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ÉXITO = CONOCIMIENTO + ACTITUD + ESFUERZO Esta ecuación describe la filosofía del autor, donde el éxito no es más que una combinación de competencias de distinta índole. El éxito para adquirir las competencias que la matemática aplicada ofrece pasa por tener dominio conceptual, tanto en el sentido económico como matemático de los términos, y la capacidad para resolver problemas. Como futuros administradores de empresas, los lectores ya tienen la noción de la importancia del recurso humano en una empresa y que depende mucho de la actitud y el comportamiento de las personas, esta asignatura requiere madurez académica para abordar con seriedad cada problema con el objetivo de contextualizar los problemas tratados a nuestra vida real. Por último y no menos importante está el esfuerzo, ese trabajo diferenciado que cada estudiante debe realizar a conciencia dependiendo de sus capacidades y tipo de inteligencia. La matemática se aprende practicando. Este cuaderno está dirigido a estudiantes de administración de empresas que se inician en el cálculo diferencial e integral, y están interesados en su aplicación a problemas relacionados con administración de producción, inventarios, ingresos, costos, así como relaciones de oferta y demanda.
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Tabla de contenido 1.1.
Propiedades sobre límites de funciones reales ................................................................... 4
1.2.
Técnicas para el cálculo de límite ................................................................................... 16
1.3.
Límites en el infinito ........................................................................................................ 20
1.4.
Límites unilaterales ......................................................................................................... 23
1.5.
Límites infinitos ............................................................................................................... 24
1.6.
Continuidad de una función en un número ................................................................... 28
1.7.
Teoremas sobre continuidad .......................................................................................... 31
1.8.
Continuidad en un intervalo ........................................................................................... 31
2.1.
La recta tangente ............................................................................................................. 38
2.2.
Derivada de una función ................................................................................................. 41
2.3.
Teoremas sobre derivadas de funciones algebraicas ................................................... 45
2.4.
Derivadas de orden superior .......................................................................................... 55
2.5.
Derivada de una función compuesta. Regla de la cadena ............................................. 56
2.6.
Diferenciación implícita .................................................................................................. 60
2.7.
Derivadas de funciones logarítmicas ............................................................................. 63
2.8.
Derivadas de funciones exponenciales .......................................................................... 66
3.1.
La derivada en la oferta y demanda ............................................................................... 76
3.2.
La derivada en la estimación de ventas ......................................................................... 79
3.3.
Aplicaciones a la producción y estimación de costos ................................................... 81
3.4.
Aplicación a la demanda, la oferta empresarial y de mercado ..................................... 88
3.5.
Análisis de proyección de compras y producción mediante derivadas ...................... 90
3.6.
La derivada en el cálculo del excedente del productor y el consumidor .................... 92
3.7.
Propensión marginal al consumo y al ahorro ............................................................... 95
4.1.
La integral indefinida .................................................................................................... 101
4.2.
La integral definida ........................................................................................................ 108
4.3.
Métodos de integración ................................................................................................. 112
4.4.
El excedente del consumidor ........................................................................................ 117
4.5.
Excedente del productor ............................................................................................... 119
4.6.
Coeficiente de desigualdad para el ingreso ................................................................. 121
Bibliografía ...................................................................................................................................... 128
3
Competencias de la unidad o Encontrar límites de forma algebraica. o Calcular límites especiales: infinitos, al infinito y límites unilaterales. o Determinar límites y continuidad de una función de forma gráfica. o Resolver problemas de límites y continuidad relacionados con el ámbito empresarial. El concepto de límite es fundamental en la teoría del cálculo, a partir de él, se construyen importantes teorías que tienen aplicación en casi todas las ciencias, incluidas las empresariales. En esta unidad se estudiarán los límites desde un enfoque práctico y gráfico, así como los teoremas que permiten calcular el límite de funciones reales, límites infinitos, al infinito y unilaterales; posteriormente se definirá la continuidad de una función en un número, en un intervalo y se estudiarán los teoremas que permiten determinar la continuidad de una función de variable real. El enfoque de esta unidad es totalmente práctico orientado a la interpretación matemática de los límites y la continuidad.
1.1.Propiedades sobre límites de funciones reales Definición (Límite) El límite de f ( x) cuando tiende a a , es el número L , que se escribe
lim f ( x) L x a
Siempre que f ( x) esté arbitrariamente cercana a L para toda x lo suficientemente cerca, pero diferente de a . Si no existe tal número, se dice que el límite no existe.
Ejemplo Considere la función
x3 1 f ( x) x 1 Aunque la función no está definida en
x 1 , resulta interesante observar el comportamiento
de la función a medida los valores de x se acercan a 1 .
4
Una forma de determinar un límite es asignar valores a x tan cerca de 1 cómo se desee. La tabla 1 muestra la tabla de valores de f ( x ) en intervalos adecuados.
x 1 (Por la izquierda) x
x 1 (Por la derecha) x
f ( x)
f ( x)
0.75
2.3125
1.25
3.8125
0.90
2.71
1.10
3.31
0.95
2.8525
1.05
3.1525
0.99
2.9701
1.01
3.0301
0.999
2.997001
1.001
3.003001
0.9999
2.99970001
1.0001
3.00030001
Tabla 1
Observe que al asignar valores por la izquierda a x ( x tiende a 1 por la izquierda) f ( x ) se acerca cada vez más a 3 (pero nunca llega), de forma análoga, al asignar valores por la derecha a x , f ( x ) se aproxima a 3. Al ser ambos límites iguales se dice que
x3 1 lim 3 x 1 x 1 Para que un límite exista, debe ser el mismo ya sea que x se acerque a a por la izquierda o por la derecha. ∎
Ejemplo: determinación de un límite a partir de una gráfica. a. Estime lim f ( x ) , donde la gráfica de f está dada en la figura 1(a). x 1
b. Estime lim f ( x ) , donde la gráfica de f está dada en la figura 1(b). x 1
5
Figura 1 (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015)
Solución a. Si se observan en la gráfica los valores de x cercanos a 1 , se advierte que f ( x) está cercana a 2 . Además, cuando x se aproxima cada vez más a 1 , f ( x) parece estar cada vez más cerca de 2 . Así, se estima que
lim f ( x ) 2 x 1
b. Observe que el valor de f (1) 3 existe, pero es un punto aislado de la curva, este hecho no tiene importancia en cuanto al límite de f ( x) cuando x se aproxima a 1 . Se observa que cuando x se aproxima cada vez más a 1 , f ( x) parece estar cada vez más cerca de 2 , por lo tanto
lim f ( x ) 2 x 1
Este es un ejemplo de la independencia del valor de evaluación de una función respecto al límite. En el literal b, f (1) 3 pero lim f ( x ) 2 . (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015) x 1
∎
Graficas de funciones en GeoGebra GeoGebra es un software libre muy útil para graficar y analizar funciones de forma rápida. En este curso lo utilizaremos para elaborar gráficas de funciones. A continuación, las instrucciones de instalación y uso.
6
Tabla 2
Descripción
Enlace
Link de descarga
https://www.geogebra.org/
Manual de GeoGebra 5.0
https://wiki.geogebra.org/es/Manual
Ejemplo: determinación de límites a partir de una gráfica Suponga que un fabricante de secadoras de ropa que trabajan con gas ha encontrado que, cuando el precio unitario es p dólares, el ingreso R en dólares es
R( p ) 4 p 2 4000 p Utilice GeoGebra para graficar la función y determine lim R ( p ) . ¿Qué puede decir sobre el x 500
límite encontrado?
Solución Al graficar la función en GeoGebra se obtiene
Figura 2
Coloque la punta del lápiz en algún punto de la gráfica a la izquierda de 500 , ahora haga un recorrido de izquierda a derecha sobre la curva, observe que a medida el lápiz se aproxima a la línea que marca el valor de x 500 , f se acerca al valor de 1000000 . Repita el ejercicio de derecha a izquierda. El límite por la derecha cuando x tiende a 500 es 1000000 . Por lo tanto
7
lim R ( p ) 1000000
x 500
En este caso, el límite encontrado es además el valor más alto de ingreso para el fabricante. ∎ Para determinar límites, no siempre hace falta calcular los valores de la función o hacer el bosquejo de la gráfica. Existen también varias propiedades que se pueden emplear:
Propiedades de los límites 1. Si f ( x) c es una función constante, entonces
lim f ( x ) lim c c xa
xa
Esto es, el límite de una función constante es la constante. 2.
lim xn a n para cualquier entero positivo n xa
Si lim f ( x ) y lim g ( x ) existen, entonces xa
3.
x a
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) xa
xa
xa
Esto es, el límite de una suma o diferencia es la suma o diferencia, respectivamente, de los límites. 4.
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) xa
x a
x a
Esto es, el límite de un producto es el producto de los límites. 5.
lim c f ( x) c lim f ( x) , donde c es una constante. xa
x a
Esto es, el límite de una constante por una función, es la constante por el límite de la función.
Ejemplo: aplicación de las propiedades de límites En este ejemplo se ilustra el uso de cada propiedad. Propiedad 1.
lim 5 5 ; lim 5 5 x 4
x4
8
lim 2 2 ; lim x 0
x1000
2 2
Propiedad 2.
lim x 2 32 9
lim w3 2 8
x 3
3
w2
Propiedad 3.
lim( x 2 x) lim x 2 lim x x 1
x 1
Propiedad 3
x 1
1 (1) 2
Propiedad 2
1 1 0 La propiedad 3 puede aplicarse por extensión al límite de un número finito de sumas y diferencias. Por ejemplo,
lim( k 3 k 2 k) lim k 3 lim k 2 lim k k 2
k 2
k 2
k 2
2 2 2 3
2
8 42 10 A partir de este momento debe tener en cuenta que en muchos ejercicios será necesario el uso de múltiples propiedades. Propiedad 4.
lim ( x 2)( x 1) lim( x 2) lim( x 1) x 2
x 2
x 2
lim x lim 2 lim x lim1 x 2
x 2
x 2
x2
2 2 2 1 4 1 4
9
Propiedad 5.
lim3x 2 3 lim x 2 x 4
x 4
3 4
2
3 16 48 ∎
Propiedades adicionales de límites 6. Si f es una función polinomial, entonces
lim f ( x ) f ( a ) x a
Si lim f ( x ) y lim g ( x ) existen, entonces xa
7.
x a
lim x a
f ( x) f ( x) lim x a si lim g ( x) 0 x a g ( x) lim g ( x) x a
Esto es, el límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea cero. 8.
lim n f ( x) n lim f ( x) x a
xa
Si n es par, requiere que lim f ( x ) sea no negativo. xa
Ejemplo: límite de una función polinomial La propiedad 5 nos permite encontrar muchos límites únicamente evaluando. Por ejemplo, para encontrar el límite
lim ( x 3 6 x 2 5)
x 2
puede sustituirse directamente 2 porque x 6 x 5 es un polinomio, así 3
2
10
lim ( x3 6 x 2 5) 2 6 2 5 3
x 2
2
8 6 4 5 8 24 5 11 ∎
Ejemplo: aplicación de las propiedades 7 y 8 de límites.
x 2 x 2) 3 x 2 x 2 lim(3 x 1 a. lim x 1 x3 5 lim( x 3 5) x 1
Observe que tanto el numerador como el denominador son funciones polinomiales, por tanto, el límite puede determinarse por evaluación
x 2 x 2) 3 x 2 x 2 lim(3 x 1 lim x 1 x3 5 lim( x 3 5) x 1
3 1 1 2 2
1
3
5
4 2 6 3
En general, puede determinarse el límite de una función racional mediante evaluación, siempre que el límite del denominador en a no sea cero.
b. Ahora calcularemos el límite de una función raíz cuadrada.
lim x 2 7 lim ( x 2 7)
x 3
x 3
3
2
7
97 16 4 c. El mismo procedimiento se aplica cuando el índice de la raíz es distinto de 2.
11
lim 3 x 2 1 3 lim( x 2 1) x4
x4
3
4
2
7
3 23 ∎
Ejemplo: Determinación de límite de una función de ingreso La función de ingreso para cierto producto está dada por R ( x ) 500 x 6 x . Determine 2
lim R ( x ) . x 8
Solución
lim R ( x) lim(500 x 6 x 2 ) x 8
x 8
500(8) 6(8) 2 3616 El productor, al aproximarse a 8 lotes de unidades producidas obtiene un ingreso de
$3616 . ∎
Ejemplo: límites que no existen a. Estime lim f ( x ) , si es que existe, donde la gráfica de la función está dada en la x 2
figura 3. b. Determine lim x 0
1 si es que existe. x2
Solución.
a. Cuando x se aproxima a 2 por la izquierda, los valores de f ( x) parecen más cercanos a 1 . Pero cuando x se aproxima a 2 por la derecha, los valores de
f ( x) parecen más cercanos a 3 . Por lo tanto, cuando x tiende a 2 , los valores de la función no se acercan a un solo número. Se concluye que
lim f ( x ) no existe
x 2
12
b. La tabla 3 contiene proporciona los valores de f ( x) para algunos valores de x cercanos a 0 . Cuando x se aproxima a 0 , los valores de f ( x) se hacen cada vez más grandes sin cota alguna. Esto también puede observarse en la gráfica (figura 4), como los valores de f ( x) no se acercan a un número cuando x se aproxima a 0.
lim x 0
1 no existe x2
Figura 3 (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015)
Tabla 3 (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015)
13
Figura 4 (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015)
∎
Ejercicios propuestos I. En los problemas 1 y 2, utilice su calculadora para completar la tabla y use los resultados para estimar el límite dado.
x2 4 x 2 x 2
1. lim
2.1
x
2.01
2.001
1.999
1.99
1.9
0.01
0.001
0.001
0.01
0.1
f ( x)
2. lim x 0
x2 2x x 0.1
x f ( x)
Aplique las propiedades para encontrar los límites en los problemas del 3 al 11.
3. lim16 x0
14
4. lim 4 x x 3
5. lim 4 x x 3
6. lim 3 x 6 x 2
7. lim 2 x 2 3 x 3
8. lim 2 x 4 4 x 2 5 x 11 x 2
9. lim x 1 x 15
10. lim q 2 2q 1 q 6
w2 5w 4 w0 w2 1
11. lim
En los problemas 12 y 13, utilice GeoGebra para graficar las funciones y luego estime los límites. Redondee sus respuestas a dos decimales
ex 1 12. lim x 0 x 13. lim x 1
x4 1 x3 1
14. Purificación de agua. El costo de purificar agua está dado por
C
500000 6500 p
Donde p es el porcentaje de impurezas que quedan después de la purificación. Grafique esta función en GeoGebra y determine lim C . Analice el significado de dicho x 0
límite. (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015) 15. Función de utilidad. La función de utilidad para cierto negocio está dada por
P ( x) 225 x 3.2 x 2 700 , utilice la propiedad 6 de los límites para determinar la utilidad de la empresa cuando las ventas se aproximan a 40.2. (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015)
15
1.2. Técnicas para el cálculo de límite Resultado fundamental Si f y g son dos funciones para las cuales f ( x ) g ( x ) , para toda
x a,
entonces
lim f ( x ) lim g ( x ) x a
xa
Lo que significa que si uno de los límites existe el otro también existe y además son iguales.
