1 KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA SMA http://matematika100.blogspot.com/ Disusun Oleh Angga Yudhistira
Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar 1. Diketahui pernyataan : 1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi 2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung 3. Ani tidak memekai paying Kesimpulan yang sah adalah. . . . . A. Hari panas B. Hari tidak panas C. Ani memakai topi D. Hari panas dan Ani memakai topi E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi
Jawab: Misal p = hari panas; q = ani memakai topi; r = ani memakai payung Maka, Pernyataan pada soal dapat di tulis: p
q
~𝑞 𝑣 𝑟 ~𝑟 ∴ Premis ~𝑞 𝑣 𝑟 equivalen dengan 𝑞 𝑝
𝑞
𝑞
𝑟
𝑟 sehingga didapat:
~𝑟 ∴ Dengan kaidah silogisme maka kesimpulan dari premis 1 dan 2 adalah p p
𝑟, sehingga didapat
𝑟
1
2 ~𝑟 ∴ ~𝑝 Dengan menggunakan modus tollen bisa ditarik kesimpulan yaitu ~𝑝 ( hari tidak panas) Jawaban : B
2. Bentuk 3 24 2 3 A.
32 2 18
B. 2 6
6
Jawab
dapat disederhanakan menjadi. . . . . . . C. 4 6
D. 6 6
E. 9 6
:
3 24 2 3( 32 2 18) 3 2 6 2 3(4 2 6 2) 6 6 8 6 12 6 2 6
jawaban B
log 5 5 log 3 log 45
3.
log15
A.
5 2
jawab
B.
C. 15
3 2
D.
3 5
E. 5
:
log 5 5 log 3 log 45 log 5 log 5 log 3 log 3.3.5 log15 log 3.5 1
1
log 5 log 5 2 log 32 log 3 log 3 log 5 log 3 log 5
5 5 log 5 log 3 2 2 log 3 log 5
5 (log 5 log 3) 2 (log 3 log 5)
5 2
2
3 jawaban A
22 log x
4. Jika x dan y
2
3 log y
A.
1 2 4
B.
Jawab
2 2
log y 1 5 , maka x y adalah. . . . . . . log x 4 5
1 2 2
C.
D. 2 2
2
E. 4 2
:
22 log x 2 3 log y
2 2
log y 1 5 2 2 , misal * log x a dan * log y b log x 4 5
2a b 1 5 3b a 4 5
2
log x
2a 4b 5 3b 4a 5
1 2
x 2
2
log y 1
y2
2a 4b 5 2 4a 8b 10 4a 3b 5 1 4a 3b 5 5b 5 b 1
4a 3(1) 5
4a 5 3
a
1 2
x y 2 2 2 2
jawaban D
5. JIka ax2 2a 3 x a 6 0 mempunyai akar kembar, maka akar itu sama dengan. . . . . A. 5 jawab
B. 4
C.
1 4
D. 4
E. 5
:
x x
mempunyai akar kembar yaitu, D=0 D b2 4ac 0
1 1 1 x x 4 4 4
3
4 4 a a 6 0
1 5 25 x x 4 2 4
4a2 12a 9 4a2 24a 0
x 10 x 25
2
36a 9 0
x 5
36a 9
a
1 4
jawaban A 6. Diketahui persamaan kuadrat mx2 4x 2 0 akar – akarnya p dan q . Jika p 2 q 2 pq 3 dan
m 0 maka nilai m . . . . . . A. 8
B. 2
Jawab
:
mx2 4 x 2 0 , maka p q
C. 2
D.
8 3
E. 8
c 2 c 2 dan p q a m a m
p 2 q 2 pq 3
p q
2
2 pq pq 3
p q
2
pq 3
2
4 2 3 m m 16 2 3 m2 m
3m2 2m 16 0
3m 8 m 2 0
m
8 8 atau m 2 . Karena m 0 maka m 3 3
jawaban D 7. Diketahui dan adalah akar – akar persamaan x2 2 x 4 0 . Persamaan kuadrat yang akar – akarnya
dan adalah. . . . . .
