Á L G E B R A B Á S I C A PA R A INGENIERÍA
I VÁ N D E J E S Ú S S Á N C H E Z P I E D R A H Í TA
Álgebra Básica para Ingeniería Fundación Antonio de Arévalo, TECNAR
Autor: Iván de Jesús Sánchez Piedrahíta
Diseño de la Plantilla y Estructura del módulo: Astrid Calderón Hernández Diagramación, Portadas y Arte Gráfico: Douglas Jesús Elles Torres
Primera Edición: Noviembre 2014
Álgebra Básica para Ingeniería Fundación Antonio de Arévalo - TECNAR 2014; 120 Pág.; 21.5 X 27.9 cm
Prohibida su reproducción parcial o total, por cualquier medio o método de este módulo sin previa autorización de TECNAR y la Empresa Editorial.
FUNDACIÓN TECNOLOGICA ANTONIO DE AREVALO- TECNAR
Dr. Dionisio Vélez White Rector Dra. Marta Mercedes Fernández Vicerrector Académico Dr. Amaury Vélez Trujillo Vicerrector de Desarrollo Institucional Dra. María Mercedes Villalba Porto Secretaria General Dr. Alfonso P. Trujillo Vélez Director de Planeación Dra. Olga Guerra Gerente General Dr. Guillermo Gómez Paz Decano Facultad Ciencias Sociales Dr. Alejandro Jaramillo Vélez Decano Facultad Ciencias Económicas Dra. Libis Valdez Cervantes Decana Facultad de Diseño e Ingeniería Dr. Rosa Meza Lastra Directora Consultorio Jurídico. Facultad Ciencias Sociales Dra. Andrea Serrano Directora Centro de Relaciones Nacionales e Internacionales Dr. Eduardo Bonfante Herazo Director Centro de Investigaciones Científicas y Tecnológicas Dr. Oswaldo Guerrero Muñoz Director Centro de Proyección Social Dr. Martin de Mares Salas Director Centro de Calidad Académica Dr. Marco Antonio Chico Director Centro de Ambientes Virtuales de Aprendizaje
Volumen 1. No 1.
ISBN: Dirección Postal Av. Pedro Hereda Calle 49 A No. 31-45 Sector Tesca Teléfono (57) + (5) 6600671 – Ext.: 1141 Página web www.tecnar.edu.co Diseño de Carátula Douglas Elles Torres
. Mg.Eduardo Bonfante Herazo Mg. Roberto Torres M.Sc. Harold A. Rodríguez Arias Mg. Martha Benítez Izquierdo Comité Editorial/ Editorial Commite Dr. Eduardo Bonfante Herazo Director – Editor Dra. Mireya Gómez Paz Correctora de estilo
Composición, Diseño e Impresión FUNDACIÒN TECNOLÒGICA ANTONIO DE ARÈVALO - TECNAR 2014 CENTRO DE INVESTIGACIONES CIENTIFICAS Y TECNOLOGICAS Cartagena de Indias, Diciembre de 2014.
Las opiniones expresadas en el libro de Circuitos I, son de estricta responsabilidad de los autores y no representa necesariamente la posición de la Fundación Tecnológica Antonio de Arévalo. La reproducción total o parcial de esta obra debe ir acompañada de los nombres de sus autores 2014
TABLA DE CONTENIDO
Pág. 1. GENERALIDADES .....................................................................................................11 2. INTRODUCCIÓN.........................................................................................................11 3. OBJETIVOS EDUCATIVOS .......................................................................................12 3.1. OBJETIVO GENERAL ............................................................................................12 4. JUSTIFICACIÓN .........................................................................................................13 5. COMPETENCIAS........................................................................................................13 5.1. COMPETENCIAS GENÉRICAS..............................................................................13 5.2. COMPETENCIAS ESPECÍFICAS. ..........................................................................14 5.3. PROCEDIMENTALES/INSTRUMENTALES: .........................................................14 5.4. ACTITUDINALES: ...................................................................................................14 6. METODOLOGÍA .........................................................................................................14 7. UNIDADES DE APRENDIZAJE .................................................................................15 1. UNIDAD 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES .........................................................19 1.1. OBJETIVOS ............................................................................................................19 1.2. COMPETENCIAS .....................................................................................................19 1.3. ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS O ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ...............................19 1.4. RECURSOS DE APRENDIZAJE ..................................................................................19 1.5. LECCIÓN 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES ....................................................19 CONCEPTOS FUNDAMENTALES ....................................................................................19 1.5.1. ALGEBRA: Es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. ...........................................................................................19 1.5.2. NOTACION ALGEBRAICA: Los símbolos utilizados en el álgebra para representar las cantidades son los números y las letras. ...................................................20 2. Ejercicios o Autoevaluación: ................................................................................29 2. UNIDAD 2: OPERACIONES ALGEBRAICAS ...........................................................32 2.1. OBJETIVOS ............................................................................................................33 2.2. COMPETENCIAS .....................................................................................................33 2.3. ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS O ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ...............................33 2.4. RECURSOS DE APRENDIZAJE ..................................................................................33 2.5. LECCIÓN 1: SUMA .................................................................................................33 2.5.1. Regla General para Efectuar una Suma .......................................................34 2.6. LECCIÓN 2: RESTA ...............................................................................................34 2.6.1. Regla General para Efectuar una Resta .......................................................34 2.7. LECCIÓN 3: SIGNOS DE AGRUPACIÓN ..............................................................35 2.7.1. Regla para Suprimir Signos de Agrupación ..................................................35 2.7.2. Regla para Introducir Signos de Agrupación ................................................36 2.8. LECCIÓN 4: MULTIPLICACIÓN .............................................................................37 2.8.1. Ley de Signos ...............................................................................................37 2.8.2. Ley de Exponentes .......................................................................................38 2.8.3. Multiplicación de Monomios ..........................................................................38 2.8.4. Producto Continuado de Monomios ..............................................................38 2.8.5. Multiplicación de Monomio por Polinomio .....................................................39 2.8.6. Multiplicación de Polinomios .........................................................................40 2.8.7. Producto Continuado de Polinomios .............................................................40 2.8.8. Operaciones Combinadas (Multiplicación, Sumas y Restas) .......................40 2.9. LECCIÓN 5: PRODUCTOS NOTABLES ................................................................42 2.9.1. Suma o Diferencia de Dos Cantidades al Cuadrado (Binomio al Cuadrado)42
2.9.2. Producto de la Suma por la Diferencia de Dos Cantidades ..........................42 2.9.3. Producto de Dos Binomios............................................................................43 2.10. LECCIÓN 6: DIVISIÓN ........................................................................................44 2.10.1. Ley de Signos ...............................................................................................44 2.10.2. Ley de Exponentes .......................................................................................44 2.10.3. División de Monomios ...................................................................................45 2.10.4. División de Polinomio entre un Monomio ......................................................45 2.10.5. División de Polinomios ..................................................................................46 3. UNIDAD 3: ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 49 3.1. OBJETIVOS ............................................................................................................50 3.2. COMPETENCIAS .....................................................................................................50 3.3. ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS O ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ...............................50 3.4. RECURSOS DE APRENDIZAJE ..................................................................................50 3.5. LECCIÓN 1: ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ........................................................................................................................50 3.5.1. Clases de Ecuaciones...................................................................................52 3.5.2. Axioma Fundamental de las Ecuaciones ......................................................53 3.5.3. Cambios de Signos .......................................................................................54 3.5.4. Resolución de Ecuaciones Enteras de Primer Grado con una Incógnita .....54 4. UNIDAD 4: ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO ...........................59 4.1. OBJETIVOS ............................................................................................................59 4.2. COMPETENCIAS .....................................................................................................59 4.3. ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS O ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ...............................59 4.4. RECURSOS DE APRENDIZAJE ..................................................................................59 4.5. LECCIÓN 1: ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS .....................................................................................................................59 4.5.1. Sistemas de dos Ecuaciones Simultáneas de Primer Grado con dos Incógnitas 61 4.5.3. DETERMINANTE ..........................................................................................64 4.5.4. Desarrollo de una determinante de segundo orden ......................................65 4.5.5. RESOLUCIÓN DE DETERMINANTES DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS ...........................................................................65 4.6. LECCIÓN 2: ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON TRES INCÓGNITAS .....................................................................................................................67 4.6.1. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS .....................................................................................................................67 4.6.2. DETERMINANTE DE TERCER ORDEN ......................................................68 4.6.3. HALLAR EL VALOR DE UNA DETERMINANTE DE TERCER ORDEN ......69 4.6.4. RESOLUCION POR DETERMINANTES DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS .........................................................................70 5. UNIDAD 5: FACTORIZACIÓN....................................................................................74 5.1. OBJETIVOS ............................................................................................................75 5.2. COMPETENCIAS .....................................................................................................75 5.3. ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS O ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ...............................75 5.4. RECURSOS DE APRENDIZAJE ..................................................................................75 5.5. LECCIÓN 1: DESCOMPOSICION FACTORIAL .....................................................76 6. UNIDAD 6: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ..................................................89 6.1. OBJETIVOS ............................................................................................................89 6.2. COMPETENCIAS .....................................................................................................89 6.3. ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS O ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ...............................89
6.4. RECURSOS DE APRENDIZAJE ..................................................................................89 7. RECURSOS ................................................................................................................97 7.1. FÍSICOS .................................................................................................................97 7.2. TECNOLÓGICOS .....................................................................................................97 7.3. AUDIOVISUALES .....................................................................................................97 7.4. TELECOMUNICACIONES ..........................................................................................97 8. SISTEMA DE EVALUACIÓN ......................................................................................97 CRONOGRAMA O CALENDARIO .............................................................................98 GLOSARIO .................................................................................................................99 BIBLIOGRAFÍA.........................................................................................................100 ENLACES DE INTERÉS ...........................................................................................100 TIEMPO MÁXIMO DEL MÓDULO ............................................................................100 PERFIL DEL TUTOR ................................................................................................100 G U Í A D E A P R E N D I Z A J E ..........................................................................105 U N I D A D I : C O N C E P T O F U N D A M E N T A L E S ................................105 GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE ........................................................................106 ..........................................................................................................................................109 G U Í A D E A P R E N D I Z A J E ..........................................................................109 U N I D A D I I : O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S .............................109 GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE ........................................................................110 ..........................................................................................................................................115 G U Í A D E A P R E N D I Z A J E ..........................................................................115 U N I D A D I I I : E C U A C I O N E S E N T E R A S D E ..................................115 P R I M E R G R A D O C O N U N A I N C Ó G N I T A .......................................115 GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE ........................................................................116 G U Í A D E A P R E N D I Z A J E ..........................................................................118 U N I D A D I V : E C U A C I O N E S S I M U L T Á N E A S D E P R I M E R 118 GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE ........................................................................119 G U Í A D E A P R E N D I Z A J E ..........................................................................121 U N I D A D V : D E S C O M P O S I C I O Ó N F A C T O R I A L ........................121 GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE ........................................................................122 ..........................................................................................................................................124 G U Í A D E A P R E N D I Z A J E ..........................................................................124 U N I D A D V I : E C U A C I O N E S D E S E G U N D O G R A D O .............124 GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE ........................................................................125
INDICE DE ILUSTRACIONES
Pág. FIGURA 1: FÓRMULA DEL ÁREA DE UN RECTÁNGULO .................................................................................................. 20 FIGURA 2: PROPIEDAD DISTRIBUTIVA ......................................................................... ¡ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO. FIGURA 3: DIAGONALES DE UN DETERMINANTE ........................................................... ¡ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
INDICE DE GRÁFICOS Ó TABLAS
Pág.
TABLA 1: GENERALIDADES ...................................................................................................................................... 11 TABLA 2: SISTEMA DE EVALUACIÓN .......................................................................................................................... 97 TABLA 3: CRONOGRAMA UNIDADES DE APRENDIZAJE ................................................................................................... 98
PRESENTACIÓN
En mi experiencia como docente he tenido la oportunidad de interactuar con muchos estudiantes que anhelan aprehender Algebra de una manera sencilla, pero muchas veces lo miran como un camino lleno de obstáculos y barreras.
Por tal razón, presento este módulo para la modalidad a distancia, como una orientación para que los estudiantes puedan mejorar su experiencia pedagógica con el Algebra y enfrentarse a los ejercicios sin temor y con mayor fluidez, ya que trabajando con disciplina y compromiso podrán mejorar su desempeño en esta asignatura.
No se promete un camino sin obstáculos, pero si trato de que con la lectura de este libro, el estudiante pueda mejorar el nivel escritural y entender el Álgebra como herramienta básica que resuelve muchos problemas de la vida real.
También es importante la realización de ejercicios que ayuden a fortalecer y fundamentar las bases teóricas aprendidas que le servirán de herramientas fundamentales para poder
aplicarlas en
otras áreas que utilizan el Algebra como conocimiento fundamental.
Se espera que con la elaboración de este manual el aprendiz encuentre, en su proceso de formación una forma más fácil de explorar el gran y maravilloso mundo de las aplicaciones que posee esta asignatura.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 11 de 127
1. Generalidades Tabla 1: Generalidades PRESENTACIÓN DEL CURSO Nombre del curso: Álgebra
Código del curso (opcional)
Programa: Técnica Profesional en Computación
Semestre: Primero
Área de Formación: Fundamentación Básica
Tipo de curso: Teórico
Créditos Académicos: Tres (3)
Prerrequisitos o Presaberes:
Horas de acompañamiento: Treinta y Seis (36, 12 presenciales y 24 virtuales)
Horas de Trabajo Independiente: Ciento Ocho (108)
Tutor (a): Iván de Jesús Sánchez Piedrahíta
Email:
[email protected]
Autoría Propia 2. Introducción El Algebra es una herramienta poderosa para representar y resolver muchos problemas que sse presentan en la vida cotidiana, los cuales se pueden modelar con ecuaciones y dar respuesta encontrando la solución de las mismas. Esta utiliza básicamente un sistema de símbolos, operaciones, reglas (o propiedades) y un conjunto de pasos que ayudan a dominar y facilitar la solución de varios tipos de ecuaciones. Por esta razón, sabiendo que este manual va dirigido a estudiantes del nivel técnico y que el uso primordial del Álgebra es para la solución de ecuaciones, se presentan las temáticas más representativas para la solución de Ecuaciones Simultaneas de Primer y Segundo Grado.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 12 de 127
La primera unidad precisa los conceptos básicos para iniciar el curso de álgebra, definiciones, simbología, nomenclaturas utilizadas y la operación entre términos semejantes. La segunda unidad contempla lo relacionado con las operaciones algebraicas de Suma, Resta, Multiplicación y división, además se muestran las reglas que las rigen y los procesos para realizarlas. La tercera unidad se refiere a la teoría básica para la solución de ecuaciones de primer grado, tales como: Definiciones, axiomas fundamentales para ecuaciones, resolución de ellas y la forma de verificación de su resultado. La cuarta unidad trata lo referente a las Ecuaciones Simultáneas de 2x2, 3x3 y los métodos de Eliminación por sustitución, igualación y reducción, también se presenta la Regla de Cramer como medios para solucionarlas. La quinta unidad presenta las formas más usuales de factorización de expresiones algebraicas tales como: Factor común, Factorización de binomios y trinomios. En ella se muestra cómo se reconocen y como se hallan los factores en cada caso. La sexta unidad aborda los conceptos básicos para reconocer y resolver las ecuaciones de segundo grado, las técnicas de factorización y la utilización de la fórmula general. También se muestra cómo aplicar la fórmula general para hallar los factores de trinomios cuadráticos. 3. Objetivos educativos 3.1. Objetivo General Desarrollar en los estudiantes del programa de Técnica Profesional en Computación, las destrezas que se requieren para realizar los razonamientos deductivos indispensables en el estudio de la ingeniería.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 13 de 127
3.2 Objetivos Específicos Demostrar la habilidad en el manejo de estructuras algebraicas. Aplicar las fórmulas de factorización relacionadas con el factor común, factorización de binomios y trinomios, hallando los factores en cada caso... Descomponer polinomios usando la División Sintética. Aplicar los procedimientos de solución a ecuaciones de primer y segundo grado. 4. Justificación Las matemáticas son una herramienta fundamental para los ingenieros de sistemas; es el lenguaje con el que se describe, se estudia la realidad, representan, resuelven los problemas, obtienen y organizan sus resultados. El conocimiento de las estructuras algebraicas es necesario en ciertas áreas de la ciencia de la computación, por tal motivo el Técnico Profesional en Computación debe manejar de manera efectiva los conceptos algebraicos. El álgebra es el lenguaje básico de las matemáticas; que les permite acceder a otros conocimientos matemáticos más complejos. Los conceptos algebraicos que se aprenden en este módulo, son fundamentales para el estudio del Cálculo Diferencial e Integral y otras áreas aplicadas del conocimiento.
5. Competencias 5.1. Competencias Genéricas. o Desarrolla habilidades y destrezas mediante el razonamiento, el análisis y la reflexión, interpretando diversos modelos en términos matemáticos. o Propone y plantea problemas prácticos - teóricos mediante su formulación matemática; simulando y estructurando a partir de datos intuitivos y empíricos, partiendo de las bases matemáticas que ha adquirido durante el curso. o Argumenta y justifica el porqué de los modelos matemáticos a utilizar en la resolución de problemas prácticos y teóricos específicos de las diferentes áreas de actividad de su profesión; utilizando lenguaje y simbología apropiada para las representaciones que requiera. o Comunicación oral y escrita (de ideas y conceptos en lenguaje matemático) o Aprendizaje autónomo o Adaptación a nuevas situaciones
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 14 de 127
5.2. Competencias Específicas. Cognitivas: Conoce la simbología, operaciones y leyes que rigen los procesos algebraicos. Conoce los pasos para solucionar las ecuaciones. 5.3. Procedimentales/Instrumentales: Identifica la información relevante para resolver ecuaciones. Maneja los procesos algebraicos para la solución de problemas. Aplica los conocimientos aprendidos del álgebra relacionados con los métodos, de forma eficaz, para la solución de problemas expresados matemáticamente. Visualiza e interpreta soluciones apoyadas en el álgebra. 5.4. Actitudinales: Extracción de conclusiones y redacción de informes (Comunicación escrita de ideas y conceptos en lenguaje matemático) Expresión rigurosa y clara (Comunicación oral de ideas y conceptos en lenguaje matemático). Razonamiento lógico e identificación de errores en los procedimientos. Capacidad crítica. Capacidad de abstracción. Pensamiento para crear y formular ejercicios nuevos. Aprendizaje Autónomo. 6. Metodología La enseñanza del álgebra hace énfasis en la adquisición significativa de los conceptos, reglas y procedimientos, y pretende un equilibrio adecuado entre el desarrollo conceptual, algorítmico y la solución de problemas. Para esto se fomenta la participación activa de los estudiantes en el proceso de aprendizaje - enseñanza mediante actividades que plantean solución de problemas, formulación y verificación de conjeturas, a lo largo de todo el curso.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
7. Unidades de Aprendizaje 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Unidad I: Conceptos Fundamentales Unidad II: Operaciones Algebraicas Unidad III: Ecuaciones Enteras de Primer Grado Unidad IV: Ecuaciones Simultaneas de Primer Grado Unidad V: Factorización Unidad VI: Ecuaciones de Segundo Grado
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 15 de 127
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 16 de 127
U N I D A D I : C O N C E P T O S F U N D A M E N TA L E S
TABLA DE CONTENIDO Pág.
1. UNIDAD 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES .........................................................19 1.1. OBJETIVOS ............................................................................................................19 1.2. COMPETENCIAS .....................................................................................................19 1.3. ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS O ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ...............................19 1.4. RECURSOS DE APRENDIZAJE ..................................................................................19 1.5. LECCIÓN 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES ....................................................19 CONCEPTOS FUNDAMENTALES ....................................................................................19 1.5.1. ALGEBRA: Es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. ...........................................................................................19 1.5.2. NOTACION ALGEBRAICA: Los símbolos utilizados en el álgebra para representar las cantidades son los números y las letras. ...................................................20 2. Ejercicios o Autoevaluación: ................................................................................29
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 19 de 127
1. Unidad 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES
1.1. Objetivos Conocer los conceptos básicos para poder comunicarse con mayor facilidad en el aprendizaje del Algebra. Identificar las expresiones algebraicas y su clasificación. Reconocer los términos semejantes, su importancia y la reducción de ellos. Saber reescribir un polinomio, organizándolo en orden ascendente o descendente.
1.2. Competencias Reconoce las expresiones algebraicas. Reconoce las diferentes partes de un término. Realiza la reducción de términos semejantes en las diferentes situaciones que se presente en un ejercicio.
1.3. Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lectura, comprensión, análisis y apropiación del material expuesto. Foro de apoyo para dudas y preguntas a través de la plataforma virtual SPLAVIA. Tutoría presencial opcional de material de estudio. Realización de Ejercicios propuestos y seleccionados.
1.4. Recursos de aprendizaje Módulo de Algebra de la Institución. Programa de Word y manejo de herramienta de editor de ecuaciones. Sitios de internet.
1.5. Lección 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES CONCEPTOS FUNDAMENTALES1
1.5.1.ALGEBRA: Es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.
1
Parte del texto fue tomado de: Baldor, Aurelio. Algebra, México, Grupo Editorial Patria, Pág. # 5 – 22.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 20 de 127
1.5.2.NOTACION ALGEBRAICA: Los símbolos utilizados en el álgebra para representar las cantidades son los números y las letras. Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d. Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, w, x, y, z.
1.5.3.FORMULAS: Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general. Así, la geometría enseña que el área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura; luego, llamando A al área del rectángulo, b a la base y h a la altura, la fórmula se expresa en la
Autoría Propia
Figura 1:
FIGURA 1: Fórmula Área del Triangulo Representará de un modo general el área de cualquier rectángulo, pues el área de un rectángulo dado se obtendrá con solo sustituir b y h en la formula anterior por sus valores en el caso dado. Así, si la base de un rectángulo es 3 m. y su altura 2 m., su área será: 𝑨 = 𝒃 × 𝒉 = 𝟑𝒎 × 𝟐𝒎 = 𝟔𝒎𝟐 .
1.5.4.SIGNOS DEL ALGEBRA: Los signos empleados en algebra son de tres clases: signos de operación, signos de relación y signos de agrupación.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
1.5.4.1.
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 21 de 127
SIGNOS DE OPERACIÓN: En algebra se verifican con las cantidades las
mismas operaciones que en aritmética: suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces, que se indican con los signos siguientes: el signo de la suma +, que se lee más. Así a+b se lee “a más b”.
El signo de la resta es -, que se lee menos. Así, a-b se lee “a menos b”. El signo de la multiplicación es x, que se lee multiplicado por. Así, a × b se lee “a multiplicado por b”.
En lugar del signo x suele no emplearse ningún signo entre los factores o también se indica la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Así, ab y (a)(b) equivalen a axb. El signo de la división es ÷, que se lee dividido entre. Así a ÷b se lee “a dividido entre b”. También se indica la división separando el dividendo y el divisor por una raya horizontal. Así,
𝑚 𝑛
equivale a m ÷n.
