Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
1
La Transformada de Laplace Transformada Unilateral de Laplace:
Considérese una función de variable continua f ( t ) nula para todo t < 0. La Transformada Fourier de esta función se puede expresar como sigue:
F ( ) =
f ( t ) e -j
0
t
dt
Si multiplicamos el integrando por e - t, con real positivo, de hecho estamos aplicando un factor que garantiza fuertemente la convergencia (existencia) de la integral en la mayoría de los casos. En efecto, como
e-
t
t
f ( t ) e -j
dt
0
e -t f ( t ) e -jt dt 0
e (t jt) f ( t ) . dt
0
e-t f ( t ) dt 0
esta integral converge para cualquier función función f ( t ) con tal que la misma cumpla la condición
f(t)
t
e
(1)
pudiendo elegirse tan grande como se quiera. Aunque por supuesto la nueva integral responde a un concepto de función transformada diferente del de Fourier, Fourier, su utilidad es muy grande como se verá. Llamando s = + j se puede escribir F( s) =
e -st f ( t )
dt
(2)
0
función que se conoce como la Transformada de Laplace de F ( t ) y se simboliza así: F( s) = La nueva variable, s =
{ L
F(t)}
+ j , se conoce asimismo como Variable de Laplace. Laplace .
Evidentemente, si somos capaces de calcular la transformada de ciertas funciones y, conocida aquella, encontrar la función primitiva o antitransformada antitransformada correspondiente, la transformada de Laplace presta una utilidad para las operaciones de cálculo matemático similar a la de Fourier con la ventaja de que aquella existe para un gran número de funciones primiti vas.
Transformada Laplace de la función escalón:
Si queremos calcular la Transformada Fourier de la función escalón unitario, ( t ), nos encontramos frente a una dificultad insalvable. En efecto, debe ser: { F
( t ) } =
( t ) e -jt dt =
0
t
e -j
dt
0
Por tanto, efectuando operaciones { F
( t ) }
1 j
t
e -j
j ( cos t - j sen t ) 0
0
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
2
Pero esta ecuación resulta indefinida por el carácter oscilatorio de las funciones seno y coseno. Si en cambio pretendiéramos calcular la transformada de Laplace del escalón, obtendríamos: { L
( t ) } =
e -st
( t ) dt =
0
e -st dt
0
{ L
1
( t ) } =
e -st
s
1
=
s
0
que evidentemente existe y está perfectamente definida.
Transformada de Laplace de la derivada de una función:
Supongamos que conocemos la transformada Laplace de una cierta función f ( t ), y queremos conocer la transformada de su derivada primera. Es decir, si f '( t ) = d f ( t ) / d t, trataremos de hallar su transformada Laplace:
L {
f '( t ) } =
e -st f ’ ( t )
dt
0
Esta integral debe calcularse por partes. Para ello, hagamos f(t) = u(t)
e -st = v ( t )
y
v ' ( t ) = - s e -st
Reemplazando en la integral,
e -st f ' ( t )
dt =
0
v ( t ) . u' ( t ) d t =
0
= u ( t) . v( t )
u ( t ) . v' ( t ) d t =
0
= f ( t ) . e -st
+
0
f ( t ) . s .e -st d t 0
= f ( t ) . e -st
+ s
0
f ( t ) e -st d t
0
La última integral que aparece en la fórmula anterior es justamente la transformada de f ( t ). Por Por lo tanto, operando en la expresión anterior, y reemplazando la última integral por F ( s ), se obtiene la expresión general siguiente, que permite encontrar la derivada de una dada función: L {
f'(t)} = - f(0) + s.F(s) = s.F(s) - f(0)
Reiterando este proceso, podemos calcular la transformada de la derivada enésima de F ( t ). Efectivamente, la transformada de la derivada segunda será
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
3
{ L
f " ( t ) } = s . L { f ' ( t ) } - f '( 0 ) = s s . F ( s ) - f ( 0 ) - f '( 0 ) =
L {
f " ( t ) } = s2 F ( s ) - s f ( 0 ) - f '( 0 )
Igualmente, para la derivada tercera se obtiene L {
f ''' ( t ) } = s3 F ( s ) - s2 f ( 0 ) - s f '( 0 ) - f '' ( 0 )
Y si se extrapola este procedimiento para la transformada de la derivada enésima, se obtiene la expresión general: n-1
{ L
n-1-k k
fn(t)} = sn F(s) -
k=0
Transformada de la Integral:
Consideremos la función t
(t) =
f ( ) d
0
Esto quiere decir que ( t ) representa el área bajo la función f ( ) entre 0 y t. Demostraremos previamente que la derivada de ( t ) es precisamente f ( t ). Como sabemos del cálculo diferencial, la derivada de una función es igual al límite del cociente incremental, cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. En este caso: lim t
( t ) = d ( t ) = ' ( t ) t
(5)
