LA NATURALEZA DE LAS MATEMATICAS Y SUS IMPLICACIONES DIDACTICAS LUZ MANUEL SANTOS TRIGO
Resumen
Los profesores de matemáticas enseñan esta disciplina de acuerdo a ciertas ideas que ellos tienen acerca de las matemáticas y cómo éstas deben ser aprendidas por los estudiantes. Por ejemplo, un profesor puede pensar que el aspecto formal formal de las matemáticas matemáticas es el ingrediente principal de de esta disciplina. disciplina. Como consecuencia, en el contenido presentado a los estudiantes existe un gran énfasis en las demostraciones. demostraciones. Otro profesor puede creer que las matemáticas matemáticas finalmente finalmente se reducen a un conjunto de fórmulas o algoritmos que el alumno tiene que aprender a aplicar en varias situaciones. situaciones. Aquí, el el alumno alumno resuelve diversos ejercicios que intentan darle cierta fluidez en el uso de estos algoritmos. Las diversas ideas que tienen los profesores acerca de las matemáticas poseen cierta relación con los fundamentos o naturaleza de esta disciplina y su relación con el aprendizaje. En este artículo se revisan ideas id eas generales de los fundamentos de las matemáticas y su influencia en los contenidos curriculares y su aprendizaje. Se identifica a la práctica de desarrollar matemáticas como un aspecto que puede ser importante en la discusión de cómo se hacen las matemáticas y su relación con la forma de aprender esta materia. Es decir, se intenta relacionar los componentes del quehacer matemático con el aprendizaje de esta disciplina. Introducción
En los últimos veinticinco años las matemáticas han tenido un avance significativo tanto en su propio desarrollo como en sus aplicaciones; esto ha contribuido a que alguna gente se dedique a examinar la naturaleza de las matemáticas y su importancia [Steen 1978; 1988, Davis Davis y Hersh 1981, National National Council of Teachers of Mathematics 1989; 1990]. Este interés ha identificado un amplio mosaico de
Tomado de: MATHESIS de: MATHESIS , 1993, pp. 419-432 Luz Manuel Santos Trigo es egresado de la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional (IPN, México). Obtuvo el doctorado en Educación Matemática en la University of British Columbia, Canadá. Actualmente Actualmente labora en el Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN. Su interés principal de investigación es la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. Entre sus recientes publicaciones se incluyen Learning mathematics: A perspective based on Problem Solving y La resoIución de problemas: Elementos para una propuesta en el aprendizaje de las matemáticas.
concepciones acerca de la naturaleza de las matemáticas incluyendo aquellas que relacionan a las matemáticas con una estructura axiomática, con un conjunto de heurísticas para resolver problemas, o con un conjunto de fórmulas.
Estas
diversas concepciones poseen una influencia directa en la forma en que las matemáticas son aceptadas en la vida diaria y por lo tanto desempeñan un papel importante en el desarrollo del currículum matemático, la forma de enseñanza y el tipo de investigaciones que se realizan en educación matemática.
Romberg
[1992] argumenta que ha habido cambios dramáticos en la disciplina matemática en el último cuarto de siglo.
Nuevas tecnologías han puesto a discusión la
importancia de realizar manipulaciones rutinarias simbólicas con lápiz y papel. En contraste, el uso de la tecnología ha contribuido a conceptualizar a las matemáticas como un medio para resolver problemas. Tymoczko [1986] afirma que el uso de métodos de prueba o demostración basados en la computadora no permite que el matemático revise paso a paso el desarrollo de la demostración. Así, los criterios de validación deben considerar la existencia de estos métodos y reconocer que éstos son importantes en la práctica de desarrollar matemáticas. El estudio de la naturaleza de las matemáticas se torna importante para el profesor de matemáticas cuando se examina la preparación que este recibe. Por ejemplo, la formación profesional de un profesor a nivel bachillerato o universitario pocas veces incluye cursos más allá del estudio de los contenidos matemáticos. Es decir, durante el período de su formación se dedica casi todo el tiempo al estudio del álgebra, geometría, cálculo, análisis, probabilidad y estadística, y pocas veces se incluyen en su formación aspectos relacionados con la historia y la filosofía, o aspectos que analicen el propio desarrollo de las matemáticas. Implícitamente se piensa que el solo estudio de las propias matemáticas le proporcionará los elementos para enseñar esta disciplina. Como resultado, en la práctica de enseñar matemáticas generalmente el profesor adopta un modelo de enseñanza que recoge elementos de su propia experiencia como estudiante. Con este modelo se acompañan ideas respecto al papel del profesor (generalmente un expositor ante el pizarrón), a los tipos de problemas de clase y de la tarea, al tipo
de evaluación del estudiante, al uso de un libro de texto y al papel del estudiante en el salón de clases.