El signo de la elevación a potencia es el exponente, que es un número pequeño colocado arriba (como superíndice) y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada base, se toma como factor. Así, 𝒂𝟑 = 𝒂𝒂𝒂; 𝒃𝟓 = 𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃. Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad. Así, a es𝑎1 ; mnx equivale a 𝑚1 𝑛1 𝑥 1 .
El signo de raíz es√, llamado signo radical, y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raíz. Así, √𝒂 equivale a raíz cuadrada de a, o sea, la 𝟑
cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad a; √𝒃 equivale a raíz cubica de b, o sea la cantidad que elevada al cubo reproduce la cantidad b.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 22 de 127
COEFICIENTE: En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor. Así, en el producto de 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando tres veces, o sea 3a= a+a+a, en el producto 5b, el factor 5 es coeficiente de b e indica que 5b=b+b+b+b+b. estos son coeficientes numéricos.
1.5.4.2.
SIGNOS DE RELACION: Se emplean estos signos para indicar la relación que
existe entre dos cantidades. Los principales son: =, que se lee igual a. Así, a=b se lee “a igual a b”. ˃, que se lee mayor que. Así, x+y ˃m se lee “x+y mayor que m”. ˂, que se lee menos que. Así, a ˂ b + c se lee “a menor que b+c”.
1.5.4.3.
SIGNOS DE AGRUPACION: Los signos de agrupación son: el paréntesis
ordinario () el corchete [] las llaves {} y la barra o vinculo ̶. Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así, (a+b) c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c; [a-b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m; {a+b}÷ {c-d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.
1.5.5.CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS: En Algebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos o que son de condición o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condición o modo de ser (valor relativo) de la cantidad por medio de los signos + y -, anteponiendo el signo + a las cantidades tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponiendo el signo – a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (cantidades negativas).
1.5.5.1 CERO: Es la ausencia de cantidad. Así, representar el estado económico de una persona por 0 equivale a decir que no tiene haber ni deudas.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 23 de 127
Las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas menores que 0. Así, +3 es una cantidad que es tres unidades mayor que 0; +5 es una cantidad que es cinco unidades mayor que 0, mientras que -3 es una cantidad que es tres unidades menor que 0 y -5 es una cantidad que es cinco unidades menor que 0.
De dos cantidades positivas, es mayor la de mayor valor absoluto; Así, +5 es mayor que +3, mientras que de dos cantidades negativas es mayor la de menor valor absoluto: -3 es mayor que -5; -9 es menor que -4.
1.5.6.EXPRESION ALGEBRAICA: es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas.
Ejemplos: 𝒃, 𝟕𝒙, √𝟓𝒙, 𝟑(𝒙 + 𝟐), 𝟑𝒙𝒚𝟐
1.5.7.TÉRMINO: Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Así, a, -3b, 2xy,
𝟒𝒂 𝟑𝒙
son términos.
Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. Los términos pueden ir precedidos del signo positivo (+) o negativo. Así, +a, +8x, +9ab son términos positivos y –x, -5bc y -
3𝑎 2𝑏
son términos negativos.
Cuando se omite el signo de un término este se interpreta como signo positivo (+). Así, x equivale a +x; 3xy equivale a +3xy. El coeficiente es el primero de los factores del término. Así, en el término 5x el coeficiente es 5; en -3𝑎2 𝑥 3 el coeficiente es -3. La parte literal la constituyen las letras que haya en el término. Así, en 5xy la parte literal es xy; en
𝟑𝒙𝟑 𝒚𝟒 𝟐𝒂𝒃
la parte literal es
𝒙𝟑 𝒚𝟒 𝒂𝒃
.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 24 de 127
1.5.8.GRADO DE UN TÉRMINO: Puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra (relativo). Grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales. Así, el término4a es degrado uno porque el exponente del factor literal a es 1; el término ab es de grado dos porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 1+1=2; el término𝒂𝟐 𝒃 es de grado tres porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 2+1=3; 5𝒂𝟒 𝒃𝟑 𝒄𝟐 es de grado nueve porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 4+3+2=9. El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra. Así, el término b𝑥 3 es de grado uno con relación a b y de grado tres con relación a x; 4𝒙𝟐 𝒚𝟒 es de grado dos con relación a x y de grado cuatro con relación a y.
1.5.9.CLASES DE TÉRMINOS: Término entero es el que no tiene denominador literal como 𝟐𝒂
5a, 6𝒂𝟒 𝒃𝟑 , . 𝟓
Término fraccionario es el que tiene denominador literal como
3𝑎 𝑏
.
Término racional es el que no tiene radical, como los ejemplos anteriores, e irracional 𝟑𝒃
el que tiene radical, como √𝒂𝒃, 𝟑
√𝟐𝒂
.
Términos homogéneos son los que tienen el mismo grado absoluto. Así, 4𝒙𝟒 𝑦 y 𝟔𝒙𝟐 𝒚𝟑 son homogéneos porque ambos son de quinto grado absoluto. Términos heterogéneos son los de distinto grado absoluto, como 5a, que es de primer grado, y 3𝒂𝟐 , que es de segundo grado.
1.5.10. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.5.10.1.
MONOMIO es una expresión algebraica que consta de un solo término,
como: 𝟑𝒂, −𝟓𝒃,
𝒙𝟐 𝒚 𝟒𝒏𝟑
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Á L G E B R A
1.5.10.2.
Página 25 de 127
POLINOMIO es una expresión algebraica que consta de más de un término,
como: 𝒂 + 𝒃,
𝒂 + 𝒙 − 𝒚,
𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟕.
Binomio es un polinomio que consta de dos términos, como: 𝒂 + 𝒃,
𝒙 − 𝒚,
𝒂𝟐 𝟓𝒎𝒙 − 𝟑 𝟔𝒃𝟐
Trinomio es un polinomio que consta de tres términos, como: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄, 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔
1.5.10.3.
Grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra. Grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado. Así, en el polinomio 𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 el primer término es de cuarto grado, el segundo, de tercer grado; el tercero, de segundo grado, y el último, de primer grado, luego, el grado absoluto del polinomio es el cuarto.
Grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio 𝒂𝟔 + 𝒂𝟒 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 𝒙𝟒 es de grado seis con relación a la a y de grado cuatro con relación a la x.
1.5.10.4.
CLASES DE POLINOMIOS: Un polinomio es entero cuando ninguno de sus
términos tiene denominador literal como 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔;
𝒙𝟐 𝟐
𝒙
𝟏
𝟑
𝟓
− + ; fraccionario
cuando alguno de sus términos tiene letras en el denominador como
𝒂𝟐 𝒃
𝒃
+ − 𝟖; 𝒄
racional cuando no contiene radicales, como en los ejemplos anteriores; irracional cuando contiene radical, como √𝒂 + √𝒃 − √𝒄 − √𝒂𝒃𝒄; homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto, como
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 26 de 127
𝟒𝒂𝟑 + 𝟓𝒂𝟐 𝒃 + 𝟔𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 , y heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado, como 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔. Polinomio completo con relación a una letra es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que tenga dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio 𝒙𝟓 + 𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 es completo respecto de la x, porque contiene todos los exponentes sucesivos de la x desde el más alto 5, hasta el más bajo 1, o sea 5, 4, 3, 2, 1; el polinomio𝒂𝟒 − 𝒂𝟑 𝒃 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 − 𝒂𝒃𝟑 + 𝒃𝟒 es completo respecto de a y b. Polinomio ordenado con respecto a una letra es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o disminuyendo. Así, el polinomio 𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟖 esta ordenado en orden descendente con relación a la letra ordenatriz x; el polinomio 𝒂𝟓 − 𝟐𝒂𝟒 𝒃 + 𝟔𝒂𝟑 𝒃𝟐 − 𝟓𝒂𝟐 𝒃𝟑 + 𝟑𝒂𝒃𝟒 − 𝒃𝟓 esta ordenado en orden descendente respecto de la letra ordenatriz a y en orden ascendente respecto de la letra ordenatriz b.
1.5.10.5.
Ordenar un polinomio es escribir sus términos de modo que los exponentes
de una letra escogida como letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente. Así, ordenar el polinomio −𝟓𝒙𝟑 + 𝒙𝟓 − 𝟑𝒙 + 𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 + 𝟔 en orden descendente con relación a x será escribir 𝒙𝟓 + 𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟔. Ordenar el polinomio 𝒙𝟒 𝒚 − 𝟕𝒙𝟐 𝒚𝟑 − 𝟓𝒙𝟓 + 𝟔𝒙𝒚𝟒 + 𝒚𝟓 − 𝒙𝟑 𝒚𝟐 en orden ascendente con relación a x será escribirlo: 𝒚𝟓 + 𝟔𝒙𝒚𝟒 − 𝟕𝒙𝟐 𝒚𝟑 − 𝒙𝟑 𝒚𝟐 + 𝒙𝟒 𝒚 − 𝟓𝒙𝟓 .
1.5.10.6.
Término independiente de un polinomio con relación a una letra es el
término que no tiene dicha letra. Así, en el polinomio 𝒂𝟑 − 𝒂𝟐 + 𝟑𝒂 − 𝟓 el término independiente con relación a la a es 5 porque no tiene a; en 𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟐𝟎 el término
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 27 de 127
independiente es 20; en 𝒂𝟑 − 𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 el término independiente con relación a la a es 𝑏 3 , y el término independiente con relación a la b es 𝑎3 . El término independiente con relación a una letra puede considerarse que tiene esa letra con exponente cero, porque como se verá más adelante, toda cantidad elevada a cero equivale a 1. Así, en el primer ejemplo anterior, -5 equivale a 5𝑎0 , y en el último ejemplo, 𝑏 3 equivale a 𝑎0 𝑏 3 .
1.5.10.7.
TERMINOS SEMEJANTES: Dos o más términos son semejantes cuando
tienen la(s) misma(s) letras con los respectivos exponentes iguales. EJEMPLOS 2ay a; -2b y 8b; -5𝒂𝟖 𝒃𝟐 y -8𝒂𝟖 𝒃𝟐 ;𝒙𝒎+𝟏 y𝟑𝒙𝒎+𝟏 . Los términos 9ab y -8𝑎2 b no son semejantes, porque aunque tienen iguales letras, estas no tienen los mismos exponentes, ya que la a del primero tiene de exponente 1 y la a del segundo tiene de exponente 2. Los términos -b𝑥 4 y𝑎𝑏 4 no son semejantes, porque aunque tienen los mismos exponentes, las letras no son iguales.
1.5.10.8.
REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES es una operación que suma o resta
varios términos semejantes para expresarlo como uno solo.
En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los siguientes casos:
1) Reducción de dos términos semejantes del mismo signo. Regla Se suma todas las partes numéricas, se le coloca el mismo signo y se coloca a continuación la misma parte literal.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 28 de 127
Ejemplos 1) 8x + 2x = 10x. 2) -9y – 3y = -12b 3) −𝒛𝟐 − 𝟗𝒛𝟐 = −𝟏𝟎𝒛𝟐 4) 𝟐𝒂𝒙−𝟐 + 𝟑𝒂𝒙−𝟐 = 𝟓𝒂𝒙−𝟐 5) −𝟒𝒂𝒎+𝟏 − 𝟕𝒂𝒎+𝟏 = 𝟏𝟏𝒂𝒎+𝟏 6)
𝟏 𝟐
𝟐
𝟕
𝟑
𝟔
𝒙𝒚 + 𝒙𝒚 = 𝒙𝒚 𝟏
𝟐
𝟑
𝟑
7) − 𝒙𝒚 − 𝒙𝒚 = −𝒙𝒚 8) 𝟓𝒙 + 𝒙 + 𝟐𝒙 = 𝟖𝒙
2) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo. Regla Se restan las partes numéricas, se coloca el signo del número mayor poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y se coloca a continuación la misma parte literal.
Ejemplos 1) 𝟒𝒂 − 𝟓𝒂 = −𝒂 2) 𝟏𝟏𝒙 − 𝟒𝒙 = 𝟕𝒙 3) −𝟏𝟐𝒂𝒃 + 𝟑𝒂𝒃 = −𝟗𝒂𝒃 4) −𝟏𝟎𝒂𝒙 + 𝟓𝒂𝒙 = −𝟓𝒂𝒙 5) 𝟑𝟗𝒂𝒙+𝟏 − 𝟏𝟎𝒂𝒙+𝟏 = −𝟐𝟗𝒂𝒙+𝟏 6)
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏
𝟖
𝟔
𝒂− 𝒂=− 𝒂 𝟑
𝟒
𝟕
𝟕
7) − 𝒂𝟐 𝒃 + 𝒂𝟐 𝒃 = 𝒂𝟐 𝒃
Cuando dos términos semejantes de igual coeficiente numérico y de distinto signo se reducen, estos da como resultado la anulación de él, o sea, su resultado es cero (0).
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 29 de 127
Ejemplos 1) −𝟓𝒂𝒃 + 𝟓𝒂𝒃 = 𝟎 2) 𝟒𝒙𝟐 𝒚 − 𝟒𝒙𝟐 𝒚 = 𝟎
Reducción de más de dos términos semejantes. Regla Se reducen todos los términos semejantes positivos y todos los términos semejantes negativos, al final se restan teniendo en cuenta quien tiene el signo mayor.
Ejemplo 1)
Reducir 𝟒𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝒙 − 𝟖𝒙 + 𝟕𝒙.
Reduciendo los positivos: 4𝑥 + 𝑥 + 7𝑥 = 12𝑥 Reduciendo los negativos: −6𝑥 − 8𝑥 = −14𝑥 Aplicando a estos resultados obtenidos, 𝟏𝟐𝒙 y −𝟏𝟒𝒙, la regla del caso anterior, se tiene: 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟒𝒙 = −𝟐𝒙
2. Ejercicios o Autoevaluación:
Ejercicio Propuestos 1 1. Usa flechas para relacionar cada uno de los términos con su respectivo grado absoluto:
a. b. c. d. e.
Términos
Grado Absoluto
7𝑥𝑦 8𝑥 3 𝑦 5𝑥 𝑥𝑦𝑧 7𝑥 2 𝑦 3
4 3 5 1 2
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 30 de 127
2. Relacione la columna de los Términos con la columna de Clasificación de Términos, colocando la letra en el paréntesis, según corresponda: Término
Clasificación
7𝑥𝑦 + 4𝑦 ( ) Término Fraccionario 3 ( ) Término Entero 8𝑥 𝑦 + 𝑧 − 5 ( ) Trinomio 7𝑥 2 𝑦 3 8 ( ) Binomio 𝑥 3. En los siguientes ejercicios rellene los espacios en blanco según corresponda: a. b. c. d.
a. b. c. d.
Polinomio 3𝑥 + 4𝑥 3 − 7𝑥 + 2 2𝑥 3 + 5𝑥 − 4𝑥 2 + 8 7𝑥 − 4𝑥 4 + 5𝑥 2 + 4 2𝑥 3 + 5𝑥 2 − 7𝑥 + 15 5
Completo/Incompleto
Ordenado/Desordenado
4. Relacione con una flecha los términos semejantes:
a. b. c. d.
Término 9𝑥 2 𝑦 3 8𝑥 3 𝑦 2 −7𝑥 2 𝑦 −5𝑥 2 𝑦 2
Término Semejante 8𝑥 2 𝑦 3 −5𝑥 2 𝑦 −7𝑥 2 𝑦 2 9𝑥 3 𝑦 2
5. Reducir los términos semejantes: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l.
𝑥 + 7𝑥 = 5𝑥 + 9𝑥 = 3𝑥 2 + 4𝑥 2 = 2𝑥 2 𝑦 + 6𝑥 2 𝑦 = 8𝑥 2 + 7𝑥 2 = −3𝑦 − 9𝑦 = −2𝑥 2 − 𝑥 2 = −5𝑎 − 5𝑎 = −8𝑏𝑥 2 − 9𝑏𝑥 2 = −4𝑥 − 6𝑥 = 𝑦 + 2𝑦 + 4𝑦 = 3𝑥 + 7𝑥 + 9𝑥 =
m. n. o. p. q. r. s. t. u. v. w. x.
5𝑥 2 + 6𝑥 2 + 8𝑥 2 = −7𝑤 − 2𝑤 − 5𝑤 = −20𝑥 − 50𝑥 − 26𝑥 = −33𝑥 2 𝑦 − 22𝑥 2 𝑦 − 11𝑥 2 𝑦 = 11𝑥 − 6𝑥 = 3𝑦 − 7𝑦 = 4𝑥 2 − 4𝑥 2 = −5𝑦 + 13𝑦 = −7𝑦 + 𝑦 = 9𝑥 − 11𝑥 + 4𝑥 − 𝑥 = −7𝑥 + 2𝑥 − 5𝑥 + 4𝑥 = 𝑥 2 𝑦 − 8𝑥 2 𝑦 + 6𝑥 2 𝑦 − 4𝑥 2 𝑦 =
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 31 de 127
UNIDAD II: OPERACIONES ALGEBRAICAS
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 32 de 127
TABLA DE CONTENIDO Pág.
2. 2.UNIDAD 2: OPERACIONES ALGEBRAICAS 32 3. 2.1. OBJETIVOS ............................................................................................................33 4. 2.2. COMPETENCIAS .....................................................................................................33 5. 2.3. ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS O ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ...............................33 6. 2.4. RECURSOS DE APRENDIZAJE ..................................................................................33 7. 2.5. LECCIÓN 1: SUMA .................................................................................................33 8. 2.5.1. Regla General para Efectuar una Suma .......................................................34 9. 2.6. LECCIÓN 2: RESTA ...............................................................................................34 10. 2.6.1. Regla General para Efectuar una Resta .......................................................34 11. 2.7. LECCIÓN 3: SIGNOS DE AGRUPACIÓN ..............................................................35 12. 2.7.1. Regla para Suprimir Signos de Agrupación ..................................................35 13. 2.7.2. Regla para Introducir Signos de Agrupación ................................................36 14. 2.8. LECCIÓN 4: MULTIPLICACIÓN .............................................................................37 15. 2.8.1. Ley de Signos ...............................................................................................37 16. 2.8.2. Ley de Exponentes .......................................................................................38 17. 2.8.3. Multiplicación de Monomios ..........................................................................38 18. 2.8.4. Producto Continuado de Monomios ..............................................................38 19. 2.8.5. Multiplicación de Monomio por Polinomio .....................................................39 20. 2.8.6. Multiplicación de Polinomios .........................................................................40 21. 2.8.7. Producto Continuado de Polinomios .............................................................40 22. 2.8.8. Operaciones Combinadas (Multiplicación, Sumas y Restas) .......................40 23. 2.9. LECCIÓN 5: PRODUCTOS NOTABLES ................................................................42 24. 2.9.1. Suma o Diferencia de Dos Cantidades al Cuadrado (Binomio al Cuadrado)42 25. 2.9.2. Producto de la Suma por la Diferencia de Dos Cantidades ..........................42 26. 2.9.3. Producto de Dos Binomios............................................................................43 27. 2.10. LECCIÓN 6: DIVISIÓN ........................................................................................44 28. 2.10.1. Ley de Signos ...............................................................................................44 29. 2.10.2. Ley de Exponentes .......................................................................................44 30. 2.10.3. División de Monomios ...................................................................................45 31. 2.10.4. División de Polinomio entre un Monomio ......................................................45 32. 2.10.5. División de Polinomios ..................................................................................46
3. Unidad 2: OPERACIONES ÁLGEBRAICAS
32.1.
Objetivos Identificar cada una de las operaciones algebraicas. Diferenciar y aplicar cada una de las reglas que se deben utilizar en un ejercicio. Identificar y aplicar las fórmulas de productos notables. Realizar ejercicios con operaciones combinadas.
32.2.
Competencias Diferencia y utiliza las reglas básicas de las operaciones algebraicas que se aplican en diferentes clases de ejercicios. Jerarquiza las operaciones algebraicas en diferentes situaciones. Desarrollar
32.3.
procedimientos que contengan operaciones algebraicas.
Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lectura, comprensión, análisis y apropiación del material expuesto. Foro de apoyo para dudas y preguntas a través de la plataforma virtual SPLAVIA. Tutoría presencial opcional de material de estudio. Realización de Ejercicios propuestos y seleccionados.
32.4.
Recursos de aprendizaje Módulo de Algebra de la Institución. Programa de Word y manejo de herramienta de editor de ecuaciones. Sitios de internet.
32.5.
Lección 1: SUMA
SUMA: Es una operación que busca juntar dos o más expresiones algebraicas, llamadas sumandos, en una sola expresión, la cual llamaremos Suma.
Así, si queremos encontrar la suma de las expresiones algebraicas 𝐸1 = 𝑓 y 𝐸2 = 𝑔 , entonces, hacemos 𝐸1 + 𝐸2 = 𝑓 + 𝑔.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 34 de 127
32.5.1. Regla General para Efectuar una Suma
Se coloca la primera expresión algebraica y seguidamente, sin cambiar ningún signo, se colocan las demás expresiones. Una vez realizado esto, efectuamos la reducción de términos semejantes. Ejemplo 1 Sean 𝑬𝟏 = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑 y 𝑬𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟕 𝑺 = 𝑬𝟏 + 𝑬𝟐 Para hallar la suma (S) hacemos= 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟕 𝑹𝒕𝒂 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 Ejemplo 2 Sean 𝑬𝟏 = 𝒙𝟐 − 𝟑 , 𝑬𝟐 = −𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟖y𝑬𝟑 = 𝟗𝒙 𝑺 = 𝑬𝟏 + 𝑬𝟐 + 𝑬𝟑 Para hallar la suma (S) hacemos= 𝒙𝟐 − 𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟖 + 𝟗𝒙 𝑹𝒕𝒂 = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟓 Ejercicios Propuestos2 1. 2. 3. 4. 5.
32.6.
Hallar la suma de7𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟒y−𝟗𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 Hallar la suma de15𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟐y−𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 Hallar la suma de4𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟓y−𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟕 Hallar la suma de7𝒙𝟐 − 𝟒y𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟖 Hallar la suma de14𝒙 − 𝟗y−𝟗𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏
Lección 2: RESTA
RESTA: Es una operación que teniendo una suma de dos sumandos (Minuendo, M) y uno de los sumandos (Sustraendo, S), busca encontrar el otro sumando (Resta o Diferencia, R). Así, si queremos restar S de M (también podemos decir de M quitar S), entonces, hacemos 𝑅 = 𝑀 − 𝑆.
32.6.1. Regla General para Efectuar una Resta
Se coloca primero la expresión algebraica que designa el Minuendo y seguidamente cambiar todos los signos de la expresión algebraica designada como Sustraendo. Una vez realizado esto, efectuamos la reducción de términos semejantes.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 35 de 127
Ejemplo 1 De𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑 Restar𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟕 𝑹=𝑴−𝑺 Para hallar la resta o diferencia (R) hacemos= 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟕 𝑹𝒕𝒂 = 𝟕𝒙 + 𝟒 Ejemplo 2 Restar𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟐De𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏𝟏 𝑹=𝑴−𝑺 Para hallar la resta o diferencia (R) hacemos= 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏𝟏 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟐 𝑹𝒕𝒂 = −𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟑 Ejercicios Propuestos 3 1. Restar7𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟒 de−𝟗𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 2. Restar15𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟐de−𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 3. De4𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟓Restar−𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟕 4. De7𝒙𝟐 − 𝟒Restar𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟖 5. De14𝒙 − 𝟗Restar−𝟗𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏
32.7.
