LAPORAN PRAKTIKUM RISET OPERASI
I.
PENDAHULUAN
A. Linear Programming
dan Kimball meny menyat atak akan an bahwa bahwa rise risett opera operasi si adal adalah ah meto metode de ilmi ilmiah ah yang yang Morse da memungkinkan para manajer untuk mengambil keputusan mengenai kegiatan yang ditangani secara kuantitatif. Churchman, Arkoff, dan Arnoff mendefinisikan bahwa riset operasi merupakan aplika aplikasi si metodemetode-met metode ode,, teknik teknik-te -tekni knik, k, dan perala peralatan tan ilmiah ilmiah dalam dalam menghad menghadapi api masala masalahhmasalah yang timbul dalam operasi perusahaan dengan tujuan menemukan pemecahan yang optima optimal. l. Kemudi Kemudian an Miller da dan M.K. Star menyatakan bahwa riset operasi adalah peralatan manaj manajem emen en yang yang meny menyat atuka ukan n ilmu ilmu penge pengeta tahu huan an,, mate matema mati tika, ka, dan dan logi logika ka dala dalam m rang rangka ka memecahkan masalah yang dihadapi sehari-hari sehingga dapat terpecahkan secara optimal. Linier Linier Program Programing ing (LP) (LP) merupak merupakan an suatu suatu mod model el umu umum m yang yang dapat dapat digunak digunakan an dalam dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. umber-sumber yang dimaksud dapat brupa bahan baku, peralatan dan mesin, ruang, waktu, dana dan orang. emua ini dapat dipergunakan untuk menghasilkan komoditi tertentu. !engan kata lain Linier Programing adalah metode atau teknik matematis yang digunakan untuk membantu manajer dalam dalam pengamb pengambila ilan n keputus keputusan. an. "enuru "enurutt #eorg #eorgee $.!ant $.!ant%in %ing g (eora (eorang ng ahli ahli matema matematik tik dari dari &mer &m erik ikaa seri serika kat) t),, !ala !alam m bukun bukunya ya yang yang berj berjud udul ul Lini Linier er Progr Program ammi ming ng and and ' 'te tens nsio ion, n, menyebut menyebutkan kan bahwa bahwa ide Linier Linier Programm Programming ing ini berasal berasal dari dari ahli matemati matematik k usia usia yang yang bernama L.* Kantori+ich yang pada tahun menerbitkan sebuah karangan dengan judul /"athematical "ethods in the 0rgani%ation and Planing of Production1. !alam karangan itu, telah dirumuskan mengenai persoalan linier programming untuk pertama kalinya. &kan tetapi ide ini ini tida tidak k dapat dapat berk berkem emba bang ng di usi usia. a. 2erny ernyat ataa duni duniaa barat barat yang yang mema memanfa nfaat atka kan n ide ide ini ini selanjutnya. Kemudian pada tahun 34 $. !ant%ing menemukan suatu cara untuk memecahkan persoalan linier programming p rogramming tersebut dengan metode yang disebut imple method. etelah itu linier programming berkembang pesat dalam bidang kemiliteran dan bisnis ( maksimum profit, minimum cost).
Persoalan linier programming adalah suatu persoalan untuk menentukan besarnya masingmasing nilai +ariable sedemikian rupa sehingga nilai fungsi tujuan (objecti+e function) yang linier linier menjadi menjadi optimu optimum m (maim (maimum um atau atau minimum minimum)) dengan dengan memperh memperhati atikan kan pembat pembatasa asann pembatasan yang ada yaitu pembatasan mengenai inputnya. uatu persoalan dapat disebut sebagai linier programming apabila5 •
2ujuan (objecti+e) yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linier. 6ungsi
•
ini disebut fungsi tujuan (objecti+e fungsion) 7arus ada alternati+e pemecahan. Pemecahan yang membuat fungsi tujuan optimum (laba yang
•
maimum, biaya yang minimum) yang harus dipilih umber-sumber tersedia dalam jumlah yang terbatas (bahan mentah terbatas, modal terbatas, ruang penyimpangan terbatas). Pembatasan-pembatasan tersebut harus dinyatakan dalam ketidak samaan linier ( linier ine8uality).
) Karakteristik Pemrograman Linier ifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. ecara statis statisti tik, k, kita kita dapat dapat memeri memeriksa ksa keline kelineara aran n menggun menggunakan akan grafik grafik (diagr (diagram am pencar pencar)) ataupu ataupun n meng menggu guna naka kan n
uji uji
hipo hipote tesa sa..
eca ecara ra tekn teknis is,,
line linear arit itas as ditu ditunj njuk ukka kan n
oleh oleh adan adanya ya sifa sifatt
proporsionalitas, additi+itas, di+isibilitas di+isibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas. ifat proporsional dipenuh dipenuhii jika jika kontrib kontribusi usi setiap setiap +ariab +ariabel el pada pada fungsi fungsi tujuan tujuan atau atau penggunaan sumber daya da ya yang membatasi proporsional terhadap le+el nilai +ariabel. 9ika harga ha rga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. &tau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. 9ika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi. ifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai akti+itas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. ifat additi+itas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). ifat additi+itas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing +ariabel keputusan. :ntuk fungsi kendala, sifat additi+itas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaaan masing-masing +ariabel keputusan. 9ika dua +ariabel keputusan misalnya merepresentasikan dua produk substitusi, dimana peningkatan +olume penjualan salah satu produk akan mengurangi +olume penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat additi+itas tidak terpenuhi.
ifat divisibilitas berarti unit akti+itas dapat dibagi ke dalam sembarang le+el fraksional, sehingga nilai +ariabel keputusan non integer dimungkinkan. ifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. &rtinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu. Keempat asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. :ntuk meyakinkan dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam pemrograman linier diperlukan analisis sensiti+itas terhadap solusi optimal yang diperoleh. ;) 6ormulasi Permasalahan :rutan
pertama
dalam
penyelesaian
adalah
mempelajari
sistem
rele+an
dan
mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau akti+itas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain. Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. :ntuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.
) Pembentukan model matematik 2ahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan kon+ensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. "odel matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi +ariabel keputusan. "odel matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. $agian pertama memodelkan tujuan optimasi. "odel matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. $entuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. 6ungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. $ukan berarti bahwa permasalahan optimasi
hanya dihadapkan pada satu tujuan. 2ujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. 2etapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan. $agian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi. 6ungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (<) atau pertidaksamaan (= atau >). 6ungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. "odel matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara +erbal. alah satu keuntungan yang paling jelas adala model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. 7al ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab akibat penting. "odel matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. 2erakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan. !i sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. 2idak semua karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. "eskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan. $entuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut 5 6ungsi tujuan 5 "aksimumkan atau minimumkan % < c ? c;; ? ... ? cnn umberdaya yang membatasi 5 a ? a;; ? ... ? ann < @≤ @ ≥ b a; ? a;;; ? A ? a;nn < @≤ @ ≥ b; A am ? am;; ? A ? a mnn < @≤ @ ≥ bm , ;, A, n ≥ B imbol , ;, ..., n (i) menunjukkan +ariabel keputusan. 9umlah +ariabel keputusan (i) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau akti+itas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. imbol c,c;,...,cn merupakan kontribusi masing-masing +ariabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.imbol a , ...,an,...,amn
merupakan penggunaan per unit +ariabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. imbol b,b;,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. 9umlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas. Pertidaksamaan terakhir (, ;, A, n ≥ B) menunjukkan batasan non negatif. "embuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. "enggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik. Kasus pemrograman linier sangat beragam. !alam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. "eskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. 2ujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. 7arus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.
