LABO 3

Manual de Prácticas de Laboratorio de Física III

POTENCIAL ELÉCTRICO

Optaciano Vásquez G.




Universidad nacional “SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS SECCIÓN DE FÍSICA MANUAL DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO DE FISICA III PRACTICA N° 03

“POTENCIAL ELÉCTRICO Y SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES”

AUTOR: M.Sc. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ - PERÚ 2012




UNIVERSIDAD NACIONAL CIENCIAS “SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO” CIENCIAS FISICA CURSO:

FACULTAD DE DEPARTAMENTO DE SECCIÓN DE FISICA III

PRACTICA DE LABORATORIO Nº 3. APELLIDOS Y NOMBRES: SEGURA GAMARRA LIDA KIARA FACULTAD: INGENIERIA CIVIL AÑO LECTIVO: 2012

CÓDIGO: 102.0904.350

ESCUELA PROFESIONAL: INGENIERIERIA CIVIL

SEMESTRE ACADEMICO: II

FECHA:12 GRUPO: N°4

NOTA................................

DOCENTE: OPTACIANO L. VÁSQUEZ GARCIA

FIRMA……….........................

POTENCIAL ELÉCTRICO y superficies equipotenciales I.

OBJETIVO(S) 1.1. Obtener experimentalmente el potencial electrostático V en la cuba electrolítica para diversas configuraciones de electrodos 1.2. Encontrar una serie de superficies equipotenciales de varias distribuciones de carga, a partir de diferencias de potencial. 1.3. Elaborar un esquema cualitativo de las líneas de fuerza del campo eléctrico.

II.

MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL 2.1.

Potencial eléctrico

Una o varias cargas en forma discreta o continua generan en el espacio que los circundan ciertas propiedades físicas tales como el campo eléctrico y el potencial eléctrico. El potencial eléctrico es una magnitud escalar. El valor del potencial eléctrico es un punto dado P(x,y,z) es numéricamente igual al trabajo necesario para traer una carga de prueba positiva q0 desde el infinito donde el potencial es cero (V ∞ = 0), hasta el punto P(x,y,z) venciendo las interacciones electrostáticas que sobre ella ejercen las cargas que producen el campo eléctrico. Matemáticamente se expresa

VP 

  W  P    E.dl q0 (1)

 dl

En donde es el vector desplazamiento y E es la intensidad de campo eléctrico. Para el caso de una carga puntual, se demuestra que el potencial en un punto P(x,y,z) del espacio circundante a la carga q viene expresado por

VP  k

q r

(2)


2.2.



Diferencia de potencial

La diferencia de potencial VB - VA, entre los puntos A y B es igual al trabajo por unidad de carga de prueba, esto es

VB  V A 

  W A B    E.dl q0 (3)

La ecuación (3) nos permite determinar el potencial eléctrico en el punto A siempre y cuando se conociera el campo eléctrico E(r). Si el campo eléctrico fuese uniforme y en la dirección del eje +X, la ecuación anterior se puede escribir.

V   Ex  cons tan te

(4)* Como la diferencia de potencial es la energía por unidad de carga, las unidades de la diferencia de potencial es el Joule por Coulomb, esta unidad se llama Voltio, es decir (1V = 1 J/C). 2.3.

Superficies equipotenciales

Consideremos una carga puntual +q fija en la posición indicada, cuyas líneas de campo eléctrico son radiales y salientes como se muestra en la figura1.

Figura 1. Líneas equipotenciales de una carga puntual El trabajo desarrollado por el campo sobre la carga q0 cuando se mueve desde A hasta B sobre la circunferencia de radio r, viene expresado por

r r B r r B WAB   Fe .ds  q0  E.ds  q0  E cos 900 ds A

A

WA  B  0

(5) La variación de energía potencial desde A hasta B será




U  WA B  0 Sabemos además que la variación de potencial (diferencia de potencial) es la variación de energía potencial por unidad de carga. Por tanto se tiene

