T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI
MEGEP (MESLEKÎ EĞİTİM VE ÖĞRETİM SİSTEMİNİN GÜÇLENDİRİLMESİ PROJESİ)
İNŞAAT TEKNOLOJİSİ
KOORDİNAT SİSTEMLERİ
ANKARA 2005
Milli Eğitim Bakanlığı tarafından geliştirilen modüller; •
Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığının 02.06.2006 tarih ve 269 sayılı Kararı ile onaylanan, Mesleki ve Teknik Eğitim Okul ve Kurumlarında kademeli olarak yaygınlaştırılan 42 alan ve 192 dala ait çerçeve öğretim programlarında amaçlanan mesleki yeterlikleri kazandırmaya yönelik geliştirilmiş öğretim materyalleridir (Ders Notlarıdır).
•
Modüller, bireylere mesleki yeterlik kazandırmak ve bireysel öğrenmeye rehberlik etmek amacıyla öğrenme materyali olarak hazırlanmış, denenmek ve geliştirilmek üzere Mesleki ve Teknik Eğitim Okul ve Kurumlarında uygulanmaya başlanmıştır.
•
Modüller teknolojik gelişmelere paralel olarak, amaçlanan yeterliği kazandırmak koşulu ile eğitim öğretim sırasında geliştirilebilir ve yapılması önerilen değişiklikler Bakanlıkta ilgili birime bildirilir.
•
Örgün ve yaygın eğitim kurumları, işletmeler ve kendi kendine mesleki yeterlik kazanmak isteyen bireyler modüllere internet üzerinden ulaşabilirler.
•
Basılmış modüller, eğitim kurumlarında öğrencilere ücretsiz olarak dağıtılır.
•
Modüller hiçbir şekilde ticari amaçla kullanılamaz ve ücret karşılığında satılamaz.
İÇİNDEKİLER AÇIKLAMALAR ........................................................................................................ii GİRİŞ ........................................................................................................................... 1 ÖĞRENME FAALİYETİ–1 ........................................................................................ 3 1.KOORDİNAT SİSTEMLERİ ................................................................................... 3 1.1. Koordinat Sistemi Tanımı ................................................................................. 3 1.2. Dik Koordinat Sistemi....................................................................................... 3 1.3. Semt Açısı (Açıklık Açısı) ................................................................................ 6 1.4. Kutupsal Koordinat Sistemi .............................................................................. 6 1.5. Dik Koordinat Sistemi İle Kutupsal Koordinat Sistemi Arasındaki Bağıntı .... 7 UYGULAMALAR................................................................................................... 8 DEĞERLENDİRME ÖLÇEĞİ ................................................................................ 9 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME......................................................................... 10 ÖĞRENME FAALİYETİ–2 ...................................................................................... 12 2.JEODEZİK BİRİM DAİRE VE TEMEL ÖDEVLER............................................ 12 2.1. Jeodezik Birim Daire....................................................................................... 12 2.2. Trigonometrik Fonksiyonların Birim Daire Üzerinde İncelenmesi ................ 13 2.2.1. Alfa Açısı I. Bölge ................................................................................... 15 2.2. Alfa Açısı II. Bölgede ..................................................................................... 15 2.2.3. Alfa Açısı III. Bölge................................................................................. 16 2.2.4. Alfa Açısı IV. Bölge................................................................................. 17 2.3. Açıların Trigonometrik Fonksiyonlarının I. Bölgeye İndirgenmesi ............ 19 2.4. Temel Ödevler................................................................................................. 21 2.4.1. I. Temel Ödev........................................................................................... 21 2.4.2. II. Temel Ödev ......................................................................................... 22 2.4.3. III. Temel Ödev ........................................................................................ 24 2.4.4. IV. Temel Ödev........................................................................................ 25 DEĞERLENDİRME ÖLÇEĞİ .............................................................................. 27 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME......................................................................... 29 MODÜL DEĞERLENDİRME .................................................................................. 31 CEVAP ANAHTARI................................................................................................. 32 ÖNERİLEN KAYNAKLAR...................................................................................... 33 KAYNAKLAR........................................................................................................... 34
i
AÇIKLAMALAR AÇIKLAMALAR KOD ALAN DAL/MESLEK MODÜLÜN ADI MODÜLÜN TANIMI SÜRE ÖN KOŞUL YETERLİK
MODÜLÜN AMACI
EĞİTİM ÖĞRETİM ORTAMLARI VE DONANIMLARI
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
581MSP023 İnşaat Teknolojisi Harita Kadastro Teknisyenliği Koordinat Sistemleri Koordinat sistemleri ile jeodozik birim daire ve temel ödev hesaplarının yapılması ile ilgili temel bilgi ve becerilerin kazandırıldığı öğrenme materyalidir. 40/32 Üçgen modülünü başarmak Koordinat sistemleri ile jeodozik birim daire ve temel ödev hesaplarını kuralına göre yapmak Genel Amaç: Gerekli ortam sağlandığında temel ödev hesaplarını kuralına uygun olarak yapabileceksiniz. Amaçlar: 1- Koordinat sistemlerini kuralına uygun yapabileceksiniz. 2- Jeodozik birim daire ve temel ödev hesaplarını kuralına uygun yapabileceksiniz. Ortam: Yapı teknolojisi atölyesi, resim salonu, işletmeler, kütüphane, ev, bilgi teknolojileri ortamı Donanım: Bilgisayar, televizyon, DVD, VCD, tepegöz, projeksiyon, hesap makinesi, teodolit veya elektronik teodolit, reflektör Her faaliyet sonrasında o faaliyetle ilgili değerlendirme soruları ile kendi kendinizi değerlendireceksiniz. Öğretmen modül sonunda size ölçme aracı (uygulama, soru-cevap) uygulayarak modül uygulamaları ile kazandığınız bilgi ve becerileri ölçerek değerlendirecektir.
ii
GİRİŞ GİRİŞ Sevgili öğrenci, Bu modül sonunda edineceğiniz bilgi ve beceriler harita alanında, koordinat sistemleri ile jeodozik birim daire ve temel ödevlerin hesaplarında sizlere yardımcı olacaktır. Gelişen teknoloji ile birlikte haritalar bilgisayar ortamında yapılmaktadır. Alacağınız bu modül bilgisayarla harita yapımında da size büyük kolaylıklar sağlayacaktır. Ayrıca konuların geometriyle de ilgili olması matematik derslerinde size kolaylıklar sağlayacaktır. Bu modül sonunda arazideki noktaların konumlarını daha kolay tespit edebileceksiniz. Noktalar arasındaki bağıntıları, oluşturdukları doğrultuları, bu doğrultular arasındaki açıları ve doğruların kuzeyle yaptıkları semt açılarını kolayca bulup haritaların çizimine büyük katkılar sağlayacaksınız. İnsanların yaşamlarını kolaylaştıracak yol, su, elektrik, kanal, kanalizasyon ve benzeri projelerin geliştirilmesinde sizlere ne çok ihtiyaç olduğunu alacağınız bu beceriler sonunda görecek ve mutlu olacaksınız.
