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Laboratorio 2: Momento de Inercia Universidad de San Carlos, Facultad de Ingeniería, Departamento de Física, Laboratorio de Física 1 201403531 Pedro Pablo Morales Ortiz 201404167 Mónica María Sosa Valdez 201114636 Fredi Raxjal
Resumen—El presente reporte describe lo realizado en la segunda práctica del laboratorio de Física 1, la cual trató de estudiar el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, y el momento de inercia de una esfera en movimiento rotacional. Para la práctica, la esfera rota sobre un plano inclinado para demostrar un modelo matemático donde se determinó la aceleración de la esfera. Lo cual es utilizado para encontrar la velocidad de la misma. Con los datos obtenidos por el cálculo y la medición de todo lo relacionado con la práctica, se determina la inercia experimental de la esfera, para después ser comparada con la inercia teórica de ésta.
I. I-A.
más bajo del plano inclinado, se tiene una energía potencial en el punto más alto y en el punto más bajo solo se tendrá energía cinética. Dicho de otra forma: Ep = Ek Sin embargo no solo existe energía cinética traslacional; en el momento que la esfera comienza a rotar en torno a su centro de masa hay energía cinética rotacional, que está definida por: Ekr =
1 2 Iω 2
(3)
Teniendo que:
O BJETIVOS
v r Se sustituye y queda de la siguiente manera: ω=
General
• Analizar el movimiento rotacional de una esfera al rodar sobre un plano inclinado.
1 v2 I( ) (4) 2 r2 Regresando a la conservación de energía en el sistema, la ecuación se conformaría de la siguiente manera: Ekr =
I-B.
Específicos
* Determinar un modelo matemático que describa la posición del centro de masa de la esfera respecto al tiempo. * Calcular la aceleración del centro de masa de la esfera mientras rueda por el plano inclinado (a). * Determinar la velocidad del centro de masa de la esfera en el momento que sale del plano inclinado (v). * Aplicando el teorema de conservación de la energía, calcular el Momento de Inercia (Iexp ) de la esfera. II.
M ARCO T EÓRICO
L momento de inercia es la medida de inercia que tiene un cuerpo rígido que rota. En otras palabras, este desempeña la misma función en el movimiento rotacional que la masa en el movimiento lineal. El momento de inercia para un cuerpo rígido en rotación está definido por:
E
I = Σmr2
(1)
Donde I es el momento de inercia, m es la masa y r el radio de la esfera. Para el caso específico del experimento que se llevó a cabo, se tiene que el momento de inercia de una esfera está dado por: Iteo =
2 2 mr 5
(2)
L teorema de la conservación de la energía postula que la energía mecánica no se crea ni se destruye, solamente se transforma. Por lo que la energía total en un punto A será igual que la energía total en un punto B. En el caso particular de este experimento, si se toma como nivel de referencia al punto
E
Ep = Ekt + Ekr mgh =
1 1 v2 mv 2 + I( 2 ) 2 2 r
Si se despeja I: 2hg − v 2 (5) v2 Donde Iexp es el momento de inercia calculado de manera experimental, m es la masa de la esfera, r es el radio de la esfera, h es la altura desde el punto de referencia al punto más alto del plano inclinado, g es la gravedad y v es la velocidad de la esfera en el momento que sale del plano inclinado. Para determinar la velocidad final se utiliza la cinemática lineal, puesto que se sabe que la aceleración del sistema es constante. La ecuación que describe el movimiento lineal de un cuerpo es: 1 (6) xf = x0 + v0 t + at2 2 Esta ecuación puede ser representada como un modelo cuadrático: y = b0 + b1 x + b2 x2 Iexp = (mr2 )
Donde y es la posición final, x es el tiempo y: 1 a 2 Si la ecuacion (6) se deriva, se obtiene una ecuación para el cálculo de la velocidad final. b2 =
vf = v0 + at
(7)
2
Si se lleva esto al modelo matemático expuesto anteriormente: dy = b1 + 2b2 x dx Donde
dy dx
(8)
es la velocidad final, y x es el tiempo. III.
D ISEÑO E XPERIMENTAL
Se plantea la implementación de una esfera uniforme haciendo un rodamiento puro por un plano inclinado para que, por medio del teorema de la conservación de la energía, se pueda calcular el Momento de Inercia Iexp de la esfera. III-A. * * * * * * *
Plano Bloques de madera Esfera Uniforme Cronómetro Calibrador Vernier Regla Balanza
III-B. * * * *
Materiales
IV. R ESULTADOS Momento de Inercia Teorico El momento de inercia calculado de manera teorica. Iteo = (0.00003090 ± 0.00000009)[kg · m2 ]
(9)
Con un error porcentual: Ep = 0.29 % Tabla 1: Tabla de tiempos promedio (s) versus distancia recorrida (m) Sn S ± ∆S (t ± ∆t)[s] S1 (0.1000 ± 0.0005)[m] (0.7 ± 0.2)[s] S2 (0.2000 ± 0.0005)[m] (1.1 ± 0.2)[s] S3 (0.3000 ± 0.0005)[m] (1.3 ± 0.2)[s] S4 (0.4000 ± 0.0005)[m] (1.6 ± 0.2)[s] S5 (0.5000 ± 0.0005)[m] (1.8 ± 0.2)[s] S6 (0.6000 ± 0.0005)[m] (1.9 ± 0.2)[s] S7 (0.7000 ± 0.0005)[m] (2.1 ± 0.2)[s] S8 (0.8080 ± 0.0005)[m] (2.5 ± 0.2)[s] Gráfica 1 Gráfica de distancia recorrida vs tiempo.
