Elaborado por: Alvick Mallqui Alor 20084006J PROFESOR: ING. RONALD CUEVA PACHECO
I.
ENUNCIADO DEL PROBLEMA .......................................................... .................................................. 3
II.
SOLUCION .................................................................................................................... .................. 3 II.1.
CONSIDERACIÓN DE ESFUERZOS ....................................................................... .................. 3
II.2.
MODELADO DEL CUERPO REAL ................................ ............................................................. 4
II.3.
GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector desplazamiento) ................................................... 4
II.4.
MATRICES DE RIGIDEZ .................................... .............................................................. .......... 5
II.5.
FUERZAS............................................................ ................................................................. ....... 8
II.6.
ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE ENTORNO...................................................... 9
II.7.
ESFUERZOS ........................................................................... ................................................... 9
III.
DIAGRAMA DE FLUJO ...................................................... ........................................................... 10
IV.
CODIGO MATLAB .............................................................................................. ........................... 12
V.
SOLIDWORK ........................................................... ................................................................. ..... 16
VI.
CONCLUSIONES ............................................................... ........................................................... 18
I.
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Modelar la viga mostrada con 4 elementos finitos (por lo menos), y calcular en ellos los esfuerzos debido a la flexión de la misma; y las reacciones en los apoyos (empotrados).
Considerar como Material: Acero estructural A-36
= 2.1105 /
= 7.8 − /3
II. SOLUCION II.1. CONSIDERACIÓN DE ESFUERZOS En cada elemento finito de la viga; en un punto genérico (
, y)
E y
σ 2 6 ξ q1 ( 3ξ 1 ) e q2 6ξ q3 ( 3ξ 1 ) e q 4 e e
τ max α e
6 EI α 3 2q1 e q2 2q3 e q 4 A A e V
Dónde: “y” es la distancia del punto genérico a la fibra neutra
II.2. MODELADO DEL CUERPO REAL
II.3. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector desplazamiento) Observando el gráfico 1:
0 0 3 4 = 5 () 6 0 0 Como hay apoyos fijos y no hay fuerzas, Q1, Q2, Q9 y Q10 =0.
II.4. MATRICES DE RIGIDEZ
Para el elemento finito 1:
I 1
I 1
100 x133 12
25 x(200 13 13) 3 12
100 x133 12
2 x(
200 2
13 2
101224550 4 mm 3
Matriz de Rigidez Local: 4500 12 4500 101224550 12 (2.1 x10 ) x( ) 4500 2250000 4500 1125000 3 k 1 12 4500 4500 12 750 5
4500 1125000 4500 2250000
Para el elemento finito 2:
) 2 x100x13
I 2
100 x133 12
25 x(400 13 13) 3 12 I 2
100 x133 12
2 x(
400 2
13 2
) 2 x100x13
619119550 mm 4 3
Matriz de Rigidez Local: 4500 4500 12 619119550 12 (2.1 x10 ) x( ) 4500 2250000 4500 1125000 3 k 2 12 4500 12 4500 750 5
