Libro Dinamica de Estructuras

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Dinámica de Estructuras con CEINCI-LAB Book · April 2012

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DINAMICA DE ESTRUCTURAS CON CEINCI - LAB

ROBERTO AGUIAR FALCONI SEGUNDA EDICIÓN 2012

2

SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

DINÁMICA DE ESTRUCTURAS CON CEINCI-LAB

2a EDICIÓN

ROBERTO AGUIAR FALCONÍ Centro de Investigaciones Científicas Escuela Politécnica del Ejército Quito, Ecuador

CEINCI ESPE, Quito, Ecuador Escuela Politécnica del Ejército Quito - Ecuador

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE

DINÁMICA DE ESTRUCTURAS CON CEINCI-LAB, SEGUNDA EDICIÓN Copyright ® 2012 El Autor Edita: Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército. Av. Gral Rumiñahui s/n Valle de los Chillos, Ecuador

ISBN-13: ISBN-978-9978-301-02-9 Registro del Instituto Ecuatoriano de Propiedad Intelectual N.- 029970 Abril de 2012

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4


A la memoria de mi querida madre Blanca Falconí


5

PRESENTACIÓN

La primera edición de este libro fue publicado en marzo de 2007 y ahora luego de cinco años tengo el agrado de presentar la segunda edición; a pesar de que la Dinámica de Estructuras es una materia básica para el Análisis Sísmico de Estructuras, en que aparentemente no hay muchos cambios, el Dr. Roberto Aguiar Falconí, se ha preocupado en publicar esta nueva obra motivado principalmente por la publicación de la nueva Norma Ecuatoriana de la Construcción, NEC-11. Tres aspectos son fundamentales del NEC-11 y son la nueva zonificación sísmica del Ecuador; los nuevos espectros de diseño y los factores con los cuales se pasa del espectro elástico al inelástico en función de las tipologías estructurales. Estos temas y otras nuevas contribuciones del NEC-11 se presentan en este libro. El sistema de computación CEINCI-LAB que el autor de este libro empezó a desarrollar a partir del 2009, para facilitar la enseñanza es una notable herramienta informática que permite realizar el análisis sísmico en forma elemental de problemas complejos y actuales como el de estructuras con aisladores de base sobre la cimentación o sobre las columnas del primer piso. El listado de estos programas se encuentran en el libro por dos motivos, el primero para que cualquier lector pueda copiarlos y el segundo debido a que la lectura de los mismos ayuda notablemente a entender la teoría. La librería de programas de CEINCI-LAB sirve además para la práctica profesional. Las lecciones dejadas por el Mega Sismo de Chile de 2010 también han sido acogidas en este libro donde se vio el magnífico comportamiento que tuvieron las estructuras con aisladores de base o disipadores de energía, en contraste con las construcciones clásicas. Por este motivo en algunos capítulos se habla sobre estos sistemas de Control Pasivo que día a día se van imponiendo en los Países con alta Peligrosidad Sísmica como es el Ecuador. En esta nueva edición se ha incrementado el número de ejercicios resueltos, con lo que se facilita notablemente la enseñanza y se presentan temas que no fueron tratados en el primer libro, como la Integral de Duhamel para encontrar la respuesta en el tiempo de estructuras de un grado de libertad; el cálculo de la Disipación de Energía para determinar la matriz de amortiguamiento, entre otros. Finalmente debo manifestar que este es uno de los libros de consulta de los estudiantes que reciben la materia de Análisis Sísmico de Estructuras con el Dr. Roberto Aguiar.

Gral. Carlos Rodríguez Arrieta Rector de la Escuela Politécnica del Ejército

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INDICE GENERAL CAPíTULO 1 1. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD RESUMEN ……………………………………………………………………………………….1 1.1 VIBRACIONES LIBRES …………………………………………………………………….2 1.1.1 Solución de la ecuación diferencial……………………………………………….3 1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento………………………………………………4 1.1.3 Vibración libre subamortiguada …………………………………………………..5 1.1.4 Vibración libre sobre amortiguada ……………………………………………….7 1.2 PROGRAMA v_ libre Y COMENTARIOS .………………………………………………..9 1.3 FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO………………………………………………………11 1.4 VIBRACIONES FORZADA EXCITACIÓN ARMONICA…………………………………12 1.4.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal………………………………………13 1.4.2 Factor de amplificación …………………………………………………………...16 1.4.3 Fuerza transmitida a la fundación ……………………………………………….19 1.5 EXITACIONES ARBITRARIAS…………………………………………………………….21 1.5.1 Escalón unitario……………………………………………………………………….21 1.5.2 Pulso rectangular……………………………………………………………………..24 1.6 RESPUESTA IMPULSIVA………………………………………………………………….25 1.6.1 Respuesta en ausencia de condiciones iniciales ………………………………26 1.6.2 Casos Particulares…………………………………………………………………27 1.7 INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN…………………………………………………………..27 1.8 TRANSFORMADA DE FOURIER………………………………………………………….28 1.9 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA…………………………………………………………28 1.10 INTEGRAL DE DUHAMEL……………………………………………………………..29 1.11 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS ………………………………………………..34 1.12 APLICACIÓN PRÁCTICA………………………………………………………………36 CAPITULO 2 2. ESPECTROS DE RESPUESTA RESUMEN……………………………………………………………………………………..…41 2.1 MÉTODOS DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL…………………..42 2.2 PROGRAMA lineal…………………………………………………………………………..43 2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD………………………………………………46 2.4 ESPECTROS DE RESPUESTA ..…………………………………………………………47 2.4.1 Definición de espectro……………………………………………………………..47 2.4.2 Programa espectro ………………………………………………………………..49 2.5 USO DEL PROGRAMA DEGTRA…………………………………………………………51 2.6 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES…………………………………….55 2.7 EL MEGA SISMO DE CHILE DE 2010……………………………………………………56 2.8 PSEUDO ESPECTROS…………………………………………………………………….60 CAPITULO 3 3. ESPECTROS DE DISEÑO RESUMEN………………………………………………………………………………..………65 3.1 OBTENCIÓN DE UN ESPECTRO DE DISEÑO………………………………………….66 3.2 RESEÑA HISTÓRICA……………………………………………………………………….69 3.3 CÓDIGO ECUATORIANO DE LA CONSTRUCCIÓN CEC 2000………………………70 3.4 NORMA ECUATORIANA DE LA CONSTRUCIÓN NEC-11……………………………72


7

3.5 3.6 3.7 3.8

COMPARACIÓN DE ESPECTROS DEL CEC-2000 Y NEC-11………………………..76 ESPECTROS POR DESEMPEÑO PARA EDIFICIOS…………………………………..77 DESEMPEÑO ESTRUCTURAL SEGÚN VISION 2000…………………………………81 CAPACIDAD DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA……………………………………………82 3.8.1 Ductilidad de una estructura………………………………………………………83 3.8.2 Ductilidad por curvatura……………………………………………………………85 3.8.3 Ductilidad del material……………………………………………………………..86 3.8.4 Sobre resistencia…………………………………………………………………...86 3.8.5 Redundancia ……………………………………………………………………….87 3.9 FORMULACIONES DE CÁLCULO DEL FACTOR R……………………………………88 3.10 FACTOR DE REDUCCIÓN POR DUCTILIDAD Ru ………………………………..90 3.10.1 Regla de igual desplazamiento…………………………………………………...90 3.10.2 Regla de Igual Energía…………………………………………………………….92 3.10.3 Formulación de Newmark y Veletsos (1960)……………………………………93 3.10.4 Formulación de Newmark y Hall (1982)…………………………………………93 3.10.5 Formulación de Aguiar, Romo y Aragón…………………………………………97 3.11 FACTOR DE SOBRE RESISTENCIA RΩ …………………………………………..101 3.12 FACTOR DE REDUNDANCIA RR…………………………………………………...103 3.13 RECOMENDACIÓN PARA EL ECUADOR SOBRE EL FACTOR R…………….106 3.14 ESPECTRO INELÁSTICO……………………………………………………………107 3.15 EL MEGA SISMO DE CHILE DE 2010 Y EL PARÁMETRO β……………………108 3.16 ESPECTROS PARA PRESAS……………………………………………………….110 CAPITULO 4 4. MATRIZ DE RIGIDEZ RESUMEN……………………………………………………………………………………….113 4.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO……………………………………………..114 4.1.1 Análisis sin nudo rígido…………………………………………………………..114 4.1.2 Análisis con nudo rígido………………………………………………………….119 4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA…………………………………………..122 4.2.1 Coordenadas Generalizadas…………………………………………………….123 4.2.2 Vector de colocación……………………………………………………………..125 4.2.3 Ensamblaje directo…………………………………………………………...…..127 4.3 CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ……………………………………….131 4.3.1 Condensación a las coordenadas “a”…………………………………………..132 4.3.2 Condensación a las coordenadas “b”…………………………………………..132 4.4 CONDENSACIÓN MEDIANTE SOLUCIÓN DE ECUACIONES ……………………..133 4.4.1 Caso en que Qb=0……………………………………………………………….134 4.4.2 Caso en que Qa=0………………………………………………………………..135 4.5 CONDENSACIÓN MEDIANTE TRIANGULARIZACIÓN DE GAUSS………………..135 4.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL…………………………………………………………137 4.6.1 Vigas axialmente rígidas…………………………………………………………138 4.6.2 Vigas y columnas axialmente rígidas…………………………………………..139 4.7 USO DE CEINCI-LAB……………………………………………………………………...143 4.8 PROGRAMA rlaxinfi………………………………………………………………………..152 4.9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE EL ELEMENTO MANPOSTERIA………………………….156 4.10 PROGRAMA rlaxinfimanposteria…………………………………………………….160

8


CAPÍTULO 5 5. MATRIZ DE MASAS RESUMEN……………………………………………………………………………………….165 5.1 ENERGÍA CINÉTICA………………………………………………………………………166 5.2 RAGLA DE CÁLCULO DE LA MATRIZ DE MASAS…………………………………...167 5.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA……………………..168 5.4 MATRIZ DE PASO…………………………………………………………………………171 5.5 ANÁLISIS PLANO………………………………………………………………………….173 5.5.1 Análisis de masas concentradas a nivel de piso………………………………173 5.5.2 Análisis con entrepisos flexibles………………………………………………...175 5.6 PÉNDULO INVERTIDO……………………………………………………………………177 5.7 MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA……………………………………….………...177 5.8 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA………………………………………………...179 5.8.1 Péndulo Invertido…………………………………………………………………179 5.8.2 Interacción suelo estructura para el caso plano……………………………….180 5.9 AISLADORES DE BASE…………………………………………………………………..185 5.9.1 Matriz De Masas…………………………………………………………….……186 5.9.2 Matriz de Rigidez y Amortiguamiento…………………………………………..186 5.9.3 Ecuación diferencial del movimiento…………………………………………...187 5.10 ANÁLISIS ESPACIAL………………………………………...……………………….192 5.10.1 Matriz de Masas……………….………………………………………………….193 5.10.2 Matriz de Rigidez en coordenadas de piso…………………………………….194 5.10.3 Programa matriz _es……………………………………………………………..196 5.11 EJERCICIO DE REFUERZO…………………………………………………………199 CAPITULO 6 6. MODOS DE VIBRACIÓN RESUMEN……………………………………………………………………………………….203 6.1 VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO..………………………………………204 6.1.1 Valores propios……………………………………………………………………205 6.1.2 Propiedades dinámicas…………………………………………………………..206 6.1.3 Modos de vibración……………………………………………………………….206 6.2 ALGORITMO DE …………………………………………….…………………………209 6.3 MÉTODO DE JACOBI……………………………………………………………………..214 6.3.1 Desarrollo del Método………………………………………………………...….214 6.3.2 Procedimiento de cálculo………………………………………………………...215 6.3.3 Cálculo de los vectores propios…………………………………………………216 6.4 MODOS RITZ………………………….……………………………………………………217 6.5 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA……………….………………………………..219 6.6 AISLADORES DE BASE…………..………………………………………………………226 6.7 PROGRAMAS DE CEINCI-LAB PARA AISLADORES DE BASE……………….……230 CAPITULO 7 7. MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO RESUMEN……………………………………………………………………………………….241 7.1 DISIPACIÓN DE ENERGÍA……………………………………………………………….243 7.1.1 Energía disipada……………………………………………………………….....244 7.1.2 Factor de amortiguamiento equivalente………………………………………..245 7.1.3 Modelo Bilineal…………………………………………..………………………..246 7.1.4 Recomendaciones del ATC-40………………………………………………….248


9

7.1.5 Modelo de Kelvin Voight………………………………………...……………….253 TASA DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA…………………………………………………...256 AMORTIGUAMIENTO TIPO RAYLEIGH……………………………………………......261 ALGORITMO DE WILSON Y PENZIEN…………………………………………………262 PROGRAMA amortiguamiento…………………………………………………………..266 ECUACIONES DIFERENCIALES DESACOPLADAS………………………………….266 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO………………………………………270 7.7.1 Exponencial de una matriz……………………………………………………....271 7.7.2 Resumen del procedimiento de cálculo………………………………………..273 7.8 PROPIEDADES DINAMICAS COMPLEJAS……………………………………………277 7.8.1 Deducción en base a un sistema de un grado de libertad…………………...280 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

CAPITULO 8 8. RESPUESTA ELÁSTICA EN EL TIEMPO RESUMEN……………………………………………………………………………………….283 8.1 MÉTODO DE NEWMARK…………………………………………………………………284 8.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWMARK………………………………………….288 8.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO……………………………………………………….289 8.4 MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISIS PLANO………………………………………293 8.5 PROCEDIMIENTO DE ESPACIO DE ESTADO……………………………………….300 8.5.1 Formulación del problema……………………………………………………….300 8.5.2 Primera fórmula de solución……………………………………………………..301 8.5.3 Formulación de la repuesta en la Primera forma……………………………...301 8.5.4 Programa pse……………………………………………………………………..302 8.5.5 Segunda forma de solución ……………………………………………............306 8.6 AISLADORES DE BASE ELASTOMÉRICOS CASO PLANO………………………...307 8.6.1 Método Cuasi-Estático…………………………………………………………...309 8.6.2 Método de Masa Corregida……………………………………………………...309 8.7 ESTRUCTURAS CON AISLADORES SOBRE LAS COLUMNAS……………………310 8.7.1 Cálculo de las reacciones………………………………………………………..312 8.7.2 Matriz de rigidez de los aisladores ……………………………………………..314 8.7.3 Matriz de Masas…………………………………………………………………..317 8.7.4 Matriz de Amortiguamiento………………………………………………………318 CAPÍTULO 9 9. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL RESUMEN……………………………………………………………………………………….325 9.1 INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………...326 9.2 DESPLAZAMIENTOS MÁXIMOS………………………………………………………...327 9.3 FUERZAS MÁXIMAS MODALES………………………………………………………...329 9.4 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL………………………………………………330 9.5 ANÁLISIS SÍSMICO PLANO……………………………………………………………...333 9.6 ANÁLISIS SÍSMICO ESPACIAL………………………………………………………….343 9.7 ESTRUCTURAS CON AISLADORES DE BASE……………………………………….346 CAPÍTULO 10 10. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE FLEXIÓN RESUMEN……………………………………………………………………………………….351 10.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO……………………………...…...352 10.2 VIBRACIÓN LIBRE…………………………………...……………………………….354 10.2.1 Viga en voladizo……………….………………………………………………….355

10


10.2.2 Viga apoyada……………………………………………………………………...357 10.2.3 Interacción suelo estructura……………………………………………………..360 10.2.4 Variación del periodo con la interacción………………………………………..364 10.3 ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN…………………………..365 10.3.1 Valores propios y modos normalizados………………………………………….368 10.4 VIBRACIÓN FORZADA………………………………………………………………368 10.4.1 Masas modales……………………………………………………………………370 10.4.2 Respuesta en el tiempo………………………………………………………….372 CAPÍTULO 11 11. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE CORTE RESUMEN……………………………………………………………………………………….377 11.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO………………..………………...377 11.2 VIBRACIÓN LIBRE………………………………………………..………………….379 11.2.1 Viga en Voladizo………………………………………………………….………380 11.2.2 Comparación de formas modales………………………………………………383 11.2.3 Frecuencias de vibración………………………………………………………...384 11.3 ORTOGONALIDAD DE MODOS DE VIBRACIÓN…………………………..……385 11.4 VIBRACIÓN FORZADA……………………………………………………..…..…...386 11.5 CORTANTE BASAL…………………………………………………………………..387 11.6 MASA MODAL…………………………………………………………………………389 CAPITULO 12 1. VIGA DE CORTE ACOPLADO A UNA DEFLEXION RESUMEN………………………………………………………...………………………….393 1.1 IMPORTANCIA DEL ESTUDIO………………………………………………………..394 1.2 MODELO DE MIRANDA………………………………………………………………..395 1.2.1 Respuesta en desplazamiento…………………………..…………………..398 1.2.2 Efecto de la distribución de cargas…………………………………………..401 1.3 APLICACIONES ……………………………………………………...………………...403 1.3.1 Parámetro β1…………………………………………………………………...404 1.3.2 Desplazamiento lateral………………………………………………………..408 1.4 DERIVADA DE PISO……………………………………………………………………410 1.5 EVALUACIÓN RÁPIDA DE LA DERIVA MÁXIMA DE PISO……………………….413

CAPÍTULO 1

SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD RESUMEN Se inicia el capítulo con el estudio de Vibraciones Libres en un sistema de un grado de libertad, para el efecto se analizan cuatro casos en función del valor del factor de amortiguamiento. Estos casos son: sin amortiguamiento; subamortiguada; críticamente amortiguada y sobre amortiguada. Las definiciones que se presentan son muy útiles en la Ingeniería Sismo Resistente. En la parte final del capítulo se aplica el caso de vibración libre sin amortiguamiento para modelar el comportamiento del impacto de las olas en una estructura, durante un Tsunami. Posteriormente se analiza el caso de Vibración Forzada con excitación armónica, como una introducción al caso de cimentación de motores. Se estudia con bastante detenimiento el factor de amplificación dinámica, se deducen sus ecuaciones y como aplicación, se presenta un ejemplo muy práctico que consiste en determinar la frecuencia de vibración de un suelo; la frecuencia de vibración de una estructura y luego se determina el factor de amplificación dinámica en la estructura por efecto del suelo. Luego se estudia la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad ante un escalón unitario; un pulso rectangular; la respuesta impulsiva y se termina con la Integral de Convolución. De esta manera se orienta el estudio a encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad ante acciones sísmicas empleando la Integral de Duhamel. Como caso de aplicación se halla la respuesta de una estructura de un piso sometida a un sismo impulsivo como fue el de Northridge de 1994, con el propósito de ir conociendo cómo se comportan las estructuras ante este tipo de sismos de corta duración. Se presentan los siguientes programas en este capítulo: v_libre para el estudio de vibraciones libres en sistemas de un grado de libertad; fad con el que se obtiene los factores de amplificación dinámica y duhamel que halla la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica empleando la Integral de Duhamel. Finalmente, como caso práctico se analiza la rotura de vidrios de la fachada de un edificio, modelando como un sistema de vibración forzada con excitación armónica y con condiciones iniciales debido a que la losa que trabaja en voladizo tiene una deformación vertical, la misma que se incrementó con las vibraciones producidas, por las máquinas, en la compactación de la ampliación de la vía.

2


1.1 VIBRACIONES LIBRES En las estructuras se tienen dos tipos de vibraciones que son: vibración libre y vibración forzada. En el primer caso, que se presenta en este apartado, la estructura vibra debido a condiciones iniciales. Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de vibración libre en un sistema de un grado de libertad, en la figura 1.1 se indica el modelo numérico de cálculo; en la parte superior izquierda se tiene un resorte que tiene una rigidez k como se aprecia en la posición (1), se ha notado por P.I. a la posición inicial del sistema. Se considera que la fuerza que se genera en el resorte es proporcional a la deformación del mismo, con ésta hipótesis, se pasa a la posición (2) en que coloca la masa del sistema m sobre el resorte, se lo hace de tal manera que el sistema no vibre al terminar de colocar la masa el resorte se ha deformado una cantidad  y ahora la Posición Inicial P.I., pasa a la Posición de Equilibrio Estático que se ha llamado P.E.E. En la posición (2) del equilibrio de fuerzas verticales se tiene:

mgk

(1.1)

Figura 1.1 Descripción del modelo numérico para vibración libre. En la posición (3) se ha colocado el amortiguador c que entrará en funcionamiento cuando el sistema se encuentre en movimiento. La fuerza del amortiguador se considera proporcional a la velocidad. En (3) se dan las condiciones iniciales del sistema, para un tiempo t  0 la masa se desplaza una cantidad con una velocidad ̇ . Si existe velocidad la masa se desplaza hacia abajo, antes de regresar.


3

Se debe recalcar que el desplazamiento en un instante cualquiera se mide a partir de P.E.E. Finalmente en (4) se presenta una posición genérica del movimiento en la que se ha colocado que la fuerza en el resorte vale hacia arriba, el peso del sistema vale hacia abajo, la fuerza en el amortiguador ̇ hacia arriba y la fuerza inercial ̈ hacia arriba. Del equilibrio, de fuerzas verticales, se tiene:

̇

̈

Al sustituir (1.1) en ésta última ecuación, se tiene:

̈

(1.2)

̇

Se conoce que la frecuencia natural

Wn y el período de vibración T , valen:

k m

Wn 

T

Por otra parte, se define el factor de amortiguamiento



2 Wn

 como:

c

(1.4)

2 mk

Si la ecuación diferencial (1.2) se divide para

(1.3)

m se tiene:

c q  Wn2 q  0 m Al multiplicar y dividir el término c/m por 2 mk y al utilizar la ecuación (1.4) se tiene: ..

.

q

c c 2 mk   2  Wn m 2 mk m Luego otra forma de presentar la ecuación diferencial del movimiento es: ..

.

q  2 Wn q  Wn2 q  0

(1.5)

1.1.1 Solución de la ecuación diferencial Se plantea la solución de la ecuación diferencial (1.5) de la siguiente forma:

q(t )  a e  t

(1.6)

Donde a es una constante de integración y  es una variable a determinar. Al derivar la ecuación (1.6) con respecto al tiempo y reemplazar en (1.5) se tiene: ̇ ̈ Al reemplazar en la ecuación diferencial, se tiene:


4

a 2 e  t  2  Wn a  e  t  Wn2 a e  t  0





a e  t 2  2  Wn   Wn2  0 Para que la última ecuación sea igual a cero es necesario que la cantidad del paréntesis sea cero.

