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Ejercicios hipérbolaDescripción completa
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Trabajo de calculo II del 2do semestre de Informatica, IUTIRLA 2011. (Circunferencia,Elipse,Hiperbola,Parabola) (Definición,Ecuación,Traslación,Ejemplos)
Soal and Pembahasan HiperbolaFull description
Izvedbeni Plan Zimski Ar B-1314
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Ellips, Hiperbola, Dan Parabola
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Hipérbola
Índice La hipérbola. La hipérbola como lugar geométrico. Elementos de la hipérbola. Ecuación analítica de la hipérbola. Ecuación analítica de la hipérbola con centro en (p, q). Asíntotas. Ejemplo. Propiedad de rele!ión de la hipérbola.
Hipérbola
La hipérbola, se origina al
Eje
cortar el cono con un plano que no pase por el "értice # cu#o $ngulo de inclinación Vértice respecto aleje del cono es menor que el de la generatri% del cono.
Plano Generatriz
La Hipérbola como Lugar Geométrico:
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cu#a dierencia de distancias a dos puntos ijos, llamados ocos, es constante.
Elementos de la hipérbola
Y
En toda hipérbola con"iene considerar&
Y& Es el eje secundario de la hipérbola # es la
P
mediatri% del eje ocal.
X& Es el eje ocal de la hipérbola.
!
"!
#
"
X
# !& 'on los ocos de la hipérbola. " # "!& 'on los "értices de la hipérbola. #& Es el centro de la hipérbola. P& Es un punto de la hipérbola. P # P!& 'on los radio "ectores de la hipérbola.
Elementos de la hipérbola Y P $c& 'e le llama distancia ocal. $a& Es la resta de los radio "ectores P # P! de un punto.
!
#
"!
""!& A este segmento se le denomina eje real.
$a $c
"
Ecuaci%n anal&tica de la hipérbola:
biquemos los ocos sobre el eje x , ' ( c) * + # , ' ( -c) * +) # tomemos un punto cualquiera P ' ( x ) y + de la hipérbola. En este caso, la dierencia de las distancias entre P # P, es igual al doble de la distancia que ha# entre el centro de coordenadas # la intersección de la hipérbola con el eje x . Entonces tendremos que&
P . P, ' $a
Ele"ando al cuadrado ambos miembros # procediendo matem$ticamente podemos llegar a esta e!presión&
(c . a + x . a y . (c . a + a ' * $
$
$
$
$
$
$
$
ota& Los c$lculos los dejo por tu cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo que hicimos para la elipse.
ue"amente a partir del dibujo anterior # aplicando Pit$goras podemos obtener que c$ ' a$ / b$ # por lo tanto la ecuación nos queda& b$ x $ . a$y $ ' a$b$. *i"idiendo cada término por a +b+ obtenemos&
Ecuaci%n anal&tica de la hipérbola con centro en (p) 0+:
'i desarrollamos los cuadrados obtendremos que&
b+ x + a+y + + x pb+ - +y qa+ - p+b+ q+a+ a+b+ / 'i hacemos& " b+ 1 a+ 2 +pb+ 3 +qa+ E p+b+ q+a+ a+b+ 0endremos la ecuación& " x $ . 1y $ / 2 x / 3y / E ' *, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunerencia, o una elipse, e!cepto que los términos " # 1 no tienen porqué ser iguales.
"s&ntotas&
'on rectas que jam$s cortan a la hipérbola, aunque se acercan lo m$s posible a ella. Ambas deben pasar por el 1centro1 (p) 0)
Las ecuaciones de las asíntotas son&
Ejemplo
Esbócese la cur"a 23!+ 4 35#+ +2/5
'i di"ide entre +2/5 # se reduce la ecuación a&
x
2
64
−
y
2
36
=
La gr$ica es una hipérbola en la cual a 6, b 3 # c 7/. Por lo tanto los "értices son ( 45) *+ # los ocos ( 46*) *+. Las ecuaciones de las asíntotas son&