A. x2 3x 1 0
C. x2 2 x 4 0
B. x2 3x 4 0
D. x2 2 x 4 0
Jawab
E. x2 3x 1 0
:
4
5 x2 2 x 4 0 , maka
b 2 c 4 2 dan 4 a 1 a 1
2 2 2 2 2(4) 3 4 2
2
4 1 4
Persamaan kuadrat baru : x 2
x 0
x2 3 x 1 0
x 2 3x 1 0
jawaban E 8. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 y 2 2 x 6 y 7 0 di titik yang berbasis 5 adalah. . . . . . A. 4 x y 18 0
C. 4 x y 10 0
B. 4 x y 4 0
D. 4 x y 4 0
Jawab
E. 4 x y 15 0
:
Untuk absis x = 5 maka 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 6𝑦 − 7 = 0 25 + 𝑦 2 − 10 − 6𝑦 − 7 = 0 𝑦 2 − 6𝑦 − 8 = 0 𝑦=2 𝑉 𝑦=4 Diperoleh titik (5,2) dan (5,4) Untuk titik (5,2) persamaan garis singgungnya adalah 1
1
5𝑥 + 2𝑦 + 2 −2 𝑥 + 5 + 2 −6 𝑦 + 4 − 7 = 0 4𝑥 − 𝑦 − 18 = 0 Jawaban A
9. Diketahui fungsi f dan g yang dirumuskan oleh f x 3x2 4 x 6 dan g x 2 x 1 . Jika nilai
f g x 101 , maka nilai x yang memenuhi adalah . . 3 2
A. 3 dan 2
C.
3 dan 2 11
E.
3 dan 2 11
5
6 3 2
B. 3 dan 2
D. 3
Jawab
3 dan 2 2
: f x 3x 2 4 x 6 , g x 2 x 1 dan f g x 101
dik : dit :
nilai x ?
jawab
: f g x 101 f 2 x 1 101 3 2 x 1 4(2 x 1) 6 101 2
3 4 x2 4 x 1 8x 4 6 101
12 x2 12 x 3 8x 4 6 101
3x 11 x 2 0 x
11 2 3 dan x 2 3 3
jawaban A
10. Diketahui f : R R yang ditentukan oleh f x 2
x3 , x 1 . Rumus invers dari f adalah f 1 , x 1
rumus f 1 x adalah. . . . . . . A.
x 1 x3
x3 x 1
B.
Jawab
C.
5 x x 1
D.
3x 1 x 1
E.
3x 1 x 1
:
f(x) =
𝑥+3 𝑥−1
=
𝑝−2 +3 𝑝−2 −1
=
𝑝+1 𝑝−3
𝑥+1
𝑓 𝑥 = 𝑥−3 Maka dengan menggunakan rumus invers didapat 𝑓 −1 𝑥 =
3𝑥 + 1 𝑥−1 Jawaban E
11. Diketahui fungsi f dan h , dengan f x 10x dan h x x 2 2 untuk setiap bilangan x real. Untuk
x 1 , maka f 1 h x 2 2 adalah . . . . . . .