B. Transportation
"asalah transportasi berhubungan dengan distribusi suatu produk tunggal dari beberapa sumber, dengan penawaran terbatas, menuju beberapa tujuan, dengan permintaan tertentu, pada biaya transport minimum. Karena hanya ada satu macam barang, suatu tempat tujuan dapat memenuhi permintaanya dari satu atau lebih sumber. &sumsi dasar model ini adalah bahwa biaya transport pada suatu rute tertentu proporsional dengan banyaknya unit yang dikirimkan. :nit yang dikirimkan sangat tergantung pada jenis produk yang diangkut. Cang penting, satuan penawaran dan permintaan akan barang yang diangkut harus konsisten. Persoalan transportasi merupakan persoalan linear programming. $ahkan aplikas dari teknik linear programming pertama kali ialah dalam merumuskan persoalan transportasi dan memecahkannya. Persoalan transportasi yang dasar pada mulannya dikembangkan oleh 6.L 7itch D cock pada tahun 3 dalam studinya. Eni merupakan ciri dari persoalan transportasi yaitu mengangkut ejenis produk tertentu katakan beras, minyak, daging, telur,tekstil, pupuk dan jenis produk linnya dari beberapa daerah asal ( pusat produksi, depot minyak, gudang garam) ke beberapa daerah tujuan (pasar, tempat proyek, tempat pemukiman, daerah transmigrasi),
pengaturan harus dilakukan sedemikian rupa agar jumlah biaya transportasi minimum. "isalnya suatu jenis brang diangkut dari ke beberapa daerah tujuan. "isalnya ada m daerah asal 5 &, &;......,&m dan n daerah tujuan 5 2,2;,.......,2j......,2n. !idaerah asal &i, tersedia barang yang akan diangkut (supply) sebanyak i dan di tempat tujuan barang tersebut diminta sebanyak dj (demand). Fij < jumlah barang yang diangkut (dalam satuan) dari &i ke 2j. !engan demikian untuk mengangkut Fij unit diperlukan biaya cij i. 9umlah permintaann ( total demand) < jumlah penawaran (total supply). 2ransportasi merupakan metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumbersumber yang menyediakan produk yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal."etode transportasi digunakan untuk memecahkan masalah bisnis, pembelanjaan modal, alokasi dana untuk in+estasi, analisis lokasi, keseimbangan lini perakitan dan perencanaan serta scheduling produksi. 2ujuannya model transportasi suatu proses pengaturan distribusi barang dari tempat yang memiliki atau menghasilkan barang tersebut dengan kapasitas tertentu ke tempat yang membutuhkan barang tersebut dengan jumlah kebutuhan tertentu agar biaya distribusi dapat ditekan seminimal mungkin. $erguna untuk memecahkan permasalahan distribusi (alokasi). "emecahkan permasalahan bisnis lainnya, seperti masalah-masalah yang meliputi pengiklanan, pembelanjaan modal (capital financing) dan alokasi dana untuk in+estasi, analisis lokasi, keseimbangan lini perakitan dan perencanaan scheduling produksi. "erupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal. "etode transportasi berhubungan dengan distribusi suatu produk tunggal dari beberapa sumber, dengan penawaran terbatas, menuju ke beberapa tujuan dengan permintaan tertentu. &sumsi dasar model ini adalah biaya transport pada suatu rute tertentu proporsional dengan banyaknya unit yang dikirimkan. Pada model transportasi, yang harus diperhatikan adalah bahwa total kuantitas pada seluruh baris harus sama dengan total kuantitas pada seluruh kolom, jika tidak, maka perlu ditambahkan kuantitas dummy. "etode 2ransportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal dengan biaya yang termurah . &lokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa karena terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber atau beberapa sumber ke tempat tujuan yang berbeda. 2abel awal dapat dibuat dengan dua metode, yaitu5
.
"etode Gorth Hest Iorner (GHI) <> dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah Kelemahan 5 tidak memperhitungkan besarnya biaya sehingga kurang efisien.
;. "etode biaya terkecil <> mencari dan memenuhi yang biayanya terkecil dulu. Lebih efisien dibanding metode GHI. "etode transportasi adalah suatu metode dalam iset 0perasi yang digunakan utuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yg sama, ke tempat-tempat yg membutuhkan secara optimal. &lokasi produk harus diatur sedemikian rupa, karena terdapat perbedaan biaya-biaya aloka-si dari sumber ke tempat tujuan yg berbeda. !isamping itu juga metode transportasi juga dapat digunakan utk memecahkan masalah dunia usaha (bisnis) lainnya seperti masalah yg meliputi periklanan, pembelanjaan modal (capital financing) dan alokasi dana untuk in+estasi, analisis lokasi, keseimbangan lini pe-rakitan dan perencanaan serta scheduling produksi. &sumsi dasar model transportasi adalah biaya transportasi pada suatu rute tertentu proporsi-onal dengan banyaknya unit yg dikirim. !ifinisi unit yg dikirim sangat tergantung pada jenis produk yg diangkut. Cang penting satu-an penawaran dan permintaan akan barang yg diangkut harus konsisten.
C. Integer & Mixed integer Programming
Linear Programming (LP) merupakan teknik riset operasional (operation research techni8ue) yang telah dipergunakan secara luas dalam berbagai jenis masalah manajemen (#aspers%, ;BB3). Pemrograman linier memakai suatu model matematis untuk menggambarkan masalah yang dihadapi. Kata sifat Jlinier berarti bahwa semua fungsi matematis dalam model ini harus merupakan fungsi D fungsi linier. Kata Jpemrograman di sini merupakan sinonim untuk kata Jperencanaan. "aka, membuat pemrograman linier adalah membuat rencana kegiatan D kegiatan untuk memperoleh hasil yang optimal, ialah suatu hasil yang mencapai tujuan yang ditentukan dengan cara yang paling baik (sesuai model matematis) di antara semua alternatif yang mungkin.
1. Komonen Mode! Integer Linear Programming
Enteger linear programming memiliki tiga komponen utama, yaitu5 a.
6ungsi 2ujuan (0bjecti+e 6unction) 6ungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan@sasaran dari dalam permasalahan integer linear programming yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber dayasumber daya untuk mencapai hasil yang optimal.
b. 6ungsi Pembatas (Ionstraint 6unction) 6ungsi pembatas merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan. c.
