Laplace Maple

Transformada de Laplace con Maple

Introducción

En este capitulo, se presenta el uso del paquete matemático MAPLE, para el cálculo simbólico de la transformada de Laplace. En primera instancia se definen algunos requisitos para la determinación determinación de éste operador y luego se utiliza la librería existente dentro de Maple para la obtención simbólica de la transformada de Laplace.

Integración por partes

Si f (t ) = u (t ) ⋅ v (t ) , con u (t ) y v(t ) funciones diferenciables, diferenciables, entonces por medio de la regla del producto para la diferenciación diferenciación podemos escribir: f ′(t ) = u (t ) ⋅ v′(t ) + v( t ) ⋅ u′( t )

ó

d [u ⋅ v] dt

Por ejemplo:

=u

dv dt

d [t 2 sen t ] d t

+v

du dt

= 2tsen t + t 2 cos t

Con Maple: > di ff (t ^2*s *sii n(t ), t) ;

2 t sin( t ) + t 2 cos( t )

2

Transformada Transformada de Laplace con Maple

Si integramos la expresión: d [u ⋅ v] dt

=u

dv dt

+v

du dt

con respecto a la variable t nos queda:

∫

⎡ dv ⎤ ⎡ du ⎤ dt + ∫ v ⎢ ⎥ dt ⎥ ⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦

u ⋅v = u ⎢

de donde:

∫

⎡ dv ⎤ ⎡ du ⎤ d t u v v = ⋅ − ⎥ ∫ ⎢⎣ d t ⎥⎦ d t ⎣ dt ⎦

u⎢

Esta expresión es la formula de la integración por partes. Ejemplo 1: Determine:

∫ t cos t d t en t , tenemos: Si u = t y v = sent

⎡ dv ⎤

du d t

= 1 y

dv d t

= cos t , por lo que:

⎡ du ⎤

∫ t cost d t = ∫ u ⎢⎣ d t ⎥⎦ d t = u ⋅ v − ∫ v ⎢⎣ d t ⎥⎦ d t = tsent − ∫ sent dt = tsent + cost + c Usando Maple: > I nt( t*co t*cos s(t ), t) =i nt( t*co t*cos(t) s(t) , t) ;

⌠ t cos( t ) d t = cos( t ) + t sin( t ) ⎮ ⌡

Facultad de Ingeniería UC

Luis Villamizar

3


La librería "student " contiene un procedimiento que aplica la formula de integración por partes. Este procedimiento se invoca de la siguiente forma: with(student): intparts(I,u)

Parámetros: I: una expresión de la forma: Int (u * u: el factor u en la fórmula

∫

dv

, t )

d t

⎡ dv ⎤ ⎡ du ⎤ d t u v v = ⋅ − ⎥ ∫ ⎢⎣ d t ⎥⎦ d t ⎣ dt ⎦

u⎢

Ejemplo 2: > wi t h( st udent ) : #se i nvo voca ca l a l i br eri a que co con nt i en ene e el pr oce ced di mi ent o i ntp tpa arts(I nt(t *c *co os(t ), t), t); vall ue( %) ; va

t sin( t ) − ⌠ ⎮sin( t ) d t

⌡

cos( t ) + t sin( t )

> g: =x- >x^2*s *sii n( x) x);;

i ntp tpa art s(I nt( g( x) , x) , x^2) ; si mpl i f y( %) ; vall ue( %) ; va

g := x → x2 sin( x )

− x2 cos( x ) − ⌠ −2 x cos( x ) d x ⎮ ⌡ − x2 cos( x ) + 2 ⌠ x cos( x ) d x ⎮ ⌡ − x2 cos( x ) + 2 cos( x ) + 2 x sin( x )


Luis Villamizar

4


Integrales impropias

Una integral impropia de la forma:

∫

∞ 0

f (t ) dt

se define como:

∫

∞ 0

f (t ) dt = lim

R→∞

∫

R

0

f (t ) dt

Si el valor del límite existe, se dice que la integral impropia converge. Ejemplo 3: > f : =x- >1/ x^2;

I nt( f ( x) , x=1. . R) =i nt ( f ( x) , x=1. . R) ; l i mi t( %, R=i nf i ni ty);

f := x →

1 x2

R

⌠ 1 ⎮ ⎮ ⎮ x2 ⎮ ⌡1

d x =

R − 1 R

R

lim

R →

∞

⌠ 1 ⎮ ⎮ ⎮ x2 ⎮ ⌡1

d x = 1

Maple permite evaluar este tipo de integrales, directamente: ty)= )=ii nt( f (x (x), ), x=1. . i nf i ni ty ty); ); > I nt( f (x), x=1. . i nf i ni ty ∞

⌠ 1 ⎮ ⎮ ⎮ x2 ⎮ ⌡1


d x = 1

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5


Ejemplo 4: > I nt ( 1/ ( 1+x^2) , x=0. . R) ; val ue( %) ; val Li mi t ( %, R=i nf i ni t y) ; vall ue( %) ; va

R

⌠ 1 ⎮ ⎮ ⎮ 1 + x2 ⎮ ⌡0

d x

arctan( R ) lim arctan( R )

R →

∞

π 2

> I nt( 1/ ( 1+x^2) , x=0. . i nf i ni ty); vall ue( %) ; va

∞

⌠ 1 ⎮ ⎮ ⎮ 1 + x2 ⎮ ⌡0 π

d x

2


Luis Villamizar

6


Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f (t ) es una función F ( s ) definida mediante la expresión: L[ f (t )] =

∫

∞ − st 0

e

f (t ) dt

= F (s )

La integral impropia se determina, como: →∞ ∫

F ( s) = lim P

P

0

e

− st

f (t ) dt

Ejemplo 5: Determine la transformada de Laplace de f (t ) = 1 > f : =t - >1;

I nt( exp(- s*t) *f( t) , t=0. . P); val ue( %) ; # se asume s>0, para garant i zar l a convergenci a assume( s>0); Li mi t ( %, P=i nf i ni t y) =l i mi t ( %, P=i nf i ni t y) ;

f := 1 P

⌠ ⎮ ⎮ ⌡0

( −s t )

( −s P )

−

− 1

s ( −s P )

lim

P →


∞

−

d t

s

− 1

=

1 s

Luis Villamizar

7


Ejemplo 6: f (t ) = t > f : =t- >t;

I nt( exp(- s*t) *f( t) , t=0. . P); val ue( %) ; assume( s>0) ; # se asume s>0 Li mi t ( %, P=i nf i ni t y) =l i mi t ( %, P=i nf i ni t y) ;

f := t → t P

⌠ ⎮ ⎮ ⌡0 ( −s P )

−

P →

∞

t d t ( −s P )

s P +

−1

s2 ( −s P )

lim

( −s t )

−

( −s P )

s P +

−1

s2

=

1 s2

Ejemplo 7: f (t ) = t 2 > f : =t - >t ^2;


f := t → t 2 P

⌠ ⎮ ⎮ ⌡0 ( −s P )

−

P →


∞

−

t d t

( −s P )

s P+2

( −s P )

−2

s3 ( −s P )

lim

s 2 P2 + 2

( −s t ) 2

s 2 P2 + 2

( −s P )

s3

s P+2

( −s P )

−2

=

2 s3

Luis Villamizar

8


Ejemplo 8: f (t ) = eat > f : =t - >exp( a*t ) ;

I nt( exp(- s*t) *f( t) , t=0. . P); val ue( %) ; assume( s>a) ; # se asume s>a Li mi t ( %, P=i nf i ni t y) =l i mi t ( %, P=i nf i ni t y) ; ( a t )

f := t → P

⌠ ⎮ ⎮ ⌡0

( −s t )

( −s P

−

( a t )

d t

+ a P)

− 1

s − a ( −s P + a P )

lim

P →

∞

−

− 1

s − a

=

1 s − a

Ejemplo 9: f (t ) = cos(at ) > f : =t - >cos(a*t) ;


f := t → cos( a t ) P

⌠ ⎮ ⎮ ⌡0 − lim

P →


∞

−

s

s

( −s P )

( −s t )

cos( a t ) d t ( −s P )

cos( a P ) − a

sin( a P ) − s

s 2 + a 2 ( −s P )

cos( a P ) − a

( −s P )

s 2 + a 2

sin( a P ) − s

=

s s 2 + a 2

Luis Villamizar

9


Ejemplo 10: f (t ) = sen(at ) > f : =t- >si n(a*t);


f := t → sin( a t ) P

⌠ ⎮ ⎮ ⌡0 − lim

P →

∞

−

a

a

( −s P )

( −s t )

sin( a t ) d t ( −s P )

cos( a P ) + s

sin( a P ) − a

s 2 + a 2 ( −s P )

cos( a P ) + s

( −s P )

sin( a P ) − a

s 2 + a 2

=

a s 2 + a 2

Otra manera de calcular por definición la transformada de Laplace es suponer que la función es clase A, es decir seccionalmente continua y de orden exponencial cuando t → ∞ , así como Re( s ) > 0 . Llamando:

∫

g (t ) = e

− st

f (t ) dt

tenemos:

∫

lim g (t ) = 0 . (Si f (t ) es de orden exponencial, g (t ) = e− st f (t ) dt , también lo es) t →∞

Por lo que: F ( s ) = g (∞) − g (0) = − g (0)


Luis Villamizar

10


2 Ejemplo 11: Utilizando este forma obtenga la transformada de Laplace de f(t) = t

> f : =t - > t ^2;

g: =t- >i nt( exp(- s*t)* f (t ), t) ; `g( t) ` = g( t) ; `g( i nf i ni ty) - g( 0) ` = si mpl i f y( subs(t =i nf i ni ty, g( t) ) - subs(t =0, g( t ) ) ) ; `F(s) ` = si mpl i f y( - subs(t =0, g( t ) ) ) ;

f := t

→ t 2

⌠ ( −s t ) f ( t ) d t ⎮ ⌡ ( −s t ) 2 2 ( −s t ) s t + 2 s t + 2

g := t → ⎮ g(t)

=−

s3 ( −s ∞ )

g(infinity) - g(0)

( −s t )

=−

s2 ∞ +

( −s ∞ )

s∞+2

( −s ∞ )

−2

s3 F(s)

=

2 s3

Ejemplo 12: f (t ) = eat > f : =t - > exp( a*t ) ;

g: =t- >i nt( exp(- s*t)* f (t ), t) ; `g( t) ` = g( t) ; `g( i nf i ni ty) - g( 0) ` = si mpl i f y( subs(t =i nf i ni ty, g( t) ) - subs(t =0, g( t ) ) ) ; `F( s) ` = ( si mpl i f y( - subs(t =0, g( t) ) ) ) ; ( a t )

f := t →

⌠ ( −s t ) f ( t ) d t ⎮ ⌡

g := t → ⎮

( −s t + a t )

g(t)

=

−s + a ( ∞ ( −s + a ) )

g(infinity) - g(0)

F(s)


=

=−

−1

−s + a 1

−s + a

Luis Villamizar

11


Ejemplo 13: f (t ) = senh(t ) > f : =t - > cos(a*t) ;

g: =t- >i nt( exp(- s*t)* f (t ), t) ; `g( t) ` = g( t) ; `g( i nf i ni ty) - g( 0) ` = si mpl i f y( subs(t =i nf i ni ty, g( t) ) - subs(t =0, g( t ) ) ) ; `F(s) ` = eval ( si mpl i f y( - subs(t =0, g( t ) ) ) ) ;

f := t → cos( a t )