Ejemplo: determinación de un límite por factorización
x2 1 x 1 x 1
Determine lim
Si procedemos a aplicar las propiedades de límites
x2 1 x 2 1 xlim 1 lim x 1 x 1 lim x 1 x 1
1 1 1 1 2
0 0
Nos encontramos con una de las llamadas, formas indeterminadas
0 0 . Esto no quiere decir
que el límite no exista. La aplicación de propiedades que realizamos en realidad es inválida pues lim x 1 0 , por x 1
tanto, no podemos aplicar la propiedad 7. Ahora bien, lo que le suceda al denominador cuando
x sea igual a 1 no es de interés, puede suponerse que x 1 y simplificar x 2 1 ( x 1)( x 1) x 1 x 1 x 1
16
x2 1 Esta manipulación algebraica (factorización y cancelación) de la forma original da lugar x 1 a una nueva función x 1 . Por lo tanto
x2 1 lim ( x 1) 1 1 2 x 1 x 1 x 1 lim
Observe que, aunque la función original no está definida en 1 , tiene un límite cuando x 1 . (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015). ∎
Ejemplo: Tasa de cambio de productividad La tasa de cambio de productividad p (en número de horas producidas por semana) aumenta con el tiempo de trabajo de acuerdo con la función
50(t 2 4) p (t ) 2 t 3t 2 Encuentre lim p (t ) . t 2
Solución Analicemos el denominador. lim(t 3t 2) 0 , por tanto, la propiedad 7 no puede 2
x 2
aplicarse. Al obtener el límite del numerador lim 50(t 4) 0 , por lo que nos encontramos 2
x 2
con una forma indeterminada de la forma
0 0 . Procedemos a manipular algebraicamente la
expresión
50(t 2 4) 50(t 2)(t 2) t 2 3t 2 (t 1)(t 2) 50(t 2) t 1 Luego
17
50(t 2 4) 50(t 2) lim 2 lim t 2 t 3t 2 t 2 t 1 lim 50(t 2) t 2 lim(t 1) t 2
50(2 2) (2 1) 200
∎
Ejemplo Si f ( x ) 125 3 x , encuentre lim x 0
f ( x h) f ( x) h
Solución
lim h 0
f ( x h) f ( x ) 125 3( x h) (125 3 x) lim h 0 h h 125 3x 3h 125 3 x lim h 0 h 3h lim h 0 h lim 3 3 h 0
∎
Ejemplo: Tasa de incremento del ingreso Un fabricante tiene una función de ingreso dada por r ( q ) 60 0.005 x , determine la tasa a 2
r (q h) r (q ) cuando el nivel de h 0 h
la que el ingreso incrementa si está determinado por lim producción es
q 100 ,
18
Solución
60 0.005 q h 60 0.005q r (q h) r ( q ) lim lim h 0 h0 h h 60 0.005 q 2 2qh h 2 60 0.005q 2 lim h 0 h 60 0.005q 2 0.01qh 0.005h 2 60 0.005q 2 lim h 0 h 2 0.01qh 0.005h lim h 0 h h 0.01q 0.005h lim h 0 h lim 0.01q 0.005h 2
2
h 0
lim 0.01q lim 0.005h h 0
h 0
0.01q Evaluando en
q 100
La tasa de crecimiento es 0.01(100) 1 , significa que el ingreso crece 100% cuando
q 100 . Ejercicios propuestos II Evalué los límites
x2 4 1. lim 2 x 2 x 5 x 6 x2 1 x 1 x 2 x 2
2. lim
x2 5x 6 3. lim 2 x2 x x 2 En los siguientes ejercicios evalúe en cada caso
lim h 0
f ( x h) f ( x ) h 19
4.
f ( x) x 2 1
5.
f ( x) x 2 2 x 1 ∎
1.3. Límites en el infinito Hemos concebido un límite como el número al cuál se aproxima una función f ( x ) a medida que x se aproxima a un valor numérico específico, sin embargo también pude ser de interés conocer el comportamiento de una función a medida que x tome valores infinitamente grandes ( x ) o infinitamente pequeños ( x ). Para obtener resultados sobre estos límites se analizará el comportamiento de la función
f ( x)
1 . Sin ayuda de una gráfica o una tabla, al dividir 1 entre un número positivo grande, x
se obtiene como resultado un número positivo pequeño, y cuando el divisor se vuelve arbitrariamente grande, los cocientes se vuelven arbitrariamente pequeños, es decir, el cociente tiende a cero. Es posible formular un argumento análogo para el límite cuando
x . Como resultado, en forma simbólica, se obtiene lo siguiente:
1 1 0 y lim 0 x x x x
lim En general
lim
x
1 1 0 y lim r 0 para r 1 r x x x
Ejemplo: límites al infinito Encuentre el límite (si existe).
a. lim
x
b.
2
x 1
4
lim x 100
x
20
Solución a. Cuando x se vuelve muy grande, también se incrementa
x 1 . Como la cuarta potencia
de un número grande también es grande, x 1 , al dividir 2 entre números 4
muy grandes se tiene como resultado números cercanos a
lim
x
2
x 1
4
0 . Por lo tanto
0
b. Cuando x se vuelve negativamente infinita, x se vuelve infinitamente positiva, y
x 100 también es infinitamente positiva, debido a que la raíz cuadrada de números grandes son números grandes, se concluye que
lim x 100
x
∎
Ejemplo: límites al infinito de funciones racionales
6x2 5 Determinar lim 2 x 3 x 11 Solución Recuerde que en uno de los resultados de la aplicación de la propiedad 7 en funciones racionales, se concluyó que es posible determinar el límite de una función racional por evaluación del numerador y del denominador. En este caso es evidente que tanto el numerador como el denominador se vuelven infinitos, es decir, el límite sería un cociente de dos infinitos. Sin embargo, la forma del cociente puede modificarse de modo que sea posible obtener una conclusión de si la función tiene o no límite. Para hacer esto, el numerador y el denominador se 2
dividen entre la mayor potencia de x que aparezca en el denominador. En este caso es x . Se obtiene
21
6 x2 5 2 6x2 5 lim 2 lim 2x x 3 x 11 x 3 x 11 x2 6 x2 5 2 2 x lim 2 x x 3 x 11 2 2 x x 5 6 2 x lim x 11 3 2 x 5 lim 6 2 x x 11 lim 3 2 x x 5 lim 6 lim 2 x x x 11 lim 3 lim 2 x x x 60 6 2 3 0 3 ∎
Ejercicios propuestos III Encuentre el límite en cada caso:
4 3x3 1. lim 3 x x 1 2 x 2 3x 4 2. lim 2 x 5 x 7 x 1 x 1 x x
3. lim
x 5 2 x3 1 4. lim 5 x x 4x2 8 22
2 p 2 5 p3 5. lim p 10 p 3 64 p 2 98
1.4. Límites unilaterales En la figura
5 , f ( x ) no está definida en x 0 , sin embargo, al observar su comportamiento
por la izquierda (valores de
x 0 ) los valores de f ( x ) se aproximan a 1 , esto se escribe
como
lim f ( x) 1
x 0
Que se lee: “el límite de f ( x ) cuando x tiende a cero por la izquierda, es 1 ”. De igual forma, al analizar el comportamiento de f ( x ) cuando x se aproxima a 0 por la derecha es 1, lo que se escribe:
lim f ( x) 1
x 0
Que se lee: “el límite de
f ( x) cuando x tiende a cero por la derecha, es 1”.
Figura 5 (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015)
Nótese que el signo sobre el número en un límite significa izquierda o derecha, si el signo es o
respectivamente.
A los límites de este tipo se les llama límites unilaterales o simplemente límites laterales.
23
En la función bosquejada en la figura 5 , los límites laterales existen, pero no son iguales, lo que significa que la aproximación lateral se realiza a valores distintos, por lo tanto, el límite de
f ( x) no existe. Una consecuencia del análisis sobre los límites de forma gráfica que realizamos en la sección 1 y el ejemplo anterior, podemos resumirla como sigue: El límite de una función existe, si los límites laterales existen y además son iguales.
Otro ejemplo es la función f ( x )
x 3 ilustrada en la figura 6 , no es difícil observar que
lim f ( x) 0 , ahora intente hacer un recorrido de izquierda a derecha de la gráfica. Exacto,
x 3
no es posible dado que la función no está definida para valores menores o iguales a 3 por lo tanto, no hay curva a la que darle seguimiento, consecuentemente
lim f ( x) no existe .
x3
Figura 6 (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015)
1.5. Límites infinitos Hasta el momento, hemos encontrado límites directamente de forma algebraica y límites de la forma 0 0 , ahora analizaremos los límites en los cuales el denominador se aproxima a 0 y el numerador a un número distinto de 0 , es decir a los límites de la forma k 0 . Por ejemplo, considere
1 x0 x2
lim
24
Aquí, cuando
x
se aproxima a 0 , el denominador se aproxima a 0 y el numerador se
aproxima a 1, es decir, se obtiene como límite 1 0 , lo cual no está definido en los números reales.
Al observar la tabla de valores de
f ( x)
1 en la tabla 4, observamos que a medida x se x2
aproxima a 0 , tanto por la izquierda como por la derecha, los valores de
f ( x) crecen
indefinidamente, es decir son cada vez más grandes, esto, matemáticamente hablando significa que
f ( x) tiende al infinito. Se representa así
lim f ( x) x0
Tabla 4 (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015)
El resultado anterior también puede verificarse de forma gráfica en la figura 7 .
Figura 7 (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015)
25
Ejemplo: límites laterales al infinito Determine
lim f ( x) si f ( x) x0
1 x
Solución De la tabla 5 , se observa que a medida
x
se aproxima a 0 tomando valores mayores,
f ( x)
crece indefinidamente (tomando valores positivos). Esto es
lim f ( x)
x0
De la misma forma, si
x
se aproxima a 0 por la izquierda,
f ( x) decrece indefinidamente
(tomando valores negativos), podemos representarlo como sigue
lim f ( x)
x0
Ambos límites laterales tienden a infinitos opuestos, cualquiera de estos dos hechos implica que
lim f ( x) no existe x0
Tabla 5 (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015)
Puede comprobarse la no existencia del
lim f ( x) observando la figura 8 x0
.
26
Figura 8 (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015)
∎
Ejercicios propuestos IV 1. Para la función dada en la figura 9 , encuentre los límites solicitados en la tabla 6 . Si el límite no existe, indíquelo así o utilice el símbolo
o donde sea apropiado.
Figura 9 (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015)
Tabla 6 Límite
Respuesta
Límite
lim f ( x)
e.
lim f ( x)
b. lim f ( x)
f.
lim f ( x)
c. lim f ( x)
g.
lim f ( x)
h.
lim f ( x)
a.
x0
x0
x0
d.
lim f ( x)
x
Respuesta
x1
x1
x1
x
27
2. La función de demanda para cierto producto está dada por p( q)
representa el precio y q es la cantidad vendida. Determine lim
q
10000
q 1
2
10000
q 1
2
, donde p
y dé una
interpretación de su respuesta. (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015). 3. Los montos anuales de ventas de cierta compañía (en miles) están relacionados con la cantidad de dinero que se gasta en publicidad,
y( x) a. Encuentre
x
(en miles), de acuerdo con la ecuación
500x x 50
lim y( x) x
b. Determine qué significa esto para la empresa. 4. Se pronostica que dentro de t años la población de cierta ciudad pequeña será
P(t ) 22000
4000 t 2
Determine la población a largo plazo, esto es lim P(t ) . t
1.6. Continuidad de una función en un número Muchas funciones tienen la propiedad de que no presentan “saltos” algunos en sus gráficas. Por ejemplo, compare las funciones
x si x 1 f ( x) x y g ( x) 2 si x 1 Cuyas gráficas aparecen en las figuras 10 y 11 respectivamente.
28
Figura 10 (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015)
Figura 11 (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015)
Observe que la gráfica de
f ( x) no tiene saltos, mientras la de g ( x) tiene un salto en x 1 .
Dicho de otro modo, si usted fuera a trazar ambas gráficas con un lápiz, tendría que levantar el lápiz del papel en la gráfica de g cuando x 1 , pero no tendría que despegarlo en la gráfica de
f . Se dice que f es continua en 1 y que g es discontinua en 1.
Definición (función continua) Una función
f es continua en a sí y solo si se cumplen las siguientes
condiciones:
Si
1.
f (a) existe
2.
lim f ( x) existe
3.
lim f ( x) f (a)
xa
xa
f no es continua en a , entonces se dice que f es discontinua en a , y a se denomina
punto de discontinuidad de
f.
29
Ejemplo: Aplicación de la definición de continuidad Muestre que f ( x ) x 2 4 es continua en x 3 .
Solución Debe verificarse que las tres condiciones de la definición 1.6.1 se cumplan. Primero
f (3) 3 4 5 existe, de modo que f está definida en x 3 . Segundo 2
lim f ( x ) lim x 2 4 x 3
x3
3 4 2
5 Tercero,
lim f ( x) 5 f (3) . Por lo tanto f x3
es continua en x 3 .
Ejercicios propuestos Utilice la definición de continuidad para mostrar que la función es continua en el punto dado.
1.
f ( x ) x 2 5 x; x 3
2.
f ( x)
x ; x 20 10
3.
f ( x)
x4 ;x 4 6x
4.
f ( x)
x7 ;x 3 x3
5.
f ( x)
2x 3 2 ;x 3x 2 3 ∎
30
1.7. Teoremas sobre continuidad Teorema (continuidad de una función polinomial) Una función polinomial es continua en todo punto
Teorema (continuidad de una función racional) Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es 0 y es continua en cualquier otro valor. Así, una función racional es continua en su dominio.
1.8. Continuidad en un intervalo Podemos utilizar los teoremas de la sección 1.7 para determinar la continuidad de una función en su dominio.
Ejemplo: Localización de discontinuidades para funciones racionales. Para cada una de las siguientes funciones, encuentre todos los puntos de discontinuidad.
a.
f ( x)
b. g( x)
x4 x 12 x 11 2
3x 6 x2 8
Solución a. Aplicando el teorema 1.7.2, la función racional
f será discontinua en los puntos donde
x2 12x 11 sea cero, encontraremos dichos valores factorizando x 2 12 x 11 0 x 11 x 1 0 x 11 0, x 1 0 x 11, x 1 Así, Por
f sólo es discontinua en 11 y 1 . lo
que,
diremos
que
f
es
continua
en
el
intervalo
, 11 11, 1 1, . 31
b. Para esta función racional, el denominador
x 2 8 nunca es cero (todo número elevado
al cuadrado es positivo, al sumarle 8 nunca será cero). De este modo, por el teorema 1.7.2, g no tiene discontinuidades. ∎
Ejercicios propuestos Encuentre todos los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones.
1.
f ( x)
3 x6
x2 5x 2 2. f ( x ) x2 9 3x 2 4 x 8 3. f ( x) 10 x 2 Autoevaluación 1. La idea intuitiva correcta de un límite es la siguiente: a. Es el valor máximo que puede tomar una función b. Es el valor numérico mínimo que alcanza una función c. Es el número al que se aproxima la función a medida que su variable independiente se aproxima a un valor específico. d. Es el valor al que se aproxima la variable independiente a medida que la función toma un valor específico.
