

(III. 76)

La equivalencia estática entre el elemento real y el equivalente exige que: σ11 A = σf Af + σm Am

(III.77)

donde Af es el área de fibra, A m el área de matriz y A el área total: A = Af + Am

(III.78)

Teniendo en cuenta que en la lámina equivalente se verifica: σ11 = E11 ε11

(III.79)

siendo E11 el módulo de elasticidad aparente de la lámina en la dirección 1, la sustitución de (III.53) y (III.56) en (III.54) lleva a: E11 A = Ef Af + Em Am y llamando Vf y Vm a las fracciones volumétricas de fibra y matriz: 92


(III.80)


CAPITULO III

Vf = Af /A ; Vm = Am/A

(III.81)

E11 = Ef Vf + Em Vm

(III.82)

el valor de E 11 es:

expresión que se conoce como regla de las mezclas y permite evaluar el módulo de Young aparente de la lámina en en la dirección del refuerzo. refuerzo. La regla de las mezclas mezclas representa una interpolación lineal lineal entre los módulos módulos de elasticidad elasticidad de la matriz (para V f = 0) y de la fibra (para Vf = 1). Obsérvese que en el proceso anterior se han aplicado las tres ecuaciones básicas del sólido deformable: equilibrio (III.77), compatibilidad (III.74 y III.75) y ley de comportamiento (III.76 y III.79). 3.5.1.2.- Determinación de E 22. Para la determinación del módulo de elasticidad aparente en la dirección transversal sometemos al elemento representativo de la lámina a una tensión en la dirección 2; Fig. III.38. 2 σ 22 fibra matriz

1

w

σ

22

Figura III.38.- Elemento representativo cargado en la dirección 2.

El equilibrio exige que: σ22 = σ2f = σ2m

(III.83)

La ley de comportamiento en cada elemento en la dirección 2 implica (después de III.83): εf =

σ2f = σ22

Ef

; εm = σ2m = σ22 Ef Em Em

(III.84)

y en la lámina equivalente:


93

CAPITULO III


/

ε22 = σ22 E22

(III.85)

La compatibilidad exige que: ε22 w = εf Vf w + εm Vm w

(III.86)

Sustituyendo (III.84) y (III.85) en (III.86): 1 = Vf + Vm E22 Ef Em

(III.87)

o bien: E22 =

Ef Em Em Vf + Ef Vm

(III.88)

expresión que da el módulo de Young aparente en la dirección transversal de la lámina. La expresión (III.88) admite algunas reflexiones adicionales sobre el comportamiento transversal del material compuesto. Transformando esta expresión para obtener un valor adimensional de E 22: E22 = Em

1 E Vm + Vf m Ef

(III.89)

Se puede hacer una representación de la variación de E 22 (relativo a E m), para diferentes relaciones de rigideces fibra-matriz, con respecto a la fracción de volumen de fibras, Fig. III.39.

Ef /Em =100

E2 Em

Ef /Em =10

3 2 1

Ef /Em = 1

0

Figura III.39.matriz.

94

.2

.4

.6

.8

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1.0

Vf Variación de E22 con la fracción de volumen de fibra para diferentes rigideces relativas fibra-



CAPITULO III

Obsérvese que es preciso alcanzar un volumen de fibra elevado (del orden del 50% sea cual sea la rigidez relativa fibra-matriz), para que el módulo del material compuesto sea del orden del doble del de la matriz. Esto pone de manifiesto que las fibras colaboran en pequeña medida a la rigidez transversal que está más condicionada por la rigidez de la matriz. Valores altos de V f llevarían a situaciones alejadas de comportamientos reales (V f = 1 implicaría E22 = Ef , lo que no correspondería a una situación físicamente admisible). La evidencia experimental pone de manifiesto que la expresión III.89 ha sido obtenida a partir de un conjunto de hipótesis que limitan su aplicabilidad. Así, el análisis realizado conlleva un salto en las deformaciones en la dirección de la carga aplicada en la interfase fibra-matriz. Así mismo no se considera el efecto de los diferentes módulos de Poisson en la fibra y matriz lo que induce tensiones longitudinales en la interfase. 3.5.1.3.- Determinación de 12. El valor del coeficiente de Poisson, ν12 se define a través de una situación como la que aparece en la Fig. III.37 según: ν 1 2 = -

ε2 2 ε

11

(III.90)

Longitudinalmente se produce la compatibilidad expresada por (III.75). Transversalmente se ha de cumplir que: ∆w = ∆wm + ∆wf

(III.91)

La relación entre deformaciones longitudinales y transversales en la fibra y la matriz es: ε2m = - νm ε11 ;

ε2f = - νf ε11

(III.92)

siendo νm y νf los coeficientes de Poisson de matriz y fibra. Teniendo en cuenta (III.90 y III.92), la expresión (III.91) se transforma en: w ν12 ε11 = w Vm νmε11+ w Vf νf ε11 o bien: ν12 = Vm νm + Vf νf

(III.93)

3.5.1.4.- Determinación de G 12.


95

CAPITULO III


Considerando el elemento de la lámina sometido a una tensión tangencial σ12, Fig. III.40.a, se producirá una configuración deformada que se indica en la Fig. III.40.b. Admitiendo la misma tensión en la fibra y en la matriz, la ley de comportamiento de ambos elementos implica: σ12 = γ m Gm

;

σ12 = γ f Gf

(III.94)

Siendo Gm y Gf los módulos de cizalladura de la fibra y matriz. La lámina equivalente se comportará según: σ12 = G12 γ 12 (III.95) 2 ∆

σ 12

σ 12

w

∆m

1

2 ∆ f

(a)

(b)

∆m

2

Figura III.40.- Elemento sometido a tensión tangencial.

Siendo G12 el módulo de cizalladura aparente del conjunto. De la Fig. III.40.b se establece que: ∆ = γ 12 w = ∆f + ∆m

siendo

∆f = w Vf γ f ; ∆m = w Vm γ m

(III.96) (III.96.a)

con lo que (III.96) queda: γ 12 = Vf γ f + Vm γ m

(III.97)

y sustituyendo (III.94 y III.95): 1 G1 2

=

V f Gf

+

Vm Gm

o lo que es lo mismo:

96


(III.98)


G1 2 =

Gf G

CAPITULO III

m

V f G m + Gf V m

(III.99)

Obteniéndose G 12 a partir de G m y Gf en forma análoga a como se obtenía E 22 a partir de Em y Ef . 3.5.2.- Determinación de características de resistencia. Existen, al igual que para la rigidez, diferentes enfoques para la evaluación de las características de resistencia de un material compuesto en función de las características de los materiales que lo componen. En lo que concierne a la resistencia ante cargas de tracción, un material compuesto reforzado con fibra en una dirección puede presentar en el proceso de rotura cuatro fases. -

Al aplicar la carga, fibra y matriz se deforman elásticamente.

- Al alcanzar un cierto nivel de carga, la matriz comienza a deformarse plásticamente mientras las fibras continúan haciéndolo elásticamente. -

El nivel de carga provoca la deformación plástica de las fibras.

- Se produce la rotura de las fibras lo que conlleva la rotura del material compuesto. Alguna de estas fases puede no producirse en función de las ductilidades de la fibra y matriz. Si como es usual la fibra es frágil la tercera fase no se produce. Asímismo la cuarta fase, tal como se ha indicado, requeriría una alta ductilidad en la matriz en relación a la fibra. También, como se verá a continuación, puede jugar un papel importante en esta última fase el porcentaje de fibra y matriz. Se supondrá para ambos materiales un comportamiento elástico-lineal como se esquematiza en la Fig. III.41, donde: σf max es la tensión de rotura de las fibras εf max es la deformación de rotura de las fibras σm max es la tensión de rotura de la matriz εm max es la deformación de rotura de la matriz


97

CAPITULO III


σ

Fibra

σ f máx

σ m máx σm

ε

Matriz

ε

f máx

ε f máx

ε m máx

Figura III.41.- Representación esquemática de los diagramas tensión-deformación en l a fibra y matriz.

Admitiendo la adherencia entre fibra y matriz y los valores relativos que esquemáticamente se representan en la Fig. III.41, es razonable admitir inicialmente que la rotura del conjunto se producirá cuando se alcance la deformación máxima admisible de la fibra. Así pues, la resistencia máxima del material compuesto, σc max, sería: σc máx = σf máx Vf + σm)εf máx (1 - Vf )

(III.100)

donde Vf sería la fracción volumétrica de fibra en el material compuesto y σm)εf máx sería, tal como se indica en la Fig. III.41, la tensión que habría en la matriz al alcanzar el conjunto la deformación de rotura de la fibra. Naturalmente, si la misión de la fibra es la de reforzar a la matriz es deseable que la resistencia del conjunto sea al menos igual al de la matriz sin reforzar. Es decir, σc máx ≥ σm máx

(III.101)

Por lo que sustituyendo (III.100) en (III.101) (con el signo igual) se obtiene un valor de V f , que se denomina crítico, que condiciona la función de refuerzo de la fibra. σm

V f c r ít i co =

m áx -

) εf máx

σm

)

σf máx - σ m ε f má x

(III.102)

Para porcentajes de fibra por encima de este valor, la rotura del material compuesto estaría gobernada por la ecuación (III.100) pero para valores inferiores puede suceder que la rotura de las fibras no controle la rotura del material compuesto dado que al soportar tan poca carga el conjunto de las fibras, al romperse éstas, esta carga podría ser tomada por la matriz, que aún podría incluso tomar más carga hasta la rotura. Esta situación se produciría cuando:

98



CAPITULO III

σc máx ≤ σm máx Vm

(III.103)

siendo Vm la fracción de volumen de la matriz, y σc máx el valor dado por (III.100). Un valor interesante de Vf se produce al sustituir la expresión de σc máx dada por III.100 en III.103 con el signo igual: σf máx Vf + σm)εf máx (1 - Vf ) = σm máx (1-Vf )

(III.104)

de donde se obtiene el valor mínimo de V f para que al romperse las fibras no se rompa la matriz. Vf )

σ m má x

min =

-

σ m) ε

σ f má x + σm máx

-

f máx

σ m) ε

f má x

(III.105)

Valores por encima del obtenido anteriormente implican que la carga total que está soportando el material compuesto no puede ser absorbida por la matriz al romperse las fibras por lo que es la rotura de éstas quien controla la rotura del conjunto. Valores por debajo implican que hay tan poco volumen de fibra que al romperse éstas la carga que soportaban es tomada por la matriz por lo que es la rotura de ésta quien finalmente controla la rotura del conjunto. Es obvio que: Vf min < Vf crítico La rotura del material compuesto se ilustra muy bien representando gráficamente las dos ecuaciones que pueden conducir al valor de la tensión de rotura del material, ecuaciones III.100 y III.103 (con signo igual),tal como aparece en la Fig. III.42. Para Vf ≤ Vmin la carga de rotura es inferior a la de la matriz sin refuerzo, presentando la rotura del conjunto una cierta ductilidad asociada a la que pueda tener la matriz. Para valores de V f entre Vmin y V crít. son ya las fibras quienes controlan la rotura, por lo que ésta será frágil, pero aún el volumen de fibras no es el suficiente para reforzar la matriz, situación que se produce para valores de V f superiores a Vcrítico. Estas diferentes situaciones que aparentemente se presentan pueden quedar reducidas, en situaciones reales, en función de los valores que aparecían en la Fig. III.41. Así, para situaciones en que la rotura de la matriz sea del orden de la tensión que hay en la matriz para la deformación de rotura de la fibra (situación que puede darse para las fibras de vidrio), el valor de V crítico es tan pequeño que la rotura es siempre controlada por las fibras.


99

CAPITULO III


Resistencia de l compuesto superior a la de la matriz

Resistencia del compuesto inferior a la de la matriz

σ

Rotura controlada por la matriz (rotura dúctil)

f máx

Rotura controlada por las fibras (rotura frágil)

σ

c máx σ

c máx

=

σ

m máx

(1-Vf )

σ

σc máx

m máx

= σf máx V f + σm) εf máx (1-Vf )

σ

m ) εf máx

0

V mínimo V crítico

Vf

Figura III.42.- Resistencia del material compuesto en función del volumen de fibras.

100


1


CAPITULO III

APENDICE 3.1.- DETERMINACIÓN DEL TENSOR DE DEFORMACIONES DE UNA LÁMINA EN UN PUNTO A PARTIR DE LA LECTURA DE TRES BANDAS EXTENSOMÉTRICAS Conocido el tensor deformaciones en un punto de una lámina γ xy   ε  x 2  ε ij =   γ xy ε  y   2 podemos conocer el valor de la deformación según una dirección arbitraria que forma un ángulo ϕ con el eje x de referencia y dirección arbitraria ϕ

x

εn = (εij n j) ni

donde ni viene definido por su componentes cos ϕ y sen ϕ. Por otro lado, si conocemos el valor de la deformación en un punto ( εn) según tres direcciones no coincidentes, la aplicación de la ecuación anterior para cada una de las direcciones conduce a un sistema de ecuaciones a partir del cual se puede calcular las componentes del tensor de deformaciones. El valor de la deformación εn se puede obtener experimentalmente usando una banda extensométrica. Supongamos ahora que tenemos una lámina de material ortótropo cuyos ejes forman un ángulo θ con el sistema de refencia (x,y). En un punto de dicho material colocamos 3 bandas (vease Fig. adjunta) (sin pérdida de generalidad supondremos el caso frecuente de que una de las bandas sea coincidente con el eje x y las otras dos situadas simétricamente respecto a dicho eje formando cada una de ellas un ángulo ϕ. y g

2

ε1

1

θ ε

g 2

x

g

ε3


101

CAPITULO III


Los datos disponibles del ensayo serán las lecturas de cada una de las bandas Banda n° 1 (ϕ1 = ϕ ) : ε1g Banda n° 2 (ϕ2 = 0 ) : ε2g Banda n° 3 (ϕ3 = - ϕ ) : ε3g La aplicación de la ecuación anterior para cada banda conduce a: εng = εx cos2ϕn + εy sen2ϕn + γ xy cos ϕn sen ϕn

banda 1 : ε1g = εx cos2ϕ + εy sen2ϕ + γ xy cos ϕ sen ϕ banda 2 : ε2g = εx banda 3 : ε3g = εx cos2ϕ + εy sen2ϕ - γ xy cos ϕ sen ϕ La resolución del sistema de ecuaciones permite obtener la componentes del tensor en el sistema x-y g εx = ε2

εy =

( ε g1 +

g 2 g ε 3 ) - 2 ε 2 c os ϕ

2 sen2 ϕ g g ε1 - ε3 γ x y = sen 2 ϕ

girando el tensor al sistema de ortotropía, podemos obtener las componentes de dicho tensor en el sistema del material (1-2). ε11 = εx cos2θ + εy sen2θ + γ xy sen θ cos θ ε22 = εx sen2θ + εy cos2θ - γ xy sen θ cos θ γ 12 = ( εy- εx ) sen2θ + γ xy ( cos2θ - sen2θ )

CASOS PARTICULARES: A) Las 2 bandas forman 45 ° con el eje x

102



CAPITULO III

g εx = ε2 g g g εy = ε1 + ε3 - ε2 g g γ xy = ε 1 - ε 3

B) Las dos bandas forman 120 ° con el eje x g εx = ε2 g g g ε1 + ε3 - ε2 εy = 3

γ x y = -

2 ( ε g - εg ) 1 3


3

103

CAPITULO III

104



Comportamiento Mecánico de un Laminado

CAPITULO IV

CAPÍTULO IV COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE UN LAMINADO

4.1.- TEORÍA GENERAL DE LAMINADOS 4.2.- CASOS PARTICULARES 4.3.- RESISTENCIA DE LAMINADOS 4.4.- EFECTO DE LA TEMPERATURA DE CURADO 4.5.- EJEMPLOS 4.6.- ANÁLISIS TRAS EL FALLO A PRIMERA LÁMINA. MODELOS DE DEGRADACIÓN 4.7.- TENSIONES INTERLAMINARES


105

CAPITULO IV


4.1.- TEORÍA GENERAL DE LAMINADOS. Un laminado es un conjunto de dos o más láminas pegadas entre sí con orientaciones cualesquiera entre ellas, por lo que en general el laminado no tendrá direcciones principales de ortotropía. La Teoría General de Laminados consiste en encontrar la relación entre esfuerzos y deformaciones usando las hipótesis generales de placas delgadas (hipótesis de Kirchhoff). Se parte de la ecuación de comportamiento de una lámina, que en ejes principales adoptaba la forma: σ11 σ22 σ12

=

Q11 Q12

0

Q12 Q22

0

0

0

Q66

ε11 ε22 γ 12

y en ejes no principales, con apariencia anisótropa, adopta la forma: σx σy σxy

Q11 Q12 Q16 =

Q12 Q22 Q26 Q16 Q26 Q66

εx εy γ xy

En general para la lámina que ocupa la posición k en el laminado la ecuación anterior será: k k k σ =Q ε Suponiendo que la adhesión entre las láminas es perfecta (desplazamientos continuos entre láminas), las hipótesis de Kirchhoff establecen que una línea perpendicular a la superficie media, permanece perpendicular a la superficie media deformada, sin acortarse ni alargarse, lo que de acuerdo con los ejes de la Fig. IV.1, implica:

x,u

y,v

z,w Figura IV.1.- Ejes de referencia.

εz= 0 ;

106

γ xz= γ yz = 0


(IV.1)


CAPITULO IV

De esta forma, las configuraciones deformada e indeformada, quedan relacionadas según se indica en la Fig. IV.2.

uo

A B

x

z

A' C

z

wo

B' C'

β β

βz Figura IV.2.- Configuración deformada.

En esta configuración deformada, el desplazamiento de un punto genérico de coordenada z, según el eje x es: u = uo - z β

(IV.2)

Pero en la teoría de Kirchhoff-Love, β=

∂wo

(IV.3)

∂x

luego (IV.2) queda: u = uo - z

∂wo ∂x

(IV.4.a)

y análogamente para el eje y: v = vo - z

∂wo ∂y

(IV.4.b)

Por lo que las deformaciones no nulas quedan:


107

CAPITULO IV


2 ∂ wo = -z εx = ∂x ∂x ∂x2

∂u

∂uo

2 ∂ wo εy = = -z ∂y ∂y ∂y2

∂v

γ xy =

∂u ∂y

o bien, expresado en forma vectorial: ∂uo ∂x εx εy γ xy

∂y

+

=

∂x

∂uo ∂y

+

∂vo ∂x

- 2z

2 ∂ wo

∂x ∂y

2

2

+z

∂y ∂uo

+

∂v

(IV.5)

∂ wo ∂x2

∂vo

=

∂vo

-

∂ wo ∂y2

=

2

∂vo

-2

∂x

∂ wo

εox εoy γ oxy

k ox +z

k oy

(IV.5)

k oxy

∂x ∂y

que implica la definición inmediata de εxo, εyo, γ xyo, k xo, k yo, k xyo; los tres primeros representan las deformaciones de laja (alargamientos y distorsiones) y los tres segundos las de placa (curvaturas de flexión y torsión). La ley de comportamiento de una lámina k , quedaría entonces: Q11 Q12 Q16 k

k

σx σy

=

σxy

εox εoy γ oxy

Q12 Q22 Q26 Q16 Q26 Q66

k ox + z

k oy

(IV.6)

k oxy

donde z corresponde a coordenadas de la lámina k. Dado que Q ij puede ser diferente para cada lámina sólo queda garantizada la continuidad en deformaciones pero no en tensiones, como se ilustra en el siguiente esquema (Fig. IV.3): ε

Q

4 3 2 1 Figura IV.3.- Distribución de tensiones y deformaciones.