6
7 A. log x 2 Jawab
C. log x2 2
B. log x 4
D. log x4 2
E. log x4 21
:
𝑓 −1 𝑥 = log 𝑥 Jadi 𝑓 −1 (𝑥 2 − 2) = log ( 𝑥2
2
+ 2 − 2)
= log x 4 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛𝐚𝐧 𝐁 12. Jika suku banyak p x 2 x3 6 x2 11x 3 dibagi dengan x2 3x 2 , maka hasil bagi dan sisa berturut – turut adalah . . . . . . . A. x 12 dan 43x 27
C. 2 x 12 dan 43x 27
B. 2 x 12 dan 43x 27
D. 2 x 12 dan 43x 27
Jawab
E. 2 x 14 dan 43x 27
: 2𝑥 + 12
x 3x 2 2
2𝑥 3 + 6𝑥 2 − 11𝑥 − 3 2𝑥 3 − 6𝑥 2 + 4𝑥 12𝑥 2 + 7𝑥 − 3 12𝑥 2 − 36𝑥 + 24 43𝑥 − 27
Jadi hasil bagi dan sisanya berturut-turut adalah 2𝑥 + 12 dan 43𝑥 − 27 Jawaban C 13. Suku banyak f x dibagi x 2 sisa 2 , dibagi x 1 sisa 4. Suku banyak g x dibagi x 2 sisa 1, dibagi x 1 sisa 2. Jika h x f x g x , maka sisa pembagian h x oleh x 2 x 2 adalah . . .... A. 2 x 6
C. 2 x 6
B. x 6
D. 6 x 2
Jawab
E. 6 x 2
:
𝑥 2 − 𝑥 − 2= 𝑥 − 2 (𝑥 + 1) Untuk x=2 𝑎 2 +𝑏 =𝑓 2 𝑔 2 2𝑎 + 𝑏 = 2 … … … … … … … … … . (1) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = −1
7
8 𝑎 −1 + 𝑏 = 𝑓 −1 𝑔 −1 −𝑎 + 𝑏 = 8 1 𝑑𝑎𝑛 2 2𝑎 + 𝑏 = 2 −𝑎 + 𝑏 = 8 3𝑎 = −6 𝑎 = −2
𝑏=6
Maka sisa pembagianya −2𝑎 + 6 Jawaban A 14. Jika x, y, z memenuhi persamaan linear 3x y 5
y 2 z 7 xz 5
maka nilai x y z . . . . . . A. 6 jawab
B. 4
C. 3
D. 4
E. 6
:
y 2 z 7 y 2 z 7
3x y 5 3x 2z 7 5 3x 2z 12 . . . . (*)
eliminasi (*) dengan x z 5 3x 2 z 12 1 3x 2 z 12 x z 5 3 3x 3z 15 z 3 z 3 x z 5 x3 5 x 2 y 2 z 7 y 2(3) 7 1
x y z 2 1 3 4
jawaban D 15. Daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini merupakan himpunan penyelesaian suatu system pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari f ( x, y) 7 x 6 y adalah . . . . . .
8
9 A.
88
B.
94
C.
102
D.
106
E.
196
20
15
12 jawab dik :
18
: 20 x 12 y 240 5x 3 y 60.....(*) 15x 18 y 270 5x 6 y 90.....(**)
dit : Nilai maksimum dari f ( x, y) 7 x 6 y jawab :
eliminai (*) dan (**) 5 x 3 y 60 5 x 6 y 90
3 y 30 y 10 5x 3 y 60 5x 3(10) 60 5x 30 x 6
sehingga f ( x, y) 7 x 6 y f (0,15) 7(0) 6(15) 90 f (12,0) 7(12) 6(0) 84 f (6,10) 7(6) 6(10) 102
Nilai maksimum f ( x, y) 7 x 6 y di titik (6,10) adalah 102 jawaban C 16. Luas daerah parkir 1760m2 . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4m2 dan mobil besar 20m2 , daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00 / jam dan mobil besar Rp2.000,00 / jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan dating,
maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah . . . . . . A. Rp176.000,00
C. Rp260.000,00
B. Rp200.000,00
D. Rp300.000,00
jawab
E. Rp340.000,00
:
dik :
9
10 mobil kecil (A)
mobil besar (B)
tersedi a
tempat parkir
4m2
20m2
kendaraan
1
1
biaya
Rp1.000,00
Rp2.000,00
1760m2
200
4 A 20B 1760 A 5B 440 A B 200
hasil maksimum tempat parkir dari f ( A, B) 1000 A 2000B ?
dit :
200
88
200
440
jawab : A 5B 440 A B 200
4B 240 B 60 sehingga A 60 200 A 140 f ( A, B) 1000 A 2000B f (0,88) 1000(0) 2000(88) 176.000 f (200,0) 1000(200) 2000(0) 200.000 f (140,60) 1000(140) 2000(60) 260.000
hasil maksimum tempat parkir adalah Rp260.000,00 jawaban C 3k 2 4 ; 2 6
17. Diketahui matriks A
13 2 3 2 B ; dan C . Nilai 2 5 8 5
k
yang memenuhi
A B C 1 ( C 1 = invers matriks C) adalah . . . . . . .