En realidad, cada profesor posee un modelo o una
caracterización de lo que son las matemáticas y cómo éstas pueden ser aprendidas por el estudiante.
Su experiencia como estudiante se vuelve
determinante en las ideas que él tenga acerca de esta disciplina. Este modelo influye en las decisiones diarias que tiene que tomar respecto a cómo presentar el contenido en el salón de clases. De aquí que sea importante identificar algunas conceptualizaciones acerca de qué son las matemáticas y de su desarrollo, así como sus relaciones con la enseñanza.
Esta discusión permitirá ubicar las
diferentes propuestas relacionadas con el aprendizaje de las matemáticas y analizar algunas ventajas y limitaciones al ser consideradas en la práctica de la enseñanza. En este artículo se presentan diversas posiciones acerca de la naturaleza de las matemáticas. En el desarrollo del presente artículo se identifican tres escuelas que abordan aspectos relacionados con los fundamentos de las matemáticas: la logicista, la constructivista y la formalista. Sin embargo, la discusión acerca de cómo se hacen o desarrollan las matemáticas, o qué evidencias hacen posible la validez de un teorema o desarrollo matemático, han apuntado hacia el estudio de la práctica del desarrollo de esta disciplina. Como Van Bendegem [1993, 22] sugiere: Si uno desea estudiar problemas relacionados con aspectos educacionales de las matemáticas, o las relaciones diversas y complejas entre las matemáticas y la cultura, o los procesos psicológicos y sociales de la invención y construcción matemática, uno necesitará una teoría o al menos un modelo de la práctica de cómo se desarrollan las matemáticas.
Es decir, la caracterización del quehacer matemático se torna importante para el aprendizaje de esta disciplina. Importancia del estudio de la naturaleza de las matemáticas
En la práctica de la enseñanza de las matemáticas, el profesor continuamente toma decisiones respecto al contenido y la forma de presentación en el salón de clases. Estas decisiones pueden tomar distintas formas dependiendo de qué tipo de conceptualización de las matemáticas se comparta. Por ejemplo, aceptar a las matemáticas como un cuerpo estático de conocimientos que se desarrolla vía el lenguaje formal es un punto de vista opuesto al de ver a las matemáticas como una disciplina dinámica que cambia y se ajusta constantemente a los diversos resultados de su desarrollo y aplicación. Estos puntos de vista producen o incluyen actividades diferentes en cuanto al ambiente en el salón de clases y también en cuanto al tipo de problemas o ejemplos seleccionados para la presentación de los contenidos. Dossey [1992] argumenta que la falta de una filosofía común de las matemáticas posee serias ramificaciones tanto en la práctica como en la enseñanza de esta disciplina. Además, sugiere que la falta de un consenso es la razón por la cual las diferentes filosofías no son ni siquiera discutidas [Dossey 1992, 39]. Sin embargo, estos diferentes puntos de vista son transmitidos a los estudiantes y contribuyen a la formación de sus propios conceptos acerca de la naturaleza de las matemáticas. Algunos estudiantes creen que las matemáticas se reducen a un conjunto de resultados que se deben memorizar, que las matemáticas son sólo accesibles a los buenos estudiantes, o que los problemas matemáticos se resuelven en pocos minutos o no se resuelven [Schoenfeld 1985]. Esto le da racionalidad a una revisión de las diversas concepciones de las matemáticas y sus relaciones con el aprendizaje de las mismas. Las primeras controversias
Aun cuando en cada civilización se han encontrado huellas de la existencia de las matemáticas, existe poca información acerca de los aspectos relacionados con la naturaleza de esta disciplina. Platón parece ubicarse entre los primeros que intentan clarificar una posición al indicar que los objetos matemáticos tienen una existencia propia, más allá de la mente. Es decir, existen independientemente del individuo. Esta posición le permitió distinguir a la aritmética (teoría de números) de la logística (técnicas de cálculo). Platón argumentó que el estudio de la
