ÍNDICE GENERAL Razones ............................................................................................... 1 Proporciones ........................................................................................
3
Magnitudes proporcionales ............................................................... 5 Aplicaciones con magnitudes proporcionales ............................... 9 Tanto por ciento .................................................................................. 11 Regla de Interés I ............................................................................... 15 Regla de Interés II ............................................................................... 17 Regla de Descuento I ......................................................................... 19 Regla de Descuento II ......................................................................... 21 Estadística I ........................................................................................... 23 Estadística II ........................................................................................ 27 Regla de mezcla I ............................................................................... 31 Regla de mezcla II ............................................................................... 35 Numeración ........................................................................................ 37 Técnicas de conteo ............................................................................ 41 Sucesiones numéricas ...................................................................... 45 Cuatro operaciones I ......................................................................... 47 Cuatro operaciones II ......................................................................... 49 Divisibilidad I ........................................................................................ 51 Divisibilidad II ..................................................................................... 55 Números primos .................................................................................. 59 Estudio de los divisores ...................................................................... 63 Máximo común divisor (MCD) - Mínimo común múltiplo (MCM) .... 67 Números racionales I .......................................................................... 71 Números racionales II .......................................................................... 75 Potenciación .......................................................................................... 79 Radicación
.......................................................................................... 81
Lógica proposicional I
....................................................................... 83
Lógica proposicional II ....................................................................... 87 Teoría de conjuntos I .......................................................................... 89 Teoría de conjuntos II .......................................................................... 93 Probabilidades I .................................................................................... 97 Probabilidades II
................................................................................ 99
ARITMÉTICA
RAZONES DESARROLLO DEL TEMA I.
RAZÓN
Nota: Si A y B están en relación de 5 a 3.
Es la comparación entre dos cantidades mediante una operación aritmética (sustracción o división). Pueden ser de dos clases:
A 5 A = 5k B 3 B = 3k Aplicación La edad de María es a 13 como la de José es a 11. Si la diferencia de sus edades es 6 años. ¿Cuánto suman?
Donde: a: antecedente b: consecuente Son los términos de la razón Ejemplo: Un comerciante posee en un recipiente A, 30 litros de vino y en otro recipiente B, 18 litros también de vino. Al comparar:
II. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Es la igualdad de varias razones geométricas. Ejemplo 1:
30 L A
18 L B
A. Razón aritmética
"El VA excede a VB en 12 L". "El VA es mayor que VB en 12 L". "El VA es 12 L más que VB".
Donde: Los antecedentes son 30, 15, 9 y 33. Los consecuentes son 40, 20, 12 y 44. 30 y 44 son términos extremos.
B. Razón geométrica Antecedente 30L 5 = 18L 3 Consecuente
Ejemplo 2: p Al tener: m n K, puede decirse que m, n y 3 5 11 p están en la relación de 3, 5 y 11 respectivamente.
"VA y VB están en la razón (o relación o proporción) de 5 a 3 (o 5/3) respectivamente". "VA es a VB como 5 es a 3". "VA es a 5 como VB es a 3". "VA es como 5 y VB es como 3". "VA es 5/3 de VB". "Por cada 5 L que hay en A, hay 3 L en B". UNI SEMESTRAL 2013 - III
Además:m = 3 K n=5K p = 11 K 1
ARITMÉTICA
TEMA 1
RAZONES
Exigimos más! Propiedades de una S.R.G.E.
a1a2a3 a a a (a )3 K 3; 2 5 6 K 3 ; 2 K 3 b1b2b3 b2b5b6 (b )3
Siendo en general una serie de la forma:
2
a1 a2 a3 a ....... n K b1 b 2 b 3 bn
S.R.G.E. continuas
Se cumplirán las siguientes propiedades: 1.
Tienen la siguiente forma:
(Suma de Antecedentes) K (Suma de Consecuentes)
a b c d K b c d e
Se observa que: d = ek ; c = ek2 ; b = ek3 ; a = ek4
O sea:
ab a k2 k2 bc c
a1 a2 ... an a 2a3 a a2 1 4 K b1 b2 ... bn b1 2b3 b 4 b2
2.
bcd b k3 k3 cde e
(Producto de Antecedentes) Kr (Producto de Consecuentes)
abcd k4 bcde
Donde "r" indica el número de razones consideradas para el producto. O sea: a1a2 K 2; b1b2
a3a5 K 2; b3b5
problemas
a k4 e
a1a6 K2 b1b6
Relación de términos extremos
resueltos
Problema 1 Tres números A, B, C están en relación directa a 5, 7 y 11. Si sumamos a dichos números respectivamente 130, 260 y n, la nueva relación directa es como a 13, 17 y 19. Determine n. UNI 2010 - II A) 390 B) 650 C) 910 D) 1170 E) 1430
Resolución: Ubicación de incógnita Se pide hallar el valor de n. Análisis de los datos o gráficos Sean: A = 5 k; B = 7 k; C = 11 k Operación del problema Tal que: 5 k + 130 = 7 k + 260 = 11 k + n 13 17 19
7 (5 k + 130) 5(7 k + 260) 11(7 k + 260) 7(11 k + n) = = = 7 13 5 17 11 17 7 19 -
Se obtiene:
5 9 9 50 27 x 3 9 x 10 x 23
n 910
Respuesta: C) 23 Respuesta: C) 910 Problema 2 En una biblioteca municipal existen en total 72 libros de matemática y literatura, los que están en relación de 5 a 3 respectivamente. El número de libros de literatura que deben agregarse para que la relación sea de 9 a 10 es: UNI 2010 - I A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25
Resolución: Ubicación de incógnita Número de libros de literatura que se agregan: "X". Análisis de los datos o gráficos # de libros de Matemática : 5 k # de libros de Literatura : 3 k TOTAL : 8 K = 72
Problema 3 a a a Si se cumple: 1 2 3 K donde b1 b2 b3 K es un entero positivo, y que:
a1 a22 a32 6 b1 b 2 b 2 2 3 entonces el valor de K es: UNI 2008 - I A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución: Nos piden "K" ; K Dato inicial: a1 b1
a2 a3 K b2 b3
2 2 a1 a2 a3 6 b1 b 2 b 2 2 3 K + K2 = 6 K (K + 1) = 6 K = 2 K = –3
Luego:
K 2
910 1300 2860 7n 91 85 187 133 UNI SEMESTRAL 2013 - III
Operación del problema
390 2860 7n 6 54 Conclusión y respuesta
Respuesta: B) 2
9
2
ARITMÉTICA
TEMA 1
ARITMÉTICA
PROPORCIONES DESARROLLO DEL TEMA PROPORCIÓN
Importante Observamos que hay 2 antecedentes (30 L y 20 L) al igual que 2 consecuentes (18 L y 12 L).
Es la igualdad de dos razones de la misma clase.
A.
Proporción aritmética
Interpretación "30 L y 18 L están en la misma proporción que 20 L y 12 L respectivamente". "30 y 18 están en la proporción de 5 a 3 respectivamente". "30 y 18 son proporcionales a 5 y 3 respectivamente". "30, 18, 52 y 40 forman una proporción geométrica".
Ejemplo:
Observación: Importante Observamos que hay 2 antecedentes (30 L y 52 L) al igual que 2 consecuentes (18 L y 40 L).
Tipos de proporciones • Continua: Los términos medios son iguales. • Discreta: Los términos medios son diferentes.
Observación:
B.
20 18 Producto de términos medios
Aplicación Si 30, 40, m y 12 forman una proporción geométrica, calcule el valor de m.
Interpretación "30 L excede a 18 L tanto como 52 L excede a 40 L" "30, 18, 52 y 40 forman una proporción aritmética".
30 40 Suma de términos extremos
30 12 Producto de términos extremos
52 18 Suma de términos medios
En resumen:
Proporción geométrica Ejemplo:
UNI SEMESTRAL 2013 - III
3
ARITMÉTICA
TEMA 2
PROPORCIONES
Exigimos más! Aplicación Calcule la diferencia entre la media diferencial de 22 y 18 y la tercera proporcional de 32 y 24.
Propiedades de la proporción geométrica Sea la proporción: m p n q
mn n
pq q
mn m
pq p
2m n 3n
2p q 3q
3m 2n mn
3p 2q pq
Aplicación Entonces se pueden formar las siguientes proporciones:
problemas
Si
x y 11 , calcule el valor de x/y.. xy 7
resueltos
Problema 1
Conclusiones y respuesta
Luego: los números son: 8, –4, 2, 8
En una proporción geométrica de razón 5/4, la suma de los términos es 45 y la diferencia de los consecuentes es 4. Halle el mayor de los términos de la proporción.
El mayor término es 15.
La suma será: 14
UNI 2012 - I A) 12 C) 16 E) 20
B) 15 D) 18
Resolución: Ubicación de incógnita Pide el mayor término de la proporción geométrica de razón
5 . 4
Respuesta: B) 15 Problema 3
Problema 2 Se tiene cuatro números, tales que, los tres primeros están en progresión geométrica y los tres últimos en progresión aritmética de razón seis; sindo el primer número igual al cuarto. La suma de los cuatro números es:
UNI 2003-II A) 22 C) 14 E) 20
5 4 Suma de términos = 45
Resolución: Según enunciado: a, b, b + 6, b + 12
Diferencia de consecuentes = 4 Operación del problema
Luego: a = b + 12 ...
Reemplazando en (*) tenemos: 15 10 12 8
UNI SEMESTRAL 2013 - III
a c k con c d
2b – d 0, además se sabe que: a 1 c 2 b3 d6 Entonces K vale:
UNI 1995-II Nivel fácil A) 1/5
B) 1/4
D) 1/2
E) 1/3
C) 1
Resolución: a c k; 2b d 0; a bk; c dk b d Reemplazando: a 1 c 2 b3 d6
b2 a b 6 ....
Sea la proporción: 5a 5b (*) 4a 4b 5a 4a 5b 4b 45 a b 5 a 3 4a 4b 4 a b 1 b 2
Se da la proporción
B) 18 D) 16
Análisis de los datos o gráficos Datos: Razón =
Respuesta: C) 14
De en :
bdk + d + 6bk + 6 = bdk + 2b + 3dk + 6
b2 b 12 b 6
3k(2b – d) = (2b – d)
2
2
b b 18b 72 18b = – 72
k = 1/3
Respuesta: E) 1/3
b = – 4; a = 8
4
ARITMÉTICA
TEMA 2
ARITMÉTICA
MAGNITUDES PROPORCIONALES DESARROLLO DEL TEMA I.
NOCIONES PREVIAS
Ejemplo: Andrea compra en la panadería 10 panes con S/. 2, manteniendo el precio del pan constante se podría afirmar:
A. Magnitud Es toda cualidad de la materia que pueda experimentar variación, en nuestro caso estudiaremos la magnitudes matemáticas que serán aquellas susceptibles a medición.
B. Cantidad Es el valor que toma una magnitud en un determinado instante, generalmente se expresa como un valor numérico acompañado de cierta unidad de medida.
Se observa:
Ejemplos: Magnitud
Cantidad
Longitud
4 h ;20min 5 m ;80 km
En ambos casos varía en la misma proporción.
Temperatura
37C ; 300 k
Luego:
Tiempo
3
Volumen 60 m ; 4 Número de alumnos 50 alumnos
(N panes) DP(Costo)
(N panes) K (costo) K : constante
En el ejemplo:
II. RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES
10 30 15 20 5 2 6 3 4 constante
En este capítulo estudiaremos el comportamiento de dos magnitudes que guardan cierta relación de dependencia entre sí: relación directa y relación inversa.
A. Magnitudes directamente proporcionales (D.P.) En general
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando ocurra que al aumentar o disminuir el valor de una de ellas entonces el valor de la otra aumente o disminuya respectivamente en la misma proporción. Se cumple que el cociente de sus respectivos valores es constante. UNI SEMESTRAL 2013 - III
Sean las magnitudes A y B: A DP B
(Valor de A) K (valor de B) K : constante
5
ARITMÉTICA
TEMA 3
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Exigimos más! Observación: El comportamiento de las magnitudes del ejemplo anterior también se puede representar gráficamente.
Se observa:
En ambos casos la proporción se invierte.
Luego: • La gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales es una recta que pasa por el origen de coordenadas.
(Velocidad)I.P. (tiempo) (Velocidad) (tiempo) h h: constante
• En cualquier punto de la recta el cociente entre los valores de sus coordenadas es constante.
En el ejemplo: 10 6 30 2 15 4 20 3 60
10 15 20 30 f(x) k 2 3 4 6 x constante
constante
En general: Sea las magnitudes M y N.
Luego: f(x) = K f(x)=k x x K :constante
Sean las magnitudes M y N M IP N
Función de
Valor de M
Valor de N
h
h : constante
proporcionalidad directa
Observación:
B. Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.) El comportamiento de las magnitudes en el ejemplo anterior también se puede representar gráficamente.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando ocurra que al aumentar o disminuir el valor de una ellas entonces el valor de la otra disminuya o aumenta respectivamente y la proporción se invierta. Se cumple que el producto de sus respectivos valores es constante.
Ejemplo: David es un ciclista que recorre a diario una distancia de 60 km como parte de su entrenamiento, con respecto al comportamiento de su velocidad y el tiempo empleado en los últimos cuatro días, se puede afirmar: UNI SEMESTRAL 2013 - III
6
ARITMÉTICA
TEMA 3
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Exigimos más! C. Propiedades
Ejemplo: Sean las magnitudes A, B, C, D y E. • Elegimos "A" como magnitud referencial. • Comparamos "A" con las demás magnitudes. A DP B; cuando C, D y E son constantes. A IP C; cuando B, D y E son constantes. A IP D; cuando B, C y E son constantes. A DP E; cuando B, C y D son constantes.
Sean las magnitudes A, B, M y N. I.
II.
A DP B B IP A M IP N N IP M
A DP B AK DP BK M IP N MK IP NK
K Q
1 B 1 M IP N M DP N A DP B A IP
III.
problemas
• Finalmente la relación será: A C D K B E constante
resueltos
Problema 1
Operación del problema
Resolución:
Para pintar el Estadio Nacional se contratan 8 personas que afirman pueden terminar la obra en 10 días, laborando 8 horas diarias. Al terminar el quinto día de trabajo se decide incrementar la jornada a 10 horas diarias y contratar más personas para culminar el resto de la obra en 2 días. Calcule la cantidad de personas que se deben contratar en forma adicional.
Se cumple para la obra "b":
Ubicación de incógnita
(8 x) 2 10 8 8 5
Conclusión y respuesta
Análisis de los datos o gráficos
x 8
El más perjudicado es el socio A, pues es el mayor de todos ellos.
Respuesta: A) 8
UNI 2010-II A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
Problema 2
una utilidad de M dólares proporcionalmente a sus edades, las cuales son x del socio A, (x – 3) del socio B y (x – 6)
Resolución:
del socio C. Como el reparto se realizó
Ubicación de incógnita
un año después, calcule la cantidad que
Piden: Cantidad de personas que se deben contratar en forma adicional (x)
Análisis de los datos o gráficos 8 personas a
a
10 días, 8 h/d
recibe el socio que más se perjudica.
UNI 2009-II
5 días
2días
8h/d
10h/d normalmente 8
5 días
UNI SEMESTRAL 2013 - III
A B C A (x 1) (x 2) (x 5) x 1
M A 3x 6 x 1 A
M(x 1) 3(x 2)
B)
M(x 2) x 1
C)
M(x 3) x 1
M(x 1) Respuesta: A) 3(x 2)
Problema 3 De las magnitudes Z, W, X, se sabe que Z es directamente proporcional a X2 y
M(x 1) D) x 3
W es inversamente proporcional a X2. Si N = Z + W y X = 1 implica que N = 6;
personas 8h/d culminarían en
A B C k x 1 x 2 x 5
M(x 1) A) 3(x 2)
b
8 personas (8+x)personas
Operación del problema Dentro de 1 año:
Tres socios A, B, C deberían repartirse
E) 16
Se pide hallar lo que recibe el socio que más se perjudica.
X = 0,5, implica que N = 9. Determínese
M(x 1) E) 2(x 3)
N si X 2 . 7
ARITMÉTICA
TEMA 3
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Exigimos más! UNI 2008 - II A) 6
Análisis de los datos o gráficos Dado que Z DP X2, entonces
B) 8 C) 9
Z X2
a
Z ax 2
D) 10 E) 12
Dado que W IP X2, entonces WX2 = b W
Resolución: Ubicación de incógnita Nos piden hallar N para X 2 .
UNI SEMESTRAL 2013 - III
b x
Para X = 1:
1 a :9= + 4b 2 4 Resolviendo: a = 4, b = 2 Para X =
Cuando X 2 , reemplazando: N4
2
6=a+b
2
2
2
2
Operación del problema Además N = Z + W
8
2
9
Respuesta: C) 9
ARITMÉTICA
TEMA 3
ARITMÉTICA
APLICACIONES CON MAGNITUDES PROPORCIONALES DESARROLLO DEL TEMA I.
REGLA DE TRES
En este caso, los problemas se resuelven mediante la aplicación de la denominada "regla de tres compuesta". La regla de tres compuesta es un procedimiento de cálculo cuyo objeto es hallar una cantidad de una determinada magnitud a partir del conocimiento de otras cantidades correspondientes a magnitudes relacionadas con ella proporcionalmente. La practica de la regla de tres compuesta consiste en la aplicación simultanea de varias reglas de tres simples que puedes ser directas o inversas.
A. Directa La regla de tres directa es un procedimiento de calculo que consiste en, dadas dos cantidades correspondientes a dos magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes que corresponde a una determinada cantidad de la otra magnitud. ab a b a ' x a ' x La regla de tres directa se basa en el hecho de que, cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón de dos cantidades de una de ellas es igual a la razón de las dos cantidades correspondientes de la otra.
II. REPARTO PROPORCIONAL Este capítulo estudia la forma de repartir una cantidad en forma directamente proporcional o inversamente proporcional a ciertos valores llamados "índices" de proporcionalidad.
B. Inversa
A. Reparto simple directo
La regla de tres inversa es un procedimiento de cálculo que consiste en, dadas dos cantidades correspondientes a dos magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estás magnitudes que corresponde a una determinada cantidad de la otra magnitud.
Se hace de tal manera que las partes resultantes sean D.P. a los índices de proporcionalidad. Para efectuar un reparto directo, se hace lo siguiente: a) Se suman los índices. b) Se divide la cantidad a repartir entre dicha suma, siendo el cociente la "constante" de proporcionalidad (K). c) Los partes se obtienen multiplicando cada "índice" por la constante de proporcionalidad (K).
ab a x a ' x a ' b La regla de tres inversa se basa en el hecho de que, cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales, la razón de dos cantidades de una de ellas es igual a la razón inversa de dos cantidades correspondientes de la otra.
Ejemplo:
C. Compuesta En la realidad, la relación de proporcionalidad no tiene por qué afectar exclusivamente a dos magnitudes, sino que puede suceder que una magnitud esté relacionada proporcionalmente con otras varias. UNI SEMESTRAL 2013 - III
9
ARITMÉTICA
TEMA 4
APLICACIONES CON MAGNITUDES PROPORCIONALES
Exigimos más! Paso 2: 25 K = 750 K = 30 Paso 3: 6 x 30 = 180 7 x 30 = 210 12 x 30 = 360 Propiedad Si a todos los índices de proporcionalidad se les multiplica o divide por un mismo número entonces el reparto no se altera.
Luego: 15 x 18 = 270; 10 x 18 = 180; 5 x 18 = 90; 3 x 18 = 54
C. Reparto compuesto
Ejemplo: En el reparto que se hizo a 750 en forma D.P. a 6, 7 y 12 se obtuvieron como resultado 180, 210 y 360… pero… ¿Qué pasaría si se reparte la misma cantidad D.P. a 6 x 2, 7 x 2 y 12 x 2? Veamos…
En este caso se trata de repartir una cantidad en forma D.P. a ciertos números y a la vez en forma I.P. a otros. Se procede de la siguiente manera: a) Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo los índices). b) Se multiplican los índices de las dos relaciones D.P. c) Se efectúan un reparto simple directo con los nuevos índices.
D.P. 6 x 2 = 12 x 15 =180
750 =
7 x 2 = 14 x 15 = 210
Son las mismas partes.
Ejemplo: Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9.
12 x 2 = 24 x 15 = 360 50k 50k = 750 k = 15
B. Reparto simple inverso Se hace en forma I.P. a los índices para ello se invierten los índices y luego se efectúan un reparto directo, como ya se conoce. Luego: 12 k = 12 x 36 = 432 6 k = 6 x 36 = 216
Ejemplo: Repartir 594 en forma I.P. a 2, 3, 6 y 10.
problemas
resueltos
Problema 1 La magnitud A es D.P. B y a la vez I.P. C.
Cuando A es 15, B es 18 y C es 8, determina el valor de C, cuando A es 10 y B es 9. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Problema 2 Una rueda "A" de 81 dientes engrana con otra rueda "B" de 45 dientes. Si la rueda "A" gira a razón de 10 RPM, ¿cuántas vueltas dará la rueda "B" en 8 minutos? A) 125
B) 185
D) 132
E) 144
C) 165
Resolución:
Valor de A Valor de C Valor de B
15 8 18
10 x 9
K
Resolución: (#dientes)(#vueltas) = K Entonces: (81)(10) = (45)(x)
x6
el valor de C es 6.
Respuesta: C) 6 UNI SEMESTRAL 2013 - III
x = 18 8(18) = 144
Respuesta: E) 144 10
Problema 3 El precio de un libro varía en forma proporcional al número de hojas que posee e I.P. al número de ejemplares editados. Si un libro de 480 páginas, del cual se han editado 1500 ejemplares, cuesta S/. 32, ¿cuánto costará un libro de 300 hojas si se editan 500 ejemplares más? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
Resolución: Precio # de ejemplares
# de hojas 32 1500 240
x 2000 300 x = 30 Respuesta: C) 30
ARITMÉTICA
TEMA 4
ARITMÉTICA
TANTO POR CIENTO DESARROLLO DEL TEMA I.
II. REGLA DEL TANTO POR CIENTO
REGLA DEL TANTO POR CUANTO
La idea consiste en dividir una cantidad en 100 partes iguales y luego tomar de ellas tantas partes como se indique:
A. Concepto Es un procedimiento aritmético que nos permite determinar que "TANTO" (parte) representa una cantidad con respecto a un todo "CUANTO".
a por ciento : a% a 100 Ejemplos:
Ejemplo: En cierta panadería, por cada 20 panes que se compra obsequian 3. Si compro 80 panes; ¿cuántos me regalan?
• 20 por ciento: 20% 20 100 • 150 por ciento: 150%
Resolución:
150 100
400 4 • 400 por ciento: 400% 100
Obsequian 3 por cada 20 < > el 3 por 20
Observación:
Tanto por Fracción ciento o entero En general:
Ejemplo: El 20% de 20%
a El a por b de N : N b Tanto cuanto
Ejercicios • El 4 por 7 de 63: ................................... •
En general El a% de N: a% N a N 100
2 El 3 por 4 de los de 720 ..................... 5
Ejercicios • El 40% de 7000: ________________________
B. Casos particulares del tanto por cuanto • Tanto por ciento (%) a por ciento: a%
• Tanto por mil o oo b por mil: b o oo
UNI SEMESTRAL 2013 - III
300 es 20 300 300 60 100
______________________________________
a 100
• El 30% de 80: __________________________ ______________________________________ • El 20% del 75% del 50% de 16 000: _________
b 1000
______________________________________ 11
ARITMÉTICA
TEMA 5
TANTO POR CIENTO
Exigimos más! A. Equivalencias 1.
De tanto por ciento a fracción o entero 10%
10 1 Décima parte 100 10
20%
20 1 Quinta parte 100 5
Luego: 130% N – 26% N = 104% N Respuesta: 104% de la cantidad inicial.
25 1 25% Cuarta parte 100 4
2.
50 1 La mitad 100 2
100% 100 1 Total 100
Forma práctica Cantidad inicial: "N" Luego del aumento y descuento: + 30% – 20% Queda: N × 130% × 80% = 104% N
De fracción a tanto por ciento
Respuesta: 104%
50%
1 1 1 1 100% 25% 4 4 4
Ejercicios • Un artículo se ofrecía en una tienda en S/. P; si el vendedor realiza dos descuentos sucesivos del 20% y 10%. Calcule el descuento único equivalente a estos dos descuentos sucesivos. ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________
7 7 100% 35% 20 20 •
¿Qué tanto por ciento es 6 de 15? ___________________________________ ___________________________________
•
¿De qué número, 36 es su 80%? ___________________________________ ___________________________________
•
•
En un aula hay 24 varones y 16 mujeres, calcule: a) ¿Qué tanto por ciento son los varones del total? b) ¿Qué tanto por ciento son las mujeres? c) ¿Qué tanto por ciento son las mujeres de los varones?
