1- Introducción al método experimental 2- Título 3- Objetivos 3.1. Objetivos Generales 3.2. Objetivos Específicos 4- Fundamento Teórico (Resumen) 4.1. Teoría de Errores Medición directa Medición indirecta 4.2. Regresión Lineal 5- Equipos, Materiales y Características
6- Procedimiento 7- Tabulación de Datos
8- Análisis y resultados
9- Hoja de cálculos 10- Conclusiones Y sugerencias 11- Cuestionario
12- Bibliografía 1. Introducción
A fin de cumplir con los objetivos la Física, como todas las ciencias naturales puras o aplicadas depende de la observación y de la experimentación. La observación consiste en un examen crítico y cuidadoso de los fenómenos, notando y analizando los diferentes factores y circunstancias que parecen influenciarlos. Desafortunadamente, las condiciones bajo las cuales ocurren los fenómenos naturales raramente ofrecen suficiente variación y flexibilidad, de modo que su análisis es un proceso difícil y lento. Por dicha razón es necesaria la experimentación. La experimentación que consiste en la observación del fonómeno bajo condiciones preparadas y cuidadosamente preparadas. De esta manera el científico puede variar las condiciones a voluntad, haciendo más difícil de descubrir como ellas afectan al proceso. Sin la experimentación la ciencia moderna nunca habría alcanzado los avances actuales, tal es la razón por la cual los laboratorios son tan esenciales al científico. 2. Titulo Errores en las mediciones 3. Objetivos
3.1 Objetivos generales: Adquirir nociones de los errores que se cometen en las prácticas de laboratorio. Adquirir conocimientos para aplicar el método de regresión lineal llamado también de mínimo cuadrado o ajuste de curvas. Conocer y aprender a utilizar adecuadamente los materiales del laboratorio de física. 3.2 Objetivos específicos: Determinar el volumen del cilindro Hallar el error porcentual Interpretación de gráficas Hallar el coeficiente de correlación Definir que es exactitud, precisión y cifras significativas Teoría de errores
Medición directa: Son aquellas mediciones que se obtienen de forma inmediata con el instrumento de medida. Sea “xi”, “n” medidas directas de alguna magnitud física, por ejemplo de la longitud tal como se muestra en tabla N° 1 N xi
1 X1
2 X2
3 X3
4 X4
5 X5
… ...
n-1 Xn-1
N Xn
La medida más probable de la longitud x será:
̅ ∑ ∑
Su derivación estándar (error absoluto)
La medida estará entonces en el intervalo
̅
Medición indirecta: Es aquella que se obtiene de la aplicación de una relación entre otras medidas (a través de fórmulas). Ejemplo: la medida del volumen y área de una esfera se obtiene a partir del radio o diámetro.
Desviación estándar (ς) Dispersión de una medida:
Medida:
∑
Valor probable
Error relativo (Er):
Error porcentual (E%):
“error”
Regresión lineal Si sabemos que existe una relación entre una variable denominada dependiente y otras denominadas independientes (como por ejemplo las existentes entre: la experiencia profesional de los trabajadores y sus respectivos sueldos, las estaturas y pesos de personas, la producción agraria y la cantidad de fertilizantes utilizados, etc.), puede darse el problema de que la dependiente asuma múltiples valores para una combinación de valores independientes. Si se da ese tipo de relaciones, se suele recurrir a los estudios de regresión en los cuales se obtiene una nueva relación pero de un tipo especial denominado
función, en la cual la variable independiente se asocia con un indicador de tendencia central de la variable dependiente. Cabe recordar que en términos generales, una función es un tipo de relación en la cual para cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de variable dependiente. Aspecto teórico Sean x, y dos magnitudes con cierta dependencia y=Y(x) y sean los pares ordenados (xi;yi) medidos experimentalmente, si la gráfica y vs x muestra una posible relación lineal, es posible hallar la relación entre “y” y “x” (ECUACIÓN EMPÍRICA), aplicando las ecuaciones.
n
Xi
Yi
1
X1
Y1
2
X2
Y2
3
X3
Y3
4
X4
Y4
. . . N
. . . Xn
. . . Yn
∑ ∑ ∑∑ Formula N° 1
∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ Formula N° 2
El coeficiente de correlación “ρ”, es un indicador de la BONDAD de la ecuación hallada.
∑ √ ∑ ∑
Formula N° 3
Equipos materiales y características
Vernier:
Instrumento de medición indispensable para el desarrollo de la práctica de laboratorio puesto que permitía medir el Volumen y altura del cilindro
Una regla:
Material utilizado en nuestra practica para medir la longitud del péndulo.