108


σ


Nxy Nx

Mxy

My Ny

Mxy Nxy

x Mx

Mxy

Nxy

My N xy

N y

y

CAPITULO IV

Nx Mx t

Mxy

z Figura IV.4.- Esfuerzos internos.

Introduciendo el concepto de esfuerzos internos como la resultante de tensiones, en forma idéntica al de placas isótropas, con referencia a la Fig. IV.4, éstos se definen como: k

 N x   σx  N z  σ x  t     k  2   N y  = ∫ − t  σ y  dz = ∑ ∫ z k −1  σ y  dz 2 σ  k =1  N xy  σ xy   xy 

(IV.7.a)

k

 Mx   σx  N z  σ x  t      k  2 σ = = σ M z dz ∑ y y y ∫   ∫ − t    z dz z k −1  2 σ  k =1 M xy  σ xy   xy 

(IV.7.b)

con la configuración de las láminas indicada en la Fig. IV.5. 1 2

t/2

z2 z k-1

t/2

k

z1

zo

z k

z Figura IV.5.- Configuración de las láminas.

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores (IV.7) la ley σ - ε (IV.6) :


109

CAPITULO IV


 N x  N Q11 Q12    N = ∑ Q12 Q 22  y  N xy  k =1Q16 Q 26 

Q16   Q 26  Q 66 

k

  εo   k ox    z k  x   z   k o o  ∫  ε y  dz + ∫  k y  z dz  z k −1  z k −1  o   k o  γ   xy   xy  

(IV.8.a)

k

 ε ox   k ox    M x  N Q11 Q12 Q16     z z     k  o  k  o  2 M Q Q Q z dz k z dz = ε +   22 26  ∫ z  y  y ∫  y  ∑  12 z k 1 k 1 − −   γ o  k o  M xy  k =1Q16 Q 26 Q 66       xy   xy  

(IV.8.b)

Donde se ha supuesto que Q ij es independiente de z, lo que es cierto a menos que la lámina tenga propiedades dependientes de la temperatura y haya un gradiente de temperatura en la lámina. Dado que εox, εoy, γ oxy, k ox, k oy, k oxy son independientes de z (son valores asociados al plano medio): A11 A12 A16 = A12 A22 A26 A16 A26 A66

εox εoy γ oxy

Mx B11 B12 B16 My = B12 B22 B26 Mxy B16 B26 B66

εox εoy γ oxy

Nx Ny Nxy

+

+

B11 B12 B16 B12 B22 B26 B16 B26 B66 D11 D12 D16 D12 D22 D26 D16 D26 D66

k ox k oy

(IV.9.a)

k oxy k ox k oy

(IV.9.b)

k oxy

donde: N

k

∑ Q ij (z k − z k −1 )

(IV.10.a)

1 N k 2 2 Bij = ∑ Q ij (z k − z k −1 ) 2 k =1

(IV.10.b)

1 N k 3 3 D ij = ∑ Q ij (z k − z k −1 ) 3 k =1

(IV.10.c)

A ij =

k =1

La presencia de B ij implica acoplamiento entre efectos de laja y de placa, lo que puede en algunos casos producir configuraciones deformadas, aparentemente no previstas (solicitar con Nx y aparecer deformaciones de placas).

110



CAPITULO IV

4.2.- CASOS PARTICULARES. 4.2.1. Configuraciones de una sola capa. 4.2.1.1. Capa isótropa. En este caso se cumple:Q ij = Qij , pudiéndose expresar A ij y Dij como funciones de E, ν y el espesor t. A11 = Q11 t = E t = A 1 - ν2 A16 = 0 A26 = 0

A12 = Q12 t = ν A A66 = Q66 t =

A22 = Q22 t = Q11 t = A

E t = E ( 1 - ν) t = 1 - ν A 2(1 + ν) 2 2(1 - ν2)

Bij = 0 3 3 3 3 D11 = 1 Q11 t - -t = 1 E t = E t =D 3 2 2 3 1- ν2 4 12 1 - ν2 D22 = D D16 = 0 D26 = 0

3 3 D12 = Q12 1 t + t = ν D 3 2 2 D66 = 1 - ν D 2

las relaciones (IV.9) quedan: A

Nx Ny = νA N xy 0

νA

0

A

0

0

1- ν A 2

εox εoy γ oxy

D ν D

;

Mx My = ν D Mxy 0

0

k ox

D

0

k oy

0

1- ν D 2

k oxy

(IV.11)

Ecuaciones que se corresponden con las habituales de la teoría de placas delgadas isótropas. 4.2.1.2. Capa ortótropa en ejes principales. A11 = Q11 t ; A12 = Q12 t ; A22 = Q22 t ; A16 = 0; A26 = 0; A66 = Q66t Bij = 0 ∀ ij D11= Q11t3/12 ; D12= Q12t3/12 ; D22= Q22t3/12 ; D16=0; D26=0 ; D66=Q66t3/12 quedando las relaciones (IV.9) en la forma: Nx Ny Nxy

=

A11 A12 0 A12 A22 0 0 0 A66

εox εoy γ oxy

;

Mx My Mxy

=

D11 D12 0 D12 D22 0 0 0 D66


k ox k oy

(IV.12)

k oxy

111

CAPITULO IV


4.2.1.3. Capa ortótropa en ejes no principales. Q t3 Aij = Qij t ; Bij = 0 ; Dij = ij 12 Nx Ny Nxy

A11 A12 A16 = A12 A22 A26 A16 A26 A66

εox εoy γ oxy

Mx D11 D12 D16 ; My = D12 D22 D26 Mxy D16 D26 D66

k ox k oy

(IV.13)

k oxy

Hay acoplamientos entre efectos normales y tangenciales de placas y de lajas independientemente. 4.2.1.4. Capa sencilla anisótropa. Igual que el caso anterior, si bien los coeficientes corresponden a un acoplamiento realmente anisótropo. 4.2.2. Configuraciones de varias capas simétricas. Las capas son simétricas tanto en geometría como en propiedades. De esto se deduce que los términos B ij se anulan lo que presenta varias ventajas. Desde un punto de vista de análisis, estos laminados son más sencillos dado que la ley de comportamiento tiene sólo la mitad de términos. Además no presentan tendencia a alabearse debido a las contracciones que aparecen durante el proceso de curado. La anulación de B ij puede comprobarse con una configuración geométrica idéntica respecto a z=0 (Fig. IV.6). LAMINA -A (+ α)

-z A -t

-z A zA

z A+t LAMINA +A (+ α)

z

Figura IV.6.- Configuración de varias capas simétricas. Situación geométrica.

La colaboración de ambas capas a B ij es: Bij = 1 QA zA + t 2 - zA 2 + 1 Q-A -zA 2 - -zA - t 2 ij ij 2 2 expresión que para Q Aij = Q-Aij se anula.

112



CAPITULO IV

La ley de comportamiento general (IV.9) para estos laminados queda: Nx Ny Nxy Mx My Mxy

=

A11 A12 A16 A12 A22 A26 A16 A26 A66 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 D11 D12 D16

0 0 0 D12 D22 D26

0 0 0 D16 D26 D66

εox εoy γ oxy k ox k oy k oxy

(IV.14)

A continuación se detallan los valores de A ij y Dij para los casos más normales: 4.2.2.1 Varias capas isótropas. E1 ν1t y E2 ν 2 t x E 1 ν1t Figura IV.7.- Disposición de varias capas isótropas.

Para este caso:

k k k k Q11 = Q22 = Ek ; Q16 = Q26 =0 2 1 - νk Ek k νk Ek k Q12 = ; Q66 = 2 1 + νk 1 - ν2k

De esta forma las leyes (IV.9) quedan: Nx Ny Nxy

=

A11 A12 0 A12 A11 0 0 0 A66

εox εoy γ oxy

;

Mx My Mxy

=

D11 D12 0 D12 D11 0 0 0 D66

k ox k oy

(IV.15)

k oxy

4.2.2.2. Varias capas especialmente ortótropas. El laminado está compuesto por diferentes láminas de diferentes características (o mismas con los ejes cruzados) de tal manera que el laminado tiene unos ejes principales. Lo más normal es el apilamiento de láminas iguales colocadas a 90 ° relativamente una de otra: Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

113

CAPITULO IV


"regular symmetric cross-ply laminates". Los coeficientes Q ij toman los siguientes valores (para la capa k): k = Q11

νk Ek Ek Ek k k 11 22 21 11 ; Q22 = ; Q12 = k k k 1 - ν k 1 - νk 1 - νk 12 ν21 12 ν21 12 ν21 k = 0 ; Q k = 0 ; Q k = G k Q16 26 66 12

En este tipo de disposición, además de ser cero B ij, según se ha visto anteriormente, por lo que no hay acoplamiento entre efectos placa y laja, también los términos 1,6 y 2,6 de A y D desaparecen con lo que no hay acoplamiento entre efectos normales y tangenciales. En efecto, A ij es suma de los productos Q ij de cada lámina por su espesor, pero para θ = 90° y θ = 0°, Q16 y Q26 son nulos por lo que A 16, A26, D16 y D26 son nulos. Por contra los otros valores siempre son positivos dado que: Eii > 0 ; 1 - νij ν ji > 0

⇒

Qij > 0

y los términos trigonométricos que afectan a Q 11, Q12, Q22 y Q66, están elevados a potencias pares. 4.2.2.3. Varias capas generalmente ortótropas. Se trata de laminados que están compuestos de láminas orientadas entre sí con ángulos diferentes de 0º ó 90º, por lo que el laminado se comporta aparentemente como anisótropo, ya que los términos A 16, A26, D16 y D26 no desaparecen. Así, para éste caso hay interacción entre variables tangenciales y normales. El caso más común es cuando el laminado se obtiene apilando láminas idénticas orientadas alternativamente a ángulos + α, -α. Para cumplir la premisa general de este apartado, el número total de láminas debe ser impar. Reciben el nombre de "regular symmetric angle-ply laminates". +α y -α x +α Figura IV.8.- Disposición regular symmetric angle-ply laminate.

Esta clase de laminados, tiene una ventaja adicional ya que al ser: 114



CAPITULO IV

+α +α -α -α Q16 = -Q16 ; Q26 = -Q26

al apilar muchas capas, se pueden ir compensando los términos de capas sucesivas, de tal manera que cada vez son más pequeños los valores de A 16 y A26 (y de D16 y D26) en relación al resto de los elementos de la matriz (en el caso de que todas las capas sean del mismo espesor, se compensarían las aportaciones de todas las capas, salvo la de el centro). Por tanto, si bien no es aconsejable en el diseño eliminar los términos A 16, A26, D16, D26, sí se tiene la seguridad de que el acoplamiento entre efectos normales y tangenciales va a ser muy reducido. 4.2.2.4. Varias capas anisótropas. Todos los términos están presentes en la relación, excepto los B ij debido a la situación general de simetría. No cabe hacer ningún tipo de simplificaciones o reducciones. 4.2.3. Configuraciones de varias capas antisimétricas. Estas configuraciones son necesarias porque muchas aplicaciones de materiales compuestos requieren comportamiento no simétrico. Por ejemplo si una cara debe estar en contacto con materiales corrosivos o debe aislar térmicamente. Por otro lado el propio acoplamiento entre efectos laja y placa puede ser utilizado en procesos de fabricación sometiendo el composite a tracción y obteniendo un sólido distorsionado. Simplemente, a veces se requiere aumentar la rigidez a cortante en el plano y es preciso añadir lajas a ± α. El caso general de esta configuración requiere un número par de láminas teniendo las que están en posición simétrica el mismo espesor y la orientación de las fibras cambiadas. En todas estas configuraciones hay acoplamiento entre efectos laja y lámina, aunque algunas simplificaciones pueden también alcanzarse. En efecto, A 16, A26, D16 y D26 se anulan dado que:

+α +α -α -α Q16 = -Q16 ; Q26 = -Q26

Por lo tanto las relaciones generales (IV.9) quedan en la forma: Nx Ny Nxy

A11 A12 0 = A12 A22 0 0 0 A66

εox εoy γ oxy

Mx My Mxy

B11 B12 B16 = B12 B22 B26 B16 B26 B66

εox εoy γ oxy

+

+

B11 B12 B16 B12 B22 B26 B16 B26 B66 D11 D12 0 D12 D22 0 0 0 D66

k ox k oy

(IV.16.a)

k oxy k ox k oy

(IV.16.b)

k oxy

Algunas configuraciones muy usadas, admiten aún mayores simplificaciones.


115

CAPITULO IV


4.2.3.1. Láminas cruzadas antisimétricas (Cross-ply). La configuración más sencilla es la mostrada en la figura IV.9. α = 90

α=0 Figura. IV.9.- Disposición Cross-ply.

Puede verse para esta configuración que:

Q 16 = Q26 = 0

Luego B16 y B26 = 0. Además si tomamos por ejemplo B 12: o 2 90 2 B12 = 1 Q12 -t + Q12 t 2 o

90

pero como Q12 = Q12 y Q12 = Q12

⇒

B 12 = 0

y análogamente B 66 = 0, por lo que las ecuaciones (IV.9) quedan: Nx Ny Nxy Mx My Mxy

=

=

A11 A12 0 A12 A22 0 0 0 A66 B11 0 0 - B11 0 0

0 0 0

εox εoy γ oxy εox εoy γ oxy

+

+

B11 0 0 - B11 0 0

0 0 0

D11 D12 0 D12 D22 0 0 0 D66

k ox k oy

(IV.17.a)

k oxy k ox k oy

(IV.17.b)

k oxy

Puede verse también que a medida que el número de láminas aumenta, B 11 disminuye. 4.2.3.2. Láminas anguladas antisimétricas. Consiste en apilamientos de láminas estando las fibras orientadas a + α y a -α alternativamente. La configuración más sencilla es la mostrada en la figura IV.10.

116



CAPITULO IV

y -α x +α Figura IV.10.- Disposición de láminas anguladas antisimétricamente.

En este caso, también se obtiene una simplificación en las expresiones generales (IV.9), quedando: Nx Ny Nxy

A11 A12 0 = A12 A22 0 0 0 A66

Mx My Mxy

0 0 B16 = 0 0 B26 B16 B26 0

εox εoy γ oxy εox εoy γ oxy

+

+

0 0 B16 0 0 B26 B16 B26 0 D11 D12 0 D12 D22 0 0 0 D66

k ox k oy

(IV.18.a)

k oxy k ox k oy

(IV.18.b)

k oxy

También en este caso, cuando el número de láminas aumenta, B 16 y B26 tienden a cero. 4.3.- RESISTENCIA DE LAMINADOS. La resistencia de un laminado interviene en los problemas de análisis y diseño. En el primer caso para conocer la máxima carga que puede soportar un laminado y en el segundo para establecer, conocida la carga, como debe ser un laminado para poder soportarla. N

N

N4

4

N3 N2 N1

∆

3 2 1

N i = carga a la que se produce un fallo en la lámina i ∆

Figura IV.11.- Evolución del comportamiento de un laminado frente a carga axil.

En ambos casos la resistencia del laminado se establece a partir de las resistencias de las láminas que lo componen. El laminado no tiene características de resistencia en el mismo Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

117

CAPITULO IV


sentido que la lámina, sino que su resistencia, que dependerá de cada estado de carga, se va determinando viendo el comportamiento de cada lámina hasta que no quede ninguna resistiendo. De esta forma, el fallo de una lámina no tiene porqué implicar el fallo del laminado, ni tan siquiera el fallo global de la propia lámina. Normalmente la lámina puede seguir aportando algo de resistencia en algún sentido y de cualquier forma, el resto de las láminas pueden seguir resistiendo. La Figura IV.11 representa esquemáticamente esta forma de trabajo. Puesto que la resistencia de los laminados está basada en la resistencia de las láminas, cabe volver a decir ahora lo que se dijo para aquellas. Se trata de un análisis fenomenológico, es decir un análisis macroscópico de la resistencia, tratando de saber cuándo se rompe, pero no necesariamente las razones. Los ensayos resultan obviamente más complicados que para las láminas, afectando esta dificultad principalmente a las técnicas de detección y medición del fallo y a la aplicación de las cargas. Establecimiento de las propiedades de las láminas y las cargas (paramétricamente) Cálculo de las rigideces A ij , Bij , Dij del laminado resistente Cálculo de las tensiones k en las láminas σα β

Determinar deformaciones por si hay especificaciones de diseño y establecer el nuevo laminado resistente

Cálculo de dichas tensiones en ejes principales de cada lámina. Determinación del incremento de carga para que una lámina que aún resistía, falle: ∆P k

Sí

Quedan láminas resistiendo ? No La carga de rotura está determinada P = Pk −1+ ∆ Pk

Figura IV.12.- Esquema de actuación para determinar la carga última de un laminado.

Una dificultad adicional está en el hecho de que los criterios de resistencia para láminas están en ejes principales y es imposible que las tensiones resultantes del análisis directo del laminado para todas ellas estén en esos ejes.

118



CAPITULO IV

La resistencia de un laminado se ve en general afectada por los siguientes factores.       

Resistencia de las láminas que lo componen Rigideces de las láminas Coeficiente de dilatación de las láminas Orientación de las láminas Espesor de las láminas Secuencia de apilado de las láminas Temperatura de curado

El esquema de actuación para determinar la carga última que puede soportar un laminado se explicita en la figura IV.12. A veces ∆Pk es cero, es decir cuando una lámina falla (o parte de ella al menos) la redistribución de tensiones que ello conlleva, puede producir el agotamiento simultáneo de otras láminas (o parte de ellas). De nuevo surge la necesidad de elegir un criterio de rotura para las láminas. A continuación se establecen comparaciones entre los de máxima tensión, máxima deformación y Tsai-Hill para el caso de un láminado angle-ply simétrico. Las láminas son de fibra de vidrio-epoxy y el estado de tensión es biaxial para las láminas, aunque monoaxial para el laminado. La relación esfuerzos deformaciones queda de la forma: Nx Ny Nxy

A11 A12 A16 = A12 A22 A26 A16 A26 A66

εox εoy γ oxy

A11 A12 A16 -1 = A12 A22 A26 A16 A26 A66

εox εoy γ oxy

(IV.19)

o bien: Nx Ny Nxy

(IV.20)

relación que en adelante se representará en forma A -1 = A', quedando para este caso: εox εoy γ 0xy

A'11 A'12 A'16 =

A'12 A'22 A'26 A' A' A' 16

26

N1 0 0

(IV.21)

66

es decir:


119

CAPITULO IV


εox = A'11 N1 ; εoy = A'12 N1 ; γ oxy = A'16 N1

(IV.22)

por lo que las tensiones se calcularían para cada capa: σx σy σxy

k

=

Q11 Q12 Q16

A'11 N1

Q12 Q22 Q26

A'12 N1

Q16 Q26 Q66

A'16 N1

(IV.23)

Las siguientes Figuras. (tomadas del libro de Jones) representan los resultados teóricos y experimentales para los tres criterios enunciados. De nuevo puede verse que los resultados experimentales (obtenidos de la expresión anterior para los valores de N 1 en el instante de la rotura) no se ciñen a las cúspides que aparecen tanto en el criterio de máxima tensión como en el de máxima deformación, siendo mejores los resultados obtenidos con Tsai-Hill. En los tres criterios se representa el valor de N 1 que puede soportarse sin fallo de ninguna capa. Más adelante se verá que en un laminado simétrico angle-ply todas las capas fallan a la vez, por lo que N 1 representa en realidad el fallo del laminado. N1/t +θ -θ

N1/t +θ -θ

N = 3

100 70

N = 3

100 70

40 N1 /t ksi 20

N1/t +θ -θ

40 N1 /t ksi 20 COMPRESSION TENSION

10 7 4

40 N1 /t ksi 20 COMPRESSION

10 7

TENSION

4 0

30

60

90

ANGLE-PLY ANGLE, θ

(a)

N = 3

100 70

COMPRESSION

10 7

TENSION

4 0

30

60

90

ANGLE-PLY ANGLE, θ

0

30

60

90

ANGLE-PLY ANGLE, θ

(b)

(c)

Figura IV.13.- a) Criterio de la máxima tensión, b) Criterio de la máxima deformación, c) Criterio de Tsai-Hill.