2  2  Wn   Wn2  0 

 2 Wn  4 2 Wn2  4 Wn2 2

   Wn  Wn  2  1 Las raíces de negativo.



dependen del valor de

(1.7)

 ya que el radical puede ser positivo, cero o

1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento

  0 , es un caso ideal que significa que la estructura indefinidamente. Al ser   0 las raíces que se obtienen de (1.7) son: En este caso

  Wn

queda vibrando

1

Luego la solución se transforma en:

q(t )  A cosWn t   B sen Wn t   C sen Wn t    C Siendo 

A2  B 2

(1.8)

 el ángulo de fase y la amplitud máxima.

EJEMPLO 1

Encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad cuyo período de vibración es 0.2 s., que no tiene amortiguamiento y que en el tiempo igual a cero el desplazamiento inicial es de 2.cm., y la velocidad inicial es 10 cm/s. Determinar además la amplitud máxima y el ángulo de fase 

SOLUCIÓN

2 2 1   31.416 T 0.2 s q(t )  A cosWn t   BsenWn t 

Wn 

q(t )   A Wn sen Wn t   B Wn cosWn t  .

Para

t  0 se tiene:


5

2 A 10  B Wn Luego:

B

10 10   0.3183 Wn 31.416

q(t )  2 cos( 31.416 t )  0.3183 sen 31.416 t  √ (

)

2,5

2

1,5

Desplazamiento (cm.)

1

0,5

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

-0,5

-1

-1,5

-2

-2,5 Tiempo (s.)

Figura 1.2 Respuesta en el tiempo de sistema de 1 gdl sin amortiguamiento. En la figura 1.2 se tiene la respuesta en el tiempo y es importante tener en cuenta los siguientes comentarios:    

La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial. Como la velocidad inicial es positiva, la pendiente de la figura 1.2 en t=0 es positiva razón por la cual la trayectoria va hacia arriba, hasta un valor máximo de 2.03 cm. El tiempo que se demora en una oscilación completa es igual a 0.2 s., que corresponde al período de vibración. Como el sistema no tiene amortiguamiento la amplitud de la oscilación no decrece.

1.1.3 Vibración libre subamortiguada Corresponde al caso real en el cual vibran las estructuras, el valor de 0    1 . En este caso las raíces son también números complejos. Las raíces son:

   Wn  Wa Wa  Wn 1   2 Luego la solución es:

1 (1.9)


6

q(t )  e  Wnt A sen Wa t   B cosWa t 

(1.10)

q(t )  exp( Wn t )A sen Wa t   B cosWa t 

La respuesta en el tiempo para el caso de vibración libre sin amortiguamiento se ha escrito de dos formas en la ecuación (1.10) toda vez que en la primera no se ve tan claro el exponente. Al igual que el caso anterior la suma de dos armónicos es otro armónico por lo que la ecuación (1.10) en función del ángulo de fase queda:



(1.11)

√ 

EJEMPLO 2

Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo anterior sí sistema es 0.2 s. Además hallar la amplitud máxima.

t0

  0.05 .

El período del

q (0)  2 cm. .

q (0)  10 cm / s. 

SOLUCIÓN

q(t )  exp( Wn t )A sen (Wa t )  B cos(Wa t ) q(t )  Wn exp( Wn t )A sen (Wa t )  B cos(Wa t )  .

exp(Wn t )A Wa cos(Wa t )  B Wa sen (Wa t )

Wa  31.416 1  0.05 2  31.3767 Para t=0 se tiene:

2B 10  0.05  31.416  2  A  31.3767 √

A  0.41883

= 2.03 cm.

Luego la respuesta en el tiempo es:

q (t )  exp  1.5708  t   0.41883 sen 31.3767 t   2 cos 31.3767 t  En la figura 1.3 se presenta la respuesta en el tiempo para el ejemplo 2 que tiene 5% de amortiguamiento. Los comentarios que se hacen al ejemplo 2, son los siguientes:  

La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial. La pendiente en t=0 es positiva, por este motivo se llega a la amplitud máxima.


7

2,5

2

1,5


1

0,5

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

-0,5

-1

-1,5

-2 Tiempo (s.)

Figura 1.3 Respuesta en el tiempo para sistema con 

El período de la oscilación en este caso vale:

Ta  

1.1.4

  0.05

2 Wa

Conforme transcurre el tiempo el desplazamiento tiende a cero.

Vibración libre sobre amortiguada

Corresponde al caso en que  es mayor que la unidad. En este caso las dos raíces son reales. Luego la respuesta en el tiempo es:









q(t )  A exp   Wn  Wn  2  1 t  B exp   Wn  Wn  2  1 t 

EJEMPLO 3

Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si 0.2 s. Las condiciones iniciales son las siguientes:

t0 

(1.12)

q (0)  2 cm.

  1.2 . El período del sistema es

.

q (0)  10 cm / s.

SOLUCIÓN

Se procede en forma similar a los ejercicios anteriores y la respuesta que se obtiene es la siguiente:

q (t )  3.049 exp  16.8602 t   1.049 exp  58.5382 t  En la figura 1.4 se presenta la respuesta encontrada y los comentarios son:  

La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial. La pendiente en t=0 es positiva.


8 

El sistema tiene tanto amortiguamiento que no oscila.

2,5


2

1,5

1

0,5

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

Tiempo (s.)

Figura 1.4 Respuesta en el tiempo para

  1.2

1.1.5 Vibración libre críticamente amortiguada En caso   1 . El radical de la ecuación (1.7) es cero y las dos raíces son iguales. Por lo tanto, la respuesta en el tiempo es:

q(t )   A t  B  exp Wn t  

EJEMPLO 4

Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si 0.2 s. Las condiciones iniciales, son las siguientes:

t0

  1.0 . El período del sistema es

q (0)  2 cm. .

q (0)  10 cm / s. 

(1.13)

SOLUCIÓN

q(t )  exp Wn t  A   A t  B  Wn  .

Al reemplazar las condiciones iniciales se encuentra:

A  72.832

B2

La respuesta en el tiempo viene dada por:

q (t )  72.832 t  2  exp  31.416 t  La gráfica de la respuesta es similar a la de la figura 1.4


9

1.2 PROGRAMA v_libre Y COMENTARIOS El programa v_libre encuentra la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad, sometida a vibración libre. Se puede tener cualquiera de los cuatro casos indicados en el apartado anterior o una combinación de ellos. Los datos de entrada del programa, son: zi

w qo qpo

Es un vector que contiene los factores de amortiguamiento. Está programado para que dibuje la respuesta en el tiempo para 2 valores de  . Si solo se tiene un solo valor de  , copiar dos veces ese valor. Frecuencia natural de vibración. Desplazamiento inicial para Velocidad inicial para

function v_libre(zi,w,qo,qpo) % % Vibraciones libres en sistemas de un grado de libertad % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % 5 de octubre de 2011 %------------------------------------------------------------% vlibre(zi,w,qo,qpo) %------------------------------------------------------------% zi: Vector que contiene dos factores de amortiguamiento para % los cuales se encuentra la respuesta en el tiempo. % w : frecuencia natural del sistema de 1 gdl. % qo: desplazamiento en t=0 % qpo: velocidad en t=0 % tmax: tiempo maximo de la respuesta igual a 0.6 segundos. t=linspace(0,0.6,1000)'; np=length (zi); % np es el número de factores de amortiguamiento for i=1:np if zi(i)<1 wa=w*sqrt(1-zi(i)*zi(i)); B=qo;A=(qpo+zi(i)*w*B)/wa;q1=(A*sin(wa*t)+B*cos(wa*t)); q2=exp(-zi(i)*w*t); q(:,i)=q2.*q1; elseif zi(i)==1 B=qo; A=qpo+B*w;q(:,i)=(A*t+B).*exp(-w*t); else landa1=-zi(i)*w+w*sqrt(zi(i)*zi(i)-1); landa2=-zi(i)*w-w*sqrt(zi(i)*zi(i)-1); C=[1 1; landa1 landa2]; D=[qo; qpo]; X=C\D; A=X(1); B=X(2); q(:,i)=A*exp(landa1*t)+B*exp(landa2*t); end end plot (t,q(:,1),'r','LineWidth',2); hold on; plot (t,q(:,2), 'LineWidth',2) xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Desplazamiento') title ('Vibracion libre en sistema de 1 gdl') %---fin---


10 

EJEMPLO 5

Encontrar la respuesta en el tiempo de la estructura que se ha venido analizando pero para dos casos de amortiguamiento y . Comentar los resultados orientados al Diseño Sismo Resistente. 

SOLUCIÓN >> zi=[0.05;0.25]; w=31.416; qo=2;qpo=10; >> v_libre(zi,w,qo,qpo)

Figura 1.5 Respuesta en el tiempo que se obtiene con programa v_libre En la figura 1.5 se indica lo que reporta el programa v_libre. Si bien es cierto la gráfica corresponde a un caso de vibración libre, no es menos cierto que los comentarios que se indican a continuación son aplicados a la Ingeniería Sismo Resistente, en lo referente al amortiguamiento. 

La diferencia entre las dos curvas de la figura 1.5, es notable. Mientras más amortiguamiento tiene la estructura menor es la respuesta. Por lo tanto, se debe conferir amortiguamiento a la estructura para que se mueva menos durante un sismo y la forma de hacerlo es mediante la incorporación de disipadores de energía visco elásticos (Aguiar, 2008) o aisladores de base (Aguiar et al. 2008).



En las estructuras sin sistemas de control pasivo (sin disipadores o aisladores), se verá más adelante que a mayor amortiguamiento, más daño se espera en la estructura. De esta manera se comportan las estructuras tradicionales, en este caso no conviene que la estructura incursione demasiado en el rango no lineal; no conviene que tenga un alto debido a que se tiene más daño.


11

1.3 FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO Una de las aplicaciones del caso de vibración libre sub amortiguada se presenta en el cálculo del factor de amortiguamiento  para el efecto se mide el decremento logarítmico   del movimiento, mediante la siguiente ecuación:

 

 q (t )   ln  2 n  q(t  nTa )  1

(1.14)

Donde n es el número de períodos que se considera para la medición, q(t ) es la amplitud en un instante de medición y de

q(t  nTa ) es la amplitud luego de n períodos. El valor

Ta es el período de la vibración amortiguada. En la figura 1.6 se ilustra el cálculo del

decremento logarítmico, en este caso se ha medido las amplitudes en un período

Ta . Por otra

parte se tiene que:

 

 1  2

( 1.15 )

Figura 1.6 Cálculo del decremento logarítmico. Newmark y Hall (1982) recomiendan los valores de  que se indican en la tabla 1.1. Los comentarios que se pueden hacer al respecto son los siguientes:

 depende del tipo de material y del sistema estructural.  El valor de  depende del nivel de esfuerzos, mientras más bajo sea el nivel de esfuerzos menor será  .  Para estructuras de Hormigón Armado el valor de  es superior a 10 si el nivel de  El valor de

daño en la estructura es grande. Chopra (1996).

12


Tabla 1.1 Valores recomendados de  en porcentaje. Material y/o sistema estructural Nivel de esfuerzos o deformaciones Columnas aisladoras de porcelana Sistemas de tuberías que pueden vibrar libremente

Deformaciones elásticas Esfuerzos admisibles;  0.5  y Cercanos a

Sistemas soldado

estructurales

de

acero

Cercanos a

0.5 a 1 1a2

 y , sin excederlo

Esfuerzos admisibles;

2a3

 0.5  y

2a3

 y , sin excederlo

5a6

 0.5  y

Concreto pretensado

Esfuerzos admisibles;

Sistemas estructurales de Hormigón Armado

Cercanos a estados últimos, Sin pérdida de pretensión Sin pretensión residual Esfuerzos admisibles sin agrietamiento visible Agrietamiento visible generalizado Cercanos a estados últimos Esfuerzos admisibles;  0.5  y

Estructuras de acero apernadas Sistemas estructurales de madera, con elementos clavados o apernados.

2a3

Esfuerzos a nivel de cadencia Esfuerzos admisibles Cercano a estados últimos, con juntas apernadas Estado de agotamiento con juntas clavadas

 Normalmente los espectros de diseño se presentan para existe un agrietamiento visible en la estructura.

  0.05

 % 

5a7 7 a 10 2a3 3a5 7 a 10 5a6 8 a 12 5a7 10 a 15 15 a 20

lo que implica que

 En el diseño de Presas de Hormigón de Proyectos Hidroeléctricos también suelen trabajar con espectros para valores de o , dependiendo del daño que esperan en la Presa ante el sismo máximo creíble. (MCE).

1.4 VIBRACIONES FORZADA. EXCITACIÓN ARMÓNICA Se tienen varios casos de vibración forzada de ellos, para quienes vivimos en una zona de alta peligrosidad sísmica como es el Ecuador, el sismo y el oleaje debido a un Tsunami son los más importantes pero para otros puede ser muy importante la acción del viento o las vibraciones que producen los motores de máquinas. En el Ecuador, para las torres de transmisión que se encuentran en las montañas la acción del viento es más importante que la acción sísmica. Lo importante es empezar el estudio de las vibraciones forzadas y lo más fácil es la excitación armónica, que se aborda en este apartado. La excitación de una máquina puede se modela mediante un pulso el mismo que puede ser rectangular, triangular, trapezoidal, etc., pero para su solución se puede aproximar estas funciones periódicas por funciones armónicas tipo seno o coseno. Por este motivo es necesario estudiar la respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una excitación armónica.


13

1.4.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal Se desea encontrar la respuesta en el tiempo para el sistema de 1 gdl indicado en la figura 1.7. La excitación vale Fo sen t ; siendo  la frecuencia de vibración de la excitación,

Fo el valor de la amplitud máxima y t la variable tiempo.

Figura 1.7 Sistema de 1 gdl sometido a una fuerza armónica. La ecuación diferencial del movimiento es: ..

.

m q  c q  k q  Fo sen  t

(1.16)

La solución del problema q(t ) será igual a la solución homogénea más la solución particular.

q(t )  qh (t )  q p (t ) La solución homogénea se halla igualando a cero la ecuación diferencial, es decir se resuelve la ecuación diferencial de vibración libre, la misma que se la repite a continuación. ..

.

m qh  c q h  k qh  0 La solución particular depende de la forma de la excitación, se halla de la solución de: ..

.

m q p  c q p  k q p  Fo sen  t La solución homogénea es importante en los primeros instantes de tiempo, luego desaparece por lo que el sistema queda vibrando en base a la solución particular, se resolverá a continuación únicamente la solución particular ya que la solución homogénea fue resuelta en el apartado anterior. Sea

q p  A sen t  B cos t

(1.17)

Donde A, B son constantes de integración que se determinan en base a la ecuación diferencial. Las derivadas de

q p con respecto al tiempo, son: .

q  A  cos t  B  sen t ..

q   A  2 sen t  B  2 cos t

14


Al reemplazar en ecuación diferencial y agrupando términos se tiene:

 m

2







A  B c   k A sen t   B m  2  A c   k B cos  t  Fo sen  t

Al igualar coeficientes se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

k  m   A  c B  F c  A  k  m   B  0 2

o

2

En forma matricial, el sistema de ecuaciones lineales se escribe a continuación:

k  m 2  c

 c   A  Fo     k  m 2   B  0 

El determinante de los coeficientes es:



  k  m 2

  c   2

2

Al aplicar la regla de Cramer se tiene:

 c

Fo A

k  m 2

0



B



k  m 2

Fo

c

0 



Fo k  m  2 





c  Fo 

Figura 1.8 Suma de dos armónicos En el triángulo rectángulo de la figura 1.8 se tiene:

A  X cos

B  X sen

Al reemplazar A, B en la ecuación (1.17) se tiene:

q p  X cos sen t  X sen cos t  X sen t    De la figura 1.8 se tiene:

(1.18)


Fo2 k  m  2  c  Fo2   Fo 2 2 2

X  A B  2

2

k  m    c   2 2

2

2

2

Fo

X 

k  m  

2 2

15

(1.19)

2  c  

El ángulo de fase es:



c 2 k m

B  A

  tg 1    tg 1 

  

(1.20)

En resumen si la respuesta del sistema viene dada por la respuesta permanente se tiene que:

q 

Fo

k  m    c   2 2

sen  t   

(1.21)

2

EJEMPLO 6

Encontrar la respuesta en el tiempo para un sistema de 1 gdl., para el caso de vibración forzada armónica, con los siguientes datos:

m  17.51

Kg s 2 cm.

kg cm

k  27146

  0.05 

La excitación está definida por:

Fo  1 T  1000 kg

c  2 mk  68.943

, ver figura 1.9.

Ta  0.3 s

 

2 1  20.944 Ta s

1500,000 1000,000

f(t)

500,000 0,000 0,00 -500,000

2,00

4,00

6,00

8,00

-1000,000 -1500,000 TIEMPO (t)

Figura 1.9 Excitación

f (t )  Fo sen t  1000 sen20.944 t 

10,00

kg s cm


16 

SOLUCIÓN

El sistema de ecuaciones lineales a resolver para encontrar las constantes de integración es el siguiente:

k  m 2  c

 27146  17.51  20.944 2  68.943  20.944

 c   k  m 2 

 A  Fo   B   0     

  27146  17.51  20.944    68.943  20.944

2

 1443 .943  19465 .21861

19465 .21861 1443 .943  A  5.10919  10  2

 A 1000 .0  B   0.0     

 A 1000 .0  B   0.0     

B  3.78996  10 3

q(t )  5.10919  10 2 sen20.944t   3.78996  10 3 cos20.944t  En la figura 1.10 se presenta la respuesta en el tiempo de los desplazamientos q(t ) .

0,06000

Desplazamiento (cm)

0,04000 0,02000 0,00000 0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

-0,02000 -0,04000 -0,06000 Tiempo (s)

Figura 1.10 Respuesta en el tiempo de desplazamientos. En el ejercicio resuelto se ha despreciado la solución homogénea.

1.4.2 Factor de amplificación Si en la ecuación (1.19) se divide al numerador y denominador para la rigidez del sistema se tiene:


X 

17

Fo k

k  m    c   2 2

2

k2 Se denomina:

Fo k

Xo 

(1.22)

De la ecuación (1.22) se tiene que

De tal manera que frecuencia de la excitación .

es el desplazamiento que tiene el sistema, sin considerar la

r





(1.23)

Wn X Xo

(1.24)

En la ecuación (1.23) se ha denominado r a la relación de la frecuencia de la excitación con respecto a la excitación de la frecuencia natural y  es el factor de amplificación dinámica. De tal manera que el desplazamiento sistema es igual al factor de amplificación dinámica por el desplazamiento elástico sin considerar la frecuencia de excitación. Luego se tiene:

Xo

X 

 m 2 1  k 

2

  c        k 

2

De donde:



1

1  r   2  r  2 2

(1.25) 2

FACTOR DE AMPLIFICACION DINAMICA 5 4

0,01

3

0,1



0,15 2

0,25

1

0,5

0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

r

Figura 1.11 Factor de amplificación dinámica en función del factor de amortiguamiento.


18

En la figura 1.11 se presenta el factor de amplificación dinámica, en función de la relación de frecuencias r , y para valores del factor de amortiguamiento  desde 0.01 a 0.5. De esta figura y de la ecuación (1.25) se tienen los siguientes comentarios:   



Para el caso de vibración forzada, sin amortiguamiento   0 y para r  1 en la ecuación ( 1.25 ) se tiene que    , que constituye el pico principal de resonancia. A medida que  aumenta el factor de amplificación dinámica  disminuye. Para r  1 el valor de  tiene un máximo valor para factores de amortiguamiento menores a 0.15. Tener r  1 significa que la frecuencia de la excitación es igual a la frecuencia natural del sistema y para estos casos el factor de amplificación dinámica es mayor que la unidad. A medida que el valor de  se incrementa más ancho es el pico de amplitudes máximas.

A continuación se presenta el programa FAD que obtiene en forma gráfica el factor de amplificación dinámica  para cuatro valores del factor de amortiguamiento  . La forma de uso del programa, en MATLAB es la siguiente: 

[f] = fad(z1,z2,z3,z4)

Como ejemplo de aplicación, se desea encontrar las curvas del factor de amplificación para valores de  igual a 0.01, 0.1, 0.15 y 0.5. [f] = fad(0.01,0.1,0.15,0.5) En la figura 1.12 se indican las curvas que se encuentran en el MATLAB, para los datos indicados. function [f]=fad(z1,z2,z3,z4) % % Factor de Amplificación Dinámica % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % --------------------------------------% [f]=fad(z1,z2,z3,z4) % --------------------------------------% z1: Factor de amortiguamiento 1 % z2: Factor de amortiguamiento 2 % z3: Factor de amortiguamiento 3 % z4: Factor de amortiguamiento 4 % r : Relación entre la frecuencia excitación a frecuencia natural % f : Factor de amplificación dinámica hold off dr=0.02;r=0; for i=1:150 r=r+dr; f(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z1*r)^2));f1(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z2*r)^2)); f2(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z3*r)^2));f3(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z4*r)^2)); rr(i)=r; end plot (rr,f); hold on plot (rr,f1,'--'); plot (rr,f2,':'); plot (rr,f3,'-.') xlabel('r'); ylabel('Factor de amplificacion');

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE axis([0,3,0,5]); text (2.0,4.5,'z1 text (2.0,3.5,'z3 hold off % ---fin---

1.4.3

19

---- ','Fontname','symbol'); text (2.0,4.0,'z2 - - -','Fontname','symbol') .......','Fontname','symbol'); text (2.0,3.0,'z4 .-.-.-','Fontname','symbol')

Fuerza transmitida a la fundación

Se ha visto que la solución de la ecuación diferencial ( 1.16 ) en régimen permanente viene dada por:

q  X sen  t    De donde la derivada con respecto al tiempo es:

q  X  cos t    .

