ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL / INTRODUCCION AL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Convención para los esfuerzos positivos
Deformaciones
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Ley de Hooke (relación esfuerzos deformaciones)
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Tensión plana
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Ley de Hooke para tensión plana
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Formulación de elementos finitos. Elemento triangular de tres nodos.
Numeración local y global
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Numeración local y global
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Numeración local y global
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Reglas para la creación de la malla de elementos finitos Es importante reconocer que la malla de elementos finitos representa una idealización de la geometría real. Por consiguiente, el análisis por elementos finitos reproduce el comportamiento de la malla escogida, y no el de la estructura real. Solamente comprobando la convergencia de la solución podemos estimar el grado de aproximación de la solución de elementos finitos a la exacta.
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Recomendaciones •En caso que se tenga una cierta idea de la forma polinómica de la solución, conviene utilizar elementos con funciones de forma del mismo grado que la solución conocida (rara vez ocurre en la práctica) •En zonas donde se intuya que pueden existir gradientes de esfuerzos elevados es más adecuado utilizar elementos de mayor orden (método p) o mallas más tupidas (método h). •Debe evitarse colocar un elemento pequeño contiguo a uno grande. La transición en tamaño debe ser gradual •Se recomienda utilizar elementos finitos de pocos nodos (pero no tan pocos!) •Los elementos no deben traslaparse. •Los vértices o nodos de un elemento no deben caer en el lado de un elemento contiguo. •Cada nodo de un elemento debe coincidir con el nodo de otro elemento. •Preferiblemente los ángulos internos no deben ser muy pequeños comparados con los tros ángulos internos. • En lo posible, se deben hacer análisis con mallas cada vez más tupidas, de modo que podamos observar si la solución ha convergido.
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Elemento triangular de tres nodos, funciones de forma y desplazamientos de un punto
u1 v 1 0 N 2 0 N 3 0 u 2 u N u= = 1 0 N 2 0 N 3 v 2 v 1044N4 1 442444443 u 3 N u3 { a(e)
u = N ⋅ a (e) N = [N1 N 2 N i Ni =
N3 ]
N i 12
La expresión de las funciones de forma del elemento triangular se puede obtener como sigue: los tres nodos del elemento definen una variación lineal del campo de desplazamientos que puede escribirse como:
u = α1. + α 2. x + α 3. y
(i)
v = α 4. + α 5. x + α 6. y Si suponemos que la interpolación de u y v se efectúa de idéntica manera, basta con obtener la expresión de las funciones de forma para uno de los desplazamientos. Así, por ejemplo, para el desplazamiento u se tiene que cumplir que sus valores en los nodos coincidan con las correspondientes incógnitas nodales. Es decir,
(ii)
Resolviendo dicho sistema de ecuaciones y sustituyendo en (i) los valores encontrados para α1, α2 y α3 se obtiene la siguiente expresión para u:
1 [(a 1 + b1 x + c1 y )u 1 + (a 2 + b 2 x + c 2 y )u 2 (a 3 + b 3 x + c 3 y )u 3 ] (e) 2A a i = x j y k − x k y j ; b i = y j − y k ; c i = x k − x j ; i, j, k = 1,2,3 u=
Ni =
1 (a i + b i x + c i y ) 2A (e)
i, j, k = 1,2,3
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Discretización del campo de deformaciones.
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El vector de tensiones viene de la pag.5:
σ = D ⋅ ε = D ⋅ B ⋅ a (e) 15
Fuerzas sobre un elemento triangular de tres nodos
Para obtener las ecuaciones de equilibrio de la discretización usamos el PTV aplicado al equilibrio de un elemento aislado. Suponemos que sobre el elemento actúan fuerzas repartidas por unidad de área (fuerzas másicas) b, y en sus lados fuerzas repartidas por unidad de longitud (fuerzas de superficie) t. las fuerzas de superficie pueden ser de dos tipos: a) debidas a fuerzas exteriores que actúan sobre los lados del elemento que forman parte del contorno exterior de la estructura, b) debidas a las fuerzas de interacción entre los elementos que se transmiten a través d e os lados comunes. Estas últimas pueden ignorarse pues se anulan en el ensamblaje. 16
Fuerzas sobre un elemento triangular de tres nodos Supondremos que el equilibrio se establece únicamente en los nodos. Podemos definir entonces unas fuerzas puntuales que actúen sobre los nodos (denominadas fuerzas nodales de equilibrio) y que equilibren las fuerzas debidas a la deformación del elemento y al resto de la fuerzas actuantes sobre el mismo. El PTV aplicado al elemento se escribe como:
δui y δvi son los desplazamientos virtuales de los nodos del elemento y Ui y Vi son las fuerzas nodales de equilibrio que corresponden a dichos desplazamientos. El TV de dichas fuerzas puede despejarse de la ec. anterior:
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Hay que destacar que estas expresiones son totalmente generales y, por consiguiente, aplicables a cualquier elemento bidimensional
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Matriz de rigidez para un elemento triangular de tres nodos.
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Vectores de fuerzas nodales equivalentes para un elemento triangular de tres nodos
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Elemento rectangular de cuatro nodos Consideremos el elemento aislado de la figura, con el sistema de coordenadas locales r,s indicado. Por tener cuatro desplazamientos nodales en cada dirección hay que definir el campo de desplazamiento en el interior del elemento por un polinomio de cuatro coeficientes en r y s. La interpolación más simple que cumple las condiciones de compatibilidad interelemental y de invarianza geométrica es:
u = α1. + α 2. r + α 3.s + α 4. rs v = α 5. + α 6. r + α 7.s + α 8. rs Las cuatro constantes se determinan utilizando las siguientes condiciones en el sistema r,s.
Sustituyendo estas condiciones y resolviendo el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas para calcular αi para cada desplazamiento, se puede reescribir la ecuación anterior como:
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Se puede obtener explícitamente la matriz de rigidez
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Matriz de rigidez para un elemento rectangular de cuatro nodos.
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Comportamiento elemento rectangular de cuatro nodos. Este elemento ofrece un alto grado de precisión para problemas en los que el comportamiento de la estructura sea esencialmente tracción o compresión pura, mientras que en problemas en los que el comportamiento predominante sea de flexión, dicho elemento es de poca precisión, siendo necesario utilizar mallas muy tupidas para obtener resultados mínimamente aceptables. Esto se puede explicar considerando un elemento sometido a flexión pura. La solución exacta de la teoría de vigas puede escribirse como: M rs EI M 2 r2 M 2 s2 v(r, s) = a 1 − + b 1 − 2EI a 2 2EI b 2
u(r, s) =
Por otra parte, por tener lados rectos, el elemento de 4 nodos solo puede representar el modo de desplazamiento de flexión de la siguiente manera: u = Ars v=0
El elemento no puede reproducir la distribución de desplazamiento real en u estado de flexión, lo que le confiere una rigidez excesiva. Por otro lado puede comprobarse que con el campo de desplazamiento asumido, no se puede reproducir para este caso de flexión pura la condición γxy=0. El elemento contiene un “exceso” de deformaciones tangenciales que genera una rigidez adicional. Una técnica para eliminar este exceso es el método de 28 integración reducida y otras técnicas más avanzadas.
Matriz de rigidez para un elemento triangular de tres nodos.
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Matriz de rigidez para un elemento triangular de tres nodos.
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Matriz de rigidez para un elemento triangular de tres nodos.
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Matriz de rigidez para un elemento triangular de tres nodos.
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Matriz de rigidez para un elemento triangular de tres nodos.
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