KALKULUS INTEGRAL
O l e h
Drs. Dwi Purnomo, M.Pd.
NIP : 196412041990031003
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA
FAKULTAS PENDIDIKAN ILMU EKSAKTA DAN KEOLAHRAGAAN
IKIP BUDI UTOMO MALANG
MEI 2010
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur senantiasa penulis panjatkan kehadlirat Allah swt.
atas limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga ditengah-tengah kesibukan
dan rutinitas penulis serta dengan segala kekurangannya, dapat disusun
modul sederhana yang diharapkan dapat membantu mahasiswa dalam mempelajari
Kalkulus Integral.
Modul ini dimaksudkan untuk memberikan bekal kepada mahasiswa Jurusan
Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengeahuan Alam Fakultas Pendidikan Ilmu
Eksakta dan Keolahragaan IKIP Budi Utomo Malang yang sedang mengikuti
perkuliahan Kalkulus. Kekurangan dan belum sempurnanya modul ini menjadi
'tuntutan" penulis sehingga yang seharusnya mahasiswa menerima banyak
pengetahuan tentang Kalkulus Integral dari modul ini belum dapat terwujud
seluruhnya.
Terselesaikannya penulisan modul ini tentu tidak terlepas dari bantuan
rekan-rekan seprofesi di IKIP Budi Utomo Malang, lebih-lebih mahasiswa yang
menjadi motivasi penulis untuk segera menyelesaikan modul sederhana ini.
Terima kasih juga untuk anak-anakku Pandu, Prisma, Caesar dan juga mama
anak-anak yang juga telah memberikan dorongan dan inspirasi panjang selama
pembuatan modul ini.
Semoga bahan ajar yang telah dituangkan dalam modul ini, akan sangat
berguna bagi mahasiswa. Kekurangan dan kekhilafan disana sini Insyaallah
diperbaiki dikemudian hari.
Malang, 3 Mei 2010
Penulis
Dwi Purnomo
DAFTAR ISI
Halaman
" "Halaman Sampul "1 "
" "..................................................." "
" "..... " "
" "Kata Pengantar "2 "
" "..................................................." "
" "....... " "
" "Daftar Isi "3 "
" "..................................................." "
" "................. " "
" " " "
"Bab I "PENDAHULUAN " "
" "1.1 Turunan ..... "4 "
" "..................................................." "
" "...... " "
" "1.2 Antiturunan "9 "
" "..................................................." "
" "....... " "
" "1.3 Integral Tertentu "17 "
" "................................................. " "
" " " "
"Bab II "TEKNIK INTEGRAL " "
" "2.1 Teknik Substitusi "28 "
" "................................................. " "
" "2.2 Integral Fungsi Trigonometri "34 "
" "............................... " "
" "2.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri "45 "
" "................ " "
" "2.4 Integral Parsial "57 "
" "..................................................." "
" ". " "
" "2.5 Integral Fungsi Rasional " 61 "
" "...................................... " "
" "2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi "73 "
" "Trigonometri " "
" "..................................................." "
" "......... " "
" " " "
"Bab III"INTEGRAL TIDAK WAJAR " "
" "3.1 Pengertian "79 "
" "..................................................." "
" "....... " "
" "3.2 Integral Tidak Wajar dengan Batas Diskontinu "81 "
" "... " "
" "3.3 Integral Tidak Wajar dengan Batas Tak Hingga "85 "
" ".. " "
" " " "
"Bab IV "RUMUS-RUMUS INTEGRAL "91 "
" "........................................ " "
" " " "
"Bab V "TRANSFORMASI LAPLACE " "
" "5.1 Definisi Transformsi Laplace "101 "
" "............................... " "
" "5.2 Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada " 106 "
" ".............. " "
" "5.3 Metode Transformasi Laplace " 106 "
" "............................. " "
" "5.4 Sifat-sifat Transformasi Laplace "108 "
" ".......................... " "
" " " "
" "DAFTAR PUSTAKA "122 "
" "..................................................." "
" ". " "
BAB I
ANTITURUNAN
1. Turunan
Pembahasan tentang turunan tidak dapat dipisahkan dari pengertian
tentang fungsi, baik fungsi eksplisit maupun fungsi implisit. Fungsi
eksplisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam
bentuk y = f(x), sedangkan fungsi implisit adalah fungsi yang secara umum
penulisannya dinyatakan dalam bentuk f(x,y) = 0.
Perhatikan beberapa contoh fungsi di bawah ini.
1. y = 2 -
2. y = 3
3. y =
4. x + y – 25 = 0
5. xy + xy – 2 = 0
6. x – 2x + y + 4y – 5 = 0
Pada contoh di atas, fungsi no 1, 2, dan 3 adalah fungsi eksplisit,
sedangkan contoh 4, 5, dan 6 adalah fungsi implisit. Semua fungsi yang
ditulis dalam bentuk eksplisit dapat diubah penulisannya dalam bentuk
implisit, akan tetapi tidak semua fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit
dapat diubah dalam bentuk eksplisit. Perhatikan contoh 5 di atas.
Selanjutnya dari fungsi-fungsi tersebut, dapat ditentukan turunannya.
Definisi
Turunan fungsi y = f(x) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan f'(x)
dan didefinisikan oleh
f'(x) = , asalkan limitnya ada.
Misal (x+= t , maka = t – x
Karena maka
Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain
f'(x) = , asalkan limitnya ada.
Notasi lain untuk turunan y = f(x) dinyatakan dengan , .
Jika fungsi yang diketahui dinyatakan dalam bentuk implisit, maka
turunannya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah differensial yaitu
dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel dalam fugsi tersebut.
Berikut ini diberikan beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit
dan implisit.
Contoh
Tentukan fungsi-fungsi berikut.
1. y = + C
Berdasarkan definisi di atas diperoleh
=
= .
=
=
=
=
2. y =
Berdasarkan definisi di atas diperoleh
=
=
=
=
Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada
contoh di atas disebut fungsi yang differensiable (dapat diturunkan).