La fuerza que llega a la cimentación, resorte,

f t , viene dada por la contribución de la fuerza del

f t k , más la contribución de la fuerza del amortiguador f t c . .

ft  ftk  ftc  k q  c q

f t  k X sen  t     c X  cos t  



Figura 1.12 Curvas que se obtienen con programa FAD en MATLAB. Nuevamente se tiene la suma de dos armónicos por lo que la fuerza transmitida a la fundación vale:


20

ft 

k X 2  c  X 2

sen t     

Por lo tanto el valor máximo de la fuerza transmitida a la fundación

FT es:

FT  k 2  c   X 2

Al reemplazar el valor de X de la ecuación (1.21) se tiene:

FT  Fo

k 2  c  

2

k  m    c   2 2

(1.26)

2

Fo es la fuerza aplicada al sistema de 1 gdl y FT es la fuerza transmitida a la

fundación. Se denomina  a la relación entre la fuerza transmitida a la cimentación con relación a la fuerza aplicada.



FT Fo

(1.27)

Pero de ecuación ( 1.26 ) se tiene que:



k 2  c 

2

k  m    c   2 2

2

Al dividir el numerador y denominador del radical para k del factor r y  , el factor de transmisibilidad  queda:



1  2  r 

2

y al expresarle en función

2

1  r   2  r  2 2

En la figura 1.13 se grafica  para valores de Del análisis de esta figura se desprende lo siguiente:

2

(1.28)

 igual a 0.01; 0.1; 0.15; 0.25 y 0.50.

r  0 el valor de   1 .  Cuando r  2 el valor de   1 . Además es el punto en el cual cambia la forma de 

Cuando

la curva.  

  1 /(1  r 2 ) ; y para r  1 el valor de    . Independiente del valor de  , cuando r   , el valor de   0 . De ahí la necesidad de que el valor de  difiera lo mayor que se pueda con relación a Wn . Para

 0

el valor de


21

FACTOR DE TRANSMITIBILIDAD 5 4

0,01

3

0,1



0,15 2

0,25

1

0,5

0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

r

Figura 1.13 Factor de transmisibilidad de las fuerzas a la cimentación.

1.5 EXCITACIONES ARBITRARIAS Se desea encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de 1 gdl, ante una fuerza f (t ) arbitraria, para lo cual en la figura 1.14 se indica el modelo numérico de cálculo. La ecuación diferencial del movimiento es: ..

.

m q  c q  k q  f (t )

Figura 1.14 Excitación arbitraria

1.5.1 Escalón unitario En la figura 1.15 se presenta la fuerza escalón unitario que vale 0 para valores negativos del tiempo y vale la unidad para valores positivos del tiempo.

f (t )  1

t0 .

Se consideran nulas las condiciones iniciales. Luego: q (0)  q (0)  0


22

Figura 1.15 Función escalón unitario. La ecuación diferencial a resolver es: ..

.. . 1   m q  c q  k q    0 k 

.

m q  c q  k q 1

Se realiza el siguiente cambio de variable:

q

1 z k

Luego la ecuación diferencial se transforma en: ..

.

m z c z k z 0 Por el cambio de variable, las condiciones iniciales, son:

z (0)  

1 k

.

z (0)  0

Por lo tanto la solución se ha transformado en un problema de vibración libre con condiciones iniciales que se estudió en el apartado 1.1. Se denomina g (t ) a la solución del escalón unitario. Las soluciones son: 

Caso sin amortiguamiento

z (t )  A cosWn t   B sen Wn t  z (t )   A Wn sen Wn t   B Wn cosWn t  .

Al reemplazar las condiciones iniciales, se tiene:



1 A k

0B

Luego:

1 z (t )   cosWn t  k


23

Con el cambio e variable se tiene:

q(t )  z (t )  q(t ) 

1 1 1   cosWn t   k k k

1 1  cosWn t  k

A la solución se denomina g (t ) . Luego:

g (t )  

1 1  cosWn t  k

(1.29)

Caso sub amortiguado Al proceder en forma similar al caso de vibración libre sin amortiguamiento se obtiene: 0

.

/1

√

(1.30) √

Siendo 

, frecuencia natural del sistema amortiguado.

Caso sobre amortiguado

g (t ) 

1 1  exp   Wn k 

     t  coshW a t  senhW a t     2 1  



W a  Wn  2  1

(1.31)

(1.32)

Si la fuerza actuante no fuera unitaria sino que tiene una magnitud

F0 la respuesta en

el tiempo, sería:

q(t )  Fo g (t ) 

EJEMPLO 7 Encontrar la respuesta en el tiempo para la fuerza f (t ) que se indica en la figura 1.16

en que la fuerza empieza en el tiempo T y tiene una magnitud

F0 .


24

Figura 1.16 Fuerza escalón de magnitud 

F0 .

SOLUCIÓN Para un tiempo

t  T se tiene que el tiempo de duración de la fuerza F0 es t  T .

Luego:

q(t )  F0 g t  T  1.5.2 Pulso rectangular Se desea hallar la respuesta en el tiempo para el pulso rectangular indicado en la figura 1.17 en que la fuerza vale F0 hasta el tiempo T y luego es nula.

Figura 1.17 Pulso rectangular. Se tienen dos formas de resolver el problema del pulso rectangular, la primera resolver la ecuación diferencial del movimiento y la segunda utilizar la respuesta g (t ) . Para el primer caso se procedería así: ..

.

m q  c q  k q  F0 .

q(0)  q(0)  0

0t T


25

Se resuelve la ecuación diferencial indicada, considerando condiciones iniciales nulas, .

después se halla la respuesta en q(T ) y q (T ) que son las condiciones iniciales de la siguiente ecuación diferencial que es válida para ..

t T .

.

mq  c q  k q  0

t T

Figura 1.18 Artificio para resolver un pulso rectangular. La segunda forma de solución se presenta en forma gráfica en la figura 1.18 en que el pulso rectangular es igual a una fuerza escalón de magnitud F0 más otra fuerza escalón pero de magnitud negativa

F0 y que empieza en el tiempo T .

La solución para el caso indicado en la figura 1.18 es la siguiente:

(1.33)

1.6 RESPUESTA IMPULSIVA Si en el pulso rectangular de la figura 1.18 se considera que la fuerza . De tal manera que el área del pulso rectangular valga la unidad. El Impulso de la fuerza valdrá.

Ahora si decrece, el tamaño de la fuerza para que el área sea la unidad, tiene que aumentar. Para cuando , la fuerza aplicada tiende al . Este es el caso en que se da un

26


golpe a un sistema, a esto se llama Acción de Percusión y el modelo numérico se denomina delta de dirac ,

-

En este modelo se cumple, lo siguiente: ∫

∫

Donde es un instante antes de que se aplique el golpe (martillazo) y instante después de aplicarse el golpe.

es un

1.6.1 Respuesta en ausencia de condiciones iniciales Se define al Impulso como el producto de la Velocidad por la Masa, también se conoce con el nombre de Momentum. Ahora bien se desea encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad, como el indicado en la figura 1.19 si la fuerza es un golpe. León (1981).

Figura 1.19 Descripción del problema ante un Impulso Unitario Como la fuerza (martillazo) se aplica en un instante de tiempo tan pequeño, el desplazamiento inicial es cero. Pero la velocidad inicial no y esta es igual al Impulso dividido para la masa. Luego las condiciones iniciales que se generan por el golpe dado al sistema son: ̇ En la ecuación (1.33) se tiene la respuesta en el tiempo para un pulso rectangular, esta vale para

Pero (Impulso Unitario) y además anterior se encuentra luego de factorar .

. Al reemplazar todo esto en la expresión

[

A la respuesta a un Impulso Unitario se le denomina

]

. Luego:


27

(1.34)

1.6.2 Casos Particulares En ausencia de condiciones iniciales, los casos particulares para cuando a un sistema de un grado de libertad se da un golpe, la respuesta del sistema se halla derivando la función con respecto al tiempo. Con lo que se halla. 

Sistema Sin Amortiguamiento (1.35)



Sistema Subamortiguado -

(1.36) √



Sistema Sobreamortiguado (̂ )

̂

̂ 

(1.37)

√

Sistema Críticamente Amortiguado -

(1.38)

1.7 INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN Sea una función de fuerzas arbitrarias en función del tiempo, como la que aparece en la figura 1.20, la misma que actúa en un sistema de un grado de libertad. Se desea conocer la respuesta en el tiempo.

Figura 1.20 Excitación arbitraria en el tiempo.

28


Para encontrar la respuesta del sistema, en el tiempo, la excitación la discretizo en una serie de pulsos, cada uno de ellos tiene un intervalo de tiempo . Mientras más pequeño es el valor de los pulsos se van a aproximar a la función La Fuerza Impulsiva valdrá . Siendo el valor de la fuerza del pulso rectangular que debe ser aproximada al valor de en ese instante de tiempo. La respuesta de desplazamiento para un pulso cualquiera será: . Para todos los pulsos la respuesta se convierte en una sumatoria. ∑ ∫

(1.39)

1.8 TRANSFORMADA DE FOURIER Sea una función en el dominio del tiempo. Se define la Fourier en el dominio de las frecuencias de la siguiente manera.

la Transformada de (1.40)

∫ Por otra parte, la transformada inversa de Fourier, viene definida por:

(1.41)

∫

Donde es una función continua en el dominio del tiempo; es una función continua en el dominio de las frecuencias; frecuencia angular analógica medida en radianes o grados/seg; es la variable tiempo; √ .

1.9 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA La ecuación diferencial del movimiento, de un sistema de un grado de libertad, ante acciones sísmicas definidas por un acelerograma , es la siguiente. ̈

̇

(1.42)

La transformada de Fourier de la excitación ∫ Donde aceleración

viene definida por:

∫

(1.43)

es la frecuencia de excitación; la transformada de Fourier de la Ahora, la transformada de Fourier de la respuesta , es: ∫

(1.44)

La transformada inversa de la respuesta como de la excitación, son: ∫ ∫

(1.45)


29

Se define la función de transferencia en el campo complejo como la relación entre la respuesta (salida) y la excitación (entrada) Barbat y Canet (1994) (1.46) Por lo tanto, la respuesta en el dominio de las frecuencias viene dada por: (1.47) Al remplazar (1.47) en la primera ecuación de (1.45) se halla. ∫

(1.48)

1.10 INTEGRAL DE DUHAMEL La solución de la ecuación diferencial (1.42) está compuesta por una solución homogénea y una solución particular. La solución homogénea se obtiene sin considerar la acción sísmica es decir igualando a cero; esta solución ya fue presentada cuando se estudio vibraciones libres. La solución particular queda determinada por la Integral de Duhamel, la misma que se presenta a continuación. ∫ Donde (ecuación 1.3);

(1.49)

es la frecuencia amortiguada (ecuación 1.9); es la frecuencia natural es el factor de amortiguamiento; es la aceleración del suelo.

La solución homogénea desaparece en los primeros instantes por lo que la respuesta del sistema tiene solamente el aporte de la solución particular, por este motivo en lugar de escribir se denominará . Al resolver las funciones exponencial y trigonométrica, indicada en la ecuación (1.49) se obtiene: [

∫

]

(1.50)

La ecuación (1.50) puede escribirse de la siguiente manera: [

]

(1.51)

∫

(1.52)

∫

(1.53)

Las integrales indicadas en las ecuaciones (1.52) y (1.53) pueden resolverse con Métodos Numéricos pero en este capítulo, no se lo va a realizar de esa manera sino que se pretende encontrar una solución analítica lo más exacta posible ya que en el próximo capítulo se resuelve con el Método de Newmark. Es lo más exácta posible ya que la eceleración del sismo, se la discretiza y se considera que la variación entre dos instantes de tiempo y es lineal, como se muestra en


30

la figura 1.21. Para un instante de tiempo en el intervalo indicado la variación de la aceleración está definida por la ecuación de una recta, con pendiente

(1.54)

Figura 1.21 Variación lineal de la excitación. Al reemplazar la ecuación (1.54) en (1.52) y (1.53), se obtiene las variables tiempo discreto . (Barbat y Caicedo, 1992),

en el

[

]

(1.55)

[

]

(1.56)

Los límites de integración de las ecuaciones (1.55) y (1.56) son desde

hasta

El programa Duhamel encuentra la respuesta en el tiempo de: desplazamiento, velocidad y aceleración de un sistema de un grado de libertad sometido a una acción sísmica. Los datos del programa, son:     

p dt m k zeda

Archivo que contiene las aceleraciones del sismo. Incremento de tiempo del archivo de aceleraciones. Masa del sistema. Rigidez del sistema. Factor de amortiguamiento.

function Duhamel (p,dt,m,k,zeda) % % Programa para encontrar la respuesta en el tiempo % de un sistema de un grado de libertad aplicando la % Integral de Duhamel % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % 12 de octubre de 2011 %------------------------------------------------------------% duhamel(p,m,k,zeda) %-------------------------------------------------------------


31

% p: Archivo que contiene al acelerograma % dt: Incremento de tiempo del acelerograma entre dos puntos discretos % m: Masa del sistema de un grado de libertad % k: Rigidez del sistema de un grado de libertad % zeda: Factor de amortiguamiento %------------------------------------------------------------w=sqrt(k/m);wa=w*(1-zeda*zeda); % Frecuencias sin y con amortiguamiento np=length(p); % Numero de puntos del acelerograma q(1)=0;qp(1)=0; %Condiciones iniciales nulas Asum=0; Bsum=0; for i=2:np a1=p(i-1); %Aceleración en tiempo discreto i-1 t1=dt*(i-1); %Tiempo a2=p(i); %Aceleración en tiempo discreto i t2=dt*i;t(i)=t2; %Tiempo s=(a2-a1)/(t2-t1); % Pendiente de variación de la aceleración (sismo) valA1=Aintegral(s,a2,t2,zeda,w,wa);valA2=Aintegral(s,a1,t1,zeda,w,wa); Asum=Asum+valA1-valA2; valB1=Bintegral(s,a2,t2,zeda,w,wa);valB2=Bintegral(s,a1,t1,zeda,w,wa); Bsum=Bsum+valB1-valB2; q(i)=exp(-zeda*w*t2)/wa*(Asum*sin(wa*t2)-Bsum*cos(wa*t2)); qp(i)=exp(-zeda*w*t2)*(Asum*cos(wa*t2)+Bsum*sin(wa*t2))-w*zeda*q(i); qpp(i)=-w*w*q(i)-2*zeda*w*qp(i); end figure(1) plot (t,q,'LineWidth',1.5);xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Desplazamiento') figure(2) plot (t,qp,'LineWidth',1.5);xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Velocidad') figure (3) plot(t,qpp,'LineWidth',1.5);xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Aceleracion') % fin function [valor]=Aintegral(m,a,t,zeda,w,wa) fac1=(zeda*w*a+m*(1-2*zeda*zeda))*cos(wa*t); fac2=(wa/w)*(w*a-2*zeda*m)*sin(wa*t); valor=exp(zeda*w*t)/(w*w)*(fac1+fac2); return function [valor1]=Bintegral(m,a,t,zeda,w,wa) fac11=(zeda*w*a+m*(1-2*zeda*zeda))*sin(wa*t); fac22=(wa/w)*(w*a-2*zeda*m)*cos(wa*t); valor1=exp(zeda*w*t)/(w*w)*(fac11+fac22); return 

EJEMPLO 8

Encontrar la respuesta en el tiempo, de la estructura indicada en la figura 1, ante el registro obtenido en la estación Sylmar, durante el sismo de Northridge del 17 de enero de 1994, que tuvo una magnitud de 6.7. El acelerograma tuvo una aceleración máxima de 826.76 gals. Se considera un factor de amortiguamiento 

SOLUCIÓN

Como complemento a la información sísmica se debe indicar que el registro de Sylmar fue obtenido en un suelo de bastante resistente (Clasificación tipo B según el Servicio Sismológico de los Estados Unidos con velocidades de la onda de corte comprendidas entre 360 y 750 m/s), la estación se encontraba a 18 km., de la zona epicentral. Es un sismo impulsivo cuya fase intensa tuvo una duración de 2 seg.

32


Se obtuvo la matriz de rigidez lateral utilizando el programa rlaxinfi. Aguiar (2008). El valor obtenido es:

Figura 1.22 Estructura de Ejemplo 8. La rigidez lateral obtenida significa que si se aplica una fuerza lateral de 43.886 T., a la altura del primer piso la estructura se desplaza 1 cm. En el capítulo IV, de este libro se presenta el cálculo de la Matriz de Rigidez Lateral. 2

Se hizo el cambio de unidades, debido a que el acelerograma está en gals (cm/s ). Las respuestas en el tiempo se obtuvieron con el Programa Duhamel y se obtuvieron las respuestas que se indican en la figura 1.23.


Figura 1.23 Acelerograma Sylmar. Respuestas de: desplazamientos; velocidad; aceleración.

33


34

Se presentan cuatro figuras, la primera es el acelerograma de Sylmar, a partir de los 20 seg., la aceleración del suelo es prácticamente nula (sismo). La segunda figura es la respuesta de desplazamiento relativo de la estructura con respecto al suelo, nótese que el desplazamiento máximo no llega a 1 cm., esto es consecuencia del sismo impulsivo que prácticamente no le da tiempo a la estructura a desplazarse pero eso si le introduce una gran cantidad de energía por esto la velocidad relativa es apreciable y que decir con la aceleración relativa de la estructura con respecto al suelo que se presentan en la tercera y cuarta figura.

1.11

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

Con el propósito de reforzar ciertos temas que se han expuesto en este capítulo se resuelven algunos ejemplos que pueden ser de interés para el lector. 

EJEMPLO 9

Las olas que destruyeron Japón, (11 de marzo de 2011, magnitud de 8.8), tenían una altura de 10 m., cuando en la costa se produjo un movimiento sísmico de 2.5 Hz. Hallar la altura a la cual se desplaza la plataforma para producir estas olas; establecer el modelo 3 matemático de lo sucedido sabiendo que los mares tiene un peso específico de 2.3 T/m 3 (corteza más agua). Si se desplaza 1 m , de agua, que fuerza se generan en las estructuras, si se modela como un caso de vibración libre sin amortiguamiento. (Merchán, 2011). 

SOLUCIÓN

En la figura 1.24 se presenta un modelo matemático muy sencillo sobre la generación de un Tsunami. En el sismo se rompe la corteza y empieza a vibrar, esta vibración es la que genera las olas las mismas que se desplazan hacia la costa, como se observa en la figura 1.24.

Figura 1.24 Modelo elemental para la generación de un Tsunami. (Tomado de Wikipedia). Si el movimiento de la plataforma marina, se modela como un caso de vibración libre sin amortiguamiento (aproximación), la altura es de 20 m. Debido a que 10 m., se desplaza hacia arriba y 10 m., se desplaza hacia abajo, la plataforma. El modelo numérico de vibración libre sin amortiguamiento, en sistemas de un grado de libertad se ha presentado en este capítulo. La respuesta de desplazamientos, es la siguiente:

Donde es la amplitud; es la frecuencia natural de vibración; fase; es la variable tiempo. Se deriva dos veces para sacar la aceleración. ̇

̈

es el ángulo de


35

La fuerza que se genera en las estructuras es igual a masa por aceleración. Pero interesa la fuerza máxima en valor absoluto, esta vale:

La fuerza de impacto en la estructura, es bastante alta. Ahora pensemos si la cantidad de agua que llevó la ola es mayor o la frecuencia es mayor, la fuerza de impacto será mucho más alta. 

EJEMPLO 10

Si la estructura del Ejemplo 8 se encuentra en el perfil de suelo indicado en la figura 1.25. Encontrar el Factor de Amplificación Dinámica considerando la frecuencia natural del suelo y la frecuencia natural de la estructura.

Figura 1.25 Perfiles de suelo en que se halla la estructura del Ejemplo 8.



SOLUCIÓN

Con los datos indicados se obtiene en primer lugar la velocidad de la onda de corte del perfil de suelo ; luego se encuentra el período de vibración suelo y posteriormente la frecuencia de vibración del suelo

= Por otra parte con los datos del ejemplo 8,se halla la frecuencia natural de la estructura.

36


√

√

Finalmente, se obtiene la relación entre las frecuencias dinámica . (Ecuación 1.25).



1

1  r   2  r  2 2

 2

y el factor de amplificación

1

1  2.17   2  0.05  2.17  2 2

 0.28 2

La estructura analizada no tiene problemas de amplificación de las ondas sísmicas por efecto del tipo de suelo.

1.12

APLICACIÓN PRÁCTICA

El Edificio Administrativo de la Universidad Nacional del Chimborazo, en enero de 2012, presentaba varias rajaduras en los vidrios de las ventanas de la fachada, que se indica en la figura 1.26, debido a que se hallan en el extremo del voladizo y las vibraciones que se generaron durante la ampliación de la vía a Guano.

Figura 1.26 Edificio Administrativo de la Universidad Nacional del Chimborazo. En la figura 1.27 se presenta solamente la parte de la estructura que trabaja en voladizo; las columnas se encuentran cada 5.0 m., la losa es de 25 cm., de peralte, alivianada con los bloques que están indicados en la gráfica superior y el voladizo es de longitud variable. El gráfico inferior corresponde al modelo de cálculo, que es una malla espacial, en la cual se considera que las columnas están completamente empotradas y los restantes nudos tienen tres grados de libertad, dos rotaciones y un desplazamiento vertical. Aguiar (2006). Debido al peso de los elementos (carga muerta) y de las personas (carga viva) que en ella laboran, los máximos desplazamientos verticales se producen entre los ejes: F-E-D. En la figura 1.28 se indican los corrimientos verticales en el borde, los mismos que están en función de la carga vertical que sobre ellos gravita, donde se tiene mayor cantidad de hormigón se presentan desplazamientos más grandes, de ahí la importancia de no dejar vigas banda de considerable dimensión en los extremos de un voladizo debido a que no se requiere y lo único que ocasionan es un mayor desplazamiento vertical.


37

Figura 1.27 Macizado de la losa que trabaja en voladizo y malla de cálculo.

Figura 1.28 Desplazamientos verticales entre los ejes F-E Se va a ver el comportamiento del nervio que tiene 2.65 mm., de deformación vertical y que está con una línea más gruesa en la figura 1.28. Este nervio tiene 10 cm., de ancho y 25 cm., de peralte. Para el estudio de cómo se incrementan los desplazamientos verticales por las vibraciones producidas por una máquina, se modela este elemento como un sistema de un grado de libertad como el de la figura 1.29 sometido a una excitación armónica.