Consideremos que se aplica un incremento t a la variable t. En tal caso, ( t ) experimentará a su vez un incremento ( t ), que puede expresarse como sigue: t+t
(t) =
f ( ) d -
0
t+t
t
f ( ) d
0
f ( ) d
t
Aquí, la última integral es igual al área bajo la función entre t y t + figura siguiente: f ( )
t, como se muestra en la
0
t
t+t
Y por consiguiente, ( t ) expresa precisamente dicha área, rayada en la figura, a la que llamaremos A. Si tomamos el límite para t 0, encontramos también que:
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
t + t
4
t
y podemos reemplazar:
t d t Pero además, en este caso el área diferencial viene a ser d A = f ( t ) d t. O sea t+t
lim t 0
f ( ) d = f ( ) . d t
t
Reemplazando este resultado en la ecuación (5), resulta:
' ( ) d ( ) lim t 0
dt
( ) f ( t ) t
(6)
A partir de este resultado trataremos de calcular la transformada siguiente: t L {
( t ) }
L {
=
f ( ) d }
0
Aplicando la definición, resulta
L {
( t ) } =
t
e – st
0
Si llamamos
f ( ) d
0
' ( t ) = e – st , tendremos también que ( t ) = 1
e – st
s Integraremos ahora por partes, de acuerdo con la c onocida expresión:
( t ) . ' ( t ) dt
=
( t ) . ( t ) -
( t ) . ' ( t ) d t
En nuestro caso:
0
e – st
t
( t ) d t 1 s
e – st
0
f ( ) d
0
1
s
0
e – st
( t) d t
El primer término de la suma que aparece aquí es nulo para t = 0, pues también lo es la integral, y es igualmente nulo para t porque la condición para que una función pueda ser transformable Laplace es, según se vio, que el módulo de su integral se conserve menor que e st. Y por supuesto, el límite de e – st para t es también igual a cero. Finalmente, la última integral es la transformada Laplace de ' ( t ) = f ( t ) . De aquí, se obtiene la
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
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igualdad siguiente, que expresa justamente la transf ormada Laplace de la integral:
t L {
f ( ) d }
0
1
s
0
e – st
( t ) d t
1
L {
( t ) }
s
El resultado de los dos problemas anteriores, (transformada de la derivada y de la integral de una función), muestra que una operación infinitesimal (diferenciación o integración), en el dominio de la variable t se reduce a una operación algebraica (producto o cociente) en el dominio de las funciones imagen. Propiedad de desplazamiento en frecuencia:
Los dos teoremas que veremos a continuación son el correlato en el campo de la transformación de Laplace de las dos propiedades de desplazamiento vistas al tratar la Transformada de Fourier. Consideremos una función como
( t ) = e t . f ( t ) y tratemos de calcular su transformada:
L {
( t ) } =
e – st . e
t
. f(t) dt
0
Si hacemos el cambio de variable p = s - podremos escribir
L {
( t ) } =
e – pt . f ( t ) d t = F ( p ) = F ( s -
0
En definitiva, L { e
t
. f(t)} =F (s-
que expresa la Propiedad de Desplazamiento en Frecuencia, o primer teroerema del desplazamiento, de la transformada Laplace. Esta propiedad se puede enunciar de la forma siguiente: Un desplazamiento de magnitud de la variable de Laplace s, se traduce en una multiplicación de la función primitiva f ( t ) por una exponencial e t cuyo exponente es de signo contrario al del desplazamiento. De modo similar, resulta L { e t . f ( t ) } = F ( s +
Propiedad de desplazamiento en el tiempo:
Calcularemos ahora la transformada Laplace de una función desplazada en el tiempo, f ( t - ): Sea:
L {
( t ) } = F ( s )
En otras palabras, llamamos F ( s ) a la transformada de f ( t ). Aplicando la fórmula de la transformación, será:
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
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L {
( t ) } =
e -st f ( t )
dt
0 f ( t – ) f(t)
0
t
y por tanto, efectuando un desplazamiento de la variable t, se obtiene:
L {
( t - ) } =
e – st f ( t – ) d t
0
Llamemos
= t - Como es una constante, la diferencial de será: d = d t
Reemplazando en la integral, y teniendo en cuenta que los límites de integración pasan a ser ahora e obtenemos L {
( t - ) } =
e – s(
f() d
e -s
e – s f ( ) d
Como la función f ( ) es nula entre 0 y ver la figura, es lo mismo escribir:
L {
( t - ) } = e -s
e – s f ( ) d = e -s
F(s)
0
En resumen, un desplazamiento en la variable tiempo implica quer la función imagen queda multiplicada por una exponencial e -s . Esta propiedad se conoce como Segundo teorema del desplazamiento de la transformada de Laplace.
