KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN KURVA
Pada bagian ini penggunaan turunan akan di titik beratkan untuk mengetahui sifat-sifat yang dimiliki suatu kurva antara lain kemonotonan, kecekungan, nilai ekstrim , titik belok dan asymtot. Hal ini ditekankan agar kita mudah dalam menganalisa dan menggambarkan grafik fungsi. Pada bagian akhir dari sub bab penggunaan turunan ini, akan dijelaskan tentang dalil De lhospital untuk menghitung limit fungsi baik limit di suatu titik, limit di tak hingga maupun limit tak hingga.
Definisi : Fungsi Monoton
Grafik fungsi f(x) dikatakan naik pada selang I bila fx1> fx2 untuk
X1 > X2 ; X1 , X2 I. Fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton.
Dalam menentukan selang fungsi monoton naik atau turun digunakan pengertian berikut. Gradien dari suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut (α )yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan α . Bila sudut lancip (α < ½ π) maka m > 0 dan m < 0 untuk α>½. Karena gradien garis singgung suatu kurva y = f(x) di titik ( x,y ) diberikan dengan m = f ' ( x ) dan selang fungsi naik atau turun berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka selang atau selang dimana fungsi monoton diberikan berikut :
1. Fungsi f(x) naik bila f'x>0
2. Fungsi f(x) turun bila f'x<0
contoh :
Tentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi fx= x4 + 2x3+ x2 – 5
Jawab :
Turunan pertama, f'x=4x3 + 6x2+ 2x
Untuk f'x=4x3+ 6x2+ 2x > 0, maka fungsi naik pada 1 < x < 12 atau x > 0 dan fungsi turun pada x < -1 atau 12 < x < 0.
Definisi : Kecekungan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada selang 1 bila f'x naik pada selang I
Sedang f(x) dikatakan cekung ke bawah bila f'x turun pada selang I. Oleh karena itu dapat disimpulkan :
Bila f"x>0,x I maka fxcekung ke atas pada I dan
Bila f"x<0,x I maka fxcekung ke bawah pada I
Contoh :
Tentukan selang kecekungan dari fungsi f x = 1+ x21+x
Jawab:
Turunan pertama, f x= x2+ 2x-1(1+x) 2
Turunan kedua f"x= 4(1+x) 3
Cekung ke atas , f"x>0 pada selang x > 1 dan cekung ke bawah pada selang x < 1
NILAI EKSTRIM
Misal diberikan kurva f(x) dan titik (a,b) merupakan titik puncak (titik maksimum atau minimum). Maka garis singgung kurva di titik (a,b) akan sejajar sumbu X atau mempunyai gradien m = 0 [ f '(a) = 0] . Titik (a,b) disebut titik ekstrim, nilai x = a disebut nilai stasioner, sedangkan nilai y = b disebut nilai ekstrim.
Definisi : Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
Nilai f(a) disebut nilai (ekstrim) maksimum pada selang I bila f(a) > f(x) untuk
setiap x Î I. Sedangkan nilai f(a) disebut nilai (ekstrim) minimum pada selang I bila f(a) < f(x) untuk setiap x Î I.
Untuk menentukan jenis nilai ekstrim (maksimum atau minimum) dari fungsi f(x)
dapat dilakukan dengan Uji turunan kedua sebagai berikut :
1. Tentukan turunan pertama dan kedua, f '(x)dan f "(x)
2. Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f ' (x) = 0 ), misalkan nilai stasioner adalah x = a
3. Nilai f(a) merupakan nilai maksimum bila f "(a) < 0 , sedangkan nilai f (a) merupakan nilaiminimum bila f "(a) > 0 .
Contoh :
Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi f (x) = x4 + 2x3 + x2 – 5
Jawab :
Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumnya didapatkan nilai stasioner fungsi adalah x = -1, x = - ½ dan x = 0. Turunan kedua, f "(x) = 12x2 +12x + 2 .
Untuk x = -1, f "(-1) = 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( -1 ) = -5.
Untuk x = - ½ , f "( 12 ) = 1
dan fungsi mencapai maksimum dengan nilai maksimum f(-12) = 41516
Untuk x = 0, f "(0)=2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f (0) = -5
ASYMTOT
Asymtot suatu grafik fungsi didefinisikan sebagai garis yang didekati oleh suatu kurva.
Asymtot dibedakan menjadi tiga yaitu :
1. Asymtot mendatar
2. Asymtot tegak
3. Asymtot miring
Misal diberikan kurva y = f ( x ). Maka garis y = b disebut asymtot mendatar dari y = f ( x ) bila : limx fx=b atau limx - fx=b . Sedangkan garis x = a disebut asymtot
tegak bila berlaku salah satu dari :
limx a +fx=
limx a +fx=-
limx a -fx=
limx a -fx=-
Contoh :
Carilah asymtot datar dan asymtot tegak dari fungsi f(x) = - x2x2- 1
Jawab :
Asymtot datar, y = -1 sebab limx fx= limx -x2x2- 1= -1 atau limx - fx= 1
Asymtot tegak, x = -1 dan x = 1 sebab limx -1+fx= limx -1+ -x2x2- 1= dan limx 1+fx= limx 1+ -x2x2- 1= -
Garis y = a x + b dikatakan sebagai asymtot miring dari y = f ( x ) bila berlaku
limx fx- ax+b=0 atau limx - fx- ax+b=0 . Untuk mendapatkan asymtot miring dari fungsi rasional fx=P (x)Q (x) [ pangkat P(x) =1+ pangkat Q(x)] dilakukan dengan cara membagi P(x) dan Q(x) sehingga hasil bagi yang didapatkan merupakan asymtot miring dari f(x)
Contoh :
Carilah asymtot dari fungsi fx=x2 – 2x-3x-1
Jawab :
Asymtot datar tidak ada sebab limx fx= atau limx - fx= -
Asymtot tegak, x = 1 sebab lim x 1- fx=lim x 1-x2 – 2x-3x-1=
Asymtot miring, y = x – 1 sebab limx [ x2 – 2x-3x-1 – (x 1) ] = limx -4x-1 = 0