Dengan cara yang sama, jika y = xn maka turunannya ditentukan oleh:
=
=
=
=
= nx
3. x
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, diperoleh:
d(x + d(y - d(25) = d(0)
x + y = 0
4. Tentukan dari x2y + xy2 – 2 = 0
d(x2y) + d(xy2 ) – d(2) = d(0)
(x2dy + 2xydx) + (2xydy + y2dx) = 0
(2xy + y2) dx + (2xy +x2) dy = 0
= -
Secara umum, misal u = u(x), v = v(x), dan w = w(x) adalah fungsi yang
masing-masing dapat diturunkan dan c sebarang bilangan real, maka dengan
menggunakan definisi turunan dapat ditentukan beberapa rumus umum turunan
fungsi sebagai berikut.
1. (c) = 0
2. (x) = 1
3. (xn) = nxn-1
4. (un) = nun-1 (u)
5. ( u + v) = (u) + (v)
6. (u - v) = (u) - (v)
7. ( u v w ... ) = (u) (v)
(w) ...
8. (cu) = c (u)
9. (uv) = u(v) + v (u)
10. (uvw) = uv(w) + uw(v) + vw (u)
11. () =
Bukti sifat-sifat di atas diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Selanjutnya, dengan menggunakan definisi turunan
= , dapat ditunjukkan beberapa turunan fungsi geometri di bawah
ini.
y = cos x, maka
=
=
=
=
= -sin x.
Analog, diperoleh turunan fungsi trigonometri yang lain:
1. (sinx) = cos x
2. (cos x) = -sin x
3. (tan x) = sec2x
4. (cot x) = -csc2x
5. (sec x) = sec x tan x
6. (csc x) = -csc x cot x
1.2 Antiturunan
Antiturunan merupakan balikan dari turunan, sehingga untuk
mempelajarinya harus dikaitkan dengan turunan fungsi.
Menurut definisi turunan, jika y = maka .
Dengan cara yang sama, diperoleh
1. Jika y = +3 maka .
2. Jika y = - 3 maka .
3. Jika y = - 100 maka
4. Jika y = + maka , dan seterusnya.
Dengan kata lain, untuk y = + C, C maka .
Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka penulisan bentuk di
atas dapat disederhanakan dengan A = .
Hal ini berarti bahwa fungsi y = , dengan C mempunyai turunan
.
atau antiturunan dari f(x) = adalah F(x) = + C, C .
Fungsi-fungsi yang dapat ditentukan antiturunannya disebut integrable
(terintegralkan).
Dalam hal yang lebih umum, bentuk A = . dinyatakan
dengan dx = .
Jadi, misal y = f(x) dan antiturunannya adalah F(x) + C, maka
f(x) dx = F(x) + C, C Real.
Bentuk f(x) dx = F(x) + C , f(x) disebut integran dan F(x) + C
disebut anti turunan.
Teorema 1.
Jika r sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka:
.
Akibatnya jika r = -1 maka
= = ln
Bukti
Untuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk
f(x) dx = F(x) + C, C Real.
Kita cukup menunjukkan bahwa
Dalam kasus di atas
Teorema 2
Misal f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang integrable dan C sebarang konstanta
maka:
1. = C ,
2. ,
3. ,
Bukti
Untuk membuktikan teorema di atas, cukup dengan mendeferensialkan ruas
kanan dan amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.
1. D{ C } = C D{ }
= Cf(x)
2. D{} = D
= f(x) + g(x)
3. D{} = D
= f(x) - g(x)
Contoh
Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral di atas.
1.
Jawab
=
=
=
2.
Jawab
=
=
=
3.
Jawab
= dx
=
=
=
Teorema 3
sin x dx = - cos x + C, C Real
cos x dx = sin x + C, c Real
Bukti
Untuk membuktikan teorema di atas cukup dengan menunjukkan bahwa
D dan
Teorema 4
Andaikan f(x) fungsi yang differensiable dan n bilangan Rasional yang bukan
-1, maka:
C Real.
Contoh
1.
Jawab
Karena = 6x dx, sehingga berdasarkan teorema di atas
= d(6x)
=
= + C.
2.
Jawab
Karena D(2y = 4y dy, maka
=
=
=
=
=
3.
Jawab
Misal U = 6x + 2 dU = 6 dx atau 3 dx = , sehingga
=
=
=
4.
Jawab
Misal A = A
2A dA = (-sin x) dx,
sehingga:
=
= -2
=
=
Beberapa rumus dasar integral tak tentu.
1. dx = x + C, C Real
2. f(x) dx = F(x) + C, C Real
1. xr dx = xr+1 + C, C Real, r -1
2. (u+v) dx = u dx + v dx
3. a u du = au du
4. dx = ln " x " + C = log x + C, C Real
5. au du = + C, C Real
6. eu du = eu + C, C Real
7. tan x dx = ln " sec x " + C, C Real
8. sec x dx = ln " sec x + tan x " + C, C Real
9. cot x dx = ln " sin x " + C, C Real
10. css x dx = ln " csc x – cot x " + C, C Real
11. sec2x dx = tan x + C, C Real
12. csc2x dx = - cot x + C, C Real
13. sec x tan x dx = sec x + C, C Real
14. csc x cot x dx = -csc x + C, C Real
15. cosm x dx = cos m-2 x dx
16. sinm x dx = sin m-2 x dx
17. u dv = uv - v du
18. = ln + C, C Real
19. = ln + C, C Real
20. = arc sin + C
21. = arc tgn + C
22. = arc sec + C
23. dx = u + a2 Ln ( u + ) + C
24. dx = u - a2 Ln ( u + ) + C
25. dx = u + a2 Ln ( u + ) + C
30. = arc sinh + C
31. = arc cosh + C
32. du = du
Soal-soal
Tentukan integral berikut.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. Andaikan u = sin{(x}
11. Tentukan
12.
13.
14.
3. INTEGRAL TERTENTU
Definisi :
Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada [a,b], selanjutnya f(x)
dikatakan terintegralkan (integrable) pada [a,b]
jika ada.
Selanjutnya disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f(x) dari a
ke b, dan didefinisikan
= .
menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva
y = f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], jika bertanda negatif maka
menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x.
Definisi :
1. = 0
2. = - , a > b
Teorema Dasar Kalkulus
Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral
Tentu, berikut teorema tersebut :
Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan f(x), maka
= F(b) – F(a)
Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) =
Contoh :
1. Perlihatkan bahwa jika r ( Q dan r ( -1, maka
Jawab :
Karena F(x) = suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut
teorema dasar Kalkulus
Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat :
Misal f(x) dan g(x) terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta,
maka:
1. k
2. = +
Contoh :
Hitung
Jawab :
= 4
= 4 = ( 12
Sifat-Sifat Integral Tentu
1. Sifat Penambahan Selang
Teorema :
Jika f(x) terintegralkan pada suatu selang yang memuat tiga titik a, b
dan c, maka
= + bagaimanapun urutan a, b dan c.