Transformada de la función lineal:
Sea la función lineal f ( t ) = t , cuya transformada trataremos de calcular a continuación: L {
} =
e – st . t . d t
0
Integraremos por partes: Llamemos t = u(t)
y
Por lo que también, respectivamente, será:
e – st d t = d v = v ’ ( t ) d t
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
du = dt
y
7
1
v(t) = -
e – st
s
L {
} =
1
t e – st. d t
t . e – st
s
0
0
e – st d t
0
Mientras que el primer sumando del segundo miembro es nulo, la última integral es por su parte la transformada de la función escalón. Por consiguiente, reemplazando su valor en la ecuación anterior, se concluye que: 1 1 e – st d t L { } 0 s s2
De modo similar se obtiene:
L { A
.} =
e – st . t . d t
=
A s2
0
2
Transformada de la la función f ( t ) = t :
Reiterando el mismo procedimiento del parágrafo anterior, podemos calcular la transformada de cualquier potencia de t. Veamos primero el caso en que n = 2:
L {
2} =
2 e – st. d t
1
= -
2 . e – st
-
s
0
0
2 t e – st d t
0
L {
2
2} =
s
t e – st d t
0
Pero esta última integral no es otra cosa que la transformada de t. Por tanto, aplicando el resultado obtenido más arriba, se llega finalmente a: L{
2
2}
L {
}
s
2
1
s
s2
2 s3
Transformada de la potencia enésima de t:
Procediendo como en el caso anterior, es posible encontrar la transformada de t n, a partir del conocimiento de la transformada de t n-1.
L {
n} =
n e – st. d t
= -
s
0 L {
n}
1
n s
L { t
n-1
}
n . e – st
0
0
n t n-1 e – st d t
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
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Por lo tanto, por reiteración a partir del conocimiento de las transformadas de las potencias de primer orden que acabamos de calcular, se puede obtener la de cualquier otra de orden superior, con lo que resulta la expresión general:
L { t
n
n ( n - 1 ) ( n – 2 ) ( n – 3 ) ... 1
} =
L
sn
{ 1 } =
n! s n+1
Transformada de la función exponencial:
Sea la función f ( t ) = e t. La transformada de esta función puede calcularse por dos caminos diferentes: Por aplicación del teorema del desplazamiento a la función constante ( t ) = 1, (Y por tanto, f ( t ) = 1 . e t ), o bien en forma directa mediante un cambio de variable. Como el primer procedimiento es obvio, utilizaremos el último por resultar más didáctico, y ser aplicable al cálculo de otras transformadas como veremos a continuación.
L { e
t
e t
} =
e – st. d t
=
0
Si llamamos
s – = r
t
) t
e – (s –
dt
0
podemos escribir:
L { e
} =
) t
e – (s –
dt =
0
e – r t. d t
0
La última integral no es sino la transformada de f ( t ) = 1 , pero expresada en función de la variable r que hemos adoptado. Recordemos una vez más que el resultado de una integral definida es función exclusivamente de los límites de integración, siendo indiferente qué variable se use bajo el signo de integral. Es decir que podemos escribir indistintamente L { e
t
} = F( r) = 1 r
Cambiando en la ecuación anterior r por su valor s - , se tiene finalmente:
{ e L
t
} =
1 s-
Transformadas de las funciones trigonométricas:
Se calculará primeramente la transformada de la función f ( t ) = sen t Por la fórmula de Euler, sabemos que sen t =
1
( e j
t
- e – j
2j La transformada Laplace de esta función es:
t
)
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
9
L { sen
1
t } =
2j
e – s t e j t d t -
0
1
t } =
2j
0
L { sen
e – s t e – j t d t
e – ( s - j
t
d t -
0
e – ( s + j
t
d t
0
Aplicando un cambio de variable y utilizando el resultado obtenido en el parágrafo anterior, res ulta: L { sen
1
t } =
1 s – j
2j L { sen
s+j
s j s2 + 2 s2 + 2
1
t } =
1
s +j
2j
=
1
2j
s2 + 2
2j
Finalmente
L { sen
t } =
s2 + 2 La transformada de la función coseno puede calcularse de modo similar: f ( t ) = cos t Por la fórmula de Euler, cos t = ½ ( e j
t
t
+ e – j
)
Cuya transformada Laplace es:
L { cos
t } = 1
