Apuntes de Matemáticas. Curso 2011-2012
8 RESUMEN: Optimización con restricciones de igualdad
(
Optimizar f x1 ,…, xn
)
sujeto a
! # g1 x1 ,…, xn = c1 # ". !# g m x1 ,…, xn = cm #$
(
)
(
)
número de restricciones= ! < ! = número de variables
Técnicas de resolución: 1) Método de sustitución. 2) Método de los multiplicadores de Lagrange (1736-1813).
8.1 Método de sustitución Consiste en despejar una de las incógnitas de la restricción en términos de las otras variables, y sustituir dicha variable en la función objetivo. Este método es difícil de aplicar cuando la restricción es una función complicada, o cuando hay un sistema de ecuaciones para expresar las restricciones.
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8.2 Método de los multiplicadores de Lagrange
(
)
Condición de regularidad: la matriz jacobiana de g = g1 , g 2 ,…, g m es
" $ $ $ $ Jg x = $ $ $ $ $ #
!g1 x !x1
!g1 x !x2
!g 2 x !x1
!g 2 x !x2
!
!
()
()
()
()
()
!g m x !x1
!g m x !x2
()
()
% ! ' ' ' !g 2 ! x ' !xn '. ' " ! ' !g m ' ! x ' !xn & !g1 x !xn
()
()
()
La condición de regularidad consiste en que el rango de la matriz jacobiana sea igual al número de restricciones m en el óptimo. Condiciones necesarias de óptimo local Definimos la función lagrangiana o Lagrangiano:
(
)
(
)
(
)
(
)
L x1 ,…, xn = f x1 ,…, xn ! !1 (g1 x1 ,…, xn ! c1 ) !… ! !m (g m x1 ,…, xn ! cm )
Llamamos a ! , ! ,…, ! multiplicadores de Lagrange: 1
2
m
Condiciones necesarias
!g !g !L !f = ! !1 1 !… ! !m m = 0, !xi !xi !xi !xi
(i = 1,…,n) .
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En la práctica n
ecuaciones
de
las
condiciones necesarias m restricciones
Se resuelve el sistema formado por
=
n + m ecuaciones con las n + m
{
}
incógnitas x1 ,…, xn , !1 ,…, !m .
Condiciones suficientes de óptimo para el problema de optimización restringido:
Condiciones suficientes: Sea x* un punto crítico del Lagrangiano que cumple las ! restricciones y sea HL(x) su matriz Hessiana: 1) Si HL( x* ) es definida positiva, entonces x* es un mínimo relativo. 2) Si HL( x* ) es definida negativa, entonces x* es un máximo relativo. 3) Si HL(x) es semidefinida positiva para todo ! ∈ ! ! , entonces x* es un mínimo absoluto. 4) Si HL(x) es semidefinida negativa para todo ! ∈ ! ! , entonces x* es un máximo absoluto.
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Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange (dos variables y una restricción de igualdad) Sea el problema de optimización restringida
!# ( ) " sujeto a g ( x, y ) = c #$ Sean la solución ( x (c), y (c)) con multiplicador de Lagrange ! (c) y la función valor óptimo f (c) = f ( x (c), y (c)) . Entonces: max f x, y
0
0
0
0
0
0
df 0 c = !0 (c) dc
()
Así, el multiplicador de Lagrange !0 (c) es la tasa de variación del valor óptimo de la función objetivo cuando la constante de restricción ! cambia. En particular si !" es un cambio pequeño, entonces !! ! + !" − !! (!) ≈ !! ! ∙ !" es decir, variando la constante de restricción en !" unidades el valor del óptimo varía en !! ! ∙ !! unidades. Los economistas llama al multiplicador de Lagrange !! ! un precio sombra del recurso.
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