Libro Algebra Domingo Savio 2013 Imprimir

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra

nivel

Pre-Universitario…¡

Nos pide (m.n)=90

POLINOMIOS 1) calcular el coeficiente del polinomio M=

, si su grado

absoluto es 8 y el grado relativo de „y‟ es 1. Solución::

3) hallar el coeficiente del monomio: R(X)=2n √

√

grado. Solución: Método práctico solo trabajamos con la variable debida que solo nos importa el grado.

Primero grado relativo.(GR) de „Y‟ 3a –b=1, de donde b=3a-1………(I)

=2, de donde n=7 pero

Segundo grado absoluto (GA) 3a+2b+3a-b=8, 6a+b=8……..(I)

de

, si es de segundo

√

donde

nos pide coeficiente (2n)=14 4) calcular el valor de „x+y‟, en el √

Remplazando (I) en (II)

monomio. P=

6a +3a-1=8, 9a=9

G.A.=5 además: x=3y-1

a=1, de donde b=3a-1 para ello b=2

Solución:

Nos pide:

Otra vez trabajamos exponentes.

=1 Rpta.

2) calcular „m.n‟, si el grado absoluto es igual a 20 del polinomio P(X;Y)=4

, y su grado relativo de „y‟ es 8.

, si se sabe que:

√

solo

con

los

=5, de donde x+3y-2=15, x+3y=17 de la condición x=3y-1

Solución:

Tenemos 3y-1+3y=17

GA (grado absoluto es el mayor)

6y=18, y=3 , x=8 nos pide (x+y)=11 Rpta.

m+n+1=20…..(I) GR (grado relativo) n - 2=8, de donde n=10 remplazando en la ecuación (I) m+10+1=20, m=9 Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

1

5) si la expresión: √[ grado cero, calcular „n+4‟. Solución:

√ √

] , es de

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra Una vez más solo trabajamos con las variables. =0, de donde n=24 nos pide „n+4‟=28 Rpta.

√ √


4m+2n+2=36……… (I) Por otro lado GR(x)-Menor expo.(y)=12 3m+n+1-(m+n-1)=12, donde 2m+2=12

6) hallar el coeficiente del monomio: R(x,y,z)=4mp√

nivel

m=5 remplazando ecuación

, si su grado

en

la

primera

4(5)+2n+2=36, donde n=7

relativo a „x‟ es 2, su grado relativo a „y‟ es 1 y su grado absoluto es 5.

Nos pide (m+n)=12 Rpta.

Solución:

8) si el grado de „M‟ es 16 y el menor exponente de „y‟ en el polinomio „M‟ es 6. Hallar el valor de „3m+n‟.

Otra vez trabajando solo exponentes de las variables.

con

sus

M=

GR(X)=2, =2 tenemos que n=4

Solución:

GR(y)=1,

GA=16, m+n+9=16 m+n=7…(I)

=1 donde m=9

Para GA=5 tenemos +p=5, de donde p=2

de

donde

Menor expo (y)=6, de donde n-3=6

7) Nos pide 4mp=4.9.2=72 Rpta.

n=9, remplazando en la ecuación (I) así tenemos m+9=7, m=-2

Sabiendo que el polinomio:

Nos pide (3m+n)=3(-2)+9=3 Rpta.

N(x,y)= , es de grado absoluto 36 y la diferencia entre el grado relativo de „x‟ y el menor exponente de „y‟ es 12. Calcular el valor de „m+n‟. Solución: Para el GA (es la mayor suma de exponentes de cada término) Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

2

9) si en el monomio P(x,y)

√

√

√

,

el

grado relativo a „x‟ es 3, hallar el grado absoluto. Solución: Otra vez utilizando solo los exponentes de las variables.

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra =3, n=-13 nos pide el absoluto será

+5-n=21 Rpta.

10) de las siguientes proposiciones, indicar con (V) si es verdad y con (F) si es falsa. I. el grado de P(x)= es 12. (F), el grado es 6 debido a que cero multiplicado por cualquier número es cero. II. en todo polinomio, el grado absoluto siempre es igual al grado relativo con respecto a una de sus variables.(F) III. el coeficiente principal del polinomio P(x,y)=

, es 72.

Esta dado por el coeficiente de la variable de mayor grado en cada termino Coe. Pri.= =72 (v) IV. la suma de coeficientes del polinomio P(x,y)=

, es 3.

Para la suma de coeficientes (x,y)=(1,1) P(1,1)=

=3 (v)

FFVV 11) si el grado absoluto del polinomio P(x,y)= , es 22 y el grado respecto a la variable „x‟ es 7, hallar m.n Solución: GA=22, 2m+n+3=22 de donde 2m+n=19 Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

3

nivel


GR(x)=7, 2m-1=7 de remplazando a 2m+n=19

donde

m=4

2.4+n=19, n=11 Nos pide m.n=44 Rpta. 12) dados los polinomios. )

P(x)=(

) y R(x)=7x+4.

Q(x)=(

Si el grado del polinomio producto de los tres polinomios es 25, entonces el valor de „n‟, es: Solución: Sabemos que en una multiplicación se ] =25 suma. [ P(x) su grado es Q(x) su grado es 2. R(x) su grado es 1. Remplazando a la ecuación +2 +1=25, llamaremos entonces +2a=24, factorizando a(a+2)=24, tenemos a=4 Entonces

,

n=2 Rpta.

13) determine la suma d coeficientes en P(x)=

+6

Solución: Sabemos que suma de coeficientes se calcula con P(1), para x=1

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra P(1)=

14) Determinar la suma de coeficiente del polinomio: +13

16) Siendo P(X)=3x+1 la suma siguiente P(0)+P(1)+P(2)+…..+P(20);es: Solución:

Solución: Para la suma de coeficiente se calcula con P(1)= +13

Para P(0),

P(0)=1

Para P(1),

p(1)=4

Para P(2), p(2)=7

P(1)=589 Rpta 15) El término independiente coeficiente principal de:


el grado es: 2+n+4+n=18 Rpta

+6=67 Rpta.

P(X)=

nivel

y

Para P(20), P(20)=61 Remplazando:

P(X)=

1+4+7+……..+61, sabiendo que la razón es 3, y hay 21 términos la suma es:

Son iguales. Hallar el grado de P(x):

S=(

Solución: Termino independiente se calcula con P(0); entonces P(0)=coef. Princ…….(I) Remplazando para T.I P(0)=

)

Donde a1=primer término, an=ultimo termino y n es número de términos S=(

)

=651 Rpta

17) Si se cumple: P( -7)=4 -15 y P(F(x)+3)=8x-11

P(0)=(3)(n+2)(n)(1)

Hallar F(-4)

Para coeficiente Princ.

Solución:

P(x)=1.8.3.6

-7=F(x)+3

Remplazando a la ecuación (I)

=F(x)+10

3n(n+2)=3.8.6

Remplazando en el original:

n(n+2)=6.8

P[

n=6

8x-11=4F(x)+40-15

Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

4

]=4(F(x)+10)-15

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 8x-36=4F(x)

nivel


E=

2x-9=F(x) E=

F(x)=2x-9 Nos pide Hallar F(-4):

E=1/6 Rpta.

F(-4)=2(-4)-9

20) Determinar el grado de:

F(X)=-17 Rpta

N(x)=

…. 20 Factores

18) Siendo P(x)=2x-1. Hallar el valor de: Solución:

P(P(P……P(P(x))…….))

7+8+9+…………………………….

100 Factores 19) Si P(x)= +…….+ Determinar el valor de la siguiente expresión:

Primero hallemos = +(n-1)r, donde Ultimo termino

E=

=primer termino

Solución: P(x)=

n=número de términos +…….+

suma notable.

,

es

una

r=razón

=P(x)

7+(20-1)1=26

Primero. P(x-1)=

Para la suma es:

P(x-1)=

S=

Segundo. P(x)=

S=

Tercero.

S=330 Rpta.

P(

)=

21) Determinar el grado de la expresión

P(

)=

E(x)=6[

Ahora remplazamos en E Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

5

]

[

]

8P(x).Q(x)

Si P(x) es de cuarto grado y Q(x) es de tercer grado.

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra Solución:

nivel

[

E=

Supongamos P(x)= , Q(x)= el grado solo trabaja con el exponente y no depende la coeficientes. Primer término. 4(4)=16 Segundo termino. 3(6)=18 Tercer término. Por ser producto se suma 4+3=7, de todo ello se ve suma y diferencia por lo tanto es el mayor entre (16,18 y 7) Rpta. 18

] [


]

[

; sabiendo que P(x)

]

es de quinto grado y Q(x) es de tercer grado. Solución: Sea P(x)=

, Q(x)=

5(4)+{

}-6(3)

20+5-18=7 Rpta. 24) Si la expresión: P(x)=

[

] [

]

; es de grado 8.

Hallar el valor de „‟n‟‟ 22) Hallar „‟6m+7n‟‟ en la expresión:

Solución:

P(x,y)=√ que: G.A(P)=53 ; G.

7+20(2n+3)+12(3n-1)-35(2n)-13(5)=8

; Además se sabe (P)=20

Solución:

25) Si el grado de la expresión:

GA=53,

=53

26m+2n=106, 13m+n=53……….(I) Para GR(x)=20,

=20

8m+8n=40, m+n=5 de donde n=5m….(II) De (II) en (I) 13m+5-m=53, 12m=48 de donde m=4 y n=5-m, n=1 Nos pide 6(4)+7(1)=31 23) Calcular el grado de:


6

n=13 Rpta.

P(x,y)= es 36. Hallar el valor de „‟n‟‟ Solución: n+2+3n+4+2(5)=36, n=5 Rpta. 26) El grado absoluto del monomio: P(x,y,z)=2 es 114. Calcular 5a+15b+20c Solución:

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra GA=114, sabemos que el absoluto es la suma de todos sus exponentes de las variables en un término y es el mayor. 3a+4b+5c+2a+3b+13c+a+11b+6c=114 6a+18b+24c=114, a+3b+4c=19 a todos 5(a+3b+4c)=5(19), Rpta.

5a+15b+20c=95

nivel


+m=110, m(m+1)=10(11) de donde m=10 nos pide =100 Rpta. 29) ¿Cuántos factores se debe de tomar en la expresión? P(x)= ….. Tal que P(x) sea de grado 572.

27) Hallar „‟a+b‟‟ en el polinomio:

Solución:

P(x,y)=

2+6+12+20+………….+

=572

La suma es: Además se sabe que: GA(P)=33; G

(P)-G

-2+ -3+ ordenando.

(P)=6.

-4+

-5+……… -

Solución: (2+3+4+5+…+n)=572

Para el absoluto es el mayor

Es suma notable

GA=33, 2a+2b+9=33….. (I)

=572

Para los relativos GR(x)-GR(y)=6, 2a+b+3-(b+7)=6

=572

2a-4=6, a=5 remplazando en (I)

n(n-1)(n+1)=1716

2(5)+2b+9=33, b=7 nos pide

(n-1)(n)(n+1)=(11)(12)(13) comparando.

(a+b)=(5+7)=12 Rpta. 28) Si el grado de la expresión: P(x)= ; Es 108. Calcular el valor de „‟

‟‟

n-1=11, n=12 es el número de términos como empieza de 2 restamos posición 1 entonces es 12-1=11, hay 11 términos Rpta. 30)

m+2+(m+2)(m-2)=108

P(x)= Hallar independiente de P(x).

m+2+

Solución:

Solución:

=108


7

-n=572,

Si;

el

termino

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra Para T.I.=P(0), así tenemos. P(0)=

-(0+2)(0-3)

nivel


c=1, b=2 y a=3 entonces suma de coeficientes es 2(a+b+c)+abc=18 Rpta. 34) En la siguiente identidad polinomios

P(0)=32-27+6 P(0)=11 Rpta.

de

23

31) Calcular la suma de coeficientes de: P(x)= Solución:

El valor de a+b+c+d, es: Solución:

Para suma de coeficientes es P(1): P(1)=

23

+5 Dónde: comparando por términos como semejantes 23=3c+2, c=7

P(1)=0-1+1+5=5 Rpta. 32) Si el monomio

√ √

es de tercer

grado. Hallar el valor de „‟m‟‟

a=-2, d=8, b=c, c=7 Nos pide (a+b+c+d)=20

Solución:

PRACTICA I 1+

=3

m=22 Rpta. 33) Hallar la suma de los coeficientes del polinomio completo P(x)= Solución: Primero factorizando. P(x)=c P(x)= como es completo:

35) sea: P(x,y)= El grado relativo a x es 12 y el grado absoluto es 18. Hallar GR(Y) 36) Hallar la suma de los coeficientes del polinomio ordenado en forma decreciente P(x)= 37) Determinar el independiente del polinomio: P(x)=

término

….+mx+(m+n)

Que es completo, ordenado y de grado 7. Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

8


nivel


38) El grado del polinomio

46) En el polinomio

P(x,y,z)= , es 10, Hallar la suma de los coeficientes.

P(x,y)= suma de sus coeficientes.

39) Construir un polinomio de segundo grado, si el coeficiente de „‟X‟‟ y del termino independiente son iguales. Además P(1)=7 y P(2)=18 Hallar el coeficiente de

47) Si el polinomio P(x)= Mónico. Hallar el valor de „‟n+a‟‟

P(x,y)=

01._ Hallar la proposición no incorrecta de las siguientes expresiones:

Hallar „‟m‟‟

a)

41) Si

, b)

. Hallar los valores de „‟a‟‟ 42) Si el polinomio

c)

P(x,y)= es homogéneo de grado 16. Hallar „‟m-n‟‟ d)

43) Si el grado del polinomio √

√

, es 8. Hallar el valor

44) Si el grado del polinomio P(x)= es 49. Hallar √ 45) Hallar polinomio

el

Toda expresión algebraica es un polinomio. El grado de un polinomio en “x” solo se define por el mayor exponente de esta variable. Si un binomio es un monomio entonces sus términos de dicho binomio son semejantes. El grado absoluto de: P(x )  2x5 y 4  4x 2y 2  3x 7 y 3 , es 10

de „‟m‟‟

Todo polinomio completo en una variable implícitamente es ordenado. 3 n  3 m  2 mn 02._ Sea: P  x, y   4 x y z , además Hallar G.R.  x   G.R.  y   5 . G.A.  P   11 ; “mn”. e)

a) 15 b)20 c)25 d)30 e)12 grado

absoluto

del

03._ Hallar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio.

P(x)= ………..

P( x )  2nx n  3  3nx 2  4nx5  n

52 factores

a) 24 b) 38 c) 36 d) 75 e) 52


9

es

PRACTICA II

40) Si el polinomio

√

. Hallar la

n


nivel

04._ Sean:

08._

Hallar

I) P  x, y   2 b  c x 2b 1y b  3 ;

 1  m 3m  2n 5m  n P  x, y     9 x y 2

Q  x, y   x c  2 y c  4

II)

G.A.  20

; Q  x, y 

Hallar el coeficiente de P  x, y  .

05._ Hallar el coeficiente del monomio de grado 21: P(x; y )  5m n x m  n y p  n p x 5 y 2m  n

d) 245

e) 441

c) 241

2 n 5 m 4

Q  x,y   16 x a)5 d)

y

b)23

23 5

G.R.  x  G.R.  y 

1,

. Hallar: m/n. 5 23

[(x

b) 16

81 16 d)

16 e) 81

M(x )  3

) x n 2

] x

4

4 2

((x )  x )

b) 8 c) 6

c) 20

a)4

x a 2 x a 5 x a 1

b) 8 c) 6

d) 7 e) 2

m  n 1 n

y  6x

mn3

y

n2

, cuyo y además se cumple que:

G.A.  21

G.R.  x   G.R.  y   7 .

a)6

b) 5 c)23 d)11 e)31

11._ Si: [P.Q.R]º=289.¿Halle “n+1”? nn

Q(x )  [3x n

Se reduce a un monomio de 8vo grado, halle “n”. a)4

a)81

P(x )  [3x n

07._ Si: S(x ) 

cuyo

Calcular “ 3m  n ”

c) 

2n 3 2

,

10._ Sea el polinomio:

5 e) 23

n 2 3

d) 5 e) 2

nn

 7x n  3]n

nn

 7x  1]2

R(x )  11x  1

a)6

b) 8 c) 4

d) 7 e) 2

12._ Calcular “ mn ”, si el polinomio: P  x, y   4x

m 1 n  2

y

 6x

m  2 n 1

y

 6x

m3 n2

y

Es de grado absoluto 20; G.R.  x   8. Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

10

de

G.R.  x   14

y

Q  x; y   7x

06._ Si: G.A.  Q   15 ,

coeficiente

09._ Halle “a” si el monomio es de segundo grado:

a)18 b)32 c)40 d)30 e)24

b) 240

el

n

Si los grados absolutos de P  x, y  y son 8 y 4 respectivamente.

a) 221


COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra a)71 b)70 c)68 d)69 e)72

nivel


Es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables. Calcular el grado relativo de “y”

13._ Se tiene el polinomio: P(x; y )  3x a 3 y 4  5x a 1y 5  axa y 7

a)1

b) 3 c) 5

d)7

e) 9

Donde el grado relativo de “x” es 5 ¿hallar la suma sus coeficientes?

18._ El grado del polinomio:

a)12 b)11 c)10 d)18 e)14

P(x) = (x

14._ el grado relativo a “x” vale 12, siendo el grado absoluto del polinomio 18. Hallar el grado relativo a “y”.

Es 48. Calcular el valor de “n”.

a) 5

b) 6 c) 7

y

 2x

E  x, y  

k 5 k 6



 x  y   x2  1

x

y

k  4 k 7

suma

de coeficiente del

a)23 b)26 c)22 d)20 e)28 16._

3x

mn 2 m3

y

En

el

x

mn 5 m4

y

polinomio:

 2x

m  n 6 m  2

y

Se verifica que G.R.  x   G.R.  y   15 y que el menor exponente de “y” es 5. Calcular el grado absoluto del polinomio. a)21 b)15 c)31 d)37 e)17 17._ Si el grado absoluto de: P(x; y )  x 2a y b  2  3x a y b 1  x a y b


11

2

+ 5) ;

2

  xy 4 

5

 x 3  1   x 2  xy 4  y 6 

y

Donde el grado relativo de “x” es al grado relativo de “y” como 4/3 ¿Hallar la polinomio?

3

a)10 b)12 c)14 d)16 e)18

3

P(x; y )  kx

+ 1)(x

19._ Señale el grado de:

d) 8 e) 9

15._ Se tiene el polinomio: k 3 k 2

3n

a)20 b)32 c)23 d)19 e)24 20._ Se tienes dos polinomios P y Q si el polinomio P es de grado 10 respecto a “x”. En el polinomio Q el grado respecto a “x” es 5 grados menos que el grado respecto a “y” .Hallar el grado respecto a “y” en el polinomio P, siendo: 2 2 2 P(x; y)  x m 1y n1  3x m 1y n1  7x m 1y n

Q(x; y )  2x m  7 y n  6  5x m y n  2  9x m 1y n  3

a)16 b)15 c)12 d)19 e)18 21._ Calcule “m” en: F  x    3x

m

x

m 1

 1

m

 mx 2  x  3  3  x 2  192 

Sabiendo que el coeficiente principal del producto es igual al término independiente del mismo.

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra a) 2 b) 3 c) 5

d)12 e) 4

nivel


27._ Determine el grado del polinomio

22._ Si el término independiente y el coeficiente principal del polinomio son iguales. Hallar el grado del polinomio: 2 n P  x    x  3x  5  6x  x  n   2x 4  x 2  n  1  10x n 1  5x n  1 

Px

sabiendo que el grado de:

 P  x   2  Q  x  3 Es igual a 21 y además 3 2 el grado de  P  x    Q  x   es igual a 24. a)6

b) 7 c) 5

d) 3 e) 1

a)12 b)13 c)10 d) 8 e)18 23._ Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio: 101

P(x  3)  (3x  7)

a)7

n

 (x  3)  6x  1

b) 9 c)-9 d)10 e)11

n

b) 5 c) 7

n

n

;

Calcular “n” sabiendo que la suma de sus coeficientes es 99. d) 6 e) 5

26._ Dado el polinomio: n

;

Halle el valor de “n+3”, sabiendo que la suma de coeficientes y el termino independiente del polinomio suman 249. a) 7

b) 6 c) 8 d) 5 e) 3


12

es 11 y el grado de

d) 6 e) 5

30._ Si la expresión:

P  x    4x  1    x  1  x  3   10

n

3

 M(x)  es 20. Hallar el grado de N(x). a) 2 b) 3 c) 4

d) 9 e) 8

P  x  1    2x  1   3  x  1

M(x)   N(x) 

4

25._ En el polinomio:

a) 2 b) 4 c) 3

4

grado de

Su término independiente será: a)3

19. El polinomio  P(x)  tiene grado 28. Hallar el grado de Q(x). a) 1 b) 2 c)12 d) 4 e) 6 29._ Sean los polinomios M(x) y N(x). El

24._ Dado el polinomio: P(x  2)  (7x  11)  3x  1  3

28._ El grado del polinomio P(x)  Q(x) es

Px 

4 n n  3x 8

3 4  n  4 x

,

Se reduce a un término. Hallar el coeficiente de dicho término. a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e)

31._ Si el grado del siguiente monomio: 6 5

4 3

M x   3x  9x  x  2x m

m

Es 8, el valor de “m” es: a)12 b)10 c) 5

d)11 e) 7

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 32._ Si: P  x    n  1   n

n

n

x

n

3n



n

n

x

n

2n

nivel

P  x, y   x

;

a)0

Es de grado 32, el coeficiente es:


a 6 a  5

y

x

2a 6 4

y   xy 

a 7

,

b) 7 c)13 d)12 e)14

37._ Sea el polinomio: a)5

b) 2 c) 4

d) 9 e) 6

33._ Hallar “n” si el grado del polinomio:



Px  x

n

n

n

 x 1



n

n

n

n

Es 272.

a)1

a) 4 b) 2 c) 0 d)12 e)16 34._ La expresión:



E  x, y   17x y  11 y x 5 4

2 2



2

x  2 x  xy  3

n2 n

y   xy  y 2

n

n

x

n

n

,

Con si el producto de los grados relativos de “x” e “y” es 24. El valor de “n” es:

n

 x  2 n

P  x, y   x

b)2

c) 2

d) 3 e)-3

38._ El siguiente monomio es de grado 99. Calcule “n”.

4

a) Es un trinomio

3

x

2n 1

y

n2



3

b) Se puede reducir a un binomio

a)6

c) Se puede reducir a un monomio

39._ Hallar el grado absoluto de la expresión, si con respecto a “y” es de 2° grado:

b)10 c)12 d)16 e)20

d) Es equivalente a cero

n 1 n 3 n 5

e) No es un polinomio

25x

35._ En el polinomio, donde “n” es impar:

a)14 b) 8 c) 6

P  x  1    2x  1    x  2   128  2x  3  n

n

La suma de coeficientes y el término independiente suman 1; luego el valor de “n” es: a)5

b) 7 c) 9

36._ Halle polinomio:

el

d)11 e)13 grado

absoluto

del


13

y

n 1

d) 7 e) 9

40._ En la siguiente expresión: C(x) =

3

x

n 1 4

 x

6

x

n

5n  4

Determinar “n” para que dicha expresión sea de grado 6. a)44 b)16 c)40 d)24 e)48

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 41._ Halle el grado del monomio: 3

6 5 2

F(x ; y) = 12x y z

a) 0 b) 1

c)11 d) 7 e)13 5

42._ Si el grado de 5

de

P

2

3

Q P

Q

3



P Q

2

es 44 y el grado

es 3. Calcular el grado de

2

;

nivel

46._ Si el grado de 2

P (x)Q (x)

grado de:

3

47._ Si la suma de los monomios T1 y T2:

a)33 b)42 c)24 d)12 e)1024

T2 

a

– d x



n

 9x  2x  1



n

n 1

Encuentre el valor de “n”. a) 5

b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

44._ Calcular el valor de “n” en: 2

3

es 22. Calcular el

a)12 b)13 c)14 d)15 e)16

– bx

n

es 13 y el

P (x)  Q (x) .

c

n

2

P(x)Q (x)

2

T1 

 nn  n  12x  7  x  

3

grado de

sabiendo que P y Q son 2 polinomios de grado desconocido.

43._ Si el siguiente polinomio es de grado 20:


a d

c– 2

y y

ca

5b

Resulta ser otro monomio. Calcular el valor de “k” en la relación: T1  T2  kx

5

y

10

a) 4 b) 7 c) 5

d) 6 e) 8

48._ ¿Qué valor debe asignarse a “n” en la expresión:

x

n2

x

n 1

n

y y

n 1



n

n

(x  1)(x  2)(x  3)...(x  n)

Si el grado del producto es 210.