Un péndulo :
Armado junto al soporte y pinza horizontal para medir su periodo en diez oscilaciones y según su longitud.
Un soporte LEYBOLD:
Pieza básica de laboratorio que se usa para el montaje de los sistemas y aparatos como pinzas y anillos de metal.
Papel milimetrado :
Material de mucha utilidad para la interpretación de gráficas como por ejemplo: rectas, curvas, parábola, etc.
Una pinza horizontal:
Sirve para sujetar instrumentos en el montaje de sistemas.
Un transportador:
Instrumento que es utilizado para medir ángulos.
Procedimiento Utilizando el Vernier cada estudiante tomará dos medidas del diámetro y dos medidas del largo del cilindro, posteriormente llenará la tabla n° 1 Construir un péndulo plano de 1.20m de longitud y hacerlo oscilar con un ángulo aproximado de 20°. Anotar el tiempo que demora en hacer 10 oscilaciones en la tabla n°2 . Disminuyendo la longitud del péndulo en 10cm vuelve a anotar el tiempo de 10 oscilaciones, así sucesivamente y disminuyendo la longitud del péndulo de 10cm, completa la tabla n° 2 TABULACIÓN DE DATOS Tabla n°1 diámetro y largo del cilindro n D (mm)
1 22.20
2 22.14
3 22.28
4 22.30
5 22.25
6 22.30
Tabla n° 2 datos de longitud y periodo de un péndulo plano Obs: T=Periodo T= t/6 N 1 2
L(cm) 120 110
t(s) 12.99 12.51
T(s) 2.17 2.08
3 4 5 6 7 8 9 10
100 90 80 70 60 50 40 30
12.36 11.94 11.26 10.45 9.35 8.58 7.63 6.65
2.06 1.99 1.88 1.74 1.56 1.43 1.27 1.13
Análisis y resultados Volumen del cilindro:
D= sumatoria de todos los diámetros medidos entre el número de veces medidos.
∑ En nuestro caso medimos 6 veces el diámetro del cilindro como la altura del mismo. Obtenemos
10.2
A continuación las gráficas Ecuación empírica
Y=mx + b Utilizaríamos esta ecuación si nuestros puntos experimentales mostraran una línea recta pero como a continuación se verá esta representan una curva por lo que la gráfica no representa un modelo lineal sino será un modelo no lineal. Siendo así consideremos la siguiente fórmula: Y=AXb Que en función del logaritmo será: Log (Y) = Log (A) + Log (X) Considerando la siguiente regresión lineal
Log (T) = bo + b1Log (L) En esta regresión (denominada regresión de doble logaritmo), en lugar de calcular la regresión de Y contra X, calculamos la regresión del logaritmo de Y contra logaritmo de X. Comparando estas dos ecuaciones, podemos apreciar que el coeficiente en un estimador de Log (A), mientras que un estimador de b (el exponente de la función exponencial). Este modelo es particularmente interesante en aplicaciones econométricas, porque el exponente b en una función exponencial mide la elasticidad de Y. Ahora calculemos: Y=AXb Donde A Y B son dos constantes desconocidas. Si aplicamos logaritmos, esta función también puede expresarse como: Log(Y) = Log (A) +bLog(X) Donde hacemos cambio de variable entonces:
Y= bo + b1X Y=log (Y), bo=log(A), b=B1, X=Log(X) Para todo Y=T, y X=L donde T=Periodo, L=Longitud A continuación se muestra la siguiente tabla:
n 1 2 3 4 5
Log(l) 2.08 2.04 2 1.95 1.90
Log(t) 0.35 0.34 0.31 0.29 0.26
6 7 8 9 10 11 12
1.85 1.78 1.69 1.60 1.48 1.30 1
0.23 0.20 0.17 0.13 0.05 -0.04 -1.17
Aplicamos logaritmo: Log (Y)=log(A) + bLog(X)
Y=bo + b1X Utilizando la tabla logarítmica:
∑ ∑∑∑ b ∑ ∑ o
bo= Log (A) b=b1 Y=Log(Y) X=Log(X)
Coeficiente de correlación: =Que se hallará con la formula N° 3 que será =0.9 A partir de la ecuación empírica deducir un valor para aceleración de la gravedad. Para poder deducir el valor de la aceleración de la gravedad Utilizaremos la fórmula N° 6
P=Período= T=que se encuentra en el eje Y L= Longitud =L= que se encuentra en el eje X G= Gravedad
Despejamos de tal manera que se despeje G No olvidar la formula N° 5 la cual se relacionara con la formula N°6 Finalmente obtendremos a la aceleración de la gravedad igual G=8.16 m/s2
Fuentes de errores en nuestro experimento: Nuestras fueron afectadas en algún grado por error porcentual debido a las imperfecciones inevitables de los instrumentos de medida o a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos (visión) que luego se registrarán en la información. Otra fuente de error que existió durante nuestra primera práctica de laboratorio fue la preocupación a tratar de hacer las cosas bien debido a que debíamos realizar un trabajo rápido y preciso. Sobre todo en la utilización de materiales de laboratorio vistos por primera vez como por ejemplo el Vernier. Coeficiente de correlación:
√ ∑∑ ∑ √
Aceleración de la gravedad:
Y= (0.2)X0.5
T= (0.2)L0.5
√
sabemos que T=2π
igualamos
(0.2)L 0.5 =
√
T=2π
G = 9.85.96 m/
En nuestra práctica de laboratorio de trabajo con ángulo de 20° porque el movimiento de un péndulo en un Movimiento armónico simple donde se define como partícula de masa m suspendida del punto O por una cuerda de longitud L y de masa despreciable. Debemos recordar que si el ángulo θ es pequeño la amplitud de las oscilaciones es pequeña y podemos escribir Senθ ~θ Para el movimiento del péndulo
El ángulo θ puede expresarse en la forma:
Entonces usando P=2π/ω, el periodo de oscilación está dado por la expresión P=2π √1/g nótese que el periodo es independiente de la masa. Para mayores amplitudes, la aproximación. Senθ ~θ No es válida. En tal caso, la fórmula general del periodo depende de la amplitud de θ o. Si deseamos obtener la fórmula general del periodo se expresará por la serie:
La variación con la amplitud de θ 0 del periodo, expresado en función del periodo P=2π √1/g correspondiente a oscilaciones muy pequeñas. Por estas razones para amplitudes pequeñas es suficiente tomar el primer término correlativo y aun sustituir 1/2 θo por sen1/2 θo obteniéndose: P=2π √1/g (1+1/16 θ20). Donde qo se expresa en radianes. Esta es una aproximación suficiente para la mayor parte de las situaciones prácticas. De hecho, el término θ2o/16 representa menos del 1% para amplitudes menores de 23°. Exactitud: La exactitud de una medición hace referencia a su cercanía al valor que pretende medir.
Es la cercanía con la cual la lectura de un instrumento de medida se aproxima al valor verdadero de la variable medida. Precisión: La precisión está asociada al número de cifras decimales utilizados para expresar lo medido. Es una medida de la respetabilidad de las mediciones. Dado un valor fijo de una variable, la precisión en la medida del grado con el cual, mediciones sucesivas difieren una de la otra. La diferencia entre exactitud y precisión puede aclararse con el siguiente ejemplo. Consideremos un reloj que además de no marcar la hora oficial, cada hora se adelanta 3 minutos con relación a ésta. Este es un instrumento que no es ni preciso ni exacto. Ahora, un reloj que ni se adelanta ni se atrasa, pero con respecto a la hora oficial tiene una diferencia constante de 5 minutos. Este es un instrumento preciso pero no es exacto. Por último consideramos un reloj que si se atrasa ni se adelanta y además marca la hora oficial. Este es un instrumento preciso y exacto. Cifras significativas: La precisión o incertidumbre de un número nos permite definirle número de cifras significativas. La exactitud de los datos obtenidos en un experimento depende tanto de los instrumentos de medida como de la calidad del experimentador. Por cuanto todo instrumento de medida tiene un límite de sensibilidad, es lógico pensar que al medir, por ejemplo el tiempo, con un reloj de pulsera, es imposible obtener con exactitud de milésimas o millonésimas de segundo. El correcto manejo de los datos obtenidos en un experimento, en cuanto a su precisión se refiere, se trabaja con las cifras significativas. Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real o aportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error. Conclusiones y sugerencias Cuando se realice un experimento una medida debe tenerse gran cuidado de modo de producir una perturbación mínima del sistema que está bajo observación. Mantener el orden y tener mucho cuidado en la utilización de los materiales de laboratorio. Cuando lea este significativo informe sobre Fundamento de Experimentación donde se ha tratado de dar lo mejor de nuestro conocimiento sobre el tema correspondiente e indicaciones de una práctica de laboratorio debe tener en cuenta que muchos de los valores han sido redondeados hasta dos decimales.