2
0
e – s t e j t d t +
{ cos t } =
1
2
0
L
e – s t e – j t d t
e – (s - j
t
d t +
0
e – (s + j
t
d t
0
Aplicando un cambio de variable como en el caso anterior, result a: L { cos
t } =
1
t } =
1 2
y, en definitiva
+
s – j
2 L { cos
1
s+j s2 + 2
1 s+j
+
s j
s2 + 2
=
1
2s
2
s2 + 2
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
L { cos
10
s
t } =
s2 + 2
Transformada de las funciones hiperbólicas:
Procediendo de modo similar, es posible obtener las transformadas del seno y coseno hiperbólicos. Sea f ( t ) = ch t, cuya expresión exponencial es ch t = ½ ( e
t
+ e – t )
La transformada Laplace será:
L { ch
t} 1
2
0
e – s t e
t
d t +
0
L { ch
e – s t e – t d t
t} 1
2
0
e – ( s -
t
d t +
e – ( s +
t
d t
0
Aplicando un cambio de variable como en el caso anterior, se obtiene: { L
ch
1
t}
1 s –
2 L {
ch
{ L
ch
s
t} s2
2 f ( t ) = sh t cuya expresión exponencial es
Análogamente, para el seno hiperbólico: sh t = ½ ( e
s +
2
s +
+ s s2 2 s2 2
1
t}
1
t
- e – t )
y la transformada Laplace:
L { sh
L { sh
t}
t} =
1
2
0
0
e – s t e
1
2
0
e – ( s -
t
t
d t -
d t -
e – s t e – t d t
e – ( s +
0
Aplicando como hasta ahora un cambio de variable, se obtiene: L { sh
t} =
1 2
1 s –
1 s +
t
d t
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
L {
sh t }
s s2 2 s2 2
1
11
s +
2 se llega finalmente a
L {
sh t }
2
s2
Calculo de transformadas de Laplace por derivación de otras conocidas:
Derivando las transformadas de las funciones circulares e hiperbólicas con respecto a , se pueden obtener las transformadas de otra funciones tales como t . sen t o t . cos t, etc. A modo de ejemplo calcularemos alguna de ellas: Sabemos que
L
{ sen t } =
e – s t sen t d t
2
s2 +
0
Derivando ambos miembros respecto de
, se tiene:
e – s t t . cos t d t
=
s2 + 2 -
. 2 = s22 ( s 2 + 2 ) 2 ( s 2 + 2 ) 2
0
Pero el primer miembro es justamente la transformada de la función: f ( t ) = t . cos t
{ L
t . cos
s22
t } =
(s2 +
2 ) 2
De manera similar se obtiene la transformada de la función f ( t ) = t . sen t
{ L
cos
t } =
e – s t cos t d t
=
s2 +2
0 1
Derivando ambos miembros respecto de
, se tiene:
e – s t t . sen t d t
2 s
=
(s2 +
0
Y por lo tanto, { L
t . sen
t } =
s
2 s (s2 +
2 ) 2
2 ) 2
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
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De igual manera se obtienen las transformadas siguientes: { L
t . sh t }
2 s
=
(s2
2 ) 2
y { L
t . ch
t } =
s22 (s2
2 ) 2
Obtención de la función primitiva por cálculo directo.
En muchos casos es posible encontrar la función primitiva directamente a partir del conocimiento de la transformada correspondiente. Para esto, se procede a aplicar las transformadas conocidas y de ser necesario se recurre asimismo a los teoremas de desplazamiento de la variable original o de la variable imagen. En ocasiones, puede ser conveniente modificar previamente la expresión de la transformada, por ejemplo expandiéndola como suma de fracciones simples, de modo de poner en evidencia formas de transformadas conocidas. Cálculo de funciones primitivas cuando la transformada es un cociente de polinomios de la forma:
f ( t ) } =
L
as + b s2 + n s + p
El procedimiento consiste en completar el denominador de modo de expresarlo como una suma o diferencia de cuadrados, llevando la fracción
a la forma de una transformada o suma de
transformadas del seno o coseno, circular o hiperbólico: s2 + n s + p = s2 + 2 h s + h2 + ( p – h2 ) = ( s + h )2 + p - h2 donde h = n / 2. En el numerador, debemos separar una expresión igual a: s + h a s + b = a ( s + h ) + b – h a Hecho esto, la antitransformación es directa. Ejemplo: Hallar la función primitiva de la transformada:
f(t)
L
3 s + 12 s2 + 4 s + 13
Resulta:
f(t)
L
3 s + 12
3(s + 2)+6
s2 + 4 s + 4 + 9
f(t)
L
3 (s + 2 ) ( s + 2 ) 2 + 32
( s + 2 ) 2 + 32
2 .3 ( s + 2 )2 + 3 2