aritmética produce un efecto positivo en los individuos, que les ayuda a razonar en una forma abstracta. Por otro lado, Aristóteles veía a las matemáticas como una de las divisiones del conocimiento que se diferenciaba del conocimiento físico y del teológico. Respecto al conocimiento matemático, Aristóteles negaba que las matemáticas fueran una teoría de un conocimiento externo, independiente e inobservable. Asociaba a las matemáticas con una realidad donde el conocimiento se obtiene por experimentación, observación y abstracción. Esta posición comparte que la construcción de las ideas matemáticas se da a través de idealizaciones realizadas por los matemáticos como un resultado de su experiencia con objetos en un contexto específico. Dossey [1992] apunta que Aristóteles intentó entender a las relaciones matemáticas a través de la colección y clasificación de resultados empíricos derivados de experimentos y observación y posteriormente por deducción de un sistema que explicara las relaciones inherentes de los datos [Dossey 1992, 40]. Los puntos de vista de Platón y Aristóteles han representado los grandes polos donde ha oscilado la discusión acerca de la naturaleza de las matemáticas. Estos dos puntos de vista se reflejaron no solamente en las matemáticas sino también en otras ciencias. En los siglos XVII y XVIII el aceptar o no la existencia de un objeto de estudio independientemente del individuo se convirtió en un argumento importante acerca de la forma del quehacer científico entre los racionalistas y los experimentalistas. Sin embargo, el desarrollo de las geometrías no euclidianas influyó en la ubicación de las matemáticas: El establecimiento de la consistencia de las geometrías no euclidianas en la mitad del siglo XVIII finalmente liberó a las matemáticas de un restringido conjunto de axiomas pensados como el único modelo para el mundo externo [Dossey 1992, 40].
Como consecuencia, esto produjo una nueva visión del conjunto de axiomas que sustentan un desarrollo matemático.
La naturaleza de las matemáticas en los siglos XIX y XX
La pérdida de la certidumbre en la geometría fue filosóficamente intolerable, porque esto implicaba desconfianza en todo el conocimiento humano.
Los
matemáticos de esta época empezaron a buscar en la aritmética los fundamentos de las matemáticas. Es aquí donde la teoría de conjuntos infinitos empieza a relacionarse con la naturaleza de las matemáticas. Sin embargo, la aparición de las paradojas mostró otra vez la debilidad de esta propuesta. Esta discusión pareció ser importante en el desarrollo de las tres escuelas mencionadas antes acerca de la naturaleza de las matemáticas: logicista, constructivista y formalista. La escuela logicista fue una continuación de la escuela platónica. Sus seguidores compartían que las proposiciones matemáticas se podían expresar como proposiciones generales cuya verdad depende de su forma y no de su interpretación en un contexto específico. Su principal objetivo fue encontrar una reformulación de la teoría de conjuntos la cual evitara la paradoja de Russell (el conjunto de todos los conjuntos que se incluye a sí mismo). Entre los seguidores de esta corriente se encuentran Frege, Russell y Whitehead. El trabajo de esta escuela propició un gran avance en el desarrollo de la lógica pero fue un fracaso en cuanto a su principal objetivo. Goodman [1986] afirma que la intuición matemática es prácticamente real. Esta es sólo comprensible como un principio no deductivo dentro de la estructura de las propias matemáticas. Sin embargo, para los logicistas no existe la realidad objetiva de cualquier estructura. Así, por el principio de objetividad, el logicismo no puede ser una adecuada filosofía de las matemáticas. La escuela constructivista estuvo representada por Brouwer alrededor de 1908. La principal premisa en esta corriente era que las ideas matemáticas existen sólo si éstas son construibles por la mente humana. Es decir, los objetos matemáticos no pueden ser considerados significativos o que existen al menos que éstos se obtengan por una construcción con pasos finitos. Goodman [1986] indica que la
verdad matemática es prácticamente real. Es decir, sin la realidad práctica de la verdad matemática no existiría el rigor matemático.