Calcule el aumento único equivalente a tres aumentos sucesivos del 50%, 20% y 25%. ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________
D. Aplicaciones comerciales Ejemplo: El comerciante Alejandro Chumpitáz adquiere instrumentos musicales al por mayor en una fábrica, al verificar el costo de un solo saxofón sería $500; él lleva a su tienda los instrumentos y ofrece el saxo en $800, pero al momento de la venta realiza un descuento del 25%. ¿Cuánto ganó dicho comerciante en la venta del saxo?
B. Operaciones con el tanto por ciento Aplicados sobre una misma cantidad. 1. Adición 20% A + 30% A = ___________________ 120% B + 45% B = ___________________ N + 30% N = ________________________
Resolución: Aumento o incremento:300
2. Sustracción 40% A – 10% A = _____________________ N – 25% N = _________________________
C. Aumentos y descuentos sucesivos
G=100
D=25% 800=200
Ganancia
Descuento
P C=500
Si a una cantidad se le aumenta el 30% y luego de la nueva cantidad se le disminuye su 20% entonces se obtiene:
compra
PV=600 vende
P F=800 ofrece
Respuesta: ganó $100 UNI SEMESTRAL 2013 - III
12
ARITMÉTICA
TEMA 5
TANTO POR CIENTO
Exigimos más! Se observa:
La ganancia líquida sería de $70 y ya no $100. PC G PV
GNeta (Gastos) GBruta
PF D PV PC (incremento) PF
2. Cuando la ganancia, perdida o incremento se expresen en tanto por ciento y no se mencione respecto de quien, se debe considerar que es respecto del precio de costo.
PV: Precio de venta PC: Precio de costo PF: Precio fijado o precio de lista.
Observaciones:
3. Cuando el descuento se exprese en tanto por ciento y no se mencione respecto de quien, se debe considerar que es respecto del precio de lista.
1. Cuando se mencionen gastos o impuestos. Ejemplo: Si en la aplicación planteada mencionaban gastos de $30 por mantenimiento, entonces
4. En casos de pérdida (PV < PC).
GBruta =100
Pérdida GNeta=70 Gastos=30
D=200
PV =600
PC =500
PC
PV
PF =800 PC – (Pérdida) PV
problemas
resueltos
Problema 1 Un libro se ofrece en venta recargándose el r por ciento del precio del costo, pero a un estudiante al comprarlo le rebajaron el p por ciento. Si el vendedor no ganó ni perdió, ¿cuánto le rebajaron al estudiante?
UNI 2010 - I A)
100 (100 r)
B)
r 100 100 r
C)
(100 r) r
D)
Se aumentó (r%) y luego le rebajaron (p%), quedando al final:
0, 01 1 r
X
B) 12% D) 20%
Resolución: Sea el precio de costo: 100 K
Entonces: X = (1 + r%)(1 – p%)X 1 = (1 + r%)(1 – p%) Operando: p
1 0, 01
Respuesta:
Resolución: Ubicación de incógnita Cuánto le rebajaron al estudiante. UNI SEMESTRAL 2013 - III
1 r
Nota: La respuesta se asumirá por cada 100 unidades monetarias.
1 E)
A) 15% C) 17% E) 7%
Precio de Precio de = costo venta S/.
Al venderse se hizo un descuento del 10% del precio fijado. ¿Qué tanto por ciento del costo se ganó?
Operación del problema
1 0, 01 1 r
Análisis de los datos o gráficos
Nos piden:
17 K 100% 17% 100 K
1 0, 01
1 r
Problema 2 Para fijar el precio de venta de un artículo se aumentó su costo en 30%. 13
Se observa: G = 17 K
Respuesta: C) 17% Problema 3 Una tienda vende un producto haciendo descuentos primero uno de 15% y luego otro de 15%. ARITMÉTICA
TEMA 5
TANTO POR CIENTO
Exigimos más! Una segunda tienda, que tiene el mismo producto y al mismo precio de lista, realiza un descuento del 30%. ¿Cuánto de descuento (en %) o de incremento (en %) debe efectuar la segunda tienda para que en ambas tiendas el producto tenga el mismo precio final? La respuesta aproximada es:
Resolución: •
Sea el precio del producto: P
ambas tiendas tengan el mismo precio final.
1° Tienda: 2 descuentos suceviso del 15% y 15% •
UNI 2007 - I
PF 85% 85% P 1
289 P 400
B) Incrementa 3,2%
2° Tienda:
C) Descuenta 6,4%
Un descuento único del 30%
E) Incrementa 5,2%
UNI SEMESTRAL 2013 - III
•
•
PF 2
280 P 400
El incremento sería: PF PF 9 P 1 2 400 280P 9P x% 400 400
A) Descuenta 3,2%
D) Incrementa 6,4%
Como: PF PF ; entonces debe incre2 1 mentarse en la 2. a tienda para que
x% 3, 2%
PF 70% P 7 P 280 P 2 10 400
14
Respuesta: B) 3,2
ARITMÉTICA
TEMA 5
ARITMÉTICA
REGLA DE INTERÉS I DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN Es un procedimiento aritmético que nos permite obtener la ganancia (interés) generada a partir de cierta suma de dinero bajo ciertas condiciones financieras o comerciales.
2% mensual
x3 x12
4% bimestral 6% trimestral 24% anual
t: tiempo M: monto
D. Interés (I) Es la ganancia, beneficio o utilidad que produce o genera el capital al cabo de cierto tiempo y bajo ciertas condiciones previamente establecidas.
Se observa: Se gana 100 de 500 en un año r% 20%
Tasas equivalentes x2
Ejemplo: David, luego de recibir su primer sueldo de $ 500 acude a un banco a depositarlo, en dicho banco le ofrecen devolverle $ 600 si deja su dinero por un año, analizar e identificar los elementos que intervienen.
Resolución: C : capital r% : tasa de interés I : interés
•
E. Monto (M)
anual
Es el acumulado del capital con el interés generado. A continuación detallaremos con mayor precisión las características de los elementos que intervienen en la regla de interés.
MC I
Observación: En este capítulo estudiaremos tres clases de interés: Simple, compuesto y continuo.
II ELEMENTOS A. Capital (C)
III. INTERÉS SIMPLE
Es la suma de dinero o bien material que se va a prestar, depositar o alquilar por determinado periodo de tiempo.
Es cuando el interés generado no se acumula al capital, sino hasta el final del proceso de préstamo; es decir el capital permanece constante durante todo el periodo de imposición.
B. Tiempo (t) Es el periodo durante el cual se va a ceder o imponer el capital.
Se cumple: (Interés) DP (tiempo) Ejemplo 1: Andrea deposita S/. 1000 en un banco el cual le pagará una tasa del 10% anual. Si ella retira su dinero al cabo de 3 años, calcule el interés generado. Respuesta: _______
C. Tasa de interés (r%) Nos indica que tanto por ciento del capital se va a generar al cabo de cierto periodo de tiempo ya especificado. Ejemplo: 20% anual significa que cada año se va a ganar el 20% del capital. UNI SEMESTRAL 2013 - III
Se cumple: I= C × r% × t
M = C × (1 + r% × t)
r% y t en las mismas unidades. 15
ARITMÉTICA
TEMA 6
REGLA DE INTERÉS
Exigimos más!
problemas
resueltos
Problema 1 En la cuenta de ahorros del banco A se remuneran los depósitos con 1,5% de interés anual, libre de mantenimiento, pero no se remuneran los primeros S/. 500 de la cuenta. El banco B paga 1% de interés y cobra S/. 1 por mantenimiento en el mismo periodo. Si Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo y Dernaldo tienen respectivamente S/. 1250, S/. 2130, S/. 4320 y S/. 7450, ¿cuántos de ellos deberían depositar su dinero en el banco A para obtener mayor beneficio en un año?
rB=1,5% Mant.:S/.1
Banco B Capital Personaje Arnaldo
1250
12,50 - 1 =11,50
Bernaldo
2130
21,30 - 1 = 20,30
Cernaldo
4320
43,20 -1 = 42,20
Dernaldo
7450
74,50 - 1 = 73,50
Comparando las columnas IA; IB – 1 se escoge cuando: IA > IB – 1 Cumplen: Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo. 3 personas.
B) 1
C) 2
D) 3
El plazo (en meses) al que debe imponerse un capital a una tasa de interés del 10% bimestral, capitalizable cuatrimestralmente, para que se incremente en un 72,8%, es:
UNI 2010 - II A) 3
B) 4
C) 6
D) 9
2790 C 1 x% 33 ...() 12
E) 12
Al dividir () ()
Resolución:
x% 20%
Bernaldo (B): S/. 2130 Cernaldo (C): S/. 4320
Ubicación de incógnita
Dernaldo (D): S/. 7450
Piden: El plazo (en meses) al que debe imponerse un capital.
Beneficios: Banco A:
Análisis de los datos o gráficos
1,5% libre de mantenimiento, sin considerar primeros S/. 500.
•
Tasa: 10% bimestral < > 20% cuatrimestral.
Banco B:
•
Capitalizable cuatrimestralmente.
1% y cobra S/. 1 de mantenimiento.
•
Monto = C + 72,8%C = 172,8%C
Operación del problema Sea el interés I.
Operación del problema
Otra forma Por proporciones:
I 540 I 450 15 18
C = 2250 – 450 = 1800
Se cumple:
I = C x r% x t
En los primeros 15 meses rA=1,5%
Banco A Capital Personaje
Sabemos: M C (1 r% t) 2250 C 1 x% 15 ...() 12
Capitales: Arnaldo (A): S/. 1250
Problema 3 El monto de un capital durante 1 año y 3 meses es S/. 2250 y durante 2 años y 9 meses es S/. 2790. Hallar la tasa de interés anual. A) 30% B) 40% C) 60% D) 20% E) 21%
Resolución: Nos piden la tasa anual: x% anual
A) 0
Análisis de los datos o gráficos
Respuesta: E) 12 meses
Respuesta: D) 3 Problema 2
Resolución: Ubicación de incógnita N = cantidad de personas que les favorece depositar en el banco A.
3 periodos 3 4 12 meses
IB - S/.1
beneficiado
UNI 2011 - I
E) 4
Conclusión y respuesta
Capital
M
=
C(1+r
%)n
IA
depositado beneficiado
Arnaldo
1250
750
11,25
Bernaldo
2130
1630
24,45
Cernaldo
4320
3820
57,30
Dernaldo
7450
6950
104,25
UNI SEMESTRAL 2013 - III
I = C x r% x t
450 1800 172,8%C = C (1 + 20%)
n
x% 15 12
x% 20%
1728 120 1000 100
16
n
n 3
Respuesta: D) 20% anual
ARITMÉTICA
TEMA 6
ARITMÉTICA
REGLA DE INTERÉS II DESARROLLO DEL TEMA I.
INTERÉS COMPUESTO
II. INTERÉS CONTINUO
Es cuando el interés generado en cierto periodo de tiempo se acumula al capital anterior formando así un nuevo capital, para el periodo siguiente y así sucesivamente. Dichos periodos se denominan periodos de capitalización. Cuando se aplique interés compuesto, el capital no permanece constante pues se va incrementando con cada capitalización.
Es un caso particular del interés compuesto, en el cual los periodos de capitalización se hacen cada vez más pequeños que podría suponerse una capitalización instantánea; es decir el número de periodos tiende a infinito esto ocurre cuando el tiempo de capitalización tiende a cero, por ello que el monto cuando se considere interés continuo se calcula como un límite.
M C L im 1
Ejemplo 2: Andrea deposita S/. 1000 en un banco el cual le pagará una tasa del 10% anual, capitalizable anualmente. Si ella retira su dinero al cabo de 3 años, calcule el interés generado.
n
r% n
nt
Luego se deduce que el monto con interés continuo que se obtiene al depositar un capital de S/. C a una tasa del r% y durante un tiempo t es: M = C × er% x t
Respuesta: ________ Donde:
Se cumple:
e base de los logaritmos neperianos r% y t en las mismas unidades.
M = C × (1 + r%) t
problemas
resueltos
Problema 1 ¿En cuánto se convertirán 7 mil soles al 48% anual en 5 meses? UNI Nivel fácil A) S/. 8400 B) S/. 9400 C) S/. 8000 D) S/. 9540 E) S/. 7890
t = 5 meses M = ¿? M = C X (1 + r% X t) M = 7000 x (1 + 4% x 5) M = 8400
Respuesta: A) S/. 8400
Resolución: C = 7000 12 r% = 48% anual 4% mensuales
Problema 2 Calcule el interés procedente de imponer S/. 8000 al 20%, capitalizable semestralmente durante 18 meses. UNI Nivel difícil
UNI SEMESTRAL 2013 - III
17
A) S/. 3500 C) S/. 2400 E) S/. 2800
B) S/. 2748 D) S/. 2648
Resolución: Mencionan "capitalizable semestralmente" por lo cual identificamos que es una pregunta de interés compuesto para ello expresaremos la tasa y tiempo en las unidades de la capitalización "semestres". C = 8000 r% = 20% anual < > 10% semestral t = 18 meses <> 3 semestres ARITMÉTICA
TEMA 7
REGLA DE INTERÉS II
Exigimos más! M = C x (1 + r%)t M = 8000 (1 + 10%)3 = 10648 I M C I 2648 10648
8000
Respuesta: D) S/. 2648 Problema 3 Al dividir un capital en tres partes, se impone la primera al 3% bimestral, la segunda al 12% semestral y la tercera al 1% mensual. Se sabe que las tres producen rentas anuales iguales y el capital total es de S/. 26 000.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
¿Cuánto es la mayor de las partes?
18%A 24%B 12%C 3A 4B 2C
Resolución: La renta nos indica el interés generado en un año.
Al dividir entre 12
C 6 2000 12000 El mayor
Por condición:
Respuesta: S/. 12000
A 3% 6 B 12% 2 C 1% 12
18
ARITMÉTICA
TEMA 7
ARITMÉTICA
REGLA DE DESCUENTO I DESARROLLO DEL TEMA
I.
ELEMENTOS
II. CLASES DE DESCUENTO A. Descuento comercial (Dc), externo o abusivo
A. Letra de cambio o pagaré
Se calcula respecto al valor nominal.
Es un documento comercial, en el cual una persona (deudor) se compromete a pagarle a otra persona (acreedor) un dinero en una determinada fecha (fecha de vencimiento).
B. Valor nominal (Vn)
Dc Vn.r%.t
Es la cantidad de dinero que está escrita y especificada en la letra de cambio; el deudor debe pagar esta cantidad en la fecha de vencimiento.
Vac Vn – Dc
... (I)
... (II)
Va c: valor actual comercial Al reemplazar (I) en (II):
C. Descuento (D) Vac Vn(1 r%t)
Es la rebaja que se le hace a la letra de cambio, cuando es pagado con anticipación a su vencimiento.
Ejemplo 1: Félix tiene una deuda de S/. 1200, si decide cancelar dicha deuda 5 meses antes de su vencimiento a una tasa de descuento del 4% mensual. Identifique los elementos que intervienen y calcule el descuento comercial y cuanto se pagará por dicha letra.
D. Valor actual (Va) O llamado valor efectivo, es el valor que toma la letra de cambio al momento de ser cancelado.
E. Tiempo de descuento (t) Es el periodo desde el momento en que se cancela la deuda hasta la fecha de vencimiento.
Resolución: Vn = __________ t = ____________ r% = __________
Esquema
Esquema
Tenemos:
Va Vn – D
Estudiaremos dos formas de hacer el calculo del descuento. UNI SEMESTRAL 2013 - III
Dc = ___________ 19
ARITMÉTICA
Va C = ___________ TEMA 8
REGLA DE DESCUENTO I
Exigimos más! B. Descuento racional (DR); interno o matemático
Esquema
Se calcula respecto al valor actual (Va)
DR VaR .r%.t
(I)
Va R = ____________
VaR Vn. – DR (II)
DR : Descuento racional Va R : Valor actual racional
DR = _____________
III. PROPIEDADES Relaciona los descuentos para una sola letra de cambio.
Observación:
Dc
De (I) y (II) se puede despejar el valor actual racional respecto al valor nominal. (I) : DR = VaR . r% . t (II): VaR = Vn – DR
Vac
r% y t
Vn
VaR DR Tenemos:
(I) en (II):
Dc = Vn . r% . t
VaR Vn – VaR.r%.t
DR = VaR . r% . t
VaR.(1 + r%t) = Vn Vn VaR 1 r%t
Ejemplo 2: Si para el ejemplo 1, consideramos descuento racional, calcule el descuento y cuánto se pagó por dicha letra.
problemas
Propiedad 1:
Dc DR VaR Vac
Propiedad 2:
Dc – DR DR .r%.t
Propiedad 3:
Vn
Dc.DR Dc – DR
resueltos
Problema 1 Se firma una letra por $ 6000, si esta letra se cancelara 5 meses antes de su vencimiento al 4% mensual de descuento, ¿cuánto sería su valor actual? UNI Nivel fácil A) S/. 4400 B) S/. 3400 C) S/. 5000 D) S/. 4800 E) S/. 5020
Resolución: Vn = 6000; t = 5 meses; r% = 4% mensual Se cumple: Va c = Vn (1 - r% . t) Va c = 6000(1 - 4%. 5) Va c = 4800
A) 27 D) 25
UNI Nivel intermedio B) 30 C) 22 E) 29
Resolución: Datos: Vn 270 DC.DR Vn DC DR DC DR 3 D .D 270 C R 3
DC . DR = 810 Evaluando: DC = 30 y DR = 27 DR = 27
Respuesta: A) 27
Problema 2 La diferencia entre el descuento comercial y racional de una letra de 270 dólares es de 3 dólares. ¿Cuál es el descuento racional?
Problema 3 Al calcular el vencimiento medio de "n" letras cuyos valores nominales son proporcionales a 1, 2, 3,… y cuyos vencimientos son 1, 3, 5,… meses respectivamente, se obtiene un número entre 9 y 11 meses. ¿Cuál es el número de letras? UNI Nivel intermedio
UNI SEMESTRAL 2013 - III
20
Respuesta: D) S/. 4800
A) 4 letras C) 8 letras E) 2 letras
B) 6 letras D) 10 letras
Resolución:
Aplicando vencimiento común: tv
1k.1 2k.3 3k.5 ... nk.(2n 1) 1k 2k 3k ... nk
2(12 22 32 ... n2) (1 2 3 ... n) 1 2 3 ... n n(n 1)(2n 1) n(n 1) 2. 6 2 tv n(n 1) 2 2(2n 1) tv 1 3 Por dato: 9 tv 11 tv
2(2n 1) 1 11 3 7 < n < 8,5 n=8 Respuesta: C) 8 letras 9
ARITMÉTICA
TEMA 8
ARITMÉTICA
REGLA DE DESCUENTO II DESARROLLO DEL TEMA I.
CAMBIO DE LETRAS Es un procedimiento en el cual el deudor cambia una forma de pago por otra, considerando que no se perjudique el deudor ni el acreedor en el momento del intercambio, se cumple: Suma de valores Suma de valores actuales del actuales del primer grupo segundo grupo de letras de letras
1.er Grupo de letras
VnI
Vn2
VnII
Esquema Vn1 t1
Vn3 t 3
Vn = Vn1 Vn2 Vn3
r% para todas las letras Por ser cambio de letras se cumple: Va 1 + Va2 + Va3 = Va
Dc1 + Dc2 + Dc3 = Dc Vn1.r%t1 + Vn2r%t2 + Vn3r% t3= Vn . r% tv
Vn3
tv
Va1 Va2 Va3 VaI VaII
II. VENCIMIENTO COMÚN Es un caso especial de cambio de letras con tres condiciones: 1. Se cambian varias letras por una sola letra (letra única). 2. La suma de valores nominales del grupo de letras es igual al valor nominal de la letra única. Vn1 + Vn2 + Vn3 = Vn
problemas
Letra única
Vn2 t2 <> Vn tv=??
2.o Grupo de letras
Vn1
3. Todos los descuentos son comerciales y a la misma tasa.
Vn1.t1+Vn2.t 2+Vn3.t 3 Vn
Como Vn = Vn1 + Vn2 + Vn3 Tenemos:
resueltos
Problema 1 Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado: I. La diferencia entre el descuento comercial y el descuento racional es igual al interés simple que gana el descuento racional.
II. Valor actual de un descuento, es igual al valor nominal más el descuento. III. Descuento es la rebaja que sufre el valor nominal de una transacción comercial, al ser efectiva, antes de la fecha de vencimiento. UNI 2012-II
UNI SEMESTRAL 2013 - III
21
A) VVV C) VFV E) FVF
B) VVF D) VFF
Resolución: Ubicación de incógnita Dar el valor veritativo de las proposiciones I, II y III. ARITMÉTICA
TEMA 9
REGLA DE DESCUENTO II
Exigimos más! Operación del problema I. Se sabe que: DC = Vnr%t .....(1) DR = VaR%t .....(2)
A) 740 C) 744 E) 748
B) 742 D) 746
Resolución: Hacemos (1) – (2): DC – DR = Vnr%t – VaRr%t DC – DR = (Vn – VaR)r%t DC – DR = DRr%t
Ubicación de incógnita (V)
La primera de S/. 80 000 pagadera dentro de 30 días; la segunda de S/. 200 000 pagadera en 60 días y la tercera de S/. 400 000 con un plazo de 90 días. ¿Dentro de qué tiempo (en días) debe ser pagada una letra única cuyo valor nominal sea la suma de los valores nominales de las tres letras? Suponga que la tasa de interés es constante.
UNI 2010-I II. Por definición: Va = Vn – D
Laproposición dice: Va= Vn+ D (F) III. Considerando que en la transacción comercial, el descuento se aplica al documento, rebajándolo del valor nominal, al hacerla efectiva antes de la fecha de vencimiento (V). Resumen I. V II. F III. V
Análisis de los datos o gráficos
A) 70 días
B) 71 días
C) 72 días
D) 73 días
E) 74 días
Resolución: Ubicación de incógnita Operación del problema – Aplicación de fórmula, teorema o propiedad
Tiempo de letra Única (t). Análisis de los datos o gráficos
Va Vn x 1 – R% x t
Respuesta: C) VFV Problema 2 Un empresario firma una letra por S/. 48 000 a ser pagada en 8 meses al 7% de descuento anual. Luego de transcurridos 3 meses decide cancelar la letra, pues debe viajar para radicar en Australia. Calcule la diferencia entre la cantidad que recibió y canceló el empresario en nuevos soles, sabiendo que el acreedor cobra una comisión del 0,2% sobre el valor nominal, si se cancela al final. UNI 2011-II
UNI SEMESTRAL 2013 - III
–
Solución del problema 7 8 Va1 48000 1 – x 45760 100 12 7 5 Va2 48000 1 – x 46600 100 12
Conclusión y respuesta Piden: 46600 – 45760 96 744
Respuesta: C) 744
Operación del problema En vencimiento común, se cumple: t
800 00x30 200 000x60 400 000x90 680 000
t 74,11...
Problema 3 Un deudor tiene que pagar al banco tres letras.
22
74 días (Aproximado)
Respuesta: E) 74 días
ARITMÉTICA
TEMA 9
ARITMÉTICA
ESTADÍSTICA I DESARROLLO DEL TEMA I.
PARTES DE LA ESTADÍSTICA
Ejemplo Nº1 En una posta médica de Lima se observa que en el
A. Estadística descriptiva
presente mes se han atendido un grupo de 1200
Se encarga de recopilar, clasificar, analizar e inter-
personas de las cuales hemos recopilado una muestra
pretar datos.
de 20 edades, las cuales mostramos a continuación y en base a esta información luego procederemos a clasificarlos tomando como variable las mismas:
B. Estadística inferencial
02; 09; 10; 12; 15; 17; 18; 20; 22; 25; 25; 26; 27;
Llamada también deductiva. Tiene por objetivo deducir
27; 27; 32; 33; 34; 38; 42.
leyes de comportamiento de una población a partir del estudio de una muestra.
III. ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA
II. CONCEPTOS DE TÉRMINOS USADOS EN LA ESTADÍSTICA
A. Recopilación de datos Los métodos más usados son los censos, encuestas
A. Población
y entrevistas.
Conjunto de personas, elementos o unidades que presentan características comunes y observables, a ser
B. Organización de datos
analizados o estudiados y de los cuales se desea informa-
Se organizan, clasifican y tabulan los datos de modo
ción, de acuerdo a un objetivo previamente establecido.
que facilite su presentación y posterior interpretación.
B. Muestra C. Presentación de datos
Subconjunto de datos tomado dentro de la población y que van a ser seleccionados en forma ade-
La representación se realiza principalmente a través
cuada de tal manera que represente en forma ob-
de tablas o gráficos.
jetiva a la población.