A. 2 jawab
1 3
B.
1 3
C. 1
D. 2
E. 3
2 3
: A B C 1
10
11 1
3k 2 4 13 2 3 2 3k 11 2 1 5 2 6 2 2 5 8 5 8 3 15 16 8 3 3k 11 2 5 2 3 8 3 8 3k 11 5 3k 6 k 2
jawaban D 18. Diketahui segitiga PQR dengan P 0,1, 4 , Q 2, 3, 2 , R 1,0, 2 . Besar PQR = A. 1200
B. 900
jawab
C. 600
D. 450
E. 300
:
PQ PR cos PQR PQ PR
2 0 2 1 0 1 PQ q p 3 1 4 dan PR r p 0 1 1 2 4 2 2 4 2
PQ PR cos PQR PQ PR
2 1 4 1 2 2 2 2 2 (4) (2) 2 (1) 2 (1) 2 (2) 2
2 4 4 24 6
6 2 6 6
6 1 12 2
PQR 600
jawaban C 19. Diketahui vektor u 2i 4 j 6k dan v 2i 2 j 4k . Proyeksi vektor orthogonal u pada v adalah . . . ... A. 4i 8 j 12k
C. 2i 2 j 4k
B. 4i 4 j 8k
D. i 2 j 3k
jawab
E. i j 2k
:
Proyeksi u pada v
u v v v v
11
12 2 2 4 2 6 4 2i 2 j 4k 22 (2) 2 42 22 (2) 2 42
v
12
24
2i 2 j 4k 1 24
2
4 8 24 22 (2) 2 42
2i 2 j 4k 22 (2) 2 42
2i 2 j 4k i j 2k jawaban E
20. Persamaan bayangan garis 4 y 3x 2 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks 0 1 1 1 dilanjutkan matriks adalah . . . . . . 1 1 1 1
A. 8x 7 y 4 0
C. x 2 y 2 0
B. 8x 7 y 2 0
D. x 2 y 2 0
Jawab ′
:
𝑥 1 = 𝑦′ 1
0 −1 1 1 𝑥 1 0 = 𝑦 −1 −2
𝑥′ 𝑦′
1 −1
−1
𝑥 1 0 𝑦 = −1 −2 −
E. 5x 2 y 2 0
1 2 0 2 −1 −1
𝑥 𝑦
𝑥′ 1 2 0 ′ = −2 𝑦 −1 −1
1 2 𝑥′ 0 ′ =− 𝑦 2 −1 −1
𝑥′ 𝑦′
1 0 −1 −2
𝑥 𝑦
𝑥′ 𝑥 1 1 = 𝑦 − 𝑥′ − 𝑦′ 2
2
Hasil transformasi garis 4𝑦 + 3𝑥 − 2 = 0 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 1
1
4 − 2 𝑥 ′ − 2 𝑦 ′ ) + 3(𝑥 ′ )-2=0 𝑥 ′ − 2𝑦 ′ − 2 = 0 𝑥 − 2𝑦 − 2 = 0 Jadi persamaan bayangannya adalah 𝑥 − 2𝑦 − 2 = 0
Jawaban C
2
21. Persamaan peta suatu kurva oleh refleksi terhadap sumbu x , dilanjutkan dengan translasi adalah 3 y x 2 2 . Persamaan kurva semula adalah . . . . . . .
