LAPORAN HASIL PRESENTASI
INTERPOLASI NEWTON-GREGORY
Diajukan Untuk Memenuhi
Salah Satu Tugas Mata Kuliah Metode Numerik
Disusun Oleh :
Nama/NIM : Acep Abdurachman/
Asep Beben/
Iwan Jaelani/
Rizki Apriliyandi/10108823
Kelas : IF-15 / Semester IV
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS TEKNIK DAN ILMU KOMPUTER
UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA
Interpolasi Newton
Polinom Newton di dapat dari polinom lanjar (untuk p1) dan polinom kuadrat (untuk p2).
Kita lihat dari polinom lanjar (untuk p1)
p1x=y0+ (y1- y0)(x1- x0) (x-x0)
p1x=a0+ a1(x-x0)
Dimana :
a0=y0=f(x0) ... (1.1) dan a1=y1- y0x1- x0= fx1- f(x0)x1- x0 ... (1.2)
Persamaan (1.2) merupakan bentuk selisih-terbagi dan disingkat menjadi
a1=f[x1, x0] ... (1.3)
Kita lihat dari polinom kuadrat (untuk p2)
p2x= a0+ a1x-x0+ a2x-x0(x-x1) ... (1.4)
p2x= p1x+ a2x-x0(x-x1) ... (1.5)
Dari Persamaan-persamaan diatas dapat disimpulkan
p1x=p0(x)+ a1(x-x0)
=a0+ a1(x-x0)
p2x=p1(x)+ a2x-x0(x-x1)
= a0+ a1x-x0+ a2x-x0(x-x1)
p3x=p2x+ a3x-x0x-x1x-x3
=a0+ a1x-x0+ a2x-x0x-x1+ a3x-x0x-x1x-x2
pnx=pn-1x+ anx-x0x-x1…x-xn
=a0+ a1x-x0+ a2x-x0x-x1+ a3x-x0x-x1x-x2+ …+anx-x0x-x1…x-xn
Nilai konstanta a0, a1, a2, … , an adalah nilai selisih-terbagi, dengan nilai masing-masing :
a0=f(x0)
a1=f[x1, x0]
a2=f[x2, x1, x0 ]
an=f[xn, xn-1, …, x1, x0]
Dimana :
fxi, xj= fxi- f(xj)xi- xj
fxi, xj, xk =fxi, xj- fxj, xkxi- xk
fxn, xn-1, …, x1, x0=fxn, xn-1, …, x1, x0- fxn-1, xn-2, …, x1, x0xn- x0
Dan :
fxi, xj= ST-1 (Selisih Terbagi Pertama)
fxi, xj, xk = ST-2 (Selisih Terbagi Kedua)
fxn, xn-1, …, x1, x0 = ST-n (Selisih Tebagi Ke-n)
Jadi dari persamaan-persamaan diatas didapat bentuk Polinom Newton secara lengkap
pnx=fx0+fx1, x0x-x0+fx2, x1, x0 x-x0x-x1+ … +f[xn, xn-1, …, x1, x0]x-x0x-x1… x-xn-1
Karena konstanta a0, a1, a2, … , an merupakan nilai selisih-terbagi, maka polinom Newton dinamakan juga Polinom Interpolasi Selisih-Terbagi Newton. Nilai selisih terbagi ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel selisih-terbagi. Misalkan tabel selisih untuk empat buah titik (n = 4) seperti berikut :
i
xi
yi=f(xi)
ST-1
ST-2
...
