La hiperbola

Hipérbola

Índice La hipérbola.  La hipérbola como lugar geométrico.  Elementos de la hipérbola.  Ecuación analítica de la hipérbola.  Ecuación analítica de la hipérbola con centro en (p, q).  Asíntotas.  Ejemplo.  Propiedad de rele!ión de la hipérbola. 

Hipérbola



La hipérbola, se origina al

Eje

cortar el cono con un plano que no pase por el "értice # cu#o $ngulo de inclinación Vértice respecto aleje del cono es menor que el de la generatri% del cono.

Plano Generatriz

La Hipérbola como Lugar Geométrico:



Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cu#a dierencia de distancias a dos puntos ijos, llamados ocos, es constante.

Elementos de la hipérbola 

 Y

En toda hipérbola con"iene considerar&

 Y& Es el eje secundario de la hipérbola # es la

P

mediatri% del eje ocal.

X& Es el eje ocal de la hipérbola.

!

"!

#

"



X

 # !& 'on los ocos de la hipérbola. " # "!& 'on los "értices de la hipérbola. #& Es el centro de la hipérbola. P& Es un punto de la hipérbola. P # P!& 'on los radio "ectores de la hipérbola.

Elementos de la hipérbola  Y P $c& 'e le llama distancia ocal. $a& Es la resta de los radio "ectores P # P! de un punto.

!

#

"!

""!& A este segmento se le denomina eje real.

$a $c

"



Ecuaci%n anal&tica de la hipérbola: 





biquemos los ocos sobre el eje x ,  ' ( c) * +  # , ' ( -c) * +)  # tomemos un punto cualquiera P ' ( x ) y + de la hipérbola. En este caso, la dierencia de las distancias entre P # P, es igual al doble de la distancia que ha# entre el centro de coordenadas # la intersección de la hipérbola con el eje  x . Entonces tendremos que&

P . P, ' $a

Ele"ando al cuadrado ambos miembros # procediendo matem$ticamente podemos llegar a esta e!presión&

(c  . a + x   . a y   . (c  . a + a  ' * $

$

$

$

$

$

$

$

ota& Los c$lculos los dejo por tu cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo que hicimos para la elipse.



ue"amente a partir del dibujo anterior # aplicando Pit$goras podemos obtener que c$ ' a$ / b$ # por lo tanto la ecuación nos queda& b$ x $ . a$y $ ' a$b$. *i"idiendo cada término por a +b+ obtenemos&

Ecuaci%n anal&tica de la hipérbola con centro en (p) 0+: 

'i desarrollamos los cuadrados obtendremos que&

 b+ x +  a+y +  + x pb+ - +y qa+ - p+b+  q+a+  a+b+  / 'i hacemos& "  b+ 1   a+ 2   +pb+ 3  +qa+ E  p+b+  q+a+  a+b+ 0endremos la ecuación& " x $ . 1y $ / 2 x  / 3y / E ' *, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunerencia, o una elipse, e!cepto que los términos " # 1 no tienen porqué ser iguales.

"s&ntotas& 

'on rectas que  jam$s cortan a la hipérbola, aunque se acercan lo m$s posible a ella.  Ambas deben pasar por el 1centro1 (p) 0)



Las ecuaciones de las asíntotas son&

Ejemplo 

Esbócese la cur"a 23!+ 4 35#+  +2/5

'i di"ide entre +2/5 # se reduce la ecuación a&

 x

2

64

−

 y

2

36

=

La gr$ica es una hipérbola en la cual a  6, b 3 # c  7/. Por lo tanto los "értices son ( 45) *+ # los ocos ( 46*) *+. Las ecuaciones de las asíntotas son&

78 -9 ' * # 78 / 9 ' *

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