V  VB  VA 

U 0  0 q0 q0

VB  VA (6) La ecuación (6) indica que la diferencia de potencial entre dos puntos de una circunferencia es cero, esto es, todos los puntos que se encuentra en la circunferencia de radio r se encuentran a mismo potencial. A esta circunferencia se le denomina línea equipotencial. En general, cuando no se realiza trabajo para mover una carga de prueba sobre una superficie se dice que todos los puntos de dicha superficie, están al mismo potencial y el lugar geométrico se llama superficie equipotencial. En el caso de los conductores en equilibrio electrostático, debido a que la carga reside en su superficie, éstos se comportan como volúmenes equipotenciales es decir todo su volumen se encuentra al mismo potencial. En la Figura 2a, se muestran las líneas de campo eléctrico y las líneas equipotenciales para una carga positiva, en ellas puede observarse que las líneas de fuerza siempre son perpendiculares a las superficies equipotenciales. Así mismo en la figura 2b, se muestra dos superficies equipotenciales de una carga positiva.

(a)

(b)




Figura 2. (a) Líneas de fuerza eléctrica y líneas equipotenciales para una carga puntual positiva, (b) superficies equipotenciales para una carga positiva. En la figura 3a, se muestra las líneas equipotenciales para dos planos cargados con densidades de carga

± σ , debe precisarse que aquí no se

ha considerado el efecto de borde. Este efecto debe Ud. considerarlo en el laboratorio. Mientras que en la figura 3b, se muestra las superficies equipotenciales para la configuración de planos considerados de dimensiones muy grandes en comparación con su distancia de separación.

(a)

(b)

Figura 3. (a) Líneas equipotenciales para dos planos cargados con cargas de signos opuestos, (b) superficies equipotenciales para los planos cargados En la figura 4a, se muestra las líneas equipotenciales (líneas de color naranja) en la región comprendida entre dos cargas puntuales de igual valor pero diferente signo (dipolo) y en la figura 4b, se muestran las superficies equipotenciales (líneas de color celeste) para un conductor cargado y una esfera sin carga neta. Las propiedades de las superficies equipotenciales pueden resumirse en las siguientes: 1. Las líneas de campo eléctrico son perpendiculares a las equipotenciales y apuntan de altos potenciales a bajo potenciales. 2. Por simetría, las superficies equipotenciales producidas por una carga puntual forman una familia de esferas concéntricas, y para campos eléctricos uniformes, una familia de planos perpendiculares a las líneas de campo. 3. La componente tangencial del campo eléctrico a lo largo de una superficie equipotencial es cero, de lo contrario el trabajo hecho para mover la carga sobre una superficie equipotencial no sería cero. 4. Ningún trabajo es necesario para mover una carga sobre una superficie equipotencial Las equipotenciales son análogas a las curvas de nivel de un mapa topográfico, que son las líneas para las cuales es constante la diferencia de elevación con respecto al nivel del mar (figura 5). Debido a que la energía potencial gravitacional de una masa depende de su elevación, la energía




potencial no cambia cuando una masa se mueve siguiendo una línea de nivel. En consecuencia, fuerza de gravedad no tiene componente a l largo de la línea de nivel, La gravedad actúa en dirección perpendicular a la línea de nivel.

(a)

(b)

Figura 04. Líneas de fuerza y superficies equipotenciales para: (a) dos cargas puntuales con cargas

±q

y (b) un conductor

cargado y otro sin carga neta Las equipotenciales son análogas a las curvas de nivel de un mapa topográfico, que son las líneas para las cuales es constante la diferencia de elevación con respecto al nivel del mar (figura 5). Debido a que la energía potencial gravitacional de una masa depende de su elevación, la energía potencial no cambia cuando una masa se mueve siguiendo una línea de nivel. En consecuencia, fuerza de gravedad no tiene componente a l largo de la línea de nivel , La gravedad actúa en dirección perpendicular a la línea de nivel.


Figura 5. III.


Curvas de nivel de un mapa topográfico de un volcán

MATERIALES Y EQUIPOS 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.

VI


Una fuente de voltaje DC Un voltímetro digital Una cubeta de vidrio Cables de conexión Electrodos puntuales, planos y cilíndricos. Solución electrolítica de sulfato de cobre CuSO4 Láminas de papel milimetrado (debe traer el alumno)

METODOLOGIA 4.1.