De modo que su grado absoluto excede en 9 al grado relativo a “y”.

a)20 b)15 c)30 d)25 e)35

a) 2 b) 1

45._ Hallar el grado del monomio siguiente:

49._ Si la expresión: S(x) 

M(x,y,z) =

a

b

a

b

c

x c y  z

Si se cumple que: ab bc ac    20 a b c

a)97 b)65 c)57 d)87 e)77


14

[(x

c) 4

n2 3

d) 9 e) 3

) x

2n  3 2

n 2

4 2

] x

4

((x )  x )

Se reduce a un monomio de 8° grado, halle el valor de “n”. a)4

b) 3 c) 6

d) 5 e) 2

50._ Halle “h” si en el siguiente polinomio:

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 3

P(x)  (2x  1)  4 x  2

h

b) 2 c) 3

mn.

d) 4 e) 0

a) 32 d) 30

51._ Sea el polinomio: P(2x-1)= (5x-1)

m

+ (2x+ 1)

m

m

- 2x + 1

P  x  .  Q  x  

 P  x   .  Q  x  

el grado de

2

es 13, y

3

es 22.

 P x  . Q x  Calcule el grado de         3

a) 28 d) 25

3

b) 21

c) 20 e) 27

56._ Hallar la suma de valores de “ n ” para los cuales la expresión

m

c) 3

c) 34 e) 35

2

2 ?

a)-2 b) 1

b) 39

55._ Si el grado de

¿Qué valor toma “m” si se cumple en el polinomio que la suma de coeficientes y su término independiente suman: 3 24    2


es un polinomio cuyo grado absoluto es 17, y su grado respecto a “ x ” es 6, calcule

;

Se cumple:  coef  T.I.  12 a) 1

nivel

d)2

e)-1 P  x, y   4 x

10  2 n 2

128

 3y 2

n

52._ En el polinomio: 2n

a) 3 d) 4

2

P(x+ 1) = (3x + 2) (5x + 7) (4x + 7)

, sea un polinomio.

b) 5

c) 6 e) 2

3   coef  686  Térm.Ind.

57._ Si el menor grado absoluto que se presenta en uno de los términos del polinomio:

Calcular el valor de “n”.

P  x, y   x

Se observa que:

a)1

b)

c) 2

y

n 5

 2nx

2n6

y   2xy  4

n6

es 2. Halle el grado absoluto del polinomio.

d) 3 e) 2 3

3 2

a) 13 d) 14

53._ Si   es un polinomio completo, ordenado y decreciente y de grado absoluto 4 hallar el valor de n . P x

P  x   3x n

m

n

2

n

2 3

 5x m mn  4x 2m4  2x 2m5  x 3m 3 .

a) 4 d) 2

b) 5

c) 6 e) 3

54._

P  x, y   x

Si m 1 n  6

y

 6x

m 2 n5

y

 3x

m3 n

y


15

n 6

58._

b) 15

Dado

P  x, y, z   5x ( a 1)

b a

.b

c) 16 e) 12

el  6 y ( a 1)

polinomio a 2b

.b

 5z b

a  2b

,

si

G.R  G.R y  G.R z ; b   1.

x se cumple que Calcular el valor de a  b.

a) 3 d) 4

59._

b) 5

Si

el

grado

c) 6 e) 2

del

monomio


b) 15

60._

a) 13 d) 14

c) 16

d) 12 P  x, y   x

el

3n 1

y  2x n

grado

absoluto

2n 2

n 3

y

2n

x

y

3n

es

de

61._

b) 5

Si

el

m

11.

a) 2 d)4

c) 3 e) 9

grado

del

47,

determinar

el

de:

c) 3 e) 2

62._ Calcular el valor de “ n ” en la P( x, y )  ( x n  2  x n 1 y n  y n 1 ) n

expresión de modo que el grado absoluto excede en 9 al grado relativo a y.

P  x, y   m x 2

m n 2

grado

y

m 1

 2nx

del

y

polinomio  5x

m 3

y n  2 es de

b) 70

67._

Si

P ( x, y )  x

3n 1

el

grado

y  2x n

c) 80 e) 102

2n 2

2n

y

calcular el valor de

n.

a)3 d) 11

b) 5

x

absoluto n 3

de

3n

y es

11, c) 7 e) 9

m n

y

m 1

si su grado absoluto es 10 y el grado relativo respecto a “ x ” es 7.

polinomio m n x 2

2

m  n 1

b) 129

d) 121

y

m

a)3 d)2

b) 5

69._

Dado

P( x, y )  (m  1) x c) 141 e) 143

64._ Determine el grado del polinomio P( x)  4(3x 2  1) 2 n 1 (2 x  1) 2 n  1, si se sabe que Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

16

 6x

n 1

c) 3 P ( x, y , z )  4 n m x 3 m  2 n y 5 m  n z 5 e) 1

. Es 13 y el grado relativo de “ x ” es el grado relativo de “ y ”como 3 es a 2, halle la suma de sus coeficientes. a) 133

el m 2

68._ Hallar el coeficiente del monomio

b) 9

63._ Si el homogéneo

y

n 2

a) 60 d) 90

b) 0

a) 2 d) 4

m 1

grado absoluto 20 y grado relativo respecto a “ y ” 8, calcule mn.

P( x)  10 coeficiente principal de P( x) a) 1 d) 5

c) 10 e) 6

Si

P ( x, y )  4 x

polinomio

valor

b) 8

66._

P( x)  (9 x 8  1) n (2 x 2  3x 3  1) n  2 (3  x 3 ) 3

Es

c) 11 e) 12

P ( x, y )  (m  3) x 9  m  mx m  2 y 3  y 17  2 m .

Calcular el valor de n . a) 6 d) 4

b) 15

65._ Dar la suma de coeficientes del trinomio

e) 14

Si


la suma de coeficientes de P sea un término independiente como 43 es a 1 .

3

P( x)  3x 6 9 x 4 x m 2 x m es 8. Entonces el valor de m  2 , es:

a) 13

nivel

5 m

el

y x y 3

c) 6 e) 4

4

m3

polinomio:  7x y 4  m2. m

Halle la suma de coeficientes para le mayor valor de m .

PRACTICA III


nivel


1. Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas. I. El grado relativo de un polinomio está determinado por menor exponente de la variable

I) Un polinomio completo siempre es ordenado.

II. El grado absoluto de un polinomio en una variable se determina mediante el término de máximo grado

III) En un polinomio idénticamente nulo sus exponentes son iguales a cero.

III. En un polinomio completo y ordenado en una variable, el número de términos es uno más que su grado a)Sólo I

b)I y III

c)Sólo III

d)I, II y III e)II y III

II. Un polinomio homogéneo puede ser completo. polinomio

completo

es

IV. Un polinomio en una sola variable, puede ser ordenado, completo y homogéneo. a) VVFF VVFV

b) FVFF

d) FFVF

e) VFVF

c)

3. Indicar si las afirmaciones son Verdaderas (V) o Falsas (F). Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

17

IV) En un polinomio completo y ordenado en forma ascendente, el primer término es el de mayor grado. a) FVFF

b) FVVF

c) VVFV

d) FFVV e) VFVF 4.

2. Determinar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I. El grado absoluto de un polinomio puede coincidir con el grado relativo de una de sus variables.

III. Todo ordenado.

II) Un polinomio completo de grado “n” posee (n+1) términos.

Hallar el grado absoluto de:

 x  y   x  y3   x  y4  2 7

7

7

........  x  y

a) 1463

b) 1999

d) 2000

e) 9999



20 7

c) 1974

5. Sean P(x) y Q(x) polinomios de grados “m” y “n” respectivamente. De los siguientes enunciados cuáles son verdaderos: I. El grado del polinomio producto P  x   Q  x  es igual a m  n. II.

El grado del polinomio suma  P  x   Q  x   es igual a m  n.

III.

El grado del polinomio diferencia  P  x   Q  x   es menor o igual que el valor máximo de “m” y “n”. a) Sólo II

b) I y II

d) I y III

e) I, II y III

6.

Señalar

el

c) II y III

coeficiente

del

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra monomio S  x;y    2 a   5  a  b  x a  b y 2a  b Si es noveno grado, y de octavo grado relativo a “y” a) 50 b) 100

c) 150

d) 200

7. Si el grado de la expresión reducida equivalente a: M  x   n x3 x8 ; es uno: Hallar el grado de: P x   x 2  x8  x18  x32  ...

Si el grado del polinomio: n n2 3 P  x    9x 8  1   2x 2  3x 3  1   3  x 3  es 47

Determinar:

b) 72

d) 128

c) 98

c) 3

d) 4

e) 5 12. ¿Qué valor debe asignarse a “n” en n la expresión:  x n  2  x n 1 y n  y n 1  de modo que su grado absoluto excede en 9 al grado relativo a “y”. b) 4

13.

c) 1

d)9

e) 3

Determinar el grado del producto:

P  x    x  1  x

e) 162

Coef. principal de P  x 

10

b) 2

a) 2

" n "tér min os


11.

a) 1

e) 250

a) 50

nivel

2

12

 1  x

36

 1  x

80

 1    

10 paréntesis

8.

Halle “a” si el equivalente de:

M(x) 

3x

65

21x

43

x

a

2x

a

, es un monomio de

grado 8. a) 10

b) 11

d) 13

e) 14

9. 2 5 3

 x 2y 

2 4

 xmy 

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

e) 3410

c) 385

14. Cuántos factores han de tomarse en la expresión:

; hallar

P x

sea de grado 330.

a) 10 b) 12 c) 13 14. Clasificar variables x,y: m

n

c) 3

10. de

Si la suma de los grados absolutos los términos de: 2 b 7 2b 14 10 a a   a  1 .¿Qué ax  5ab  xy   by es: valor asume “b”? a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

18

d) 3036

Tal que

n

GR x   2 y GA  5

b) 3045

P  x    x 2  1  x 6  2  x 12  3    

Dado el monomio:

x y

Si:

c) 12

a) 3025

d) 9 el

e) 8

polinomio

 n  3  x n  4 y n  3   n  2  x n  3 y n  2   n  1  x n  2 y n 1  nx n 1y n n  1024

125

 27

3

b) ordenado

c) irracional

d) completo y ordenado

e) completo en y Dado el polinomio:

P  x   mx

Siendo:

1

a) homogéneo

15.

de

2m 1

 3x

3 m

 m  2x

m2

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra Ordenado en forma decreciente, la suma de sus coeficientes, es: a) 1 e) 3

b) 2

c) –1

d) 0

nivel

20. Si el polinomio P x  es completo y ordenado. Hallar el número de términos. P x    n  2  x

16. Si el polinomio P x,y  es homogéneo y la suma de sus coeficientes es 19. 7 ba 2 b a  16 P x,y    2a  3  x   2  4bx y Hallar el valor de (a+b) b) 4 e) 7

n3

x

n2

21.

a 4

b) 3

d) 12

d 1

n 8

 n  4 x

b) 7

c) 9

 dx

 bx  1  ax   2a  1  x a

4

a 1

18.

Si el polinomio homogéneo: m 5 n 3 m 4 n 2 P(a;b)  a b a b  ... , es ordenado y

d) 11

II)

4 n2

d)13 e)14

y  ...  xy

4 n2

y

4 n 1

y

Que

también es homogéneo, se verifica que la suma de los grados absolutos de sus términos Es 240, según esto halle Ud. Su grado de Homogeneidad. a) 20 b) 15

c) 10

d) 5 e) 25


19

c) 10

P  x   4x  3x  6x   x  2  x  8   1 3

2

es idénticamente nulo.

x

el

es un polinomio homogéneo.

a)10 b)12 c)11

4 n 1

Hallar



polinomio completo.

P  x, y   x

d) 3

e) 12

completo con respecto a “a”, calcular “m + n”. Si es de décimo grado en “a” y grado quince en “b”.

completo

a

 5x  c

b) 9



c) 10

polinomio

 ......

22. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son falsas? I) P  x,y,z   x 3 y 2  x 2 xy 2  xyz  3x 2 y 2  x  y   z4 y

e) 11

19. El ordenado:

n 7

Si se cumple: bc

a) 8

 .....  x

a) 9

 n  3x

valor de:  a  b  c  d 

c) 5

17. Si P x  es completo y ordenado hallar (a + n) si tiene (2n+8) términos. P x   x

n 9

a) 5 e) 10

7x

a) 3 d) 6


es

un

III) Q  x   4  x  3   2  x  4  x  5   2x  x  2   2  x  26 

a) I y II

b) III c) II y III

d) solo I

e) solo II

PARA CASA 1. Reduzca el polinomio “p” si sus términos son semejantes. p  x; y   2mx

a)

x y

d)

25x y

2 5

2

2

m  2n

y

m 3

2

 3nx  y

b)

16x y

e)

25x y

2

2

2

5

n2

mn  0

c)

5

25x y

2

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra Si el grado del polinomio: n n2 2 3 5 R  x    25x  7   100x  1   2x  1  ; es 49

nivel


2.

8.

Calcular:

: M  y   333 y 6 5 555 y 4 3 y a 888 y a es 8,entonces el valor de “a” es: a) 2 b) 6 c) 9 d) 12 e) 16 9. Calcular “n” si el monomio es de

n6

a) 10 b) 4 c) 16 d) 5

e) 6

Si el grado del siguiente monomio

2do grado: 3. Si el monomio: P  x   x x x x n es de cuarto grado. Calcular el valor de “n”. a) 64 b) 16 c) 50 d) 78 e) 1 4. Qué valor debe tomar “n” para que la expresión adjunta: x

3

x

1



3

x

1



3

x

S( x ) 

a) 39 b) –39 27

c) 29

d) –29

e) –

Sean los polinomios: , Q  x  ;  G.A.  P   G.A.  Q   3 Si el grado de:  P  Q  ; es 12 y el grado de P x

Q

es “2” Determinar el grado de P  x  a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. Determinar el grado del polinomio P(x) sabiendo que el grado de 2 3  P  x  . Q  x  Es 21; además que el grado de  P  x  4 . Q  x  2 es igual a 22 PQ

7. 3x

65

b) 2

c) 3

d) 5

e) 7

Si el grado del siguiente monomio 9x 4 3 x m 2x m Es 8

El valor de “m” es: a) 2

b) 6

c) 9

d) 12

e) 16

20

7

x 3n

x n 2

b) 8 c) 10 d) 7 Si la expresión:

e) 9

[( x n  2 )3  x 2n  3 ]2  x 4 (( x n )2  x 4 )2

se reduce a un monomio de 8° grado, halle el valor de “n”.

11.

b) 3

c) 2

d) 5

e) 6

Halle “n” si la expresión:

M x   2

2

5

a 

3

n

x 

4

x

2n



5

x

3n

Es de grado “22” a) 22 b) 25 c) 30 d) 40 e) 45 12. Si el trinomio: a

b

x a b  x bc  c x a c ; es

Homogéneo, de gado 10 de qué grado es a b c a b c el monomio x . x . z ?

a) 7

b) 13

13.

Si el polinomio siguiente:

P  x;y   2x

n2

c) 27 m

 y  3x

d) 33 n3

y

m 1

e) 30

 4x

Es homogéneo de grado 10 y Hallar: a) 1


x n 2 . 21

a) 4

5.

a) 1

a) 6 10.

n

Sea de segundo grado:

4

3

M x 

m  n n  m

b) 2 c) 3

d) 5

e) 6

n 1

y

m 1

G.R.  x   6 .

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 14. En el homogéneo P  x, y, z   a x

2 a

siguiente a

 4aby

b

2b

polinomio

2

 9bz

256

Con; es:

a, b  0

a) 2

b) –2 c) 3

15.

Dado el polinomio homogéneo:

P  x, y   10x

la suma de sus coeficientes

a 3

 2ax

3 4 c

2 b2

 (x y )  x y

b) 8 c) 7 d) 5 e) 9

16. Hallar  m  p  b  si el polinomio es completo y ordenado descendentemente. Px  5 x

m  18

 18 x

m  p  15

7x

Es 10 entonces coeficientes es: a) 16 e) 23

21.

El valor de: “ a  b  c ” es: a) 6

b  p  16

a) 10

b) 24

2 x  7   m x  2  n  x  3

e) 24

Hallar el número de términos en:

Si es completo. cumple

la

siguiente

a  x  3   b  x  4   7  2x  3 

Calcular:

3

a

a) 1 e) 5

c) 3

20. El grado homogéneo: 3 m4 2

T  x, y, z   mx y

z  nx

d) 4

de n 10 6

y z  pxyz

polinomio p


21

c) 45

d) 72

e) 145

b) 27

c) 35

d) 16

a) 3x

e) 31

Sabiendo que; x1; y: f(x) = x  1 , x 1

b) x

c) 1

d) 2x

e) N.A.

24. Siendo f(x) una función definida tal que: f(x) = f(x-1) + f(x-2) Además: f(1) = 3 ; f(2) = 4 Calcular: f[f[f(0)]] b) 24 a) 1

b) 3

c) 4

d) 6

c) 9 e) 7

25. Sea f(x) un polinomio que cumple con f(x+1) = 3 f(x) - 2 f(x-1) Además f (4) = 1 y f (6) = 4

b

b) 2

d) 21

x 1 x 1

Calcular f[f(x)]

m 7 m 6 M x    m  1  x  m  2x  m 5  m  3x  .....

a) 6 19. Si se identidad:

c) 13

los

22. Si el término independiente del polinomio F(3x  2)  9x 2  6x  10  m es 12. Calcule F(5)

23.

en la siguiente

d) 16

de

Halle n si:

P(x) 

17. Calcular identidad:

18.

suma

b) 15

Donde

a) 13

a) 20 b) –8 c) 8

la

P(2)  P(4)  P(6)....P(2n)  145

a) 72 b) 18 c) 34 d) 20 e) 70 "mn "


VALOR NUMERICO

d) –4 e) 4 ba

nivel

Calcular f (5) a) 1

b) 2

26. Si: Calcular:

c) -2

d) -1

f  x   x  2x  2 . 2

e) 0

d) 7

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra M  f f 3   f 2    1

a) 1

b) 2

d) 4

e) 6

d) c) 3

27. Si: f  x  4   x Hallar: “ f  x  ” a)

2

x  4x  5

2

e)

x 5

c)

2

x  4x  5 2

x 5

2

28. Si: f  x  1   x  3 Hallar: f  x  7  a) 11

b)

x  10

d)

e)

x8

x  11

29.

c)

f  x   ax  b

y

b) 2

x  12

34.

De la expresión:

d)

2

Hallar el valor de  P  3   P  1 

d) 18

b) 4

35. Si: Calcular:

f 3 

a) 13 b) 12 c) 16

c) 3

2012 2011  x 1 P  2x 4 x  x 1 

f  2   11 ; f  2   5

Hallar el valor de:

 1 P   2

a) 1 e) 0

a) 2

Si:

30.

Siendo:

Obtener:

x  4x  5

34 30

1 2   P   a x  3x  1  ax  1 

 4x  5

b)


e)

35 30

33.

2

d)

nivel

e) 15

Si:

a)

1 x

P  x  2   x  4x  4

b)

c) 256

d)0

e) 1

P x  1  x  x  x   P 1  x  2

c)

1 x 1

1 1x

d)

3

e) x

1 x 1

2

Hallar: a) 1

E

e) 5

31.

PRACTICA IV

P3  P4 

b) 2

c) 3

d) 4

Hallar “ f  x  ” si se conoce que:

f  x  3   4x  2

a)

4x  6

b)

4x  3

d)

4 x  10

e)

4x  6

32.

c)

4 x  10

Si:

x  3  5x  1 ; Si :  2 f  x    x  1 ; Si : 3  x  5  3x  4 ; Si : x5 

37 30

b)

nn

n

.( x  2 )n

nn

Resulta ser 272. a) 1

b) 2

37.

Dados:

c) 16 nn

n

d) 4

 nn  ; Q(x)   3xn  7x  1   

e) 272 2

Si: grado de P(x), Q(x) . R(x)  289 . Calcular el grado M(x) siendo: 37 30

c)



35 30


22

 nnn  x  x  1   

R(x)  11x+1

f  9   f  3   f  0  f 9   f 3   f 0  

Hallar “n” si el grado de:

 nn  P(x)   3xn  7xn  3  

Calcular:

a)

36.

M(x)  (11xn + 1)2 (x2n - xn)

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra a) 12

b) 6

c) 15

d) 9 e) N.A.

2) Calcular la suma de coeficientes de: 20 7 P  x    x  1   x  2   x3  5 Rpta. 5 x xm2 3

xm2

grado. Hallar el valor de Rpta.22

es de tercer m.

4) Hallar la suma de los coeficientes del polinomio completo P  x   c  xa  xb   a  xb  xc   b  xa  xc   abc Rpta. 18 5) En la siguiente polinomios

identidad


P  x   x n  2  x m 1  ...  mx   m  n 

1) Sí P  x    x  2 5   x  33   x  2  x  3 . Hallar el término independiente de P  x  . Rpta. 11

3) Si el monomio

nivel

de

23xb 5  bx a  d  dxc  2  cx6   3c  2  xc 5  8 xc  a

El valor de a  b  c  d , es:

Que es completo, ordenado y de grado 7. Rpta. 12 9) El grado del polinomio P  x, y, z   ax3 y a z 2  bxb y 6 z  cxyz c , es10, hallar la suma de los coeficientes. Rpta. 0 10) Construir un polinomio de segundo grado, si el coeficiente de x y del término independiente son iguales. Además P 1  7 y P  2   18 . Hallar el coeficiente de x 2 . Rpta. 3 11) Si el polinomio P  x, y   10  m  x 2 y  nxy 2  5 x 2 y  2 xy 2 Hallar mn .

Rpta. 225 12) Si

a

4



 36 x  a2  a  6  13a2 x ,

Hallar los

valores de a . Rpta. 2, –3

Rpta. 20 6) Hallar la suma de los coeficientes del polinomio ordenado en forma decreciente

13) Si el polinomio m2 n1 7 2n3 es P  x, y   3x y  x  y  homogéneo de grado 16. Hallar m  n . Rpta. 2

Rpta. 3 7) Sea:

14)Si

P  x   mx 2 m 1  3x3 m   m  2  x m  2

P  x, y   2 x m y n 1  3 x m 1 y n  7 x m  2 y n  2  6 x m  3 y n 1

El grado relativo a x es 12 y el grado absoluto es 18. Hallar GR(y). Rpta. 7 8) Determinar el término independiente del polinomio: Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

23

el 5

grado

3

3x6 9 x 4 x m 2 x m

del

monomio

es 8. Hallar el valor de

m. Rpta. 12

15) Si el grado del polinomio



P  x   3n x 2  5

Hallar Rpta. 4

 5 n

n6.

x 7

3m 3

  2 x  3 n2

n 5

Es 49.

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 16)Hallar el grado absoluto polinomio P  x    x8  y 7  x10  y 9  x12  y11  ...

del

52 factores

el n

polinomio

 

9

P  x, y   nx 7 y 68n  x 2 y

n

. Hallar la suma

de sus coeficientes. Rpta. 62 18)

Si

polinomio

P  x   2 x n  nx5 n  x n  2 

n x3

 ax 4 es

Mónico. Hallar el valor de Rpta. 4 el

1 P  x, y     9m x3m 2n y5m n , 3

de

si su grado x

20) Si P  x, y   xa 2b y a b  15 xb y2b a  2 x ab y8 es homogéneo. Hallar el valor de ab  a  b  . Rpta. 160 , sabiendo que

su grado absoluto es 10 el grado relativo a x es 7. Rpta: 1







E(x)  x 2  1 x 4(4)  1 x 6(9)  1 ... Es: n factores

Rpta:

n 2  n  1


x n 1 6

4

xn

x5n  4

,

26)

Si el grado de la expresión: P( x)  ( x m 2  x m  5) m ( x m 2  x m1  8) m2 Es 108. Hallar el valor de m donde m>2. Rpta. m=7

27) Hallar la suma de todos los valore de n, para que: n 2

 4x

n 1

19 n

 5x

n  3x 6

6;

Sea un polinomio. Rpta. 36. 28) Si el menor grado absoluto que se presenta en uno de los términos del polinomio:

P( x, y)  x n6 y n5  2nx 2n6 y 4  (2 xy) n6 Es 2. Hallar el grado absoluto del polinomio. Rpta. 13.

2

2

M ( x)  3

sea 1. Rpta. n=8

El grado de la expresión



Hallar el valor de n para que el

P( x)  x

21) Hallar el coeficiente de 1 E(x, y)  ( ) n 9m x 3m  2 y5m  n 3

Rpta. n=3.

grado del monomio:

absoluto es 10 y el grado relativo a es7. Rpta. 1

24

24) Qué valor debe asignarse a n en la expresión: P(x,y) = (xn+2+xn+1yn+yn+1)n

25)

na.

coeficiente

n

22)

23) El grado absoluto del polinomio: P(x,y) = (x3y+x)5(x5y+x2)5(x7y+x3)5 …20 factores, es:

De modo que su grado absoluto exceda en 9 al grado relativo de y.

el

19)Hallar


Rpta. 2300

Rpta. 3068 17) En

nivel

29)

Dado el polinomio:

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra Q(a, b)  3a x5b y3  6a 2 x1b y (a1 xb 4 )  8a x2b y1 De

grado absoluto 22 y grado relativo respecto a (a) ES igual a 9. Hallar x  y Rpta. -7 30) Dados los polinomios P y Q donde el grado absoluto de P es 14 y el menor exponente de x en el polinomio Q es 10. Indicar cuál es el grado absoluto del polinomio Q. P  x, y   3x

m 7 n  2

y

 2x

m  4 n 1

y

2  x m  2 y n 1 5

nivel

35) Si los exponentes de las variables del polinomio son iguales, reducir la expresión, siendo 6 P  x    a  b2  x a b  ab 4 x a  b   b  a  x Rpta: 5x 36)

5

5 2n

4 n3

es

igual a 4. Rpta:2 Q  x   mx m  4  2mx m  5  3mx m  7 , 32) Sea un polinomio de quinto grado. Señala el coeficiente del término cuadrático. Rpta:27

33)

Si

a b   2, b a

a  0, b  0 .