1
2
ÖĞRENME FAALİYETİ–1
AMAÇ
ÖĞRENME FAALİYETİ–1
Uygun ortam sağlandığında dik koordinat sistemi ile kutupsal koordinat sistemi arasındaki bağıntıyı yapabileceksiniz.
ARAŞTIRMA Bu faaliyet öncesinde yapmanız gereken öncelikli araştırmalar şunlardır: ¾ Koordinat sisteminin ne olduğunu araştırınız. ¾ Dik koordinat sisteminin ne olduğunu araştırınız. ¾ Kutupsal koordinat sisteminin ne olduğunu araştırınız.
1. KOORDİNAT SİSTEMLERİ 1.1. Koordinat Sistemi Tanımı Arazideki noktaların birbirlerine göre durumlarını tespit etmek için kullanılan düzleme koordinat sistemi denir. Bütün şekiller yatay bir düzlem üzerinde gösterilir. Noktalar uzayda üç boyutlu bulunur. Noktaların yatay düzlem üzerindeki izdüşümleri ile şekiller meydana gelir. Şekilleri yatay bir düzlem üzerinde belirlemek için sınır noktalarının saptanması gerekir. Bunun için de koordinat sistemleri kullanılır.
1.2. Dik Koordinat Sistemi Arazi üzerinde bulunan noktaların birbirlerine göre durumlarını tespit etmek için, yatay bir düzlem içinde birbirine dik olan iki doğru kullanılır. Bu doğruların oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi denir. Matematikte kullanılan dik koordinat sisteminde sağa ve sola giden eksen X, yukarı ve aşağı giden eksen Y eksenidir (Şekil 1.1). Haritacılıkta kullanılan koordinat sisteminde ise sağa ve sola giden eksen y ile gösterilir ve ordinat ekseni ismini alır. Yukarı ve aşağı giden eksen x ile gösterilir ve apsis ekseni adını alır (Şekil 1.2). Ordinat ekseni daima doğu-batı, apsis ekseni ise kuzey-güney istikametlerini gösterir. Apsis ekseni ile ordinat ekseninin kesim noktasına orijin noktası denir. 3
Bir noktanın dik koordinat sistemine göre yeri, o noktadan eksenlere çizilen diklerle belirtilir. Noktanın ordinat eksenine olan uzaklığına apsis, apsis eksenine olan uzaklığına ordinat denir. Bunların her ikisine birden de o noktanın koordinatları ismi verilir.
+X
-X
-Y
Ordinat
ekseni
+Y
apsis
+X
Ordinat apsis
ekseni
+Y
-Y
-X
Şekil 1.1: Matematikte kullanılan dik koordinat sistemi
Şekil 1.2: Haritacılıkta kullanılan dik koordinat sistemi
4
Koordinat sisteminin eksenleri, düzlemi dört bölüme ayırır. Bu bölümler, + X ekseninden başlayarak saat ibresinin hareketi yönünde 1 den 4 e kadar numara verilir. Bölümleri birbirlerinden ayırabilmek için eksenler “ - “ ve “ + “ şeklinde işaretlenmiştir. Eksenlerin birbirlerini kestikleri orijin noktasından itibaren ordinat ekseninin sağa doğru giden kısmı pozitif “ + “, sola doğru giden kısmı negatif “ - “, apsis ekseninin yukarıya doğru giden kısmı pozitif “ + “, aşağıya giden kısmı negatif “ - “ ile gösterilir (Şekil 1.3).
+X I. bölüm +Y +X
IV. bölüm
-Y +X
-Y
-Y -X
+Y
+Y -X II. bölüm
III. bölüm -X
Şekil 1.3: Dik koordinat sisteminde bölümler ve her bölümde koordinatların işaretleri
Dik koordinat sisteminde bir noktanın yeri, o noktanın koordinatları ile (Şekil 1.4), noktanın hangi bölümde olduğu da koordinatlarının işaretleriyle bellidir (Çizelge 1.1) Çizelge 1.1: Bölümlerde koordinatların işaretleri
Bölüm Koordinat Y X
I
II
III
IV
+ +
+ -
-
+
+X A Xa Ya Şekil 1.4:
+Y Bir noktanın koordinat
sistemindeki yeri Bir doğru, iki noktasının koordinatları ile bellidir. Örneğin, A ve B noktalarının koordinatları Ya, Xa ile Yb, Xb verilmiş ise AB doğrusu, bu noktaların koordinat sistemindeki yerlerini birleştiren doğrudur (Şekil 1.5).
+X B A Xb Xa Ya Yb
+Y
Şekil 1.5: Bir doğrunun koordinat sistemindeki yeri
1.3. Semt Açısı (Açıklık Açısı) +X ekseni kuzeyi gösteren eksendir. +X ekseninden başlayarak saat ibresinin hareketi yönünde olmak üzere bir doğrunun +X ekseniyle meydana getirdiği açıya o doğrunun semt açısı denir (Şekil 1.6). AB gibi bir doğrunun A ucundaki semt açısı (AB) şeklinde, B ucundaki semt açısı ise (BA) şeklinde gösterilir. Genel olarak herhangi bir semt açısından bahsedildiği zaman bu açı α harfi ile de gösterilir. Şekil 1.6 dan kolayca görüleceği +X gibi bir doğrunun bir ucundaki semt açısı diğer ucundaki semt açısından 200 grad B farklıdır. Bunu formülle gösterecek olursak şeklimize göre (AB)+200g=(BA) (BA) veya (BA)-200g=(AB) diyebiliriz. Bir (AB) uçtaki semt açısı diğer uçtakine göre 200 A grad az veya 200 grad çok olabileceği için, bir doğrunun iki ucundaki semt +Y açıları genel olarak, (AB) = (BA) ± 200g formülü ile gösterilir. Semt açısı 0 grad ile Şekil 1.6: Bir doğrunun iki ucundaki 400 grad arasında değişir. semt açısı
1.4. Kutupsal Koordinat Sistemi Düzlemde alınan bir O kutup noktası ve bu noktadan geçen bir OX ekseni bu koordinat sistemini oluşturur. Kutupsal koordinat sisteminde herhangi bir P noktasının konumu Şekil 1.7 de görüldüğü gibi P noktasının kutup noktasına olan mesafesi r yarıçap vektörü ile OP doğru parçasının saat ibresi yönünde yaptığı θ kutup açısı ile belirlenir. Kısaca O kutup noktası ve P noktasının belirli olması koşulu ile açı ve uzunluk ölçen herhangi bir ölçü aleti ile ölçülen, θ kutup açısı ve r yarıçap vektörü ikilisi noktanın yerini belirler.
+
P
r
O
θ
+X
şekil 1.7: Kutupsal koordinat sistemi
6
1.5. Dik Koordinat Sistemi İle Kutupsal Koordinat Sistemi Arasındaki Bağıntı Şekil 1.8’e göre P noktasının yeri; dik koordinat sisteminde Yp ve Xp, kutupsal koordinat sisteminde θ kutup açısı ve r yarıçap vektörü ile belirtilirse her iki koordinat sistemi arasında;
sin θ =
Yp
cos θ =
Xp
r
⇒ Yp= r⋅sinθ
r
⇒ Xp= r⋅cosθ eşitlikleri yazılabilir.