Potencial eléctrico de dos cargas puntuales. b) c) d) e) f)

Lavar varias veces el recipiente de vidrio con agua potable y posteriormente séquela. En una hoja de papel milimetrado trace un sistema de coordenadas rectangulares X, Y de tal forma que resulten cuatro cuadrantes Coloque la hoja de papel milimetrado debajo de la cubeta de vidrio, haciendo coincidir el origen de coordenadas con el centro de la base de la cubeta como se muestra en la figura 6a. Vierta la solución de sulfato de cobre en la cubeta, en una cantidad tal que el nivel del líquido no sea mayor de 1 cm. Instale el circuito mostrado en la Figura 6b, conectando cada uno de los dos electrodos en paralelo con la fuente de tensión; la terminal negativa del voltímetro debe ir conectada a la terminal negativa de la fuente o al electrodo conectado a la terminal negativa de la fuente, mientras que el otro terminal del voltímetro llevara una punta exploratoria que podrá moverse a través de la solución a fin de determinar el potencial correspondiente. La fuente de voltaje debe estar apagada.




(a) Figura 6.

(b) Instalación del equipo para dos electrodos con

cargas +Q y –Q. g) Antes de colocar los electrodos puntuales sobre el eje X verifique que están limpios, póngalos en forma firme y ajústelo en el borde del recipiente, establezca la posición de los mismos de tal manera que equidisten 24 cm uno del otro quedando el origen del sistema coordenado en el centro. h) Encienda la fuente de tensión estableciendo una diferencia de potencial de 5 V aproximadamente. Verifique este valor con el voltímetro digital, verificando que la escala sea la correcta. i) Cuando se conecta el circuito, entre los electrodo se establece una diferencia de potencial

V 0 , igual a la de la fuente, que puede ser

medida con el voltímetro, si se elige el electrodo conectado al borne ( - ) del voltímetro como punto de referencia

−¿=0 V¿ ¿

y se conecta el

otro a una punta exploratoria Solicite la autorización al docente o al auxiliar para hacer la conexión a la fuente de alimentación j) El mapeo del potencial eléctrico se realiza mediante una punta de prueba (exploratoria) conectada a un voltímetro digital como se ve en la figura 6b. Ud. debe comenzar colocando la punta exploratoria del voltímetro digital en el origen de coordenadas (0,0). Lea la indicación




del voltímetro, este valor será el potencial eléctrico en dicho punto respecto al electrodo negativo, anote su valor en la Tabla I. k) Repita el paso (j) para cada uno de los demás valores solicitados, registrando cada uno de sus valores en la tabla correspondiente. Tabla I. Datos para determinar el potencial eléctrico de Electrodos puntuales +Q y –Q

4.2.

X(cm) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 V(volt 1.67 1.96 2.18 2.3 2.5 2.82 3.01 3.2 ) 8 8 Potencial eléctrico de dos placas paralelas

6 8 10 3.42 3.66 4

a) En una hoja de papel milimetrado trace un sistema de coordenadas rectangulares X, Y de tal forma que resulten cuatro cuadrantes. b) Coloque la hoja de papel milimetrado debajo de la cubeta de vidrio, haciendo coincidir el origen de coordenadas con el centro de la base de la cubeta. c) Vierta la solución de sulfato de cobre en la cubeta, en una cantidad tal que el nivel del líquido no sea mayor de 1 cm. d) Instale el circuito mostrado en la figura 7. La fuente de voltaje debe estar apagada. e) Coloque en la solución un par de electrodos planos simétricamente sobre el eje X de tal manera que equidisten 24 cm uno del otro, quedando el origen en el centro de ambos electrodos. Solicite la autorización al docente o al auxiliar para hacer la conexión a la fuente de alimentación

(a) Figura 7.

(b) Instalación del equipo para dos placas conductoras

paralelas +Q y –Q. f) Encienda la fuente de tensión estableciendo una diferencia de potencial de 5 V aproximadamente. g) Colocar un punto del voltímetro digital en el polo negativo de la fuente (potencial cero) y el otro puntero en el eje X

( 0, x ) Leer las

indicaciones del voltímetro y registre sus valores en la Tabla II para los valores de “x” indicados en dicha tabla.




Tabla II. Datos para determinar el potencial de dos electrodos planos con cargas +Q y –Q X(cm) V(volt ) 4.3.

