LEMBAR KERJA SISWA Nomor : Mat/XI/IPA/2/ Mat/XI/IPA/2/004 004
Mata Pelajaran Kelas/Jurusan Materi Pokok
: MATEMATIKA : XI / IPA : Suku Banyak
Standar Kompetensi 4.
Menggu Meng guna naka kan n at atur uran an su suku ku-banyak dalam penyelesaian masalah.
Kompetensi Dasar 4.2 Menggunak Menggunakan an teorema teorema sisa dan dan teorema teorema faktor dalam dalam pemecah pemecahan an masalah.
Tujuan Pembelajaran : Setelah mempelajari dan menyelesaikan lembar kerja ini, diharapkan anda dapat :
Menjelaskan pengertian teorema sisa.
Menentukan sisa pembagian sukubanyak oleh bentuk linear atau kuadrat dengan menggunakan teorema sisa.
URAIAN MATERI
Teorema Sisa Pada pembahasan yang lalu telah disinggung hubungan antara Suku banyak yang dibagi, dibagi, hasil bagi, bagi, pembagi dan bagi dan sisa sisa,, yaitu :
Penyelesaian: S = P(4) = (4)3 – 2(4) 2(4)2 + a(4) + 6 = 50
[Yang dibagi] dibagi] = [Hasil [Hasil Bagi] [Pembagi] + [Sisa]
64 – 32 32 + 4a 4a + 6 = 50
Bila suku banyak yang dibagi adalah P( x), x), pembaginya ( x x – c), hasil baginya H( x) x) dan sisa S, maka berdasarkan pola hubungan di atas akan diperoleh rumus :
38 + 4a = 50
4a = 50 – 38 38 = 12
a = 12/4 = 3
P( x) x) = H( x x)( )( x x – c) + S + S
Contoh 3.
Untuk x x = = c akan diperoleh : P(c) = H(c)( )(c c – c) + S + S = 0 + S + S = S Karena P(c) adalah nilai suku banyak P( x) x) untuk x = c dan S menyatakan sisa pembagian, maka bentuk terakhir ini menunjukkan bahwa nilai P( x) x) untuk x = c adalah sama dengan sisa pembagian P( x) x) oleh ( x x – c). Fakta ini dirumuskan secara teoritik dalam bentuk teorema/dalil sisa sebagai sisa sebagai berikut :
Tentukan p jika sukubanyak P( x) x) = 2 x3 + px2 – x x – 4 4 habis dibagi ( x + x + 2).
Penyelesaian: Jika sukubanyak P( x) x) habis dibagi ( x x + 2), maka sisa pembagian tersebut adalah 0. S = P(-2) = 2(-2)3 + p(-2)2 – (-2) (-2) – 4 4 = 0 -16 + 4p 4 p + 2 – 4 4 = 0
Jika suku banyak P( x) x) berderajat n dibagi oleh ( x x – k ), ), maka sisanya adalah S adalah S = = P(k)
4p 4 p – 18 18 = 0
4p 4 p = 18
Contoh 1.
Tentukan sisa pembagian sukubanyak P( x) x) = 2 x3 – 4 4 x2 + 6 oleh (x + 2).
Contoh 4. 4.
p = 18/4 = 4,5
Sisa pembagian sukubanyak P( x) x) oleh ( x + x + 2) adalah:
Diketahui sukubanyak P( x). x). Bila dibagi (x – 2) diperoleh sisa 6 dan bila dibagi (x – 3) 3) diperoleh sisa -2. Tentukan sisa pembagian jika P( x) x) dibagi ( x x2 – 5 5 x x + + 6).
S = P(-2)
Penyelesaian:
Penyelesaian:
=
2(-2)3 – 4(-2) 4(-2)2 +
6
Misalkan sisa pembagian P( x) x) oleh ( x x2 – 5 5 x x + + 6) adalah S( x) x) = ax ax + + b.
= -16 – 16 16 + 6 = -26
Jika H( x) x) adalah hasil bagi P( x) x) oleh ( x x2 – 5 5 x x + + 6), maka :
Contoh 2. Tentukan a jika sisa pembagian sukubanyak P( x) x) 2 x2 + ax ax + + 6 oleh ( x – 4) 4) adalah 50.
= x3
P( x) x) = H( x).( x).( x x2 – 5 5 x x + + 6) + S( x) x)
–
P( x) x) = H( x).( x).( x x – 2)(x 2)(x – 3) 3) + (ax (ax + + b)
1
Jika x = 2, akan diperoleh P(2) = H(2).(2 – 2)(2 – 3) + (2a + b) P(2) = 2a + b.