Bu eşitlikte X, Y dik koordinat sisteminin başlangıç noktası A kabul edildiğinden, şekil 1.8 deki AP doğrusunun X ekseni ile yaptığı θ açısı aynı zamanda (AP) semt açısıdır. Buna göre Yp=r⋅sinθ ve Xp=r⋅cosθ formülleri;
+X P
Xp
Yp=r⋅sin(AP) A
Xp=r⋅cos(AP) şeklinde yazılabilir.
r θ Yp
+Y
Şekil 1.8:
Örnek: Şekil 1.8 deki θ açısı 41g,8442 ve r kutup mesafesi 78,16 m verildiğine göre P noktasının dik koordinat sistemindeki yerini bulunuz. Yp= r⋅sinθ=78,16⋅sin41g,8442=47,75 m olur. Xp= r⋅cosθ =78,16⋅cos41g, 8442=61,88 m olur.
7
UYGULAMALAR İşlem basamakları
Öneriler
¾ Araziye çıkarak koordinatlarını bulmak istediğiniz noktaları tespit ediniz.
¾ Pusula ile kuzeyi tespit ederken pusulanın manyetik alanlardan etkilendiğini unutmayınız.
¾ Aleti kurduğunuz ve doğrultu oluşturacağınız noktalara A, B gibi isimler veriniz.
¾ Aletleri kuralına uygun olarak kullanınız. Başkalarının kullanmasına izin vermeyiniz.
¾ Bulmak istediğiniz semte göre aleti nokta üzerine kurunuz (A noktası) ¾ Uygun bir pusula ile kuzey doğrultusunu belirleyiniz. ¾ Kuzey doğrultusunu belirledikten sonra açıyı okuyunuz. ¾ Aleti diğer noktaya (B) yönlendirerek açıyı okuyunuz. ¾ İkinci okuduğunuz açıdan birinci okuduğunuz açıyı çıkardığınızda aleti kurduğunuz noktanın semt açısını bulmuş olursunuz ¾ Diğer noktanın semt açısını hesaplayarak bulunuz.
8
DEĞERLENDİRME ÖLÇEĞİ DEĞERLENDİRME ÖLÇEĞİ Sevgili öğrenciler: Aşağıda hazırlanan değerlendirme ölçeğine göre kendinizin veya arkadaşınızın yaptığı çalışmayı değerlendiriniz. Gerçekleşme düzeyine göre evet hayır seçeneklerinden uygun olanı kutucuğa işaretleyiniz. SORU : Dik koordinat sisteminde yeri belli olan ama herhangi bir engelden dolayı kutup mesafesi ölçülemeyen bir p noktasının r kutup mesafesini bulunuz.
İŞLEM KONTROL LİSTESİ Dersin Öğrencinin Trigonometri adı Koordinat sistemlerini kuralına uygun Adı soyadı Amaç çözebilme becerisinin ölçülmesi Konu Koordinat Sistemleri
1
Sınıfı NU
DEĞERLENDİRME KRİTERLERİ (Yukarıda verilen ve örnek sorudan yararlanarak) Size verilen soruyu anladınız mı?
2
Arazide noktaları bulabildiniz mi?
3
X ve Y yönündeki mesafeleriN ölçümünü yapabildiniz mi?
4
Ölçümleri kâğıt üzerine geçirebildiniz mi?
5
Çizimden faydalanarak semt açısını bulabildiniz mi? r kutup mesafesini bulmak için gerekli formülleri biliyormusunuz?
6 7
Formülü yazabildiniz mi?
8
Formülde verileri yerlerine koyabildiniz mi?
9
Matematiksel işlemi doğru yapabildiniz mi?
10
Doğru sonucu bulabildiniz mi?
EVET
HAYIR
Toplam Evet ve Hayır Cevap Sayıları Bu değerlendirme sonucunda eksik olduğunuzu tespit ettiğiniz konuları tekrar ederek eksikliklerinizi tamamlayınız. 9
ÖLÇMEVE VEDEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME ÖLÇME A- OBJEKTİF TESTLER (ÖLÇME SORULARI) Aşağıdaki soruların cevaplarını daire içine alınız. 1. Arazi üzerinde bulunan noktaların birbirlerine göre durumlarını tespit etmek için, yatay bir düzlem içinde birbirine dik olan iki doğru kullanılır. Bu doğruların oluşturduğu sisteme ………………………..denir. Noktalı yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) Dik koordinat sistemi B) Ordinat sistemi
C) Orjin
D) Apsis sistemi
2. Haritacılıkta kullanılan koordinat sisteminde sağa ve sola giden eksen y ile gösterilir ve ……………. ekseni ismini alır. Noktalı yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) Koordinat
B) Ordinat
C) Orjin
D) Apsis
3. Haritacılıkta kullanılan koordinat sisteminde yukarı ve aşağı giden eksen x ile gösterilir ve ……………. ekseni adını alır. Noktalı yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) Koordinat
B) Ordinat
C) Orjin
D) Apsis
4. Noktanın ordinat eksenine olan uzaklığına …………………… denir. Noktalı yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) Koordinat
B) Ordinat
C) Orjin
D) Apsis
5. Noktanın apsis eksenine olan uzaklığına …………………….. denir. Noktalı yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) Koordinat
B) Ordinat
C) Orjin
D) Apsis
6. +X ekseninden başlayarak saat ibresinin hareketi yönünde olmak üzere bir doğrunun +X ekseniyle meydana getirdiği açıya o doğrunun ……………………. denir. Noktalı yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) Kırılma açısı
B) Semt açısı
C) Poligon açısı
10
D) +X açısı
7. +X B (BA) (AB) A +Y Şekil 1.9
Şekil 1.9 daki A noktasının (AB) semt açısı bilindiğine göre B noktasının semt açısı aşağıdakilerden hangisidir? A) (BA)=(AB)+100g C) (BA)=(AB)+200g
B) (BA)=(AB)+150g D) (BA)=(AB)+300g
8. Şekil 1.10 daki θ açısı 39g,4542 ve r kutup mesafesi 90,21 m verildiğine göre P noktasının dik koordinat sistemindeki yeri aşağıdakilerden hangisidir? +X P
Xp
A
r θ Yp
+Y
Şekil 1.10
A)Yp=50,41 m Xp=70,40 m
B)Yp=50,40 m Xp=71,43 m
C)Yp=51,42 m Xp=72,40 m
D)Yp=52,40 m Xp=73,43 m
Cevaplarınızı cevap anahtarı ile karşılaştırınız.
DEĞERLENDİRME Cevaplarınızı cevap anahtarı ile karşılaştırınız. Doğru cevap sayısını belirleyerek kendinizi değerlendiriniz. Yanlış cevap verdiğiniz ya da cevap verirken tereddüt yaşadığınız sorularla ilgili konuları faaliyete geri dönerek tekrar inceleyiniz. Tüm sorulara doğru cevap verdiyseniz diğer faaliyete geçiniz. 11
ÖĞRENME FAALİYETİ–2 ÖĞRENME FAALİYETİ–2 AMAÇ Uygun ortam sağlandığında jeodozik birim daire ve temel ödev hesaplarını kuralına uygun yapabileceksiniz.