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Curvas equipotenciales. Para determinar las líneas equipotenciales generadas por cuatro configuraciones de pares de electrodos escogidos por el profesor entre las siguientes posibilidades:    

Dos electrodos puntuales. Dos electrodos planos paralelos. Dos electrodos cilíndricos. Un electrodo puntual y el otro plano.

Siga el siguiente procedimiento 1. En una hoja de papel milimetrado trace un sistema de coordenadas rectangulares XY de tal forma que resulten cuatro cuadrantes. 2. Coloque la hoja de papel milimetrado debajo de la cubeta de vidrio, haciendo coincidir el origen de coordenadas con el centro de la base de la cubeta. 3. Vierta la solución de sulfato de cobre en la cubeta, en una cantidad tal que el nivel del líquido no sea mayor de 1 cm. 4. Instale el circuito mostrado en la figura8. La fuente de voltaje debe estar apagada.

Figura 8.

Instalación del equipo

para determinar curvas

equipotenciales 5. Coloque en la solución los electrodos puntuales sobre el eje X en los puntos A y B de tal manera que equidisten 24 cm uno del otro, quedando el origen en el centro de ambos electrodos. Solicite la autorización al docente o al auxiliar para hacer la conexión a la fuente de alimentación




6. Encienda la fuente de tensión estableciendo una diferencia de potencial de

V 0 , midiendo dicho valor con el voltímetro. Registre su

valor en la Tabla III. 7. Para obtener los puntos de la primera curva equipotencial, mida el potencial del punto

( 0, 0 )

registrando dicho valor en la tabla

correspondiente. Para obtener otros puntos de igual potencial, desplace la punta exploratoria variable P 2 paralelamente al eje X, siendo Y un número entero (2 cm), hasta que el voltímetro registre el mismo potencial. Registre las coordenadas en la Tabla III. 8. Repetir el paso anterior para 8 puntos equipotenciales; cuatro sobre el eje X y cuatro debajo del mismo. Registre sus valores en la tabla III. 9. Las otras curvas equipotenciales, se obtienen siguiendo el mismo procedimiento pero en estos casos el primer punto equipotencial está en los puntos de coordenadas (3,0); (6,0); (9,0); (-3,0); (-6,0); y (-9, 0). Registre sus valores en la Tabla III. 10.Reemplace los electrodos puntuales por otros en forma de placas y repita el procedimiento. Registre sus valores en una Tabla IV 11.Sustituya los electrodos planos por un par de electrodos cilíndricos y proceda a determinar las líneas equipotenciales. Registre sus datos en una Tabla V. 12.Reemplace los electrodos por uno puntual y otro plano y proceda a determinar la curva equipotencial correspondiente. Registre sus valores en la Tabla VI. Precauciones.  La punta exploradora del voltímetro debe estar limpia, mantener la misma profundidad en cada lectura y mantener la posición vertical  La escala del voltímetro debe ser la adecuada NOTA: Sus resultados, en términos de los voltajes reales pueden variar un poco de la forma idealizada mostrada en la figura, debido a la resistencia de contacto, las corrientes de figa y otras pérdidas.




VI. CALCULOS Y RESULTADOS. Tabla III. Datos para determinar las curvas equipotenciales de dos electrodos puntuales.

Lecturas 1 2 3 4 5 6 7 8

Valor del voltaje suministrado por la fuente V0 =5V V1 =2.82 V2 =3.01 V3 =3.34 V4 =3.76 V5 =2.31 V6 = X Y X Y X Y X Y X Y X 1.2 8 3.4 8 7 8 12 6.4 -3.4 8 -7 1 6 3.3 6 6.7 6 11.7 6 -3.3 6 -6.7 0.9 4 3.2 4 6.4 4 10.5 4 -3.2 4 -6.4 0.8 2 3.1 2 6.1 2 9.4 2 -3.1 2 -6.1 0.8 -2 3.1 -2 6.1 -2 9.4 -2 -3.1 -2 -6.1 0.9 -4 3.2 -4 6.4 -4 10.5 -4 -3.2 -4 -6.4 1 -6 3.3 -6 6.7 -6 11.7 -6 -3.3 -6 -6.7 1.2 -8 3.4 -8 7 -8 12 -6.4 -3.4 -8 -7

Y 8 4 6 2 -2 -4 -6 -8

V7 = X -12 -11.7 -10.5 -9.4 -9.4 -10.5 -11.7 -12

Y 6.4 6 4 2 -2 -4 -6 -6.4

Tabla IV. Datos para determinar las curvas equipotenciales de dos electrodos planos.