4500 1125000 4500 2250000
Para el elemento finito 3:
I 3
100 x133 12
25 x(400 13 13) 3 12 I 3
100 x133
619119550 mm 4 3
12
2 x(
400 2
13 2
2
) x100x13
Matriz de Rigidez Local: 4500 4500 12 619119550 12 ) 4500 2250000 4500 1125000 3 12 750 12 4500 4500
(2.1 x10 5 ) x(
k 3
4500 1125000 4500 2250000
Para el elemento finito 4:
I 4
100 x133 12
25 x(200 13 13) 3 12 I 4
100 x133 12
2 x(
200 2
13 2
) 2 x100x13
101224550 4 mm 3
Matriz de Rigidez Local:
12 4500 4500 101224550 12 (2.1 x10 ) x( ) 4500 2250000 4500 1125000 3 k 4 12 4500 12 4500 750 5
4500 1125000 4500 2250000
II.5. FUERZAS Fuerzas debido al peso del material
7.8 gr f / cm3 76.518 x10 6 N / mm3
p1 p4 A1 A4 76.518 x(100 x13 x2 25x(200 26)) 0.5318001 p 2 p3 A2 A3 76.518 x(100 x13 x2 25x(400 26)) 0.9143901
0.5318001 x750 W 1 2
0.5318001 x750 2
0.5318001 x750
12
2
0.9143901 x750
0.9143901 x750 2
0.9143901 x750
2
12
2
12
0.9143901 x750
0.9143901 x750 2
0.9143901 x750
0.9143901 x750 2
2
12
2
0.5318001 x750 2
0.5318001 x750
12
2
W 2
W 3
0.5318001 x750 W 4 2
0.5318001 x750 2 12
0.9143901 x750 2
12
12
Fuerzas debido a la carga distribuida:
5 x750 2
5 x750
12
2
5 x750 P 3 2
5 x7502
5 x750
12
2
2 5 x750
12
2 5 x750
12
0.5318001 x750 2
199.4250375 24928.1296875 542.321325 17933.90625 685.792575 W 0 542.321325 17933.90625 199.4250375 24928.1296875
5 x750 P 2 2
0 0 1875 234375 3750 P 0 1875 234375 0 0
II.6. ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE ENTORNO
= 2175159000 2600302110 0 0 6934138.96 8067853.92 2175159000 1512722610000 2600302110 650075527500 0 0 6934138.96 2600302110 13868277.92 0 2600302110 6934138.96 0 26003021100000 2600302110 650075527500 2600302110 650075527500 0 0 8067853.92 6934138.96 2600302110 2175159000 0 0 2600302110 650075527500 2175159000 1512722610000
Q3 2417.321325 Q 252308.90625 4 Q5 4435.792575 0 Q6 Q7 2417.321325 Q8 252308.90625
Resolviendo obtenemos: 0 0 8 6.88701171757 x10 11 7 . 4626414653 8 x 10 1.00053539892 x10 7 Q 0 6.88701171757 x10 8 11 7.46264146538 x10 0 0
II.7. ESFUERZOS Para un punto genérico (z, y), donde z є [-1,1]
e
Ey
(
2
l e
)6 zq1 (3 z 1)l e q 2 6 zq3 (3 z 1)l e q 4
Para y=50 mm: Para z=-1
5.62 x10 6 7 6 . 86 x 10 1.40 x10 6 6 3.53 x10 Para z=1
3.53 x10 6 6 1 . 40 x 10 6.87 x10 7 6 5.62 x10 Para z=0
1.05 x10 6 1.05 x10 6 1.05 x10 6 6 1.05 x10
III. DIAGRAMA DE FLUJO
INICIO
Leer datos de entrada
Para i=1:4
Calcula la matriz de rigidez de ca da elemento y también la global.
Calcula desplazamientos, reacciones
Para i=1:4
Calcula esfuerzos para e=-1,1
Si ES1<=ES2
Emax=ES1
Emax=ES2
Imprime esfuerzos y reacciones.
IV. CODIGO MATLAB clc; format long; n=input('Ingrese Numero de Elementos Finitos:'); e1=input('Espesor de las alas(mm):'); e2=input('Espesor del alma(mm):'); l1=input('Longitud de las alas(mm):'); L=input('Ingrese Longitud de la Viga(mm):'); E=input('Modulo de Elasticidad(N/mm2):'); yp=input('Ingrese Peso Especifico(N/mm3):'); pe=input('Carga Distribuida Externa(N/mm):'); disp('MOMENTOS DE INERCIA') for i=1:(n/2) d(i)=(4*(L*(i-1)/n)/15+100+4*(L*i/n)/15+100)/2; I(i)=2*(l1*e1^3/12)+e2*(d(i)-2*e1)^3/12+2*(d(i)/2-e1/2)^2*l1*e1; end for i=((n/2)+1):n d(i)=(900-4*(L*(i-1)/n)/15+900-4*(L*i/n)/15)/2; I(i)=2*(l1*e1^3/12)+e2*(d(i)-2*e1)^3/12+2*(d(i)/2-e1/2)^2*l1*e1; end disp(I) disp('MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL K') k=zeros(2*(n+1),2*(n+1)); for i=1:n l=L/n; ke(:,:,i)=E*I(i)/l*[12 6*l -12 6*l;