ARAŞTIRMA Bu faaliyet öncesinde yapmanız gereken öncelikli araştırmalar şunlardır: ¾ Jeodozik birim dairenin ne olduğunu araştırınız. ¾ Trigonometrik fonksiyonları birim daire üzerinde inceleyiniz. ¾ Açıların trigonometrik fonksiyonlarının birinci bölgeye nasıl indirgendiğini araştırınız.
2.JEODEZİK BİRİM DAİRE VE TEMEL ÖDEVLER 2.1. Jeodezik Birim Daire Düzlemde merkezi dik koordinat sisteminin (X,Y) başlangıç noktasına çakışık ve yarıçapı “1” birime eşit olan daireye birim daire veya trigonometrik daire denir (Şekil 2.1). Bu dairede açı başlangıcı, yatay eksenden başlayarak saat ibresinin ters yönünde büyür. Jeodezide ise ölçme aletlerinin açı ölçme bölüm dairelerinde açı başlangıcı saat ibresi yönünde büyüdüğünden, matematikte kullanılan tüm kuralların değişmemesi için eksenler yer değiştirilerek jeodezik birim daire oluşturulmuştur (Şekil 2.2). Jeodezik birim daire biri yatay (Y ekseni) diğeri düşey (X ekseni) iki eksenle dört bölgeye ayrılır. Bu bölgeler X ekseninden itibaren saat ibresi yönünde I. bölge, II. bölge, III. bölge, IV. bölge diye numaralanır. Açının başlangıcı +X ekseninden başlamak ve saat ibresi yönünde hareket etmek üzere α açısı I. bölgede 0-100g, II. bölgede 100g-200g, III. bölgede 200g-300g, IV. bölgede 300g-400g arasında bulunur.
12
+Y
II -X
+X
α
+X -Y
o III
α
IV
I
I +Y
o
IV
III
-Y
II
-X Şekil 2.2:jeodezik birim daire
Şekil 2.1:Trigonometrik birim daire
2.2. Trigonometrik Fonksiyonların Birim Daire Üzerinde İncelenmesi Şekil 2.3 de görüldüğü gibi I. bölgedeki jeodezik birim daire yayı üzerinde alınan bir C noktası, daire merkezi ile birleştirildiğinde oluşan OC=r=1 doğrusunun, OX ekseniyle veya OX ekseninden itibaren saat ibresi yönündeki hareketiyle yaptığı açı α dır. Bu açıya semt açısı denir. Cos +X
Cotg
400g 0g tgα
A
IV
α
O
-Y
C
sinα
III
I r=1
B
II
g -X 200 Şekil 2.3: Birim daire
13
Tg
F cotgα
300g
cosα
D
E
100g Sin +Y
C noktasından X eksenine dik inilerek D noktası bulunur. Jeodezik birim dairede, OA=OB=OC=1 birim olduğundan ODC dik üçgeninde;
sin α =
DC DC = = DC OC 1
COSα =
OD OD = = OD eşitlikleri yazılabilir. OC 1
DC ve OD uzunlukları r=1 den küçük olduklarından, C noktasının Xc ve Yc koordinatlarına eşit olurlar. Yani sinα=Yc; cosα=Xc olur. Bu nedenle Y ekseni sinüs ekseni, X ekseni cosinüs ekseni olarak kabul edilir. X ekseninin birim daireyi kestiği A noktasından çizilen teğet ile OC doğrultusunun uzantısını kestiği nokta E olsun. Bu durumda oluşan OAE dik üçgeninde;
tgα =
AE AE = = AE eşitliği yazılır. OA 1
A noktasından birim daireye çizilen teğet de tanjant ekseni kabul edilir. Y ekseninin birim daireyi kestiği b noktasından çizilen teğet ile OC doğrultusunun uzantısını kestiği nokta F olsun. Bu durumda oluşan OBF dik üçgeninde;
cot gα =
BF BF = = BF eşitliği yazılır. OB 1
B noktasından birim daireye çizilen teğet de cotanjant ekseni olarak kabul edilir. Şekil 2.3 te görüldüğü gibi tüm trigonometrik fonksiyonlar, jeodezik birim dairede birer doğru parçası ile temsil edilmektedir. Yani + sin için Y ekseni, + cos için X ekseni alınmıştır. Aynı şekilde +tg değeri A noktasında, +Y eksenine çizilen paralel üzerinde ve + cotg değeri ise B noktasından, +X eksenine çizilen paralel üzerinde alınmaktadır. Şekil 2.3 te görüldüğü gibi trigonometrik fonksiyonlar koordinatlar cinsinden;
sin α = Yc ; cos α = X c ;
tgα = YE ;
cot gα = X F şeklinde yazılır.
Bu durumda trigonometrik fonksiyonların işaretleri de noktaların koordinatlarının (Y;X) işaretlerine denk olur. Jeodezik birim daire üzerindeki dört bölgede, 0g-400g arasında değişen bütün açıların trigonometrik fonksiyonlarını, birer dar açı fonksiyonu cinsinden ifade edersek trigonometrik fonksiyonu aranan açı α, yardımcı dar açı Ψ olsun. 14
Buna göre C noktasının jeodezik birim daire üzerinde bulunduğu dört bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin, noktaların koordinatlarının işaretlerine uygun olarak nasıl değiştiğini ve Ψ dar açısının fonksiyonu cinsinden nasıl ifade edildiğini inceleyelim.
2.2.1. Alfa Açısı I. Bölge 0g < α < 100g arasında olur. Bu durumda C, F, E noktalarının YC, XC, YE, XF koordinatları pozitif (+) işaretli olduklarından, bunlara uygun olarak sinα, cosα, tgα, cotgα trigonometrik fonksiyonların işaretleri de pozitif olur. Cos +X
Cotg
400g 0g Tg + Sin + α=Ψ I
O
-Y
r=1
E C
Tg
F Cotg +
D Cos +
A
B
100g Sin +Y
α=Ψ ise sinα= + sinΨ cosα= + cosΨ tgα= + tgΨ cotgα= + cotgΨ Ψ açısı cinsinden ifade edilir.
-X Şekil 2.4: Alfa açısı I. bölgede
Bu bölgede α açısının 0g ile 100g arasında alacağı trigonometrik fonksiyonların sınır değerleri aşağıdaki çizelgede görüldüğü gibidir. α 0 100
Çizelge 2.1: Alfa açısı I. bölgede sinα cosα tgα 0 +1 0 +1 0 +∞
cotgα +∞ 0
2.2. Alfa Açısı II. Bölgede 100g < α < 200g arasında olur. Bu durumda C, F, E noktalarının YC koordinatı pozitif (+) XC, YE, XF koordinatları negatif (-) işaretli olduklarından, bunlara uygun olarak sinα pozitif (+) cosα, tgα, cotgα trigonometrik fonksiyonları negatif (-) olur. 15
Cos +X
tg -
A
Tg
α O cos -
-Y
D
sin +
B
Ψ Ψ
cotg -
E
Cotg
C
F
II
100g Sin +Y
α=100g + Ψ ise sinα= + cosΨ cosα= - sinΨ tgα= - cotgΨ cotgα= - tgΨ Ψ açısı cinsinden ifade edilir.
g -X 200 Şekil 2.5: Alfa açısı II. bölgede
Bu bölgede α açısının 100g ile 200g arasında alacağı trigonometrik fonksiyonların sınır değerleri aşağıdaki çizelgede görüldüğü gibidir. α 100 200
Çizelge 2.2: Alfa açısı II. bölgede sinα cosα tgα +1 0 -∞ 0 -1 0
cotgα 0 -∞
Not: α+Ψ=200g ise sinα= sinΨ olur. Birbirlerini 200g’a tamamlayan açıların sinüsleri de eşit olur.