IV. ELEMENTOS DE UNA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
C. Variable Es una característica de la población que interesa
Para el ejemplo N° 1:
al investigador ya que le servirá como un indicador
A. Alcance(A)
del objeto de estudio planteado y que puede tomar
Intervalo cerrado en la cual se considera como límites al menor y mayor de los datos.
diferentes valores. Existen dos tipos: •
Variables cualitativas
•
Variables cuantitativas
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Ejemplo:
A: [02; 42]
límite inferior
23
ARITMÉTICA
límite superior
TEMA 10
ESTADÍSTICA I
Exigimos más! B. Rango o recorrido (R)
G. Frecuencia absoluta simple(fi)
Es la amplitud del alcance, se calcula como la diferencia del mayor y menor de los datos. Ejemplo: R = 42 – 2 = 40
Es el número de datos contenidos en un determinado intervalo de clase. Se cumple:
f1 f2 f3 ... fk = n
C. Intervalo de clase (Ii) H. Frecuencia absoluta acumulada (Fi)
Es una clasificación de los datos en subgrupos. Ejemplo: Se podría tomar un intervalo I = [10: 20 , aquí estaran aquellas personas cuyas edades sean mayores o iguales a 10 pero menores que 20.
Es la acumulación ordenada de cada una de las frecuencias absolutas simples.
I. Frecuencia relativa simple (hi)
D. Número de clases (K)
Es el cociente de cada frecuencia absoluta entre
Es el número de categorías o intervalos en el que se va a dividir la información.
el número total de datos. f h1= 1 n
Regla de Sturges: K = 1 + 3,322logn
h1 + h2 + h3 +...+ hk = 1
J. Frecuencia relativa acumulada (Hi)
n : número de datos
Es la acumulación de frecuencias relativas.
Ejemplo:
"Por lo general las frecuencias la expresamos como
K = 1 + 3,322 Log 20 = 5,32
un tanto por ciento".
Si K = 5,32, se recomendaría tomar 5 intervalos o
V. GRÁFICOS O DIAGRAMAS
un valor cercano que podría ser 4 ó 6.
A. Histograma
E. Amplitud o ancho de clase (W) Es la diferencia entre el límite superior e inferior de
Son diagramas de barras o rectángulos, cuyas bases
cada intervalo.
representan los intervalos de clase y las alturas, las
Ejemplo: En I2 = [10: 20
frecuencias absolutas o relativas.
W = 20 – 10 = 10
F. Marca de clase(Xi) Es el punto medio de cada intervalo. xi
(Límite inferior) (Límite superior) 2
B. Diagrama escalonado
Ejemplo: En I2 = [10: 20 x 2=
Las frecuencias absolutas o relativas pero acumu-
10 + 20 = 15 2
UNI SEMESTRAL 2013 - III
ladas.
24
ARITMÉTICA
TEMA 10
ESTADÍSTICA I
Exigimos más! Si de las 20 personas que se atendieron en la posta 4 se atienden en dental, 3 en pediatría, 8 en tópico y los 5 restantes en medicina general. N° de personas <> ángulo <>% 20 360° 100% 1 18° 5% 3 34° 15%
C. Gráfico Circular Llamado también de sectores o del Pastel. Se utiliza para comparar las partes con el total.
problemas
resueltos
Resolución:
Problema 1
Son verdaderas I y III
Del gráfico:
Respuesta: E) I y III Problema 2 Para cubrir el puesto de mecánico-electricista se recibieron solicitudes de 200 postulantes. En el cuadro siguiente se presenta la distribución de los postulantes según experiencia laboral en I.
el área:
60% 80% 50% 60% 70% 5 320% = 64% 5
MA
Se afirma: I.
El promedio de aprobación será:
El porcentaje promedio de desaprobación por curso es 36%.
II. El porcentaje de aprobación del curso D es el 60% del porcentaje de aprobación del curso B. III. La tasa de desaprobación del curso
Por lo cual el promedio de desaprobación será: 100% – 64% = 36% .. (Verdadera)
E es el 60% de la tasa de aprobación II. D 60%
en el curso C.
¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas?
UNI 2009-II A) Solo I B) Solo II C) Solo III
B 80%
"D" con respecto a "B" es: 60% 100% 75% ......... (Falsa) 80%
para el 90% de los postulantes es:
UNI 2008 - II
III. Desaprobación de E: 100% – 70% = 30% Aprobación de C: 50%
D) Solo I y II
Piden: 30% 100% 60% 50%
E) Solo I y III
...(Verdadera)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Entonces la experiencia laboral mínima
25
A) 7,4 años B) 8,4 años C) 10,4 años D) 12,4 años E) 14,4 años
ARITMÉTICA
TEMA 10
ESTADÍSTICA I
Exigimos más! Se observa que en el intervalo [2 5) se
Resolución: Piden: x, analizando el último intervalo:
tiene 12 de frecuencia. En el siguiente intervalo: [5 8) estará lo restante: 18,75 – 12 = 6,75 Luego: ancho de clase: 3
35% 25% a 1, 4 2 a x = 13 + a x = 14,4 años
El tiempo de servicio para el 25% de los trabajadores es:
UNI 2005 - I
3 15 x 1, 35 x 6, 75
Luego: 5 + 1,35 = 6,35
A) 5,55 años B) 6,35 años
Respuesta: E) 14,4 años
C) 7,10 años D) 14,82 años
Problema 3
E) 15,30 años
La tabla siguiente presenta la distribución de los trabajadores de una empresa
Resolución:
según el tiempo de servicio en años.
Pide: 25% (75) = 18,75
UNI SEMESTRAL 2013 - III
26
Respuesta: B) 6,35 años
ARITMÉTICA
TEMA 10
ARITMÉTICA
ESTADÍSTICA II DESARROLLO DEL TEMA I.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (PARTE I)
Se observa: (menor dato) MH MG MA (mayor dato)
Cuando se estudia el tema de promedios se indicó que era un valor representativo de un conjunto de datos, en esta primera parte en medidas de tendencia central, estudiaremos algunos de los promedios para datos no clasificados y clasificados.
B. Para datos clasificados Se tiene una tabla de distribución de frecuencias.
A. Para datos no clasificados Sea un grupo de "n" datos: a1, a2, a3,...an
1. Media aritmética MA, X
a + a2 + a3 + ... + an X 1 n
2. Media geométrica MG, X G
X G = n a1 × a2 × a3 ×...an
1. Media aritmética MA, X 3. Media armónica (MH, XH) XH =
X=
n 1 1 1 1 + + + ... + a1 a2 a3 an
xi × fi = x i × hi n
x f + x 2f2 + x 3f3 + x 4 f4 + x 5f5 X = 11 n
Ejemplo: Sean números 6; 3 y 12.
MA =
2. Media geométrica (MG, X G )
6 + 3 +12 =7 3
f XG = n X i i
MG = 3 6 × 3×12 = 6 MH =
3 36 = 5,14 1 1 1 7 + + 6 3 12
UNI SEMESTRAL 2013 - III
f
f
f
f
f
X G = n X11 × X 22 × X 33 × X 44 × X55
27
ARITMÉTICA
TEMA 11
ESTADÍSTICA II
Exigimos más!
3. Media armónica MH, XH n f XH = i xi
III. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión consisten en obtener medidas (valores) referenciales de un grupo de datos, que nos
n
permitan medir que tan dispersos o alejados estan los
f1 f f f + 2 + 3 + 4 x1 x 2 x 3 x 5
datos con respecto a este valor de referencia.
A. Para datos no clasificados Sean un grupo de "n" datos: a1 , a2 , a3 ,..., an
II. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL A. Media aritmética ( MA , x ) Llamada también media o promedio aritmético.
1. Varianza (s 2 ó 2 )
n
S2
n
2
xi2
xi x i1
S
n
2 i1 n
x
2
2. Desviación estandar (S ó )
B. Mediana (Me; Xm)
n
xi x
Es aquel valor que separa en 2 grupos de igual cantidad
i1
S
1. Para datos no clasificados
xi2 S
n
de datos.
n
2
i1
n
x2
B. Para datos clasificados
Se ordena los datos en forma creciente y luego:
Se tiene una tabla de distribución de frecuencias.
Si la cantidad de datos es impar, la mediana será el termino central. Si la cantidad de datos es par, la mediana será el promedio de los dos datos centrales. 2. Para datos clasificados Se emplea la siguiente relación: n F 2 me 1 Me L me xW fme
Calculamos la media (X) .
C. Moda (Mo) Es el valor que se presenta con mayor frecuencia
Luego: 1. Varianza S2 ó 2
en un grupo de datos. 1. Para datos no clasificados
n
Se considera al valor mas repetitivo, que puede
S2
ser uno o mas valores.
n
fi
i1
n
S2
xi2 fi i1
n
x
2
2. Desviación estandar (S ó )
2. Para datos clasificados Se emplea la siguiente relación:
n
xi x
d1 Mo L mo xW d1 d2
UNI SEMESTRAL 2013 - III
2
xi x
S
28
2
n
xi2 fi
fi
i1
n
ARITMÉTICA
S
i1
n
x
TEMA 11
2
ESTADÍSTICA II
Exigimos más!
problemas
resueltos
y tenemos
Problema 1 Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado: I.
La frecuencia relativa es el cociente
x
Resolución:
18 19 16 17 14 16, 8 5
A partir del gráfico, tenemos
2 2 2 2 2 18 19 16 17 14 – (16, 8)2 5
entre la frecuencia acumulada del i–ésimo intervalo y el número total de datos.
2, 96 1, 72046 Donde 1, 7
II. La mediana de un conjunto de n datos, es el valor que más veces se repite. III. Si {18, 19, 16, 17, 14} son los datos que representan las notas de un examen, entonces la desviación estándar es mayor que 1,7.
UNI 2012-II A) VVV
Respuesta: D) FFV I.
Problema 2
Verdadero El porcentaje de crecimiento anual de la inversión en millones de dólares ha ido disminuyendo.
El gráfico de barras representa los montos de inversión extranjera en millones de dólares en los últimos 4 años. De la información del gráfico se puede afirmar:
B) VVF C) FVV D) FFV E) FFF
Respecto a lo anterior, se tiene lo siguiente:
Resolución:
II. Falso
I.
Falsa Porque la frecuencia relativa de un intervalo es el cociente entre la frecuencia absoluta simple del iésimo intervalo y el número total de datos.
I.
El porcentaje de crecimiento anual de la inversión en millones de dólares ha ido disminiyendo.
III. Verdadero La inversión en el último año ha sido más del 100% de la inversión en el 1.er año.
II. La inversión en millones de dólares ha crecido en un porcentaje constante.
f hi i n
II. Falsa Porque la mediana to de n datos es el de al conjunto de mente ordenados, iguales.
La inversión en millones de dólares ha crecido en un porcentaje constante.
de un conjunvalor que dividatos, previaen dos partes
III. La inversión en el último año ha sido más del 100% de la inversión en el 1er año.
Respuesta: D) VFV Indique la alternativa que corresponde a la verdad o falsedad de las afirmaciones.
B) VVF
La tabla muestr a los valores y frecuencias de las notas de los alumnos de Álgebra. Con la información mostrada se puede afirmar:
C) VFF
I.
D) VFV
II. La moda es mayor que la mediana.
UNI 2011-II
III. Verdadera A) VVV
Porque
La media es menor que la mediana.
III. La media es mayor a 13.
E) FFV UNI SEMESTRAL 2013 - III
Problema 3
29
ARITMÉTICA
TEMA 11
ESTADÍSTICA II
Exigimos más!
UNI 2011-II A) B) C) D) E)
VVV VVF VFF FFF FFV
Moda: valor cuya frecuencia es la mayor
Mo = 16 (es el valor cuya frecuencia es
de todas.
25, la mayor de todas las frecuencias). I.
La media es menor que la mediana
mediana (Me) y la moda (Mo) de las notas.
porque x = 13,47 < Me = 14 II. Verdadero La moda es mayor que la mediana porque Mo = 16 > Me = 14
Resolución: fi x i Recuerda que: Media f i
Donde: fi: frecuencia
III. Verdadero La media es mayor a 13 porque x 2558810151215142516518 75
x 13, 47
x = 13,47 En consecuencia, las tres proposiciones
xi : valor Mediana: valor que ocupa el lugar
Me = 14 (de los 75 valores, la mediana
central cuando todos los valores están
es aquel valor que ocupa el lugar 38,
ordenados.
el cual corresponde a la nota 14).
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Verdadero
De la tabla, hallaremos la media ( x ), la
30
son verdaderas.
Respuesta: A) VVV
ARITMÉTICA
TEMA 11
ARITMÉTICA
REGLA DE MEZCLA I DESARROLLO DEL TEMA I.
MEZCLA
B) El precio al cual debería venderse el kg de mezcla para obtener una ganancia del 20%.
Es la unión de dos o más sustancias en cantidades arbitrarias, conservando cada una de ellas su propia naturaleza (peso, volumen, densidad, etc).
Resolución:
Las mezclas se realizan generalmente con fines comerciales o para alterar la calidad de algunas sustancias.
A)
Ejemplos: •
La gasolina es una mezcla de hidrocarburos.
•
Las joyas son la unión de metales preciosos con otros componentes que permitiran aumentar su durabilidad, pero en algunos casos disminuyen su calidad y costo (unión de metales "aleación").
•
En las bebidas alcohólicas debería verificarse su grado alcohólico antes de ingerirse pues hasta cierto grado alcohólico son permisibles para el consumo humano, si sobrepasan este grado podrían resultar dañinas.
Costo total (S/.): 5×6+25×12+20×16 = 650 Cantidad total (kg): 5+25 + 20 = 50 Pm
(costo total) (cantidad total)
Pm 650 13 Pm S /13 50 Respuesta: S/. 13
II. PRECIO MEDIO (PM) Es el precio de costo por unidad de mezcla, a dicho precio se le conoce también como "precio de equilibrio" pues no genera ni ganancia ni pérdida.
Nota: Si los 50 kg de mezcla se venden a Pm = S/. 13 el kg, no se genera ni ganancia ni pérdida; pues se obtendría la misma cantidad de dinero, si se vende cada ingrediente por separado.
Ejemplo:
B) Se considera:
Un comerciante dispone de 3 bolsas que contienen cebada, con fines comerciales va a realizar una mezcla de las mismas de la siguiente manera:
Precio Precio <> medio costo Nota: El precio medio se obtiene como un promedio ponderado, es por ello que debe estar comprendido entre el menor y mayor precio.
Luego de mezclarlas, con respecto a los 50 kg de mezcla obtenida, calcule: A) El precio de costo por kg (precio medio). UNI SEMESTRAL 2013 - III
31
ARITMÉTICA
TEMA 12
REGLA DE MEZCLA II
Exigimos más! Luego:
Se considera: Grado o pureza de un alcohol (G°) El grado alcohólico o pureza nos indica que tanto por ciento de una mezcla alcohólica es el alcohol puro.
Pv = 13 + 20% 13 = 15,6
Ejemplo:
Respuesta: S/ 15,6
I) Se mezclan 12 litros de alcohol puro con 18 litros de agua. Calcule el grado de pureza de la mezcla.
Observaciones: I)
Debido a que el precio medio no genera ni ganancia
Resolución:
ni pérdida, debe cumplirse:
Ganancia aparente
=
Pérdida aparente
En el ejemplo: Respuesta: 40° En general En una mezcla alcohólica: Volumen de alcohol puro G x 100 Volumen total de la mezcla
II) Se tienen 80 litros de un alcohol de 70°, entonces:
G. A. = P. A 7(5) + 1(25) = 3(20) 60 = 60 II) En general, si mezclamos "n" ingredientes cuyas cantidades y precios son:
Volumen de alcohol puro 70% 80 = 56
C1 + C2 + C3 + ... + Cn Cantidad total P1 P2 P3 Pn Pm
Pm =
Volumen de agua
30% 80 = 24
Ejemplo:
C1 P1 + C 2P2 + C3P3 +...+ Cn Pn C1 + C2 + C3 ...+ C n
Se mezclan 20 litros de un alcohol de 70° con 30 litros de otro alcohol de 80°. Calcule el grado alcohólico de la mezcla resultante:
Pm es el precio ponderado de los precios unitarios
Resolución: Pm =
(Costo total) (Cantidad total)
III. MEZCLA ALCOHÓLICA Es un caso particular de una mezcla, donde las componentes son alcohol puro y agua.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Gm
32
70 20 80 30 76 20 30
ARITMÉTICA
TEMA 12
REGLA DE MEZCLA II
Exigimos más! Observaciones: I)
II) En el ejercicio anterior:
Se mezclan "n" alcoholes cuyos volúmenes.
V1 + V2 +
G1 Gm
G2
V3 +...+ Vn
G3
Gn
Gm
G1V1 G2 V2 G3V3 ... Gn Vn V1 V2 V3 ... V3
G.A. = P. A. 6° × 20
Se cumple:
= 4° × 30
120° = 120° Ganancia aparente
=
Pérdida aparente
III) Cuando se mencione alcohol puro o agua sola:
alcohol puro
Además:
menor grado
problemas
Gm
mayor grado
(agua)
100º < > 100%
0º < > 0%
resueltos
Resolución:
Problema 1
A) 0,774 B) 0,775
Se mezclan dos clases de café en la
C) 0,777
proporción de 1 a 2 y la mezcla se ven-
D) 0,778
de con un 5% de beneficio. Después
E) 0,779
se mezclan en proporción de 2 a 1 y se vende la mezcla con 10% de bene-
Resolución:
ficio. El precio de venta es igual en ambos casos. Determine la relación de los precios de las clases de café.
UNI Nivel fácil 18 A) 23 B)
20 23
C)
26 20
105%
a 32b 110% 2a3 b
Lm 4L 5.1 0, 9 45
a 20 b 23
L = 0,775
Respuesta: B)
20 23
Respuesta: B) 0,775 Problema 3
Problema 2
¿Cuál es la ley obtenida al fundir 20 gramos de oro de 18 kilates, 20 gramos de oro de 800 milésimos, 30 gramos de oro de 6 décimas y 30 gramos de cobre?
D)
20 26
Una aleación con un peso de 4 kg se funde con 5 kg de plata pura y resulta 0,9 de ley. ¿Cuál es la ley de aleación primitiva?
12 23
UNI
UNI
E)
Nivel intermedio
Nivel difícil
UNI SEMESTRAL 2013 - III
33
ARITMÉTICA
TEMA 12
REGLA DE MEZCLA II
Exigimos más! A) B) C) D) E)
12,78 K 10,75 K 17,90 K 11,76 K 11,80 K
Ley
(Peso oro puro) (N kilates) (Peso total) 24
Recordar: cuando el oro es el metal fino.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
20 0, 75 20 0, 800 30 0, 6 30 0 20 20 30 30
Lm 0, 49
Luego: Cobre
Resolución:
Lm
(N kilates) 24
(N° kilates) = 11,76 k
20 g + 20 g + 30 g + 30 g = Leyes: 18 =0,75 0,800 24
34
0,6
0
Lm
Respuesta: D) 11,76 k
ARITMÉTICA
TEMA 12
ARITMÉTICA
REGLA DE MEZCLA II DESARROLLO DEL TEMA ALEACIÓN Es la mezcla de dos o más metales mediante el proceso de fundición (proceso en el cual se unen los metales ya sea en estado líquido o gaseoso); por convención en los metales se considerará: En el ejemplo anterior: Liga 8 0, 40 40% 20
Observaciones
Ley o pureza de una aleación
I)
Se funden "n" lingotes, cada uno con su respectiva ley:
En una aleación la ley nos indica que parte, fracción o porcentaje representa el metal fino en dicha aleación.
Ley =
(Peso metal fino) (Peso total de la aleación) Lm
W1L1 W2L 2 W3L 3 ... Wn L n W1 W2 W3 ... Wn
Ejemplo: Se cumple:
Se funden 12 gramos de plata con 8 gramos de zinc. Calcule la ley de la aleación resultante.
Resolución:
Ganancia aparente
=
Pérdida aparente
menor ley
Lm
mayor ley
Además:
Ley + Liga = 1
II) En los casos en que se mencione metal fino u ordinario puros:
Nota: El metal ordinario determina la liga en una aleación, nos mide la "impureza".
metal fino metal ordinario UNI SEMESTRAL 2013 - III
35
Ley = 1 ó 100% de pureza Ley = 0 ó 0 % de pureza
ARITMÉTICA
TEMA 13
REGLA DE MEZCLA II
Exigimos más! Ejemplo: Si se tiene un lingote cuya composición es 15 gramos de oro y 5 gramos de cobre. ¿De cuántos kilates es dicho lingote? Resolución:
Ley 15 20
N kilates 24
(N° kilates) = 18
Respuesta: 18 k
UNI SEMESTRAL 2013 - III
36
ARITMÉTICA
TEMA 13
ARITMÉTICA
NUMERACIÓN DESARROLLO DEL TEMA El número surge con la necesidad del hombre de expresar o asociar una cantidad a los objetos o elementos que lo rodean. Por ejemplo, la ciencia a comprobado con sus descubrimientos de vestigios prehistóricos, dibujos en piedra con marcas y símbolos que reflejan una forma de conteo, es decir el hombre prehistórico ya tenía una noción de cantidad. Durante el transcurso de la historia, las culturas, imperios o naciones se han caracterizado por su particularidad en el estudio y representación de los números, tanto como su aplicación en las matemáticas, que permitieron en gran medida su avance tecnológico, científico, militar, económico; como han sido la cultura romana, egipcia, china, árabe, etc. En nuestro caso desde que somos niños nos enseñan en los colegios a escribir y pronunciar correctamente las letras (palabras) y los números (numerales), y muchas veces nos hemos preguntado ¿para qué?; por ejemplo, elegimos un alumno del aula y le hacemos las siguientes preguntas: • Nombre • Edad • Peso • Estatura • Dirección de domicilio • Teléfono Ahora analizamos, ¿cuántos números habrá utilizado en sus respuestas?
A.
B.
• •
Representación: IIII IIII IIII, XIV, 14, ... (Numeral)
Se pueden utilizar una o más cifras
Observación:
Vemos la diferencia entre número (idea) y numeral (representación) pero es frecuente que en diversos libros o exámenes de admisión lo consideren lo mismo, por lo cual los estudiaremos en forma indistinta.
I. SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN
Número Es un ente matemático que nos da la idea de cantidad. Sirve para cuantificar los elementos de la naturaleza.
Es un conjunto de principios que rigen la correcta representación y escritura de los numerales. Básicamente son dos los principios que necesitamos conocer.
Numeral
A. Principio del orden
Es la representación gráfica de un número. Ejemplo: XII, 347, .......
C.
La idea en su mente es el número. Si él coge una piedra y realiza marcas sobre la tierra indicando el número de manzanas que observa:
"Toda cifra en un numeral ocupa un lugar y posee un respectivo orden".
Cifras Es un símbolo que se utiliza para representar un número.
Ejemplo:
Cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cifras significativas
Analicemos el siguiente diagrama, un niño observa un árbol con catorce manzanas. UNI SEMESTRAL 2013 - III
37
ARITMÉTICA
TEMA 14
NUMERACIÓN
Exigimos más! B. Principio de la base
• Pasando 153 a la base 6
Todo sistema posicional de numeración tiene una determinada base, la cual es un número entero que indica cuantas unidades de cierto orden son necesarias para formar una unidad en el orden inmediato superior. En forma práctica indica de cuanto en cuanto se están agrupando las unidades simples. En base 10: diez unidades de un determinado orden formarán una unidad del orden siguiente (superior).
2. De base m a base 10 ( m ≠ 10 )
Ejemplo: En el gráfico inicial, si el niño observa catorce manzanas, vamos a representarlas cada una por una bolita y luego por agrupación expresaremos en las bases diez, ocho, cinco y tres.
Ejemplos: 6738 = 6000 + 700 + 30 + 8 6738 = 6 x 103 + 7 x 102 + 3 x 101 + 8 4527 = 4 x 72 + 5 x 71 + 2 = 333 24135 = 2 x 53 + 4 x 52 + 1 x 51 + 3 = 358 2001003 = 2 x 35 + 1 x 32 = 495
( m
300004 = 3 x 44 = 768 3. De base m a base n
Conclusiones •
2 Base
•
0 Cifra Base
•
≠ 10 ∧ n ≠ 10)
Ejemplo: Expresar 24135 en la base 8.