Como la esencia del
constructivismo rechaza la realidad objetiva de la verdad matemática, entonces, por el principio de objetividad, el constructivismo no puede ser una filosofía adecuada para las matemáticas. La escuela formalista aparece en el escenario a principios del siglo XX. Hilbert es el principal promotor de esta corriente. Las ideas de esta escuela contemplan introducir un lenguaje y reglas formales de inferencia para demostrar teoremas (método axiomático), desarrollar una teoría de propiedades combinatorias de este lenguaje formal considerado como un conjunto de reglas para transformar fórmulas (matemáticas), probar con argumentos finitos que una contradicción no puede ser derivada dentro de este sistema. Con este plan hubo un gran progreso en el desarrollo de estas ideas; sin embargo, Gödel, en 1931, estableció que era imposible pensar en un sistema axiomático del tipo de Hilbert. Goodman [1986] describe la experiencia de desarrollar matemáticas: la introspección muestra que cuando uno está haciendo matemáticas, al intentar resolver un problema que no sabe resolver, uno raramente trata con símbolos. En esta etapa, uno se enfrenta a ideas y construcciones. Uno de los trabajos más duros para un matemático ocurre cuando éste tiene una idea pero, por ese momento, es incapaz de expresarla en un camino formal.
Las matemáticas hablan acerca de ideas,
construcciones y pruebas, de tal manera que es claro que los matemáticos tienen en mente algo más que símbolos [Goodman 1986, 84]. Dossey
[1992]
argumenta que estas tres corrientes de pensamiento
consideraban el contenido matemático como un producto. Con los logicistas, los contenidos eran los elementos de una matemática clásica: sus definiciones, sus postulados y sus teoremas. Para los constructivistas, los contenidos eran los teoremas que habían sido construidos a partir de principios vía patrones válidos de razonamiento.
En los formalistas las matemáticas contenían estructuras
axiomáticas formales para liberar a las matemáticas clásicas de sus problemas.
Hersh [1979, 33] resume la influencia de la corriente formalista en la enseñanza de las matemáticas cuando escribe: En la última mitad del siglo pasado, más o menos, se ha visto una tendencia formalista como el punto de vista más elegido en la filosofía de las matemáticas. En este mismo período, el estilo dominante en las revistas de matemáticas, y aun en los textos y tratados, ha sido insistir en los detalles precisos de las definiciones y pruebas, pero excluyendo o minimizando la discusión de por qué un método es interesante o por qué un método particular de prueba es usado... La concepción de uno de lo que son las matemáticas afecta cómo deben ser presentadas. Otro ejemplo es la importación: en los sesenta, la notación teórica de los conjuntos y la axiomática fueron llevados al currículum del bachillerato. Esto no fue una aberración inexplicable, como los críticos algunas veces parecen imaginar. Esto fue una consecuencia predecible de una doctrina filosófica que reduce a las matemáticas a un sistema axiomático expresado en un lenguaje teórico de conjuntos.
Kuhn [1977] identifica dos conceptualizaciones de las matemáticas (la pura y la aplicada) que han generado diversas discusiones respecto a su naturaleza. Kuhn menciona que durante el siglo XIX se desarrolla un cambio gradual en la percepción de la identidad de las matemáticas. Quizás hasta mediados de siglo tópicos como mecánica celeste, hidrodinámica y elasticidad eran el centro de la investigación profesional en matemáticas. Sin embargo, setenta y cinco años más tarde, éstos se convirtieron en matemáticas aplicadas. En su estudio, éstas se separaban de las preguntas más abstractas de las matemáticas puras que habían sido centrales para la disciplina. Kuhn argumenta que esta separación ocurrió en caminos y tiempos diferentes en diversos países. Esta caracterización influyó en la forma de presentar el currículum a estudiar en esos lugares. Los aspectos discutidos de las matemáticas en relación a su naturaleza se seleccionaron por motivos de conveniencia con la idea de dar un panorama general respecto a diversas posiciones. Es importante mencionar que existen otros enfoques a esta discusión que de alguna forma también resaltan la importancia de discutir estos aspectos alrededor de alguna propuesta curricular de las matemáticas [Browder 1976 y Confrey 1980].
