Laplace denklemi Laplace denklemi, özelli Matematikte Laplace özellikle kleri ri ilk def defa Pierre-Simonn Laplace Pierre-Simo Laplace tarafından tarafından çalışılmış bir kısmi bir kısmi diferansiyel denklemdir. denklemdir . Laplace denkleminin çözümleri, elektromanye elektromanyetizma, tizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa hassa elektrik elektrik ve yerçek yerçekim im potansiyeli ile akışkan akışkan potansipotansiyelinin davranışını davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda potansiyel teorisi olateorisi olarak da bilinmektedir. bilinmektedir.
Bu sıklıkla
∇2 f = 0
olarak yazılır veya,daha genel kavramlar içinde özel olarak,
∆f = 0,
1 Tanım
burada ∆ = ∇ 2 Laplace operatörü veya operatörü veya “Laplasyen"dir
Üç boyutta, problem x , y ve z gibi üç gerçel değişkene sahip ve iki kere türevlenebilir türevlenebilir.Laplace .Laplace denkleminin çözümlerine aynı zamanda harmonik zamanda harmonik fonksiyonlar da fonksiyonlar da denmektedir. Laplace ve Poisson denklemleri eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin en denklemlerin en basit örnekleridir. örnekleridir. Kısmi diferans feransiy iyel el operatörü operatörü olan ve herhangi herhangi bir boyutta boyutta tanımlatanımlanabilen ∇ 'ye veya ∆ 'ya Laplasyen 'ya Laplasyen işlemcisi veya işlemcisi veya kısaca Laplasyen denmektedir. Laplasyen denmektedir.
∆f = ∇ 2 f = ∇ · ∇f = div grad grad f,
burada ∇ • diverjans • diverjans işlemcidir (“div” işlemcidir (“div” ile sembolize edilir) bu skalerler için vektörler gönderme, ve ∇ gradyan işlemcidir (“grad” işlemcidir (“grad” ile ifade edilir) bu vektörler için skaler göndermedir. (bu nedenle, Laplasyen Laplasyen Δf ≝ div grad f, bir skaler büyüklük için skaler f fonksiyonu göndermedir ; özellikle bu bir skaler için (fonksiyon) f'in vektör grad (kısmi türevler ) göndermesidir.) göndermesidir.)
2
Kartezyen koordina koordinatlar tlar da
∆f =
∂ 2 f ∂x 2
+
∂ 2 f ∂y 2
+
∂ 2 f ∂z 2
Eğer sağ-el taraf verilen özel bir fonksiyon fonksiyon ise, h ise, h(( x , y, y, z), z), yani, Eğer böyle bir denklem
= 0.
Silindirik koordinatlar da,
∆f =
1 ∂ r ∂r
� � ∂f r ∂r
∆f = h
ise "Poisson "Poisson denklemi" denklemi" denir.
1 ∂ 2 f
∂ 2 f + 2 2 + 2 =0 r ∂φ ∂z
Laplace denklemi ayrıca Helmholtz ayrıca Helmholtz denklemini denklemininn özel bir durumudur.
Küresel koordinatlar da,
∆f =
1 ∂ ρ2 ∂ρ
Not:Delta sembolü, Δ, ayrıca “bir değişiklik içinde” bazı çokluklar gösterim için yaygın olarak kullanılıyor,
∂f ∂ 1 + 2 ρ2 ∂ρ ρ sin θ ∂θ
� �
�
Eğrisel koordina koordinatlar tlar da, ∂ ∆f = j ∂ξ
�
∂ f ki g ∂ξ k
�
∆f
�√ = √ | | ∂ |g | ∂ξ i
�
2
2 Sını Sınırr koşu koşull lları arı
∂f n + j g jm Γmn = 0, ∂ξ
veya 1
Laplace ve Poisson denklemleri eliptik denklemleri eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin en basit örnekleridir. örnekleridir. Kısmi diferansiy diferansiyel el 2 ∂f ∂ f olan ve herhangi bir boyutta tanımlanabilen ∇ 1 operatörü + 2 2 = 0. sin θ 2 ∆ 'ya Laplace veya 'ya Laplace operatörü veya operatörü veya kısaca Laplasyen kısaca Laplasyen ∂θ ρ sin 'ye θ ∂ϕ denmektedir.