*ariabel Keputusan (!ecision *ariables) *ariabel keputusan merupakan aspek dalam model yang dapat dikendalikan. Gilai +ariabel keputusan merupakan alternatif yang mungkin dari fungsi linier.
". #ent$% #a%$ Mode! Pemrograman Linier
ecara matematis, model umum dari integer linear programming yang terdiri dari sekumpulan +ariabel keputusan F, F;, A, Fn, dirumuskan sebagai berikut5 "aksimumkan atau minimumkan % < c ? c;; ? ... ? cnn umberdaya yang membatasi 5 a ? a;; ? ... ? ann < @≤ @ ≥ b a; ? a;;; ? A ? a;nn < @≤ @ ≥ b; A am ? am;; ? A ? a mnn < @≤ @ ≥ bm , ;, A, n ≥ B imbol , ;, ..., n (i) menunjukkan +ariabel keputusan. 9umlah +ariabel keputusan (i) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau akti+itas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. imbol c,c;,...,cn merupakan kontribusi masing-masing +ariabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.imbol a , ...,an,...,amn merupakan penggunaan per unit +ariabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. imbol b,b;,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. 9umlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
Pertidaksamaan terakhir (, ;, A, n ≥ B) menunjukkan batasan non negatif. "embuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. "enggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.
A$mi ' A$mi Pemrograman Linier (
a.
Proporsionalitas Gaik turunnya nilai fungsi tujuan () dan penggunaan sumber daya berubah sebanding (proporsional) dengan perubahan tingkat akti+itas.
b. &dditi+itas &kti+itas (+ariabel keputusan) tidak saling mempengaruhi dalam menentukan nilai fungsi tujuan sehingga nilai fungsi tujuan merupakan penjumlahan kontribusi setiap +ariabel keputusan atau dengan kata lain kenaikan fungsi tujuan yang diakibatkan oleh suatu akti+itas dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai fungsi tujuan yang diperoleh dari akti+itas lain. c.
!eterministik emua parameter yang terdapat dalam model matematis (&ij, Ij, bi) dapat ditentukan dengan pasti, meskipun jarang dapat ditentukan dengan tepat.
d. &ccountability umber-sumber yang tersedia harus dapat dihitung sehingga dapat dipastikan berapa bagian yang terpakai dan berapa bagian yang masih tersisa. e.
Linearity of 0bjecti+es 6ungsi tujuan dan kendala-kendala harus dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi linear.
). So!$i Mode! Integer Linear Programming
olusi model integer linear programming adalah jawaban akhir dari suatu pemecahan masalah. Pada suatu model matematis, solusi dikatakan layak (feasible solution) jika penyelesaiannya tidak melanggar batasan-batasan yang ada. Gamun jika penyelesaiannya tidak memungkinkan pada alternatif-alternatif yang layak (feasible), maka solusi itu dikatakan tidak
layak (no feasible solution). Enteger Linear Programming (ELP) dapat diselesaikan dengan banyak cara, antara lain menggunakan grafik, metode eliminasi dan substitusi maupun menggunakan perangkat lunak. Perangkat lunak yang digunakan untuk memperoleh solusi model integer linear programming, antara lain 'cel ol+er, 20&, LEG!0, &"PL dan LEG#0.
D. Aignment
&ssignment termasuk dalam model transportasi, yakni metode analisis mengenai masalah pendistribusian sejumlah produk atau komoditas dari beberapa sumber distribusi (supply) kepada beberapa daerah tujuan (demand) dengan berpegang pada prinsip biaya distribusi minimal, ataupun juga untuk mencari pendapatan maksimal dari strategi distribusi komoditi yang mempunyai keuntungan tertentu. alah satu metode yang digunakan untuk &ssignment adalah "etode 7ungarian. Pada "etode 7ungarian, jumlah sumber-sumber yang ditugaskan harus sama persis dengan jumlah tugas yang akan diselesaikan. etiap sumber harus ditugaskan hanya untuk satu tugas. 9adi masalah penugasan akan mencakup sejumlah n sumber yang mempunyai n tugas, sehingga ada nM ( n faktorial ) kemungkinan. 2ujuan dari model &ssignment ini adalah untuk mendapatkan total biaya minimum dalam pembebanan pekerjaan kepada mesin-mesin yang tersedia. ecara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut 5 Pembebanan m pekerjaan atau pekerja (i < , ;, A , m) kepada n mesin (j < , ;, , A , n) dengan biaya sebesar cij.
Mode! Matemati Dari Aignment Pro*!em
O*+e%ti,
Pem*ata
.
Maa!a- minimiai
$agaimana menugaskan karyawan untuk menyelesaikan pekerjaan agar total biaya pekerjaan minimum. Langkah-langkah 5 a. "enyusun tabel biaya b. "elakukan pengurangan baris, dengan cara 5 ) "emilih biaya terkecil setiap baris. ;) Kurangkan semua biaya dengan biaya terkecil setiap baris. c. "elakukan pengurangan kolom. d. "embentuk penugasan optimum. e. "elakukan re+isi tabel.
;.
$m!a- e%er/aan tida% ama dengan /$m!a- %ar+a0an.
$ila jumlah pekerjaan lebih besar dari jumlah karyawan, maka harus ditambahkan karyawan semu (dummy worker).
.
Maa!a- ma%imiai
!alam masalah maksimisasi, elemen-elemen matriks menunjukkan tingkat keuntungan. 'fekti+itas pelaksaan tugas oleh karyawan diukur dengan jumlah kontribusi keuntungan. Langkah-langkah 5 a.
eluruh elemen dalam setiap baris dikurangi dengan nilai maksimum dalam baris yang sama. Prosedur ini menghasilkan "atriks 0pportunity Loss. "atriks ini sebenarnya bernilai negatif.
b. "eminimumkan 0pportunity-loss dengan cara mengurangi seluruh elemen dalam setiap kolom ( yang belum ada nolnya ) dengan elemen terkecil dari kolom tesebut. c.
"ere+isi matriks.
II.
HASIL DAN PEM#AHASAN
A. Linier Programming
. "aksimisasi a. oal ebuah perusahaan roti rumahan dengan nama /Hida+ Coo% 1 akan membuat dua jenis produk yaitu oti $olu dan "artabak. etiap pembuatan $olu membutuhkan mentega 4B gr, tepung terigu NOgr dan gula pasir ;Ogr dan untuk membuat "artabak membutuhkan mentega NB gr tepung terigu 4Bgr dan gula pasir OBgr. 2otal mentega yang tersedia adalah B.BBB gr, tepung terigu yang tersedia adalah B.BBB gr serta kapasitas gula pasir yang tersedia B.BBB gr. 9ika $olu akan dijual dengan harga pO.BBB perbuah sementara "artabak p4.BBB. "aka barapa banyak masing masing produk yang harus dibuat sehingga keuntungan dapat mencapai maksimal dengan kapasitas bahan baku yang tersedia. !ata perusahaan 7idays Iook5
$ahan "entega 2erigu #ula Pasir
$ahan yang di butuhkan $olu (gr) "artabak (gr) 4B NB NO 4O ;O OB
"a < OBBBF ? 4BBBF; !engan batasan5 ?
