U.N.F.V. – F.O.P.C.A. DIBUJO TÉCNICO Y GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
Ing. Enrique Morales C.
PROYECCION AXONOMÉTRICA Y OBLICUA A) PROYECCION PROYECCIONES ES AXONOMÉTR AXONOMÉTRICAS: ICAS:
La proyección Axonométrica es un sistema de representación gráfica de un objeto, consistente en repres represent entar ar eleme elemento ntoss geom geométr étrico icoss o volúme volúmene ness en un plano, plano, me media diante nte proyec proyecció ciónn ortogonal, referida a tres ejes ortogonales, de tal forma que conserven su proporciones en las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud. La proyección Axonométrica cumple dos propiedades importantes que la distinguen de la proyección cónica cónica:: •
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La escala escala del del objeto objeto repres represen entad tadoo no depe depend ndee de su distan distancia cia al observ observad ador or (equivalente a que el observador estuviera en el infinito). Dos líneas líneas paral paralela elass en la realid realidad ad son tam tambié biénn paral paralel elas as en su repres represen entac tación ión axonométrica.
Los tres ejes del plano proyectante se dibujan así: el referente a la altura suele ser vertical, y los referentes a longitud y anchura pueden disponerse con cualquier ángulo. Ver Fig. 1. La proyección Axonométrica tiene las siguientes características: a) Permite Permite visualiza visualizarr al objeto objeto mostrand mostrandoo su forma forma y dimension dimensiones. es. b) La posición posición del del objeto objeto es inclinado inclinado con respec respecto to al plano de proyec proyección ción,, ésta posición posición hace que muestre tres caras (vistas). c) Las líneas líneas visuales visuales son paralelas entre sí y perpendiculares perpendiculares al al plano de proyección. proyección. d) En la proyec proyecció ciónn Axonom Axonométr étrica ica el obser observa vador dor se encue encuentr ntraa ubica ubicada da en el infinito infinito.. Además utiliza utiliza solamente solamente un plano plano de proyección. proyección. Considerando que el objeto puede ubicarse en un número infinito de posiciones con respecto al plano de proyección, se puede obtener igual número de vistas, donde las longitudes de las aristas, tamaño de los ángulos y proporción de los objetos sufrirán variaciones. Sin embargo, para facilitar su estudio se ha establecido tres tipos de proyecciones axonométricas, axonométricas, en función de los ángulos que forman los ejes principales (Ejes Isométricos) con el plano de proyección: Proyección Isométrica, Dimétrica y Trimétrica.
Fig. 1: Teoría de la Proyección Axonométrica 1. PROYE PROYECCI CCION ON ISOMÉTR ISOMÉTRICA ICA::
Es cuando los ejes principales (Ejes Isométricos) forman ángulos iguales, de ésta manera las caras caras del del objeto objeto y sus ejes ejes princ principa ipales les (ejes (ejes isomé isométri tricos cos)) forma formann ángul ángulos os iguale igualess con respecto al plano de proyección. Además, Además, la proyección de los ejes isométricos forman entre sí ángulos de 120°, las medidas de sus proyecciones se reducen a 0,816 con relación a su verdadera longitud y se proyectan a un ángulo de 30° con respecto a la línea horizontal, además toda línea paralela a uno de los ejes isométricos se llama línea isométrica y una línea que no es paralela a ninguno de los ejes se llama línea no isométrica. En la Fig. 2 (a, b, c) se puede apreciar cómo se construye la proyección isométrica aplicando la teoría de los Planos Auxiliares, tanto al plano horizontal, frontal o perfil.
