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Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica Especialidad en Control
Espacio de Estados
Solución de la ecuación de estado Dr. Abraham Rodríguez Mota.
Septiembre 2012
La Ecuación de Estado
La ecuación de estado, como se encuentra formulada, toma la forma de ecuación diferencial de primer orden.
˙ = A x + Bu Esta describe completamente el comportamiento del sistema al que representa.
Es necesario resolverla para tener conocimiento explícito de la evolución del sistema, lo que permite obtener conclusiones sobre el régimen de funcionamiento, tanto dinámico como estático.
ICE-Control
Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado
La solución en su forma más genérica, incluyendo la posibilidad de aparición de no linealidades arbitrarias, no puede abordarse de forma general
Algunos problemas no tienen solución analítica
Algunos problemas pueden ser resueltos numéricos
empleando métodos
El estudio de algunos sistemas, tomando en consideración la posibilidad práctica de solución analítica, se puede restringir a la solución de ecuaciones diferenciales lineales
ICE-Control
Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado caso homogéneo
Considerando la ecuación de estado de un sistema lineal en el caso más general:
x˙ ( t )= A ( t ) x ( t )+ B ( t ) u ( t )
Considerando la solución para el caso homogéneo: x˙ ( t )= A ( t ) x ( t )
Comparando con el caso escalar x˙ ( t )= ax ( t )
ICE-Control
Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado caso homogéneo
Se obtendría una solución de la forma k
2
x ( t )= b 0 +b 1 t +b 2 t +…+b k t +…
Sustituyendo el resultado en la ecuación previa k 1
2
b 1+ 2b 2 t + 3b3 t +…+ kb k t
+…= a ( b + b t + b t +…+ b k t k +…) 2
0
1
2
Suponiendo correcta la solución propuesta, la ecuación debe ser valida para cualquier t.
ICE-Control
Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado caso homogéneo
Igualando los coeficientes de potencias iguales de t b 1= ab 0 b 2= b 3=
ab1
1 3
2
=
1 2
ab 2=
2
a b0
1 6
3
a b0
⋮ b k =
1
k!
k
a b 0
ICE-Control
Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado caso homogéneo
b0 se obtiene al evaluar x(t) para t=0 Por lo tanto,la solución de x(t) se escribe como:
x ( t )=(1+ at +
1 2!
2
1
2
a t +…+
k!
k k
a t +…) x (0 )
at
= e x (0 )
ICE-Control
Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado caso homogéneo
De forma análoga para la ecuación diferencial matricial x˙ ( t )= A ( t ) x ( t )
donde x es el vector de dimensión n y A la matriz de coeficientes constantes de nxn
k
2
x ( t )= b 0 + b 1 t +b 2 t +…+ b k t +… 2
k 1
b 1+ 2b 2 t + 3b3 t +…+ kb k t
+…= A ( b + b t + b t +…+b k t k +…) 2
0
ICE-Control
1
2
Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado caso homogéneo
Igualando los coeficientes de potencias iguales de t b 1= Ab0 b 2=
Ab1 2
=
1 2
2
A b0
1
1
3
6
3
b 3= Ab2 = A b0
⋮ b k =
1
k!
k
A b0
ICE-Control
Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado caso homogéneo
al evaluar x(t) para t=0, x(0) = b 0
De esta forma:
x ( t )=( I + At +
1 2!
2
2
A t +…+
1
k!
k k
A t +…) x ( 0 )
=e At x ( 0) A esta matriz exponencial se le conoce como la matriz de transición de estados. De esta manera definiendo Φ( t )=e At
La solución se puede representar como ICE-Control
x ( t )=Φ( t ) x ( 0 ) Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado caso homogéneo
Se observa que Φ(t), de dimensión nxn, es la solución única de
˙ t )= A Φ( t ) Φ(
Adicionalmente
Que se verifica de:
Φ( 0)= I
x ( 0 )=Φ( 0 ) x ( 0 )= x ( 0 )
Por tanto, se comprueba que la ecuación x(t) = Φ(t)x(0) es solución de ˙ = Ax
˙ t ) x ( 0 )= A x ( t ) x˙ ( t )= Φ(
˙ t ) y x ( t )=Φ(t ) x ( 0)) ( derivando x ( t ) , sustituyendo Φ(
ICE-Control
Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado caso no homogéneo
Para el caso escalar x˙ ( t )= a x + b u
Reordenando la ecuación:
x˙ ax =bu
Multiplicando ambos miembros por e -at
e
at
d dt
at at [ x ˙ ( t )ax ( t )]= [ e x ( t )]= e b u
ICE-Control
Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado caso no homogéneo
Al integrar la ecuación anterior dentro del intervalo 0 a t, se obtiene t
∫ e τ b u ( τ) d τ
at
e
a
x ( t )= x ( 0 )+
0
O bien: t at
x ( t )=e x (0 )+e
∫ e τ b u ( τ) d τ
at
a
0
El primer término del segundo miembro es la respuesta a las condiciones iniciales y el segundo término es la respuesta a la entrada u(t)
ICE-Control
Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado caso no homogéneo
De forma análoga para el caso vectorial x˙ ( t )= A x + B u
Reordenando la ecuación:
x˙ x = Bu
Multiplicando ambos miembros por e -At At
e
d dt
At At [ x ˙ ( t ) Ax ( t )]= [ e x ( t )]=e B u
ICE-Control
Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado caso no homogéneo
Al integrar la ecuación anterior dentro del intervalo 0 a t, se obtiene t
∫ e τ B u ( τ) d τ
At
e
A
x ( t )= x ( 0 )+
0
O bien: t At
∫ e τ B u ( τ) d τ
At
x ( t )=e x ( 0 )+e
A
0
El primer término del segundo miembro es la respuesta a las condiciones iniciales y el segundo término es la respuesta a la entrada u(t). Este resultado también puede ser representado de la forma:
t
∫
x ( t )=Φ(t ) x ( 0)+ Φ(t , τ) B u ( τ) d τ 0
ICE-Control
Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado mediante transformada de Laplace Para el caso homogéneo
x˙ ( t )= A x ( t ) sX ( s ) X ( 0)= AX ( s ) ( sI A ) X ( s )= X ( 0 ) 1 X ( s )=( sI A) X ( 0) 1 1 x ( t )= L [( sI A) ] x ( 0)=Φ( t ) x ( 0)
Se observa que:
Φ( t )=e At = L [( sI A ) ] 1
1
y
Φ ( t )=e At =Φ(t ) 1
Entonces la solución de la ecuación es simplemente una transformación de la condición inicial x ( t )=Φ( t ) x ( 0 )
ICE-Control
Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado mediante transformada de Laplace Para el caso no homogéneo
x˙ ( t )= A x ( t )+ B u ( t ) sX ( s ) X ( 0)= AX ( s )+ B U ( s ) ( sI A) X ( s )= X ( 0 )+ BU ( s ) 1 1 X ( s )=( sI A) X ( 0 )+( sI A ) B U ( s ) De resultados previos se observa que:
At
At
X ( s )= L [ e ] x ( 0 )+ L [ e ] BU ( s ) Mediante la integral de convolución se obtiene la transformada inversa t
∫
At
A ( t τ)
x ( t )=e x ( 0)+ e
B u ( τ) d τ
0
ICE-Control
Dr. Abraham Rodríguez Mota
Solución de la Ecuación de Estado mediante transformada de Laplace Para el caso cuando el tiempo inicial está dado mediante t 0, la