∂f gg ∂ξ j ij
�
= 0,
Laplace denklemi için Dirichlet problemi bir problemi bir D bölgesi D bölgesi üzerinde tanımlı ve verilmiş başka bir fonksiyona D 'nin 'nin sınırı üzerinde eşit olan bir ϕ fonksiyonu bulmaktan ibarettir. Laplace operatörü ısı operatörü ısı denkleminde yer denkleminde yer aldığı için, problemin bir diğer yorumu da şöyledir: Bölgenin sını(g = det {gij }). rındaki sıcaklık sabit tutulur ve bölgenin iç tarafındaki 1
3 İKİ BOYUTTA LAPLACE DENKLEMİ
2
ux = v y ,
vx = − uy .
Takip eden ifade ise
uyy = (−vx )y = −(vy )x = −(ux )x .
olacaktır. Bu yüzden u Laplace denklemini sağlar. Benzer bir hesaplama yine v 'nin de Laplace denklemini sağladığını gösterir. Bir halka üzerinde Laplace Denklemi (iç yarıçap r =2 ve dış yarıçap R =4) ile Dirichlet sınır Koşulları: u(r =2) =0 ve u(R =4) =4sin(5*θ)
Aksine diğer taraftan bir harmonik fonksiyon verilirse, bu fonksiyon analitik bir f (z ) fonksiyonunun gerçel kısmı olur (en azından yerel olarak). Eğer
sıcaklık artık değişmeyecek şekilde beklenilir. İç bölgedeki sıcaklık dağılımı artık ilişkin Dirichlet probleminin çözümü tarafından verilecektir.
f (z ) = ϕ (x, y ) + iψ (x, y)
olarak alınırsa ve
Laplace denklemi için Neumann sınır koşulları D' nin sınırında ϕ fonsiyonunu belirtmez ancak bu fonksiyonun normal türevini belirtir. Fiziksel olarak bu durum, yalnız ψx = − ϕy , ψy = ϕ x D 'nin sınırında etkisi bilinen bir vektör alanı için olan bir potansiyelin inşasına (oluşturulmasına) denk gelmek- şartı konulursa, o zaman Cauchy-Riemann denklemleri sağlanacaktır. tedir. Laplace denkleminin çözümlerine harmonik fonksiyon- Bu ilişki ψ'yi belirlemese de artışlarını belirler: lar denilmektedir ve bu fonksiyonların hepsi denklemin sağlandığı bölge içinde analitiktir. Eğer iki fonksiyon Laplace denkleminin (veya herhangi doğrusal homo- dψ = − ϕy dx + ϕx dy. jen diferansiyel denklemin) çözümüyse, toplamları (veya herhangi doğrusal kombinasyonları) da ayrıca bir çözüm- φ için Laplace denklemi ψ'nin integrallenebilme koşuludür. Süperpozisyon ilkesi de denilen bu özellik özellikle nun sağlandığını gösterir: karmaşık problemlerin basit çözümlerin toplanılması yoluyla yapılan çözümlerinde çok yararlıdır. ψxy = ψ yx
3 İki boyutta Laplace denklemi İki değişkenli Laplace denklemi ϕxx + ϕyy = 0
formuna sahiptir.