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DIBUJO ISOMETRICO
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PROYECCION ISOMETRICA
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Fig. 2(a): Construcción de la Proyección Isométrica desde la vista Horizontal 1 5
PROYECCION ISOMETRICA
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DIBUJO ISOMETRICO
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Fig. 2(b): Construcción de la Proyección Isométrica desde la vista Frontal
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PROYECCION ISOMETRICA
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DIBUJOISOMETRICO
Fig. 2(c): Construcción de la Proyección Isométrica desde la vista de Perfil Para dibujar un sólido en una proyección isométrica es necesario construir una escala isométrica, considerando que las medidas son iguales a 0,816 de las medidas reales. En cambio en el Dibujo Isométrico de un objeto las mediadas son proyectadas en verdadera magnitud a lo largo de sus ejes isométricos y líneas isométricas. El dibujo isométrico se proyecta sobre ángulos de 30° con respecta a la horizontal y es 22,5% aproximadamente mayor que la proyección isométrica, tal como se puede ver en la Fig. 3. Las líneas isométricas son todas las líneas paralelas a los ejes isométricos y se representan en verdadera magnitud. En cambio las líneas no isométricas, son todas las líneas oblicuas (no paralelas) a los ejes isométricos y no se proyectan en verdadera magnitud, y no pueden medirse directamente; sin embargo, su ubicación y medidas se obtienen proyectando sus extremos. En un dibujo isométrico las líneas de contorno no visible (ocultas) deben omitirse, a menos que sea absolutamente necesario para aclarar el dibujo o parte del mismo.
Fig. 3: Dimensiones en un Dibujo Isométrico y en una Proyección Isométrica
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Siendo la perspectiva isométrica una proyección geométrica sobre un plano según un eje perpendicular al mismo, sus características y relaciones pueden ser calculadas analíticamente mediante la trigonometría. Considerando la arista de un cubo que va desde el origen al punto (0,0,1), si su intersección con el plano de proyección define un ángulo α, la proyección tendrá una longitud equivalente al coseno de α. Ver Fig. 4. •
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α es también el ángulo entre la perpendicular al plano de proyección que pasa por el origen y por el punto (1,1,1) y la bisectriz de los ejes x e y que pasan por (1,1,0). el triángulo formado por los puntos (0,0,0), (1,1,0) y (1,1,1) es rectángulo, por lo que el segmento [(0,0,0),(1,1,0)] tiene una longitud equivalente a √2 (diagonal del cuadrado), el segmento [(1,1,0),(1,1,1)] tiene una longitud igual a 1, y la hipotenusa [(0,0,0),(1,1,1)] tiene una longitud √3.
En consecuencia: Cos α = √ (2/3) ≈ 0,816. Puede deducirse que α ≈ 35,16 °.
Fig. 4: Angulo de Proyección y Proporción en una Proyección Isométrica 2. PROYECCION DIMÉTRICA:
Es cuando los ejes principales (Ejes Isométricos) forman dos ángulos iguales y el tercero diferente. El dibujo parte de dos ángulos con la misma amplitud y otro ángulo de amplitud diferente para formar los tres ejes que se utilizan para el trazado del objeto. Los ángulos más usuales para esta perspectiva son 105° y 30°, aunque también se trabaja con 45° sobre la línea horizontal. Esta perspectiva, o proyección es usual para representar piezas más largas que anchas y altas. 3. PROYECCION TRIMÉTRICA:
Es cuando los ejes principales (Ejes Isométricos) forman tres ángulos diferentes. En el dibujo el objeto tridimensional se encuentra inclinado con respecto al plano del cuadro de forma que sus tres ejes principales sufren reducciones distintas. Se suele trabajar con ángulos de 15° y 75° sobre la línea horizontal. En la Fig. 5 podemos apreciar cómo la diferencia en los ángulos y proporciones en los tipos diferentes e proyecciones axonométricas.
Fig. 5: Angulo en los ejes de una Proyección Axonométrica
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La Fig. 6 expone varios dibujos axonométricos de un cubo en diversas escalas acompañado con una tabla de proporciones, los ángulos R y S indican la dirección de las proyectantes respecto de la líneas de pliegue y los ángulos X e Y indican la dirección de los ejes axonométricos respecto de una línea horizontal en el plano de dibujo.
Fig. 6: Dibujos axonométricos de un cubo
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Recordemos que en una Proyección Cilíndrica, cuando el punto de observación se encuentra a una distancia tan grande del objeto cercano al infinito, las líneas proyectantes se hacen paralelas al interceptarse con el plano de proyección. Los principales tipos de proyección cilíndrica son: La proyección Ortogonal (Fundamento de la Geometría Descriptiva) y la proyección Oblicua. (Ver Fig. 7)
Fig. 7: Tipos de Proyección Cilíndrica B) PROYECCION OBLICUA
Se obtiene cuando las líneas proyectantes no son perpendiculares al plano de proyección, tal como se aprecia en la Fig. 7. Preferentemente al dibujar en proyección oblicua se coloca el plano de proyección paralelo a una de las caras principales del objeto; ya que de esta forma dicha cara se proyectará en verdadero tamaño.