Hallar

el valor de:  a  12   b  32 . H  a  32   b  12 Rpta:1 34)

Si el monomio

grado. Calcular Rpta:28

6

m.

Rpta:15

37)

Sí

para

ab a b 2



2

2

5 ; 3

a b E      b a

que valor se obtiene 2

Rpta:-1/5 38) Si p  q  r  2 , pq  pr  qr , Hallar el valor de p 2  q 2  r 2 . Rpta:4 39)

Si a  b  4 , ab  5 . Calcular

E

Rpta:2/3

a 3  b3 a 2  b2

En el polinomio n

P  x, y   nx 7

9

 

y68 n  x2 y

n

.

Hallar

la

suma de sus coeficientes Rpta:62 41)Encuentre el grado absoluto máximo de: x xm 2 3

xm 2

es de cuarto

P  x, y, z   2 x3 y n  2 z n  4 x 2n 3 y n  6  n

 xy 2 z11 n

m.


25

m 2

3

Nos pide (a + b + c + d)=20

40) donde

m

PRACTICA I productos notables

31) Hallar el valor de n si GA(P)=3; GA(Q)=4 y se conoce que el grado 7

  200x  1  5x  1

Es 75. Hallar el valor de

Rpta:24

P Q  P Q 



Si el grado del polinomio

P  x   50 x 2  10

Q  x, y   4x 3m  7 y n 1  2x 3m  5 y n  4  3x 3m 1y n  6

absoluto de la expresión


Rpta:10 42) Si el polinomio

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra P  x   2 x  nx n

5 n

x

n 2



n x3

 ax 4 ,

Mónico, determinar el valor de Rpta:4 43) En el polinomio 2n 2n P  x  1   2x  3   3x  2  32  x  2 ,

es na

el

término independiente es el doble de la suma de coeficientes. Determinar el valor de n . Rpta:1 44) En el monomio P  x, y  

3

el

x 5 x 1 3 x  n y 4  n 3

grado

relativo respecto a x es 3 , hallar el grado relativo de la variable y . Rpta:43 45) Si en el polinomio 2n 2n P  x    2x  4   x  2  65  x  3 El termino independiente es igual a la suma de coeficientes de P  x  . Hallar el coeficiente principal de P  x  . Rpta:65 46) Si P  x   3x  2 y P  G  x    3x 2  x  2 ; hallar G  2  . Rpta. 10/3 P  x, y   0 , 47) Si donde 2 2 2 P  x, y    a  4  xy   20  b  x y  ax y . Calcular ab . Rpta. 8 48)

Si el grado del producto



P  x   3x 4  2

 x 2n

2

 3 x3  3



n2

 x  89 Es 47, el

valor de n es: Rpta. 4 49) Si x  x1  5 , el valor de Rpta. 140

x3  x3 ,

es:


26

nivel


50)

Si a  b  2 y ab  3 , el valor de M  a3  b3  a2  b2 , es: Rpta. -12 51) Si x3  y3  5 y xy  x  1  1 , el valor de  x  y 2 , es: Rpta. 4 52) Si a  b  c  5 y a2  b2  c2  7 , el valor de ab  ac  bc , es: Rpta. 9 53) Si ab  0 , la expresión simplificada 2

de:



Rpta. 54)



x

a

 

efectuar x





2

, es:

4 ab

Al M



 a  b  2   a  b  2   4 a 2  b 2  M 2 3 3 2 a  b  a 3  b3





 1 a 1 a x

Rpta. a 55) Sabiendo

2x

la

expresión  1  1 , se obtiene:

4

a2  b2  c 2  31 ,

que

el

a bc  7 valor de E  18  2ab ac  bc

Rpta. 2 56) Al simplificar E

 ax  by 

Rpta. 57)

2

  ay  bx 

x  y2 2

la

y , es:

expresión

2

, se obtiene:

a 2  b2

Calcular P(1,1) a partir de:

P( x, y)  a 2 x 2a 3 y 3b1  b2 x 2a y 3b  4 

2abx 2a 1 y3b  2  x 2a  2 y3b 3

Sabiendo que su grado absoluto es 24 y los grados relativos respecto a x e y son iguales. Rpta. 65. 58) Hallar un polinomio de segundo grado cuyo coeficiente de x y el término independiente son iguales, además P(1)=7 y P(2)=18. Dar como respuesta el coeficiente de x2.

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra Rpta. 3 59) Sabiendo que P( x  1)  x2  1 , el valor de E  P(0)  P(2) , es:

4

P (3)

Si se cumple que el término independiente es 2 veces la suma de los coeficientes del polinomio P  x  , el valor de n, es: P( x  1)  (2 x  3)2n  (3x  2)2n  32( x  2)

5

Tiene como grado 47. Determinar la raíz quinta del coeficiente principal. Rpta. 9 P( x)  (9 x8  7)n (2 x 2  3x3  1)n 2 ( x9  3)

6

polinomio P( x)  9 x a 18  12 x a  b 15  15 x c  b 16 , es completo y ordenado en forma decreciente. Calcular a  b  c.

7

b) 52

Si

el

polinomio P( x, y )  (2a  3) x y  (2  4b) x y es homogéneo y la suma de sus coeficientes es 9, hallar el valor de ab. 2b

a9

b)  42

Si

c) 28 e) 16

el

polinomio P( x)  2ax  (2a  1) x  (2a  2) x 2 a  2 .... es completo y de (4  a) términos, hallar el valor de “ a ”. 2 a 1

5._

b) 5

c) 6 e) 4

Determinar el grado relativo de

P( x, y )  ax a  8  abx a y b  by b 16

respecto a homogéneo.

“ y ”,

a) 33 d) 24

sabiendo b) 3

el m 2

y

n1

a b

8

c) 72 e) 94

que

es c) 20 e) 22

a b

Si P( x, y)  a 2 x a  bx 2 y 6  ax 6 y a , es un polinomio homogéneo, hallar la suma de sus coeficientes. a) 7 d)  4

b) 5

c) 6 e)  5

polinomio

(x  y 7

2 n3

) es homogéneo

cuyo grado de homogeneidad es 16. Determinar los valores de m y n respectivamente. b) 6,8

c) 5,8 e) 6,9


27

c) 36 e) 26

el

a) 32 d) 82

a) 2,6 d) 7,5

Si

a) 3 d) 2

En la siguiente identidad de polinomios

P( x, y)  5x

b)  42

2a

23x b  5  bx a  d  dx c  2  cx 6  (3c  2) x c  5  8 x c  a. El valor de b  d , es: ac a) 3 b) 4 c) -4 d) 5 e) -3

3

polinomio cuartico P( x)  (a  3) x n  2  ax  a 2 , es Mónico, halle el valor de P(2n)  P(a).

a)  28 d) 42

POLINOMIOS ESPECIALES

Si

el

b a

Rpta. n=1 61)El polinomio:

2

Si


a)  28 d) 0

Rpta. E=4/17 60) Dado el polinomio:

1

nivel

9

P( x)  4 x m  3 y 2 n 1  5 x m 1 y 3n 1 , Si es homogéneo y la relación de los exponentes de “ x ” en sus dos términos es como 3 a 1, el valor de (m  n) Es:

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra a) 4 d) 26 10

b) 7

c) 1 e) 3

nivel


07._ Determine:

Dado el siguiente polinomio ordenado y completo:

a)(a-2)(a+2)

P( x)  (n  1) x m1  (m  2) x m 2  (2 p  1) x q  3  (q  1) x p 1  1

√ )(a+√ ) d)

b)

c)(a√ e)(a-√ )(a+2)

, la suma de coeficiente, es: a) 14 d) 12

b) 13

c) 14 e) 10

1._ Si: calcular: M= a)40 b)35 c)20 d)30 e)15 02._ Efectuar: b)

(

)

entonces

09._ Hallar el V.N. de: Si: mn=2 y m+n= √ . a)2 b)1 c)√ d)3 e)4 10._ si:

c)

d)

e)0

03._ Si: x + y=4; Calcular:

Calcular:

E=

a)12 b)13 c)√

a)6 b)-4 c)-3 d)-6 e)2

e)11 , el valor ,es:

a)3 b)4 c)5 d)6 e)2 12._ calcular:

05._ Si: Hallar: a)243 b)240 c)728 d)120 e)3 06._ Sabiendo que:

d)√

11._ si: de:

04._ Si: √ Entonces es: a)6 b)-7 c)-9 d)12 e)10

; determine

el valor de:

Si: a)2 b)3 c)1 d)4 e)6 13._ calcular: √

a)49 b)36 c)25 d)18 e)23 Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

28

es:

a)27 b)6 c)12 d)0 e)4.3758

PROD. NOT. I

a)

08._ Si:

√

√

√

√

√


nivel


a)x-3 b)3 c)x d)-3 e)√

Calcular: abc, además:

14._calcular:

a)

b)

{ d)

c)

} e)

_ sabiendo que: a)

b)

c)

d)

e) Calcular:

15._ la expresión simplificada de: es: a) c)

b) d)

e)

22._ evaluar:

16._ hallar el V.N. de:

√ a)2 b)4 c)8 d)16 e)32

Para: √√

23._ si:

√√ √

√

a)0 b)10 c)47 d)50 e)40 17._ sabiendo que: x + y + z = 1 Calcular:

a)1 b)-1 c)-3 d)3 e)2 18._ si: x + y + z = 3 xy + yz + xz = 0 calcular: √ a)3 b)2 c)-2 d)-1 e)1 19._ calcular el producto abc, sabiendo que: a)no se puede determinar b)80 c)70 d)60 e)75 20._ sabiendo que: Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

29

a)1/3 b)3 c)2 d)1/2 e)1

√ √

√ √

Calcular: a)4 b)√

c)2 d) √

24._ si: √ Calcular: √ a)2 b) c)1 d)

e) √ √ √ e)0

25._si:

√√

√

Calcular el valor de: a)1 b)0 c)m+n d)

√√

√

e)n-1

26._ reducir: a)

b)m c)m+3 d)m+4 e)m+8

27._ determinar el valor numérico de:

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra ( )(

)

(

)( )

Siendo: √ √ √ a)1 b)-1 c)2 d)-2 e) √

√

28._ si: a + b + c = 0, reducir:

nivel


Calcular: a)2 b)1/2 c)3 d)1 e)0 33._ si: x + y + z = 6, calcular:

a)1 b)2 c)3 d)4 e)6 a)1 b)0 c)3 d)-1 e)2 29._ si se tiene como suma ¨s¨ y producto ¨p¨ de dos cantidades x, y, entonces: (

) es igual a:

34._ hallar el valor numérico de: [ ] Para: √ √ √ a)4 b)5 c)6 d)7 e)8 35._ dado:

[

]

a) b) c)

[

] Hallar el valor de ¨M¨: a)2ª b)2b c)-2ab d)

d) e)

36._ dado el polinomio:

30._ siendo que:

Obtener: .√

a)0 b)n c)

d)n-1 e)

31._ sean ä¨ y ¨b¨ números reales positivos, tales que: y 0 b)

c)

1 d)

e)

32._ si: Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

30

√

√

√

/

a)0 b)217 c)216 d)215 e)218

Calcular:

a)

e)

37._ el valor numérico de: ; √ Para x = 999 es: a)19990 b)991000 d)999000 e)998000 38._ si:

√√

Calcular: a)√ b)√

c)0 d)2 e)1

39._ si:

√

√

c)100000

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra √ Dónde:

nivel

n factores, es:

√

Rpta: x 2

Calcular: a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

68)

x





 x 1 x  x 1  x  x 1 2

4

Sabiendo que

69)

Si

x2  15x  58  0 .





¿Cuánto

vale

la

  1 x  1

 x  1 x2  x  1 x4  x2  1

x

8

 x4

calcular el valor de

4

70) De los siguientes productos I)  x6  x3 y2  y4  x6  x3 y 2  y 4 

x

II)

2





 3x  1 x2  3x  1

III)

x

IV)

x

2



 3 x  9 x 2  3x  9







x 1 x  x 1

8

Rpta: I, II y IV 71) En las siguientes igualdades marcar (V) si es verdadera y con (F) si es falsa según que corresponde 2 2 I)  a  b    a  b   2  a  b  II)  a  b  c 2  a2  b2  c2  2  ab  ac  bc 

Rpta:80

III)  a  b  c 3  a3  b3  c3  3 a  b  a  c b  c 

67)

IV) 

El equivalente de  x  1 x  1  x 2  1 x 4  1 ... ,


31

y

Los que corresponden a la identidad de Argand, son:

65) Si mx2  10 m  24x  49 es un trinomio cuadrado perfecto, el valor de m , es: Rpta. 25

2

determinar

. Rpta:52 4

obtiene: Rpta. 2 64) Reducir P  x    x  5 x  6  ...  x  9  x  10   120

x

1  3, x

x  2 3  2 3

y  3 2 2  3 2 2

x y

66) Para x  6 3 . expresión?

x

Rpta:20

x y

2

III)  x  y  z 2  x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  xz  La secuencia correcta, es: Rpta. FVV 63) Al reducir la expresión 3 3 3 3  x  y x  y    x  y x  y  M , se 4 4

Sabiendo que Rpta. 56

1

1 1  1  1  A   x x  ( ) x    x  x  ( )x    x x   

62) En las siguientes igualdades marcar con (V) si es verdadera o con (F) si es falsa. I)  x  y   x2  xy  y 2   x3  y3 II)

n 1

el valor de:

PRACTICA I

2


 

27  8  5  6

Rpta: FFVV



3 2




nivel

72)

x 2  1  4x .Halle: x 3  x 3

3

a

Simplificar la expresión: 2

 b2

 a

4



 a 2b2  a 4  3a 2b2  a  b  a  b 

Rpta:

a 2  b2

73)

x3  y 3 ; x  y . Hallar

Sí

 x  y 2

04._ Si:

a)24 b)63 c)52 d)41 e)84 05._ Si:

xy

Rpta:-3

c

74) El valor de m, para que el polinomio: P( x, y )  2 x 2  mxy  3 y 2  5 y  2 , Sea equivalente al producto de dos trinomios lineales, es: Rpta. 7 75) El resultado de efectuar: S

2 x y  x2 y  2 y 2 , 2 2 x y

6

6

empleando

identidades es: Rpta. x  y 2

Determine:

a b

4

a b

b)-2 c)3

d)2

e)-1

ab 2 ab

(a  b)  a  b ab

a) 1

b)2

a) 8

b)4

d)ab e)a

06._ Calcular: R  a 2  b 2 , si se verifica: 3

3

a  b  40

d) 3

 a  b  n 1 a n 1  b n 1

c)3

x 3  y 3  280 ; x  y  10 ; xy  ?

2

x  3x  2  0

a) 0 b)2 10._ Si

e) 1

2

c)3

2

x 1

 x 2  1  x 4  1  ; n N n  2

d)2

e)1


32

c)b

Calcule: x  x  1  x  2  x  3   2

2

c)4

n

a) 2 b)1

09._ Si:

2

03._ Halle:

ab

08._ La suma de dos números es 2 y la suma de sus cubos es 5 .Hallar la suma de sus cuadrados a) 0 b)2 c)5 d)1 e)3

4

Calcular el valor reducido de: E

 a  b  c a  b  c 

a) 2 b)18 c)24 d)32 e)26

2 2

2

Reduce:

07._ Si:

a b   1; a, b  0 b a

2

a

a)12 b)14 c)18 d)16 e)11

01._ Dado:

02._ Siendo:

b

ab  2

2

PRACTICA II

a) 1


x

3

d)6 2x ,

2

e)7

calcule el valor de

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra a)

b)

2 6

d) 4

c)

3 6

4 6

e) 6

11._ Si:  x  a  2  12a   x  a  2 ; Calcule:

6c  a  2cx

c)8

d)15 e)32

b)2

c)5

 a  b 4   a  b 4 b

   4a

2 2

d)4 e)3

2

b



14._ Si se cumple que:

e)3 x y  2 y x

7x  2y x  3y  3 x y

15._ Si: Calcule: a) 2 b)5

c)4

d)7

e)9

xb  xb  b ; x  b  0

c)4

d)8

e)1

C 5 3 2


33

b)2

 B3  U3 C.B.U.

c)5

d)4

e)3

17._ Si: x  y  z  1 , calcule: E

x 3  y 3  z3  3xyz

 x  y  z  2  3  xy  xz  yz  a) 3 b)1 c)-1 d)-2 e)3 x  y  133 , xy  x  y   70 3

3

,

Determinar el valor de “ x  y ” a) 6 b)7 19._ Si:

c)5

d)4

e)3

ab  bc  8

ac  ab  5

a 2  b 2  c 2  14

20._ Calcule: M  abc  6  c  6  b  6  a  a)160

b)150

d)720

e)320

20._ Halle algebraica:

“m”

c)360

si

la

expresión

9x 6  4 m  5 x 3 y 4  my 8

xb  xb

16._ Si: 

Calcular: E  C

 a, b, c  CR 

Reduzca:

a) 3 b)5

U  5 2 3

bc  ac  9

2 2

a) 4 b)-2 c)-3 d)1

E



18._ Si:

13._ El área de un cuadrado de lado “a + b” es 8 veces el área de un triángulo de base “a” y altura “b” calcule:

 4a

B 2  3 2 5

a) 1

xy  0.5

2



2

12._ Halle 3 [(x / y )]  [(y / x )] , si:  xy 5

a) 1


3

a 0

a 2 x 2  mx  3m  6a 2

a)10 b)2



nivel

Es un trinomio cuadrado perfecto. a) 1 b)2 c)5 d)4 e)3 21._ Si se cumple que:


E  x 3  y 3  z3

a)16 b)12 c)15 d)7 Si:

a 4b  4 b a

a) a

b)1

e)5

, calcular: c)3

d)2

S

3

a  6b 3b  a

d)

2b 2

e)4

…(II)

a 3  b 3  c 3  36

…(III)

28._ Por cuanto hay que multiplicar a: (a 4  b 4 ) , para obtener: (a  b)(a 3  b 3 )  (a  b)(a 3  b 3 )

c) 4ab

a) 8 b)4 c)2 29._ Reducir:

(x  2)2  (x  2)2 

16 x

c)8

25._ Hallar: Si:

2

2

c) a  c a) a  b b) a  b d) 4 e) 0 30._ Sean a;b números que verifiquen a  b  15  a b  9 .

x 1 x 1  x 1 x 1

a) 9 b)4

e)0

 a  a  b   b  c  b   c  a  c  

Calcule: E

d)6

E  a  b a c b c  2 2

24._ Si:

2 2

a)16 b)25 c)36 d) 9 e)11

2a 2

e)

a 2  b 2  c 2  14

2

 a  b  c  a  b  c    b  a  c  a  b  c 

b) 4bc

…(I)

Halle: E  a b c

23._Reducir a su mínima expresión:

a) 4ac


abc 6

x  y  z xy  yz  zx xyz   2 2 3 4

22._ Calcule:

nivel

d)6

e)2

2 Calcule el valor de  a  b 

L   x  2y    y  2z    z  2x 

x 2  y 2  z2  5

2

2

2

xy  xz  yz  9

a)-8 b)-9 c)-10 d)-11 e)11 26._ Hallar el valor de “m” si se sabe que la expresión:

a)45 b)69 c)81 d)112 e)213 31._ Teniendo en cuenta: Reducir: L

8

n 2  n  1 ; n  R

1  2 1  4 1  1   n   n  2  n  4   8 n   n  n  n

P(x)  mx  10 m  24x  49

a) n b)2n c)3n d)4n e)5n

Es un trinomio cuadrado perfecto.

32._ Si:

a)20 b)22 c)26 d)25 e)24

Halle:

27._ Si:

a)

2


34

mn  mn  n

mn  mn

b)2n c)0

d)2

e)1


nivel


m

a) abc

b) 36

33._ Reducir:

d) 14

e) a  b  c

  a  2b  2   a  2b  2  a 2  16b 2    4b  a  2  

38._ Siendo x; y son números reales que cumplen x 2  y 2  5  2x  4 y , calcule el valor

a) ab

b) 4ab

d) 16ab

e) 32ab

34._

Si: ,

c) 8ab

 a  b  c  2  4  ac  bc  ,

y

ab 2

2

donde: c  0 , el valor de

2

ab b a  E  2     c  a  bc

, es:

2

a)

1 2

d)

1 5

d)3

2

3

3

ab  3 100  3 10  1

Hallar:

3ab  a  b 

b)

1 3

e)

1 6

3

b) 16

c)

1 4

e) 2

32

40._ Del gráfico: b

a

c

6 3 7 

37._ Conociendo:

Calcular el coeficiente entero positivo luego de reducir la expresión: (a  b  c )3  (3c  a  b)3  (3b  a  c )3  (3  b  c )3

41._ Dadas las condiciones: 6

a 2  b2  c2  2

a)28 b)24 c)26 d)22 e)20 a  4 b  9c  0

 a  b  c  1  ab  ac  bc   32

Hallar: a) 4 d)

Según ello reducir:

3

16

abc ?

b) 16 e) 2

 a  2b  2  2b  3c  2  3c  a  2 

bc



ac


35

c) 33

3

Para:

ab

e) 2 3

39._ Siendo:

d)

36._ Halle: E  x 6  6x 4  9x 2

x 3 7 

c)2

2

a) 4

a b c a b c  2 3

N

b)1

a) 3

abc  0  a  b  c  1

Halle el valor de: 2

xy y

a  b  1  3 10

a)8 b)9 c)10 d)11 e)14 35._ Con:

de:

c) 14

42._ Sabiendo que:

c) 64

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra  a  b  c  d  2  4  a  b  c  d  ,el valor de: E

a c bc  db da

a) 1

b)4

d)3

e)5

43._ Si:

47._ Si: ab  ab  62 ,  a, b  0

M3

ab ab

a) 8 b)1 2

xz z  1 z  y (x  y )(z  y )

Halle:

2

2 2 z x xy z y         z   x   y 

c)6

Calcule: a) ab

d)3

e)1

d) b

c) a

1 ab

Reduzca:

Halle: a) 5

2 e)  ab 

Cn

bc

n

a) 4 b)2

ac

n

c)



a) 1

ab

e)5

2 2 2 2 46._ Si:  a  b  c   a  b  c  abc  a  b  c  2 2 2 Calcule:  ab    bc    ca 

a)2 b)3 c)9 d)1/2 e)1/4 Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

36

2

2

d)1

4a

b) 4 c) 3

Halle:

c

d)3

con: a  1

e)4

3

b

3



d) 2 e) 1

2 51._ Si:  a  b  c  d   4  a  b   c  d 

Calcular el valor de: b

a3 = 1 ,

a5 + a + 1

6 a b

a  2n b  2n c  0

a

e) 0

ab 1

50._ Si:

45._ Si se cumple que: 2n

e)4

d) 1

49._ Sabiendo que:

a) 2 b)-1 c)0

f1 f 4   f 7 

b)

d)6

8a  5b  2c abc

a) 2 b) 3 c) 5

x x 44._ Si: f  x   a  b  f  3   1

3

c)2

 2 48._ Sí  a  b  c   3  ab  ac  bc  ;  a, b, c   R

Halle:

a) 2 b)4


Hallar:

, es:

c)2

nivel

4

cd 2 a  b 

b) 2 c)1 d) 5 e) 7

52._ Si se cumple que: 1 1 1 1    a b c abc

Reduzca: a) 3 b)2

3

3

a b c (a  b  c)

c)1

3

3

d)-3 e)-1

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 53._ Si:

xy 

Calcule:

x y

a)4

2

b)3

2

4

5  2y  xy 

c)5

d)2


Reduzca:

5

, sabiendo que:

nivel

x, y  R 

e)10

54._ Conociendo: x 2  3x  1  0 .Halle: 1  1  x  x  1  x  x  1   E  x     x     x   x      

 E  L  2I  2   E  I  2L  2   L  I  2E  2 E 2  L2  I2

a) 2 b) 5 c) 9

d)12 e)15

58._ Sean: a,b,c

/ a + b + c = abc

Simplificar:

a)30 b)20 c)25 d)45 e)35

1  1  ab  1  1  bc  1  1  ac        a  ab  b bc  c ac 

55._ Si:

a)1 b)2 c)3 d)-1 e)-2

a 3  b 3  c 3  24 ...  I 

59._ Al reducir:

a 2  b 2  c 2  12...  II 

E

ab  bc  ac  12...  III 

Encuentre: E

a)4/3 b)1/5 c)2/5 d) 3 e)1/7

3

3

3

a  b  c  3abc

Calcular el valor numérico de:

a

2011

a) 3 b)2

b

2011

c)1

c

4a  b

b)

4a  b

d)

4a

e)

b

c)

ab

x  y  3 xy

Halle:   

2011

d) 1 2

a) 3 b) 1 e) 1 3

57._ Si: ELI 0


37

a)

 1 1 xy  2  2 x y 

 a  b  c  2011

2010

 a  b 4   a  b 4 2 b 2 2 a b

60._ Si:

56._ Si se cumple que:

E

2

Resulta:

1 1 1   ab bc ac

a+b+c  0,

16a 

c) 7

d)xy e)

61._ Efectuar: 2

(x  2)(x  3)(x  4)(x  5)  (x  7x  11)

a)-3 b)-4 c)-2 d)-1 e)-5

2

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 2 62._ Si: f  x   ax  bx  c ; es un trinomio 2

8b ac

cuadrado perfecto, calcule: a) 8 b) 4 c) 2

d)32 e)64

63._ Efectuar:

2

2

2

c)4

d)3

2

a)-1 b)2 68._ Si:

2

E

e)6

c)3

d)4

a 1  b 1  c 1  0



e)-2 y

abc  0

 

  a  b  c  a  b  c 

a 2 a 2  2b 2  b 2 b 2  2c 2  c 2 c 2  2a 2 2

aa  b  c

64._ Si:


(a  c)  (b  c)  9 (a  c)(b  c)

Halle:

(3x  2)  (4x  6)  (5x  6)

a) 9 b)2

nivel

ab

b)

2

2

c) a bc

bc

abc 

2 2 2 2 2 3 3 3 a b c  a b c  4 7 17

d) e) 69._ Si se cumple que:

Halle:

abc  ?