2. Observe la siguiente secuencia para determinar el límite dado
lim x 3
x4 x4 lim x 3 2 x 5 2x 5
lim x 4 x 3
lim 2 x 5 x 3
3 4 2 3 5
7 7 1 32
¿Cuáles son las propiedades y el orden en que se utilizaron para encontrar el límite? a. Propiedades: 8, 7 y 6 respectivamente. b. Propiedades: 8, 6 y 7 respectivamente c. Propiedades: 8, 7, y 5 respectivamente d. Propiedades: 7, 8 y 6 respectivamente
3. ¿Qué condiciones deben cumplirse para que una función sea continua en un punto
a?
a. Que el límite de la función exista cuando x a . b. Que los límites laterales de la función cuando x a existan y sean iguales c. La función está definida en
a.
d. Exista el límite de la función cuando x a , la función esté definida en
a y sea igual
al límite de la función cuando x a .
4. Determine lim 2 x 4 4 x 2 5 x 11 x2
a. -1 b. 15 c. 37 d. 0
5. A partir de la gráfica de
Determine a.
f
lim f ( x)
x2
87
b. No existe
33
c.
63
d.
39
x2 4 6. Determine lim haciendo uso de la tabla x 2 x 2
x
2.1
2 .0 1
2.001
1 .9 9 9
1 .9 9
1 .9
f ( x) a. No existe b.
4
c.
4
d.
7. Para determinar
lim x 1
x 4 3x 3 x 2 el numerador y el denominador debe dividirse x5 1
por: a.
x4
b.
x5
c.
x3
d.
x2
8. Encuentre los puntos de discontinuidad de a.
4
b.
3 4
c.
4
h( x)
3 x4
d. No tiene puntos de discontinuidad
9. ¿Cuál de los siguientes números es un punto de discontinuidad de f ( x) a.
5
b.
5
x2 6x 9 ? x2 2x 15
34
c.
6
d.
9
10. A partir de la gráfica de
Determine
f
lim f ( x)
a.
0
b.
c.
2
x0
d. No existe Ejercicios complementarios de la unidad 1. Los montos anuales de ventas de cierta compañía (en miles) están relacionados con la cantidad de dinero que se gasta en publicidad,
y( x) Encuentre
x
(en miles), de acuerdo con la ecuación
500x x 50
lim y( x) . x
2. El costo de purificar agua está dado por
C
500000 6500 p
Donde p es el porcentaje de impurezas que quedan después de la purificación. La gráfica de esta función en GeoGebra es la siguiente:
35
Al determinar
lim C e interprete el resultado.
x 0
3. La función de utilidad para cierto negocio está dada por P ( x ) 225 x 3.2 x 2 700 , determinar la utilidad de la empresa cuando las ventas se aproximan a 40.2 lotes. 4. La función de demanda para cierto producto está dada por p ( x ) representa el precio y
x
es la cantidad vendida. Determine
6000 , donde p ( x 2) 2
lim p( x) y x
de una
interpretación administrativa del resultado.
5. Evalúe los siguientes límites e indique las propiedades que se aplican en cada paso
3 x 2 17 x 20 a. lim x 4 4 x 2 25 x 36 y2 9 b. lim y 3 2 y 2 7 y 3
36
6. Determine
3x 3 2 x 2 9 x 1 lim x 5 x3 5 7. Determine
lim
x2
3 x2
37
Competencias de la unidad o Encontrar la derivada de una función. o Aplicar los teoremas de derivación para calcular la derivada de una función. o Determinar la recta tangente a la curva en un punto. o Calcular la derivada de funciones exponenciales y logarítmicas. El problema principal del cálculo diferencial consiste en encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto situado sobre una curva, la principal herramienta que permite determinar la pendiente es la derivada. En esta unidad aprenderá el concepto de diferencial de una función, así como los teoremas y propiedades para determinar la derivada de funciones polinomiales, racionales, logarítmicas y exponenciales. Estudiará, además, derivadas de orden superior y la técnica de diferenciación implícita. La derivada tiene múltiples aplicaciones a la economía y negocios, esta unidad le provee las herramientas indispensables antes de abordar dichas aplicaciones.
2.1.
La recta tangente
Definición (Pendiente de una curva) La pendiente de una curva en un punto P es la pendiente, en caso de que exista, de la recta tangente en P .
Definición (Pendiente de una curva) El valor de la pendiente de una curva en un punto ( a , f ( a ) ) es
mtan lim h0
f (a h) f (a) h
Ejemplo: determinación de la pendiente de la recta tangente a una curva Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva
y f (x) x2 en el punto (1,1) .
38
Solución Aplicaremos la igualdad
mtan lim h0
f (a h) f (a) con a 1 y h
f (1) 1 .Así
f (1 h ) (1 h ) 2 1 2h h 2 Ahora
f (1 h) f (1) h0 h 1 2h h 2 12 lim h0 h 2 2h h lim h0 h h(2 h) lim h0 h lim(2 h)
mtan lim
h0
2 Por tanto, la función
y f (x) x2 tiene pendiente 2 en (1,1) . ∎
Ejemplo: Determinación de la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto. Si f (x) x 3x 2, encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f cuándo 2
x 2. Solución Primero encontramos la ecuación de la recta tangente en el punto correspondiente a x 2
mtan lim h0
f (2 h) f (2) h
Para sistematizar un poco la solución, vamos a encontrar por separado f ( 2 h ) y f ( 2 ) .
39
f (2 h ) 2 h 3 2 h 2 2
2 2 2(2)( h ) h 2 6 3h 2 4 4 h h 2 6 3h 2 h 2 7 h 12
f (2) 2 3 2 2 4 6 2 12 2
Luego
f (2 h) f (2) h 0 h 2 h 7h 12 (12) lim h 0 h h 2 7h lim h 0 h h(h 7) lim h 0 h lim(h 7) 7
La ecuación punto pendiente de una recta que pasa por el punto (x0, y0) , y tiene
mtan lim
pendiente m
es
y y0 m( x x0 )
h 0
Así, la recta tangente a la curva en el punto (2,12) tiene pendiente 7. Una ecuación punto pendiente de la recta tangente es
y 12 7(x 2) Luego
y 12 7( x 2) y 12 7 x 14 y 7 x 14 12 y 7x 2 ∎
Ejercicios propuestos 1. Encuentre la pendiente de la curva y x 9 en el punto (2,13) . 2
2. Determine la pendiente de la curva y 1 x en el punto (1,0) . 2
40
En los siguientes problemas, encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado. 3.
y 2 x 3;(3,9)
4.
y 4 x 2 3;(1,1)
5.
y x 7 ;(5, 4)
2.2.
2
Derivada de una función
Definición (La derivada) La derivada de una función f es la función denotada como f (se lee “ f prima”) y definida por
lim h0
f ( x h) f ( x ) h
siempre que este límite exista. Si f ( a ) puede encontrarse, se dice que f es diferenciable en a y a f ( a ) se le llama derivada de f en a o derivada con respecto a x en a . Al proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación
Ejemplo: uso de la definición para encontrar la derivada Si f ( x ) x , encuentre la derivada de f . 2
Solución Al aplicar la definición de una derivada se obtiene
f ( x h) f ( x ) h 2 ( x h) x 2 lim h 0 h 2 x 2 xh h 2 x 2 lim h 0 h 2 2 xh h lim h 0 h h(2 x h) lim h 0 h lim(2 x h)
f ( x ) lim h 0
h 0
2x
41
Observe que, al obtener el límite, se trata a
x
como una constante porque es h y no
está cambiando. Observe también que f ( x ) 2 x define una función de
x
la que
x , lo cual puede
interpretarse como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en ( x, f ( x )) . Es decir,
f ( x ) 2 x es la función que genera todas las pendientes de las rectas tangentes en función del valor de
x. ∎
Notación Además de f ( x ) , otras formas usadas para denotar la derivada de y f ( x ) en
dy dx d ( f (x)) dx y Dx y Dx ( f ( x))
x
son:
Se lee “de y de x ”
“de f ( x ) , de x ” “ y prima” “de x de y ” “de x de f ( x ) ”
Ejemplo: Determinación de una ecuación de la recta tangente Si f ( x ) x 3 x 2 , encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en (1,6) . 2
Solución El procedimiento por seguir es: encontrar la derivada para encontrar la pendiente de la recta tangente, posteriormente utilizar la ecuación punto pendiente para encontrar la ecuación de la recta tangente buscada. Para calcular la derivada
42
f ( x h) f ( x ) h 0 h 2 ( x h) 3( x h) 2 ( x 2 3 x 2) lim h 0 h 2 2 x 2 xh h 3 x 3h 2 x 2 3x 2 lim h 0 h 2 2 xh h 3h lim h 0 h h(2 x h 3) lim h 0 h lim(2 x h 3)
f ( x ) lim
h 0
2x 3 Por lo que
f ( x ) 2 x 3 y
f (2) 2(1) 3 5 Así, la recta tangente a la gráfica en (1 , 6 ) tiene pendiente de 5. Aplicando la ecuación punto pendiente y posteriormente simplificando para llevar a la forma pendiente intercepto, tenemos
y 6 5( x 1) y 6 5x 5 y 5x 5 6 y 5x 1 ∎
Ejemplo: determinación de una derivada de p con respecto a q Si p f ( q )
3 dp , encuentre . 8q dq
43
Solución
dp d ( p) dq dq d ( f ( q )) dq f ( q h) f ( q ) lim h 0 h 3 3 8( q h) 8q lim h 0 h 3(8q ) 3(8( q h)) 8( q h)(8q ) lim h 0 h 24q 24( q h) 64q (q h) lim h0 h 24q 24q 24h) 64q 2 64h lim h0 h 24h 64q 2 64h lim h0 h 1 24h lim h 0 h (64 q 2 64 h ) 24 lim h 0 64 q 2 64 h 24 3 2 2 64q 8q ∎
Ejercicios propuestos En los problemas 1 al 4, emplee la definición de la derivada para encontrar en cada caso
1.
f ( x ) si f ( x ) 2 x 3 44
2.
d 8 dx x
3.
y si y x 2 5 x 3
4.
y si y 1
x 5
5. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado. a.
y x 6;(5,11)
b.
y x 2 3 x 12;(2,10)
c.
y
2.3.
5 ;(3,1) x8
Teoremas sobre derivadas de funciones algebraicas
La diferenciación de una función mediante el uso directo de la derivada puede ser tediosa. Sin embargo, si una función está construida a partir de funciones más simples, entonces la derivada de la función más complicada puede ser construida a partir de las derivadas de funciones más simples. (Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015).
Teorema (Regla de diferenciación de una constante) Si c es una constante y si f ( x ) c , entonces
f ( x ) 0 La derivada de una constante es cero
Ejemplo: derivadas de funciones constantes a. Si f ( x ) 7 , entonces f ( x ) 0 b. Si g( x) , entonces g( x ) 0 c.
d ( 2) 0 dx ∎
45
Teorema (Regla de diferenciación de potencias) Si n es cualquier número real y si f ( x ) x , entonces n
f ( x) nx n1 La derivada de una potencia constante de x es igual al exponente multiplicado por x elevado a la potencia menos uno.
Ejemplo: derivadas de funciones potencias. a. Si f ( x) x10 , entonces f ( x ) 10 x101 10 x 9 b. Si g( x) x , entonces g( x) 1x11 x 0 1 c.
d 3.5 ( x ) 3.5 x3.51 3.5 x 2.5 dx ∎
Teorema (Regla de diferenciación del producto de una constante por una función) Si f es una función, c una constante y g es la función definida por
g ( x) c f ( x) y si f existe, entonces
g( x ) c f ( x) La derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de una función.
Ejemplo: derivadas de una constante por una función a. Si f ( x) 4 x 3 , entonces f ( x ) 4 3 x31 12 x 2 b. Si g( x ) c.
x 1 1 1 x , entonces g( x) 1 5 5 5 5
d d 1 3 (3 x ) (3 x1 2 ) 3 x1 21 x 1 2 dx dx 2 2 ∎
46
Teorema (Regla de diferenciación para la suma y diferencia) Si f y g son funciones, y h es la función definida por
h( x ) g ( x ) f ( x ) y si f y g existen, entonces
h( x ) g ( x) f ( x) La derivada de una suma es la suma de las derivadas. La derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas.
Ejemplo: derivadas de la suma o diferencia de funciones a. Si f ( x) 6x5 4x6 , entonces f ( x) 6 5 x 51 4 6 x 61 30 x 4 24 x5 b. Si g( x) 3 x 5
x , primero reescribimos la función g( x) 3 x5 x 3 x 5 x1 2
Luego
g ( x ) 3 5 x 51 15 x 4
c.
1 1 21 x 2
1 1 2 x 2
d (6 x 5 4 x 4 7 x 2 112) 6 5 x 5 1 4 4 x 4 1 7 2 x 2 1 0 dx 30 x 4 16 x 3 14 x ∎
Ejemplo: determinación de una derivada
Sea h( x ) 3 x 4 x 3
2 x
3
x 2 , encuentre h( x ) .
Solución La función está definida como el producto de dos factores, los teoremas estudiados no nos ofrecen herramientas para calcular la derivada de forma directa. La estrategia es desarrollar el producto y llevarla hasta una forma polinomial para aplicar los teoremas conocidos. Así
47
h( x) 3 x3 4 x 2 x 3 x 2 3 x3 2 x3 3x 3 x 2 4 x 2 x 3 4 x x 2 6 x6 3x5 8 x 4 4 x3 Al derivar
h( x) 36 x 5 15 x 4 32 x3 12 x 2 ∎
Ejemplo: determinación de una derivada
Encuentre la derivada de f ( x ) 3 x 2 x 2 x 5 cuándo x 3 . 2
Solución Se multiplica y luego se deriva cada término
f ( x) 3x 2 x 2 2 x 5 6 x 3 6 x 2 15 x Luego
f ( x ) 6(3 x 31 ) 6(2 x 2 1 ) 15(1) 18 x 2 12 x 15
f (3) 18 3 12(3) 15 2
183 ∎ Ejemplo: determinación de una ecuación de la recta tangente Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva
4x2 3 y x cuando x 1 .