D. Algunos sistemas de numeración
Cifras usadas en base n: 0, 1, 2, 3, ..., (n - 2), (n 1) cifra máxima
C. Cambio de base 1. De base 10 a otra base n ( n ≠ 10 )
Ejemplos: • Pasando 25 a la base 7
Base
Nombre
Cifras
2
Binario
3
Ternario
4
Cuaternario
5
Quinario
0; 1; 2; 3; 4
6
Senario
0; 1; 2; 3; 4; 5
7
Heptanario
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
8
Octanario
0; 1; 2; 3; 4; ....; 7
9
Nonario
0; 1; 2; 3; 4; .....; 8
10
Decimal
0; 1; 2; 3; 4; .....; 9
11
Undecimal
0; 1; 2; 3; ......; (10)
12
Duodecimal
0; 1; 2; 3; ..... ; (11)
0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3
II. REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NUMERAL
• Pasando 25 a la base 4
Cuando se desea denotar a un numeral en forma general, conociendo alguna información sobre él (ya sea con respecto a las cifras o a la base), se pueden emplear letras que representen a las cifras. UNI SEMESTRAL 2013 - III
38
ARITMÉTICA
TEMA 14
NUMERACIÓN
Exigimos más! Ejemplos: •
ab representa a un numeral de 2 cifras, por ejemplo: 10; 11; 12; 13; ...; 99.
•
a25 puede estar representando a: 125; 225; 325; 425; ...; 925
•
abab ab 102 ab 101 ab abcabc 4 abc 4 4 3 abc 4 65 abc 4 ab0ab 6 ab 6 63 ab 6 217 ab 6
Numeral de 3 cifras consecutivas crecientes:
ab325 ab 5 52 32 25 ab 5 17 5
a(a 1)(a 2)
123, 234, 345, 456, 567, 678, 789
IV. PROPIEDADES
2
•
a5(a ) = 151; 254; 359.
•
3m(m 2)
•
4(m 1)(m 3)
6
A. Bases sucesivas
= 3026; 3136; 3246; 3356 7
1a
=4407; 4517; 4627
Numeral capicúa
Kedcba 1c
1d
1e K
Ejemplos:
Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes, del centro del numeral, son iguales. En general:
1b
15
abcdcban = = =
14 12 14
7 + 4 + 2 + 4 + 5 = 22 7
= 32(9+2+4+3+2+4)
32
14
Ejemplos: 4774; 2528; 19491
12 13 14
12
9
= 3224 = 3 × 24 + 2 = 74
aba; abba;
= 1 2 3 ... n
11
mnppnm 7 ; somos
12 13 1(n 1)
III. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
n(n 1) 2
n
k 1 abc .. pq bnk 2 cnk 3 ... pn q n an k cifras
Ejemplos:
B. Numeral de cifras máximas
abcd n = a × n3 + b × n2 + c × n + d
(n 1)(n 1)(n 1).....(n 1) nK 1 n
aaa 4 = a × 42 + a × 4 + a = 21a
k cifras
abba 5 = a×53 + b×52 + b×5 + a = 126a + 30b Ejemplos:
a03a5 = a × 53 + 3×5 + a = 126a + 15
A. Descomposición polinómica por bloques abcden ab n n3 cde n abcde n ab n n3 cdn n e abcde n a n4 bcn n2 den 2
abcde n abc n n de n abcde n ab n n3 c n2 den Ejemplos: 4758 = 4700 + 58
Base 10 9 = 10 - 1 99 = 102 - 1 999 = 103 - 1 9999 = 104 - 1
Base 6 5=6 -1 556 = 62 - 1 5556 = 63 - 1 55556 = 64 - 1
Base 8 7=8 -1 778 = 82 - 1 7778 = 83 - 1 77778 = 84 - 1
Base 4 3=4 -1 334 = 42 - 1 3334 = 43 - 1 33334 = 44 - 1
C. Intervalo de un numeral k nk 1 abc...de n n "k" cifras
UNI SEMESTRAL 2013 - III
39
ARITMÉTICA
TEMA 14
NUMERACIÓN
Exigimos más! Ejemplos: 2
121123
= 1(213)(123)9 = 1(2×3+1)(1×3+2)9 = 1759
212211 3
= (2123)(2113)27 = (2×32 + 1×3 + 2) (2×32 + 1×3 + 1)27 = (23)(22)27
3
10 abc 10
73 abcd 7 74 35 abcdef 3 36 ¿Cuántos numerales de tres cifras hay en base 8?
V. CAMBIO DE BASE ESPECIAL
B. De base nk a base n A. De base n a base nk
Cada cifra de la base nk se lleva por divisiones sucesivas la base "n" y cada una nos dará "k" cifras en la base n; a excepción de la primera cifra que podría generar menor número de cifras.
Se forman bloques de k en k cifras de derecha a izquierda, luego cada bloque se descompone polinómicamente y el valor que resulte será una cifra en la base nk. a b c d e fn abn a b c d e fn abc n
cdn
ef n
def n
Ejemplo: Expresar 7849 en base 3.
(n2)
(n3)
Ejemplos: 212211 3 = (213) (223) (113)9 = (2×3+1)(2×3+2)(1×3+1)9 = 7849
problemas resueltos
Problema 1 ¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con tres cifras? UNI 2010-I
Problema 2
Problema 3
Sabiendo que: a00a(6) bc1,0 es el cero,
De la igualdad a2b(7) a51(n) calcule el
a 0 , determine la suma (a + b +c)
UNI 2008-II Nivel intermedio B) 13 D) 15
Nivel fácil A) 23
B) 24
D) 26
E) 27
C) 25
Resolución: Ubicación de incógnita Halle los valores de la base (n) Análisis de los datos o gráficos 1234 abcn
n2 1234 n3
Desarrollando la desigualdad: 3
UNI 2006–I Nivel difícil A) 11 C) 13 E) 15
1234 n 1234
10, ... n 35, ...
n {11, 12, 13, ..., 35} 25 valores
Respuesta: C) 25 UNI SEMESTRAL 2013 - III
B) 12 D) 14
Resolución:
Resolución:
Ubicación de incógnita: a+b +c
*
a2b (7) a51(n)
• Operación del problema
Operación del problema (Propiedad) n2 abc n n3 ;
A) 12 C) 14 E) 16
valor de: a + b + n.
Por Desigualdad aparente: 7n5 n6
aooa (6) bc1
Por descomposición polinómica y reduciendo: 217a bc1 Conclusiones Por terminación, se observa que a = 3 217 × 3 = 651 = bc1 a = 3, b = 6, c = 5 a + b + c = 14
*
Ahora: a2b(7) a51(6)
• a x 72 2 x 7 b a x 62 5 x 6 1 13 a b 17 1
4
a b n 1 4 6 11
Respuesta: A) 11
Respuesta: C) 14 40
ARITMÉTICA
TEMA 14
ARITMÉTICA
TÉCNICAS DE CONTEO DESARROLLO DEL TEMA En este capítulo desarrollaremos métodos para realizar un conteo rápido y poder conocer de cuántas maneras puede ocurrir un acontecimiento; por ejemplo. • ¿Cuántas jugadas se pueden hacer en la TINKA? • ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 2 personas en una carpeta de 4 asientos?
I.
Rpta.: ________________
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO
B. Principio de Multiplicación
Son dos principios básicos para el conteo:
A. Principio de Adición Si un determinado suceso A ocurre de “m” maneras diferentes y un suceso B ocurre de “n” maneras diferentes entonces, el suceso “A o B” (en sentido excluyente) se podrá realizar de “m + n” maneras diferentes. Aplicación 1: En un centro comercial se desea comprar una camisa, esta prenda se vende en: • 13 tiendas del 1.er nivel • 15 tiendas del 2.o nivel ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir una tienda para hacer esta compra? Rpta.: ________________ Aplicación 2: Mario para viajar de Lima a Chiclayo dispone de 11 líneas de transporte terrestre y 5 de transporte aéreo. ¿De cuántas maneras diferentes puede elegir el medio de transporte? Rpta.: ________________ Aplicación 3: De cuántas maneras diferentes puede ir de A a B sin retroceder ni repartir ningún tramo. UNI SEMESTRAL 2013 - III
41
Si un determinado suceso A ocurre de “m” maneras diferentes y por cada uno de estos el suceso B ocurre de “n” maneras diferentes, entonces los sucesos “A” seguido de “B”, o “A” y “B” simultáneamente ocurre de “m x n” maneras diferentes. Aplicación 4: Se desea enviar una pareja mixta de nadadores a las olimpiadas y se dispone de 8 varones y 15 damas. ¿Cuántas parejas diferentes se podrán formar? Rpta.: ________________ Aplicación 5: Se tienen 3 cajas vacías, de cuántas maneras diferentes se pueden distribuir 4 conejos en dichas cajas. Rpta.: ________________ Aplicación 6: ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar 3 dados? Rpta.: ________________ Aplicación 7: De 10 alumnos, se desea formar un comité integrado por un Presidente, Secretario y Tesorero. ¿Cuántos comités se pueden formar? Rpta.: ________________ ARITMÉTICA
TEMA 15
TÉCNICAS DE CONTEO
Exigimos más!
II. FACTORIAL DE UN NÚMERO
Observación r n P(n, n) Pn n!
Sea n se define como factorial de "n" denotado por n! al producto de los enteros consecutivos del 1 al n. Ejemplo: 0! = 1 (por convención) 1! = 1 2! = 1 x 2 3! = 1 x 2 x 3 4! = 1 x 2 x 3 x 4 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5
Aplicación 8: De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 chicas en una banca para 7, si dos de ellas quieren sentarse en los extremos. Aplicación 9: Se tiene un aula de 25 alumnos 5 de talla alta, 10 de talla intermedia y 10 de baja estatura. De cuántas maneras se les podrá ordenar para formar una batallón de desfile.
También: •
•
5! 1 2 3 4 5 4!
8 ! 7 ! 8
b. Permutación con elementos repetidos Permutar las letras: A, A, B, B, B. Luego si se tiene "n" elementos donde hay r1 : elementos de una primera clase. r2 : elementos de una segunda clase.
8 ! 5! 6 7 8
5! 4 ! 5 5! 3! 4 5
Técnicas de conteo Permutación a. Permutación lineal con elementos diferentes Son todos los ordenamientos que se pueden formar con parte o con todos los elementos que conforman un conjunto.
r3 :
elementos de una k-ésima clase.
El número de permutaciones diferentes que se pueden formar con ellos será:
Ejemplo: Dado el conjunto: A a,b, c, d, e de cuántas maneras se podrán ordenar sus elementos si los tomamos de: a. 2 en 2 b. 3 en 3 c. ordenamos todos
p(n, r1 , r2 ,....r4 )
n! r1 ! r2 ! r3 ! ... rk !
Donde: r1 r2 r3 ... rk n Aplicación 10: Cuántas palabras de 10 letras con sentido o no se pueden formar con las letras de la palabra ARITMÉTICA.
Resolución: a)
c. Permutación circular Es un arreglo u ordenamiento de elementos diferentes alrededor de un objeto en estos ordenamientos no hay primer, ni último elemento, por hallarse todos en un ciclo cerrado imaginario. Ejemplo: De cuántas maneras se pueden or-denar 4 elementos alrededor de un objeto.
5 4 20; pero 5
4
5 4 3! 5! 20 3! (5 2)!
b)
5 4 3 6 0 5
4
3
5 4 3 2! 5! 60 2! (5 3)!
c) 5
4
3
2
1
5 4 3 2 1 5! 120 Luego: se tienen "n" elementos diferentes al ordenarlos en "r" en "r" el número de maneras está dado por: P(n, r)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
A
B
A
B
A
C
D
C
C
D
D
B
A
C
A
D
A
D
B
D
C
B
B
C
La idea es mantener fijo un elemento y permutar los restantes. Luego dados "n" elementos, al ordenarlos alrededor de un objeto se podrá hacerlo de:
n! 0 r n (n r)!
P0 (n) (n 1)!
42
ARITMÉTICA
TEMA 15
TÉCNICAS DE CONTEO
Exigimos más! Aplicación 12: Se sientan 8 personas alrededor de una mesa, de cuántas maneras se podrá ordenar.
c nr
Rpta.: ________________
n! 0 r n r !(n r) !
Observaciones:
Aplicación 13: 5 parejas de novios juegan a la "ronda". ¿Cuántas rondas podrán formar si cada pareja no se separa?
•
c n0 1
•
c nn 1
Rpta.: ________________
•
c r c n r
III. COMBINACIONES
n
n
Aplicación 13:
Son diferentes "grupos" o subconjunto que se pueden formar con parte o todos los elementos de un conjunto. Ejemplo: Cuántos subconjuntos se pueden formar con los elementos de:
Cuántas rectas se pueden trazar con 10 puntos no colineales. Rpta.: ________________ Aplicación 14: Con 8 varones y 3 damas cuántos comités de 4 personas se pueden formar de modo que:
A a,b, c, d
A. Binarios
A . Hayan 2 varones y 2 damas. B. Siempre esté Tatiana en el grupo.
a, b , a, c , a, d , b, c , b, d , c, d
C. Haya al menos 2 mujeres. D. Haya a los más tres varones.
B. Ternarios
Rpta.: ________________
a, b, c ,a,b, d , a, c, d , b, cd Conclusión: Luego el número de combinaciones (o subconjuntos) que se pueden formar con "n" elementos diferentes tomados de "r" en "r", se calcula:
Permutaciones Ordenamientos Combinaciones Agrupaciones
problemas resueltos Problema 1 El dueño de un concecionario automotriz desea vender todos los autos que le quedan, los cuales son de diferentes modelos, pero en el salón de exhibición tendrán sólo 3 autos, el dueño calcula que existen 210 maneras diferentes de ordenar la exhibición, ¿cuántos autos le quedan por vender? UNI 2012-I A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Resolución: Ubicación de incógnita Hallar el número de autos que quedan por vender. UNI SEMESTRAL 2013 - III
Análisis de los datos o gráficos La cantidad de ordenamientos de "n" autos tomados de 3 en 3 es 210. Operación del problema P3n
n! 210 (n 3)!
n (n 1)(n 2) 210 7
6
5
Respuesta: D) 7 Problema 2 ¿De cuántas formas puede ordenarse los elementos del conjunto {V; S; #; *}? UNI 2008 - II A) 6 B) 8 C) 16 D) 24 E) 32
n 7 autos
Resolución:
Método práctico
....... (n autos)
Salón de exhibición n x (n-1) x (n-2) = 210 n=7
43
Ubicación de incógnita Nos piden el número de ordenaciones Análisis de los datos o gráficos Dado que hay 4 elementos y tácitamente nos indica ordenarlos todos. ARITMÉTICA
TEMA 15
TÉCNICAS DE CONTEO
Exigimos más! Operación del problema Cantidad de = P 4 = 4! =24 4 ordenaciones
Respuesta: D) 24
Problema 3 Determine el número de trayectorias que permiten ir de A hacia B sólo con desplazamientos hacia arriba o a la derecha.
D) 252 E) 260
Método práctico:
Observación: Para ir de A a B hay tres formas:
En el problema:
En el problema: m = 5 y n = 5 Número de trayectorías
A) 196 B) 204 C) 225
UNI SEMESTRAL 2013 - III
5 5 ! 5! 5!
10 9 8 7 6 5! 10! 252 5!5! 5! 120
Por lo tanto, el número de trayectoria de A hacia B es 252.
44
Respuesta: D) 252
ARITMÉTICA
TEMA 15
ARITMÉTICA
SUCESIONES NUMÉRICAS DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN Una sucesión numérica es una lista de números que tienen un primer número, un segundo número, un tercer número, y así sucesivamente, llamados términos de la sucesión. Cada término tiene un orden asignado, es decir, que a cada uno le corresponde un número ordinal (n). Sea t 1 , t 2, t 3 ,...... Los términos de una sucesión, entonces a cada uno le corresponde un valor “n”, según su posición. Así: t1 n 1 primero
segundo tercero
t2 n 2 t3 n 3
Observación: El término serie, en matemática, se refiere a la suma indicada de los términos de una sucesión numérica.
B. Algunas Sucesiones Númericas Importantes 1. Sucesión Polinomial Es aquella sucesión ordenada en la que cada término a partir del segundo es igual al anterior au ment ad o en u na v ariabl e o co ns tant e denominada razón. Si la razón es constante se llama progresión. Toda sucesión aritmética o poli nomial t iene por ley de formació n un polinomio, pudiendo ser lineal, cuadrática, cúbico, etc. Sea la Sucesión polinomial:
En matemática superior se define la sucesión de números (reales) como una función analítica cuyo dominio es los números naturales y su rango los números reales. En notación matemática. f;
A. Ley de Formación Es una expresión matemática, que relaciona la posición o lugar de cada término y el término en sí, de una sucesión, con la cual se puede obtener cualquiera de los términos de la sucesión. La posición se expresa mediante el número ordinal n. La ley de formación también es llamada; fórmula de recurrencia, término general o término enésimo, y se representa como tn. Ejemplo: Si tn=n2+1 Entonces: n 1 t1 12 1 2 n 3 t 3 32 1 10 n 4 t 4 42 1 17
La sucesión será: 2,5,10,17,... UNI SEMESTRAL 2013 - III
n 1
r1 C1
n1
k1C2
n 1
... aCp 1
Sabiendo a
Que: Cb
a!
a b !b !
2. Sucesión Geométrica Es una sucesión ordenada en la cual el primer término y la razón son diferentes de cero, y cada término a partir del segundo se obtiene multiplicando al anterior por una razón variable o constan te. Si la razón es co nstante se denomina progresión geométrica.
n 2 t2 22 1 5
n 1
tn t1 C0
47
ARITMÉTICA
TEMA 3
SUCESIONES NUMÉRICAS
Exigimos más! Sea la sucesión geométrica.
5. Sucesión de Tribonacci o Ferenberg Es aquella en la que cada término a partir del cuarto es la suma de los tres anteriores. 1, 1, 2, 4, 7, 13, ....
Si q1 q2 q3 .... q (Cte. Razón Geométrica)
6. Sucesión Armónica Es quella cuyos recíprocos (inversos) de sus términos forman una progresión aritmética. Ejemplo:
tn t1 q n 1
3. Sucesión de Fibonacci Es aquella en la que cada término a partir del tercero es la suma de los dos anteriores. 1, 1, 2, 3, 5, 8,.......... n n 1 5 1 1 5 tn 5 2 2
n
2 ; 2 ; 2 ; 2 ;... 3 7 11 15
1 1 1 1 ; ; ; ;... 3 5 7 9
7. Sucesión de Números Primos Formada por los números naturales que poseen solo 2 divisores. 2, 3, 5, 7, 11; 13; 17;.........
4. Sucesión de Lucas Es la sucesión en la forma más general de la sucesión de fibonacci. 1 5 1 5 tn 2 2
Reto al Ingénio ¿Cuál es el término que continua, en la sucesión? 8; 27; 125; 343; 1331; ....
n
problemas resueltos Problema 1 Considerando la sucesión: –1; 0; 1; 0; 1; 2; 3; 6; ... el siguiente término es: UNI 2012 - II A) 8 B) 10 C) 11 D) 12 E) 14
Resolución: Piden x. Se tiene la sucesión:
Problema 2 Indique el número que continúa en la siguiente sucesión: 75; 132; 363; 726; ... UNI 2012 - I A) 1180 B) 1254 C) 1353 D) 1452 E) 1551
Resolución: Nos piden el número que continúa. Analizamos la sucesión:
Problema 3 Determine el número que continúa en la sucesión mostrada. 5, 13, 25, 41, 61, ... UNI 2011 - II A) 77 B) 85 C) 92 D) 96 E) 109
Resolución: En la sucesión se observa lo siguiente:
x = 2 + 3 + 6 = 11
Respuesta: C) 11
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Respuesta: B) 85
Respuesta: C) 1353
48
ARITMÉTICA
TEMA 16
ARITMÉTICA
CUATRO OPERACIONES I DESARROLLO DEL TEMA I.
ADICIÓN
•
Es una operación matemática, que consiste en reunir dos o más cantidades (sumandos) en una sola cantidad (suma).
Suma de los "n" primeros cubos perfectos. S = 13 + 23 + 33 + ... + n3 n(n + 1) S= 2
a +b +c =S
•
Suma de: S = 1 2 + 2 3 + 3 4 + ... + n(n +1)
sumandos suma
S= •
Observación: Se recomienda colocar los sumandos en forma vertical. Base 10 1
1
3 6 28 +
9 4
5 48
5 2 6
4 3 68
n 1 1 S a a1
II. SUSTRACCIÓN Operación que consiste en que dado dos cantidades (minuendo y sustraendo) hallar una tercera cantidad (diferencia) tal que:
11 8 31
12 10 21
M– S=D
Sumas notables •
•
Observación: Se recomienda restar en forma vertical.
Suma de los "n" primeros enteros positivos. S = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n S=
n(n + 1) 2
Suma de los "n" primeros pares. S = 2 + 4 + 6 + ... + (2n) S = n(n + 1)
•
Suma de los "n" primeros impares. S = 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1)
Base 8
se presta 10
se presta 8
8 2 5 –
6 1 48 –
1 6 2
1 5 18
6 6 3
4 4 38
1. En toda resta se cumple: M + S + D = 2M 2. Para un numeral de tres cifras:
Suma de los "n" primeros cuadrados perfectos. S = 12 + 22 + 32 + ... + n2 S=
Base 10
Propiedades
S = n2 •
n(n + 1)(n + 2) 3
Suma de: S a0 a1 a2 ... an
Base 8
4 3 2 +
2
n(n + 1)(2n + 1) 6
UNI SEMESTRAL 2013 - III
49
ARITMÉTICA
TEMA 17
CUATRO OPERACIONES I
Exigimos más! Ejemplos: •
•
8 1 4 –
7 8 1 –
4 1 8
1 8 7
3 9 6
5 9 4
CA( N ) = 10x – N
En general:
x cifras
Observación: En forma práctica se puede calcular restando de 10 a la última cifra y las restantes restamos de 9.
III. COMPLEMENTO ARITMÉTICO Es lo que le falta a una cantidad para ser unidad del orden inmediato superior.
3 cifras 9–4 9–8 10–3
Ejemplos:
CA( 4 8 3 ) = 5
1 cifra
•
1
7
9 10
CA( 7 ) = 101 – 7 = 3
CA(8 6 3 ) 137 En general
2 cifras
•
Si C 0 entonces
CA( 38 ) = 10 2 – 38 = 62
CA( abc ) = (9–a)(9–b)(10– c)
•
CA( 681 ) =
10 3
– 681 = 319
problemas resueltos Problema 1 Si (a + b + c)2 = 2 025. Hallar el valor de:
Nivel intermedio
A) 8 C) 9 E) 10
S = abc + bca + cba Nivel fácil
A) 4895 C) 4695
B) 4905 D) 4995
B) 7 D) 5
Nivel intermedio
Resolución: Debemos hallar los números de la forma abc tal que:
E) 4 05
a b c +
Resolución: Se tiene: (a + b + c)2 = 2 025 Entonces: a + b + c = 45 Escribiendo los numerales en forma vertical y sumando ordenadamente. 4 4
a b c +
x y y x
Si el resultado tiene 4 cifras se deduce que x = 1. En las unidades tenemos: a + c = 11 En las decenas: 2b + 1 = ...y < 10 Entonces: y=1 b=0 De la condición anterior tanteamos:
Problema 2 ¿Cuántos números de 3 cifras existen tales que sumado con el número que resulta de invertir el orden de sus cifras se obtiene un número capicúa de 4 cifras? UNI SEMESTRAL 2013 - III
{
Respuesta: D) 4 995
a + c = 11
{
S = 4 9 9 5
A) 935 000 B) 444 000 C) 143 000 D) 480 000 E) 495 000
c b a
b c a a c b
Problema 3 Calcula la suma de todos los números capicúa de 4 cifras.
2
9
3
8
9
2
Los números son: 209;308; 407;506;605;704;803;902
Resolución: Los números son: 1001; 1111; 1221; ....; 9779; 9889; 9999 a pesar de no formar una progresión aritmética, podemos observar que: 1001+9999=1111+9889=1221+9779=... Las sumas de los términos de la sucesión que son equidistantes de los extremos, son iguales. Entonces como existen: a b b a =90 números
9.10
Se forman 45 parejas, y la suma de todas ellas es: 45(1001 + 9999) = 495 000
8 números
Respuesta: A) 8 números 50
Respuesta: E) 495 000 ARITMÉTICA
TEMA 17
ARITMÉTICA
CUATRO OPERACIONES II DESARROLLO DEL TEMA I.
MULTIPLICACIÓN
II. DIVISIÓN Es un caso particular de la división en la que el dividendo, divisor y cociente son números enteros; en este caso se recurre a un cuarto términos llamado residuo.