(a  b)  a  b  1  (a  1)(b  1)









ac

2

a)16 b) 8 c)6 d) 3 e) 4

Calcule:

65._ Si:

(a  b)  (a  b)

2





2



E 2  x 2  y 2  z2  E   x  y  z  x 2  y 2  z2 2



E equivale a: a)

xyz

c)

x 2  y 2  z2

d)

, entonces el

d)-2 e)2

5a  5c  ac  0

Halle:  a  5   5  c   a  c  a) 1

b)1 c) 0 d) 2 e)2

71._ Si se verifica:

a  b  c  a  b  c 3

3

6

3 3

6

3 3

a b b c a c

b)2

c)3

d)4

6

, es:

e)0

67._ Si: a + b = 3 Reduzca: Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

38

c)3

5ac

1 1 1 1 + + = a b c a+ b+ c

6

a) 1

a)-3 b)1

xy  xz  yz

valor de: E

2

70._ Si: b) 2  xy  xz  yz 

66._ Si

2

a b

2

3

3

a  b  124 ab4

Calcule el valor de: 2

(a  b)  (a  b)

2

a)16 b)20 c)21 d)25



COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 72._ Si:

a  2

3

;

b  1  2 3; c 

 a  b  c  2   a  b  c  2  4  a  b   2  a  b  c  a  b  c 

a  a  1  a  1   b  b  1  b  1   c  c  1  c  1  a  bc  1   b  ac  1   c  ab  1 

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

a) ab

b) 4ab

d) 16ab

e) 32ab

ab a 2  b2

(a + b + c)2 = 3(ab + bc + ac) Encuentre adquiere:

el

valor

c) 8ab

78._ Si:

73._ Si se verifica que:

Y


77._ Reducir:

3 3

Calcular: E

nivel

numérico

que

5 5



8

; Evalúe:

79._ Si se verifica:

a

n

b

n

6

6

6

a b c

a) 1

b)2

74._ Si:

6

el valor de:

c)3

d)4

abc  3;

con

a3   b 1  c  2 a  b 1c  2 3

Evalúe: a) 1

b) 2 c) 3

;

b 1c  2

3

d) 4 e) 5

75._ Si: a + b + c = 0 2

a) 1

2

b)2

c)3

a) 2 b)4 80._ Si:

2

d)5

8

n

b

n

a

n

n

n n a 2 .b 2

7

, es:

d)5 ; halle:

2

2x

b)

3

81._ Si:



a b

x  2  23 2x

d)√ e)-3

c)1

x

S

a)

a(b  c)  b(a  c)  c(a  b) abc

x

e)5 a 0

8

a)45 b)47 c)49 d)51 e)53

(a  b  c)

5

a b     b a

c)

5

7

e)√ a  b  3 ; ab  2

76._ Efectuar:

Calcular el valor numérico de:

E  x  x

a)17 b)35 c)70 d)42 e)76

y

y

 x y  x  y  x 4 y  1  x 4 y 

a) x – y c)

x

e)

x y

6y

2

x

6y

b)

x

3y

x

3y

d)

x

2y

x

2y

a  ac  b 

2


39

82._ Si se cumple:

Calcular:

bc ; a  b

J

a bc



b ac



c ab

4

La b

4

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

83._ Tres números reales x, y, z verifican la igualdad: 2

2

nivel

a) 3 b)9

d)27 e) 1 9

88._ Si el grado del polinomio:

2

con esto, evaluar la expresión: 2

2

x y z xy

a)-2 b)2

2

a) 1

c)-1

d)-3 e)1 tal que:

x 2  y 2  z2  14  2  x  2y  3z 

Hallar el valor de:  x3 y 3z  xyz 3 x y z

b)2



P  x   9x 8  1

  2x n

c)3

d)4

e)5

85._ Dados:

2

10

Determinar:

84._ Si:  x, y, z 

a)1

c) 1 3

x  y  z  14  2(x  2y  3z)

M


 3x 3  1

 3x  n2

3

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3

x  y  945 x  y  15

Hallar el valor de: x – y a)13 b)11 c)2 90._ Si: 2

2

d)3

e)5

abc 5 2

a b c 7

xy(x  y)  1 3

a 3  b3  c3  8

3

x y 4

Calcular: a) 1

b)2

c)3

86._ Si:

xy 

x2  y2 

10  1

3

Evaluar:

xy xy

W

3

Determine: d)-1 e)-2

E  x  y x  y 4

4

a)22 b)33 c)44 d)66 e)88 87._ Reducir: 3

3

(x  y)  (y  z)  (z  x) 9(x  y)(y  z)(z  x)

3


40



L  a 1  b 1  c 1



1

a)1 b)3 c)2 d)3/2 e)2/3 91._ Si:

100  3 10  1

2

2

2

a d  c b 4

Reduzca:

a

a) 2 b)3

c)4

92._

es 47

Coef. principal de P  x 

89._ Dadas las condiciones: 3

3

2

4

4

2 2

2

c b d a c b d

Si:

xz z2  1 z  y  x  y  z  y 

d)5

4

2

e)6


Hallar: a) 1

2 2  z x   xy  z y  R       z   x   y 

c) 3

d) 4 e) 5

b) 2

93._ Siendo: ab  ac  bc  11 2

2

Calcule: 2

2

L  (2a  b)  (2b  c)  (2c  a)

Halle: a) 1

95._ Si:

4._ hallar (

y  z z x x  y   9 x y z

2

d) 4 e) 5

2

) si la división es exacta:

2

a  b  c  ab  bc  ac

Simplifique: a) 3 b)1

E

5

c)2

96._ Si:

x

valor de:

M

2 1

6._ si la división: deja como resto Hallar “m + n + p” a)6 b)5 c)7 d)9 e)8

 a  b  c 6 6

6

a b c

6

d) 1

e) 1

y

2 1,

3

y

2

entonces el

 x 5 y 4  1  x 6 y 7  1  , es:  x 4 y 5  1  x 8 y 7  1 

DIVISION POR HORNER 1._ si en una división: Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

41

, es

a)81 b)82 c)83 d)84 e)80 5._ si la división: ( ) + Es exacta, el valor de “p + q”, es: a)11 b)1 c)9 d)-1 e)-2

x z y   z y x

b) 2 c) 3

es

3._calcular: (m + n), si: una división exacta. a)-2 b)-1 c)2 d)3 e)0

xyz 0

S

P(x) = el dividendo; Q(x) = el divisor S(x) el cociente y R(x) el residuo, resolver la siguiente ecuación: Q(x) – S(x) + R(x) = 0 a)2 b)4 c)1 d)6 e)5

2

a)11 b)14 c)26 d)44 e)70

Además:


2._ si la división: exacta, calcular: a – b a)6 b)5 c)7 d)9 e)8

2

a  b  c  14

94._ Si:

nivel

.

7._ hallar “n”, si el polinomio , es divisible entre a)3 b)1 c)4 d)2 e)5 8._ hallar “a”, si el residuo de la división es -16 a)-1 b)-2 c)-3 d)1 e)2

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 9._ reconstruir la siguiente división por el método de Guillermo Horner. 5 (a + 6) 6b c 0 -1

nivel


3._ hallar la suma de coeficientes del cociente en la siguiente división: a)4 b)3 c)2 d)5 e)-3

2

-a -b -3 4._ al dividir: ; el cociente del termino de 4to grado es: a)-3 b)3 c)2 d)27 e)-1

Dar como respuesta: a)-4 b)1 c)10 d)8 e)6 10._

en

la

siguiente

división:

el residuo obtenido es de grado cero e igual a: . Calcular a)13 b)12 c)18 d)10 e)11

POR RUFFINI

NIVEL I 1._ hallar la suma de los coeficientes que resulten de efectos de efectuar las siguientes divisiones: I) II) a) c) e)

b) d)

2._ si al polinomio , se le divide entre x + 1, se obtiene un cociente de grado “m”, término constante “b” y residuo “a”. Hallar “m + b + a” a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

42

5._ encuentre el término independiente del cociente: a)-2 b)-1 c)2 d)1 e)0 6._ cual es el valor de “a”, si al dividir el polinomio: , entre x – 1, la suma de coeficientes del cociente es 161 y el residuo 16. a)-3 b)3 c)2 d)27 e)-1 TEOREMA DEL RESTO NIVEL I 1._ calcular el valor de “a”, si el polinomio , es divisible por x + 1 a)4 b)5 c)2 d)1 e)3 2._ hallar “k”, para que el polinomio: , sea divisible por x+y a)0 b)-31 c)20 d)32 e)-32 3._ hallar el resto en la división: a)x – 1 b)x + 1 c)x – 2 d)x + 2 e)x + 3 4._ calcular el resto de: a)14 b)13 c)12 d)15 e)16


nivel


a)128 b)256 c)3 d)64 e)257 5._ determinar el resto de la división: [ ] a)20 b)19 c)18 d)17 e)16

3._

calcular

el

resto:

a)x + 1 b)x + 2 c)x + 3 d)x + 4 e)x + 5

6._ calcular el resto de dividir:

4._ hallar “n” si el resto de dividir:

a)129 b)513 c)257 d)255 e)128

;es 64 a)3 b)4 c)5 d)6 e)7

7._ el resto de dividir:

5._

es: a)17 b)16 c)15 d)19 e)18

a)127 b)513 c)257 d)423 e)136

8._ hallar “m”, si la división deja por resto

9._ hallar el resto al dividir: , es exacta, los coeficientes del resto suman: a)x + 2 b)2x + 1 c)2x – 1 d)x + 1 e)x – 1 10._ si la división: , es exacta, los coeficientes del resto suman: a)-2 b)-1 c)2 d)1 e)0 NIVEL II TEOREMA DEL RESTO calcular

el

hallar

resto

de

dividir:

de

dividir:

6._ halle el resto en: a)x + 8 b)2 c)8 d)x + 4 e)2x + 8

a)x – 10 b)x – 12 c)x + 1 d)x + 12 e)x + 10 8._ hallar el resto de la división: [

]

a)32 b)16 c)8 d)4 e)64 9._ calcular el resto en la división:

el

10._

el

resto

de

la

;es: resto:


43

resto

a)2x – 1 b)2x – 5 c)2x – 4 d)4x e)5

a)-14 b)6 c)21 d)-12 e)-10 2._

el

7._ calcule el resto de la división:

a)80 b)70 c)60 d)50 e)20

1._

calcular

a)2x + 3 b)26x + 31 c)26x – 31 d)31x + 26 e)31x – 26 ex.Adm.2012 I

división:

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 11._ en el esquema de la división de polinomio por el método de Horner: 2 a -b c -d e m 6 -4 -n 0 0 -3 2 2 0 -1 -4 3 El valor de “a + b + c + d + e + m + n” es: a)25 b)20 c)17 d)19 e)23 Ex.ord.2010 12._ en la división: La suma de coeficientes del cociente es 36, el valor de “m” es: a)-1 b)-7 c)7 d)-10 e)10 1ªOP 2010 13._ si al dividir los polinomios P(x)= entre Q(x)= , se obtiene un residuo de (a + 2)x + (a + 3); el valor de (a + b) es: a)-5 b)5 c)-3 d)3 e)-4 Ex.1ª OP 2010 14._ si al dividir los polinomios P(x)= entre Q(x)= , se obtiene un residuo igual a (b + 6)x + (4 – a /2). El valor de ( ) , es: a)16 b)20 c)22 d)18 e)14 Ex.1ªOP 2009 15._ el resto de dividir: Entre es x + n + 3 hallar el valor de “n” a)4 b)6 c)-2 d)8 e)12 16._ si la división de


44

nivel


Entre

deja por residuo . Hallar “w + h + m” a)14 b)24 c)-2 d)-12 e)-32 17._ si al dividir el polinomio P(x)= , entre Q(x)= , se obtiene un residuo de la forma (e + 2)x + (e + 3), el valor de “e + n” es: a)4 b)3 c)-2 d)-5 e)12 18._ si la división de Entre deja como resto , hallar “m + n” a)14 b)13 c)-2 d)-12 e)-32 19._ los coeficientes de un polinomio completo de cuarto grado son números enteros consecutivos; si se divide dicho polinomio entre (x – 1) el resto es 35, entonces el coeficiente del término cuadrático del coeficiente, es: a)3 b)7 c)11 d)8 e)2 20._ los coeficientes de un polinomio completo de cuarto grado son números enteros consecutivos; si se divide dicho polinomio entre (x - 2) el resto es 119. Calcular el coeficiente del término lineal del cociente. a)20 b)24 c)32 d)25 e)28 21._ si al dividir entre (x – 1) la suma de los coeficientes del cociente es 176 y el residuo 20, entonces el valor de m es: a)13 b)11 c)16 d)2 e)9 22._ si al dividir entre (x – 1) la suma de los coeficientes del cociente es 1064 y el residuo 56 entonces el valor de “r” es:

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra a)13 b)11 c)7 d)2 e)9 DIVISION DE POLINOMIOS:

nivel

Rpta. 9 82) ax

76)

Hallar el residuo de dividir:

( x  4)(x  5)(x  6)(x  7)(x  8)(x  9) x 2  13x  41

Rpta. 5 77)Hallar el valor de a, si al dividir: P( x)  (a  3) x n  (a  1) x n 1  (3a  4) x8  a  14 Entre x 1 , el resto es 4.

79) Calcule el valor de a para que la suma de coeficientes del cociente sea 161, talque el resto es 16. ax51  2bx  2b  a x 1

Hallar la suma de coeficientes del dividendo. Rpta. 10 83) En el esquema de la división de polinomios por el método de Hornner 2 a b c  d e m 6 4 n 0 0 3 2

Es igual al resto de la

2 x2  x  1 x2

.

Rpta. 3 81)

Calcular el residuo de la división:

(3x )  2(2x)2  mx  3m 3x  2 2 2

Si el cociente evaluado en cero es 3. Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

45

2

0

1 4

3

Hallar a  b  c  d  e  m  n Rpta:19 84)

Si en la división  a  3 x39   a  1 x38   3a  4 x  a  14

El resto

es  4 , hallar la suma de coeficientes del cociente

80) Calcular m si el resto de la división:

división

En la división:  ax3  ax  1 Entre x 2  x  1

x 1

Rpta.3

3x 2  mx  5 x2

4

El residuo es 4.

Rpta. 51 78) Los restos de dividir de P(x) por los binomios x 1 y x  2 son respectivamente 8 y -7. Hallar el resto de dividir P(x) entre x2  x  2 . Rpta. 5x  3


Rpta:315 85) Calcular m  n , si la división es exacta  x4  6x3  mx  4n    x2  4x  8 Rpta:16 86) Si al polinomio 3x5  6 x3  3x se le divide entre x  1, se obtiene un cociente de grado m , termino independiente b y residuo a . Hallar m b a . Rpta:4

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 87) Para efectuar una división según el método de Ruffini se planteó el siguiente esquema x  2a

2

4 3  b

a

8a 4 b

m n

c d

Determinar el resto Rpta:11 88) ¿Cuál es el valor de a, si al dividir el Polinomio ax263+5bx+5b-a entre x-1, la suma de los coeficientes del cociente es 1330 y el residuo 30?

nivel

Rpta:6 93) Encontrar la relación entre p y q para que al dividir x3  3 px  2q entre  x  a 2 el residuo sea cero. Rpta: p3  q2 94) Hallar un polinomio de segundo grado de la forma P  x   4x 2  bx  c tal que al ser dividido entre  2 x  1 el resto es cero, y al ser dividido entre  x  2  el resto es 5. Rpta: 4 x2  4 x  3 95)

Rpta. 5 89)

?

6

?

8

4 ? 15 ?

? ?

?

?

Rpta:2  x  3

divide

Rpta:16

NIVEL II 01. Calcular “ a b ” si la división es exacta:

Dividir 5

Se

m n p  q

?

Hallar la suma de los coeficientes del cociente.

90)

Cuando el polinomio P  x   8 x 4  mx3  nx 2  qx  p

entre 2x2  x  1 se obtiene un cociente cuyos coeficientes van disminuyendo de uno a uno a partir del primero y un residuo idéntico a 5x  1 . Calcular

En el siguiente esquema de Ruffini 4


 3  x  3  2  x  3   5  x  3   2 x  9 4

3

2

x

4

hallar el valor del cociente cuando toma el valor de 4.

3

2

x  2x  3x  ax  b

Luego,

2

x  2x  5 x

Rpta:3

a) 10 b) 20 c) 25 d) 40 02. 5

e) 45

Hallar “ a  b  n ”, si la división: 4

3

2

x  2x  4x  19x  ax  12  b 3

P  x   nx 91)Al dividir Q  x   x  1 , el resto es: Rpta: 2n 1

n

 xn ,

entre

92) Al efectuar la división en x del residuo es  6 x  7  . Determinar ab . Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

46

x  7x  5

Deja por residuo:

mx  2x  6

a)

b) 32

3 2

d)  3 1

2

e)

30

c) 31

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 03.

Calcular (m + n), si:

es una división exacta. a) -2 b) -1 c) 2 04.

2x 6  mx  n x 2  2x  1

,

d) 3 e) 0

4x 2  5x  3

x 3  2x 2  4x  8  5x  2

d) 53; 194 05.

b) 6 c) 7

10.

De acuerdo al esquema de Horner:

2

a

4

Si la siguiente división: 2

2

Tiene como resto: b

Ea b

3

4+

5 x 3 + Ax + 2A , x2 - x + 1

el

Al efectuar la división siguiente:

5

2x  7x 4  3x 3  5x  1 x 3  3x 2  4x  K

, se obtiene un residuo

de primer grado, hallar el residuo. a) 14x + 1

b) 14x + 3

d) 14x – 2

e)4x + 2

c)3x + 14

Ax 4  Bx 3  4 x 2  17 x  10

b)

4

c)

3

d)

2

e)

1


47

9 0 0 10

0 1

b) 10

c) 7

d) 8

c

0

a

2

  b 3

Dar como respuesta:        a  b  c a) –4 b) 1

c) 10

d) 8

e) 6

METODO DE RUFFINI 1. Encuentre el Independiente del cociente: 2

x  4x  1 x 1

a) 1

término

b)  1

c) 2

d)  3

e) 3

2. Hallar la suma de coeficientes del cociente en la siguiente división:

x 2  3x  2 5

f



3

08. Calcular “A+B” en la siguiente división exacta:

a)

3

5  a  6  6b 1 

resto resulta un T.I., el valor es: a) –5 b) –2 c) –3 d) –1 e) 2 07.

e

11. Reconstruir la siguiente división por el método de Horner.

d) –2 e) –3

Si al dividir: 2 x

d

e) 6

a

a) 0 b) –5 c) 4

1

a) 9

4

2xy  3y

c

e) 9

Hallar la suma de coeficientes de dividendo.

x  3x y  x 2 y 2  axy 3  by 4 x  xy  2y

b

d) 8

 4 12 p 3 q

e) 53; –194

3

Calcular:

a) 5

m n

a) –54; 200 b) –53; 194 c) 4; 35

06.

09. calcular (A – B) si la división es exacta:

Calcular A y B, si la división:

Deja como resto:


12x 4  Ax 3  Bx 2  31x  15

3x 5  48x 2  Ax  B

4

nivel


3

a) 10 b) 12 c) 13

d) 20 e) 23

Al dividir:

ax  2bx   3c  a  x   a  2b  x   2b  a  x  a x 1 5

4

3

el

siguiente

esquema

de

c) 8

d)

5. Indicar la suma de coeficientes del coeficiente a dividir: 3x 4  13x 3  10 x 2  5x  1 3x  1

b)

c)

2

d) 16

e) 27

8.

3

d)

3

4

e)

C

1

F

4

5



D

1

2

A

C

3

E

B

3

Calcule: a) 2

Sabiendo que su cociente toma el valor numérico de 53 para x = 5. a) 1

b) 4

5

En la siguiente división: 40

 n)x  5 x 1

a) 15 b) 11 e) 18

2ax

d) 11

e) 12 7. n

32

1 3 4

b m 5

2 10 12

c p 1

c)9

d) 13

3 n q

 4 bx  4 b  2a x 1

b)

2

c)

3

d)

4

e)

5

11. Calcular (a + b) si la suma de los coeficientes del cociente es 256 y el resto es 24. a.x


48

1

61

En el esquema de Ruffini: a  a

d) –4 e) 5

Determinar el resto para que a la suma de coeficientes del cociente sea 93.

a)

c) 9

c) –3

10. Calcular “a” si la suma de coeficientes del cociente es 200, talque él, resto es 16.

A B C  D E  F

b) 5

2

6x  5x  px  1 2x  1

6. En el esquema (Ruffini) 1  3

c) 6

Hallar el residuo de la división de:

(2x

Hallar: “ a  b  c  d ” a) 6 b) 7 9 e) 10

1

b) 9

9.

7 y 2 8 x m  16 z 2 w a b c d 8

a)

a) 13

2

La suma de coeficientes del cociente es 54. Calcular el residuo. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 4. En Ruffini:


Halle: “ an  b  c  m  n  p  q ”

2

6x  13x  x  2x  17 2x  5

3.

nivel

 2b.x  2b  a x 1

a) 10 b) 11 e) 14

c) 12

d) 13

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 12. Dividir por Ruffini y dar como respuesta la suma de coeficientes del cociente.

5.

e) x

Hallar el resto de dividir: Entre

2

x  7x  11

a) n2

b) n –1

d) n - 2

c) n2 – 1

e) n3

a) 6

b) 5

6.

Hallar el resto de:

 x 4  3x  6   

TEOREMA DEL RESTO

a) 4

102

c) 4

d) 3 e) 2

4   x  3x  4    x 4  3x  5

b) -4

53

4

 2x  6x  14

c) 5

d) -5

e) 6

El resto de la división:

9 x98 + 243x95 + 2 x 2  2 x  2 , es : x +3

a) 7

b) 8

c) 9

7. d) 10

b

Calcule el resto de dividir:

d) 255

e) 128



8.

Hallar el residuo de:

a) 1

b) –1

2 2 8 

x

a

2

b



2 2 6 2 2  4a b

x

2

x 1

a) 2x 4x

b) x-1

3.

c) x

d) 0 e)

Hallar el resto de la división:

xa

7



7

 x a

7



d) 126a 7 4.

e)

c) 2a 7

x 4  3x 3  x 2  4

"k"

d) x–1 e) x2 sabiendo

 x  y  z  3  kxyz  k  x  y   y  z   x  z 

a) 3

que Es

b) –3 c) 9 d) –9 e) 1

x  2

Hallar el resto al dividir: 82

b) 8

c) 16–12x


 4x  2

63

 5x  2

24

 3x  2 7 3

2

x  4x  5

a) x  2

x2  4

49

9. Calcular división:

10.