Contoh :
1. 2.
3.
2. Sifat Simetri
Jika f(x) fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat
f(-x) = f(x) , maka:
= 2 dan
Jika f(x) fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat
f(-x) = - f(x), maka
= 0.
Contoh :
1.
2. = 0
Secara lebih umum, sifat-sifat integral tertentu adalah:
Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a,b] dan k Real dan f(x),
g(x)
terintegralkan pada interval tersebut, maka:
1.
2.
3.
4.
5. , jika b < a
6. , c
7. jika f(-x) = -f(x)
8. = 2 , jika f(-x) = f(x)
9. Jika F(u) = , maka
10. = (b-a) untuk paling sedikit x = x antara a dan b.
11. jika dan hanya jika f(x) g(x) untuk setiap x [a,b].
12.
Contoh
Tentukan hasil integral
1.
Jawab
=
=
= (4+2) – (0+0) = 6
2.
Jawab
Misalnya u = (x)
du = 3xdx
Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:
=
=
=
=
3.
Jawab
Misal p = p = u
2p dp = du
Untuk u = 1 maka p = 1
Untuk u = 4 maka p = 2, sehingga:
4. =
=
=
=
=
=
=
5.
Jawab
Misal A = A x
2A dA = 2x dx
Untuk x = 4 maka A = 1
Untuk x = 8 maka A = 7, sehingga
=
=
= [A]
= 7 – 1
= 6
6. =
=
=
7. Tentukan
dengan f(x) =
Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat
, c
sehingga:
=
= (1-0) +(4-2) +
=
8. dx
Menurut definisi fungsi harga mutlak, bentuk di atas dapat dinyatakan
dengan
dx = dx + dx.
=
= (8/3 – 0) – (0 – 8/3)
=
Berdasarkan contoh di atas, tentukan hasil pengintegralan fungsi-fungsi
berikut ini:
1.
2.
=
= , dengan sifat integral diperoleh
= - dx +
=
=
=
Latihan di rumah
2.
3.
4.
3.
= 2 dx
Misal = u
4-x= u atau x = 4 - u
-2x dx = 2 u du atau dx =
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. dx
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26. Hitunglah , jika:
a. f(x) =
b. f(x) =
c. f(x) =
d. f(x) = untuk -
e. f(x) = , untuk -1
f. f(x) = (x- )
g. f(x) = x, untuk -
BAB II
TEKNIK INTEGRAL
Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan
antiturunan suatu fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam
menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik
pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan
teknik pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-
teknik integral tersebut adalah: Teknik Substitusi, Integral Fungsi
Trigonometri, Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri, Integral Parsial,
Integral Fungsi Rasional, dan Integral Fungsi Rasional yang memuat fungsi
Trigonomteri.
Berikut ini penjelasan teknik-teknik dalam pengintegralan.
1. Teknik Substitusi
Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. Teknik
substitusi pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke
bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;
a. dx = + C, asalkan n -1 atau
b. = + C, asalkan n -1
Karena rumus di atas adalah pedoman umum. maka integrannya
menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari
bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian
setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan
dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu. Akhirnya
selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi.
Perhatikan beberapa contoh berikut:
1. dx
Misal u =
Substitusi bentuk terakhir ke dx, diperoleh
= -2
Dengan rumus dasar di dapat
dx = -2
= -2
= -
2.
Misal A = 3x + 12
d(A) = d(3x+12)
dA = 3 dx
dx =
Sehingga =
=
=
=
=
3. dx
Misal A = 2x
d(A) = d(2x)
dA = 2 dx
dx =
dx =
=
=
=
=
=
=
=
4. (4x+2) dx
Jawab
Misal A =
A = 4x 4x
2A dA = (8x+4) dx
2A dA = 2(4x+2) dx
A dA = (4x+2) dx
Sehingga
(4x+2) dx = .A dA
=
=
= + C
5.
Jawab
Misal P =
P= 3t + 4 t =
d(P) = d(3t+4)
2P dp = 3 dt dt = , sehingga
=
=
6.
Jawab
Misal U =
U = 16 - xx= 16 - U
d(U) = d(16 - x)
2U du = (-2x)dx
dx =
= du
=
= -
=
=
=
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:
1.
Jawab
Misal M = (t+2)
M = (t+2)
2M dM = 3(t+2)dt
=
=
= + C
= + C
=
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
2. Integral Fungsi Trigonometri
Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih
rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang
menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi
trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:
1. dx = -cos x + C
2. dx = sin x + C
3. x dx = ln
= -ln
4. x dx = - ln
= ln
5. dx = ln
6. x dx = ln
Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk
integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya
adalah:
A. dan dengan m bilangan ganjil atau genap positip
Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau
m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan
identitas atau sin = 1 - cos atau cos = 1 -
sin.
Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran
dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.
Contoh:
1.
Jawab
=
= dx
=
=
= -cos x +
2.
Jawab
= dx
=
=
=
=
= sin x -
3.
Jawab:
Misal u = 2x, du = 2dx atau dx =
Sehingga
=
=
=
=
=
=
Bentuk , , jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya
dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut
sin = dan cos
Contoh:
1.
Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka
=
=
=
2.
Jawab
= dx
=
=
=
= +
=
=
3.
Misal u = 2x , du = 2dx atau dx = , sehingga
=
=
=
=
=
=
=
Karena u = 2x, maka
=
B.
Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya
sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan
kesamaan identintas dengan terlebih dahulu mengubah salah satu
bilangan ganjil. Misal m ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n
ganjil diubah menjadi (n-1)+1. Jika m dan n genap digunakan kesamaan
setengah sudut sin = dan cos sehingga diperoleh hasil
pengintegralannya.
Contoh
1.
Jawab
Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas
=
=
=
=
=
= cos
2.
Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap
=
=
=
=
3.
Jawab
Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu untuk diubah
menjadi genap
=
=
=
=
Atau
=
=
=
=
4.
Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:
=
=
=
=
=
=
4.
Jawab
Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya
gunakan kesamaan setengah sudut sin = dan cos , sehingga:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
C. dan
Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 + dan
1+cot. Jika n ganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 +
dan 1+cot.