Es una operación binaria, donde dados dos elementos M y m llamados multiplicando y multiplicador se le hace corresponder un tercer elemento P llamado producto. Origen:
D d r q
M M M ... MP
r: residuo
m veces
Puede ser:
Mm = P
A. Exacta (residuo = 0) En general:
Donde:
D dD= d q 0 q
M = multiplicando factor N = multiplicador
B. Inexacta (residuo > 0)
P : Producto
1. Por defecto En general
Notas: 1. Si se multiplica:
D d D =d q+r r q
2 4 3x 6 5 1 2 1 5 1er producto parcial
1458
2do producto parcial
15795
Producto Total
Donde: 0 < r < d q : cociente por defecto r : residuo por defecto 2. Por exceso En general:
2. Si: abc 7 = .......... 6 c = 8
D d D = d qe – re re qe
3
3. Si: abc 4 = .......... 2 c =
8
(# impar) (.... 5) = ..... 5 (# par) (... 5) = .......0
Propiedades de la división inexacta 1. qe = q + 1 2. rmax = d – 1 3. rmin = 1 4. r + re = d
5. Se cumple:
UNI SEMESTRAL 2013 - III
d +
Donde: 0 < re < d qe : cociente por exceso re : residuo por exceso
4. Se cumple:
n(n + 1) =
d +
0 2 6
49
ARITMÉTICA
TEMA 18
CUATRO OPERACIONES II
Exigimos más!
problemas resueltos Problema 1 Si a y b son dígitos tales que: (a + b)2 = 144 Hallar: ab + ba. A) 100 B) 101 C) 132 D) 72 E) 76
Resolución a + b = 12. Entonces ab + ba = 132 Respuesta: C) 132
¿Cuál será dicho producto si la diferencia de los factores es 20? A) 4800 B) 3500 C) 2400 D) 1500 E) 6300
Resolución
Problema 3 La suma de dos números es 323. Al dividir el mayor de los números por el otro, se tiene 16 de cociente y residuo máximo. El número mayor es: A) 302 B) 234 C) 305 D) 304 E) 243
a.b P
a + 10 b + 10 = P + 1100 a + b = 100
Resolución a + b = 323 a = 16b + b – 1
De : a – b = 20
a = 17b – 1
Entonces : a = 60
entonces 18b = 324
b = 40
Problema 2 Si se aumenta 10 a los dos factores de un producto éste quedará aumentado en 1100.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
b = 18
P = 240
a = 305
Respuesta: C) 2400
50
Respuesta: C) 305
ARITMÉTICA
TEMA 18
ARITMÉTICA
DIVISIBILIDAD I DESARROLLO DEL TEMA I.
DIVISIBILIDAD
II. MULTIPLICIDAD A. Definición
A. Definición Un número entero A es divisible entre otro número entero positivo B si y solo si la división de A entre B es exacta. Así:
Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B si y solo si A puede expresarse como el producto de B por otro número entero. Así:
Ejemplos: Ejemplos: • ¿Es 42 divisible entre 6? Sí, porque: 42 0 •
0
6
•
•
7
¿Es –36 múltiplo de 9? Sí, porque: –36 = 9 x (-4)
• •
4
Nota : Cero es múltiplo de cualquier número entero positivo.
•
¿Es 40 divisible entre –5?
•
¿Qué números son los divisores de –30? Son: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15 y 30
•
¿Qué números son múltiplos de 9? 9;18;27;... o M 9 9k 0 9; 18; 27;...
Nota : El1 es divisor de todo número entero UNI SEMESTRAL 2013 - III
¿Qué números son múltiplos de 4? 4; 8;12;... o N 4 4k 0 4; 8; 12;...
No, porque: 5 ¿Qué números son los divisores de 12? Son: 1; 2; 3; 4; 6 y 12
¿Es 40 múltiplo de –5? No, porque: 5
8 No es exacta 3
•
¿Es 30 múltiplo de 13? No, porque: 30 13k; k
8
¿Es 30 divisible entre 8? No, porque: 30
¿Es 40 múltiplo de 8? Sí, porque: 40 = 8 x (5)
6
¿Es –32 divisible entre 8? Sí, porque: 32
•
•
51
ARITMÉTICA
TEMA 19
DIVISIBILIDAD I
Exigimos más! B. Notación de número que es múltiplo de algún módulo
Ejemplos: 20
Ejemplos:
45 80
o
5
O
•
15
o
5
o
o
5
5
o
o
Si N es múltiplo de 6: N 6 2. Sustracción
N 6k ; k
o
n n n
O
•
Si A es múltiplo de 13: A 13 A 13 k ; k
Ejemplos: 42
III. NÚMEROS NO DIVISIBLES POR CIERTOS MÓDULOS
14 28
o
o
7
Cuando un número no es múltiplo del módulo con el que requerimos trabajar.
o
7
7
3. Multiplicación
Ejemplo:
o
o
an n
Ejemplos:
6x 20 120 o
o
6x 5 5
De los cuales planteamos que: 52 = 9(5) + 7 52 = 9(6) – 2
4. Cuando varios factores se expresan con O sea:
respecto al mismo módulo o
o
o
o
(n a) (n b) (n c) n a b c
En general: Ejemplos: o
o
o
o
(7 2)(7 5) 7 2 5 7 3 o
o
o
o
(13 4)(13 7) 13 4 7 13 2 o
o
o
o
o
(8 6)(8 2)(8 3) 8 6 2 3 8 4
Ejemplos:
Entonces: o
o
o
o
o
o
o
o
o
(7 2)3 7 23 7 1 (7 3)2 7 32 7 2 (9 5)2 9 52 9 7
Tener en cuenta los siguientes casos:
IV. PRINCIPIOS BÁSICOS DE DIVISIBILIDAD
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
(7 2)2 7 22 7 4
A. Principio de las operaciones
(7 2)3 7 23 7 1
1. Adición
(7 2) 4 7 24 7 2 o
o
o
o
(7 2)5 7 25 7 4
n n n n
UNI SEMESTRAL 2013 - III
52
ARITMÉTICA
TEMA 19
DIVISIBILIDAD I
Exigimos más! En general:
Además: o o o 6 1 6 5 Bo o 30 5 10 5 10 5 o 14 10 C o 12 8
n ; a ; k
B. Otros principios o B 2 o B 42 B 3 o A 7
o A 5 A 35 o ; A 7 o
o
o o 14 4 84 4 o 12 4
También:
En general se observa que:
2. En otro sentido, teniendo cierta información con respecto a un número (por ejemplo): o A 5 o A 9 o B 4 o B 6 o B 15
o
A MCM(5;9) o
C. Principio de Arquímedes
A 45
o
o
Si: A B n además A y n no poseen divisores
B MCM(4;6;15)
o
o
comunes, excepto la unidad entonces se cumple B n.
B 60
Donde A,B y n .
En general:
Ejemplos:
Si:
Na,Nb y Nc
o
o
• Si: 5a 9
N MCM(a; b; c)
• Si: 9x 10 o
o
a 9
3. Cuando un número deja siempre el mismo residuo al dividirse entre varios módulos:
x 10 o
o
• Si: 6m 55
• Si: 26a 11 o
o
o o N8 2 N 24 2 o N 12 2
a 11
m 55
También podrían presentarse casos como el siguiente:
En general:
o
5a 13 10 , el cuál se puede despejar de la siguiente
Si: N a r , N b r y N c r
forma:
N MCM(a; b; c) r
o
o
5a 13 10 5a 10 13 o
Ejemplos:
5(a 2) 13
o 12 3 N 60 3 o 15 3
o
Lo anterior puede presentarse con requerimiento de un paso previo:
o o 5 4 A 35 4 7o 4
UNI SEMESTRAL 2013 - III
o
a 2 13 a 13 2
o
o
• Si: 4m 15 7 4m 15 8 o
m 15 2 53
ARITMÉTICA
TEMA 16
DIVISIBILIDAD I
Exigimos más! o
•
•
Si: 6c 10 4 o
o
3c 5 2 3c 5 3 o
c 5 1
Así: o • Si: 6m 8
o
• Si: 22x 55 o
o
3m 4
2x 5
o
o
m4
x5
problemas resueltos Problema 1 En una reunión de profesionales hay 131 personas, la mayor parte son varones. Si la octava parte de los varones son ingenieros y la séptima parte de las mujeres son economistas, ¿cuántos varones no son ingenieros? UNI 2008-I Nivel fácil A) 12 B) 21 C) 30 D) 84 E) 96
Resolución: Piden, ¿cuántos varones no son ingenieros? Sea a la cantidad de ingenieros varones. Sea B) la cantidad de mujeres economistas. Número de varones = 8a Número de mujeres =7b 131 = 8a + 7b ° 7+5
° 7+a
C) n 7t 2 / t 7s 1 / s D) n 7r 3 / r 7r 4 / r E) n 7t 6 / t 7r 3 / r
Resolución: Debemos encontrar la forma que debe tener "n" para que: o
E(n) 7 Desarrollando E(n): E(n) n2 (n2 2n 1) (n2 4n 4)
(n2 6n 9) ... (n2 18n 81) Agrupando: o
E(n) 10n2 90n 285 7 o
2n2 18 n 57 7
o71
o74
a : 5; 12
° 7
Resolución: Sea: N # cocos en total • Del enunciado se puede deducir:
o
2n2 4n 7 6
1°
n2 2n 7 3
• Dado que piden: 8a – a = 7a = 84
Respuesta: D) 84
(n 1)2 7 4
E(n) n2 (n 1)2 (n 2)2 ... (n 9)2,n o
Entonces podemos decir que E(n) 7 si:
UNI 2008-II Nivel intermedio
o
o
n 7 3
n 7 6
n 7 3
n{7t 6 /t}
{7r 3/r }
o
265 k 265 1024
n 1 7 2
o
o
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Despejando:
o
A) No existe n / E(n) 7 B) n 7r 5 / r 7t 4 / t
5°
o
o
n 7 1
4°
15625k 11529 1024
o
n 1 7 2
3°
N 15625k 11529 1024
o
En conclusión:
Problema 2 Consideremos la expresión:
2°
o 4 4 4 4 4 (N 1)x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 5 5k 5 5 5 5 5
o
Además 8a > 7b a =12
Problema 3 Cinco amigos recogieron en una isla un cierto número de cocos y acordaron repartirlos al día siguiente. Durante la noche uno de ellos decidió separar su parte y para ello dividió el total en cinco partes y dio el coco que sobraba a un mono y se fue a dormir. Enseguida, otro de los amigos hizo lo mismo, dividiendo lo que habia quedado por 5, dando el coco que sobraba a un mono, uno tras otro hicieron lo mismo, dando a un mono el coco que sobraba. En la mañana se repartieron los cocos sobrantes quedando un coco. ¿Cuál es el número mínimo de cocos que se recogieron? UNI 2006-II Nivel difícil A) 14 521 B) 14 581 C) 14621 D) 15 581 E) 15 621
Respuesta:
o
k 1024 1 Como piden el "N" mín, será para: k = 1024 – 1 = 1023 15625 x 1023 11529 N 15621 1024
Respuesta: E) 15 621
E) n {7t - 6 / t N} {7r - 3 / r N} 54
ARITMÉTICA
TEMA 19
ARITMÉTICA
DIVISIBILIDAD II DESARROLLO DEL TEMA
I.
RESTOS POTENCIALES
II. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Se llama restos potenciales de un entero "E" (diferente de cero) respecto a un módulo "m", a los residuos que dejan la sucesión de potencias enteras y positivas de E al ser divididas entre el módulo "m". Así si tenemos las potencias: E1; E2; E3; E4; ... Entonces: o
o
o
o
E1 m r1;E2 m r2;E3 m;E4 m r4;...
Donde: r1; r2; r3; r4; ........, son los restos potenciales de E respecto al módulo m.
Sea el numeral: N ......edcba(B) Entonces: N ....... e x B 4 d x B 3 c x B 2 b x B a
Gaussiano (g) Se llama gaussiano de un entero E respecto a un módulo m a la cantidad de restos potenciales diferentes entre sí y diferentes de cero, que se repiten ordenada y periódicamente. Ejemplo: Calcular los restos 161 = m9 + 7 162 = m9 + 4 163 = m9 + 1
Son un conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral, nos permite determinar su multiplicidad respecto a cierto módulo, de tal manera que el residuo se puede calcular en forma directa y de modo más sencillo, con algunas excepciones, como veremos. Cada sistema de numeración tiene sus propios criterios de divisibilidad y para conocerlos nos valemos de los restos potenciales.
Si queremos llegar a la forma general de los criterios de divisibilidad se tiene que determinar la multiplicidad, según el módulo "m", de: o
o
o
o
B1 m r1;B 2 m r2;B 3 m r3;B 4 m r4 ;.....
Reemplazando: potenciales de 16 respecto al módulo 9. 164 = m9 + 7 167 = m9 + 7 165 = m9 + 4 168 = m9 + 4 6 16 = m9 + 1 169 = m9 + 1
o
o
o
o
N .... e x (m r4) d x (m r3) c x (m r2) b x (m r1) a
Finalmente: o
N m ..... e x r4 d x r3 c x r2 b x r1 a
Los restos potenciales son: 7; 4; 1 En conclusión: "Las cifras del numeral, de derecha a izquierda, se multiplican por los restos potencial de la base en que está el numeral, respecto al módulo investigado, luego se reduce en operaciones de adición y/o sustracción hasta llegar a la forma general de los criterios de divisibilidad".
El gaussiano es: g = 3 16m3 m9 1 Generalizando 16m31 m9 7 m32 m9 4 16
Aplicaciones: o
o
o
o
o
o
•
1628 9 7;porque : 28 3 1
•
1642 9 1; porque : 42 3
•
Ejemplo: Determinar el criterio de divisibilidad de un numeral expresado en base 7 respecto al módulo 5. Resolución Sea el numeral: N ......fedcba(7)
1632 9 4;porque : 32 3 2
UNI SEMESTRAL 2013 - III
55
ARITMÉTICA
TEMA 20
DIVISIBILIDAD II
Exigimos más! Donde:
Entonces: 5
4
3
2
o
1
N ..... f x 7 e x 7 d x 7 c x 7 b x 7 a
o
1 7 7 2 Pero 73 4 7 7 5
52
o
Luego:
o
5 4 5 1 (exceso) o
o
c x (5 1) b x (5 2) a
o o
o
N .... f x (5 2) e x (5 1) d x (5 2)
o
N 5 (..... 2 f 1e 2 d 1 c 2 b 1 a)
o
5 3 5 2 (exceso)
E
o
5 1
o o E 5 N 5 Por lo tanto: o o E 5 r N 5 r
o
52
UNI SEMESTRAL 2013 - III
56
ARITMÉTICA
TEMA 20
DIVISIBILIDAD II
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1
o
Aplicando su criterio:
o
9 4a 9 2
El numeral de la forma:
o
o
o
cd ab 99 ... (1)
o
4a 9 2 9 2 18 9 20
o
aaa...a 9 2
a5
40 cifras
Como:
Hallar "a".
cd ab 37
Respuesta: A) 5
UNI Nivel fácil A) 5
B) 8
C) 7
Reemplazando en (1): Problema 2 o
Sea el numeral abcd 99 y cd ab 37, calcular:
D) 6
E) 10
a + b + c+ d
UNI Resolución:
Nivel intermedio
o
aaa...a 9 2
Aplicando el criterio del 9:
A) 15
B) 18
C) 20
D) 20
E) 13
a a a ... a 9 2 40 cifras
o
40a 9 2 o
(9 4)a 9 2 UNI SEMESTRAL 2013 - III
2ab 37 99 2ab 62 ab 31 a 3 b 1
cd 31 37
o
o
o 99 ab 37 ab 99 198 (No cumple)
cd 68
Resolución:
c=6 d=8
a + b + c + d = 18
En el numeral: o
Respuesta: B) 18
abcd 99 57
ARITMÉTICA
TEMA 20
DIVISIBILIDAD II
Exigimos más! Problema 3
Resolución:
Si se cumple que:
Aplicando el criterio del 11 en: o
o
o
a23b 11 b23a 9
o
a 2 3 b 11 a 2 3 b 11
Calcule b.a
o
UNI Nivel difícil
o 4 (No cumple) b a 9 5 13
b + a = 13 b-a=1
a b 11 1 b–a=1
... (1)
2b = 14
... (1) b=7
A) 45 B) 48
a=6
Aplicando el criterio del 9 en:
C) 50 D) 42 E) 55
UNI SEMESTRAL 2013 - III
o
b23a 9
b.a = (7)(6) = 42
o
Respuesta: D) 42
b 2 3 a 9
58
ARITMÉTICA
TEMA 20
ARITMÉTICA
NÚMEROS PRIMOS DESARROLLO DEL TEMA OBJETIVOS •
Reconocer los números primos y compuestos.
•
Descomponer canónicamente un número para realizar un estudio de sus divisores.
•
Aplicar el teorema de Euler en la resolución de problemas concretos.
I.
Luego los Z+ son clasificados en dos conjuntos de números: • Simples: {1, 2, 3, 5, 7, 11, ...} • Compuestos: {4, 6, 8, 9, 10, 12, ...} En general:
A. Números simples Son aquellos números que tienen a lo más dos divisores.
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS
1. La unidad Es el único Z+ que tiene un solo divisor.
Dado el conjunto numérico: Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... }
2. Primos absolutos Son aquellos números que poseen exactamente dos divisores, usualmente se dice "número primo". {2, 3, 5, 7, 11, ... }
Nota:
B. Números compuestos Son aquellos números que tienen más de dos divisores: {4, 6, 8, 9, 10, 12, ... } Todo número compuesto tiene por lo menos un divisor primo. En esta primera parte vamos a realizar un estudio amplio sobre el conjunto de los números primos: {2, 3, 5, 7, 11, ... } Los cuales presentan las siguientes propiedades: I. La sucesión de los números primos es infinita y no existe fórmula alguna para determinar todos los números primos. n Fermat supuso que el número ( 22 1) es primo; donde "n" es un entero positivo.
Se observa que: –
1 tiene un solo divisor.
–
2, 3, 5, 7, 11 ... tienen solo 2 divisores.
–
4, 6, 8, 9, 10, 12 ... tienen más de dos divisores.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
59
ARITMÉTICA
TEMA 21
NÚMEROS PRIMOS
Exigimos más! II. Todos los números primos, a excepción del 2 son impares.
•
III. Los únicos números consecutivos que son primos es el 2 y 3. IV. Todo número primo mayor que 2 es de la forma
Ejemplo 1: ¿163 es un número primo?
o
1.er paso:
o
(4 1) ó (4 1). Número primo
Forma
3
4-1
Se dirá que el número es compuesto si por lo menos en un caso resulta divisible.
163 12,...
2.o paso:
{2, 3, 5, 7, 11}
3.er paso:
163 2 1
o o
163 3 1
5
4+1
7
4-1
163 5 3
11
4-1
163 7 2
o o
.....
.....
o
163 11 9
Lo contrario no siempre se cumple: Conclusión: 163 es número primo.
o
25 es 4 1 pero no es primo. Ejemplo 2: •
¿221 es un número primo?
Todo número primo mayor que 3 es de la forma o
o
1.er paso:
(6 1) ó (6 1).
o
Forma
2. paso:
{2, 3, 5, 7, 11, 13}
5
6-1
3.er paso:
221 2 1
7
6+1
221 3 2
11
6-1
221 5 1
13
6+1
Número primo
o o o o
.....
.....
221 7 4 o
221 11 1
Importante: •
221 14,...
o
En muchas oportunidades se presenta un número, por ejemplo 163; 221 ó 317, y se pregunta si es primo, evidentemente que contestar la pregunta nos demandaría algún tiempo, pues tendríamos que determinar si es o no divisible por algún entero, inferior al número. Para estos casos se tiene un procedimiento práctico:
221 13 = 13x17
Conclusión: 221 no es número primo.
II. CLASIFICACIÓN POR GRUPO DE NÚMEROS
Algoritmo para determinar si un número es primo
A. Números primos entre sí (PESI) Se les denomina también primos relativos o coprimos y son aquellos que tienen como único divisor común a la unidad.
1.er paso Se calcula la raíz cuadrada aproximada (por defecto) del número.
Ejemplo 1:
2.o paso
¿8; 12 y 25 son PESI?
Se indican todos los números primos menores o iguales a la raíz cuadrada aproximada. 3.er paso Se determina si el número es o no divisible entre cada uno de los números primos indicados en el paso anterior. •
Se dirá que el número es primo, si no resulta ser divisible por ninguno de los primos indicados.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
8; 12 y 25 son PESI. 60
ARITMÉTICA
TEMA 21
NÚMEROS PRIMOS
Exigimos más! Ejemplo 2: ¿9; 15 y 21 son PESI?
8; 15 y 21 no son PESI 2 a 2. Propiedades I. Si varios números son PESI dos a dos entonces son PESI. Los contrario no siempre ocurre. II. Dos o más números consecutivos siempre son PESI. En el caso de tener un número compuesto, por ejemplo 504 y se quisiera conocer cuántos divisores tiene o cuántos de sus divisores tienen cierta característica, es necesario tener una herramienta que nos permita responder las interrogantes y esta herramienta es el teorema fundamental de la aritmética.
9; 15 y 21 no son PESI.
B. Números primos entre sí 2 a 2 Son aquellos grupos de números que al ser tomados de 2 en 2 pares de número son PESI. Ejemplo 3: ¿8; 9 y 25 son PESI 2 a 2?
III. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar como la multiplicación indicada de sus divisores primos diferentes elevados cada uno de ellos a exponentes enteros positivos, esta representación es única y se le denomina "descomposición canónica del número". Ejemplo: Descomponer canónicamente el número 1400. Resolución: 1400 700 350 175 35 7 1
8; 9 y 25 son PESI 2 a 2. Ejemplo 4: ¿8; 15 y 21 son PESI 2 a 2?
2 1400 = 2 2 5 5 7 1
3 2 2 x5 x7 descomposición canónica (D.C.)
problemas resueltos Problema 1
UNI 1990
Hallar el valor de "n" para que el número de divisores de N = 30n sea el doble del número de divisores de M = 15 . 18n
Nivel fácil Resolución:
(n + 1)3 = 2 . 4(n + 1)2
A) 5
N = 30n = 2n . 3n . 5n
n+ 1 = 8
B) 6
CDN (n 1)(n 1)(n 1) (n 1)3
C) 7 D) 8 E) 9 UNI SEMESTRAL 2013 - III
Además, por dato del problema: CDN 2CDM
n 7
M = 14 x 18n = 2n . 32n+1 . 5 CDM (n 1)(2n 2)2 4(n 1)2
61
Respuesta: C) 7
ARITMÉTICA
TEMA 21
NÚMEROS PRIMOS
Exigimos más! Problema 2
Luego, por dato:
Calcule la raíz cuarta del producto de todos los enteros positivos menores que 2500, que tengan exactamente 5 divisores positivos. (Sugerencia: Vea cuál es la forma de los números enteros positivos que tienen exactamente 5 divisores). A) 210
B) 169
C) 225
D) 256
p4 < 2500
Nivel intermedio
Resolución: Si tienen 5 divisores positivos, son de la forma: p4. p: primo
UNI SEMESTRAL 2013 - III
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
p < 7, ...
UNI 1997 - II Nivel difícil
P 2; 3; 5; 7
Piden: 4
4
4
4
4
2 3 5 7 210
Respuesta: A) 210
E) 196
UNI 1996 - II
A) 8
Resolución: Como "r" es el menor primo absoluto de 3 cifras, r = 101. Además p; q; r están en progresión aritmética de razón "t". Luego: q = 101 – t (2 cifras) p = 101 – 2t < 10
Problema 3 Sean p, q y r enteros de 1, 2 y 3 cifras respectivamente, que son primos absolutos y están en progresión aritmética de razón t, siendo r el menor primos absoluto de 3 cifras. ¿Cuántos divisores tiene t?
62
(1 cifra)
t > 45,5 Para t = 48, q = 53 y p = 5 Finalmente t = 48 = 24 x 31 CDt = 5 . 2 = 10
Respuesta: B) 10
ARITMÉTICA
TEMA 21
ARITMÉTICA
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DESARROLLO DEL TEMA I.
TABLA DE DIVISORES
•
Los divisores son:
Ejemplo: Elaborar una tabla de los divisores de: a) 200 b) 504
simples compuestos 1; 2;3; 4; 6;8;9;12;18;24;36 ;72 primos
Resolución: 200 = 23 x 52 Divisores de 2 0
0
5 =1 Divisores 2 de 5
1
5 =5
2
2
1
2
5
1
4
2
3
propios
•
CD72 = 12
•
CDSIMPLES = 3
CDPRIMOS = 2
•
CDCOMPUESTOS = 9
CDPROP IOS = 11
3
2
4
8
10 20
40
En general: CDN (1 1)( 2 1)( 3 1)...(k 1)
2
5 = 25 25 50 100 200
Además: De aquí en adelante trabajaremos en función del número: N P1
1
P2
2
P3
3
... Pk
k
CDN CD SIMPLES CD COMPUESTOS
D.C.