⌠ ( −s t ) f ( t ) d t ⎮ ⌡

g := t → ⎮ g(t) g(infinity) - g(0)

=

−s

=−

s

( −s ∞ )

( −s t )

cos( a t )

s 2 + a 2

cos( a ∞ ) + a

+

a

( −s t )

sin( a t )

s 2 + a 2

( −s ∞ )

sin( a ∞ ) + s cos( 0 ) − a sin( 0 )

s 2 + a 2 F(s)

=

s s 2 + a 2

Maple puede ser usado directamente para encontrar la transformada de Laplace una vez que se cargue la librería inttrans , la cual contiene entre otras, una función denominada laplace que la determina. Para llamar la librería, se escribe: > wi th( i ntt rans); [ addtable , fourier, fouriercos , fouriersin, hankel, hilbert, invfourier , invhilbert, invlaplace, invmellin, laplace, mellin, savetable ] La sintaxis de esta función es: laplace( f (t ), t , s ) , por ejemplo: Ejemplo 14: > f : =t- >t:

`f( t) ` = f( t); l apl ace(f (t ), t, s);

f(t) = t 1 s2


Luis Villamizar

12


> f : =t - >exp( a*t ) :


f(t)

=

( a t )

1 s − a

> f : =t- >si nh( t) :


f(t)

= sinh( t ) 1 s 2 − 1

> f : =t - >t ^n:

assum e( n>0) : `f( t) ` = f( t); l apl ace(f (t ), t, s); conver t ( %, f actor i al ) ;

= t n ( −n − 1 ) s Γ( n + 1 ) ( −n − 1 ) s ( n + 1 )! n + 1 f(t)

Dado que se requieren dos parámetros adicionales en la función laplace , podemos definir un operador L mediante un procedimiento donde su argumento sea la función f (t ) a la cual se le determinara su transformada de Laplace: > wi th( i ntt rans):

# defi ni ci on de un pr ocedi mi ent o para cal cul ar Lapl ace L : = pr oc( f ) l apl ace(f , t, s) end;

L :=

( f ) laplace( f, t, s )

Ejemplo 15: > ' L(1)' = L( 1);


Luis Villamizar

13


L( 1 ) =

1 s

L( t 4 ) =

24

> ' L(t ^4) ' = L( t ^4) ; s5

> ' L(cos(a*t) ) ' = L(cos(a*t) ); L( cos( a t ) ) =

s s 2 + a 2

> ' L( t * si n( t ) ) ' ; val ue(%) ;

L( t sin( t ) ) 2s ( s2 + 1 )

2

> ' L(cos(t) ^2)' ; val ue( %) ; si mpl i f y(%) ;

L( cos( t )2 ) s2 ⎛ 2 ⎜⎜ 1 + ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ s ( s 2 + 4 )

2 + s2 s ( s 2 + 4 )


Luis Villamizar

14


Propiedades de la transformada de Laplace

Linealidad: > f : =t - >t ^3+2*cos( t ) - si nh( 2*t ) : `f(t ) ` = f( t); `L(f (t) ) ` = L(f (t )) ;

f(t)

= t 3 + 2 cos( t ) − sinh( 2 t )

L(f(t))

=

6 s

4

+

2s s

+ 1

2

−

2 s

− 4

2

Primer teorema de traslación: Por definición: > f : =t - >exp( 3*t ) *cos(2*t) :

' f(t) ' = f(t); I nt( exp(- s*t) *f( t) , t=0. . P); val ue( %) ; assume( s>3) ; # se asume s>3 Li mi t ( %, P=i nf i ni t y) ; ' F( s) ' = val ue( %) ;

f ( t ) = P

⌠ ⎮ ⎮ ⌡0 ( −( s − 3 ) P )

−

P →

∞

( 3 t )

( −( s − 3 ) P )

cos( 2 t ) cos( 2 t ) d t

cos( 2 P ) − 2

( −( s − 3 ) P )

sin( 2 P ) − s + 3

s 2 − 6 s + 13 ( −( s − 3 ) P )

lim

cos( 2 P ) s − 3

( −s t )

( 3 t )

−


cos( 2 P ) s − 3

( −( s − 3 ) P )

cos( 2 P ) − 2

( −( s − 3 ) P )

sin( 2 P ) − s + 3

s 2 − 6 s + 13 s − 3 F( s ) = 2 s − 6 s + 13

Luis Villamizar

15


Por la propiedad: > f : =t - >exp( 3*t ) *cos(2*t) ;

pr i nt ( `l a tr ansf or mada de cos( 2t ) es: ` ) ; l apl ace(cos(2*t) , t, s); pr i nt ( `l a susti t uci ón de s=s- 3, es: `) ; subs( s=s- 3, %) ; `F( s) ` = si mpl i f y( %) ; ( 3 t )

cos( 2 t ) f := t → la transformada de cos(2t) es: s s 2 + 4 la sustitución de s=s-3, es:

s−3

( s − 3)2 F(s)

+4 s−3 = 2 s − 6 s + 13

Usando el procedimiento de Maple: > f : =t - >exp( 3*t ) *cos(2*t) : `f( t) ` = f( t); `F(s) ` = L(f (t )) ; si mpl i f y(%) ;

f(t) F(s)

=

F(s)

=

( 3 t )

cos( 2 t ) s−3

( s − 3 )2 ⎛ ⎞ 4 ⎜⎜ + 1 ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ s−3 = 2 s − 6 s + 13

> f : =t - >exp( 2*t ) *t ^2: `f( t) ` = f( t); `F(s) ` = L(f (t )) ;


f(t)

=

F(s)

=

( 2 t ) 2

t

2 ( s − 2 )3 Luis Villamizar

16


> f : =t- >exp( - t) *si n( 2*t ) : `f( t) ` = f( t); `F(s) ` = L(f (t )) ; si mpl i f y( %) ;

=

f(t) F(s)

( −t )

=

sin( 2 t ) 1

( s + 1 )2 ⎛ ⎞ 2 ⎜⎜ + 1 ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ 2 F(s) = 2 s + 2 s + 5

Segundo teorema de Traslación: Por definición: > f : =t - >pi ecewi se( 1<=t , ( t - 1) ^2) : `f( t) ` = f( t); I nt( exp(- s*t) *f( t) , t=0. . P); val ue( %) ; assume( s>0) ; # se asume s>0 Li mi t ( %, P=i nf i ni t y) : ' F( s) ' = val ue( %) ;

( t − 1 )2 f(t) = { 0

1 ≤ t otherwise

P

⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡0

( −s t )

2 ⎛ ⎜⎜ { ( t − 1 ) 0 ⎝

1 ≤ t ⎞ ⎟ d t otherwise ⎠⎟

{ 0 , P ≤ 1 ( −s P )

−

s 2 P2 + 2 s P

( −s P )

+2

( −s P )

−2

( −s P )

s3

s2 P − 2

( −s P )

s+

( −s P )

s2 − 2

( −s )

,

1 < P F( s ) =


2 s

s3

Luis Villamizar

17


Para utilizar la función de Maple, debemos expresar la función f (t ) en términos de la función de Heaviside, la cual viene definida en la librería standard . Por ejemplo:

> u: =t - >Heavi si de( t - 2) ;

pl ot ( u( t ) , t =0. . 10, u=0. . 1. 25, t i ckmarks=[ 3, 3] , l abel s=[ t , ù( t ) `] ) ; `L[u(t )] ` = L(u(t )) ;

u := t → Heaviside( t − 2 )

( −2 s )

=

L[u(t)]

s

Escribiendo la función anterior en términos de la función de Heaviside, tenemos: > f : =t - >( t - 1) ^2*Heavi si de( t - 1) : `f( t) ` = f( t); `F(s) ` = L(f (t )) ;

f(t)

= ( t − 1 )2 Heaviside( t − 1 ) F(s)

=

( −s )

2

s3

> f : =t - >t ^2*Heavi si de( t - 1) : `f( t) ` = f( t); `F(s) ` = L(f (t )) ;

f(t)

= t 2 Heaviside( t − 1 ) ( −s )

F(s)


=

s

+

( −s )

2 s

2

+

( −s )

2 s

3

Luis Villamizar

18


Cambio de escala (Homotecia): Por propiedades: > f : =t - >cos(a*t) :

`f( t) ` = f( t); # def i ni mos l a f unci ón si n cambi o de escal a g: =t - >cos( t ) : `g( t) ` = g( t) ; # Cal cul amos l a t r ansf ormada de Lapl ace a est a f unci ón G: =s- >L(g( t ) ) : `G( s) ` = G( s) ; # Apl i camos l a pr opi edad `F( s) ` = ( 1/ a) *subs( s=s/ a, G( s) ) ; # si mpl i f i cam os el r esul t ado si mpl i f y( %) ;

f(t) = cos( a t ) g(t) = cos( t ) s G(s) = 2 s + 1 s F(s) = ⎛ s 2 ⎞ a 2 ⎜⎜ 2 + 1 ⎟⎟ ⎝ a s F(s) = 2 s + a 2

Directamente, utilizando el procedimiento escrito con Maple: > `F(s) ` = L(f (t )) ; F(s)

=

s s 2 + a 2

Transformada de Laplace de las derivadas: Por propiedades, Maple conoce su expresión, esto es: > wi th( i ntt rans):

l apl ace( di f f ( f ( t ) , t ) , t , s) ;

s laplace( f ( t ), t, s ) − f( 0 ) Facultad de Ingeniería UC

Luis Villamizar

19


> # Transf ormada de Lapl ace de l a segunda deri vada l apl ace(di f f( f( t) , t$2), t, s);

s ( s laplace( f ( t ), t, s ) − f( 0 ) ) − D( f )( 0 )

> # Transf ormada de Lapl ace de l a enési ma deri vada l apl ace(di f f( f( t) , t$n), t, s);

n − 1

( n − _U1 − 1 ) )( f )( 0 ) ⎟⎟ s laplace( f ( t ), t , s ) − ⎜⎜ ∑ s _U1 ( D ⎜⎝ _U1 = 0 ⎠⎟

Ejemplo 16: Determine la transformada de la derivada de f (t ) = sen(t ) : > f : =t- >si n(t ):

`f( t) ` = f( t); ` L( di f f ( f ( t ) , t ) ) ` = L( di f f ( f ( t ) , t ) ) ;

f(t)

= sin( t )

L(diff(f(t),t))

=

s s 2 + 1

Transformada de Laplace de la derivada de: f (t ) = sen2t > f : =si n( t ) ^2;

`F(s) ` = l apl ace(di f f (f , t) , t, s);

f := sin( t )2 F(s)


=

2 s 2 + 4

Luis Villamizar

20


Transformada de Laplace de las integrales: Por propiedades, Maple la aplica directamente: > wi th( i ntt rans):

l apl ace(i nt( f (u), u=a. . t) , t, s);

laplace( f ( t ), t, s ) s

a

1 − ⎜⎜ ⌠ f ( u ) d u ⎟⎟ ⎮ s ⎜⎝ ⌡0 ⎟

> l apl ace(i nt( i nt( f (u), u=0. . v), v=0. . t) , t, s); laplace( f ( t ), t, s ) s2