48
Solución Primero se encuentra
dy dy , que da la pendiente de la recta en cualquier punto. Al evaluar dx dx
en x 1 , se obtiene la pendiente de la recta tangente requerida. Después se determina la coordenada y del punto sobre la curva cuando x 1 . Por último, se sustituye la pendiente y ambas coordenadas en la forma punto – pendiente para obtener la ecuación de la recta tangente. Si se reescribe y como una diferencia de dos funciones se obtiene
4x2 3 4x2 3 y 4 x 3x 1 x x x Por lo que,
dy 4(1) 3( 1x 11 ) dx 4 3 x 2 La pendiente de la recta tangente a la curva cuando x 1 es
dy dx
4 3(1) 2 4 3(1) 7 x 1
4x2 3 Para encontrar la ordenada y del punto sobre la curva cuando x 1 , se evalúa y x en x 1 . Esto da como resultado
y
4(1)2 3 1 1
De modo que el punto (1,1) está tanto sobre la curva como sobre la recta tangente. Entonces, una ecuación de la recta tangente es
y 1 7( x 1) Llevando a la forma pendiente-intersección, se tiene
49
y 1 7( x 1) y 1 7 x 7 y 7x 7 1 y 7x 6 ∎ Teorema (Regla del producto de dos funciones) Si f y g son funciones, y h es la función definida por
h( x ) f ( x ) g ( x ) y si f y g existen, entonces
h( x ) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) La derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera función por la segunda, más la primera función por la derivada de la segunda.
derivada de derivada de d (producto) segunda primera dx la primera la segunda
Ejemplo: aplicación de la regla del producto
2 Si h( x ) x 1 3 x 4 , encuentre h( x ) .
Solución Se considera h( x ) como el producto de dos funciones:
h( x ) x 2 1 3 x 4 f ( x)
g ( x)
Por lo tanto, es posible aplicar la regla del producto:
50
h( x) f ( x) g ( x) f ( x ) g ( x)
d 2 d x 1 3x 4 x 2 1 3x 4 dx dx Derivada de la primera
Segunda
Primera
Derivada de la segunda
2 x 3 x 4 x 2 1 3 6 x 2 8x 3x 2 3 9x2 8x 3 ∎ Ejemplo: Aplicación de la regla del producto
Si y x
2 3
4 2 x1 3 3 x , encuentre
dy . dx
Solución Aplicando la regla del producto
dy d 2 3 d x 4 2 x1 3 3x x 2 3 4 2 x1 3 3x dx dx dx 2 2 x5 3 2 x1 3 3x x 2 3 4 x 2 3 3 3 3 4 2 8 x 4 3 2 x 2 3 x 4 3 3x 2 3 x 2 3 12 3 3 3 4 2 8 x 4 3 x 4 3 2 x 2 3 3x 2 3 x 2 3 12 3 3 3 2 5 x 4 3 x 2 3 12 3 3
∎
51
Teorema (Regla del cociente) Si f y g son funciones, g ( x ) 0 , y h es la función definida por
h( x )
f ( x) g ( x)
y si f y g existen, entonces
h( x)
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
g ( x)
2
La derivada del cociente de dos funciones es la derivada del numerador, por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador.
derivada del derivada del denominador numerador numerador denominador d (Cociente) 2 dx denominador Ejemplo: aplicación de la regla del cociente
2 x2 3 Si h( x) , encuentre h( x ) . 3 4x Solución Sea f ( x) 2 x 2 3 y
g ( x ) 3 4 x . Entonces
h( x)
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
g ( x)
2
d d 2 x 2 3 3 4 x 2 x 2 3 3 4 x dx dx
Derivada del numerador
Denominador
Numerador
Derivada del Denominador
3 4x 2
Cuadrado del denominador
52
4 x 3 4 x 2 x 2 2 3 4 x
3 4
12 x 16 x 2 8 x 2 12
3 4 x
2
24 x 2 12 x 12
3 4 x
2
∎ Problemas propuestos En los problemas del 1 al 25, diferencie las funciones
1.
3 f ( x) 5
2.
f ( x) x 20
4
3. g ( x ) 8 x8 4.
f ( w)
4 6 w 3
5. h ( x ) x 8 6.
p(x) 6 x
7.
f ( x) 4 x 2 3 x
8.
p (q ) 12q 2 13q 121
9. s ( x) 10 x 4 ln 3 10. g ( p ) 6 p 5 14 p 4 16 p 3 6 p 2 p 20 11. f ( x )
3 x2
12. g ( x)
5 2x4
13. f ( x)
x 4 4 x
53
14. h ( x )
1 x2
15. w( x) 2 x1 2 3 x1 4
1
16. f ( x )
3 x
17. f ( x) x(3 x 2 10 x 7) 18. f ( w) 19.
w6 w6
g(x) x 3 x 1
20. s ( q )
4q 2 2q 4 q
f ( x ) 2 x 6 x 4 x f ( x) 5 x 4 4 5 x
21. f ( x ) x 2 5 x 3 3 x 2 x 22. 23.
2
7
24. f ( x)
2x 3 4x 1
25. f ( x)
6 2x x2 4
3
3x
3
2 4 x 2 7 x
En los problemas del 26 y 27, encuentre la pendiente de la curva en el punto indicado
26. y 3 x 2 8 x 12;(2,8) 27. y 2 5 x 2 x 3 ;(0, 2), (1,5) En los ejercicios del 28 al 30, encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado.
28. y 2 x 2 6 x 10;(2,10) 29. y
1 x2 ;(6, 7) 5 54
30. y 2.4.
1 1 ; 2, x 4 16
Derivadas de orden superior
Se sabe que la derivada de una función y f ( x ) es en sí misma una función, f ´( x). Cuando se diferencia f ´( x) , la función resultante se llama segunda derivada de f con respecto a x . Esta se denota como f ( x) , lo cual se lee como “ f doble prima de x ”. De manera similar, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f con respecto a x y se escribe
f ( x ) . Continuando de esta manera, se obtienen derivadas de orden superior. Ejemplo: determinación de derivadas de orden superior Si f ( x ) 5 x 4 x 6 x 3 , encuentre sus primeras cuatro derivadas. 3
2
Solución Al diferenciar f ( x ) se obtiene
f ( x) 15 x 2 8 x 6 Al derivar f ( x ) resulta
f ( x ) 30 x 8 De manera similar
f ( x ) 30 f (4) ( x) 0 ∎
Ejercicios propuestos En los problemas siguientes, encuentre las derivadas que se le indican
1.
y 3 x 4 2 x 4 5 x; y 55
2.
y 4 x3 5 x 2 2 x 8; y
3.
1 y ; y x
2.5.
Derivada de una función compuesta. Regla de la cadena
La regla de la cadena es una de las más importantes para determinar derivadas de funciones compuestas
Regla de la cadena Si y es una función diferenciable de u y u es una función diferenciable de x , entonces y es una función diferenciable de x y
dy dy du dx du dx Otra forma de escribir la regla de la cadena es con la siguiente notación:
Dx f (u) f (u)Dxu Un caso especial de la regla de la cadena es el siguiente
Regla de la potencia Si y u es una función diferenciable de u y u es una función diferenciable de x , entonces y es una función diferenciable de x y n
d n du u nu n.1 dx dx Ejemplo: Uso de la regla de la cadena y regla de la potencia
Si y 2 x 5 3
10
, encuentre y
Solución Como y es una potencia de una función de x , podemos aplicar la regla de la cadena por medio de la regla del producto.
56
y 10 2 x 3 5
10 1
Dx 2 x3 5
10 2 x 3 5 6 x 2 9
60 x 2 2 x3 5
9
∎ Ejemplo: Uso de la regla de la cadena
8
Si f ( x ) 2 x 5 x 4 , determine f ( x ) . 3
2
Solución Aplicando la regla de la potencia
f (x) 8 2x3 5x2 4 Dx 2x3 5x2 4 7
8 2x3 5x2 4 6x2 10x 7
∎ Ejemplo: Regla de la cadena en una función racional Encuentre la derivada de la función
s ( x)
2 . x 1
Solución Reescribiendo.
s( x)
2 x 1
2 x 1
1
Ahora diferenciando
s ( x) 2 x 1 Dx ( x 1) 2
2 x 1
2
2 x 1
2
1 57
∎ Ejemplo: Aplicación de la regla de la cadena 5
Sea h ( x )
2 , encuentre h( x ) . x 1
Solución Utilizando la regla de la cadena 4
2 2 h ( x ) 5 Dx x 1 x 1 2 2 2 x 1 . Luego x 1
En el ejemplo anterior determinamos que D x
4
2 2 h( x) 5 Dx x 1 x 1 4
2 2 5 2 x 1 x 1
4
2 2 10 x 1 x 1
∎ Ejemplo: Uso de la regla de la cadena y regla del cociente Calcule
d 2 x 1 dx 3 x 1
4
58
Solución 4 3 d 2 x 1 2x 1 2x 1 4 Dx dx 3x 1 3x 1 3x 1
2x 1 4 3x 1
3
Dx 2 x 1 3x 1 2 x 1 Dx 3x 1 2 3x 1
2x 1 4 3x 1
3
2 3x 1 2 x 1 3 2 3x 1
2x 1 4 3x 1
3
6x 2 6x 3 2 3 x 1
2x 1 4 3x 1
3
5 2 3 x 1
20 2 x 1
3
3x 1 3x 1 3 20 2 x 1 5 3x 1 3
2
∎ Ejercicios propuestos Encuentre la derivada de cada una de las funciones siguientes.
1.
y 4 x 3
2.
y x2 5x
3.
y x3 x
4.
f ( x) 2 3x2 2x 6
5.
g ( x) 2 4 5 x
6.
p( x) 3x2 20x2
6
9
12
100
6
6
59
7.
g( x) 2x2 3x
8.
y
3 x 4
9.
y
1 x 2x 8
2
2
10. h ( x )
4x
5
3
3x
11.
f (x) 2x 3
12.
y x3 x2 3x
13. w( x) 3x 14.
2
4
5
x2 4
r( x) 2x 7 x2 3 3
3x 1 15. q ( x ) 2x 1 16. f ( x ) 2.6.
1 2
6
5
x 1 x5
Diferenciación implícita
La diferenciación implícita es una técnica para diferenciar funciones que no están dadas en la forma usual y f ( x ) . Haeaussler propone un procedimiento para este tipo de problemas:
60
Ejemplo: Diferenciación implícita Encuentre
dy 3 por diferenciación implícita sí y y x 7 . dx
Solución Paso 1. Diferenciar ambos lados de la ecuación
d y y3 x dx d d d y y3 x dx dx dx Ahora
d 7 dx d 7 dx
d dy d y puede escribirse como , y x 1 . Por la regla de la potencia, dx dx dx d 3 dy y 3y2 dx dx
Por consiguiente, se obtiene
d d d d y y3 x 7 dx dx dx dx dy dy 3y2 1 0 dx dx Paso 2. Agrupar todos los términos
dy al lado izquierdo y los demás al lado derecho. dx 61
dy dy 3y2 1 0 dx dx dy dy 3y2 1 dx dx Paso 3. Factorizar
dy al lado izquierdo. dx dy dy 3y2 1 dx dx dy 1 3y2 1 dx
Paso 4. Despejar
dy dx dy 1 3y2 1 dx dy 1 dx 1 3 y 2
(Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015).
∎ Ejercicios propuestos En los siguientes problemas, encuentre
dy mediante diferenciación implícita. dx
1. y 3 4 x 2. 4 x 2 9 y 2 36 3. x 2 y 2 16 4. 2 y 3 7 x 2 5 5. x 2 xy 2 y 2 0
62
2.7.
Derivadas de funciones logarítmicas
Regla (Derivada de ln x )
d 1 ln x para x 0 dx x Ejemplo: Diferenciación de funciones que contienen ln x Diferencia f ( x ) 7 ln x .
Solución Al aplicar la regla
d d 7 ln x 7 ln x dx dx 1 7 x 7 x ∎ Ejemplo Encuentre la derivada de
f ( x)
ln x x3
Solución Se reescribe la función
f ( x)
ln x 3 x ln x x3
Se deriva con la regla del producto
63
1 f ( x) 3x 4 ln x x 3 x x 3 3x 4 ln x x 3ln x 1 4 x4 x 3ln x 1 x4 ∎
Regla de la cadena (Derivada de ln u ) Sea y ln u , donde u es una función diferenciable de x . Por la regla de la cadena
d 1 du ln u du u dx
para u 0
Ejemplo: Uso de la regla de la cadena para funciones que contienen ln u
Diferencie y ln x 1 . 2
Solución Como el argumento de la función logaritmo natural es x 1 0 , podemos aplicar la regla de 2
la cadena.
1 Dx x 2 1 x 1 1 2 2x x 1 2x 2 x 1
y
2
∎
Ejemplo: Regla de la cadena y regla del producto Diferencie y x ln 3x 2 . 3
64
Solución Aplicando la regla del producto
y Dx x 3 ln 3 x 2 x 3 Dx ln 3 x 2 1 3 x 2 ln 3 x 2 x 3 Dx 3 x 2 3x 2 1 3 x 2 ln 3 x 2 x 3 3 3x 2
3x3 3x ln 3 x 2 3x 2 2
∎ Ejemplo: Reescritura de funciones logarítmicas antes de diferenciarlas
3
Encuentre la derivada de la función y ln 2 x 5 . 2
Solución Nótese que el argumento del logaritmo está elevado a una potencia. Antes de diferenciar reescribiremos la función utilizando las propiedades de los logaritmos.
y ln 2x2 5 3ln 2x2 5 3
Al diferenciar
1 2 y 3 2 Dx 2 x 5 2x 5 3 2 4x 2x 5 12 x 2 2x 5 ∎
65
Ejercicios propuestos Para las funciones que se presentan a continuación, determine la derivada
3ln x 4
1.
f ( x)
2.
g ( x) ln( x 3)
3.
y ln(6 x 5)
4.
f ( x) ln(3x 2 8 x 3)
5.
y ln x 2
6.
y x ln x x
7.
f ( w) ln( w3 2w 3)5
8.
f ( z)
9.
f ( x ) 4 3ln x
10. y
ln z z
x2 ln x 2.8.
Derivadas de funciones exponenciales
A la función y e se le llama función exponencial, y su derivada es y e . x
x
Derivada de la función exponencial Sea y e , donde u es una función diferenciable de x . Por la regla de la cadena u
d u du e eu du dx Ejemplo: Diferenciación de funciones que contienen e x . Encuentre
d (10e x ) . dx
66
Solución
d d (10e x ) 10 (ex ) 10ex dx dx ∎ Ejemplo: Diferenciación de funciones que contienen e x . Si
y
x , determine y . ex
Solución Reescribimos la función para aplicar la regla del producto
y
x xe x x e
Derivando
y 1 e x x e x 1 e x xe x e x (1 x )
1 x ex ∎
Ejemplo: Diferenciación de funciones que contienen eu . a. Encuentre
d x2 2 x e dx
Solución
2 2 d e x 2 x e x 2 x Dx x 2 2 x dx
2 x 2 2 x 2 ex 2x ex
2
2 x
2
67
d x2 e ln x 2 2 x . dx
b. Encuentre Solución
Aplicaremos regla del producto
d x 2 d x2 d e ln x 2 2 x e ln x 2 2 x e x 2 ln x 2 2 x dx dx dx 1 e x 2 1 ln x 2 2 x e x 2 2 2x 2 x 2x 2x 2 e x 2 ln x 2 2 x e x 2 2 x 2x 2x 2 e x 2 ln x 2 2 x 2 x 2 x
∎ Ejercicios propuestos En los problemas siguientes, diferencie las funciones
x2 1. y x e 2.
f ( x) e x
2
1
3. y xe x 2
4 x 7
4.
f ( x) e2 x
5.
y ex
6.
f ( x) ln e x
x
7. h( x) e x ln x 8.
3
p ( x ) e 4 x 5 x
9. k ( x )
2
2 x6
e x e x 3
68
7000e(2 q 6)/800 10. q ( x) q Autoevaluación
1. Calcule f ( x ) si f ( x ) 4 x 3
8 x
a.
f ( x )
b.
f ( x) 8 3 x
c.
f ( x)
d.
f ( x)
3
2
8 3
3 x 3
8 3x
2. Seleccione la regla para derivar un producto a. Derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo. b. Derivada del primero por el segundo, menos el primero por la derivada del segundo. c. Derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo, todo entre la derivada del segundo al cuadrado. d. Derivada del primero por el segundo, menos el primero por la derivada del segundo, todo entre la derivada del segundo al cuadrado. 3. Determine
a.
dy 2 3 si 3 y 5 x 3 x . dx
dy 5 9 x 2 dx 6y
dy 5 9 x 2 b. dx 6 c.
dy 5 6 x 2 dx 6y
dy 5 9 x 3 d. dx 6y
69
4. Encuentre la derivada de f ( x ) e 2
a.
f ( x) e18 x
b.
f ( x) 18 x 2 e6 x 2 x 3
c.
f ( x ) 18 x 2 2 e 6 x
d.
f ( x ) 3 x 2 2 x e 6 x
6 x3 2 x 3
.