Lecturas 1 2 3 4 5 6 7 8

Valor del voltaje suministrado por la fuente V0 =5V V1 =2.34 V2 =2.86 V3 =3.43 V4 =4.09 V5 =1.81 V6 =1.28 X Y X Y X Y X Y X Y X Y 0.15 8 3.3 8 6.8 8 10.2 5 -3.3 8 -6.8 8 0.13 6 3.15 6 6.5 6 9.7 4 -3.15 6 -6.5 6 0.1 4 3.1 4 6.3 4 9.4 3 -3.1 4 -6.3 4 0.05 2 3.05 2 6.1 2 9.2 2 -3.05 2 -6.1 2 0.05 -2 3.05 -2 6.1 -2 9.2 -2 -3.05 -2 -6.1 -2 0.1 -4 3.1 -4 6.3 -4 9.4 -3 -3.1 -4 -6.3 -4 0.13 -6 3.15 -6 6.5 -6 9.7 -4 -3.15 -6 -6.5 -6 0.15 -8 3.3 -8 6.8 -8 10.2 -5 3.3 -8 -6.8 -8

V7 =0.07 X Y -10.2 5 -9.7 4 -9.4 3 -9.2 2 -9.2 -2 -9.4 -3 -9.7 -4 -10.2 -5

Tabla V. Datos para determinar las curvas equipotenciales de dos electrodos cilíndricos.

Valor del voltaje suministrado por la fuente V0 =5V Lecturas 1

V1 =2.67

V2 =3.22

V3 =3.82

X 0

X 3.3

X 6.9

Y 8

Y 8

Y 8

V4 =4.62 X 11.6

Y 5.2

V5 =2.19

V6 =1.63

X -3.3

X -6.9

Y 8

Y 8

V7 =0.95 X -11.6

Y 5.2


2 3 4 5 6 7 8

0 0 0 0 0 0 0

6 4 2 -2 -4 -6 -8

3.1 3.05 3 3 3.05 3.1 3.3

6 4 2 -2 -4 -6 -8

6.6 6.2 6 6 6.2 6.6 6.9



6 4 2 -2 -4 -6 -8

6 4 2 -2 -4 -6 -8

11.3 10.4 9.2 9.2 10.4 11.3 11.6

5 4 2 -2 -4 -5 -5.2

-3.1 -3.05 -3 -3 -3.05 -3.1 -3.3

-6.6 -6.2 -6 -6 -6.2 -6.6 -6.9

6 4 2 -2 -4 -6 -8

-11.3 -10.4 -9.2 -9.2 -10.4 -11.3 -11.6

5 4 2 -2 -4 -5 -5.2

Tabla VI. Datos para determinar las curvas equipotenciales de un electrodo puntual y otro plano. Valor del voltaje suministrado por la fuente V0 =5 V1 =3.38 V2 =3.63 V3 =3.96 V4 =4.35 V5 =2.78 V6 =2.40 V7 =1.96 Lectura s 1 2 3 4 5 6 7 8

5.1.

5.2.

X

Y

X

Y

X

Y

X

0.81 0.8 0.6 0.3 0.3 0.6 0.8 0.81

8 6 4 2 -2 -4 -6 -8

3.6 3.4 3.2 3.1 3.1 3.2 3.4 3.6

8 6 4 2 -2 -4 -6 -8

7.1 6.8 6.4 6.1 6.1 6.4 6.8 7.1

8 6 4 2 -2 -4 -6 -8

11.9 10.8 9.7 9.2 9.2 9.7 10.8 11.9

Y

X

Y

8 -0.81 8 6 -0.8 6 4 -0.6 4 2 -0.3 2 -2 -0.3 -2 -4 -0.6 -4 -6 -0.8 -6 -8 -0.81 -8

X

Y

X

Y

-3.6 -3.4 -3.2 -3.1 -3.1 -3.2 -3.4 -3.6

8 6 4 2 -2 -4 -6 -8

-7.1 -6.8 -6.4 -6.1 -6.1 -6.4 -6.8 -7.1

8 6 4 2 -2 -4 -6 -8

Utilizando los datos de las Tablas I y II trazar una gráfica V vs x para cada par de electrodos.