12
13 A. y x2 4 x 1
C. y x 2 2
B. y x2 4 x 1
D. y x 2 2
jawab 𝑥, 𝑦
E. y x2 4 x 3
: −2 −3
𝑥 ′ , 𝑦′
𝑥′ = 𝑥 − 2 ↔ 𝑥 = 𝑥′ + 2 𝑦′ = 𝑦 − 3 ↔ 𝑦 = 𝑦′ + 3 𝑦 = 𝑥2 − 2 𝑦+3= 𝑥+2
2
−2
𝑦 + 3 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 − 2 𝑦 = 𝑥 2 + 4𝑥 − 1 Sumbu x → −𝑦 = 𝑥 2 + 4𝑥 − 1 𝑦 = −𝑥 2 − 4𝑥 + 1 𝐉𝐚𝐰𝐚𝐛𝐚𝐧 𝐀 22. Seutas tali dipotong menjadi 52 bagian yang masing – masing potongan membentuk deret aritmatika. Bila potongan tali terpendek adalah 3 cm dan yang terpanjang adalah 105 cm, maka panjang tali semula adalah . . . . . . A. 5460
B. 2808
Jawab dik :
C. 2730
D. 1352
E. 808
: a 3cm dan U n 105
dit : S52 ? jawab :
Sn
n 52 a U n S52 3 105 S52 26 108 2808 2 2
jawaban B
23. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika dengan beda empat. Jika suku kedua dikurangi 2, maka terbentuklah barisan geomatri dengan jumlah 13. Rasio barisan tersebut adalah . . . . . . A. 4
B. 3
jawab
:
C.
1 2
D.
1 2
E. 3
𝑥2 − 𝑥1 = 4 𝑥4 − 𝑥3 = 4 𝑥1 + 𝑥2 − 2 + 𝑥3 = 13 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 15
13
14 𝑥2 − 4 + 𝑥2 + 𝑥2 + 4 = 15 3𝑥2 = 15 𝑥2 = 5 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥1 = 1 Jadi rasio r =
𝑥 2 −2 𝑥1
=3 Jawaban B
24. Setiap hari minggu toko “LINGGAR “ buka lebih awal, mulai pukul 07.30 dan istirahat pada pukul 12.00, pengunjung toko tersebut datang silih berganti. Hasil pendataan tiap 15 menit, pengunjung bertambah secara konstan. 15 menit pertama banyak pengunjung 6 orang dan seluruh pengunjung sampai pukul 12.00 sebanyak 567 orang. Banyak pengunjung sampai pukul 09.00 adalah . . . . . . A. 21 orang
B. 27 orang
Jawab 𝑆18 =
C. 49 orang
D. 54 orang
E. 81 orang
: 18 2.6 + 18 − 1 𝑏 2
567 = 9 12 + 17𝑏 𝑏=3 Jadi jumlah pengunjung sampai jam 9 adalah 𝑆6 =
6 2
2.6 + 5.3
= 3 27 = 81
Jawaban E
25. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik potong AH dengan ED dan titik Q adalah titik potong FH dan EG . Jarak titik B ke garis PQ adalah . . . . . . .
A.
B.
22
C. 2 5
21
D. 19
E. 3 2
jawab
Q E P A
F 4 cm
C 4 cm B
D 4 cm
2
Panjang BP = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝑃2 =
42 + 2 2 = 16 + 8 = 24 = 2 6 ;
Panjang BQ = 𝐵𝐹 2 + 𝐹𝑄 2 =
42 + 2 2 = 16 + 8 = 24 = 2 6; dan
2
14
15 2
Panjang PQ = 𝐸𝑃2 + 𝐸𝑄 2 =
2
2 2 + 2 2 = 8 + 8 = 16 = 4
Dengan menggunakan rumus heron maka luas ∆ BPQ adalah 𝐿=
𝑠 𝑠 − 𝐵𝑃 𝑠 − 𝐵𝑄 (𝑠 − 𝑃𝑄) ; 1
1
dengan s= 2 (BP+BQ+PQ)= 2 (2 6+2 6+4)= 2 6 + 2 𝐿=
(2 6 + 2) 2 6 + 2 − 2 6
𝐿=
(2 6 + 2) 2
𝐿=
(2 6 − 22 ) 2
𝐿=
(24 − 4) 2
𝐿=
(20) 2
2 6 + 2 − 2 6 ( 2 6 + 2 − 4)
2 ( 2 6 − 2)
2
2
2
2
𝐿 = 2 20 = 4 5 ……………………………………………………(*) Karena luas ∆ BPQ L = 𝐿=
1 2
1 2
𝑃𝑄. 𝑡 ; dengan t adalah jarak titik B ke garis PQ
𝑃𝑄. 𝑡 1
4 5 = 2 4. 𝑡
(substitusi (*))
2 5=𝑡 Jadi diperoleh jarak titik B ke PQ adalah 2 5 Jawaban : C
26. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang alas ABCD adalah p , maka sin p adalah . . . . . . A.