ST-n
0
x0
f(x0)
f[x1, x0]
f[x2, x1, x0 ]
f[xn, xn-1, …, x1, x0]
1
x1
f(x1)
f[x2, x1]
f[x3, x2, x1 ]
2
x2
f(x2)
f[x3, x2]
3
x3
f(x3)
Contoh Soal :
Hitunglah f9.2 dari nilai-nilai (x, y) yang diberikan pada tabel di bawah ini dengan polinom Newton derajat tiga. fx=lnx
Penyelesaian :
i
xi
yi=fxi
ST-1
ST-2
ST-3
0
8.0
2.079442
0.117783
-0.006433
0.000411
1
9.0
2.197225
0.108134
-0.005200
2
9.5
2.251292
0.097735
3
11.0
2.397895
yi=fxi=lnxi
fx0=lnx0= ln8.0= 2.079442
fx1=lnx1= ln9.0= 2.197225
fx2=lnx2= ln9.5= 2.251292
fx3=lnx3= ln11.0= 2.397895
ST-1 = fxi, xj
fx1, x0= fx1- f(x0)x1- x0= 2.197225-2.079442 9.0-8.0= 0.117783
fx2, x1= fx2- f(x1)x2- x1= 2.251292- 2.197225 9.5- 9.0= 0.108134
fx3, x2= fx3- f(x2)x3- x2= 2.397895- 2.25129211.0- 9.5= 0.097735
ST-2 = fxi, xj, xk
fx2, x1, x0= fx2, x1-fx1, x0 x2- x0= 0.108134-0.117783 9.5-8.0= -0.006433
fx3, x2, x1= fx3, x2-fx2, x1 x3- x1= 0.097735-0.10813411.0-9.0= -0.005200
ST-3 = fxi, xj, xk, xl
ifxi, xj, xk, xl= fx3, x2, x1- fx2, x1, x0x3- x0= -0.005200-(-0.006433) 11.0-8.0=0.000411
Nilai-nilai selisih-terbagi yang dibutuhkan untuk membentuk polinom Newton derajat tiga berhuruf warna putih. (pada Tabel)
Polinom Newton-nya (dengan x0=8.0 sebagai titik data pertama adalah :
p3x=fx0+x-x0fx1, x0+x-x0x-x1fx2, x1, x0 +x-x0x-x1x-x2fx3, x2, x1, x0
fx= p3x= 2.079442+0.117783x-8.0- 0.006433x-8.0x-9.0+0.000411x-8.0x-9.0(x-9.5)
Hampiran nilai fungsi pada x=9.2 adalah
f9.2 p39.2= 2.079442+0.1177839.2-8.0- 0.0064339.2-8.0
9.2- 9.0+0.0004119.2-8.09.2-9.0(9.2-9.5)
= 2.079442+0.141340-0.001544-0.000030
= 2.219208
Sedangkan nilai sejati f9.2=2.219203
Jadi, Galatnya : nilai hampiran – nilai sejati = 2.219208 – 2.219203 = 0.000005
Polinom Newton-Gregory
Polinom Newton-Gregory Maju
Polinom Newton-Gregory maju diturunkan dari tabel selisih maju, yaitu
Misal diberikan 4 buah titik dengan absisi x yang berjarak sama.
x
fx= y
f
2f
3f
4f
x0
f0
f0
2f0
3f0
4f0
x1
f1
f1
2f1
3f1
x2
f2
f2
2f2
x3
f3
f3
x4
f4
Lambang menyatakan selisih maju. Arti dari simbol-simbol diatas :
f0=fx0= y0
f1=fx1= y1
f4=fx4= y4
Notasi : fp=fxp= yp
f0=f1-f0
f1=f2-f1
f3=f4-f3
Notasi : fp=fp+1-fp
2f0= f1- f0
2f1= f2- f1
2f2= f3- f2
Notasi : 2fp= fp+1- fp
3f0= 2f1- 2f0
3f1= 2f2- 2f1
Notasi : 3fp= 2fp+1- 2fp
Bentuk Umum :
n+1fp= nfp+1- nfp ; n=0, 1, 2, …
Kemudian kita kembangkan polinom Newton-Gregory maju yang didasarkan pada tabel selisih maju.