128a 7

Calcular el resto de dividir:

a) –8

c) x+1

x 2n + 2 - x 2n (x + 1) 2 (x - 1)

exacta. b) 0

a7

c) 257

x 2  y 2  z2  xy  yz  zx

x  2a

a)

41 16 x 41(x + 2) + (x+ 1) x 2 + 2x - 1

b) 513

2. 2

Calcular el resto de dividir:

a) 129

e) 11

a

d) 12x+6


 x  1  x  2  x  3  x  4  x  5  x  6 

n

n.x  x  n x 1

1.

nivel

d)

x 1

b) 2x  1 e)

c) x 1

2x  1

la

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 11.

 x  1  500  x  x  1   x  2   x 2 x 2  2x  2

 2x  13

d)

3x  15

12.

b)   x  1  2 e)

Si se divide:

0

a) 1

b) 2

17. (2x 7+

4x 7x 8 x2 + x + 1

es: a) 7x - 12 x+ 12

b) x-12

d) 7x + 12

e) 7x

13.

c)

2x  2 21 +

Calcular el resto de:

a) x 2  1 c) x-1

b) x+1

d) x-2

e) -(x+2)


Se sabe que el resto es 2x + 3; además la suma de coeficientes del cociente es mayor que 15. Calcular a  b

Determine el resto de:

a)

nivel

el resto c)

c) 4

d) 3

e) 5

En la siguiente división:

40

 n)x  5 x 1

Determinar el resto para que la suma de coeficientes del cociente sea 93. a) 15

b) 11

c) 9

d) 13 e) 18

18.

Hallar el valor de “a” si al dividir: x  x a16  x a15  ...  x 2  x  1 Entre x – 1, se observa que la suma de los coeficientes del cociente es igual a 90 veces su resto. a 17

x155 - 1 x2 + x + 1

a) 133

b)155

d) 163

c) 160 e) 165

14. Hallar el valor de “a + b + c” si el resto de la división indicada siguiente: ax 5  bx 4  cx 3  5x  3

19.

2x 3  x 2  x  2

Qué valor adquiere:

Es: 7x2 + 8x – 3

división

a) 21 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

x

15. Calcular “n” si el residuo de la división:

a) 1

(x  3) n (x  1) n  nx(x  1)(x  5)  1 (x  2)

2

16.

b) 4

c) 3

 nx  k

2

x  2x  1

20.

d) 2

e) 1

En la división siguiente:

2x 5  3x 4  bx 3  6bx 2  x  a x2  x  b

, sea exacta. b) 2

c) 19 d) 38 e) 4

Hallar el resto de la división: x2  2

a) 40

b)

40  2x

d)

e)

4x

40  4x

NIVEL III Método de horner


50

, si la

x 8  x 7  2x 6  x 5  x 4  x 2  10

es igual a: 2(1 – 18x); n es par. a) 5

19

n  19 k1

c) 40  3x


De las siguientes proposiciones indicar verdad (V) o falso (F) según corresponda.  El grado del dividendo es igual al grado del cociente más el grado del divisor.  El grado del divisor es mayor o igual que el grado del resto.  El grado mínimo del resto es uno. a) VFV d) FVF

2

b) VFF

El

resto 4

a) 17 d) 11

a) 3 d) 4

Al

dividir

1

deja como R( x)  2 x  3. Hallar el valor de mn.

Q( x)  x  x  2 2

a) 5 d) 6

Si P( x)  x

la 2n 1

 3x

2n

 2x

2n 1

a) 3 d) 1 2

entre resto

división entre  x  5x  6 2

Q( x)  x 2  2 x 2  1, n  1 deja como resto R( x). Halle el resto de dividir R( x) entre ( x  1). a)  10 b) 0 c) 6 d) 1 e) 2 5

4

el

valor b) 0

numérico


51

c) 1 e) 2

b)  5

Luego P( x)  18 x

de 30

 7x

20

c) 10 e) 12

dividir

 10 x  8 10

de entre

Q( x)  3x 5  1 la suma de los coeficientes

del cociente, es:

de

c)  3 e)  2

b) 5

Hallar el valor de “ n ” si la división P( x)  amx 3  apx 2  anx  bmx 2  bpx  bn entre Q( x)  ax  b , deja como R( x)  20b.

a) 8 P( x)  x 5  2 x 4  4 x 3  19 x 2  ax  12  b  Q( x)  x 3  7 x  5. d) 9

(a  b  m  30). a)  4 d) 1

c) 4 e) 2

Si al dividir mx 83  5nx  5n  m entre ( x  1) la suma de los coeficientes del cociente es 176 y el residuo es 20. Hallar el valor de “ m ”.

a)  8 d) 6

Si la división P( x) / Q( x) deja como resto R( x)  mx 2  2 x  6, siendo Hallar

3

b) 5

a) 3 d) 4

n 1

n

4

entre “ x ” indicar el valor de: q(1).

3 4

dividir

P( x)  ( x  3)  3( x  3)  2( x  3)  5( x  3) 2  2 x  9

c)  6 e)  7

b) 0

c) 1 e) 2

Al 5

c) 13 e) 12

P( x)  x 5  3 x 2  mx  n

b) 5

Método de ruffini

2

b) 10

Indique la suma de coeficientes del cociente luego de dividir entre Q( x)  x 2  ax  b.

de

3


P( x)  x 4  (a  1) x 3  (a  b  1) x 2  (b  a) x  3  b

dividir P( x)  3x  2 x  7 x  (n  3) x  (n  3) entre Q( x)  x 3  x 2  2 x  1 es R( x)  x  n  3. Hallar el valor de (n  2). 5

3

c) FFF e) VVV

6

nivel

5

b) 5

c) 7 e) 0

Obtener el residuo luego de dividir P( x)  (3x 2 ) 2  2(2 x) 2  mx  3 m entre

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra Q( x)  2  3x. Si el cociente evaluado en

a) 63 d) 64

cero resulta ser 3. a) 3 d) 0

b) 5

c) 6 e) 9

nivel

5


b) 65

hallar

el

resto al 2n P( x)  x  64  ( x  2) entre

c) 61 e) 62

dividir

3

6

Luego

de

de P( x)  8 x  2 x  9 x  4mx  16 entre Q( x)  3x  4. la suma de los coeficientes del cociente es 36. Hallar el valor de “ m ”. 4

3

dividir

Q( x)  ( x  1)( x  3).

2

a)  8 d)  12

b)  10

a) 13x +53 d) 54x +51 6

1

hallar

el

P( x)  27 x

resto

425

 81x

424

de

dividir entre

 5 x  19

Q( x)  x  3.

2

b)  5

indicar

el

resto

c)  1 e)  2

luego

de

P( x)  ( x  1)( x  x) ( x  5 x  6) 2

2

2

dividir entre

Q( x)  x 2  2 x  4.

a) 13x d) 14x 3

b) 25x

hallar P( x)  x

el 257

( x  2)

resto 257

c) 21x e) 20x

al

dividir entre

 ( x  1)

16

Q( x)  x  2 x  1. 2

a) 263 d) 264 4

el

b) 265

resto

c) 251 e) 257

de

P( x)   27  ( x  7)( x  1)( x  2)( x  4) 

6

dividir entre

Q( x)  x( x  3)  27. Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

52

b)  5

c)  1 e)  2

FACTORIZACION:

luego

a)  3 d)  4

c) 5x +54 e) 52x  3

si el polinomio P( x)  ( x  1) 2 n  ax 2 n  bx  1 es divisible por el producto ( x  1)(2x  1). c) 10 e) 12 el valor de “ b ”. Calcular a)  3 d)  4

Teorema del resto

b) 5x +53

1._ la suma de los factores primos de: P(x) = , es: a)4x – 1 b)4x c)6x d)6x – 1 e)6x – 1 2._ la suma de los factores primos de: P(x) = , es: a)9x + 4 b)7x c)9x – 1 d)7x – 1 e)6x – 2 3_ la suma de coeficientes de uno de los factores primos de: P(x;y) = ; es: a)7 b)5 c)9 d)3 e)8 4._ factorice: P(y ; x) = E indique el factor primo de mayor suma de coeficientes a)5x + 2y + 7 b)4x + 6y + 2 c)5x + 6y + 7 d) 5x + 9y + 3 e)5x + 3y + 2 5._ factorice:

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra P(x) = e indique la suma de sus factores primos. a) b) c) d) e) 6._ al factorizar: , la suma de coeficientes de uno de los factores primos, viene a ser: a)-1 b)-4 c)2 d)-3 e)0 7._ factorizar: M(a; b)= e indicar un factor primo a) a + b +2 b) b – 2 c) a + b – 4 d) a + 2 e)b + 2 8._ factorizar: P(x ; y) = indicar la suma de sus términos independientes que resulta al factorizar. a)1 b)2 c)-1 d)-2 e)0 9._ al factorizar el polinomio: P(x) = La suma de los factores primos es: a)2x + 1 b)3x + 4 c)4x + 2 d)3x + 1 e)4x 10._ al factorizar: Indique la suma de los términos independientes de los factores primos. a)7 b)-2 c)4 d)2 e)-7 11._ indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos en: a)1 b)-1 c)3 d)-3 e)5 12._ al factorizar: P(x) = obtiene una expresión de la forma:

, se


53

nivel


} Z ;{ Hallar: “a + b + c + m + n + p” a) 11 b)-1 c)0 d)8 e)4

, con a>m

13._ factorizar: P(x) = y dar como respuesta la suma de sus factores primos lineales. a)5x – 3 b)4x – 1 c)4x + 3 d)4x e)5x + 3 14._ al factorizar: P(x) = , el factor primo de menor suma de coeficientes, será: a) b) c) d) e) 15._ factorizar: P(x) =(x + 1) (x + 2)(x + 3) + (x + 2) (x + 1) + (x + 1) a) b) c) d) e) 16._ factorice: P(x;y)= Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes. a)2x + y – 3 b)3x – 5y c)2x + 5y – 3 d)2x + 5y e)3x + y 17._ factorice: P(x;y;z) = Indique la suma de sus factores primos. a)x + y + z + 5 b)x 2y + z c)2x + y + z + 5 d)2x + 2y +z + 5 e)x + 2y + 5 18._ factorice: P(x)= Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes:



25._ luego de factorizar: P(x)= entonces la suma de los términos independientes de sus factores primos es: a)0 b)2 c)-3 d)3 e)-2

a) b)3x + 1 c) d)x + 1 e)5x + 3 19._ factorice: P(x,y)= Indique la suma de factores primos: a) b) c) d) e)

PRACTICA Nº 01

20._ dado el esquema de aspa simple: P(x)= 4 -1 n

nivel

-(n-3)

1._al factorizar, indicar la diferencia de los términos independientes a)5 b)6 c)7 d)8 e)9 2._

Indique el factor primo con menor suma de coeficientes: a) b)2x + 1 c) d)2x – 1 e)x + 2

factorizar: , determinar la suma de los cuadrados de los términos independientes de los factores primos. a)25 b)26 c)27 d)28 e)29

21._ factorizar e indicar un factor primo:

3._ indicar un factor primo de:

a)(a + b + c + d) c)(a – b – c + d) e)(a – b + c + d)

a) d)

b)(a – b – c – d) d)(a + b + c – d)

22._ factorizar: V(x)= a)x(x + 1)( + x – 1) c) e)

c)

5._si

de

24._ luego de factorizar: P(x) = toma la forma: P(x) = , hallar: a + b a)-1 b)2 c)4 d)1 e)3 Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

54

b) e)

4._ indicar el cuadrado de la suma de los términos independientes de los factores primos de: a)15 b)16 c)17 d)18 e)19

b)x d)

23._ factorizar: E=(x + 1)(x – 7)(x + 2)(x - 6) + 16 Dar como respuesta la suma coeficientes de un factor primo. a)-11 b)-12 c)-14 d)-13 e)-15

al

Se transforma en un producto indicado, uno de sus factores primos, es: a) b) c) d) e) 6._

PRACTICA N2 FACTOR COMUN


nivel


01._ Factorizar: 08._ Factorizar: Indicar un término de un factor primo. a)2x b)3x c)-2x d)-6x e)10x Indicando un factor primo: a) b)x – y c)x + 2y e)x + 8y

d)x – 2y

Uno de los factores primos es: a)a+2 b)x-2 c)x-a d)a+x e)a-1

02._ Factorizar: Indicar el número de factores lineales. a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 03._ Al factorizar: abc + ab + ac + bc + a + b + 1 Uno de los Factores es: a)(a + b) b)(b + c) c)(a + 1) d)(a + c) e)(abc + 1) 04._ Factorizar:

05._ Señale el número de factores primos en: a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 06._ Indicar el número de factores primos en: a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 07._ Dar la suma de factores primos en: c)m+2n-q

MET: IDENTIDADES Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

55

10._ Indicar un factor primo de: a)x-1 b)ax+1 c)x-a d)ax-a+1 e)x+1-a 11._ indique el número de factores primos de: a)2 b)1 c)4 d)3 e)5 12._ dar uno de los factores obtenidos al factorizar:

Señale el número de factores primos. a)2 b)3 c)4 d)5 e)6

a)2m+n-q b)2(m+n+p+q) d)m+2n+2p e)2m-n+p

09._ Al factorizar:

a)

b)xy+1 c)

d)

13._ la suma de los coeficientes de uno de los factores primos en: ,es: a)2 b)3 c)4 d)5 e)0 14._ factorizar: Indicar el factor primo quemas se repite. a)x+1 b)x+2 c)x+5 d)x+3 e)x+9 15._ factorizar: e indicar un factor primo. a)a+b+1 b)a+b+2 c)b-2 d)b+2 e)a-4

ASPA SIMPLE

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 16._ factorizar y dar la suma de factores primos en: a)4x-3 b)2x-1 c)6x-2 d)4x+3 e)2x+1 17._ la suma de los coeficientes de un factor primo es: a)4 b)2 c)3 d)13 e)15

nivel


a)5x b)4x c)x-1 d)2x e)x-2 25._ halla el número de factores primos que se obtiene al factorizar: a)4 b)5 c)6 d)7 e)8

18._ indique la suma de los coeficientes de uno de los factores primos de: a)1 b)4 c)8 d)9 e)5 19._ factorizar: ;señale el número de factores primos: a)2 b)3 c)4 d)5 e)6 20._ al factorizar: se obtienen como factores primos a: (ax+b) y (cx-d) entonces, el valor de ä + b +c + d¨, es: a)12 b)13 c)14 d)15 e)16 21._ si el polinomio se factoriza en la forma: ( )( ) donde A,B,C y D son numeros enteros positivos con A C y las flechas representan operaciones aritméticas, hallar el valor de: ( ) a)11 b)9 c)17 d)8 e)10 22._ el número de factores primos que posee: a)3 b)4 c)5 d)6 e)7 23._ al factorizar: un factor primo es: a)x+3 b)x+2 c)3x-2 d)3x-5 e)x-2

ASPA DOBLE 26._ un factor primo del polinomio: ,es: a)x+y+1 b)3x+1 c)y+1 d)3x+2y+1 e)3x-y+1 27._ la suma de los coeficientes de uno de los factores primos de: 28._ proporcione un factor de: 29._ factorice: e indique la diferencia de sus factores primos. a)x+2y-3 b)2x+y+1 c)x+y d)x+y-2 e)x+3y+1 30._ factorice: E indique el factor prima de mayor suma de coeficientes. a)x+2y+z b)x+y+2z c)x+2y+3z d)x+y+3z e)x+2y+2z

ASPA DOBLE ESPECIAL 24._ la diferencia positiva de los factores primos de: , es: Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

56

31._ al factorizar:

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra la suma de coeficientes de uno de sus factores primos viene a ser: a)19x b)7x c)10x d)12x e)6x 32._ al factorizar: , la suma de coeficientes de uno de sus factores primos es: a)8 b)2 c)7 d)-3 e)-5

nivel


e) 37._ factorizar: , e indicar el factor de mayor suma de coeficientes. a) b) c) d) e)

DIVISORES BINOMICOS

33._ al factorizar: , indicar el coeficiente lineal de uno de sus factores primos. a)4 b)5 c)-5 d)1 e)-2

38._

34._

39._ al factorizar el polinomio:

al , la factores primos es: a) b) c) d) e)

factorizar: suma de sus

indicar

el

factor

primo

de:

a)x+1 b)x+7 c)x+3 d)x-7 e)x+2

Indicar la suma de sus factores primos lineales: a)3x+4 b)3x-4 c)2x+1 d)2x-1 e)4x+3 40._

35._ señalar el factor primo cuadrático de mayor suma de coeficientes en:

factorizar:

E indicar el factor primo: a)x-1 b)x-3 c)x-2 d)x-4 e)x+4 41._ dado el polinomio:

a) b) c) d) e)

, factorizar se expresa como: P(x)=(

al

Calcule

a)1 b)1/2 c)-1/2 d)2 e)-2

36._ factorice: e indique un factor primo. a) b) c) d) Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

57

si

42._ calcule abc(a + b + c) de la identidad: a)50 b)80 c)75 d)64 e)144

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 43._ la suma de sus coeficientes primos de: , es: a)4x+3 b)6x+5 c)5x+2 d)5x-3 e)6x-3 44._ al factorizar: Indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos. a)-8 b)-10 c)-12 d)-14 e)-15 45._ si: es factor de . Calcule ¨m + n¨ a)2 b)7 c)8 d)9 e)5

ARTIFICIOS 46._ factorizar: ; señalar el termino independiente de uno de los factores primos. a)-3 b)3 c)2 d)4 e)-4 47._ factorizar: ; señalar el coeficiente cuadrático de un factor primo: a)5 b)-5 c)-2 d)4 e)2 48._ factorizar: ; señale el producto de los términos de un factor. a) b) c) d) e) 49._ factorizar: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 hallar coeficiente lineal de un factor primo. a)3 b)5 c)7 d)-5 e)6

el

50._ factorizar: (x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24 Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

58

nivel


Señalar la suma de los factores primos lineales. a)2x-1 b)2x+1 c)3x+2 d)2x-3 e)2x+7 51._ la suma de los factores primos que se obtienen al factorizar: a)6x+1 b)6x c)6x+5 d)6x-1 e)6x-5 52._ indicar un factor de: a) b) c) d) e) 53._ indicar el factor primo cuadrático de mayor suma de coeficientes, después de factorizar: a) b) c) d) e)

FACTORIZACION 96) La suma de los factores primos del polinomio 2 P(x)  5  x  3  4  x  3  12 , es: Rpta. 6x  14 97) El número polinomio P(x)  2x 3  5x 2  3x

de

factores

del

, es:

Rpta. 8 98) La suma de los coeficientes de uno de los factores primos del polinomio P(x, y)  x 2 y 2  5xy  24

Rpta. –7

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 99) La suma de los divisores binomios del polinomio P(x)  x 5  25x 3  x 2  25 , es: Rpta. 3x  1 100) La suma de los factores binomios del polinomio 2 P(x)   x 2  x   18  x 2  x   72 , es: Rpta. 4x  2 101) Uno de los factores del polinomio P(x, y)  5x 2  y 2  10x  2y  4xy , es: Rpta. 5x  y 102) La suma de los coeficientes de uno de los factores primos del polinomio P(x, y)  x 2  4x  y 2  6y  5 , es: Rpta. 1 103) El número de factores del polinomio P(x)  x 4  4x 3  10x 2  12x  9 , es: Rpta. 3 104) La suma de los factores lineales del polinomio P(x)  x 4  x 3  7x 2  13x  6 , es: Rpta. 3x 105) La suma de los divisores binomios del polinomio P(x)  30x 3  7x 2  7x  2 , es: Rpta. 10x  2 106) ¿Cuántos factores de primer grado admite: a 2  b  c   b2  c  a   c 2  a  b  ? Rpta:3 107) Después de factorizar a7  20a5  2a4  64a3  40a2  128

Uno de los

factores primos es: Rpta:  a  4  108) Factorizar: 2  4 x  x  1  1  x  2   2  3 x  2  Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

59

nivel


Rpta: 8  x  13 109) Después de factorizar: 2  m2  7m  15  3m2  21m  5 , la suma de los factores primos lineales, es: Rpta: 2m 7 110) Factorizar x5  x4  2x2  1 Rpta:  x2  x  1 x3  2x2  x  1 111) Uno de los factores primos del siguiente polinomio P  x   x5  x  1 , es: Rpta: x2  x  1 112) La suma de los factores primos del polinomio: S  a   a5  4a 4  a3  16a 2  12a , es: Rpta: 5a  4 113) Uno de los factores primos de P  x   x5  x3  x  2 , es: Rpta: x2  x  1 114) Hallar la suma de los factores primos de 3 2 x   a  b  c  x   ab  ac  bc  x  abc Rpta: 3x  a  b  c

115) El polinomio al 3x3  21x  18 factorizar tiene la forma a  x  b  x  c  x  d  , donde bcd. Calcular a  b  c  d Rpta:5 116) Cuántos divisores tiene siguiente expresión P  x    x  1 x  2  x  3 x  4   1

la

Rpta:3 117) Hallar el número de factores primos de P  a, b   64a 7b  ab7 Rpta:6 118) Indicar el término independiente de uno de los factores primos del trinomio 2 P  x, y    x  y  3  7 x  7 y  31

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra Rpta:8 ó 5 119) Factorizar 6a2  11ab  4b2  8a  14b  8 Rpta:  3a  4b  2  2a  b  4  120) El factor primo de mayor suma de coeficientes de E   x  1 x  2  x  7  x  6   7 , es: Rpta: x2  5x  7 121) La suma de los factores primos de x12 x  x6 x  1 , es: Rpta: 2 x6 x  2 122) Determinar el número de factores primos de 2 E   a 2  b 2  ab   a 2b 2  a 2 c 2  b 2 c 2 Rpta:3 123) Uno de los factores primos de P  x   x5  x  1 , es: Rpta: x3  x2  1

nivel


Rpta. x 2  x  1 130)

Reducir:

E

(a  b)(a3  b3 )  (a  b)(a 3  b3 ) (a 4  b 4 )

Para a  b Rpta. 2. 131) Al factorizar el polinomio: S (a, b, c)  a 2  ac 2  bc 2  2b2  3ab Uno de sus factores, es: Rpta. a  b 132) Al factorizar el polinomio: P( x)  x 4  16 x 2  24 x  9 , La suma de los coeficientes de los términos cuadráticos de los factores primos del polinomio, es: Rpta. 2 133) Simplificar: (a  b)(a 2  b 2 )(a 3  b3 )(a 2  ab  b 2 )

124) El factor primo de menos suma de coeficientes del polinomio 4 2 2 P  x, y   x  y  6 x  10 y  16 , es: Rpta: x2  y  2 125) El número de factores primos lineales de P  x   x5  5x 4  7 x3  x 2  8x  4 , es: Rpta:3 126) La suma de los divisores binomios del polinomio: P( x)  12 x 3  4 x 2  3x  1 , es: Rpta. 7 x  1 127) Después de factorizar: 13(a  1)3 (a  1)  4a 2  (a  1)3 (a  1)  4

Uno de los factores primos es: Rpta. (3a  1) 128) La suma de los factores primos de 2 x8  x6  16 x 4  8 x 2  1 , es Rpta. (3x4  2x2 ) 129) Señale el factor primo de menor grado de: P( x)  x5  x4  2 x2  1 , es: Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

60

(a 4  a 2b 2  b 4 )  b12

Rpta. a12 134) Factorizar el polinomio: P( x)  x6  4 x5  21x 4  20 x 2  4

Rpta. ( x 3  7 x 2  2)( x 3  3x 2  2) 135) Uno de los factores del polinomio: P( x)  x8  5 x 4  6 x 2  5 , es: Rpta. x2  x  1 136) Luego de factorizar, indicar un factor primo de : P( x, y, z )  2[( x  y  z ) 2  ( x  y  z ) 2 ] 

5( x 2  y 2  z 2  2 xy )

Rpta. 3x  3 y  z 137) El número de factores primos del polinomio: P( x)  x 5  x 4  2 x 3  2 x 2  x  1 , es: Rpta. 2 factores primos. 138) Uno de los factores primos del polinomio:

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra P( x, y )  15 x 2  151 xy  10 y 2  45 x  301 y  30 ,

es:

nivel


NIVEL II

Rpta. 15x  y  30 139) Indicar el número de factores primos de: P( x)  ( x 2  7 x  5) 2  3( x 2  1)  21 x  2 .Rpta. 3 140) Factorizar e indicar un factor primo del polinomio:

ASPA SIMPLE 01

15x 2  14x  8

02

2x 2   3a  2b  x  a  a  b 

03

 x  1  4  13  x  1  2  36

04

72  x  y  z   x  y  z 

05

x

P(a, b, c)  a(b  c) 2  b(c  a) 2  c(a  b) 2  8abc

Rpta. a  c 141) ¿Cuál no E  (1  mx)  (m  x) 2

2

es ?

un

factor

de

Rpta. m x 142) Si (a  b  c  d )(a  b  c  d )  (c  d  a  b)(c  d  a  b) . 2 2 Calcular M  a2  b 2

c d

Rpta. 1 143) Dar la suma de sus términos de los factores primos de: 4(ab  bc) 2  (a 2  b 2  c 2  d 2 ) 2

Rpta. 2(a  b  c  d ) 144) La diferencia de los factores primos de: P( x)  40 a 4  ( x  a)( x  3a)( x  4a)( x  6a) Es:

Rpta. 6a 2 145) En el campo de números racionales ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I El polinomio P( x)  35 ( x  1)( x 2  2) 2 tiene dos factores primos. IIEl binomio P( x)  x 2  1 , es un factor primo. III El trinomio 2 x 2  5x  1 , no tiene dos factores primos. IV El binomio P( x)  x 4  4 , tiene tres factores primos. Rpta. 2 Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

61

2

4

 x2  1



2

 3x 4  3x 2  15


06

nivel


x 5  2x 3  5x 2  10 11

Halle la suma de los factores primos de la expresión:

P(x )  25 x 4  109 x 2  36 07

144a 11b 2  436a 9 b 4  100a 7 b 6

a)10x b)18x c)13x d)14x e)12x 12

Halle la suma de los factores primos de la expresión: P(x )  8x 2  2x  3

08

a 12  6a 8  5a 4  2a 6  6a 2  1 13

Halle la suma de los factores primos de la expresión: 09

3



2 2

2

xyz  x y  z

 z  xyz

P(x )  (4x  3x 2 )2  19(3x 2  4x )  60

a) 8x+3

b) 8x+4 c) 8x+2

d) 8x+5 e) 8x+6 14

Halle la suma de los factores primos de la expresión: P(x )  (4x  3x 2 )2  19(3x 2  4x )  60 10

 2m  3n  p  2  14m  21n  7p  18


62

a) 8x+3

b) 8x+4 c) 8x+2


nivel


d) 8x+5 e) 8x+6 15

Halle el número de factores compuestos de la expresión:

03

15x 2  7xy 2  2y 4  23x  2y 4  4

04

9m 5 n 2  3m 4 n 2  m 3 n 4  3m 3 n 3  2m 3 n 2

05

10x 2  17xy  3y 2  5x  y

06

15x 2  151xy  10y 2  45x  301y  30

07

21xy  39y 2  56x  92y  32

P(x )  (1  x )4  x 2  2x  5

a) 3 b)4

c) 2

d) 5 e) 1

16

Halle el número de factores compuestos de la expresión: P(x )  (x 2  7x  5)2  3(x 2  1)  21x  2

a) 6 b) 4 c) 8 d) 5 e) 0 17

Halle el número de factores primos de la expresión: P(x )  x 5  x 4  2x 2  2x  1

a) 3 b) 4 c) 2

d) 5 e) 1

ASPA DOBLE 01

6x 2  7xy  2y 2  11xz  6yz  4 z2

02

10a 2  18ab  4b 2  11ac  11bc  6c 2


63


nivel


P(x; y )  9x 2  11xy  2y 2  26 x  5 y  3

13 Halle un factor primo de la sgte expresión: 08

m 2  n 2  4 p 2  2mn  3mp  3np

P(x; y )  10 x 2  17 xy  3y 2  5x  y

a) 7x-y

b) 9x-y

d) 4x-y

e) 5x-y

c) 7x+y

14 Halle un factor primo de la sgte expresión: 09

6a 2  12ab  6b 2  ab  29b  26a  28

P(x; y )  21xy  39 y 2  56 x  92y  32

a) 7y+5

b) 9y+3

c) 2y+7

d) 3y+8 e) 5y+2

10



2

20 m  n

2

  3m n

2 2



2

 18 m  n

2



15 Halle el número de factores compuestos de la expresión: P(x )  x 6  4x 5  21x 4  20 x 2  4

a) 5

b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

16 Halle el total de factores primos de: 11 Halle el número de factores primos de la expresión: P(x; y )  3x 2  4xy  y 2  4x  2y  1

a) 3 b)4

c) 2

d) 5 e) 6

12 Halle un factor primo de la sgte expresión: Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

64

P(m; n)  m2  4n2  3p 2  2mp  8pn

a) 2 b) 4 c) 1

d) 5 e) 3

17 Halle la suma de los valores de “a” para que la expresión: P(x )  10 x 2  (a  3)xy  (a  7)y 2  x  (a  3)y  2


nivel


Pueda descomponerse en dos factores primos. a)12 b)14 c)17 d)18 e)16

ASPADOBLE ESPECIAL 4

3

06 5x 4  14x 3 y  8x 2 y 2  xy 3  2y 4

2

01 x  7x  19x  36x  18

4

3

07 2x  3x  1 4

3

2

02 x  5x  9x  11x  6

4

3

2

08 12z  56z  89z  56z  12 4

2

03 x  8x  12x  5

7

5

4

3

2

09 a  20a  2a  64a  40a  128

4

3

2

04 x  4x  6x  7x  2



2

10 y  1

4

3

2

05 2x  3x  3x  3x  1 11 Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

65

 y

2



 4  3  2y  3 

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra Hallar el número de factores primos de la expresión: P(x )  x 4  4x 3  11x 2  14 x  10

a) 2 b) 4 c) 6

nivel


Tenga raíz cuadrada exacta. a) 1

b) 3 c) 4

d) 7 e) 9

17

d) 8 e) 0

12

Hallar un factor primo de la expresión:

Hallar el valor numérico de uno de los factores primos cuando: x=2 de la expresión factorizada: P(x )  (x  1)4  3x(x  2)2  17

4

3

2

P(x )  x  6x  7x  6x  1

a)x2+5x+2

b)x2+5x+5

c)x2+5x+1

d)x2+5x+3 e)x2+5x+7

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 0

FACTOR COMUN 01

abc  ab  ac  bc  a  b  c  1

02

 a  b  a  c    b  d  c  d 

03

x 7  x 6 y  x 5 y 2  x 4 y 3  x 3 y 4  x 2 y 5  xy 6  y7

04

ab  x  y   xy  a  b 

05

x10  2x 9  x 4  2x 3  3x 2  6x

13

Hallar el número de factores algebraicos de la expresión: P(x )  10 x 4  13 x 3  8x 2  8x  3

a) 3 b) 5 c) 7

d) 9 e) 1

14

Hallar el número de factores compuestos de: P(x )  x 4  2x 3  4x 2  8x  32

a) 2 b) 4 c) 3

d) 5 e) 6 2

2

15

Hallar el número de factores algebraicos de: P(x )  x 4  8x 2  12x  5

a) 2 b) 4 c) 3

d) 5 e) 6

16

Halle el valor de “a” de manera, que: P(x )  x 4  2x 3  7x 2  6x  a Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

66


a 6  b 6  a 2 b 4  a 3 b  b 2a 4  ab 3

nivel


Indicando el número de factores algebraicos que presenta dicha expresión. a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11

07

Hallar el número de factores compuestos de la expresión:

x7  x 6  x 5  x 4  x 3  x 2  x  1

P(a, b, c )  a(b2  c 2 )  b(c 2  a 2 )

a) 6 b) 8 c) 2

d) 1

e) 4

12

Factorizar: 08

P(n; p)  n6 p  n3 p 4  n 4 p 3  np6

ax  by  cz  bx  cy  az  cx  ay  bz

Indicando el número de factores compuestos que presenta dicha expresión. a)58 b)52 c)60 d)56 e)50 09

13

mn 4  5m 2n 3  4m 3n 2  20m 4

Hallar el número de factores algebraicos de: P(x; y )  abx  y 2  xya  b2

a) 9 b) 8 c) 1

d) 2 e) 3

14 10

3

3

3

2

2

2

2

2

2

x  y  z  x y  x z y x  y z z x  z y

Hallar el número de factores básales que presenta la expresión:

x  2x  3x  4  x  3x  4  x  4 a) 6 b) 8 c) 2 10._ Factorizar: P(x; y )  6x 4  9x 3 y  8xy  12 y 2


67

d) 1

e) 4

15

Hallar el número de factores primos de la expresión:


nivel


P(m, n, p)  mn  p  mn n p  nm mp  nm  p

a) 1

b) 3 c) 2

d) 5 e) 4

16

Indicar la suma de coeficientes de los factores primos de:

6

5

4

3

2

05

a  5a  6a  2a  9a  7a  6

06

2x 3  x 2  3x  2

10x 3  3x 2  6x  1

P(a, b, c )  a 2 (b  c )  b 2 (c  a )  c 2 (a  b)

a) 6 b) 8 c) 2

d) 0 e) 4

DIVISORES BINOMICOS 01

x 5  4x 4  10x 2  x  6

02

x  5x  7x  x  8x  4

07

03

2x 3  3x 2  3x  1

Halle el número de factores primos

5

4

3

2

P(x )  x 3  x  6

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

08

Hallar la suma de los coeficientes de uno de los factores primos de la siguiente expresión: 04

12x 3  8x 2  3x  2


68

P(x )  x 3  2x 2  6x  3

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra a) 2 b) 3 c) 1

d) 5 e) 6

09

Hallar el número de factores primos de la expresión: 4

3

nivel

Indicando la suma de los factores primos de dicha expresión: a)5x b)3x c)7x d)4x e)2x EJEMPLOS

2

P(x )  2x  5x  2x  x  2 4

2

01 x  x  1

a) 2 b) 4 c) 6

d) 7 e) 8

10

Hallar el número de factores primos de la expresión: P(x )  x 4  x 3  6x 2  4x  8

a) 2 b) 4 c) 3

d) 7 e) 8

4

4

4

2 2

02 a  4b

11

Hallar el número de factores compuestos de la expresión: P(x )  x 5  5x 4  7x 3  x 2  8x  4

a)16 b)19 c)18 d)12 e)14

03 a  a b  b

4

12

Factorizar: P(x )  12x 3  8x 2  3x  2

Indicando la suma de los factores primos de dicha expresión: a) 7x+9

b) 5x+3

d) 5x+3

e) 7x+2

04 x 4  x 2 y 2  49y 4

c) 6x+5

13

Factorizar: P(x )  12x 5  8x 4  13 x 3  9x 2  x  1


69


05 m 4 n 4  64 p 4


nivel



5

06 x  x  1

P(m; n; p)  m2  4p2  4mn  4n2

a) 7

b) 4 c) 2

d) 1

e) 3

11

Hallar un factor de. a  b  ca  b  c  a  ba  b

5

07 x  x  1

a) b b)b+c c)2c d) c

e) a

12

Hallar el número de factores compuestos de la expresión: P(x )  x 4  y 4  2xy(x 2  y 2 )  3x 2 y 2 4

3

2

08 8x  2x  13x  2x  8

a) 1

b) 8 c) 2

d) 6 e) 3

13

Hallar el número de factores primos de la expresión: P(x )  x 5  x 4  2x 3  2x 2  x  1 5

4

3

2

09 3x  5x  3x  3x  5x  3

a) 1

b) 8 c) 2

d) 6 e) 3

14

Hallar el número de factores primos de la expresión: P(x )  x 6  2x 5  3x 4  4x 2  1 6

5

4

3

2

10 x  4x  3x  8x  3x  4x  1

a) 1 15


70

b) 8 c) 2

d) 6 e) 3


nivel



13

P(x; y; z )  (z 2  y 2 )2 (x 2  a 2 )  4x 2 y 2 z 2

P(x)  x  1x  2x  3x  4  24

a) 1

a) x+3

b) x+1

d) x+4

e) x+5

b) 8 c) 2

d) 6 e) 3

16

Señalar la suma de coeficientes de

Hallar un factor de:

c) x+2

Uno de los factores de: a(c  b)2  b(c  a )2  c(a  b)2  8abc

14

a)10 b) 2 c) 8 d) 7 e) 6

Halle el número de factores primos de la expresión:

COMBENIENTE AGRUPAR

(x  2)2(x  1)(x  3)  5x(x  4)  27

01  x  1  x  2  x  3  x  4   1

a) 1

02  x  2  x  3  x  2  x  1   3 03  x  1 

 x  3   x  5   63 04 1  x  x  1  x  2  x  3  05  x  1  x  2  x  3  x  4   24 2



2 06 x  x  1



2

 3x 2  3x  15

07  x  1  x  2  x  3  x  6   7x 2  28x  1 08  x  2 

2

x

2



 4x  6  15

  x  5x  6    x  3x  1   1 10  a x  1  a x  2  a x  3  a x  4   36 09 x 2  x 2 2

2

2 2

2 2

11

Hallar un factor de:

15

Halle el número de factores primos de la expresión: (x  1)(x  2)(x  3)(x  6)  7x 2  28 x  1

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16

Halle el número de factores primos de la expresión: (x 2  2)(x 2  4)(x 2  5)(x 2  7)  46 x 2(x 2  9)  361

P(x)  x  2x  3x  2x  1  3

a) 1 a)

d) 4 e) 5

2

2

2 2

b) 2 c) 3

x2+x-3

b)x2+2x-3

d)2x2+x+1

e)x2+5x+2

c)x2+x+2

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

17


12

Señalar un factor de: P(x)  x  1x  2x  3x  4  15 Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

71

40a 4  (x  a )(x  3a )(x  4a )(x  6a )

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra REDUCCION A DIFERENCIA DE CUADRADOS Hallar la suma de uno los factores primos de la siguiente expresión: 4

2

P(x )  x  x  25

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

01


b) 2 c) 3

P(a; b)  a 4  2a 2b 2  9b 4

b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

03

Halle el número de factores primos de la expresión: P(x; y )  x 4  4y 4

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

04


b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05

Halle el número de factores primos de la expresión: Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

72

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

06

Halle el número de factores primos de la expresión: P(x )  16 x 8  17 x 4  16

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

Halle la suma de los coeficientes de uno de los factores primos de la siguiente expresión: P(x )  x 5  x  1

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

01

Halle el número de factores compuestos de la expresión: P(x )  x 5  x 4  1

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

02


P(x; y )  4x 4  81y 4

a) 1

a) 1

07

Hallar la suma de uno los factores primos de la siguiente expresión:

a) 1

P(n)  n4  324

d) 4 e) 5

02

a) 1


SUMAS Y RESTAS ESPECIALES

P( x )  x 4  x 2  1

a) 1

nivel

P(m)  (m  1)5  m  2

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


Halle la suma de los coeficientes de uno de los factores primos de la siguiente expresión: P( x )  x 7  x 5  1

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

04

Halle la suma de los coeficientes de uno de los factores primos de la siguiente expresión: P(x )  x 7  x 5  1

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


3._ √

√

4._ √

√

5._ √

√

6._ √

√

7._ √ √

√

8._ √

√

9._ √

√

10._ √ 11._ √

05

nivel

√ √


12._ √

√

P(x )  x10  x 8  1

13._ √

√

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

06

Halle el número de factores primos de la siguiente expresión: P(x; y )  x 5  x 4 y  y 5

a) 1

b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

RADICACION: 1._ √

√

2._ √

√


73

14._ √

√

15._ √

√

16._ √

√

17._ √

√

18._ √

√

19._ √ 20._ √√

√ √

√

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 21._ √ 22._ √

√

23._ √

√

√

√

√

√

√

2._ √

√

28._ √√

√ . ._ √

29._ √

√

√

√

√

√ √

√

√ √

33._ √

√

34._ √

√

35._ √

√

36._ hallar “x” √ √ 37._ calcular la raíz cuadrada de: √ 38._

√

√ (√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

4._ √

√

√

√

√

)

√

√

√

3._ √

5._ √

30._ √ 31._ √

√

CASO II 1._ √

√

27._ √√

√

√ √

6._ √

√

√

7._ √

√

√

√

8._ √

√

√

√

9._ √

√

10._ √

√

√

√

√

√

11._ si x>1; transformar: en:


74

√

=

39._ √

26._ √√

32._ √√


√

24._ √ 25._ √

E √

√

nivel

√

√

√

Luego indicar el producto de radicales simples: CASO III

√

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 1._ √

√

2._ √

√

3._ √

√

nivel

a)

5 3

b)

5 3

c)

5 3

d)

5 3

e)

3 2

Simplificar:

3.

4._ calcular la raíz cubica de: 7+5√


8  2 12  11  120  7  40

5._ √

√

a) 3

7._ √

calcular:

√

4

x= √

calcular:

√

9._ hallar la raíz cubica de: 9√

√

10._ hallar la raíz cubica de: 14√ √ √

√

12._ la raíz cubica de: 72+32√

11

5

d)

1  2

c)

1 2

1  2

3  2

1 2

3

11  4 7  16  6 7  11  96  5  24

a)

5 2

b)

1 2

d)

4 3

e)

5 3

c)

2 3

Simplificar: 94 2 2 3

E) 11a

Transformando a radicales simples: 4  2 4  2 15 Obtenemos:


75

e)

5

a) 1

e) 5

8  12  8 2

b) 2

c) 3

d) 4

Efectuar:

7.

E  7  2 6  8  2 12

a) 1 2.

3

Simplificar:

5.

Si son radicales homogéneos D) 9b

5

13  4 10  11  2 10  15  10 2

11  2a  b 22  333ca 33

A) 3b B) 5a C) 2a

b)

2 3

6.

Hallar los valor de (a+b+c) en a  b c

e) 5

c)

74 3

Problemas de Aplicación 1.

5

descomponer en radicales simples:

a)

√

11._ √√

d) 4.

√

8._ √

b) 2

 5

6._ hallar la raíz cubica de: 170-78√ x= √

5

b)

2 1

e)

3 2

2 1

d)

3 2

c)

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra Señale el equivalente de:

8.

16  2 35  2 20  2 28

b)

d) 2  3

c)

2 2

2 3

e) 2

descomponer en radianes simples:

9.

E  3 3  4  2 3

a)

3 2

b) e)

a)

5 3 2

c)

5 7 2

e)

7 2 5

b) d)

5  7 2

2 3 7

transformar en suma de radicales simples: 15.

1 3

d)


transformar a radicales simples:

14.

E  11  112  11  112

a) 4

nivel

c)

3 1

2 3

16  80  112  140

2 2

10.

simplificar:

a)

32

a) 17  4 9  4 5

b)

c)

5 2

2 1

c)

b)

5 4 7

3 2 5

d)

2 3

3 6 2

d)

3 1

e)

11.

efectuar:

3 2

5 2 6

2n

3  2 ;n

n

n>0 a) 1

d)

;

b) 2 c)

n



2n

e)

simplificar:

a)

3 1

n

3 2

2n

n

2

52 6

b)

2 1

c) 1 d) 13.

3 1

n

e)

n

3 1

suponiendo que:

16  2 35  2 20  2 28  x  y  z

dar como respuesta el valor de (x + y + z) a) 12

b) 10 c) 16 d) 14 e) n.a.


76

3 5 7

16.

sabiendo que:

7  30  10  3  a  b  c

el valor de: E  4abc es:

2

2 3

12.

e)

a) 5 25

b) 10 c) 15

d) 20

e)

si: a  4 b  2  a  2  2b ; a > b {a, b}  R descomponer a radicales simples: 17.

E  a  b  2 a  6b

a)

5 2

b)

7 2

c)

2 3

d)

3 5

e)

5 7

Al transformar el radical doble 3x  1  8x 2  4x  24 , a radicales simples, uno de ellos es: a) 2x  3 b) x  2 c) x  2 18.

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra d)

e)

3x  2

3x  2

Luego de transformar a radicales simples: 19.

3

6

x  4x 

ellos:

2

Señale uno de

x1

a)

x  4x  1

c)

x  4x  1

e)

4

x  8x  16x  1

3

b)

3

d)

x 2  x  1  x3  x  1

c)

x2  x 1  x2  x 1

d)

x3  x 2  1  x  x3  1

Efectuar:

9

3

x  4x  1 2

a) x

3

 4x  1 2


b)

22.

40 

3

 11  8  11  8 21 

b)

4

c)

6

d)

320

e)

2

5

Hallar el valor de:

23. 3

E  20  14 2  3 20  14 2

3

x  6x  1 2

20.

nivel

a) 2

Simplificar:

E  2x 1  2 x 2  x  2  2x  3  2 x 2  3x  2

b)

c) 9

d) 8 e) 10

Calcular la suma E  3 26  a) 3  2 b) 1 24.

a)

2  2 x2 1

c)

2  2x

e)

x2  x 1

21.

Transformar a radicales simples:

2x  2 x 2  1

d)

b) 4

3x 1

d)

675  3 26  675

c)

2 5

e) 4

3 5

la transformación a simples de: 3 38  17 5 es: a) 2  3 b) 3  2 25.

radicales c)

2 5

E  x3  x 2  2  2 x5  x 4  1

a)

x2  x 1  x2  x 1

Racionalización: 1._ ------------------------------------√

-----------------------------------

√ √ √ √

√ √

√ √ √

√

5 2

e)

3 5

-------------------------------

2.√

------------------------------------

√

-----------------------------------

√

-------------------------------

√

----------------------------------

√

-------------------------------

√

-------------------------------

√

------------------------------------

√


77

d)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra -----------------------------------

√

-----------------------------------

√

3._ -------------------------------------

√

-√

√

√

√

----

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

√

-√

--------------------------------------

√

-

√

√

√

----

√

√

√

√

√

√

√

√

√

5._

----------------------------------------------------------------------------

√

-

√

------------------------------------

√

-

--------------------------------------

√

--

---------------------------------------

√

--4._

-----------------------------------

√

√ √

√

√

√

√

√

------------------------------------------------------------------

√

√

√

√

√

√

√

√

√

-

√

--------------------------------

= ---------------------------------------------------------------------------------------------------

√

-------------------------------------

√

------------------------------------

√

√

√

-------------------------------

√

√

-------------------------

√

√

√

√

√

√

√

--------------------------------------------------

√

---------------------------

6._ al racionalizar el denominador de: E= , se obtiene: √

a) √ b) √ c) √ d) √ e) √ 7._ el denominador racionalizado de: E= , es: √

a)6a b)3abc c)2b d)2ab e)abc 8._el denominador racionalizado de:

-------------------------------

E=

-------------------------------

a)6a b)3a c)2b d)2ab e)3ab 9._ al racionalizar el denominador de: E= , el resultado es:

--------------------------


78

----------------------------------

√

√ √

---------------------------

√

√

-

-----------------------------

√

√

√

√


√ √

√

√

√

nivel

es:

√

√

√

a)√ e) √ √

b) √ √

c) √

d) √ √

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 10._ racionalizar: E= a)

√

b)

√

c)

11._ racionalizar: E=

√

d)

√

e)

√

√

a) √ b) √ c)√ d) √ e) √ 12._ al racionalizar y simplificar la expresión: ; se obtiene: √

a)√ b)√ c) √ d) √ e)√ 13._ al racionalizar y simplificar la expresión: ; se obtiene: √

a) √ b) d) √ e) √ 14._ racionalizar

√

a)a + b b)a – b e) √ √

c)√

√

√

√

a)12 b)9 c)17 d)5 e)15 18._ racionalizar el denominador de la expresión: a)3(√ c) 2(√ e) (√ 19._

√

√ ) b)√ √ d) 2√ √ ) √ racionalizar:

E=

indicar el denominador: a)22 b)12 c)2 d)3 e)6

, es:

√

√

√

√

E= √ √ a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 26._ al racionalizar y simplificar la √

fracción , el denominador racional √ √ es: a)5 b)4 c)6 d)2 e)3 27._ racionalizar

√

√

√

√

a)√ b)√ c) √ d) √ e)x – 1 28._ al racionalizar la expresión: el denominador es: a)x – 25 b)x + 9 c)x – 9 d)x – 25 e)1 29._ racionalizar e indicar el

√

√

√ √

√

√

√

;

√ √

b)2 -√ d) 2 +√


79

√

a)6a b)3abc c)2b d)2ab e)abc 24._ el denominador racionalizado de :

√

20._ hallar el equivalente de: √ a)√ c) 1 √

a)2xy b)2x c)2y d) e) 23._ el denominador racionalizado de: , es:

√

√

√

√

a) 6a b) 3a c) 2b d) 2ab e) 3ab 25._al reducir la siguiente expresión; el denominador racionalizado es:

√

d)√

a)3xy b)xy c)2y d) e) 22._ el denominador racional de: , es:

E=

c) √

15, _ el denominador de: √ √ √ a)10 b)12 c)6 d)1 e)0 16._ el denominador racionalizado de : E= es: √ √ a)14 b)13 c)12 d)11 e)10 17._ el denominador de la fracción es: √


e) √ 21._ el denominador racional de: , es:

√

√

nivel

denominador racionalizado en: √ √ √ a)6 b)5 c)4 d)3 e)2 30._ indique el denominador luego de racionalizar: √ √ √ a)12 b)14 c)16 d)15 e)35

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 31._ al racionalizar el denominador y √

√

a)5 b)10 c)8 d)1 e)2 Ex. Adm. 2010 33._ el denominador racional de: , es: √√

√

a) 10 b)7 c) 11 d)1 e)8 34._ el denominador , es: √√

√

racional

de:

√

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 35._ el denominador racionalizado de: es: √

√

√

a)1 b)2 c)3 d)4 e)8 36._ indicar el racionalizado en: W= √

denominador √

√

a) 12 b)9 c)9 d)3 e)1 37._ racionalizar e indicar denominador racionalizado √

el

√

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 38._ el denominador racionalizado de: E= , es: √

√

a)3 b)6 c)9 d) 12 e)1 39._ el denominador , es:

racional

de:

a) 10 b)7 c) 11 d)1 e)8 40._ el denominador , es:

racional

de:

√√

√

√√

√

√

a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 41._ al racionalizar el denominador de √ √