2 3
3
3
2 x 3
2 x 3
5. Seleccione la regla para derivar un cociente a. Derivada del numerador por el denominador, más el numerador por la derivada del denominador. b. Derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador. c. Derivada del numerador por el denominador, más el numerador por la derivada del denominador, todo entre la derivada del denominador al cuadrado. d. Derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo entre la derivada del denominador al cuadrado. 6. Para la siguiente ecuación, encuentre
dy dx
x3 4 xy 2 32 y 4 a.
dy 3 x 2 4 y 2 dx 4 y 3 8 xy
b.
dy 4 x 2 3 y 2 dx 4 y3 8x
c.
dy 4 x 2 3 y 2 dx 4 y3 8x
d.
dy 3x 2 4 y 2 3 dx 4 y 8 xy
7. Diferencie la función f ( w) ln(4 w 2 w ) 6
a.
f ( w)
3
12w5 3w2 2 w6 w3
70
b.
24w5 6w2 f ( w) 2w6 w3
c.
f ( w)
12w5 3w2 4w6 2 w3
d.
f (w)
1 4w 2w3 6
8. Diferencie f ( x ) x 2 2 x 2 x 4 e 4
3
2
a.
f ( x) 4 x 3 6 21 2 x 2 4 x 2 xe x
b.
f ( x) 4 6 2 x 2 2 x 2 xe x
c.
f ( x) 4 x 3 6 6 x 2 4 x 2 xe x
2
d.
f ( x) 4 x 3 6 2 x 2 4 x 2 xe x
2
x2
2
2
9. Encuentre la derivada de la función f ( x) x 7 x 3
2
x
3
x 2 5
a.
f ( x) 3x 2 14 x 3x 2 2 x
b.
f ( x) 3 x 2 14 x x 3 x 2 5 x 3 7 x 2 3 x 2 2 x
c.
3x f ( x)
d.
f ( x) 3 x 2 14 x x 3 x 2 5 x 3 7 x 2 3 x 2 2 x
2
14 x x 3 x 2 5 x 3 7 x 2 3 x 2 2 x
x
10. Si f está definida por f ( x)
a.
f ( x )
b.
f ( x)
c.
f ( x )
3
x2 5
1 1 x2
2
, encuentre f ( x )
x 1 x2
x
1 x
2 3
2 x 1 x2
71
d.
x2
f ( x )
1 x2
Problemas propuestos Bloque A En los problemas del 1 al 15, diferencie las funciones
1. g ( p ) 6 p 5 14 p 4 16 p 3 6 p 2 p 20 2. g ( x) 3.
5 2x4 x 4 4 x
f ( x)
4. h ( x )
1 x2
5. w( x) 2 x1 2 3 x1 4
1
6.
f ( x)
7.
f ( x) x(3x 2 10 x 7)
8.
f (w)
9.
g(x) x 3 x 1
10. s ( q )
3 x
w6 w6
4q 2 2q 4 q
f ( x ) 2 x 6 x 4 x f ( x) 5 x 4 4 5 x
11. f ( x ) x 2 5 x 3 3 x 2 x 12. 13.
14. f ( x)
2
7
3
3x
3
2 4 x 2 7 x
2x 3 4x 1
72
15. f ( x)
6 2x x2 4
Bloque B En los ejercicios del 1 al 3, encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado.
1. y 2 x 2 6 x 10;(2,10)
1 x2 2. y ;(6, 7) 5 3. y
1 1 ; 2, x 4 16
Bloque C Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
1.
y
3 x 4
2.
y
1 x2 2 x 8
3.
h( x)
4.
y x3 x2 3x
5.
w( x) 3x2 x2 4
6.
r( x) 2x 7 x2 3
7.
3x 1 q( x) 2x 1
8.
f ( x)
2
4x
5
3
3x
4
5
3
6
5
x 1 x5
73
Bloque D En los siguientes problemas, encuentre
dy mediante diferenciación implícita. dx
1. y 3 4 x 2. 4 x 2 9 y 2 36 3. x 2 y 2 16 4. 2 y 3 7 x 2 5 5. x 2 xy 2 y 2 0 Bloque E Para las funciones que se presentan a continuación, determine la derivada
1.
y ln(6 x 5)
2.
f ( x) ln(3x 2 8 x 3)
3.
y x ln x x
4.
f ( w) ln( w3 2w 3)5
5.
f ( x ) 4 3ln x
6.
y
x2 ln x
Bloque F En los problemas siguientes, diferencie las funciones
1. y
x2 ex
2. y xe x 3.
y ex
x
74
4.
f ( x) ln e x
5. h( x) e x ln x 6.
3
p ( x ) e 4 x 5 x
2
2 x6
e x e x 7. k ( x ) 3 8. q ( x)
7000e(2 q 6)/800 q
75
Competencias de la unidad o Determinar costo e ingreso marginal o Elaborar conjeturas a partir del análisis de funciones de oferta y demanda. o Calcular el excedente del productor y el consumidor o Encontrar la elasticidad de demanda y propensión marginal al consumo y al ahorro. En esta unidad se retomará el concepto de diferencial, pero desde una perspectiva aplicada a la economía y negocios. A través de la matemática es posible representar una situación administrativa en una función de la variable real, sobre la cual pueden aplicarse diversos procedimientos algebraicos y de cálculo, entre ellos la derivada. Nuestro objeto de estudio será la interpretación de la derivada sobre funciones dependiendo su naturaleza, estudiaremos aplicaciones en la oferta y demanda, producción, determinación de costos, proyección de ventas, costo e ingreso marginal.
3.1.
La derivada en la oferta y demanda
Iniciaremos definiendo algunos conceptos básicos: oferta y demanda: Según la RAE, la oferta es: el conjunto de bienes o mercancías que se presentan en el mercado con un precio concreto y
en un momento determinado. La oferta es, por lo tanto, una cantidad concreta, bien especificada en cuanto al precio y al periodo de tiempo que cubre, y no una capacidad potencial de ofrecer bienes y servicios. (Eumed.net, 2017) Existe una relación estrecha entre la oferta, el precio de venta de los productos o servicios y su demanda, cuanto mayor sea el precio mayor será la cantidad de bienes y servicios que los oferentes están dispuestos a llevar al mercado, y viceversa; cuando mayor sea el período de tiempo considerado, más serán los productores que tendrán tiempo extra para ajustar su producción para beneficiarse del precio existente. Mientras tanto, la demanda se define como:
76
Cuantía global de las compras de bienes y servicios realizados o previstos por una colectividad. (Real Academia Española, 2017). Dicho de una manera más sencilla:
Cantidad de una mercancía o servicio que los consumidores desean y pueden comprar a un precio determinado en un determinado momento. (Eumed.net, 2017) Desde el punto de vista matemático, las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. La cantidad q de cualquier artículo que será adquirida por los consumidores, depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores están dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina función de demanda. La ley más simple es una relación del tipo
p mq b En donde p es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes. La gráfica de una ley de demanda se llama curva de demanda. Obsérvese que p se ha expresado en términos de q . Esto nos permite calcular el nivel de precio en que cierta cantidad q puede venderse. Es un hecho perfectamente conocido que, si el precio por unidad de un artículo aumenta, la demanda por el artículo disminuye, porque menos consumidores podrán adquirirlo, mientras que si el precio por unidad disminuye (es decir, el artículo se abarata) la demanda se incrementará. En otras palabras, la pendiente
m de la relación de demanda de la ecuación p mq b
es
negativa. De modo que la gráfica de la ecuación tiene una inclinación que baja hacia la derecha, como se aprecia en la siguiente figura
77
Figura 12: Curva de demanda lineal (Arya & W., 2009)
Puesto que el precio p por unidad y la cantidad q demandada no son números negativos, la gráfica debe dibujarse solo en el primer cuadrante. La cantidad de un artículo determinado, que sus proveedores están dispuestos a ofrecer, depende del precio al cual puedan venderlo. Una relación que especifique la cantidad de cualquier artículo que los fabricantes (o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios se denomina función de oferta. La gráfica de una función de oferta se conoce como curva
de oferta. En general, los proveedores inundarán el mercado con una gran cantidad de artículos, si pueden ponerle un precio alto, y con una cantidad más pequeña de artículos si el precio obtenido es más bajo. En otras palabras, la oferta aumenta al subir el precio. Una curva de oferta lineal típica aparece en la siguiente figura:
Figura 13: curva de oferta lineal (Arya & W., 2009)
Ejemplo: Demanda Un comerciante puede vender 20 rasuradoras eléctricas al día al precio de $25 cada una, pero puede vender 30 si les fija un precio de $20 a cada rasuradora eléctrica. Determine la función de demanda, suponiendo que es lineal.
78
Solución Considerando la cantidad demandada q como la abscisa y el precio p como la ordenada, los dos puntos sobre la curva de demanda tienen coordenadas,
q 20, p 25 y q 30, p 20 De modo que los puntos son (20, 25) y (30, 20) . Dado que la ecuación de demanda es lineal, está dada por la ecuación de una recta que pasa por los puntos (20, 25) y (30, 20) . La pendiente de la línea que une esos puntos es
m
20 25 5 0.5 30 20 10
Por la fórmula punto – pendiente, la ecuación de la línea que pasa por (20, 25) y (30, 20) y tiene pendiente m 0.5 es
p 25 0.5(q 20) p 25 0.5q 10 p 0.5q 10 25 p 0.5q 35 La ecuación de demanda requerida ∎ Por supuesto que las funciones de oferta y demanda no siempre tienen forma lineal, cuya determinación requiere el uso de conceptos matemáticos más avanzados. De aquí en adelante, estudiaremos problemas que ya tienen definida su función de demanda o de oferta.
3.2.
La derivada en la estimación de ventas
La derivada tiene varias aplicaciones en la administración y la economía en la construcción de lo que denominamos tasas marginales. En este campo, la palabra “marginal” se utiliza para indicar una derivada, esto es, una tasa de cambio. Dos de las tasas más importantes son el
ingreso marginal y el costo marginal. En esta sección estudiaremos el ingreso marginal, primero definiremos la función de ingreso total:
79
Sea r el valor monetario total recibido por una empresa al vender q unidades de un producto, entonces definimos la función de ingreso total para un fabricante como:
r f (q ) El ingreso marginal, se define como la razón de cambio del valor total recibido con respecto al número total de unidades vendidas. Por consiguiente, el ingreso marginal es solamente la derivada de r con respecto a q .
Ingreso marginal
dr dq
El ingreso marginal indica la rapidez a la que cambia el ingreso con respecto a las unidades vendidas. Se interpreta como el ingreso aproximado al vender una unidad adicional de
producción,
Ejemplo: Ingreso marginal Si la función de ingreso está dada por
r ( q ) 10 q 0.01q 2 En donde q es el número de artículos vendidos. Determine el ingreso marginal. Evalúe el ingreso marginal cuando
q 200 .
Solución Primero determinamos
dr , dq dr d 10 q 0.01q 2 dq dq 10 0.02 q
Esto nos da el ingreso marginal cuando se vende un número arbitrario q de artículos. Si
q 200 , obtenemos el ingreso marginal de dr 10 0.02 200 6 dq q 200 80
Así que cuando se venden q 200 artículos, cualquier incremento pequeño en las ventas provoca un aumento en los ingresos de $6 por artículo. ∎ La función de ingreso también puede escribirse de la forma
r (q) pq Donde p es el precio de venta por artículo, y q es el número de artículos vendidos.
Ejercicios propuestos En los ejercicios del 1 al 4 calcule el ingreso marginal de las funciones de ingreso dadas:
1. r ( q ) q 0.01q 2 2. r ( q ) 5 q 0.01q 5 2
3. r ( q ) 100 q ln 6 q 3 1 q
4. r ( q ) 0.1q 10 3 q 2 10 5 x 5 2 5. Si la ecuación de demanda es
q p 10 , calcule el ingreso marginal.
6. Si la ecuación de demanda es 10 p q 0.1q 2 700 , calcule el ingreso marginal cuando
q 10 . 3.3.
Aplicaciones a la producción y estimación de costos
La otra tasa marginal importante es el costo marginal. Antes de estudiarla debemos definir la función de costo total. Para un productor hay dos tipos esenciales de costo: el costo fijo y el costo variable. El primero se refiere a todos los costos que debe afrontar la empresa independientemente produzcan o no, como alquiler, salarios, impuestos, energía eléctrica, agua, etc. Mientras que el costo variable depende de la cantidad de producción, principalmente los relacionados a la materia prima, depreciación de equipo, comercialización y otros relacionados directamente a la fabricación de los productos. Definimos el costo total como el costo fijo más el costo variable. De forma simplificada:
81
La función de costo total de un fabricante,
c f (q) , proporciona el costo total c de producir
y comercializar q unidades de un producto. La razón de cambio de
c
con respecto a q se llama costo marginal. Así
Costo marginal
dc dq
El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento de la cantidad producida.
Ejemplo: determinación de costo marginal Suponga que c f ( q ) 0.1q 2 3 es una función de costo, donde
c
está en dólares y q en
libras. Entonces,
dc 0.2q dq El costo marginal cuando se producen 4 libras es
dc evaluado en q 4 : dq
dc 0.2(4) 0.8 dq q 4 Esto significa que si la producción se incrementa en 1 libra, desde 4 hasta 5 libras, entonces el cambio en el costo es aproximadamente de $0.80 . Es decir, la libra adicional cuesta $0.80 . ∎ En general, se interpreta el costo marginal como el costo aproximado de una unidad producida sobre la producción planificada. Otro concepto importante es el costo promedio por unidad: Si
c es el costo total de producir q unidades de un producto, entonces el costo promedio por
unidad c es
82
c
c q
Esto es, el costo total entre el número de unidades producidas. Por ejemplo, si el costo total de
2 0 unidades es de De c
$100 , entonces el costo promedio por unidad es de c $100
20 $5 .
c podemos obtener una equivalencia importante al multiplicar por q ambos lados: q c cq
Esto es, el costo total es igual al costo promedio por unidad por el número de unidades producidas.
Ejemplo: Costo marginal Para el caso de la función de costo
c ( q ) 0.001q 3 0.3q 2 40 x 1000 Determine el costo marginal como una función de q . Evalúe el costo marginal cuando la producción está dada por q 50 , q 100 y q 150 .