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
13
Recurriendo a las transformadas del seno y del coseno, y por aplicación del teorema del desplazamiento de la variable imagen, la función primitiva o antitransformada resulta ser: f ( t ) = 3 e – 2t cos 3 t + 2 e – 2t sen 3 t Ejemplo: Hallar la función primitiva de la transformada:
f(t) =
L
3 ( s + 2 ) ( s2 + 4 s + 8 )2
Trataremos de completar una suma o diferencia de cuadrados dentro del paréntesis en el denominador, para asimilarlo al que corresponde a la transformada de la función seno o coseno: 3 ( s + 2 ) 2.2 (s + 2) 3 L f ( t ) ( s + 2 ) 2 + 4 2 ( s + 2 ) 2 + 4 2 Si comparamos esta expresión con la correspondiente a la transformada de t . sen t, { L
t . sen
2 s
t }
2) 2
(s2 +
con la variable s desplazada de un valor igual a 2, y L
3 ( s + 2 )
3
( s2 + 4 s + 8 )2
igual a 2, se obtiene:
t . e – 2 t sen t
4
Cálculo de primitivas de expresiones algebraicas por descomposición en fracciones simples:
En general una transformada representada por una fracción cuyo numerador y denominador son ambos polinomios de la variable imagen s puede descomponerse en una suma algebraica de fracciones más sencillas cuyas primitivas sean pasibles de calcular en forma directa. Ejemplo: Sea encontrar la primitiva de la función F( s) =
5s+4
5s+4
=
s3 + s2 - 6 s
s ( s2 + s - 6 )
Primero descompongamos esta función en fracciones simples, así: F( s) =
5s+4
=
s ( s + 3 ) ( s – 2 )
A s
+
B
+
s+3
C s – 2
El paso siguiente es encontrar el valor de las constantes A, B y C. Para ello, igualamos los numeradores de ambos términos: F( s) =
5s+4 s ( s + 3 ) ( s – 2 )
=
A ( s2 + s – 6 ) + B ( s 2 – 2 s ) + C ( s 2 + 3 s ) s ( s + 3 ) ( s – 2 )
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
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O sea: 5 s + 4 = ( A + B + C ) s2 + ( A - 2 B + 3 C ) s - 6 A De donde resulta el sistema de ecuaciones lineales siguiente: A + B + C = 0 A -2B +3C = 5 - 6 A = 4
que, una vez resuelto, entrega los valores:
y
C = 7/5
Reemplazando en F ( s ) resulta: 5s+4
F( s) =
2
s ( s + 3 ) ( s – 2 )
11
3s
15 ( s + 3 )
7 5 ( s – 2 )
Y ahora, antitransformando cada una de las fracciones simples, se obtiene la primitiva correspondiente, es decir: f(t)
2
3
11
e – 3t
15
e 2t
7 5
Teoremas del valor inicial y del valor final:
Se ha visto que la transformada de la derivada primera de una función es:
f ‘( t ) = s F ( s ) - f ( 0 )
L
Sabemos además que por la condición de convergencia (Existencia) de la transformada de Laplace, para que ésta exista es condición necesaria que se cumpla la ecuación (1), es decir | e st | > | f ( t ) | Por lo tanto, si hacemos e – st . f ( t )
f(t) e st
(7)
el límite de esta función para s es cero. Por lo tanto, es evidente que también el límite para s de cualquier transformada Laplace debe ser necesariamente igual a cero. Efectivamente
lim s
e – s t f ( t ) d t
= lim s
f(t) e st
dt = 0
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
15
Apliquemos esta propiedad a la transformada de la derivada: Si la misma existe, deberá ser: lim
L
f '( t ) = lim [ s F ( s ) - f ( 0 ) ] = lim
s
s
sF(s) - f(0) = 0
s
Despejando ahora f ( 0 ) y reemplazando por la forma equivalente lim f ( t ) = f ( 0 ) t Se concluye finalmente que: lim f (t ) = lim s . F ( s ) t s igualdad que expresa el llamado Teorema del Valor Inicial . De manera semejante, si ponemos
s F(s)
=
f(0) +
e – s t f ' ( t ) d t
será
lim s F ( s ) s
=
f ( 0 ) + lim e – s t f ' ( t ) d t s
Cambiando el orden de las operaciones de integración y paso al lími te, resulta
lim s F ( s ) = f ( 0 ) + s
lim e – s t f ' ( t ) d t = f ( 0 ) + f ' ( t ) d t s
Calculando esta última integral, se llega a lim s F ( s ) = f ( 0 ) + f ( s
f f ( lim f ( t ) t
Este teorema, inverso del anterior como se ve, se denomina Teorema del Valor Final .