Figura 1.29 Vibración forzada armónica en un sistema de un grado de libertad. La ecuación diferencial para el caso de amortiguamiento (hipótesis de cálculo) es la siguiente:

̈

vibración

Ω

forzada

armónica,

sin

38


Donde son la masa y rigidez del modelo; ̈ son el desplazamiento y aceleración que es función del tiempo , como se aprecia a la derecha de la figura 1.29; Ω es la fuerza y frecuencia de la excitación que generan vibraciones en la estructura. El sistema tiene condiciones iniciales y son la deformación vertical en el extremo del voladizo por efecto de la carga vertical , se considera que la velocidad es nula en La solución de la ecuación diferencial es:

Donde

es la solución homogénea y

es la solución particular, que valen.

Ω

Ω )

(

(

Ω )

Ω

Donde son constantes de integración que se obtienen en función de las condiciones iniciales; es la frecuencia de vibración del sistema.

√ Donde es el módulo de elasticidad del hormigón; es el momento de inercia de la viga; es la longitud del voladizo. Al reemplazar las condiciones iniciales en , se hallan las constantes de integración. Ω (

Ω )

Finalmente la respuesta en el tiempo del sistema es:

Ω (

Ω )

(

Ω )

Ω

En la tabla 1.2 se presentan los datos con los que se resuelve el problema de vibración forzada con condiciones iniciales y en la figura 1.30 se indica la respuesta en el tiempo. Tabla 1.2 Datos del nervio analizado, para el cálculo de las deformaciones verticales. Dato Valor Ancho y peralte del nervio Condiciones iniciales ̇ Longitud de nervio y masa puntual Fuerza y Frecuencia de excitación armónica

Ω

En la figura 1.30 se aprecia que la deformación vertical del extremo del nervio, antes de que operen los equipos viales es 2.65 mm., y cuando entran en funcionamiento se incrementan hasta tener alrededor de 6 mm., tanto hacia arriba como hacia abajo.


39

Por otra parte, el desplazamiento vertical máximo, para edificios que tienen elementos no estructurales que pueden sufrir daño es. ACI (318 S-05).

Siendo , la longitud del voladizo. En este caso , con lo que el desplazamiento máximo permitido es 3.44 mm., cantidad que si fue sobrepasada con el movimiento vibratorio durante la construcción de la vía. El desplazamiento de 2.65 mm., que se obtuvo en el cálculo por efecto de las cargas verticales, se da cuando termina la construcción, luego con el paso del tiempo, en los voladizos estos desplazamientos verticales se incrementan por lo que se denomina Flujo Plástico del Hormigón. Un libro clásico que trata muy bien este tema es el de Park y Paulay (1979)

Figura 1.30 Respuesta en el tiempo del desplazamiento vertical de un nervio mientras está en funcionamiento las máquinas viales.

Por lo tanto, cuando se tiene una ventana bajo un voladizo se debe dejar una separación entre el marco de la ventana y la viga o losa, para permitir esta deformación vertical instantánea, en el transcurso del tiempo y que puede incrementarse con las vibraciones de equipos; esta separación que puede estar entre 5 y 10 mm., debe ser llenada con un material amortiguante, como una goma.

REFERENCIAS 1. ACI (2005), Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural y Comentario (ACI 318S-05). American Concrete Institute, 490 p.

40


2. Aguiar R., (2008), Análisis Sísmico de Edificios, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 322 p., Quito, Ecuador. 3. Aguiar R., Almazán J. L., Dechent P., Suárez V., (2008), Aisladores de base elastoméricos y FPS, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 292 p., Quito, Ecuador. 4. Aguiar R., (2006), Análisis Estático de Estructuras, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército. Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha, 161 p., Quito. 5. Barbat A., Canet J., (1994), Estructuras sometidas a acciones sísmicas. Cálculo por ordenador, Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería. Universidad Politécnica de Cataluña. Segunda Edición, 809 p., Barcelona, España. 6. Barbat A., Caicedo C., (1992), “Dos soluciones exactas para la ecuación del movimiento”, Trabajo presentado en el Curso de Post grado Ingeniería Sísmica y Dinámica Estructural. Universidad Politécnica de Cataluña, 8 p., Barcelona, España. 7. Chopra A., (1996), Dynamics of structures: Theory and applications to earthquakes engineering, Prentice Hall, N.J. 8. León J., (1981), Introducción a las Vibraciones Mecánicas, Materia del Curso de Post grado en Ingeniería Sismo Resistente. Universidad Central de Venezuela, Caracas, Venezuela. 9. Merchán P. (2011), Vibraciones Libres. Clase de Física en la Carrera de Mecatrónica. Escuela Politécnica del Ejército, Quito, Ecuador. 10. Newmark N., and Hall W., (1982), Earthquake Spectra and Design. California, United States of America: Earthquake Engineering Research Institute. 11. Park R., Paulay T., (1979), Estructuras de concreto reforzado, Editorial Limusa, 796 p., México.


41

CAPÍTULO 2

ESPECTROS DE RESPUESTA RESUMEN Se presenta en forma práctica el método de aceleración lineal para encontrar la respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica, para el efecto se ha elaborado un programa denominado lineal. Posteriormente se indica la definición de espectros de respuesta elásticos, los mismos que se hallan con el programa espectro. Pero antes se presenta una breve reseña histórica de este tema, hasta 1960, fundamental para el diseño sísmico de estructuras como es el de los Espectros. Al leer detenidamente cada una de las instrucciones de los programas lineal y espectro se entenderá mejor la forma como se obtiene la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad y como se encuentran los espectros de respuesta elásticos. Por considerarlo muy práctico se presenta también el uso del programa DEGTRA que permite obtener espectros de respuesta elásticos e inelásticos y más aspectos relacionados con la dinámica de estructuras. Luego, se ve la importancia de conocer las formas espectrales en base a dos registros sísmicos, el uno de México de 1985 y el otro de Chile de 1985. Posteriormente se habla sobre el Mega Sismo de Chile de 2010, que tuvo una magnitud de 8.8 y dejó importantes lecciones para la Ingeniería Sísmica. Con relación a los espectros se vio como influye la fuente sísmica a más del tipo de suelo, en la forma del espectro. Vale la pena acotar que el sismo de Esmeraldas de 1906, en Ecuador, tuvo una magnitud de 8.8, de tal manera que las lecciones del sismo de Chile son muy oportunas. Finalmente se presenta la definición de Pseudo Espectros, por la importancia que tiene en el Método de Superposición Modal. Como ejemplo de aplicación se obtiene los Pseudo Espectros de Velocidad y Desplazamiento, a partir del Espectro de Aceleraciones del Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC-2000, para el efecto se desarrollo el programa pseudo_espectro. Se hace una crítica a la forma del Pseudo Espectro de Desplazamientos para períodos altos, debido a que crece conforme se incrementa el período. Ventajosamente en la Norma Ecuatoriana de la Construcción de 2011 se corrigió esto que era un problema para las estructuras con aisladores de base.

2.1 MÉTODO DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL La ecuación diferencial que gobierna un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica definida por un acelerograma es la siguiente:

42


..

.

..

m q  c q  k q   mU g Donde

(2.1)

m es la masa; c es el amortiguamiento; k es la rigidez, del sistema de un .

grado de libertad, 1gdl, q es la respuesta en el tiempo de desplazamiento; q es la respuesta ..

..

en el tiempo de velocidad; q es la respuesta en el tiempo de aceleración y U aceleración del suelo.

es la

g

Existe una gran cantidad de métodos para encontrar la respuesta lineal de la ecuación diferencial (2.1). Uno de ellos es el método de Aceleración Lineal que está deducido en el capítulo 4 del libro: Sistema de Computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países Bolivarianos, Aguiar (2002). Aquí se presenta una síntesis del método, orientado a la elaboración de un programa de computación pero antes de ello es necesario manifestar que la ecuación diferencial (2.1) se puede escribir también de la siguiente manera, al dividir todo para la masa del sistema m . ..

.

..

q  2 Wn q  Wn2 q   U g Siendo

(2.2)

Wn la frecuencia natural del sistema y  es el factor de amortiguamiento

crítico. En el capítulo 1 se vio que:

Wn 

k m



c 2 mk

El método de aceleración lineal, considera que en la respuesta del sistema la .

aceleración entre dos instantes de tiempo varía en forma lineal. Sea

.

desplazamiento, velocidad y aceleración en el tiempo discreto propio pero en el tiempo discreto i.

M  m

ii.



c t k t 2  2 6

(2.3)

t es el incremento de tiempo con el cual se desea hallar la respuesta sísmica.

Se halla el incremento de carga

Qi

.. k   . Qi  Q  q i  c t  t 2   q i k t 2   .. ..   Q   m  U i 1  U i    ..

(2.4)

..

Siendo U i , U i 1 la aceleración del suelo en los tiempos discretos ..

iii.

..

t i y sea q i 1 , q i 1 y q i 1 , lo

t i 1 . El procedimiento de cálculo es el siguiente:

Se determina la masa equivalente del sistema M

Donde

..

q i , q i y q i , el

Se halla el incremento de aceleraciones  q

t i y t i 1 .


Qi q  M

43

..

(2.5)

.

Se encuentra el incremento de velocidad  q

iv.

..

q  q  q i t  t 2 .

..

(2.6)

Se determina el incremento de desplazamiento q

v.

..

..

q q 2 q  q i t  i t 2  t 2 6 .

vi.

Se obtiene el nuevo desplazamiento, velocidad y aceleración en

(2.7)

t i 1

q i 1  q i   q .

.

.

..

..

..

q i 1  q i   q q i 1  q i   q vii.

Los valores obtenidos en el tiempo

t i 1 se asignan a t i

q i  q i 1 .

.

..

..

q i  q i 1 q i  q i 1 Para un nuevo incremento de tiempo se repite desde el paso dos. Es importante destacar que en el Análisis Lineal, la masa equivalente M



se determina una sola vez.

2.2 PROGRAMA lineal El programa lineal, halla en forma gráfica, la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad, ante una acción sísmica, definida por su acelerograma, aplicando el Método de Aceleración Lineal indicado en el apartado anterior. El programa ha sido elaborado en MATLAB y antes de utilizarlo se debe grabar el archivo que contiene únicamente las aceleraciones del sismo en formato ASCII. El nombre tiene extensión .dat. Después de ello cuando se encuentra en la modalidad consola se carga el acelerograma y después se ejecuta lineal, de la siguiente manera: [d,v,a] = lineal (p,m,c,k,dt)    

p m c k

es el nombre del archivo que contiene el acelerograma. es la masa del sistema de 1 gdl. es el amortiguamiento del sistema de 1 gdl. es la rigidez del sistema de 1 gdl.


44 

dt es el incremento de tiempo con el cual se desea hallar la respuesta. El mismo que tiene que ser igual al incremento de tiempo con el cual se obtuvo el acelerograma.

Una vez que se ejecuta lineal aparecen cuatro gráficas, la primera de ellas es el acelerograma, que es dato. La segunda la respuesta en el tiempo de los desplazamientos, la tercera de las velocidades y la última de las aceleraciones. function [d,v,a]=lineal(p,m,c,k,dt) % % Respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad % por el Método de la Aceleración Lineal % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI ESPE %-----------------------------------------------------------------% [d,v,a]=lineal(p,m,c,k,dt) %-----------------------------------------------------------------% p : vector que contiene los registros del acelerograma % m : masa del sistema % c : amortiguamiento del sistema % k : rigidez del sistema % d, v, a : desplazamiento, velocidad y aceleración de la respuesta % dt : incremento de tiempo % n=length(p); tmax=dt*n; t=linspace(0,tmax,n)'; ma=m+(c*dt/2)+(k*dt*dt/6); d(1)=0; v(1)=0; a(1)=0; for i=1:n-1 dq=-m*(p(i+1)-p(i)); dqa=dq-a(i)*(c*dt+k*dt*dt/2)-v(i)*k*dt; inca=dqa/ma; incv=a(i)*dt+inca*dt/2; incd=v(i)*dt+a(i)*dt*dt/2+inca*dt*dt/6; d(i+1)=d(i)+incd; v(i+1)=v(i)+incv; a(i+1)=a(i)+inca; d(i)=d(i+1); v(i)=v(i+1); a(i)=a(i+1); end subplot (4,1,1); plot (t,p); title('Acelerograma'); subplot (4,1,2); plot (t,d); ylabel('Desplazamiento'); subplot (4,1,3); plot (t,v); ylabel('Velocidad'); subplot (4,1,4); plot (t,a);xlabel('Tiempo'); ylabel('Aceleracion'); %---fin--

EJEMPLO 1 Hallar la respuesta en el tiempo del oscilador indicado en la figura 2.1, que tiene una

T s2 1 masa m  0.004898 , una frecuencia natural Wn  6.2832 y un coeficiente de cm s amortiguamiento   0.05 . Ante el sismo del 9 de noviembre de 1974, registrado en el Perú. El acelerograma fue obtenido a 80 Km., del epicentro sobre un suelo limo arcilloso. El evento tuvo una magnitud de 6. La aceleración máxima del sismo, en valor absoluto fue de 117 gals 2 (cm/s ). El incremento de tiempo con el cual fue obtenido el registro es t  0.02 s . 

SOLUCIÓN

Para utilizar el programa lineal se debe determinar el amortiguamiento y la rigidez del sistema, en base a la frecuencia natural y al coeficiente de amortiguamiento.


Wn2  k / m

45

 k  Wn2 m  39.4786 * 0.004898  0.19336619 T / cm

Figura 2.1 Modelo de un sistema de 1 gdl.

  c / 2 mk

 c  2 mk  2 * 0.05 * 0.004898 * 0.193366  0.0030775 Ts / cm

El período del sistema que se analiza es

T  2 / Wn = 1 s. Una vez cargado el

acelerograma como un vector, en la modalidad consola, se ejecuta el programa lineal. >>load Peru04.dat >>[d,v,a] = lineal (Peru04, 0.004898, 0.00307751136, 0.19336619, 0.02) Es importante tener muy en cuenta las unidades. Si el acelerograma viene en gals. Se debe trabajar todo con cm y s. Así es como se ha procedido en el ejemplo realizado. En la figura 2.2 se indica la respuesta en el tiempo del sistema de 1 gdl., del ejemplo 1. Como se indicó aparece el acelerograma, los desplazamientos, velocidad y aceleración. Se puede hallar las respuestas máximas, en valor absoluto, desde la modalidad consola de la siguiente manera: >>Sd=max(abs(d)) Sd= 2.9842 >>Sv=max(abs(v)) Sv= 23.8650 >>Sa=max(abs(a)) Sa= 213.5134 Se ha denominado Sd, Sv, Sa a la máxima respuesta, en valor absoluto, de los desplazamientos, velocidades y aceleraciones, respectivamente.

46


Figura 2.2 Respuesta en el tiempo de Ejemplo 1.

2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD En el capítulo 1 se presentó un modelo de un sistema de 1 gdl. En la figura 2.1 se mostró otro modelo de 1 gdl. Todo esto, con el objeto de que el lector se familiarice con la forma como se acostumbra representar los sistemas de 1 gdl.

Figura 2.3 Modelo de un sistema de un grado de libertad. Con este antecedente, en la figura 2.3 se indican dos modelos más. A la izquierda se ha dibujado un pórtico de un vano y un piso en el que se ha resaltado la masa, se ha indicado la rigidez y el amortiguamiento. A la derecha se tiene otra forma de presentar un sistema de un


47

grado de libertad, en base a una columna con una masa puntual. Lo importante es que el lector observe que todos ellos, son formas de representar un sistema de 1 gdl. Por su sencillez en el dibujo, se utilizará en el presente capítulo el último modelo compuesto por una columna y la masa puntual. 

EJEMPLO 2 2

Hallar la respuesta en el tiempo de un sistema cuya masa es 0.0024 Ts /cm, la rigidez es 0.023687 T/cm y el amortiguamiento vale 0.000753981 Ts/cm. Ante el sismo utilizado en el ejemplo 1. 

SOLUCIÓN

El sistema de 1 gdl del ejercicio anterior, tenía un período de vibración de 1 segundo y el de este ejercicio, tiene un período de 2 segundos. Es importante tener esto presente para el tema que se tratará en el próximo apartado. >>load Peru04.dat >>[d,v,a] = lineal (Peru04, 0.0024, 0.000753981, 0.023687, 0.02) La respuesta en desplazamientos, velocidades y aceleraciones, que reporta el MATLAB, al utilizar el programa lineal, se indica en la figura 2.4. Por otra parte, las respuestas máximas son:

2.4

S d  2.6702 cm . S v  15.0933 cm / s. y S a  129.5191 cm / s 2 .

ESPECTROS DE RESPUESTA

Por los años de 1915, Naito diseñaba sus estructuras ante sismos considerando como fuerzas laterales una fracción del peso de sus elementos y sus edificaciones tuvieron un buen comportamiento durante el sismo de Tokyo de 1923 lo que no ocurrió con otras edificaciones que colapsaron. El primer código de diseño sísmico del mundo fue el de Japón de 1919. (Rosenblueth, 1965) A partir de 1930 se reconoció el problema sísmico como un problema de dinámica de estructuras y ya se empezaron a definir modelos numéricos de cálculo, en los que se establecieron bien las variables involucradas (Suyehiro, 1932; Freeman, 1932; Biot, 1943). En 1934 Benioff introduce la definición de espectro de respuesta. Sin embargo de esto todavía existen proyectistas estructurales que a lo mucho la naturaleza dinámica del problema sísmico, la consideran al calcular el cortante basal Vo; por otra parte, determinan el período de vibración T de la estructura utilizando ecuaciones muy elementales, lo propio realizan con la determinación de las fuerzas laterales estáticas equivalentes. Existen importantes avances en el análisis lineal y no lineal de estructuras que deben ser acogidas. En 1952, Housner presenta el pseudo espectro de velocidades. Luego en 1959, Housner propuso el primer grupo de formas espectrales promedio, normalizando para el efecto 8 registros obtenidos de los siguientes terremotos: El Centro 1934 y 1940, Western Washington, (Olympia) 1949 y Kerb County (Taft) 1952. Nótese que ya se empieza con el tema del espectro de diseño que será abordado en el siguiente capítulo en forma extensa.

2.4.1 Definición de espectro Se define el espectro de respuesta como la respuesta máxima de un conjunto de osciladores de 1 gdl que tienen el mismo amortiguamiento, sometidas a una historia de aceleraciones dadas.

48


Figura 2.4 Respuesta en el tiempo de Ejemplo 2. En la figura 2.5 se muestra el esquema de cálculo de los espectros de respuesta. A la izquierda aparecen un conjunto de osciladores de 1 gdl, todos ellos tienen   0.05 y cada uno va a ser sometido al sismo cuyo acelerograma se indica en la parte inferior izquierda. En este caso, corresponde al sismo del 9 de noviembre de 1974, utilizado en los ejemplos 1 y 2.

Figura 2.5 Esquema de cálculo de los Espectros de Respuesta.


49

En la parte central de la figura 2.5, se tiene la respuesta en el tiempo de desplazamiento, se ha colocado únicamente de dos osciladores, el uno tiene un período de 1 s. (ejemplo 1) y el otro un período de 2 s. (ejemplo 2). Se ha identificado las respuestas máximas en cada uno de ellos, como Sd1 para el sistema con T=1 s., y Sd2 para el sistema con T=2 s. Nótese que Sd1 es negativo ya que se halla en la parte inferior y Sd2 es positivo por estar en la parte superior pero para encontrar el espectro se considera en valor absoluto En la parte derecha, de la figura 2.5 se han colocado los valores de Sd1 y Sd2 asociados a períodos de 1 y 2 s., se han colocado además los desplazamientos máximos correspondientes a los restantes períodos del conjunto de osciladores, la gráfica que resulta de unir las respuestas máximas es el Espectro de Respuesta Elástica de Desplazamientos, ante el sismo del 9 de Noviembre de 1974. En la parte central de la figura 2.5 se pudo haber colocado las respuestas máximas de velocidades o de aceleraciones, con lo que se habría hallado los espectros de respuesta elásticos de velocidad y aceleración, respectivamente. Por lo tanto, se pueden obtener espectros de respuesta elásticos de desplazamientos, velocidades y aceleraciones, encontrando las máximas respuestas en valor absoluto de .

..

q (t ), q (t ) y q (t ) . A estas respuestas máximas se las denomina con las letras S d , S v y S a . S d  q(t ) max

( 2.8 )

Sv  q (t ) max

( 2.9 )

Sa  q(t ) max

( 2.10 )

Las respuestas máximas en valor absoluto, de los ejercicios resueltos, se indican en la tabla 2.1. Al graficar T  S d se tiene el espectro de desplazamientos, al graficar T  S v se tiene el espectro de velocidades y al graficar

T  S a se tiene el espectro de aceleraciones.

Tabla 2.1 Respuestas máximas encontradas en los dos ejercicios realizados.

Wn

T

Sd

Sv

Sa

1   s

s 

cm.

 cm.     s 

 cm.   2   s 

6.2832 3.1416

1.00 2.00

2.98 2.67

23.87 15.09

213.51 129.52

En la tabla 2.1 se tienen dos puntos de los espectros. Para tener el espectro completo se deben analizar por lo menos 100 sistemas de 1 gdl.

2.4.2 Programa espectro Se ha elaborado un programa en MATLAB denominado espectro, en base al programa lineal. En este programa se ha omitido las sentencias con las cuales se imprime la respuesta en el tiempo de desplazamiento, velocidad y aceleración, así como se suprimido la sentencia que dibujaba el acelerograma. El programa que encuentra las respuestas paso a paso de un oscilador de 1 gdl pero que no presenta las respuestas en el tiempo se denomina lineales. Es importante verificar que se encuentre el programa antes de ejecutar el programa espectro.


50

La forma de utilizar el programa espectro es: >> [Sd,Sv,Sa] = espectro (p,dt,zeda) 

Sd Matriz que contiene los desplazamientos espectrales para diferentes valores de  .



Sv Matriz que contiene las velocidades espectrales para diferentes valores de

   

. Sa Matriz que contiene las aceleraciones espectrales para diferentes valores de  . p Vector que contiene las aceleraciones del suelo para el cual se hallan los espectros dt Incremento de tiempo con el cual se halla la respuesta, igual al incremento de tiempo del acelerograma. zeda Vector que contiene los valores de  para los cuales se desean los espectros.