3.1 Analitik fonksiyonlar Karmaşık analitik bir fonksiyonun gerçel ve sanal kısmının her ikisi de Laplace denklemini sağlar. Eğer z= x +iy ise ve
ve bu yüzden ψ bir çizgi integrali yoluyla tanımlanabilir. İntegrallenebilme koşulu ve Stoke teoremi iki noktayı birleştiren çizgi integralinin değerinin takip edilen yoldan bağımsız olduğunu gösterir. Laplace denkleminin sonucunda çıkan çözüm çiftine eşlenik harmonik fonksiyonlar adı verilir. Bu inşa sadece yerel olarak veya takip edilen yolun bir tekilliği çevrelememesi koşuluyla geçerlidir. Örneğin, r ve θ kutupsal koordinatlar olursa ve
ϕ = log r
ise, o zaman karşılık gelen analitik fonksiyon
f (z ) = log z = log r + iθ
f (z ) = u (x, y ) + iv (x, y)
fonksiyonudur. Bununla birlikte, θ açısı orijini çevrelemeyen bir bölge içinde tek (bir) değerlidir.
ise, o zaman f ( z) 'nin analitik olması için gerekli koşul aşağıdaki Cauchy-Riemann denklemlerinin sağlanmasıdır:
Laplace denklemi ve analitik fonksiyonlar arasındaki yakın ilişki Laplace denkleminin çözümünün her mertebeden türevi olduğunu gösterir ve bu çözüm en azından bir
3.3 Elektrostatik
3
tekilliği çevrelemeyen bir çember içinde kuvvet serilerine genişletilebilir. Bu durum, daha az düzenliliğe sahip ısı denklemi çözümleriyle tezat bir haldedir. Kuvvet serileri ve Fourier serileri arasında sıkı bir ilişki vardır. Bir f fonksiyonu R yarıçaplı bir çember içinde kuvvet serisine genişletilirse, bu gerçel ve sanal kısımları
ifadesini verir. Bu yüzden her analitik fonksiyon düzlemde durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akışkan akıma karşılık gelir. Gerçel kısım hız potansiyeli olurken sanal kısım akış fonksiyonu olur.
3.3 Elektrostatik cn = a n + ibn .
Maxwell denklemleri'negöre,iki uzay boyutunda yer alan ve zamandan bağımsız olan bir elektrik alanı (u,v),
şeklinde olan uygun katsayıların olduğu ∞
∑ ( )=
f z
∇ × (u, v ) = v x − uy = 0
cn z n ,
n=0
ifadesini ve ρ'nun yük yoğunluğu olduğu
ifadesi anlamına gelir. Bu yüzden, ∞
∞
∑[ ( )=
f z
n
n
an r cos nθ − bn r sin nθ
n=0
∑[ ]+ i
n=1
∇ · (u, v ) = ρ an r sin nθ + bn rn cos nθ ] ifadesini sağlar. n
olur ki bu da f 'nin Fourier seridir.
Birinci Maxwell denklemi
3.2 Akışkan akımı
dϕ = − u dx − v dy
u ve v nicelikleri durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akı- diferansiyeli için integrallenebilme koşuludur. Böylece mın iki boyutta yatay ve dikey bileşenleri olsun. Akımın elektrik potansiyeli olan φ sıkıştırılamaz olmasının koşulu, ϕx = − u,
ux + vy = 0
olmasıdır ve akımın dönmez olmasının şartı da
ϕy = − v
ifadesini sağlayacak şekilde inşa edilebilir. İkinci Maxwell denklemi o zaman Poisson denklemi olarak ifade edilen
∇ × V = v x − uy = 0
olmasıdır. Bir ψ fonksiyonunun diferansiyeli
dψ = v dx − u dy
olarak tanımlanırsa, o zaman sıkıştırılamama şartı bu diferansiyel için integrallenebilme koşulu olur: Sonuçtaki fonksiyona akış fonksiyonu adı verilir çünkü bu fonksiyon akım çizgileri boyunca sabittir. ψ'nin birinci türevi
ψx = v,
ψy = − u
ϕxx + ϕyy = − ρ
denklemini verir. İki boyutta kullanılana benzer olarak, Laplace denklemi elektrostatik ve akışkan akımının üç boyutlu problemlerinde de kullanılabilir.