Resolución de ecuaciones diferenciales e integro-diferenciales con coeficientes constantes, por medio de la transformada de Laplace:
El uso de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones integro-diferenciales implica trasladar el problema del campo diferencial al campo del álgebra, es decir, reemplazar el cálculo de integrales y diferenciales por simples divisiones o multiplicaciones. Ejemplo 1: Trataremos de resolver la ecuación integro-diferencial: t
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
y( t) -
16
y(t)dt = 1
0
La transformada de Laplace es: L {
s
y(t)
y(t)
1 s
y(t)
L
1 s
L
y(t)
L
Despejando: L {
y(t)}
1 s - 1
La antitransformada de esta ecuación es: y ( t ) = et que es la solución buscada. Ejemplo 2: Como segundo ejemplo, aplicaremos la transformación de Laplace a la solución de la ecuación de un circuito eléctrico en serie: i(t)
R
C
L
v(t)
Según la ley de Ohm generalizada, la ecuación que relaciona la corriente en este circuito con la tensión aplicada al mismo es: t
v ( t ) = R . i ( t ) + L . i’ ( t ) +
1
C
0
i(t)dt
Si transformamos esta expresión, llamando V ( s ) a la transformada, encontraremos que: V ( s ) = R . I ( s ) + L . s . I ( s ) - L . i ( 0 ) + I ( s ) . 1/ ( s C ) Sacando factor común: V( s) =
R
+ sL + 1/sC
. I( s)
R
+ sL + 1/sC
.I(s)
- L. i( 0)
Si i ( 0 ) = 0, será: V( s) = Si
v ( t ) = V0 = cte, su transformada es:
V ( s ) = V0 / s
(8)
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
17
Reemplazando en la ecuación anterior y despejando I ( s ), es I(s) =
V0
1
s
( R + s L + 1 / sC )
Si llamamos
= 1 / LC Reemplazando, y multiplicando numerador y denominador por s, se obtiene: I(s)
V0
s
s
s 2 L + s R +
Las raíces de la ecuación s 2 L + s R +
son a =
R +
R 2 - 4 / C
2L y b =
R
R 2 - 4 / C
2L Factoreando ahora la ecuación (9), se tiene: s 2 L + s R +
s – a ) . ( s – b )
Por lo tanto, reemplazando en la ecuación de I ( s ), se tendrá I(s)
V0
1 ( s - a ) . ( s – b )
V0
A (s- a)
B
(10)
( s – b )
Antitransformando esta igualdad, obtenemos el resultado de la ecuación integro-diferencial dada: i(t) =
V0 ( A e a t + B e b t )
Para obtener el valor de A y B, igualaremos los numeradores en ambos miembros de la (10): A s - A b + B s - B a = 1 De donde concluímos que: A + B = 0 Ab + Ba = -1 Y por lo tanto, como B = - A, es:
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
18
Ab - Aa = -1
1
A =
a - b y
-1
B =
a - b Pero
a - b
R 2 - 4 / C L
Entonces, reemplazando, obtenemos:
A
L
R 2 - 4 / C y
B
- L
R 2 - 4 / C
Impedancia operacional e impedancia eléctrica:
En muchos problemas que se presentan en la práctica, no es necesario calcular la función primitiva (antitransformada) de la expresión transformada o función imagen. En efecto, si nos interesa, por ejemplo, conocer la Respuesta en Frecuencia de un determinado circuito eléctrico, que es la función que expresa el comportamiento del mismo a una determinada frecuencia o rango de frecuencias de operación, la solución del problema viene dada en el campo de la variable imagen. Sabemos que la impedancia eléctrica de un circuito o "sistema" es función de la frecuencia f y por lo tanto también de la frecuencia angular o pulsación, = 2 f Como la variable de Laplace es precisamente s = igualdad, de enorme importancia en la técnica:
+ j , si hacemos = 0, resulta la siguiente
s = j Aprovechando esta circunstancia, podemos expresar la respuesta eléctrica de un circuito a partir del conocimiento de su transformada Laplace, con sólo reemplazar en la misma s = j . Es decir que se sustituye una operación de antitransformar por un mucho más simple paso al límite: F(j
) = lím F ( s )
Volvamos al circuito serie del parágrafo anterior, cuya ecuación transformada es (18.2): V( s) = La función
R
+ sL + 1/sC.I(s)
Z(s) = R + sL + 1/sC
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
19
se conoce como la Impedancia Operacional del circuito. Mientras que la impedancia eléctrica del mismo es:
) = R + j L + 1 / j C
Z(j
De aquí resulta que en el dominio de la Física, la ecuación (18.2) viene expresada de la forma siguiente: V(j
) = Z ( j ) . I ( j )
Procedimientos generales para la determinación de la antitransformada.
Existen diferentes métodos de aplicación general para el cálculo sistemático de la función primitiva (o antitransformada). Estudiaremos a continuación los siguientes:
Aplicación del teorema de Heaviside.
Fórmula de Riemman - Mellin o Método de los Residuos.
Cabe aclarar que no todos los métodos son aplicables siempre. Por lo tanto, se debe elegir aquel que resulte el más adecuado en cada oportunidad.