El período obtiene los espectros, desde un período inicial igual a 0.01 s., hasta un período máximo de 3.0 s., con un incremento en los períodos de 0.03 s. De tal manera que se calculan los espectros en base a 100 osciladores, si se desea incrementar el número de osciladores se debe disminuir el incremento de período. Cualquiera de estos valores se puede modificar al ingresar al programa espectro Antes de utilizar el programa, se debe cargar el archivo de datos en el cual se halla el acelerograma y el vector que contiene los valores, del factor de amortiguamiento para los cuales se desea encontrar los espectros. function [Sd,Sv,Sa]=espectro(p,dt,zeda) % % Espectros de respuesta elástica de: desplazamientos, velocidad y aceleración. % Empleando Método de Aceleración Lineal. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % %-----------------------------------------------------------------------------------------------% [Sd,Sv,Sa]=espectro(p,dt,zeda) %-----------------------------------------------------------------------------------------------% %p Vector que contiene el acelerograma. % dt Intervalo de tiempo con el que se halla la respuesta igual al % valor con que fueron tomados los datos del acelerograma. % zeda Vector que contiene los valores de amortiguamiento. % Sd Valores máximos de los desplazamientos en absoluto. % Sv Valores máximos de las velocidades en absoluto. % Sa Valores máximos de las aceleraciones en absoluto. % DT Intervalo de Periodos = 0.03 s. % Tmin Período mínimo que se considera igual a 0.01 s. % Tmax Período máximo que se considera igual a 3.00 s. % hold off; Tmin=0.01; Tmax=3.0; DT=0.03; n=((Tmax-Tmin)/DT)+1; m=length(zeda); T=linspace(Tmin,Tmax,n)'; W=2*pi./T; K=W.*W; for i=1:m zi=zeda(i); C=(2*zi).*sqrt(K); for j=1:n xj=K(j); yj=C(j); [d,v,a]=lineales(p,1,yj,xj,dt); Sd(i,j)=max(abs(d)); Sv(i,j)=max(abs(v)); Sa(i,j)=max(abs(a)); end end

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE subplot (3,1,1); plot (T,Sd); ylabel('Desplazamiento'); title('ESPECTROS DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION RELATIVA') hold on subplot (3,1,2); plot (T,Sv); ylabel('Velocidad'); hold on subplot (3,1,3); plot (T,Sa);xlabel('PERIODO'); ylabel('Aceleracion'); hold off %---fin--

51

DE

EJEMPLO 3

Hallar los espectros de respuesta elástica de desplazamiento, velocidad y aceleración del sismo del 9 de noviembre de 1974, para valores de  igual a: 0.05; 0.10 y 0.20. 

SOLUCIÓN

>> load Peru04.dat >> zeda=[0.05; 0.10; 0.20] >> [Sd,Sv,Sa]=espectro (Peru04,0.02,zeda)

En la figura 2.6 se ha indicado los espectros que reporta el programa espectro. Los comentarios que se realizan al respecto, son los siguientes:  

La identificación del tipo de línea, que se encuentra en la parte inferior de la figura 2.6 se lo realizó con el programa PAINT. El último de los espectros es de aceleración relativa. No se ha encontrado el espectro de aceleración absoluta. La diferencia entre los dos, radica en que el espectro de aceleraciones relativas, se encuentra de la respuesta máxima en valor absoluto de las ..

aceleraciones q (t ) . En cambio, para hallar de la aceleración absoluta se debe hallar ..

el valor máximo en valor absoluto de   

..

q (t )  U g (t ) , es decir se debe sumar la

aceleración del suelo. A medida que los valores de  se incrementan, las formas espectrales disminuyen. Al presentar los tres espectros de respuesta de: desplazamiento, velocidad y aceleración relativa, en un solo gráfico, la escala vertical se redujo con lo que se deforma un poco las formas espectrales. Se denominan espectros de respuesta, ya que son espectros para un determinado sismo. Los espectros de diseño se obtienen en base a los espectros de respuesta de varios sismos, como se ilustra en el próximo capítulo.

2.5 USO DEL PROGRAMA DEGTRA Un programa muy versátil para el análisis dinámico de sistemas de 1 gdl es el programa DEGTRA A4 desarrollado por Ordaz y Dulché (2002) en el Instituto de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México. En realidad son más los investigadores que han aportado al desarrollo de este programa entre ellos están Jorge Arboleda y Mauricio Gallego. Una vez que se tiene instalado el programa DEGTRA, lo primero que se debe hacer, es abrir una ventana para lo cual se selecciona el icono que está indicado con una flecha en la figura 2.7. Después se busca el archivo en el cual se halla el acelerograma, para el efecto se selecciona el icono que está indicado en la figura 2.8.

52


Figura 2.6 Espectros de respuesta elástica para el sismo del 9 de noviembre de 1974.

Figura 2.7 Abertura de ventana con el programa DEGTRA. Una vez que se ha seleccionado el archivo que contiene el acelerograma se debe indicar el número de líneas inútiles y el incremento de tiempo con el cual fueron grabados estas aceleraciones. En la figura 2.9 están en blanco los casilleros que deben ser llenados para que se cargue el acelerograma.


53

Figura 2.8 Selección del archivo que contiene el acelerograma.

Figura 2.9 Datos que se deben indicar para cargar el acelerograma. Normalmente en las primeras líneas del archivo que contiene el acelerograma se tiene información sobre el registro, como la fecha del sismo, la magnitud, el tipo de suelo en que fue registrado el evento, la distancia epicentral, el nombre de la estación sismológica, el incremento de tiempo, la dirección de la componente sísmica, etc. Esta información es muy valiosa pero para fines de cálculo del espectro se convierte en líneas inútiles. Para el ejemplo de la figura 2.9 se tiene 11 líneas inútiles. Por otra parte el valor de DT  0.02 s .

54


Luego de llenar los casilleros en blanco con el número de líneas inútiles y el valor de

DT se presiona el icono OK apareciendo inmediatamente el acelerograma que está indicado en la figura 2.10.

Figura 2.10 Acelerograma y selección del icono que obtiene el espectro de respuesta. Posteriormente se selecciona el icono que calcula el espectro de respuesta que está indicado en la figura 2.10. Luego de presionar el icono que está bajo la flecha aparece el cuadro de datos que se presenta en la figura 2.11 y el usuario debe ratificar o rectificar esa información que aparece.

Figura 2.11 Información que se debe suministrar para encontrar el espectro de respuesta. Se debe indicar el número de puntos NT que se desean considerar para obtener el espectro. Por defecto considera 50 puntos. Es el número de osciladores de 1 gdl que se desean. Mientras más puntos se consideran es mejor pero demanda más tiempo. El segundo dato es el período mínimo a partir del cual se desea hallar el espectro, por defecto este valor es 0.01 s., luego el período final hasta el cual se obtendrá el espectro, por defecto se considera 3 s., Estos dos valores son adecuados razón por la que no deben modificarse. Finalmente se indica el valor de  que en la figura 2.11 se ha notado como Csi . Una vez llenado estos datos se selecciona el tipo de espectro que se desea encontrar. En la figura 2.11 se ha seleccionado el icono que corresponde al espectro de desplazamiento.


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Figura 2.12 Acelerograma y Espectro de respuesta. En la figura 2.12 se aprecia a la izquierda el acelerograma y a la derecha el espectro de respuesta elástico de desplazamiento, obtenido para   0.05 .

2.6 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES Los espectros de respuesta proporcionan información muy valiosa para el proyectista estructural, ya que se puede inferir los edificios que van a estar sujetos a mayores fuerzas sísmicas. Por ejemplo, el sismo del 19 de septiembre de 1985, que tuvo una magnitud de 8.1 y una profundidad focal de 33 Km., se registro a 20 Km., de la costa de Guerrero y en el centro de Ciudad de México que se halla a 400 km., de la zona epicentral se tuvo gran daño en las edificaciones de mediana altura que están asociadas a períodos entre 1.5 y 2.5 segundos debido a que en esa zona se tuvo las mayores amplitudes como se aprecia a la derecha de la figura 2.13 en que se presenta el espectro de respuesta elástico de aceleraciones absolutas.

Figura 2.13 Acelerograma y espectro de aceleraciones del sismo del 19 de septiembre de 1985. En la figura 2.13, a la izquierda se aprecia que la aceleración máxima del registro fue de 0.17 g., 17% de la aceleración de la gravedad y de baja frecuencia semejante a una excitación de tipo armónico que resultan ser muy destructivos. A la derecha de la figura 2.15 se observa que la aceleración máxima espectral fue de 1 g., y está asociado a un período de 2 s. En el espectro de aceleraciones de la figura 2.13 se ve que para períodos menores a 1.5 s., las ordenadas espectrales son bajas. Luego las estructuras que tienen estos períodos que son las de pocos pisos, no fueron afectadas por el sismo de septiembre de 1985, como lo fueron las estructuras que tienen períodos entre 1.5 y 2.5 s. En el centro del Distrito Federal la velocidad de la onda de corte es muy baja. Por lo tanto, el período de vibración se debe calcular considerando interacción suelo estructura, lo que implica que el período es mayor que el que se obtiene con reglas como 0.11 N, siendo N el número de pisos

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El 3 de marzo de 1985 tuvo lugar en Chile un sismo, también de subducción, con una profundidad focal de 15 km., y de una magnitud de 7.8. Aproximadamente a 140 km., del epicentro, en Lloleo se tuvo un registro sísmico con una aceleración máxima de 698 gals que corresponde a 0.71 g., cuyo acelerograma se indica a la izquierda de la figura 2.14 pero este sismo causó menos daño en las estructuras, que el sismo del Distrito Federal a pesar de que la aceleración máxima fue 4.17 veces mayor.

Figura 2.14 Acelerograma y espectro del sismo de Chile de 1985. A la derecha de la figura 2.14 se presenta el espectro de aceleraciones absolutas del registro de Llolleo, se aprecia que las aceleraciones espectrales máximas están asociadas a períodos comprendidos entre 0.3 y 0.5 s. En consecuencia fueron las edificaciones pequeñas las que sufrieron más daño. La aceleración máxima fue de 1880 gals que corresponde a 1.92 g., y está asociada a un período de 0.29 s. Se ha presentado dos espectros, el uno, el de Ciudad de México de 1985 en el cual las estructuras intermedias de 6 a 18 pisos fueron las más afectadas y el otro el del sismo de Chile de 1985 en que las estructuras de 2 a 4 pisos fueron afectadas. De tal manera que en Ciudad de México se tendrá mayor precaución en la construcción de edificaciones de 6 a 18 pisos y de ser posible se evitará tener edificios con estos pisos. En cambio en Chile habrá que tener cuidado con las edificaciones de pocos pisos ya que se esperan fuerzas sísmicas muy altas. Evidentemente que en base a dos eventos sísmicos no se pueden dar conclusiones generales sin embargo de ello se hace notar que es muy importante conocer las formas espectrales con el propósito de saber qué tipo de edificaciones se verán más afectadas durante un sismo de similares características.

2.7 EL MEGA SISMO DE CHILE DE 2010 En la figura 2.15 se muestra el epicentro del sismo registrado, el 27 de febrero de 2010 frente a la Costa de Maule, y que tuvo una magnitud . El epicentro está entre la Fosa de Subducción y el perfil de la costa de Chile; la profundidad focal fue de 30.1 Km. A este tipo de sismos se conoce con el nombre de sismos de subducción de bajo ángulo de buzamiento (Interplaca tipo thrust) porque su epicentro está entre la fosa y la costa y la profundidad focal entre 20 y 50 km. El sismo tuvo una duración de 140 seg., con una fase intensa que estuvo alrededor de los 50 seg., con una gran cantidad de pulsos de energía. Hay muchas cosas que comentar y estudiar sobre este sismo que ha dado origen a la publicación de una gran cantidad de artículos y seguirán apareciendo más artículos en el futuro sobre este Mega Sismo. En este capítulo, se va a presentar algunos espectros registrados en Santiago de Chile sobre suelos tipo S2 y S3 de acuerdo a la Norma de Chile de 1996, en los que se destaca la presencia de picos característicos importantes en la zona de períodos altos.


57

Figura 2.15 Epicentro del sismo del 27 de febrero de 2010 Santiago, se encuentra a 400 km., del epicentro, aproximadamente; se entiende que a esa distancia ya las ondas sísmicas se habrán atenuado con la distancia y que no se lo va a sentir pero en este tipo de sismos interplaca tipo thrust de gran magnitud se tienen aceleraciones del suelo muy importantes en la zona epicentral y a grandes distancias, en la dirección de la rotura del sismo. En la figura 2.16 se presentan los espectros hallados con los registros obtenidos en el Hospital Sotero de Santiago de Chile, para las componentes de movimiento horizontal Norte-Sur, Este-Oeste y Vertical. Para la componente N-S se aprecian tres picos muy importantes asociados a períodos menores a 0.6 seg, y para períodos comprendidos entre 0.6 y 1.5 seg., se ven 4 picos; algo similar se puede decir al analizar los espectros de las otras dos componentes de movimiento del suelo.

Figura 2.16 Espectros obtenidos en Santiago de Chile. Boroschek et al. (2010)

58


Normalmente se tiene un pico muy alto en la zona de períodos cortos y de ahí empieza la rama descendente del espectro pero en este sismo se comprobó que a más del tipo de suelo influye en la forma del espectro, la fuente sísmica. En Santiago de Chile las estructuras sobre suelos S3, con períodos entre 0.5 y 2.0 seg., tuvieron gran daño debido a estos picos característicos que no estaban contemplados en el espectro de la Norma de 1996. Un caso más evidente y dramático se presenta en la figura 2.17, en que se comparan los espectros obtenidos en la zona de Maipú en Santiago de Chile, con el espectro de la Norma de Chile de 1996 para esa zona. En primer lugar se aprecia que las ordenadas espectrales para las dos componentes de movimiento horizontal del suelo están cerca o superan los , cantidad demasiado alta que no estamos dispuestos a asumir cuando nos toca diseñar una estructura con espectros que tengan esas aceleraciones espectrales.

Figura 2.17 Comparación de Espectros en Maipú Nuevamente se aprecia la presencia de picos característicos para la zona comprendida entre 0.5 y 2.0 seg, que están bastante distantes del espectro de diseño de 1996. Por todo esto se tuvo gran daño en la Zona Industrial de Maipú. Luego del sismo de 2010 se publicó la Normativa Emergente de Diseño Sismo Resistente, en reemplazo de la Norma de 1996. En lo que concierne al nuevo espectro se adoptó el prescrito en la Norma de Aislación Sísmica de 2001, debido a que este espectro toma en cuenta las lecciones del sismo del 3 de marzo de 1985. En efecto, para la zona de períodos largos se trabajó con la envolvente de los espectros de desplazamientos del sismo de 1985. En la figura 2.18 se presenta la zonificación sísmica de Chile de acuerdo a la norma de 1996; la de mayor peligrosidad sísmica es la 3, que tenía un valor , le sigue la 2, en la que se encuentra Santiago con un valor y la de menor peligrosidad es la 1 con un valor Con la Normativa emergente de 2010 la zona 3 pasó a tener un valor ; la zona 2 tiene un y la zona 1, un valor Chile, es el primer país en Latinoamérica que establece un valor de en su normativa sísmica para la zona de mayor peligrosidad, para un período de retorno de 475 años.


59

Esperando que este ejemplo sea seguido por otros países y de esa forma precautelar la seguridad de las construcciones y sobre todo salvar vidas.

Figura 2.18 Zonificación Sísmica de Chile. NCh 433 de 1996. En la figura 2.19 se presenta la forma del nuevo espectro de la Normativa Emergente de 2010 y en la tabla 2.2 se indican los valores de las variables para los diferentes perfiles de suelo. En forma rápida se puede indicar que el perfil de suelo I es un de gran resistencia (roca), el II de resistencia intermedia y el III es un mal suelo. En la figura 2.19 la variable es . Sa

AA

2 VV T A 4² D D T²

Ta

Tb

Tc

Td

T

Figura 2.19 Forma del espectro emergente de Chile. Dos referencias apropiadas del espectro emergente de Chile, son: Ridell y Newmark (1979) y Ridell (1995).

60


Tabla 2.2 Definición del espectro de diseño SDI. Suelo I II III

Ta (s) 0.03 0.03 0.03

Tb (s) 0.11 0.20 0.375

Tc

Td

(s) 0.29 0.54 0.68

(s) 2.51 2.00 1.58

Tf

Te (s) 10 10 10

(s) 33 33 33

A A 2

(cm/s ) 1085 1100 1212

V V

D D

(cm/s) 50 94 131

(cm) 20 30 33

En la figura 2.20 se comparan los espectros hallados para la zona sísmica 2, en un perfil de suelo I, hallados con la norma sísmica de 1996 y con el espectro emergente de 2010. Se nota un incremento notable de las ordenadas espectrales, especialmente para la zona de aceleración máxima constante. Para la zona de períodos largos también se ha amplificado las ordenadas espectrales para tomar en cuenta los picos característicos.

Figura 2.20 Comparación de espectros para zona 2 en perfil de suelo tipo I (roca).

2.8 PSEUDO ESPECTROS A partir del espectro de desplazamientos se puede obtener en forma aproximada el espectro de velocidades y el espectro de aceleraciones, utilizando la definición de Pseudo espectro.

PSv  Wn S d

(2.11)

PS a  Wn PSv  W S d 2 n

Siendo

(2.12)

PSv y PSa los Pseudo espectros de velocidad y aceleración. Si bien es cierto

desde el punto de vista numérico encontrar los espectros de velocidad o aceleración, aplicando cualquier algoritmo de cálculo, no es ningún problema, de tal manera que no tendría mayor importancia la definición de Pseudo espectros y las ecuaciones ( 2.11 ) y ( 2.12 ). Pero la importancia de estas ecuaciones radica en la aplicación práctica para hallar el desplazamiento espectral elástico a partir de la aceleración espectral, utilizando para el efecto la siguiente ecuación


 T S d   2

61

2

  S a 

(2.13)

Donde T es el período de vibración. De esta forma se obtiene el desplazamiento espectral a partir de la aceleración espectral, para un sistema de un grado de libertad. Otra forma de aplicar la definición de Pseudo Espectro, es a partir del espectro de aceleraciones , se puede hallar los Pseudo Espectros de Velocidad y de Desplazamientos , con las siguientes ecuacione. ( ( 

) )

(2.14) (2.15)

EJEMPLO 4

Elaborar un programa en MATLAB que presente el Espectro Elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC-2000, para un factor de importancia igual a 1. En el Capítulo 3, se presenta las ecuaciones de este espectro. Luego obtener los Pseudo Espectros de Velocidad y Desplazamiento. Posteriormente aplicarlo para una zona sísmica cuyo ; y en un perfil de suelo . Finalmente comentar los resultados del Pseudo Espectro de desplazamiento. 

SOLUCIÓN

En el Capítulo 3, se indica el Espectro Elástico del CEC-2000 (Ver ecuaciones 3.1 a 3.3). Estas ecuaciones se han programado y posteriormente se ha encontrado los Pseudo Espectros de Velocidad y Desplazamiento. El programa se denomina pseudo_espectro % A Partir del Espectro de Aceleraciones del Codigo Ecuatoriano de % la Construcción CEC-2000 se halla el Pseudo Espectro de Velocidad y % Aceleración % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % 20 Septiembre de 2011 %----------------------------------------------------------------% pseudo_espectro %----------------------------------------------------------------% % Tmin Periodo minimo que se considera igual a 0.01 s. % Tmax Periodo maximo que se considera igual a 3.00 s. % DT Intervalo de Periodos = 0.03 s. % n Número de puntos considerados para dibujar el espectro % Ao Aceleración maxima del suelo en roca % Sa Aceleración Espectral % Psv Pseudo Espectro de Velocidad % Psd Pseudo Espectro de Desplazamientos %---------------------------------------------------------------Tmin=0.01; Tmax=5.0; DT=0.03; n=((Tmax-Tmin)/DT)+1; T=linspace(Tmin,Tmax,n)'; %------------------------------------------------------------------------% Espectro del Codigo Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000

62


fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4'); ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :'); if ic==1; Ao=0.15*9.8;elseif ic==2;Ao=0.25*9.8; elseif ic==3;Ao=0.30*9.8;else;Ao=0.40*9.8;end fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :'); if is==1 T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1; elseif is==2 T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2; elseif is==3 T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5; else T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2; end for i=1:n if T(i)<=T1; Sa(i)=beta*Ao; Psv(i)=(T(i)/(2*pi))*Sa(i); Psd(i)=(T(i)/(2*pi))*Psv(i); elseif T(i)>T1 & T(i)<=T2; Sa(i)=(1.25*Ao*S^S)/T(i);Psv(i)=(T(i)/(2*pi))*Sa(i); Psd(i)=(T(i)/(2*pi))*Psv(i); else Sa(i)=Ao/2;Psv(i)=(T(i)/(2*pi))*Sa(i); Psd(i)=(T(i)/(2*pi))*Psv(i); end end hold on figure (1) plot (T,Sa); xlabel ('T(s)'); ylabel ('Sa (m/s2)'); figure (2) plot (T,Psv); xlabel ('T(s)'); ylabel ('PSv (m/s)'); figure (3) plot (T,Psd); xlabel ('T(s)'); ylabel ('PSd (m)'); figure (4) subplot (3,1,1);plot(T,Sa,'LineWidth',2); xlabel ('T(s)'); ylabel ('Sa (m/s2)'); hold on subplot (3,1,2);plot(T,Psv,'LineWidth',2); xlabel ('T(s)'); ylabel ('Psv (m/s)'); subplot (3,1,3);plot(T,Psd,'LineWidth',2); xlabel ('T(s)'); ylabel ('Psd (m)'); %---fin--En la figura 2.21 se presenta; el Espectro de Aceleración y los Pseudo Espectros de Velocidad y Desplazamiento; para y un perfil de suelo S2. El comentario que se hace al Pseudo Espectro de Desplazamiento, es que para períodos altos, crecen en forma lineal y esto es consecuencia de que en el espectro de aceleraciones, para períodos altos la aceleración es constante. En estructuras con aisladores de base, se diseñan para períodos altos y si el espectro de desplazamientos varía en forma lineal, no se estaría diseñando en forma apropiada una estructura con aisladores. Lo ideal es que para períodos altos la ordenada espectral de


63

desplazamientos sea constante. Esto ya se ha corregido en la nueva Norma Ecuatoriana de la Construcción, NEC-11.