Perhatikan contoh berikut:
1.
Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah
satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 +
Sehingga diperoleh
= tanx dx
= tan x dx
= tan x dx - tan x dx
= tan x secdx – ln + C
= d(tan x) – ln + C
=
2.
Karena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 1+cot,
sehingga didapat
=
=
=
=
=
=
=
=
D. , dan
Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil
n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan atau
1 + cot= csc.
Contoh
1.
Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan
kesamaan identitas 1+tan, sehingga diperoleh
=
=
= d(tgnx)
=
2.
Jawab
=
=
=
=
Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan
menggunakan substitusi kesamaan identitas
1 + tan atau 1 + cot= csc.
Contoh:
1. =
=
=
=
=
2. = tan x sec sec x dx
= -1)secd(sec x)
= secd(secx)
= + C
E. ,
Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan
rumus kesamaan hasil kali, yaitu:
sin mx cos nx =
sin mx sin nx =
cos mx cos nx =
Contoh y
1. 3x cos 4x dx = dx
= + sin (-x) dx
= - x + C
2. dx = dx
= (cos 5x – cos x) dx
= 5x + x + C
3. y cos 4y dy = +cos(1-4)y] dy
= dy
=
Soal-soal
Tentukan hasil integral berikut ini.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
2.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri
Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan
integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk:
a. , a > 0, a Real
b. = , a > 0, a Real
c. , a > 0, a Real
atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya
=
=
= atau yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Integrannya memuat atau sejenisnya, Gunakan substitusi
x = a sin t atau sin t =
x = a sin t dx = a cos t dt
dengan - sehingga,
=
=
= a cos t
Catatan
Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui
berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu cos t,
tan t, cot t, sec t, dan csc t. Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil
dari pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1. dx
Jawab
Substitusi x = 2 sin t
sin t =
dx = 2 cos t dt
=
Sehingga
dx =
=
= 4 = 4
= 2 + 2 dt
= 2t + sin 2t + C
= 2t + 2 sin t cos t
= 2 arc sin+ C
Atau 4 = 4 ( +)
= 2 sint cost + 2t + C
= 2 + 2 arc sin+ C
=
2.
Jawab
=
Substitusi (x-2) = 2 sin t,
dx = 2 cos t dt
, sehingga
=
=
= t + C
= arc sin + C
3.
Jawab
=
Substitusi (x-3) = 5 sin t,
dx = 5 cos t dt
= 5 cos t, sehingga
=
=
= t + C
= arc sin + C
4. dx
Jawab
Substitusi x =
dx =
= , sehingga
dx =
= 9
= 9
=
=
=
=
=
= + C
=
5.
Jawab:
Substitusi x = 5 sin A atau sin A = dan dx = 5 cos A dA
Sehingga
=
= 5
= 5
= 5 ln
= 5 ln
Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Integral yang integrannya memuat bentuk atau bentuk yang
sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi
x = a tan t, - sehingga,
Untuk membantu menyelesaikan bentuk di atas, perhatikan segitiga berikut
ini:
=
=
= a sec t
Karena x = a tan t maka dx = a sec dt.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.
1.
Jawab
Substitusi x = 3 tan t
dx = 3 sec dt
= 3 sec t, sehingga
=
=
= ln
= ln + C
= ln
2.
Jawab
=
=
Substitusi (x+2) = tan t
x = (tan t) - 2
dx = sect dan
= sec t, sehingga
=
=
= - dt
= 2 sec t – 5 ln
= 2
Kerjakan soal berikut sebagai latihan
1. dx
2.
3. dx
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Integral yang integrannya memuat bentuk atau sejenisnya,
selesaiannya menggunakan substitusi
x = a sec t, - .
Karena x = a sec t maka dx = a sec t tan t dt, dan
=
= a tan t
Selanjutnya perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
Jawab
Substitusi x = 3 sec t
dx = 3 sec t tan t dt
= 3 tan t, sehingga
=
= 3
= 3
= 3 tan t – 3 t + C
= 3
2.
Jawab
=
Substitusi (x-1) = 3 sec t,
dx = 3 sec t tgn t dt
= 3 tgn t, sehingga
=
=
= ln
= ln
Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.
1. dx
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
2.4 Integral Parsial
Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian
integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u =
f(x) dan v = g(x).
Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi
y = uv diperoleh
dy = d(uv)
d(uv) = u dv + v du
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang
digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di
manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan
persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan tersebut.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
Tentukan integral persial berikut ini
1.
Jawab
Bentuk diubah menjadi udv,
Misal u = x , dv = 1 dx
dv = cos x dx , v = dx = sin x
Akibatnya = x d(sin x).
Dengan rumus integral parsial
, diperoleh
x d(sin x) = x sin x - d(x)
= x sin x - dx
= x sin x + cos x + C
Akhirnya diperoleh = x sin x + cos x + C
2. dx
Pilih u = x , du = dx
dv = , v = dx =
Sehingga dx =
Berdasarkan rumus integral parsial
, diperoleh
dx =
= -
= -
= -
3. edx
Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx
dv = , v = = , sehingga:
edx = sin x d(
=
=
Diperoleh bentuk yang juga diselesaikan dengan metode parsial
Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx
dv = , v = = , sehingga:
edx = cos x d(
=
=
=
Akhirnya diperoleh
edx =
=
edx =
Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.
1.
2.
Jawab:
=
Pilih u = sin2 x du = d(sin2 x ) = 2sinx cos x
dv = sin x dx maka v = = - cos x
Sehingga
=
= -cos x sin2x -
= -cos x sin2x +
= -cos x sin2x + 2
= -cos x sin2x + 2
3 = -cos x sin2x + 2
=
=
3. tan x dx
4. tan x dx
5. ln x dx
6. dx
7. cos 2x dx
8. edx
9. dx
10. dx
11.
12.
13. dx
14.
15. dx
16. dx
17. dx
18. dx
19. dx
20. dx
2.5 Integral Fungsi Rasional.
Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam
bentuk F(x) = , dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak
(polinom) dan g(x) 0.
Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan
f(x) = a+ ax + ax + ax+ … + ax, n =
1, 2, 3, … , sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk yang
pembilang dan penyebutnya polinom.