2.2.3. Alfa Açısı III. Bölge 200g < α < 300g arasında olur. Bu durumda C, F, E noktalarının YC, XC koordinatı negatif (-) YE, XF koordinatları pozitif (+) işaretli olduklarından, bunlara uygun olarak sinα, cosα negatif (-) tgα, cotgα trigonometrik fonksiyonları pozitif (+) olur.
16
Cos +X
Cotg
Tg +
A
E
Tg
Cotg +
F
300g
O
-Y Ψ C
α
Ψ
Cos -
III Sin -
D
B
Sin +Y
α=200g + Ψ ise sinα= - sinΨ cosα= - cosΨ tgα= tgΨ cotgα= cotgΨ Ψ açısı cinsinden ifade edilir.
g
-X 200 Şekil 2.6: Alfa açısı III. bölgede
Bu bölgede α açısının 200g ile 300g arasında alacağı trigonometrik fonksiyonların sınır değerleri aşağıdaki çizelgede görüldüğü gibidir. α 200 300
Çizelge 2.3: Alfa açısı III. bölgede sinα cosα tgα 0 -1 0 -1 0 +∞
cotgα +∞ 0
2.2.4. Alfa Açısı IV. Bölge 300g < α < 400g arasında olur. Bu durumda C, F, E noktalarının YC, YE, XF koordinatları negatif (-), XC koordinatları pozitif (+) işaretli olduklarından, bunlara uygun olarak sinα, tgα, cotgα negatif (-), cosα trigonometrik fonksiyonları pozitif (+) olur.
17
Cos +X
Cotg
400g tg C
sin -
cos +
Ψ 300g -Y
A
Tg D
IV
Ψ
O α
B
Sin +Y
cotg -
E
α=300g + Ψ ise sinα= - cosΨ cosα= + sinΨ tgα= - cotgΨ cotgα= - tgΨ Ψ açısı cinsinden ifade edilir.
F
-X Şekil 2.7: Alfa açısı IV. bölgede
Bu bölgede α açısının 300g ile 400g arasında alacağı trigonometrik fonksiyonların sınır değerleri aşağıdaki tabloda görüldüğü gibidir. α 300 400
Çizelge 2.4: Alfa açısı IV. bölgede sinα cosα tgα -1 0 -∞ 0 +1 0
cotgα 0 -∞
Sonuç olarak; jeodezik birim dairede hareket eden C noktasının YC, XC koordinat değerleri -1 ile +1 arasında, E noktasının YE ve F noktasının XF koordinat değerleri -∞ ile +∞ arasında değişeceğinden, α açısının tüm değerleri için; ¾ ¾ ¾ ¾
-1 ≤ sinα ≤ +1 -1 ≤ cosα ≤ +1 -∞ ≤ tgα ≤ +∞ -∞ ≤ cotgα ≤ +∞ özellikleri geçerli olur.
Not: Bütün bölgelerdeki şekillerde görüldüğü gibi CDO dik üçgeninde CO = r = 1 ise CD kenarı α açısının sinüsü, OD kenarıda α açısının kosinüsüdür. Trigonometrik fonksiyonları Ψ dar açısı cinsinden jeodezik birim daire üzerindeki fonksiyon değerleri ve işaretleri aşağıdaki çizelgede özet olarak verilmiştir. 18
Çizelge 2.5: Trigonometrik fonksiyonların tüm bölgelerdeki sınır değerleri ve işaretleri Açı I. Bölge II. Bölge III. Bölge IV. Bölge g g Trig. Fonk. Ψ=α Ψ = α – 100 Ψ = α – 200 Ψ = α – 300g Sinα
(+) sinΨ
(+) cosΨ
(-) sinΨ
(-) cosΨ
Cosα
(+) cosΨ
(-) sinΨ
(-) cosΨ
(+) sinΨ
Tgα =sinα /cosα
(+) tgΨ
(-) cotgΨ
(+) tgΨ
(-) cotgΨ
Cotgα =cosα /sinα
(+) cotgΨ
(-) tgΨ
(+) cotgΨ
(-) tgΨ
2.3. Açıların Trigonometrik Fonksiyonlarının I. Bölgeye İndirgenmesi Çeşitli bölgelerdeki açıların α trigonometrik değerlerinin Ψ dar açısı cinsinden I. bölgeye indirgenmesi aşağıdaki tablodan yararlanarak bulunabilir.
Çizelge 2.6: Tüm bölgelerdeki açıların I. bölgeye indirgenmesi Açı
sin
(-) sinα
I. Bölge 100g – Ψ +α 90o – Ψ (+) sinα (+) cosΨ
cos
(+) cosα
(+) cosα
(+) sinΨ
(-) sinα
(-) cosΨ
tg
(-) tgα
(+) tgα
(+) cotgΨ
(-) cotgα
(-) tgΨ
cotg
(-) cotg
(+) cotgα
(+) tgΨ
(-) tgα
(-) cotgΨ
Trig. Fonk.
Açı
IV. Bölge -α
II. Bölge 100g + α 200g – Ψ o 90 + α 180o – Ψ (+) cosα (+) sinΨ
sin
III. Bölge 200g + α 300g – Ψ o 180 + α 270o – Ψ (-) sinα (-) cosΨ
IV. Bölge 300g + α 400g - Ψ o 270 + α 360o - Ψ (-) cosα (-) sinΨ
I. Bölge 400g + α 360o + α (+) sinα
cos
(-) cosα
(-) sinΨ
(+) sinα
(+) cosΨ
(+) cosα
tg
(+) tgα
(+) cotgΨ
(-) cotgα
(-) tgΨ
(+) tgα
cotg
(+) cotgα
(+) tgΨ
(-) tgα
(-) cotgΨ
(+) cotgα
Trig. Fonk.