$ahan yang tersedia (gr) B.BBB B.BBB B.BBB
b. Langkah-Langkah 5 ) $uka P0"-" pada desktop ;) Klik Module- Linier Programming ) Klik menu ile- !e" 3) Pada kotak title diisi judul kasus yang akan diselesaikan ( 7idays Iook) O) !umber of Constrain ( jumlah fungsi batasan diisi dengan ) sesui kasus Q) !umber of #ariables ( jumlah +ariabel diisi ;) sesui kebutuhan kasus 4) Pada $b%ective pilih Ma&imi'e N) Klik 0k ) "asukan angka-angka pada soal ke dalam tabel yang muncul kemudian klik Solve B) Klik (ile untuk mengeluarkan semua output yang dibutuhkan atau klik )indo" kemudian klik satu-persatu untuk mengeluarkan output tertentu( Linier programming result, *anging, Solution list, +teration, ual, raph).
c. $utput dan Enterpretasi ) $utput Linear Programming *esults Enterpretasi5 Pada liniear programing result , terlihat bahwa solusi untuk kasus ini adalaha F sebesar B untuk pembuatan $olu, dan F; sebesar ;O buah untuk pembuatan "artabak yang dapat diproduksi oleh 7idays cook untuk memperoleh keuntungan maksimal sebesar pN4OBBB. ;) $utput *anging Enterpretasi5 Pada tabel ranging dapat terlihat bahwa 5 . *alue Keuntungan maksimal dapat dicapai ketika produksi F< B buah dan F;<;O buah. ;. !ual +alue 9ika dilakukan penambahan gr mentega akan menambah keuntungan sebesar p N4,O rupiah sedangkan terigu dan gula pasir walaupun masing-masing dilakukan penambahan gr tidak akan memberikan keuntungan karena nilainya p B. 7al ini disebabkan karena terdapat terigu dan gula pasir yang terbuang atau tidak optimal dalam pemakaiannya dalam produksi sehingga ada sisa masing-masing sebesar Q;O gr dan 4OB gr. . Lower bound dan :pper $ound adalah batas atas dan batas bawah. ) $utput Solution List Enterpretasi 5 Pada tabel solusion list terlihat bahwa 5 ) *alue
Produksi optimal untuk profit maksimal yaitu $olu () < B dan "artabak (;) < ;O. "enghasilkan keuntungan ( sebesar N4OBB ) ;) tatus $asic adalah +ariabel yang masuk ke dalam iterasi. Pada kasus diatas yang menjadi +ariabel basic yaitu "artabak (;), slack ; dan slek . / $utput +terations Enterpretasi 5
Pada tabel iterasi terlihat bahwa terjadi ; kali iterasi. 7al tersebut berarti untuk dapat mencapai kombinasi angka optimum diperlukan dua kali langkah komputasi. O) $utput ual Enterpretasi 5 Pada tabel dual terlihat bahwa 5 . 0riginal problem adalah fungsi tujuan dan kendala pada soal. ;. !ual problem adalah bentuk lain dari fungsi tujuan dan kendala pada soal. "aimi%e "inimi%e "in < B.BBB C ? B.BBBC; ? B.BBBC d.b 4BC ? NOC; ? ;OC >< OBBB NBC ? 4OC; ? OBC >< 4BBB Q) $utput raph Enterpretasi 5 Pada graph terlihat bahwa 5 . Iorner point adalah kombinasi yang dapat dilakukan perusahaan. !apat dilihat kombinasi yang berwarna biru dapat menghasilkan profit maksimal yaitu F < ;. Esoprofit line adalah garis dimana tercapainya profit maksimal . !aerah yang diarsir disebut feasible area yaitu batas yang mungkin untuk pengalokasian sumberdaya produksi yang ada dengan waktu yang tersedia. ;. "inimisasi a. oal P2 DPoor Lin% 2arm merupakan perusahaan yang bergerak dibidang pertanian yang berdomisili di emarang ingin merencanakan pengiriman pupuk & dan pupuk $ kedaerah Purbalingga dan $anyumas. :ntuk pengiriman daerah Purbalingga sedikitnya harus terpenuhi B ton pupuk & dan N ton pupuk $ serta B orang tenaga kerja.!an untuk pengiriman daerah banyumas sedikitna harus terpenuhi minimal Nton pupuk &, Bton pupuk $ dan B orang tenaga kerja. $iaya pengiriman tiap ton daerah purbalingga p OB.BBB dan $anyumas tiap tonnya p QB.BBB. !ata P2 !Poor Link% 6arm5
Purbalingga Pupuk & Pupuk $ 2enaga kerja
B N B
$anjarnegara N B B
"inimum kebutuhan( ton) NB BB ;B
"inimumkan < OB.BBB !engan batasan 5 B B ?B
b. Langkah-Langkah 5 ) $uka P0"-" pada desktop ;) Klik Module- Linier Programming ) Klik menu ile- !e" 3) Pada kotak title diisi judul kasus yang akan diselesaikan ( P2 !Poor Link% 6arm) O) !umber of Constrain ( jumlah fungsi batasan diisi dengan ) sesui kasus Q) !umber of #ariables ( jumlah +ariabel diisi ;) sesui kebutuhan kasus 4) Pada $b%ective pilih Minimi'e N) Klik 0k ) "asukan angka-angka pada soal ke dalam tabel yang muncul kemudian klik Solve B) Klik (ile untuk mengeluarkan semua output yang dibutuhkan atau klik Hindow kemudian klik satu-persatu untuk mengeluarkan output tertentu ( Linier programming result, *anging, Solution list, +teration, ual,raph).
c. $utput dan Enterpretasi ) $utput Linear Programming *esults Enterpretasi5 Pada liniear programing result, terlihat bahwa solusi untuk kasus ini adalaha F sebesar B untuk purabalingga, dan F; sebesar ; untuk daerah $anyumas sehingga dapat diperoleh biaya minimum untuk tujuan pengiriman sebesar pN;B.BBB. ;) $utput *anging Enterpretasi5 Pada tabel ranging dapat terlihat bahwa 5 . *alue $iaya minimal dapat dicapai ketika kapasitas F< B unit dan kapasitas F;<; unit ;. !ual +alue
9ika dilakukan penambahan ton pupuk &, tidak meminimalkan biaya atau sebesar B. Eni disebabkan karena pupuk & memiliki nilai sisa sebesar Q. edangakn penambahan satu ton pupuk $ serta penambahan tenaga kerja menyebabkan biaya minimal sebesar p -OBBB,BB; dan -BBB. Lower bound dan :pper $ound adalah batas atas dan batas bawah. ) $utput Solution List Enterpretasi 5 Pada tabel solusion list terlihat bahwa 5 . *alue $iaya yang optimal untuk biaya minimal yaitu F < B dan F; < ;. "enghasilkan tingkat biaya minimal ( sebesar N;B.BBB). ;. tatus $asic adalah +ariabel yang masuk ke dalam iterasi. Pada kasus diatas yang menjadi +ariabel basic yaitu F, F; dan surplus .