√

, el número es de la forma

√ , el valor de a + b es: √ a)7 b)5 c)2 d)6 e)4 Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

80


42._ el denominador racionalizado de

√

simplificar la expresión E = √ √ resulta: a)21√ b)94 c)42√ d)47 e)74 Ex. Adm. 2011 32._ el denominador racional de la fracción irracional E= es: √

nivel

√ √

√

, es:

a)7 b)5 c)2 d)6 e)4 43._ al racionalizar expresión: (

√

√

√

√ √

√

la

√

√

siguiente

√

)

√

Se obtiene ; A>B, hallar el valor de C: a) 16 b) 17 c) 19 d) 20 e) 18 44._ después de racionalizar E= , el denominador es: √

√

a) 12 b) 13 c)-2 d) 14 e)2 45._ al racionalizar el denominador de la expresión

√ √

√

, se obtiene:

a)√ b) √ c) √ √ √ √ d) √ √ e) √ √ 46._ el denominador de la fracción: E= √

√

√

a)6 b)9 c) 11 d)5 e) 13 47._ al racionalizar la expresión: , el denominador es: √√

a) 21 b) 11 c) 13 d) 10 e) 14 ECUACIONES LINEALES: 1._ el valor de ¨x¨ que satisface la ecuación , es: a)5 b)6 c)-5 d)7 e)1 2._ si k , el valor de ¨n¨ para que la ecuación sea incompatible, es: a)5/2 b)2/3 c)2/5 d)1 e)2 3._ si la ecuación mx + (3-n)x = 5x + 2m – 10 + n tiene infinitas soluciones, entonces el valor de m – n, es: a)2 b)3 c)1 d)-2 e)5 4._ hallar a – b para que la ecuación

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra (5a + 7)x – 5b+12 = 0, sea compatible indeterminado a)19/5 b)-19/5 c)12/5 d)-12/5 e)1 5._ resolver ; a a)a-b b)a+b c)a d)b e)ab 6._ si la ecuación es compatible indeterminada, entonces el valor de ¨k¨, es: a)1 b)2 c)-1 d)3 e)5 ECUACIONES CUADRATICAS: 1._ si una de las raíces de la ecuación es -2, entonces el valor de ¨k¨, es: 2._ si las ecuaciones cuadráticas y Tienen las mismas raíces entonces el valor de ¨m.n¨, es: 3._ si las ecuaciones cuadráticas y Presentan las mismas soluciones, entonces el valor de ¨k + p¨, es: 4._ si las ecuaciones cuadráticas y tienen raíz común. El producto de las raíces no comunes, es: 5._ el valor de ¨k¨ para que la ecuación Tenga raíces reales e iguales, es: 6._ hallar el conjunto de valores de ¨k¨ para que la ecuación: Tenga raíces reales, es: 7._ hallar el conjunto de valores de ¨k¨ para que la ecuación: No tenga raíces reales, es: 8._ hallar ¨m¨ en la ecuación: Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

81

nivel


Para que la suma de los cuadrados de sus raíces sea 40 9._ hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación: Sabiendo que sus raíces son reciprocas. 10._ el valor de ¨k¨ para que la ecuación tenga raíces simétricas es: 11._ hallar el valor de ´k´ para que la ecuación tenga raíces reciprocas. 12._ si los cuadrados de las dos raíces reales de la ecuación suman 9, entonces el valor de ¨c¨ es: 13._ si p y q son las raíces de la ecuación . Hallar una ecuación cuadrática cuyas raíces sean 14._ las raíces p y q de la ecuación son tal que . Hallar el producto de todos los valores de ¨k¨. 15._ si p y q son las raíces de la ecuación , tales que . El producto de los valores de ¨m¨ es: 16._ dada la ecuación de raíces . Si , entonces el valor de . ECUACIONES: 1._ Determine la suma de los valores que pueda tomar p para Que la ecuación  p  1  x 2  px  1  0 Tenga una sola solución si p es un número real y diferente De -1. a) 3 d) 4

b) 5

c) 6 e) 2

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 2._ Si x1  x2 son raíces de la ecuación

a) 13 d) 14

x  2 x  4  0, 2

1 1  x1  3 x2  3

Calcule el valor de: E 

a) -3 d) -1

b) -5

p 2  q 2 , es:

a) m2  2n

c) 16 e) 12

3 11

a) x  2 x  2  0 2

b) -5

c) -4 e) -1



b) 7

e) x 2  x  1  0

c) 4 e) 1

6._ Hallar el mayor valor de “ m ” Para que una de las raíces de la ecuación 2 2 x   3m  2  x  m  1  0, Sea el triple de la otra.

7._ Si la ecuación x 2  nx  36  0 Admite como raíces x1  x2 donde: 1 1 5   , Encontrar el valor de “ n ”. x1 x2 12 Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

b) 25

c) 26 e) 22

11._ El conjunto solución de los valores de k para que La ecuación  k  5  x 2  3kx  4  k  5   0 No tenga raíces reales, Es: a) 4,4

c) 6 e) 2

Es

incompatible, Calcule el valor de p 2  q 2 . a) 23 d) 24

es:

82

c) x 2  2 x  2  0

 p  q  4  x2   p  q  6  x  2  0

x 2  n 2  5 x  8n  3  0 Es -3, la otra raíz

b) 5

b) x 2  2 x  2  0

10._ Si la ecuación cuadrática

5._ Si una de las raíces de la ecuación

a) 3 d) 4

3

d) x 2  2 x  2  0

La suma de los valores de “k” que hacen Que dicha ecuación tenga raíces reales e iguales, es:

a) 3 d) 2

2

ecuación

4 x  kx  x  2   2  0,



e) m  2n

9._ Formar la ecuación cuadrática cuyas raíces son:

2

a) -3 d) -2

c) m2  4n

2

Para que una raíz sea el triple de la otra.

la

b) m2  4n

d) m  n

2

Dada

c) 16 e) 12

2

x  nx  48  0,

4._

b) 15

x  mx  n  0, el valor de

c) -4 e) -2

b) 15


8._ Si p  q son las raíces de la ecuación

3._ Qué valor debe tener n en la ecuación

a) 13 d) 11

nivel

d) 2, 

b) 2,2

c) 2,  e) 4, 

12._ Para qué valor de “ b ” la ecuación bx  3x  5a  1  6x  2a  7, Es compatible indeterminada.

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra a) 3 d) 4

b) 5

13._ El valor de 2bx  a  6 

b

c) 6 e) 2

para que la ecuación

12 x  3a  10 , Sea 3

compatible

Dada

c) R - {2} e) R

la

ecuación:

Indicar un (V) si es verdad o un (F) si es falsa de las

83 13

Si

83 9 82 e) 9 c)

la

ecuación

m  9m  4  x  m  5  0

Admite raíces reciprocas. Hallar el valor de “ m ”. 2 3 3 d) 2 a)

3 10 3 10  2   2 : x2 x 4 x2 x 4


b)

 9m  4  x 2  b) R - {3}

14._

82 13 82 d) 13 a)

17._

determinada, es: a) R - {-2} d) R - {-3}

nivel

b)

8 13

9 8 2 e) 9

c)

Siguientes proposiciones:

18._ Si la ecuación x 2   2k  5  x  k  0, se

I. La ecuación es compatible. II. La ecuación es compatible indeterminado. III. La ecuación es incompatible IV. La única solución es x = 2.

conoce Que una raíz excede a la otra en 3 unidades el Valor de k es igual a:

a) VFVV d) FFVF

b) FVFV

15._ Si ecuación:

x1  x2

c) VVVV e) FFFF

son las raíces de la

2

Determine uno de los valores de m de modo que: x1 2  5 x1 x2  x2 2  28

b) -5

c) -4 e) -2

16._ Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación

 2k  2  x

2

  4  4k  x  k  2  0 . Sabiendo

Que las raíces son reciprocas. Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

83

b) -5

c) -4 e) -2

19._ El mayor valor de “ k ” para que la ecuación 2 x  k  2 x  8   15 Tenga raíces reales e iguales, es:

x   m  3  x  2m  5  0.

a) -3 d) -1

a) -3 d) -1

a) 3 d) 4

b) 5

c) 6 e) 2

20._ El conjunto de valores de “ m ” para que la ecuación mx 2  8x  4  0 no tenga soluciones reales, es: a) 4,4

b) 2,2

d) 2, 

c) 2,  e) 4, 

NIVEL II 1.ax

2

Dada

la ecuación cuadrática  bx  c  0 , ¿Cuál o cuáles de las

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra siguientes verdaderas?

proposiciones

son

I. La ecuación es compatible determinada, si a=0, b=0 y c=0.

nivel

a) –2 b) –1

III. La ecuación no tiene raíces reales, si b 2  4ac  0 . IV. La ecuación tiene raíces iguales imaginarias, si b 2  4ac  0 a)II y IV

b)Sólo II

c)II y III

d)I y II

e)II, III y IV

1. Señalar que ecuación tiene raíces reales e iguales: a) x 2  3x  2  0

c) 0

d)1 e)2

5. Para qué valor de “n” el discriminante de La ecuación: x 2  8x  n  0 , es igual a 20. a) 44 b) 11

II. La ecuación es incompatible, si a=0, b=0 y c  0 .


6.

c) 3

d) 22

e) 17

Determinar el valor de “m” en:

2

x  5x m  1  4x  3 m2

Si las raíces tienen igual valor absoluto y con signo contrario (simétricos). a) 2 14

b) 6

c) 10

d) 12 e)

7. Si la ecuación: 3mx 2   6m  1  x   m  4   0 Tiene raíces recíprocas. Señalar una de ellas. a) 1/2 3/4

b) 2/3

2

d) 4/5

e) 5/6

2

8. Siendo x1  x 2 las raíces de cada ecuación Indicar cuántas relaciones nos e cumplen:

b)

x  5x  4  0

c)

x  2x  3  0

d)

2x  7x  3  0

e)

9x  30x  25  0

2

2

2

Para qué valor de “p” la ecuación: (p  1)x 2  2px  p  3  0 , tiene dos raíces reales e iguales? a)  3 b) 1 c) 2 d)  2 e) 3

3 x  6 x  1  0 1  x 2   2

3.

5 x  3x  5  0  x1  x 2  1

2.

2

3

3

3

2

Si las raíces de la ecuación:

c)

2

x  5 x  4  0  x1  x2  4 2

2 x  9 x  3  0  x1  x2  9/2 2

 m  5  x  7x  1  0 2

2

3x  9 x 0  x1  x 2  3

Son reales y diferentes, indique el mayor valor entero de “m”.

a) 1

a) 10

e) 5

4.

b) 9

c) 8 d) 7

e) 6

Si las raíces de la ecuación:

x  2x   m  3   0 2

Son conjugadas complejas, señale el menor valor entero de “m”.

b) 2

9.

Si:

x1

y

2x  x  3  0

84

d) 4

* En cada una de las siguientes preguntas las ecuaciones tienen por raíces “ x1, x 2 ” 2


c) 3

x2

son raíces de la ecuación:

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra Calcular:

b) 0,25

c) 1

b) 8

d) 2 e)

a) 10 d) 4 e)

11. Ecuación: 3x 2  9x  4  0 Calcular: M  x 1 3  x 2 3 a) 11

b) 13

c) 15

d) 17 e) 19

12. Ecuación: 5x 2  6x  7  0 Calcular: M   2  x1  2  x 2   1  x 1  1  x 2 

a) 5/4

b) 4/5

d) 6/5

c) 5/6

13. Ecuación: 3x  4x  5  0 Calcular: M  x1  x 2  1 2

a) –2

x1

d) 1

e) 79

c)  3 d)



10

10 3

e) 10 7

18. Hallar ecuaciones de segundo grado conociendo sus raíces:  Raíces: x1  1 x 2  2 …………  Raíces: x1  3 x 2  4 ………….  Raíces: x1  0 x 2  5 …………  Raíces: x1  6 x 2  6 ……….  Raíces: x1  2/3 x 2  3/2 19. Forman una ecuación de segundo grado sabiendo que sus raíces son: 2 y x2  1 x1   5

a)

17x  11x  2  0

c)

5x  17x  1  0

2

2

b)

12x  8x  3  0

d)

15x  7x  2  0

2

2

e) 3x 2  3x  1  0 20. Las raíces de la ecuación de segundo grado son: 2 3  5 ; dicha ecuación es: a) x2 – 10x + 13 = 0 b) x2 + 10x – 13 = 0

15

b) –1

3 10

3

e) 7/5

x2

b)

3

c) 6

d) 69

17. Hallar la suma de las raíces e la ecuación  2k  2  x 2   4  4k  x  k  2  0 si el producto de sus raíces es 1:

10. Ecuación: 2x 2  6x  5  0 Calcular: M  x 1 2  x 2 2 a) 10 2


a) 39 b) 49 c) 59

x1  x 2 x1x 2

a) 0,5 1/3

nivel

c) 0

e) 2

14. Si la suma de los cuadrados de las raíces es 34 en la ecuación:

c) x2 + 10x + 13 = 0 13 = 0

d) x2 – 10x –

2

x  8x  K  0

e) x2 + 10x + 12 = 0

Indicar una de sus raíces. a) –3

b) 3

15. Calcular ecuación:

la

c) –7 menor

raíz

d) 7 de

la

2x   K  1  x   K  1   0 2

II.

Cuyas raíces difieren en 1. a) –2

b) –1 c) 0

Toda ecuación cuadrática siempre

Tiene una solución real. d) 1 e) 2

16. Dada la ecuación: x  10x  m  0 , si la suma de los cuadrados de sus raíces es 40. Hallar “ 2m  1 ” 2


85

21. Cuántas proposiciones siguientes son verdaderas: I. Sean x 1 y x 2 las raíces de la ecuación cuadrática ; Si: x1 .x 2  1 , entonces las raíces son simétricas.

III. Dadas m y n raíces de la ecuación cuadrática entonces dicha ecuación es: 2

x  (m  n)x  mn  0


nivel


IV. La suma de raíces de la ecuación cuadrática: 2x 2  6x  7  0 es  3

a) 1

a) 1

24. Para qué valor de “a”, la ecuación:

b) 4

c) 3

d) 2

I. La ecuación: raíces

las

siguientes

2

3x  5x  6  0,

tiene

Reales diferentes.

a) 1 5

b) 2

c) 3

2

ax  bx  c  0,

es

si a  0, b  0 y c  0. III. Si x 1 y x 2 son las raíces de la 2 ax  bx  c  0, ecuación: entonces 1 1 b.   c

IV. Si 1 y  3 son las raíces de una 2 2 ecuación cuadrática, entonces la ecuación, es: x 2  x  3  0 .

25. Dada la ecuación: x 2  10x  m  0 , si la suma de los cuadrados de sus raíces es 40. Hallar “ 2m  1 ” a) 39 b) 49 c) 59 d) 69 e) 79  m  4  x 2  5x  1  0

Son reales y diferentes, indique el mayor valor entero de “m”. a) 1 e) 5 27. Si

b) 2 las

raíces

c) 3 de

c) 4

d) 0 e) 1

23. Cuantas proposiciones siguientes son verdaderas: I. Sean x 1 y x 2 las raíces de la ecuación cuadrática ; Si: x1 .x 2  1 , entonces las raíces son simétricas.

2

x  (m  n)x  mn  0

IV. La suma de raíces de la ecuación cuadrática: 2x 2  6x  7  0 es  3 Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

86

la

ecuación:

x  10x   m  5   0

Son complejas conjugadas, señale el menor valor entero de “m”. a) 22 b) 21 c) 20 d) 19 INECUACIONES: PARTE I 1._

II. Toda ecuación cuadrática siempre tiene una solución real. III. Dadas m y n raíces de la ecuación cuadrática entonces dicha ecuación es:

d) 4

2

4

b) 3

d)4 e)

26. Si las raíces de la ecuación:

II. La ecuación: incompatible,

a) 2

d) 2

Tiene raíces iguales.

22. Cuántas de proposiciones Son verdaderas:

x2

c) 3

 2a  3  x 2  3ax   4a  1   0

e) 0

x1

b) 4

2._ 3(x-1) + 2(4-x) 5 – 2x

e) 18


nivel

3._ 4x - 1 x + 5<1 – x

4._ 4._

+ 11x + 2<0

5._ 5 5._

x – 1<7 – 2x

6._

- 12x + 36>0

7._

+ 10x + 25 0

8._

- 16x + 64<0

6._

PARTE II 1._ + 10x + 21 0

2._

- 2x – 15>0

9._ 3._

- 7x - 3 0


87

- 10x + 1 0



10._

6._

+ 12x + 9 0

7._ (

PARTE III 1._ + 2x + 5>0

8._ ( 2._


-1 0

+ 3x + 7)(

- x + 1)(

- 2x + 7<0

3._

+x+5 0

4._

+x+2 0

5._ (

+ x + 4)(

PARTE IV 1._

2._

)


88

nivel

3._

<0

)>

)


4._ x

5._

6._

7._

8._

9._


89

nivel


EXAMENES

UNSAAC

10._

1._ el conjunto solución de la inecuación ] a) <-3,7> b) R-<-3,7> c) R-[ [ d) R-<-3, ] e) R-[ 2._ el conjunto solución de la inecuación: x , x R-{0} es: ]U [ ] a) R-<0, ] b) <]U<0, ] d) [ ] e) <0, ] c) <3._ el conjunto solución de la inecuación: , es: ] c) [

a)<1,3> b)[ e)R 4._ el conjunto inecuación:

] d)<-3,-1>

solución

de

la

Es: ] [ ] a)
COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 7._ el conjunto solución de la inecuación: , es: a) R b) c) R-{-2/3} d) R-{2/3} e) {2/3} 8._ el conjunto solución de la inecuación: , es: a) <-√ √ > b) R c) d) <1,2> e) <-2,-1> 9._ el conjunto solución de la inecuación: , es: a) {3/10} b) {-3/10} c) R d) e) R-{3/10} 10._ el conjunto solución de la inecuación: , es: a) [2/5,+ > b) [-5/2,+ c) <] d) [5/2,+ > e) <- ,5/2] 11._ el conjunto solución de la inecuación: , es: a) {4} b) <- ,4] c) [4,+ > d) e) R{4} 12._ la suma de los valores enteros que no se encuentran en el conjunto solución de la inecuación: ( )( )>0, es: a)4 b)5 c)3 d) 15 e)9 13._ el menor número entero que satisface la inecuación: , es: a)-3 b)-2 c)2 d)-1 e)3 14._ el conjunto solución de la inecuación: , es: a) R b) c) R-{-2/3} d) R-{2/3} e) {2/3} 15._ hallar la suma de los números enteros que satisfacen la inecuación: Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

90

nivel


, es: a)10 b)12 c)14 d)18 e)24 16._ indique cuantos enteros verifican la inecuación: , es: a)3 b)6 c)5 d)0 e)1 BANKITO DOMINGO SAVIO 1._ hallar el intervalo de solución de: (x-5)(x-4)(X+1)(X+3) 2._ hallar el intervalo de solución de: 3._ determinar la suma de los valores enteros que satisfacen la inecuación. , 4._ la inecuación: , tiene por solución el intervalo? 5._ el conjunto solución de la inecuación: , es: 6._ la solución de la inecuación: , es: 7._ hallar el conjunto solución de la inecuación: 8._ el conjunto inecuación:

solución

de

la

9._ el conjunto inecuación:

solución

de

la

10._ determinar el intervalo de solución de: 11._ resolver: 12._ resolver: 13._ resolver: 14._ resolver:

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 15._ el conjunto solución de: d) 16._ el conjunto inecuación:

solución

de

la

17._ hallar el conjunto solución de: X (3x+2) < 18._ resolver:

e)

19._ hallar el complemento de intervalo al cual pertenece “x” en:

BANKITO UNSAAC 1._ el conjunto solución de la inecuación es: 2._ el mayor valor entero positivo de ¨x¨, que verifica a la desigualdad es: [ ] 3._ si [ ] 4._ si , hallar el valor de ¨m¨

f)

g)

talque a) h)

b) i)

c) j) Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

91

nivel



nivel


d)

k) | |

e)

|

f)

|

l)

g) | 2._ el conjunto inecuacion, es:

solución

de

|

|

|

|

|

la

a) h) | |

|

|

b) i)

|

| |

|

| |

c)

VALOR ABSOLUTO 1._ resolver: Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

92

|

|

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra | | a) {-1,5} b) {0,5} c) {5,-4} d) {4,5} e) 2._ al resolver la ecuación: | | , el valor de “x” es: a)0 b)-1 c)2 d)-4 y 2 e)-4 3._ el conjunto solución de: | | | | , es: a){-5,-3} b){-5,2} c){-5,-1/3} d){-2,5} e){-3,-2} 4._ el conjunto solución de: | | , es: a) <-5,-2> b) [-5,-2] c) [-8,-2] d) [-8,-5] e) [-2,-5> 5._ la solución de: | | , es: a)<> b)<]U[2,+ > c)[2,+ > d){2} e)[1,2] 6._ dar el conjunto solución de: | | | | , es: a)[1,2] b)<] [ c)<1,2> d), calcular: | | | | K= a)8 b) 11 c)3 d)-5 e)-6 12._ resolver la igualdad: | | | | Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

93

nivel


a) {-1,3/5} b) {2,3/4} c) {3/4} d) {1/2,1} e) {3/5} 13._ las soluciones de la ecuación son: | | a)-1,0 b)-2,-1 c)-2,0 d)-1, 0,1 e) 0,1 14._ ¿Cuántos valores satisface la inecuación? | | | | a)3 b)2 c)4 d)1 e)5 15._ al resolver la ecuación: || | | , Se obtiene como c.s. a ? a){-6,6} b){6} c){-6,0,6} d){0,6} e){6,-1,1,6} 16._ resolver: | | | | | | Dar la suma de las soluciones. a)3/2 b)5/2 c)1 d)-1 e)-2 17._ hallar la suma de elementos de c.s. de: | | | | || | | a)0 b)-1 c)2 d)3 e)-4 18._ la suma de elementos de c.s. de: | | a)5 b)-1 c)2 d)0 e)1 19._ hallar la suma de cuadrados de los valores enteros que satisfacen la ecuación: | | | | a)2 b)3 c)4 d)5 e)6 20._ la suma de las raíces de la ecuación: | | | | a)0 b) 11 c)-1 d)1 e)6 21._ el conjunto solución que obtiene al resolver: | | | | a){1,7} b){2,6} c){1,2,6,7} d){1,2,7} e){2,6} 22._ resolver: | | 23._ el conjunto solución de: | | 24._ resolver: ⟨ ⟨

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra a) {3/7,5} b)3 c)-3/7 d) {5/7,3/7} e) {5/7,2/7} 25._ resolver: | | 26._ resolver: | | 27._ resolver: | | | | 28._ resolver: | | | | | | 29._ resolver | | | | | | | | | |

nivel

e) |


|

f) |

|

|

|

NIVEL II 1._ el valor de ¨x¨ que satisface la ecuación, es: | a) |

g) | |

b) |

h) |

|

c) |

d) ⟨

|

|

|

⟨


94

|

|

|

|

|

|

|

i) |

|

j) |

|

|

|

|

|

|

|

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra k) |

|

l) |

|

m) |

|

|

|

r) |

|


|

||

|

|| ||

|

||

|

||

|

||

||

|

| s) ||

|

|

||

||

|

|

||

t) ||

|

|

||

||

|

|

||

||

|

|

||

|

|

|

|

|

|

|

|

|

u) ||

| |

|

q) ||

|

|

o) |

|

|

|

n) |

p) |

|

nivel

| |

|

|

|

|

|

||

|

|

| 2._ la suma de las de las raíces | | | | | | 3._ | | 4._ 2._ el conjunto solución de la inecuación con v.a.