fx1, x0= fx1- f(x0)x1-x0= f(x0)h= f01!h
fx1, x2, x0= fx2,x1- f[x1, x0]x2- x0= 2f0 2f0= 2f02!h
Dari persamaan-persamaan diatas maka kita akan mendapat
Bentuk Umum : fxn, …, x1, x0= nf(x0)n!hn= nf0n!hn
Dengan demikian polinom Newton untuk data berjarak sama dapat ditulis sebagai :
pnx=fx0+x-x0fx1,x0+x-x0x-x1fx2,x1,x0+…+x-x0x-x1…x-xn-1f[xn,xn-1,…,x1,x0]
=f0+x-x0 f01!h+x-x0x-x1 2f02!h+…+x-x0x-x1…(x-xn-1) nf0n!h
Jika titik-titik berjarak sama dinyatakan sebagai
xi=x0+ih , i=0, 1, 2, …., n
Dan nilai x yang diinterpolasikan adalah
x=x0+sh ,sϵR
Maka, persamaan polinom Newton dapat ditulis dalam parameter s sebagai
pnx=f0+sh1!h f0+ss-1h22!h2 2f0+…+ss-1s-2…s-n+1hnn!hn nf0
menjadi
pnx=f0+s1! f0+ss-12! 2f0+…+ss-1s-2…s-n+1n! nf0
Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk binomial :
pnx= k=0nsk kf0
Yang dalam hal ini,
s0=1, sk=ss-1s-2…(s-k+1)k! (s>0, bilangan bulat)
dan k!=1×2×3×…×k
Jadi tahap pembentukan Polinom Newton-Gregory maju untuk titik-titik berjarak sama dapat dituliskan sebagai berikut :
p0x=f0
p1x=p0x+s1! f0
p2x=p1x+s(s-1)2! 2f0=f0+s1! f0+s(s-1)2! 2f0
pnx=f0+s1! f0+s(s-1)2! 2f0+…+ss-1s-2…(s-n+1)n! nf0
Contoh 1
Buat tabel selisih maju untuk fungsi fx=1(x+1) pada selang [0.000, 0.625] dan h = 0.125. Hitung f (0.300) dengan polinom Newton-Gregory maju derajat 3
penyelesaian
x
f(x)
2
3
h0.000
h
1.000
-0.111
0.022
-0.006
0.125
0.889
-0.089
0.016
-0.003
0.250
0.800
-0.073
0.013
-0.005
0.375
0.727
-0.060
0.008
0.500
0.667
-0.052
0.625
0.615
Agar galat interpolasi minimum, maka x harus terletak di sekitar pertengahan selang jadi
x0=0.125, x1=0.250, x2=0.375, x3=0.500
s=x-x0h=0.300-0.1250.125=1.4
fx=1(x+1)
f0x= 1(x0+1)=1(0.125+1)=0.889
f1x= 1(x1+1)=1(0.250+1)=0.800
f2x= 1(x2+1)=1(0.375+1)=0.727
f3x= 1(x3+1)=1(0.500+1)=0.667
f(x)=fjx-fi(x)
f0x=f1x-f0x=0.800-0.889=-0.089
f1x=f2x-f1x=0.727-0.800=-0.073
f2x=f3x-f2x=0.667-0.727=-0.060
f3x=f4x-f3x=0.615-0.667=-0.052
2f(x)= fjx- fi(x)
2f0x= f1x- f0x=-0.073--0.089=0.016
2f1x= f2x- f1x=-0.060--0.073=0.013
2f2x= f3x- f1x=-0.052--0.060=0.008
3f(x)= 2fj(x)- 2fi(x)
3f0x= 2f1x- 2f0x=0.013-0.016=-0.003
3f1x= 2f2x- 2f1x=0.008-0.013=-0.005
Nilai f(0.300) dihitung dengan polinom Newton-Gregory maju derajat tiga:
p3x f0+s1! f0+s(s-1)2! 2f0x+ss-1(s-2)3! 3f0x
0.889+1.4-0.089+1.40.420.016+1.40.4-0.66(-0.003)
0.889-0.1246+0.0045
0.769
Nilai f(0.300) dihitung sebagai nilai sejati f0.300=1(0.300+1)=0.769
Contoh 2
Diketahui : fx=sin(x) di dalam selang [0.1, 1.7] dan h=0.4
Tabel selisih maju
x
f(x)
f
2f
3f
0.1
0.09983
0.37960
-0.07570
-0.04797
0.5
0.47943
0.30390
-0.12367
-0.02846
0.9
0.78333
0.18023
-0.152134
1.3
0.96356
0.02810
1.7
0.99166
Ditanyakan : batas-batas galat f(0.8) apabila berderajat dua
penyelesaian
Polinom derajat dua jumlah titik = 2 + 1 = 3
Misal titik yang diambil adalah x0=0.1, x1=0.5, x2=0.9
x=0.8
s=(x-x0)h=1.75
p20.8 f0+s f01!+ss-1 2f02!