Es preciso indicar que el hecho de que el criterio de Tsai-Hill se ciña mejor, para predecir el fallo, a los resultados experimentales que los criterios de máxima tensión y máxima deformación, en los ángulos donde los diferentes mecanismos de fallo de acuerdo a estos criterios intersectan, no imprime carácter generalizado de validez al criterio. Como se verá en el apartado 4.6, el comportamiento real de los materiales compuestos es mucho más complejo en cuanto a la evolución del daño de lo que se ha podido entrever hasta ahora, y un criterio no sólo debe predecir la aparición del fallo (fallo que por otro lado no tiene en los materiales compuestos la nitidez que tiene en los metálicos) sino que además debe dar indicaciones respecto a la evolución de las propiedades con la aparición del daño.

120



CAPITULO IV

4.4.- EFECTO DE LA TEMPERATURA DE CURADO. Hasta ahora no se ha introducido en la ley de comportamiento el hecho de que la temperatura de funcionamiento puede no ser la temperatura de curado que se corresponde con la temperatura libre de tensiones. En caso de que no coincidan, las deformaciones totales se pueden poner en la forma: εi = Sij σ j + αi ∆T

i,j = 1,2,......6

(IV.24)

i,j = 1,2...........6

(IV.25)

donde αi para i >3 vale cero. La relación inversa se puede poner en la forma: σi = Cij (ε j - α j ∆T)

Esta relación se puede particularizar para el caso de tensión plana al que suponemos están sometidas las láminas: σz = 0 ; σxz = 0 ; σyz = 0

quedando, de forma análoga al caso sin temperatura: σ11 σ22 σ12

Q11 =

Q12

0

Q12 Q22

0

ε22 − α 2 ∆Τ

Q66

γ 12

0

0

ε11 − α 1 ∆Τ

(IV.26)

donde ∆T = Temperatura de carga - Temperatura de curado. La contradicción entre el estado de tensión plana que acaba de aplicarse y el de deformación plana que se utilizó en la primera pregunta para deducir la teoría general de laminados, es una inconsistencia de la Teoría de Kirchhoff-Love para placas delgadas no apareciendo ninguna hipótesis adicional por el hecho de estar tratando con materiales compuestos. En realidad, la teoría de placas delgadas, no requiere la hipótesis de que cualquier línea perpendicular a la superficie deformada no se acorta. En efecto, la deformación transversal a la placa tiene como ecuación, ε z ( x, y, z) =

∂w ( x, y, z) ∂z

(IV.27)

que integrada conduce a: w(x,y,z) = εz (x,y,z) · z + w(x,y)


(IV.28)

121

CAPITULO IV


y bastaría admitir que el primer término es pequeño en comparación al segundo. La hipótesis εz =0, conduce al mismo resultado, pero provoca la idea errónea de estar ante un estado de deformación plana que luego resulta incompatible con la suposición del estado de tensión plana (normalmente llamado tensión plana generalizada) que se supone para aplicar la ley de comportamiento. Expresando la ley de comportamiento termoelástica en ejes no principales, para una lámina cualquiera k: σx σy σxy

k

Q11 Q12 Q16 k = Q12 Q22 Q16 Q16 Q26 Q66

εx - αx ∆Τ

k

(IV.29)

εy - αy ∆Τ γ xy - αxy ∆Τ

donde αx, αy, αxy se obtienen de la transformación indicada en el Capítulo II: εT x εT y

=

γ T xy

cos2 θ

sen2 θ

-2 sen θ cos θ

-α1 ∆ T

sen2 θ

cos2 θ

2 sen θ cos θ

-α2 ∆ T

sen θ cos θ

-sen θ cos θ

cos2 θ- sen2 θ

0

(IV.30)

2 de donde:

γ T xy

εTx = (-α1 cos2θ - α2 sen2θ) ∆T = - αx∆T εTy= (-α1 sen2θ - α2 cos2θ) ∆T = - αy∆T

α = - sen θ cos θ α1 ∆T + sen θ cos θ α2 ∆T = - xy ∆ T 2 2

(IV.31)

Las expresiones anteriores conducen de manera inmediata a: αx = α1 cos2θ + α2 sen2θ αy = α1 sen2θ + α2 cos2θ αxy = 2 (α2 sen θ cos θ - α1 sen θ cos θ)

(IV.32)

Introduciendo la ley de comportamiento anterior (IV.29) en la expresión de los esfuerzos (IV.7.a), se obtendría ahora:

122



Nx Ny Nxy

A11 A12 A16 = A12 A22 A26 A16 A26 A66

εox εoy γ oxy

+

B11 B12 B16 B12 B22 B26 B16 B26 B66

CAPITULO IV

k ox k oy k oxy

NT x - NT y

(IV.33)

NT xy

donde Aij y Bij tendrían el mismo significado que anteriormente (IV.10.a y b), y: N T x N T y

Q11 Q12 Q16 k Q12 Q22 Q26

=

Q16 Q26 Q66

N T xy

k

αx αy αxy

∆ T dz

(IV.34)

y análogamente para los momentos (IV.7.b): Mx My Mxy

B11 B12 B16 = B12 B22 B26 B16 B26 B66

εox εoy

+

γ oxy

D11 D12 D16 D12 D22 D26 D16 D26 D66

k ox

MTx

k oy

- MTy

k oxy

MTxy

(IV.35)

donde Dij tendría el mismo significado que anteriormente (IV.10.c), y: MTx MTy

Q11 Q12 Q16 Q12 Q22 Q26

=

MTxy

k

αx αy αxy

Q16 Q26 Q66

∆ T z dz

(IV.36)

Naturalmente, los esfuerzos térmicos pueden ser incluidos como esfuerzos asimilables a los debidos a las cargas actuantes apareciendo unos esfuerzos equivalentes. Así: N* = N + NT = A εo + B k o M* = M + MT = B εo + D k o

(IV.37)

que escrita en forma compacta (también la inversa): N* A B = M* B D

εo

εo

k o

k o

=

A´ B´ B´ D´

N* M*

(IV.38)

Una vez determinado M * y N* de las cargas exteriores y del estado térmico de trabajo, se calcula εo y k o de la ecuación (IV.38), y posteriormente σ para cada lámina k (aplicando la


123

CAPITULO IV


nueva ley de comportamiento termoelástica (IV.29)), pudiéndose aplicar un criterio de fallo a dicho estado tensional para comprobar a resistencia. 4.5.- EJEMPLOS. 4.5.1.- Ejemplo 1. Se considera un laminado formado por tres capas con las fibras orientadas perpendicularmente (cross-ply) y con la disposición indicada en la Fig. IV.14. Determinar la carga máxima que soporta el laminado. capa 1

Nx ≡ P

capa2

1t e= 12

capa 3 e=

10 t 12

e=

1t 12

Nx ≡ P Figura IV.14.- Esquema del laminado del problema 4.5.1.

Las características de las láminas, que corresponden a un compuesto de fibra de vidrio-resina epoxy, son: E11 = 7.8 106 psi ; E22 = 2.6 106 psi; ν12 = 0.25 ; G12 = 1.25 106 psi ν21 =0.083 ; α1 = 3.5 10-6 ºF-1 ; α2 = 11.4 10 -6 °F-1

Xt = Xc = 150 ksi ; Y t = 4 ksi ; Yc = 20 ksi ; S = 6 ksi SOLUCION: Se trata de un laminado cruzado y simétrico ("symmetric-cros-ply"), luego no hay acoplamiento entre efectos de laja y placa: B ij = 0. Las rigideces de las láminas son:

124



(1)

(2 )

Q11 = Q22 =

E 11

CAPITULO IV

= 7.966 ⋅ 106 psi

1 − ν12 ν 21 E 22 (1) (2 ) = 2.655 ⋅ 10 6 psi Q 22 = Q11 = 1 − ν12 ν 21 ν12E 22 ν 21E11 (2 ) = = = = 0.6638 ⋅ 106 psi Q(1) Q 12 12 1 − ν12 ν 21 1 − ν12 ν 21 1

2

1

2

Q66 = Q66 = G12 =1.25 106 psi 1

2

Q16 = Q16 =Q26 = Q26 =0 Los coeficientes de dilatación térmica en ejes no principales: 1 2 αx = αy = α 1 cos2 θ + α 2 sen2θ  θ =0 = α 1 = 3.5 10-6 °F -1 1 2 αy = α x = α 1 sen2 θ + α2 cos2θ  θ =90 = α 2 = 11.4 10-6 °F -1 1 2 αxy = αxy = α 1 sen θ cos θ - α 2 sen θ cos θ  θ=0 = 0 θ=90

Las características de rigidez del laminado (nótese que sólo es preciso calcular A ij, pues sólo hay solicitación exterior axil P) son: 1 2 1 A11 = Q11 - 5 + 6 t + Q11 10 t + Q11 6 - 5 t = 12 12 12 12 12 1 2 = 2 Q11 t + 5 Q11 t = 7.966 t + 2.655 10 t 106 = 3.5401 106 t psi 12 12 6 12

y análogamente: A12 = 0.6638 106 t psi ; A 22 = 7.0809 106 t psi ; A66 = 1.2500 10 6 t psi siendo t el espesor del laminado. Las características de flexibilidad del laminado A' , se calculan invirtiendo A (usando que N = A ε y ε = A' N). A'11 = 0.2875 10-6 / (t psi) A'12 = - 0.0270 10-6 / (t psi) A'22 = 0.1438 10-6 / (t psi) A'66 = 0.800 10 -6 / (t psi) Admitiendo que la temperatura de curado ha sido superior a la temperatura de funcionamiento, será preciso introducir los efectos térmicos. Usando (IV.34):


125

CAPITULO IV


NTx NTy

=

NTxy

Q11 Q12 Q16 k

αx

Q12 Q22 Q26

αy

Q16 Q26 Q66

αxy

(1) Q11 Q12 = 2 Q(1) Q(1) 12 22

0

α (1) x

0

α(1) y

0

Q66

(1)

0

(1)

α(1) xy

∆T 1 t+

12

∆ T dz =

(2)

(2)

Q11 Q12

0

α(2) x

Q12 Q22

(2)

(2)

0

α(2) y

0

(2)

0 33.1 = 35.0 0

k

Q66

∆T 10 t =

12

α(2) xy

t ∆T psi /°F

Los momentos térmicos, dada la configuración simétrica del laminado son cero. Para obtener las expresiones de las tensiones en las láminas hay que utilizar sucesivamente las siguientes ecuaciones: ' '  ε ox   A11 A12  o   ' '  ε y  = A12 A 22 '  γ o  A16 A '26  xy  

εx εy γ xy

k

=

'   N + N T  A16 x x   ' T A 26   N y  A '66   N Txy 

εox εoy γ oxy

k ox + zk

k oy k oxy

dado que B ij = 0, Mα = 0, MTα = 0. Para cada lámina: σx σy σxy

k

=

Q11 Q12 Q16 k

εx − α x ∆ T

Q12 Q22 Q26

εy − α y ∆ T

Q16 Q26 Q66

γ xy − α xy ∆ T

k

sustituyendo los valores anteriormente calculados: -1 σx1 = 2.27 Nx + 35.5 ∆T psi °F t -1 N 1 σy = 0.12 x - 16.0 ∆T psi °F t 1 σxy = 0

126

-1 N 2 σx = 0.75 x - 7.1 ∆T psi °F t -1 N 2 σy = - 0.024 x + 3.2 ∆T psi °F t 2 σxy = 0



CAPITULO IV

Las tensiones son funciones lineales de las cargas exteriores N x y del incremento térmico. Las expresiones de σ (k) αβ encontradas requieren una reflexión de tipo cualitativo que ayude a entender el funcionamiento de este laminado. Consideremos en primer lugar el caso de ∆T = 0. Es obvio que N x provocará tensiones de tracción en las dos láminas lo que justifica el signo positivo del término de N x en σ (k) x . Los (2) valores de los coeficientes de estos términos en σ (1) x y σ x también pueden ser razonados. La compatibilidad de deformaciones que implica el modelo conlleva que las láminas a 0 0 y 900 deben alargarse lo mismo. Mientras que E 11 controla el alargamiento de las láminas a 0 0, E22 controla el alargamiento de las láminas a 90 0. La relación entre los coeficientes de N x para las capas a 0 y 90 es aproximadamente la relación entre los valores de E que controlan el alargamiento en la dirección de la carga. Para hacer un razonamiento similar sobre σ (k) y es adecuado ayudarse del diagrama que aparece en la Fig. IV.15. Posición final de la lámina a 90º aislada

Posición final de la lámina a 0º aislada

Posición final del conjunto

Posición de ambas láminas antes de aplicar la carga

Plano de simetría del laminado

Figura IV.15 Esquema de las deformaciones transversales de las láminas y del laminado actuando Nx.

La aparición de σy en las láminas, dado que N y = 0, sólo puede ser debida a la diferente tendencia a la contracción lateral de las láminas a 0 0 y 900 debido a la acción de N x. En la Fig. IV.15 se representan las posiciones de las dos láminas como si estuvieran ambas aisladas. La compatibilidad de deformaciones del modelo desarrollado exige que la posición final sea común a ambas, encontrándose entre las dos anteriores, lo que conlleva que quede traccionada en la dirección y la lámina a 0 0 y comprimida la lámina a 90 0. La posición final dibujada en la Fig. IV.15, más cercana a la supuesta para la lámina a 90 0, es coherente con el hecho de que existen 10 láminas en dirección 90 0 y 2 en dirección 0 0. Los módulos de los (2) coeficientes de σ (1) y y σ y guardan aproximadamente esta proporción.


127

CAPITULO IV


La influencia de ∆T en σ (k) αβ puede ser asimilada con un razonamiento equivalente. La Fig. IV.16 recoge las posiciones deformadas de las láminas a 0 y 90 0 con un incremento térmico así como la posición final común. Dado que el incremento térmico en la operación de curado es negativo la figura es coherente con esta situación, no así las expresiones de σ (k) αβ donde ∆T es genérico. Las deformaciones supuestas aisladas de las láminas a 0 y 90 0 (con un ∆T negativo) recogen los diferentes valores de α en la dirección de las fibras y perpendicular a ellas. Llevar las láminas a una situación compatible exige en la dirección x comprimir la lámina a 0 0 y traccionar la de 90 0 y exige en la dirección y traccionar la de 0 0 y comprimir la de 900. Los módulos de los coeficientes recogen las diferentes capas orientadas en las direcciones x (2 (2) capas) e y (10 capas), siendo la proporción entre los módulos de σ (1) x y σ x en lo que (2) concierne a ∆T del orden de 5 (Idem respecto a σ (1) y y σ y ). Posición final del laminado

Deformada de la lámina a 0º, supuesta a islada, por descenso de la temperatura

Deformada de la lámina a 90º, supuesta aislada, por descenso de la temperatura

Fig. IV.16. Esquema de las deformaciones térmicas de las láminas y del laminado.

Ahora hay que aplicar un criterio de rotura a cada lámina para saber los máximos valores de Nx e ∆T que puede soportar el laminado. Aplicando el criterio de Tsai-Hill: σ 2 σ 2 σx 2 σx σy + y + xy = 1 X Y S X2

Aplicándolo a la capa exterior se obtiene: Nx = 110 ∆T psi + t °F

2

57.5 Y - 3000 ∆T 2

psi 2 °F

Si la temperatura de curado es 270 °F y el laminado se carga a 70 °F, ∆T = -200 °F por lo que:

128



CAPITULO IV

Nx = 6300 psi t y si ∆T = 0: N x = 30400 psi t Análogamente, en la capa interior: Nx ≅ 9.6 ∆ T psi °F-1 + 5.32 psi t Nx Si ∆T = -200 °F ==> t = 3400 psi Nx Si ∆T = 0 °F ==> t = 5320 psi Luego para ambas situaciones consideradas falla antes la capa interna. En la figura IV.17 se realiza una representación gráfica del comportamiento del laminado para el caso en el que se considera el efecto de curado ( ∆T = -200ºF). Nx

N

x

(∆ T = -200 ° F) N

1

o

ε x = A´11 Nx = 0.098 % ε

Figura IV.17.- Comportamiento del laminado.

El alcanzar el valor de N x = 3400 psi (bajo la hipótesis de ∆T=-200°F) no quiere decir que el laminado haya fallado. Dada la naturaleza de la carga exterior, lo que se habrá producido en las láminas a 90º es una serie de fisuras paralelas a la dirección de las fibras, mermando así la rigidez de la lámina central en la dirección x y tangencialmente, lo que alterará a partir de ese instante las constantes del material de la lámina 2. Así: (2)

Q11 = 0

(2)

6

Q22 = 7.97 10

psi

(2) 12

Q= 0

(2)

Q66 = 0

A efectos numéricos, los ceros deben sustituirse por valores muy pequeños. Los coeficientes no nulos de la matriz A' son: A'11= 0.75 10

-6

/ (t psi)

A'12= 0.01 10

-6

/ (t

psi)

A'22= 0.14 10


-6

/ (t psi) 129

CAPITULO IV


Las tensiones son ahora: (1)

σx σx

(2)

(1)

= 0.47 Nx / t - 19.3 ∆T psi °F-1

= 6.00 Nx / t

σy

=0

(2) σy = -0.09 Nx / t + 3.9 ∆T psi °F-1

(1)

σxy

(2)

σxy

=0 =0

Al haberse fisurado la capa intermedia en la dirección perpendicular al esfuerzo, ya no hay (1) tensiones residuales en σx debido a la temperatura de curado. Obsérvese la subida en la tensión en la dirección x en la capa exterior al transmitirsele la carga que soportaban las capas intermedias (las cinco capas que han fallado en la dirección x). También es significativo el aumento de la tensión en la dirección y en la capa externa debido al aumento de alargamiento en la dirección x lo que conllevaría una mayor contracción en la dirección y que las capas intermedias, intactas en la dirección de la fibra, no permiten, lo que genera un aumento en la tracción en dirección y. Si calculamos ahora el estado tensional provocado por el esfuerzo anterior N x /t = 3400 psi obtendremos: (1)

σx

= 20400 psi

(1)

σy

= 5458 psi

Si se aplica ahora el criterio de Tsai-Hill: 2

2

 20.4   20.4 ⋅ 5.458   5.458   150  −  1502  +  4  > 1

Con lo que al fallar la lámina intermedia, fallan también las exteriores transversalmente a la dirección de la carga, produciéndose también en ellas fisuras paralelas a las fibras. Por consiguiente, el laminado puede seguir trabajando pero totalmente desacoplado. Las láminas exteriores e interiores aguantan sólo en la dirección de las fibras. Las únicas rigideces no nulas son: (1)

(2)

Q11 = Q22 = 7.97 106 psi Los coeficientes de la matriz A' son ahora: -6

-6

A'11 = 0.77 10 / (t psi) ; A'12 = 0 ; A'22 = 0.15 10 / (t psi) Siendo la única tensión que se desarrolla: Nx (1) σx = 6.00 t Obviamente ya no aparecen efectos térmicos en las tensiones por el desacoplamiento mecánico y térmico observado. El criterio de fallo se reduce ahora a:

130



(1)

σ x < Xt

(1)

CAPITULO IV

; 150000 = 6 N x /t

Luego Nx /t = 25000 psi. es el máximo esfuerzo que podría soportar el laminado. La deformación ahora sería: -6 εox = A'11 Nx = 0.77 10 25000 = 1.925 % o

Con lo que el diagrama N x/t frente a εx (%) quedaría (Fig. IV.18) Nx t

D C

25000 A B

3400 0.098

O

0.16 0.26

εx (%)

1.925

Figura IV.18.- Diagrama Nx/t frente a εxo.