3) $utput +terations Enterpretasi 5 Pada tabel iterasi terlihat bahwa terjadi N iterasi. 7al tersebut berarti untuk mencapai kombinasi angka optimum diperlukan N kali langkah komputasi. O) $utput ual Enterpretasi 5 Pada tabel dual terlihat bahwa 5 . 0riginal problem adalah fungsi tujuan dan kendala pada soal. ;. !ual problem adalah bentuk lain dari fungsi tujuan dan kendala pada soal. "inimi%e "aimi%e "a < NB C ? BB C; ? ;B C d.b B C ? N C; ? BC >< OBBBB N C ? B C; ? BC >< QBBBB Q) $utput raph Enterpretasi 5 Pada graph terlihat bahwa 5 . Iorner point adalah kombinasi yang dapat dilakukan perusahaan. Pada minimilasi !apat dilihat kombinasi yang dapat mengoptimalkan biaya paling minimal yaitu F < B F; < ; , dan < N;B.BBB. ;. Esoprofit line adalah garis dimana tercapainya biaya paling minimal
. !aerah yang diarsir disebut feasible area yaitu batas yang mungkin untuk pengalokasian sumberdaya yang tersedia dengan waktu yang ada.
#. Transportation
. upply < !emand a. oal Pabrik DPoor Lin% 2arm yang beroprasi pada bidang produksi pupuk memiliki tiga daerah pemrosesan, yaitu &, $, I dan memiliki tiga gudang yang berlokasi di , ;, sebagai tempat tujuan distribusi hasil produksi. Kapasitas produksi per bulan pabrik & < BB ton, $ < 4B ton, dan I < QB ton. Permintaan masing-masing gudang < B ton, ; < QB ton, dan < QB ton per bulan. $erikut biaya transportasi dari pabrik ke gudang (R)5 !ata perusahaan !Poor Link% 6arm5
3$dang 1
"
)
A
;
Q
4
#
;
N
C
;O
B
O
Pa*ri%
2entukan dari pabrik mana dikirim ke gudang mana dan berapa jumlah serta total biaya transportasi. b. Langkah-Langkah 5 ) $uka P0"-" pada desktop ;) Klik Module- (ransportation ) Klik menu ile- !e" 3) Pada kotak title diisi judul kasus yang akan diselesaikan (oal transportasi ) O) !umber of Sources ( jumlah sumber diisi dengan ) sesui kasus Q) !umber of estination ( jumlah kejadian diisi ) sesui kebutuhan kasus 4) Pada $b%ective pilih Minimi'e karena menghitung biaya N) Klik 0k ) "asukan angka-angka pada soal ke dalam tabel yang muncul kemudian klik Solve B) Klik (ile untuk mengeluarkan semua output yang dibutuhkan atau klik )indo" kemudian klik satu-persatu untuk mengeluarkan output tertentu ( (ransportation shipments, inal solution table, Marginal cost, +terations, Shipment "ith costs, S hipping list ).
c. $utput dan Enterpretasi ) $utput (ransportation Shipments Enterpretasi5 . Perusahaan akan mencapai biaya angkut total minimum apabila Pabrik & mengirim barang ke gudang ; sebanyak 3B ton dan ke gudang sebanyak QB ton. ;. Perusahaan akan mencapai biaya angkut total minimum apabila Pabrik $ mengirim barang ke gudang sebanyak 4B ton. . Perusahaan akan mencapai biaya angkut total minimum apabila Pabrik I mengirim barang ke gudang sebanyak 3B ton dan ke gudang ; sebanyak ;B ton 3. 0ptimal cost adalah biaya minimal yang dapat digunakan untuk dapat menekan biaya ongkos pengiriman sebesar R;4BB. ;) $utput inal Solution (able Enterpretasi5 . $ila pabrik & memaksakan untuk mengirim ke gudang maka tidak menambah biaya karena nilai marjinnya B. Gamun paling tepat pabrik & mengirimkan ke gudang ; dan yang jelas tidak menghasilkan margin cost. ;. $ila pabrik $ memaksakan untuk mengirim ke gudang ; dan maka akan menambah biaya masing-masing sebesar ;. ehingga paling tepat pabrik $ disarankan untuk mengirim ke gudang yang tidak menghasilkan margin cost yaitu gudang . . $ila pabrik I memaksakan untuk mengirim ke gudang maka akan menambah biaya sebesar 3. ehingga paling tepat pabrik I harus mengirim ke gudang dan ; yang tidak memiliki margin cost. ) $utput Marginal Cost Enterpretasi 5 . "arginal cost pada gudang dari pabrik & adalah B, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik & ke gudang maka biaya transportasi tetap. ;. "arginal cost pada gudang ; dari pabrik $ adalah R;, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik $ ke gudang ; maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak R;. . "arginal cost pada gudang dari pabrik $ adalah R;, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik $ ke gudang maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak R;. 3. "arginal cost pada gudang dari pabrik I adalah 3, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik I ke gudang maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak R3.
/ $utput +terations Enterpretasi 5
. Pada tabel iterasi tampak bahwa iterasi terjadi sebanyak kali. 7al tersebut berarti untuk mencapai kombinasi angka optimum yaitu kapasitas maimum dengan biaya paling minimum diperlukan satu kali langkah komputasi. O) $utput Shipments )ith Costs Enterpretasi 5 . hipment with cost adalah jumlah muatan atau besarnya alokasi barang dibandingkan dengan biaya angkut. ;. Pabrik & mengirim ke gudang ; dan gudang sebanyak 3Bton dan QB ton dengan biaya masing-masing R;3B gudang ; dan R3;B gudang . . Pabrik $ mengirim ke gudang dengan kapasitas 4B ton dan biaya RN3B. 3. Pabrik I mengirim ke gudang dan gudang ; sebanyak 3B ton dan ;B ton dengan biaya masing-masing RBBB untuk gudang dan R;BB untuk gudang ;. Q) $utput Shipping List Enterpretasi 5 . 9umlah muatan dari pabrik & ke gudang ; sebesar 3B ton dengan biaya per unit RQ, maka total biaya yang dikeluarkan sebanyak R;3B ;. 9umlah muatan dari pabrik & ke gudang sebesar QB ton dengan biaya per unit R4, maka total biaya yang dikeluarkan sebanyak R3;B . 9umlah muatan dari pabrik $ ke gudang sebesar 4B ton dengan biaya per unit R;, maka total biaya yang dikeluarkan sebesar RN3B 3. 9umlah muatan dari pabrik I ke gudang sebesar 3B ton dengan biaya per unit R;O, maka total biaya yang dikeluarkan sebesar RBBB O. 9umlah muatan dari pabrik I ke gudang ; sebesar ;B ton dengan biaya per unit RB, maka total biaya yang dikeluarkan sebesar R;BB.