Karena sisa pembagian P( x) oleh ( x – b) adalah S2, maka S(b) = P(b) = S2 bp + q = S2 ........ (2)
Karena P(2) adalah sisa pembagian P( x) oleh ( x – 2), maka P(2) = 6. Dengan demikian di-peroleh:
Dari hasil proses eliminasi (1) dan (2) akan diperoleh p =
2a + b = 6 .................... (1)
Jika x = 3, akan diperoleh P(3) = H(3).(3 – 2)(3 – 3) + (3a + b) P(3) = 3a + b.
S2
S1 dan q = ba
aS2
bS1 . ab
Kesimpulan : Jika suku banyak P( x) dibagi ( x – a) bersisa S1 dan jika dibagi ( x – b) bersisa S2, maka sisa pembagian P( x) oleh ( x – a)( x – b) adalah S( x) = px + q de-
Karena P(3) adalah sisa pembagian P( x) oleh ( x – 3), maka P(3) = -2. Dengan demikian diperoleh: 3a + b = -2 .................... (2)
ngan p =
Eliminasikan hasil (1) dan (2) di atas, akan diperoleh hasil:
S2
S1 dan q = ba
aS2
bS1 . ab
Contoh 5.
3a + b = -2
a = -8 ................. (3)
Apabila P( x) dibagi oleh ( x – 2) sisanya 5 dan apabila dibagi ( x – 1) sisanya 4. Tentukan sisanya jika P(x) dibagi ( x2 – 3 x + 2).
Substitusikan hasil (3) ke (1), diperoleh :
Penyelesaian:
2(-8) + b = 6
P( x) dibagi oleh ( x – 2) sisanya 5
a = 2 dan S1 = 5.
P( x) dibagi oleh ( x – 1) sisanya 4
b = 1 dan S2 = 4.
2a + b = 6 _
b = 6 + 16 = 32 .................... (4)
Berdasarkan hasil di atas, sisa pembagian P(x) oleh ( x2 – 5 x + 6) adalah S( x) = -8 x + 32. Secara umum, jika suku banyak P( x) dibagi ( x – a) bersisa S1 dan jika dibagi ( x – b) bersisa S2, maka sisa pembagian P( x) oleh ( x – a)( x – b) dapat ditentukan dengan cara sbb. : Misal sisa pembagian P( x) oleh ( x – a)( x – b) adalah S( x) = px + q. Karena sisa pembagian P( x) oleh ( x – a) adalah S1, maka S(a) = P(a) = S1 ap + q = S1 ........ (1)
Pembagi kuadrat x2 – 3 x + 2 dapat difaktorkan menjadi (x – 2)(x – 1). Dengan demikian, sisa pembagian P( x) oleh ( x2 – 3 x + 2) adalah S( x) = p x + q dengan : p=
q=
S2
S1 = ba
aS2
45 1 2
= 1, dan
bS1 2(4) 1(5) = = 2 1 ab
85 1
= 3.
Sisa pembagian : S( x) = x + 3.
Latihan 1.
Dengan menggunakan teorema sisa, tentukan sisa dari pembagian : a.
( x2 – 5 x + 6) : ( x – 3)
b.
(2 x4 + 3 x2 – 4 x + 7) : ( x + 2)
2.
Tentukan hasil bagi h( x) jika x5 – 5 x + 4 dibagi x – 1, dan tunjukkan bahwa h( x) juga habis dibagi x – 1
3.
Tentukan nilai p , jika suku banyak P( x) = 2 x3 + px2 – 6 x + 7 dan Q( x) = 3 x2 – 6 x + 7 dibagi oleh ( x – 1) memberikan hasil yang sama.
4.
Tentukan a jika : a.
4 x4 – 12 x3 + 13 x2 – 8 x + a habis dibagi 2 x – 1.
b.
2 x3 – 7 x2 – ax + 2 habis dibagi 2 x + 1.
c.
2 x3 + ax2 – 22 x – 105 habis dibagi 2 x + 5
5.
Tentukan bilangan real a agar x3 + 3ax – 9 habis dibagi x – a – 1.
6.
Jika P( x) dibagi x2 – 3 x + 2 akan bersisa (4 x – 2). Tentukan sisanya jika P( x) dibagi ( x – 1). Tentukan juga jika P( x) dibagi ( x – 2).
7.
Suatu sukubanyak P( x) jika dibagi x + 1 akan bersisa 5, dan jika dibagi x – 4 akan bersisa – 5. Tentukan sisanya jika dibagi ( x + 1)( x – 4).
2