Lección 3: SIGNOS DE AGRUPACIÓN
SIGNOS DE AGRUPACIÓN: Los signos de agrupación con los que trabajaremos son: paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }.Los signos de agrupación se utilizan para trabajar cantidades como un todo e indica que se debe realizar primero las operaciones contenidas en ellos.
Así, si queremos hacer la operación 𝑒 − {𝑏 + [𝑐 − 𝑑]} , esta nos indica que debemos encontrar la resta 𝑐 − 𝑑, posteriormente sumarla con b y ese resultado se le resta a e.
32.7.1. Regla para Suprimir Signos de Agrupación
Al suprimir signos de agrupación se debe tener en cuenta el signo que precede (antes de) al signo de agrupación. Cuando el signo que lo precede es más (+), se destruye el signo de agrupación y se coloca los mismos signos que tiene la expresión que estaba contenida en ese signo de agrupación. Cuando el signo que lo precede es menos (-), se destruye el signo de agrupación y se cambian todos los signos que tiene la expresión que estaba contenida en ese signo de agrupación.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 36 de 127
Ejemplo 1 Suprimir los signos de agrupación en: −(𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟖) + (−𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏) − (𝟗𝒙 − 𝟏𝟓) Destruimos los paréntesis teniendo en cuenta el signo que lo precede (al final 𝟐 𝟐 reducción de términos semejantes), así:−𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟖 − 𝒙 𝟐− 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟗𝒙 + 𝟏𝟓 𝑹𝒕𝒂 = −𝟐𝒙 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟐𝟒
Ejemplo 2 Suprimir los signos de agrupación en: −(𝒙𝟐 − 𝟖) − [−𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 − (𝟗𝒙 − 𝟏𝟓)] 𝐒𝐮𝐩𝐫𝐢𝐦𝐢𝐦𝐨𝐬𝐩𝐚𝐫é𝐧𝐭𝐞𝐬𝐢𝐬 −𝐱 𝟐 + 𝟖 − [−𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟏 − 𝟗𝐱 + 𝟏𝟓] 𝐑𝐞𝐝𝐮𝐜𝐢𝐦𝐨𝐬𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨𝐬𝐬𝐞𝐦𝐞𝐣𝐚𝐧𝐭𝐞𝐬 = −𝐱 𝟐 + 𝟖 − [−𝐱 𝟐 − 𝟏𝟏𝐱 + 𝟏𝟔] 𝐝𝐞𝐬𝐭𝐫𝐮𝐢𝐦𝐨𝐬𝐜𝐨𝐫𝐜𝐡𝐞𝐭𝐞𝐬 = −𝐱 𝟐 + 𝟖 + 𝐱 𝟐 + 𝟏𝟏𝐱 − 𝟏𝟔 𝐑𝐞𝐝𝐮𝐜𝐢𝐫𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨𝐬𝐬𝐞𝐦𝐞𝐣𝐚𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐑𝐭𝐚 = 𝟏𝟏𝐱 − 𝟖
32.7.2. Regla para Introducir Signos de Agrupación
Al Introducir signos de agrupación se debe tener en cuenta el signo que se va a colocar antes del signo de agrupación. Cuando el signo que se introduce es más (+), se coloca los mismos signos que tiene la expresión dentro de ese signo de agrupación. Cuando el signo que se introduce es menos (-), se cambian todos los signos que tiene la expresión dentro del signo de agrupación. Ejemplo 1 Introducir un paréntesis precedido de un signo menos (-) a partir del tercer término de la expresión: 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟓 Se debe cambiar los signos de los términos que se introducen en el paréntesis 𝑹𝒕𝒂 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 − (−𝟖𝒙 + 𝟓)
Ejemplo 2 Introducir un paréntesis precedido de un signo más (+) a partir del segundo término de la expresión: 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟓 Se debe cambiar los signos de los términos que se introducen en el paréntesis 𝑹𝒕𝒂 𝒙𝟑 + (−𝟓𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟓)
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 37 de 127
Ejercicios Propuestos 4 1. Suprimir signos de Agrupación de: a. 7𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − (𝟒−𝟗𝒙𝟐 − 𝟔𝒙) + 𝟏𝟐 b. 15𝒙𝟐 − (𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟐)−𝟔𝒙𝟐 + (𝟐𝒙 − 𝟏𝟎) c. 4𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − [𝟓 + (−𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙) − 𝟕] 2. Introducir el tercer y cuarto término dentro de un signo de agrupación: d. 7𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟖 e. 𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 +
32.8.
Lección 4: MULTIPLICACIÓN
MULTIPLICACIÓN: Es una operación
que dada dos expresiones algebraicas (cada
expresión llamada factor) encontrar otra expresión llamada producto.
32.8.1. Ley de Signos
Para dos (2) Factores: Signos iguales su producto es positivo (+), Signos diferentes su producto es negativo (-). Ejemplos (+)(+) = + (+)(−) = − (−)(−) = + (−)(+) = −
Para más de dos (2) Factores: Su producto es positivo (+) si el número de signos negativos es 0 o par y su producto es negativo (-) si el número de signos negativos (-) es impar. Ejemplos (+)(+)(+)(+) = + (+)(−)(+)(−)(−) = − (−)(−)(−)(−) = + (−)(+)(+)(+)(+) = −
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 38 de 127
32.8.2. Ley de Exponentes
Para multiplicar bases iguales se coloca la misma base y su nuevo exponente será la suma de los exponentes que tenían las bases anteriores. Así, 𝒙𝒂 𝒙𝒃 = 𝒙𝒂+𝒃 Ejemplo 1 Multiplicar 𝒙 con 𝒙𝟑 (𝒙)(𝒙𝟑 ) = 𝒙𝟏+𝟑 = 𝒙𝟒 Ejemplo 2 Multiplicar 𝒙𝟐 con 𝒙𝟑 (𝒙𝟐 )(𝒙𝟑 ) = 𝒙𝟐+𝟑 = 𝒙𝟓 32.8.3. Multiplicación de Monomios
Para multiplicar Monomios simplemente lo hacemos por partes. Primero multiplicamos los coeficientes teniendo en cuenta la ley de signos y posteriormente multiplicamos la parte literal teniendo en cuenta la ley de exponentes. Ejemplo Multiplicar −𝟓𝒙𝟓 con −𝟒𝒙𝟐 𝒚 𝑳𝒆𝒚 𝒅𝒆 𝑺𝒊𝒈𝒏𝒐𝒔 (−)(−) = + 𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒏𝒖𝒎é𝒓𝒊𝒄𝒐 (𝟓)(𝟒) = 𝟐𝟎 } (−𝟓𝒙𝟓 )(−𝟒𝒙𝟐 𝒚) = 𝟐𝟎𝒙𝟕 𝒚 𝟓 𝟐 𝟓+𝟐 𝟕 𝑳𝒆𝒚 𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 (𝒙 )(𝒙 𝒚) = 𝒙 𝒚 = 𝒙 𝒚
32.8.4. Producto Continuado de Monomios
Llamamos producto continuado a aquellas multiplicaciones que tienen más de dos factores. Ejemplo Multiplicar −𝟐𝒙𝟑 𝒚;−𝟓𝒙𝟐 𝒚𝟐 ; −𝟕𝒙𝒚𝒛 𝑳𝒆𝒚 𝒅𝒆 𝑺𝒊𝒈𝒏𝒐𝒔(−)(−)(−) = − (−𝟐𝒙𝟑 𝒚)(−𝟓𝒙𝟐 𝒚𝟐 )(−𝟕𝒙𝒚𝒛) 𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒏𝒖𝒎é𝒓𝒊𝒄𝒐 (𝟐)(𝟓)(𝟕) = 𝟕𝟎 } = −𝟕𝟎𝒙𝟔 𝒚𝟒 𝒛 /𝑹𝒕𝒂 𝑳𝒆𝒚 𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 (𝒙𝟑 𝒚)(𝒙𝟐 𝒚𝟐 )(𝒙𝒚𝒛) = 𝒙𝟑+𝟐+𝟏 𝒚𝟏+𝟐+𝟏 𝒛 = 𝒙𝟔 𝒚𝟒 𝒛
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 39 de 127
32.8.5. Multiplicación de Monomio por Polinomio
Para multiplicar Monomios por polinomios debemos aplicar la propiedad distributiva 𝒂(𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄(ver Figura). Multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Figura 2: Propiedad Distributiva
Autoría Propia
Ejemplo Multiplicar – 𝟓𝒙por𝟒𝒙𝟐 − 𝟑 −𝟓𝒙(𝟒𝒙𝟐 − 𝟑) = −𝟐𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟓𝒙𝑬𝒙𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 {
(−𝟓𝒙)(𝟒𝒙𝟐 ) = −𝟐𝟎𝒙𝟑 (−𝟓𝒙)(−𝟑) = 𝟏𝟓𝒙
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 40 de 127
32.8.6. Multiplicación de Polinomios
Para multiplicar polinomios debemos aplicar la propiedad distributiva (la ampliamos) (𝒂 + 𝒃)(𝒄 + 𝒅) = 𝒂(𝒄 + 𝒅) + 𝒃(𝒄 + 𝒅) = 𝒂𝒄 + 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 + 𝒃𝒅 .Multiplicamos cada término del primer polinomio por cada uno de los términos del polinomio siguiente. Ejemplo Multiplicar 𝟕𝒙 − 𝟖 por 𝟗𝒙 + 𝟒 (𝟕𝒙 − 𝟖)(𝟗𝒙 + 𝟒) 𝟕𝒙(𝟗𝒙 + 𝟒) = 𝟔𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝟖𝒙 = 𝟔𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝟖𝒙 − 𝟕𝟐𝒙 − 𝟑𝟐𝑬𝒙𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 { −𝟖(𝟗𝒙 + 𝟒) = −𝟕𝟐𝒙 − 𝟑𝟐 𝑹𝒕𝒂 = 𝟔𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝟒𝒙 − 𝟑𝟐
32.8.7. Producto Continuado de Polinomios
Para estos casos recomiendo (no es una ley) dejar el factor más sencillo de último. Si son tres factores, inicialmente hallamos el producto de dos y ese resultado lo multiplicamos por el factor que falta. Ejemplo 1 Realizar 𝟕(𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟓𝒙 − 𝟏) 𝟕(𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟓𝒙 − 𝟏) (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟓𝒙 − 𝟏) = 𝟕(𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 − 𝟑) 𝑬𝒙𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 {= 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟓𝒙 − 𝟑 = 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 − 𝟑 𝑹𝒕𝒂 = 𝟕𝟎𝒙𝟐 + 𝟗𝟏𝒙 − 𝟐𝟏 Ejemplo 2 Realizar (𝟒𝒙 − 𝟗)(𝟑𝒙 + 𝟓)(𝟕𝒙 − 𝟐) (𝟑𝒙 + 𝟓)(𝟕𝒙 − 𝟐) (𝟒𝒙 − 𝟗)(𝟑𝒙 + 𝟓)(𝟕𝒙 − 𝟐) = (𝟒𝒙 − 𝟗)(𝟐𝟏𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 − 𝟏𝟎) {= 𝟐𝟏𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟑𝟓𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟖𝟒𝒙𝟑 + 𝟕𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝟎𝒙 − 𝟏𝟖𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝟏𝒙 + 𝟗𝟎 = 𝟐𝟏𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟖𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟏𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝟏𝟏𝒙 + 𝟗𝟎
32.8.8. Operaciones Combinadas (Multiplicación, Sumas y Restas)
Para realizar Operaciones combinadas debemos tener en cuenta los signos de agrupación y las operaciones propuestas.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 41 de 127
Ejemplo 1 Resolver 𝟕𝒙 − (𝟓𝒙 − 𝟗) 𝟕𝒙 − (𝟓𝒙 − 𝟗) = 𝟕𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝟗 = 𝟐𝒙 + 𝟗
𝑺𝒖𝒑𝒓𝒊𝒎𝒊𝒓 𝑷𝒂𝒓é𝒏𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 𝑹𝒆𝒅𝒖𝒄𝒊𝒓 𝑻é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝑺𝒆𝒎𝒆𝒋𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 /𝑹𝒕𝒂
Ejemplo 2 Resolver 𝟕𝒙 − 𝟒(𝟓𝒙 − 𝟗) 𝟕𝒙 − 𝟒(𝟓𝒙 − 𝟗) 𝑬𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 = 𝟕𝒙 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝟑𝟔 𝑹𝒆𝒅𝒖𝒄𝒊𝒓 𝑻é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝑺𝒆𝒎𝒆𝒋𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 = −𝟏𝟑𝒙 + 𝟑𝟔 /𝑹𝒕𝒂 Ejemplo 3 Resolver 𝟐𝒙 − (𝟕𝒙 − 𝟒)(𝟓𝒙 − 𝟗) + 𝟏𝟓 2𝑥 − (7𝑥 − 4)(5𝑥 − 9) + 15 𝑬𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐 (𝟑𝟓𝒙 = 𝟐𝒙 − − 𝟔𝟑𝒙 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝟑𝟔) + 𝟏𝟓 𝑹𝒆𝒅𝒖𝒄𝒊𝒓 𝑻é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝑺𝒆𝒎𝒆𝒋𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 = 𝟐𝒙 − (𝟑𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝟑𝒙 + 𝟑𝟔) + 𝟏𝟓 𝑺𝒖𝒑𝒓𝒊𝒎𝒊𝒓 𝑷𝒂𝒓é𝒏𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 = 2𝑥 − 𝟑𝟓𝒙𝟐 + 𝟖𝟑𝒙 − 𝟑𝟔 + 15 𝑹𝒆𝒅𝒖𝒄𝒊𝒓 𝑻é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝑺𝒆𝒎𝒆𝒋𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 = −𝟑𝟓𝒙𝟐 + 𝟖𝟓𝒙 − 𝟐𝟏 /𝑹𝒕𝒂
Ejemplo 4 Resolver 𝟐𝒙(𝟕𝒙 − 𝟒)(𝟓𝒙 − 𝟗) + 𝟏𝟓 2𝑥(7𝑥 − 4)(5𝑥 − 9) + 15 𝑬𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 = 𝟐𝒙(𝟑𝟓𝒙𝟐 − 𝟔𝟑𝒙 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝟑𝟔) + 𝟏𝟓 𝑹𝒆𝒅𝒖𝒄𝒊𝒓 𝑻é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝑺𝒆𝒎𝒆𝒋𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 = 𝟐𝒙(𝟑𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝟑𝒙 + 𝟑𝟔) + 𝟏𝟓 𝑺𝒖𝒑𝒓𝒊𝒎𝒊𝒓 𝑷𝒂𝒓é𝒏𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 = 𝟕𝟎𝒙𝟑 − 𝟏𝟔𝟔𝒙 + 𝟕𝟐𝒙 + 𝟏𝟓
Ejercicios Propuestos 5 Resolver los siguientes ejercicios: 1. (𝟕𝟗𝒙𝟐 𝒚)(−𝟖𝟔𝒙) 2. (𝟕𝒙)(𝟗𝟖𝒙𝟐 − 𝟓𝟒𝒙 + 𝟏𝟐) 3. (𝟖𝒙 − 𝟒)(𝟑𝒙 + 𝟓) 4. (𝟗𝒙 + 𝟓)(𝟔𝒙 − 𝟏) 5. 𝟒𝒙(𝟔𝒙 + 𝟓) − (𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟕) + 𝟑(𝟐𝒙 − 𝟗)(𝟓 − 𝟒𝒙)
/𝑹𝒕𝒂
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
32.9.
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 42 de 127
Lección 5: PRODUCTOS NOTABLES
PRODUCTOS NOTABLES: Son Multiplicaciones que cumplen con ciertas reglas fijas y se puede encontrar sus productos en forma directa utilizando algunas fórmulas (su equivalente en la aritmética son las tablas de multiplicar). 32.9.1. Suma o Diferencia de Dos Cantidades al Cuadrado (Binomio al Cuadrado)
Cuando tenemos un Binomio, suma o resta, que estás elevado a la potencia dos (2) aplicamos los siguientes pasos: 1. Elevamos la primera cantidad (P) al cuadrado. Esto es la misma cantidad multiplicada dos veces. 2. Hallamos el producto de la primera cantidad (P) por la segunda (S), ese resultado lo duplicamos (multiplicamos por 2) y colocamos el signo resultante. Esto es el duplo del primero por el segundo término (producto continuado 2PS). 3. Elevamos la Segunda cantidad (S) al cuadrado. 𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂
(𝑷 + 𝑺)𝟐 = 𝑷𝟐 + 𝟐𝒑𝒔 + 𝑺𝟐 (𝑷 ± 𝑺)𝟐 = 𝑷𝟐 ± 𝟐𝒑𝒔 + 𝑺𝟐 , esto significa que: { (𝑷 − 𝑺)𝟐 = 𝑷𝟐 − 𝟐𝒑𝒔 + 𝑺𝟐 Ejemplo 1 (𝟓𝒙)𝟐 = (𝟓𝒙)(𝟓𝒙) = 𝟐𝟓𝒙𝟐 (𝟓𝒙 − 𝟑) = 𝟐𝟓𝒙 − 𝟑𝟎𝒙 + 𝟗 {𝟐(𝟓𝒙)(𝟑) = 𝟐(𝟏𝟓𝒙) = 𝟑𝟎𝒙 (𝟑)𝟐 = (𝟑)(𝟑) = 𝟗 𝟐
𝟐
Ejemplo 2 (𝟒𝒙)𝟐 = (𝟒𝒙)(𝟒𝒙) = 𝟏𝟔𝒙𝟐 (𝟒𝒙 + 𝟗) = 𝟏𝟔𝒙 + 𝟕𝟐𝒙 + 𝟖𝟏 {𝟐(𝟒𝒙)(𝟗) = 𝟐(𝟑𝟔𝒙) = 𝟕𝟐𝒙 (𝟗)𝟐 = (𝟗)(𝟗) = 𝟖𝟏 𝟐
𝟐
Ejemplo 3 (𝟔𝒙)𝟐 = (𝟔𝒙)(𝟔𝒙) = 𝟑𝟔𝒙𝟐 (𝟔𝒙 − 𝟕𝒚) = 𝟑𝟔𝒙 − 𝟖𝟒𝒙𝒚 + 𝟒𝟗𝒚 {𝟐(𝟔𝒙)(𝟕𝒚) = 𝟐(𝟒𝟐𝒙𝒚) = 𝟕𝟐𝒙𝒚 (𝟕𝒚)𝟐 = (𝟕𝒚)(𝟕𝒚) = 𝟒𝟗𝒚𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
32.9.2. Producto de la Suma por la Diferencia de Dos Cantidades
En este caso aplicamos los siguientes pasos:
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 43 de 127
1. Elevamos la primera cantidad (P) al cuadrado. Esto es la misma cantidad multiplicada dos veces. 2. Elevamos la Segunda cantidad (S) al cuadrado. 3. El signo menos se coloca a la cantidad que cambia de signo. 𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 (𝑷 + 𝑺)(𝑷 − 𝑺) = 𝑷𝟐 − 𝑺𝟐 Ejemplo (𝟖𝒙 + 𝟕)(𝟖𝒙 − 𝟕) = 𝟔𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝟗 {
(𝟖𝒙)𝟐 = (𝟖𝒙)(𝟖𝒙) = 𝟔𝟒𝒙𝟐 (𝟕)𝟐 = (𝟕)(𝟕) = 𝟒𝟗
32.9.3. Producto de Dos Binomios
En este caso aplicamos los siguientes pasos: 1. Multiplicamos los primeros términos de cada binomio. 2. Multiplicamos los extremos (primer término del binomio 1 con el segundo término del binomio 2) y los medios (Segundo término del binomio 1 con el primer término del binomio 2) y realizamos la suma o diferencia, según sea el caso. 3. Multiplicamos los últimos términos de cada Binomio. 𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 (𝒂𝒙 + 𝒃)(𝒄𝒙 − 𝒅) = 𝒂𝒄𝒙𝟐 + (𝒂𝒅 + 𝒃𝒄)𝒙 − 𝒅𝒃 Ejemplo 1 (𝒙)(𝒙) = 𝒙𝟐 (𝒙 + 𝟏𝟑)(𝒙 − 𝟕) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟗𝟏 {𝒙(−𝟕) + 𝟏𝟑(𝒙) = −𝟕𝒙 + 𝟏𝟑𝒙 = 𝟒𝒙 (𝟏𝟑)(−𝟕) = −𝟗𝟏 Ejemplo 2 (𝟕𝒙)(𝟒𝒙) = 𝟐𝟖𝒙𝟐 (𝟕𝒙 + 𝟐)(𝟒𝒙 − 𝟗) = 𝟐𝟖𝒙 − 𝟓𝟓𝒙 − 𝟏𝟖 {𝟕𝒙(−𝟗) + 𝟐(𝟒𝒙) = −𝟔𝟑𝒙 + 𝟖𝒙 = 𝟓𝟓𝒙 (𝟐)(−𝟗) = −𝟏𝟖 𝟐
Ejemplo 3 (Aplicación con combinación de Operaciones) (𝟑𝒙 + 𝟒)(𝟑𝒙 − 𝟒) − (𝒙 − 𝟔)𝟐 + (𝟑𝒙 − 𝟐)(𝟒𝒙 − 𝟏) = 𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 − (𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟔) + 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟐 = 𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟑𝟔 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟐 = 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟓𝟎
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 44 de 127
Ejemplo 4 (Aplicación con combinación de Operaciones) 𝟐(𝟑𝒙 − 𝟏) − 𝟑(𝟐𝒙 + 𝟕)(𝟐𝒙 − 𝟕) − (𝟖𝒙 − 𝟒) − (𝒙 − 𝟔)𝟐 = 𝟔𝒙 − 𝟐 − 𝟑(𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝟗) − 𝟖𝒙 + 𝟒 − (𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟔) = 𝟔𝒙 − 𝟐 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝟕 − 𝟖𝒙 + 𝟒 − 𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟑𝟔 = −𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟏𝟑 Ejercicios Propuestos 6 Resolver los siguientes ejercicios: 1. (𝟕𝟗𝒙𝟐 𝒚)(−𝟖𝟔𝒙) 2. (𝟕𝒙)(𝟗𝟖𝒙𝟐 − 𝟓𝟒𝒙 + 𝟏𝟐) 3. (𝟖𝒙 − 𝟒)(𝟑𝒙 + 𝟓) 4. (𝟗𝒙 + 𝟓)(𝟔𝒙 − 𝟏) 5. 𝟒𝒙(𝟔𝒙 + 𝟓) − (𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟕) + 𝟑(𝟐𝒙 − 𝟗)(𝟓 − 𝟒𝒙)
32.10. Lección 6: DIVISIÓN
DIVISIÓN: Es una operación algebraica donde se da el producto de dos factores (Dividendo) y uno de esos factores (divisor) y en la cual se debe encontrar el otro factor (cociente). 32.10.1.
Ley de Signos
La ley de signos para la división es similar a la Multiplicación. La división de signos iguales, su cociente es positivo (+), Signos diferentes su división es negativo (-). Ejemplos (+) =+ (+) (−) =+ (−)
32.10.2.