El salto brusco AB que aparece en el gráfico no se produce en la realidad, si bien el cambio de pendiente es claramente visible. Por ello algunos textos indican la linea OAD. La realidad será una adaptación progresiva con cambios suaves de pendiente originado por la aparición progresiva de las fisuras anteriormente explicadas, en lugar de la curva teórica OABC. 4.5.2.- Ejemplo 2. Se considera un laminado, de un compuesto de grafito-epoxy de denominación AS4/8552, formado por tres capas con las fibras orientadas perpendicularmente (cross-ply) y con la disposición indicada en la Fig. IV.19. El espesor total del laminado es t = 1.72 mm, siendo el espesor de las láminas 1 y 3 t/12 y el espesor de la lámina 2 10t/12.


131

CAPITULO IV


capa 1

Nx = P

capa 2

1t e= 12

capa 3 e=

10 t 12

e=

1t 12

Nx = P Figura IV.19.- Esquema del laminado del problema 4.5.2.

Las propiedades características de las láminas son: E11 = 151 GPa ; E 22 = 8.4 GPa; ν12 = 0.3 ; G12 = 5.25 GPa -6 -1 -6 -1 α1 = 1.94·10 ºC ; α2 = 6.33·10 °C

Xt = 2225 MPa ; Xc = 1300 MPa ; Y t = 61 MPa ; Y c = 245 MPa ; S = 108.85 MPa Sabiendo que la temperatura de curado de la resina es de 180 ºC, se pretende determinar la carga máxima P que soporta el laminado sometido a tracción a temperatura ambiente (25 ºC). SOLUCIÓN: Al igual que en el problema 4.5.1, se trata de un laminado cruzado y simétrico ("symmetriccross-ply"), luego no hay acoplamiento entre efectos de laja y placa: B ij = 0. Las rigideces en ejes de ortotropía de la lámina, para este material, son: Q11 =

E11

= 151.8 GPa Q 22 =

1 − ν12 ν 21 ν E Q12 = 21 11 = 2.53 GPa 1 − ν12 ν 21

E 22 1 − ν12 ν 21

= 8.44 GPa

Q 66 = G12 = 5.25 GPa

quedando la matriz Q ij (expresada en GPa) de la forma: 151.8 2.53 0    Q ij =  2.53 8.44 0     0 0 5.25

132



CAPITULO IV

A partir de la anterior se determinan las matrices de rigidez de cada lámina en ejes del laminado, que expresadas en GPa quedan: Q

1 ij =

151.8 2.53 0    Q =  2.53 8.44 0    0 5.25  0 3 ij

8.44 2.53 0    Q = 2.53 151.8 0    0 5.25  0 2 ij

Una vez evaluadas las matrices de cada lámina podemos determinar la matriz de rigidez del láminado completo, es decir A ij y Dij, puesto que B ij = 0 por la simetría del laminado. 3

Aij = ∑ Qk ij (z k − z k −1 ) = (Q1ij + 5Q2ij ) k =1 3

t 6

1 t3 k 3 1 2 3 Dij = ∑Q ij (z k − z k −1 ) = (91Q ij + 125Q ij) 3 k =1 2592 Evaluando numéricamente estas expresiones se obtiene: 32.33 2.53 0    Aij =  2.53 127.91 0 t    0 0 5.25

5.74 0.21 0    Dij = 0.21 7.62 0 t 3    0 0 0.44

Los coeficientes de dilatación térmica en ejes del laminado se evalúan usando la expresión: α x = α 1 cos2 θ + α 2 sen 2 θ α y = α 1 sen2 θ + α 2 cos 2 θ α xy = 2senθ cos θ(α 2 − α1 )

de forma que para las láminas 1 y 3 quedarán como sigue, α1x = α 3x = α1 = 1.94 ⋅ 10−6 ºC−1 α1y = α 3y = α 2 = 6.33 ⋅ 10 6 ºC

−1

−

1

3

α xy = α xy = 0

y para la lámina 2 nos queda lo siguiente. α 2x = α 2 = 6.33 ⋅ 10−6 ºC−1 α 2y = α 1 = 1.94 ⋅ 10 6 ºC −

−1

2

α xy = 0

Los esfuerzos térmicos, debidos a que la temperatura de curado ha sido superior a la temperatura de ensayo, se determinan mediante la expresión (IV.34):


133

CAPITULO IV


k

 Q Q 12 Q16  α x NTx  T  3  11    Ny  = ∑Q12 Q 22 Q 26  α y   T  k =1     N xy  Q16 Q 26 Q 66 α xy  k

∫ z

z k

∆Tdz =

k −1

151.8 2.53 0  1.94 8.44 2.53 0  6.33    −6   t  10t = 2  2.53 8.44 0  6.3310 ∆T + 2.53 151.8 0  1.9410−6 ∆T = 12  12      0 5.25  0  0 5.25  0   0  0 100.36   = 268.48(KPa ºC ) t ∆T    0 

Los momentos térmicos, dada la configuración simétrica del laminado son cero. Para obtener las deformaciones y curvaturas del plano medio del laminado tendremos que resolver el siguiente sistema de ecuaciones, donde las tres primeras están desacopladas de las tres últimas por la simetría del laminado, como ya se mencionó antes.  x  100.36 32.33 2.53 N 0   εox           0  + 268.48t ∆ T =  2.53 127.91 0 t  εoy          0 5.25 γ oxy  0  0   0 0 0 5.74 0.21 0   k ox       3 o  0 + 0 = 0.21 7.62 0 t  k y         0 0  0 0 0.44 k oxy 

Como se puede observar, es inmediato deducir de las tres últimas ecuaciones que las curvaturas son todas nulas. Para obtener las deformaciones invertiremos las tres primeras ecuaciones. ε ox  30.979 −0.613 0  −12  Nx + 100.36 ⋅ 103 ⋅ t ∆T  o   10  3 ε y  = −0.613 7.830  268.48 ⋅ 10 ⋅ t ∆T  = 0  o    t  γ xy   0   0 190.476 0 ε ox  30.979 2944.541  o   −12 N x   ε y  = −0.61310 + 2040.73510−9 ∆T o  t    γ xy   0   0 

En este caso, por ser cero las curvaturas, las deformaciones serán uniformes en todo el espesor del laminado, e iguales a las deformaciones del plano medio.

134



CAPITULO IV

ε x   ε ox  0    o   ε y  =  ε y  + z0    o   γ xy  γ xy  0

Conocidas las deformaciones, las tensiones en cada lámina se evalúan mediante el uso de la expresión IV.29, σx

k

  σ y    σ xy 

Q 11 Q12 Q16 k ε x − α x ∆T k    = Q12 Q 22 Q26   ε y − α y ∆T     Q16 Q 26 Q66  γ xy − α xy ∆T

que para las láminas 1 y 3, y expresando las tensiones en Pa, queda en la forma: 1

3

151.8 2.53  1.004   0   30.979         −3 N x   3  σ y  =  σ y  =  2.53 8.44 + − 4.289 ⋅ 10 ∆T = 0   −0.613 ⋅ 10 t            0 5.25   0   0   σ xy  σ xy   0 1 3 4.701 141.556 σx σx       N x   σ y  =  σ y  = 0.073⋅ + − 33.659 ⋅ 103 ∆T       t    0  σ xy  σ xy   0  σx

σx

Así mismo, para la lámina 2 se obtiene: σ x 2 8.44 2.53 −3.386  0   30.979       −3 Nx   3  σ y  = 2.53 151.8 0   − 0.613 ⋅ 10 +  0.101  ⋅ 10 ∆ T =    t        σ xy   0  0   0 5.25   0  2

 0.260  − 28.322     N x   3 σ y  = − 0.014⋅ +  6.765  ⋅ 10 ∆T     t    0  σ xy   0  σx

Las tensiones son funciones lineales de las cargas exteriores N x y del incremento térmico ∆T. Igual que se hizo en el problema 4.5.1, las expresiones de σ (k) αβ encontradas requieren una reflexión de tipo cualitativo que ayude a entender el funcionamiento de este laminado. Considerando en primer lugar el caso de ∆T = 0. Es obvio que N x provocará tensiones de tracción en las dos láminas lo que justifica el signo positivo del término de N x en σ (k) x . Los (1) (2) valores de los coeficientes de estos términos en σ x y σ x también pueden ser razonados. La compatibilidad de deformaciones que implica el modelo conlleva que las láminas a 0 0 y 900 deben alargarse lo mismo. Mientras que E 11 controla el alargamiento de las láminas a 0 0, Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

135

CAPITULO IV


E22 controla el alargamiento de las láminas a 90 0. La relación entre los coeficientes de N x para las capas a 0 y 90 es aproximadamente la relación entre los valores de E que controlan el alargamiento en la dirección de la carga, es decir: 4.701 E11 151 ≈ = ≈ 18 0.260 E 22 8.4 Para hacer un razonamiento similar sobre σ (k) y podemos ayudarnos del mismo diagrama usado en el problema anterior, que aparecía en la Figura IV.15. La aparición de σy en las láminas, dado que N y = 0, sólo puede ser debida a la diferente tendencia a la contracción lateral de las láminas a 0 0 y 900 debido a la acción de N x. En la Fig. IV.15 se representan las posiciones de las dos láminas como si estuvieran ambas aisladas. La compatibilidad de deformaciones del modelo desarrollado exige que la posición final sea común a ambas, encontrándose entre las dos anteriores, lo que conlleva que quede traccionada en la dirección y la lámina a 0 0 y comprimida la lámina a 90 0. La posición final dibujada en la Fig. IV.15, más cercana a la supuesta para la lámina a 90 0, es coherente con el hecho de que existen 10 láminas en dirección 90 0 y 2 en dirección 0 0. Los valores absolutos (2) de los coeficientes de σ (1) y y σ y guardan aproximadamente esta proporción: 0.073 10 espesor de láminas a 90º ≈ = 0.014 2 espesor de láminas a 0º La influencia de ∆T en σ (k) αβ puede ser asimilada con un razonamiento equivalente. En la Figura IV.16 se mostraban las posiciones deformadas de las láminas a 0 y 90 0 con un incremento térmico así como la posición final común. Dado que el incremento térmico en la operación de curado es negativo la figura es coherente con esta situación, no así las expresiones de σ (k) αβ donde ∆T es genérico. Las deformaciones supuestas aisladas de las láminas a 0 y 90 0 (con un ∆T negativo) recogen los diferentes valores de α en la dirección de las fibras y perpendicular a ellas. Llevar las láminas a una situación compatible exige en la dirección x comprimir la lámina a 0 0 y traccionar la de 90 0 y exige en la dirección y traccionar la de 0 0 y comprimir la de 90 0. Los módulos de los coeficientes recogen las diferentes capas orientadas en las direcciones x (2 (2) capas) e y (10 capas), siendo la proporción entre los módulos de σ (1) x y σ x en lo que (2) concierne a ∆T del orden de 5 (Idem respecto a σ (1) y y σ y ). Para obtener la carga de fallo de las láminas tendremos que aplicar un criterio de fallo a todas ellas, con objeto de evaluar cuál de ellas falla a una carga inferior, lo que marcará el máximo de Nx aplicable hasta que se produce el fallo de la primera lámina. Aqui, y a efectos de comparación, se van a utilizar dos criterios diferentes: el criterio de Tsai-Hill y el criterio de máxima tensión.

136



CAPITULO IV

Aplicación del criterio de Tsai-Hill para la determinación del fallo a primera lámina. La expresión general del criterio de Tsai-Hill es la siguiente. σ1

2

σ2

2

σ1σ 2

σ12

2

  +  − 2 +   =1  X   Y   S  X

Para las láminas a 0º se tiene que σ1 = σ x > 0 ; σ 2 = σ y > 0 ; σ12 = σ xy = 0

quedando la expresión del criterio:  σ x 2  σ y 2 σ x σ y  σ xy  2   +  − 2 +   =1 X T  S   XT   YT 

Sustituyendo valores en esta expresión se llega a la ecuación de segundo grado en N x/t:  Nx 2  N a   + b ∆T  x  + (c ∆T 2 − X 2T YT2 ) = 0  t   t 

donde a, b y c son funciones de X T e YT, que vienen dadas por las siguientes expresiones. a = 21.756 ⋅ YT2 + 0.005 ⋅ X2T b = 1478806.883 ⋅ YT2 − 4914.214 ⋅ X 2T c = 24802734540 ⋅ YT2 + 1132928281 ⋅ X2T Resolviendo la ecuación anterior, para ∆T = -155 ºC, se obtiene: N x = 399.360 MPa t En caso de no considerar los esfuerzos térmicos de curado ( ∆T = 0 ºC) se obtendría: N x = 414.272 MPa t Para la lámina a 90º tenemos σ1 = σ y < 0 ; σ 2 = σ x > 0 ; σ12 = σ xy = 0

con lo que la expresión del criterio queda ahora:  σ y 2  σ x  2 σ x σ y  σ xy  2   +   − 2 +  =1  XC   YT  X C  S 


137

CAPITULO IV


Sustituyendo valores se llega a: Nx 2 N a   − b ∆ T  x  + (c ∆T 2 − X2CYT2 ) = 0  t   t  donde a, b y c son ahora: a = 0.004 ⋅ YT2 + 0.068 ⋅ X 2C b = 2344.828 ⋅ YT2 + 14727.440 ⋅ X 2C c = 237363555 ⋅ YT2 + 802135684 ⋅ X 2C La resolución de la ecuación anterior, para ∆T = -155 ºC, nos da: N x = 217.713 MPa t y en el caso de que no se consideren los esfuerzos térmicos de curado ( ∆T = 0 ºC) se obtiene: N x = 234.601 MPa t Luego para ambos casos (considerando o no los esfuerzos térmicos de curado) se produce en primer lugar el fallo de la lámina con las fibras formando 90º respecto de la dirección de aplicación de la carga, es decir la lámina 2. Si analizamos la expresión del criterio, para el valor de las tensiones en la lámina 2 asociadas a la carga que produce el fallo, tenemos la siguiente expresión. 60.995 2 −4.096 ⋅ 60.995 0 2 +   +  −  =1  1300   61   108.85  1300 2 − 4.096

2

Como se puede observar, el término predominante en la expresión anterior es el segundo, que corresponde a la tensión perpendicular a las fibras. Aplicación del criterio de Máxima Tensión para la determinación del fallo a primera lámina. Para las láminas 1 y 3 ( 0º ) se tiene que: σ1 = σ x > 0 ; σ 2 = σ y > 0 ; σ12 = σ xy = 0

con lo que las expresiones del criterio quedarían: σx = X T

;

σ y = YT

Sustituyendo la expresión de las tensiones, se obtiene:

138



CAPITULO IV

N N x XT − 141556 ⋅ ∆ T = 4.701⋅ x + 141556 ⋅ ∆T = XT ⇒ t t 4.701 N N x YT + 33659 ⋅ ∆ T = 0.073 ⋅ x − 33659 ⋅ ∆T = YT ⇒ t t 0.073 Para un ∆T = -155 ºC, las dos expresiones anteriores resultan respectivamente: N x = 477.971 MPa t

N x = 764.149 MPa t

;

En caso de no considerar los esfuerzos térmicos de curado ( ∆T = 0 ºC) los valores son: N x = 473.303 MPa t

Nx = 835.616 MPa t

;

Para la lámina 2 ( 90º ) tenemos σ1 = σ y < 0 ; σ 2 = σ x > 0 ; σ12 = σ xy = 0

de manera que las expresiones del criterio quedan ahora: σ y = XC

;

σ x = YT

Sustituyendo la expresión de las tensiones en las anteriores, tenemos: N x N x XC + 6765 ⋅ ∆ T + 6765 ⋅ ∆T = X C ⇒ = t t 0.014 N N x YT + 28322 ⋅ ∆T = 0.260 ⋅ x − 28322 ⋅ ∆T = YT ⇒ t t 0.260 − 0.014 ⋅

Evaluando las expresiones anteriores para ∆T = -155 ºC, se obtiene: N x = 92782.245 MPa t

;

Nx = 217.731 MPa t

y en el caso de que no se consideren los esfuerzos térmicos de curado ( ∆T = 0 ºC) resulta: N x = 92857.143 MPa t

;

N x = 234.615 MPa t

Por lo tanto, en ambos casos ( ∆T = -155 ºC y ∆T = 0 ºC), la lámina de 90º sufriría el fallo a una carga menor (N x/t = 217.731 MPa y N x/t = 234.615 MPa) , y dicho fallo se produce por la restricción en la tensión perpendicular a las fibras. Como se ha visto, el valor de la carga de fallo predicho por ambos criterios es muy similar, y en ambos casos está asociado al fallo de la lámina 2 causado por la tensión perpendicular a las fibras. En la figura IV.20 se representa el comportamiento del laminado hasta el fallo a primera lámina predicho, y se compara con los valores experimentales obtenidos de los ensayos. Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

139

CAPITULO IV


500 450 400 350 300 ) a P 250 M ( t / x 200 N

C.Tsai-Hill(∆T=-155ºC) C.Máx.Tensión( ∆T=-155ºC) C.Tsai-Hill(∆T=0ºC)

150

C.Máx.Tensión( ∆T=0ºC) Ensayo1

100

Ensayo2

50

Ensayo3

0 0

0,5

1 Deformación

1,5

2

x (%)

Figura IV.20.- Comportamiento del laminado hasta el fallo a primera lámina.

Como se puede observar en la figura, la consideración de los esfuerzos térmicos de curado conduce a una predicción más ajustada del comportamiento real del laminado en este rango que comprende hasta el fallo a primera lámina. Asi mismo, se puede observar que el fallo a primera lámina no implica el fallo del laminado completo. Dada la naturaleza de la carga exterior, lo que se habrá producido en las láminas a 90º es una serie de fisuras paralelas a la dirección de las fibras, como se puede observar en la figura IV.21 donde se aprecian algunas de estas fisuras.

Figura IV.21.- Vista al microscopio de una sección longitudinal de la probeta.

La existencia de las mencionadas fisuras supone una merma en la rigidez de la lámina central en la dirección x y tangencialmente, lo que alterará a partir de ese instante las constantes del 140



CAPITULO IV

material de la lámina 2. Este daño puede ser modelado matemáticamente mediante la siguiente redefinición de las características de rigidez de la lámina 2: 2

2

2

2

Q11 = 0 ; Q22 = 151.8MPa ; Q 12 = 0 ; Q 66 = 0 Recalculando la matriz A con estos nuevos valores se obtiene:  25.3 0.422 0    Aij = 0.422 127.91 0 t   0 0.875  0

Para evaluar las nuevas deformaciones habremos de evaluar previamente los esfuerzos de curado, que se habrán alterado debido al cambio de las características de rigidez.  NTx   51.75   T    Ny  = 255.13(KPa º C )t ∆ T  T    xy   0  N

El valor de las deformaciones correspondientes es el siguiente. ε x  39.528 2012.297     −12 N x   ε y  = − 0.13010 + 1987.96710−9 ∆T    t    γ xy   0   0 

A partir de estas deformaciones se evalúan las nuevas tensiones en las láminas. 1

3

 6   −0.056        Nx   σ y  =  σ y  = 0.099 ⋅ + −36.464 ⋅ 103 ∆T      t   σ xy  σ xy   0   0  σ x  2  0   0      N   σ y  = − 0.02 ⋅ x + 7.286⋅ 10 3 ∆T t      σ xy   0   0  σx

σx

Al haberse fisurado la capa intermedia en la dirección perpendicular a la carga aplicada, las (1) tensiones residuales en σx debido a la temperatura de curado prácticamente desaparecen. Obsérvese la subida en la tensión en la dirección x en la capa exterior al transmitírsele la carga que soportaba la capa intermedia (lámina a 90º). También es significativo el aumento de la tensión en la dirección y en la capa externa debido al aumento de alargamiento en la dirección x lo que conllevaría una mayor contracción en la dirección y, que las capas intermedias, intactas en la dirección de la fibra, no permiten, lo que genera un aumento en la tracción en dirección y.