Contoh
1. F(x) = (Fungsi Rasional Sejati)
2. F(x) = (Fungsi Rasional Tidak Sejati)
3. F(x) = (Fungsi Rasional Tidak Sejati)
Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena
derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3)
disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar
atau sama dengan derajat penyebut.
Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak
sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui
proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:
F(x) =
= x +
F(x) = , g(x) 0.
Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:
1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.
2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = sampai tidak
dapat difaktorkan lagi.
3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:
- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.
- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)
= (x-a)(x-a)(x-a)
… (x-a)
- fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax+bx + c)
- fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (axpx + qx + c)
- fungsi kuadrat berulang, g(x) = (axdan seterusnya.
4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga
integran dapat ditentukan antiturunannya,
Misal : (Penyebut kombinasi liner berbeda)
(kombinasi lenear berulang)
(kombinasi kuadrat berbeda)
5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang
merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan
konstanta A, A, …A dan B, B, …B.
Contoh
1. Tentukan
Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan
integran:
dx =
=
=
=
Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:
dx =
= -
= ln
= ln
2. integran fungsi rasional tidak sejati, maka:
=
= x + ln (x-1) + C
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut:
1.
Jawab
=
=
=
=
Diperoleh A + B + C = 0
A + 3B – 2C = 1
-6A = 1
Atau A = - , B = , C =
Sehingga =
=
2.
3.
4.
Jawab
= , menurut teorema 2.2
=
= x + C+
= , menurut teorema 2.2
=
=
Diperoleh A+B = 5, 2A-4B= 4 atau A = 4, B = 1
Sehingga =
= 4 ln
= ln (x-4)
= ln
5.
6.
Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)
1. , karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:
=
=
=
=
= dx
Sehingga diperoleh
A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga
= dx
=
= ln
2.
Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu
menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:
=
=
Selanjuntnya
=
=
=
Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:
dx
= 5 ln
3.
Integran fungsi rasional sejati, sehingga:
=
=
=
=
Diperoleh
A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga
=
=
= ½ ln
4. dx ( integran bukan fungsi rasional sejati)
Jawab :
dx =
= +
= +
Selanjutnya dicari =
=
=
=
Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4
atau A = -1, B = , C =
Sehingga:
= -
Soal-soal
Tentukan hasil dari:
1.
3.
4.
5.
Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear
berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan
kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear
dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat.
Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n
parsial
, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.
Contoh
1.
Karena integran fungsi rasional sejati maka
=
=
=
Diperoleh
A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:
=
=
=
2.
Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga
=
=
=
=
Diperoleh
A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:
=
=
= arctg x +
3.
Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan
kuadrat (x, sehingga
=
=
=
Maka diperoleh
A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau
A = 2, B = -1, C = 0, D = -1
=
= 2 ln(x+3) – ln(x-2) –
arctan x + C
= ln(x+3)- ln(x-2)
– arctan x + C
= lnarctan x + C
Jadi = lnarctan x + C
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
Jawab
=
=
=
=
Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1
=
=
= ln + ½ arc tan
2.
Jawab:
=
=
= ½ x2 - 5
= x2 – 5.
= ½ x2 -
= ½ x2 – ln (x2+1)5/2 + C
= ½ x2 – ln + C
3.
4. (fungsi rasional sejati)
Jawab
=
= dx
=
=
Didapat
p + r = 1, q + s = 1, 2p + r = 1, dan 2q + s = 2
atau p = 0, q = 1, r = 1, s = 0
sehingga dx =
= arc tan x + ½ ln
(x + C
= arc tan x + ln
+ C
5.
Jawab
= dx
=
=
Diperoleh
p = 1, q = 0, p+r = 1, dan q+s = -1
atau p = 1, q = 0, r = 0, dan s = -1
sehingga
=
= ln
6.
Jawab
=
=
Catatan : diteruskan sendiri
6. Integral Fungsi Rasional yang Memuat Sin x dan Cos x
Fungsi F(x) = dan g(x) mememuat fungsi trigonometri dapat
juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut
sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan
f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan
fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan metode substitusi.
Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan
penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.
1. F(x) =
2. F(x) =
3. F(x) =
4. F(x) =
5. F(x) =
Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan
penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:
1.
2.
3.
4. dx
5. dx
Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode
substitusi
x = 2 arc tan z sehingga dx = .
Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z.
Karena x = 2 arc tan z maka:
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri
1 + tan = sec
1 + z
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain
sin
, sehingga didapat
sin
=
Dengan rumus jumlah cosinus didapat:
cos 2x = cossinx
=
Dengan rumus jumlah sinus didapat:
sin 2x = 2 sin x cos x
sin x = 2 sin cos
= 2
=
Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri
dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi
x = 2 arc tan z, sin x = , cos x =
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Tentukan selesaian dari
1.
Jawab
=
=
=
=
= ln + C
= ln
2.
Jawab =
=
=
=
= arc tan + C
= arc tan z + C
= arc tan (tan x/2) + C
3. =
Jawab
=
=
=
=
=
=
= 3 ln
= 3 ln
Soal-soal
Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!
1. = + C
2. = + C
3. = + C
4. = ln + C
5.
6.
7.
8.
9.
10. = ln
11. dx = -ln
BAB III
INTEGRAL TAK WAJAR
3.1 Pengertian
Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat
kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.
Teorema:
Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b],
dan F(x) sebarang antiturunan pada I, maka
=
Contoh
1.
= (4- ½ .16) – (2- ½ 4)
= -4 – 0
= -4
2.
= ln (1+2) – ln (1+1)
= ln 3 – ln 2
3. , tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas karena integran
f(x) = tidak terdefinisi pada x = 1.
4. , tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran
f(x) = tidak terdefinisi di x = 0
Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan
teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3
dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.
Bentuk disebut Integral Tidak Wajar jika:
a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu
(diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di
titik tersebut.
Pada kasus ini teorema dasar kalkulus = F(b) – F(a) tidak
berlaku lagi.
Contoh
1) , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)
2) , f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di
(1,2]
3) , f(x) tidak kontinu di x = 2 [0,4] atau f(x) kontinu di [0,2)
(2,4]
b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga
1) , integran f(x) memuat batas atas di x =
2) , integran f(x) memuat batas bawah di x = -
3) , integran f(x) memuat batas atas di x = dan batasa bawah di x
= -
Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x)
tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1,
2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga
().
Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar
dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di
tak hingga.
