Jacobiano y Propiedades Inerciales

INGENIERÍA MECATRÓNICA

1. JA COBIANO Y PROPIEDADES PROPIEDADES INERCIALES. INERCIALES. 1.1.

Introducción.

El modelo cinemático de un robot busca las relaciones entre las variables articulares y la posición (expresada normalmente en forma de coordenadas cartesianas) y orientación del extremo del robot. En esta relación no se tienen en cuenta las fuerzas o pares que actúan sobre el robot (actuadores, cargas, fricciones, etc.) y que pueden originar el movimiento del mismo. Sin embargo, sí que debe permitir conocer, además de la relación entre las coordenadas articulares y del extremo, la relación entre sus respectivas derivadas. Así, el sistema de control del robot debe establecer que velocidades debe aplicar a cada articulación (a través de sus respectivos actuadores) para conseguir que el extremo desarrolle una temporal concreta, por ejemplo, una línea recta a velocidad constante.

Para estos fines, es de gran utilidad disponer de la relación entre las velocidades de las coordenadas articulares y las de la posición y orientación del extremo del robot. La relación entre ambos vectores de velocidad se obtiene a través de la denominada matriz jac j ac o b i an a , ver figura 1.1.

Figura 1.1. Asignación entre descripciones cinemáticas.

1.2.

Jacobiana directa.

La matriz jacobiana directa permite conocer las velocidades del extremo del robot a partir a partir de los valores de las velocidades de cada articulación. Por su parte, la matriz jacobiana inversa permite conocer las velocidades velocidades articulares necesarias necesarias para obtener unas velocidades determinadas en el extremo del robot. El método más directo para obtener la relación entre velocidades articulares y del extremo del robot consiste en diferenciar las ecuaciones correspondientes al modelo cinemático directo.

1 M.C. Florencio Acosta Tovar


Supóngase que se conocen las ecuaciones que resuelven el problema cinemático directo de un robot de n GDL:

Al derivar la ecuación (1) con respecto al tiempo se tiene que:

o expresado en forma matricial:

La matriz J se denomina matriz Jacobiana. Puesto que el valor numérico de cada uno de los elementos [ j pq ] de la Jacobiana dependerá de los valores instantáneos de las coordenadas articulares θ i, el valor de la Jacobiana será diferente en cada uno de los puntos del espacio articular.



Ejemplo 1: Obtener la matriz Jacobiana del robot SCARA de la figura 1.2. El problema cinemático directo viene determinado por las ecuaciones: x = l3c12 + l2c1 y = l3s12 + l2s1 z = l1 – q3

Figura 1.2. Robot SCARA.



1.3.

Jacobiana inversa.

Dada la matriz Jacobiana (ec. 3), se puede obtener la relación inversa invirtiendo simbólicamente la matriz:

Esta alternativa, de planteamiento sencillo, es en la práctica de difícil realización debido a: 1) Suponiendo que la matriz Jacobiana J sea cuadrada, la inversión simbólica de la matriz de 6X6 , cuyos elementos son funciones trigonométricas, es de gran complejidad. 2) El valor numérico de la Jacobiana va cambiando a medida que el robot se mueve y, por lo tanto, la Jacobiana inversa ha de ser recalculada constantemente. 3) La matriz Jacobiana puede ser no invertible (configuraciones singulares). 4) La matriz Jacobiana J no es cuadrada. En el caso de que la Jacobiana no sea cuadrada podrá ser usado algún tipo de matriz pseudoinversa, como por ejemplo (JJT)-1.

Otra alternativa para obtener la matriz Jacobiana inversa es repetir el procedimiento seguido para la obtención de la Jacobiana directa, pero ahora partiendo del modelo cinemático inverso. Esto es, conocida la relación:



La matriz Jacobiana inversa se obtendrá por diferenciación con respecto al tiempo de ambos miembros de la igualdad:

con:



1.4.

Configuraciones singulares.

Se denominan configuraciones singulares de un robot aquellas en las que el determinante de su matriz jacobiana se anula. Por esta circunstancia, en las configuraciones singulares no existe Jacobiana inversa.

En las inmediaciones de las configuraciones singulares se pierde alguno de los grados de libertad del robot, siendo imposible que su extremo se mueva en una determinada dirección cartesiana. Las diferentes configuraciones singulares del robot pueden ser clasificadas como: Singu laridades en los límites del espacio de trabajo del ro bot. Se presentan cuando el extremo del robot está en algún punto del límite de trabajo interior o exterior. En esta situación resulta obvio que el robot no podrá desplazarse en las direcciones que lo alejan de este espacio de trabajo. Singu laridades en el interior del espacio d e trabajo del robo t. Ocurren dentro de la zona de trabajo y se producen generalmente por el alineamiento de dos o más ejes de las articulaciones del robot.

Para evitar la aparición de configuraciones singulares debe considerarse su existencia desde la fase de diseño mecánico, imponiendo restricciones al movimiento del robot o utilizando robots redundantes. El sistema de control debe detectar y tratar estas configuraciones evitando pasar precisamente por ellas.

Ejemplo 2: Determinar las singularidades del robot SCARA de la figura 1.2, utilizando la matriz Jacobiana obtenida en el ejemplo 1.



Un posible procedimiento para resolver la presencia de una singularidad interior al espacio de trabajo, en la que se pierde la utilidad de alguna articulación (pérdida de algún grado de libertad) sería el siguiente: 1) Identificar la articulación correspondiente al grado de libertad perdido (causante de que el determinante se anule). 2) Eliminar la fila de la Jacobiana correspondiente al grado de libertad perdido y la columna correspondiente a la articulación causante. 3) Con la nueva Jacobiana reducida (rango n-1) obtener las velocidades de todas las articulaciones, a excepción de la eliminada, necesarias para conseguir las velocidades cartesianas deseadas. La velocidad de la articulación eliminada se mantendrá a cero.

1.5.

Momentos de inercia.

1.5.1. Introducción. El mo men to d e inerc ia (sím bo lo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado t e n s o r d e i n e r c i a. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.



1.5.2. Ecuaciones del momento de inercia. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación:

donde: es el momento aplicado al cuerpo. es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y es la aceleración angular. Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.

tic a de un cuerpo en movimiento con velocidad v es La en er g ía c in é la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

ω

, mientras que es

, donde

es

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular :



El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

¿Cuál de los dos giros es más complicado realizar?

1.5.3. Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos El teorema d e Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa. I (CM) ej e es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa. M es la masa Total. h es la distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.



1.5.4. Procedimiento para calcular el momento de inercia de áreas compuestas 1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples. 2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por

.

3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes respecto a los ejes X e Y. Calcular el c d m todas las áreas parciales anteriores.

con

de toda la figura formada por

4. Calcular las distancias de los c d m de cada área respecto al c d m total de la figura. 5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a X e Y). Designar como: ésima.

e

, para el área i-

6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes X e Y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner:

7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores:



1.5.5. Tensor de inercia de un sólido rígido El t e n s o r d e i n e r c i a de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes tensoriales son:

donde: son las coordenadas cartesianas rectangulares. , es el símbolo de Kronecker o delta de Kronecker definida como:

Los elementos reciben el nombre de momento de inercia respecto al eje , y son las componentes diagonales del tensor. Las componentes del tensor de inercia en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares son:

Los tres productos de inercia según los mismos ejes:

Todas las formas anteriores pueden derivarse de la definición del tensor de momento de inercia haciendo: .



El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes:

donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.

es el


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