(+) =− (−) (−) =− (+)
Ley de Exponentes
Para dividir dos cantidades con bases iguales se coloca la misma base y su nuevo exponente será la resta de los exponentes que tenían las bases anteriores (base del dividendo menos base del divisor). Así, haga
𝒙𝒂 𝒙𝒃
=
𝟏 𝒙𝒃−𝒂
.
𝒙𝒂 𝒙𝒃
= 𝒙𝒂−𝒃 .Es usual que si 𝒂 < 𝑏, entonces se
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 45 de 127
Ejemplo 1 𝒙𝟓 𝒙𝟐
= 𝒙𝟓+𝟐 = 𝒙𝟑
Ejemplo 2 𝒙𝟐 𝒙𝟕
= 𝒙𝟐−𝟕 = 𝒙−𝟓 =
32.10.3.
𝟏 𝒙𝟓
División de Monomios
Para dividir monomios simplemente lo hacemos por partes. Primero dividimos los coeficientes teniendo en cuenta la ley de signos y posteriormente dividimos la parte literal teniendo en cuenta la ley de exponentes. Ejemplo Dividir −𝟐𝟎𝒙𝟓 entre −𝟒𝒙𝟒 𝑳𝒆𝒚 𝒅𝒆 𝑺𝒊𝒈𝒏𝒐𝒔
(−) (−)
=+ −𝟐𝟎𝒙𝟓
𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊ó𝒏 𝒏𝒖𝒎é𝒓𝒊𝒄𝒂 (𝟐𝟎)(𝟒) = 𝟓 𝑳𝒆𝒚 𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 32.10.4.
𝒙𝟓 𝒙𝟒
𝟓−𝟒
=𝒙
=𝒙
−𝟒𝒙𝟒
= 𝟓𝒙
}
División de Polinomio entre un Monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio simplemente dividimos cada término del polinomio entre el monomio. Ejemplo Dividir −𝟑𝟓𝒙𝟕 + 𝟒𝟗𝒙𝟓 entre −𝟕𝒙𝟑 (−)
𝑳𝒆𝒚 𝒅𝒆 𝑺𝒊𝒈𝒏𝒐𝒔 Primer término
−35𝑥 7 −7𝑥 3
= 𝟓𝒙𝟒
(−)
𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊ó𝒏 𝒏𝒖𝒎é𝒓𝒊𝒄𝒂 {𝑳𝒆𝒚 𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
𝒙𝟕 𝒙𝟑
Segundo término
−7𝑥 3
= 𝟕𝒙𝟐
𝟑𝟓
(+) (−)
𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊ó𝒏 𝒏𝒖𝒎é𝒓𝒊𝒄𝒂 {𝑳𝒆𝒚 𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
𝟕
=𝟓
= 𝒙𝟕−𝟑 = 𝒙𝟒
𝑳𝒆𝒚 𝒅𝒆 𝑺𝒊𝒈𝒏𝒐𝒔 49𝑥 5
=+
𝒙𝟓 𝒙𝟑
=− 𝟒𝟗 𝟕
=𝟕
= 𝒙𝟓−𝟑 = 𝒙𝟐
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 46 de 127
−35𝑥 7 + 49𝑥 5 = 𝟓𝒙𝟒 − 𝟕𝒙𝟐 /𝑹𝒕𝒂 −7𝑥 3 32.10.5.
División de Polinomios
Para dividir polinomios debemos seguir la siguiente serie de pasos: 1. Deben Ordenarse los polinomios (ambos de la misma forma). Cuando se ordene si hay algún grado que haga falta, es recomendable colocar el grado con un cero como coeficiente. 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. 3. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor. Al anterior resultado se les cambia el signo y se coloca debajo del dividendo (esto para indicar que resta al dividendo). 4. Se efectúa la operación (suma o resta, según sea el caso) y se coloca abajo como nuevo dividendo. 5. Ahora debemos repetir sucesivamente del paso 2 al 4 hasta que el grado del dividendo sea menor que el grado del divisor (cuando esto ocurre se tomara como residuo). Nota: Cuando al final de la división nos queda un residuo, expresamos el cociente de la siguiente forma: Cociente = Cociente Entero +
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟
(Cociente Racional)
Ejemplo
Cociente Entero𝒙 − 𝟑 𝒚 𝑒𝑙 𝑪𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑹𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝑒𝑠 Y se expresa:
𝒙𝟑 −𝟐𝒙𝟐 +𝟓𝒙−𝟒 𝒙𝟐 +𝒙−𝟑
=𝒙−𝟑+
𝟏𝟏𝒙+𝟓 𝒙𝟐 +𝒙−𝟑
𝟏𝟏𝒙+𝟓 𝒙𝟐 +𝒙−𝟑
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Ejemplo Dividir 𝒙𝟓 − 𝟖𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝟐 entre 𝒙 − 𝟐
Ejercicios Propuestos 7 1. Dividir 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝟑𝒙 + 𝟕𝟐entre𝒙 − 𝟗 2. Dividir 𝟓𝒙𝟒 + 𝟑𝟓𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟑𝒙 − 𝟑𝟓entre𝒙 + 𝟕 3. Dividir 𝒙𝟔 − 𝟐𝟓𝒙𝟒 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝟎𝟎entre𝒙 − 𝟓 4. Dividir −𝟕𝒙𝟑 + 𝟓𝟏𝒙𝟐 − 𝟔𝟏𝒙 + 𝟒𝟐entre𝟔 − 𝒙 5. Dividir 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝟗𝒙 + 𝟐𝟏entre𝒙 − 𝟒
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 47 de 127
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
UNIDAD III: ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 48 de 127
TABLA DE CONTENIDO Pág.
3.
UNIDAD 3: ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 49 3.1. OBJETIVOS ............................................................................................................50 3.2. COMPETENCIAS .....................................................................................................50 3.3. ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS O ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ...............................50 3.4. RECURSOS DE APRENDIZAJE ..................................................................................50 3.5. LECCIÓN 1: ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ........................................................................................................................50 3.5.1. Clases de Ecuaciones...................................................................................52 3.5.2. Axioma Fundamental de las Ecuaciones ......................................................53 3.5.3. Cambios de Signos .......................................................................................54 3.5.4. Resolución de Ecuaciones Enteras de Primer Grado con una Incógnita .....54
Unidad 3: ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
32.11.
Objetivos Conocer los conceptos básicos que se aplican en ecuaciones de primer grado. Identificar las diferentes clases de ecuaciones que existen. Aplicar los axiomas fundamentales para resolver ecuaciones de primer grado. Verificar la solución de una ecuación de primer grado.
32.12.
Competencias Corrobora
si una ecuación está correctamente realizada.
Aplica las operaciones algebraicas para resolver ecuaciones de primer grado. Encuentra la solución para las ecuaciones de primer grado.
32.13.
Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lectura, comprensión, análisis y apropiación del material expuesto. Foro de apoyo para dudas y preguntas a través de la plataforma virtual SPLAVIA. Tutoría presencial opcional de material de estudio. Realización de Ejercicios propuestos y seleccionados.
32.14.
Recursos de aprendizaje Módulo de Algebra de la Institución. Programa de Word y manejo de herramienta de editor de ecuaciones. Sitios de internet.
32.15.
Lección 1: ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INÓGNITA2
Igualdad: Es cuando dos cantidades o expresiones algebraicas adquieren el mismo valor numérico. Se representa colocando el signo “=”, que se lee igual, entre las dos cantidades o expresiones algebraicas.
2
Baldor, Aurelio. Algebra, México, Grupo Editorial Patria, Pág. # 122 – 126.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 51 de 127
Ejemplo 𝒂+𝒃=𝒄+𝒅 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 = 𝟑 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟒 Ecuación: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinar valores de las incógnitas. La incógnita se representa por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Así, 𝟕𝒙 − 𝟓 = 𝟐𝟑 es una ecuación, porque es una igualdad en la en la que hay una incógnita, la 𝒙, y esta igualdad solo se verifica, o sea que solo es verdadera, para el valor 𝒙 = 𝟒. En efecto, si sustituimos la 𝒙 por 4, tenemos: 𝟕(𝟒) − 𝟓 = 𝟐𝟑, o sea: 𝟐𝟑 = 𝟐𝟑 Si damos a 𝒙 un valor distinto de 4, la siguiente no se verifica o no es verdadera. La igualdad 𝒙𝟐 = 𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 es una ecuación porque es una igualdad que solo se verifica para 𝒙 = 𝟐 e 𝒙 = 𝟓. En efecto, sustituyendo la𝒙 por 2, tenemos: 𝟐𝟐 = 𝟕(𝟐) − 𝟏𝟎 𝟒 = 𝟏𝟒 − 𝟏𝟎 𝟒=𝟒 𝟐𝟐 = 𝟕(𝟐) − 𝟏𝟎 Si hacemos 𝒙 = 𝟓, tenemos: 𝟒 = 𝟏𝟒 − 𝟏𝟎 𝟒=𝟒 Si damos a 𝒙 un valor distinto a 2 o 5, la igualdad no se verifica. Identidad es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras que entran en ella. (𝒑 − 𝒔)𝟐 = (𝒑 − 𝒔)(𝒑 − 𝒔) son identidades porque se verifican para cualesquiera valores 𝒙𝟐 − 𝒓𝟐 = (𝒙 + 𝒓)(𝒙 − 𝒓) de las letras 𝒑 y𝒔en el primer ejemplo y de las letras 𝒙 y 𝒓 del segundo ejemplo. El signo de identidad es ≡, que se lee ¨idéntico a¨. Así, la identidad de (𝑥 + 𝑦)2 con 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 se escribe (𝒙 + 𝒚)𝟐 ≡ 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 y se lee(𝒙 + 𝒚)𝟐 Idéntico a 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 . Así,
Miembros: Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda del signo igual o identidad, y segundo miembro, a la expresión que esta ala derecha. Así, en la ecuación𝟖𝒙 − 𝟐 = 𝟒𝒙 − 𝟏 el primer miembro es 𝟖𝒙 − 𝟐 y el segundo miembro𝟒𝒙 − 𝟏. Términos: Son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + o −, o la cantidad que está sola en un miembro, Así, en la ecuación 𝟖𝒙 − 𝟐 = 𝟒𝒙 − 𝟏 los términos son 𝟖𝒙, −𝟐, 𝟒𝒙 y−𝟏.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 52 de 127
No deben confundirse los miembros de una ecuación con los términos de la misma, error muy frecuente en los alumnos. Miembro y término son equivalentes solo cuando en un miembro de una ecuación hay una sola cantidad. Así, en la ecuación
𝟓𝒙 = 𝟒𝒙 + 𝟕
Tenemos que 𝟓𝒙 es el primer miembro de la ecuación y también es un término de la ecuación. 32.15.1.
Clases de Ecuaciones
Una ecuación numérica es una ecuación que no tiene más letras que las incógnitas, como𝟗𝒙 − 𝟑 = 𝟐𝒙 + 𝟖, donde la única incógnita es 𝒙. Una ecuación literal es una ecuación que además de las incógnitas tiene otras letras, que representan cantidades conocidas, como𝟓𝒙 − 𝒂 = 𝟑𝒃 + 𝒂𝒙 Una ecuación es entera cuando ninguno de los términos tiene denominador como en los ejemplos anteriores, y es fraccionaria cuando algunos o todos los términos tienen 𝟑𝒙
denominador, como
𝟐
+
𝟔𝒙 𝟓
𝒙
=𝟓+ . 𝟓
Grado de una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación. Así, 𝟓𝒙 − 𝟕 = 𝟖𝒙 + 𝟑 y 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃 Son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de 𝒙 es 1.
La ecuación 𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 es una ecuación de segundo grado porque el mayor exponente de 𝒙 es 2. Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones simples o lineales. Raíces Soluciones de una ecuación son valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustituidos en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en identidad. Así, en la ecuación𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟔𝒙 + 𝟏𝟔, la raíz es 7 porque 𝒙 = 𝟕 se tiene𝟏𝟎(𝟕) − 𝟏𝟐𝟔 = 𝟔(𝟕) + 𝟏𝟔, o sea 𝟓𝟖 = 𝟓𝟖, donde vemos que 7 satisface la ecuación. Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola raíz.
Resolver la Ecuación es hallar sus raíces, o sea el valor o los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
32.15.2.
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 53 de 127
Axioma Fundamental de las Ecuaciones
Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales.
iguales los resultados serán
REGLAS QUE SE DERIVAN DE ESTE AXIOMA 1) Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad se mantiene. 2) Si a los dos miembros de la ecuación se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad se mantiene. 3) Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad se mantiene. 4) Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad se mantiene. 5) Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae una misma raíz, la igualdad se mantiene.
La Transposición de Términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro. Reglas Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiando el signo. En efecto: 1) Sea la ecuación 𝟓𝒙 = 𝟐𝒂 − 𝒃. Sumando 𝑏 a los dos miembros de la ecuación, la igualdad subsiste (regla 1), y tendremos: 𝟓𝒙 + 𝒃 = 𝟐𝒂 − 𝒃 + 𝒃 Y como −𝒃 + 𝒃 = 𝟎, queda𝟓𝒙 + 𝒃 = 𝟐𝒂 Donde vemos que – 𝒃, que estaba en el segundo miembro de la ecuación dada, ha pasado al primer miembro con signo +. 2) Sea la ecuación 𝟑𝒙 + 𝒃 = 𝟐𝒂. Restando 𝑏 a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste (regla 2), y tendremos: 𝟑𝒙 + 𝒃 − 𝒃 = 𝟐𝒂 − 𝒃 Y como 𝒃 − 𝒃 = 𝟎, queda𝟑𝒙 = 𝟐𝒂𝒃 Donde vemos que +𝑏, que estaba en el primer miembro de la ecuación dada, a pasado al segundo miembro con signo −.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 54 de 127
Términos iguales con signos iguales en diferente miembro de la ecuación, pueden suprimirse. Así, en la ecuación𝒙 + 𝒃 = 𝟐𝒂 + 𝒃 Tenemos el término𝒃 con el signo + en los dos miembros. Este término puede suprimirse, quedando 𝒙 = 𝟐𝒂 Porque equivale a restar 𝒃 a los dos miembros. En la ecuación 𝟓𝒙 − 𝒙𝟐 = 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 − 𝟓 Tenemos el término 𝒙𝟐 con signo −𝒙𝟐 en los dos miembros. Podemos suprimirlo, y queda 𝟓𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟓. Porque equivale a sumar 𝑥 2 a los dos miembros.
32.15.3.
Cambios de Signos
Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varíe, por que equivale a multiplicar los dos miembros de la ecuación por – 1, con lo cual la igualdad no varía. (Regla 3). Así, si en la ecuación −𝟐𝒙 − 𝟑 = −𝒙 + 𝟏𝟓, Que es la ecuación dada con los signos de todos sus términos cambiados. 32.15.4.
Resolución de Ecuaciones Enteras de Primer Grado con una Incógnita
REGLA GENERAL 1) Se realizan todas las operaciones indicadas en cada miembro, si las hay. 2) Se hace la transposición de términos, reduciendo en un miembro todos los términos que contenga la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas. 3) Se reducen términos semejantes en cada miembro. 4) Se despeja la incógnita dividiendo ambos términos de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (incluyendo su signo). Ejemplo 1 Resolver la ecuación 𝟑𝒙 − 𝟓 = 𝒙 + 𝟑. Pasando 𝒙 al primer miembro y−𝟓 al segundo, cambiándole los signos, tenemos 𝟑𝒙 − 𝒙 = 𝟑 + 𝟓.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 55 de 127
Reduciendo términos semejantes: 𝟐𝒙 = 𝟖 Despejando 𝑥 para lo cual dividimos los dos miembros de la ecuación por 2, tenemos: 𝟐𝒙 𝟐
𝟖
= y simplificando 𝒙 = 𝟒 𝟐
VERIFICACIÓN La verificación es la prueba de que el valor obtenido para la incógnita es el correcto. La verificación se realiza sustituyendo en los dos miembros de la ecuación dada la incógnita por el valor obtenido, y si este es correcto, la ecuación dada se convertiría en identidad. Ejercicios Propuestos 8 Resolver las siguientes Ecuaciones: 1. 𝟐𝟑𝒙 = 𝟏𝟓𝒙 − 𝟑𝟐 2. 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟕 3. 𝟏𝟓𝒙 − 𝟖 = 𝟕𝒙 + 𝟏𝟔 4. 𝟕𝒙 + 𝟒 − 𝟏𝟎𝒙 = 𝟗 + 𝟔𝒙 + 𝟏𝟑 5. 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐 − 𝟖 = 𝟕𝒙 − 𝒙𝟐 − 𝟐
Ejemplo (Ecuaciones con signos de agrupación) 1) Resolver𝟑𝒙 − (𝟐𝒙 − 𝟏) = 𝟕𝒙 − (𝟑𝒙 − 𝟓) + (−𝒙 + 𝟐𝟒) Suprimiendo los signos de agrupación: 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟕𝒙 − 𝟑 + 𝟓𝒙 − 𝒙 + 𝟐𝟒 Transponiendo:𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟕𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝒙 = −𝟑 + 𝟐𝟒 − 𝟏 Reduciendo:−𝟏𝟎𝒙 = 𝟐𝟎 𝒙=−
𝟐𝟎 𝟏𝟎
= −𝟐 /Rta.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Ejercicios Propuestos 9 Resolver las siguientes Ecuaciones: 1. 𝒙 − (𝟑𝒙 + 𝟏𝟑) = 𝟕 − (𝟒𝒙 + 𝟐) 2. 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐𝟏 = 𝟔𝒙 − (𝟑𝒙 + 𝟒) + (−𝟐𝒙 + 𝟓) 3. (𝟕 − 𝟐𝒙) − (−𝟑𝒙 + 𝟗) = (𝟕𝒙 + 𝟏𝟎) − (𝟐𝒙 − 𝟑) 4. 𝟐𝟓𝒙— (−𝟒𝒙 + 𝟔) + (−𝟑𝒙 + 𝟒) = −(𝟕𝒙 + 𝟔) + (−𝟖 + 𝟓𝒙) Ejemplo (Ecuaciones con productos indicados) 1) Resolver(𝟑𝒙 − 𝟏)𝟐 − 𝟑(𝟐𝒙 + 𝟑)𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟐𝒙(−𝒙 − 𝟓) − (𝒙 − 𝟏)𝟐 Resolviendo los binomios al cuadrado: 𝟗𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏 − 𝟑(𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗) + 𝟒𝟐 = 𝟐𝒙(−𝒙 − 𝟓) − (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏) Resolviendo los productos y suprimiendo los paréntesis: 𝟗𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝟔𝒙 − 𝟐𝟕 + 𝟒𝟐 = −𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 Reduciendo términos semejantes: −𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝟐𝒙 + 𝟏𝟔 = −𝟑𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟏 𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠𝑦𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: −𝟒𝟐𝒙 + 𝟖𝒙 = −𝟏 − 𝟏𝟔 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 − 𝟑𝟒𝒙 = −𝟏𝟕 −𝟏𝟕 −𝟑𝟒 𝟏 𝒙= 𝟐
𝒙=
Ejercicios Propuestos 10 1.
Resolver las siguientes Ecuaciones: 𝒙 + 𝟑(𝒙 − 𝟏) = 𝟔 − 𝟒(𝟐𝒙 + 𝟑)
2.
𝟐(𝟑𝒙 + 𝟑) − 𝟒(𝟓𝒙 − 𝟑) = 𝒙(𝒙 − 𝟑) − 𝒙(𝒙 + 𝟓)
3.
𝟕(𝟏𝟖 − 𝒙) − 𝟔(𝟑 − 𝟓𝒙) = −(𝟕𝒙 + 𝟗) − 𝟑(𝟐𝒙 + 𝟓) − 𝟏𝟐
4.
(𝟑𝒙 − 𝟒)(𝟒𝒙 − 𝟑) = (𝟔𝒙 − 𝟒)(𝟐𝒙 − 𝟓)
5.
(𝒙 + 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟓) = (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟒) + 𝟓
6.
(𝒙 − 𝟐)𝟐 − (𝟑 − 𝒙)𝟐 = 𝟏
7.
𝟐(𝒙 − 𝟑)𝟐 − 𝟑(𝒙 + 𝟏)𝟐 + (𝒙 − 𝟓)(𝒙 − 𝟑) + 𝟒(𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟏) = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐
8.
𝟓(𝒙 − 𝟐)𝟐 − 𝟓(𝒙 + 𝟑)𝟐 + (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟓𝒙 + 𝟐) − 𝟏𝟎𝒙𝟐 = 𝟎
9.
𝟑(𝟓𝒙 − 𝟔)(𝟑𝒙 + 𝟐) − 𝟔(𝟑𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟏) − 𝟑(𝟗𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎
10. 𝟕(𝒙 − 𝟒)𝟐 − 𝟑(𝒙 + 𝟓)𝟐 = 𝟒(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) − 𝟐
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 56 de 127
U N I D A D I V: E C U A C I O N E S S I M U LTA N E A S DE PRIMER GRADO
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 58 de 127
TABLA DE CONTENIDO Pág.
4. UNIDAD 4: ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO ...........................59 4.1. OBJETIVOS ............................................................................................................59 4.2. COMPETENCIAS .....................................................................................................59 4.3. ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS O ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ...............................59 4.4. RECURSOS DE APRENDIZAJE ..................................................................................59 4.5. LECCIÓN 1: ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS .....................................................................................................................59 4.5.1. Sistemas de dos Ecuaciones Simultáneas de Primer Grado con dos Incógnitas 61 4.5.3. DETERMINANTE ..........................................................................................64 4.5.4. Desarrollo de una determinante de segundo orden ......................................65 4.5.5. RESOLUCIÓN DE DETERMINANTES DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS ...........................................................................65 4.6. LECCIÓN 2: ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON TRES INCÓGNITAS .....................................................................................................................67 4.6.1. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS .....................................................................................................................67 4.6.2. DETERMINANTE DE TERCER ORDEN ......................................................68 4.6.3. HALLAR EL VALOR DE UNA DETERMINANTE DE TERCER ORDEN ......69 4.6.4. RESOLUCION POR DETERMINANTES DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS .........................................................................70
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 59 de 127
1. Unidad 4: ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO
1.1. Objetivos Identificar ecuaciones simultaneas de grado uno. Solucionar Ecuaciones Simultáneas de primer grado de 2x2 y 3x3. Escoger el método indicado para realizar un Sistema de ecuaciones lineales. Verificar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.
1.2. Competencias Encuentra
la solución de las Ecuaciones simultáneas de primer grado.
Formula los ejercicios de las Ecuaciones simultáneas de primer grado. Expresa correctamente el lenguaje de las matemáticas. Presenta diferentes alternativas de solución de las ecuaciones simultáneas.
1.3. Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lectura, comprensión, análisis y apropiación del material expuesto. Foro de apoyo para dudas y preguntas a través de la plataforma virtual SPLAVIA. Tutoría presencial opcional de material de estudio. Realización de Ejercicios propuestos y seleccionados.
1.4. Recursos de aprendizaje Módulo de Algebra de la Institución. Programa de Word y manejo de herramienta de editor de ecuaciones. Sitios de internet.
1.5. Lección 1: ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS3 Ecuaciones Simultáneas: Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen o verifican para iguales valores de las incógnitas.