Örnek 1: Cos 325g değerini I. bölgedeki bir açı cinsinden bulunuz. Çözüm: Çizelge 2.6 ‘da IV. bölgede 300g +α sütununda ve cos satırında +sinα bulunduğundan, cos325g = cos(300+25)= +sin25g (α =25g) veya aynı bölgede 400g – Ψ sütununda yine aynı cos satırında + cosΨ bulunduğundan, cos325g = cos(400-75)= +cos75g (Ψ= 75g) olur. 19
Örnek 2: α=150g lık açının sin ve cos değerini, dar açıların trigonometrik fonksiyonunun değeri yardımıyla bulunuz. Çözüm: II. bölgede bir açı olduğundan tablo 2.6 da görüldüğü gibi 100g+α sütununda ve sin satırında +cosα bulunduğundan, Sin150g = sin (100+50)= +cos 50g =
1 2
=
2 = 0,707106 olur. 2
Aynı sütunda ve cos satırında ise –sinα bulunduğundan, cos150g = cos (100+50) = -sin 50g =
−1
2
=
− 2 = -0,707106 veya 2
II. bölgede, tablo 2.6 da görüldüğü gibi 200g–Ψ sütununda ve sin satırında +sinΨ, cos satırında –cosΨ bulunduğundan, Sin150g = sin (200-50)= +sin50g =
2 = 0,707106 2
cos150g = cos (200-50) = -cos50g =
− 2 = -0,707106 olur. 2
Örnek 3: α=240o lik açının sin ve cos değerini I. bölgeye indirgeyiniz. Çözüm: III. bölgede bir açı olduğundan, tablo 2.6 dan 200+α sütunundan ve sin satırında – sinα, cos satırında –cosα bulunduğundan, Sin 240o=sin(180o+60o)= –sin60o=
− 3 = –0,866025 2
Cos 240o=cos (180o+60o)= –cos60o= –
1 = –0,5 veya 2
III. bölgede tablo 2.6 da görüldüğü gibi 300-ψ sütununda ve sin satırında –cosψ, cos satırında –sinψ bulunduğundan
− 3 = –0,866025 2 1 Cos 240o=cos (270o–30o)= –sin 30o= – = –0,5 2
Sin 240o=sin (270o–30o)= –cos 30o=
20
2.4. Temel Ödevler Haritacılıkta noktaların yerlerinin tespit edilmesi gerekir. Noktaların yerlerinin tespit edilmesinde çözülmesi gerekli birkaç problem vardır. Bu problemlere temel ödevler denir. Temel ödevlerin bilinmesi, ilerideki birçok hesap işlerimizi kolaylaştıracağı için iyice öğrenilmesi gerekir.
2.4.1. I. Temel Ödev
A noktasının koordinatları ile, bu noktadan B noktasına olan ( AB ) semt açısı ve AB kenarı veriliyor. B noktasının koordinatlarının hesabı isteniyor. Verilenler
: y a , x a , ( AB ) ve AB
İstenenler
: y b =? , xb =?
Şekil 2.8 den kolayca görülebileceği gibi, y b = y a + ∆y
xb = x a + ∆x olur. Burada y a ve x a verilmiştir. ∆y ve ∆x bulunabilirse y b ve xb hesaplanabilir. Yine şekilden veya yukarıdaki eşitlikten görülebileceği gibi ∆y = y b - y a
∆x = xb - x a dır. ∆y ve ∆x i hesaplayabilmek için A ve B noktalarından y ve x eksenlerine paraleller çizelim. Meydana gelen AKB üçgeni bir dik üçgendir (Şekil 2.9). Bu üçgenin A noktasındaki açısı ( AB ) semt açısına eşittir. Trigonometriden bildiğimize göre; +X
+X B
ya
xb-xa
A
∆x
xa
ya
+Y
yb
∆y y b − y a = , AB AB
xa
AB
B ∆x
∆y +Y
Şekil 2.9: Birinci temel ödev
Şekil 2.8: Birinci temel ödev
sin( AB) =
(AB)
A
xb
∆y
yb-ya
K
cos( AB) =
21
∆x xb − x a = AB AB
olur. Buradan;
AB. sin( AB) = y b − y a ,
AB. cos( AB) = xb − x a bulunur. Bu eşitliklerde bulunmak istenen y b ve xb yalnız bırakılacak olursa; y b = y a + . AB. sin( AB) ve xb = x a + AB. cos( AB) formülleri elde edilmiş olur. Örnek verilenler y a = 513,77 m
istenenler y b =?
x a = 397,15 m ( AB ) = 35g,6917 AB = 142,17 m
xb =?
Çözüm Değerler y b = y a + AB .sin ( AB ) ve xb = x a + AB . cos ( AB ) formüllerinde yerine konursa,
y b = y a + AB . sin ( AB ) = 513,77 +142,17. sin (35 g,6917) y b = 513,77+ 75,60 = 589,37 m xb = x a + AB . cos ( AB )= 397,15 + 142,17. cos (35 g,6917) xb =397.15 + 120,56= 517,71 m bulunur. 2.4.2. II. Temel Ödev Bir AB doğrusunun A ve B noktalarının koordinatları ( y a , x a , y b , xb ) veriliyor.
A ve B noktalarını birleştiren doğrunun ( AB ) semt açısı ile AB kenar uzunluğunun hesabı isteniyor. Bilinenler: y a , x a , y b , xb İstenenler: ( AB )=? ve AB =?
A ve B noktalarından y ve x eksenlerine birer dik çizecek olursak meydana gelen AKB dik üçgeninde KB dik kenarının AK dik kenarına oranı ( AB ) semt açısının tanjantını verir.
tan ( AB )=
yb − ya ∆y = xb − xa ∆x
Formülden görüldüğü gibi B noktasının koordinatlarından A noktasının koordinatları çıkarılarak bulunan y b – y a = ∆y farkı xb – x a = ∆x farkına bölünerek ( AB ) semt açısının tanjant değeri bulunur. 22
Semt açısının hangi bölümde olduğunu anlamak için ∆y ve ∆x 'lerin işaretlerine bakmak yeterlidir. Eğer
∆y + = ise, açı birinci bölümdedir, hesapla bulunan açı aranan semttir. ∆x + ∆y + = ise, açı ikinci bölümdedir, hesapla bulunan açının 200g dan çıkarılması ile ∆x −
aranan semt elde edilir.
∆y − = ise, açı üçüncü bölümdedir, hesapla bulunan açıya 200g eklenerek aranan ∆x −
semt elde edilir.
∆y − = ise açı dördüncü bölümdedir, hesapla bulunan açının 400g dan çıkarılması ∆x +
ile aranan semt elde edilir. Semt açısı bulunduktan sonra bu açı ve y b − y a = ∆y veya xb − x a = ∆x farkları yardımı ile AB kenarı hesaplanır. Kenarın hesabında birinci temel ödevde gördüğümüz,
AB. sin( AB) = y b − y a AB. cos( AB) = xb − x a formüllerinden faydalanılır. Bu formüllerde sin( AB ) ve cos( AB ) eşitliğin diğer tarafına alınarak AB kenarının hesap formülleri bulunur.
AB =
yb − ya xb − xa = sin(AB) cos(AB)
Görüldüğü gibi AB kenarı bir kere ordinatlar farkının sin( AB) ‘ye bölünmesinden, bir kere de apsisler farkının cos( AB) ’ye bölünmesinden elde edilir. Ancak hesap yapılırken hassasiyeti artırmak için, apsis ve ordinatlar farkının hangisi büyük ise onunla işlem yapılır. ( AB ) semt açısı 50g ‘dan küçük olduğu zaman ∆x ’ ler ∆y ’ lerden büyük, semt açısı 50g ile 100g arasında bulunduğu zaman ise ∆y ’ ler ∆x ’lerden büyüktür. Buna göre, açı 50g ‘dan küçük ise kosinüsü alınarak ∆x buna bölünür. Açı 50g ile 100g arasında ise sinüsü alınır ve ∆y buna bölünerek AB kenarı bulunur. 100g dan büyük açılarda 100g çıkarılıp geriye kalan dar açı ile hesap yapılacağı için yine yukarıda anlatıldığı gibi işlem yapılır.