Figura 2.21 Espectro de Aceleración y Pseudo Espectros de Velocidad y Desplazamiento.

REFERENCIAS 1. Aguiar R., (2002), Sistema de computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países Bolivarianos. Centro de Investigaciones Científicas. Politécnica del Ejército, 302 p. Quito, Ecuador. 2. Biot M., (1943), “Analytical and experimental methods in engineering seismology”, Trans. American Society Civil Engineering, 108, 365-408. 3. Boroschek R., Soto P., León R., Comte D., (2010,1), Registros del terremoto de Maule, M W  8.8 , 27 de febrero de 2010. Red Nacional de Acelerógrafos, Universidad de

4. 5. 6.

7.

Chile, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Departamento de Ingeniería Civil, Informe 3, 25 p., Santiago. CEC-2000, “Código Ecuatoriano de la Construcción”, XIII Jornadas Nacionales de Ingeniería Estructural. Pontificia Universidad Católica del Ecuador, 325-350, Quito. Freeman J., (1932), Earthquake damage and earthquake insurance, Mc Graw - Hill Book Co. Inc. Housner G., (1952) “Spectrum Intensities of strong motion earthquakes”, Proceedings of Symposium on Earthquake and Blunt Effects on Structures, Earthquake Engineering Research Institute, 1952. Housner G., (1959) “Behavior of structures during earthquakes”, Proceedings, ASCE, 85, EM4.

64


8. Norma de Aislación (2001), Proposición de código para el análisis y diseño de edificios con aislación sísmica, Asociación Chilena de Sismología e Ingeniería Sísmica. Achisina, 70 p., Santiago. 9. Norma NCh 433. Of 96 (1996), Diseño Sísmico de Edificios, Instituto de Normalización, INN-Chile, 42 p., Santiago. 10. Ordaz M., Dulché C., (2002), DEGTRA A4, Instituto de Ingeniería, Universidad Autónoma de México, UNAM, México D.F. 11. Riddell R., and Newmark N., (1979), Statistical analysis of the response of nonlinear systems subjected to earthquakes, Civil Engineering Studies, Structural Research Series. Department of Civil Engineering, University of Illinois, 468, Urbana, Illinois. 12. Riddell R., (1995), “Inelastic design spectra accounting for soil conditions”, Earthquakes Engineering and Structural Dynamics, Vol. 24, 1491-1510. 13. Rosenblueth E., (1965), “Diseño Sísmico”, Revista de la Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica, A. C., 3 (1), México. 14. Suyehiro K., (1932) “Engineering Seismology”, Proceedings American Society Civil Engineering, 68 (4).


65

CAPÍTULO 3

ESPECTROS DE DISEÑO RESUMEN Se inicia el capítulo presentando en forma didáctica como se obtiene un espectro de diseño para 17 acelerogramas de sismos registrados en el Perú. Luego se realiza una reseña histórica sobre los espectros de diseño desde 1960 hasta el trabajo desarrollado por Seed, Ugas y Lysmer en 1976, que sirvieron de base para la formulación de formas espectrales en varias normativas sísmicas publicadas por la década de los años ochenta. Posteriormente se presenta la Zonificación Sísmica y los Espectros Elásticos del Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC-2000 y de la Norma Ecuatoriana de la Construcción, NEC-11, dando más importancia a este último, ya que es el vigente, razón por la cual se presenta la nueva clasificación de suelos, inspirada en FEMA 273. Luego se presenta los sismos propuestos por VISION 2000 y la Matriz de Desempeño para edificios. La mayor parte de normativas solo estipulan un espectro de análisis, el mismo que está asociado a un período de retorno de 475 años. A partir de este espectro se propone una forma de hallar espectros para los otros sismos que propone VISION 2000. Pero también se indican los sismos propuestos por FEMA 273, que tienen períodos de retorno más altos que VISION 2000. El factor de disipación de energía, también conocido con el nombre de factor de reducción de las fuerzas sísmicas es tratado con bastante detenimiento, debido a que una selección inadecuada de este valor puede conducir a subestimar o sobrestimar la acción sísmica. Por este motivo se empieza describiendo que es una estructura sismo resistente, se habla de ductilidad a nivel de material, de elemento y de estructura. Luego se indica cuales son las fuentes para que una estructura tenga sobre resistencia y la necesidad del control de la construcción para que la sobre resistencia se incremente y no disminuye. Después se habla sobre la importancia de que las estructuras tengan gran redundancia. Se indica la forma de calcular analíticamente este factor de disipación de energía y para cada uno de los componentes se presentan investigaciones realizadas a nivel mundial y las efectuadas en la Politécnica del Ejército, las mismas que han sido obtenidas en base a

66


sismos registrados en el Ecuador y a sismos artificiales compatibles con el espectro del CEC2000, con esta información se obtuvo el factor de reducción por ductilidad. Para los factores de reducción por sobre resistencia y redundancia, se analizaron estructuras de 1 a 6 pisos de hormigón armado, conformadas por vigas ligeramente descolgadas y columnas esbeltas, que es la forma como se construye en el Ecuador. En base a esta investigación se recomienda el factor de reducción de las fuerzas sísmicas para tres niveles de disipación de energía: elevado, moderado y bajo. Luego se presenta el espectro inelástico utilizando la Norma Ecuatoriana de la Construcción, NEC-11. El mega sismo de Chile de 2010, fue el primer sismo en el mundo en que se tienen registros sísmicos de un evento de gran magnitud según lo expresó Hino Kanamori en las X Jornadas ACHISINA 2010, en Santiago de Chile. Por este motivo se debe sacar el mayor provecho de esta información sísmica para tener mejores espectros de diseño. En este capítulo se determina la relación entre la aceleración máxima espectral y la aceleración máxima del acelerograma con los datos del mega sismo de 2010. Finalmente se habla sobre los espectros recomendados para el diseño sísmico de Presas de Proyectos Hidroeléctricos.

3.1 OBTENCIÓN DE UN ESPECTRO DE DISEÑO Para encontrar un espectro de diseño se deben clasificar los registros sísmicos de acuerdo al lugar en que fueron registrados ya que la forma espectral depende del tipo de suelo. Una vez que se tienen clasificados los eventos se procede a obtener los espectros de respuesta de cada uno de ellos, posteriormente se aplican las estadísticas con las que se determina el espectro de diseño. Realmente es muy sencillo encontrar un espectro de diseño lo difícil es tener una muestra de datos que se la pueda considerar confiable. Es deseable que los registros sísmicos con los cuales se vayan a obtener los espectros de diseño tengan una aceleración máxima de suelo considerable, por lo menos que sean mayores al 10% de la aceleración de la gravedad. En la mayor parte de países de Latinoamérica no se cuenta con una cantidad suficiente de eventos fuertes por lo que han trabajado con sismos de aceleraciones pequeñas normalizados a aceleraciones grandes, este procedimiento no es correcto pero ante la ausencia de registros fuertes no queda otra opción.

Cód. 01 b 02 a 02 b 03 a 03 b 04 a 04 b 05 a 05 b 06 a 06 b 07 a 07 b 08 a 08 b 09 a 09 b

Tabla 3.1 Registros sísmicos considerados para obtener espectro de diseño Fecha Lugar Distancia Magnitud Aceleración Tipo de Epicentral Máxima Suelo 13-06-05 Iquique 387.79 km. 7.8 Mw 125.43 gals Roca 13-06-05 Iquique 180.31 km. 7.8 Mw 119.10 gals Suelo 13-06-05 Iquique 180.31 km. 7.8 Nw. 111.15 gals Suelo 17-10-66 Perú 225.26 km. 6.4 Mb. 180.59 gals Grava gruesa 17-10-66 Perú 225.26 km. 6.4 Mb. 269.34 gals Grava gruesa 9-11-74 Perú 80.55 km. 6.0 Mb. 116.79 gals Limo arcilloso 9-11-74 Perú 80.55 km. 6.0 Mb. 93.71 gals Limo arcilloso 23-06-01 Perú 338.46 km. 8.3 Mw 295.22 gals Suelo 23-06-01 Perú 338.46 km. 8.3 Mw 220.04 gals Suelo 31-05-70 Perú 369.17 km. 7.9 Mw 104.82 gals Grava gruesa 31-05-70 Perú 369.17 km. 7.9 Mw. 97.749 gals Grava gruesa 3-10-74 Perú 59.74 km. 8.1 Mw 97.96 gals Grava gruesa 3-10-74 Perú 59.74 km. 8.1 Mw. 178.95 gals Grava gruesa 3-10-74 Perú 63.89 km. 6.2 Mb. 192.35 gals Aluvional 3-10-74 Perú 63.89 km. 6.2 Mb. 207.12 gals Aluvional 5-01-74 Perú 90.10 km. 6.5 Mw. 139.59 gals Suelo 5-01-74 Perú 90.10 km. 6.5 Mw. 156.18 gals Suelo

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE 

67

EJEMPLO 1

Obtener un espectro de diseño a partir de los registros sísmicos indicados en la tabla 3.1, que fueron sentidos o registrados en el Perú. En la última columna se muestra el tipo de suelo en el cual se obtuvo el registro, cuando no se tiene información del tipo de suelo en el que se ha obtenido el acelerograma se acostumbra colocar suelo a secas. 

SOLUCIÓN

En la tabla 3.1 se tiene un total de 17 registros, cantidad que es pequeña como para pensar en separarlos de acuerdo al tipo de suelo en que fueron registrados, razón por la que se trabaja con todos ellos. Cada uno de estos registros fue normalizado a 392 gals (0.4 g) de tal manera que los registros se multiplicaron por un factor tal que la aceleración máxima sea la indicada. Los espectros se obtuvieron para   0.05 En la figura 3.1 se indican los espectros de respuesta, de aceleraciones absolutas, de cada uno de ellos y con una línea más gruesa se presenta el espectro medio. Para cada período de vibración se tienen 17 aceleraciones espectrales de tal manera que se puede hallar la media y la desviación estándar para cada período. La línea más gruesa de la figura 3.1 corresponde al espectro medio que sería el espectro de diseño del grupo de datos, la misma que se presenta en la figura 3.2. Nótese que para T  0 la aceleración espectral vale 0.4 g = 392 gals. Por otra parte, la aceleración máxima del espectro medio, tiene un valor que está alrededor de 975 gals. La relación entre estos dos valores se denomina  que será comentado más adelante; con los datos se tiene que

  2.49

ESPECTROS RESPUESTA 2000 1800

Aceleración

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

01b 02a 02b 03a 03b 04a 04b 05a 05b 06a 06b 07a 07b 08a 08b 09a 09b Media

Periodo

Figura 3.1 Espectros de respuesta y espectro medio de la muestra considerada. Al trabajar con el espectro medio se tiene que la probabilidad de excedencia de las ordenadas espectrales es del 50%. En efecto, se aprecia que existe una cantidad significativa de aceleraciones que están sobre la curva media. Si se desea disminuir esta probabilidad de excedencia a la curva de valores medios se deberá sumar una desviación estándar o más dependiendo de la probabilidad de excedencia con la cual se desea trabajar.

68


Figura 3.2 Espectro medio, de diseño de grupo de datos. Una vez que se tiene el espectro medio, para dar ecuaciones para una normativa sísmica, se definen líneas y curvas que más se aproxime al espectro medio, como se ilustra en la figura 3.3 en que se ha definido una línea ascendente, luego una recta, posteriormente una curva descendente y finalmente una recta. El punto de inicio del espectro tiene una aceleración espectral que vale:  A0 , siendo  el factor de importancia de la estructura y

A0 la aceleración máxima del suelo. La recta de aceleración constante, que va desde el período

T0 hasta el período T * tiene un valor de   A0 . Habrá que definir la ecuación de la

curva descendente del espectro que va desde el período T



hasta T



y finalmente la ecuación



para períodos mayores a T .

Figura 3.3 Espectro medio y formas espectrales para normativa sísmica.


69

Como se verá más adelante, en el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 se consideró que a partir de la aceleración es constante pero esto no es adecuado (ver ejemplo 4 de capítulo 2) debido a que la aceleración sigue descendiendo como se ve en la figura 3.3. Con el propósito de ser conservador y teniendo presente que el valor del período

T0 es

muy bajo se puede pensar en eliminar la recta ascendente y dejar el espectro, para la normativa sísmica, como se indica en la figura 3.4. En este caso se tienen una recta y dos curvas; más adelante se verá que la Norma Ecuatoriana de la Construcción NEC-11 presenta esta forma con dos curvas descendentes; para este caso el pseudo espectro de desplazamientos para períodos mayores a , es constante. Finalmente, se hace hincapié en que para períodos menores a T0 se está sobredimensionando la aceleración espectral y por ende la fuerza sísmica resultante.

Figura 3.4 Modelo de 1 recta y dos curva para el espectro de diseño.

3.2 RESEÑA HISTÓRICA Hayashi et al. (1971), presentan formas espectrales promedio trabajando con 61 acelerogramas registrados en Japón, lamentablemente muchos de los registros tenían aceleraciones muy bajas y las condiciones del subsuelo en las estaciones de los registros se conocen parcialmente, por estos motivos los resultados obtenidos son considerados como preliminares. Newmark et al. (1973) presentaron los resultados a los que llegaron trabajando con acelerogramas cuya aceleración máxima del suelo es mayor que 0.1g. Los estudios realizados los dividieron en dos grupos. ... En el primer grupo obtuvieron espectros normalizados con respecto a la aceleración máxima del suelo ..., para el efecto trabajaron con 33 registros. ... En el segundo grupo obtuvieron espectros normalizados con respecto a la velocidad máxima del suelo ..., en este caso trabajaron con 28 registros. En los estudios realizados no se clasificó los registros de acuerdo al tipo de suelo. Seed et al. (1976) ampliaron el estudio y consideran 104 registros obtenidos en sitios en los cuales se conoce con cierta exactitud las condiciones del suelo. Este trabajo ha servido


70

de base para la formulación de varios códigos en América del Sur. Razón por la cual a continuación se presentan los resultados del trabajo en la figura 3.5. Seed et al (1976) clasificaron los 104 registros en cuatro tipos de suelo, a saber: i) Registros en roca (28), ii) Registros en suelo duro con espesor inferior a 60 m., (suelo rígido) (31), iii) Registros en suelos granulares con profundidad superior a 75 m. (30), y iv) registros para arcillas medias o arenas (15). Luego de la clasificación de los registros, construyeron los espectros de respuesta elásticos para un 5% de amortiguamiento, en la figura 3.5 se indican los espectros de aceleración promedios para los cuatro tipos de suelo, indicados. Del análisis de la figura 3.5 se puede indicar: 

La respuesta máxima espectral de los registros en roca se da para un período de 0.2 s., y tiene un factor de amplificación de 2.5.



En los suelos duros con espesores inferiores a los 60 m, la respuesta máxima se dio para períodos de 0.4 s con un factor de amplificación de 2.8.



El espectro promedio de suelos no cohesivos profundos tiene dos picos máximos, uno a los 0.45 s de período con un factor de amplificación de 2.7 y otro a los 0.90 s de período con un factor de 1.9.



Los registros de arcillas blandas a medias, producen un espectro con un factor de amplificación de 2.1, que se da para un rango de períodos que varía de 0.3 a 1.0 s.

Figura 3.5

Espectros promedios, para diferentes condiciones de suelo.

3.3 CÓDIGO ECUATORIANO DE LA CONSTRUCCIÓN CEC 2000 El Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 considera cuatro zonas sísmicas que van desde 0.15 g. , en la región oriental, hasta la zona cuatro que tiene un valor

Ao  0.4 g. , en parte de la costa y de la sierra, como se aprecia en la figura 3.6. Este fue el resultado del estudio de Peligrosidad Sísmica del Ecuador realizado en forma probabilística para un período de retorno de 475 años.


71

Figura 3.6 Zonificación sísmica del CEC-2000 En la figura 3.6 se aprecia que Quito tiene un valor de , justificado plenamente ya que la Capital del Ecuador está sobre, en algunas partes y muy cercano en otras, a las Fallas Ciegas de Quito. La ciudad con más población, Guayaquil tiene , valor que puede considerarse un poco bajo y la tercera ciudad en importancia Cuenca tiene un valor . En la figura 3.7 se presenta la forma del espectro de diseño elástico del CEC-2000 que está definido por las siguientes ecuaciones:

T T T T T T T



Ad    Ao 1.25  Ao S S T  Ao Ad  2 Ad 

(3.1)

 , T, T , S parámetros que están definidos en la tabla 3.2 y que dependen del perfil de suelo. A0 es la Donde

es el coeficiente de importancia de la estructura;

aceleración máxima del suelo y está definido en el mapa de peligrosidad sísmica del Ecuador (Figura 3.6), T es el período de vibración de la estructura.

72


Figura 3.7 Espectro Elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 El valor de

A0 del CEC-2000 fue obtenido para una vida útil de la estructura de 50

años con una probabilidad de excedencia del 10%, lo que da un Período de Retorno de 475 años. Si se considera un factor de importancia   1 , se mantiene la probabilidad de excedencia, este valor se recomienda para viviendas y oficinas. Si se considera   1.5 la probabilidad de excedencia está alrededor de 2% cantidad muy baja considerando el período de retorno. Si   1.25 la probabilidad de excedencia está alrededor del 5%. Tabla 3.2 Parámetros que definen el espectro elástico del CEC-2000 Perfil de suelo

T

T



S

S1 S2 S3 S4

(s) 0.50 0.52 0.82 2.00

(s) 2.50 3.11 4.59 10.00

2.5 3.0 2.8 2.5

1.0 1.2 1.5 2.0

Los factores de amplificación por efecto del tipo de suelo son los recomendados por el Uniform Building Code UBC-97. En forma rápida se puede indicar que un perfil de suelo S1 es un suelo muy resistente, roca; en contraste con el perfil de suelo S4 que es un suelo muy malo. El perfil de suelo S2 es de resistencia intermedia y el S3 de menor resistencia. El CEC2000 diferencia dos tipos de suelo S3 que son los suelos cohesivos y los suelos granulares.

3.4 NORMA ECUATORIANA DE LA CONSTRUCCIÓN NEC-11 En la figura 3.8 se presenta la nueva zonificación sísmica del Ecuador, obtenida para un Período de Retorno de 475 años. Se aprecia que en la costa el valor de subió de a ; de esta forma se reconoce la gran peligrosidad que se tiene, debido a la ocurrencia de sismos de subducción de bajo ángulo de buzamiento (interplaca tipo thrust). En las ciudades de Quito y Cuenca se mantienen los valores de en la ciudad de Guayaquil se ha subido a

del CEC-2000 pero

Últimamente han ocurrido sismos muy fuertes que han aportado a mejorar las leyes de atenuación y los efectos de sitio, fundamentalmente. Por este motivo es muy adecuado contar


73

con una nueva Normativa Sísmica que responde a los nuevos conocimientos y sobre todo a los nuevos datos sísmicos.

Figura 3.8 Zonificación Sísmica de la NEC-11. Se ha dejado la zonificación y espectros del CEC-2000 con el propósito de que se comparen las formas espectrales con la Nueva Norma Ecuatoriana de la Construcción, NEC11., y si es del caso se revisen los diseños estructurales de algunas construcciones realizadas con el CEC-2000. Las ecuaciones del NEC-11, para un valor de son las siguientes: (

)

(3.2)

( )


74

Donde es la aceleración del suelo como una fracción de la gravedad; es el factor de zona sísmica indicado en la figura 3.8; es el factor de sitio dependiente del tipo de suelo indicado en la tabla 3.3; es el factor de sitio dependiente del tipo de suelo, indicado en la tabla 3.4; es el factor que toma en cuenta el comportamiento no lineal del suelo, ante sismos severos, indicado en la tabla 3.5. Los períodos que definen las ramas del espectro se hallan con las ecuaciones: (3.3)

En las ecuaciones que definen las ramas del espectro elástico; , para perfiles de suelo A, B o C y , para perfiles de suelo D o E. Del análisis de las ordenadas espectrales de peligro uniforme en roca para 475 años y al normalizarlos para la aceleración máxima del suelo , se encontró , que tienen los siguientes valores:   

Para las Provincias de la Costa. Para las Provincias de la Sierra. Para las Provincias del Oriente.

Tabla 3.3 Tipo de suelo y Factores de sitio Fa (Fuente: NEC-14) Zona I II III IV V sísmica Tipo de Valor Z perfil del (Aceleración suelo 0.15 0.25 0.3 0.35 0.40 esperada en roca, 'g) 0.9 A 0.9 0.9 0.9 0.9 1 B 1 1 1 1 1.23 C 1.4 1.3 1.25 1.2 1.25 D 1.6 1.4 1.3 1.2 1.26 E 1.8 1.5 1.39 1.14 F Ver Nota Ver Nota Ver Nota Ver nota Ver Nota

Tabla 3.4 Tipo de suelo y Factores de sitio Fd (Fuente: NEC-14) Zona I II III IV V sísmica Tipo de Valor Z perfil del (Aceleración suelo 0.15 0.25 0.3 0.35 0.4 esperada en roca, 'g) 0.9 A 0.9 0.9 0.9 0.9 1 B 1 1 1 1 1.35 C 1.6 1.5 1.4 1.3 1.5 D 1.9 1.7 1.6 1.4 1.65 E 2.1 1.75 1.7 1.6 F Ver Nota Ver Nota Ver Nota Ver nota Ver Nota

VI

0.5 0.9 1 1.18 1.12 0.97 Ver Nota

VI

0.5 0.9 1 1.25 1.3 1.5 Ver nota


75

Tabla 3.5 Tipo de suelo y Factores del comportamiento inelástico del suelo Fs (Fuente: NEC-14) Zona I II III IV V VI sísmica Tipo de Valor Z perfil del (Aceleración suelo 0.15 0.25 0.3 0.35 0.4 0.5 esperada en roca, 'g) A 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 B 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 C 1.00 1.1 1.2 1.25 1.3 1.45 D 1.2 1.25 1.3 1.4 1.5 1.65 E 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 F Ver Nota Ver Nota Ver Nota Ver nota Ver Nota Nota.- Son suelos muy malos que requieren estudios especiales. Para ilustrar las ecuaciones de cada una de las ramas del espectro; en la figura 3.9 se presenta el espectro elástico para un perfil de suelo C y para un PGA igual a 0.4, en una Provincia de la Sierra. En la tabla 3.6 se presenta la clasificación de suelos, la misma que es inspirada en FEMA 273 (1997), se destaca que el parámetro fundamental para definir el tipo de suelo es la Velocidad de la Onda de Corte, en los primeros 30 m., de suelo, medidos a partir del nivel libre de suelo, .