La naturaleza de las matemáticas y la práctica de desarrollar matemáticas
Davis y Hersh
[1981]
señalan que los matemáticos en la práctica real de
desarrollar matemáticas pocas veces reflexionan sobre la naturaleza de las matemáticas.
En el desarrollo de las ideas matemáticas es común que el
matemático trabaje como si la disciplina describiera un objetivo existente en la realidad donde la práctica de trabajar en esta disciplina puede ser falible. Sin embargo, cuando es cuestionado sobre la naturaleza de las matemáticas, frecuentemente niega esta noción y la describe como un juego de símbolos sin sentido. En la opinión de Hersh [1986] el trabajo diario del matemático no es controlado por la idea de validar cada paso con argumentos formales, sino que éste procede guiado por la intuición en la exploración de conceptos y sus interacciones. Dossey [1992] sugiere que estas ideas apuntan a un reconocimiento de que el desarrollar matemáticas debe aceptarse como una actividad humana, una actividad no gobernada estrictamente por alguna escuela de pensamiento. Es decir, que incorpore los elementos que describen la práctica de hacer matemáticas. Una caracterización de las matemáticas en términos de la resolución de problemas refleja una dirección que cuestiona la aceptación de las matemáticas como un conjunto de hechos, algoritmos, procedimientos, o reglas que el estudiante tiene que memorizar o ejercitar. En su lugar, los estudiantes participan activamente en el desarrollo de las ideas matemáticas, los problemas son definidos con menos precisión, y donde el aprendizaje se relaciona con la práctica de desarrollar matemáticas. Es decir, el estudiante aprende matemáticas al ser inmerso en un medio similar al de la gente que hace matemáticas.
La propuesta curricular del National Council of Teachers of Mathematics incorpora este punto de vista al indicar que el estudio de las matemáticas debe enfocarse al proceso de desarrollar matemáticas. Aquí se contempla un ambiente de clase donde el estudiante tenga un papel activo al discutir problemas, proponer ejemplos y contraejemplos, usar conjeturas y, en general, construya el conocimiento matemático. En la propuesta se consideran aspectos tales como la resolución de problemas, la necesidad de comunicarse matemáticamente, y la búsqueda de las conexiones de las matemáticas con otras disciplinas [NCTM 1989; 1991]. Barbeau [1989] sugiere que la mayoría de la gente percibe a las matemáticas como un conjunto fijo de conocimientos pulidos y acabados. Su materia es la manipulación de números y la prueba de deducciones geométricas. Es una disciplina fría y austera que le da poco espacio al juicio y a la creatividad. Este punto de vista es indudablemente una reflexión de las matemáticas que se estudian en la escuela. Un punto de vista opuesto a esa idea concibe a las matemáticas como una disciplina falible, cambiante y similar a otras disciplinas como un producto de la inventiva humana. Romberg [1992] apunta que este punto de vista dinámico de las matemáticas tiene consecuencias importantes para el currículum. Por ejemplo, la enseñanza de las matemáticas incluye aceptar que los estudiantes puedan crear o desarrollar sus propios conocimientos matemáticos.