Utilizando la gráfica V vs x, de la tabla II, obtener el campo eléctrico entre los electrodos planos

5.3.

En un papel milimetrado grafique las curvas equipotenciales así como las líneas de campo eléctrico para las distribuciones de carga GRÁFICA DE LA TABLA III




10 8 6 4 2 0 -15

-10

-5

-2

0

5

10

15

-4 -6 -8 -10

GRÁFICA DE LA TABLA IV

10 8 6 4 Y -15

-10

Linear ()

2

2

Linear (2)

0

3

Linear (3)

4

Linear (4)

-4

5

Linear (5)

-6

6

Linear (6)

-8

7

Linear (7)

-5 -2 0

5

10

15

-10 X

GRÁFICA DE LA TABLA V



10

Y

V1

8

Linear (V1)

6

V2

4

Linear (V2)

2

V3 Linear (V3)

0 -15

-10

-5


-2 0

5

10

15

V4

-4

Linear (V4)

-6

V5

-8

V6 Linear (V6)

-10

V7

X

Linear (V7)

GRÁFICA DE LA TABLA VI 10 8 6

V1

4

Linear (V1)

2 Y

V2

0 -10

-5

-2 0

5

-4

10

15

V3 V4 V5

-6

V6

-8

V7

-10 X

5.1

¿Son superficies equipotenciales los electrodos? Explique

5.2 ¿Se cruzan dos líneas equipotenciales o dos líneas de fuerza? Explique 5.4.

5.5.

Explique porque las líneas de fuerza son siempre perpendiculares a las superficies equipotenciales.

¿ Cuáles cree son sus posibles fuentes de error?.

5.6. Demuestre que la magnitud del campo es numéricamente igual al gradiente de potencial




5.7. Si se utilizaría agua destilada como solución electrolítica en lugar de sulfato de cobre, obtendría los mismos resultados? ¿Qué sucedería si se usa agua salada? 5.8. Si se tiene una esfera conductora cargada positivamente muy cerca de otra esfera sin carga pero del mismo material y dimensiones. ¿ Existirán líneas de fuerza?. ¿Existirán superficies equipotenciales? En caso positivo grafíquelos? 5.9. ¿Porqué equipotenciales

no

fluye

corriente

a

lo

largo

de

las

líneas

5.10. En las configuraciones utilizadas. ¿Qué efecto tendría un aumento o una disminución en la tensión aplicada sobre la forma del campo eléctrico y del potencial eléctrico? ¿Qué efecto tendría un cambio en la polaridad de la fuente de tensión?

5.11. Demuestre matemáticamente que el campo eléctrico siempre es perpendicular a una superficie equipotencial

5.12. Porqué no fluye equipotenciales?.

corriente

a

lo

largo

de

las

superficies

5.13. En las configuraciones utilizadas: ¿qué efecto tendría un aumento o una disminución en la tensión aplicada sobre la forma del campo eléctrico y del potencial electrostático? ¿Qué efecto tendría un cambio en la polaridad de la fuente de tensión?

5.14. ¿Qué trayectoria seguiría una partícula cargada positivamente en cada una de las configuraciones ensayadas?.


VI.



CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS 6.1. CONCLUSIONES

6.2. SUGERENCIAS

VII.

BIBLIOGRAFÍA. 7.1. GOLDEMBERG, J. Física General y Experimental. Vol. II. Edit. Interamericana. México 1972. 7.2. MEINERS, H. W, EPPENSTEIN. Experimentos de Física. Edit. Limusa. México 1980 7.3. SERWAY, R. Física Para Ciencias e Ingeniería. Vol. II Edit. Thomson. México 2005, 7.4. TIPLER, p. Física Para la Ciencia y la Tecnlogía. Vol. II. Edit. Reverte. España 2000. 7.5. SEARS, E. ZEMANSKY, M. YOUNG,H. Física Universitaria, Vol. II. Edit. Pearson. México 205.

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