Proyección Oblicua
Proyección Ortogonal
Fig. 8: Proyección Oblicua Al definir una proyección oblicua el eje recedente (eje de profundidad del objeto) se puede proyectar formando cualquier ángulo con respecto a los otros dos ejes; e independientemente del ángulo, la profundidad del objeto se puede proyectar en cualquier longitud (teóricamente hasta una longitud infinita). Por eso al dibujar en proyección oblicua, se traza el eje recedente (eje Z) a cualquier ángulo, y se miden las profundidades sobre él en cualquier escala (Fig. 8).
Fig. 9: Vista espacial en la Proyección Oblicua
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Sin embargo, la escala a utilizar para el eje recedente debe elegirse en forma intuitiva, en función del ángulo en que se dibuje, de modo que la representación del objeto muestre una apreciación real de su forma y proporciones. Entre las proyecciones oblicuas más utilizadas se pueden mencionar a la Proyección Caballera y Gabinete. 1. PROYECCION CABALLERA
Se originó en el dibujo de las fortificaciones medievales, para su construcción supongamos que estamos observando un objeto cuyos lados son paralelos a los ejes de coordenadas. El plano de visualización será paralelo a la cara frontal (paralelo al plano XY). Para la proyección caballera, la dirección de proyección esta inclinada de tal forma que los puntos con coordenadas Z positivas serán proyectados abajo y a la izquierda en el plano de visualización. Los puntos con coordenadas Z negativas serán proyectados arriba a la derecha. El ángulo A del eje Z proyectado puede ser el que queramos, pero la distancia a la que el punto está situado en la dirección Z proyectada debe ser igual a la distancia real del punto al plano de visualización. Esta restricción facilita la tarea del delineante. Sin embargo, el resultado es un objeto que parece alargarse a lo largo del eje Z. (ver Fig.10)
Fig. 10: Proyección Caballera 2. PROYECCION GABINETE:
Recibe este nombre debido a que se usó grandemente en la industria del mueble, es una alternativa a la perspectiva caballera, que sigue siendo fácil de construir, es llevar sólo la mitad de la distancia real sobre el eje Z proyectado. (Ver Fig. 11)
Fig. 11: Proyección Gabinete Generalmente el ángulo A del eje Z de la proyección caballera y gabinete es de 45°, sin embargo algunos prefieren trabajar la proyección gabinete con un ángulo de 30° para el eje Z. En la Fig. 12 podemos apreciar las diferencias entre ambas proyecciones oblicuas.
Fig. 12: Comparación entre las proyecciones caballera (A) y gabinete (B)
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Construcción de un dibujo Oblicuo:
El dibujo oblicuo generalmente se emplea para representar objetos cilíndricos o que estén conformados por arcos, en razón de que los planos de proyección son paralelos a dichas superficies, proyectándose en su forma y medidas reales. Para obtener la proyección de un dibujo oblicuo (proyección caballera) se realiza el siguiente procedimiento, tal como se aprecia en la Fig.13: 1. Se trazan los ejes oblicuos, dos de los cuales son paralelos al plano de proyección, el tercer eje forma un ángulo de 45° con respecto a la horizontal. 2. Sobre los ejes se toman las medidas reales del objeto (ancho, altura y profundidad) construyendo una caja cúbica o rectangular. 3. Luego de ubicar los centros se trazan los círculos y/o arcos respectivos. 4. Seguidamente, se trazan las rectas tangentes y otras características del dibujo oblicuo. 5. Finalmente, se realiza el acabado del sólido mostrando su forma y otras características que lo definen. Fig. 13: Construcción de un dibujo Oblicuo
Posición de los ejes en la proyección oblicua:
Como dijimos los ejes pueden formar cualquier ángulo con respecto a la línea horizontal; sin embargo, debe seleccionarse el ángulo apropiado que permita visualizar la forma y características significativas del objeto. En la Fig. 14, se muestran los ángulos más usuales que forman los ejes oblicuos con la horizontal.
Fig. 14: Posición de los ejes en la proyección oblicua