Solución Deseamos evaluar c(q ) . Al diferenciar
dc dq d 0.001q3 0.3q 2 40 x 1000 dq
c(q )
0.003q 2 0.6q 40 Esta función de costo marginal, da un aproximado del costo de producir un artículo adicional a los q ya producidos. Cuando se han producido q 50 , el costo marginal de los artículos extra está dado por:
c(50) 0.003 50 0.6 50 40 17.5 2
83
Si
q 100 , el costo marginal está dado por c(100) 0.003100 0.6 100 40 10 2
Finalmente, cuando q 150 el costo marginal está dado por
c(150) 0.003150 0.6 150 40 17.5 2
Podemos decir que el costo de producir el artículo número 51 es aproximadamente de $17.5 , el artículo número 101 tiene un costo de $10 y el artículo número 151 tiene un costo de
$17.5 ∎
Ejemplo: Función de costo, costo marginal y costo promedio. En el caso de la función de costo total c ( q ) 100 10 q 0.1q 2 determine: a. La función de costo marginal b. La función de costo promedio c. El costo total cuando
q 50
d. El costo de producir la unidad 51 , sobrepasando las 50 planificadas. e. El costo promedio por unidad al producir 50 unidades.
Solución a. La función de costo marginal es
c(q) 10 0.2q b. La función de costo promedio viene dada por
84
c
c q
100 10 q 0.1q 2 q 100 10 q 0.1q 2 q q q 100 10 0.1q q c. El costo total de producir
q 50 unidades viene dado por c(50) 100 10 50 0.1 50
2
850 d. El costo de producir la unidad 51 , está dado por el costo marginal cuando q 50 , esto es
c(50) 10 0.2 50 20 e. El costo promedio por unidad al producir 5 0 unidades, se calcula evaluando en
c q Cuando
100 10 0.1q q
q 50 , así c 50
100 10 0.1 50 17 50
Obsérvese que, ya teniendo el costo total, obtenido en el literal c, podíamos encontrar el costo promedio dividiendo el costo total entre 50 (el número de unidades producidas, esto es 850 / 50 17 . Nótese que el costo promedio por unidad al producir 50 unidades es 1 7 , que es inferior al costo de producir la unidad 51. Aunque no es regla que el costo marginal sea mayor, es un buen ejemplo para establecer que el costo promedio por unidad dentro de la producción planificada es, en la mayoría de casos, distinta al costo de producir una unidad fuera de la producción planificada. ∎
85
A modo de complementar los conceptos mencionados en esta sección, sinterizaremos los resultados del ejemplo anterior en la siguiente tabla: Concepto
Fórmula
Resultado del
Interpretación
ejemplo Función
de
costo
850
c(q)
total
El costo total de producir
y
comercializar
50
unidades es de $850 . Función
de
costo
marginal
c(q)
20
dc dq
Después de producir
5 0 unidades,
el
producto 51 , tendrá un costo de 2 0 . Función
de
promedio
costo por
c
17
c q
El costo aproximado de cada uno de los
50
unidad.
productos
producidos es de 17 . El 51 , ya vale 20 .
Otra función importante es la función de utilidad, que se definiremos a continuación. La utilidad de una empresa viene determinada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos, la función que representa la utilidad en función del número de unidades producidas y vendidas se denomina función de utilidad. Matemáticamente: Si la función de ingreso de una empresa es costo total es
r(q) cuando se venden q artículos, y la función de
c(q) al producirse esos mismos q artículos, entonces la utilidad u(q) obtenida
por producir y vender q está dada por
u ( q ) r ( q ) c( q ) La derivada
u(q) se denomina utilidad marginal. Representa la utilidad adicional por
artículo si la producción sufre un pequeño incremento.
86
Ejemplo: Ingreso marginal, costo marginal y utilidad marginal Una empresa tiene como ecuación de demanda p 4
q y la función de costo total es
c(q) 1 q , determine: a. La función de ingreso total b. El ingreso marginal c. La utilidad marginal d. Evalúe
u(6) e interprete el resultado.
Solución a. Sabemos que el ingreso total viene dado por
r (q) pq Luego
r (q) pq
4 q q 4q q 3 2 b. Para encontrar el ingreso marginal derivamos la función de ingreso
3 3 r(q) 4 q1 2 4 q 2 2 c. La utilidad marginal es la diferencia entre el ingreso total y el costo total
u ( q ) r ( q ) c ( q) 4q q3 2 1 q 4q q3 2 1 q q3 2 3q 1 d. Por último,
u(6) 6
32
3 6 1
2.30 Significa que producir y vender 6 unidades la empresa gana $2.30 por cada incremento en la producción y venta,
87
∎
Ejercicios propuestos En los ejercicios 1 al 3, calcule el costo marginal de las siguientes funciones de costo: 1.
c(q) 100 2q
2.
c ( q ) 40 ln 2 q 2
3.
c ( q ) 0.000 q 3 0.09 q 2 20 q 1200
4. Determine el costo marginal sí c ( q ) 4 3q 0.1q 2 . Evalúe c(5) y explique su significado. 5. La ecuación de demanda de cierto artículo es p 0.1q 80 y la función de costo es
c(q ) 5000 20q . Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades y también en el caso que se produzcan y se vendan 400 unidades. 6. Si la ecuación de demanda es
q 4 p 100 ,
y la función de costo total es
c(q ) 100 5q , encuentre el valor de q tal qué u( q) 0 y calcule la utilidad correspondiente. Ésta representa la utilidad máxima que puede obtenerse por la venta del artículo en cuestión. Determine el precio p que da esta utilidad máxima. Interprete los resultados.
3.4.
Aplicación a la demanda, la oferta empresarial y de mercado
En esta sección estudiaremos varios tipos de problemas sobre demanda, oferta empresarial y de mercado. Si la relación de demanda está dada por
q f ( p ) , entonces
dq se denomina la función de dp
demanda marginal. Si una función de demanda está dada por
p f (q ) , entonces
dp se denomina función de dq
precio marginal.
Ejemplo: Demanda marginal Si la ecuación de demanda de cierto producto es p 2 2q 50 , determine la demanda marginal a un nivel de precio de p 2 . Interprete el resultado.
88
Solución Observe que la única variable que podemos despejar en términos de la otra es q , de este modo
p 2 2q 50 q
De forma que
q f ( p) 25
50 p 2 1 25 p 2 2 2
1 2 p , consecuentemente la demanda marginal está dada por 2 dq d 1 2 25 p dp dp 2 p
Al evaluar en
p2 dq dp
2 p 2
Lo que significa que, cada incremento de una unidad en el precio después de
p 2 representa
una disminución adicional de dos unidades en la demanda. ∎
Ejemplo: Precio marginal La ecuación de demanda de cierto producto es p 2000 5q q 2 . Determine la función de precio marginal, y el precio marginal cuando
q 2 Interprete el resultado.
Solución El precio marginal está dado por
dp , así dq
dp d 2000 5q q 2 dq dq 5 2q Al evaluar cuando q 2 , tenemos
89
dp dq
5 2(2) 9 q2
Al interpretar el resultado: después de q 2 , un incremento en la cantidad de producto demandado representa una disminución de 9 unidades en el precio. ∎
Ejercicios propuestos 1. La ecuación de demanda de cierto producto es p de precio marginal, y el precio marginal cuando
25 . Determine la función q 1
q 10 y q 5 . Interprete el
resultado. 2. Si q unidades pueden venderse a un precio p cada una, en donde
q p ln 1 2 20 10 Donde
0 q 40 , calcule el precio marginal cuando q 2000 .
3. Con la relación de demanda del problema anterior, calcule la demanda marginal a un nivel de precio de
p 2.
4. La demanda de cierto artículo está dada por la relación
2 p 2 q 2 3000 En donde q unidades pueden venderse a un precio p cada una. Determine la demanda marginal a un precio de $20 . Interprete el resultado.
3.5.
Análisis de proyección de compras y producción mediante derivadas
Al conocer la función de oferta y demanda de una empresa, se puede obtener un estimado del efecto que tienen los precios sobre la demanda y los cambios que debe tener la producción o compras. Para determinar la variación en la producción o compras, basta con obtener la oferta marginal respecto al precio, y establecer los cambios que tienen en la oferta de la empresa para establecer los cambios en la producción o compras.
90
Otro resultado importante surge, a partir de analizar la capacidad de producción de una empresa en función de la mano de obra o maquinaria disponible, lo que permite obtener conclusiones y favorecer la toma de decisiones respecto al personal o maquinaria necesaria para satisfacer la demanda del mercado.
m el número de trabajadores o máquinas de cierta empresa, y P la productividad física del número de trabajadores m, es entonces, una función de m tal qué P f (m) , entonces se Sea
define la productividad física marginal como la derivada
dP , y se interpreta como: el dm
incremento o disminución en la producción por cada una contratación o despido de un trabajador de una empresa.
Ejemplo: Productividad física marginal En el caso de cierta empresa, P 200 m 1 100 . Determine la productividad física 2
marginal cuando hay dos empleados.
Solución La productividad física marginal viene dada por
dP : dm
dP d 2 200 m 1 100 dm dm 400 m 1 Para realizar la derivada anterior se utilizó la regla de la cadena. Si hay dos empleados entonces m 2 , al evaluar
dP dm
400 2 1 1200 m2
Significa que, por cada trabajador contratado después de los dos que ya posee, la compañía obtendrá una productividad de 1200 unidades físicas por cada empleado contratado. ∎
91
Ejercicios propuestos 1. La productividad física de cierta empresa está dada por
P 500 3m 2 Donde
2
m es el número de máquinas en funcionamiento. Determine la productividad
física marginal cuando están en funcionamiento 8 máquinas. Interprete el resultado.
3.6.
La derivada en el cálculo del excedente del productor y el consumidor
El excedente del productor y del consumidor se determina con una parte del cálculo llamada cálculo integral, el papel de la derivada está en la relación inherente entre el cálculo diferencial e integral. Antes de determinar dichos excedentes analizaremos, en esta unidad, únicamente un concepto relacionado: la elasticidad de la demanda. La elasticidad de demanda es un medio por el cual los economistas miden como afecta un cambio en el precio de un productor la cantidad demandada. Esto es, la elasticidad de demanda se refiere a la respuesta del consumidor frente al cambio del precio. En términos informales, la elasticidad de la demanda es la razón del cambio porcentual en la cantidad demandada que resulta en un cambio porcentual dado en el precio:
Cambio porcentual en la cantidad Cambio porcentual en el precio Por ejemplo, si para un incremento de 5% en el precio la cantidad demandada disminuye en
2% , se podría decir que la elasticidad de demanda es 2 5 . Definiremos formalmente: Si p f ( q ) es una función de demanda diferenciable, la elasticidad puntual de la demanda, denotada por la letra griega (eta), en el punto
(q, p) está dada por
p q dp dq
92
Ejemplo: Elasticidad puntual de la demanda Sea la función de demanda p 1200 q 2 , determine la elasticidad puntual de demanda cuando q 10 .
Solución Primero calculamos
dp dq dp d 1200 q 2 2 q dq dq
Luego, la elasticidad puntual de la demanda es
p 1200 q 2 1200 q 2 q q dp 2q 2 q 2 dq Cuando q 10
1200 10 2 10
2
2
5.5
∎ Hay tres categorías de elasticidad: 1. Cuando 1 , la demanda tiene elasticidad unitaria 2. Cuando 1 , la demanda es elástica 3. Cuando 1 , la demanda es inelástica Una forma equivalente de encontrar se utiliza cuando
q f ( p) :
p dq q dp
93
Ejemplo: Elasticidad puntual de la demanda Determine la elasticidad puntual de la ecuación de demanda
q p 2 40 p 400 Diga el tipo de elasticidad que posee cuando
p 15 .
Solución Calculamos
dq dp dq d p 2 40 p 400 2 p 40 dp dp
Ahora determinamos ,
Al evaluar en
p 2 p 40 p dq p 2 2 p 40 2 q dp p 40 p 400 p 40 p 400
p 15
15 2 15 40
15
2
40 15 400
15 10 150 6 225 600 400 25
Por lo que la demanda es elástica. ∎
Ejercicios propuestos En los problemas siguientes, encuentre la elasticidad puntual de las ecuaciones de demanda para los valores indicados de q o p y determine si la demanda es elástica, inelástica o tiene elasticidad unitaria.
1.
p
3000 ; q 300 q
2.
p
500 ; q 104 q2 94
3. q
50 0 p ; p 400
4. q p 2 50 p 850; p 20 3.7.
Propensión marginal al consumo y al ahorro
Una función que desempeña un papel importante en el análisis económico es la función de
consumo. Esta función, C f ( I ) , expresa una relación entre el ingreso nacional total, I , y el consumo nacional total, C . Por lo general, tanto I como C se expresan en millones o miles de millones e I se restringe a cierto intervalo. La propensión marginal al consumo se define como la razón de cambio del consumo con respecto al ingreso. Es simplemente la derivada de C con respecto a I :
Propensión marginal al consumo
dC dI
Si asumimos que la diferencia entre el ingreso I y el consumo C es el ahorro S , entonces
S I C Al diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto a I se obtiene
dS d I C dI dI d d I C dI dI dC 1 dI Se define entonces, la propensión marginal al ahorro como
dS y se calcula como dI
dS dC 1 dI dI En otras palabras, la propensión marginal al ahorro es 1 menos la propensión marginal al consumo.
95
Ejemplo: Determinación de las propensiones marginales al consumo y al ahorro. Si la función de consumo de una compañía está dada por
C 2.4 0.2 I 4 ln 0.25 I Determine la propensión marginal al consumo y al ahorro cuando I 25 .