141

CAPITULO IV


Una vez obtenidas las tensiones tras la redefinición, lo que procede es aplicar de nuevo un criterio de fallo para determinar a que carga se produce el siguiente fallo del material y la naturaleza del mismo. Para dicho propósito usaremos nuevamente los criterios de Tsai-Hill y máxima tensión. Aplicación del criterio de Tsai-Hill tras la redefinición. El primer paso a realizar sería comprobar que, para la carga del fallo a primera lámina, no se produce un nuevo fallo inmediato. Para ello, evaluaremos las tensiones correspondientes a un Nx/t = 217.713 MPa, y las sustituiremos en las expresiones del criterio, tal como se muestra a continuación. Para las láminas 1 y 3:  1306.287 2  27.205  2 1306.287 ⋅ 27.205  0 2 +   +  −  = 0.536 < 1  2225   61   108.85  22252 Para la lámina 2:

 − 5.483 2  0 2 − 5.483 ⋅ 0  0 2 +   +  −  = 0.000018 <<< 1  1300   61  1300 2  108.85 

Como se puede observar, los valores inferiores a la unidad indican que no se produce un nuevo fallo para la misma carga tras la redefinición, por tanto es preciso incrementar dicha carga para alcanzar un nuevo fallo del material. Para evaluar la nueva carga de fallo se habrá de resolver la ecuación que resulta de sustituir las tensiones en la expresión del criterio igualada a la unidad para cada una de las láminas. Para las láminas a 0º se tiene que σ1 = σ x > 0 ; σ 2 = σ y > 0 ; σ12 = σ xy = 0

quedando la expresión del criterio: σx

2

σy

2

σ σ

  +  − x 2y =1  X T   YT  XT

de donde se obtiene una carga de fallo: N x = 303.631 MPa t Para la lámina a 90º tenemos σ1 = σ y < 0 ; σ 2 = σ x = 0 ; σ12 = σ xy = 0

con lo que la expresión del criterio queda ahora:

142



σy

CAPITULO IV

2

  =1  XC 

La resolución de la ecuación anterior nos da: N x = 64934.533 MPa t Luego se producirá el fallo de las láminas con las fibras a 0º respecto de la dirección de aplicación de la carga, es decir las láminas 1 y 3. Si analizamos la expresión del criterio, para el valor de las tensiones en las láminas 1 y 3 asociadas a la carga que produce el fallo, tenemos la siguiente expresión. 1821.795 2 35.711 2 1821.795 ⋅ 35.711 =1   +  −  2225   61  22252 Evaluando cada término: 0.67 + 0.34 − 0.013 = 1 Como se puede observar, el término predominante en la expresión anterior es el primero, que corresponde a la tensión en la dirección de las fibras. Sin embargo, el segundo de los términos no resulta despreciable frente al primero, por lo que el criterio indicaría que el fallo se produce por un efecto combinado de las tensiones en la dirección de la fibras y en la dirección perpendicular a éstas, siendo predominantes las primeras. Aplicación del criterio de Máxima Tensión tras la redefinición. De la misma forma que se ha hecho en el apartado anterior, el primer paso será comprobar la posibilidad de un fallo inmediato para la misma carga de fallo a primera lámina. En este caso para las láminas 1 y 3 se obtiene: σ1 = σ x = 1306.395 < 2225 = XT σ 2 = σ y = 27.207 < 61 = YT σ12 = σ xy = 0 < 108.85 = S

y para la lámina 2 tenemos: σ1 = σ y = − 5.484 < 1300 = X C σ 2 = σ x = 0 < 61 = YT σ12 = σ xy = 0 < 108.85 = S

Para ambas láminas se obtiene que no se produce un fallo inmediato, por lo que habrá que buscar la carga superior que produce el nuevo fallo. Para ello sustituiremos los valores de las tensiones en las expresiones del criterio para cada una de las láminas.


143

CAPITULO IV


Para las láminas 1 y 3 ( 0º ) se tiene que σ1 = σ x > 0 ; σ 2 = σ y > 0 ; σ12 = σ xy = 0

con lo que las expresiones del criterio quedarían: σx = X T

;

σ y = YT

De las dos expresiones anteriores resultan respectivamente las siguientes cargas de fallo: N x = 370.832 MPa t

;

N x = 559.071 MPa t

Para la lámina 2 ( 90º ) tenemos σ1 = σ y < 0 ; σ 2 = σ x = 0 ; σ12 = σ xy = 0

de manera que la expresión del criterio queda ahora: σ y = XC

Sustituyendo la expresión de las tensiones en la anterior y resolviendo, se obtiene: N x = 64943.533 MPa t Por lo tanto, se produce el fallo de las láminas a 0º para un valor de N x/t = 370.832 MPa, y dicho fallo está asociado a las tensiones en la dirección de las fibras. Dado que, empleando ambos criterios, la nueva carga de fallo obtenida estaría asociada con un mecanismo de rotura de las fibras en las láminas exteriores (1 y 3), dicho fallo implicaría el fallo del laminado completo, ya que tras dicho fallo el laminado perdería toda su capacidad portante en la dirección x (en la que se aplica la carga). Con objeto de verificar la capacidad de predecir el comportamiento del laminado y el fallo del mismo mediante los procedimientos analíticos utilizados, en la figura IV.22 se representa la evolución de N x/t frente a la deformación εx predicha por los resultados analíticos y la medida en los ensayos de tres probetas del laminado en cuestión.

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CAPITULO IV

500 450 400 350 300 ) a P 250 M ( t / x 200 N

C.Tsai-Hill C.Máx.Tensión

150

Ensayo1

100

Ensayo2

50

Ensayo3

0 0

0,5

1 Deformación

1,5

2

x (%)

Figura IV.22.- Diagrama Nx/t frente a εx.

De la figura IV.22 podemos observar varios hechos: • El comportamiento del laminado predicho por los modelos analíticos utilizados se

aproxima más al real en la zona inicial del diagrama, es decir hasta el fallo a primera lámina. • El valor de la resistencia del laminado predicho por los modelos analíticos resulta conservativo. • Para el caso del laminado considerado, el uso del criterio de máxima tensión conduce a un valor de la resistencia más cercano a los experimentales que el criterio de TsaiHill, debido a que en este último se considera la interacción entre las tensiones normales, en dirección de las fibras y en dirección perpendicular a éstas, en la contribución al fallo de las láminas, las cuales estarían asociadas a mecanismos de rotura independientes. • Es preciso destacar la mayor dispersión entre los valores experimentales de la deformación en rotura frente a la de los valores de la resistencia. 4.5.3.- Ejemplo 3. Conceptualmente el análisis de laminados angulares (angle-ply) es idéntico al de los laminados cruzados aunque aparezcan algunas diferencias que se pondrán de manifiesto durante la resolución del ejemplo. Consideraremos un laminado de tres láminas como en el ejemplo anterior pero con una secuencia +15/ -15/ +15.


145

CAPITULO IV


Las matrices de rigidez de las láminas en los ejes del laminado, tienen una estructura más complicada que en el ejemplo anterior, dado que Q 16 y Q26 no se anulan existiendo acoplamiento entre tensiones normales y deformaciones tangenciales. Las componentes de las matrices para las láminas extremas, Q (1), y central, Q (2), son: (2 ) 6 Q(1) 11 = Q11 = 7.324 ⋅ 10 psi (1)

(2 )

(1)

(2 )

Q12 = Q12 = 0.932 ⋅ 106 psi Q 22 = Q 22 = 2.763 ⋅ 10 6 psi (1)

(2 )

Q16 = −Q16 = 1.120 ⋅ 10 6 psi 6 Q(1)26 = − Q(2) 26 = −0.199 ⋅ 10 psi Q(1)66 = Q(266) = 1.519 ⋅ 106 psi Los coeficientes de dilatación térmica en ejes no principales: 1

2 = α x = 4.029 10 -6/°F

1

2 = α y = 10.870 10 -6/°F

αx

αy

1

2 α = = 1.975 10 -6/°F α xy xy La distribución simétrica de las capas hace de nuevo que B ij sea nula. Dado que M es nula, el cálculo de las tensiones requiere de nuevo solamente el valor de A ij invertida, que en este caso vale. .144 A' = simétrica

-.0481 .381

.0336 .0047 .6668

10-6/ t psi

Para una temperatura uniforme del laminado los momentos de curado son nulos y los esfuerzos de curado valen: NTx = 37.5 t ∆T psi/°F NTy = 33.2 t ∆T psi/°F NTxy = -1.24 t ∆T psi/°F Si el laminado se somete a esfuerzo axil N x, el valor de las tensiones en una capa k se puede obtener de la siguiente expresión, escrita en forma simbólica: σk = Qk εk t

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CAPITULO IV

donde εt representa la deformación total. En este caso, dado que k o es nula, la expresión anterior adopta la forma: k σk = Qk εo + εT

con: εo = A' . N * y

(εT)k = αk . ∆T

siendo: N* = N + NT De esta forma, las tensiones en las láminas exteriores son: 1 σx = .97 N x - .44 ∆T psi/°F t

N 1 σy = -.005 x - .08 ∆T psi/°F t 1 τxy = -.10 Nx - 1.79 ∆T psi/°F t

y en la lámina central: N 2 σx = 1.05 x + .89 ∆ T psi/°F t N 2 σy = .01 x + .16 ∆ T psi/°F t N 2 τxy = .20 x + 3.58 ∆ T psi/°F t El criterio de Tsai - Hill en ejes 1-2 es: σ211 σ11 σ22 σ2 σ2 + 22 + 12 = 1 X2 X2 Y2 S2

El tensor en ejes 1, 2 principales de la lámina puede ponerse en función del tensor en ejes x, y cualesquiera y del ángulo que los relaciona. Observando la estructura de las tensiones en las dos láminas (exterior o interior) puede verse que σy es despreciable frente a las otras tensiones, por lo que el criterio puede escribirse en función de σx y τxy, quedando: k 1 σ2x + k 2 σx τxy + k 3 τ2xy = X2 donde k 1, k 2 y k 3, para las propiedades consideradas valen: k 1 = cos4 θ + 624 cos2 θ sin2 θ + 1406 sin 4 θ


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CAPITULO IV


k 2 = - 1244 cos3 θ sin θ + 4386 cos θ sin3 θ k 3 = 625 cos4 θ + 4382 cos 2 θ sin2 θ + 625 sin 4 θ Particularizando para la lámina θ = -15°: k 1 = 46,2 ; k 2 = 363, 91 ; k 3 = 821 y para la θ = +15°: k 1 = 46.2 ; k 2 = - 363, 91 ; k 3 = 821 De acuerdo con ello, en la capa exterior, el mayor esfuerzo admisible es: N x = 11,14 ∆ T psi/° F + 37.400 psi t En el caso de que el laminado fuera curado a 270 °F, quedaría: Nx = 35.200 psi t Análogamente, en la capa interna: Nx = 52.600 psi t Por lo que la capa exterior fallaría en primer lugar. Ahora bien, en este caso la capa interna no puede soportar el exceso de carga que le transmitirían las externas al fallar, por lo que el fallo de éstas produce el fallo del laminado. En la configuración estudiada este fallo se produce para el valor de 35.200 psi. En este tipo de laminados no se produce la inflexión en la curva de resistencia que aparecía en los laminados cruzados. 4.6.- ANÁLISIS TRAS EL FALLO A PRIMERA LÁMINA. MODELOS DE DEGRADACIÓN En el planteamiento descrito hasta ahora para el análisis del fallo del laminado existe un punto crucial que es la redefinición del laminado cuando se produce el fallo de una o varias láminas. La hipótesis más simple que podemos adoptar consistiría en la eliminación de la contribución de las láminas que han fallado en el conjunto del laminado, sin embargo este tipo de redefinición conduce en general a predicciones muy conservativas si se comparan con los resultados experimentales. Ello es debido a que asumimos que las láminas que fallan pierden toda su capacidad portante. Un planteamiento más cercano a la realidad sería admitir una cierta degradación de la lámina donde se produce el fallo, lo que afectaría a las propiedades de rigidez y resistencia de la lámina.

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CAPITULO IV

Para considerar cuál es el efecto, sobre las propiedades de la lámina, causado por un fallo hay que descender al nivel micromecánico y observar el comportamiento ante los mecanismos de fallo de la lámina como material no homogéneo compuesto de fibra y matriz. Entre los mecanismos podemos distinguir dos fundamentalmente: el fallo de la fibra y el fallo de la matriz, en los cuales se pueden englobar la mayor parte de los mecanismos de fallo existentes en la lámina. El fallo de las fibras supone habitualmente una merma casi total de la capacidad portante de la lámina en la dirección del refuerzo, la cuál cuando se trata de un estado tensional uniforme está asociada al fallo total de la lámina en dicha dirección. El fallo de la matriz se materializa en la aparición de grietas paralelas a la dirección de las fibras y que atraviesan la matriz, según se describe en la figura IV.23. Estas grietas pueden comenzar a formarse por despegues entre la fibra y la matriz, y luego coalecer para formar una macrogrieta. Cuando la interfase entre fibra y matriz es muy resistente estas fisuras pueden generarse previamente en la matriz. Dependiendo del tipo de fibra (isótropa (vidrio) u ortótropa (carbono)), las grietas podrían también atravesar las fibras, caso de las fibras de carbono, débiles en sentido transversal.

Figura IV.23.- Esquema de la configuración de las grietas en la matriz.

La existencia de dichas grietas entre las fibras supone una pérdida de las características de rigidez de la lámina en cuanto a la dirección transversal y en cuanto al comportamiento a cizalladura. Esta pérdida de rigidez resulta progresiva con el aumento del número de grietas en la matriz. Para el análisis del comportamiento mecánico de un laminado después del fallo a primera lámina se han propuesto distintos modelos que tratan de recoger en mayor o menor medida los hechos físicos descritos en relación al fallo de las láminas. Entre estos modelos podemos distinguir entre micromecánicos y macromecánicos. Los primeros modelan el fallo de la matriz a través de la degradación de las propiedades de la misma, y a partir de éstas y de las propiedades inalteradas de la fibra se evalúan, usando modelos micromecánicos, las propiedades de la lámina que ha sufrido el fallo. Con estas nuevas propiedades degradadas de la lámina que ha fallado y con las propiedades del resto de las láminas tenemos una nueva redefinición del laminado que podremos analizar. En los modelos macromecánicos las láminas que presentan fallos se modelan mediante láminas homogéneas equivalentes con propiedades mecánicas alteradas respecto a las originales con objeto de representar la degradación sufrida por la lámina. En estos modelos podemos distinguir entre los que buscan la determinación directa de la carga de fallo última, haciendo una suposición sobre el tipo de degradación que van a sufrir las láminas hasta llegar a la misma, los cuales denominaremos como modelos de degradación total, y los que tratan de modelar el proceso de fallo del laminado de manera secuencial a través de la degradación parcial de las láminas, haciendo un seguimiento del proceso hasta llegar a la carga última. A estos últimos los denominaremos modelos de daño progresivo.


149

CAPITULO IV


En lo que sigue profundizaremos en la aplicación de modelos macromecánicos, cuya aplicación es más simple que la de los modelos micromecánicos. 4.6.1.- Modelos de degradación total El modelo más simple de este tipo es el propuesto por Tsai (ref. 10), el cuál sólo es aplicable sobre estados tensionales uniformes. Ello es así porque el modelo no contempla la degradación de las propiedades en la dirección de la fibra. Dicho modelo asume que cuando se alcanza el fallo del laminado todas las laminas se encuentran repletas de grietas paralelas a las fibras, en un estado que denomina como de saturación. Por tanto, para la determinación de la carga última de fallo este modelo propone analizar un laminado ficticio constituido por el conjunto de láminas totalmente degradadas (es decir en estado de saturación), lo que matemáticamente se traduce en el empleo de unas nuevas propiedades de las láminas E 22, G12 y ν12, que vienen dadas por: E 22 = D ⋅ E o22 G12 = D ⋅ G12o o ν12 = D ν ⋅ ν12

(IV.39)

donde E22o, G12o y ν12o son las propiedades originales, siendo D y D ν los factores de degradación ajustables experimentalmente y que dependen del material en general. Tsai (ref. 10) propone como valores para el grafito-epoxy D = 0.3 y D ν = 0.2. En la figura IV.24 se describe comparativamente el comportamiento que correspondería a los modelos original y degradado hasta alcanzar sus respectivos fallos (FPL: fallo a primera lámina, FUL: fallo de última lámina). FUL FPL

Figura IV.24.- Esquema del comportamiento de los modelos original y de degradación total.

Analizado el laminado con propiedades degradadas, la carga correspondiente a la lámina que falle a menor nivel de carga se considerará como la carga de fallo última. Para la comprobación del fallo de las láminas se habrá de emplear un criterio de fallo. En el caso de que se emplee el criterio de Tsai-Wu, estos autores proponen, que adicionalmente a la

150



CAPITULO IV

degradación definida en (IV.39), se degrade el factor de acoplamiento F 12o y también la resistencia a compresión en la dirección de las fibras X co de acuerdo a la forma: Xc = D10.2 ⋅ X oc F12 = D1 ⋅ F12o

(IV.40)

donde Xc y F12 son los valores de dichas propiedades degradadas y D 1 es el factor de degradación correspondiente, para el cuál se propone un valor de 0.2. Para el caso de estados tensionales no uniformes, Tan (ref. 9) propone un modelo de degradación total que incluye en este caso la degradación de las propiedades en la dirección de las fibras, y excluye la degradación de ν12. E 11 = D1 ⋅ E 11o E 22 = D2 ⋅ E o22 G12 = D6 ⋅ G12o

(IV.41)

siendo D1 = 0.001 ÷ 0.07 y D 2 = D6 = 0.2 factores de degradación ajustados experimentalmente. Resulta obvio que si el estado tensional es variable se requiere modelar el fallo de la fibra en distintas áreas del laminado, dado que en este caso el fallo local de la fibra no tiene porqué conllevar el fallo total del laminado. 4.6.2.- Modelo de daño progresivo. El modelo de daño progresivo trata, como ya se ha mencionado, de reproducir cualitativamente la evolución del daño en el laminado a través de degradaciones parciales, que modelan el fallo individual de las láminas, y un proceso de acumulación de este daño, que es considerado a través del recuento del número de fallos de cada lámina. En la figura IV.25 se esquematiza el comportamiento que supone un modelo de este tipo. FUL FPL

Figura IV.25.- Esquema del comportamiento del modelo de daño progresivo.