También podemos mediante un procedimiento construir la aplicación de la propiedad: > wi th( i ntt rans):

# pr ocedi mi ent o que apl i ca l a pr opi edad de l a i nt egr al , t eni endo como par ámet r os l a f unci on y el val or i ni ci al del l i mi t e de l a i nt egr al . Li nT: = pr oc( f , a) (l apl ace(f , t, s)- i nt(f , t=0. . a)) / s; end;

LinT :=

( f, a) ( laplace( f, t, s ) − int( f , t = 0 .. a ) )/s

Ejemplo 17: Determine la transformada de:

t

∫π cos(2u) du

Con Maple directamente: > f : =t - >cos(2*t) :

`f( t) ` = f( t); Lapl ace(I nt( f (u) , u=Pi . . t) , t, s) = l apl ace(i nt( f (u), u=Pi . . t) , t, s);

f(t)

= cos( 2 t )

t ⎛ 1 ⌠ ⎜ Laplace⎜ ⎮ cos( 2 u ) d u, t, s ⎟⎟ = 2 ⎜⎝ ⌡π ⎟ s + 4


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21


Con nuestro procedimiento: > Lapl ace(I nt( f (u), u=Pi . . t) , t, s) = Li nT(f (t ), Pi ); t ⎛ 1 ⌠ ⎜ Laplace⎜ ⎮ cos( 2 u ) d u, t, s ⎟⎟ = 2 ⎜⎝ ⌡π ⎟ s + 4

Ejemplo 18: L ⎡ ueu du ⎤

⎢⎣ ∫

t

0

⎥⎦

> g: =t - >i nt ( u*exp( u) , u=0. . t ) : `G( s) ` = L( g( t) ) ; si mpl i f y( %) ;

G(s)

=

1 ( s − 1 )2

G(s)

=

−

1 s − 1

+

1 s

1 ( s − 1 )2 s

Transformada de Laplace de la multiplicación por t n : Por propiedades, Maple tiene la expresión que la calcula: > wi th( i ntt rans):

l apl ace(t*f (t) , t, s);

∂ −⎛ ⎜⎜ ∂s laplace( f ( t ), t, s ) ⎟⎟ ⎝ ⎠ > ' l apl ace' (t ^2*f (t ), t, s) = l apl ace(t ^2*f (t ), t, s); 2

laplace( t

∂2 f ( t ), t , s ) = 2 laplace( f ( t ), t , s ) ∂s

> ' l apl ace' (t ^3*f (t ) , t, s) = l apl ace(t ^3*f (t ), t, s); 3

laplace( t


3 ∂ ⎛ f ( t ), t , s ) = −⎜⎜ 3 laplace( f ( t ), t , s ) ⎟⎟ ⎝ ∂s ⎠

Luis Villamizar

22


Ejemplo 19: L[t sen(t)] Definamos un procedimiento, donde se pase como parámetro la función y el exponente de t > wi th( i ntt rans):

ML: =pr oc( f , n) # cal cul a l a tr ansf or mada de Lapl ace de f l apl ace(f , t, s): # der i va n veces a F( s) y mul t i pl i ca por ( - 1) ^n ( - 1) ^n*di f f ( %, s$n) : # si mpl i f i ca si mpl i f y(%) end;

( f, n) laplace( f, t, s ) ; ( -1 )^n×diff( %, s $ n ) ; simplify( % )

ML :=

> f : =t- >si n(t ):

Lapl ace( t* si n( t) , t, s) = ML( f ( t ) , 1) ;

Laplace( t sin( t ), t , s ) =

2s ( s2 + 1 )

2

Ejemplo 20: L [ t

( 2 t )

2

]

> g: =t - >exp( 2*t ) :

Lapl ace( t ^2*exp( 2*t ) , t , s) = ML(g( t ) , 2) ;

Laplace( t 2

( 2 t )

, t, s ) =

2 ( s − 2 )3

Directamente con la función de Maple: > l apl ace(t*si n(t ), t, s);

2s (s

2

+ 1)

2

> l apl ace( t ^2*exp( 2*t ) , t , s); 2 ( s − 2 )3 Facultad de Ingeniería UC

Luis Villamizar

23


Transformada de Laplace de la división por t n : La expresión directa usando la función de Maple viene dada por: > l apl ace(h(t) / t, t, s); ∞

⌠ laplace( h( t ), t, _U1 ) d _U1 ⎮ ⌡s > l apl ace(h(t )/ t^2, t, s); ∞ ∞

⌠ ⌠ laplace( h( t ), t, _U1 ) d _U1 d _U2 ⎮ ⌡s ⎮ ⌡_U2 ⎡ sin( t ) ⎤⎥ ⎣ t ⎥⎦

Ejemplo 21: L ⎢⎢

> h: =t- >si n( t) :

# chequeamos si podemos apl i car l a pr opi edad Li mi t( h(t )/ t, t=0) = l i mi t( h(t ) / t, t=0); Lapl ace(h(t )/ t, t, s) = l apl ace( h(t ) / t, t, s);

sin( t ) =1 t t → 0 sin( t ) 1 Laplace⎛ ⎜⎜ t , t, s ⎟⎟ = arctan⎜⎜ s ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ lim

Por pasos: > H: =w- >l apl ace( si n( t ) , t , w) :

`H( w) ` = H( w) ; I nt ( H( w) , w=s. . i nf i ni t y) = i nt ( H( w) , w=s. . i nf i ni t y) ;

H(w)

=

1 w2 + 1

∞

⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡s Facultad de Ingeniería UC

1 w2 + 1

d w =

π 2

− arctan( s )

Luis Villamizar

24


Ejemplo 22:

⎡⎢ L ⎢⎢ ⎣

( 2 t )

−

t

t

⎤⎥ ⎥⎥ ⎦

> g: =t - >exp( 2*t ) - exp( t ) :

# chequeamos si podemos apl i car l a pr opi edad Li mi t( g(t )/ t, t=0) = l i mi t( g(t ) / t, t=0); G: =w- >l apl ace( g( t ) , t , w) : `G( w) ` = G( w) ; I nt ( G( w) , w=s. . i nf i ni t y) = i nt ( G( w) , w=s. . i nf i ni t y) ; combi ne(%, l n, symbol i c) ; ( 2 t )

−

lim

t

t → 0

=

G(w)

t

1 w − 2

−

=1 1 w − 1

∞

⌠ 1 1 ⎮ − d w = −ln( s − 2 ) + ln( s − 1 ) ⎮ ⎮ w − 2 w − 1 ⎮ ⌡ s

∞

⌠ 1 1 ⎮ − ⎮ ⎮ w − 2 w − 1 ⎮ ⌡

s − 1 ⎞ ⎟ ⎝ s − 2 ⎠⎟

d w = ln⎛ ⎜⎜

s

Directamente con Maple: > Lapl ace( ( exp( 2*t ) - exp( t) ) / t , t, s) = l apl ace( ( exp( 2*t ) - exp( t) ) / t, t , s); combi ne( %, l n, symbol i c) ;

⎛ Laplace⎜⎜⎜ ⎝

( 2 t )

−

t

⎛ Laplace⎜⎜⎜ ⎝


t

, t, s ⎟⎟⎟ = −ln( s − 2 ) + ln( s − 1 )

( 2 t )

−

t

t

s − 1 ⎞ ⎟ ⎝ s − 2 ⎟

, t, s ⎟⎟⎟ = ln⎛ ⎜⎜

Luis Villamizar

25


Funciones Especiales

Función de Heaviside: En la aplicación de la segunda propiedad de traslación de la transformada de Laplace, se utilizó ésta función de librería, mostraremos ahora el uso de la función de Heaviside en la obtención de la transformada de Laplace de funciones seccionalmente continuas. Una función seccionalmente continua se puede definir en Maple, mediante el comando piecewise , por ejemplo: > wi th( pl ots) :

f : =t - >pi ecewi se( t <=2, t ^2, t <8, 2+50*exp( - t ) ) : `f( t) ` = f( t);

pl ot ( f ( t ) , t =0. . 10, y=0. . 7, col or =r ed, yti ckmar ks=3, di scont =t r ue, l abel s=[ t , `f (t)`]);

f(t)

t 2 ⎧⎪ = ⎨⎪ ⎪⎩ 2 + 50

t ≤ 2 ( −t )

t < 8

Esta función, para determinarle su transformada de Laplace la escribimos en términos de la función de Heaviside: > g: =t - >t ^2*( Heavi si de( t ) - Heavi si de( t - 2) ) +( 2+50*exp( - t ) ) *( Heavi si de( t - 2) Heavi si de( t - 8) ) ;

g := t → t 2 ( Heaviside( t ) − Heaviside( t − 2 ) )

+ ( 2 + 50


( −t )

) ( Heaviside( t − 2 ) − Heaviside( t − 8 ) )

Luis Villamizar

26


Aunque esta función es diferente (en los puntos de discontinuidad) a la anterior, su transformada de Laplace es la misma (teorema de Lerch). También podemos hacer uso indirecto de la función de Heaviside para definir una función escalón unitario más fácil de manipular, por ejemplo: > u : = a - > ( t - > Heavi si de( t - a) ) ;

h: =t - >t ^2*( u( 0) ( t ) - u( 2) ( t ) ) +( 2+50*exp( - t ) ) *( u( 2) ( t ) - u( 8) ( t ) )

u := a → t → Heaviside( t − a ) h := t → t 2 ( u( 0 )( t ) − u( 2 )( t ) ) + ( 2 + 50

( −t )

) ( u( 2 )( t ) − u( 8 )( t ) )

Ahora, podemos calcular su transformada de Laplace: > wi th( i ntt rans):

' F(s) ' = l apl ace(g(t ), t, s);

F( s ) =

2 s

3

−

2

( −2 s )

s

−

4

( −2 s )

s

2

−

2

−

2

( −2 s )

s

3

−

2

−

2

( −8 s )

s

+

50

+

50

( −2 s − 2 )

s + 1

−

50

−

50

( −8 s − 8 )

s + 1

> ' H(s) ' = l apl ace( h(t ) , t, s);

H( s ) =

2 s

3

−

2

( −2 s )

s

−

4

( −2 s )

s

2

( −2 s )

s

3

( −8 s )

s

( −2 s − 2 )

s + 1

( −8 s − 8 )

s + 1

Función Delta de Dirac: Esta “función”, viene directamente definida en la librería de Maple, como: > Di rac(t - a) ;

Dirac( t − a )

También puede ser obtenida, en términos de la derivada de la función de Heaviside: > di f f (Heavi si de(t - a), t) ;

Dirac( t − a )

Con a = 2, podemos escribir la función Delta de Dirac utilizando la expresión piecewise : > a: =2;

Di rac( t - a) = convert ( Di rac( t - a) , pi ecewi se, t ) ;


Luis Villamizar

27


a := 2

Dirac( t − 2 ) = {

undefined

t = 2

0

otherwise

> pl ot ( Di rac( t - a) , t = - 0. 5. . 5. 2, H = - 0. 5. . 2. 5, t i ckmarks = [ 3, 3] , l abel s = [t , "Di rac(t - a)"] , di scont =t r ue, t hi ckness=3, col or = r ed) ;