1 3 2
B.
1 2 2
C.
1 2
D.
1 3 3
E.
1 2 3
15
16 Jawab :
H
G
E
F 6 cm 6 cm D P
A
6 cm C B
Panjang AC = 6 2 dan panjang PG = 𝐴𝐶 2 + 𝐶𝐺 2 = 𝐶𝐺
sin 𝑝 = 𝐴𝐺 = 6
6
1
2
6 2 + 62 = 6 3 , maka
1
3
=3 3
Jadi sin 𝑝 = 3 3 Jawaban : C 27. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF . Panjang rusuk alas AB = 5 cm, BC =7 cm AC = 8 cm. Panjang rusuk tegak 10 cm. Volume prisma tersebut, . . . . . . cm3 A. 100
C. 175
B. 100 3
jawab
D. 200
E. 200 15
:
D
E 10 cmC 8 cm
A
5 cm
7 cm B
Dari gambar diatas kita peroleh luas segitiga ABC ( L ) 1 𝐿 = 𝑠 𝑠 − 𝐴𝐵 𝑠 − 𝐵𝐶 (𝑠 − 𝐴𝐶) ; dengan s = 2 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 10 𝑐𝑚 𝐿 = 10 10 − 5 10 − 7 (10 − 8) 𝐿 = 300 𝑐𝑚2 = 10 3 𝑐𝑚2 ; sehingga kita dapatkan volume prisma tersebut adalah 𝑉 = 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 𝑥 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑉 = 𝐿 𝑥 𝑡 = 10 3 𝑥 10 𝑐𝑚3 = 100 3 𝑐𝑚3 Jawaban :B
28. Nilai dari A. 1
cos 500 cos 400 adalah. . . . . . sin 500 sin 400
C. 0
E. 1
16
17
B.
1 2 2
D.
jawab
1 3 2
:
cos 50°+cos 40° sin 50°+ sin 40°
=
1 1 2 2 1 1 2cos (50°+40°) cos (50°−40°) 2 2
2cos (50°+40°) cos (50°−40°)
=1
Jawaban : A
29. Diketahui segitiga MAB dengan AB 300cm , MAB 600 dan ABM 750 , maka AM . . . . . cm
A. 150 1 3 B. 150
2 3
C. 150 3 3
jawab
D. 150
2 6
E. 150
3 6
: A a
300 a B A a
M
ABM MAB AMB 1800
A a
750 600 AMB 1800 AMB 450 AB AM 300 AM 300 AM 0 0 1 1 1 sin AMB sin ABM sin 45 sin 75 2 6 2 2 4 4
AM
75 6 75 2 1 6 2
150 6 150 2 150 6 150 2 2 300 3 300 1 2 2 2 2 2
150 3 150 150( 3 1) 150(1 3)
jawaban B 30. Himpunan penyelesaian : cos 2x sin x 1 0 untuk 0 x 2 adalah . . . . . . . 1 6
5 6
A. 0, ,
1 6
5 6
C. 0, , , , 2
1 3
5 6
E. 0, , , , 2
17
18 B. 0, , 2
1 6
5 6
3 2
D. 0, , , , 2
jawab
:
cos 2x sin x 1 0 1 2sin 2 x sin x 1 0 2sin 2 x sin x 0
sin x 2sin x 1 0 sin x 2sin x 1 0 sin x 0 x 0
1 1 5 , karena 0 x 2 maka Hp 0, , 2 6 6
2sin x 1 0 sin x
jawaban A
31. Nilai lim x 3
x2 x 6
4 5x 1
A. 8
B. 6
jawab lim x 3
lim x 3
lim x 3
lim
E.