Cuestionario N°1 1. ¿Cuál es la relación entre el periodo y la longitud del péndulo? Cuanto es el coeficiente de correlación obtenido Depende, el Periodo es inversamente proporcional a la frecuencia, o sea que mientras uno aumenta el otro disminuye. Mientras aumenta la longitud del hilo más tardará en pasar por su punto de equilibrio, por tanto su período aumentará. Si el hilo es corto se tardará menos y el periodo será menor. Coeficiente de correlación
()
=0.1302
2. Cuáles son las probables fuentes de error?
A. Errores Sistemáticos Errores en la calibración de instrumentos. Errores del observador, como por ejemplo, el error de paralaje. Errores debidos a la influencia de ciertos factores que no se toman en cuenta. Por ejemplo, un instrumento usado a una temperatura diferente a la temperatura en la que se hizo la calibración. B. Errores accidentales Errores de apreciación, como por ejemplo, en la estimación de la tracción de la menor división de una escala. Errores debido a condiciones que actúan, como por ejemplo, variaciones en la red de energía eléctrica. Errores debidos a la naturaleza de la magnitud que se mide, como, por ejemplo, variaciones observadas en la longitud de un objeto debido a la falta de pulimiento o paralelismo de las caras C. Errores Burdos Equivocaciones, por ejemplo, en la lectura de medidores o en la cuenta del número de oscilaciones de un péndulo. Errores en la computación debidos a la falta de precisión, como por ejemplo, en el uso de una regla de cálculo para procesar datos con cuatro cifras significativas. Diferencie precisión y exactitud en una medida. La exactitud se refiere a cuán cercana está una medición del va lor real de la cantidad medida. La precisión se refiere en cuánto concuerdan dos o más mediciones de una misma cantidad.
3. ¿porque se trabajó con un Angulo de oscilación pequeño? La razón es que para ángulos pequeños el péndulo se comporta "casi" como si fuera un oscilador armónico simple, lo que simplifica enormemente los cálculos. En estas condiciones, el periodo de oscilación del péndulo, T, depende solamente de la raíz cuadrada de la longitud de la cuerda, así que: 1 - Si la longitud aumenta al doble, el periodo aumentará en raíz (2) = 1,41, es decir: T' (cuerda doble) = 1,41*T 2 - Y si la cuerda se reduce a la mitad, es decir si L se divide por dos, entonces el periodo se dividirá entre raíz (2), es decir: T" (cuerda mitad) = T /1,41
4. ¿qué es exactitud, precisión y cifras significativas? Exactitud: La exactitud depende de los errores sistemáticos que intervienen en la medición, denotando la proximidad de una medida al verdadero valor y, en consecuencia, la validez de la medida.
Precisión: En ingeniería, ciencia, industria y estadística, se denomina precisión a la capacidad de un instrumento de dar el mismo resultado en mediciones diferentes realizadas en las mismas condiciones. Esta cualidad debe evaluarse a corto plazo. No debe confundirse con exactitud ni con reproducibilidad.
Cifras significativas:
Las cifras significativas (o 'dígitos significativos' ) representan el uso de una o más escala de incertidumbre en determinadas aproximaciones.
CUESTIONARIO Nº 2 1. ¿Cuál es el error en cada medida?
Dispersión de una medida
L± x
22.10 + 0.03
22.13
22.10 + 0.01
22.11
22.10 + 0.02
22.12
22.10 + 0.03
22.13
22.10 - 0.03
22.07
22.10 – 0.00
22.10
22.10 + 0.00
22.10
22.10 + 0.04
22.14
22.10 + 0.00
22.10
22.10 – 0.01
22.09
2. ¿Cuál es la medida más probable del diámetro de la esfera y cuál es el error?
Medida más probable: 22.100 Error: 22.109 3. ¿Cuál es el error porcentual en la medida del diámetro? Error porcentual:
4. ¿Cuál es el volumen de la esfera y cuál es el error porcentual?
Método de regresión lineal Teoría: Muchos pares de magnitudes físicas se encuentran relacionadas por ejemplo:
El periodo de un péndulo está relacionado a la longitud de la misma.
La distancia recorrida de un cuerpo que cae es función del tiempo de caída.
h
t
h1
t1
h2
t2
h3
t3
…
…
Gráfica: h
t
Método: Si la gráfica de puntos experimentales sugiere una relación lineal entre variables “x” y “y”. n
x
y
xy
1
x1
y1
x1y1
2
x2
y2
x2y2
…
…
…
…
(x.y) …
Y= mx + b
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5.
“Física, volumen I : Mecánica” , Marcelo Alonso, Edward J. Finn www.monografias.com “Mecánica”, Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston. Página Web de la Potificia Universidad Javeriana ( de su departamento de Física). “Física teoría y práctica”, Walter Pérez Terrel.