Integración de la función Delta de Dirac: > I nt( Di rac(t - a), t = - i nf i ni ty .. i nf i ni ty) = i nt( Di rac(t - a), t = i nf i ni t y. . i nf i ni t y) ;

∞

⌠ Dirac( t − 2 ) d t = 1 ⎮ ⌡−∞ Transformada de Laplace de la función Delta de Dirac: > wi th( i ntt rans):

Lapl ace( Di rac( t- a) , t , s) = l apl ace( Di rac(t - a) , t, s);

Laplace( Dirac( t − 2 ), t , s ) =

( −2 s )

Definición de una función Impulso: >epsi l on: =0. 05; Di gi t s : =3 :

I mpul so: =t - >( 1/ epsi l on) *( Heavi si de( t - 2) - Heavi si de( t - 2- epsi l on) ) ; pl ot ( I mpul so( t ) , t = 2- 5*epsi l on. . 2+5*epsi l on, I mpul so = 0. . 5+1/ epsi l on, t i ckmar ks=[ 3, 3] , l abel s=[ t , "I mpul so( t ) ) "] , di scont = t r ue, t hi ckness = 2, col or = r ed) ; I mpul so( t - 2) = conver t ( I mpul so( t ) , pi ecewi se, t ) ; I nt( I mpul so( t) , t = - i nf i ni ty. . i nf i ni ty) = i nt( I mpul so( t) , t = i nf i ni t y. . i nf i ni t y) ;

ε := 0.05 Facultad de Ingeniería UC

Luis Villamizar

28


Impulso := t →

Digits := 3 Heaviside( t − 2 ) − Heaviside( t − 2 − ε )

ε

0. ⎧⎪ ⎪⎪ undefined ⎪⎪ 20.0 ⎨⎪ ⎪⎪ undefined ⎪⎪ 0. ⎩

t < 2 t = 2 t < 2.05 t = 2.05

2.05 < t

∞

⌠ 20.0 Heaviside( t − 2 ) − 20.0 Heaviside( t − 2.05 ) d t = 1. ⎮ ⌡−∞ Función Gamma: La transformada de Laplace de la función potencia t n es a menudo expresada en términos de la función Gamma, la cual se define mediante la integral: ∞ −t

Γ( x) = ∫ 0

e t

x −1

dt

x>0

Para x = 1 , tenemos: > I nt( exp(- t) , t=0. . i nf i ni ty)= i nt( exp(- t) , t=0. . i nf i ni ty); ∞

⌠ ⎮ ⎮ ⌡0 Para mostrar la fórmula de recursión Facultad de Ingeniería UC

( −t )

d t = 1

Γ( x + 1 ) = x Γ( x ) , Maple integra por partes: Luis Villamizar

29


> assume( x>0):

I nt( exp(- t) *t^x, t=0. . i nf i ni ty) = i nt( exp(- t) *t^x, t=0. . i nf i ni ty); x: =' x' : ∞

⌠ ⎮ ⎮ ⌡0

( −t ) x

t d t = Γ( x ) x

La aplicación directa de esta función: > GAMMA(1) ;

GAMMA(3) ; GAMMA( 1/ 2) ; GAMMA( 5/ 2) ;

1 2

π π

3

4 Para calcular la transformada de Laplace de la función t x , con x real: > wi t h( i nt t rans): > l apl ace(t ^( 1/ 2) , t, s);

π 2s

( 3/2 )

> l apl ace(t ^(3/ 2), t, s);

π

3 4s

( 5/2 )

> l apl ace(t ^(7/ 3), t, s); eval f ( %) ;

56 81

π s

( 10/3 )

3

Γ⎛ ⎜⎜ 3 ⎞⎟⎟ ⎝ 2

2.778158483 s


( 10/3 )

Luis Villamizar

30


Funciones Periódicas: Antes de calcular la transformada de Laplace de funciones periódicas, mostraremos una forma simple para definir y graficar una función periódica a través de la función de librería floor . Esta función determina para una constante real cualquiera x el mayor entero, menor o igual a esa constante. Por ejemplo: > f l oor( 1. 67);

f l oor( sqrt( 8)) ; fl oor(- Pi );

1 2 -4

Ejemplo 23: Onda Cuadrada, T = 2 > f : = x - > ( - 1) ^f l oor( x) ;

pl ot( f (x), x=0. . 8. 5, 1. 2. . 1. 2, col or=bl ue, l abel s=[ x, `f ( x) `] , yt i ckmar ks=3) ;

f := x → ( -1 )

floor ( x )

Ejemplo 24: Onda Diente de Sierra, T = 1 > f : = x - > x - f l oor( x) ;

pl ot( f (x), x=0. . 6. 5, 0. 2. . 1. 2, numpoi nt s=100, col or =bl ue, l abel s=[ x, `f ( x)` ] , yti ckmar ks=2) ;

f := x → x − floor ( x )


Luis Villamizar

31


Transformada de Laplace de funciones periódicas Ejemplo 25: Transformada de Laplace de: Onda Cuadrada > I nt( ( - 1) ^f l oor( x) *exp( - s*x) , x=0. . 2) / ( 1- exp( - 2*s)) ; val ue( %) ; combi ne( si mpl i f y(%) ) ;

2

1 1 −

( −2 s )

floor ( x ) ⌠ ( -1 ) ⎮ ⎮ ⌡0

1+( (

s

( −1 −

s

)

2

2

−2

) s ( 1 − (2 s)

( −s x )

d x

s

( −2 s )

+ 2 s) ( −2 s ) ) s ( −1 +

)

( −2 s )

Como alternativa definimos en un periodo a la función mediante la función de Heaviside, aplicamos la función de librería Laplace y la dividimos por la expresión 1 − e − sT de la definición de transformada de funciones periódicas. > f t emp: = x - > 1 - 2*Heavi si de( x- 1) + Heavi si de( x- 2) ;

conver t ( f t emp( x), pi ecewi se) ; pl ot ( f t emp( x) , x=0. . 4, 1. 2. . 1. 2, col or =bl ue, yt i ckmar ks=3, l abel s=[ x, `f t emp( x) `] ) ;

ftemp := x → 1 − 2 Heaviside( x − 1 ) + Heaviside( x − 2 )

1 ⎧⎪ ⎪⎪ undefined ⎪⎪ -1 ⎨⎪ ⎪⎪ undefined ⎪⎪ 0 ⎩


x < 1 x = 1 x < 2 x = 2

2 < x

Luis Villamizar

32


Ahora, aplicamos la función de librería, laplace : > wi th( i ntt rans):

l apl ace( f t emp( x) , x, s)/ ( 1- exp( - 2*s) ) ; si mpl i f y( %) ;

1 s

−

2

( −s )

( −2 s )

+

s

1 −

s

( −2 s )

( −s )

− (

− 1 ( −s ) + 1) s

Ejemplo 26: Transformada de Laplace de: función diente de sierra > gt emp : = x - > x - x*Heavi si de(x- 1) ;

pl ot ( gt emp( x) , x=0. . 4, - 0. 2. . 1. 2, col or =bl ue, yti ckmar ks=2, l abel s=[ t , `gt emp( t ) `] ) ;

gtemp := x → x − x Heaviside( x − 1 )

Aplicamos Laplace: > l apl ace( gt emp( x) , x, s)/ ( 1- exp( - 2*s) ) ; si mpl i f y(%) ;

1 s2

( −s )

−

−1 +

s

( −2 s )

( −s )

s 2 ( −1 +


−

s2

1 −

( −s )

+

( −s )

( −2 s )

s

)

Luis Villamizar

33


Funciones de Bessel: Maple se refiere a las funciones de Bessel de primera clase como BesselJ(n,arg) , donde n es el orden y arg es el argumento. La función de Bessel de primera clase de orden cero J 0 ( x) ,se escribe en Maple como BesselJ (0, x) . La gráfica de las funciones de Bessel de primera clase de orden 0, 1 y 2 son: > wi th( pl ots) :

g1: =pl ot ( {seq( Bessel J ( n, x), n=0. . 2) }, x=0. . 15, yti ckmar ks=3, l abel s=[ x, Bessel J ] ): t1: =textpl ot( [1. 45, 0. 98, `J [0]( x)` ] ): t2: =textpl ot( [2. 25, 0. 7, `J [1]( x)` ]) : t3: =textpl ot( [4. 1, 0. 55, `J [2]( x)` ]) : di spl ay( g1, t 1, t 2, t3);

Las funciones de Bessel de segunda clase, Maple las define como: BesselY(n,arg) . La grafica de las funciones de Bessel de segunda clase de oren 0,1 y 2 son: > pl ot ( {seq( Bessel Y( n, x), n=0. . 2) }, x=0. . 15, - 2. . 1, numpoi nt s=100, l abel s=[ x, Bessel Y] , yti ckmar ks=3) ;


Luis Villamizar

34


Para determinar un valor particular de estas funciones, escribimos: > Bessel J ( 0, 0. 0) ;

Bessel J ( 0, 2. 0) ; Bessel Y( 0, 1. 0) ; Bessel Y( 1, 3. 0) ;

1. 0.2238907791 0.08825696422 0.3246744248

Las raíces de la función de Bessel de primera clase de orden 0 pueden ser localizadas numéricamente con Maple mediante: > f sol ve( Bessel J ( 0, x) =0, x=0. . 4) ;

2.404825558 En el comando anterior el rango x = 0..4 es el intervalo donde la función fsolve ubica la solución de BesselJ (0, x ) = 0 , aquí es importante tener la gráfica de la función porque podemos especificar el rango en el cual vamos a encontrar la raíz. Por ejemplo la raíz de BesselJ(1,x) ubicada entre x = 6..8 , viene dada por: > f sol ve( Bessel J ( 1, x) =0, x=6. . 8) ;

7.015586670 Utilizando la función series de Maple, podemos expresar las funciones de Bessel por medio de un desarrollo en serie, por ejemplo: > J [ 0] ( x): =ser i es( Bessel J ( 0, x), x, 10) ;

J [ 1] ( x): =seri es( Bessel J ( 1, x), x, 10) ;

J 0 ( x ) := 1 −

1

1

1

J1 ( x) :=


2

x−

4

16

x2

+

3

+

x

1 64

x4

1 384

x

− 3

1 2304

−

x6

1 18432

+ x

7

1 147456

+

x8

+ O ( x10 )

1 1474560

x

9

+ O( x10 )

Luis Villamizar

35


La transformada de Laplace de las funciones de Bessel, las calculamos con Maple mediante: > wi t h( i nt t rans): > l apl ace( Bessel J ( 0, x) , x, s);

l apl ace( Bessel J ( 0, 2*x) , x, s); l apl ace( Bessel J ( 1, x) , x, s);

1 s 2 + 1

1 s 2 + 4

1 s 2 + 1 ( s +

s 2 + 1 )

También aplicando la identidad J1 ( x) = − J 0′ ( x) , podemos obtener el último resultado: > l apl ace(- di f f (Bessel J ( 0, x), x), x, s);

1

s 2 + 1 ( s +

s 2 + 1 )

Función Error La función error es definida en Maple mediante la expresión erf ( x) y su complementaria como erfc( x) , algunos valores vienen dados como: > erf(0);

erf (3. ); erfc(0); er f ( 3. 0) +er f c(3. 0) ;