;. upply > !emand a. oal Pabrik DPoor Lin% 2arm yang beroprasi pada bidang produksi pupuk memiliki tiga daerah pemrosesan, yaitu &, $, I dan memiliki tiga gudang yang berlokasi di , ;, sebagai tempat tujuan distribusi hasil produksi. Kapasitas produksi per bulan pabrik & < BB ton, $ < BB ton, dan I < QB ton. Permintaan masing-masing gudang < B ton, ; < QB ton, dan < QB ton per bulan. $erikut biaya transportasi dari pabrik ke gudang (R)5
3$dang 1
"
)
A
;
Q
4
#
;
N
C
;O
B
O
Pa*ri%
2entukan dari pabrik mana dikirim ke gudang mana dan berapa jumlah serta total biaya transportasi. b. Langkah-Langkah 5 ) $uka P0"-" pada desktop ;) Klik Module- (ransportation ) Klik menu ile- !e" 3) Pada kotak title diisi judul kasus yang akan diselesaikan (oal transportasi ) O) !umber of Sources ( jumlah sumber diisi dengan ) sesui kasus Q) !umber of estination ( jumlah kejadian diisi ) sesui kebutuhan kasus 4) Pada $b%ective pilih Minimi'e karena menghitung biaya N) Klik 0k ) "asukan angka-angka pada soal ke dalam tabel yang muncul kemudian klik Solve B) Klik (ile untuk mengeluarkan semua output yang dibutuhkan atau klik )indo" kemudian klik satu-persatu untuk mengeluarkan output tertentu ( (ransportation shipments, inal solution table, Marginal cost, +terations, Shipment "ith costs, S hipping list ).
c. $utput dan Enterpretasi ) $utput (ransportation Shipments Enterpretasi5 . Perusahaan akan mencapai biaya angkut total minimum apabila Pabrik & mengirim barang ke gudang ; sebanyak 3B ton dan ke gudang sebanyak QB ton. ;. Perusahaan akan mencapai biaya angkut total minimum apabila Pabrik $ mengirim barang ke gudang sebanyak BB ton. . Perusahaan akan mencapai biaya angkut total minimum apabila Pabrik I mengirim barang ke gudang sebanyak B ton dan ke gudang ; sebanyak ;B ton. 2otal penawaran sebanyak ;QB ton sedangkan total permintaan ;B ton sehingga terjadi !ummy gudang sebanyak B ton. 3. Gilai 0ptimal cost sebesar R;B merupakan penjumlahan hasil kali dari biaya pengiriman per unit dan jumlah produk.
;) $utput inal Solution (able Enterpretasi5
. $ila pabrik & memaksakan mengirim ke gudang maka biayanya masih B dan bila memaksakan mengirim ke gudang dummy maka akan menambah biaya sebesar R3. ehingga paling tepat pabrik & mengirimkan kegudang ; dan yang tidak menghasilkan margin cost. ;. Pabrik $ disarankan untuk mengirim ke gudang yang tidak menghasilkan margin cost. Ketika ingin memaksakan untuk mengirim ke gudang ;, , dan dummy maka akan dikenakan biaya masing-masing sebesar R; untuk gudang ;, R;untuk gudang dan R untuk !ummy. . Pabrik I disarankan untuk mengirim ke gudang ,; dan !ummy yang tidak menghasilkan margin cost, namun ketika memaksakan untuk mengirim ke gudang maka akan dikenai biaya sebesar R3. ) $utput Marginal Cost Enterpretasi 5 . Marginal cost pada gudang dari pabrik & adalah B, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik & ke gudang maka biaya transportasi tetap. ;. Marginal cost pada dummy dari pabrik & adalah R3, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik & ke gudang maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak R3. . Marginal cost pada gudang ; dari pabrik $ adalah R;, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik $ ke gudang ; maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak R;. 3. Marginal cost pada gudang dari pabrik $ adalah R;, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik $ ke gudang maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak R;. O. Marginal cost pada dummy dari pabrik $ adalah R, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik $ ke dummy maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak R. Q. Marginal cost pada gudang dari pabrik I adalah R3, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik I ke gudang maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak R3. / $utput +terations Enterpretasi 5 . Pada tabel iterasi tampak bahwa iterasi terjadi sebanyak ; kali. 7al tersebut berarti untuk
mencapai kombinasi angka optimum yaitu kapasitas maimum dengan biaya paling minimum diperlukan ; (dua) kali langkah komputasi. Eterasi berhenti sampai tabel kedua karena nilai biaya tambahannya sudah menunjukan positif semua.
O) $utput Shipments )ith Costs Enterpretasi 5 . Pabrik & mengirim kegudang ; dan gudang dengan kapasitas masing-masing 3B ton serta biaya R;3B dan QB ton dengan biaya R3;B. ;. Pabrik $ mengirim ke gudang dengan kapasitas BB ton serta biaya sebesar R;BB. . Pabrik I mengirim ke gudang dan gudang dua dengan kapasitas masing-masing sebesar B ton dengan biaya R;OB dan ;B ton dengan biaya ;BB. elanjutnya ke gudang dummy dengan kapasitas B dan biaya RB. Q) $utput Shipping List Enterpretasi 5 . 9umlah muatan dari pabrik & ke gudang ; sebanyak 3B ton dengan biaya per unit sebesar RQ maka total biaya yang dikeluarkan sebanyak R;3B. ;. 9umlah muatan dari pabrik & ke gudang sebanyak QB ton dengan biaya per unit sebesar R4 maka total biaya yang dikeluarkan sebanyak R3;B. . 9umlah muatan dari pabrik $ ke gudang sebanyak BB ton dengan biaya per unit sebesar R; maka total biaya yang dikeluarkan sebanyak R;BB. 3. 9umlah muatan dari pabrik I ke gudang sebanyak B ton dengan biaya per unit sebesar R;O maka total biaya yang dikeluarkan sebanyak R;OB. O. 9umlah muatan dari pabrik I ke gudang ; sebanyak ;B ton dengan biaya per unit sebesar RB maka total biaya yang dikeluarkan sebanyak R;BB. Q. 9umlah muatan dari pabrik I ke !ummy sebanyak B ton dengan biaya per unit sebesar RB maka total biaya yang dikeluarkan sebanyak RB.
. upply = !emand a. oal Pabrik DPoor Lin% 2arm yang beroprasi pada bidang produksi pupuk memiliki tiga daerah pemrosesan yaitu &, $, I dan memiliki tiga gudang yang berlokasi di , ;, sebagai tempat tujuan distribusi hasil produksi. Kapasitas produksi per bulan pabrik & < 4B ton, $ < 4B ton, dan I < QB ton. Permintaan masing-masing gudang < B ton, ; < QB ton, dan < QB ton per bulan. $erikut biaya transportasi dari pabrik ke gudang (R)5 !ata perusahaan !Poor Link 6arm5
3$dang 1
"
)
;
Q
4
Pa*ri% A
#
;
N
C
;O
B
O
2entukan dari pabrik mana dikirim ke gudang mana dan berapa jumlah serta total biaya transportasi. b. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.