23
K
yb-ya
xb-xa
+X
(AB) AB
A
B
xb
xa
ya
+Y
yb
Şekil 2.10: İkinci temel ödev
Örnek Verilenler y b = 902,34 m
y a = 816,42 m Çözüm
xb = 4142,06 m x a = 4018,25 m
İstenenler ( AB )=?
AB =?
tan ( AB )=
yb − ya ∆y = eşitliğinden, xb − xa ∆x
tan ( AB )=
yb − ya ∆y 85,92 = = = tan(AB) = 0,693967 buradan, xb − xa ∆x 123,81
( AB )= 38g,6215 bulunur.
AB =
yb − ya xb − xa = eşitliğinden, sin(AB) cos(AB)
AB =
yb − ya xb − xa 85,92 123,81 = = = = 150,70 m bulunur. g sin(AB) cos(AB) sin 38 ,6215 cos a38 g ,6215
2.4.3. III. Temel Ödev Bir AB doğrusunun semt açısı ve bu doğru ile diğer bir BP doğrusu arasındaki β açısı veriliyor. BP doğrusunun semt açısı isteniyor.
24
+X
+X A
A (BA) (BP) β
β P
B
(BP) P
B (BA) +Y
+Y
Şekil 2.11
Şekil 2.12
Şekil 2.11 den kolayca görüldüğü gibi ( BP) = ( BA) + β dır (1. örnek). Ancak Şekil 2.12’de ( BA ) semti ile β açısının toplamı 400g’ dan büyük olmaktadır. Bir açıya 400g ilave edildiğinde veya çıkarıldığında o açının değeri değişmeyeceğinden 400g dan büyük çıkan açılardan 400g çıkarılarak ( BP ) semt açısı bulunur (2.örnek). ( BA ) semt açısı yerine ( AB ) semt açısı verilmiş ise ( BA )=( AB )±200 olduğu için yukarıdaki formülde ( BA ) nın değeri yerine konulacak olursa ( BP )=( AB )+ β ±200g bulunur ( 3. örnek). Örnekler 1
2
Verilenler ( BA ) = 49 g,6555 β = 46 g,5332 istenen ( BP ) =?
Verilenler ( BA ) = 350 g,4356 β = 110 g,6754 İstenen ( BP ) =?
Çözüm
Çözüm
3 Verilenler ( AB ) = 150 g,4356 β = 110 g,6754 İstenen ( BP ) =? Çözüm
( BP ) =( BA )+ β ( BP ) = ( AB )+ β ± 200 ( BP ) = ( BA )+ β ( BP )= 49,6555 + 46,5332 ( BP ) =350,4356 + 110,6754 ( BP ) =150,4356+110,6754-200 ( BP )=261,1110–200 ( BP )= 96 g,1887 bulunur. ( BP ) =461,1110 >400 ( BP )=61 g,1110 bulunur. ( BP ) =461,1110 – 400 g ( BP ) = 61 ,1110 bulunur.
2.4.4. IV. Temel Ödev A, B, P gibi üç noktanın koordinatları veriliyor. Bu noktaları birleştiren doğrular arasındaki β açısı isteniyor.
25
+X
+X A
A (BA) (BP) β
β P
B
(BP) P
B (BA) +Y
+Y
Şekil 2.13
Şekil 2.14
Şekil 2.13’ te görüldüğü gibi (BP)-(BA)=β’dır. Şekil 2.14’ te (BP)<(BA) olduğu için (BP)=400g+(BP) olarak düşünülmelidir. O zaman yine 400g+(BP) - (BA)=β olur. A, B, P noktalarının koordinatları verildiğine göre (BP) ve (BA) semtleri ikinci temel ödeve göre hesaplanabilir. Hesaplanan semtlerin β açısı elde edilir. Örnekler 1
2
3
Verilenler
Verilenler
Verilenler
(BA) = 49 g,6555 (BP)= 96 g,1887
(BA) = 350 g,4356 (BP)= 61 g,1110
(AB) = 150 g,4356 (BP)= 61,1110g
İstenen
İstenen
İstenen
β=?
β=?
β=?
Çözüm
Çözüm
Çözüm
(BP)= (BA)+ β (BP)-(BA)=β β=(BP)-(BA) β=96,1887-49,6555 β= 46 g,5332 bulunur.
(BP)= (BA)+ β 400g+(BP) - (BA)=β β=400g+(BP) - (BA) β=400+61,1110-350,4356 β= 110 g,6754 bulunur.
(BP)= (AB)+ β ± 200 (BP)-(AB) ±200=β β=(BP)-(AB) ±-200 β= 200 +61,111-150,4356 β= 110 g,6754 bulunur.
26
DEĞERLENDİRME ÖLÇEĞİ DEĞERLENDİRME ÖLÇEĞİ Sevgili öğrenciler: Aşağıda hazırlanan değerlendirme ölçeğine göre kendinizin veya arkadaşınızın yaptığı çalışmayı değerlendiriniz. Gerçekleşme düzeyine göre evet hayır seçeneklerinden uygun olanı kutucuğa işaretleyiniz.
İŞLEM KONTROL LİSTESİ Dersin Trigonometri adı Jeodezik birim daire ve temel ödev Amaç hesaplarını kuralına uygun çözebilme becerisinin ölçülmesi Konu Jeodezik Birim Daire ve Temel Ödevler
1
Öğrencinin Adı soyadı Sınıfı Nu
DEĞERLENDİRME KRİTERLERİ (Temel ödev konusunda) Size verilen soruyu anladınız mı?
2
Şekil üzerinde nerenin hesaplanacağını buldunuz mu?
3
B noktası koordinat formüllerini çıkartabildiniz mi?
4
Yapacağınız sadeleştirmeleri görebildiniz mi?
5
I. temel ödev formülünü çıkartabildiniz mi?
6
Formülü yazabildiniz mi?
7
Formülde verileri yerlerine koyabildiniz mi?
8
Matematiksel işlemi doğru yapabildiniz mi?
9
Doğru sonucu bulabildiniz mi?
EVET
HAYIR
Toplam Evet ve Hayır Cevap Sayıları
Bu değerlendirme sonucunda eksik olduğunuzu tespit ettiğiniz konuları tekrar ederek eksikliklerinizi tamamlayınız.
27
UYGULAMALAR İşlem basamakları
Öneriler
¾ Daha önce arazide ölçümü yapılmış poligon noktalarını gösteren bir kanava temin ediniz. ¾ Kanava üzerindeki ölçülerden yararlanarak temel ödevlerin hesapları yapınız. ¾ Yaptığınız hesaplarla kanava üzerindeki ölçüleri karşılaştırarak hesabın doğruluğunu test ediniz.