3.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinu
a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b
Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi
integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x = b - (
), sehingga
Karena batas atas x = b - ( x b), maka
maka
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
1. , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga
=
= -2
= -2 ()
= -2(0-2)
= 4
Cara lain
=
=
= -2(0)+2(2)
= 4
2. , f(x) =
Fungsi di atas tidak kontinu di x = 2 dan x = -2, sehingga:
maka 2
= 2
= 2
= 2 (
=
3. , f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 sehingga
diperoleh
= tidak berarti, karena mempunyai bentuk
b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a
Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi
integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a +
( ), sehingga
Karena batas bawah x = a + ( x a) maka dapat dinyatakan
dalam bentuk lain:
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.
1.
=
=
= 6(1) – 6(0)
= 6
2. ,f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0 sehingga diperoleh:
=
= 2 – 0
= 2
3. , f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0
=
= (1.0-1) –(0-0)
= -1
c. f(x) kontinu di [a,c) (c,b] dan tidak kontinu di x = c
Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan
definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c
+ dan x = c - ( ), sehingga
= +
Dapat juga dinyatakan dengan
+
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.
1. , f(x) tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh
, berdasarkan contoh sebelumnya didapat:
=
=
=
2. f(x) tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh
=
=
= -
=
3. , f(x) diskontinu di x = 0, sehingga diperoleh:
= +
=
=
= tidak berarti karena memuat bentuk
3. Integral tak wajar dengan batas tak hingga
Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya
batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan
integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas
intergrasinya.
a. Intergral tak wajar dengan batas atas x = .
Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable
dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak
wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.
Perhatikan contoh berikut ini
1. =
=
=
= ( ½ . - ½ .0)
=
2. =
=
=
= 1
b. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = -
Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable
dimana variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian
integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:
Perhatikan contoh berikut ini:
1. dx =
=
= ½ - 0
= ½
2. =
=
= 0 +
= ¼
c. Integral tak wajar batas atas x = dan batas bawah di x = -
Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan
dua integral tak wajar dengan , sehingga bentuk penjumlahan integral
tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas,
atau diperoleh bentuk:
=
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini:
1.
=
= +
=
2. = +
= +
= (arc tgn e)+ (arc tgn
e)
=
=
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
Jawab
Karena integran diskontinu di x = 3, maka
=
=
=
=
= (90
2. dx
3.
4.
Jawab
f(x) = x ln x diskontinu x = 0, sehingga
=
=
=
= tidak terdefinisi karena memuat ln 0
5. = dx
=
=
= 0 + 1
= 1
6.
7.
8.
9.
10.
11. =
= , ATAU
=
=
= -2
= tidak terdefinisi (tidak terintegralkan)
BAB IV
RUMUS-RUMUS DASAR INTEGRAL
Misal u adalah suatu fungsi yang terintegralkan dan C sebuah
konstanta, dengan memperhatikan sifat-sifat operasi Aljabar fungsi
(penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian) dapat diperikan
beberapa sifat Integral tak tentu fungsi yang terintegralkan. Sifat-sifat
berikut berlaku untuk syarat yang diberikan.
1. du = + C, jika n -1
2. , jika n -1
3. = ln + C atau
4. eu du = eu + C
5. au du = + C
6. u dv = uv - v du
7. sin du = - cos u + C
8. cos u du = sin u + C
9. sec2 u du = tan u + C
10. csc2 u du = - cot u + C
11. sec u tan u du = sec u + C
12. csc u cot u du = - csc u + C
13. tan u du = ln + C
14. cot u du = ln + C
15. sec u du = ln + C
16. csc u du = ln + C
17. = arc sin +C
18. = arc tan + C
19. ln + C
20. ln + C
21. = ln (u + ) + C
22. = ln (u + ) + C
23. du = ½ u
24. = arc sec + C
25. du = ½ u + C
26. du = ½ u + C
27. sin2 u du = u – sin 2u + C
28. cos2 u du = u + ¼ sin 2u + C
29. tan2 u du = -u + tan u + C
30. cot2 u du = - u – cot u + C
31. sin3 u du = - ( 2 + sin2 u ) cos u + C
32. cos3 u du = ( 2 + cos2 u ) sin u + C
33. tan3 u du = tgn2 u + ln + C
34. cot3 u du = - cot2 u - ln + C
35. sec3 u du = sec u tan u + ln + C
36. csc3 u du = - csc u cot u + ln + C
37. sin au sin bu du = - + C, jika a2 b2
38. cos au cos bu du = + + C, jika a2 b2
39. sin au cos bu du = - - + C, jika a2 b2
40. sinnu du = - + sin n-2 u du
41. cosn u du = + cos n-2 u du
42. tann u du = tan n-1 u - u du jika n 1
43. cot n u du = - cot n-1 u - u du jika n 1
44. sec n u du = sec n-2 u tgn u + sec n-2 u du,
jika n 1
45. csc n u du= - csc n-2 u cot u + csc n-2 u du, n
1
46. sin n ucos m u du = - + sin n-2 u cos m u du,
n -m
47. u sin u du = sin u – u cos u + C
48. u cos u du = cos u + u sin u + C
49. un sin u du = -un cos u + n u n-1 cos u du
50. un cos u du = un sin u + n u n-1 sin u du
51. sin u d(sin u) = sin u + C
52. cos u d(cos u) = cosu + C
53. tan u d(tan u) = tan u + C
54. cot u d(cot u) = ½ cot2 u + C
55. sec u d(sec u) = ½ sec2 u + C
56. csc u d(csc u) = ½ csc2 u + C
57. du = ln + C
58. du = - a ln + C
59. = ln + C
60. du = - a arc sec + C
61. u2du = (2a2 u2) - ln + C
62. du = ln + C
63. = + C
64. du = - - ln + C
65. = + C
66. = - + C
67. ()3/2du = (2u25a2) + ln +
C
68. du = + arc sin -1 + C
69. du = - + arc sin -1 + C
70. du = - a ln + C
71. u2 du = (2u2- a2) + arc sin -1 + C
72. = - + C
73. du = - - arc sin -1 + C