Steen
[1990]
resalta que los resultados producidos por las
computadoras y sus aplicaciones están cambiando profundamente la forma de desarrollar las matemáticas, la forma de enseñarlas, así como la forma de aprenderlas. De aquí que sea imperativo repensar un currículum que incluya una discusión amplia de estas formas de concebir a las matemáticas y su manera de aprenderlas. Los profesores y la naturaleza de las matemáticas
Las ideas que los profesores tienen acerca de las matemáticas moldean las actividades del salón de clases. Hersh [1986] menciona que el punto de vista de los profesores acerca de cómo se debe desarrollar la enseñanza de las
matemáticas en el salón de clases depende de lo que piensen de la naturaleza de las matemáticas y no de lo que crean que debe ser el mejor método para enseñar. Por ejemplo, si el profesor asume la existencia de un cuerpo fijo de conocimientos que deben ser transmitidos a los estudiantes, entonces su papel se asocia con la autoridad única para presentar ese conocimiento. Thompson [1989] identifica varias formas de caracterización de las matemáticas en los profesores; además, estas ideas frecuentemente cambian al ser implantadas en el salón de clases. Es decir, un profesor puede caracterizar a las matemáticas como una disciplina formal y rigorista pero presentarlas a sus estudiantes de una manera no consistente con estos principios. Además, resalta que la falta de una discusión abierta acerca de la naturaleza de las matemáticas entre los profesores puede explicar algunas de las inconsistencias entre la forma de conceptualizarlas y enseñarlas. Concebir a las matemáticas como una disciplina dinámica implica reformular tanto los contenidos como la forma de su enseñanza. Es importante reducir el énfasis de los cálculos aritméticos, especialmente la memorización de algoritmos o fórmulas, y dar más énfasis al significado de las operaciones, a la evaluación razonable de los resultados y a la selección de procedimientos y estrategias adecuadas.
Algunos contenidos que se consideran importantes, pero que
necesitan ser reformulados en base a una visión diferente de las matemáticas, incluyen álgebra, geometría y medición, probabilidad y estadística, funciones, patrones y matemáticas discretas. En relación al uso de los libros de texto, que son otra fuente de información de cómo las matemáticas se relacionan en el salón de clases, es común encontrar a profesores que usan el libro de texto como un instrumento, siguiéndolo al pie de la letra, y usando las sugerencias para presentar el contenido. Aquí la clase de matemáticas se reduce a la explicación del libro de texto a los estudiantes. Esto se relaciona con la idea de que las matemáticas son un producto acabado escrito coherentemente y en forma pulida. Es decir, en general el libro no exhibe los tropiezos o problemas que acompañan el desarrollo de las ideas matemáticas. Se
le recomienda al estudiante seguir la secuencia de contenido y de los ejercicios que aparecen. El profesor y el libro de texto se convierten en la autoridad para el estudiante que le permiten determinar cuándo un resultado o un problema es correcto [Santos Trigo 1992]. Un ejemplo que ilustra las diversas conceptualizaciones del currículum en cuanto a la naturaleza de las matemáticas es el tipo de currículum oficial propuesto en algunos países. Algunos modelos que han tenido mucha influencia en el ámbito internacional incluyen: a. el currículum francés, el cual enfatiza el aspecto formal de las matemáticas. Diudonné, por ejemplo, comparte que en el estudio de las matemáticas se debe adoptar una terminología y lenguaje más precisos. Además, sugiere reemplazar la tradicional geometría euclidiana por el estudio del álgebra lineal, y particularmente el estudio de espacios vectoriales. Esta tendencia curricular también se refleja en Bélgica con el trabajo de Georges Papy y en Quebec, Canadá, con Zoltan Dienes; b. el currículum británico, el cual le da mucha importancia a las aplicaciones de las matemáticas. Thwaites [1972] afirma que en Inglaterra se piensa que los conceptos matemáticos deben estudiarse gradualmente.
Deben ser
introducidos en un nivel intuitivo y desarrollados en paralelo con otras ideas intuitivas, de tal forma que los patrones y los marcos lógicos emerjan gradualmente.
Además, para que los estudiantes aprendan es necesario
considerar múltiples aplicaciones de los conceptos matemáticos; c. el currículum norteamericano intenta asociar la resolución de problemas al aprendizaje de las matemáticas. Un aspecto que actualmente ha permeado el desarrollo del currículum en E.U.A. y Canadá es el impacto que ha tenido el desarrollo de las nuevas tecnologías en la educación.
