Sabemos que la curvatura de una viga esta directamente relacionada con las cantidades de momento (M), momento de inercia (I) y el modulo de elasticidad (E). Como expresa la ecuación de la curva
=
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Debido a que generalmente el momento varia a lo largo del claro de la viga, la curvatura obviamente también varia, en consecuencia seria bastante difícil determinar la forma completa de la curva elástica en estas circunstancias. Por lo que es necesario expresar la forma de la curva elástica en términos de sus coordenadas (x,y).
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Con una distancia x del punto de origen O al soporte, tenemos un incremento de longitud dL que tendrá un cambio de pendiente de un extremo al otro de d θ. Así, dL=rdθ, obteniendo:
dθ
=
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Para ángulos pequeños o flexiones pequeñas dy/dx=tan θ= θ y dL ≈ . Así: dθ
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dθ
≈
=
2 2
Por lo tanto la ecuación anterior se convierte en: 2 2
=
1
•
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Combinando la ecuación 1 y 2 tenemos: 2 = 2 Que es la ecuación de la curva elástica de la viga.
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Debemos ser cuidadosos en la convención de los signos. Teóricamente el momento se supone positivo cuando la curva elástica era cóncava hacia arriba.
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Así correspondiendo al momento positivo tenemos la curvatura positiva de 1/r, la cual a su vez hace que
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sea positiva.
En relación al momento positivo, hay un cambio positivo en la pendiente, esto es,
Podemos concluir que cantidad del momento.
dθ
es positivo cuando M es positivo.
y
dθ
asumen el mismo signo que la
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Ahora procedemos a interrelacionar de manera significativa las cantidades de y (flexión), θ (pendiente), M (momento), V (cortante) y w (peso) tenemos que:
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=
En este caso tenemos que: dθ
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= , y
=
y
d
=θ
En consecuencia podemos relacionar todas estas cantidades en función de x y y de la siguiente manera:
Flexión =
Pendiente d
= θ
Momento dθ
=
2 2
=
Cortante
3 3
=
=
Carga
4 4
=
=
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Las relaciones anteriores entre w, V y M son útiles para dibujar los diagramas de corte y de momento.