6*l 4*l*l -6*l 2*l*l; -12 -6*l 12 -6*l;
6*l 2*l*l -6*l 4*l*l]; gl1=2*i-1; gl2=gl1+1; gl3=2*(i+1)-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; k(gl,gl)=k(gl,gl)+ke(:,:,i); end disp(k) disp('FUERZAS DEBIDO AL PESO DEL MATERIAL') for i=1:n A(i)=l1*e1*2+e2*(d(i)-2*e1); p(i)=-yp*A(i); end w=zeros(1,2*(n+1)); for i=1:n l=L/n; we(:,:,i)=[p(i)*l/2 p(i)*l^2/12 p(i)*l/2 -p(i)*l^2/12]; gl1=2*i-1; gl2=gl1+1; gl3=2*(i+1)-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; w(1,gl)=w(1,gl)+we(:,:,i); end wt=w'; disp(wt) disp('FUERZAS DEBIDO A LA CARGA DISTRIBUIDA') c=zeros(1,2*(n+1)); for i=2:3
l=L/n; ce(:,:,i)=[pe*l/2 pe*l^2/12 pe*l/2 -pe*l^2/12]; gl1=2*i-1; gl2=gl1+1; gl3=2*(i+1)-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; c(1,gl)=c(1,gl)+ce(:,:,i); end ct=c'; disp(ct) disp('FUERZA TOTAL') f=ct+wt; disp(f) disp('DESPLAZAMIENTOS') disp('Q=') kf=k(3:8,3:8); ff=f(3:8,1); qf=inv(kf)*ff; Q=[0;0;qf;0;0]; disp(Q) disp('ESFUERZOS LONGITUDINALES(N/mm2)') y=input('Ingrese punto generico a analizar:'); z=-1; es1=zeros(n,1); for i=1:n gl1=i*2-1; gl2=gl1+1; gl3=(i+1)*2-1; gl4=gl3+1;
gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; q=Q(gl); es1(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q; end disp('z=-1') disp(es1) es2=zeros(n,1); for i=1:n gl1=i*2-1; gl2=gl1+1; gl3=(i+1)*2-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; q=Q(gl); es2(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q; end disp('z=1') disp(es2) z=0; es0=zeros(n,1); for i=1:n gl1=i*2-1; gl2=gl1+1; gl3=(i+1)*2-1; gl4=gl3+1; gl=[gl1 gl2 gl3 gl4]; q=Q(gl); es0(i)=-E*y/l^2*[6*z (3*z-1)*l -6*z (3*z+1)*l]*q; end disp('z=0')
disp(es) V. SOLIDWORK
SÓLIDO
ESFUERZOS
DESPLAZAMIENTOS
Número total de nodos
15192
Número total de elementos
7461
Cociente máximo de aspecto
7.1523
% de elementos cuyo cociente de aspecto es < 3
63.2
% de elementos cuyo cociente de aspecto es > 10
0
% de elementos distorsionados (Jacobiana)
0
Tiempo para completar la malla (hh;mm;ss):
00:00:02
Nombre de computadora:
VAIO
VI. CONCLUSIONES
El análisis de viga en sección constante es un caso particular de sección variable.
El vector desplazamiento es desarrollado en base a la conectividad de los elementos, por ello es importante manejar una tabla de conectividad ordenada y secuencial.
Cada elemento de la viga está sujeto a fuerzas y un momento; las fuerzas que pueden ser de compresión o tensión directa mientras los momentos son de flexión.
Como es propio de la viga, en este caso todas las cargas son aplicadas en los nodos, además los cálculos se realizan despreciando la fricción en los nodos.
Las matrices que se analizan en estos sistemas son de orden muy elevado, por tal razón es necesario utilizar un lenguaje de programación que nos permita manejar las variables con mayor flexibilidad y poder generalizar el método de análisis.
El análisis hecho en SolidWork se observa que analiza 15192 nodos, y los valores obtenidos son muy próximos a los realizados, es por eso que no depende mucho del número de nodos que usemos, es para dar más exactitud a los cálculos.