0 0.9999779095 1

1.000000000


Luis Villamizar

36


La gráfica de estas funciones la podemos obtener mediante: > pl ot ( {er f ( x) , er f c( x) }, x=0. . 5, y=0. . 1. 25, yti ckmar ks=3, t hi ckness=1) ;

La expansión en serie de la función erf ( x) , la obtenemos como: > erf ( x) =seri es(erf ( x) , x, 10) ; erf ( x ) =

2

π

x −

2 3

π

x3 +

1 5

π

x 5 −

1 21

π

x7 +

1 108

π

x9 + O( x 10 )

La transformada de Laplace, de esta función la calculamos como: > wi th( i ntt rans): > Lapl ace( erf ( sqrt ( x) ) , x, s) = l apl ace( erf ( sqrt ( x) ) , x, s);

Lapl ace( erf ( sqrt ( 2*x) ) , x, s) = l apl ace( erf ( sqrt ( 2*x) ) , x, s); Lapl ace( erf ( 2*sqrt ( x) ) , x, s) = l apl ace( erf ( 2*sqrt ( x) ) , x, s); Lapl ace( erf c(sqrt ( x) ) , x, s) = l apl ace( erf c(sqrt ( x) ) , x, s);

Laplace( erf ( x ), x, s ) =

1 s s + 1

Laplace( erf( 2 x ), x, s ) = Laplace( erf( 2 x ), x, s ) =

Laplace( erfc( x ), x, s ) =


2 s 2 + s 2

s 4 + s

s + 1 − 1 s s + 1

Luis Villamizar

37


Transformada Inversa

Al igual que la transformada de Laplace, Maple tiene una función contenida en el paquete transformaciones integrales ( inttrans ), que permite determinar la transformada inversa de Laplace. Esta función llamada invlaplace , requiere de tres argumentos para las variables involucradas y escritas en orden inverso al usado en la función laplace . La sintaxis viene dada por invlaplace(F, s,t) . Por ejemplo:

> wi th( i ntt rans):

F: =s- >2/ s^3: `F(s) ` = F( s); f : =t- >i nvl apl ace(F(s) , s, t) : `f (t) ` = f (t) ;

2

F(s)

=

f(t)

= t 2

F(s)

=

1

F(s)

=

1

f(t)

=

F(s)

=

s3

> F: =s- >1/ ( s^2+1) :

`F(s) ` = F( s); f : =t- >i nvl apl ace(F(s) , s, t) : `f (t) ` = f (t) ;

s 2 + 1 f(t) = sin( t )

> F: =s- >1/ ( s- 3) :


s − 3 ( 3 t )

> F: =s- >s/ ( s^2+4) :


s

s 2 + 4 f(t) = cos( 2 t )

> F: =s- >( s+2) / ( s^2+4) :

`F(s) ` = F( s); f : =t- >i nvl apl ace(F(s) , s, t) :


Luis Villamizar

38


`f (t) ` = f (t) ;

F(s)

s+2

=

s 2 + 4 f(t) = cos( 2 t ) + sin( 2 t )

> F: =s- >exp( - 2*s) / s^2:

`F(s) ` = F( s); f : =t- >i nvl apl ace(F(s) , s, t) : `f( t) ` = f( t);

( −2 s )

F(s)

=

s2 f(t) = Heaviside( t − 2 ) ( t − 2 )

> F: =s- >2/ ( s^2+2*s+5):


=

F(s)

f(t)

2 s 2 + 2 s + 5 ( −t )

=

sin( 2 t )

> F: =s- >( 3*s+5) / ( s*( s^2+4) ) :


F(s)

f(t)

=

3s+5 s ( s 2 + 4 )

5 3 5 cos( 2 t ) + sin( 2 t ) + 4 2 4

=−

Método de inversión por integración directa Existe una formula de integración directa para calcular la transformada inversa de Laplace, definida por: f (t ) =

1

γ+ j∞

2 j

γ− j∞

π ∫

st

e F ( s )ds

, t > 0

Esta integral puede resolverse usando el método de los residuos aplicando la expresión:


Luis Villamizar

39


f (t ) = L−1[ F ( s)] =

∑Res ⎡⎣

est F ( s ) ⎤⎦

en todos los polos de F (s )

Maple puede aplicar este método para calcular la transformada inversa, ya que posee una función que le permite determinar el valor de los residuos ( residue ) en los polos de una función. Ejemplo 27: Aplicando el método de los residuos determine la transformada inversa de: F (s) =

+1 − s − 2s2 s2

s

4

3

> F: =s- >( s^2+1) / ( s^4- s^3- 2*s^2) : ` F( s) ` = F( s) ;

# deter mi namos l as si ngul ari dades de F( s) , col ocándol as en una l i st a Si ngF: =[ sol ve( denom( F( s) ) =0, s) ] ; #cal cul am os l os r esi duos en cada una de l as si ngul ari des r 1: =r esi due( exp( s*t ) *F(s) , s=0) ; r 2: =r esi due( exp( s*t ) *F(s) , s=2) ; r 3: =r esi due( exp( s*t ) *F(s) , s=- 1) ; #sumamos l os r esi duos obt eni dos `f ( t ) ` = r 1+r 2+r 3;

F(s)

=

s2 + 1

s 4 − s 3 − 2 s 2

SingF := [ 0, 0, 2 , -1 ] t 1 r1 := − + 2 4 2 5 r2 := ( t ) 12 2 1 r3 := − 3 t f(t)

=−

2 1 5 2 1 t + + ( ) − t 2 4 12 3

t

Como se observa, todo el procedimiento realizado es manual, esto es, se debe ir escribiendo todas las instrucciones requeridas. Por supuesto Maple puede programarse para realizar estas instrucciones secuencialmente, mediante la definición de un procedimiento que realice todos los pasos requeridos. > # Defi ni ci ón de un pr ocedi mi ent o para apl i car el método de l os r esi duos MetRes: =pr oc( F)

l ocal Si ngF, Res, i , r; # se determi nan l as rai ces di f erent es del denom i nador Si ngF: ={sol ve( denom ( F)=0, s) }; # Se i ni ci al i za el r esi duo Res: =0: # cal cul amos l os resi duos en cada una de l as si ngul ari dades f or i f r om 1 t o nops( Si ngF) do r[ i ] : =resi due( exp( s*t) *F, s=Si ngF[ i ] ) ; Facultad de Ingeniería UC

Luis Villamizar

40


pri nt( `Res[F( s)`, s=Si ngF[i ] , `] ` = r[ i ]) ; Res: =Res+r [ i ] ; end do; end:

Ejemplo 28: Use este procedimiento para calcular la transformada inversa anterior > F: =s- >( s^2+1) / ( s^4- s^3- 2*s^2) : `F(s) ` = F( s); `f ( t ) ` = Met Res( F( s) ) ;

F(s)

=

s2 + 1 s 4 − s 3 − 2 s 2

Res[F(s), s = -1, ]

2 1 3 t

= −

Res[F(s), s = 0, ]

= −

Res[F(s), s = 2, ]

=

f(t)

t

1 4

+

2

5 ( 12

t

2

)

2 2 1 t 1 5 t − + + ( ) 3 t 2 4 12

=−

3s 2 − 7 s + 4

Ejemplo 29: Determine la transformada inversa de: G ( s ) =

( s − 2)3 ( s + 4)

> G: =s- >( 3*s^2- 7*s+4) / ( ( s- 2) ^3*( s+4) ) : `G( s) ` = G( s) ; `g( t ) ` = Met Res( G( s) ) ;

G(s)

=

3 s2 − 7 s + 4 ( s − 2 )3 ( s + 4 )

Res[F(s), s = -4, ]

10 Res[F(s), s = 2, ] = ( 27 g(t)


10 27

=−

1 ( t )

+ 4

10 27

7 ) + t ( 9

t

1

= −

2

10 t 2 7 ( ) + t ( 27 9

t

(

)

4

1 ) + t 2 ( 6

t

t

)

2

2

+

t

2

)

1 2 t 2 t ( ) 6

Luis Villamizar

41


Podemos comprobar este resultado, utilizando la función directa de Maple: > `g( t) ` = i nvl apl ace( G( s), s, t) ;

= ⎛ ⎜⎜ 27 + 6 t 2 + 9 t ⎟⎟ ⎝ ⎠ 10

g(t)

1

7

( 2 t )

−

Ejemplo 30: Determine la transformada inversa de: H ( s) =

10 27

( −4 t )

5s 3 − 6 s − 3 s 3 ( s 2 + 1)2

> H: =s- >( 5*s^3- 6*s- 3) / ( s^3*( s+1) ^2) : `H( s) ` = H( s) ; `h( t ) ` = Met Res( H( s) ) ;

=

H(s)

5 s3 − 6 s − 3 s 3 ( s + 1 )2

Res[F(s), s = -1, ]

Res[F(s), s = 0, ]

=−

h(t)

= −

3 − 2 t t

3 − 2 t

= −

−

t

3 t 2 2

3 t 2 2

+3

+3

Método de inversión por descomposición en fracciones parciales Dada una función racional, podemos mediante la aplicación de este método descomponer la función mediante una suma de fracciones parciales, donde cada denominador de estas fracciones corresponde a un factor lineal o a un factor cuadrático irreducible. Maple puede determinar estas fracciones mediante el comando convert(funcion, parfrac,var ).

Ejemplo 31: Exprese en suma de fracciones parciales las funciones dadas y determine su transformada de Laplace: > F: =s- >( s^2+1) / ( s^4- s^3- 2*s^2) :

FP: =s- > conver t ( F( s) , par f r ac, s) : F( s) = FP( s) ; `f (t ) ` = i nvl apl ace(FP(s) , s, t) ;

s2 + 1 s 4 − s 3 − 2 s

=− 2

f(t) Facultad de Ingeniería UC

2 3 (s + 1)

−

2 3

t

=−

( −t )

−

2

1 2s 1 4

+ 2

+ +

1 4s

5 12

+

5 12 ( s − 2 )

( 2 t )

Luis Villamizar

42


> G: =s- >( 3*s^2- 7*s+4) / ( ( s- 2) ^3*( s+4) ) : GP: =s- > conver t ( G( s) , par f r ac, s) : G( s) = GP( s) ; `g( t) ` = i nvl apl ace( GP( s), s, t ) ;

3 s2 − 7 s + 4 ( s − 2 )3 ( s + 4 )

7

=

9 (s − 2)

+ 2

10 27 ( s − 2 )

= ⎛ ⎜⎜ 27 + 6 t 2 + 9 t ⎟⎟ ⎝ ⎠ 10

g(t)

1

7

+

( 2 t )

−

1 3 (s − 2 ) 10 27

− 3

10 27 ( s + 4 )

( −4 t )

> H: =s- >( 5*s^3- 6*s- 3) / ( s^3*( s+1) ^2) : HP: =s- > conver t ( H( s) , par f r ac, s) : H( s) = HP( s) ; `h( t) ` = i nvl apl ace( HP( s), s, t) ;

5 s3 − 6 s − 3

3

=−

s 3 ( s + 1 )2

2

+

s + 1

(s + 1)