Figura 3.9 Espectro Elástico del NEC-11 para un perfil de suelo C, con un PGA=0.4, en la Sierra.


76

Perfil de Suelo A B C

D

E

Tabla 3.6 Clasificación de suelos de NEC-11 Descripción Definición Perfil de roca competente Perfil de roca de rigidez media Perfiles de suelos muy densos o rocas blandas que cumplen con el criterio de velocidad de la onda de corte, o Perfiles de suelo muy densos o roca blanda, que cumplen con cualquiera de los dos criterios. Perfiles de suelo rígidos, que cumplen con el criterio de , o Perfiles de suelo que cumplen con cualquiera de las dos condiciones. Perfil de suelo que cumple con criterio de velocidad de la onda de corte, o Perfil que contiene un espesor total H mayor de 3 m., de arcillas blandas

1500 m/s > 760 m/s >

760 m/s 360 m/s

1 kg/cm 360 m/s >

2

180 m/s

50 > N 15 2 2 1 kg/cm > 0.5 kg/cm 180 m/s

IP > 20 w 40 % 2 kg/cm F Suelos que requieren una evaluación en el sitio del Proyecto. es la velocidad de la onda de corte en los primeros 30 m., es el número de golpes del ensayo de penetración estándar ; es la resistencia media al corte; es el índice de plasticidad; es el contenido de agua en porcentaje. F1.- Suelos susceptibles a la falla o colapso, causados por la excitación sísmica, F tales como: suelos licuables, arcillas sensitivas, suelos dispersos o débilmente cementados, etc. F2.- Turba y arcillas orgánicas y muy orgánicas (H > 3 m., para turbas o arcillas orgánicas y muy orgánicas). F3.- Arcillas de muy alta plasticidad (H > 7.5 m., con índices de plasticidad IP > 75). F4.- Perfiles de gran espesor de arcillas de rigidez mediana a blanda (H > 30 m.). F5.- Suelos con contraste de impedancia ocurriendo dentro de los primeros 30 metros. F6.- Rellenos colocados sin control ingenieril.

es la densidad promedio; es la velocidad de la onda de corte; es la densidad del estrato con impedancia; es la velocidad de la onda de corte del estrato crítico.

3.5 COMPARACIÓN DE ESPECTROS DEL CEC-2000 Y NEC-11 Una de las inquietudes que tendrá un Proyectista, que ha diseñado estructuras en el Ecuador con el CEC-2000, es saber si el espectro que utilizó tiene ordenadas espectrales mayores o menores a las del NEC-11. En forma muy general se puede decir que son muy parecidas. Antes de proceder a comparar las formas espectrales del CEC-2000 con el NEC-11 se recomienda leer muy bien la clasificación de los suelos con las dos normativas para ver si son comparables. Así por ejemplo un perfil de suelo S1, según el CEC-2000 es comparable con un perfil de suelo tipo B, del NEC-11.


77

Figura 3.10 Comparación de espectros del CEC-2000, NEC-11 y Estudio de Peligrosidad Sísmica. En un estudio de Peligrosidad Sísmica que realizó el autor de este libro, para la ciudad de Guayaquil, sobre un suelo rocoso, encontró el espectro que se muestra en la figura 3.10 identificado con la palabra Estudio, el mismo que fue comparado con los espectros que se hallan con el CEC-2000 para un suelo S1 y con el espectro del NEC-11 para un perfil de suelo tipo B. Se aprecia una gran coincidencia de valores entre el espectro hallado en el Estudio con el espectro del NEC-11, para períodos mayores a 0.5 seg. Pero para períodos comprendidos entre 0.1 y 0.5 seg., las ordenadas espectrales halladas en el Estudio son mayores. En el Estudio de Peligrosidad Sísmica se tomó muy en cuenta la forma del Espectro Emergente de Chile de 2010, presentado en el capítulo anterior y sobre todo los trabajos realizados por: Ridell y Newmark (1979) y Ridell (1995). En el Estudio de Peligrosidad Sísmica mediante un modelo Probabilístico se determinó la aceleración, velocidad y desplazamiento máximo del suelo en roca, luego de ello se obtuvo el espectro. El autor de este libro considera que los valores de la meseta que se hallan con el NEC11 para la Costa, son bajos.

3.6 ESPECTROS POR DESEMPEÑO PARA EDIFICIOS Las grandes pérdidas que dejaron los sismos de: Loma Prieta de 1989, de ocho mil millones de dólares y el sismo de Northridge de cuarenta mil millones de dólares obligó a que en 1995, se creará en los Estados Unidos de Norte América, el Comité VISION 2000 para que presente la nueva filosofía de diseño sísmico para el siglo XXI. En 1995 el SEAOC por sus siglas en inglés (Structural Engineers Association of California), publicó sus resultados y en ellos se estableció que los edificios deberán verificar su desempeño sísmico para los cuatro eventos denominados: Frecuente, Ocasional, Raro y Muy Raro que constan en la tabla 3.7


78

Tabla 3.7 Sismos recomendados por el Comité VISION 2000 para edificios Sismo Vida Útil Probabilidad de Período medio Tasa Anual de  T de retorno, t excedencia, p Excedencia P r

Frecuente Ocasional Raro Muy raro

30 años 50 años 50 años 100 años

50% 50% 10% 10%

43 años 72 años 475 años 970 años

1

0.02310 0.01386 0.00211 0.00105

La mayor parte de normativas sísmicas presentan únicamente el espectro para el sismo Raro y surge el problema, para el Proyectista Estructural, que no va a contratar estudios de Peligrosidad Sísmica, como encontrar formas espectrales para los restantes sismos indicados en la tabla 3.6. Por este motivo, es que en los años 2002 y 2003 se empezó a recopilar estudios de Peligrosidad Sísmica, realizados para los períodos de retorno indicados en la tabla 3.7, en América del Sur y que estipulan algunas normas al respecto, con esta información en Aguiar (2003) se presenta una propuesta de cómo hallar espectros elásticos para los sismos: Frecuente, Ocasional y Muy Raro, a partir del espectro para el sismo Raro. La propuesta se resume a continuación. 

Para el Sismo Frecuente se dividen las ordenadas espectrales del Sismo Raro para 3 y posteriormente se ajusta la forma espectral para un amortiguamiento  del 2%, empleando las ecuaciones propuestas por Newmark y Hall, que se indican a continuación:

 a  3.21  0.68 ln   v  2.31  0.41 ln   d  1.82  0.27 ln 

(3.4)

Las ecuaciones denominadas (3.4) tienen un 50% de probabilidad de excedencia. Por otra parte, en estas ecuaciones  a , b , c , son los factores de amplificación para la aceleración, velocidad y desplazamiento. Existe otra ecuación más sencilla, que también se puede hallar para pasar del espectro que está calculado para un   0.05 a un

  0.02 Esta es: 5 f a     

En la ecuación (3.5) el valor de

0.04

(3.5)

 se indica en porcentaje.



Para el Sismo Ocasional se multiplica el sismo frecuente por 1.4



Para el Sismo muy raro se multiplica el sismo raro por 1.3

Se ha elaborado un programa en MATLAB denominado Vision que determina los cuatro espectros, para análisis sísmico por desempeño. La forma de uso del programa es: [saf,sao,sar,sam]=Vision (A0) 

A0 es la aceleración máxima del suelo en gals, definida en el Código Ecuatoriano de la Construcción, varía desde 392 gals en la zona de mayor peligrosidad sísmica, hasta 147 gals.


79

Posteriormente, por pantalla se debe indicar un código que identifica el perfil de suelo. Para un perfil de suelo S1, el código es 1; para un suelo S2 el código es 2; para suelo S3 es 3 y para suelo S4 es 4.

function [saf,sao,sar,sam]=Vision(a0); % % ESPECTROS POR DESEMPEÑO % % Por: Roberto Aguiar % ESPE % %-------------------------------------------------------------------------% [saf,sao,sar,sam]=Vision(a0) %-------------------------------------------------------------------------% a0 : Aceleración del suelo en roca en gal definido en la zona sismica % Ta : Periodo donde termina la aceleracion constante % Tm : Periodo donde termina la aceleracion descendente % beta : Parámetro por tipo de suelo %s : Parámetro por tipo de suelo % alfa : Coeficiente de importancia % is : Código del perfil de suelo % alfa=1.0; fprintf ('\n Códigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input ('\n Indique el código :'); if is==1 ta=0.50; tm=2.50; beta=2.5; s=1.0; elseif is==2 ta=0.52; tm=3.11; beta=3.0; s=1.2; elseif is==3 ta=0.82; tm=4.59; beta=2.8; s=1.5; else ta=2.0; tm=10.0; beta=2.5; s=2.0; end tmin=0.01; tmax=3.0; n=100; dt=(tmax-tmin)/n; hold off for i=1:n; t(i)=i*dt; if t(i)<=ta; sar(i)= alfa*beta*a0; elseif t(i)<=tm & t(i)>ta; sar(i)= (1.25*alfa*a0*(s^s))/t(i); else sar(i)= (alfa*a0)/2; end saf(i)=sar(i)/3; sao(i)=saf(i)*1.4; sam(i)=sar(i)*1.3; end plot(t,saf); hold on plot(t,sao,'--'); plot(t,sar),':'; plot(t,sam),'-.'; xlabel ('Periodo (s)'); ylabel ('Aceleracion (gal)') hold off end


80

En el programa VISION no se ha realizado la corrección de las formas espectrales por el factor de amortiguamiento, para los sismos frecuente y ocasional. 

EJEMPLO 2 Ilustrar el uso del programa VISION para hallar los espectros por desempeño, para la

zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador

( A0  0.4 g  392 cm / s 2 ) en un perfil de

suelo S3. 

SOLUCION

[saf,sao,sar,sam]=Vision (392) Por pantalla se digitará el número 3, para indicar que corresponde al perfil de suelo S3. En la figura 3.11 se indican los espectros de desempeño que reporta el programa.

Figura 3.11 Espectros para un perfil de suelo S3 en la zona de mayor peligrosidad sísmica. FEMA 273 (1997) y NEHRP (2003) recomiendan nuevos períodos de retorno para edificios que son más exigentes como se observa en la figura 3.8; el sismo frecuente pasa de 43 años a 72 años; el ocasional de 72 a 225 años y el muy raro de 970 a 2475 años. De tal manera que se están tomando mayores precauciones sísmicas y habrá que esperar cuales son las futuras recomendaciones cuando se tome en cuenta las grandes pérdidas dejadas por el Mega Sismo de Chile de 2010. (Aguiar, 2011) En el mega sismo las pérdidas económicas se estimaron en 30000 millones de dólares, las pérdidas humanas sobrepasaron las 500 personas. Muchos edificios de altura en Santiago de Chile, no colapsaron durante el mega sismo pero la rehabilitación de los mismos será muy costosa, de ahí la necesidad de verificar el desempeño sísmico de las estructuras tema que se aborda en el siguiente apartado.


81

Tabla 3.8 Sismos de análisis de acuerdo a FEMA 273 y NEHRP (2003) Vida Útil Probabilidad de Período de retorno excedencia 50 % Frecuente 50 años 75 años 20 % Ocasional 50 años 225 años 10% Raro 50 años 475 años 2% Muy raro (*) 50 años 2475 años (*) Recomendación para el sismo máximo propuesto por NEHRP (2003) Sismo

3.7 DESEMPEÑO ESTRUCTURAL SEGÚN VISION 2000 Para cada uno de los sismos, indicados en las tablas 3.7 y 3.8, se define un nivel de desempeño de la estructura o un nivel de comportamiento global de la edificación, el mismo que toma en cuenta el daño esperado en los elementos estructurales y no estructurales, la protección de vida de sus ocupantes, la factibilidad de reparar o no la estructura, etc. Todo esto en función del uso de la estructura, no es lo mismo diseñar un edificio de apartamentos de vivienda que un Centro de Educación donde normalmente están cientos de personas. Tabla 3.9 Definiciones de Comportamiento Estructural, según publicaciones NERHP y VISION 2000 GUÍA VISION DESCRIPCIÓN NEHRP 2000 Daños no estructurales poco OPERACIONAL COMPLETAMENTE importantes. Respuesta estructural OPERACIONAL elástica. Edificio entra en funcionamiento inmediatamente. No hay daño significativo a la INMEDIATAMENTE OCUPACIONAL estructura la misma que mantiene OCUPACIONAL muy cerca la resistencia y rigidez que tenía antes del sismo. Los componentes estructurales son seguros y mantienen su función. Edificio puede ser utilizado luego de pequeños arreglos. Daño significativo a los elementos SEGURIDAD SEGURIDAD estructurales con reducción DE VIDA DE VIDA sustancial en la rigidez pero tienen un margen de seguridad antes del colapso. Elementos no estructurales seguros pero con daño. La edificación podrá funcionar luego de reparar y reforzar. Daño sustantivo estructural y no PREVENCIÓN CERCA estructural. Existe una gran DE COLAPSO COLAPSO degradación de resistencia y rigidez de la estructura, solo queda un pequeño margen para llegar al colapso. En el diseño de una edificación debe existir un equilibrio entre la seguridad estructural y el costo de construcción, todo esto asociado con el período de retorno del sismo de diseño. No se puede construir una obra costosa para que no tenga daño a sabiendas de que el período de retorno de un sismo, es muy alto, es preferible que la estructura tenga cierto tipo de daño pero a un menor costo de construcción, daño que luego del sismo puede ser reparado a un valor razonable. No todas las edificaciones se diseñan con la misma filosofía de diseño, porque habrá


82

edificaciones que por su uso se requiere que funcionen inmediatamente después de un sismo severo, en otras no. Por este motivo existen diferentes niveles de desempeño estructural de acuerdo al uso de la edificación. En la tabla 3.9, se presenta las definiciones utilizadas en las publicaciones NERHP y VISION 2000 para definir el comportamiento esperado de las estructuras. Los nombres empleados por la guía NERHP difieren de los nombres del documento VISION 2000 por este motivo es importante saber, por ejemplo, qué significa Comportamiento Operacional para cada una de estas publicaciones. En la tabla 3.10 se indica el comportamiento esperado de las estructuras para cada uno de estos sismos. Las edificaciones se han agrupado en tres grandes grupos que son: i) edificaciones básicas; ii) edificaciones esenciales; y iii) edificaciones de seguridad crítica. Tabla 3.10 Sismos de análisis y comportamiento esperado en las estructuras de acuerdo a las publicaciones VISION 2000 y NEHRP 2003 SISMO DE ANÁLISIS

OPERCIONAL

INMEDIAT. OCUPACIONAL

SEGURIDAD DE VIDA

FRECUENTE



OCASIONAL





RARO











MUY RARO

PREVENCIÓN DE COLAPSO



 = Edificaciones básicas como residencias y oficinas.  = Edificaciones esenciales como hospitales, centros de educación, destacamentos militares, bomberos, etc. = Edificaciones de seguridad crítica. Para un Centro de Educación, ante el sismo de la NEC-11 el desempeño esperado es inmediatamente ocupacional esto implica que la estructura debe tener una deriva de piso máxima inelástica menor al 1%. En cambio, para una vivienda ante el mismo sismo el desempeño es seguridad de vida, que implica que la deriva de piso máxima inelástica sea menor al 2%. En capítulos posteriores se detallará el cálculo de la deriva de piso y se presentará un trabajo de Gobarath (2004) en que se ilustra que a mayor deriva de piso mayor daño se espera en la estructura.

3.8 CAPACIDAD DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA Los edificios no se diseñan con el Espectro Elástico hallado para un período de retorno de 475 años, que ha sido presentado en los apartados anteriores, sino con un Espectro de Diseño Inelástico, el mismo que se obtiene dividiendo las ordenadas espectrales elásticas para el Coeficiente de Capacidad de Disipación de Energía . Estrictamente la división se la realiza para ; donde es el factor que toma en cuenta las irregularidades en planta y es el factor que considera las irregularidades en elevación. En este apartado solo se habla del factor por la importancia que tiene para el diseño sísmico de una estructura ya que si se utiliza un valor de muy alto se está subestimando la acción sísmica y viceversa.


83

La Norma Ecuatoriana de la Construcción NEC-11 recomienda los valores que están indicados en la tabla 3.11, con muy pocos comentarios al respecto, al igual que otras normativas sísmicas y lo que se pretende en este apartado, es que el lector conozca el compromiso que adquiere con la selección de un valor de acuerdo a la tipología estructural que tenga. Tabla 3.11 Valores del coeficiente de reducción de respuesta estructural Sistemas Duales Pórticos espaciales sismo resistentes, de Hormigón Armado (H.A.) con vigas descolgadas, con muros estructurales de H.A., o con diagonales rigidizadoras, sean de hormigón o acero laminado en caliente Pórticos de acero laminado en caliente con diagonales rigidizadoras (excéntricas o concéntricas) o con muros estructurales de H.A. Pórticos con columnas de H.A. y vigas de acero laminado en caliente con diagonales rigidizadoras (excéntricas o concéntricas). Pórticos espaciales sismo-resistentes de H.A. con vigas banda, con muros estructurales de H.A. o con diagonales rigidizadoras. Pórticos resistentes a momentos Pórticos espaciales sismo resistentes de H.A., con vigas descolgadas Pórticos espaciales sismo resistentes, de acero laminado en caliente o con elementos armados de placas. Pórticos con columnas de H.A. y vigas de acero laminado en caliente Otros sistemas estructurales para edificaciones Sistemas de muros portantes (que no clasifican como muros estructurales) de H.A. Pórticos espaciales sismo resistentes de H.A. con vigas banda Estructuras de mampostería reforzada o confinada

7

7 7 6

6 6 6 5 5 3.5

Tres aspectos son importantes destacar antes de proceder a indicar que es una estructura sismo resistente, palabras que son repetidas varias veces en la tabla 3.11. El primer aspecto tiene que ver con las combinaciones de carga que se realizan para el diseño sísmico, al trabajar con los valores indicados en la tabla 3.11 no se debe mayorar el estado de cargas S, en el CEC-2000 los valores de eran más altos pero había que mayorar el estado de cargas S por un factor que estaba alrededor de 1.4. El segundo aspecto a tener en cuenta es que son los valores máximos de de cada tipología estructural, es decir están asociados a una gran capacidad de disipación de energía y para que esto suceda la estructura debe tener gran ductilidad, redundancia y sobre resistencia. Finalmente, el valor de está relacionado con el desempeño esperado de la estructura y este a su vez depende del sismo de análisis. Para un Centro de Educación (que tenga más de 100 estudiantes en un edificio) el valor de para una estructura de Hormigón Armado será menor a 4, ante el sismo del NEC-11. Pero esto no significa que la estructura tenga poca capacidad de disipación de energía, debe diseñarse para el máximo valor de que puede alcanzar pero la verificación del desempeño para el sismo de la Norma debe realizarse con el valor de anotado.

3.8.1 Ductilidad de una Estructura El factor , como se verá más adelante, es función de la capacidad de ductilidad de una estructura y para esto se va a presentar a continuación, una forma de encontrar esta ductilidad en edificios. Se puede encontrar la curva de capacidad sísmica de una estructura, que relaciona el Cortante Basal , con el Desplazamiento Lateral máximo , mediante la Técnica del Pushover,

84


también conocida como la Técnica del Empujón que consiste en aplicar cargas monotónicas crecientes hasta llevar a la estructura al colapso. Aguiar (2002, 2003).

Figura 3.12 Capacidad resistente de una estructura Al aplicar las cargas laterales se van a formar rótulas plásticas en los elementos y por consiguiente la matriz de rigidez del elemento va a ir cambiando. La filosofía de diseño establece que las rótulas se empiecen a formar en las vigas de los pisos superiores y luego en las vigas de los pisos inferiores como se ve en la figura 3.12, en que se han numerado las secciones conforme van ingresando al rango no lineal. Al final y para formar el mecanismo de colapso las rótulas se esperan en el pie de columna. Para lograr este desempeño estructural es que se diseña con el Criterio de Nudo Fuerte – Viga Débil, para que las articulaciones plásticas se formen en las vigas y más no en el nudo. Se diseña con el criterio de Columna Fuerte – Viga Débil, para que ingresen al rango no lineal en primer lugar las vigas. En la curva de la derecha de la figura 3.12, se presenta la curva de capacidad sísmica en la que se ha colocado el instante en que cada sección ha ingresado al rango no lineal y se ha dibujado también el modelo bilineal con el cual se determina el punto de fluencia Y, empleando el criterio de iguales áreas, que consiste en igualar el área interna de la curva de capacidad con el área externa. En Aguiar (2002) se presentan otros criterios para hallar el modelo bilineal. Se define la ductilidad de una estructura como la relación entre el desplazamiento lateral último , con respecto al desplazamiento de fluencia . (3.6)

La curva de capacidad sísmica depende de la geometría de los elementos estructurales, de la armadura longitudinal y transversal de los mismos y de la calidad de los materiales. Si se tiene un acero y un hormigón con gran ductilidad es de esperarse que la estructura tenga ductilidad alta. Es importante que el Proyectista Estructural encuentre la curva de capacidad sísmica resistente y vea la secuencia con que las secciones van a ingresar al rango no lineal, que no suceda que se formen las rótulas plásticas únicamente en cabeza y pie de las columnas del primer piso, ya que esto es colapso y solo sufrió daño el primer piso, en este caso la estructura va a tener ductilidad baja. En el sismo de Bahía de Caráquez de 1998, en Ecuador, hubo edificios que solo tuvieron daño en las columnas de planta baja y ningún daño en las plantas


85

superiores pero luego fueron derrocados, uno de ellos fue el edificio los Corales de 5 pisos, que presentó la falla denominada columna corta en las columnas de planta baja. Aguiar et al.1998. El análisis debe realizarse en forma espacial ya que pueden existir pórticos que tienen una gran ductilidad y pórticos que tengan baja ductilidad, los mismos que pueden colapsar y si esto sucede de nada va a servir tener pórticos con gran ductilidad ya que la estructura colapsó en los pórticos débiles.

