Lei de Biot-Savart um fio condutor de um circuito circuito elétrico fechado fechado paralelamente à agulha, essa sofria uma deflexão deflexão significativa significativa em relação à sua direção inicial. Oersted publicou publicou os resultados de seu experimento em julho de 1820, limitando-se a uma descrição qualitativa qualitativa do fenômeno. A descoberta de Oersted foi divulgada em setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudiosos na França a repetirem e estenderem estenderem seus experimentos. A primeira análise precisa do fenômeno foi publicada pelos físicos Jean-Baptiste físicos Jean-Baptiste Biot e Biot e Félix Félix Savart, Savart, os quais conseguiram formular uma lei que descrevia matematicamente o campo magnético produzido por uma distribuição distribuição de corrente elétrica.[2]
Ilustração representando representando os termos envolvidos envolvidos na Lei de Biot Savart
2
Lei de Biot Biot-S -Sa avart art é uma equação do A Lei Eletromagnetismo que que forne ornece ce o campo magn magnétic ético o B gerado por uma corrente uma corrente elétrica I constante no tempo. Essa equação é válida no domínio da Magnetostática. Magnetostática. Podemos dizer que a Lei de Biot-Savart é o ponto de partida partida para a Magnetost Magnetostátic ática, a, tendo tendo assim assim um papel papel [1] semelhante semelhante à Lei de Coulomb na Coulomb na Eletrostática. Eletrostática.
2.1
1
A equação Distribuiçõe Distribuiçõess unidimensio unidimensionais nais
Para distribuições unidimensionais de corrente, a lei de Biot-Savart possui a seguinte forma:
B(r) =
µ0 4π
∫
I(r′ ) η ^ dl η2
×
′
Nessa equação, dl ′ é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do trajeto da corrente, I é o vetor corrente elétric elétricaa e ˆ ersorr aolongoda aolongoda linh linhaa queuneo η é o verso elemento elemento infinitesimal infinitesimal de comprimento comprimento dl ′ , cuja posição é r ′ , ao ponto de cálculo do campo r :
Motiva Motivação ção históri histórica ca
ˆ = η
′
r−r | | = |r−r | η
′
η
,
e a constante µ 0 é a chamada permeabilidade chamada permeabilidade magnética do vácuo. vácuo.
2.2 Ilustração esquemática do experimento de Oersted.
Distribuiçõe Distribuiçõess bidimensi bidimensionais onais
Podemos escrever uma expressão análoga para distribuições bidimensionais bidimensionais de corrente:
Já no século XVII havia, dentro da comunidade cientíK(r )×η ^ 0 da′ B(r) = µ η2 4π fica, a suspeita de que fenômenos elétricos e magnéticos pudessem estar interligados. interligados. Isso motivou o físico Hans físico Hans Onde K(r′ ) é a corrente por unidade de comprimentodensidade suChristian Oersted Oersted a conduzir experimentos para obser- perpendicular-ao-fluxo perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade var o efeito da eletricidade numa agulha magnética. En- perficial de corrente . Escreve-se: tre 1819 e 1820, Oersted observou que ao se posicionar K(r′ ) = dldI
∫
⊥
1
′
3 APLICAÇÕES
2
2.3
Distribuições tridimensionais
3.2
Para distribuições tridimensionais de corrente: B(r) = µ0 4π
∫
Campo no centro de um polígono de n lados
J(r′ ) η ^ dτ η2
×
′
Onde J(r′ ) é a corrente por unidade de área perpendicular-ao-fluxo, também chamada densidade volumétrica de corrente. Escreve-se:
J(r′ ) =
dI da⊥
Notamos também que o elemento infinitesimal de comprimento d l′ deve ser substituído pelo elemento infinitesimal de área da′ no caso de distribuições de corrente bidimensionais, e pelo elemento infinitesimal de volume dτ ′ no caso de distribuições de corrente tridimensionais. Em todos os casos expostos nessa sessão, as correntes envolvidas são estacionárias.[3]
3 3.1
Aplicações Campo de uma corrente retilínea num fio condutor Geometria de um quadrado De acordo com o raciocínio empregado anteriormente, o campo gerado no centro de um quadrado por um de seus 0 I z, lados vale: B = 4µπR (sin θ2 sin θ1 )^
−