151

CAPITULO IV


El proceso parte del análisis del laminado original para determinar el fallo de la primera lámina, en este punto se procede a la degradación parcial de las propiedades de la lámina que ha fallado, mediante las expresiones: E 22 = Df ⋅ E o22 G12 = Df ⋅ G12o ν 21 = D f ⋅ ν o21

(IV.42)

donde D es el factor de degradación parcial (valor ajustable experimentalmente, se suele recomendar un valor de D = 0.5) y f es el número de veces que ha fallado la lámina. Nótese que en este modelo se degrada ν21 en lugar de ν12, la razón de ello es mantener la misma estructura simple en todas las expresiones de (IV.42) preservando a la vez la simetría de la ley de comportamiento. Con estas nuevas propiedades de E 22, G12 y ν21 para la lámina se vuelve a reanalizar el conjunto del laminado con objeto de determinar la lámina que fallaría ahora. Este proceso se repetiría iterativamente hasta llegar a una situación en la que la tensión de fallo alcanzada ya no aumente aunque sigamos el proceso de degradación. Esta situación normalmente se alcanza a partir del momento en que todas las láminas han fallado al menos una vez. El planteamiento del modelo de daño progresivo se puede también extender al tratamiento de configuraciones con tensiones no uniformes incluyendo la degradación de las propiedades en la dirección de las fibras, es decir: E 11 = Df ⋅ E 11o

(IV.43)

4.6.3.- Aplicación de los modelos de degradación. Como aplicación de los modelos descritos se va a determinar la tensión de fallo de un laminado sometido a un ensayo de tracción, tal como se describe en la figura IV.26, donde N es la carga aplicada. z N x

L Figura IV.26.- Esquema del ensayo de tracción de un laminado.

Las condiciones de contorno del problema serían: 152



CAPITULO IV

u(0) = 0 Nx (L) = N w(0) = 0 w(L) = 0 ∂w ∂w (0) = 0 (L) = 0 ∂x ∂x siendo x la dirección longitudinal de la probeta y L la longitud de la misma. De la imposición de la condición de giro impedido en los extremos (derivadas de w respecto de x iguales a cero) se obtiene que el vector de esfuerzos quedaría:  1   0  N   0  M  = B A  N 11 11  0     0 

con lo que, tanto deformaciones como tensiones resultan, aplicando la Teoría General del Laminado, funciones de la coordenada z multiplicadas por la carga N, es decir: σij = gij(z)·N. Esta estructura de las tensiones permite escribir el criterio de fallo de una lámina, f( σ1, σ2, σ12) = 1, en la forma: N·f(g1, g2, g12) = 1 de manera que la búsqueda de la carga mínima que produce el fallo de alguna lámina se reducirá a buscar la lámina donde la función f(g 1, g2, g12) alcance el máximo, siendo la carga de fallo correspondiente: N =

1 máxf(g1,g2 ,g12 )

El laminado que se va a analizar tiene una secuencia de apilado [0/90/45/-45] 2, siendo su espesor de 1.208 mm, y el ancho de la probeta es de 12.5 mm. El material empleado es un grafito-epoxy de denominación AS4/3501-6, con unas propiedades: E11 = 135 GPa ; E 22 = 8.75 GPa ; ν12 = 0.29 ; G 12 = 4.75 GPa Xt = 1880 MPa ; Y t = 58 MPa ; S = 90 MPa Se ha llevado a cabo el análisis utilizando para ello el modelo de daño progresivo y el modelo de degradación total (Tsai) expuestos anteriormente, empleándose en cada uno de ellos varios criterios de fallo de lámina distintos (Máxima tensión, Tsai-Hill, Tsai-Wu y Hashin-Rotem). En la figura IV.27 se representa la evolución del fallo de las láminas durante el proceso de degradación para el modelo de daño progresivo, donde se aprecia como, para cualquiera de los criterios de fallo utilizados, se alcanza una carga máxima que es capaz de soportar el laminado y que se puede identificar como carga última de fallo. Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

153

CAPITULO IV


Probeta [0/90/45/-45]2

12.5 mm 1.208 mm

10000 9000 8000 ) 7000 N ( 6000

Máx-Tensión Tsai-Hill Tsai-Wu Hashin-Rotem

a 5000 g r 4000 a C 3000

2000 1000 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

Etapa

Figura IV.27.- Evolución de la carga de fallo de las láminas para el modelo de daño progresivo.

A continuación se recoge, para cada uno de los criterios empleados, una tabla resumen describiendo la evolución del fallo predicha por el modelo de daño progresivo, junto con el diagrama tensión-deformación obtenido de la representación de dicha evolución. Criterio de la Máxima Tensión Etapa

lámina que rompe

Tensión de fallo (MPa)

Valores del Criterio

2

90 inferior

337,705

Abs(σ2/Yt)=1

3

90 superior

379,193

Abs(σ2/Yt)=1

4

-45 inferior

527,461

Abs(σ12/S)=1 , Abs(σ2/Yt)=0.75

5

45 inferior

539,955

Abs(σ12/S)=1 , Abs(σ2/Yt)=0.65

6

45 superior

591,861

Abs(σ2/Yt)=1 , Abs(σ12/S)=0.75

7

0 inferior

612,668

Abs(σ1/Xt)=1

8,9 y 10

0 inferior

612,378

Abs(σ1/Xt)=1

Tabla IV.1 - Evolución del fallo en el modelo de daño progresivo aplicando el criterio de la máxima tensión.

154



CAPITULO IV

Máxima Tensi ón

700

600

500 ) a P 400 M ( n ó i s 300 n e T

200

100

0 0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

Deformación (%)

Figura IV.28.- Diagrama tensión-deformación predicho por el modelo de daño progresivo usando el criterio de la máxima tensión.

Criterio de Tsai-Hill Etapa

lámina que rompe



2

90 inferior

330,318

σ2/Yt=0.956

3

90 superior

376,714

σ2/Yt=0.987

4

-45 inferior

416,125

σ12/S=0.622 , σ2/Yt=0.357

5

45 inferior

438,459

σ12/S=0.659 , σ2/Yt=0.282

6

45 superior

461,667

σ2/Yt=0.608 , σ12/S=0.351

7

-45 superior

476,061

σ12/S=0.486 , σ2/Yt=0.429

8

90 inferior

561,734

σ2/Yt=0.831

9

0 inferior

594,255

σ1/Xt=0.976

10 a 18

0 inferior

598,982 a 600.846

fallan por σ1/Xt

Tabla IV.2 - Evolución del fallo en el modelo de daño progresivo aplicando el criterio de Tsai-Hill.


155

CAPITULO IV


Tsai-Hill 700

600

500 ) a P 400 M ( n ó i s 300 n e T

200

100

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

Defor mación (%)

Figura IV.29.- Diagrama tensión-deformación predicho por el modelo de daño progresivo usando el criterio de Tsai-Hill.

Criterio de Tsai-Wu Fallo

lámina que rompe



2

90 inferior

303,686

σ2/Yt=0.809

3

90 superior

364,802

σ2/Yt=0.925

4

-45 inferior

435,812

σ12/S=0.683 , σ2/Yt=0.392

5

45 inferior

469,826

σ12/S=0.757 , σ2/Yt=0.324

6

90 inferior

496,460

σ2/Yt=0.619 , σ1/Xt=0.114

7

45 superior

501,400

σ2/Yt=0.726 , σ12/S=0.418

8

-45 superior

526,369

σ12/S=0.599 , σ2/Yt=0.533

9

0 inferior

558,347

σ1/Xt=0.862

10 a 18

0 inferior

579,604 a 600.765

fallan por σ1/Xt

Tabla IV.3 - Evolución del fallo en el modelo de daño progresivo aplicando el criterio de Tsai-Wu.

156



CAPITULO IV

Tsai-Wu 600

500

400 ) a P M ( n 300 ó i s n e T 200

100

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

Defor mación (%)

Figura IV.30.- Diagrama tensión-deformación predicho por el modelo de daño progresivo usando el criterio de Tsai-Wu.

Criterio de Hashin-Rotem Fallo

lámina que rompe



2

90 inferior

337,680

(σ2/Yt)2+(σ12/S)2=1

3

90 superior

378,014

(σ2/Yt)2+(σ12/S)2=1

4

-45 inferior

420,443

(σ2/Yt)2+(σ12/S)2=1

5

45 inferior

451,957

(σ2/Yt)2+(σ12/S)2=1

6

45 superior

471,284

(σ2/Yt)2+(σ12/S)2=1

7

-45 superior

497,455

(σ2/Yt)2+(σ12/S)2=1

8

0 inferior

604,618

Abs(σ1/Xt)=1

9 a 10

0 inferior

604.302 a 604,142

Abs(σ1/Xt)=1

Tabla IV.4 - Evolución del fallo en el modelo de daño progresivo aplicando el criterio de Hashin-Rotem.


157

CAPITULO IV


Hashin-Rotem 700

600

500 ) a P 400 M ( n ó i s 300 n e T

200

100

0 0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

Deformación (%)

Figura IV.31.- Diagrama tensión-deformación predicho por el modelo de daño progresivo usando el criterio de Hashin-Rotem.

Como muestran los resultados presentados, la evolución del fallo del laminado para los distintos criterios empleados resulta muy similar en líneas generales. El proceso se inicia con el fallo de las láminas a 90º, para continuar con un bloque en el que fallan las láminas a +45º y -45º, finalizando en todos los casos con el fallo repetido de las láminas a 0º que conducen al valor de la tensión última de fallo del laminado considerado. Con objeto de verificar la bondad de los resultados predichos por los modelos de degradación utilizados, se realizaron ensayos de tracción sobre tres probetas del laminado considerado, obteniéndose los resultados que se muestran en la figura IV.32.

Figura IV.32.- Diagramas carga-alargamiento obtenidos experimentalmente.

158



CAPITULO IV

En la tabla IV.5 se recogen los valores de la tensión última de fallo que predicen los modelos de degradación utilizados para cada criterio de fallo y el valor experimental obtenido de los ensayos. Criterios de fallo Máxima tensión Tsai-Hill Tsai-Wu Hashin-Rotem

Modelo de daño progresivo (MPa) 612.668 600.846 600.765 604.618

Modelo de degradación total (MPa) 579.411 567.666 523.413 579.411

Valor experimental (MPa) 575.62 585.10 580.99 Media: 580.57

Tabla IV.5 - Tensión última de fallo para el laminado [0/90/45/-45]2

De los resultados recogidos en la tabla se puede observar en primer lugar, que dada la poca dispersión de los resultados experimentales el valor medio de los mismos se puede considerar como una buena medida de la tensión real de fallo del laminado. En cuanto a las predicciones de los modelos, se puede decir en general que estos aportan un valor bastante ajustado de la tensión de fallo para todos los criterios empleados. En particular, se observa que los valores obtenidos mediante el modelo de daño progresivo sobreestiman ligeramente la tensión de fallo, mientras que en el caso del modelo de degradación total ésta es ligeramente subestimada. Como ya se ha indicado en otras ocasiones este comentario se ciñe al caso estudiado. 4.7.- TENSIONES INTERLAMINARES. En el desarrollo seguido hasta ahora en la teoría general de laminados, no se ha tenido en cuenta que: 



 

Existen las componentes σz, σzx, σzy del tensor de tensiones. Hay modos de fallo que sugieren la existencia de tensiones interlaminares (despegue de los bordes). La teoría clásica predice tensiones σxy en los bordes libres. Cuando hay cambios en la secuencia de apilado, la teoría del laminado desarrollada hasta ahora no predice variaciones en la resistencia (tanto estática como a fatiga) al cambiar esta secuencia (en términos de resistencia ante carga axil).

Para poner de manifiesto la existencia de las tensiones interlaminares, estudiemos el laminado representado en la Fig. IV.33. (symmetric angle-ply laminate no regular). Para una lámina k, en los ejes del material: σ11 k σ22 σ12

=

Q11 Q12

0

Q12 Q22

0

0

0

Q66

k

εo11 εo22 γ o12


(IV.44)

159

CAPITULO IV


z

+θ

interfase -θ

N x

z,w

2b

y +θ

-θ

4ho σ z

borde libre

σyz

y,v θ

σxz

x,u

σ y σx

Nx

σxy

Figura IV.33 .- Esquema del laminado y del estado tensional.

En ejes de las cargas: Q

Q

= Q12

Q

Q

Q

Q

Q

k

σx σy σxy

k

11

Q

12

16

22

16

26

26

66

o εx o εy o γ xy

(IV.45)

La rigidez del laminado, usando (IV.10.a), es: A ij =

N

k

∑ Qij (z k − z k −1 )

k =1

En esta configuración B ij = 0 y A16 = A26 = 0 θ θ A16 = Q+16θ (-t) +Q-16 (-t) +Q-16 (t) +Q+16θ (t) = 0

La relación N - ε es: Nx 0 0

=

A11 A12

0

A12 A22

0

0

0

A66

εox εoy γ oxy

dedonde:

de donde:

160


(IV.46)


εox =

A22 Nx A11 A22 - A212

εoy =

-A12 Nx A11 A22 - A212

CAPITULO IV

γ oxy = 0

(IV.47)

Al pasar a ejes principales del material: k

 2 θ − A12 sen 2 θ  cos  k  A 22 ε    11  A A12 N x ε  =  sen 2 θ − 12 cos 2 θ    A A − A2  22  A 22 11 22 12    γ 12  A   12 − 2senθ cos θ1 +    A 22 

(IV.48)

k σk 12 = G 12 γ 12

(IV.49)

σxy = sen θ cos θ σ11 - sen θ cos θ σ22 + (sen2 θ − cos2 θ) σ12 ≠ 0

(IV.50)

y volviendo a ejes x, y:

no pudiéndose cumplir las condiciones de contorno en el borde libre (y = b). Una solución plausible para resolver este problema es que se generen unas σxz que contrarresten el efecto de la no existencia de σxy (Véase Fig. IV.34) σxy

y Borde libre (σxy = 0)

σxz

σxz σ xy

Borde libre (σxy = 0)

x Figura IV.34.- Mecanismo de generación de tensiones tangenciales interlaminares.

Pipes y Pagano realizaron una formulación tridimensional del problema que a continuación se esquematiza: Relación (σ − ε)12, de (II.24) para un material ortótropo:


161

CAPITULO IV


σ11 σ22 σ33 σ23 σ31 σ12

=

C11 C12 C13 0 0 0 C12 C22 C23 0 0 0 C13 C23 C33 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C55 0 0 0 0 0 0 C66

ε11 ε22 ε33 ε23 ε31 ε12

Relación (σ − ε)xy :

σx σy σz σyz σxz σxy

=

C11 C12 C13

0

0

C16

C12 C22 C23

0

0

C26

C13 C23 C33

0

0

C36

0

0

0

C44 C45

0

0

0

0

C45 C55

0

C16 C26 C36

0

0

εx εy εz εyz εxz εxy

(IV.51)

C66

Relación (ε - u)xy: εx = u,x ; εy = v,y ; εz = w,z 2εyz = v,z + w,y ; 2εzx = w,x + u,z ; 2εxy = u,y + v,x

Tensiones independientes de x (para la carga de la Fig. IV.33) u = K x + U (y,z) v = V (y,z) w = W (y,z) σij = σij (U, V, W)

(IV.52)

σxy,y + σxz,z = 0 σy,y + σyz,z = 0 σyz,y + σz,z = 0

(IV.53)

Usando equilibrio:

Sustituyendo en las ecuaciones de Navier para cada lámina: C66 U, yy + C55 U, zz + C26 V,yy + C45 V,zz + C36 +C45 W, yz = 0 C26 U, yy + C45 U, zz + C22 V,yy + C44 V,zz + C23 +C44 W, yz = 0 C45 + C36 U, yz + C44 +C23 V ,yz + C44 W, yy + C33 W, zz = 0

(IV.54)

La resolución de este sistema de ecuaciones en derivadas parciales, resulta inabordable analíticamente por lo que es necesario acudir a métodos numéricos para su resolución. Pipes y Pagano lo resolvieron por medio de diferencias finitas.

162



CAPITULO IV

Conviene hacer notar que la aparición de σxz es un problema de la teoría de laminados no de las hipótesis de Kirchhoff-Love, ya que si la orientación de las fibras es θ = 0, σxy sería igual a cero y no se violarían las condiciones de contorno. En las Figuras adjuntas (tomadas del libro de Jones) se muestran las tensiones interlaminares obtenidas mediante métodos numéricos, para el ejemplo que usamos para ilustrar la presencia de tensiones interlaminares.

(a)

(b)

Figura IV.35.- a) Tensiones en la interfase (z = ho), b) Variación de σxz en el espesor (y = b).

Figura IV.36.- Variación de σxz con el ángulo de orientación de las fibras (Valor no singular).


163

CAPITULO IV


Los resultados anteriores han quedado confirmados mediante resultados experimentales obtenidos usando interferometría moiré (Figura IV.37).

Figura IV.37.-

Desplazamientos axiles en la superficie. Comparación con resultados experimentales.

El efecto que se acaba de explicar sobre la configuración [+ θ, - θ]s no solamente conlleva la aparición de σxz sino que también conlleva la aparición de tensiones σz. El estudio de Pipes Pagano estuvo en este sentido motivado por la diferente resistencia a fatiga encontrada experimentalmente por Foye y Baker para laminados [+45/-45/+15/-15] s y [+15/-15/+45/45]s, fenómeno para el cual la teoría del laminado no tiene ninguna explicación. La explicación, en base a la aceptación de tensiones interlaminares, puede verse sobre la Figura IV.38

(a)

(b)

Figura IV.38.- a) Tensiones interlaminares en la capa exterior. b) Evolución de σz con y.

164



CAPITULO IV

En la Fig.IV.38.a, σz tiene que existir con los signos indicados, para balancear el momento asociado a σy, luego hay tracción (a). En la Fig. IV.38.b se representa una evolución de σz. Si el apilado fuera otro [45/-45/15/-15], aparecería σy de compresión en la lámina externa a 45º, lo que conllevaría una σz de compresión en el extremo y consecuentemente no habría tendencia al despegue, siendo mucho más resistente a la fatiga.


165

CAPITULO IV

166



Análisis de Elementos Estructurales de Materiales Compuestos

CAPITULO V

CAPÍTULO V ANÁLISIS DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE MATERIALES COMPUESTOS

5.1.- ANÁLISIS DE VIGAS 5.2.- ANÁLISIS DE PLACAS


167

CAPITULO V


5.1.- ANALISIS DE VIGAS. 5.1.1- Vigas de sección rectangular. En este apartado, se detallan las ecuaciones básicas que permiten el cálculo de esfuerzos internos, desplazamientos y tensiones en vigas rectangulares (b x h) formadas por láminas ortótropas. Dichas ecuaciones se obtienen a partir de las ecuaciones básicas del laminado (véase Capítulo IV) junto con una serie de hipótesis simplificativas que por otro lado son las usuales en la Resistencia de Materiales. b

h z x

L

y Figura V.1.- Elemento viga.

Las hipótesis simplificativas son: a) Las dimensiones que definen la sección transversal de la viga son pequeñas en comparación con la longitud de la viga (b/L << 1 y h/L <<1) la cual además será de directriz recta y estará situada en el plano z-x. b) Se admite que la sección transversal permanece plana después de la deformación. c) Los desplazamientos, rotaciones y deformaciones se consideran pequeños. d) Las láminas están intimamente unidas entre sí no habiendo deslizamiento relativo entre ellas. e) Las cargas actúan en el plano z-x y son de tipo estático. f) Las deformaciones normales en el plano z-y se ignoran ( εy =εz = 0 ), así como las deformaciones γ xy y γ zy. g) La tensión tangencial σxz provocada por el esfuerzo cortante Q x se distribuye parabólicamente en cada lámina de acuerdo a la siguiente función de peso: f(z) = 5/4 ( 1 - (2z/h) 2 ) h) Las cargas y esfuerzos internos están referidos al c.d.g. de la sección transversal. Establecidas ya las hipótesis, definamos el estado de carga representado en la Fig. V.2 donde también se detallan los esfuerzos internos considerados. 168


.


CAPITULO V

CARGAS ACTUANTES mx (x) q (x) p (x) Ni

ESFUERZOS INTERNOS

Mi

x

N j

L V j

Vi

M j

Figura V.2.- Estado de carga y esfuerzos internos.