3
Ibídem pág. 319 - 337
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Así, las ecuaciones
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 60 de 127
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟒 𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟐
Son simultáneas porque 𝒙 = 𝟖, 𝒚 = 𝟑 satisfacen ambas ecuaciones. Ecuaciones Equivalentes: son las que se obtienen una de la otra. Así,
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟓 𝟖𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 = 𝟐𝟎
Son equivalentes porque dividiendo por 4 la segunda ecuación se obtiene la primera. Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Ecuaciones independientes son aquellas que no se obtienen una de la otra. Cuando las ecuaciones independientes tienen una sola solución común, son simultáneas.
Así, las ecuaciones 𝒙 + 𝒚 = 𝟓 𝑦 𝒙 − 𝒚 = 𝟏 son independientes porque no se obtienen una de la otra y simultaneas porque el único par de valores que satisface ambas ecuaciones es 𝒙 = 𝟑, 𝒚 = 𝟐. Ecuaciones incompatibles son ecuaciones independientes que no tienen solución común. 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟎 Así, Las ecuaciones 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟓 Son incompatibles porque no hay ningún par de valores de x e y que verifique ambas ecuaciones. Sistemas de Ecuaciones: es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟑 Así. 𝟒𝒙 − 𝒚 = 𝟓 Es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Solución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema. La solución del sistema de anterior es 𝒙 = 𝟐, 𝒚 = 𝟑. Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solución y es imposible o incompatible cuando no tiene solución. Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 61 de 127
1.5.1.Sistemas de dos Ecuaciones Simultáneas de Primer Grado con dos Incógnitas Resolución Para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas una sola ecuación con una incógnita. Esta operación se llama Eliminación. 1.5.2.Métodos de eliminación más usuales Son tres: Método de igualación, de comparación y de reducción, también llamado este último de suma o resta. 1.5.2.1.
ELIMINACION POR IGUALACION EJEMPLO Resolver el sistema{
𝟕𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟒𝟏 (𝟏) 𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟓 (𝟐)
Despejemos una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x, en ambas ecuaciones. Despejando x en (1): 7𝑥 = 41 − 4𝑦 ∴ 𝒙 = Despejando x en (2): 5𝑥 = 5 + 2𝑦 ∴ 𝒙 =
𝟒𝟏−𝟒𝒚 𝟕
𝟓+𝟐𝒚 𝟓
Ahora se igualan entre si los dos valores de x que hemos obtenido: 41-4y 5+2y = 7 5 Y ya tenemos una sola ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x. Resolviendo esta ecuación: 𝟓(𝟒𝟏 − 𝟒𝒚) = 𝟕(𝟓 + 𝟐𝒚) 𝟐𝟎𝟓 − 𝟐𝟎𝒚 = 𝟑𝟓 + 𝟏𝟒𝒚 −𝟐𝟎𝒚 − 𝟏𝟒𝒚 = 𝟑𝟓 − 𝟐𝟎𝟓 −𝟑𝟒𝒚 = −𝟏𝟕𝟎 𝒚=𝟓 Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) (generalmente se sustituye en la más sencilla), se tiene:
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 62 de 127
𝟕𝒙 + 𝟒(𝟓) = 𝟒𝟏 𝟕𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟒𝟏 𝑹𝒕𝒂/ {𝒙 = 𝟑 𝒚=𝟓 𝟕𝒙 = 𝟐𝟏 𝒙=𝟑
VERIFICACION Sustituyendo x= 3, y = 5en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad. 1.5.2.2.
ELIMINACION POR SUSTITUCION
EJEMPLO Resolver el sistema
{
𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟏𝟗. (𝟏) 𝟖𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟕. (𝟐)
Despejemos una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x en una de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación (1). Tendremos: 2𝑥 = 19 − 5𝑦 ∴ 𝒙 =
𝟏𝟗 − 𝟓𝒚 𝟐
Este valor de x se sustituye en la ecuación (2). 𝟖(
𝟏𝟗 − 𝟓𝒚 ) − 𝟑𝒚 = 𝟕 𝟐
Ya tenemos una ecuacion con una incógnita; hemos eliminado la x. Resolvamos esta ecuación. Simplificando 8 y 2, queda: 𝟒(𝟏𝟗 − 𝟓𝒚) − 𝟑𝒚 = 𝟕 𝟕𝟔 − 𝟐𝟎𝒚 − 𝟑𝒚 = 𝟕 −𝟐𝟎𝒚 − 𝟑𝒚 = 𝟕 − 𝟕𝟔 −𝟐𝟑𝒚 = −𝟔𝟗 𝒚=𝟑
Sustituyendo 𝑦 = 35 en cualquiera de las ecuaciones dadas. Por ejemplo en (1) se tiene: 𝟐𝒙 + 𝟓(𝟑) = 𝟏𝟗 𝒙=𝟐 𝟐𝒙 = 𝟏𝟗 − 𝟏𝟓 𝑹𝒕𝒂/ {𝒚 = 𝟑 𝒙=𝟐
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 63 de 127
VERIFICACION Haciendo 𝑥 = 2, 𝑦 = 3 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en idéntidad. 1.5.2.3.
METODO DE REDUCCION
EJEMPLO
Resolver el sistema
{
𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟒𝟗 (𝟏) 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟖 (𝟐)
En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas. Vamos a igualar los coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo más sencillo. El m.c.m. de los coeficientes de y, 6 y 3, es 6. Multiplicamos la segunda ecuacion por 2 porque 2 x 3 = 6, y tendremos: 𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟒𝟗 𝟖𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟏𝟔 Como los coeficientes de y que hemos igualado tienen signos distintos, se suman estas ecuaciones porque con ello se elimina la y: 𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟒𝟗 𝟖𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟏𝟔 __________________ 𝟏𝟑𝒙 = 𝟔𝟓 𝟔𝟓 𝒙= 𝟏𝟑 𝒙=𝟓 Sustituyendo 𝑥 = 5 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene: 𝟓(𝟓) + 𝟔𝒚 = 𝟒𝟗 𝟐𝟓 + 𝟔𝒚 = 𝟒𝟗 𝒙=𝟓 𝟔𝒚 = 𝟐𝟒 𝑹𝒕𝒂/ { 𝒚 =𝟒 𝟐𝟒 𝒚= 𝟔 𝒚=𝟒 El metodo expuesto, que es el más expedito, se llama también de suma o resta porque según se ha visto en los ejemplos anteriores, si los coeficientes que se igualan tiene signos distintos se suman las dos ecuaciones y si tienen signos iguales, se restan. Es diferente igualar los coeficientes de x o de y. Generalmente se igualan aquellos en que la operación sea más sencilla.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 64 de 127
Ejercicios Propuestos 11 Resolver las siguientes Ecuaciones Simultaneas por los Métodos de Igualación, Sustitución y Reducción: 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 = −𝟒 1. { 𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟖 2.
{
𝟔𝒙 − 𝟕𝒚 = 𝟐 𝟖𝒙 − 𝟗𝒚 = 𝟒
3.
{
𝟒𝒙 + 𝒚 = −𝟑 𝟕𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟐𝟒
4.
{
𝟗𝒙 + 𝟒𝒚 = −𝟒𝟎 𝟕𝒙 − 𝟔𝒚 = −𝟐𝟐
5.
{
𝟏𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟗𝟒 𝟕𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 = 𝟏𝟗
1.5.3.DETERMINANTE Si el producto adrestamos el producto bc, tendremos la expresion ad –bc. Esta expresión puede escribirse con la siguiente notación: 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = La expresion |
𝒂 𝒃 | | 𝒄 𝒅
𝒂 𝒃 | es una determinante. 𝒄 𝒅
Las columnas de una determinante constituidas por las cantidades que estan en una 𝒂 𝒅 misma linea vertical. En el ejemplo anterior es la primera columna y la segunda 𝒄 𝒃 columna. Las filas estan constituidas por las cantidades que están en una misma linea horizontal. Ejemplo dado a b es la primera fila y c dla segunda fila. Una determinante es cuadrada cuando tiene el mismo número de columnas que de filas. 𝒂 𝒃 Así,| | es una determinante cuadrada porque tiene dos columnas y dos filas. 𝒄 𝒅
El orden de una determinante cuadrada es el número de elementos de cada fila o 𝟏 𝟐 𝒂 𝒃 colmuna Así, | |𝑦 | | son determinantes de segundo orden. 𝟑 𝟒 𝒄 𝒅
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
𝒂 𝒃 | | la 𝒄 𝒅 línea que une a a con b es la diagonal principal y la línea que une c con d es la diagonal secundaria(Ver Figura). En la determinante
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 65 de 127
Figura 3: Diagonales de un Determinante
Autoría Propia
Los elementos de esta determinante son los productos ady bc, cuya diferencia equivale a esta determinante.
1.5.4.Desarrollo de una determinante de segundo orden Una determinante de segundo orden equivale al producto de las cantidades que pertenecen a la diagonal principal, menos el producto de las cantidades que pertenecen a la diagonal secundaria. Ejemplos 1) 2) 3) 4) 5)
𝒂 𝒏 | = 𝒂𝒃 − 𝒎𝒏. 𝒎 𝒃 𝒂 −𝒏 | | = 𝒂𝒃 − 𝒎(−𝒏) = 𝒂𝒃 + 𝒎𝒏. 𝒎 𝒃 𝟑 𝟐 | | = 𝟑 × 𝟒 − 𝟓 × 𝟐 = 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎 = 𝟐. 𝟓 𝟒 𝟏 −𝟓 | | = 𝟑(−𝟐) − 𝟏(−𝟓) = − 𝟔 + 𝟓 = −𝟏. −𝟐 −𝟐 −𝟐 −𝟓 | | = (−𝟐)(−𝟗) − (−𝟓)(−𝟑) = 𝟏𝟖 − 𝟏𝟓 = 𝟑 −𝟑 −𝟗 |
1.5.5.RESOLUCIÓN DE DETERMINANTES DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Sea el sistema {
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒆 (𝟏) 𝒄𝒙 + 𝒅𝒚 = 𝒇 (𝟐)
Los valores de x e y, igualdades y, pueden encontrarse empleando las siguientes fórmulas (Regla de Cramer): 𝒆 𝒃 𝒂 𝒆 | | 𝒄 𝒇| 𝒇 𝒅 𝒙= 𝒆 𝒚= 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 | | | | 𝒄 𝒅 𝒄 𝒅 |
Visto lo anterior, podemos decir que para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por determinantes:
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 66 de 127
1) El valor de x es una fracción cuyo denominador es la determinante formada con los coeficientes de x e y (determinante del sistema) y cuyo numerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas. 2) El valor de y es una fracción cuyo denominador es la determinante del sistema y cuyo numerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de y por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.
Ejemplos
(1) Resolver por determinantes{
𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟒𝟗 (𝟏) 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟖 (𝟐)
𝟒𝟗 𝟔 | −𝟏𝟒𝟕 − 𝟒𝟖 −𝟏𝟗𝟓 𝒙 = 𝟖 −𝟑 = = = 𝟓. 𝟓 𝟔 −𝟏𝟓 − 𝟐𝟒 −𝟑𝟗 | | 𝟒 −𝟑 |
𝟓 𝟒𝟗 | 𝟒𝟎 − 𝟏𝟗𝟔 −𝟏𝟓𝟔 𝒚= 𝟒 𝟖 = = = 𝟒 𝟓 𝟔 −𝟏𝟓 − 𝟐𝟒 −𝟑𝟗 | | 𝟒 −𝟑 |
(2) Resolver por determinantes{
𝑹𝒕𝒂/ {
𝒙=𝟓 . 𝒚=𝟒
𝑹𝒕𝒂/ {
𝒙=𝟑 𝒚=𝟓
𝟕𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟒𝟏 (𝟏) 𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟓 (𝟐)
𝟒𝟏 𝟒 | −𝟖𝟐 − 𝟐𝟎 −𝟏𝟎𝟐 𝒙 = 𝟓 −𝟐 = = = 𝟑. 𝟕 𝟒 −𝟏𝟒 − 𝟐𝟎 −𝟑𝟒 | | 𝟓 −𝟐 |
𝟕 𝟒𝟏 | 𝟑𝟓 − 𝟐𝟎𝟓 −𝟏𝟕𝟎 𝒚= 𝟓 𝟓 = = = 𝟓 𝟕 𝟒 −𝟑𝟒 | | −𝟏𝟒 − 𝟐𝟎 𝟓 −𝟐 |
Ejercicios Propuestos 12
Resolver los ejercicios Propuestos 11 por Determinantes (Regla de Cramer).
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 67 de 127
1.6. Lección 2: ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON TRES INCÓGNITAS ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON TRES INCÓGNITAS4
1.6.1.RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se procede de este modo: 1. Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas (lo más sencillo es eliminarla por suma o resta) y con ello se obtiene una ecuación con dos incógnitas. 2. Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y se elimina entre ellas la misma incógnita que se eliminó antes, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas. 3. Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones con dos incógnitas que se han obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas. 4. Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres incógnitas, con lo cual se halla la tercera incógnita.
Ejemplos (1). Resolver el sistema 𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝒛 = 𝟔 (𝟏) {𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟕𝒛 = −𝟗 (𝟐) 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟐 (𝟑)
Combinamos las ecuaciones (1) y (2) y vamos a eliminar la x. Multiplicando la ecuación (1) por 2, se tiene: 𝟐𝒙 + 𝟖𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟏𝟐 −𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟕𝒛 = 𝟗 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒐: 𝟑𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟐𝟏(4)
Combinamos la tercera ecuación (3) con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas. Vamos a combinarla con (1) para eliminar la x. Multiplicando (1) por 3 tenemos:
4
Ibídem pág. 340 - 347
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
𝟑𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟏𝟖 −𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = −𝟐 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒐: 𝟏𝟒𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟏𝟔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝟐: 𝟕𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟖
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 68 de 127
(𝟓)
Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos incógnitas que hemos obtenido (4) y (5), y formamos un sistema: 𝟑𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟐𝟏(𝟒) 𝟕𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟖 (𝟓) Resolvamos este sistema. Vamos a eliminar la z multiplicando (4) por 2 y (5) por 5. 𝟔𝒚 + 𝟏𝟎𝒛 = 𝟒𝟐 𝟑𝟓𝒚 − 𝟏𝟎𝒛 = 𝟒𝟎 𝟒𝟏𝒚 = 𝟖𝟐 𝒚=𝟐 Sustituyendo 𝑦 = 2 en (5) se tiene: 𝟕(𝟐) − 𝟐𝒛 = 𝟖 𝟏𝟒 − 𝟐𝒛 = 𝟖 −𝟐𝒛 = −𝟔 𝒛=𝟑 Sustituyendo 𝑦 = 2, 𝑧 = 3 en cualquiera de las tres ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene: 𝒙=𝟏 𝒙 + 𝟒(𝟐) − (𝟑) = 𝟔 𝒙 + 𝟖 − 𝟑 = 𝟔 𝑹𝒕𝒂/ {𝒚 = 𝟐 𝒛=𝟑 𝒙=𝟏 VERIFICACION Los valores 𝑥 = 1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 3 tienen que satisfacer las tres ecuaciones dadas. Hágase la sustitución y se verá que las tres ecuaciones dadas se convierten en identidad.
1.6.2.DETERMINANTE DE TERCER ORDEN 𝒂 𝒃 𝒄 Una determinante como |𝒅 𝒆 𝒇| que consta de tres filas y tres columnas, es una 𝒈 𝒉 𝒊 determinante de tercer orden.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 69 de 127
1.6.3.HALLAR EL VALOR DE UNA DETERMINANTE DE TERCER ORDEN
El modo más sencillo de encontrar el valor de una determinante de tercer orden es aplicando la Regla de Sarrus. Explicaremos esta sencilla regla práctica con 1 ejemplo.
𝟒 1. Resolver |𝟐
𝟔
−𝟏 𝟐 −𝟐
𝟏 −𝟏| por la Regla de Sarrus. 𝟑
Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales y tenemos:
𝟒 |𝟐 𝟔
𝟒 𝟐
−𝟏 𝟐 −𝟐
𝟏 −𝟏| 𝟑
−𝟏 𝟏 𝟐 −𝟏
Ahora trazamos tres diagonales de izquierda a derecha, a las cuales llamaremos diagonales principales (Dp), así:
𝟒
|𝟐 𝟔
−𝟏 𝟐 −𝟐
𝟏 −𝟏| 𝟑
𝟒 −𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 −𝟏
A continuación realizamos los productos de los tres números que aparecen en cada diagonal principal, entonces: 𝐷𝑝1: (𝟒)(𝟐)(𝟑) = 𝟐𝟒 𝐷𝑝2: (𝟐)(−𝟐)(𝟏) = −𝟒 𝐷𝑝3: (𝟔)(−𝟏)(−𝟏) = 𝟔 Ahora trazamos tres diagonales de derecha a izquierda, a las cuales llamaremos diagonales secundarias (Ds), así:
𝟒
|𝟐 𝟔
−𝟏 𝟐 −𝟐
𝟏 −𝟏| 𝟑
𝟒 −𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 −𝟏
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 70 de 127
A continuación realizamos los productos de los tres números que aparecen en cada diagonal secundaria, entonces: 𝐷𝑠1: (𝟏)(𝟐)(𝟔) = 𝟏𝟐 𝐷𝑠2: (−𝟏)(−𝟐)(𝟒) = 𝟖 𝐷𝑠3: (𝟑)(−𝟏)(𝟐) = −𝟔 Por último realizamos la sumatoria de todas las diagonales, teniendo en cuenta que a las diagonales principales le dejamos el mismo signo y a las secundarias les cambiamos el signo, así:
𝟒 |𝟐 𝟔
−𝟏 𝟐 −𝟐
𝟏 −𝟏| = 𝟐𝟒 − 𝟒 + 𝟔 − 𝟏𝟐 − 𝟖 + 𝟔 = 𝟏𝟐 𝟑
Ejercicios Propuestos 13
Resolver las siguientes Determinantes empleando la Regla de Sarrus:
1.
| 𝟑𝟖
−𝟐
2.
3.
𝟏𝟎 𝟒 −𝟐 𝟔| 𝟐𝟏 𝟏 −𝟏 𝟕 −𝟐 𝟒 |𝟓 𝟑𝟖 𝟔| 𝟑 𝟐𝟏 −𝟏 𝟕 𝟏𝟎 𝟒 |𝟓 −𝟐 𝟔| 𝟑 𝟏 −𝟏
1.6.3.1. RESOLUCION POR DETERMINANTES DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, por determinantes, se aplica la Regla de Cramer, que dice: El valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es la determinante formada con los coeficientes de las incógnitas (determinantes del sistema) y cuyo numerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de la incógnita que se halla por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 71 de 127
Ejemplo 1 𝟑𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟑𝟗 Resolver Por la Regla de Cramer el Sistema{ 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟒𝟎 𝟖𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟓𝒛 = −𝟏𝟑 Para hallar x cambiamos la columna de los coeficientes de x por los términos independientes, así: 𝟑𝟗 | 𝟒𝟎 𝒙 = −𝟏𝟑 𝟑 |𝟐 𝟖
−𝟓 −𝟏 𝟑 −𝟓 −𝟏 𝟑
𝟐 𝟔| −𝟓 = 𝟏𝟗𝟓 + 𝟐𝟒𝟎 + 𝟑𝟗𝟎 − 𝟐𝟔 − 𝟕𝟎𝟐 − 𝟏𝟎𝟎𝟎 = −𝟗𝟎𝟑 = 𝟑 𝟐 𝟏𝟓 + 𝟏𝟐 − 𝟐𝟒𝟎 + 𝟏𝟔 − 𝟓𝟒 − 𝟓𝟎 −𝟑𝟎𝟏 𝟔| −𝟓
Para hallar y cambiamos la columna de sus coeficientes por los términos independientes, así: 𝟑 𝟑𝟗 𝟐 |𝟐 𝟒𝟎 𝟔| −𝟔𝟎𝟎 − 𝟓𝟐 + 𝟏𝟖𝟕𝟐 − 𝟔𝟒𝟎 + 𝟐𝟑𝟒 + 𝟑𝟗𝟎 𝟏𝟐𝟎𝟒 𝟖 −𝟏𝟑 −𝟓 𝒚= = = = −𝟒 𝟑 −𝟓 𝟐 −𝟑𝟎𝟏 −𝟑𝟎𝟏 |𝟐 −𝟏 𝟔 | 𝟖 𝟑 −𝟓 Para hallar z cambiamos la columna de sus coeficientes por los términos independientes, así: 𝟑 𝟑𝟗 𝟐 |𝟐 𝟒𝟎 𝟔| 𝟑𝟗 + 𝟐𝟑𝟒 − 𝟏𝟔𝟎𝟎 + 𝟑𝟏𝟐 − 𝟑𝟔𝟎 − 𝟏𝟑𝟎 −𝟏𝟓𝟎𝟓 𝟖 −𝟏𝟑 −𝟓 𝒛= = = =𝟓 𝟑 −𝟓 𝟐 −𝟑𝟎𝟏 −𝟑𝟎𝟏 |𝟐 −𝟏 𝟔 | 𝟖 𝟑 −𝟓 𝒙=𝟑 La solución del sistema es 𝑹𝒕𝒂 {𝒚 = −𝟒 𝒛=𝟓
Ejemplo 2 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏 Resolver Por la Regla de Cramer el Sistema{ 𝟒𝒙 + 𝒛 = −𝟐𝟖 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = −𝟒𝟑 Para hallar x cambiamos la columna de los coeficientes de x por los términos independientes, así:
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
−𝟏 | 𝟐𝟖 𝒙 = −𝟒𝟑 𝟑 |𝟒 𝟏
−𝟐 𝟎 𝟐 −𝟐 𝟎 𝟐
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 72 de 127
𝟎 𝟏| 𝟑 = 𝟎 + 𝟎 + 𝟖𝟔 + 𝟎 + 𝟐 − 𝟏𝟔𝟖 = −𝟖𝟎 = −𝟓 𝟎 𝟎 + 𝟎 − 𝟐 + 𝟎 − 𝟔 + 𝟐𝟒 𝟏𝟔 𝟏| 𝟑
Para hallar y cambiamos la columna de sus coeficientes por los términos independientes, así: 𝟑 −𝟏 𝟎 |𝟒 𝟐𝟖 𝟏| −𝟐𝟓𝟐 + 𝟎 − 𝟏 + 𝟎 + 𝟏𝟐𝟗 + 𝟏𝟐 −𝟏𝟏𝟐 𝒚 = 𝟏 −𝟒𝟑 𝟑 = = = −𝟕 𝟑 −𝟐 𝟎 𝟏𝟔 𝟏𝟔 |𝟒 𝟎 𝟏| 𝟏 𝟐 𝟑
Para hallar z cambiamos la columna de sus coeficientes por los términos independientes, así: 𝟑 −𝟐 −𝟏 |𝟒 𝟎 𝟐𝟖 | 𝟎 − 𝟖 + 𝟓𝟔 + 𝟎 + 𝟏𝟔𝟖 − 𝟑𝟒𝟒 −𝟏𝟐𝟖 𝟏 𝟐 −𝟒𝟑 𝒛= = = = −𝟖 𝟑 −𝟐 𝟎 𝟏𝟔 𝟏𝟔 |𝟒 𝟎 𝟏| 𝟏 𝟐 𝟑
𝒙 = −𝟓 La solución del sistema es 𝑹𝒕𝒂 {𝒚 = −𝟕 𝒛 = −𝟖 Ejercicios Propuestos 14 Resolver las siguientes Ecuaciones Simultaneas por la Regla de Cramer: 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = −𝟔 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = −𝟏 1. { 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = −𝟔 𝟒𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟒 2. { 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟐 𝟔𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟐 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟒𝒛 = −𝟐 3. { 𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟑𝟖 𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟐𝟏
U N I D A D V: FA C TO R I Z A C I Ó N
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 74 de 127
TABLA DE CONTENIDO Pág.