95

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra | a) | | b) | | | c) | d) | | e) | | f) | | | g) | | h) | | | i) | | | | j) | | | | k) | | | | l) | | | | | | | m) | | | | | | | n) | | | | | | o) | | | | p) | | | | q) | | | | | r) | | | s) | | | | | | | t) | | | | | | | | u) | | | | | | | | | v) | 2._ el conjunto solución de la inecuación | | || || | | ||, || es: 3._ el conjunto solución de la inecuación | | || || | | ||, || es: 4._ el conjunto solución de la inecuación | | || | || || | ||, es: 5._ el conjunto solución de la inecuación | | || || | | ||, || es: 6._ el conjunto solución de la inecuación | | || || | | ||, || es: 7._ el conjunto solución de la inecuación Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

96

nivel


| | || || | | ||, || es: 8._ el conjunto solución de la inecuación | | || || | | ||, || es: 9_ resolver: | | | | | | GEOMETRIA ANALITICA: 1._ hallar la distancia entre los puntos A(3;1) y B(6;4) a)3√ b)2 c)5 d)3 e)4 2._ si: A=(1;1), B=(5;1) y C=(1;4); son los vértices de un triángulo; entonces el semiperímetro de dicho triangulo es: a)6 b)7 c)8 d)9 e)10 3._ si el punto R(n;n+1) equidista de A(2;1) y B(-6;5). Hallar “n” a)4 b)-4 c)6 d)5 e)-6 4._ si la distancia entre los puntos (3;5) y (-6;a) es 9. El valor de “a” es: a)5 b)12 c)10 d)9 e)8 5._ calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: A(2;-3), B(3;2) y C(-2;5). a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 6._ la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(x , x + 1) y B(1 , -2); es 3. Hallar “x” a)1 b)2 c)3 d)0 e)5 7._ hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3 , 4) y cuya pendiente es -1/5. a)x – 5y – 23 = 0 b)5y – x + 23 = 0 c)x + 5y – 3 = 0 d)x – 5y – 23 = 0 e)x – 5y – 24 = 0 8._ ¿cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1 , 2) y (-3 , 10)? a)y + x – 2 = 0 b)y + 2x = 4 c)y + x = 3 d)x – y = 7 e)y = 2x + 3 9._ hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1 , 4) y es paralela a la recta

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 2x – 5y + 7 = 0 a)5y - 2x + 4 = 0 b)2x + 5y + 18 = 0 c)2x – 5y + 18 = 0 d)4x + 10y – 3 = 0 e)2x – 5y + 8 = 0 10._ si la recta con pendiente -3 pasa por los puntos (0 , 0) y (a , b); y la recta con pendiente 2, pasa por los puntos (a , b) y (3 , 1), el valor de “a - b” es: a)-4 b)4 c)2 d)5 e)-2 11._ hallar la distancia del punto (5 , 8) a la recta L:3x + 4y – 12 = 0 a)35 b)7 c)5 d)11 e)13 12._ hallar el valor de “n”, si la distancia de la recta L:4x – 3y = n, al punto P=(-2 , 1) es de 2 unidades. a)-20 b)-15 c)15 d)-21 e)20 CIRCUNFERENCIA Nivel I 1._ hallar la ecuación de la circunferencia con centro C(4 ; -2) y radio r=5. a) b) c) d) e) 2._ hallar el centro y el radio de la circunferencia a)(3 , 4) y 4 b)(-3 , 4) y 16 c)(-3 , -4) y 4 d)(3 , 4) y 16 e)(3 , -4) y 4 3._ determinar la longitud circunferencia cuya ecuación es:

de

la

a)11 b)4 c)6 d)7 e)8 4._ si “m” es igual a 2, hallar la longitud del diámetro de la circunferencia de ecuación: a)2 b)4 c)24 d)36 e)12 Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

97

nivel


5._ hallar la suma de los componentes del centro de la circunferencia cuya ecuación es: C: a)1 b)2 c)-2 d)-1 e)0 6._ hallar la ecuación de la circunferencia de centro en (2 , 2) y que pasa por el punto (4 , 5) a) b) c) d) e) 7._ hallar la ecuación de la circunferencia cuyos extremos de su diámetro son los puntos (2 , 3) y (-4 ,5) a) b) c) d) e) 8._ hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje X positivo, pasa por el origen de coordenadas y tiene como diámetro 10 unidades. a) b) c) d) √ e) 9._ la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje “X” y que pasa por los puntos (1 , 3) y (4 , 6) es: a) b) c) d) e) 10._ una circunferencia pasa por el punto (4 , 5), su radio es 5 unidades y su centro esta sobre el eje “Y”; la ecuación de la circunferencia es:

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra a) b) c) d) e) 11._ hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia, ; cuyo radio es un tercio del radio de esta circunferencia. a) b) c) d) e) 12._ hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia: ; en el punto P=(2 , 5) a)3x – 4y = 26 b)4x – 3y = 0c)d)e) 13._ los puntos extremos de una cuerda de una circunferencia son: A=(2 , 7) y B=(4 ,1). La ecuación de esta circunferencia que tiene su centro en el eje “Y” es: a) b) c) d) e) 14._ hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen de coordenadas, si es a la vez tangente a la recta de ecuación: L:3x – 4y = -20. a) b) c) d) e) Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

98

nivel


15._ si la ecuación de la circunferencia está dada por: , halle la suma de las componentes del centro. a)1/2 b)3/2 c)-3/4 d)-1/2 e)4/3 nivel II 1._ la ecuación de la circunferencia con centro en (2 , 3) y que pasa por (3 , 5), es: a) b) c) d) e) 2._ halle la ecuación de la circunferencia Que pasa por (2 , -1) y de centro (0 , 4) a) b) c) d) e) 3._ determinar la ecuación de la circunferencia de radio 4 con centro en la intersección de las rectas y a) b) c) d) e) 4._ la longitud de una circunferencia cuya ecuación es: a)4 b) c)8 d)10 e) 5._ si la circunferencia De radio 3 es circunferencia:

concéntrica

Calcular: D + E + F a)10 b)-10 c)4 d)-4 e)6

a

la

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 6._ hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro se encuentra sobre el eje X y que pasa por los puntos (2 , 4) y el origen. Rpta: 7._ la ecuación de la circunferencia de centro en el eje Y, que pasa por los puntos (2 , 1) y (5 , 4), es: Rpta: 8._ la ecuación de la circunferencia de centro (-2 , 5) y que es tangente a la recta x = 2, es: Rpta: 9._ la ecuación de la circunferencia de centro (2, -3) y tangente a la recta y = -5, es: Rpta: 10._ la ecuación de la circunferencia de centro (2 , 5) y que es tangente a la recta L:3x + 4y – 6 = 0; es: Rpta: 11._ la ecuación de la circunferencia de centro (-4 , -1) y que es, tangente a la recta L:3x + 2y – 12 = 0, es: Rpta: 12._ la ecuación de la circunferencia de centro (1 , -2) y que es tangente a la recta L:x – y – 1 = 0, es: Rpta: 13._ la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (5 , 0) y (1 , 4) cuyo centro está en la recta L:x + y – 3 = 0, es: Rpta: 14._ la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (3 , -2) y (-1, -6) cuyo centro está en la recta L:x – 3y + 3 = 0, es: Rpta: 15._ la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (3 , 2) y cuyo centro está en la intersección de las rectas: Rpta: Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

99

nivel


16._ la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2 , 1) , (1 , -1) y (0 , -1); es: Rpta: 17._ si al recta x – y + 3 = 0 es tangente a la circunferencia en el punto Q(a , b). hallar ä + b¨ Rpta:-1/3 18._ una recta es tangente a la circunferencia en el punto (-5 , 6) la pendiente de la recta tangente, es: Rpta:-4/3 19._ la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (0 , 1) y (-1 , 2) y que es tangente al eje X,. es: Rpta: 20._ la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje X en (4,0) y que pasa por el punto (7,1), es: Rpta: 21._ la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje Y en (0 , 3) y que pasa por el punto (-2 , -1), es: Rpta: 22._ hallar el mayor valor de ¨K¨ para que la ecuación represente una circunferencia de radio √ unidades. Rpta:6 23._ el menor valor de ¨k¨ para que la recta L:3x – 2y + k = 0 sea tangente a la circunferencia , es: Rpta:-38 24._ el menor valor de ¨k¨ para que la recta L:4x – 3y + k – 5 = 0 sea tangente a la circunferencia ,es: Rpta:-22 25._ hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica y que es tangente a la recta 5x- 12y -1 = 0

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 26._ si la gráfica de la circunferencia: Pasa por el punto (3 , k), el mayor valor de ¨k¨, es: 27._ hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con y que es tangente al eje Y. 28._ hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (5 , 1) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas: 29._ hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con y que pasa por el punto (1 , 2) PARABOLA 1._ la ecuación de la parábola de foco F(1 , 3) vértice V(-2 , 3) es: a) b) c) d) e) 2._ hallar la ecuación de parábola cuyo vértice es V(3 , 8) y foco es F(3 , 4) a) b) c) d) e ) 3._ hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y directriz L:x + 6 = 0 a) b) c) d) e) Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

100

nivel


4._ halla la ecuación de la parábola con vértice en (-2 , -4), eje focal paralelo al eje “Y”, con d=(V,F)=1. a) b) c) d) e) 5._ hallar la suma de los componentes del vértice de la parábola: . a)2 b)3 c)4 d)5 e)6 6._ la longitud del ancho focal en la parábola , es: a)2/3 b)3/4 c)3 d)2 e)3/8 7._ determinar la ecuación de una parábola con vértice en (2 , 2) que pasa por el punto (-4 , 4) y tiene el eje focal paralelo al eje “Y”· a) b) c) d) e) 8._ la suma de los componentes del foco de la parábola: , es: a)2 b)4 c)6 d)8 e)10 9._ hallar las coordenadas del foco de la parábola: a)(-1/2 , -1) b)(-3 , -1) c)(-7/2 , -1) d)(-2 , -1) e)(-1 , -2) 10._ hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto (0 , 3). a) b) c) d) e) 11._ hallar la longitud del lado recto (ancho focal) de la parábola con vértice en el origen, eje focal coincidente con el eje “X” y que pasa por el punto (-2 , 4). a)2 b)4 c)6 d)8 e)10

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 12._ la ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas simétricas con respecto a eje “Y” y que pasa por el punto (4 , -8) es: a) b) c) d) e) 13._ el vértice de una parábola es (-2 , 3) pasa por el punto (-4 , 5) y su eje focal es paralelo al eje “X”; el foco es: a)(-6 , 3) b)(-3 , 5/2) c)(-3 , 3) d)(-5/2 , 3) e)(-3/2 , 3) 14._ hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje “X” y que pasa por los tres puntos (0 , 0) , (8 , -4) y (3 , 1) a) b) c) d) e) ELIPCE 1._ dada la ecuación de la elipse: La suma de sus coordenadas del centro de la elipse es: a)3 b)-1 c)2 d)0 e)1 2._ hallar la ecuación de la elipse si el eje focal es paralelo al eje “X”, cuyo centro está en el origen si la longitud de los semiejes mayor y menor son 5 y 4 respectivamente: a)

b)

c)

d)

e) 3._ hallar la ecuación de la elipse si el centro está en C(3 , 2), uno de los focos Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

101

nivel


es (7 , 2) y el vértice correspondiente es (9 , 2) a) b) c) d) e) 4._ dada la ecuación de la elipse: ,

hallar

su

excentricidad. a)3/7 b)3/5 c)3/4 d)1/2 e)2/5 5._ la longitud del eje mayor de la elipse , es: a)6 b)4 c)9 d)13 e)5 6._ dada la ecuación de la elipse: , el triple de la longitud de su lado recto es: a)18 b)16 c)12 d)9 e)15 7._ una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje “X”. hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos: A(√ ) y B(2 ; √ ) a)

b)

c)

d)

e) 8._ los vértices de una elipse son los puntos (4 , 0) ; (-4 , 0) y sus focos (3 , 0); (-3 , 0). Hallar al ecuación de la elipse. a) b) c) d) e)

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 9._ si , es la ecuación de una elipse, entonces la longitud del semieje mayor es: a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 10._ si: , es la ecuación de una elipse, calcular la suma de las longitudes del eje mayor y eje menor. a)8 b)9 c)12 d)5 e)4 11._ hallar la longitud del lado recto de la elipse: . a)6 b)7 c)8 d)5 e)4 12._ si: , representa la ecuación de una elipse, Calcular: ¨c + e¨ a)6 b)7 c)8 d)5 e) 13._ encuentre los vértices de la elipse: a)(5 , 0) y (5 , 4) b)(5 , 0) y (5 , 6) c)(0 , 5) y (6 , 0) d)(0 , 5) y (6 , 5) e)(-5 , 0) y (-5 , 6) FUNCIONES Funciones I 1._ si ¨f¨ representa una función donde. { } Entonces la suma de los elementos del rango es: a)12 b)88 c)44 d)24 e)38 2._ dada la función siguiente: } hallar el valor de F={ la siguiente expresion: C= a)6 b)8 c)10 d)12 e)16 3._ indicar el dominio de: : √ 4._ hallar el rango de la función: : √ Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

102

nivel


5._ calcular el dominio de la siguiente función: √

:

6._ si ¨F¨ es una función definida por: F= { } Entonces la suma de los elementos del rango es: a)6 b)11 c)8 d)13 e)9 7._ sea la función ¨F¨, tal que: f(x)=2x + }, halle la suma 1, si Dom(f)={ de los elementos del Ran(f). a)30 b)31 c)32 d)33 e)60 8._ sea la función ¨f¨ , tal que: f(x)=3x + 2, ] halle la suma de elementos de Si x ] rango a)25 b)31 c)42 d)51 e)62 9._ dada la relación: | | | { | ( ) } halle el √ √ valor de ¨x - y¨ para que ¨f¨ sea función. a)24 b)20 c)12 d)14 e)18 10._ la función f(x) = , toma su minimo valor ä¨ cuando X es igual a ¨b¨. halle: ab a)8 b)-8 c)4 d)-1 e)-4 11._ si (2, 5) es un punto que pertenece a la grafica de la función f(x)= , calcule m + 3, si (5 , m) también pertenece a la grafica de la función f. a)29 b)0 c)6 d)3 e)7 12._ si el conjunto de pares ordenados: { } Representa una función. Halle Domf Ranf } b){ } c){ } d){ } e){ } a){ 13._ si el conjunto de pares ordenados: { }

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra Es una función, calcule la suma de elementos del rango, a 0. a)4 b)3 c)0 d)1 e)2 14._ hallar el dominio de: √ √ Y dar como respuesta la suma de valores enteros de su dominio. a)5 b)20 c)39 d)15 e)0 15._ sea f una función real tal que: ; x ] ] a+b=? 〈 〉 a)0 b)4 c)8 d)12 e)16 16._ indique el dominio de la función: √ √

a)〈

〉

b)*

*

c)*

*

d) 〈

〉

* { } e) * 17._ el dominio de la función real definida por: | |, es: F(x)= √ ] d) [ ] a)[ ] b) [ ] c) [ ] e) [ 18._ hallar el rango de la función: f(x)= ,x [ ] ] a) [ b) [ ] c) [ ] d) [ ] ] e) [ 19._ el rango de la función de la función real definida por: f(x)= 20._ hallar el rango de la función g tal que: g(x)= 21._ hallar el rango de la función: F(x)= 22._ hallar el rango de la función real definida por: f(x)= 3- √ , es: 23._ si ¨f¨ es una función de finida por: F(x)= – 3 entonces: √ Dom(f) Ran(f), es: 24._ hallar el rango de la siguiente 〈 〉 función: f(x)= √ Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

103

nivel


25._ sea la función real: F(x)= - √ , hallar la suma de los elementos enteros de: Dom(f) Ran(f) a)-1 b)-3 c)-2 d)3 e)2 26._ hallar el mayor valor entero de rango de la función: 〈 √ 〉 F(x)= √ a)-1 b)0 c)-2 d)-3 e)1 27._ hallar el dominio de la función: |

|

+ F(x)=* 28._ sea: F(x)= √ . Una función real, la suma de los elementos del rango de la función es: a)-1 b)0 c)3 d)-3 e)1 29._ hallar el dominio de la función: F(x)= √ 30._ hallar el rango de: ] F(x)= 4x-3; x [ 31._ sea la función: ], hallar el F(x)= -3, de Ran(f)= [ dominio: 32._ hallar el dominio de la función: F(x)= 33._ hallar el dominio de la función: F(x)= √ Hallar el rango de la función: 〈 〉 H(x)= 34._ hallar el rango de la función: F(x)= 35._ si la función real: F(x)= √ [ ] Proporcione ¨n¨ a)-3/2 b)5/2 c)-3/4 d)-2/3 e)-3/5 36._ halle el dominio de la función: F(x)= √


nivel


Funciones II 1._ sea F una función constante, tal que: , halle el valor de:

a) *

+

b)[

d)+

+

e) 〈

f(24)+f(31)+f(44) a)3 b)9 c)12 d)18 e)21 2._ si se sabe que f es una función constante: { } Si a,b,c R, entonces el valor de (a+b+c), es: a)6 b)8 c)0 d)12 e)16 3._ calcular el valor de: E= a – b – p, sabiendo que la siguiente función es de la identidad: { } a)3 b)1 c)5 d)6 e)2 4._ el rango de la función real ¨f¨ definida por , es: √ ] c) [ ] d) [ ] + b) [ a)* ] e) [ ⟧ 5._ resolver: ⟦ a) * + b)* * c)〈 〉 d)+ + 〉 e) 〈 6._ sea la función f cuya regla de correspondencia es: ( ) ⟦ ⟧ | | .hallar (1) a)1 b)-1 c)0 d)2 e)-2 7._ sea f una función real definido por:

9._ dada la función:

⟦

⟧ (

)

|

| ⟧ es: El valor de: ⟦ a)15 b)30 c)50 d)25 e)45 8._ el rango de la función: | | , es: Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

104

[

c)〈

〉

〉 ⟨⟦ ⟧

⟨ ,el valor de f(-3), es: a)15 b)30 c)50 d)25 e)45 10._ dadas las funciones , calcule: a)5 b)10 c)15 d)12 e)17 11._ si: () a)1 b)0 c)4 d)5 e)3 12._ dada la función: ⟦ ⟧ (

⟦ ⟨

⟨

⟧

|

)

el valor de , es: a)-5 b)-10 c)-4 d)2 e)7 13._ si: calcular: ( a)0 b)1 c)-1 d)3 e)6 14._ dada la función: |⟦

⟧

.hallar:

|

)

|

el valor de , es: a)15 b)20 c)25 d)12 e)16 15._ sea la función f cuya regla de correspondencia es: ( ) ⟦ ⟧ | | hallar: f(1) a)1 b)0 c)3 d)5 e)-1 ⟦ ⟧ 16._ si: hallar: ⟨

f(3/2) a)1 b)0 c)3 d)5 e)-1 17._ dada la función: |⟦

⟧

|

⟨

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra el valor de , es: a)20 b)10 c)-5 d)12 e)4 18._ dada la función: ⟨

⟦

⟧

⟨

(

)

hallar: f(1/2) a)20 b)12/5 c)-5 d)12 e)4 19._ dada la función: ⟦ ⟧ ( ) | | Hallar:f(1/3) a)-10/3 b)-1 c)-5/3 d)10/3 e)-11/3 20._ dada la función: 5x – 3y + 7 = 0, ], hallar el rango de dicha ⟨ función: ] b) 〈 [ 〉 c) [ a) ⟨ ] ⟨ 〈 〉 d) e) 21._ si , - es una función identidad, entonces el valor de E = a + b + c,es: 22._ si { } es una función lineal, entonces el valor de E = a + b + c, es: 23._ sea ¨f¨ una función lineal, tal que f(2)=4; f(3)=9. El valor de f(-2), es: 24._sea ¨f¨ una función cuadrática, tal que f(-1)=2; f(1)=4 y f(-2)=6. El valor de f(2), es: 25._ dada la función real ¨f¨ de variable real, definida por |⟦

⟧

|

| | ⟦ ⟧ , es: El valor de 26._ dada la función ¨f¨ definida por ⟧| √|⟦ ( ) , el valor de f(-1/2), es:


105

nivel


27._ la función real ¨f¨ definida por [ ] tiene como ⟦ ⟧, con rango: 28._ el dominio de la función real ¨f¨ definida por , es: | | | | 29._ el dominio de la función real ¨f¨ | | √ | | definida por , es: 30._ el rango de la función real ¨f¨ √ definida por √ , es: √ 31._ el rango de la función real ¨f¨ ⟦ ⟧ definida por , es: 32._ el rango de la función real ¨f¨ ⟦ ⟧, es: √ definida por 33._ dada la función real ¨f¨ definida ⟦ ⟧.la suma de elementos por de su rango, es: 34._ el rango de la función real ¨f¨ ⟦ ⟧ ⟦ ⟧ definida por , con | ⟦ ⟧ 〈 〉, es: 35._ el rango de definida por 36._ el rango de definida por 37._ el rango de definida por 38._ el rango de definida por 39._ el rango de definida por , es: 40._ el rango de definida por , es: 41._ el rango de definida por es:

√|

la función real ¨f¨ | | , es: la función real ¨f¨ | |, es: la función real ¨f¨ | | , es: la función real ¨f¨ | | | |, es: la función real ¨f¨ la función real ¨f¨ la función real ¨f¨ | | ,

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 42._ el rango de la función real ¨f¨ | | definida por , es: 43._ el rango de la función real ¨f¨ definida por , es: | | | | 44._ dada la función real ¨f¨, definida por {

, el rango, es:

45._ en la función real ¨f¨, definida por ⟨ ⟦ ⟧ ⟨ , el rango, es: FUNCIONES III 1._ } f={ } g={ hallar la suma de los elementos del rango de la función compuesta: FoG 2._dada las funciones: { } { } { } hallar la suma de los elementos del rango de la función 3._ f(x) = x – 2 g(x) = x + 7 , hallar X+1 , x+5 , x+2 , x+3 , x+4 4._ f(2x+3)=4x+1 g(x)= ,

,

hallar ,

,

5._ f(x)= , hallar { } 6._ { } hallar la suma de elementos del rango de ¨h¨ tal que G = HoF 7._ f(x+2)=3x-2 en una función real 8._ sea f(x)=

determinar


106

nivel


9._ si f(2x+1)=4x-3 es una función real; * ( )+, es el valor de [ ] 10._ g(x-1)=3x+1 hallar { } 11._ { } la suma de elementos de rango de la función , es: 12._

{

} { } la suma de los elementos del rango de la función FoG, es: 13._ ; es: { } 14._ { } hallar 15._

{ {

FoG 16._f(x)=2x-3;_

} } hallar el rango g(x)=

halle

17._

{ } ¨f¨ es una función, halle la suma de los elementos del rango. 18._ indicar el dominio √ 19._ rango √ 20._ dominio 21._ rango 22._ rango 23._ rango

√ √ √ √

FUNCION EXPONENCIAL 24._ el rango de la función real ¨f¨ definida por , es: 25._ el dominio de la función real ¨f¨ √ definida por , es:

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 26._ dada la función real ¨f¨ definida por , hallar Dom( ) 27._ dada la función real ¨f¨ definida por , hallar Dom( ) 28._ el rango de la función real ¨f¨ | | definida por , es: 29._ el rango de la función real ¨f¨ definida por , es: 30._ el rango de la función real ¨f¨ definida por , es: 31._ el rango de la función real de variable real ¨f¨ definida por , es: 32._ el rango de la función real ¨f¨ definida por , es: 33._ el rango de la función real ¨f¨ definida por , es: 34._ el rango de la función real ¨f¨ definida por , es: 35._ el rango de la función real ¨f¨ definida por , es: 36._ el rango de la función real ¨f¨ definida por , es: 37._ el rango de la función real ¨f¨ definida por , es: 38._ el rango de la función real ¨f¨ definida por , es: 39._ el rango de la función real ¨f¨ definida por , es: 40._ el rango de la función real ¨f¨ | | definida por , es: 41._ el rango de la función real ¨f¨ | | definida por , es: Local Propio Urb.Fideranda Calle Mariscal Gamarra Nº 821

107

nivel

42._ el rango definida por , es: 43._ el rango definida por 44._ el rango definida por 45._ el rango definida por 46._ el rango definida por


de la función real ¨f¨ |

|

de la función | | , es: de la función | | , es: de la función | | , es: de la función | | , es:

real ¨f¨ real ¨f¨ real ¨f¨ real ¨f¨

FUNCION LOGARITMICA: 47._ , el dominio de f(x) es: a)[ ] b)〈 〉 c)〈 〉 d)] ] e)] ] 48._ dada la función de una variable real definida por con , se tiene que: I) la función f es creciente. II) si , entonces III) ) si , entonces Cuantas son verdaderas: a)solo II b)II y III c)solo III d)I y III e)I y II 49._

[

] determine

el dominio: 50._ el dominio de la función es: ( ) 51._ el dominio de la función real , es: 52._ el dominio de la función real f, ( ) definida por 53._ el dominio de la función real f, ( ), es: definida por 54._ el dominio de la función real f, definida por

(

) , es:

COLEGIO PRE-U “DOMINGO SAVIO” ¡Educación de calidad con Álgebra 55._ el dominio de la función real f, definida por , es: 56._ el dominio de la función real f, definida por 57._ el dominio de la función real f, definida por 58._ el dominio de la función real f, definida por , es: √ 59._ el dominio de la función real f, definida por , es:

√

60._ el dominio de la función real f, definida por , es: √

61._ el dominio de la función real , es: 62._ el dominio de la función real , es: 63._ el dominio de la función real f definida por , es: 64._ el rango de la función real f definida por , es: 65._ el rango de la función real f definida por , es: 66._ el dominio de la función [

], es:

〈 〉 una función real 67._ sea f: R definida por . Hallar la función 68._ dada la función real f definida por [

],

hallar

el

dominio de f.


108

nivel


69._ dada la función real f definida por [

(

)],

hallar

el

dominio de f. 70._ la función inversa de la función logarítmica f definida por ; x , es: 71._ dada la función real f definida por Hallar la función inversa de f. 72._ sea la función (

),

hallar

Dom(f) 73._ dada la función real f definida por ( ) si x , entonces el rango de f, es: 74._ el dominio de la función f de variable real, definida por ,es: 75._ el dominio de la función , es:

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