ITC Chapitre 3- Hydraulique Des Sols

Compléments de Mécanique des Sols 1

Chapitre 3 Hydraulique des sols

Séng y UNG Ingénieur Civil des Ponts et Chaussées Docteur Ingénieur


Sommaire 3.1 INTRODUCTION 3.2.1. Écoulements dans les sols : charge hydraulique et loi de Darcy • Principes, hypothèses et définitions de base • Gradient hydraulique • Loi de Darcy • Coefficient de perméabilité 3.2.2. Calcul des débits et pressions interstitielles : réseaux d'écoulements • Principes généraux • Détermination du réseau d'écoulement • Utilisation d'un réseau d'écoulement 3.2.3. Mesure de la perméabilité • En laboratoire • In situ 3.2.4. Forces d'écoulement • Détermination des forces d'écoulement • Gradient critique et phénomène de "renard"


3.1 Introduction Questions posées par l’eau dans les sols. Ex: barrage en terre Stabilité des talus

Débits de « fuite »

Dimensionnement des ouvrages hydrauliques


Principes et hypothèses de base • • • •

Eau et grains solides incompressibles Eau visqueuse Volume de sol Eau soumise à la pesanteur Conservation de la masse Eau V2 V1 = V2

• Loi de Terzaghi : σ = σ’ + u • Écoulements permanents : vitesse indépendante du temps

Eau V1


Vitesse d’écoulement:

Écoulement unidimensionnel

q v= S

Écoulement tridimensionnel


3.2 Charge hydraulique. Loi de Darcy • Bilan énergétique (P.T.V.) : dWi + dWe + dWj = 0 • Écoulements permanents dans les fluides (rappel) – Fluide parfait pesant u v2 + + z = Cste ( Bernouilli ) incompressible : γ w 2g – Fluide visqueux :  u v2  g ∫ + + z dµ + ∫ 2.D.dV = Cste D fonction dissipative > 0 γ 2g  ∂D  w D Cas des sols : v faible et viscosité CHARGE HYDRAULIQUE : définition h décroît dans le sens de l’écoulement

h=

u

γw

+z


Gradient hydraulique Définition : en M

M

dl

Q P

r i

Perte de charge entre M et P avec MP ( dx, dy, dz ) Produit scalaire r r ∂h ∂h ∂h i .MP = − .dx − .dy − .dz ∂x ∂y ∂z

r r i .MPr= −dh = hM − hP

Soit Q tel que MQ parallèle à

dh i=− dl

r r i = − grad h

i

(MQ = dl)

Valeur du gradient hydraulique orienté dans le sens des potentiels décroissants

r i

Compléments de Mécanique des Sols

Exemple de calcul du gradient

r i

Avec un plan de référence choisi au niveau du plan d'eau et z orienté vers le haut : - en B : hB = - en D : hD =

uB

γw uD

+ z B = AB + BC = AC

+ z D = CD - CD = 0

γw Perte de charge entre B et D :

hB – hD = AC Gradient hydraulique entre B et D uniforme (vertical et descendant) : iBD =

hB − hD LBD

=

AC BD

8


Loi de Darcy:

r r v = k .i

r r i = − grad h

Vecteur vitesse Coefficient de Gradient hydraulique perméabilité Ligne de courant En M : la ligne de courant est tangente au vecteur vitesse

r v M

La valeur de v est très faible


Coefficient de perméabilité k (m/s) Sol

10-2

10-4

GRAVIER SABLE

Sols souvent anisotropes :

10-7 LIMON

10-9 ARGILE

Sol

k (m/s)

Sable de Fontainebleau

2.10-5

Limon d'Orly

5.10-8

Vase

4.10-9

Tourbe

2.10-8

Argile verte

8.10-10

Tenseur de perméabilité  k h 0 0 kh   k = 0 k h 0 avec ≈ 10 kv 0 0 kv 


r r v = k .i

Validité de la loi de Darcy : Cette loi est valable pour des écoulements en régime laminaire, qui sont fonction du nombre de Reynolds R


V: Vitesse d’écoulement du fluide (m/s) L: Dimension caractéristique (m) ρ: Masse volumique du fluide (kg/m3) µ: Viscosité dynamique du fluide (Poiseuille ou Pa.s) A titre d’exemple pour des écoulements d’eau dans les sols, nous avons:

Ecoulement laminaire

V= 10 -3 m/s ρ= 1000 kg/m3 L= 10-3 m µ= 10-3 Pa.s D’où, Re = 1. Les écoulements sont bien du type laminaire.

Ecoulement turbulent


Exemple : nappe des sables de l’Albien

• • • • • •

Différence d'altitude = perte de charge Dh entre Beauvais et Paris : 60 m Distance Paris-Beauvais : d = 100 km : Gradient hydraulique de l'écoulement : i = 60 / 100000 = 6.10-4 Sables de l'Albien très fins et limoneux : perméabilité k = 10-6 m/s Vitesse moyenne de l'écoulement de la nappe : v = k.i = 6.10-10 m/s Temps nécessaire pour que l'eau qui s'infiltre à Beauvais atteigne Paris : t = = 1,7.1014 s = 5.106 années (5 millions d’années !)