Solución Calculando primero la propensión marginal al consumo
dC d 2.4 0.2 I 4ln 0.25I dI dI 1 0.2 4 0.25 0.25 I 4 0.2 I Cuando I 25
dC dI
0.2 I 25
4 0.36 25
Luego la propensión marginal al ahorro cuando I 25 es
dS dI
1 0.36 0.64 I 25
Significa que en alguna economía, un ingreso actual de $25000 millones aumenta en $1000 millones, la nación consume aproximadamente el 36% y ahorra el 64% . ∎
Ejercicios propuestos 1. Suponga que la función de consumo de un país está dada por
9 I 0.8 I 3 0.3I C I Donde C e I se expresan en miles de millones.
96
a. Encuentre la propensión marginal al ahorro cuando el ingreso es de $25000 millones. b. Determine la propensión marginal al consumo cuando el ingreso de la nación es de
$25000 millones. c. Interprete ambos resultados. 2. Suponga que la función de consumo de un país está dada por
C
I 2 I 8 I 2
Donde C e I se miden en miles de millones. Encuentre la propensión marginal del país a consumir y la propensión marginal al ahorro cuando el ingreso nacional es de
$150000 millones. Autoevaluación 1. Una interpretación correcta del ingreso marginal es: a. Es la rapidez a la que cambia el ingreso con respecto a las unidades de un producto vendidas. b. Ingreso aproximado de vender una unidad adicional de producción. c. Es el importe total en dinero del volumen de ventas de la empresa. d. El resultante de la diferencia entre el ingreso total de una empresa y sus costos fijos. 2. Una empresa ha calculado que el costo marginal cuando produce 100 unidades de un producto es $3.25. Esto se interpreta como: a. Es el costo de producir la unidad 101 es de $3.25 b. Por cada unidad producida sobre 100 unidades el costo se incrementa en $3.25 c. Además del costo de producción, producir una unidad adicional a las 100 representa un costo adicional de $3.25 d. El margen de reducción de costo de producción por unidad cuando se producen 100 unidades es de $3.25 3. El concepto económico que se define como “cantidad de una mercancía o servicio que los consumidores desean y pueden comprar a un precio determinado en un determinado momento” es: a. Oferta b. Demanda
97
c. Productividad d. Demanda marginal 4. Cuando una nación tiene ingresos de $50000 millones, la propensión al consumo de su población es de 0.65. Seleccione una interpretación de este resultado: a. Una persona en ese país que gana $8000 anuales, si un año recibe $1000 adicionales ahorrará aproximadamente $450 del ingreso adicional. b. Una persona en ese país que gana $8000 anuales, si un año recibe $1000 adicionales consumirá aproximadamente $650 del ingreso adicional. c. La población de ahorrará aproximadamente el 45% de los ingresos adicionales a su ingreso promedio anual. d. La población de ahorrará aproximadamente el 45% de los ingresos adicionales a su ingreso promedio anual. 5. Una compañía tiene una producción de 4000 unidades mensuales, realizada con 6 máquinas industriales. El administrador de la empresa ha determinado que la productividad física marginal es de 700. ¿Cuál es la interpretación de este resultado? a. Cada una de las 6 máquinas contribuye con 700 unidades a la producción b. Comprar una máquina adicional a las 6 que posee la empresa, representa una contribución de 700 unidades a la producción. c. La máquina industrial número 7 representa para la empresa una producción total de 4700 unidades mensuales. d. Al comprar una máquina adicional a las 6 que posee la empresa, cada una de las 7 máquinas producirá 700 unidades mensuales. 6. Una compañía determina que su costo e ingreso marginal cuando se producen y comercializan 2000 unidades es, respectivamente, $18 y $12. Seleccione la interpretación válida de este resultado: a. La utilidad marginal al producir y comercializar 2000 unidades de un producto es de $6. b. Cada unidad vendida sobre las 2000 tendrá un costo unitario de producción y comercialización de $12. c. La unidad 2001 representa un ingreso de $18 para la empresa. d. 5 unidades producidas sobre 2000, representa una ganancia de $30. 7. Se define como el costo total entre el número de unidades producidas: a. Costo total
98
b. Costo promedio c. Costo marginal d. Productividad física 8. La función que determina la diferencia entre sus ingresos y sus costos, la función que representa la utilidad en función del número de unidades producidas y vendidas se denomina: a. Función de ingreso total b. Función de ingreso marginal c. Función de utilidad d. Función de utilidad marginal 9. Una compañía ha determinado que el precio marginal cuando se demandan 200 unidades de un producto es de $0.50. Una interpretación adecuada es la siguiente: a. Un incremento de 1 unidad después de las 200 unidades representa un aumento de $50 unidades en el precio. b. Un incremento de $0.50 unidades en el precio representa un incremento de 200 unidades en la demanda. c. Un incremento de $0.50 unidades en el precio representa un incremento de 1 producto sobre las 200 unidades demandadas. d. El costo de producir la unidad 201 es de $0.50 10. El administrador de una empresa calculó que la demanda marginal cuando el precio es de $2 es -2. ¿Cuál es la interpretación correcta de este resultado? a. Un incremento de 1 unidad después del precio de venta de $2 representa una disminución de 2 unidades en las ventas.. b. Un incremento de $1 unidades en el precio representa un incremento de 1 unidades en la demanda. c. Un incremento de $1 unidades en el precio representa un incremento de 2 productos sobre las unidades demandadas. d. El costo de producir la unidad 3 es de $2
Ejercicios propuestos 1. Si la ecuación de demanda es 10 p q 0.1q 2 700 , calcule el ingreso marginal cuando
q 10 .
99
2. Si la ecuación de demanda es q 4 p 100 , y la función de costo total es
c(q ) 100 5q , encuentre el valor de q tal qué u( q) 0 y calcule la utilidad correspondiente. Ésta representa la utilidad máxima que puede obtenerse por la venta del artículo en cuestión. Determine el precio p que da esta utilidad máxima. Interprete los resultados. 3. Si q unidades pueden venderse a un precio p cada una, en donde
q p ln 1 2 20 10 Donde 0 q 40 , calcule el precio marginal cuando q 2000 . 4. La demanda de cierto artículo está dada por la relación
2 p 2 q 2 3000 En donde q unidades pueden venderse a un precio p cada una. Determine la demanda marginal a un precio de $20 . Interprete el resultado. 5. Suponga que la función de consumo de un país está dada por
C
I 2 I 8 I 2
Donde C e I se miden en miles de millones. Encuentre la propensión marginal del país a consumir y la propensión marginal al ahorro cuando el ingreso nacional es de
$150000 millones. 6. La productividad física de cierta empresa está dada por
P 500 3m 2 Donde
2
m es el número de máquinas en funcionamiento. Determine la productividad
física marginal cuando están en funcionamiento 8 máquinas. Interprete el resultado. 7. Encuentre la elasticidad puntual de la ecuación de demanda para el valor indicado de
p y determine si la demanda es elástica, inelástica o tiene elasticidad unitaria.
q p 2 50 p 850; p 20
100
Competencias de la unidad o Encontrar la antiderivada de una función o Determinar el excedente del consumidor o Utilizar la integral para calcular el excedente del productor. o Calcular el coeficiente de desigualdad para el ingreso. Hasta ahora en nuestro estudio del cálculo, nos hemos ocupado del proceso de diferenciación, llamado cálculo diferencial. En esta unidad abordaremos el segundo campo de estudio dentro del área general del cálculo, denominado cálculo integral, que se refiere al proceso opuesto a la diferenciación. Asimismo, se estudiará las aplicaciones que tiene la antiderivada de una función en la economía y negocios, específicamente en el cálculo del excedente del consumidor y del productor, así como el coeficiente de desigualdad para el ingreso.
4.1.
La integral indefinida
Dada una función f , si F es una función tal que
F ( x) f ( x) Entonces F se llama antiderivada de f . Así,
Una antiderivada de f es simplemente una función cuya derivada es f . El proceso de determinar una función cuando se conoce su derivada se llama
integración, y la función a determinar se denomina la antiderivada o la integral de la función dada. Con el objetivo de evaluar la antiderivada de alguna función f ( x) , debemos encontrar una función F ( x) cuya derivada sea igual a f ( x) . Por ejemplo, supongamos que
f ( x ) 3 x 2 . Puesto que sabemos que
d dx (x3) 3x2 , concluimos que podemos
elegir F ( x ) x 3 . En consecuencia, una antiderivada de f ( x ) 3 x 2 es F ( x ) x 3 . 101
Sin embargo, debe observarse que esta respuesta no es única, porque las funciones
x 3 2 y x 3 5 también tienen 3x 2 como derivada. De hecho, para cualquier constante C , x C tiene a 3x 3
antiderivada de 3x
2
2
como derivada; en consecuencia, x C es una 3
para cualquier C . La constante C , que puede tener un valor
arbitrario, se le conoce como constante de integración. Las integrales cuya constante de integración no está determinada recibe el nombre más propio de integral indefinida. La expresión
f ( x)dx Se utiliza para denotar una antiderivada. Ésta se lee como la integral de f ( x) ,
dx .
En tal expresión, la función f ( x) por integrar de denomina integrando, y el símbolo
es el signo de integral.
Resumiendo, Si F ( x) es una antiderivada particular de f ( x) , entonces,
f ( x)dx F ( x) C La constante C , que puede tener un valor arbitrario, se le conoce como constante de
integración. Por ejemplo,
3x dx x 2
3
C
Las integrales cuya constante de integración no está determinada recibe el nombre más propio de integral indefinida.
102
A continuación, se presentan algunas fórmulas básicas de integración Las integrales cuya constante de integración no está determinada recibe el nombre más propio de
integral indefinida.
(Ernest F., Richard S., & Richard J., 2015)
Ejemplo: Integrales definidas de una constante y una potencia de x . Encuentre
a.1dx
b. x5 dx
Solución a. Por la fórmula 1, con
k 1,
1dx 1x C x C
Por lo general, se escribe 1dx como dx , así que
dx x C
.
b. Por la fórmula 2 con n 5 , 5 x dx
5 x51 5x6 C C 5 1 6 103
Ejemplo
Encuentre 7xdx .
Solución Por la fórmula 5, con
k 7 y f ( x) x
se tiene que
x2 7 2 7 xdx 7 2 C 2 x C ∎ Ejemplo: Integral indefinida de una constante por una función Encuentre
3
5 e dx . x
Solución 3
3
5 e dx 5 e dx x
x
3 ex C 5 ∎ Ejemplo: Determinación de integrales indefinidas Determine
1 dx . x
Solución Se escribe de nuevo el integrando de manera que se pueda usar una fórmula básica. Como
1 x1 2 , al aplicar la fórmula 2 se obtiene x
104
1 dx x 1 2 dx x x 1 21 C 1 1 2 12 x C 1 2 2 x1 2 C 2 x C ∎
Ejemplo: Integral definida de una suma Encuentre
x
2
2 x dx .
Solución Al aplicar la fórmula 6,
x
2
2 x dx x 2 dx 2 xdx x 21 x11 2 C 2 1 11 x3 x2 2 C 3 2 3 x x2 C 3
Obsérvese que separamos la integral de una suma en la suma de dos integrales, posteriormente se integró cada una de ellas, cada integral genera una constante de integración, para evitar la manipulación de dichas constantes se escribe una sola al final. ∎ Ejemplo: Integral indefinida de una suma y una diferencia Encuentre
2x
4
7 x 3 10e x 1 dx 105
Solución
2x
4
7 x 3 10e x 1 dx 2 x 4 dx 7 x 3dx 10e x dx x5 x4 7 10e x x C 5 4 2 7 x 5 x 4 10e x x C 5 4 2
∎ Ejemplo: Uso de manipulaciones algebraicas para encontrar integrales indefinidas. Encuentre
p
2
3 p dp . 2
Solución En este caso la variable respecto a la que se integra es p . Obsérvese que el integrando no concuerda con ninguna de las fórmulas de integración (ya que es un producto de dos funciones). Sin embargo, al multiplicar los factores del integrando se obtiene
p
2
3 3 3 2 p dp p p dp 2 2 3 p 3 dp p 2 dp 2 4 p 3 p3 C 4 2 3
p 4 p3 C 4 2 ∎
Ejemplo: Uso de manipulaciones algebraicas para encontrar una integral indefinida. Determine
3x 2 x 2 dx 3
106
Solución Al factorizar
1 y multiplicar los binomios, se obtiene 3
3 x 2 x 2 dx 1
3x 3
3
2
6 x 2 x 4 dx
1 3 x 2 4 x 4 dx 3 1 x3 x2 3 4 4 x C 3 3 2
1 3 x 2x2 4x C 3 ∎
Ejercicios propuestos En los problemas siguientes, encuentre las integrales indefinidas 1.
10dx
2.
x dx
3.
x dx
4.
x
dx
5.
2 e dx
6.
7 4 x
7.
e
8.
3
1
8
7 4
x
x
2
3
2
dx
3x 2 2 x dx
xdx
3w2 2 2 dw 9. 3w 2 107
10.
x x
11.
x
12.
r 2 dr
13.
3 y 2 dy
3
2
2
5 x 2 dx
5 x 5 dx 2
3
x 4 5x 2 2 x dx 14. 5x2 e x e2 x dx 15. ex 4.2.
La integral definida
Teorema fundamental del cálculo integral Si
f es continua en un intervalo a, b y F es cualquier antiderivada de f en a, b entonces
b
a
f ( x ) dx F (b ) F ( a )
∎ Es importante que se entienda la diferencia entre la integral indefinida y la integral definida. La integral definida
b
a
f ( x)dx
es un número resultado de evaluar la integral indefinida en un
intervalo. Ejemplo; Aplicación del teorema fundamental del cálculo
4 x dx 2
Encuentre
2
0
Solución Primero debemos integrar la función, luego evaluar en los límites de integración.
108
2
x3 2 4 x dx 4 x 0 3 0 2
3 3 2 0 4 2 4 0 3 3 8 8 3 16 3
∎ Ejemplo: Determinación de una integral definida
3x 3
Calcule
1
2
x 6 dx .
Solución 3
x3 x 2 1 3x x 6 dx 3 3 2 6 x 1 3
2
3
3 x2 x 6x 2 1 2 3 3 2 1 3 3 6 3 1 6 1 2 2 9 1 27 18 1 6 2 2
81 15 2 2 48 ∎ La integral definida, preserva las propiedades el proceso de anti derivación que la integral indefinida en el producto por una constante y la suma o diferencia de integrales.
109
La integral definida de una derivada. Como una función
f es una antiderivada de f , por el teorema fundamental del cálculo se
tiene que
b
a
f ( x)dx f (b) f (a)
Ejemplo: Determinación de un cambio en los valores funcionales por medio de una integral definida. La función de costo marginal de un fabricante es
dc 0.6q 2 dq Si la producción actual es q 80 unidades por semana, ¿Cuánto más costará incrementar la producción a 100 unidades por semana?
Solución La función de costo total es derivada de
c
es
c c (q ) y se desea encontrar la diferencia c(100) c(80) . La
dc , entonces, por la definición previa, dq
c(100) c(80)
100
100
80
80
dc dq dq
0.6q 2 dq 100
0.6q 2 2q 2 80 0.3q 2 2q
100
80
0.3 100 2 100 0.3 80 2 80 2
2
3200 2080 1120 Si
c es el valor monetario, entonces el costo de incrementar la producción de 80 a 100
unidades es $1120 .
110
∎ Ejercicios propuestos En los problemas siguientes, evalúe la integral definida 1. 2.
5
2
3
1
6dx 4xdx
8
3.
5xdx 2
1
4.
3x 2dx
5.
x
3
1
2
32
7.
36
9
4x 4dx
1 dx x2
6.
12
2
x 2 dx
5
8.
e 3edx 1
9. La función de costo marginal de un fabricante es
dc 0.2q 8 dq Si
c es el valor monetario, determine el costo de incrementar la producción de
65 a
7 5 unidades. 10. La función de costo marginal de un fabricante es
dc 0.004q 2 0.5q 50 dq Si
c es el valor monetario, determine el costo de incrementar la producción de
90 a
1 8 0 unidades.
111
4.3.
Métodos de integración
Regla de la potencia para la integración Si
u
es una función diferenciable, entonces
u n1 u du n 1 C n
∎ Ejemplo: Aplicación de la regla de la potencia para la integración. a. Encuentre
x 1
20
dx .
Solución Como el integrando es una potencia de la función x 1 , se hará u x 1 , entonces
du dx . Al realizar la sustitución y aplicar la regla de la potencia se encuentra que
x 1
x 1 C u 21 dx u dx C 21 21 21
20
20
Obsérvese que no se da la respuesta en términos de
u
sino de
x.
2 3 3x x 7 dx 3
b. Determine
Solución Se observa que el integrando tiene una potencia de al derivar,
x 3 7 . Sea u x3 7 . Entonces
du 3x2dx , por fortuna 3x 2 aparece como factor en el integrando y se
tiene
3x x 2
3
7 dx u 3du 3
u4 C 4
x
3
7 4
4
C ∎
Ejemplo: Ajuste para du Encuentre
x
x 2 5 dx
112
Solución 2 x x 5 dx . Observe que el integrando contiene una 12
La integral puede reescribirse como
x 2 5 . Si u x2 5 , entonces du 2xdx . Como el factor constante
potencia de la función
2 en du no aparece en el integrando, esta integral no tiene la forma partir de
du 2xdx es posible despejar
x x
2
u du . Sin embargo, a n
du xdx , de manera que la integral se convierta en 2
5 dx x 2 5 12
12
u1 2
xdx
du 2
1 12 u du 2 32 1u C 2 3 2 32 u C 3
x
2
5 3
32
C ∎
Ejemplo: Aplicación de la regla de la potencia para la integración. Encuentre
2 x3 3x
x 4 3x 2 7
4
dx .
