DIMENZIONISANJE PRESEKA NAPREGNUTIH KOSIM SAVIJANJEM Naprezanje u dve ortogonalne ravni naj eš#e se sre#e kod stubova prostornih okvira i kod elemenata nepravilnih popre nih preseka. Presek je istovremeno napregnut momentima savijanja oko glavnih osa x i y uz normalnu silu (pritiska ili zatezanja) ili bez nje ( isto koso savijanje). Dimenzionisanje na koso savijanje je vrlo obiman posao, zato što položaj i smer neutralne ose ne zavisi samo od popre nog preseka, ve # i od položaja sile, pa obi no nije upravna na ekscentricitet. Položaj i smer neutralne ose odre %uje se simultanim zadovoljenjem tri jedna ine ravnoteže: N = 0 ; Mx = 0; My = 0 .
∑
∑
∑
Nosivost preseka napregnutog kosim savijanjem može se prikazati pomo#u površi granine nosivosti (slika 6) u interakciji grani nih momenata savijanja Mux i Muy i granine normalne sile N u. Svaka taka na grani noj površi oznaava jedan odnos momenata savijanja i normalne sile koji #e uzrokovati lom preseka. Horizontalne krive grani ne površi prikazuju dijagram interakcije za konstantnu normalnu silu N u. Matematiki izraz za krivu interakcije praktino nije mogu #e dobiti zbog velikog broja faktora koji uti u na njen oblik. Pojedine take granine površi dobijaju se teorijski i eksperimentalno. 0 Momenti Muy za θ ≠ 0 manji su od momenata Muy0, odnosno momenti M ux za θ ≠ 90 od 0 momenata Mux0. Za θ = 0 bi #e Muy = Muy0, Mux = 0, a za θ = 90 : Mux = Mux0, Muy = 0, tj. prisutno je savijanje samo oko jedne ose.
Slika 6 - Površ grani granine nosivosti (interakcije) Za unapred pretpostavljeni pravougaoni presek, što je naj eš#e u praksi, i uz poznate unutrašnje sile (M x, My, N) potrebno je još prora unati armaturu. Postupak se sastoji u pronalaženju položaja i smera neutralne ose, te dimenzionisanju preseka sa trougaonom ili trapeznom pritisnutom površinom metodom grani nih stanja. Budu #i da je ovaj postupak dug, mogu se koristiti a proksimativni prorauni, gde nije potrebno prona #i položaj i smer neutralne ose. Ovde #e biti prikazani neki od tih postupaka.
12
Pravougaoni preseci napregnuti kosim savijanjem sa normalnom silom pritiska aproksimativni postupci dimenzionisanja
Bi#e prikazana dva približna postupka dimenzionisanja ovakvih preseka. 1. Jedan od najprihvatljivijih predloga za aproksimaciju površi interakcije dao je B. Bresler. Ovaj predlog sadrži izraz pomo #u kojeg se može izra unati nosivost elementa napregnutog kosim savijanjem sa normalnom silom ako se znaju jednoosne nosivosti pojedinano oko svake glavne ose i nosivost za centri nu normalnu silu. Izraz za grani nu nosivost ima oblik: 1 1 1 1 , = + − N u N ux N uy N uo gde je: Nu - granina normalna sila za koso savijanje Nux - granina normalna sila za jednoosno savijanje (e y = 0) Nuy - granina normalna sila za jednoosno savijanje (e x = 0) Nuo - granina normalna sila za e x = ey = 0. Prethodni izraz se ne može koristiti za direktno dimenzionisanje. Za konstruisanje horizontalnih kriva interakcije (N u = const.) Bresler predlaže aproksimativnu jednainu: n
m M uy M ux + = 1, M M nx 0 ny0
gde je: M ux = N u ⋅ e y
- raunski momenat savijanja oko x ose
= N u ⋅ e x
- raunski momenat savijanja oko y ose
M uy
Mnx0 i Mny0 m, n
- raunski momenti nosivosti jednoosnog savijanja - koeficijenti zavisni od geometrije preseka i svojstava materijala, a odre%uju se eksperimentalno.
2. Weber-ova metoda. Napravljeni su dijagrami interakcije za dva slu aja - prvi kada se sila nalazi na jednoj od glavnih osa, a drugi kada je ona na produžetku dijagonale, tj. na o pravcu koji zatvara ugao od 45 sa glavnim osama (slika 7). Za bilo koji ugao izme %u θ = 0 i θ = 45o predlaže se linearna interpolacija izme %u koliine armature za jednoosno savijanje i o koliine za koso savijanje pod uglom θ = 45 .
Slika 7 - Kriva interakcije za Nu = const.