Por razones de análisis es importante identificar algunos aspectos o niveles del currículum. Por ejemplo, el currículum intentado que se relaciona con los planes y programas oficiales propuestos; el currículum implantado que se caracteriza por la forma en que el maestro lo interpreta o lo lleva a cabo en el salón de clases; y el currículum logrado que es el que finalmente aprenden los estudiantes.
La
discusión de la naturaleza de las matemáticas y sus relaciones con la enseñanza y el aprendizaje puede contribuir a la disminución de marcadas diferencias entre estos tres niveles. En el aspecto concreto de la enseñanza, Ernest [1989] identifica tres puntos de vista diferentes acerca de las matemáticas: i)
las matemáticas no son un producto terminado sino una disciplina dinámica que está avanzando constantemente y reajustándose a nuevas situaciones (el punto de vista de la resolución de problemas);
ii)
las matemáticas son vistas como una disciplina monolítica, como un producto estático inmutable, el cual es descubierto y no creado (el punto de vista platonista);
iii)
las matemáticas son vistas como una disciplina útil que contiene un conjunto de hechos, reglas y fórmulas que se aplican en la solución de problemas (el punto de vista instrumental).
Estas formas de conceptualizar a las matemáticas conllevan diversas posiciones en relación al aprendizaje. Es decir, un punto de vista activo de la resolución de problemas asociado con el conocimiento matemático puede llegar a aceptar la existencia o tratar de entender los diversos métodos y procedimientos usados por los estudiantes al resolver los problemas, mientras que un punto de vista estático platonista o instrumentalista puede ocasionar la insistencia por parte de los profesores por identificar sólo un método correcto para resolver cada problema. Estas diferentes formas de presentar a las matemáticas en el salón de clases conllevan también diversas formas de evaluación del progreso de los estudiantes.
Mientras que para un punto de vista platónico o instrumentalista un examen puede ser un indicador del progreso matemático, para una concepción dinámica relacionada con la resolución de problemas se considera importante no sólo las diversas soluciones que un problema pudiera tener sino también la calidad de éstas. Además, es importante considerar las discusiones grupales que se dan en el desarrollo de la clase. En relación al tipo de lecturas que se les recomienda a los profesores de matemáticas que consideren en su formación, se encuentran reflexiones de matemáticos como Polya [1945; 1954], Halmos [1980], Lakatos [1976], Davis y Hersh [1981], Schoenfeld [1985], y Steen [1978; 1978; 1990]. Estas lecturas analizan el proceso de desarrollar matemáticas y pueden ser de utilidad para entender aspectos relacionados con el aprendizaje de los estudiantes. En resumen, conocer el desarrollo y las diversas perspectivas relacionadas con la naturaleza de las matemáticas proporciona a los profesores elementos que les ayudan a evaluar su propia conceptualización de las matemáticas y relacionarla con aspectos ligados más directamente con la práctica de desarrollar matemáticas. Esto influirá en que el tipo de decisiones que tome en la práctica de la enseñanza de esta disciplina sean acordes al significado de lo que es el aprender este campo de conocimiento. Finalmente, la pregunta
¿qué significa el aprender matemáticas?
Está
relacionada con el significado o caracterización de las matemáticas. En el pasado, se aceptaba que el aprender era básicamente una acumulación de pedazos de información en algún orden. En la actualidad esta concepción es ampliamente cuestionada. Existe o se reconoce una tendencia de que aprender matemáticas es hacer o desarrollar esta disciplina. Así, una persona al hacer matemáticas recoge información, descubre o crea relaciones en el curso de una actividad con algún propósito. Es decir, en matemáticas uno puede aprender conceptos acerca de números, cómo resolver ecuaciones, y aprender algunas definiciones; pero
esto no es desarrollar matemáticas. Hacer o desarrollar matemáticas incluye el resolver problemas, abstraer, inventar, y probar relaciones. Steen [1990] indica que la computadora, la calculadora y otros aparatos tecnológicos están cambiando lo que significa hacer o desarrollar matemáticas. Sostiene que las matemáticas son la ciencia de los patrones y que la tecnología provee a los matemáticos y alumnos de poderosas herramientas para examinar y elaborar patrones complejos que antes eran difíciles de tratar. Referencias
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