1
Matematika Diskrit
MATEMATIKA DISKRIT
MEIGI RAHMAN 15142014P
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS ILMU KOMPUTER UNIERSITA UNIERSI TAS S !INA DARMA 201"
2
Matematika Diskrit
MID TEST Matematika Diskrit DOSEN# M$ I%MAN HERDIANS&AH' P(D SIFAT U)IAN# !UKA !UKU
SOAL# 1$ Di*erika+ *e*era,a ,er+-ataaa+ .i .a/am se*a( arme+ se*aai *erikt# a )ika ,r3ram k3m,ter i+i *e+ar' maka ia me+(asi/ka+ /ara+ output -a+ *e+ar *i/ama+a ia .i run .e+a+ .ata 6i -a+ .i*erika+ 3/e( asiste+7 * Pr3ram k3m,ter i+i me+(asi/ka+ /ara+ 3t,t -a+ *e+ar *i/ama+a ia .irun .e+a+ .ata 6i -a+ .i*erika+ 3/e( asiste+$ 8 O/e( kare+a it' ,r3ram k3m,ter i+i *e+ar )a9a*/a( ,erta+-aa+ *erikt# a N-ataka+ arme+ .i atas .a/am +3tasi sim*3/ik * Per/i(atka+ a,aka( arme+ terse*t sa(i( :a/i.;
Penyelesaian: Misalkan p adalah proposisi “program komputer ini benar” q adalah proposisi “data uji yang diberikan oleh asisten” r adalah proposisi “luaran (output) yang benar” Maka, argumen di dalam soal dapat ditulis sebagai: (i) P ^ → R (ii) Q → R ∴ P
(iii)
!ara yang dapat digunakan untuk membuktikan kesahihan argumen ini" #entuklah tabel kebenaran P < P = < R P = < >? R Tre Tre Tre Tre Tre $alse $alse $alse $alse %rue %rue %rue $alse %rue %rue $alse $alse $alse $alse %rue &rgumen dikatakan sahih jika semua hipotesisnya benar, maka konklusinya benar" Periksa di %abel hipotesi dan konklusi benar se!ara bersama'sama pada baris satu" adi, argumen yang berbentuk modus ponen di atas sahih"
Matematika Diskrit
2$ Di ka+t3r ,3s (a+-a terse.ia ,era+k3 se+i/ai R,2 .a+ ,era+k3 se+i/ai R,5$ U+tk *ia-a ,3s *era,a sa6a -a+ .a,at me++aka+ ,era+k3 ,era+k3 terse*t; !ktika+ 6a9a*a+m .e+a+ i+.ksi matematika$ Pe+-e/esaia+ 1 *ombinasi biaya pos dengan perangko 2 sen dan + sen dapat ditulis sebagai kombinasi 2m+n
Misalkan p(n) adalah proposisi bah-a untuk biaya pos sebesar n ≥. sen selalu dapat menggunakan perangko + sen dan / sen" a) #asis induksi: p(.) benar, karena untuk biaya pos sebesar . sen dapat digunakan 0 perangko 2 sen" b) angkah induksi: Misalkan p(n) benar, yaitu biaya pos sebesar n≥. sen selalu dapat menggunakan perangko 2 sen dan + sen (hipotesis induksi)" *ita harus menunjukan bah-a p(n1) benar, yaitu biaya pos sebesar n1 sen juga dapat menggunakan perangko 2 sen dan + sen saja" &da dua kemungkinan yang harus ditinjau: 1) ika untuk membayar pos sebesar n sen digunakan perangko 2 sen,maka paling sedikit digunakan 0 buah perangko 2 sen (s ebab n ≥.), maka dengan menggganti dua buah perangko 2 sen dengan perangko + sen selalu dapat dibayar biaya pos sebesar n1" 2) ika untuk membayar pos n sen menggunakan perangko + sen, maka paling sedikit digunakan 2 buah perangko + sen (sebab n ≥ .), maka dengan mengganti 1 buah perangko + sen dengan buah perangko 2 sen diperoleh biaya pos sebesar n1 sen" Pe+-e/esaia+ 2 iumpamakan p(n) adalah proposisi yang digunakan jumlah perangko yang akan di bayar dengan uang 3p"2 dan 3p"+ sehingga
a" #asis 4nduksi p(0) benar, karena biaya 3p"0 dapat di tukar dengan 2 buah perangko 3p"2 b" angkah induksi Misalkan p(n) benar, yaitu asumsikan bah-a pembayaran dapat menggunakan perangko 3p"2 dan 3p"+, Perlu dilakukan pembuktian bah-a p(n1) rupiah dengan menggunakan perangko 3p"2 dan 3p"+ dengan dua kemungkinan yang dapat di tinjau ika untuk pembayaran p(n), diperlukan minimal 2 buah perangko 3p"2 • (karena n56 0) Maka dengan mengganti perangko 3p"2 tersebut dengan perangko 3p"+, maka selalu diperoleh pembayaran senilai 1(n1)
0
Matematika Diskrit
ika untuk pembayaran p(n), diperlukan minimal 1 buah perangko 3p"+ (karena n560), maka dengan mengganti perangko 3p"+ dengan buah perangko 3p"2 selalu diperoleh pembayaran senilai 1(n1) @$ !ktika+ (km ,e+-era,a+# , , , Penyelesaian: ⇔ ( p ∨ $) ∧ ( p ∨ q) p ∧ ( p ∨ q) (7ukum 4dentitas) ⇔ p ∨ ($ ∧ q) (7ukum distributi8) ⇔ p ∨ $ (7ukum Null ) ⇔ p (7ukum 4dentitas) •