74. = - ln + C
75. = ln + C
76. du = 2 - 2 arc tan + Cl
77. = 2 ln (1+ )
78. = + C
79. ()3/2du = (5a2- 2u2) + arc sin -1
+ C
80. ueu du = (u-1)eu + C
81. un eu du = un eu – n un-1 eu du
82. ln u du = u ln u – u + C
83. un ln u du = ln u - + C
84. eau sin bu du = (a sin bu – b cos bu) + C
85. eau cos bu du = (a cos bu + b sin bu) + C
86. arc sin -1 u du = u arc sin -1 u + + C
87. arc tan u du = u arc tan u - ln + C
88. arc sec u du = u arc sin u – ln + C
89. u arc sin u du = ¼ (2u2 – 1) arc sin u + + C
90. u arc tan u du = ½ (u2 + 1) arc tan u - + C
91. u arc sec u du = arc sec u – ½ + C
92. u arc sin u du = arc sin u - du + C, jika n -
1
93. un arc tan u du = arc tan u - du + C, jika n -
1
94. un arc sec u du = arc sec u - du + C, jika n -
1
95. sinh u du = cosh u + C
96. cosh u du = sinh u + C
97. tanh u du = ln (cosh u ) + C
98. coth u du = ln + C
99. sech u du = arc tan + C
100. csch u du = ln + C
101. sinhu du = ¼ sinh u - + C
102. cosh u du = ¼ sinh u + + C
103. tanhu du = u - tanh u + C
104. coth u du = u – coth u + C
105. sechu du = tanh u + C
106. cschu du = -coth u + C
107. sech u tgnh u du = - sech u + C
108. csch u coth u du = - csch u + C
109. u(au+b)-1 du = ln + C
110. u(au + b)-2 du = + C
111. u(au+b)n du = + C, jika n -1, -2
112. = + C, n 1
113. u du =
114. un du = + C
115. = + C
116. = -nb
117. = ln + C
118. = - + C, jika n 1
119. = sin + C
120. = arc sin + C
121. un = du
122. = - + + C
123. = a arc sin + C
124. =
125. =
126. ( )2 = du
127. = du
128. + C
129. + C
130. = ln + C
131. cos u + ln (1-cos u) + C
132. du = -cos + 2 sin + C
133. = + C
134. = + C
135. = + C
136. = + C
137. = ln + C
138. = + C
139.
140.
141.
142.
143.
144. 2(tan
145.
146.
147. arc sin(2 tan x) + C
148.
149. = x + (cot ax-csc ax) + C
150.
BAB V
TRANSFORMASI LAPLACE
1. Transformasi Laplace
Definisi
Misalkan F(t) suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari
F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:
L {F(t)} = = f(s)
Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga
() maka
L{F(t)} =
=
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen
untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak
ada.
Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar,
misalnya W(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace
dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L{W(t)} = w(s),
L{G(t)} = g(s), L{Y(t)} = y(s) dan seterusnya.
Teorema
Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap
interval 0N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka
transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s >
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace
beberapa fungsi sederhana.
"Nomor "F(t) "L{F(t)} = f(s) "
"1. "1 " s > 0 "
"2. "t " s > 0 "
"3. "t ", s > 0 "
"4. "t ", s > 0 "
" "n = 0,1,2,3,…. " "
"5. "e " s > 0 "
"6. "sin at " s > 0 "
"7. "cos at " s > 0 "
"8. "sinh at " s > "
"9. "cosh at "s > "
"10. " "….…. "
"11. " "….. "
Untuk memahamkan bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh
transformasi Laplace suatu fungsi.
Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut:
1. F(t) = 1
L {F(t)} = L{1}
=
=
=
=
= 0 +
=
= f (s)
F(t) = t
L{F(t)} = t dt
= dt
=
=
=
=
=
2. F(t) = e
L{F(t)} =
=
=
=
=
3. F(t) = sin at
L{F(t)} =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
4. F(t) = cos at
L{F(t)} =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
2. Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada
Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang
berhingga 0dan eksponensial berorde untuk t > N, maka
transformasi Laplacenya f(s) ada untuk semua s > .
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP
untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi
Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
3. Metode Transformasi Laplace
Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang
digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:
a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.
Metode ini berkaitan langsung dengan definis
L{F(t)} =
=
Contoh
L{t} = t dt
=
=
=
=
=
=
b. Metode Deret
Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh
F(t) = a
=
Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan
transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:
L{F(t)} = L{a
=
=
Syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s >
c. Metode Persamaan differensial
Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh
F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.
d. Menurunkan terhadap parameter
e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-teorema yang
ada.
f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah
ditetapkan.
4. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya
adalah
a) Sifat linear
Jika c dan cadalah sebarang konstanta, sedangkan F dan
F adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace
masing-masing dan , maka:
L{c+c} = c + c
Bukti:
L{c+c} =
=
=
=
Contoh
1. L{5t-3} = L{5t} – L{3}
= 5 L{t} – 3 L{1}
= 5
=
2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t}
= 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t}
= 6
=
L{(t} = L{t
= L{
= L{t + 2 L{ + L{1}
=
=
3. L{4e
= L{4e
= 4L{e
= 4
=
Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí
berikut.
1. F(t) = 2t+ e
2. F(t) = 6sin 2t – cos 2t
3. F(t) = (sin t – cos t)
4. F(t) = cosh 3t – ½ sinh t
5. F(t) = (2t + 2)
6. F(t) = (sin t – 3)
b) Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{e = f(s-a)
Bukti
Karena L{F(t)} = = f(s), maka
L{e =
=
= f(s-a)
Contoh:
1. Tentukan L{ e-3tF(t)}, jika L{F(t)} = f(s)
Menurut sifat 2 di atas, L{e = f(s-a)
Maka L{e-3tF(t)} = f((s-(-3))
= f(s+3)
2. Tentukan L { e2tF(t)}, jika L{F(t)} = f(s/a)
Menurut sifat 2 di atas, L{e = f(s-a)
Maka L{e2tF(t)} = f(s-2/a)