Teorema de Heaviside:
Una función algebraica expresada como un cociente de dos polinomios puede ser desarrollada en fracciones parciales de modo sistemático, de la siguiente forma: P(s)
A1
=
Q (s)
+
s – s1
A2 s – s2
+
A3
An
+ ... +
s – s3
s - sn
Si en la igualdad anterior multiplicamos ambos miembros por s – s1, tendremos: P(s)
(s-
s1 )
A1 A2 ( s – s1) + A3 ( s – s1) An ( s – s1)
Q (s)
s – s2
y ahora, tomando el límite para s lím s si
( s – si )
s – s3
s - sn
s1, llegamos a la igualdad:
= Ai
(12)
Q(s)
Este resultado permite desarrollar la expresión algebraica en una suma de fracciones simples cuyas antitransformadas pueden ser calculadas individualmente. También, como los límites de ( s - si ) y de Q ( s ) para s s1 son ambos nulos, podemos aplicar la formula de L’Hospital, para encontrar una expresión más general de l a función primitiva: lím s si
( s – si ) Q (s)
P(s)
1 = lím P(s) s si Q’ (s)
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
20
Pero también es: n
P(s)
=
Q (s)
Ai
i=1
s – si
Reemplazando en esta igualdad Ai por el valor que obtuvimos en la ecuación (12): n
P(s)
1
i=1
s – si
=
Q(s)
P(s)
[ lím s si
]
( s – si )
Q(s)
Operando aquí: n
P(s) Q(s)
=
n
1
s si
s – si
i=1
P(s)
lím
1
=
Q’ ( s )
i=1
s – si
P ( si )
Q’( si )
Ahora podemos expresar la función primitiva de esta transformada Laplace como: n -1
L
P(s)
L
=
-1
1
Q(s)
i=1
P ( si )
s – si
Q’( si )
Pero P ( si ) y Q’ (s i ) son constantes, y pueden en cada caso ser sacados del término entre corchetes como un factor multiplicador, con lo cual, obtenemos: n
-1
L
P(s)
=
Q(s)
P ( si )
i=1
Q’( si )
L
-1
1 s – si
y finalmente, aplicando el teorema del desplazamiento en la variable s: n
-1
L
P(s) Q(s)
=
P ( si )
i=1
Q’( si )
e si t
Ejemplo 1: Sea determinar la primitiva, f ( t ), de la transformada siguiente: 3 2 F ( s) = 3 ( s - 3 s ) - 4 ( s - 4 ) - s + 4 s 4 - 5 s 2 + 4
3 s3 - 4 s2 - 10 s + 20
=
s 4 - 5 s 2 + 4
Las raíces del polinomio denominador son s1 = + 1,
s2 = - 1,
s3 = + 2
Y la derivada: Q’ ( s ) = 4 s 3 - 10 s Reemplazando en esta ecuación los valores de las raíces, se tiene:
y
s 4 = - 2
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
Q’ ( 1 ) = - 6
21
Q’ ( -1 ) = 6
Q’ ( 2 ) = 12
y
Q’ ( -2 ) = - 12
y por su parte: P(1) = 9
P ( -1 ) = 23
P(2) = 8
y
P ( -2 ) = 0
Aplicando ahora la fórmula de Heaviside, resulta: 3
f(t) = -
23
e t +
2 Ejemplo 2:
6
s2 + 4
F( s) =
2
e -t +
e 2t
3
s2 + 4
=
s 3 + s 2 - 2 s
s ( s - 1) (s + 2 ) Las raíces del denominador son en este caso s1 = 0,
s2 = 1,
y
s3 = - 2
y la derivada de Q ( s ) Q’ ( s ) = 3 s 2 + 2 s - 2 Reemplazando en esta ecuación los valores de las raíces, resulta: Q’ ( 0 ) = - 2
Q’ ( 1 ) = 3 y
Q’ ( -2 ) = 6
P(0) = 4
P(1) = 5
P ( -2 ) = 8
Y a su vez y
Aplicando ahora la fórmula de Heaviside, se tiene f(t)
4
2
5 3
e t
8
e -2 t
6
2
5
e t
3
4
e -2 t
3
Ejemplo 3: En este ejemplo, estudiaremos la ecuación de un circuito eléctrico LR en serie, con los siguientes Datos:
E, fuerza electromotriz de la fuente, que suponemos constante. Intensidad de corriente inicial, i ( 0 ) = 0
La ecuación diferencial que relaciona la intensidad de corriente i ( t ) con la fuerza electromotriz aplicada, E, es: E =
L
d i (t )
R . i(t)
dt donde L es el valor de la inductancia de la bobina y R el valor de la resistencia. Pasando E al otro miembro
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
L
di(t)
E
d(t)
R
22
i(t) = 1
E
Ecuación cuya transformada Laplace es:
di(t)
L
L
E
d(t)
R
i ( t )
L
E
1 s
Reemplazando la transformada de la derivada por su valor, con lo cual resulta L
s.