− 2

3 s

+ 3

3 s

2

( −t ) 3 t + 3 + ( 2 t − 3 ) 2 Si se quiere involucrarse en el procedimiento para la determinación de los coeficientes en la expansión de sumas parciales, Maple nos proporciona el comando solve/identity . Para ello debemos proporcionar la suma en fracciones parciales con sus coeficientes simbólicos. Por ejemplo:

h(t)

=−

> F: =1/ ( s^3*( s^2+4)) =a/ s^3+b/ s^2+c/ s+( d*s+e)/ ( s^2+4); F :=

1 s3 ( s2 + 4 )

=

a s3

+

b s2

c s

+ +

d s + e s 2 + 4

El comando solve/identity se aplica para la determinación de los coeficientes: > Sol : =sol ve( i denti ty(F, s), {a, b, c, d, e}) ; Sol := { b = 0, e = 0, d =

1 -1 1 , c = , a = } 16 16 4

Sustituimos estos valores en la expresión original, obteniéndose las sumas de fracciones parciales buscada: > FP: =subs( Sol , r hs( F) ) ; FP :=


1 4s

− 3

1 16 s

+

s

16 ( s 2 + 4 ) Luis Villamizar

43


Luego, podemos aplicar el operador de transformada inversa: > `f (t ) ` = i nvl apl ace(FP, s, t) ; f(t)

=

t 2

8

−

1 1 + cos( 2 t ) 16 16

Si queremos aún mas involucrarnos, podemos proceder como sigue. Multiplicamos ambos lados por el denominador común: > F1: =si mpl i f y(F*denom( l hs( F) ) ) ; F1 := 1 = a s 2 + 4 a + b s 3 + 4 b s + c s4 + 4 c s 2 + s 4 d + s3 e

Ahora agrupamos y colocamos todos los términos de un solo lado de la igualdad: > F2: =col l ect( l hs(F1) - rhs(F1) , s); F2 := ( −c − d ) s 4 + ( −b − e ) s 3 + ( −a − 4 c ) s 2 − 4 b s + 1 − 4 a Este polinomio es idénticamente igual cero, por lo que nos proporciona las ecuaciones necesarias para determinar los coeficientes buscados. Para extraer los coeficientes hacemos:

> COEF: ={coef f s( F2, s) }; COEF := { −c − d , −4 b, 1 − 4 a, −b − e, −a − 4 c }

La función solve , asume que se requieren los valores de a, b, c, d y e de estas expresiones que están igualadas a 0, de donde: > SOLN: =sol ve(COEF) ; SOLN := { b = 0, e = 0, d =

1 -1 1 , c = , a = } 16 16 4

Sustituyendo estos valores, tenemos la expresión de las sumas de fracciones parciales: > `F(s) ` = subs( SOLN, r hs( F) ) ; F(s)


=

1 4 s3

−

1 16 s

+

s

16 ( s 2 + 4 )

Luis Villamizar

44


Método de inversión por convolución El método de inversión por convolución, nos dice: si F ( s ) y G ( s) son las transformadas de Laplace de dos funciones f (t ) y g (t ) seccionalmente continuas en cualquier intervalo 0 ≤ t ≤ T y de orden exponencial, entonces la transformada inversa del producto F (s )G ( s) viene dado por: −1 L [ F (s)G( s)] = ( f * g )(t ) = ( g * f )(t )

donde:

∫ =∫

( f * g )(t ) = ( g * f )(t )

t

f ( x ) ⋅ g (t − x) dx

0 t

g ( x ) ⋅ f (t − x )dx

0

La implementación de este método en Maple nos lleva a la formulación directamente del teorema de convolución. Ejemplo 32: Determine la transformada de Laplace de: H ( s) =

4 s 2 ( s − 2)

> wi t h( i nt t rans): > H: =s- >1/ ( s^2*( s- 2) ) :

`H( s) ` = H( s) ; # defi nam os H( s) =F(s) . G( s) , donde: F: =s- >1/ s^2: `F(s) ` = F( s); G: =s- >1/ ( s- 2) : `G( s) ` = G( s) ; # determi nemos l a t r ansf ormada i nversa a F(s) y G( S) f : =t- >i nvl apl ace(F(s) , s, t) : `f( t) ` = f( t); g: =t - >i nvl apl ace( G( s), s, t ) : `g( t) ` = g( t) ; # defi nam os l as f unci ones de l a i nt egr al de convol uci ón `f (u) ` = f (u); `g( t- u) ` = g( t- u) ; # obt engamos l a i nt egr al de convol uci ón I nt( f ( u)*g( t- u), u=0. . t) = i nt( f (u) *g(t - u), u=0. . t) ; # l a t r ansf or mada i nver sa de H( s) , es: `h(t ) ` = r hs( %) ;

H(s) Facultad de Ingeniería UC

=

1 s2 ( s − 2 ) Luis Villamizar

45


F(s) =

1 s2

1

=

G(s)

s − 2 f(t) = t ( 2 t )

g(t) = f(u) = u g(t-u) t

⌠ u ⎮ ⎮ ⌡0

( 2 t − 2 u )

h(t)

=

( 2 t − 2 u )

d u = −

1 4

=− −

t

2

1 t 1 − + 4 2 4

+

1 4

( 2 t )

( 2 t )

La definición de un procedimiento que ejecute secuencialmente todos los pasos, donde se le pase como parámetros solo los valores de F ( s ) y G ( s ) nos simplificará la utilización de Maple en la aplicación de este método. Este procedimiento puede definirse, como: > MetConv: =pr oc( F, G)

l ocal f, g; wi th( i ntt rans): # cal cul a l a t r ansf ormada i nver sa f : =t- >i nvl apl ace( F, s, t) : g: =t - >i nvl apl ace( G, s, t ) : # muestr a l as f unci ones de l a i nt egr al de convol uci ón pri nt( `f (u) ` = f (u) ); pri nt( `g( t- u) ` = g( t- u) ) ; # muestr a l a i nt egr al de convol uci ón y su r esul t ado pri nt( I nt( f (u)* g(t - u), u=0. . t) =i nt( f (u) *g(t - u), u=0. . t) ); # devuel ve el val or de l a tr ansf or mada i nver sa de F( s) H( s) return(i nt( f (u) *g(t - u), u=0. . t) ); end:

Para el ejemplo anterior, solo escribimos: > `h( t ) ` = Met Conv(1/ s^2, 1/ ( s- 2) ) ; f(u) g(t-u) t

⌠ u ⎮ ⎮ ⌡0 Facultad de Ingeniería UC

( 2 t − 2 u )

=

=u ( 2 t − 2 u )

d u = −

1 t 1 − + 4 2 4

( 2 t )

Luis Villamizar

46


1 t 1 − + 4 2 4

h(t) = −

( 2 t )

Ejemplo 33: Determine la transformada inversa por convolución de: H ( s) = s ( s 2 + 1)2 . Utilizando, el procedimiento anterior y definiendo: G( s) = 1 s

2

F ( s) = s s 2 + 1

y

+ 1 , tenemos:

> `h( t ) ` = Met Conv(s/ ( s^2+1) , 1/ ( s^2+1) ) ; f(u) g(t-u)

= cos( u ) = sin( t − u )

t

1 ⌠ cos( u ) sin( t − u ) d u = sin( t ) t ⎮ 2 ⌡0 h(t)

=

1 sin( t ) t 2

Aplicaciones de la transformada de Laplace

Una de las principales aplicaciones de la transformada de Laplace es su utilización en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales. Esta teoría se considera modernamente como parte integrante y básica del cálculo operacional, el cual consiste en trabajar no con la función incógnita sino con su transformada mediante una serie de operaciones elementales. Resolución de ecuaciones diferenciales lineales Ejemplo 34: Utilizando transformada de Laplace, determine la solución de la ecuación diferencial: y ′′(t ) + 4 y (t ) = 9t ; y (0) = 0, y′(0) = 7 . Paso por paso, las instrucciones de Maple, son: > wi t h( i nt t rans): > # PASO 1; def i ni ci on de l a EDO y sus condi ci ones i ni ci al es

ed1: =di f f ( y( t ) , t , t ) +4*y(t ) =9*t ; y( 0) =0; D( y) ( 0) =7; # PASO 2: apl i camos t r ansf ormada de l apl ace a l a ed et 1: =l apl ace( ed1, t , s); # PASO 3: par a si mpl i f i car l l am amos l apl ace( y(t ) , t , s) =Y y sust i t ui mos condi ci ones i ni ci al es et 2: =subs( {l apl ace( y(t ) , t , s) =Y, y( 0) =0, D( y) ( 0) =7}, et 1) ; # PASO 4: r esol vemos l a ecuaci on al gebr ai ca para Y `Y( s)` = sol ve( et 2, Y) ; # PASO 5: l a sol uci on l a obt enemos apl i cando tr ansf ormada i nversa `y(t ) ` = i nvl apl ace( %, s, t) ;


Luis Villamizar

47


d 2 ⎛ ⎜ ed1 := ⎜ 2 y( t ) ⎟⎟ + 4 y( t ) = 9 t ⎝ d t y( 0 ) = 0 D( y )( 0 ) = 7 et1 := s ( s laplace( y( t ), t, s ) − y( 0 ) ) − D( y )( 0 ) + 4 laplace( y( t ), t, s ) = et2 := s 2 Y − 7 + 4 Y =

Y(s) = y(t)

=

9 s2

9 s2

7 s 2 + 9 s2 ( s2 + 4 )

9 t 19 + sin( 2 t ) 4 8

Maple tiene una función ( dsolve ) para resolver estas ecuaciones, como se mencionó en el capitulo 4. Para comprobar el resultando anterior, escribimos: > dsol ve( {ed1, y(0) =0, D( y)( 0) =7}) ;

y( t ) =

9 t 19 + sin( 2 t ) 4 8

Como lo que se quiere es utilizar la transformada de Laplace para resolver estas ecuaciones diferenciales, podemos escribir un procedimiento donde se ejecute paso a paso el método usando Laplace para resolverlas: > # pr ocedi mi ent o para r esol ver EDO l i neal es Sol Lapl ace: =pr oc( ed, c1, c2) l ocal t emp1, t emp2, t emp3, t emp4;

# apl i caci on de tr ansf ormada de Lapl ace t emp1: =l apl ace( ed, t , s) : # sust i t uci on de condi ci ones i ni ci al es t emp2: =subs( {l apl ace(y( t ) , t , s) =Y, y(0) =c1, D( y)( 0) =c2}, t emp1) : pr i nt ( Àpl i caci ón de Lapl ace y sust i t uci ón de cond. i ni ci al es. `) ; pr i nt ( t emp2) ; # sol uci on de l a ecuaci on al gebr ai ca para Y( S) t emp3: =sol ve( t emp2, Y) : pr i nt ( `Y( s) ` = t emp3) ; # apl i caci on de t r ansf or mada i nver sa t emp4: =i nvl apl ace( t em p3, s, t ) : end:

Una vez definido el procedimiento se le hace una llamada pasando como parámetros la EDO a resolver y las condiciones iniciales de la forma SolLaplace(edo,y(0),y’(0)) . Facultad de Ingeniería UC

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> ` y( t ) ` = Sol Lapl ace( ed1, 0, 7) ; Aplicación de Laplace y sustitución de cond. iniciales sY