Langkah-Langkah 5 $uka P0"-" pada desktop Klik Module- (ransportation Klik menu ile- !e" Pada kotak title diisi judul kasus yang akan diselesaikan (oal transportasi ) !umber of Sources ( jumlah sumber diisi dengan ) sesui kasus !umber of estination ( jumlah kejadian diisi ) sesui kebutuhan kasus Pada $b%ective pilih Minimi'e karena menghitung biaya Klik 0k "asukan angka-angka pada soal ke dalam tabel yang muncul kemudian klik Solve Klik (ile untuk mengeluarkan semua output yang dibutuhkan atau klik )indo" kemudian klik satu-persatu untuk mengeluarkan output tertentu ( (ransportation shipments, inal solution table, Marginal cost, +terations, Shipment "ith costs, S hipping list ).
c. $utput dan Enterpretasi ) $utput (ransportation Shipments Enterpretasi5 . Perusahaan akan mencapai biaya angkut total minimum apabila Pabrik & mengirim barang ke gudang ; sebanyak B ton dan ke gudang sebanyak QB ton. ;. Perusahaan akan mencapai biaya angkut total minimum apabila Pabrik $ mengirim barang ke gudang sebanyak 4B ton. . Perusahaan akan mencapai biaya angkut total minimum apabila Pabrik I mengirim barang ke gudang sebanyak B ton dan ke gudang ; sebanyak OB ton. 3. 2otal penawaran sebesar ;BB ton, sedangakan total permintaan sebesar ;B ton sehingga terjadi kelebihan permintaan sebesar B ton yang sekaligus sebagai dummy pabrik. O. !ari output dijelaskan bahwa nilai optimal cost sebesar R;B4B merupakan penjumlahan hasil kali dari biaya pengiriman per unit dan jumlah produk.
;) $utput inal Solution (able Enterpretasi5
. Pabrik & disolusikan untuk mengirim ke gudang ; dan gudang walaupun jika memaksakan untuk mengirim ke gudang nilai tambahan biaya sebesar RB. ;. Pabrik $ disolusikan untuk mengirim ke gudang karena tidak ada biaya tambahan. Gamun jika ingin memaksakan untuk mengirim ke gudang ; dan maka akan menambah biaya masingmasing sebesar R; untuk gudang ; dan R; untuk gudang . . Pabrik I disolusikan untuk mengirim kegudang dan ; karena tidak memiliki biaya tambahan. edangkan jika memaksakan untuk mengirim ke gudang maka akan dikenakan biaya tambahan sebesar R3. 3. 9ika !ummy pabrik memaksakan mengirim ke gudang ; maka akan menambah biaya sebesar RO dan jika memaksakan untuk mengirim ke gudang maka akan menambah biaya sebesar R3. ehingga paling tepat dummy pabrik hanya mengirim ke gudang yang tidak memerlukan biaya tambahan.
) $utput Marginal Cost Enterpretasi 5 . Marginal cost pada gudang dari pabrik & adalah B, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik & ke gudang maka biaya transportasi tetap. ;. Marginal cost pada dummy dari pabrik & adalah R3, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik & ke gudang maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak R3. . Marginal cost pada gudang ; dari pabrik $ adalah R;, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik $ ke gudang ; maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak R;. 3. Marginal cost pada gudang dari pabrik $ adalah R;, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik $ ke gudang maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak R;. O. Marginal cost pada dummy dari pabrik $ adalah R, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik $ ke dummy maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak R. Q. Marginal cost pada gudang dari pabrik I adalah R3, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik I ke gudang maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak R3.
/ $utput +terations Enterpretasi 5 . Pada tabel iterasi tampak bahwa iterasi terjadi sebanyak kali. 7al tersebut berarti untuk
mencapai kombinasi angka optimum yaitu kapasitas maimum dengan biaya paling minimum diperlukan satu kali langkah komputasi.
O) $utput Shipments )ith Costs Enterpretasi 5 . Pabrik & mengirim ke gudang ; dengan kapasitas B ton serta biaya RQB dan ke gudang dengan kapasitas QB ton dengan biaya R3;B. ;. Pabrik $ mengirim ke gudang dengan kapasitas 4B ton serta biaya RN3B. . Pabrik I mengirim ke gudang sebesar B ton dengan biaya R;OB dan ke gudang sebesar OB ton dengan biaya ROBB. 3. Pabrik !ummy mengirim ke gudang dengan kapasitas B ton dan biaya RB. Q) $utput Shipping List Enterpretasi 5 . 9umlah muatan dari pabrik & ke gudang ; sebanyak B ton dengan biaya per unit RQ, maka total biaya yang dikeluarkan sebesar RQB. ;. 9umlah muatan dari pabrik & ke gudang sebanyak QB ton dengan biaya per unit R4, maka total biaya yang dikeluarkan sebesar R3;B. . 9umlah muatan dari pabrik $ ke gudang sebanyak 4B ton dengan biaya per unit R;, maka total biaya yang dikeluarkan sebesar RN3B. 3. 9umlah muatan dari pabrik I ke gudang sebanyak B ton dengan biaya per unit R;O, maka total biaya yang dikeluarkan sebesar R;OB. O. 9umlah muatan dari pabrik I ke gudang ; sebanyak OB ton dengan biaya per unit RB, maka total biaya yang dikeluarkan sebesar ROBB. Q. 9umlah muatan dari pabrik dummy ke gudang sebanyak B ton dengan biaya per unit RB, maka total biaya yang dikeluarkan sebesar RB.
C. Integer & Mixed Integer Programming
. oal Perusahaan /DPoor Lin%4 S-o 1 merupakan perusahaan yang memproduksi epatu dan 2as, untuk membuat pasang sepatu diperlukan proses pemotongan selama O menit dan proses perakitan selama ; menit serta penjahitan O menit, sedangkan untuk membuat unit tas diperlukan proses pemotongan selama B menit dan proses perakitan B selama B menit, serta penjahitan selama ; menit. !alam satu hari kerja tersedia QB menit untuk proses pemotongan, dan BB menit untuk proses perakitan serta ;B menit penjahitan. 9ika dijual, setiap produk menghasilkan keuntungan sebesar O.BBB untuk sepatu dan 4BBB untuk tas. ingkasan data perusahaan ada pada tabel berikut5 Pekerjaan Pemotonga n Perakitan Penjahitan
Haktu yang diperlukan (menit) epatu 2as
Haktu tersedia (menit) Per hari
O ; O
QB BB ;B
B B ;
$erapa jumlah kombinasi antara sepatu dan tas yang harus di produksi oleh perusahaan untuk memperoleh keuntungan yang paling maksimalS "a OBBBF ? 4BBBF; !engan batasan5 OF ? BF; =< QB ;F ? BF; =< BB OF ? ; F;=< ;B F,F; >< B
;. a. b. c. d. e. f. g. h. i.