L i ( t ) - i
R
E
i ( t )
L
E
1 s
Si por razones de simplicidad utilizamos la nomenclatura usual para las funciones transformadas Laplace,
i ( t )
L
= I(s)
y despejamos, nos queda
(
L
s +
E
R
. I( s)
=
E
1
+ i
s
L E
Como hemos supuesto que la corriente inicial es nula, i ( 0 ) = 0, se obtiene por fin E
I (s ) =
=
s ( Ls + R)
E L
1 s ( s + R/L )
Las raíces del denominador son, respectivamente s1 = 0
y
s 2 = - R / L
Para aplicar la fórmula de Heaviside, vemos que: P(s) = 1
y
Q ( s ) = s 2 + s R / L
Q’ ( s ) = 2 s + R / L
Por lo tanto: P ( s1 ) = P ( s2 ) = 1 Q’ ( s1 ) = Q’ ( 0 ) = R / L
y
Q’ ( s2 ) = Q’ ( - R / L ) = - 2 R / L + R / L = - R / L Aplicando ahora la fórmula de Heaviside, resulta finalmente
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
E
i (t ) =
L
(
L
L
eo -
R
23
)
e – Rt/L
E
=
R
( 1
- e – Rt/L
)
R
Fórmula de Riemman – Mellin:
Hemos definido la transformada de Laplace como:
F( s) =
e -st f ( t )
dt
0
y la transformada de Fourier:
F ( ) =
f ( t ) e -j t . d t
(13)
-
donde
f(t) =
2
F ( ) e j t . d
-
Si en la primera de estas tres ecuaciones se reemplaza la variable s por sus componentes real e imaginaria s = + j se obtiene para la transformada de Laplace la expresión siguiente:
F ( + j ) =
t
e-
t
e -j
f(t) dt =
-
0
Llamando
( t ) . f ( t ) e -t e -jt d t
( t ) = ( t ) . f ( t ) e -t , y reemplazando en la integral anterior:
F ( + j ) =
( t ) e -jt d t =
F {
( t ) } =
Despejando aquí
( t ) y teniendo presentes las ecuaciones (13) y (14), se obtiene:
( t ) = ( t ) . f ( t ) e -t
2
-
F ( + j ) e j t . d
Pasando e - t al segundo miembro, y tomando en cuenta que la variable de integración es nos autoriza a introducir dicha exponencial bajo el signo de la integral, se llega a:
, lo que
2
-
( t ) . f ( t ) Como se debe integrar respecto de y por ello, será: s =
+ j
F ( + j ) e t e j t . d
, en el integrando se puede considerar a como una constante,
d ( + j = j d
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
24
Reemplazando en la integral,
( t ) . f ( t )
2j
-
F ( + j ) e
j t
. d ( + j )
Al considerar a como una constante, lo que se está haciendo es integrar a lo largo de una recta vertical que pasa por la coordenada , en el eje real (es decir, que contiene al punto de coordenadas [ , 0 ] ), como muestra la figura siguiente:
j
j
Por lo tanto, se deben tomar los límites de integración como sigue: j
( t ) . f ( t ) =
2j
F ( s ) e st . d s
j
Expresión en la que se ha también se ha efectuado el reemplazo Si recordamos la definición de forma siguiente:
2j
+ j
( t ) , la igualdad anterior puede expresarse igualmente de la = f ( t ) si t 0
j
s =
F ( s ) e st . d s =
( t ) . f ( t ) = si t < 0
j
Por lo tanto, si la función f ( t ) es nula para todo t < 0, se verifica la igualdad siguiente, que se conoce como la Fórmula de Riemman – Mellin: j
f(t)
=
2j
F ( s ) e st . d s
(15)
j
Cálculo de la función primitiva por el método de los residuos:
Considérese un recinto como el indicado en la figura siguiente, tal que encierre todos los polos s i de F ( s ) ( Es decir, todos aquellos valores de s para los que F ( s ) tiende a infinito).
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
25
j
+ jR
.s
C
L
1
0
.s
2
.s
n
Por el teorema de los residuos de las funciones de variable compleja, sabemos que n
F ( s ) e st . d s +
C
F ( s ) e s t . d s = 2 j
L
Res [ F ( s ) e s t ]
k=1
Se demuestra (Ver, entre otros, el libro Variable Compleja y Aplicaciones, de R.V. Churchill y J. Ward Brown) que para R tendiendo a infinito, la primer integral del miembro de la izquierda en la igualdad es nula, mientras que la segunda, a lo largo de la recta L , no es otra que la que aparece en la fórmula de R – M, ecuación (18.8). Combinando ambas expresiones, se obtiene: n
f (t ) =
Res [ F ( s ) e s t ],
en los polos de F ( s )
k=1
Nótese que el polo de e st es exterior al recinto considerado. Ejemplo 1: Sea: F(s)
s2 + 4
s(s-1)(s+2) Veremos cómo se resuelve por el método de los residuos esta ecuación, que ya hemos calculado anteriormente por el método de Heaviside: Los residuos en los polos de F ( s ) son: k 1
lim s s0
s2 + 4
e st
s(s-1)(s+2) s2 + 4
k 2 = lim ( s - 1 ) s 1 s(s-1)(s+2) s2 + 4
k 3 = lim ( s + 2 ) s -2 s(s-1)(s+2) y por lo tanto, la función primitiva buscada es:
4
e0 = - 2
-2 e st =
5
et
3 e st =
8 6
e -2 t
Transformada de Laplace. Definición y propiedades.
f(t)
2
5
e t
3
26
4
e -2 t
3
Ejemplo 2: Sea encontrar la primitiva de la función F(s)
1
s-A Hay un solo polo, y por lo tanto, el único residuo es: k 1 = lim sA
( s - A ) e st
=
e At
(s-A)
Resultado que ya habíamos encontrado al estudiar el teorema del des plazamiento de la variable s.