já que o campo gerado por cada lado aponta na direção perpendicular ao plano do quadrado (ou seja, se o quadrado estiver contido no plano xy, o campo apontará na direção de z positivo). Pelo princípio de superposição, o campo gerado pelo quadrado é apenas a soma dos campos 0 I gerados por cada um de seus lados: B (centro) = 2 µπR ^ z
√
onde R é a menor distância do centro do quadrado até um de seus lados. Podemos generalizar esse resultado para um polígono de n lados fazendo θ1 = θ2 = π . Então n µ 0 I π [3] z obtemos: B = n 2πR sin n ^
−
� �
Ilustração do problema Podemos usar a Lei de Biot-Savart para achar o campo magnético que uma corrente estacionária de intensidade I passando por um fio retilíneo infinito causa num ponto P a uma distância R do fio. Pela regra da mão direita r , para R fixo, está vemos que o produto vetorial d l d^ contido em círculos de raio R emtorno do fio. O versor ao longo de tais círculos é representado por ˆ φ . Trabalhando em termos do ângulo θ : dl ′ sin α = dl ′ cos θ
×
Como l ′ = R tan θ : dl ′ = E como R = r cos θ :
1
r2
3.3
Campo de uma espira circular no eixo P
dB
dl
d R α
O
R dθ cos2 θ
=
−
z
M
dB z z u
I
2
cos θ R2
Para um trecho de fio indo de θ1 a θ 2 :
B(r)
= θ 2
ˆ µ0 I φ 4π
∫ � θ 2 θ1
cos2 θ R2
��
0 I ˆ µ0 I = 4µπR (sin θ2 φ 4πR θ1 cos θdθ π for infinito, então θ 1 = − 2 e θ 2 = 0 I ˆ [4] apenas: B = 2µπR φ
∫
R cos2 θ
� cos θdθ
=
− sin θ1 ) Se o fio
π
2 e
a expressão fica
Campo de uma espira circular Consideremos uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente estacionária de intensidade I . Po-
3
demos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético a uma distância z do eixo. Lembrando que: η ^ dl′ B(r) = 4µπ0 I× η2
∫
No caso da espira circular: η =
√ 2
z + R2
Por questões de simetria, sobre o eixo as componentes do campo paralelas ao plano da espira se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo. Da figura vê-se que: sin α = R = √ z2R+R2 r Logo:
B(eixo)
R 0 I ^ zµ 4π (z 2 +R2 )3/2
∫ dl =
^ z 4µπ0 I
=
∫
dl sin η2 [5]
α
=
R2 I z 2 2 (z +R2 )3/2 ^
µ0
3.4 Direção das linhas de campo magnético Mesmo quando utilizar a Lei de Biot-Savart para calcular o valor do campo numa região não é a estratégia mais eficiente, ela pode nos dar informações sobre a direção das linhas de campo. Para um elemento infinitesimal de corrente, temos:
dB =
ˆ µ0 I dl × r 4π r 2
que nos diz que em cada ponto, o campo magnético terá r , que é dada pela regra a direção do pseudo-vetor d l ˆ da mão direita. Se posicionarmos o polegar na direção de um elemento de corrente e curvarmos nossos dedos de forma a envolvê-lo, obteremos a direção das linhas de campo naquele ponto.[5]
×
4
Ver também
• Eletromagnetismo • Produto vetorial • Integral de linha • Campo magnético • Potencial magnético 5
Referências
[1] Feynman et al. The Feynman Lectures on Physics vol. 2 , 2ª ed., editora Bookman, 2008. [2] Whittaker, E. T, A History of the Theories of Aether and Electricity, 1910. [3] Griffiths, D. J., Eletrodinâmica p. xv, 3a ed Pearson Addison Wesley, 2011. [4] H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica 3 , 1ª ed., editora Blucher.
[5] H. D. Young & R. A. Freedman, Física III: Eletromagnetismo, 12ª. ed., editora Pearson, São Paulo, Brasil, 2009.
6 FONTES, CONTRIBUIDORES E LICENÇAS DE TEXTO E IMAGEM
4
6
Fontes, contribuidores e licenças de texto e imagem
6.1 •
6.2 •
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6.3 •
Texto Lei de Biot-Savart Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Biot-Savart?oldid=44200928 Contribuidores: E2m, E2mb0t, LeonardoRob0t, RobotQuistnix, Giro720, Chobot, YurikBot, LijeBot, Thijs!bot, Ródi, JAnDbot, Py4nf, EuTuga, TXiKiBoT, VolkovBot, SieBot, YonaBot, Vini 175, PipepBot, Heiligenfeld, Lbertolotti, BOTarate, Lockalbot, Rafaelpeque, Luckas-bot, Xqbot, RibotBOT, RedBot, Viniciusmc, Francisco Quiumento, EmausBot, Salamat, WikitanvirBot, MerlIwBot, KLBot2, Emsantos, Nin.oneill, Makecat-bot e Anónimo: 11
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