Langkah-Langkah 5 $uka P0"-" pada desktop Klik Module- +nteger 0 Mi&ed integer Programming Klik menu ile- !e" Pada kotak title diisi judul kasus yang akan diselesaikan (!Poor Link% hop ) !umber of Constraint ( batasan diisi dengan ) sesui kasus !umber of #ariable ( +ariabel diisi ;) sesui kebutuhan kasus Pada $b%ective pilih Ma&imi'e Klik 0k "asukan angka-angka pada soal ke dalam tabel yang muncul kemudian klik Solve
j.
Klik (ile untuk mengeluarkan semua output yang dibutuhkan atau klik )indo" kemudian klik satu-persatu untuk mengeluarkan output tertentu 1+nteger 0 mi&ed integer Programming, +teration results, $riginal problem )2Ans"er dan raph/.
. $utput dan Enterpretasi a. $utput +nteger 0 Mi&ed +nteger Programming Enterpretasi5 ) 2ampilan integer dan mi&ed integer programming result menunjukan bahwa hasil perhitungan atau solusi untuk kasus ini adalah F sebesar B untuk epatu dan F; sebesar ;Q untuk tas yang dapat diproduksi oleh DPoor Lin%4 S-o sehingga memperoleh keuntungan maksimal sebesar RN;BBB. b. $utput +teration *esults Enterpretasi5 ) !ari tabel iteration result menunjukan bahwa hasil perhitungan tahap demi tahap. !imana tahapan penyelesaian untuk kasus DPoor Lin%4 S-o terjadi sebanyak 4 kali perhitungan untuk mencapai solusi optimal. ;) Gilai integer yang paling optimal ada pada tahap ke dimana < B dan ; < ;Q dan menghasilkan nilai solusi sebesar R N;BBB. ) :ntuk tahap , ; dan 3 memiliki solution value yang lebih besar dari pada solution value tahap yaitu NQQQQ.4 dan N3QQQ.4 serta N;Q.4 namun tidak dijadikan sebagai solusi optimal karena pada solution t3pe tertulis !oninteger yang artinya kombinasi dan ; masih memiliki nilai yang tidak bulat (noninteger) sehingga tidak bisa dipakai sebagai solusi optimal. 3) Pada tahap O merupakan kombinasi yang suboptimal yaitu berarti merupakan kombinasi yang paling mendekati optimal namun belum optimal. O) Pada tahap Q dan 4 merupakan kombinasi yang infeasible yaitu tidak pada daerah kombinasi yang rasional. ehingga tidak diterangkan secara jelas pada tabel. c.
$utput $riginal Problem )2ans"er Enterpretasi 5 ) "enunjukkan hasil perhitungan beserta persoalan yang diselesaikannya. ;) Solution merupakan jawaban optimal yang diperoleh dari persoalan serta batasan-batasan yang
diterangkan. Caitu < B dan ; < ;Q dengan nilai optimal sebesar RN;BBB. d. $utput raph Enterpretasi 5
2ampilan graph, menunjukkan secara grafik, bahwa hasil perhitungan integer programming pada graph adalah 5
)
Corner point , merupakan kombinasi yang dapat dilakukan perusahaan. Kombinasi yang dapat
menghasilkan profit maksimal yaitu < B dan ; < ;Q dan % < N;BBB ;) +soprofit line adalah garis dimana tercapainya profit maksimal terliahat pada garis putus-putus yang berwarna merah muda ) !aerah yang diarsir feasible area yaitu batas yang mungkin atau rasional untuk pengalokasian sumber daya yang ada dengan waktu yang tersedia.
D. Assignment
. oal $apak Haryadi eorang kepala sekolah di "& "EG-270L memiliki 3 anak didik yang sangat berprestasi ingin mendelegasikan 3 muridnya untuk ikut olimpiade 6isika, Kimia, "atematika, dan $iologi. emua murid tersebut telah mempunyai nilai-nilai pelajaran yang diperoleh dari guru-gurunya dapat dilihat pada tabel dibawah ini (data penugasan pak Haryadi)5 Gama murid
"ata Pelajaran 6isika
Kimia
"atematika
$iologi
&riel
NO
NN
44
O
Pasha
B
N4
4
B
#isel
B
NO
NB
3
!ayat
NQ
NB
B
N
$uatlah pendelegasian yang tepat untuk masing masing murid tersebut S
;. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.
Langkah-Langkah 5 $uka P0"-" pada desktop Klik Module- Assignment Klik menu ile- !e" Pada kotak title diisi judul kasus yang akan diselesaikan (waryadis &ssignment) !umber of 4ob ( pekerjaan diisi dengan 3) sesui kasus !umber of Machines ( +mesin diisi 3) sesui kebutuhan kasus Pada $b%ective pilih Ma&imi'e Klik 0k "asukan angka-angka pada soal ke dalam tabel yang muncul kemudian klik Solve Klik (ile untuk mengeluarkan semua output yang dibutuhkan atau klik )indo" kemudian klik satu-persatu untuk mengeluarkan output tertentu 1Assignments, Marginal costs dan Assignment List/.
. $utput dan Enterpretasi a. $utput Assignments Enterpretasi5 ) Pendelegasian olimpiade fisika tepat di tugaskan kepada #isel dengan nilai B ;) Pendelegasian olimpiade Kimia tepat ditugaskan kepada Pasha dengan nilai N4 ) Pendelegasian olimpiade "atematika tepat ditugaskan kepada !ayat dengan nilai sebesar B 3) Pendelegasian olimpiade $iologi tepat ditugaskan kepada &riel dengan nilai sebesar O O) 0ptimal keuntungan untuk penugasan pendelegasian olimpiade adalah sebesar Q;. b. $utput Marginal Costs Enterpretasi5 ) Marginal cost merupakan tambahan atau penurunan keuntungan yang terjadi jika penugasan yang diinginkan tidak sesui dengan tabel solution. ;) Margin cost untuk penugasan olimpiade 6isika jika dipaksakan untuk dilakukan oleh &ril dan dayat maka akan mengurangi keuntungan sebesar Q dan 3 ) Margin cost untuk penugasan Kimia jika dipaksakan ditugaskan kepada #isal dan !ayat maka akan mengurangi keuntungan sebesar ; dan 4. 3) Margin cost untuk penugasan "atematika jika dipaksakan ditugaskan kepada &riel dan Pasha maka akan mengurangi keuntungan sebesar 3 dan O) Marginal cost untuk penugasan 0limpiade biologi jika dipaksakan untuk ditugaskan kepada Pasha, #isel dan !ayat maka akan mengurangi keuntungan sebesar masing-masing 3,B dan Q.
c.
) ;) ) 3) O)
$utput Assignment List Enterpretasi 5 &ssignment list menunjukan penugasan serta efek keuntungannya yaitu5 0limpiade 6isika yang didelegasikan kepada #isel dengan keuntungan B 0limpiade Kimia yang didelegasikan kepada Pasha dengan keuntungan N4 0limpiade "atematika yang didelegasikan kepada !ayat dengan keuntungan B 0limpiade $iologi yang didelegasikan kepada &riel dengan keuntungan O 2otal keuntungan yang didapatkan sebesar Q;.