Magnitudes físicas a medir
Cantidad de masa de la esfera Radio de la esfera Altura del plano inclinado al punto de referencia 3 tiempos en que la esfera recorre cada una de las 8 distancias
III-C.
Procedimiento
1- Colocar el plano sobre los bloques de madera para hacerlo inclinado. Procurar dejar la menor inclinación posible para asegurar que se haga un rodamiento puro. 2- Hacer marcas cada 10 cm a lo largo del plano. 3- Medir 3 veces el tiempo que tarda la esfera en recorrer los primeros 10 cm. 4- Repetir el paso anterior para 20, 30, 40, 50, 60, 70, y 80 cm. 5- Medir la masa y el radio de la esfera. III-D.
Diagrama
Modelo Matemático El modelo matemático que describe el movimiento lineal de la esfera obtenido por medio de un ajuste polinomial obedece a la siguiente ecuación: xf = (−0.1167±0.0014)+(0.250±0.002)t+(0.0539±0.0006)t2 (10) Con un coeficiente de correlación: r2 = 0.9914
(11)
Aceleración La aceleración que tuvo la esfera por el plano inclinado. m (12) a = (0.1078 ± 0.0012)[ 2 ] s Con un error porcentual: Ep = 1.11 % Velocidad Final La velocidad de la esfera al momento en que llega al punto más bajo del plano. m v = (0.52 ± 0.05)[ ] (13) s
3
Con un error porcentual: Ep = 9.61 % Momento de Inercia Momento de Inercia de la Esfera obtenido de manera experimental. Iexp = (0.000065 ± 0.000014)[kg · m2 ]
3. La velocidad del centro de masa de la esfera cuando ésta sale del plano inclinado (vf ) es de 0.52 [ rad s2 ] con una incerteza de ±0.05. 4. El momento de Inercia (Iexp ) de la esfera es de 0.000065 [kg · m2 ] con una incerteza de ±0.000014
(14)
Con un error porcentual: Ep = 21.5 % Grafica 2 Comparación de Momento de Inercia teorico y experimental
VII.
F UENTES DE CONSULTA
[1] Giancoli, C. (Sexta edición). (2006). Física Giancoli. México: Pearson Educación. [2] Holliday, D, (Décima edición). (1981).Física Combinada. México: C.E.C.S.A.
VIII. A NEXOS Cálculo 1 Cálculo de la incerteza en el Momento De Inercia Teorico. ∆r ∆m +2 ) m r 0.00005 0.000025 = 0.00003090( +2 ) 0.2233 0.0186 ∆Iexp = Iexp (
∆Iexp
∆Iexp = 0.0000009 Error porcentual: Ep = (
(16)
∆Iexp ) × 100 Iexp
Ep = 0.29 % Calculo 2 Incerteza en la aceleración del centro de masa ∆a = 2∆b2 ∆a = 0.0012 Error Porcentual Ep = (
V.
Calculo 3 Incerteza en la Velocidad Final ∆t ∆a + a t 0.0012 0.2 ∆vf = 0.002 + (0.1078)(2.5)( + 0.1078 2.5 ∆vf = ∆b1 + at(
∆vf = 0.05 Error Porcentual EP = (
(18)
∆vf ) × 100 vf
EP = 9.61 % Calculo 4 Incerteza en el Momento de Inercia Experimental ∆Iexp = Iexp ( ∆Iexp = 0.000065(
∆h 2∆v ∆m 2∆r + + + ) h v m r
0.0005 2(0.05) 0.00005 2(0.000025) + + + ) 0.025 0.52 0.2233 0.0186 ∆Iexp = 0.000014
Error Porcentual
VI.
∆a ) × 100 a
Ep = 0.29 %
D ISCUSIÓN DE R ESULTADOS
De acuerdo con lo observado en la práctica, al soltar del reposo a una esfera sobre un plano inclidado, ésta genera una aceleración. Dicha aceleración se obtuvo por medio de una fórmula matemática la cual es una ecuación cuadrática que describe la posición de la esfera respecto al tiempo. La representación de este moledo matemático se puede ver en la Graf ica 1. Como cualquier cuerpo en movimiento con una aceleración, su velocidad va cambiando respecto al tiempo. La velocidad final de la esfera se calculó mediante la manipulación de ecuaciones lineales que describen el movimiento de la misma. Los datos obtenidos ayudaron a la determinación del momento de inercia experimental de la esfera. Ésto, para poderlo comparar con su momento de Inercia teórico. Al comparar ambos resultados, estos difieren. Lo anterior se debe a errores en la práctica o ya sea por incertezas.
(17)
C ONCLUSIONES
1. El modelo matemático encontrado es xf = (−0.1167±0.0014)+(0.250±0.002)t+(0.0539±0.0006)t2 (15) el cual describe la posición de la esfera respecto al tiempo. 2. La aceleración del centro de masa de la esfera (a) es de 0.1078 [ sm2 ] con una incerteza de ±0.0012.
Ep = (
∆Iexp ) × 100 Iexp
Ep = 21.5 %
(19)