5. UNIDAD 5: FACTORIZACIÓN....................................................................................74 5.1. OBJETIVOS ............................................................................................................75 5.2. COMPETENCIAS .....................................................................................................75 5.3. ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS O ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ...............................75 5.4. RECURSOS DE APRENDIZAJE ..................................................................................75 5.5. LECCIÓN 1: DESCOMPOSICION FACTORIAL .....................................................76
2. Unidad 5: FACTORIZACIÓN
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
32.16.
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 75 de 127
Objetivos Conocer los conceptos básicos de descomposición factorial. Encontrar los factores de una expresión algebraica. Identificar los diferentes casos de factorización en los ejercicios. Diferenciar la factorización de suma y diferencia de cubos y cuadrados perfectos. Diferenciar las clases de trinomios que se presentan y su factorización. Desarrollar habilidades en la realización de casos de factorización.
32.17.
Competencias Relaciona las expresiones algebraicas con el caso de factorización respectivo. Analiza las expresiones algebraicas factorizables. Reconoce el caso de factorización que va emplear. Halla los factores de una expresión algebraica.
32.18.
Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lectura, comprensión, análisis y apropiación del material expuesto. Foro de apoyo para dudas y preguntas a través de la plataforma virtual SPLAVIA. Tutoría presencial opcional de material de estudio. Realización de Ejercicios propuestos y seleccionados.
32.19.
Recursos de aprendizaje Módulo de Algebra de la Institución. Programa de Word y manejo de herramienta de editor de ecuaciones. Sitios de internet.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
32.20.
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 76 de 127
Lección 1: DESCOMPOSICION FACTORIAL
DESCOMPOSICION FATORIAL5 FACTORES Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. Así, multiplicando a por a + b tenemos 𝐚(𝐚 + 𝐛) = 𝒂𝟐 + 𝐚𝐛 a y a + b, que multiplicadas entre si dan como producto a2 + ab son factores divisores de a2 + ab. Del propio modo. (𝐱 + 𝟐)(𝐱 + 𝟑) = 𝐱 𝟐 + 𝟓𝐱 + 𝟔 Luego, x + 2 y x + 3 son factores de 𝐱 𝟐 + 𝟓𝐱 + 𝟔 DESCOMPONER EN FACTORES O FACTORAR una expresión algébrica es convertirla en el producto indicado de sus factores.
FACTORAR UN MONOMIO Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección. Así, los factores de 15ab son 3, 5, a y b. por tanto: 𝟏𝟓𝐚 𝐛 = 𝟑. 𝟓 𝐚 𝐛 FACTORAR UN POLINOMIO No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distintos de 1, pues del mismo modo que, en aritmética, hay números primos que solo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que solo son divisibles por ellas mismas y por 1, y que, por tanto, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque solo es divisible por a + b y por 1. En este capítulo estudiaremos la manera de descomponer polinomios en dos distintos de 1.
5
Ibídem Pág. 143 – 169
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 77 de 127
32.20.1. CASO: CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMUN Factor común monomio Ejemplos 1. Descomponer en factores a2 + 2a a2 + 2a contienen el factor común a. escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir a2 + 2 a y 2 a + a = 2, y tenemos 𝐚𝟐 + 𝟐 𝐚 = 𝐚(𝐚 + 𝟐). R. 2. Descomponer 10b – 30ab2. Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b porque está en los dos términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b. El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 10b / 10b = 1 y -30ab2 / 10b = 3ab y tendremos 𝟏𝟎𝐛 – 𝟑𝟎𝐚𝐛𝟐 = 𝟏𝟎𝐛 (𝟏 – 𝟑𝐚𝐛). R. 3. Descomponer 10𝑎2 – 5a + 15𝑎3 . El factor común es 5a. tendremos: 10𝑎2 – 5a + 15𝑎3 = 5a(2a – 1 + 3𝑎2 ) . R. 4. Descomponer18mx𝑦 2 + 54𝑚2 x 2 y 2 + 36my 2 El factor común es 18my2. Tendremos: 𝟏𝟖𝐦𝐱𝒚𝟐 + 𝟓𝟒𝒎𝟐 𝐱 𝟐 𝐲 𝟐 + 𝟑𝟔𝐦𝐲 𝟐 = 𝟏𝟖𝐦𝐲 𝟐 (𝐱 – 𝟑𝐦𝐱 𝟐 + 𝟐). R. 5. Factorar 6x𝑦 3 − 9nx 2 𝑦 3 + 12nx 3 𝑦 3 – 3𝑛2 x 4 𝑦 3 Factor común 3xy3. 𝟔𝐱𝒚𝟑 − 𝟗𝐧𝐱 𝟐 𝒚𝟑 + 𝟏𝟐𝐧𝐱 𝟑 𝒚𝟑 – 𝟑𝒏𝟐 𝐱 𝟒 𝒚𝟑 = 𝟑𝐱𝒚𝟑 (𝟐 – 𝟑𝐧𝐱 + 𝟒𝐧𝐱 𝟐 – 𝒏𝟐 𝒙𝟑 )R. Ejercicios Propuestos 15 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Factorizar: 𝟐
𝒙 − 𝟓𝒙 𝟕𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 𝟒𝒙 − 𝟐 𝟔𝒙 − 𝟑 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 𝟑𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝒙 − 𝟐𝟏 𝟒𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝟓𝟒𝒙
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 78 de 127
32.20.2. CASO: FACTORIZAR BINOMIOS 32.20.2.1. DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS En los productos notables se vio que la suma de dos cantidades por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea, (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 ; luego, recíprocamente 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃) (𝒂 − 𝒃). Podemos, pues, enunciar la siguiente: REGLA PARA FACTORAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo. 1.
Factorar 𝟏 − 𝒂𝟐 La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de 𝑎2 es a. Multiplicola suma de estas raíces (1 + 𝑎) por la diferencia (1 − 𝑎) y tendremos: 𝟏 − 𝒂𝟐 = (𝟏 + 𝒂)(𝟏 − 𝒂).
2.
Descomponer 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝟓𝒚𝟒 La raíz cuadrada de 16𝑥 2 𝑒𝑠 4𝑥 ; la raíz cuadrada de 25𝑦 4 𝑒𝑠 5𝑦 2 . Multiplico la suma de estas raíces (4𝑥 + 5𝑦 2 ) por la diferencia (4𝑥 − 5𝑦 2 ) y tendremos: 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝟓𝒚𝟒 = (𝟒𝒙 + 𝟓𝒚𝟐 )(𝟒𝒙 − 𝟓𝒚𝟐 ).
3.
Factorar 49𝑥 2 𝑦 6 𝑧 10 − 𝑎12 𝟒𝟗𝒙𝟐 𝒚𝟔 𝒛𝟏𝟎 − 𝒂𝟏𝟐 = (𝟕𝒙𝒚𝟑 𝒛𝟓 + 𝒂𝟔 )(𝟕𝒙𝒚𝟑 𝒛𝟓 − 𝒂𝟔 ).
32.20.2.2. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS Sabemos que
𝒂 𝟑 −𝒃𝟑 𝒂+𝒃
= 𝒂𝟐 – 𝐚𝐛 + 𝒃𝟐 Y
𝒂 𝟑 −𝒃𝟑 = 𝒂−𝒃
𝒂𝟐 + 𝐚𝐛 + 𝒃𝟐
Y como todo en división exacta el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, tendremos: 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = (𝐚 + 𝐛)(𝐚𝟐 − 𝐚𝐛 + 𝒃𝟐 ) (1) 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = (𝐚 − 𝐛)(𝐚𝟐 + 𝐚𝐛 + 𝒃𝟐 ) (2) La fórmula 1 nos dice que: Regla 1 La suma de dos tubos perfectos se descompone en dos factores:
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 79 de 127
1° la suma de sus raíces cúbicas. 2° El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. La fórmula (2) nos dice que: Regla 2 La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1° La diferencia de sus raíces cubicas. 2° El cuadrado de la primera raíz más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. FACTORAR UNA SUMA O UNA DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS Ejemplos: (1). Factorar𝑥 3 + 1 La raíz cubica de x3 es x; la raíz cubica de 1 es 1 Según la regla 1. 𝐱 𝟑 + 𝟏 = (𝐱 + 𝟏)[𝐱 𝟐 − 𝐱(𝟏) + 𝟏𝟐 ] = (𝐱 + 𝟏)(𝐱 𝟐 − 𝐱 + 𝟏)
(2) Factorar𝒙𝟑 − 𝟖. La raíz cubica de 𝑥 3 es x, la de 8 es 2, Según la regla 2. 𝒙𝟑 − 𝟖 = (𝒙 − 𝟐) [𝒙𝟐 + 𝟐(𝒙) + 𝟐𝟐 ] = (𝒙 − 𝟐) (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒)
(3) Factorar27𝑥 3 + 64. La raíz cubica de 27x3 es 3x, la de 64, es 4. Según la regla 1. Tendremos: 𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟔𝟒 = (𝟑𝒙 + 𝟒) [(𝟑𝒙)𝟐 − 𝟑𝒙(𝟒 ) + (𝟒 )𝟐 = (𝟑𝒙 + 𝟒) (𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟔).
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 80 de 127
Ejercicios Propuestos 16 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
Factorizar: 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝟒𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 𝒙𝟐 − 𝟔𝟒𝒚𝟐 𝟗 − 𝟑𝟔𝒙𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝟎 𝟖𝟏𝒙𝟐 − 𝟔𝟒 𝒙𝟑 − 𝟔𝟒 𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟖 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝟓 𝒙𝟑 + 𝟖 𝟔𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝟕 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒙𝟑 + 𝒚𝟑
32.20.3. CASO: FACTORIZAR TRINOMIOS CUADRATICOS 32.20.3.1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Una cantidad es cuadrada perfecta cuando se puede expresar como una cantidad al cuadrado, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales. Así, 4a2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 2a, ya que 2ª multiplicada por si misma da 4a2, es la raíz cuadrada de 4a2. Obsérvese que (−2𝑎)2 = (−2a)(−2a) = 4𝑎2 , luego -2a es también la raíz cuadrada de 4a2. Lo anterior nos dice que la raíz cuadrada de una cantidad positiva tiene dos signos + y - . En este capítulo nos referimos solo a la raíz positiva. RAIZ CUADRADA DE UN MONOMIO Para extraer la raíz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por 2. Así, la raíz cuadrada de 𝟗𝒂𝟐 𝒃𝟒 .
𝟗𝐚𝟐 𝐛𝟒 es 𝟑𝐚𝐛𝟐 . 𝟑𝐚𝐛𝟐 porque(𝟑𝐚𝒃𝟐 )𝟐 = 𝟑𝐚𝒃𝟐 𝐱 𝟑𝐚𝒃𝟐 =
La raíz cuadrada𝟑𝟔𝐱 𝟔 𝐲 𝟖 es 𝟔𝐱 𝟑 𝐲 𝟒 . Un trinomio es cuadrado perfecto cuando lo podemos expresar como un binomio al cuadrado, o sea, el producto de dos binomios iguales. Así, 𝐏 𝟐 + 𝟐𝐏𝐒 + 𝐒𝟐 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de P + S. en efecto:
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 81 de 127
(𝑷 + 𝑺)𝟐 = (𝑷 + 𝑺)(𝑷 + 𝑺) = 𝐏 𝟐 + 𝟐𝐏𝐒 + 𝐒𝟐 . Del propio modo, (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)𝟐 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝒚 + 𝟗𝒚𝟐 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙𝒚 + 𝟗𝒚𝟐 es un trinomio cuadrado perfecto, porque se puede expresar como un binomio al cuadrado. REGLA PARA CONOCER SI UN TRINOMIO ES CUADRADO PERFECTO Un trinomio ordenado con respecto a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y el último de los términos son cuadrados perfectos (o tienen raíz exacta) y positivos. El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Así, 𝒂𝟐 – 𝟒𝒂𝒃 + 𝟒𝒃𝟐 es cuadrado perfecto porque: √𝒂𝟐 = 𝒂 √𝟒𝒃𝟐 = 𝟐𝒃 𝟐(𝒂)(𝟐𝒃) = 𝟒𝒂𝒃 REGLA PAR FACTORAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Se extrae la raíz cuadrada al primero y último término del trinomio y se separan estar raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se eleva al cuadrado. Ejemplos 𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟒 =? (1) Factorar𝟐𝟓𝒙 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟒: √𝟐𝟓𝒙𝟐 = 𝟓𝒙𝑦√𝟒 = 𝟐 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝟐(𝟓𝒙)(𝟐) = 𝟐𝟎𝒙 𝟐
Entonces este trinomio es un cuadrado perfecto y se puede expresar como un binomio al cuadrado, así:𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟒 = (𝟓𝒙 + 𝟐)𝟐 𝟐
(2) Factorar𝟒𝟗𝒙 − 𝟏𝟐𝟔𝒙 + 𝟖𝟏:
𝟒𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝟔𝒙 + 𝟖𝟏 =? √𝟒𝟗𝒙𝟐 = 𝟕𝒙𝑦√𝟖𝟏 = 𝟗 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝟐(𝟕𝒙)(𝟗) = 𝟏𝟐𝟔𝒙
Entonces este trinomio es un cuadrado perfecto y se puede expresar como un binomio al cuadrado, así:𝟒𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝟔𝒙 + 𝟖𝟏 = (𝟕𝒙 + 𝟗)𝟐 32.20.3.2. TRINOMIO DE LA FORMA
𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Trinomios de la forma𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄son trinomios como 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔, 𝒎𝟐 + 𝟓𝒎 – 𝟏𝟒 , 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂 – 𝟏𝟓, con las funciones siguientes:
𝒚𝟐 – 𝟖𝒚 + 𝟏𝟓 que cumplen
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 82 de 127
1. El coeficiente del término cuadrático es 1. 2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado 3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. 4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1° y 2° términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. REGLA PARA FACTORAR UN TRINOIMO DE LA FORMA 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 1. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio. 2. En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2° término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio. 3. Si los dos factores binomios tienen en el medio signo igual se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios. 4. Si los dos factores binomios tienen en el medio signo distinto se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos número es el segundo término del primero binomio y el menor el segundo término del segundo binomio esta regla práctica, muy sencilla en su aplicación, se aclarara con los siguientes
EJEMPLOS (1) Factorar𝑥 2 + 11𝑥 + 28. El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x2 o sea x: 𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟐𝟖 = (𝒙 + 𝟕)
(𝒙 + 𝟒)
En el primer binomio después de x se pone signo + porque el segundo término del trinomio +11x tiene signo +. En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de + 11x por el signo de +28 y se tiene que + por + da + o sea: 𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟐𝟖 = (𝒙 + 𝟕)(𝒙 + 𝟒)
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 83 de 127
𝟐𝟖𝒙𝟏 Ahora, los factores de 28 (por parejas) son: 𝟏𝟒𝒙𝟐} = 𝟐𝟖 como los signos 𝟕𝒙𝟒 son iguales encontramos cual pareja suma 11. Estos números son 7 y 4, luego: 𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟐𝟖 = (𝒙 + 𝟕)(𝒙 + 𝟒) (2) Factorar 𝑥 2 + 3𝑥 − 10. El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x2 o sea x: 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = (𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟐) En el primer binomio después de x se pone signo + porque el segundo término del trinomio +3x tiene signo +. En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de + 3x por el signo de -10 y se tiene que + por - da - o sea: 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = (𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟐) 𝟏𝟎𝒙𝟏 } = 𝟏𝟎, como los signos 𝟓𝒙𝟐 son diferentes encontramos cual pareja tiene de diferencia 5. Estos números son 5 y 2, luego: Ahora, los factores de 10 (por parejas) son:
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = (𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟐)
(3) Factorar 𝑥 2 − 23𝑥 − 50. El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x2 o sea x: 𝒙𝟐 − 𝟐𝟑𝒙 − 𝟓𝟎 = (𝒙 − 𝟐𝟓)(𝒙 + 𝟐) En el primer binomio después de x se pone signo - porque el segundo término del trinomio -23x tiene signo -. En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -23x por el signo de -50 y se tiene que - por - da + o sea: 𝒙𝟐 − 𝟐𝟑𝒙 − 𝟓𝟎 = (𝒙 − 𝟐𝟓)(𝒙 + 𝟐) 𝟓𝟎𝒙𝟏 Ahora, los factores de 50 (por parejas) son: 𝟐𝟓𝒙𝟐} = 𝟓𝟎 Como los signos 𝟏𝟎𝒙𝟓 son diferentes encontramos cual pareja tiene de diferencia 23. Estos números son 25 y 2, colocando primero el mayor, así:
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 84 de 127
𝒙𝟐 − 𝟐𝟑𝒙 − 𝟓𝟎 = (𝒙 − 𝟐𝟓)(𝒙 + 𝟐) (4) Factorar 𝑥 2 − 10𝑥 + 24. El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x2 o sea x: 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = (𝒙 − 𝟔)(𝒙 − 𝟒) En el primer binomio después de x se pone signo - porque el segundo término del trinomio -10x tiene signo -. En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -10x por el signo de +24 y se tiene que - por + da - o sea: 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = (𝒙 − 𝟔)(𝒙 − 𝟒) 𝟐𝟒𝒙𝟏 Ahora, los factores de 24 (por parejas) son: 𝟏𝟐𝒙𝟐} = 𝟐𝟒 como los signos 𝟖𝒙𝟑 𝟔𝒙𝟒 son diferentes encontramos cual pareja suman 10. Estos números son 6 y 4, colocando primero el mayor, así: 𝒙𝟐 − 𝟐𝟑𝒙 − 𝟓𝟎 = (𝒙 − 𝟔)(𝒙 − 𝟒) 32.20.3.3. TRINOMIO DE LA FORMA 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Son trinomios de esta forma:
𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 − 𝟒𝟎 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟒
Que se diferencia de los trinomios de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que el primer término tiene un coeficiente distinto de 1 DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES DE UN TRINOMIO DE LA FORMA 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Ejemplos (1) Factorar 10𝑥 2 + 11𝑥 – 6 Multipliquemos el trinomio por el coeficiente de x2 que es 10 y dejando indicado el producto de 11 por 10x (segundo término) se tiene: 𝟏𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟏(𝟏𝟎𝒙)– 𝟔𝟎 Ahora como 100𝑥 2 = (10𝑥)2 entonces podemos escribir: (𝟏𝟎𝒙)𝟐 + 𝟏𝟏(𝟏𝟎𝒙)– 𝟔𝟎
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 85 de 127
Descomponiendo este trinomio en dos factores, según se vio en el caso anterior, el primer Término de cada factor será la raíz cuadrada de (10𝑥)2 o sea 10x: (𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟓) (𝟏𝟎𝒙 − 𝟒 ) Ahora debemos encontrar los dos números cuya diferencia sea 11 y su producto sea 60, para eso encontremos los factores de 60: 𝟔𝟎𝒙𝟏 𝟏𝟓𝒙𝟒 𝟑𝟎𝒙𝟐} = 𝟔𝟎 = {𝟏𝟐𝒙𝟓 , los números que cumple con lo requerido son 15 y 4. 𝟐𝟎𝒙𝟑 𝟏𝟎𝒙𝟔 Colocando el número mayor de primero, entonces obtenemos: (𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟓) (𝟏𝟎𝒙 − 𝟒 ) Ahora buscamos factor común en ambos factores (si los hay) y como al principio multiplicamos el trinomio dado por 10, entonces debemos dividir por 10, para no alterar el trinomio y tendremos:
𝟓(𝟐𝒙+𝟑)𝟐 (𝟓𝒙− 𝟐 ) 𝟏𝟎
, como 5x2=10 se simplifica con el
denominador y encontramos los dos factores, obteniendo que: 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 – 𝟔 = (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟓𝒙 − 𝟐) Nota: Cuando un polinomio cuadrático no se puede descomponer en dos factores se dice que este es un Factor cuadrático Irreducible. Todos los binomios de suma de cuadrados son Factores Cuadráticos Irreducibles. Las sumas y diferencias de cubos tienen dos factores, un factor lineal (grado uno) y un factor cuadrático irreducible. Ejemplos 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏, 𝟒𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐, 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟑, 𝒙𝟐 + 𝟒, 𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟗 y 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐 son Factores Cuadráticos Irreducibles.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Ejercicios Propuestos 17 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.
Factorizar los Trinomios: 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝟐𝒙 + 𝟒𝟗 𝟖𝟏𝒙𝟐 − 𝟑𝟔𝒙 + 𝟒 𝟔𝟒𝒙𝟐 + 𝟖𝟎𝒙𝒚 + 𝟐𝟓𝒚𝟐 𝟏𝟔 − 𝟖𝒙 + 𝒙𝟐 𝟑𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝟒𝒙 + 𝟒𝟗 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟔𝟑 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒𝟎 𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟑𝟔 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏𝟔 𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙 + 𝟐𝟒 𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝒙 + 𝟐𝟒 𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟐𝟒 𝒙𝟐 − 𝟐𝟑𝒙 − 𝟐𝟒 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟐𝟒 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟐𝟒 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 − 𝟒𝟎 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟒 𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟓 𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝟑𝒙 − 𝟏𝟖 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟏𝒙 + 𝟏𝟎
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 86 de 127
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 87 de 127
UNIDAD VI: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 88 de 127
TABLA DE CONTENIDO Pág.
6. UNIDAD 6: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ..................................................89 6.1. OBJETIVOS ............................................................................................................89 6.2. COMPETENCIAS .....................................................................................................89 6.3. ESTRATEGIAS PEDAGÓGICAS O ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ...............................89 6.4. RECURSOS DE APRENDIZAJE ..................................................................................89
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 89 de 127
3. Unidad 6: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
3.1. Objetivos Reconocer las ecuaciones de segundo grado. Describir los pasos para resolver ecuaciones de segundo grado. Usar diferentes técnicas para realizar ejercicios de ecuaciones de segundo grado. Comprender la formula general de la ecuación de segundo grado. Aplicar la ecuación de segundo grado para Factorizar expresiones cuadráticas.
1.1. Competencias Convierte
las operaciones algebraicas en ecuaciones de segundo grado.
Resuelve de forma correcta una ecuación de segundo grado. Diferencia las diversas soluciones que tiene una ecuación de segundo grado.
32.21.
Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lectura, comprensión, análisis y apropiación del material expuesto. Foro de apoyo para dudas y preguntas a través de la plataforma virtual SPLAVIA. Tutoría presencial opcional de material de estudio. Realización de Ejercicios propuestos y seleccionados.
32.22.
Recursos de aprendizaje Módulo de Algebra de la Institución. Programa de Word y manejo de herramienta de editor de ecuaciones. Sitios de internet.
32.23.