− 7 + 4Y =

Y(s) y(t)

=

Ejemplo 35: Resuelva: y′′(t ) + 4 y (t ) = f (t );

9 s2

7 s2 + 9

=

s2 ( s 2 + 4 ) 9 t 19

4

+

8

sin( 2 t )

y (0+ ) = 1, y′(0+ ) = 0

y

⎧4t ⎩4

f (t ) = ⎨

0 < t < 1 t > 1

Se define en Maple la ecuación a resolver: > ed2: =di f f ( y( t ) , t, t ) +4*y( t) =4*t - 4*( t- 1) *Heavi si de( t - 1) ; y(0) =1; D( y)( 0) =0;

d 2 ⎛ ⎜ ed2 := ⎜ 2 y( t ) ⎟⎟ + 4 y( t ) = 4 t − 4 ( t − 1 ) Heaviside( t − 1 ) ⎝ d t

y( 0 ) := 1 D( y )( 0 ) := 0

Empleando el procedimiento anterior, tenemos: > `y( t ) ` = Sol Lapl ace( ed2, 1, 0) ; Aplicación de Laplace y sustitución de cond. iniciales s ( sY Y(s) y(t)

− 1) + 4Y =

4 2 s

−

4e( − s ) s

2

( −s )

−s3 − 4 + 4 =− s 2 ( s2 + 4 )

= ⎛ ⎜⎜ 2 sin( 2 t − 2 ) − t + 1 ⎟⎟ Heaviside( t − 1 ) + cos( 2 t ) − 2 sin( 2 t ) + t ⎝ ⎠ 1

1

Resolución de ecuaciones diferenciales con coeficientes variables Para la resolución de ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, debemos modificar el procedimiento anterior ya que la aplicación de la transformada de Laplace hace que la ecuación Facultad de Ingeniería UC

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se transforme en una ecuación diferencial lineal en Y ( s ) cuyos coeficientes son polinomios de la variable s . > # pr ocedi mi ent o para resol ver edo con coef i ci ent es vari abl es Sol EDCof V: =pr oc( ed, c1, c2) l ocal t emp1, t emp2, t emp3, t emp4;

# apl i caci on de tr ansf ormada de Lapl ace t emp1: =l apl ace( ed, t , s) : # sust i t uci on de condi ci ones i ni ci al es t emp2: =subs( {l apl ace(y( t ) , t , s) =Y( s) , y(0) =c1, D( y)( 0) =c2}, t emp1) : pr i nt ( Àpl i caci ón de Lapl ace y sust i t uci ón de cond. i ni ci al es. `) ; pr i nt ( t emp2) ; # sol uci ón de l a ec. di f er enci al l i neal de Y( s) dsol ve( t emp2, Y( s) ) ; t emp3: =r hs( %) : pri nt ( `Sol uci ón de l a ed. l i neal en Y( s)` ) ; pr i nt ( `Y( s) ` = t emp3) ; # apl i caci on de t r ansf or mada i nver sa t emp4: =i nvl apl ace( t em p3, s, t ) : end:

Ejemplo 36: Resuelva la ecuación: ty′′(t ) + y′(t ) + 4ty(t ) = 0,

y (0+ ) = 3, y′(0+ ) = 0

> ed3: =t*di f f (y(t ), t, t) +di f f ( y(t ), t) +4*t*y(t) =0; y(0) =3; D( y)( 0) =0;

d 2 d ⎛ ed3 := t ⎜⎜ 2 y( t ) ⎟⎟ + ⎛ ⎜⎜ d t y( t ) ⎞⎟⎟ + 4 t y( t ) = 0 ⎝ ⎠ ⎝ d t y( 0 ) = 3 D( y )( 0 ) = 0

Aplicando, el procedimiento definido para este tipo de ecuaciones con coeficientes variables, tenemos: > y: = Sol EDCof V( ed3, 3, 0) ; Aplicación de Laplace y sustitución de cond. iniciales d d −s ⎜⎜ Y( s ) + s ⎛ ⎜⎜ d s Y( s ) ⎟⎟ ⎟⎟ − 4 ⎛ ⎜⎜ d s Y( s ) ⎟⎟ = 0 ⎝ ⎝ ⎝ Solución de la ed. lineal en Y(s) _C1 Y(s) = s 2 + 4 y := _C1 BesselJ( 0, 2 t )

La constante _ C 1 puede determinarse, usando las condiciones del problema. Definimos una función con el resultado obtenido y luego evaluando una condición dada: Facultad de Ingeniería UC

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50


> f : =unappl y( y, t ) ; f ( 0) =3;

f := t → _C1 BesselJ( 0, 2 t ) _C1 = 3

Ejemplo 37: Resuelva: ty′′(t ) + (1 − 2t ) y′(t ) − 2 y (t ) = 0,

+ + y (0 ) = 1, y′(0 ) = 2

> ed4: =t*di f f (y(t ), t, t) +(1- 2*t) *di f f (y(t ), t) - 2*y(t )=0; y(0) =1 ; D( y)( 0) =2 ;

d 2 d ⎛ ed4 := t ⎜⎜ 2 y( t ) ⎟⎟ + ( 1 − 2 t ) ⎛ ⎜⎜ d t y( t ) ⎞⎟⎟ − 2 y( t ) = 0 ⎝ ⎠ ⎝ d t y( 0 ) = 1 D( y )( 0 ) = 2

> y: =Sol EDCof V( ed4, 1, 2) ; Aplicación de Laplace y sustitución de cond. iniciales d d −s ⎜⎜ Y( s ) + s ⎜⎜ Y( s ) ⎟⎟ ⎟⎟ + 2 s ⎛ ⎜ ⎜⎝ d s Y( s ) ⎟⎟ = 0 ⎝ ⎝ d s ⎠ ⎠ Solución de la ed. lineal en Y(s) _C1 Y(s) = s − 2 y := _C1

( 2 t )

Para determinar la constante, hacemos: > f : =unappl y( y, t ) ; f ( 0) =1;

f := t → _C1 _C1 = 1


( 2 t )

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51


Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciables lineales Para resolver este sistema de EDOs lineales, definimos un procedimiento donde se realizan secuencialmente todos los pasos necesarios para obtener la solución pedida: > # pr ocedi mi ent o para l a sol uci ón de si st ema de edo(s) l i neal es Sol Si st EDO: =pr oc( ed1, ed2, c11, c12, c21, c22)

l ocal t emp1, t emp12, t emp2, t emp21, t emp3, t emp41, t emp42, t emp5; # apl i caci on de tr ansf ormada de Lapl ace a l a edo 1 t emp1: =l apl ace( ed1, t , s) : #sust i t uci on de condi ci ones i ni ci al es t emp12: =subs( {l apl ace( x( t ) , t , s) =X, l apl ace( y(t ) , t , s) =Y, x( 0) =c11, D( x)( 0) =c12, y( 0) =c21, D( y)( 0)=c22}, t emp1) : # apl i caci on de tr ansf ormada de Lapl ace a l a edo 2 t emp2: =l apl ace( ed2, t , s) : #sust i t uci on de condi ci ones i ni ci al es t emp21: =subs( {l apl ace( x( t ) , t , s) =X, l apl ace( y(t ) , t , s) =Y, x( 0) =c11, D( x)( 0) =c12, y( 0) =c21, D( y)( 0)=c22}, t emp2) : pr i nt ( Ècuaci ones t r ansf or madas`) ; pr i nt ( t emp12, ` `, t emp21) ; # sol uci on de l a ecuaci on al gebr ai ca par a X( s) y Y( s) t emp3: =sol ve({t emp12, t emp21}, {X, Y}): t emp41: =eval ( X, t emp3); t emp42: =eval ( Y, t emp3); pr i nt ( `Sol uci ón del si st ema l i neal de X( s) y Y( s) `) ; pr i nt ( `X( s) ` = t emp41, ` ` , `Y( s) ` = t emp42) ; # apl i caci on de t r ansf or mada i nver sa t emp5[ 1] : =i nvl apl ace(t emp41, s, t ) : t emp5[ 2] : =i nvl apl ace(t emp42, s, t ) : r eturn( t em p5) ; end:

Ejemplo 38: Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciables lineales:

⎧ y′(t ) + 2 x(t ) = 1 ⎨ ′′( ) + ′( ) = −t ⎩ y t x t e

y (0 + ) = y′(0+ ) = 0, x (0+ ) = 1

Definición de las ecuaciones diferenciales en Maple con sus condiciones iniciales y llamado al procedimiento: > ed1: = di f f ( y( t ) , t ) +2*x(t ) =1;

ed2: = di f f ( y(t ), t, t) +di f f (x(t) , t) =exp(- t) ; x(0) =1, D( x)( 0) =0; y(0) =0, D( y)( 0) =0;

d y( t ) ⎟ + 2 x( t ) = 1 ⎝ d t ⎠⎟

ed1 := ⎜⎜

d 2 d ⎛ ed2 := ⎜⎜ 2 y( t ) ⎟⎟ + ⎛ ⎜⎜ d t x( t ) ⎞⎟⎟ = ⎠ ⎝ d t ⎠ ⎝ Facultad de Ingeniería UC

( −t )

Luis Villamizar

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x( 0 ) = 1, D( x )( 0 ) = 0 y( 0 ) = 0, D( y )( 0 ) = 0 > Sol s: =Sol Si st EDO( ed1, ed2, 1, 0, 0, 0) :

pr i nt ( `Sol uci ón del si st em a de EDOs`) ; x( t) : =Sol s[1] ; y( t) : =Sol s[2] ;

Ecuaciones transformadas 1 1 s Y + 2 X = , , s 2 Y − 1 + s X = 1 + s s Solución del sistema lineal de X(s) y Y(s 1 3+s , , Y(s) = 2 X(s) = − s ( 1 + s ) s (1 + s)

Solución del sistema de EDOs

x( t ) := −2 y( t ) := 3 t − 4

t ⎛ ⎜⎜ − 2 ⎞⎟⎟ ⎝ ⎠

⎛ ⎜⎜ − ⎝

⎧ x′′(t ) + 5 x(t ) − 3 y (t ) = sen 2t ⎩ y′′(t ) − 3x(t ) + 5 y (t ) = 0

Ejemplo 39: Resuelva: ⎨

sinh⎛ ⎜⎜

t ⎞

⎟ ⎝ 2 ⎟

t ⎞

⎟

2 ⎠⎟

sinh⎛ ⎜⎜

t ⎞

⎟ ⎝ 2 ⎟

x(0+ ) = x′(0+ ) = y (0+ )

= y′(0+ ) = 0

> # defi ni ci ón de ecuaci ones

ed1: =di f f ( x( t) , t , t) +5*x( t ) - 3*y( t) =si n( 2*t ) ; ed2: =di f f ( y( t) , t , t) - 3*x( t ) +5*y( t) =0; x(0) =0, D( x)( 0) =0; y(0) =0, D( y)( 0) =0; # l l amado al pr ocedi mi ent o Sol s: =Sol Si st EDO( ed1, ed2, 0, 0, 0, 0) : pr i nt ( `Sol uci ón del si st em a de EDOs`) ; x( t) : =Sol s[1] ; y( t) : =Sol s[2] ;

d 2 ⎛ ⎜ ed1 := ⎜ 2 x( t ) ⎟⎟ + 5 x( t ) − 3 y( t ) = sin( 2 t ) ⎝ d t d 2 ⎛ ⎜ ed2 := ⎜ 2 y( t ) ⎟⎟ − 3 x( t ) + 5 y( t ) = 0 ⎝ d t ⎠ x( 0 ) = 0, D( x )( 0 ) = 0 y( 0 ) = 0, D( y )( 0 ) = 0