Solución Se reescribe la integral
Luego, haciendo
x
2 x3 3x 4
3x2 7
4
dx
x
4
3 x 2 7 2 x 3 3 x dx 4
u x4 3x2 7 , se tiene 113
du 4 x 3 6 x dx 2 2 x 3 3 x dx
Luego du 2 2 x 3 x dx , de donde 3
x
2 x3 3x 4
3x 2 7
du 2 x3 3x dx . Volviendo a la integral 2
dx x 4 3x 2 7 2 x 3 3 x dx 4
4
du u 4 2 1 u 4 du 2 3 1u C 2 3 u 3 C 6
x
4
3x 2 7 6
3
C
1
6 x 3x 7 4
2
3
C
∎ Integración de funciones exponenciales naturales Ahora se prestará atención a la integración de funciones exponenciales. Si diferenciable de
u
es una función
x , entonces
e du e u
u
C
Ejemplo: Integrales que incluyen funciones exponenciales a. Encuentre
x 2 xe dx . 2
Solución Sea
u x 2 . Entonces du 2 xdx y, por la definición previa
114
2 xe
x2
dx e x 2 xdx 2
e u du eu C 2
ex C b. Encuentre
x
2
1 e x
3
3 x
dx .
Solución Si
u x3 3x , entonces du 3 x 2 3 dx du 3( x 2 1)dx du ( x 2 1)dx 3
Así,
x
2
1 e x 3 x dx e x 3 x x 2 1 dx 3
3
du eu 3 1 eu du 3 1 eu C 3 1 3 e x 3 x C 3 ∎ Integrales que incluyen funciones logarítmicas Sea
u
una función diferenciable de
x , entonces
1 u du ln u C para u 0
115
Ejemplo: Integrales que incluyen a
1 du . u
Solución a. Encuentre
7
x dx .
Solución A partir de la definición previa
7 1 dx 7 x x dx 7ln x C b. Determine
x
2x dx 5
2
Solución Sea
u x2 5 . Entonces du 2 xdx . Luego 2x 1 dx x2 5 x2 5 2 xdx 1 du u ln u C ln x 2 5 C ∎
Ejercicios propuestos En los problemas siguientes, encuentre las integrales indefinidas 1.
x 5 dx
2.
15 x 2 dx
3.
4 x 3 2 x
4.
15t
5.
7
4
2
2
3 x 1 dx
6t 1 5t 3 3t 2 t dt 17
7 x 3dx
116
5
6.
3x 1
7.
8.
4 x dx
9.
1 2 y dy
3
dx
1 dx x 5
3
32 x3 dx 10. 4x2 9 11.
3 2 y 1 2 y e dy 3
x2 x 1
12.
13.
e
3
x 3 32 x 2 3 x 5 x
dx
2e x dx
6x2 8 dx 14. 3 x 4x 15.
2
4 x 1 4 x
2
8 8 x 5 x 3 x 6 dx
4.4.
El excedente del consumidor
Las integrales tienen su principal aplicación en el cálculo de áreas bajo una curva en un intervalo. La determinación del área de una región tiene aplicaciones en economía, en este capítulo estudiaremos el excedente del consumidor. En la unidad 3 estudiamos la función de oferta y demanda, la representación gráfica de dichas funciones se denomina curva de oferta y curva de demanda, respectivamente. Al graficar ambas curvas en el mismo plano se interceptan en un punto llamado punto de equilibrio. El punto de equilibrio contiene el precio p que brinda estabilidad entre la cantidad que lo consumidores están dispuestos a pagar por los productos que los productores desean vender. En un mercado, si bien es cierto el punto de equilibrio es el precio “ideal” que los consumidores están dispuestos a pagar, existe un número de consumidores que están dispuestos a pagar más que el precio en el punto de equilibrio.
117
Se define excedente de los consumidores como la ganancia total de los consumidores que están dispuestos a pagar más que el precio de equilibrio. Lo denotaremos por EC. Si la función de demanda está dada por p f ( q ) , entonces
EC
q0
0
f (q) p0 dq
Donde p 0 es el precio en el punto de equilibrio. Ejemplo: Determinación del excedente del consumidor La función de demanda para un producto es
p f (q) 100 0.05q Donde p es el precio por unidad para q unidades. Se conoce que el equilibrio de mercado ocurre cuando p0 70 y q0 600 , determine el excedente del consumidor.
Solución
EC
q0
0
f (q ) p0 dq
600
600
0
0
100 0.05q 70dq 30 0.05q dq 600
q2 30 q 0.05 2 0 9000 Por lo tanto, el excedente de los consumidores es $9000 .
∎ Ejercicios propuestos 1. La ecuación de demanda para el producto es p 10 q 20 1000 y el punto de equilibrio ocurre en p0 10 y q0 30 .
118
4.5.
Excedente del productor
Algunos productores también se benefician del precio de equilibrio, puesto que están dispuestos a suministrar el producto a precios menores que el precio de equilibrio. La ganancia total de los productores dispuestos a ofrecer productos a precios menores que el precio en el punto de equilibrio se denomina excedente de los productores, abreviada como EP. Si la curva de oferta está determinada por
p f (q ) entonces el excedente de los productores está
determinado por
EP
q0
0
p0 f (q)dq
Ejemplo: Determinación del excedente del productor La función de demanda para un producto es
p f (q) 10 0.1q Donde p es el precio por unidad para q unidades. Se conoce que el equilibrio de mercado ocurre cuando p0 70 y q0 600 , determine el excedente de los productores.
Solución
EP
q0
0
p0 f (q)dq
600
600
600
0
0
0
70 10 0.1q dq
70 10 0.1qdq 60 0.1q dq 600
q2 60q 0.1 2 0 18000
Por lo tanto, el excedente de los productores es $18000 . ∎
119
Ejemplo: Determinación de excedente de los consumidores, excedente de los productores y el punto de equilibrio de mercado. La ecuación de demanda para un producto es demanda es
p 22 0.8q , mientras que la ecuación de
p 6 1.2q . Determine el excedente de los consumidores y de los productores
bajo el equilibrio de mercado.
Solución Nótese que en este problema no conocemos el valor del punto de equilibrio. Sabemos que el punto de equilibrio ocurre cuando la oferta es igual que la demanda. Por tanto, igualamos las ecuaciones de oferta y demanda
22 0.8q 6 1.2q 22 6 1.2q 0.8 16 2q q 8 Luego, sustituyendo en una de las ecuaciones
p 6 1.2(8) 15.6 Por lo que, el punto de equilibrio ocurre cuando p0 15.6 y q0 8 . Luego el excedente de los consumidores es
EC
q0
0
f ( q ) p0 dq
22 0.8q 15.6 dq 8
0
6.4 0.8q dq 8
0
6.4 q 0.4 q 2
8 0
25.6 Mientras, el excedente del productor
120
EP 15.6 (6 1.2q ) dq 8
0
15.6 6 1.2q dq 8
0
9.6 1.2q dq 8
0
9.6q 0.6 q 2
8 0
115.2 El excedente del consumidor es $25.6 y el excedente del productor es $115.2 ∎ Ejercicios propuestos En los problemas siguientes, la primera ecuación es una ecuación de demanda y la segunda es una ecuación de oferta de un producto. En cada caso, determine el excedente de los consumidores y de los productores bajo el equilibrio de mercado.
1.
2.
p 2200 q 2 p 400 q 2
p 900 q 2 p 10q 300 p 100 p
3.
p
p 10 2 4.6.
Coeficiente de desigualdad para el ingreso
Sea y la proporción del ingreso total de cierta población que se recibe por la proporción de
x
de captadores de ingreso cuyo ingreso es mínimo. Por ejemplo, suponga que cuando x
1 2
entonces y
1 . Esto significa que al 50% de la población que recibe el ingreso más bajo 4
corresponde el 25% del ingreso total. O si y 0.7 cuando x 0.9 , entonces el 90% de la población con los ingresos más bajos recibiría el 7 0 % del ingreso total. En general, dado que
x e y son fracciones de un todo, están entre 0 y 1 inclusive, y y es una función de x , esto es, y f ( x ). 121
Supondremos que no hay personas que reciban un ingreso cero, de modo que f (0) 0 . Más aún, todo el ingreso es recibido por el 1 0 0 % de los captadores de ingresos, y así f (1) 1 . La gráfica de la función
f ( x) que describe la distribución de ingreso real se denomina una curva
de Lorentz. La equidad perfecta de la distribución del ingreso, está representada por la línea y x . Se define el coeficiente de desigualdad de una curva de Lorentz o coeficiente de desigualdad para
el ingreso (L) como sigue
L 2 x f ( x)dx 1
0
Ejemplo: Coeficiente de la desigualdad de la curva de Lorentz Determine el coeficiente de la desigualdad de la curva de Lorentz dada por
y f ( x)
15 2 1 x x 16 16
Solución
L 2 x f ( x)dx 1
0
1 1 15 2 x x 2 x dx 0 16 16 1 15 1 2 x x 2 x dx 0 16 16 1 15 15 2 x x 2 dx 0 16 16
15 1 2 x x 2 dx 16 0
122
1
15 x 2 x3 8 2 3 0 15 1 1 0 0 8 2 3 5 16
Cuando el coeficiente de desigualdad es cero, el ingreso está distribuido de manera uniforme perfecta; cuando más cerca está de 1, mayor será la desigualdad en la distribución de ingreso. ∎ Ejercicios propuestos 1. La distribución del ingreso de cierto país está descrita por la curva de Lorentz
y f ( x)
19 2 1 x x , en donde x es la proporción de captadores de ingresos y 20 20
y es la proporción del ingreso total recibido. a. ¿Qué proporción recibe el 20% más pobre? b. Determine el coeficiente de desigualdad de la curva de Lorentz. 2. La distribución del ingreso de cierto país está descrita por la curva de Lorentz
y f ( x ) 0.94 x 2 0.06 x , en donde x es la proporción de captadores de ingresos y y es la proporción del ingreso total recibido. c. ¿Qué proporción recibe el 30% más pobre? d. Determine el coeficiente de desigualdad de la curva de Lorentz.
Autoevaluación 1. Es la ganancia total de los consumidores que están dispuestos a pagar más que el precio en el punto de equilibrio. a. Excedente de los productores b. Excedente de los consumidores c. Curva de Lorentz d. Coeficiente de determinación de ingreso
123
2. AL calcular el coeficiente de distribución del ingreso de una curva de Lorentz, seleccione la interpretación correcta para un resultado 0.95. a. Que la distribución del ingreso es completamente inequitativa b. Que el 95% de los receptores del menor ingreso reciben el 5% del ingreso total c. Que el 5% de los receptores del menor ingreso reciben el 95% del ingreso total. d. El ingreso está distribuido casi equitativamente.
3. En un mercado, algunos productores aun sabiendo el precio del punto de equilibrio, están dispuestos a ofrecer sus productos a un precio menor, ¿Cuál es el concepto que representa el ingreso total de dichos productores? a. Coeficiente de distribución del ingreso b. Función de Lorentz c. Excedente de los productores d. Excedente de los consumidores 4. La ecuación de demanda de un producto es p 22 0.8q y la ecuación de oferta está dada por p 6 1.2q . Para estas ecuaciones existen valores particulares de p 0 y q0 que satisfacen al mismo tiempo ambas ecuaciones. Seleccione las opciones que contengan una (o varias) descripciones del punto ( p0 , q0 ) . a. Es el punto de intersección de la curva de la oferta y demanda, es llamado punto de equilibrio. b. Es el precio óptimo p 0 que los consumidores están dispuestos a pagar por los q0 productos que los productores desean vender. c. Es una manera alterna de determinar el coeficiente de distribución del ingreso en una economía. d. Representa un precio particular que puede pagar un consumidor cuando hay cierta cantidad particular de productos en el mercado. 5. Si y f ( x ) es una curva de Lorentz, y se ha determinado que f (0.30) 0.20 . Seleccione la interpretación correcta: a- El 30% de la población que recibe el ingreso más bajo recibe el 20% del ingreso total.
124
b- El 20% de la población que recibe el ingreso más bajo recibe el 30% del ingreso total. c- Cuando una persona pertenece al 20% de la población que recibe menos ingreso, recibe el 20% del ingreso de una persona que recibe el ingreso máximo. d- El ingreso marginal de una persona es del 20%. 6. Determine
e
x
3 x 2 4 x dx
a.
ex x3 2x2 C
b.
e x x3 2 x 2
c.
e x 6x 4 C
e x1 x3 2 x 2 C d. x 1
7. Encuentre
4x
2
8x5 x3 x6 dx 9
a.
2 3 6 10 x x C 15
b.
10 2 4 x 2 8 x5 C 15
c.
2 3 6 8 x x C 15
d.
2 3 6 10 x x 15
8. ¿Cuál es el resultado de
a.
b.
9 18 x
5 x x
2 6
dx ?
5 9 5 x x2 C 5
9
55 x x
2 5
C
125
c.
d.
9 5 9 18x
5
9
5 5 x x
C
2 5
9. Evalúe la integral
e
1
C
4 dy y
a. 4 b.
ln 4
c.
ln e
d.
1 4 3
10. Determine
x 1 e 1
a.
e3 12 e 1 2
b.
5 e 1 3
c.
x2 2 x
dx
5 23 3 4 e
d. 1 Ejercicios propuestos 1. La función de costo marginal de un fabricante es
dc 0.004q 2 0.5q 50 dq Si
c es el valor monetario, determine el costo de incrementar la producción de
90 a
1 8 0 unidades. 2. La ecuación de demanda para un producto es
p 60
50q q 2 3600 126
Y la ecuación de oferta es
p 10ln(q 20) 26 Determine el excedente de los consumidores y de los productores bajo el equilibrio de mercado. Redondee sus respuestas al entero más cercano. 3. La distribución del ingreso de cierto país está descrita por la curva de Lorentz
y
11 2 1 x x , en donde x es la proporción de captadores de ingresos y y es la 12 12
proporción del ingreso total recibido. e. ¿Qué proporción recibe el 3 0 % más pobre? f.
Determine el coeficiente de desigualdad de la curva de Lorentz.
Respuestas a los ejercicios de autoevaluación. N°
Unidad 1
Unidad 2
Unidad 3
Unidad 4
1
C
C
AyB
B
2
A
A
A
A
3
D
A
B
C
4
B
C
Todas
AyB
5
C
D
ByC
A
6
B
A
Todas
A
7
B
A
B
A
8
C
D
C
AyB
9
A
B
A
A
10
D
B
A
A
127
Bibliografía Arya, J. C., & W., L. R. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía (Quinta ed.). México: Pearson. E. H., R. P., & R. W. (2015). Matemáticas para Administración y Economía. México: PEARSON. Eumed.net. (2017). Recuperado el 16 de 01 de 2017, de http://www.eumed.net/cursecon/dic/O.htm#oferta Real Academia Española. (2017). Recuperado el 16 de 01 de 2017, de http://dle.rae.es/?id=QvJWZSZ
128