D. 8
: x2 x 6 4 5x 1 x2 x 6 4 5x 1
0 0
lim x 3
( x 3)( x 2) 4 5 x 1 4 5x 1 4 5x 1
5 x 1 4
lim ( x 3)( x 2) 4 15 5 x 5x 1
( x 3)( x 2) 4 5 x 1
4
( x 3)( x 2) 4 5 x 1 5( x 3)
x 3
C. 6
(3 2) 4 5(3) 1 5
5x 1
x 3
lim ( x 2) 4
5x 1
5
x 3
8 jawaban A
cos 2 x
32. Nilai lim ...... x cos x sin x 4 A. 0 jawab
B.
1 2 2
C. 1
D.
2
E.
:
18
19 cos2 x sin 2 x cos x sin x cos x sin x cos 2 x lim lim lim cos x sin x x cos x sin x x cos x sin x x 4 4 4
1 1 cos sin 2 2 2 2 4 4 2
jawaban D
33. Perhatikan kerangka kawat seperti pada gambar di bawah ini
x
x
x
Jika panjang kawat yang dibutuhkan120 cm, maka nilai x jika luasnya maksimum adalah . . . . . . . A. 6 m
B. 8 m
jawab
C. 10 m
D. 12
E. 14 m
:
Misalkan panjang kawat : 𝐾 = 𝑘 𝑥, 𝑦 = 6𝑥 + 4𝑦
6𝑥 + 4𝑦 − 120 = 0
Dengan panjang = 3x, lebar : y 𝐿 = 𝑙 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑦 Untuk mencari luas maksimum menggunakan metode lagrange ∇𝑘 𝑥, 𝑦 = 6𝑖 + 4𝑗 ∇ 𝑥, 𝑦 = 3𝑦𝑖 + 3𝑥𝑗 Diperoleh sistem persamaan titik kritis agar k kritis terhadap l: ∇𝑘 𝑥, 𝑦 = 𝜆∇𝑙 𝑥, 𝑦 6𝑖 + 4𝑗 = 𝜆 3𝑦𝑖 + 3𝑥𝑗 Maka : 2 6 = 𝜆3𝑦 𝑦 = 𝜆 4 4 = 𝜆3𝑥 𝑥 = 3𝜆 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘 𝑥, 𝑦 = 6𝑥 + 4𝑦 6𝑥 + 4𝑦 = 120 4 2 6 +4 = 120 3𝜆 〱
19
20 24 8 + = 120 3𝜆 𝜆 24 + 24 = 120 3𝜆 48 = 120 3𝜆 48 4 𝜆= = 360 30 Dengan demikian, 2 𝑦= = 15 𝑚 4 30 4 𝑥= = 10 𝑚 12 30 Jawaban : C 2
34. Nilai
2 x 1 2 x
2 3
dx . . . . . .
1
A. 600
B. 300
jawab
C. 0
D. 300
E. 600
: U 1 2x2
mial : 2
du du 4 x dx dx 4 x
2
2 3 2 x 1 2 x dx 2 xU 3
1
1
2
du 1 1 1 U 3 du U 4 4 x 21 2 4 1 2
4 2 4 4 2 1 1 1 2 x 2 1 2(2) 2 1 2(1) 2 1 1 8 8
1 2400 300 2401 1 8 8
jawaban B 4
35.
2sin x 6 cos x dx . . . . . . 2
A. 2 6 2 jawab
B. 6 2 2
C. 6 2 2
E. 6 2 2
:
4
2
2sin x 6cos x dx 2cos x 6sin x 4 2
D. 6 2 2
4 2cos 6sin 4 4 2
20
21 2cos 6sin 2cos 6sin 4 4 2 2
1 1 2 2 6 2 0 6 2 2 6 6 2 2 2 2
jawaban B 36. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x 2 dan garis x y 6 adalah . . . . . . . A. 54
B. 32
jawab
C. 20
5 6
D. 18
E. 10
2 3
:
𝑦 = 𝑥2 𝑥+𝑦 =6 𝑦 =6−𝑥 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑎𝑙𝑛𝑦𝑎, 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 𝑥+3 𝑥−2 = 0 𝑥 = −3 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 2 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑚𝑖𝑘𝑖𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 2
𝑥2 𝑥3 6 − 𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 = 6𝑥 − − 2 3
2
2
𝐿= −3
−3
8 9 − −18 − + 9 3 2 30 − 8 −18 − 9 = — 3 2 22 −27 = — 3 2 44+81 = 6
= 12 − 2 −
2
6 − 𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 20
𝐿= −3
5 6 Jawaban : C
37. Volum benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y x 1 dan sumbu x dari 2
x 1 dan , diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah . . . . .
A.
4 15
jawab
B.
8 15
C.
16 15
D.
24 15
E.
32 15
:
𝑦 = 𝑥 2 − 1 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 − 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎 𝑥 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = −1
21
22 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑦𝑎 1
1
𝑥2 − 1
𝑉=𝜋
2
−1
1
𝑉=𝜋 −1
𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1 𝑑𝑥
𝑑𝑥 = 𝜋 −1
1
𝑥 5 2𝑥 4 =𝜋 − +𝑥 5 3 −1 1 2 1 2 =𝜋 − +1 − − + −1 5 3 5 3 8 8 =𝜋 − − 15 15 16 𝑥 2 − 1 2 𝑑𝑥 = 𝜋 15 Jawaban : C
38. Perhatikan gambar berikut :
10
8
6
4
0 49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 Berat badan ( kg )
Berat badan siswa suatu kelas disajikan dalam histrogram seperti dalam gambar. Rata – rata berat badan tersebut adalah . . . . . . . A. 64,5 kg jawab berat
B. 65 kg
C. 65,5 kg
D. 66 kg
E. 66,5 kg
: badan
f
xt
fxt
50 – 54
4
52
208
55 – 59
6
57
342
60 – 64
8
62
496
65 – 69
10
67
670
(kg)
22
23 70 – 74
8
72
576
75 – 79
4
77
308
jumlah
40
Rata – rata :
2600
fxt 2600 65 f 40
jawaban B
39. Dari 12 orang yang terdiri atas 8 pria dan 4 wanita akan dibentuk kelompok kerja beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok kerja ini terdapat paling sedikit 2 pria, maka banyaknya cara membentuknya ada . . . . . . cara. A. 442
B. 448
C. 456
D. 462
E. 468
Jawab : Diketahui : 112 orang terdiri dari 8 pria dan 4 wanita dibentuk kelompok kerja beranggota 4 orang. Dalam kelompok kerja paling sedikit 2 pria. Ditanyakan : banyak cara pembentukannya…? Penyelesaian :
Anggota terdiri dari 4 orang dengan syarat sekurang-kurang beranggota 4 orang pria. Susunan yang mungkin adalah
2 pria dan 2 wanita
3 pria dan 1 wanita
4 pria
Banyak anggota yang dipilih dengan 2 pria dan 2 wanita adalah 8!
4!
𝐶28 × 𝐶24 = 2!6! × 2!2! = 28 × 6 = 168
Banyak anggota yang dipilih dengan 3 pria dan 1 wanita adalah 8!
4!
𝐶38 × 𝐶14 = 3!5! × 1!3! = 56 × 4 = 224
Banyak anggota yang dipilih dengan 4 pria adalah 8!
𝐶58 = 5!3! = 56 Dengan aturan penjumlahan, banyak susunan anggota secara keseluruhan adalah 168+224+56=448 Jadi, banyak susunan anggota yang dibentuk ada 448 macam. Jawaban : B
23
24 40. A, B, C dan D akan berfoto bersama secara berdampingan. Peluang A dan B berdampingan adalah . . ...
A.
1 12
B.
1 6
C.
1 3
D.
1 2
E.
2 3
Jawab: Diketahui : A, B, C dan D berfoto bersama secara berdampingan Ditanyakan : Peluang A dan B berdampingan? Penyelesaian :
Banyak susunan dari A, B, C dan D yang mungkin adalah 𝑃44 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Susunan A dan B berdampingan adalah ABCD, BACD, CABD, DABC ABDC, BADC, DBAC, DBAC BADC, ABDC, CBAD, CBAD Jumlah susunannya 12 Jadi, peluang A dan B berdampingan adalah
12 24
=
1 2
Jawaban : D
24