4 Üç boyutta Laplace denklemi 4.1 Temel çözüm
ile verilir ve sıkıştırılamama şartı ψ 'nin Laplace denklemini sağladığını gösterir. ψ 'ye eşlenik olan harmonik φ fonksiyonuna hız potansiyeli denilir. Cauchy-Riemann denklemleri
Laplace denkleminin temel çözümü, Dirac delta fonksiyonu δ 'nın (x′ , y ′ , z ′ ) noktasında toplanmış bir birim kaynağı gösterdiği
ϕx = − u,
∆u = u xx + uyy + uzz = − δ (x − x′ , y − y ′ , z − z ′ )
ϕy = − v
4 ÜÇ BOYUTTA LAPLACE DENKLEMİ
4 denklemini sağlar. Hiçbir fonksiyon bu özelliğe sahip değildir ancak yine de bu, integralleri uzay üzerinde birlik olan ve desteği (fonksiyonun sıfır olmadığı bölge) bir noktaya küçülen bir fonksiyonlar limiti olarak düşünülebilir. Temel çözümün tanımı bu yüzden, u 'nun Laplasyeninin kaynak noktasını çevreleyen herhengi bir hacim üzerinde integrali alındığında, o zaman
∫∫∫
∇ · ∇ u = − f
olur ve u, S üzerinde g sınır değerlerini alır. O zaman aşağıdaki eşitlikleri veren (diverjans teoreminin bir sonucu olan) Green özdeşliğine başvurulabilir:
∫∫∫
div ∇u dV = − 1
[G ∇ · ∇u − u ∇ · ∇ G] dV =
V
V
olduğunu gösterir. Laplace denklemi koordinatların rotasyonuyla değişmez kalır ve bu yüzden bir temel çözümün, sadece (kaynak noktasından uzaklığı gösteren) r 'ye bağımlı olan çözümler arasından elde edilebileceği beklenir. Hacim kaynak noktası etrafında a yarıçaplı bir top olarak düşünülürse, o zaman Gauss diverjans teoremi
∫∫∫
∇·[G∇u − u∇G] dV =
V
un ve G n gösterimleri S üzerindeki normal türevleri ifade etmektedir. u ve G 'nin sağladığı şartlar bağlamında, bu sonuç
′
′
′
u(x , y , z ) =
∫∫∫
Gf dV +
V
∫∫
Gn g dS
S
haline gelir. Bu yüzden, Green fonksiyonu f ve g 'nin (x ,y ,z ) noktalarındaki etkisini açıklar. a yarıçaplı kürenin içi düşünüldüğünde ise, Green fonksiyonu yansıtma yoluyla elde edilebilir (Sommerfeld, 1949): Kürenin merkezinden ρ kadar uzaklıkta olan P kaynak noktası, ′
−1 =
∫∫∫
div ∇u dV =
V
∫∫
ur dS = 4 πa 2 ur (a)
S
ifadesini verir. O zaman takip eden ifade ise, kaynak noktası etrafında r yarıçaplı bir küre üzerindeki
ur (r) = −
1
ρ′ =
4πr 2
′
a2 ρ
uzaklıkta bulunan bir N noktasına yarıçapsal doğru boyunca yansıtılır.
ifadesidir ve bu yüzden
u =
′
1 4πr
olur. Benzer bir hesap ise iki boyutta
Unutulmaması gereken nokta P küre içindeyse, N 'nin küre dışında olması gerektiğidir. O zaman Green fonksiyonu R 'nin P kaynak noktasına uzaklığı ve T 'nin yansıtılmış N noktasına olan uzaklığı gösterdiği 1
− log r u = 2π
4πR
−
a 4πρT
ifadesi tarafından verilir. Green fonksiyonu için olan bu ifadenin bir sonucu ise Poisson integral formülüdür . ρ, θ, ve φ, P kaynak noktası için küresel koordinatlar olsun. 4.2 Green fonksiyonu Burada θ dikey eksenle olan açıyı göstermektedir. (Amerikan matematik gösterimine uymaz ancak standard AvBir Green fonksiyonu da bir V hacminin S sınırında- rupa ve fiziksel uygulamalarına uyum gösteren bir göski uygun şartı sağlayan temel bir çözümdür. Örneğin, terimdir) O zaman, küre içindeki Laplace denkleminin G(x,y,z ;x ,y ,z ) , çözümü olduğunu gösterir.