Lección 1: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA6 ECUACION DE SEGUNDO GRADO es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así, 4𝑥 2 + 7𝑥 + 6 = 0 Es una ecuación de segundo grado. Ecuaciones completas de segundo grado son ecuaciones de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, que tienen un término en x2, un término en x y un término independiente de x. 6
Ibídem pág. 446 - 455
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 90 de 127
Así, 2𝑥 2 + 7𝑥 – 15 = 0 𝑦 𝑥 2 – 8𝑥 = −15 𝑜 𝑥 2 – 8𝑥 + 15 = 0 completas de segundo grado.
son
ecuaciones
Ecuaciones incompletas de segundo grado son ecuaciones de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0 que carecen del término en x o de la forma ax2 + bx = 0 que carecen del término independiente. Así, 𝑥 2 – 16 = 0 𝑦 3𝑥 2 + 5𝑥 = 0 son ecuaciones incompletas de segundo grado.
RAICES DE UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces, así, las raíces de la ecuación 𝑥 2 – 2𝑥 – 3 = 0 son 𝒙𝟏 = 𝟑 𝑦 𝒙𝟐 = −𝟏; Ambos valores satisfacen esta ecuación. Resolver una ecuación de segundo grado es hallar las raíces de la ecuación. 32.23.1. TECNICA DE SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO POR FACTORIZACIÓN. Cuando tenemos una ecuación de segundo grado podemos utilizar la factorización como herramienta para darle solución. Basamos la solución en los siguientes pasos: 1. Una vez realizada todas las operaciones en la ecuación de segundo grado se debe expresar de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 2. Factorizar (si es posible) el polinomio cuadrático en sus dos factores lineales y se iguala a cero. 3. Como el producto de los dos factores es cero, esto quiere decir que cualquiera de ellos (o ambos) pueden ser cero, por lo tanto podemos igualar cada factor (por separado) a cero. 4. Resolver las dos ecuaciones grado uno para hallar las dos raíces. Ejemplos 1. Resolver 3𝑥 2 − 5𝑥 = 0 Factorizando tenemos que
𝒙(𝟑𝒙 − 𝟓) = 𝟎
Igualando cada factor a cero
𝒙 = 𝟎 y 𝟑𝒙 − 𝟓 = 𝟎
Resolviendo hallamos las raíces
𝒙=𝟎y𝒙=
𝟓 𝟑
2. Resolver 25𝑥 2 − 36 = 0 Factorizando, tenemos que
(𝟓𝒙 + 𝟔)(𝟓𝒙 − 𝟔) = 𝟎
Igualando cada factor a cero
𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟎 y 5𝒙 − 𝟔 = 𝟎
Resolviendo hallamos la raíz 3. Resolver 81𝑥 2 − 36𝑥 + 4 = 0
𝟔
𝟔
𝟓
𝟓
𝒙=− y𝒙=
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Factorizando, tenemos que Igualando cada factor a cero Resolviendo hallamos la raíz
(𝟗𝒙 − 𝟐)𝟐 = 𝟎 𝟗𝒙 − 𝟐 = 𝟎 y 𝟗𝒙 − 𝟐 = 𝟎 𝒙=
𝟐 𝟗
Factorizando, tenemos que
(𝒙 − 𝟖)(𝒙 + 𝟕) = 𝟎
Igualando cada factor a cero
𝒙−𝟖=𝟎y𝒙+𝟕=𝟎 𝒙 = 𝟖 y 𝒙 = −𝟕
5. Resolver 6𝑥 2 + 5𝑥 − 6 = 0 Factorizando, tenemos que
(𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟑𝒙 − 𝟐) = 𝟎
Igualando cada factor a cero
𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝟎 y 𝟑𝒙 − 𝟐 = 𝟎
Resolviendo hallamos la raíz
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
𝒙=− y𝒙=
Ejercicios Propuestos 18 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 13. 14.
Resolver las ecuaciones por factorización: 𝟏𝟔 − 𝟖𝒙 + 𝒙𝟐 = 𝟎 𝟑𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝟒𝒙 + 𝟒𝟗 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟔𝟑 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒𝟎 = 𝟎 𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟑𝟔 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 − 𝟒𝟎 = 𝟎 𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝟑𝒙 − 𝟏𝟖 = 𝟎 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟏𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 = 𝟎 𝟕𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟎 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 = 𝟎 𝟒𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝒙𝟐 − 𝟔𝟒 = 𝟎 𝟗 − 𝟑𝟔𝒙𝟐 = 𝟎 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎
Versión: 1
Página 91 de 127
4. Resolver 𝑥 2 − 𝑥 − 56 = 0
Resolviendo hallamos la raíz
Fecha: 18/12/2013
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Á L G E B R A
Página 92 de 127
32.23.2. TECNICA DE SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO POR FORMULA CUADRATICA Cuando no es posible encontrar los dos factores es útil emplear la Fórmula Cuadrática (se puede emplear para cualquier Ecuación de segundo grado)
𝒙=
−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂
DEDUCCION DE LA FORMULA PARA RESOLVER LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 La ecuación es ____________________ 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 Multiplicando por 4𝑎: _____________ 𝟒𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝟒𝒂𝒃𝒙 + 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎 Sumando 𝑏 2 a los dos miembros: ____ 𝟒𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝟒𝒂𝒃𝒙 + 𝟒𝒄𝒄 + 𝒃𝟐 = 𝒃𝟐 Pasando 4𝑎𝑐 al 2º miembro: _______ 𝟒𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝟒𝒂𝒃𝒙 + 𝒃𝟐 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 Descomponiendo el primer miembro, que es un trinomio cuadrado perfecto: _______________________________________ (𝟐𝒂𝒙 + 𝒃)2 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros: 𝟐𝒂𝒙 + 𝒃 = ±√𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 Transponiendo 𝑏: _________________________𝟐𝒂𝒙 = −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 Despejando 𝑥: ____________________________ 𝒙 =
−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 −𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄
Nota: Para emplear la fórmula general de segundo grado 𝒙 = , la 𝟐𝒂 ecuación debe de estar de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎. Donde 𝑎 es el coeficiente que acompaña a 𝑥 2 , 𝑏 es el coeficiente de 𝑥 y 𝑐 es el término independiente. El signo ± indica que hay dos soluciones una cuando es más “+” y la otra cuando es menos “−“. Cuando el discriminante 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 > 0, las soluciones se encuentran dentro de los números reales y son soluciones diferentes (si 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 es un cuadrado perfecto, es un número racional, de lo contrario, es irracional). Cuando el discriminante 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎, las soluciones se encuentran dentro de los números reales (dos soluciones idénticas). Cuando el discriminante 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 < 0, las soluciones se encuentran dentro de los números complejos (números con una parte real y otra imaginaria). Ejemplos 1. Resolver 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 0
𝒂=𝟏 −(−𝟔)±√(−𝟔)𝟐 −𝟒(𝟏)(𝟗) En este caso 𝒃 = −𝟔 entonces 𝒙 = 𝟐(𝟏) 𝒄=𝟗 𝒙=
𝟔±√𝟎 𝟐
2. Resolver 2𝑥 2 + 9𝑥 − 35 = 0
𝟔
= , entonces 𝒙 = 𝟑 𝟐
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
En este caso
𝒙=
Versión: 1
Página 93 de 127
𝒂=𝟐 −(𝟗)±√(𝟗)𝟐 −𝟒(𝟐)(−𝟑𝟓) 𝒃 = 𝟗 entonces 𝒙 = 𝟐(𝟐) 𝒄 = −𝟑𝟓
−𝟗±√𝟑𝟔𝟏 𝟒
Fecha: 18/12/2013
=
𝒙= 𝒙=
−𝟗±𝟏𝟗
, entonces las dos soluciones son:
𝟒 −𝟗+𝟏𝟗 𝟒
−𝟗−𝟏𝟗 𝟒
=
=
𝟏𝟎
𝟓
𝟒
𝟐
, entonces 𝒙 =
−𝟐𝟖 𝟒
, entonces 𝒙 = −𝟕
3. Resolver 𝑥 2 + 5𝑥 + 5 = 0
𝒂=𝟏 −(𝟓)±√(𝟓)𝟐 −𝟒(𝟏)(𝟓) En este caso 𝒃 = 𝟓 entonces 𝒙 = 𝟐(𝟏) 𝒄=𝟓 𝒙=
−𝟓±√𝟓 𝟐
, entonces las dos soluciones son: 𝒙=
−𝟓 + √𝟓 𝟐
𝒙=
−𝟓 − √𝟓 𝟐
Ejercicios Propuestos 19 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Resolver las ecuaciones por Fórmula General: 𝟑𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝟒𝒙 + 𝟒𝟗 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟔𝟑 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒𝟎 = 𝟎 𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟑𝟔 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 − 𝟒𝟎 = 𝟎 𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝟑𝒙 − 𝟏𝟖 = 𝟎 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟏𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎
Pasos para Resolver Ecuaciones de Segundo Grado 1. Resolver todas las operaciones de cada miembro (si las hay). 2. Llevar todos los términos de la ecuación hacia uno de los dos miembros e igualar a cero
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 94 de 127
3. Reducir los términos semejantes si los hay (esto para llevarla a la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎)
4. Emplear una de las técnicas expuestas para encontrar las raíces de la ecuación. Ejemplo Resolver la ecuación (𝒙 − 𝟐)𝟐 = 𝟑(𝟖 − 𝒙). Resolver operaciones 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝟐𝟒 − 𝟑𝒙 Transponer términos 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝟒 = 𝟎 Reducir términos semejantes 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐𝟎 = 𝟎 Emplear una de las técnicas: Por Factorización (𝒙 − 𝟓)(𝒙 + 𝟒) = 𝟎 𝒙−𝟓=𝟎 𝒙+𝟒=𝟎 𝒙 = 𝟓 y 𝒙 = −𝟒
Por Fórmula General 𝒂=𝟏 𝒃 = −𝟏 𝒄 = −𝟐𝟎 𝒙=
−(−𝟏)±√(−𝟏)𝟐 −𝟒(𝟏)(−𝟐𝟎) 𝟐(𝟏)
𝒙= 𝒙= 𝒙=
𝟏 ± √𝟖𝟏 𝟏 ± 𝟗 = 𝟐 𝟐 𝟏+𝟗
𝟐 𝟏−𝟗 𝟐
=
=
Ejercicios Propuestos 20
Resolver las ecuaciones siguientes: 1. 𝒙(𝒙 + 𝟑) = 𝟓𝒙 + 𝟑. 2. 𝟑(𝟑𝒙 − 𝟐) = (𝒙 + 𝟒)(𝟒 − 𝒙). 3. 𝟗𝒙 + 𝟏 = 𝟑(𝒙𝟐 − 𝟓) − (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟐). 4. (𝟐𝒙 − 𝟑)2−(𝒙 + 𝟓)2 =−𝟐𝟑. 5. 𝟐𝟓(𝒙 + 𝟐)2= (𝒙 − 𝟕)2−𝟖𝟏. 6. 𝟑𝒙(𝒙 − 𝟐) − (𝒙 − 𝟔) = 𝟐𝟑(𝒙 − 𝟑). 7. 𝟕(𝒙 − 𝟑) − 𝟓(𝒙𝟐 − 𝟏) = 𝒙𝟐 − 𝟓(𝒙 + 𝟐). 8. (𝒙−5)2−(𝒙 − 𝟔)2= (𝟐𝒙 − 𝟑)2−𝟏𝟏𝟖. 9. (𝟓𝒙 − 𝟐)2−(𝟑𝒙 + 𝟏)2−𝒙𝟐 − 𝟔𝟎 = 𝟎. 10. (𝒙+4)3−(𝒙 − 𝟑)3= 𝟑𝟒𝟑. 11. (𝒙 + 𝟐)3−(𝒙 − 𝟏)3= 𝒙(𝟑𝒙 + 𝟒) + 𝟖. 12. (𝟓𝒙 − 𝟒)2−(𝟑𝒙 + 𝟓)(𝟐𝒙 − 𝟏) = 𝟐𝟎𝒙(𝒙 − 𝟐) + 𝟐𝟕
𝟏𝟎
𝟐 −𝟖 𝟐
𝒙=𝟓 𝒙 = −𝟒
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 95 de 127
13. 𝒙(𝒙 − 𝟏) − 𝟓(𝒙 − 𝟐) = 𝟐. 14. (𝒙−2)2−(𝟐𝒙 + 𝟑)2= −𝟖𝟎. 15. (𝒙 − 𝟐)3−(𝒙 − 𝟑)3= 𝟑𝟕. 16. (𝒙 + 𝟓)(𝒙−5) = -7. 17. 𝟐𝒙 − 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟑) − 𝟏𝟑𝟓 = 𝟎. 18. 𝟑(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐) = (𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟖𝒙 19. (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐) − (𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟏) + 𝟓 = 𝟎
32.23.3. DESCOMPONER UN TRINOMIO EN FACTORES HALLANDO LAS RAICES. Siguiendo el siguiente proceso se puede Factorizar con la ayuda de la fórmula general, siguiendo los pasos que a continuación se enuncian: 1. Se hallan las raíces con la fórmula general. 2. Si la raíz es entera, el factor se halla transponiendo la raíz al miembro donde está la incógnita. 3. Si la raíz es fraccionaria, el denominador se pasa a multiplicar a la incógnita y el numerador se transpone, cambiándole su signo. Ejemplo 1. Factorizar 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟐𝟎
𝒂=𝟑
𝒙=
Paso 1. 𝒃 = 𝟏𝟏
𝒄 = −𝟐𝟎
−(𝟏𝟏)±√(𝟏𝟏)𝟐 −𝟒(𝟑)(−𝟐𝟎) 𝟐(𝟑)
−𝟏𝟏 ± √𝟑𝟔𝟏 −𝟏𝟏 ± 𝟏𝟗 = 𝟔 𝟔 −𝟏𝟏+𝟏𝟗 𝟖 𝟒 𝒙= = 𝒙=
𝒙=
𝟔
𝒙=
−𝟏𝟏−𝟏𝟗 𝟔
𝟔
=
−𝟑𝟎 𝟔
𝟑
𝒙 = −𝟓
Paso 2. 𝒙 = −𝟓, entonces 𝒙 + 𝟓 = 𝟎 𝟒 Paso 3. 𝒙 = , entonces 𝟑𝒙 = 𝟒 y 𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝟎 𝟑
Por lo tanto 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟐𝟎 = (𝒙 + 𝟓)(𝟑𝒙 − 𝟒) Ejercicios Propuestos 21
Descomponer en factores utilizando la Fórmula General:
1. 𝟏𝟔 − 𝟖𝒙 + 𝒙𝟐
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
𝟑𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝟒𝒙 + 𝟒𝟗 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟔𝟑 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒𝟎 𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 + 𝟑𝟔 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏𝟔 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 − 𝟒𝟎 𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝟑𝒙 − 𝟏𝟖 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟏𝒙 + 𝟏𝟎
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 96 de 127
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 97 de 127
7. Recursos 7.1. Físicos Computador Aula de encuentro presencial Módulo de Algebra.
7.2. Tecnológicos Computador con conexión a internet 7.3. Audiovisuales 1 Video beam 1 Retroproyector. 7.4. Telecomunicaciones Correo institucional Chat en aula Virtual. Foro en aula Virtual. 8. Sistema de Evaluación
Tabla 2: Sistema de Evaluación Corte
Primero
Segundo
Tercero
Actividad
Porcentaje
Primer Parcial Guía de Aprendizaje: Unidad 1 Guía de Aprendizaje: Unidad 2 Total Primer Parcial Guía de Aprendizaje: Unidad 3 Guía de Aprendizaje: Unidad 4 Total Primer Parcial Guía de Aprendizaje: Unidad 5 Guía de Aprendizaje: Unidad 6
50%
Porcentaje Corte
Temas 1. Conceptos Fundamentales
25% 30%
2. Operaciones Algebraicas
25% 100% 50%
25%
1. Ecuaciones Enteras de Primer Grado con una Incógnita. 2. Ecuaciones Simultáneas de Primer Grado.
100% 50%
1. Factorización
25% 30%
25% 40% 25%
2. Ecuaciones Segundo Grado.
de
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Total Total
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 98 de 127
100% 100%
Autoría Propia
Cronograma o Calendario Unidades de aprendizaje Tabla 3: Cronograma Unidades de Aprendizaje
CRONOGRAMA (FECHA INICIO - FECHA FINAL)
Actividad
Entregable (Evidencias que el
Inicial
Aprendiz entrega)
Guía
de
Aprendizaje:
Un
Documento
de
Word:
SuApellido_Nombre_Conceptos.doc
Aprendizaje: Unidad 2
Guía
Un
Documento
Word:
SuApellido_Nombre_Operaciones.doc Una Dirección URL SlideShare
de
Aprendizaje:
Un
Documento
de Aprendizaje
Unidad 1 Guía
Resultado
Ejercicios Resueltos
SuApellido_Nombre_Ecuaciones1.doc
ó Puntuación Máxima
25
Ejercicios Resueltos. SlideShare Publicado
Word:
Porcentaje
25
Ejercicios Resueltos
25
Ejercicios Resueltos
25
Ejercicios Resueltos
25
Unidad 3 Guía
de
Aprendizaje:
Un
Documento
Word:
SuApellido_Nombre_Simultáneas.doc
Unidad 4 Guía
de
Aprendizaje: Unidad 5
Un
Documento
Word:
SuApellido_Nombre_Factorización.doc
Tiempos de Entrega ó Fecha Limite Semana 2
Semana 5
Semana 7
Semana 10
Semana 13
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Guía
de
Aprendizaje:
Un
Documento
Word:
SuApellido_Nombre_Ecuaciones2.doc
Ejercicios Resueltos
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 99 de 127
25
Semana
Unidad 6
15
Autoría Propia
Glosario
Algebra: Es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.
Binomio Es un polinomio que consta de dos términos. Expresión Algebraica: Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. Distributiva: Propiedad matemática en la que se relaciona la multiplicación con la suma o la Resta. Ecuación: Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. A las letras les llamamos incógnitas. Exponente: Número utilizado para indicar el número de veces que se utiliza un término para multiplicarse por sí mismo. Factor: Cantidades que multiplica a otra. Factor cuadrático Irreducible: Cantidad cuadrática que no puede expresarse como multiplicación de dos binomios. Factorización: Proceso algebraico para hallar cantidades que se multiplican entre sí. Fracción : o quebrado es un numero compuesto de dos partes(numerador y denominador) Igualación: Uno de los métodos para resolver los sistema de ecuaciones lineales. Igualdad: Dos cantidades que adquieren el mismo valor numérico. Identidad: Es una igualdad que no cambia su valor de verdad.
Monomio: Es una expresión algebraica que consta de un solo término Polinomio: Es una expresión algebraica que consta de más de un término. Producto: Resultado de una multiplicación. Producto Continuado: Cuando hay más de dos factores en una multiplicación.
Producto Notable: Multiplicación que puede ser realizada de forma inmediata. Reducción de Términos Semejantes: Es sumar o restar varios términos semejantes para expresarlo como uno solo.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 100 de 127
Resta: Resultado de una sustracción. Residuo: Es una de las partes de la división entre dos cantidades. Suma: Resultado de la adición. Término: Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no
separados entre sí por el signo + o -. Término Independiente: Es el valor aritmético no acompañado por parte literal. Términos Semejantes: Términos que tienen la(s) misma(s) letras con los respectivos exponentes iguales. Trinomio: Es un polinomio que consta de tres términos. Bibliografía
Baldor Aurelio, Álgebra. México: Grupo Editorial Patria, 2007 Sánchez Henry, Solucionario de Baldor.
Enlaces de Interés “El Paraíso de las Matemáticas”. Carlos Gombau y Antonio Luis Martínez. Alicante (Esp). www.matematicas.net “Algebra de Baldor”. Juan Beltrán. Colombia, 2011. http://videomate21.blogspot.com/ “Julio Profe”. Julio Alberto Ríos Gallego. Colombia, 2011. http://www.julioprofe.net/p/algebra.html “ditutor”.
Juan
Carlos
Fernández
Gordillo,
Málaga
(Esp).
2010.
http://www.ditutor.com/asignaturas/algebra.html “Disfruta
las
Matemáticas”.
Rod
Pierce.
Inglaterra,
2011.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/
Tiempo máximo del módulo
16 semanas Perfil del TUTOR
Ingeniero Civil de la Universidad de Cartagena con 9 años de experiencia en educación no formal (dirigida y personalizada) y más de 14 años de experiencia docente en educación formal en Instituciones Universitarias (Fundación Instituto Tecnológico Comfenalco FITC, Escuela Naval
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 101 de 127
Almirante Padilla ENAP y actualmente en la Fundación Tecnológica Antonio de Arévalo TECNAR) en educación de asignaturas de enseñanza Matemática.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 102 de 127
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
FA C U LTA D D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R Í A T É C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U TA C I Ó N
GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE
ÁLGEBRA
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 103 de 127
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 104 de 127
Álgebra Programas de Educación a Distancia Fundación Antonio de Arévalo, TECNAR
Autor: Iván de Jesús Sánchez Piedrahíta
Diseño de la Plantilla y Estructura del módulo: Astrid Calderón Hernández Diagramación, Portadas y Arte Gráfico: Carlos Agamez García
Primera Edición: Noviembre 2012 - [Número de Ejemplares]
Álgebra Programas de Educación a Distancia Fundación Antonio de Arévalo - TECNAR 2012; 120 Pág.; 21.5 X 27.9 cm
Prohibida su reproducción parcial o total, por cualquier medio o método de este módulo Sin previa autorización de TECNAR y la Empresa Editorial.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 105 de 127
GUÍA DE APRENDIZAJE U N I D A D I : C O N C E P T O F U N D A M E N TA L E S
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 106 de 127
GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE GUIA DE APRENDIZAJE ACTIVIDAD 1 - SEMANA n
1. Titulo CONCEPTOS FUNDAMENTALES
2. Temáticas revisadas Grado de un término Clasificación de Expresiones algebraicas Polinomios Completos/Incompletos, Ordenados/No Ordenado Reducción de Términos Semejantes.
3. Fecha de entrega //escriba el formato en DD/MM/AAAA
4. Actividad problematizadora general
Cada estudiante realizará un listado de ejercicios propuestos por el docente que demuestre la utilización correcta y la comprensión de cada una de los conceptos estudiados. La lista de ejercicios estará en un documento Word. El trabajo será re remitido al docente en archivo con nombre y extensión: SuApellido_SuNombre_Conceptos.doc
Ejercicios Propuestos
1)
Usa flechas para relacionar cada uno de los términos con su respectivo grado absoluto:
a. b. c. d. e.
2)
Términos
Grado Absoluto
7𝑥𝑦 8𝑥 3 𝑦 5𝑥 𝑥𝑦𝑧 7𝑥 2 𝑦 3
4 3 5 1 2
Relacione la columna de los Términos con la columna de Clasificación de Términos, colocando la letra en el paréntesis, según corresponda:
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Término 7𝑥𝑦 + 4𝑦 8𝑥 3 𝑦 + 𝑧 − 5 7𝑥 2 𝑦 3 8 𝑥
a. b. c. d.
3)
4)
Polinomio 3𝑥 + 4𝑥 3 − 7𝑥 + 2 2𝑥 3 + 5𝑥 − 4𝑥 2 + 8 7𝑥 − 4𝑥 4 + 5𝑥 2 + 4 2𝑥 3 + 5𝑥 2 − 7𝑥 + 15 5
Página 107 de 127
Clasificación ( ) Término Fraccionario ( ) Término Entero ( ) Trinomio ( ) Binomio
Completo/Incompleto
Ordenado/Desordenado
Relacione con una flecha los términos semejantes: Término 9𝑥 2 𝑦 3 8𝑥 3 𝑦 2 −7𝑥 2 𝑦 −5𝑥 2 𝑦 2
a. b. c. d.
a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m.