III. SUMA DE DIVISORES (SD(N))
II. CANTIDAD DE DIVISORES (CD(N))
Ejemplo: Calcule la suma de los divisores de: 200 y 2205.
Ejemplo 1: Halle la CD de los números: a) 200 b) 540
Resolución: • 200 = 23 x 52
Resolución (a): 200 = 23 x 52 (D.C.) CD(200) = (3 + 1)(2 + 1) = 4 . 3 = 12
24 1 53 1 x 15 x 31 465 2 1 5 1
SD (200)
Resolución (b): 540 = 22 x 33 x 5 (D.C.) CD(540) = (2 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 3 . 4 . 2 = 24
•
2205 = 32 x 5 x 72 SD(2205)
33 1 52 1 73 1 x x 4446 3 1 5 1 7 1
Ejemplo 2: En general:
Analice los divisores de 72. Resolución: 72 = 23 x 32
SD(N) (C.D.)(72) = 4.3 = 12
UNI SEMESTRAL 2013 - III
63
p11 1 1 p22 1 1 p k 1 1 x x...x k p1 1 p2 1 pk 1 ARITMÉTICA
TEMA 22
ESTUDIO DE LOS DIVISORES
Exigimos más!
IV. SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES (SID(N))
Resolución: 1, 2, 3, 4, 5, 6, (7)
Ejemplo: Calcule la SID de: 200.
1, 2, 3, 4, .... , 12, (13)
Resolución: 200 = 23 x 52 sus divisores son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100 y 200
Cada uno de los enteros positivos menores que 7, es PESI con 7. (7) 6 y (13) 12
Sumando sus inversas:
En general: Si p es primo entonces:
111 11 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 5 8 10 20 25 40 50 100 200
(p) p 1
200 100 50 40 25 20 10 8 5 4 2 1 200 SID(200)
SD(200)
En general:
200
SID(N)
Ejemplo 2: Calcule (8); (9) y (625).
465 93 200 40
Resolución:
SD(N)
8 = 23; 9 = 32 y 625 = 54
N
(23) 23 22 22 (2 1) 4 (32 ) 32 3 3(3 1) 6
V. PRODUCTO DE LOS DIVISORES (PD(N))
(54 ) 54 53 53 (5 1) 500
Ejemplo: Calcule el producto de los divisores de 72.
En general: Si p es primo y es un entero positivo entonces:
Resolución: 72 = 23 x 32 CD(72) = 4 x 3 = 12
(p ) p1(p 1) Ejemplo 3: Halle: (72) y (200).
Observemos estos divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Resolución: • 72 = 23 x 32 (23 x 32) = (23) x (32) (23 x 32) = 4 x 6 = 24 (72) = 24
Multiplicando 2 a 2 los divisores equidistantes, tenemos: 1 x 72 = 72 4 x 18 = 72 2 x 36 = 72 6 x 12 = 72 3 x 24 = 72 8 x 9 = 72 De aquí inducimos que: PD(72) = 72.72.72.72.72.72 = 726
•
12
200 = 23 x 52 (23 x 52) = 22(2 – 1) x 5(5 – 1) = 4 x 20
PD (72) 72 2 7212
(200) = 80
En general: En general: PD(N) N
CD (N)
3
...Pk
k
D.C.
Entonces:
VI. FUNCIÓN DE EULER (n)
(N) P11 1(P1 1).P22 1(P2 1)....Pk k 1(Pk 1)
Se define para todo los enteros positivos N y representa la cantidad de números enteros positivos menores que N y que son primos relativos (PESI) con N. Algunas veces la función es llamada indicador de N.
Si n > 1 entonces la suma de los enteros positivos menores o iguales a "n" y PESI con "n" es:
Ejemplo 1: Calcule: (7) y (13). UNI SEMESTRAL 2013 - III
Si: N P1 1 .P2 2 .P3
1 .n . (n) 2 64
ARITMÉTICA
TEMA 22
ESTUDIO DE LOS DIVISORES
Exigimos más! Ejemplo: Calcule la suma de los números enteros positivos menores o iguales que n y PESI con n, donde: n = 200
50 50 b 10 2 12 b = 12 5 52
En la práctica se realizan divisiones sucesivas: 200 = 23 x 52 S
(200) 80
Para 3
1 x200x80 8000 2
50
Para 5
3
50
5
16 3
VII.FUNCIÓN (N) Esta función se llama parte entera de n. Ejemplos: [13] = 13 [2; 13] = 2
10 5
5 3
2
1
a 16 5 1 22
[5; 3] = 5 [3; 8] = 3
b 10 2 12
VIII.TEOREMA DE EULER La utilidad que presta la función es básicamente para determinar los exponentes de los factores primos del factorial de un número.
Si m > 1, además a y m son PESI, entonces:
Sea el número:
Ejemplo: 1
2
3
n! p1 p2 p3 ...pk
o
a(m) m 1
8 y 25 son PESI; como (25) 20
k
o
Luego:
n n n ... 1 2 3 p1 p1 p1
o
820 25 1
IX. TEOREMA DE WILSON
Ejemplo: Calcule los exponentes 3 y 5 en 50!
o
Si p es primo entonces: (p 1)! 1 p
Resolución: 50! = 3a . 5b .... (D.C.) 50 a 3
8 (25) 25 1
Ejemplo: o
I. 5 es primo entonces: 4! + 1 = 25 = 5
50 50 2 3 16 5 1 22 a = 22 3 3
o
II. 7 es primo entonces: 6! + 1 = 721 = 7
problemas resueltos Problema 1 Se tiene un número de 3 cifras, múltiplo de 30, que tiene un total de 24 divisores. Al multiplicarlo por 10 se forma un nuevo número cuya cantidad de divisores es 15/8 de la cantidad de divisores del número original. Calcule la suma de las cifras del menor número que cumple las condiciones indicadas. UNI 2012-II A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
Resolución: Ubicación de incógnita Suma de cifras del menor número de tres cifras abc. UNI SEMESTRAL 2013 - III
Análisis de los datos o gráficos o
abc 30 ......................(1) CD(abc) 24................(2) 15 Cd(10 abc) CD(abc)..........(3) 8
Conclusiones y respuesta abc 360 a b c 9 Resumen El dato (3) no es necesario en la resolución y solo será usado para comprobar.
Operación del problema o
Respuesta: B) 9
Si abc 30 entonces al descomponer canonicamente tiene como divisores primos al 2, 3 y 5. Para que abc sea mínimo, el exponente del 2 es mayor.
65
Problema 2 El número N = 3b . 5a (con a 1) tiene tres divisores más que M = 2a . 53 . Determine la suma de las inversas de los divisores de M. ARITMÉTICA
TEMA 22
ESTUDIO DE LOS DIVISORES
Exigimos más! UNI 2011 - II B) 1,852 D) 1,248
A) 1,564 C) 2,184 E) 1,384
Reemplazo en M = 22 53
SID(M)
SD(M) M
Resolución: Ubicación de incógnita Sea SID(M) la suma de inversas de los divisores de M.
Análisis de los datos o gráficos
23 – 1 54 – 1 5 – 1 2,184 2 –1 22 53
N 51x(117)n 1 CD(N) CD(311040)...() 3
Respuesta: C) 2,184
Operación del problema Sea la descomposición canónica de N = ax . by. cz
Problema 3 Análisis de los datos o gráficos Necesitamos hallar "a" sabiendo que a 1.
Si el número N que se factoriza como N = 51 (117n), tiene la tercera parte del número de divisores de 31 1040, determine el valor de "n".
Operación del problema b
a
CDN
3
M 2 5
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
CDM 3 (a 1) 4 3
Resolución:
(a 1) (b – 3)
3
Ubicación de incógnita
1
UNI SEMESTRAL 2013 - III
C) 3
(2n 2)(n 1)2
1 (8 1)(5 1)(1 1) 3
(n 1)2 9
n 2
El valor de n es 2.
(b 1)(a 1) 3
N = 51(117)n = 32n+1 x 13n x 171 311040=28 x 35 x 51 De :
UNI 2011 - I a
N 3 5
CD(N) = (x + 1)(y + 1)(z + 1)
Calcular "n"
Respuesta: B) 2
66
ARITMÉTICA
TEMA 22
ARITMÉTICA
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) DESARROLLO DEL TEMA OBJETIVOS • • • •
En general: Para los números A, B y C.
Calcular el MCD y MCM de un conjunto de números. Deducir las propiedades que cumplen el MCD y MCM. Establecer relaciones entre el MCD y MCM. Aplicar las propiedades en la resolución de problemas concretos.
MCD(A;B;C) K Ejemplo 3 Halle el MCD de: 8, 10 y 15 Resolución: 8, 10 y 15 son PESI MCD(8; 10; 15) = 1
I. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Dado un conjunto de números se define al MCD de estas como aquel número que cumple las siguientes condiciones: I) Es un divisor común. II) Es el mayor de los divisores comunes.
Si A, B y C son PESI MCD(A;B;C) = 1 Ejemplo 4 Calcule el MCD de: 18; 6 y 30 Resolución: 18 = 6 x 3; 6 = 6 x 1 y 30 = 6 x 5 MCD(18; 6; 30) = 6
Ejemplo 1 Sean los números: 30 y 45 Hallando sus divisores: 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45 Divisores 1, 3, 5, 15 comunes MCD(30, 45) 15
Máximo
1, 2, 3, 4, 6, 12
II. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Dado un conjunto de números se define el MCM de estas como aquel que cumple lo siguiente: I) Es un múltiplo común. II) Es el menor de estos múltiplos comunes. Ejemplo 1: Sean 4 y 6 Hallemos sus múltiplos. 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ... 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...
Máximo
MCD(24; 60; 84) 12
Múltiplos comunes
Observación
12 , 24, 36, ...
Mínimo MCM(4; 6) = 12 Múltiplos de 12: 12, 24, 36, ...
Los divisores comunes de un conjunto de números son los divisores de su MCD.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
o
C= B
MCD(A; B; C) = B
Ejemplo 2 Sean los números 24; 60 y 84 Hallando sus divisores: 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 Divisores comunes
o
Si A = B
67
ARITMÉTICA
TEMA 23
MCD - MCM
Exigimos más! Cada número se puede expresar:
Ejemplo 2: Sean: 10, 15 y 30 Observemos sus múltiplos:
80 = 40 x 2 120 = 40 x 3
10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ...
200 = 40 x 5
son PESI
15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, ... 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, ... Múltiplos comunes
En general: Sean los números A, B y C. MCD(A; B; C) = k, luego:
30 , 60, 90, ... Mínimo
A=Kx p
MCM(10; 15; 30) = 30
B=Kx q C=Kx r
Múltiplos de 30: 30; 60; 90; ...
Observación: Los múltiplos comunes de un conjunto de números son los múltiplos de su MCM.
son PESI
Hallando el MCM: 80 2 1 1 1
Ejemplo 3: Halle el MCM de: 8 y 9.
200 40 5 2 x 5 3 5 5 1 1200
120 3 3 1 1
MCM(80; 120; 200) = 1200 Resolución:
Expresamos al MCM en función de cada número:
8 y 9 son PESI MCM(8; 9) = 72
1200 = 80 x 15 1200 = 120 x 10 1200 = 200 x
Si dos números A y B son PESI, entonces:
son PESI
6
MCM(A;B) = A.B En general: Sean los números A, B y C donde MCM(A; B; C) = m, luego:
Ejemplo 4: Calcule el MCM de: 4; 5 y 7
m=Ax p
MCM(4; 5; 7) = 140
m=Bx q m=Cx r
Si los números A, B y C son PESI dos a dos entonces: MCM(A; B; C) = A. B .C
son PESI
Ejemplo 2: Calcule el MCD y MCM de: 60; 96. Resolución:
III. MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DEL MCD Y MCM
60 30 15 5
A. Descomposición simultánea Ejemplo 1:
96 2 48 2 24 3 8 2 2.3 = 12
Calcule el MCD y MCM de 80; 120 y 200.
Luego:
Resolución:
MCD(60; 96) = 12
80 40 20 10 2
120 60 30 15 3
200 100 50 25 5
96 12 8 5 8 8 1 12.5.8
MCM(60; 96) = 12.5.8
2 2 x 2 5
MCM(60; 96) = MCD(60; 96).5.8 Además: 60 = 12 x 5 96 = 12 x 8 60.96 = 12.12.5.8 60 x 96 = MCD . MCM
3
2 x 5 = 40 son PESI MCD(80; 120; 200) = 40
UNI SEMESTRAL 2013 - III
60 5 1 1
68
ARITMÉTICA
TEMA 23
MCD - MCM
Exigimos más! •
En general para dos números A y B. Si MCD(A;B) = k
A=kx p B=kx q
El MCM de dichos números es el producto de sus divisores primos comunes y no comunes elevados cada uno a su mayor exponente.
PESI
B. Divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides
MCM(A;B) = m Entonces: I) m = k x p x q II) A x B = k x m
Teorema En toda división entera inexacta el MCD del dividendo y el divisor es el MCD del divisor y el residuo. Si:
Ejemplo 3 Analicemos que sucede con el MCD y MCM de los números 60; 90; 105. MCD(60; 90; 105) = 15
D
d
r
MCD(D;d) = MCD(d;r)
q
Ejemplo 1 Calcule el MCD de 156 y 120.
60 = 15 x 4 60 x 8 = 15 x 8 x 4 90 = 15 x 6 90 x 8 = 15 x 8 x 6 105 = 15 x 7 105 x 8 = 15 x 8 x 7
156
120
36 120
1 36
12
3
MCD(60 x 8; 90 x 8; 105 x 8) = 15 x 8
36
12
0
3
MCD(156;120) = MCD(120;36) MCD(120;36) = MCD(36;12) MCD(36;12) = 12
Si MCD(A; B; C) = k
MCD(156; 120) = 12
A B C K MCD(An; Bn; Cn) = kn MCD ; ; n n n n
Euclides ordenó todas estas divisiones del siguiente modo:
Donde: n es Z+ MCM(60; 90; 105) = 1260 1260 = 60 x 21 1260 x 6 = 60 x 6 x 21 1260 = 90 x 14 1260 x 6 = 90 x 6 x 14 1260 = 105 x 12 1260 x 6 = 105 x 6 x 12 MCM(60 x 6; 90 x 6; 109 x 6) = 1260 x 6
Ejemplo 2 Al calcular el MCD de A y B por las divisiones sucesivas los cocientes fueron 2; 1; 3 y 2 respectivamente. Halle los números si su MCD es 10.
Si MCM(A; B; C) = m A B C m MCM(An; Bn; Cn) = m x n MCM ; ; n n n n Donde n es Z+
En general: sean los números A y B donde A > B
A. Descomposición canónica Ejemplo Halle el MCD y MCM de los números A, B y C donde: A = 25 . 32 . 53 B = 23 . 34 . 52 . 72 C = 24. 36. 54 .11
q2 q3 q4
cocientes
B
r1
r2
r3
MCD
r1
r2
r3
0
residuos
MCD(A;B) = r3 No olvidar que las divisiones se pueden realizar por defecto o exceso.
Entonces: MCD(A;B;C) = 23 . 32 . 52 MCM(A;B;C) = 25 . 36 . 54 . 72 . 11
Ejemplo 3 Calculemos el MCD de 144 y 56. Divisiones
En general, dadas las descomposiciones canónicas de varios números: • El MCD de dichos números es el producto de sus divisores primos comunes elevados cada uno a su menor exponente. UNI SEMESTRAL 2013 - III
q1 A
69
Divisiones
por defecto
por exceso
144
144
56
56
32
2
24
3
56
32
56
24
24
1
16
3
ARITMÉTICA
TEMA 23
MCD - MCM
Exigimos más! 32
24
24
16
8 24
1 8
8
2
16
8
0
3
0
2
Sean los números: A (n 1)(n 1)(n 1)...(n 1)n na 1 a cifras
B (n 1)(n 1)(n 1)...(n 1)n nb 1
Por defecto: 144
b cifras
2
1
1
56
32 24 8
MCD
32
24
residuos
8
3 0
cocientes
C (n 1)(n 1)(n 1)...(n 1)n nc 1 c cifras
MCD(144;56) = 8 MCD(a, b,c) -1 MCD(A;B;C) = n
Por exceso: 144
3
3
2
56
24 16 8
MCD
24
16
residuos
8
2 0
Ejemplo Calcule el MCD de los números:
cocientes
A 624 1 B = 660 1 C = 628 – 1 MCD(A;B; C) 6 MCD (24 ;60;28 ) 1 6 4 1
MCD(144;56) = 8
problemas resueltos Problema 1 Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I. Si m y n son números enteros no divisibles por 3, entonces la suma o la diferencia de ellos es un múltiplo de tres. II. Si m y n son múltiplos de 3 com m > n > 0 entonces el cociente m/n es un múltiplo de tres. III. Si m y n son múltiplos de tres con m, n > 0 entonces MCD (m, n) es un múltiplo de tres. UNI 2010 - I A) VV V B) VFV C) VFF D) FVF E) FFF
Resolución: Ubicación de incógnita Determinar el valor de verdad de las proposiciones. Análisis de los datos o gráficos
o
N 396 r
o
II.
m 3 3 K1 o
m 3K 1 K 1 n 3 K2 K 2
n 3 3 K2 K1 K 2 No es múltiplo de 3 y no nece-
sariamente entero. (Falso) III.
m 3 K1
MCD (3 K1; 3K 2 )
Sean m = 3 + r1 / r1 = 1 ó 2 o
y n = 3 + r2 / r2 = 1 ó 2 o
m + n = 3 + (r1 + r2 ) ó o
m – n = 3 + (r1 – r2) Reemplazando los posibles valores de r1 y r2, se obtiene que una de las conclusiones es verdadera. (Verdadero) UNI SEMESTRAL 2013 - III
Además: N = 396 k + 3 < 10 000 396 k < 9,997 k < 25,... kmáx = 25 K máx 396 25 3 9903
n 3 K2 (m 0 n 0)
Respuesta: D) 21 Problema 3
3 MCD (K 1; K 2 ) (Verdadero) o
El MCD (A; B) es d y el MCM (A; B) es m. Determinar el número de divisores de
3
Respuesta: B) VFV Problema 2 Sea N el mayor número de 4 cifras que al dividirlo por 4, 6, 9, 11 y 12 se obtienen restos iguales. Luego, la suma de las cifras de N es: A) 17 B) 18 C) 20 D) 21 E) 23 UNI 1996-II
o
I.
Como N es el mayor posible, r = 3
Resolución: Por dato: o 4 r o 6 r o o N 9 r N MCM(4; 6; 9;11;12) r o 11 r o 12 r
70
B(B > A) sabiendo que el producto md = 3024. A) 9
B) 10
C) 6
D) 12
E) 8
UNI 1998 - I Nivel difícil Resolución: md = 3024 = 24 . 33 . 7 Por propiedad: M = dpq(p y q pesi) Reemplazando: d2 . p . q = 24 . 33 . 7 Asumiendo: d = 22 . 3 = 12 (máximo valor de "d"). Se tiene:
CDB 3 2 2 12
Respuesta: D) 12 ARITMÉTICA
TEMA 23
ARITMÉTICA
NÚMEROS RACIONALES I DESARROLLO DEL TEMA I.
CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES •
•
2 Al graficar la clase 3 tenemos:
Consideramos las parejas de números enteros (a; b) donde b 0 . a se denota (a; b). A "a" se le llama numerador y b a "b" se le llama denominador.
•
Al conjunto de estos números se les denota por Q. Es decir: Q{
p q
/ p Z,q Z,q 0}
II. EL CONJUNTO COCIENTE
2 La gráfica de son puntos contenidos en una recta 3 que pasa por el origen, esta recta tiene pendiente.
Z x Z* cuyos elementos son las clases de equivalencia, es decir, los números racionales, se representan por Q.
Tan
a a Z xZ Q / (a;b) Z x Z* , donde número b b racional. *
3 2 es la inversa de 2 3
IV. NÚMEROS FRACCIONARIOS Son aquellos racionales que no son enteros.
III. CLASE DE EQUIVALENCIA
3 11 2 ; ; , 4 5 8
Es el conjunto de todos los pares ordenados equivalentes entre sí a a . b Ejemplo: 2 6 4 2 2 4 ... ; ; ; ; ;... 3 9 6 3 3 6
Son números fraccionarios
No son números fraccionarios
A. Fracción Son aquellos números fraccionarios cuyos términos son positivos.
Representante canónico
Observación
10 5 8 7 ; ; ; 8 4 16 4
6 5 7 ; ; 7 3 9
Fracción
No son fracciones
• Si F es fracción: a Numerador F b Denominador
1. Una clase de equivalencia tienen infinitos representantes. 2. El representante canónico de una clase de equivalencia tiene los términos simplificados.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
4 15 36 ; ; 2 5 12
o
Donde: a y b Z A B 71
ARITMÉTICA
TEMA 24
NÚMEROS RACIONALES I
Exigimos más! B. Clasificación de fracciones
Propiedades: 1. Siendo n Z A An a. Si: f 1 y f 1 2 B Bn f1 f2
Sea la fracción A . B 1. Por la comparación de su valor respecto a la unidad
Ejemplo: f1 8 1 y f2 8 2 10 10 10 2 12 8 10 10 12 b. Si: f1 A 1 y f2 A n B B n f1 f2
2. Por su denominador Siendo k Z .
Ejemplo: 10 10 6 16 1 y f2 4 46 10 10 16 4 10 f1
2. Dadas las fracciones irreductibles: f1 a y f2 c b d se cumple que, si:
3. Por la cantidad de divisores comunes de sus términos
a c k b d donde k Z b = d.
3. Dadas las fracciones irreductibles:
Observación
f1
a m
f2
b n
f
c p
3
A partir de una fracción irreductible se pueden obtener todas las fracciones equivalentes a ella.
Se cumple que: MCD(f ;f ;f )
MCD(a;b;c) , MCM(m;n;p)
MCM(f ;f ;f )
MCM(a;b;c) MCD(m;n;p)
1 2 3
4 <> 8 <> 12 <> 16 <>...<> 4n ; (n Z+) 7 14 21 18 7n
1 2 3
4. Por grupo de fracciones
B. Fracción continua simple Son desarrollos del forma: f a0
1 a1
1 a2
1 a3 ....
a 0 ; ai (i 1) UNI SEMESTRAL 2013 - III
72
ARITMÉTICA
TEMA 24
NÚMEROS RACIONALES I
Exigimos más! Notación lineal: f a0 , a1 , a2 , a3
20 1 13
Ejemplo: Expresar como fracción continua simple:
a) 20 13
1 1
1,1,1, 6
1 1
1 6
Por el algoritmo de Euclides Coeficientes
1 4 20 13 7 7 6
1 6 1
6 1 0
30 3,3,1, 2 11
b) 30 11
problemas resueltos Problema 1 Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I.
(2) natural
(5) entero
Resolución:
(3) no es natural ... Falso
II. Demostración por contradicción:
La suma de un número natural y un
a = 5 y b = 2, entonces 2 = 5.c
número entero es un número natural.
luego c no es entero ... Falso
II. Sean a y b dos números enteros, entonces existe un número c en-
Ubicación de incógnita Se pide hallar cuanto tarda Pedro en hacer el trabajo solo.
III. Por la teoría de los números transfinitos de Cantor: ... Falso
Análisis de los datos o gráficos
tero tal que a = bc. Hallar el trabajo diario de cada uno. III. La cantidad de elementos del con-
Respuesta: E) FFF
junto de los números enteros positivos múltiplos de siete, es igual a la cantidad de elementos del conjunto de los números naturales.
UNI 2010 - I Nivel fácil A) VV V B) VFF
Operación del problema Problema 2
En un día los 3 hacen:
Juan y Pedro pueden pintar un auditorio en 5 días, Juan y Carlos lo pueden hacer en 6 días y Pedro con Carlos lo pueden hacer en 5 días. ¿En cuántos días puede Pedro pintar el auditorio?
UNI 2009 - II
C) FVV
E) FFF
A) 8 4 7
Resolución:
B) 9 2 7
Determinar el valor de verdad de las pro-
Entonces Pedro en un día hace: 17 1 7 60 6 60
Nivel fácil
D) FFV
Ubicación de incógnita
1 1 1 2 17 de obra 5 6 5 60
Pedro lo hace en
60 días, esto 7
equivale a 8 4 7
Respuesta: A) 8 4 7
C) 9 3 7
posiciones.
Análisis de los datos o gráficos I.