3.3 Réseaux d’écoulement. Calcul de débit • Équation de continuité (= conservation de la masse d’eau) : dWw = 0 avec Ww = ∫ n.γ w .dV dt D rr dWw ∂ (n.γ w ) =∫ .dV + ∫ n.γ w .υ .v '.dS dt ∂t D ∂D r dWw ∂ (n.γ w ) =∫ .dV + ∫ div(n.γ w .v ' ).dV dt ∂t D D

r ∂n + div v = 0 ∂t

n: indice des vides v: vitesse d’écoulement


r ∂n + div v = 0 ∂t

Equations de l ' écoulement : r r r r ∂n + div v = 0 et v = k .i = − k .grad h ∂t ∂n =0 soit k .∆h + ∂t Sol incompress ible : n = cste ∂ 2h ∂ 2h ∂ 2h d ' où ∆h = 2 + 2 + 2 = 0 ∂x ∂y ∂z

Écoulements permanents indépendants de k


Équation de Laplace

∂ 2h ∂ 2h ∂ 2h + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z Trouver une fonction h(x,y,z) satisfaisant cette équation et les conditions aux limites : réseau d’écoulement à lignes orthogonales • les lignes à potentiel h constant sont appelées "équipotentielles" • les lignes tangentes en tout point au vecteur gradient hydraulique sont appelées "lignes de courant"





Réseau d’écoulement (Méthode des éléments finis)


Réseau d’écoulement (Méthode des éléments finis)

Vecteurs « vitesse »


Pressions interstitielles


Piézomètres: Ouvert (tube crépiné)

Fermé (capteur de pression interstitielle) Manomètre

Niveau piézométrique dans le terrain

hw Pression u = γw.hw

Mesure de la pression

Cellule fermée


3.4 Mesure de la perméabilité en laboratoire

v = Q/S = k.i = k.H/l Q et v très faibles Q = s.dH/dt d'où k = (l.s.dH/dt)/(S.H)

Q mesuré directement k =(Q.l)/(S.H)


• Essais en forage : Lefranc ou Lugeon On injecte (ou on pompe) de l’eau et on relie le débit à la surface d’infiltration Niveau piézométrique dans le terrain

Mesure de la perméabilité in situ


Essai de pompage : on pompe dans un puits, avec un débit Q en mesurant la surface piézométrique dans différents piézomètres

P1

P2 P3 Formule de Dupuit R ln  r k =Q π .( H 2 − h 2 ) (nappe libre)


Équations de l’équilibre δσ x δτ xz + =0 δx δz δτ xz δσ z + +γ = 0 δx δz

Équation de Terzaghi : σ = σ' + u et τ' = τ Charge hydraulique : h = u/γw + z

Dérivation par rapport à x: ∂σ x ∂σ ' x ∂ ( h − z ) ∂σ ' x ∂h = + γ w. = + γ w. ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂σ z ∂σ ' z ∂ ( h − z ) ∂σ ' z ∂h = + γ w. = + γ w .( − 1) ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z

δσ ' x δτ ' xz ∂h + + γ w. = 0 3.5 Forces d’écoulement ∂x δx δz δτ ' xz δσ ' z ∂h + + γ w . + (γ − γ w ) = 0 δx δz ∂z


Tout se passe comme si le squelette était soumis à : • forces volumiques de pesanteur : [ 0 ; -(γ - γw) ] (γ - γw) = γ' poids volumique déjaugé : force r de pesanteur sur le squelette ≈ vecteur γ ' • forces d'écoulement Fe:

r  r ∂h   ∂h  − γ . ; − γ . avec i = − gr a dh     w w   ∂ x ∂ z    

r ≈ forces volumiques = vecteur γ w .i gradient hydraulique parallèle

aux lignes de courant C’est un élément très important !!!

r i .γ w

r

r

r

γ −γw = γ '


Deux méthodes :


• Dans le cas d'un écoulement vertical ascendant : les forces d'écoulement s'opposent aux forces de pesanteur. • Si la résultante est dirigée vers le haut : les grains du sol sont soulevés, entraînés par l'eau; d’où phénomène de « renard » σ’ = σ – u < 0 • Le gradient critique ic ≈ situation limite où la résultante des forces de pesanteur et d'écoulement est nulle : ic.γ w =γ ' d'où ic = γ ’/γw (γw = 10 kN/m3 et γ ‘= γ - γw souvent ≈ 20 – 10 = 10 kN/m3, d'où ic voisin de 1)

Argile

r ri γ'

∆H W

Niveau piézométrique dans les sables (nappe en charge)

l

u Sable Gradient critique et phénomène de "renard"


On peut aussi raisonner en contraintes totales, ou équilibre d'efforts sur un prisme de section S : à la profondeur l sous le fond de fouille, le poids W vaut γ.l.S la sous pression vaut U = u.S = γw.(∆H + l).S il y a équilibre pour γ.lc.S = γw.(∆H + lc).S, soit lc.(1 - γw/γ) = γw/γ.∆H ou lc=∆H.γw/γ' or i = ∆H/l. On retrouve bien ic = γ’/γw

Argile Sable

r ri γ'

∆H W

l u

Niveau piézométrique dans les sables (nappe en charge)

ITC Chapitre 3- Hydraulique Des Sols

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