= f(
3. Tentukan L{e.
Karena L{cos 2t} = = f(s), maka
L{e = f(s+1)
=
= = f(s)
4. Tentukan L{e
Menurut sifat linear,
L{e = L{e}
= 3L{e}
Karena L{cos 6t} = = f(s), dan L{sin 6t} = = f(s) maka menurut
sifat translasi
3L{e
= 3 , dan
5L{e = 5f(s+2)
= 5 , sehingga
L{e = 3 - 5
=
Soal
Tentukan transformasi Laplace fungsi
1) F(t) = e
2) F(t) = (1+te
3) F(t) = e
4) F(t) = (t+2)
5) F(t) = e
6) F(t) = e
c. Sifat translasi atau pergeseran kedua
Jika L{F(t)} = f(s) dan G(t) = maka
L{G(t)} = e
Bukti
L{G(t)} =
=
=
=
Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga
=
= e
= e
Contoh
Carilah L{F(t)} jika F(t) =
Menurut definisi transformasi Laplace
L{F(t)} =
=
=
= e
=
d. Sifat pengubahan skala
Jika L{F(t)} = f(s), maka L{F(at)} =
Karena L{F(t)} = maka
L{F(at)} =
Misal u = at, du = a dt atau dt =
Sehinga L{F(at)} =
=
=
=
Contoh:
1. Jika L{F(t)} = = f(s)
maka L{F(3t)} =
=
=
Soal:
1. Carilah L{F(t)}, jika F(t) =
2. Jika L{F(t)} = , carilah L{F(2t)}
3. Jika L{F(t)} = carilah L{e
Jawab L{F(t)} = maka menurut sifat 4 diperoleh
L{F(3t)} =
Sehingga L{F(3t)} =
=
= f(s)
Berdasarkan sifat Jika L{F(t)} = f(s) maka L{e = f(s-a) (sifat 2)
Maka L{e = f(s+1)
=
e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{F'(t)} = sf(s) – F(0)
Karena Karena L{F(t)} = = f(s), maka
L{F'(t)} =
=
=
= -F(0) + sF(t)dt
= sf(s) – F(0)
Jika L{F'(t)} = sf(s) – F(0) maka L{F''(t)} = s
Bukti
L{F"(t)} =
=
=
=
=
= s
Dengan cara yang sama diperoleh
L{F'''(t)} =
=
=
=
= e
= s
Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa,
jika
L{F(t)} = f(s)
maka
L{F= s
Contoh soal
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan,
tunjukkan bahwa
L{sin at} = = f(s)
Misal F(t) = sin at diperoleh F'(t) = a cos at, F''(t) = -a
Sehingga L{sin at} = -L{F''(t)}.
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan
diperoleh
L{sin at} = ( s)
=
=
=
=
f. Tansformasi Laplace dari integral-integral
Jika L{F(t)} = f(s) maka L
Bukti:
Misal G(t) = maka G'(t) = F(t) dan G(0) = 0
Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:
L{G'(t)} = L{F(t)}
s L{G(t)}-G{0} = f(s)
s L{G(t)} = f(s)
L{G(t)} =
Jadi diperoleh L{ } =
Contoh
1. Carilah L
Misal F(t) =
Maka L{F(t)} = arc tan
Sehingga menurut sifat transformasi di atas L= =
2. Buktikan L =
Bukti:
Misal F(t) = maka F(0) = 0
F'(t) = dan t F'(t) = sin t. Dengan mengambil transformasi Laplace
kedua bagian
L{tF'(t)} = L{sint} atau =
Menurut teorema harga awal,
Sehingga diperoleh c = .
Jadi sf(s) =
3. Buktikan L=
Bukti:
Misal F(t) = maka F'(t) = atau tF'(t) = - cos t
LL{-cos t}
(-1) = atau sf(s) =
sf(s) =
Menurut teorema harga akhir, sehingga c = 0.
Jadi sf(s) = atau f(s) =
g. Perkalian dengan t
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{t = (-1)= (-1)f
Bukti.
Karena f(s) = maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan
dibawah tanda integral, diperoleh:
= f'(s) =
=
=
= -
= -L{tF(t)}
Jadi L{tF(t)} = -
Contoh
1. Tentukan L{t sin at}
Jawab
L{sin at} = , maka menurut sifat perkalian dari pangkat
tdiperoleh
L{t F(t)} = (-1), sehingga
L{ t sin at} = (-1)
=
2. Tentukan L{t
Menurut sifat di atas, L{t = (-1)
=
=
h. Sifat pembagian oleh t
Jika L{F(t)} = f(s) maka L
Bukti:
Misal G(t) = maka F(t) = t G(t).
Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka
diperoleh bentuk L{F(t)} = L{t G(t)} atau f(s) = - atau f(s) =
-.
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperleh
f(s) = -.
g(s) = -
=
Jadi L
Soal-soal
1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan
a. F(t) = t cos 2t
b. F(t) = t sin 3t
c. F(t) = t(3sin 2t-2 cos 5t)
d. F(t) = t
e. F(t) = (t
f. F(t) = t
g. F(t) = (t
2) Jika F(t) =
Carilah L{F''(t)}
3) Diketahui F(t) =
a. carilah L{F(t)}
b. carilah L{F'(t)}
c. apakah L{F'(t)} = sf(s) – F(0) berlaku untuk kasus ini
4) Tunjukkan bahwa
5) Tunjukkan bahwa
L
6) Perlihatkan bahwa
a. L{} = ln
b. L
7) Tunjukkan bahwa:
a. L =
b. Jika L{F(t)} = f(s) maka L =
DAFTAR PUSTAKA
Edwin J. Purcell., Dale Varberg. 1989. Kalkulus dan Geometri Analitis.
Jilid 2 (terjemahan I Nyoman Susila dkk). Bab 18. Jakarta; Erlangga.
Wilfred Kaplan. 1961. Ordinary Differential Equations. Massachusetts:
Addison Wesley Publishing Company, Inc.
Dale Varberg., Edwin J. Purcell. 2001. Kalkulus Jilid I (edisi 7). Alih
Bahasa I Nyoman Susila. Batam: Interaksara.
Frank Ayres., J.C Ault. 1984. Kalkulus Diferensial dan Integral (Seri Buku
Schaum). Alih Bahasa Lea Prasetyo. Jakarta: Erlangga.
Louis Leithold, 1986. Kalkulus dan Geometri Analitik. Alih Bahasa S.
Nababan. Jakarta: Erlangga.
Howard Anton, 1981. Calculus with Analyitical Geometri. New York: John
Willey and Sons.
Koko Martono, 1993. Kalkulus Integral I. Bandung: Alva Gracia
Tom M. Apostol, 1984. Calculus. New York: John Willey and Sons.
Achsanul In'am, 2000. Kalkulus I. Malang: UMM Press.
Murray R. Spiegel. Pantur Silaban, Hans Wospakrik. 1985. Transformasi
Linear. Jakarta: Erlangga.
-----------------------