Ecuaciones de equilibrio: Se obtienen aplicando las ecuaciones de la estática a un trozo diferencial de la viga (Véase Fig. V.3). q(x)

z,w

Nx

Qx + dQx

LAMINA N

Mx

x, u N x + dNx

Qx

LAMINA 1

mx (x)

p(x)

Mx + dMx

dx Figura V.3.- Estado de equilibrio de una rebanada.

dNx (x) + p (x) = 0 dx dQx (x) + q (x) = 0 dx dMx (x) - Qx(x) + mx (x) = 0 dx Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

(V.1)

169

CAPITULO V


.

Conviene notar que estas ecuaciones al igual que ocurre con la relación ε-u son independientes del material y por tanto son idénticas a las ecuaciones que pueden encontrarse en cualquier texto clásico de Resistencia de Materiales. Relaciones -u: De acuerdo a las hipótesis admitidas, éstas se reducen a: duo (x) εox(x) = dx

(V.2)

d2wo (x) k ox(x) = dx2

donde uo y wo son los desplazamientos segun x y z de la linea media de la viga, k xo es la curvatura y εxo la deformación según el eje x. Ecuaciones de comportamiento: Particularizando las ecuaciones de comportamiento del laminado al caso que nos ocupa (basta eliminar los términos que no afectan es decir k oy, k oxy, εoy, γ oxy, Mxy, Ny, Nxy, My) e introduciendo la hipótesis g, dichas ecuaciones quedan como: Nx Mx Qx

A11 B11 0 = B11 D11 0 0 0 A55

εox k o

x

γ oxz

siendo (véase también Fig. V.4): N

∑

A11 = b

k

Q11(z k − z k −1 )

k =1 N

∑

b k B11 = Q11(z 2k − z 2k −1 ) 2 k =1 b D11 = 3

∑Q (z k 11

3 3 k − k −1

k =1

k 55

z )

=1

N

∑Q

5b A55 = 4

N

(z k − z k −1 −

4 3 3 (z − z )) 3t 2 k k −1

N = Nº de láminas ; t = Espesor del laminado ; b = Ancho de la viga.

170


(V.3)


k

k

k

CAPITULO V

k

4 2 2 4 Qk 11 = Q11 cos θ + 2 (Q12 + 2Q66) sen θ cos θ + Q22 sen θ k

4 Qk 55 = Q55 cos θ

Q11 = Q12 =

E 11

;

1 - ν 12 ν 21 ν 12 E 22

k

+ Q44 sen4θ Q 22 =

E 22 1 - ν 12 ν 21

; Q66 = G1

1 - ν 12 ν 21 Q55 = G13

; Q44 = G23

donde θ, Fig. V.4, es el ángulo de orientación de la fibra en cada lámina con respecto al eje x de la viga. z y

t

LAMINA k

k

z k-1

θ

x

z k y

b Figura V.4.- Situación de la lámina genérica k.

Relaciones tensiones-esfuerzos internos: La tensión normal σx en función de los esfuerzos internos se obtiene introduciendo en las Ecs. V.3 la relación σ-ε de la lámina, apartado 4.1: k

k

o

o

σ x = Q11(ε x + zk x )

(V.4)

Invirtiendo la submatriz de las Ecs., V.3 que afecta a la deformación normal y a la curvatura se tiene: εox = 1 D11 - B11 D - B11 A11 k ox

NX MX

siendo ∆ = A11 D11 - B211

(V.5)

Introduciendo V.5 en V.4 se llega por último a:


171

CAPITULO V


k σx

=

Q11k ∆

[(D11 − zB11 )Nx + (z A11 − B11 )Mx ]

.

(V.6)

La tensión tangencial interlaminar ( σxzk ) se obtiene por equilibrio con las tensiones normales (Véase Fig. V.5). dx z

Lámina N

F

F + (∂F/Žx) dx

Lámina k

z

σ k xz

k-1

z k x

Figura V.5.- Equilibrio de un trozo de la viga.

donde F viene definido por: N

F=

∑ b ∫ σ dz n = k

zn

zn − 1

n x

Aplicando equilibrio según el eje x se llega a: N

k σ xz

=

∑ ∫ n = k

zn

σ nx

z n −1

x

dz

(V.7)

INTEGRACION DE LAS ECUACIONES: Admitiendo un estado uniforme de cargas sobre la viga: p(x) = p ; q(x) = q ; mx (x) = mx

(V.8)

la integración de las Ecs. de equilibrio (V.1) conduce a: Nx (x) = Ni - p x Qx (x) = Vi - q x

(V.9) 2

Mx (x) = Mi + Vi x - q x - mx x 2 Usando ahora las relaciones ε-u junto con la ley de comportamiento puede obtenerse mediante integración la ecuación de la elástica.

172



2

1

2

3

CAPITULO V

2

px V x qx m x x   − + γ u o (x) = D11 N i x −  − B11M i x − i −  ∆   2  2 6 2   1  N i x2 px 3  M ix 2 Vi x3 qx 4 m x x 3        w o (x) = B11 − −A + − − + α x +β ∆   2 6  11 2 6 24 6  

(V.10)

donde α, β y γ son constantes de sólido rígido que se determinan conociendo las condiciones de apoyo de las vigas. Las más frecuentes son: - Apoyo Fijo w = u = 0 - Apoyo móvil w = 0 - Empotramiento u = w = dw/dx = 0 - Deslizadera u = dw/dx = 0 En la Fig. V.6 se esquematizan estos tipos de sustentaciones.

Apoyo Fijo

Apoyo móvil

Deslizadera

Empotramiento Figura V.6.- Tipos de sustentaciones.

A la vista de las ecuaciones anteriores, puede observarse que a diferencia de los materiales isótropos, en los laminados no simétricos (B 11 ≠ 0 ) el esfuerzo axil provoca desplazamientos transversales y el momento flector origina acortamientos o alargamientos de la línea media.

5.1.1.1.- Ejemplos. 5.1.1.1.1.- Ejemplo 1. La viga simplemente apoyada de longitud L=25 cm representada en la Fig. V.7 está sometida a una carga uniforme de valor q=2 Kg/cm, está fabricada de grafito-epoxy con las siguientes propiedades mecánicas a temperatura ambiente: E11 = 1.48 x 10 6 Kg/cm2

; E22 = 1.24 x 10 5 Kg/cm2


173

CAPITULO V


G12 = 0.457 x 10 5 Kg/cm2 ; ν12 = 0.21 y ν21 = 0.017 q = 2 Kg/cm

L = 25 cm. Figura V.7.- Viga apoyada sometida a carga uniforme.

La viga está constituida por 30 láminas de 0.01524 cm de espesor cada una y orientadas todas ellas 0 °. La altura total es h=0.4572 cm. y el ancho b=1 cm. Se desea conocer la flecha máxima que dicha viga presenta. SOLUCION: a) Determinación de las constantes: Al ser un laminado simétrico B 11 = 0 y la constante D 11 viene dada por: D11 =

bQ11 h 3 h 3 h 3 3 bQ - - t + - t +.... + h = 11 h3 = Iy Q11 3 2 2 2 2 12

Al ser θ = 0, sustituyendo las constantes ingenieriles se llega a: E11 D11 = Iy = 11829 Kg. cm2 ν ν 1- 12 21 b) Condiciones de contorno: x = 0 ==> w(0) = u(0) = 0 y Mx (0) = Mi = 0 x = L ==> w(L) = u(L) = 0 y Mx (L) = M j = 0 Las ecuaciones de equilibrio integradas y particularizadas para el caso que nos ocupa son: N x x = Ni Qx x = Vi - q x 2

Mx x = Vi x - q x 2

si particularizamos la última ecuación para x= L y aplicamos la condición de contorno M j = Mx (L) = 0 , obtendremos el valor de V i y aplicando ahora la segunda de las ecuaciones de equilibrio particularizada para x = L (Q x (L) = V j ) obtendremos el valor de V j:

174


.


CAPITULO V

Vi = q L /2 ; V j = - q L / 2 c) Cálculo de desplazamientos: Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación de la elástica, ésta se reduce a: qLx3 qx4 wo (x) = - 1 + αx+β D11 12 24 uo (x) = 1 Ni x + γ A11 si aplicamos las condiciones de contorno en desplazamientos se obtienen los valores de las constantes y el valor de N i = 0: wo (0) = 0 ==> β = 0

;

wo (L) = 0 ==> α = q L3/ D1124

uo (0) = 0 ===> γ = 0

;

uo (L) = 0 ===> Ni = 0

Así pues, la ecuación de la elástica queda como: wo (x) = -

q Lx3 x4 L3x D11 12 24 24 uo (x)= 0

La flecha máxima se produce en el centro de la viga x= L/2 y resulta valer: wo

L 2

= 5 384

q L4 = 5 D11 384

qL4 Iy

1 - ν 12 ν 21 = 0.86 cm. E 11

5.1.1.1.2.- Ejemplo 2. La viga de longitud L=25 cm representada en la Fig. V.8 está sometida a una carga axil en su extremo de valor P y está fabricada de grafito epoxy con las siguientes propiedades mecánicas a temperatura ambiente: E11 = 1.48 x 10 6 Kg/cm2 ; E22 = 1.24 x 10 5 Kg/cm2 G12 = 0.457 x 10 5 Kg/cm2 ; ν12 = 0.21 y ν21 =0.017.


175

CAPITULO V


.

Laminado 0/90/0/90

P h

x

z

Lámina 1

t

y

Lámina 4

L = 25

b

Figura V.8.- Viga hiperestática sometida a carga axil.

La viga está constituida por 4 láminas de 0.15 cm de espesor cada una y con la siguiente secuencia de apilado /0/90/0/90. La altura total es h=0.6 cm. y el ancho b= 1 cm. Se desea conocer la distribución de tensiones en cada lámina. SOLUCION: a) Determinación de las constantes: (1)

(2)

Lámina 1 (0°) Q11 = Q22 = Q11 = 1485 106 Kg/cm2 (2)

(1)

Lámina 2 (90°) Q11 = Q22 = Q22 = 1244 106 Kg/cm2 (3)

(4)

Lámina 3 (0°) Q11 = Q22 = Q11 = 1485 106 Kg/cm2 (4)

(3)

Lámina 4 (90°) Q11 = Q22 = Q22 = 1244 106 Kg/cm2 Situación de las láminas: Lámina ======= 1 2 3 4

zk === 2t t 0 -t

zk-1 ====== t 0 -t -2t

4

∑Q (z k 11

A11 = b

k −

z k −1 ) = 2tb(Q11 + Q22 )

k =1 4

∑

b k B11 = Q11(z 2k − z 2k −1 ) = bt 2 (Q11 − Q22 ) 2 k =1 4

∑

b 8 k D11 = Q11(z 3k − z 3k −1 ) = bt 3 (Q11 + Q 22 ) 3 =1 3 sustituyendo las constantes ingenieriles se llega a:

176



CAPITULO V

A11 = 2 t b E11 + E22 = 4.83 105 Kg. 1- ν12 ν21 B11 = b t2 E11 - E22 = 3.062 104 Kg. cm. 1- ν12 ν21 D11 = 8 b t3 E11 + E22 = 1.45 104 Kg. cm2 3 1- ν12 ν21 ∆ = A11 D11 - B211 = 6.066 10 9

Kg2 cm2

b) Condiciones de contorno: x = 0 ==> w (0) = 0 y u (0) = dw(x)/dx)x=0 = 0 x = L ==> w (L) = 0 ; Mx (L) = M j =0 y N(L)= N j = P c) Equilibrio: Las ecuaciones de equilibrio integradas y particularizadas para el caso que nos ocupa son: Nx(x) = Ni Qx(x)= Vi Mx(x) = Mi+ Vi x Particularizamos la última ecuación para x= L y aplicando la condición de contorno M j = Mx (L) = 0 y N j = P obtendremos el valor de N i y una ecuación que relaciona V i y Mi. N (L) = N j = Ni = P M (L) = M j = 0 = Mi + Vi L Para determinar los valores que definen completamente los diagramas de esfuerzos internos, es necesario (dada la hiperestaticidad del problema) aplicar las condiciones de contorno en desplazamientos. Para ello, habrá que determinar el campo de desplazamientos en una sección genérica. d) Cálculo de desplazamientos: Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación de la elástica, ésta se reduce a:  1  Px2 M ix 2 Vi x3   w o (x) = B11 − A11 + + αx + β  2 ∆ 2 6 


177

CAPITULO V


1

V x  u o (x) =  D11Px − B11M ix + i  + γ  ∆ 3   dw o (x) 1  Vi x2   = B11Px − A11 M ix + +α  ∆ dx 2  2

Si aplicamos las condiciones de contorno en desplazamientos se obtienen los valores de las constantes y una ecuación adicional que junto a la de equilibrio permite determinar todos los esfuerzos internos. wo (0) = 0 ==> β = 0 d wo (x) /dx )x=0 = 0 ==> α = 0 uo (0) = 0 ==> γ = 0 wo (L) = 0 ==> A11( Mi + Vi L /3) = B 11 P e) Leyes de esfuerzos: De las dos ecuaciones en M i y Vi se obtiene: Mi = (3/2) B11 P /A11 Vi = (-3/2) B11 P/(A11 L ) con lo que las leyes de esfuerzos (representadas en la Fig. V.9) quedan: N (x) = P Q(x) = (- 3 /2) B11 P / (A11 L ) M(x) = (3/2) B11 P (L - x) / (A 11 L ) P AXIL

CORTANTE (3/2) B11 P/A11 L (3/2) B11 P/A11 FLECTOR

Figura V.9 .- Leyes de esfuerzos.

178


.


CAPITULO V

Obsérvese que en la viga frente a una solicitación a axil aparecen flectores y cortante en contra de lo que a primera vista pudiera parecer, ya que si la viga fuese de material isótropo o compuesta de láminas dispuestas simétricamente (B ij = 0 ) tales esfuerzos no aparecerían. Por tanto resulta de interés, el resaltar que la aparición de determinados esfuerzos en vigas hiperestáticas de materiales compuestos está condicionado por la secuencia de apilado. f) Tensiones normales: A la vista de las leyes de esfuerzos, la sección más desfavorable es el empotramiento. En dicha sección, las tensiones normales vienen dadas por: PQ 11  3B112   3 z   = − + − D B B 11 11 11   ∆  2A11   2 PQ 22  3B112   3  (2)  σx = − + B11 − B11  z D 11   ∆  2A11   2 PQ11  3B112   3 (3)  z   σx = − + − D B B 11 2A11   2 11 11   ∆   3B112   3 (4 ) PQ 22   σx = − + B11 − B11  z D 11   ∆  2A11   2 (1) σx

t ≤ z ≤ 2t 0≤ z ≤t −t≤z≤0 − 2t ≤ z ≤ −t

Sustituyendo valores: Lámina 1 : σx(1) = ( 2.83 + 3.75 z ) P Lámina 2 : σx(2) = ( 2.37 + 3.14 z ) P Lámina 3 : σx(3) = ( 2.83 + 3.75 z ) P Lámina 4 : σx(4) = ( 2.37 + 3.14 z ) P 3.95 P

LAMINA 1 (0º)

3.39 P

2.84 P

LAMINA 2 (90º)

2.37 P 2.83 P LAMINA 3 (0º)

LAMINA 4 (90º)

2.26 P 1.8 P

1.42 P

Figura V.10 .- Distribución de tensiones normales en la sección del empotramiento.


179

CAPITULO V


Resulta de interés el razonar sobre la deformada de la viga en función de los diagramas de esfuerzos, lo que no resulta tan inmediato como en materiales isótropos. En efecto, la relación de la curvatura con los esfuerzos es: k ox = - B11 Nx + A11 Mx ∆

∆

por lo que la deformada será:

θ

CURVATURA DEBIDA AL AXIL

θ

CURVATURA DEBIDA AL FLECTOR

θ=0

DEFORMADA TOTAL

Figura V.11.- Deformada de la viga.

La curvatura de la deformada debida al flector se ha dibujado de acuerdo al sentido del momento. La curvatura debida al axil se ha dibujado en este caso pensando que, alargándose todas las capas en el sentido del eje x debido a la acción del esfuerzo axil, lo hará más la capa extrema orientada a 90 ° respecto al eje x que la orientada a 0 °, por ser más flexible. Estos alargamientos implican la deformada dibujada en la Fig. V.11. Puede comprobarse que en el extremo derecho la curvatura del flector es nula y prevalece en el conjunto la curvatura del axil (que es constante a lo largo de toda la viga). Lo contrario sucede en el extremo izquierdo donde prevalece la curvatura del flector que alcanza en ese punto un valor máximo.

180


.


CAPITULO V

Comentarios de interés: En función de la secuencia de apilado puede aparecer: 



Desplazamientos verticales y curvatura sin necesidad de que existan flectores ni cortantes en vigas tanto isostáticas como hiperestáticas. Que aparezcan flectores con solicitación solo de axil en caso de vigas hiperestáticas. TIPO DE LAMINADO 0/90/90/0

w(x) = 0 M(x) = 0

P Q(x) = 0 w(x) = 0 0 /90/0/90

M(x) = 0 Q(x) = 0

TIPO DE LAMINADO P

0/90/90/0

w(x) = 0 M(x) = 0 Q(x) = 0 w(x) = 0

0 /90/0/90 M(x) = 0 Q(x) = 0

5.1.1.2 .- Resumen de las fórmulas de cálculo para vigas de sección rectangular. DEFINICION DE CARGAS , ESFUERZOS INTERNOS Y SITUACION DE LA LAMINA.

z t k

mx

LAMINA k

z k-1

q

y

p CARGAS ACTUANTES N

M i i

x

z k

b

N j

L

Vi ESFUERZOS INTERNOS

V j

M j

LEYES DE ESFUERZOS: Introducción al Análisis y Diseño con Materiales Compuestos

181

CAPITULO V


Nx (x) = N i - p x Qx (x) = Vi - q x 2

Mx (x) = Mi + Vi x - q x - mx x 2 ECUACION DE LA ELASTICA: 2 p x3 2 3 q x4 mx x3 wo (x) = 1 ( B11 ( Ni x ) - A11 ( Mi x + Vi x ))+ αx + β 2 6 2 6 24 6 ∆ 2 q x3 mx x2 p x2 uo (x) = 1 ( D11 ( Ni x ) - B11 ( Mi x + Vi x ) ) +γ 2 2 6 2 ∆

∆ = A11 D11 - B211

TENSIONES:

Qk k σx = 11 ( D11 - z B11 ) N x + (z A11 - B11 ) Mx D

N

k σ xz

=

∑ ∫ n=

zn

σ nx

z n −1

x

dz

NOTACION Y VALOR DE LAS CONSTANTES: N: N° de láminas θ = Angulo que forman las fibras con el eje x estando estas en el plano x-y N

∑

A11 = b

k

Q11(z k − z k −1 )

k =1 N

∑

b k B11 = Q11(z 2k − z 2k −1 ) 2 k =1 b D11 = 3

N

∑Q (z k 11

3 3 k − k −1

z )

=1

k

k

k

k

4 2 2 4 Qk 11 = Q11 cos θ + 2 (Q12 + 2Q66) sen θ cos θ + Q22 sen θ

Q11 =

E11

1 - ν12 ν12

Q12 = ν12E22 1 - ν12 ν12

182

; Q22 = ;

E22

1 - ν12 ν12

Q66 = G12


.