Demostración por contradicción:
UNI SEMESTRAL 2013 - III
D) 9 4 7
Problema 3
E) 9 5 7
Clasifique como verdadero (V) o falso (F) cada una de las siguientes afirmaciones:
73
ARITMÉTICA
TEMA 24
NÚMEROS RACIONALES I
Exigimos más! 1. a, b números enteros,
a es un b
número racional. 2. a, b números enteros, a b es 1 a2 un número racional. 3. Si k y k es par, entonces k es 2
par.
b) Solución del problema
D) VFF E) FFF
•
Es falso, cuando b = 0.
Resolución: Ubicación de incógnita
•
Es verdadero, porque en
ab 1 a2
;
2
(1 a 0)
Piden: Indicar el valor de verdad de cada proposición.
o
•
UNI 2009 - I Operación del problema
Nivel fácil A) FVV B) FFV C) VFV
UNI SEMESTRAL 2013 - III
a)
2 Es verdadero; K 2. K Z o
K 2
Aplicación de teorema Recordar: Número A racional B
74
A Z B Z 0
Respuesta: A) FVV
ARITMÉTICA
TEMA 24
ARITMÉTICA
NÚMEROS RACIONALES II DESARROLLO DEL TEMA Un número aval es la expresión lineal de una fracción expresada en cierta base, se obtiene al dividir los términos de la fracción. Ejemplo 1
En general, en toda fracción, al realizar la división de su numerador con su denominador, genera un número llamado Aval, dependiendo la base en que está expresado. Un número aval consta de 2 partes:
Y se puede desdoblar, ambas partes con su respectiva base:
Observación: Trabajaremos inicialmente con fracciones irreductibles para facilitar las operaciones, los números del ejemplo se llaman decimales debido a que están expresados en base 10, además el decimal que se genere puede ser exacto o periódico dependiendo de los factores que posea el denominador. Ejemplo:
24,427 = 24 + 0,427
•
361, 45 361 0, 45
•
254,368 = 2548 + 0,368
•
48,5269 489 0, 5269
I.
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO AVAL
A. En base 10
24 : parte entera 24,526 52 : parte no periódica 6 : parte periódica UNI SEMESTRAL 2013 - III
•
•
72, 345 7x101 2x10
•
0,6363... 0,63
6 10
3 101 3 102
4 102 6 103
5 103 3 10 4
...
Se observa que a partir de la coma decimal y hacia la derecha todos los dígitos serán divididos entre las potencias consecutivas de 10.
75
ARITMÉTICA
TEMA 25
NÚMEROS RACIONALES II
Exigimos más! B. En otras bases 4
5
2
•
261,45238 2 82 6 8 1
•
5 1 1 1 42,517 4 71 2 ... 71 72 73 74
81
82
TABLA DE NUEVES
3
9 32
83 84
99 32 11 999 33 37 9999 32 11 101
En general:
99999 32 41 271
999999 33 7 11 13 37
a n2 bn1 c n0 d e f g h g h ... abc, def gh n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7
UNI SEMESTRAL 2013 - III
76
ARITMÉTICA
TEMA 25
NÚMEROS RACIONALES II
Exigimos más! C. Cambio de base
Observación
Expresar 3/4 en los sistemas: decimal, exaval y heptaval.
Así como podemos expresar una fracción en su forma decimal o aval, también se puede llevar de su forma decimal o aval a la fracción que la origina, a dicho proceso denominaremos fracción generatriz.
Resolución:
Ejemplo:
3 7 0.75 0.436 0.51 4
II. FRACCIÓN GENERATRIZ
. Justificaremos para 0, abc
Más ejemplos: 45 243 27 2 0, 45 2 99 99 11 2, 45 245 2 243 27 99 99 11
Observación Para determinar si una fracción irreductible genera un aval (decimal) exacto o periódico, ello dependerá del denominador. Estudiaremos primero en el sistema decimal. UNI SEMESTRAL 2013 - III
77
ARITMÉTICA
TEMA 25
NÚMEROS RACIONALES II
Exigimos más!
III. COMO DETERMINAR EL NÚMERO DE CIFRAS EN EL PERIODO
Ejemplo: ¿Cuántas cifras periódicas genera f 1 ? 113
Cuando el denomimador de una fracción irreductible no tiene factor 2 ni 5. El decimal que se genera es periódico puro y para determinar el número de cifras en su periodo se tendría: o
irreductible; p es primo
o
(p 2 p 5) f N a, bc...de p x cifras
Rpta. 242 cifras
problemas resueltos
Problema 1
Expresa 0, 74 9 en base 4.
UNI Nivel fácil
A) 0, 314
UNI
UNI
Nivel intermedio
Nivel intermedio
A) 15
B) 16
A) 30
C) 17
D) 18
B) 11
E) 20
C) 27
B) 0,749
D) 40
Resolución:
C) 0,709
E) 20
D) 0, 64 4
Resolución:
E) 0,524
Resolución:
0, 74 9
54
74 9 79 60 5 809 72 6 6
2 4 0,311....(4) 2 4 base 4
ab
23 11 53 x
ab 88
0,74 9 5 0, 314 6
Respuesta: B) 0, 314
a + b + c + x + y + z = 15
Respuesta: A) 15 Problema 2 Si se cumple que: abc, 328 342, xyzmn6 Calcule: a+ b+c+x +y +z UNI SEMESTRAL 2013 - III
Cantidad de valores de N: 88
2311
Problema 3 ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles, generan un decimal con 3 cifras no periódicas y 2 cifras en el periodo; si el denominador es de 2 cifras? 78
= 22 1 110 10 = 40
Respuesta: D) 40 ARITMÉTICA
TEMA 25
ARITMÉTICA
POTENCIACIÓN DESARROLLO DEL TEMA I.
POTENCIACIÓN
Observación: Un número es potencia perfecta de varios grados si y solo si es potencia perfecta del MCM de dichos grados.
A. Definición Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por si mismo varias veces. Así tenemos: P K x K x K x ... x K K n
II. CASOS PARTICULARES
nfactores
A. Potencia perfecta de grado 2 o cuadrado perfecto
Donde: K : Base ( K +)
o
n : Exponente ( n + ) P : Potencia perfecta de grado "n "
o
o
K2 a 2 x b2 x c 2 ....(D.C.) Observación: Un número es cuadrado perfecto si y solo si tiene una cantidad impar de divisores.
Observación Un mismo número puede ser potencia perfecta de varios grados. Tal es el caso del número 64.
B. Potencia perfecta de grado 3 o cubo perfecto o
o
o
K3 a3 x b3 x c 3 .... (D.C.)
III. CRITERIOS DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN DE CUADRADOS Y CUBOS PERFECTOS
B. Teorema fundamental
Según su última cifra:
Para que un número entero positivo sea potencia perfecta de grado "n" es condición necesaria y suficiente que los exponentes de los divisores primos, en su descomposición canónica, sean múltiplos de "n".
Concluimos que: Ningún número cuadrado perfecto puede terminar en cifras 2, 3, 7 u 8.
A. Por la terminación en cifras cero • Ejemplos:
Para un cuadrado perfecto: o
2 2 abc...d 0...0 K n 2 abc...d N n cifras
De donde: 2 Si abc...d K K N 0...0 0...0 N2
UNI SEMESTRAL 2013 - III
79
2m cifras
ARITMÉTICA
m cifras
TEMA 26
POTENCIACIÓN
Exigimos más! •
C. Por criterios de divisibilidad
Para un cubo perfecto: 3
o
abc...d 0...0 K n 3 abc...d N
•
Con respecto al módulo 4: Para todo K , se cumple que (en forma exclusiva):
•
Con respecto al módulo 9: Para todo K , se cumple que (en forma exclusiva):
3
n cifras
De donde: 3 Si abc...d K K N 0...0 0...0 ncifras
N3
m cifras
B. Por la terminación en cifras 5 •
Para un cuadrado perfecto: 2
a...bc5 K c 2 a...b N(N 1)
Además: b 0 b 2 b 6 2 De donde: Si a...bc5 K K N5 N(N 1)
•
Para un cubo perfecto: a...bc5 K 3 (c 2 c 7)
problemas resueltos Problema 1 ¿Cuantos números de tres cifras son potencias perfectas de grado 3? A) 6 B) 5 C) 8 D) 9 E) 4
Nminimo 22 31 13 156 (Suma de cifras) 12
Respuesta: A) 12
Resolución: mnm k 3 entonces : mnm 343 Lentes de contacto: wz 92 81 Colonia:
Resolución: abc k3 100 abc 999 100 k 3 999 4,... k 9,... k :5; 6;...;9 5 valores
Respuesta: B) 5 Problema 2 Sea el número: N A) 12 B) 16 D) 18 E) 20
C) 17
Resolución: N 5 N k3 13 18 N k 3 13 N 2 32 2 1 (2 3 13 m3) k 3 13
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Problema 3 La señorita Cynthia sale de compras y lleva una cantidad de dinero en soles que es un cubo perfecto y capicúa de tres cifras, al llegar a una óptica de inmediato compra unos lentes de contacto con una cantidad de dinero que es el mayor número de 2 cifras que tenga una cantidad impar de divisores, luego pasa a otra tienda y se enamora de una colonia cuyo precio es un número de 2 cifras que es una potencia perfecta de grado 2 y 3 a la vez y la compra. Como a ella le gustan las matemáticas, piensa por un momento y dice si a la cantidad de dinero que aun me queda le extraigo su raíz cuadrada el residuo por exceso sería de la forma ab. ¿Cuántos números de la forma xyxy(7) existen y que sean potencias perfectas del mismo grado que ab? A) 3 B) 1 C) 7 D) 4 E) 2 80
pq 2 3 pq 6 26 64 Le queda : 343 81 64 198
198 14,... rexceso 152 198 27 ab 3 (cubo perfecto) xyxy (7) dado que del mismo grado que ab.
Entonces: xyxy(7) 3
Por descomposición en bloques: 50 xy(7) 3 xy
(7) 2 1 1 2 5 2 (5 2 3) 3
xy (7) 51 22 3 10(7) xy(7) 66(7) 10(7) 51 22 3 66(7)
1 (único valor)
Respuesta: B) 1 ARITMÉTICA
TEMA 26
ARITMÉTICA
RADICACIÓN DESARROLLO DEL TEMA
I.
RADICACIÓN
Donde: K : Raíz cuadrada aproximada de N
A. Definición
rd : residuo por defecto
E s u na o peraci ón mat emát ica i n vers a a l a potenciación que consiste en que, dados dos números llamados índice y radicando, se calcula un tercer número llamado raíz, donde este último elevado a la raíz produce al radicando. Así tenemo s: n
re : residuo por exceso
•
Raíz Cúbica (de índice 3) – Exacta 3
n
N K K N
N 0
K
N K3
Donde: N : Radicando (N + ) – Inexacta
n : Índice de la Raíz (n + n 1) K : Raíz enésima
B. Casos particulares •
Raíz cuadrada (de índice 2) – Exacta N 0
K
N K2
Donde: – Inexacta
K: Raíz cúbica aproximada de N rd: Residuo por defecto re : Residuo por exceso
Observación Si un número es un cuadrado perfecto tiene una cantidad impar de divisores y viceversa: Si :N k 2 CDN (Número impar)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
81
ARITMÉTICA
TEMA 27
RADICACIÓN
Exigimos más!
problemas resueltos Problema 1 De un número positivo que no tiene raíz cúbica exacta. Si a este número se disminuye en 721, entonces su raíz cúbica disminuye de una cantidad en una unidad, pero el residuo no se altera. Determine la suma de las cifras de la diferencia entre el número y el residuo.
UNI 2008 - I A) 16 D) 19
B) 17 E) 20
C) 18
Resolución: Nos piden diferencia entre el número y el residuo N – r = ¿? En el problema: 3N r
K N=K3+r
.....
¿Cuántos valores puede tomar ab ?
UNI 2011 - II A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
Resolución: Ubicación de incógnita Cantidad de valores de ab Análisis de los datos o gráficos
Resolución: Ubicación de incógnita N3: Cubo perfecto menor que 100 Cuántos valores toma N. Análisis de los datos o gráficos
Operación del problema
N3 < 100
1 2 2 3 3 4 ... n(n 1)
n(n 1)(n 2) 3
3N3 = K2 (cuadrado perfecto)
Reemplazando, tenemos:
ab 8 9 10 k 2 3 Simplificando:
Operación del problema o
o
K 2 3 3N3 N 3 o
ab 3 24
5
k2
Como: 3N3 = K2 K 3 o
ab 15 2 95
Luego: N = 3
15 12 15
Restando y : 721 = 3K2 – 3K+1 K=16 En (): N = 163+r N – r = 4096
E) 5
ab (2 6 12 20 ... 72) k 2
r
B) 2 D) 4
UNI 2011 - I
( )
3 3 N - 721 K - 1 N–721=(K–1) +r.....( )
A) 1 C) 3
Como N3 < 100 N 3 (único valor) Total de números que cumplen: 1 S ól o u n n úm ero cu mp le las condiciones: N3 = 27
2
15 2 60 15 32 135 Hay dos soluciones
Método práctico Suma de cifras: 19
Respuesta: B) 2 Respuesta: D) 19
Problema 2 Sea 2 ab 6 ab 12 ab 20 ab ... 72 ab un número natural, cuya cantidad de divisores es impar.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Problema 3 ¿Cuántos números enteros menores q ue 10 0 exi s ten q u e so n cu bo s perfectos y que al ser multiplicados por 3 s e co nv i ert en en cu adrado s perfectos?
82
Cubos perfectos menores que 100: 1; 8; 27; 64 Se triplican: 3; 24; 81; 192 Sólo es cuadrado perfecto: 81 Cumple sólo un número.
Respuesta: A) 1
ARITMÉTICA
TEMA 27
ARITMÉTICA
LÓGICA PROPOSICIONAL I DESARROLLO DEL TEMA I.
INTRODUCCIÓN
P(9): 9 > 6 es verdadero.
La lógica estudia la forma de razonamiento. Es una
P(2): 2 > 6 es falso.
disciplina que se utiliza para determinar si un argumento es válido, tiene aplicación en todos los campos del
El valor de verdad de P(x) depende del valor de x,
saber; en la filosofía, para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener dife-
también, se le conoce como función proposicional. Clases de proposiciones
rentes interpretaciones; sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. Los matemáticos usan la lógica, para demostrar teoremas e inferir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación, para revisar programas y crear sus algoritmos, es utilizada en el diseño de computadoras. Existen circuitos integrados que realizan operaciones lógicas con los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunicaciones (telefonía móvil, internet, ...)
1. Proposición simple Son proposiciones que no tienen conjunciones gramaticales ni adverbio de negación. Ejemplo: Cincuenta es múltiplo de diez. 2. Proposición compuesta Formada por dos o más proposiciones simples unidas por conectivos lógicos o por el adverbio de negación.
II. ENUNCIADO
Ejemplo: 29 es un número primo y 5 es impar.
Es cualquier frase u oración que expresa una idea.
III. CONECTIVOS LÓGICOS
A. Proposición
Símbolos que enlazan dos o más proposiciones simples
Son oraciones aseverativas que se pueden calificar como verdaderas o falsas. Se representan con las
para formar una proposición compuesta. Los conectores lógicos que usaremos son:
letras minúsculas del abecedario: p ; q ; r ; s. Ejemplo: • Túpac Amaru murió decapitado.
Símbolo
Operación lógica
Significado
•
9 < 10
Negación
No p
•
45 = 3 – 2
Conjunción
pyq
B. Enunciado abierto
Disyunción
poq
Condicional
Si p, entonces q
Bicondicional
p si y sólo si q
Disyunción exclusiva
“o ...... o ......”
Son enunciados que pueden tomar cualquiera de los 2 valores de verdad. Ejemplo: Si: P(x) : x > 6 Se cumple que: UNI SEMESTRAL 2013 - III
83
ARITMÉTICA
TEMA 28
LÓGICA PROPOSICIONAL I
Exigimos más! Observación: La negación es un conector monádico,
Tabla de verdad
afecta solamente a una proposición.
IV. OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS DE VERDAD La validez de una proposición compuesta depende de
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
los valores de verdad de las proposiciones simples que
E. Bicondicional
la componen y se determina mediante una tabla de
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo
verdad.
lógico: ".............. si y sólo si ..............".
A. Conjunción Vincula dos proposiciones mediante el conectivo
Tabla de verdad
lógico "y".
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
Tabla de verdad p
q
pq
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F. Negación Afecta a una sola proposición. Es un operador monádico que cambia el valor de verdad de una proposición:
B. Disyunción Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "o".
Tabla de verdad p
p
Tabla de verdad
V
F
p
q
pq
F
V
V
V
V
V
F
V
Observación
F
V
V
La cantidad de filas en una tabla es:
F
F
F
# filas = 2 n
C. Disyunción Exclusiva
Donde n es la cantidad de proposiciones simples.
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico: "o ..........., o .............".
Importante •
Cuando los valores del operador principal son
Tabla de verdad
todos verdaderos se dice que el esquema mo-
p
q
pq
lecular es tautológico.
V
V
F
V
F
V
F
V
V
Se dirá que el esquema molecular es contradictorio si los valores del operador principal son
F
F
F
todos falsos.
•
•
D. Condicional
menos una verdad y una falsedad se dice que
Vincula dos proposiciones mediante el conectivo
es contingente o consistente.
lógico: "Si ............, entonces ..............". UNI SEMESTRAL 2013 - III
Si los valores del operador principal tiene por lo
84
ARITMÉTICA
TEMA 28
LÓGICA PROPOSICIONAL I
Exigimos más!
V. LEYES DE ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
6. Leyes de Identidad
Son equivalencias lógicas que nos permiten reducir
p V V ; p F p p V p ; p F F
esquemas moleculares complejos y expresarlos en forma más sencilla. Las demostraciones de dichas leyes se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso.
7. Leyes del Complemento p ~p V p ~p F
Principales Leyes 1. Ley de Idempotencia
8. Ley del Condicional
ppp ppp
pq ~pq 9. Ley de la Bicondicional
2. Ley Conmutativa
p q (p q) (q p) p q (p q) (~ p ~q)
p q q p pq qp
p q ~ (p q)
3. Ley Asociativa 10.Ley de Absorción
(p q) r p (q r)
p (p q) p
(p q) r p (q r)
p (p q) p p (~ p q) p q
4. Ley Distributiva
p (~ p q) p q
p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)
11.Leyes de "De Morgan" 5. Ley de la Doble Negación
~ (p q) ~ p ~ q ~ (p q) ~ p ~ q
~ (~ p) p
problemas resueltos
Problema 1 Si la proposición:
p q r s es falsa. El valor de verdad de p, q, r, s (en ese orden) es: UNI 2012 - I A) FFVV B) FVVF C) VFVF D) VVFF E) FVFF
Resolución: Nos indican que p q r s es falsa, luego: v F p q r s F UNI SEMESTRAL 2013 - III
Para que r s sea falsa solo cumple si ambas son verdaderas: r V ; s V. Luego, para que p q sea verdadera, se tiene diversas opciones: p V;q F; p V; q F; p F;q F . Solo se presentan en las alternativas: p F; q F; r V; s V .
Respuesta: A) FFVV
Señale el circuito equivalente a la proposición: p q p p p q UNI 2012 - I p
B)
q
p
D)
q
E)
p
q
Resolución: p q p p p q Por la ley de la condicional se transforma a: p q p p p q
Problema 2
A)
C)
Por Morgan llegamos a: p q p p p q En el primer corchete se aplica absorción:
85
ARITMÉTICA
TEMA 28
LÓGICA PROPOSICIONAL I
Exigimos más! p p p q
I.
p (1) q (2) p (2)
Aplicando nuevamente absorción se reduce a: p, lo cual en circuitos lógicos equivale a:
II.
q (2) p (2) q (1)
p
III. p (2) q (1)
De: q(x) : x 2 4 0 q(1) : Si x 1 12 4 0 (F) q(2) : Si x 2 22 4 0 (F)
A) VV V
Luego:
B) VVF
I.
C) VFV
Respuesta: A)
p
V F V V
D) FFV
II.
E) FVF Problema 3 Considere: 2
p(x) : x A {a / a 4} q(x) : x 2 4 0 Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
UNI SEMESTRAL 2013 - III
p(1) q(2) p(2)
Resolución: Se pide el valor de verdad de las siguientes proposiciones: De: p(x) : x A {a / a2 4}
q(1) p(2) q(1)
F V F F III. p(2) q(1) FVV Luego: VFV
2
p(1) : Si x 1 1 4 (V) p(2) : Si x 2 22 4 (V)
86
Respuesta: C) VFV
ARITMÉTICA
TEMA 28
ARITMÉTICA
LÓGICA PROPOSICIONAL II DESARROLLO DEL TEMA I.
CUANTIFICADORES
Ejemplo: Sea f(x): x2 – 5 < 8, donde: x Z , la proposición:
A. Cuantificador Universal
x Z / x 2 5 8 es verdadera:
Sea la función proposicional f(x) sobre un conjunto A, el cuantificador ("para todo") indica que todos los valores del conjunto A hacen que la función
II. CIRCUITOS LÓGICOS
proposicional f(x) sea verdadera.
Un circuito conmutador puede estar solamente en dos estados estables: cerrado o abierto, así como una proposición puede ser verdadera o falsa, entonces po-
se lee: “Para todo”
demos representar una proposición utilizando un circuito lógico: Ejemplo: Sea f(x): x3 + 2 > 5 donde x N.
A. Circuito serie
La proposición cuantificada es:
Dos interruptores conectados en serie representan
x N ; x 3 2 5 es falsa.
una conjunción. p
B. Cuantificador existencial Sea f(x) una función proposicional sobre un conjunto
q
pq
B. Circuito Paralelo
A el cuantificador (existe algún) indica que para algún valor del conjunto A, la función proposicional
Dos interruptores conectados en paralelo representan una disyunción.
f(x) es verdadera.
p
se lee: “Existe algún”
pq
q
problemas resueltos
Problema 1 Sean p, q, r proposiciones lógicas. Señale la alternativa que presenta la s ecu en cia co rrect a, d es p ués d e determinar si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F). UNI SEMESTRAL 2013 - III
I.
Si (p q) r y (p q) r s on v erdad eras,
en to n ces
r
es
verdadera. II. p q y p q son proposiciones equivalentes. 87
III. S i (p q) r y r q s o n proposiciones falsas, entonces p es verdadera. A) VV V B) VVF C) VFF D) FVF E) FFF ARITMÉTICA
TEMA 29
LÓGICA PROPOSICIONAL II
Exigimos más! Resolución: Ubicación de incógnita
Problema 2
Conclusión y respuesta
Sean p, q, r proposiciones lógicas.
I. F
S e d eb e d etermi nar l o s v al o res veritativos de las proposiciones I, II y III.
Señale la alternativa que presenta la s ecu en ci a co rrect a d es p ués d e d et erm in ar s i la pro po s ició n es verdadera (V) o falsa (F).
Análisis de los datos o gráficos I. p q r v y p q r v r v
I.
II. p q p q III. p q r F r q F p v
III.
II.
p q r p q r p q p q q p q (q p)
A) VV V
B) VFV
Operación del problema
C) FVF
D) FFV
Con la proposición I.
E) FFF
II. F
III. V
Respuesta: D) FFV Problema 3 Si la proposición: (p q) (r s)
es falsa. El valor de verdad de p, q, r, s (en ese orden) es: A) FFVV B) FVVF C) VFVF D) VVFF E) FVFF
Analizamos por el absurdo: r F
Indique verdadero (V) o falso (F)
Resolución: Ubicación de incógnita Halle el valor de verdad de p, q, r, s (en ese orden).
Operación del problema
Análisis de los datos o gráficos
Resolución:
p q F V p q F V
Ubicación de incógnita
Se contradice, no puede ser ambas verdaderas. r
I. V Con la proposición II. p q p q, la cual es la negación de p ∼ q II. F Con la proposición III.
r q F r F q F
I.
(p q) r p (q r)
Fal s o. No asociatividad. II.
se
cu m pl e
(p q) (r s) F
la Operación del problema
(p q) p q p q p ...ley de la condicional ( p p) q ...ley asociativa
Luego: p q r p F F
v q V
(falso)
entonces p F III. F Conclusiones y respuesta I. V II. F III. F
III. q (p q) (q p) q ( p q)... ley de la condicional
q p... ley de absorción ( q p) ... ley de Morgan
(p q) (r s ) F V
V F
V
F
Conclusiones y respuesta Se deduce: r V sV entre p y q al menos 1 debe ser una verdadera. Rpta: p ; q ; r ; s F F V V
(q p)... ley de la condicional
Respuesta: C) VFF
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Respuesta: A) FFVV
(verdadero)
88
ARITMÉTICA
TEMA 29
ARITMÉTICA
TEORÍA DE CONJUNTOS I DESARROLLO DEL TEMA I.
IDEA DE CONJUNTO
IV. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Es la agrupación de objetos reales o abstractos a los cuales llamaremos elementos. Ejemplos: •
Los días de la semana.