¾ Seçeceğiniz kanava tüm temel ödevlerin hesaplarını yapmanıza yardımcı olacak bir kanava olmalıdır
28
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME A- OBJEKTİF TESTLER (ÖLÇME SORULARI) Aşağıdaki soruların doğru cevaplarını daire içine alınız. 1. Düzlemde merkezi dik koordinat sisteminin (X,Y) başlangıç noktasına çakışık ve yarıçapı “1” birime eşit olan daireye ………………………………denir. Noktalı yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) koordinat
B) birim daire
C) orjin
D) apsis
2. Cos 350g değerini I. bölgedeki açı cinsi aşağıdakilerden hangisidir?. A) α=50g ψ=60g
B) α=40g ψ=50g
C) α=60g ψ=40g
D) α=50g ψ=50g
3. A noktasının koordinatları y a =1050,00 m, x a =1300,00 m ve AB = 850,00 m, ( AB )=83g,1500 olarak ölçülmüştür. Bu değerlere göre y b ve xb koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) y b =1870,40 m B) y b =1870,56 m
xb =1522,36 m
C) y b =1873,45 m
xb =1522,46 m
xb =1525,53 m
D) y b =1860,40 m
xb =1512,36 m
4. A ve B noktalarının koordinatları y a =5000,00 m, y b =5219,51 m, x a =5000,00 m,
xb =6077,87 m olarak verildiğine göre (AB) semt açısı ve AB uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir? A) (AB)=12 g,7980 B) (AB)=12 g,7800 AB=1100,36 m AB=1100,50 m
C) (AB)=12 g,7900 AB=1100,00 m
D) (AB)=12 g,7955 AB=1110,46 m
5. A ve B noktalarının koordinatları y a =5000,00 m, y b =5744,86 m, x a =5000,00 m,
xb =4424,47 m olarak verildiğine göre (AB) semt açısı ve AB uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir? A) (AB)=141 g,8800 AB=941,30 m
B) (AB)=141 g,8590 C) (AB)=141 g,8850 D) (AB)=141 g,7800 AB=941,50 m AB=942,30 m AB=941,40 m
29
6. A ve B noktalarının koordinatları y a =5000,00 m, y b =4576,97m, x a =5000,00 m,
xb =5791,44 m olarak verildiğine göre (AB) semt açısı ve AB uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir? A) (AB)=368 g 7302 B) (AB)=368 g,7502 AB=896,40 m AB=897,40 m
C) (AB)=369 g,7502 AB=897,50 m
D)(AB)=369 g,7302 AB=896,50 m
7. Bir AB doğrusunun semt açısı (AB)=39,1881g ve bu doğru ile diğer bir BA doğrusu arasındaki β açısı β =54 g,5338 olarak verildiğine göre BP doğrusunun semt açısı (BP) aşağıdakilerden hangisidir? A) (BP)=92 g,7219
B) (BP)=92 g,7230
C) (BP)=93 g,7230
D) (BP)= 93 g,7219
8. Bir AB doğrusunun semt açısı (AB)= 365,1921g ve bu doğru ile diğer bir BA doğrusu arasındaki β açısı β =120,1218g olarak verildiğine göre BP doğrusunun semt açısı (BP) aşağıdakilerden hangisidir? A) (BP)=85 g ,3039
B) (BP)= 85 g,3139
C) (BP)=85 g 3150
D) (BP)= 85 g,3040
9. Bir BP doğrusunun semt açısı (BP)=89,1641g ve bu doğru ile diğer bir BA doğrusunun semt açısı (BA)=27,1891g olarak verildiğine göre bu doğruların arasındaki β açısı aşağıdakilerden hangisidir? A) β =60 g ,9750
B) β =61 g,9650
C) β =61 g,9750
D) β =60 g,9760
DEĞERLENDİRME Cevaplarınızı cevap anahtarı ile karşılaştırınız. Doğru cevap sayısını belirleyerek kendinizi değerlendiriniz. Yanlış cevap verdiğiniz ya da cevap verirken tereddüt yaşadığınız sorularla ilgili konuları faaliyete geri dönerek tekrar inceleyiniz.
Tüm sorulara doğru cevap verdiyseniz modül değerlendirmeye geçiniz.
30
MODÜL DEĞERLENDİRME MODÜL DEĞERLENDİRME Öğretmeniniz, modüldeki faaliyetleriniz ve araştırma çalışmalarınız sonunda kazandığınız bilgi ve becerilerinizi ölçme araçlarıyla ölçerek sizin modül ile ilgili durumunuzu değerlendirecek ve sonucunu size bildirecektir. Öğretmeninizin arazide göstermiş olduğu noktaların ölçümünü basit bir şekilde yapınız. Ölçüm sonucuna göre şekli çiziniz. Ortaya çıkan şekilde problemi çözmeye çalışınız. ( 1. 2. modül değerlendirme testlerine göre )
PERFORMANS TESTİ Dersin adı Amaç
Konu
Trigonometri Öğrencinin Gerekli ortam sağlandığında temel ödev hesaplarını kuralına uygun olarak Adı soyadı yapabileceksiniz.
Arazide verilen iki noktanın uzaklığını koordinat sisteminden yararlanarak bulmak.
Sınıf No Başlangıç saati Bitiş saati Toplam süre
Zaman DEĞERLENDİRME ÖLÇEĞİ 1
Noktaları arazide tespit edebildiniz mi?
2
Engelden dolayı ölçülemeyen iki noktanın uzaklığını bulmak için koordinat sistemini kurdunuz mu?
3
Ölçümleri doğru yaptınız mı?
4
İstenilen şekli kağıt üzerine çıkarabildiniz mi?
5
Ortaya çıkan şekli anladınız mı?
6
Temel ödev kurallarını biliyor musunuz?
7
Bu formülleri yazabildiniz mi?
8
Bilinenleri formülde yerine koydunuz mu?
9
Matematiksel işlemleri doğru yapabildiniz mi?
10
İşlem sonucu doğru mu?
EVET
Toplam Evet ve Hayır Cevap Sayıları Not: Zümre öğretmenler kararı ile farklı performans testi uygulanabilir. 31
HAYIR
CEVAP ANAHTARLARI CEVAP ANAHTARI ÖĞRENME FAALİYETİ- 1’İN CEVAP ANAHTARI Sorular 12345678-
Cevaplar a b d d b b c d
ÖĞRENME FAALİYETİ 2’İN CEVAP ANAHTARI Sorular 123456789-
Cevaplar b d a c a b d b c
32
ÖNERİLEN KAYNAKLAR ÖNERİLEN KAYNAKLAR Belediyelerin harita kadastro müdürlükleri, iller bankası, özel harita büroları, Internet siteleri.
33
KAYNAKLAR KAYNAKLAR ¾ ERKAN Hüseyin, Kadastro Tekniği, TMMOB Yayını, Ankara, 1991 ¾ ERSOY Dr. Nihat, Trigonometri, S.H.Ç.E.K. Basımevi, Ankara, 2001 ¾ İŞÖZEN Ekrem, Tatbiki Topografya, Kısmet Matbaası, Adana, 1976 ¾ ÖZGEN M. Gündoğdu, Topografya, İTÜ Matbaası, İstanbul, 1984 ¾ SONGU Celal, Ölçme Bilgisi, Cilt 1–2, Birsen Yayın Evi, İstanbul, 1981
34