Ecuaciones transformadas Facultad de Ingeniería UC

Luis Villamizar

53


2

s 2 X + 5 X − 3 Y =

,

, s 2 Y − 3 X + 5 Y = 0

s + 4 Solución del sistema lineal de X(s) y Y(s

X(s)

=

2

2 ( s2 + 5 )

, 4

, Y(s)

=

6

56 s2 + 64 + s 6 + 14 s 56 s 2 + 64 + s 6 + 14 s 4 Solución del sistema de EDOs 1 1 1 x( t ) := − sin( 2 t ) − 2 sin( 2 2 t ) + 2 sin( 2 t ) 8 16 4 3 1 1 y( t ) := − sin( 2 t ) + 2 sin( 2 2 t ) + 2 sin( 2 t ) 8 16 4

Resolución de otros tipos de ecuaciones La solución de otros tipos de ecuaciones tales como ecuaciones integro-diferenciales o ecuaciones de tipo convolutorio, la podemos obtener usando un procedimiento similar al que se utilizó con las ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, ya que Maple tiene definida todas sus propiedades en su función laplace . > # pr ocedi mi ent o para r esol ver por Lapl ace ot r os t i pos de ecuaci ones Sol Lapl aceOT: =pr oc( ed, c1) l ocal t emp1, t emp2, t emp3, t emp4; # apl i caci on de tr ansf ormada de Lapl ace t emp1: =l apl ace( ed, t , s) : t emp2: =subs( {l apl ace(y( t ) , t , s) =Y, y(0) =c1}, t emp1) : pr i nt ( `l a ecuaci ón t r ansf or mada es: `) ; pr i nt ( t emp2) ; # sol uci on de l a ecuaci on al gebr ai ca para Y( S) t emp3: =sol ve(t emp2, Y) : pr i nt ( `Y( s) ` = t emp3) ; # apl i caci on de t r ansf or mada i nver sa t emp4: =i nvl apl ace( t em p3, s, t ) : end:

Ejemplo 40: Resuelva la ecuación de tipo convolutorio: y (t ) = t 2

+

∫

t

y (u ).sen(t − u )du

0

> ed: = y(t ) =t ^2+i nt ( y( u) *si n( t - u) , u=0. . t ) ; t

ed := y( t ) = t + ⌠ ⎮ −y( u ) sin( −t + u ) d u 2

⌡0

> `y(t ) ` = Sol Lapl aceOT( ec1, 0) ; Facultad de Ingeniería UC

Luis Villamizar

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la ecuación transformada es: Y =

2 s

3

Y(s)

=

y(t)

=

+

Y s

2

+1

2 ( s2 + 1 ) s5

1 4 2 t + t 12

Ejemplo 41: Resuelva la ecuación integro-diferencial: y ′(t ) − 3 y (t ) + 2

∫

t

0

y ( x)(t − x ) dx = e , 2 t

+ y (0 ) = 0

> ed: =di f f ( y( t) , t) - 3*y( t ) +2*i nt( y( x) *( t- x) , x=0. . t) =exp( 2*t ) ; y( 0)=0;

t

d y( x ) ( t − x ) d x = ed := ⎛ ⎜⎜ d t y( t ) ⎞⎟⎟ − 3 y( t ) + 2 ⌠ ⎮ ⌡0 ⎝ ⎠ y( 0 ) = 0

( 2 t )

> `y(t ) ` = Sol Lapl aceOT( ed, 0) ;

y(t)

⎜⎜ − = ⎛ ⎝ 6


5

3 2

⎟⎟

la ecuación transformada es: 2Y 1 sY − 3Y + 2 = s s−2 2 s Y(s) = ( s − 2 ) ( s3 − 3 s 2 + 2 ) ( −( 3 − 1 ) t ) ( ( 3 + 1 ) t ) 1 ⎜⎜ 3 + 5 ⎟⎟ + ⎛ + 3 ⎝ 2 6

t

−2

( 2 t )

Luis Villamizar

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Solución de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) Para la solución de ecuaciones de este tipo al igual que las anteriores definiremos un procedimiento que nos permita resolverla usando transformada de Laplace paso a paso. Este procedimiento los llamaremos: SolLapEDP(pde,c_inicial1,c_inicial2,x_inicial,x_final,c_borde1,c_borde2)

> wi t h( i nt t rans); > Sol LapEDP: =pr oc( pde, c1, c2, x0, x1, u1, u2)

# pr ocedi mi ent o para resol ver EDPs, usando tr ansf ormada de Lapl ace l ocal pdetemp1, pdetemp2, pdetemp3, Sol EDO; # apl i caci ón de tr ansf or mada de Lapl ace para l a vari abl e t pdet emp1: =l apl ace( pde, t , s) ; pr i nt ( `La EDP t r ansf or mada: ` , pdetem p1); # sust i t uci ón de condi ci ones i ni ci al es pdet emp2: =subs( {l apl ace( u( x, t ) , t , s) =U( x), u( x, 0) =c1, D[ 2] ( u) ( x, 0) =c2}, pd etemp1); pr i nt ( `La edo en f unci ón de x : `, pdetem p2) ; pdetemp3: =dsol ve({pdet emp2, U( x0)=u1, U( x1)=u2}, U( x) ) ; Sol EDO: =r hs( pdetemp3); pr i nt ( `La sol uci ón de l a EDO: `, Sol EDO) ; # apl i caci ón de t r ansf or mada i nver sa r et urn( i nvl apl ace( Sol EDO, s, t ) ) ; end:

Ejemplo 42: Resuelva la ecuación diferencial parcial:

∂u ( x , t ) ∂ u ( x , t ) =3 ∂t ∂ x2 2

u ( x, 0+ ) = 3sen 2πx

sujeto a:

u (0, t ) = u (1, t ) = 0

0 < x < 1, t > 0

Esta ecuación en derivadas parciales la resolvemos usando el procedimiento definido anterior mente de la forma: Definimos la EDPs sus condiciones iniciales y sus condiciones de borde: > pde: =di f f (u(x, t) , t) =3*di f f ( u(x, t) , x, x);

u( x, 0) =3*si n( 2*Pi *x) , D[ 2] ( u) ( x, 0) =0, u( 0, t ) =0, u( 1, t ) =0:

∂ ∂2 ⎛ ⎜ pde := u( x, t ) = 3 ⎜ 2 u( x, t ) ⎟⎟ ∂t ⎝ ∂ x


Luis Villamizar

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Llamada al procedimiento: > pr i nt ( `La sol uci ón de l a PDE es:

u( x, t ) ` = Sol LapEDP( pde, 3*si n( 2*Pi *x) , 0, 0, 1, 0, 0) ) ;

∂2 ⎛ ⎜ La EDP transformada es: , s laplace( u( x, t ), t , s ) − u( x, 0 ) = 3 ⎜ 2 laplace( u( x, t ), t, s ) ⎟⎟ ⎝ ∂ x ⎠ 2 ⎛ d La edo en función de x es : , s U( x ) − 3 sin( 2 π x ) = 3 ⎜⎜ 2 U( x ) ⎟⎟ ⎝ d x 3 sin( 2 π x ) La solución de la EDO es : , s + 12 π 2 La solución de la PDE es:

u(x,t)

= 3 sin( 2 π x )

2 ( −12 π t )

Ejemplo 43: Resuelva la ecuación diferencial parcial:

∂

2

u ( x, t )

∂t

2

=9

∂

2

u ( x,0+ ) = 20 sen2πx − 10 sen5πx u ( x, t )

∂x

2

sujeto a:

ut ( x, 0+ ) = 0 u (0, t) = u (2, t ) = 0

> pde: =di f f (u(x, t) , t, t) =9*di f f (u(x, t) , x, x);

∂2 ∂2 ⎛ ⎜ pde := 2 u( x, t ) = 9 ⎜ 2 u( x, t ) ⎟⎟ ∂t ⎝ ∂ x ⎠ > pr i nt ( `La sol uci ón de l a PDE es:

u( x, t ) ` =

Sol LapEDP( pde, 20*si n( 2*Pi *x) 10*si n( 5*Pi *x) , 0, 0, 2, 0, 0) ) ;

La EDP transformada: , 2 ∂ ⎛ ⎞ s ( s laplace( u( x, t ), t, s ) − u( x, 0 ) ) − D2( u )( x, 0 ) = 9 ⎜⎜ 2 laplace( u( x, t ), t, s ) ⎟⎟ ⎝ ∂ x

La edo en función de x: , s ( s U( x ) − 20 sin( 2 π x ) + 10 sin( 5 π x ) ) = 9 ⎜⎜ La solución de la EDO: ,

La solución de la PDE es:


d 2

⎟ ⎜⎝ d x2 U( x ) ⎟ −10 s ( s 2 + 36 π2 ) sin( 5 π x ) + 20 s sin( 2 π x ) ( s 2 + 225 π2 ) s 4 + 261 s 2 π2 + 8100 π4 u(x,t)= 20 sin( 2 π x ) cos( 6 π t ) − 10 sin( 5 π x ) cos( 15 π t )

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Resolución de algunas integrales impropias: La solución usando Laplace para este tipo de integrales se basa en que:

∫

∞ − at 0

e

f (t ) dt = L[ f (t )]

Ejemplo 44: Evalué:

∫

∞ −t 1 0

e

s =a

= F (a )

− cos3t t

d t

> f : =(1- cos(3*t) )/ t; f :=

1 − cos( 3 t ) t

> F: =l apl ace(f , t, s);

I nt( exp( - t) *f , t=0. . i nf i ni ty)=subs(s=1, F) ;

F := ∞

⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡0

Ejemplo 45: Evalué:

∫

t⎡

∞ −2t 0

e

( −t )

1 ⎛ 9 ln⎜ 1 + 2 ⎟ 2 ⎜⎝ s ⎟

( 1 − cos( 3 t ) ) 1 d t = ln( 10 ) 2 t

⎤ ⎢⎣ ∫ 0 senhx.cos(t − x) dx ⎥⎦ dt t

> G: =l apl ace( t* i nt( si nh( x) *cos(t - x) , x=0. . t) , t, s); I nt ( exp( - 2*t ) *g, t =0. . i nf i ni t y) =subs(s=2, G) ;

1 + G :=

( s − 1 )2 2

2 ( s − 1 )2 ( ( s − 1 ) 2 + 4 )

+

1 +

+

1 2 ( s − 1 ) 2 ( ( s − 1 )2 + 4 )


( s − 1 )2 2

( ( s − 1 )2 + 4 )

+

2

−

2 ( ( s − 1 )2 + 4 ) 1 +

1 ((s − 1)

1

2

+ 4)

2

+

( s + 1 )2 2

2 ( s + 1 ) 2 ( ( s + 1 )2 + 4 )

Luis Villamizar

Laplace Maple

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