4$ !ktika+# B)ika air /at srt sete/a( em,a .i /at' maka ts+ami .ata+$ Air /at srt sete/a( em,a .i /at$ Kare+a it ts+ami .ata+ a.a/a( sa(i(C:a/i.$ !ktika+ .e+a+ ta*e/ ke*e+ara+ Penyelesaian: Misalkan p adalah proposisi “&ir laut surut setelah gempa di laut” dan q adalah proposisi “tsunami datang”" Maka, argumen di dalam soal dapat ditulis sebagai: p → q p ∴
q
&da dua !ara yang dapat digunakan untuk membuktikan kesahihan argumen ini" *eduanya menggunakan tabel kebenaran" Cara 1: #entuklah tabel kebenaran untuk p, q, dan p → q P Tre %rue $alse $alse
< Tre $alse %rue $alse
P>?< Tre $alse %rue %rue
&rgumen dikatakan sahih jika semua hipotesisnya benar, maka konklusinya benar" *ita periksa apabila hipotesis p dan p → q benar, maka konklusi q juga benar sehingga argumen dikatakan benar" Periksa di %abel , p dan p → q benar se!ara bersama'sama pada baris 1" Pada baris 1 ini q juga benar" adi, argumen yang berbentuk modus ponen di atas sahih" 9ara 2: Perlihatkan dengan tabel kebenaran apakah p ∧ ( p → q) ; → p
+
Matematika Diskrit
merupakan tautologi" %abel berikut memperlihatkan bah-a p ∧ ( p p suatu tautologi, sehingga argumen dikatakan sahih"
P Tre %rue $alse $alse
< Tre $alse %rue $alse
P>?< Tre $alse %rue %rue
P = P > ? < Tre $alse $alse $alse
→
q) ;
→
P = P > ? < >? < Tre %rue %rue %rue
Perhatikanlah bah-a penarikan kesimpulan di dalam argumen ini menggunakan modus ponen" adi, kita kita juga telah memperlihatkan bah-a modus ponen adalah argmen yang sahih" SOAL PEN)ELASAN PAN)ANGCPAPER 5$ )e/aska+ te+ta+ Aksi3ma' Te3rema' Lemma' 3r3//ar-$ !eri 83+t3( masi+masi+ .e+a+ .eskri,si -a+ 6e/as$ G+aka+ reere+si -a+ akrat 1$ Aksi3ma
alam *amus #esar #ahasa 4ndonesia, aksioma adalah pernyataan yang dapat diterima sebagai kebenaran tanpa pembuktian" Pengertian aksioma se!ara matematika yaitu pendapat yang dijadikan pedoman dasar dan merupakan dalil pemula, sehingga kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi atau suatu pernyataan yang diterima sebagai kebenaran dan bersi8at umum, tanpa memerlukan pembuktian" 9ontoh: a" Melalui tiga buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah bidang" b" Melalui sebuah titik yang berada diluar sebuah garis tertentu, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu tersebut" 2$ Te3rema %eorema adalah suatu pernyataan matematika yang masih memerlukan pembuktian dan pernyataan itu dapat ditunjukkan bernilai benar" 9ontoh: Teorema 4.5 tentang Faktorisasi Tunggal ika #ukti:
p suatu bilangan prima dan
p ∣ ab , maka
p ∣ a atau
p ∣ b .
/
Matematika Diskrit
p suatu bilangan prima, maka untuk sebarang bilangan bulat
*arena
a berlaku maka
(a , p )
=
1
atau
p ∣ b " an jika
( a , p ) p " ika ( a , p ) =
=
1
dan
p ∣ ab
( a , p ) p maka p ∣ a . adi terbukti bah-a =
p ∣ a atau p ∣ b " @$ Lemma
alam *amus #esar #ahasa 4ndonesia, ema adalah suatu butir masukan atau entri, dengan kata lain lema merupakan kata atau 8rasa masukan dalam kamus di luar de8inisi atau penjelasan ain yang diberikan dalam entri" emma dalam matematika disebut juga teorema ke!il dan biasanya mun!ul sebagai jembatan untuk membuktikan teorema yang lebih umum" engan kata lain, lemma adalah teorema sederhana yang digunakan sebagai hasil antara dalam pembuktian teorema lain" 9ontoh: &lgoritma
4$ K3r3/ari Aki*at
*orolari adalah suatu proposisi yang se!ara langsung diperoleh dari teorema yang sudah dibuktikan" apat juga diartikan sebagai suatu teorema yang mun!ul sebagai akibat dari teorema sebelumnya" #obot teorema ini sama dengan bobot teorema yang mendahuluinya" 9ontoh: ki%at *.+ ika a dan b bilangan'bilangan bulat dengan b > ?, maka ada dengan tunggal pasangan bilangan'bilangan bulat @ dan r sedemikian sehingga: b 6 a@ r dengan ? A r B ∣a∣ &kibat 2"C tersebut merupakan akibat dari %eorema 2"C yang sudah ada
C
Matematika Diskrit
sebelumnya" Dumber: https:EE---"a!ademia"eduEFF..F1EPengertianG4stilah' istiahGdalamG MatematikaGdanG1GMetodeGPembuktianGdalamGMatematika