•
Las letras del alfabeto griego.
•
Los números pares comprendidos entre 20 y 37.
A. Por extensión Se indican los elementos uno a uno. Si no se puede indicar a todos, entonces solo algunos, los cuales harán notar la secuencia en la cual se encuentran los demás. Ejemplos:
II. NOTACIÓN DE UN CONJUNTO Ejemplo:
A = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Los días de la semana
B = {4; 9; 16; 25; 36; .......; 169} C = {3; 6; 9; 12; 15; 18; ...........} D = {11; 15; 19; 23; 27; .....; 47} E = {3; 6;11;18; 27; 38; ....; 146}
B. Por comprensión En vez de indicar los elementos, se dá a conocer la forma que tienen estos, al igual que sus propiedades o las condiciones para su formación. Otros conjuntos: M = {2; 3; {4;5}; 9} ; P = {a; b; c; d; .....; z}
Ejemplos: A {x / x , 3 x 11}
III. RELACIÓN DE PERTENENCIA Se da de elemento a conjunto, se dice que un elemento pertenece a un conjunto cuando forma parte de él. En general se da de la siguiente forma:
B {n2 / n , 2 n 14} C = {3;6;9;10;15;18;........} D {4a 7 / a , 0 a 11}
E {x 2 + 2 / x , x 12}
(Elemento) (Conjunto)
En general:
Ejemplo: Siendo A = {3; 7; 16; 11; {2; 3}}, se puede afirmar que: 3 A 8 A 5 A {3;2} A
UNI SEMESTRAL 2013 - III
7A 11 A 2A {3; 7} A
89
ARITMÉTICA
TEMA 30
TEORÍA DE CONJUNTOS I
Exigimos más! B. Igualdad
V. NÚMERO CARDINAL DE UN CONJUNTO (N(A))
A B AB B A
Si: A = {2;3;12;12;2;4;8} n(A) 5
Esto se dará solo si A y B poseen los mismos elementos.
Si: B = {5;4;{3;4;7};3;18;3;30;5} n(B) 6 Si: C = {2;3;{7;2};{2;7};2;4;9;5;60} n(C) 7
C. Comparables Dos conjuntos A y B son comparables si bien A B o bien B A. (El caso de igualdad queda excluido)
VI. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS A. Inclusión
D. Disjuntos A B x A x B
Dos conjuntos A y B son disjuntos si no poseen ningún elemento en común.
Se lee: "A está incluído en B" "A está contenido en B"
E. Coordinables o equipotentes
"A es subconjunto de B"
Si se dice que dos conjuntos A y B son coordinables o equipotentes entonces poseen el mismo número de elementos, esto es para conjuntos finitos.
"B contiene a A" Esto se dará solo si todos los elementos de A le pertenecen también a B. Ejemplos: •
VII.CLASES DE CONJUNTOS
Si M = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} y N = {2; 4; 6; 8}
A. Conjunto finito
Notamos que todos y cada uno de los elementos de N le pertenecen también a M.
Es aquel conjunto que tiene una cantidad limitada de elementos.
Por lo tanto: __________________________
•
Ejemplos: A x / x , 21 x 30
Si B {x / x , 3 x 30} y
B x / x , 2 x 12
D {n2 / n , 2 n 6}
Notamos que todos y cada uno de los elementos de D le pertenecen también a B.
B. Conjunto infinito Es aquel conjunto que tiene una cantidad ilimitada de elementos.
Por lo tanto: __________________________
Ejemplos: •
Siendo:
C x / 21 x 30
A {5; 7; 2; 4; 3; 9}
D = {x/x es una estrella en la galaxia}
B {2; 3; 4; 5} C {2; 3; {7; 2}; 4; 9}
VIII.CONJUNTOS ESPECIALES
podemos afirmar lo siguiente: B A A B C
7;4
A
8A
7;2 2;3;9
A. Conjunto nulo o vacío
C
( , ) Es aquel conjunto que no posee elementos. En ese caso n( ) = 0.
A
B B
Ejemplos:
En general la inclusión se plantea de la siguiente forma:
A x / x , 12 x x 5
(conjunto) (conjunto)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
B n2 3 / n , 7 n n3 27 90
ARITMÉTICA
TEMA 30
TEORÍA DE CONJUNTOS I
Exigimos más! B. Conjunto unitario
Ejemplos:
Es aquel conjunto que posee sólo un elemento.
Siendo A = {3; 5; 9}, sus subconjuntos (o todos aquellos conjuntos incluidos en A) serán:
Ejemplos:
3 , 5 , 9 , 3;5 , 3; 9 , 5;9 ,
A x / x es par 3 x 5
B (n 5)0 / n , 7 n
Subconjuntos Propios de A
C 2n 5 / 3 n 11 7
yA
En consecuencia, el conjunto potencia de A será: P(A)
3 ;5 ;9 ; 3;5 ;3; 9 ;5;9 ;; A
Observaciones:
C. Conjunto universal (U) Es aquel conjunto referencial que contiene a todos los conjuntos presentes en cierto estudio. Los elementos del Conjunto Universal son de la misma naturaleza de los elementos de los conjuntos estudiados en aquel caso.
•
Número de n(A) subconjuntos n(P(A)) 2 de A
•
Número de n(A) 1 subconjuntos 2 propios de A
•
Número de subcon- n(A) 2 juntos propios de A 2 que sean
Ejemplo: Siendo los conjuntos estudiados. A 1; 4; 9;16;25 B 1;4;7;8;10;12;13;16;19 C 2;4;6;7; 9;10
• Los conjuntos universales que se pueden considerar son:
B P(A) B A
Ejemplo:
U1 x / x , x 30 U2
Siendo A 3;7; 2; 3 ; 4 , podemos afirmar que:
3; 4 P(A) porque 3; 4 A 5 P(A) porque 5 A
7 P(A) porque 7 A 2;3 P(A) porque 2; 3 A 3;2 P(A) porque 3; 2 A F. Par ordenado Como su nombre lo indica, es un conjunto de dos elementos donde se respeta el orden de los mismos para distinguir al par. El par ordenado se usa de muchas formas: para indicar algunas operaciones en forma
D. Familia de conjuntos Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.
abreviada, la posición de un punto según un siste-
Ejemplos:
ma de referencia, etc. En general es de la forma:
7 ; ;4;3;7 ;3;2 ;1;2;10;20 N 3;5 ; 4;9;16 ; 27 ;M M
E. Conjunto potencia de otro conjunto ( P(A) ) Es aquel conjunto formado por todos los subconjuntos de A. P(A) x / x A UNI SEMESTRAL 2013 - III
(a; b) (c; d)
91
a c b d
ARITMÉTICA
TEMA 30
TEORÍA DE CONJUNTOS I
Exigimos más!
problemas resueltos 40 productos poseen exactamente dos defectos.
Problema 1 Se define: Hipercubo unidimensional al intervalo [0;1] sus vértices son {0;1}. Hipercubo bidimensional al producto cartesiano [0,1] [0,1]; sus vértices son aquellos del cuadrado así formado. Hipercubo tridimensional al producto cartesianos [0,1] [0,1] [0,1]; sus vértices son aquellos del cubo así formado. Y al Hipercubo tetradimensional al producto cartesiano [0,1] [0,1] [0,1] [0,1]. ¿Cuántos vértices tiene el hipercubo tetradimensional?
10 productos poseen exactamente tres defectos. ¿Cuántos productos no poseen defecto?
UNI 1993-II Nivel intermedio A) 100
B) 50
D) 150
E) 60
C) 190
UNI 1993–I Nivel difícil
Resolución:
A) A – B
Haciendo un diagrama de Venn:
Nivel fácil B) 12
C) No tiene
D) 16
D) A B
B) B – A E)
C) A B
(AB)
C
Resolución: Tenemos:
UNI 1993-II A) 9
La región sombreada es:
A (x, y) R 2 /
y 2x 2y 2
E) 32
Resolución: Según los datos: Unidimensional: 21 = 2
[0,1]
B (x, y) R 2 / y 1 x 2
Bidimensional:
B {(x, y) R 2 / y 1 x 2 }
[0,1] [0,1]
2
2 =4
2 veces
Tridimensional:
(x y z) (a b c) 180 40
[0,1] [0,1] [0,1]
23 = 8
3veces
Tetradimensional: [0,1] [0,1] [0,1] [0,1] 4 veces
x y z 100 Luego:
x y z a b c 10 m 200
24 = 16
100
40
m 50
Respuesta: D) 16 Problema 2 En un departamento de control de calidad de un producto se consideran tres defectos A, B y C como los más importantes. Se analizaron 200 productos con el siguiente resultado: 65 productos poseen el defecto A. 63 productos poseen el defecto B. 82 productos poseen el defecto C. UNI SEMESTRAL 2013 - III
Respuesta: B) 50
La intersección es: A B' = A – B (propiedad)
Problema 3 Dados los conjuntos:
A (x, y) R 2 /
y x 2y 2
B (x, y) R 2 / y 1 x 2 92
Respuesta: A) A – B ARITMÉTICA
TEMA 30
ARITMÉTICA
TEORÍA DE CONJUNTOS II DESARROLLO DEL TEMA I.
C. Diferencia
OPERACIONES CON CONJUNTOS
A B x / x A x B Sean los conjuntos:
O sea: A – B = {3; 5}
A = {2; 3; 4; 5} y B = {2; 4; 6; 8; 10; 12} y U = {1; 2; 3; 4; ........; 15}
Casos:
A. Unión A B x / x A x B O sea: A B 2; 3; 4;5;6;8;10;12 Casos:
D. Diferencia simétrica AB x / x (A B) x (A B) O sea: AB 3;5;6; 8;10;12;14
B. Intersección A B x / x A x B
Casos:
O sea: A B 2; 4
Casos:
UNI SEMESTRAL 2013 - III
93
ARITMÉTICA
TEMA 31
TEORÍA DE CONJUNTOS II
Exigimos más! E. Complemento C. Asociativa
AC A' A x / x U x A
(A B) C A (B C)
Osea: AC= 1;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15
(A B) C A (B C)
D. Distributiva
Gráficamente:
A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
E. De De-Morgan (A B)C AC BC (A B)C AC BC
F. Conjunto producto o producto cartesiano F. De Absorción A B (x; y) / x A y B) A (B A) A A (B A) A A (B A C) A B
Sean ahora: A = {2;4} y B = {1;2;3},
A (B A C) A B
luego:
G. De la Unidad
A B (2;1);(2;2);(2;3);(4;1);(4;2);(4;3)
A U U A U A
Observaciones:
A A
n(A B) n(A) n(B)
A
A B B A
H. Del complemento
II. LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
A AC U A AC (A C)C A
A. De potencia AAA AAA
I. Adicionales B. Conmutativa A B A BC A B (A B) (B A)
A B B A A B B A AB B A
UNI SEMESTRAL 2013 - III
UC C U
94
ARITMÉTICA
TEMA 31
TEORÍA DE CONJUNTOS II
Exigimos más!
problemas resueltos Además
Problema 1 S e s ab e q u e u n con j un t o d e n elementos tiene 2n subconjuntos, la in ters ecci ón d e P y Q t iene 1 28 su bcon ju nt os , la d if eren ci a de P respecto de Q tiene 64 subconjuntos. El producto cartesiano P x Q presenta 182 pares. Luego podemos afirmar que el número de elementos de Q \ P es:
Operación del problema Dato: 42 60% m m 70
n(P Q) = n(P) . n(Q) = 182 13
Del gráfico:
n(Q) = 14
n(Q – P) = n(Q) – n(Q P)
A) 5
Total :100 7 350 2
= 14 – 7 = 7
B) 6 C) 7
Conclusiones y respuesta
D) 8
Respuesta: B) 350
E) 9
n(Q – P) = 7
Problema 3
Resolución:
Respuesta: C) 7
Ubicación de incógnita Dados los conjuntos P y Q se pide la
Problema 2
cantidad de elementos Q \ P < > Q – P
E n u n col egi o el 6 0% ap rob ó Aritmética, el 32% aprobó Álgebra y los que aprobaron Aritmética y Álgebra representan el 60% de los que no aprobaron ninguno de los dos cursos. Si 42 aprobaron Aritmética y Álgebra, calcule el número de alumnos del colegio.
Análisis de los datos o gráficos Tenemos que: •
Nº subconjuntos de (P Q) = 2n(P Q)
= 128 = 27
•
= 64 = 26 n(P – Q) = 6
C) 360
6
A B A B C A B en to nc es
III. C A \ B CC entonces C A B A) VVV B) VFV C) FVF FFV
Resolución:
Ubicación de incógnita
Resolución:
Halla el v alor de verd ad d e cada proposición
Análisis de los datos o gráficos
Recordar: A \ B = A – B
Q
P
II. Si:
D) 370 E) 380
Graficando:
A B C B entonces A C B
E) FFF
B) 350
Nº subconjuntos de (P – Q) = 2n(P – Q)
I.
D)
A) 340 n(P Q) = 7
Señale la alternativa que presenta la s ecu en ci a co rrect a d es p ués d e d et erm in ar s i la pro po s ició n es verdadera (V) o falsa (F).
Análisis de los datos o gráficos
7
I) P–Q PQ n(P) = 6 +7 = 13
UNI SEMESTRAL 2013 - III
95
ARITMÉTICA
TEMA 31
TEORÍA DE CONJUNTOS II
Exigimos más! Se observa que no necesariamente A C B porque en la región I podría haber elementos.
En la proposición nos indican que
Cc B A
C A BC B A , lo cual es
Solo III
Solo I
Solo III
incorrecto porque en la región II podrían haber elementos.
falsa
, por lo cual la región
II no tiene elementos, nos indican en la proposición que C A B lo cual es incorrecto, porque en la
II)
región I podrían haber elementos.
falsa
III)
falsa
Respuesta: E) FFF
UNI SEMESTRAL 2013 - III
96
ARITMÉTICA
TEMA 31
ARITMÉTICA
PROBABILIDADES I DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD
3. Si el evento es seguro entonces su probabilidad es uno.
Dado un experimento aleatoria E, que puede ocurrir de n formas, todos igualmente factibles, y un evento
Teorema
A que es un subconjunto del experimento E, que
Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces:
puede presentarse en k de las n formas, entonces la probabilidad de que ocurra el evento A es:
P AUB P A P B – P A B
P A K n
Ejemplo: La probabilidad de que llueva en el Cusco el 15 de enero es 0,10 de que truene 0,05 y de que llueva y
Luego, la probabilidad de que no ocurra A es:
truene es 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva P A ' n – k 1 – k 1 – P A n
o truene en ese día?
n
Solución Ejemplo: Sea el experimento aleatorio E: lanzar un dado, entonces el espacio muestral está dado por:
Sean: A: Llueve en el Cusco el 15/01
E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B: Truene en el Cusco el 15/01
Sea el evento A: obtener un seis.
Entonces:
Luego: A = {6}... un caso posible. La probabilidad de obtener un seis es:
P A 1 0,16 6 Observaciones: 1. Tómese en cuenta que la probabilidad de un evento Luego:
es un número comprendido de cero a uno.
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B)
0 P A 1
P(AUB) = 0,10 + 0,05 – 0,03
2. Si el evento es imposible entonces su probabilidad
P(A B) 0, 12
es cero. UNI SEMESTRAL 2013 - III
97
ARITMÉTICA
TEMA 32
PROBABILIDADES I
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1
PREUNI 2007 - I
En una fila se ubican doce amigas, pero dos de ellas no se hablan y no quieren estar juntas. ¿Cuál es la probabilidad de que se cumpla esta condición?
Nivel intermedio
PREUNI 2007 - I Nivel fácil A) B) C) D) E)
2/7 1/6 3/5 2/3 5/6
ganar $10 si obtiene al menos cinco puntos o perder $5 en caso contrario. El jugador espera ganar en el juego.
A) 2 B) 3
PREUNI 2007 - I
C) 4
Nivel difícil
D) 5
A) –1
E) 6
B) 0 C) 1
Resolución: Para que sea una función de probabilidad se debe cumplir que:
D) 2 E) 3
f(x) 1 Resolución: Casos a favor: 12 ! 11! 2 ! Casos totales: 12! Entonces: 12! 11! 2 ! 1 P 1 12 ! 6 P 5 6
Respuesta: E) 5/6 Problema 2 Hallar el valor de K para que la función:
f(x) K 1 4
x
; x 1;2;3;...
Sea una función de probabilidad.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
x 1
Entonces:
Resolución: E: lanzar un dado
f(1) f(2) f(3) ... 1 2
3
... 1 K 1 1 1 ... 1 4 4 4 K 1 K 1 4 4
2
K 1 4 3
1 K 4 1 1 1 4
E {1; 2; 3; 4 ; pierde $5 en cada caso
5; 6} gana $10 en cada caso
Luego:
K 3 Entonces:
Respuesta: B) 3 Problema 3 Se tiene un juego de azar que consiste en lanzar un dado y que el jugador puede
98
E(x) 10 2 (5) 4 6 6 E(x) 0
Respuesta: B) 0
ARITMÉTICA
TEMA 32
ARITMÉTICA
PROBABILIDADES II DESARROLLO DEL TEMA
I.
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sean los eventos: A: Obtener un número par.
La probabilidad que se ha estudiado hasta ahora está
B: Obtener un número menor que 4.
referida a todo el espacio muestral del experimento aleatorio E, entonces: Entonces: A = {2; 4; 6} B = {1; 2; 3} P A P(A / E) Luego: Se lee: probabilidad de que ocurra el evento A dado
A B 2
que ha ocurrido E.
1 3 y P B 6 6 P A B 1 / 6 1 P A / B 3/6 3 P B P(A B)
Con frecuencia nos interesa conocer la probabilidad de un evento, donde dicho evento está condicionado a la ocurrencia de un subconjunto del espacio muestral, es decir se tiene que el evento B ha ocurrido y se quiere saber la probabilidad de que haya ocurrido el
Un diagrama de Venn, asociado a este caso puede ilus-
evento A.
trarnos más sobre la solución.
Luego:
n A B 1 y n B 3 P A / B 1 3
Se lee: probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B.
Observaciones: Ejemplo:
1. Si la probabilidad de ocurrencia de A no afecta la
Sea el experimento E: lanzar un dado y observar el
probabilidad de ocurrencia de B entonces A y B
número de su cara superior.
son eventos independientes. Luego: P A B P A – P B
Entonces: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} UNI SEMESTRAL 2013 - III
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ARITMÉTICA
TEMA 33
PROBABILIDADES II
Exigimos más! 2. Si la probabilidad de ocurrencia de A imposibilita la probabilidad de ocurrencia de B entonces A y B
III. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA
son mutuamente excluyentes.
Si una variable x puede tomar los valores discretos x1,
Luego:
x2, x3, ... xk cuyas respectivas probabilidades son P1, P2, P3, ...Pk, tales que:
P A B 0
P1 P2 P3 ... Pk 1 Ejemplo:
Entonces se ha definido una distribución de probabilidad
Sea el experimento E: lanzar simultáneamente un dado
discreta. La distribución de probabilidad se representa
y una moneda. Luego el espacio muestral es:
usualmente en una tabla, tal como lo que se muestra a continuación.
E = {(1; C); (2; C); (2; S); (3; C); (3; S); (4; C); (4; 5); (5; C); (5; S); (6; C); (6; S)} C. cara y s: sello Sean los eventos:
Donde:
A: Obtener en el dado un seis
P(x): Función de probabilidad
B: Obtener cara en el dado Ejemplo: Entonces:
Sea el experimento aleatorio E: lanzar una moneda 3
A = {(6; C); (6; S)}
veces y definimos la variable aleatoria x: número de caras que se obtienen. Entonces:
B = {(1; C); (2; C); (3; C); (4; C); (5; C); (6; C)}
E = {CCC; CCS; CSC; SCC; CSS; SCS; SSC; SSS}
A B 6;C
x toma los valores: 0, 1, 2 ó 3.
P A B 1 ... 12
Luego la tabla de distribución de probabilidad es:
También: P A 2 1 y P B 6 1 12 6 12 2 P A B Como
1 . 1 1 ... 6 2 12
Notese que la suma de las probabilidades de la tabla es
los eventos A y B son independientes.
igual a uno.
IV. ESPERANZA MATEMÁTICA: E(X)
Ejemplo: Sea el experimento E: lanzar un dado y los eventos
Si x es una variable aleatoria discreta que pueda tomar
A: obtener un múltiplo de 4, B: Obtener un número impar.
los valores x1, x2, x3, ..., xk con probabilidades P1, P2, P3, ...Pk respectivamente, tales que: P1 + P2 + P3 + ... + Pk = 1, entonces la esperanza matemática de x o la media de
Luego:
la variable aleatoria x es:
E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} E x P1 X1 P2 X 2 P3 X 3 ... Px xk
A = {4} B = {1; 3; 5}
Ejemplo:
A B P A B 0 0. 6 Esto significa que los eventos A y B son mutuamente excluyentes. UNI SEMESTRAL 2013 - III
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De la tabla de distribución de probabilidad anterior: E(x) =0. 1 1. 3 2. 3 3. 1 8 8 8 8 12 3 E x 1, 5 8 2 ARITMÉTICA
TEMA 33
PROBABILIDADES II
Exigimos más!
problemas resueltos Problema 1 Una caja contiene 8 bombillas de las cuales 3 están defectuosas. Se extrae u na b o mb i ll a d e la caja, s i s al e defectuosa, se prueba otra bombilla, hasta seleccionar una no defectuosa. Cal cule el nú mero esperado E de bombillas seleccionadas. A) 0,5
B) 1
D) 2
E) 2,5
*
3 2 1 5 1 P[x = 4] = 8 7 6 5 = 56
26 Piden : 24 2 2 91 91 7 91
(1°, 2° y 3° defectuosas y 4° no defectuosa)
2 Respuesta: B) 7
Tabla x
1 2 3 4 5 15 5 1 8 56 56 56
P[x]
C) 1,5
Problema 3 Sean E un espacio muestral, A y B subconjuntos de E, y P: (E) 0,1 una función de probabilidad tal que
Resolución: Ubicación de incógnita E sp eran za mat em áti co esperado. E(x)
o
v alo r
*
Probar bombillas hasta encontrar una no defectuosa.
P[x]: probabilidad de obtener la 1era bombilla no defectuosa en la extracción x.
*
5 15 5 E(x) = 1 8 + 2 56 + 3 56
5 P[x = 1] = 8 (1° no defectuosa)
D) 0,8
E) 0,9
C) 0,3
Ubicación de incógnita Se pide hallar P(A Bc )
Problema 2 Para representar a un colegio en las olimpiadas matemáticas del 2007 se han pres el ecci on ad o 10 alu mn os v aro nes y 5 m uj eres. El co m it é organizador del evento decide que cada colegio participante envíe solo tres alumnos. Calcule la probabilidad que el citado colegio envíe a todos sus representantes del mismo sexo. B) 2/7 E) 5/7
Análisis de los datos o gráficos •
P(A) = 0,5
•
P(B) = 0,4
•
A y B so n i nd epen di en t e P(A B) = P(A) . P(B)
Además: P(A Bc ) = P(A) . P(B c )
C) 3/7 Operación del problema
Resolución:
Propiedad:
Ubicación de incógnita Piden la probabilidad que las 3 personas escogidas sean del mismo sexo.
P(A Bc ) = P(A) + P(B c ) – P(A Bc )
Análisis de los datos o gráficos
3 5 15 P[x = 2] = 8 7 = 56 y
B) 0,2
Resolución:
Respuesta: C) 1,5
A) 1/7 D) 4/7
Sea x: número de bombilla extraídas.
( 1° def ect uo s a defectuosa)
A) 0,1
E(x) = 1,5
S e d et erm i na l a f un ció n d e p ro b ab i li d ad . C om o s e t i en en 3 bombillas defectuosas, al máximo de ext racci o nes p ara ob ten er un a bombilla no defectuosa es 4.
*
independientes, halle P A BC .
Una caja con 8 bombillas de las cuales 3 son defectuosas y 5 no defectuosas.
Operación del problema
*
P(A) = 0,5, P(B) = 0,4. Si A y B son
E(x) = xiP(xi)
1 84 + 4 56 = 56
Análisis de los datos o gráficos *
Conclusión
c 0,5 0,6 P(A).P(B ) 1,1
Dato: 10 varones y 5 mujeres
0,5 . 0,6
0,30
0,80
2°
no
3 2 5 5 P[x = 3] = 8 7 6 = 56 (1° y 2° defectuosas y 3° no defectuosa)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Operación del problema Conclusión y respuesta P(vvv)
10 15
P(mmm)
x 5
15
9 8 24 x 14 13 91 x
P(A Bc ) 0, 80
3 4 2 x 14 13 91
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Respuesta: D) 0,80 ARITMÉTICA
TEMA 33