13
I. Tomii# primenjuje poboljšanu metodu, tj. osim sile na dijagonalnom pravcu o o konstruiše i dijagrame za uglove θ = 15 i θ = 30 , ime se smanjuje greška prilikom interpolacije. Dijagrami su konstruisani za dve vrste elika i prilago%eni našem Pravilniku za beton i armirani beton. Postupak prora una kvadratnih preseka sastoji se u slede#em: Za odabrani betonski presek, kvalitet materijala i poznate ra unske uticaje, prora unaju se bezdimenzionalne vrednosti: N u nu = f B' ⋅ d ⋅ h
mu
=
Mu f B'
⋅d ⋅h
2
;
Mu
= N u ⋅ e ;
e = e 2x
+ e2y ,
pa se u dijagramima interakcije oita mehaniki koeficijent armiranja armature uz jednu stranicu simetri no armiranog preseka bi #e: Aa
= µ⋅
f B'
σv
µ . Potrebna koliina
⋅d⋅h
gde je h = d - a statika visina preseka. Dijagrami interakcije mogu se koristiti i za pravougaone preseke (slika 8), s tim da se bezdimenzionalne veliine transformišu i prora una ugao θ: N u N u f B' ⋅ d ⋅ h
→
N u ⋅ e f B' ⋅ d ⋅ h 2
f B' ⋅ b ⋅ h
→
N u ⋅ e y f B' ⋅ b ⋅ h 2
e ⋅d ; tgθ = x e y ⋅ b
ey
e x ⋅ d 2 1+ e y ⋅ b
≥ ex .
Slika 8 - Karakteristike preseka Za sraunate bezdimenzionalne veliine i ugao θ prona %e se u dijagramima interakcije mehaniki koeficijent armiranja, pa se prorauna armatura uz jednu stranicu: Aa
= µ⋅
f B'
σv
⋅ b ⋅ h .
Pošto je za dijagram napona pritiska usvojen pravougaonik (umesto parabola + prava), potrebno je koristiti redukovanu ra unsku vrsto#u: f B'
= 0.95 ⋅ f B . 14
Pravougaoni preseci napregnuti kosim savijanjem sa normalnom silom zatezanja
Koso savijanje sa normalnom zatežu#om silom javlja se kod elemenata prostornih okvira optere#enih pretežno horizontalnim silama vetra ili zemljotresa, kao i kod elemenata nepravilnog preseka. Postupak odre%ivanja smera i položaja neutralne linije, za pretpostavljene dimenzije, zadovoljenjem tri jednaine ravnoteže, dug je i vezan za upotrebu ra unara, pa je razvijeno više pojednostavljenih postupaka dimenzionisanja kvadratnih i pravougaonih preseka. T. Hsu, na osnovu rezultata istraživanja, predlaže izraze koji se mogu koristiti za proveru nosivosti elemenata napregnutih na koso savijanje sa silom zatezanja ako se poznaju nosivosti preseka tih elemenata na savijanje oko glavnih osa i na centri no zatezanje. Modifikovani izrazi T. Hsua glase: 1.75
1.75
M + uy ≤1 M nyo 1.5 M uy N u M ux 1.5 ≤ 1 + + N M M o nxo nyo N u M ux + N M o nxo
za kvadratni presek
za pravougaoni presek
gde je Mnxo = Mnx moment nosivosti kada su Muy ili ex i Nu jednaki nuli, Mnyo = Mny moment nosivosti kada su Mux ili ey i Nu jednaki nuli. Za pronalaženje momenata nosivosti M nx i Mny mogu se koristiti dijagrami interakcije za naprezanje savijanjem oko jedne ose. Elementi napregnuti kosim savijanjem sa normalnom silom zatezanja ili bez nje mogu se i direktno dimenzionisati koriš #enjem odgovaraju#ih dijagrama interakcije. Postupak prora una sastoji se u slede#em: Za odabrani betonski presek (slika 8), kvalitet materijala i poznate ra unske uticaje proraunavaju se bezdimenzionalne vrednosti: N u nu = f B' ⋅ b ⋅ h mu
=
N u ⋅ e y f B' ⋅ b ⋅ h 2
e ⋅d tgθ = x ; e y ⋅ b
e x ⋅ d 2 1+ e y ⋅ b ey
≥ ex ,
pa se u dijagramima interakcije prona %e mehaniki koeficijent armiranja. Simetri na armatura uz jednu stranicu bi #e:
⋅ b ⋅ h σv f B' = 0.95 ⋅ f B - redukovana ra unska vrsto#a betona.
Aa gde je
= µ⋅
f B'
15