0.09983+1.750.37960+1.750.752(-0.07570) 0.71445
Batas-batas galatnya :
Ex ss-1s-2n+1!h3f''(t)
E0.8 1.750.75-0.25(0.4)33![-cost]
Dalam selang [0.1, 0.9] fungsi cosinus monoton naik, sehingga nilai minimum dan nilai maximum cosinus terletak di ujung-ujung selang.
Jadi,
Galat 1.750.75-0.25(0.4)33!-cos0.1=3.48×10-3
Galat 1.750.75-0.25(0.4)33!-cos0.9=2.18×10-3
Jadi, batas-batas galat dalam menginterpolasi f(0.8) adalah
2.18×10-3 galat 3.48×10-3
Polinom Newton-Gregory Maju
Polinom ini sering digunakan pada perhitungan nilai turunan (derivative) secara numerik. Titik yang digunakan berjarak sama, yaitu
x0, x1, x2, …, x-n
Dimana
xi=x0+ih ,i=0, -1, -2, …, -n
Nilai x yang diinterpolasikan adalah
x=x0+sh ,sϵR
Tabel selisih mundur untuk empat titik
i
xi
f(x)
f
2f
3f
-3
x-3
f-3
-2
x-2
f-2
f-2
-1
x-1
f-1
f-1
2f-1
0
x0
f0
f0
2f0
3f0
Keterangan
f0=fx0
f-1=fx-1
f0=f0-f-1
f-1=f-1-f-2
2f0= f0- f-1
2f-1= f-1- f-2
k+1fi= kfi- kfi-1
Polinom Newton-Gregory mundur yang menginterpolasi (n+1) titik data adalah
fx pnx=k=0ns+k-1s kf0
pnx=f0+s1! f0+s(s+1)2! 2f0+…+ss+1s+2…(s+n-1)n! nf0
Pertanyaan
Ridwan Ahmad Gunadi (10108824)
"Bagaimana proses penurunan Polinom Newton-Gregory mundur?"
"Perbedaan Polinom Newton-Gregory maju dan Polinom Newton-Gregory mundur?"
Jawaban
a. Kembangkan polinom Newton-Gregory mundur yang didasarkan pada tabel selisih mundur.
fx0, x-1= fx0- f(x-1)x0-x-1= f(x0)h= f01!h
fx0, x-1, x-2= fx0,x-1- f[x-1, x-2]x0- x-2= 2f0 2f0= 2f02!h
Dari persamaan-persamaan diatas maka kita akan mendapat
Bentuk Umum : fx0, x-1,…, xn= nf(x0)n!hn= nf0n!hn
Dengan demikian polinom Newton untuk data berjarak sama dapat ditulis sebagai :
pnx=fx0+x-x0fx0,x-1+x-x0x-x-1fx0,x-1,x-2+… +x-x0x-x-1…x-xn-1f[x0,x-1,…,xn]
=f0+x-x0 f01!h+x-x0x-x-1 2f02!h+…+x-x0x-x-1…(x-xn-1) nf0n!h
Jika titik-titik berjarak sama dinyatakan sebagai
xi=x0+ih , i=n, …, -2, -1, 0
Dan nilai x yang diinterpolasikan adalah
x=x0+sh ,sϵR
Maka, persamaan polinom Newton dapat ditulis dalam parameter s sebagai
pnx=f0+sh1!h f0+ss+1h22!h2 2f0+…+ss+1s+2…s+n-1hnn!hn nf0
menjadi
pnx=f0+s1! f0+ss+12! 2f0+…+ss+1s+2…s+n-1n! nf0
Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk binomial :
pnx= k=0ns+k-1s kf0
Perbedaan antara Polinom Newton-Gregory maju dan Polinom Newton-Gregory mundur adalah dari simbol untuk maju & untuk mundur. Dari i untuk Gregory maju=0, 1, 2, …, n sedangkan untuk Gregory mundur i=n, -2, -1, …, 0. Persamaannya pun berbeda
Gregory Maju
pnx= k=0nsk kf0
Gregory mundur
pnx= k=0ns+k-1s kf0