CAPITULO V

5.1.2- Vigas con sección de pared delgada. En este apartado se van a considerar vigas con sección de pared delgada de forma arbitraria, configuración que suele ser muy habitual en elementos construidos con laminados de material compuesto, debido a la moldeabilidad de este tipo de materiales que les permite adoptar prácticamente cualquier forma. El caso más simple que se puede presentar corresponde al caso ortótropo, el cuál se presentaría por ejemplo si tenemos todas las fibras orientadas según la dirección de la barra. En este caso son aplicables directamente las expresiones de la Resistencia de Materiales para vigas de material isótropo relativas al cálculo de la tensión σx normal longitudinal y de la deflexión de la viga, empleándose como Módulo Elástico del material E 11. Aunque esta configuración simple descrita es utilizada en algunas aplicaciones, sin embargo lo más habitual es que la pared del laminado esté constituida por apilamiento de diferentes láminas, con diferentes orientaciones, e incluso que el laminado cambie de unas zonas a otras de la sección (como se describe en la figura V.12(a)), ya que todas estas características son las que confieren una mayor versatilidad a este tipo de materiales, permitiendo un mejor aprovechamiento de los mismos.

y z

(a)

CDG

(b)

Figura V.12.- Esquema de una sección de pared delgada formada por laminados.

Para este tipo de configuraciones consideradas no es aplicable el tratamiento simple descrito para el caso ortótropo, puesto que al existir distintos laminados en la sección se requiere una discretización de la misma en elementos (figura V.12(b)), teniendo cada uno de ellos una rigidez diferente en general. Admitiendo la hipótesis de que las secciones se mantienen planas tras la deformación, lo cuál se traduce en una expresión lineal de las deformaciones normales longitudinales εx en la sección: ε x = a + by + cz

(V.11)

y suponiendo que las deformaciones εy y εz son despreciables, la tensión normal longitudinal en el elemento i vendría dada por la siguiente expresión, σ xi = E iεx


(V.12)

183

CAPITULO V


.

siendo Ei el módulo elástico equivalente E x del laminado del elemento i en dirección longitudinal x, el cuál se expresa por: Ei =

1 a11−1e i

(V.13)

donde a11-1 es el elemento 1,1 de la inversa de la matriz de comportamiento. Los esfuerzos axil y flectores en la sección N, M z y My se definen por las expresiones siguientes. N =

∫ A σ xdA

; Mz =

∫ A σ x ydA

∫ A σ x zdA

; My =

(V.14)

Debido a la discretización realizada del área de la sección las integrales anteriores se evaluarán como una suma para los elementos de integrales extendidas al área de cada elemento, es decir: nºelem

N =

∫ σ dA = ∑ ∫ σ dA

Mz = My =

A

x

Ai

xi

i

i= 1 nºelem

∫ σ ydA = ∑ ∫ σ ydA A

x

Ai

i= 1 nºelem

xi

(V.15)

i

∫ σ zdA = ∑ ∫ σ zdA A

x

Ai

i= 1

xi

i

Usando las expresiones V.11 y V.12 en V.15 se obtiene nºelem

N =

nºelem

∑ ∫ E (a + by + cz)dA = ∑E (aA + bm i= 1 nºelem

Mz =

i

i

i

i

zi

nºelem

∑ ∫ E (ay + by + cyz)dA = ∑E (am Ai

i

i

i

zi

+ bIzzi + cI yzi )

yi

+ bI yzi + cI yyi )

i= 1 nºelem

∑ ∫ E (az + byz + cz )dA = ∑E (am 2

i= 1

+ cmyi )

i= 1 2

i =1 nºelem

My =

Ai

Ai

i

i

i

i= 1

lo que expresado en forma matricial da lugar al siguiente sistema de ecuaciones

184


(V.16)


 nºelem  ∑E i A i  N   i=1   nºelem Mz  =  ∑ E im zi    i= 1 M y  nºelem  Em  ∑ i yi i= 1

nºelem

nºelem

i= 1 nºelem

i= 1 nºelem

∑E imzi

CAPITULO V



∑ E imyi 

 a   ∑ E iI yzi   b i =1  c nºelem ∑ E iI yyi  i =1

∑E iIzzi

i= 1 nºelem

∑E iIyzi i= 1

(V.17)

donde nuestra incógnita serían a, b y c que determinan la expresión de las deformaciones εx. Como se puede observar, el sistema está acoplado, es decir, no se pueden resolver por separado la ecuación del axil (1ª ecuación de V.17) y las de los flectores (2ª y 3ª ecuaciones nºelem

de V.17), debido a que los términos

∑E m i

zi

nºelem

y

∑E m i

i =1

yi

son en principio no nulos. Este

i =1

hecho dificulta la obtención de una expresión analítica simple para la εx del tipo de las que se obtienen para materiales isótropos y ortótropos. Para solventar la mencionada dificultad hay que hacer uso del concepto de centro elástico (C.E.), el cuál se define como el punto de la sección respecto al cuál se anulan los términos de los momentos estáticos cuando se toma éste como referencia para medir las coordenadas y, z. Las ecuaciones, tal como las hemos expresado hasta el momento, están referidas al centro de gravedad de la sección (C.G.), siendo la expresión para el término de los momentos estáticos mzi la siguiente. nºelem

n ºelem

∑E m = ∑ E ∫ ydA i

zi

i =1

i

i =1

Ai

(V.18)

i

Si denominamos d y a la coordenada y del C.E. referida al C.G., tal como se describe en la figura V.13,

y - dy y dy

CE

y z

CDG

Figura V.13.- Posición del Centro Elástico.

la expresión del término de los momentos estáticos m zi referida al C.E. (V.19) se obtiene de la V.18 sin más que hacer el cambio de coordenadas correspondiente, siendo dicha expresión nula por la propia definición realizada del C.E.


185

CAPITULO V


nºelem

n ºelem

∑E m = ∑ E ∫ (y − d )dA = 0 i

i =1

.

zi

i

y

Ai

i =1

i

(V.19)

Desarrollando la anterior expresión se obtiene: nºelem

∑ ∫ i= 1

E i 

∫

ydAi − dy dAi  = Ai Ai 

n ºelem

∑ E (m i

zi

− d y Ai ) = 0

(V.20)

i= 1

Despejando el valor de d y tenemos el valor de la coordenada y del C.E. nºelem

∑E m i

dy =

zi

i= 1 n ºelem

∑E A i

(V.21) i

i= 1

De igual manera, la coordenada z del C.E. vendrá dada por: nºelem

∑E m i

dz =

yi

i=1 n ºelem

∑E A i

(V.22) i

i= 1

Referidas las coordenadas al C.E. la expresión V.17 quedará por tanto en la siguiente forma nºelem  ∑ E i Ai  N   i=1    Mz  =  0    M y    0 

0 n ºelem

∑E iIzzi

i=1 n ºelem

∑ E iI yzi i =1

   a  n ºelem   ∑ EiI yzi  b i= 1  c  nºelem ∑ EiI yyi i= 1

0

(V.23)

donde se observa como ya queda desacoplada la ecuación del axil de las de los momentos flectores. Resolviendo estas ecuaciones se obtienen los valores de a, b y c.

186



CAPITULO V

N a = n ºelem E i Ai

∑ i=1

nºelem

My

∑E I

i yzi

i=1

b =

  

n ºelem

∑

n ºelem



2

i= 1 nºelem

i yyi

i=1

∑E I

i yzi

i= 1

  

n ºelem

∑



2

∑E I

−My

i zzi

i =1 nºelem

nºelem

∑E I ∑E I

E iI yzi −

i yyi



i= 1

i zzi

i= 1 n ºelem

nºelem

c=

(V.24)

∑E I ∑E I



Mz

i yyi

nºelem

E iI yzi  −

i= 1

∑E I

−Mz

i=1

i zzi

i= 1

Con estas expresiones de a, b y c, y usando V.11 y V.12 se determinan εx y σxi. n ºelem

My

N

ε x = nºelem

+

nºelem

∑E I

− Mz

i yzi

i= 1

2

∑E I

i yyi

i=1 nºelem

∑E A   ∑ E I   − ∑E I ∑E I i

i

nºelem

i yzi

i=1

i yyi

i=1 nºelem

Mz +

nºelem

∑E I

i yzi

i=1

 nºelem

∑

 

i=1

i= 1 nºelem



2

E iI yzi  − 

− My

i zzi

i=1

∑E I

(V.25)

i zzi

i=1 nºelem

nºelem

∑E I ∑E I i yyi

i=1

y

z

i zzi

i= 1

σ xi = E iε x

El cálculo de la deflexión se puede realizar de la misma forma que se haría para una viga de material isótropo, pero empleando un módulo elástico equivalente E t para la sección, el cuál se define como: nºelem

∑E A i

Et =

i

i= 1

At

(V.26)

donde At es el área total de la sección considerada.


187

CAPITULO V


.

5.2.- ANALISIS DE PLACAS. Por las características geométricas de los laminados de material compuesto la configuración habitual más simple que encontramos en la práctica es lo que denominamos placa, y que responde a la geometría y acciones descritas en la figura V.14. Qx Qy Mxy

My

y, v

Ny

Mxy

Mx

Nxy

Nxy

x, u Nx

z, w

Figura V.14.- Esquema de la geometría y esfuerzos en una placa laminada.

Es decir, un elemento bidimensional plano que presenta como característica diferencial, respecto a los elementos laminares que se han tratado en la Teoría General del Laminado (TGL), la presencia de cargas perpendiculares al plano del laminado y en consecuencia la existencia de esfuerzos cortantes (Q x, Qy) perpendiculares a dicho plano. La definición de los esfuerzos por unidad de longitud es por tanto la misma que se hizo en la TGL añadiendo las expresiones de los esfuerzos cortantes.  N x     N y  =    xy  N





σ t  x 2 σ  t y −   2 σ xy

∫

M x    M y  =   M xy 



∫

Q x   = Q y 

t σ  xz 2  t −  σ  2  yz 

dz



σ t  x 2 σ  t y −   2 σ xy

∫

(V.27) zdz

dz

Donde t es el espesor de la placa. Para el planteamiento del problema se van a hacer una serie de restricciones e hipótesis que se describen a continuación. Restricciones: • Cada lámina del laminado es ortótropa (pudiendo estar orientados dichos ejes de ortotropía según cualquier dirección contenida en el plano de la lámina), elástica lineal y de espesor constante. • El espesor del laminado es pequeño en comparación a sus dimensiones en el plano de la placa. • Las fuerzas por unidad de volumen son nulas o despreciables. Hipótesis: 188



CAPITULO V

Sólo se consideran las componentes de tensión planas σx, σy, σxy del estado tensional. Hipótesis de Kirchhoff ( εz = γ xz = γ yz = 0). Nótese que esta supone una incoherencia con la hipótesis anterior (que implicaba Tensión Plana), la cual es característica de la Teoría de Placas delgadas, pero no entra en conflicto con la TGL. • Pequeños desplazamientos. • Pequeñas deformaciones. • •

Una vez establecidas las hipótesis y restricciones consideradas el planteamiento del problema elástico comprende la formulación de las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad, y el establecimiento de las condiciones de contorno. Las ecuaciones de equilibrio para placas laminadas en términos de esfuerzos por unidad de longitud quedan: N x,x + N xy,y = 0 N xy,x + Ny,y = 0 M x,xx + 2Mxy,xy + M y,yy = − p

(V.28)

siendo p la distribución de carga aplicada sobre la placa. Es de observar que las anteriores expresiones son válidas para cualquier tipo de placa sea cual sea el material de la misma (isótropo, ortótropo, una lámina, o un laminado en general anisótropo), ya que para su deducción sólo se emplean argumentos de equilibrio de fuerzas y momentos. Tanto las ecuaciones de compatibilidad como la ley de comportamiento serán las mismas desarrolladas en la TGL. •

Compatibilidad.  ∂u  o   ε ox   ∂x   o   ∂v o  ε y  =    o   ∂y  γ xy  ∂u ∂v   o + o  ∂y ∂x 

•

 ∂2w  o   2 o  k x   ∂x   o   ∂2w o    k y  = −  o   ∂y 2  k xy   ∂2 w  o 2  ∂x∂y

(V.29)

Ley de comportamiento.  N x  A11     N y  A12     N xy  A16 M  = B  x   11 M y  B    12 M xy  B16

A12 A22 A26 B12 B22 B26

A16 A26 A66 B16 B26 B66

B11 B12 B16 D11 D12 D16

B12 B22 B26 D12 D22 D26

B16   ε ox   o  B26   ε y    B66  γ oxy    D16  k ox  D26  k oy   o D66  k xy 


(V.30)

189

CAPITULO V


.

Con estas ecuaciones y las condiciones de contorno del problema tendríamos completado el planteamiento. Para la resolución del problema puede adoptarse un planteamiento en desplazamientos, es decir, se sustituirían las relaciones de compatibilidad en la ley de comportamiento y las expresiones obtenidas así para los esfuerzos se sustituirían en las ecuaciones de equilibrio, con lo que se obtendrían ecuaciones de equilibrio en desplazamientos. A11u,xx +2A16u,xy +A66u,yy + A16v,xx +(A12 + A66 )v,xy + A26v,yy −B11w,xxx −3B16w,xxy −(B12 + 2B66 )w, xyy −B26w,yyy = 0 A16u,xx +(A12 + A66 )u,xy + A26u,yy +A66v,xx + 2A26 v,xy +A22 v,yy −B16w,xxx −(B12 + 2B66 )w,xxy − 3B26w,xyy −B22w,yyy = 0 D11w,xxxx +4D16w,xxxy +2(D12 + 2D66 )w,xxyy +4D26w,xyyy +D22w,yyyy −B11u,xxx −3B16u,xxy −(B12 + 2B66 )u,xyy −B26u,yyy −B16v,xxx −(B12 + 2B66 )v,xxy − 3B26 v,xyy −B22 v,yyy = p (V.31) Las dos primeras ecuaciones representan el equilibrio como laja, mientras que la tercera expresa el equilibrio como placa. Como se puede observar, en el caso particular de laminados simétricos (Bij = 0) las ecuaciones se reducen apreciablemente, quedando desacopladas las ecuaciones de equilibrio como laja de la de equilibrio como placa, con lo que ambos problemas se pueden resolver de manera independiente. Adicionalmente, si el laminado es ortótropo, es decir compuesto por láminas a 0º y 90º exclusivamente, el problema se simplifica extraordinariamente, ya que en ese caso las constantes A 16, A26, D16, D26 = 0. •

Condiciones de contorno.

A continuación se enumeran las diferentes condiciones que se pueden dar en un punto del contorno de la placa, expresando su formulación matemática, indicándose por n la dirección normal al contorno en el punto p del mismo, y por t la dirección tangente, como se representa en la figura V.15. t

n p

Figura V.15.- Direcciones normal n y tangente t a un punto p del contorno.

En cada punto podemos imponer cuatro condiciones de contorno: u n = u n ó Nn = Nn u t = ut ó Nnt = Nnt w ,n = w ,n ó Mn = Mn w = w ó Mnt,t + Q n = M nt,t + Q n 190


(V.32)


CAPITULO V

Las tres primeras condiciones de V.32 tienen una interpretación física simple, en ellas se prescriben los desplazamientos y el giro del punto, o bien los esfuerzos axil y cortante y el momento flector por unidad de longitud aplicados. En la cuarta expresión de V.32 mientras que el primer tipo de condición tiene un sentido físico obvio, que es la prescripción del desplazamiento vertical, el segundo tipo de condición tiene una interpretación más compleja. En esta última expresión se prescribe la suma de la derivada del momento torsor y el cortante perpendicular al plano de la placa, dicha combinación de esfuerzos se puede considerar como un cortante efectivo aplicado. Es decir, que cuando aplicamos simultáneamente en el contorno un torsor y un cortante, la placa no responde a estos esfuerzos de manera independiente sino a la combinación de los mismos en la forma indicada. A continuación se recoge la formulación de las condiciones de contorno que modelan las configuraciones de apoyo más habituales en las placas, como son las de borde simplemente apoyado y las de borde empotrado. •

Condiciones en un borde simplemente apoyado: w =0 w =0 w =0 w =0

•

Mn = 0 Mn = 0 Mn = 0 Mn = 0

u n = u n ut = u t N n = N n ut = u t u n = u n Nnt = Nnt N n = N n N nt = Nnt

(V.33)

u n = u n ut = u t N n = N n ut = u t u n = u n Nnt = Nnt N n = N n N nt = Nnt

(V.34)

Condiciones en un borde empotrado: w =0 w =0 w =0 w =0

w ,n = 0 w ,n = 0 w ,n = 0 w ,n = 0

5.2.1.- Aplicación Se va a considerar un ejemplo simple con objeto de que la resolución del problema sea abordable. La configuración considerada consiste en una placa rectangular de dimensiones a x b, simplemente apoyada en su contorno lateral, y sometida a una carga transversal uniforme de valor p o, tal como se describe en la figura V.16. p(x, y) x b a y

z

Figura V.16.- Esquema de la configuración considerada.


191

CAPITULO V


.

El laminado que constituye la placa es simétrico y ortótropo (es decir constituido sólo por capas a 0º y a 90º), lo que supone que sólamente son no nulos los términos de la matriz de comportamiento A11, A12, A22, A66, D11, D12, D22 y D66. Las ecuaciones de equilibrio en desplazamientos para este caso son las siguientes: A11u,xx +A66u,yy +(A12 + A66 )v,xy = 0 (A12 + A66 )u,xy + A66 v,xx +A22 v,yy = 0 D11w,xxxx +2(D12 + 2D66 )w,xxyy + D22w,yyyy = p(x,y)

(V.35)

Las condiciones de contorno del problema quedan: x = 0,a : w = 0 Mx = 0 u = 0 v = 0 y = 0,b : w = 0 M y = 0 u = 0 v = 0

(V.36)

Resulta evidente que el problema de la flexión como placa (3ª ecuación de V.35) queda desacoplado del comportamiento como laja (1ª y 2ª ecuaciones de V.35), por lo tanto podemos determinar los desplazamientos w transversales resolviendo la tercera ecuación sometida a unas condiciones de contorno: x = 0,a : w = 0 Mx = 0 y = 0,b : w = 0 M y = 0

(V.37)

en las cuales usando la ley de comportamiento y las relaciones de compatibilidad podemos poner las condiciones sobre los momentos en la forma: M x = −D11w,xx −D12w,yy = 0 M y = −D12w,xx −D22w,yy = 0

(V.38)

Para la resolución mediante desarrollo en serie de senos la distribución de cargas transversales p(x, y), que en nuestro caso es uniforme, se puede poner en la forma: ∞

p(x,y) =

∞

∑ ∑16pπ mn1 sen maπx sen n bπy 2

o

(V.39)

m =1,3,...n =1,3,...

con lo que la solución de desplazamientos resulta: 1 m πx nπy sen sen 16po mn a b w= 6 4 2 2 4 π m m n n         m =1,3,... n =1,3,...D 11  + 2(D12 + 2D66 )    + D 22  a a b b ∞

∞

∑∑

(V.40)

En caso de que el laminado fuera antisimétrico las ecuaciones del problema estarían acopladas, complicándose por tanto la resolución del problema. Es por tanto interesante 192



CAPITULO V

conocer que error estaríamos cometiendo si despreciamos los términos de acoplamiento laja placa cuando estos no son nulos. En las figuras V.17 (a) y (b) se representa el desplazamiento máximo w, convenientemente adimensionalizado, en función del número de láminas para laminados cruzados ("cross-ply") y laminados angulares ("angle-ply").

(a)

(b)

Figura V.17.- Desplazamientos w máximos para laminados antisimétricos: (a) “cross-ply”, y (b) “angle-ply”.

En ambos casos se aprecia como solamente cuando el número de láminas es de dos la influencia del acoplamiento laja-placa es considerable, mientras que en el resto de los casos (para un número de láminas ≥4) se constata que los valores obtenidos de los desplazamientos transversales w son muy aproximados a los que se obtienen para un laminado simétrico (número de láminas → ∞), es decir que en este caso resulta admisible despreciar el acoplamiento laja-placa por tener escasa influencia en el comportamiento del laminado, suponiendo una notable simplificación para la resolución del problema.


193

CAPITULO V

194



.

BIBLIOGRAFIA

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Introduccion al analisis y Diseño con MaterialesCompuestos

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