′
V ′ de
′
′
∇ · ∇ G = −δ (x − x′ , y − y ′ , z − z ′ ),
(x,y,z ) S ′ de ise
G = 0
cos Θ = cos ϕ cos ϕ′ + sin ϕ sin ϕ′ cos(θ − θ ′ ) olarak alınırsa
ifadelerini sağlayabilir. Eğer u, V üzerinde Poisson denkleminin herhangi bir çözümüyse
1 3 ρ2 u(P ) = a 1 − 2 4π a
�
� ∫∫
g(θ′ , ϕ′ ) sin ϕ′ dθ ′ dϕ′ (a2 + ρ2 − 2aρ cos Θ)3/2
∫
5 tarafından verilir.
• Laplace Diferansiyel Denklemi PlanetMath'dadır.
Bu formülün basit bir sonucu ise şudur: u harmonikse, o zaman u 'nun kürenin merkezindeki değerleri, u 'nun küre üzerindeki değerlerinin ortalama değerleridir. Bu ortalama değer özelliği ise ivedilikle sabit olmayan bir fonksiyonun maksimum değerini kürenin içinde alamayacağı sonucunu verir.
• Başlangıç Değer Problemleri Örnekleri exampleproblems.com 'daki Laplace denklemi kullanılarak.
5 Ayrıca bakınız • 6-küre koordinatlar, bir koordinat sistemi altında bu Laplace’s denklemi becomes R-ayrılabilir • Helmholtz denklemi,Laplace’s denkleminin genel bir durumu. • Bateman dönüşümü • Earnshaw’s teoremi stabil statik ferromanyetik süspansiyonun imkansız olduğunu göstermek için Laplace denklemi kullanır • Vektör Laplasyen • Küresel harmonikler • Dörtlük bölgeler • Potansiyel teorisi • Potansiyel akımı
6 Kaynakça • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2Kısmi Diferansiyel Denklemler . • I. G. Petrovsky, Partial Differential Equations, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.-- Kısmi Diferansiyel Denklemler . • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 158488-299-9Mühendisler ve Biliminsanları için
Doğrusal Kısmi Diferansiyel Denklemler El Kitabı. • A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, New York, 1949.-- Fizikte Kısmi Diferansiyel Denklemler .
7 Dış bağlantılar • Laplace Denklemi (özel çözümler ve sınır değer problemleri) EqWorld: The World of Mathematical Equations’dadır.
• MathWorld'teki Laplace Denklemi bilgisi • Laplace Denklemi Modülü, John H. Mathews tarafından • Laplace denklemi tarafından hükmedilen sınır değer problemlerinin sınır öğesi metoduyla nasıl nümerik olarak nasıl çözülebileceğinin araştırılabileceği bir site
8 METİN VE GÖRÜNTÜ KAYNAKLARI, YAZARLAR VE LİSANS
6
8 Metin ve görüntü kaynakları, yazarlar ve lisans 8.1 Metin •
Laplace denklemi Kaynak: https://tr.wikipedia.org/wiki/Laplace_denklemi?oldid=15143543 Katkıda bulunanlar: Ayyuru, Thijs!bot, SieBot, Vikiçizer, Loveless, MystBot, Luckas-bot, Khutuck Bot, Almabot, Xqbot, TobeBot, Ildeguz, RedBot, ZéroBot, YBot, YFdyh-bot, Peykbot ve Addbot
8.2 Resimler •
Dosya:Laplace’{}s_equation_on_an_annulus.jpg Kaynak: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Laplace%27s_ equation_on_an_annulus.jpg Lisans: CC BY-SA 3.0 Katkıda bulunanlar: Yükleyenin kendi çalışması Özgün yazarı: DavidianSkitzou
8.3 İçerik lisans •
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0