Versión: 1
En los siguientes ejercicios rellene los espacios en blanco según corresponda:
a. b. c. d.
5)
Fecha: 18/12/2013
Reducir los términos semejantes: 𝑥 + 7𝑥 = 5𝑥 + 9𝑥 = 3𝑥 2 + 4𝑥 2 = 2𝑥 2 𝑦 + 6𝑥 2 𝑦 = 8𝑥 2 + 7𝑥 2 = −3𝑦 − 9𝑦 = −2𝑥 2 − 𝑥 2 = −5𝑎 − 5𝑎 = −8𝑏𝑥 2 − 9𝑏𝑥 2 = −4𝑥 − 6𝑥 = 𝑦 + 2𝑦 + 4𝑦 = 3𝑥 + 7𝑥 + 9𝑥 = 5𝑥 2 + 6𝑥 2 + 8𝑥 2 =
Término Semejante 8𝑥 2 𝑦 3 −5𝑥 2 𝑦 −7𝑥 2 𝑦 2 9𝑥 3 𝑦 2
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
n. o. p. q. r. s. t. u. v. w. x.
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 108 de 127
−7𝑤 − 2𝑤 − 5𝑤 = −20𝑥 − 50𝑥 − 26𝑥 = −33𝑥 2 𝑦 − 22𝑥 2 𝑦 − 11𝑥 2 𝑦 = 11𝑥 − 6𝑥 = 3𝑦 − 7𝑦 = 4𝑥 2 − 4𝑥 2 = −5𝑦 + 13𝑦 = −7𝑦 + 𝑦 = 9𝑥 − 11𝑥 + 4𝑥 − 𝑥 = −7𝑥 + 2𝑥 − 5𝑥 + 4𝑥 = 𝑥 2 𝑦 − 8𝑥 2 𝑦 + 6𝑥 2 𝑦 − 4𝑥 2 𝑦 =
5. Producto esperado Ejercicios Resueltos en un Documento Word
6. Forma de Entrega Envío al correo institucional
7. Rubrica de evaluación
RUBRICA TRABAJO INDIVIDUAL DE REALIZACION DE EJERCICIOS Criterios de MEJORABL CON SERIAS EXELENTE BUENO Evaluación E DIFICULTADES La mayor 90-100% de Casi todas parte (65las (80-89%) las Más del 45% de 79%) de las Errores soluciones soluciones las soluciones soluciones Matemáticos no tienen no tienen tienen errores no tienen errores errores matemáticos. errores matemáticos. matemáticos. matemáticos. Tiene En la muchos Es acertado mayoría de errores en el Tiene poca en escoger los ejercicios momento de claridad en el Uso las (entre 80escoger la momento de Correcto de operaciones 89%) tiene operación escoger la las de forma claridad en que debe operación que Operaciones correcta en las aplicar en debe aplicar en más de un operaciones cada cada ejercicio. 90%. que debe ejercicio. Mayor al 35% utilizar. Entre el 6579%)
Máximo Puntaje
100%
100%
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 109 de 127
GUÍA DE APRENDIZAJE UNIDAD II: OPERACIONES ALGEBRAICAS
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 110 de 127
GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE
GUIA DE APRENDIZAJE ACTIVIDAD 2 - SEMANA n
1. Título OPERACIONES ALGEBRAICAS
2. Temáticas revisadas Suma Resta Multiplicación División
3. Fecha de entrega //escriba el formato en DD/MM/AAAA
4. Actividad problematizadora general
Cada estudiante realizará un listado de ejercicios propuestos por el docente que demuestre la utilización correcta y la comprensión de cada una de las operaciones estudiadas. La lista de ejercicios estará en un documento Word que podrá descargar y en el cual debe de llenar los espacios en blanco (rellenar con el editor de ecuaciones, consultar el link: http://www.youtube.com/watch?v=xkXsVkXN1kk y http://www.youtube.com/watch?v=m0ED9O5ZDGQ). El trabajo será re remitido al docente en archivo con nombre y extensión: SuApellido_SuNombre_Operaciones.doc Cada estudiante realizará una presentación que será publicado en slideshare (consultar http://www.slideshare.net/BeneMarcos/manual-sobre-slideshare) en donde explicará un ejercicio paso a paso de una división asignada por el docente.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 111 de 127
Ejercicios Propuestos 1) Rellene los espacios faltantes en el siguiente cuadro y especifique la operación realizada para encontrar la solución. 𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
7𝑥 2 − 8𝑥 + 5
7𝑥 2 − 4𝑥 + 3
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥)
5𝑥 2 − 6𝑥 + 9
−2𝑥 2 − 8𝑥 + 5
2𝑥 2 − 6𝑥 + 4 2𝑥 2 − 8𝑥 + 5
Describir Operación Realizada
−5𝑥 2 − 21𝑥 + 4 −𝑥 2 − 15𝑥 + 3 9𝑥 2 + 8𝑥 − 2
13𝑥 2 − 10𝑥
2) Teniendo en cuenta que el Área de un Rectángulo es Base por Altura, rellene los espacios en blanco y especifique la operación realizada para encontrar la solución.
Base
Altura
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥2 − 𝑥 − 1 3𝑥 2 − 19𝑥 − 72
3𝑥 + 8 2𝑥 + 3 7𝑥 − 4
−8𝑥 2 − 2𝑥 + 15
3𝑥 + 9 𝑥−5
5𝑥 + 2
Área
𝑥 2 − 10𝑥 + 25 5𝑥 4 − 12𝑥 3 + 9𝑥 2 − 22𝑥 + 21
Describir Operación Realizada
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 112 de 127
3) Teniendo en cuenta que el Área de un Trapecio es la Semisuma de las Base por la Altura, rellene los espacios en blanco.
B
b
h
4𝑥 + 2
3𝑥 − 7
𝑥+8 3𝑥 2 − 19𝑥 − 72
3𝑥 + 8
2𝑥 + 3 7𝑥 − 4
5𝑥 + 2
5𝑥 4 − 12𝑥 3 + 9𝑥 2 − 22𝑥 + 21
−8𝑥 2 − 2𝑥 + 15 5𝑥 4 − 12𝑥 3 + 9𝑥 2 − 22𝑥 + 21
3𝑥 + 9
𝑥−5
4x-3
Área
𝑥 2 − 10𝑥 + 25 x-8
5𝑥 4 − 12𝑥 3 + 9𝑥 2 − 22𝑥 + 21
4) Realizar una presentación en PowerPoint y publicar en SlideShare explicando paso a paso la siguiente división:
5. Producto esperado Ejercicios Realizados 1 presentación Publicada en SlideShare
6. Forma de Entrega Correo Interno, anexar al cuerpo del mensaje la url de la presentación.
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 113 de 127
7. Rubrica de evaluación RUBRICA TRABAJO INDIVIDUAL DE REALIZACION DE EJERCICIOS Criterios de MEJORABL CON SERIAS Máximo EXELENTE BUENO Evaluación E DIFICULTADES Puntaje La mayor 90-100% de Casi todas parte (65las (80-89%) las Más del 45% de 79%) de las Errores soluciones soluciones las soluciones soluciones 100% Matemáticos no tienen no tienen tienen errores no tienen errores errores matemáticos. errores matemáticos. matemáticos. matemáticos. Tiene En la muchos Es acertado mayoría de errores en el Tiene poca en escoger los ejercicios momento de claridad en el Uso las (entre 80escoger la momento de Correcto de operaciones 89%) tiene operación escoger la 100% las de forma claridad en que debe operación que Operaciones correcta en las aplicar en debe aplicar en más de un operaciones cada cada ejercicio. 90%. que debe ejercicio. Mayor al 45% utilizar. Entre el 6579%) RUBRICA TRABAJO INDIVIDUAL DE PRESENTACION DE UNA DIVISION Criterios de MEJORABL CON SERIAS Máximo EXELENTE BUENO Evaluación E DIFICULTADES Puntaje Orden y El trabajo es El trabajo es El trabajo es El trabajo se ve Organizació presentado presentado presentado descuidado y n de una de una en una desorganizado. manera manera manera Es difícil saber ordenada, ordenada y organizada, qué información 100% clara y organizada pero puede está organizada que es, por ser difícil de relacionada. que es fácil lo general, leer. 65-79% Más del 45% de leer. 90fácil de leer. 100% 80-89% Terminologí La La La Hay poco uso o a terminología terminología terminología mucho uso Matemática y notación y notación y notación inapropiado de y Notación. correctas correctas correctas la terminología y fueron fueron, por lo fueron la notación. Más siempre general, usadas, pero del 45% 100% usadas usadas algunas haciendo haciendo veces no es fácil de fácil de fácil entender entender lo entender lo lo que fue que fue que fue hecho. 6579%
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Conceptos Matemáticos .
Explicación
hecho. 90100%
hecho. 8089%
La explicación demuestra completo entendimient o del concepto matemático usado para resolver los problemas. 90-100%
La explicación demuestra entendimient o sustancial del concepto matemático usado para resolver los problemas. 80-89%
La explicación es detallada y clara. 90100%
La explicación es clara. 8089%
La explicación demuestra algún entendimient o del concepto matemático necesario para resolver los problemas. 65-79% La explicación es muy poca u omite algunos detalles importantes. 65-79%
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 114 de 127
La explicación demuestra un entendimiento muy limitado de los conceptos subyacentes necesarios para resolver problemas o no está escrita. Más del 45%
100%
La explicación es difícil de entender y tiene varios componentes ausentes o no fue incluida. Más del 45%
100%
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
GUÍA DE APRENDIZAJE UNIDAD III: ECUACIONES ENTERAS DE P R I M E R G R A D O C O N U N A I N C Ó G N I TA
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 115 de 127
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 116 de 127
GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE
GUIA DE APRENDIZAJE ACTIVIDAD 3 - SEMANA n
1. Título ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
2. Temáticas revisadas Ecuaciones de Primer Grado
3. Fecha de entrega //escriba el formato en DD/MM/AAAA
4. Actividad problematizadora general
Cada estudiante realizará un listado de ejercicios propuestos por el docente que demuestre la utilización correcta y la comprensión de cada una de los axiomas fundamentales de las ecuaciones estudiadas. El trabajo será re remitido al docente en archivo con nombre y extensión: SuApellido_SuNombre_Ecuación1.doc
Ejercicios Propuestos
1) 𝑥 + 3(𝑥 − 1) = 6 − 4(2𝑥 + 3) 2) 5(𝑥 − 1) + 16(2𝑥 + 3) = 3(2𝑥 − 7) − 𝑥 3) 2(3𝑥 + 3) − 4(5𝑥 − 3) = 𝑥(𝑥 − 3) − 𝑥(𝑥 + 5) 4) 184 − 7(2𝑥 + 5) = 301 + 6(𝑥 − 1) − 6 5) 7(18 − 𝑥) − 6(3 − 5𝑥) = −(7𝑥 + 9) − 3(2𝑥 + 5) − 12 6) 3𝑥(𝑥 − 3) + 5(𝑥 + 7) − 𝑥(𝑥 + 1) − 2(𝑥 2 + 7) + 4 = 0 7) −3(2𝑥 + 7) + (−5𝑥 + 6) − 8(1 − 2𝑥) − (𝑥 − 3) = 0 8) (3𝑥 − 4)(4𝑥 − 3) = (6𝑥 − 4)(2𝑥 − 5) 9) (4 − 5𝑥)(4𝑥 − 5) = (10𝑥 − 3)(7 − 2𝑥) 10) (𝑥 + 1)(2𝑥 − 5) = (2𝑥 + 3)(𝑥 − 4) + 5
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 117 de 127
11) (𝑥 − 2)2 − (3 − 𝑥)2 = 7 12) 14 − (5𝑥 − 1)(2𝑥 + 3) = 17 − (10𝑥 + 1)(𝑥 − 6) 13) (𝑥 − 2)2 + 𝑥(𝑥 − 3) = 3(𝑥 + 4)(𝑥 − 3) − (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) + 2 14) (3𝑥 − 1)2 − 5(𝑥 − 2) − (2𝑥 + 3)2 − (5𝑥 + 2)(𝑥 − 1) 15) 2(𝑥 − 3)2 − 3(𝑥 + 1)2 + (𝑥 − 5)(𝑥 − 3) + 4(𝑥 2 − 5𝑥 + 1) = 4𝑥 2 − 12 16) 𝑥(𝑥 − 2)2 − 5(𝑥 + 3)2 + (2𝑥 − 1)(5𝑥 + 2) − 10𝑥 2 = 0 17) 𝑥 2 − 5𝑥 + 15 = 𝑥(𝑥 − 3) − 14 + 5(𝑥 − 2) + 3(13𝑥 − 3𝑥) 18) 3(5𝑥 − 6)(3𝑥 + 2) − 6(3𝑥 + 4)(𝑥 − 1) − 3(9𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0 19) 7(𝑥 − 4)2 − 3(𝑥 + 5)2 = 4(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) − 2 20) 5(1 − 𝑥)2 − 6(𝑥 2 − 3𝑥 − 7) = 𝑥(𝑥 − 3) − 2𝑥(𝑥 + 5) − 2 5. Producto esperado Ejercicios Realizados
6. Forma de Entrega Correo Interno.
7. Rubrica de evaluación RUBRICA TRABAJO INDIVIDUAL DE REALIZACION DE EJERCICIOS Criterios de MEJORABL CON SERIAS EXELENTE BUENO Evaluación E DIFICULTADES La mayor 90-100% de Casi todas parte (65las (80-89%) las Más del 45% de 79%) de las Errores soluciones soluciones las soluciones soluciones Matemáticos no tienen no tienen tienen errores no tienen errores errores matemáticos. errores matemáticos. matemáticos. matemáticos. Tiene En la muchos Es acertado mayoría de errores en el Tiene poca en escoger los ejercicios momento de claridad en el Uso las (entre 80escoger la momento de Correcto de operaciones 89%) tiene operación escoger la las de forma claridad en que debe operación que Operaciones correcta en las aplicar en debe aplicar en más de un operaciones cada cada ejercicio. 90%. que debe ejercicio. Mayor al 35% utilizar. Entre el 6579%)
Máximo Puntaje
100%
100%
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 118 de 127
GUÍA DE APRENDIZAJE U N I D A D I V: E C U A C I O N E S S I M U LT Á N E A S D E P R I M E R
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 119 de 127
GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE
GUIA DE APRENDIZAJE ACTIVIDAD 4 - SEMANA n
1. Título ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO
2. Temáticas revisadas Métodos de Eliminación por Sustitución, Igualación y Reducción. Regla de Cramer.
3. Fecha de entrega //escriba el formato en DD/MM/AAAA
4. Actividad problematizadora general
Cada estudiante realizará un listado de ejercicios propuestos por el docente que demuestre la utilización correcta y la comprensión de cada una de los métodos estudiados. El trabajo será re remitido al docente en archivo con nombre y extensión: SuApellido_SuNombre_Simultáneas.doc
Ejercicios Propuestos
10𝑥 − 3𝑦 = 36 1) Resolver por Reducción y por Cramer { } 2𝑥 + 5𝑦 = −4 2) Resolver por Igualación y por Cramer {
11𝑥 − 9𝑦 = −11 } 13𝑥 − 15𝑦 = −2
9𝑥 + 7𝑦 = −4 3) Resolver por Sustitución y por Cramer { } 11𝑥 − 13𝑦 = −48 4𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 8 4) Resolver por Reducción {3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = −1} 2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 3 6𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 12 5) Resolver por Cramer { 9𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 37 } 10𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 21
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 120 de 127
6) En cada uno de los siguientes Sistemas de Ecuaciones Lineales:
¿Cuál método cree usted que nos ofrece mayor sencillez en el momento de solucionarlo? Sustente su Respuesta.
5. Producto esperado Ejercicios Realizados
6. Forma de Entrega Correo Interno.
7. Rubrica de evaluación RUBRICA TRABAJO INDIVIDUAL DE REALIZACION DE EJERCICIOS Criterios de MEJORABL CON SERIAS EXELENTE BUENO Evaluación E DIFICULTADES La mayor 90-100% de Casi todas parte (65las (80-89%) las Más del 45% de 79%) de las Errores soluciones soluciones las soluciones soluciones Matemáticos no tienen no tienen tienen errores no tienen errores errores matemáticos. errores matemáticos. matemáticos. matemáticos. Tiene En la muchos Es acertado mayoría de errores en el Tiene poca en escoger los ejercicios momento de claridad en el Uso las (entre 80escoger la momento de Correcto de operaciones 89%) tiene operación escoger la las de forma claridad en que debe operación que Operaciones correcta en las aplicar en debe aplicar en más de un operaciones cada cada ejercicio. 90%. que debe ejercicio. Mayor al 35% utilizar. Entre el 6579%)
Máximo Puntaje
100%
100%
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 121 de 127
GUÍA DE APRENDIZAJE U N I D A D V: D E S C O M P O S I C I O Ó N FA C TO R I A L
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 122 de 127
GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE
GUIA DE APRENDIZAJE ACTIVIDAD 5 - SEMANA n
1. Título FACTORIZACIÓN
2. Temáticas revisadas Factor Común Factorar un Binomio Factorar Trinomios
3. Fecha de entrega //escriba el formato en DD/MM/AAAA
4. Actividad problematizadora general
Cada estudiante realizará un listado de ejercicios propuestos por el docente que demuestre la utilización correcta y la comprensión de cada una de los casos de factorización estudiados. El trabajo será re remitido al docente en archivo con nombre y extensión: SuApellido_SuNombre_Factorización.doc
Ejercicios Propuestos de Factorización 1) Factorizar mostrando el procedimiento y definiendo el nombre del caso: a. 35𝑥 2 𝑦 3 − 70𝑥 3 b. 96 − 48𝑤𝑥 2 + 144𝑥 3 c. 16 − 40𝑥 + 25𝑥 2 d. 81𝑥 2 − 64 e. 49 − 36𝑥 2 f.
𝑥 2 + 12𝑥 − 364
g. 𝑥 2 − 9𝑥 + 20 h. 6𝑥 2 + 7𝑥 + 2 i.
8𝑥 2 − 14𝑥 − 15
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 123 de 127
9𝑥 2 + 10𝑥 + 1
j.
k. 8𝑦 3 − 125𝑧 3 27𝑦 3 − 64
l.
2) Completa el término que falta para que la expresión sea un Trinomio Cuadrado Perfecto a.
25𝑥 2 + _______ + 16
b.
______ − 42𝑥 + 49
c.
𝑥 2 − 20𝑥 + _______
d.
36𝑥 2 − _______ + 25𝑦 2
e.
_______ + 2𝑥 + _______
5. Producto esperado Ejercicios Realizados
6. Forma de Entrega Correo Interno.
7. Rubrica de evaluación RUBRICA TRABAJO INDIVIDUAL DE REALIZACION DE EJERCICIOS Criterios de MEJORABL CON SERIAS EXELENTE BUENO Evaluación E DIFICULTADES La mayor 90-100% de Casi todas parte (65las (80-89%) las Más del 45% de 79%) de las Errores soluciones soluciones las soluciones soluciones Matemáticos no tienen no tienen tienen errores no tienen errores errores matemáticos. errores matemáticos. matemáticos. matemáticos. Tiene En la muchos Es acertado mayoría de errores en el Tiene poca en escoger los ejercicios momento de claridad en el Uso las (entre 80escoger la momento de Correcto de operaciones 89%) tiene operación escoger la las de forma claridad en que debe operación que Operaciones correcta en las aplicar en debe aplicar en más de un operaciones cada cada ejercicio. 90%. que debe ejercicio. Mayor al 35% utilizar. Entre el 6579%)
Máximo Puntaje
100%
100%
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 124 de 127
GUÍA DE APRENDIZAJE UNIDAD VI: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 125 de 127
GUÍA DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE
GUIA DE APRENDIZAJE ACTIVIDAD 6 - SEMANA n
1. Título ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
2. Temáticas revisadas Fórmula general de ecuación de segundo grado. Solución por Factorización. Factorizar con la fórmula general.
3. Fecha de entrega //escriba el formato en DD/MM/AAAA
4. Actividad problematizadora general
Cada estudiante realizará un listado de ejercicios propuestos por el docente que demuestre la utilización correcta y la comprensión de las ecuaciones de segundo grado estudiados. El trabajo será remitido al docente en archivo con nombre y extensión: SuApellido_SuNombre_Ecuación2.doc
Ejercicios Propuestos de Ecuación de Segundo Grado 1) Resuelva la Ecuación Completar la siguiente tabla: Ecuación 2
𝑥 − 2𝑥 − 15 = 0 𝑥 2 = 19𝑥 − 88 2𝑥 2 − (𝑥 − 2)(𝑥 + 5) = 7(𝑥 + 3) (𝑥 + 4)2 = 2𝑥(5𝑥 − 1) − 7(𝑥 − 2). 𝟑(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐) = (𝒙 − 𝟒)𝟐 + 𝟖𝒙 3𝑥 2 − 2𝑥(𝑥 − 4) = 𝑥 − 12
Forma 𝟐
𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
𝒂
𝒃
𝒄
Discriminante
Raíces 𝒙𝟏 𝒚 𝒙𝟐
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 126 de 127
2) Completar la siguiente tabla: Trinomio
𝒂
𝒃
𝒄
Discriminante
Raíces 𝒙𝟏 𝒚 𝒙𝟐
Factorización
𝑥 2 − 46𝑥 + 408 144𝑥 2 − 312𝑥 + 169 63𝑥 2 − 37𝑥 − 40
5. Producto esperado Ejercicios Realizados
6. Forma de Entrega Correo Institucional
7. Rubrica de evaluación RUBRICA TRABAJO INDIVIDUAL DE REALIZACION DE EJERCICIOS Criterios de MEJORABL CON SERIAS EXELENTE BUENO Evaluación E DIFICULTADES La mayor 90-100% de Casi todas parte (65las (80-89%) las Más del 45% de 79%) de las Errores soluciones soluciones las soluciones soluciones Matemáticos no tienen no tienen tienen errores no tienen errores errores matemáticos. errores matemáticos. matemáticos. matemáticos. Tiene En la muchos Es acertado mayoría de errores en el Tiene poca en escoger los ejercicios momento de claridad en el Uso las (entre 80escoger la momento de Correcto de operaciones 89%) tiene operación escoger la las de forma claridad en que debe operación que Operaciones correcta en las aplicar en debe aplicar en más de un operaciones cada cada ejercicio. 90%. que debe ejercicio. Mayor al 35% utilizar. Entre el 6579%)
Máximo Puntaje
100%
100%
F U N D A C I Ó N
T E C N O L Ó G I C A A N T O N I O D E A R É V A L O - T E C N A R F A C U L T A D E C I E N C I A S D E L A I N G E N I E R I A T E C N I C A P R O F E S I O N A L E N C O M P U T A C I Ó N Á L G E B R A
Fecha: 18/12/2013 Versión: 1
Página 127 de 127