3.8.2

Ductilidad por curvatura

Encontrar la ductilidad de un pórtico plano demanda un tiempo considerable ya que se debe ingresar la armadura de cada uno de los elementos estructurales en tres secciones, a saber: nudo inicial, centro de luz y nudo final. Más tiempo aún demandará encontrar la ductilidad de la estructura en forma espacial. Por este motivo se recomienda encontrar la relación momento curvatura a nivel de sección y encontrar la ductilidad por curvatura . En la figura 3.13 se presenta los puntos notables del diagrama momento – curvatura de la sección transversal de una viga, columna o muro de corte. Los puntos notables son el punto “A”, que se alcanza cuando el hormigón llega a su máxima resistencia a tracción; el “Y” se obtiene cuando el acero a tracción llega a la fluencia; el “S” cuando el acero a tracción termina la plataforma de fluencia e inicia la zona de endurecimiento y el punto “U” cuando se produce la primera de las tres fallas: i) el hormigón llega a la rotura; ii) el acero llega a la rotura; iii) la armadura longitudinal empieza a pandear. Encontrar la relación momento – curvatura de un elemento estructural, es muy rápido ya que se debe dar la geometría y armado de la sección transversal; las curvas constitutivas de los materiales: acero y hormigón. Para el acero es conveniente trabajar con un modelo trilineal que contemple incremento de resistencia en la zona de endurecimiento y para el concreto se debe trabajar con un modelo de hormigón confinado. Para el caso de columnas o muros de corte se debe indicar la carga axial. En estructuras que tienen poco refuerzo transversal, la falla se va a producir por corte antes que por flexión. En estos casos se debe utilizar un programa que obtenga el diagrama momento curvatura considerando la interacción flexión corte. Satyarno (2000).

M

u

M s

M

y

M

M

A

Ø

Ø

Ø

Ø

Ø

Figura 3.13 Relación Momento Curvatura de una sección transversal de un elemento estructural.

86


La ductilidad por curvatura se define como la relación entre la curvatura última con respecto a la curvatura de fluencia

,

(3.7) Si se aspira que la ductilidad global de la estructura sea de , la ductilidad por curvatura de las vigas debe ser mayor a 16, cuando se utiliza un modelo de hormigón confinado. Para las columnas la ductilidad por curvatura debe estar alrededor de 10, para obtener la ductilidad global indicada. La relación momento – curvatura depende del modelo que se utilice; si se trabaja con un modelo elasto plasto para el acero y un modelo de hormigón no confinado los valores de ductilidad serán bajos.

3.8.3

Ductilidad del material

Como se indicó es importante conocer las curvas constitutivas del acero y del hormigón para conocer en primer lugar la ductilidad del material y para encontrar, posteriormente, las relaciones momento – curvatura. Por este motivo en Septiembre de 2011 se visitó a uno de los fabricantes de acero del Ecuador y se obtuvo la curva esfuerzo- alargamiento de una varilla de 10 mm., de diámetro, la misma que se presenta en la figura 3.14. En la figura 3.14 se aprecia que la ductilidad del material es muy baja, debido a que es varilla de 10 mm., de diámetro. Para varillas de más de 12 mm., de diámetro la ductilidad es mucho más alta.

Esfuerzo vs. Alargamiento 620

558

496

434

ESFUERZO MPa

372

310

248

186

124

62

5.95

11.90 17.85

23.80 29.75 35.70

41.65 47.60 53.55 59.50

ALARGAMIENTO mm

Figura 3.14 Relación Esfuerzo Alargamiento de una varilla de 10 mm.

3.8.4

Sobre resistencia

La capacidad de disipación de energía de una estructura depende también de la sobre resistencia que ésta tenga. Con el propósito de explicar una de las fuentes de la sobre


87

resistencia, en la figura 3.15 se indica a la izquierda una viga simplemente armada; en la parte central el diagrama constitutivo del hormigón y a la derecha del acero.

Figura 3.15 Curvas constitutivas del hormigón y del acero. En la constitutiva del hormigón se ha dibujado dos modelos, el bloque rectangular de Whitney, con el cual se obtienen los formularios para el diseño de vigas y el modelo constitutivo de Park et al. (1982) para hormigón confinado. En el bloque de Whitney la resistencia máxima del hormigón es ; mientras que en el modelo de hormigón confinado la resistencia máxima es , el valor de depende de la cantidad de acero transversal pero es mayor a la unidad. De tal manera que se diseña con valores bajos de resistencia del hormigón lo que da origen a tener factores de seguridad altos. Lo propio sucede con el acero, se obtienen las ecuaciones de diseño considerando un modelo elasto perfectamente plástico para el acero, (línea continua en gráfico de la derecha de figura 3.15) es decir no se toma en cuenta la zona de endurecimiento (línea entrecortada) por lo tanto existe otro factor de seguridad. Todo esto da origen a que las estructuras tengan sobre resistencia pero también puede darse el caso de que no exista un control en obra y no se coloque la armadura que consta en los planos o se la coloque mal. En este caso no habrá sobre resistencia. Lo deseable es que exista un control de la calidad de los materiales y del proceso constructivo de tal manera que se incremente la sobre resistencia de la estructura. Se ha visto solo dos fuentes de sobre resistencia, una relacionada con las hipótesis de diseño y la otra con el proceso constructivo pero existen más fuentes entre las que se destacan la proveniente de los materiales; del cálculo estructural cuando se coloca más armadura que la estipulada por los hierros comerciales; requerimientos mínimos de las normativas sísmicas; la presencia de elementos no estructurales; entre otros. La sobre resistencia ocasiona que la estructura tenga una mayor capacidad al corte basal con respecto al cortante de diseño. Bertero (1986) indica con mucha razón que la sobre resistencia es la bendición de las estructuras.

3.8.5

Redundancia

Lo recomendable es que los edificios tengan la mayor cantidad posible de líneas resistentes (ejes de columnas) en los dos sentidos, de esta manera se tendrá una mayor cantidad de vigas donde pueden formarse las rótulas plásticas. Si se tienen dos estructuras, la una con pocas columnas y la otra con bastantes columnas, la segunda estructura tendrá una mayor redundancia.

88


Cuando se forma una articulación plástica en una sección de un elemento, esta no es capaz de absorber más momento y empieza a rotar pero además de esto las cargas sísmicas son transmitidas a los elementos vecinos, de tal manera que si se tienen una gran cantidad de elementos van a trabajar mejor en conjunto, claro está que para esto se requiere que estos tengan gran ductilidad por curvatura y resistencia más o menos uniforme en la estructura. En resumen se puede indicar que la redundancia de una estructura depende de la cantidad de rótulas plásticas que puedan formarse y de la capacidad de incursión que estas tengan en el rango no lineal. En la tabla 3.12 se presentan los factores del factor de redundancia recomendados por el ATC-1995, son bastante fuertes. Tabla 3.12 Valores recomendado del factor de redundancia, por el ATC-1995 Número de ejes de columnas Factor R R

2 3 4

3.9

0.71 0.86 1.00

FORMULACIONES DE CÁLCULO DEL FACTOR R

En las últimas dos décadas se ha realizado un gran trabajo para cuantificar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas y se tienen varias formulaciones con sustento teórico y experimental. Una de ellas reconoce que el factor R es igual al producto de cuatro factores. Bertero et al (1991), Miranda (1997), Whittaker et al (1999).

R  R R RVG RR

(3.8)

Donde R es el factor de reducción de resistencia por ductilidad, se lo obtiene en un sistema de un grado de libertad; R es el factor de sobre resistencia definida como la capacidad última de la estructura con respecto a la capacidad de diseño; RVG es un factor de reducción que toma en cuenta que el sistema tiene múltiples grados de libertad y RR es el factor de redundancia que indica la eficiencia de los elementos estructurales para transmitir cargas en el rango no lineal. Existen otras propuestas, muy similares a la ecuación (3.8) en la que cambian el factor

RVG por el factor de amortiguamiento R . Uang (1991), Whittaker et al (1999), Elnashai and Mwafy (2002).

R  R R R R R

(3.9)

Cuando la estructura ingresa al rango no lineal, disipa energía por histéresis (daño). El factor de amortiguamiento  se incrementa conforme más se daña la estructura. El factor R es un factor de reducción debido a disipación de energía y existen trabajos que consideran el amortiguamiento  en el valor de R de tal manera que se tiene un factor R  . Riddell y Newmark (1979). En otra palabras los factores R y R pueden formularse en un solo factor

R  . El ATC-19 (1995) considera que el factor R es igual al producto de tres factores, pasando de la ecuación (3.8) a:


R  R R RR

89

(3.10)

Si en una estructura se aplican cargas monotónicas crecientes en cada uno de los pisos y se analiza con teoría elástica, la relación entre el cortante basal V y el desplazamiento lateral en el tope del edificio  es lineal y esto se lo ha representado en la figura 3.16, con líneas entrecortadas. Analizar con teoría elástica significa que la rigidez del sistema nunca cambia por más que la estructura experimente desplazamientos considerables.

Figura 3.16 Curva de capacidad sísmica y factores R y R . Mwafy y Elnashai (2002) Ahora bien, si se considera un modelo de análisis no lineal, en el cual va cambiando la rigidez del sistema de acuerdo al nivel de deformación de la estructura (rótulas plásticas) la relación entre el cortante basal y el desplazamiento lateral, tiene la forma indicada en la figura 3.16, con línea continua. La pendiente en cualquier punto de la curva es la rigidez, la misma que va disminuyendo conforme se deforma la estructura. En base a la curva, obtenida con análisis no lineal, se obtiene un modelo bilineal en el cual se define un punto de fluencia Y por las coordenadas  y , V y que son el desplazamiento y cortante de fluencia. Tema que fue explicado anteriormente. En el modelo idealizado, el cortante de fluencia V y es constante, de tal manera que por más que se deforme la estructura el valor del cortante es V y . Ahora en la figura 3.16, se presentan las definiciones del factor de reducción por ductilidad R y del factor de sobre resistencia R .

R 

R 

Ve Vy

Vy Vd

(3.11)

(3.12)

90


Donde Ve es el cortante basal elástico, Vd es el cortante de diseño. Cuando se realiza el análisis sísmico a una estructura se obtienen fuerzas estáticas equivalentes que actúan a nivel de cada piso. La suma de estas fuerzas laterales determina el cortante basal. Si se realiza un análisis elástico este cortante basal vale Ve . Si se diseña la estructura para este cortante Ve no va a existir daño ante el sismo del análisis pero las fuerzas laterales van a ser muy altas pero va a ser una estructura muy costosa. Ahora si estas se reducen por medio del factor , las fuerzas laterales van a ser pequeñas pero se espera daño pero el tema fundamental es saber si la estructura en realidad está en capacidad de tener el valor asumido. En la figura 3.16, también se ilustra la definición de demanda de ductilidad  como la relación entre el desplazamiento lateral máximo  max con relación al desplazamiento de fluencia  y . Mientras mayor demanda tenga la estructura, mayor será su incursión en el rango inelástico y mayor será su daño, esto no se debe tener muy en cuenta en el diseño. Es beneficioso que la estructura tenga suficiente capacidad de ductilidad pero durante un terremoto es conveniente que la estructura tenga una demanda de ductilidad baja para que el daño sea mínimo. Por esto se recomienda que cuando se diseñen estructuras con disipadores de energía o aisladores de base se le proporcione a la estructura una gran ductilidad, sobre resistencia y redundancia y en el análisis sísmico se trabaje con un valor bajo a sabiendas de que la disipación de energía se va a dar en los sistemas de control pasivo indicados.

3.10 FACTOR DE REDUCCIÓN POR DUCTILIDAD En Aguiar (2007) se presentan 14 contribuciones científicas que se han realizado a nivel mundial sobre el Factor de Reducción por Ductilidad y 4 en el Ecuador. Entre las primeras se tienen a las contribuciones realizadas por: Newmark y Veletsos (1960); Newmark y Hall (1973); Ridell y Newmark (1979); Newmark y Hall (1982); Riddell, Hidalgo y Cruz (1989); Wu y Hason (1989); Nassar y Krawinkler (1991); Vidic, Fajfar y Fischinger (1994); Miranda y Bertero (1994); Priestley (1995); Ordaz y Pérez (1999); Lee, Han y Oh (1999); Miranda (2000); Lobo, Vielma y Rivero (2004). Los trabajos realizados en la Politécnica del Ejército son los desarrollados por Aguiar y Guerrero (2006); Aguiar y González (2006); y dos trabajos realizados por Aguiar, Romo y Aragón (2007). Ahora bien, con el propósito de entender más sobre el análisis sísmico se presenta en este apartado las reglas de: Igual Desplazamiento; Igual Energía; el trabajo de Newmark y Veletsos (1960) que a pesar de tener más de 50 años es muy actual; el trabajo de Newmark y Hall (1982) y el último de los trabajos realizados por Aguiar, Romo y Aragón (2007).

3.10.1 Regla de Igual Desplazamiento No se debe perder de vista que la definición de espectros sísmicos está relacionada con un sistema de un grado de libertad 1 gdl. En este contexto en la figura 3.17 se presenta la relación fuerza – desplazamiento de un sistema con comportamiento lineal que está representada por las letras O-Y-E., y de un sistema con comportamiento inelástico o no lineal que está representado por las letras O-Y-I.


91

Figura 3.17 Relación fuerza – desplazamiento. Regla de igual desplazamiento. La relación entre la fuerza y el desplazamiento representa la rigidez del sistema. Como se indicó anteriormente, en análisis lineal la rigidez no cambia lo que significa que por más que se incremente la fuerza lateral al sistema la rigidez permanece constante. En cambio, en análisis no lineal, la rigidez se mantiene constante hasta el punto de fluencia, que en la figura 3.17 se ha indicado con la letra Y., una vez que se alcanza la fluencia la rigidez cambia, en la figura 3.17 al tener la recta Y-I significa que la rigidez de post fluencia es nula, a este modelo se denomina elasto perfectamente plástico. En definitiva en análisis no lineal la rigidez cambia. Para explicar la regla de igual desplazamiento, se considera que se tiene un sistema de 1 gdl., al cual se lo ha analizado con dos modelos, uno de análisis lineal y otro de análisis no lineal. En la regla de Igual Desplazamiento se considera que el desplazamiento lateral máximo hallado con los dos modelos es el mismo. Luego con la nomenclatura indicada en la figura 3.17, se tiene:

i  e Donde

(3.13)

 i es el máximo desplazamiento lateral que se obtiene en un sistema de 1 gdl

al considerar comportamiento inelástico y

 e es el máximo desplazamiento lateral que se

encuentra en el sistema de 1 gdl con comportamiento elástico. Al considerar comportamiento elástico la máxima fuerza lateral que se halla en el sistema, de acuerdo a la nomenclatura de la figura 3.17 es Fe y al considerar comportamiento inelástico la máxima fuerza lateral del sistema es

Fy . Se define como R a la relación entre la

máxima fuerza elástica con respecto a la máxima fuerza inelástica.

R 

Fe Fy

R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido al comportamiento no lineal del sistema, sin incorporar el factor de sobre resistencia. Por otro lado a la relación entre el máximo desplazamiento inelástico  i con respecto al desplazamiento de fluencia  y se denomina, demanda de ductilidad  .

92


En la figura 3.17 se aprecia que el triángulo rectángulo O-Y-  y es semejante al triángulo rectángulo O-E-  i . Por lo tanto se tiene que:

Fe   i Fy  y

Fe / Fy es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R  ; y,  i /  y es la demanda de ductilidad del sistema  . Por lo tanto, en la regla de igual desplazamiento se Pero

tiene:

R  

(3.14)

3.10.2 Regla de Igual Energía En la regla de igual energía se considera que el máximo desplazamiento inelástico en un sistema de 1 gdl, es diferente del máximo desplazamiento elástico, como se aprecia en la figura 3.18. La recta O-Y-E representa el comportamiento elástico del sistema y las rectas O-Y-I el comportamiento inelástico. La regla de igual energía establece que la energía del sistema con comportamiento elástico es igual a la energía del sistema con comportamiento inelástico. En otras palabras el área del triángulo O-E-  e es igual al área del triángulo O-Y-  y más el área del rectángulo  y -Y-I-  i .

Fe  e Fy  y   Fy  i   y 2 2





Figura 3.18 Relación fuerza – desplazamiento. Regla de igual energía. De la definición del factor de reducción por ductilidad se tiene: reemplazar este valor y luego de simplificar

R  e 2



y 2

Fy se obtiene:





 i   y  i 

y 2

De la relación de triángulos semejantes se encuentra que:

Fe  e   R Fy  y

  e  R  y

Fe  R Fy al


93

Al reemplazar el valor de  e se tiene:

R2  y 2

 i 

y 2

Al dividir para  y , y teniendo en cuenta que:



i y

Se halla:

R2 2



1 2

De donde:

R  2   1

(3.15)

Se ha encontrado dos expresiones para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, por comportamiento inelástico, la primera obtenida a partir de la regla de iguales desplazamientos que indica que R   , y la segunda hallada de la regla de igual energía que establece que

R  2   1 .

3.10.3 Formulación de Newmark y Veletsos (1960) El primer trabajo para determinar

R fue desarrollado por Newmark y Veletsos (1960)

en base a las clásicas reglas de igual desplazamiento y de igual energía. La propuesta por ellos realizada, se presenta en la tabla 3.13. Tabla 3.13 Propuesta de Newmark y Veletsos (1960) Período R 

T 0 Períodos cortos Períodos moderados Períodos largos

1



2  1 

A pesar de que esta propuesta fue realizada a mediados del siglo pasado, todavía tiene vigencia para T  0 y para períodos largos. Lo que se ha venido afinando es para los períodos intermedios. En esa época tenían bien claro que el factor R  depende del período T y de la ductilidad  . Newmark (1962)

3.10.4 Formulación de Newmark y Hall (1982) Para sistemas de 1 gdl. Newmark y Hall en 1982 presentaron una ecuación para encontrar el desplazamiento máximo inelástico  i en función del desplazamiento máximo elástico

 e . Esta ecuación es:

94


i 

 R

e

(3.16)

Donde  es la demanda de ductilidad del sistema y

R es el factor de reducción de

las fuerzas sísmicas, sin considerar sobre resistencia, que depende del período de vibración T Dos de los valores de R son los correspondientes a la regla de igual desplazamiento y a la regla de igual energía. Los valores propuestos por Newmark y Hall (1982) son:

R  1

T  Ta  1 / 33 s

R  2   1



1 / 33  T  Tb  0.125 s.

R  2   1 R  

Tb  T  Tc'

T Tc

(3.17)

Tc'  T  Tc

R  

T  Tc

 T  ' c

log T / Ta  2 log Tb / Ta  2  1



(3.18)

Tc

Figura 3.19 Nomenclatura utilizada por Newmark y Hall (1982). En la figura 3.19 se indica la nomenclatura de los períodos utilizados por Newmark y Hall (1982), en el espectro de aceleraciones. Los valores de Ta y Tb están definidos y valen 0.0303 s., y 0.125 s., el valor de

Tc dependen del tipo de suelo y Tc' se encuentra con la

ecuación (3.18). El estudio realizado por Newmark y Hall (1982) concluye en que para períodos de vibración muy pequeños que tienden a cero el desplazamiento máximo inelástico es igual a la ductilidad del sistema por el desplazamiento máximo elástico. Por el lado


95

contrario para períodos grandes el desplazamiento máximo inelástico es igual al desplazamiento máximo elástico y para los períodos intermedios se tienen valores intermedios determinados por las ecuaciones (3.17). El programa denominado newmakhall permite encontrar el factor de reducción para algunos valores de ductilidad, el usuario en la modalidad consola mediante el vector u indicará los valores de ductilidad para los cuales desea calcular el factor R . El uso del programa es: [Ru] = newmarkhall (u) 

u

Vector que contiene las ductilidades para las cuales se desea calcular

function [Ru]=newmarkhall(u) % % Factor de reducción por Ductilidad propuesto por Newmark y Hall (1982) % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %----------------------------------------------------------------------% [Ru]=newmarkhall(u) %----------------------------------------------------------------------% Ru Factor de reducción por ductilidad %u Vector que contiene las demandas de ductilidad que se obtienen. % Ta, Tb Periodos del espectro definidos por Newmark y Hall. % Tc Periodos característicos del suelo se consideran los del CEC-2000 %T Periodo de vibración de la estructura. % m=length(u); fprintf ('\n Códigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input('\n Indique el código del tipo de suelo :'); if is==1 Tc=0.50; elseif is==2 Tc=0.52; elseif is==3 Tc=0.82; else Tc=2.0; end Tmin=0.01; Tmax=3.0; n=100; DT=((Tmax-Tmin)/n); Ta=1/33; Tb=0.125; hold off; for j=1:m Tac=(sqrt(2*u(j)-1)/u(j))*Tc; for i=1:n T(i)=i*DT; if T(i)=Ta & T(i)<=Tb beta=(log10(T(i)/Ta))/(2*log10(Tb/Ta)); Ru(i,j)=(2*u(j)-1)^beta; elseif T(i)>=Tb & T(i)<=Tac Ru(i,j)=sqrt(2*u(j)-1); elseif T(i)>Tac & T(i)
R .


96

end end for j=1:m if j==1 plot (T,Ru) elseif j==2 plot (T,Ru,'--') else plot (T,Ru,':') end hold on end xlabel('Periodo (s)'); ylabel ('Factor de Reducción por Ductilidad'); axis([0,3,0,4.5]); %---fin 

EJEMPLO 3

Utilizando el programa newmarhall encontrar los factores de reducción de ductilidad, para un perfil de suelo S2, de acuerdo a la propuesta de Newmark y Hall (1982), para ductilidades de 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 y 4.0 

SOLUCIÓN

>> u = [ 1.5; 2.0; 2.5; 3.0; 3.5; 4.0] >> [Ru]=newmarkhall(u) En la figura 3.20 se indican las curvas que reporta el programa newmarhall. La identificación de cada curva se la realizó utilizando PAINT.

Figura 3.20 Factores de reducción por ductilidad utilizando ecuaciones de Newmark y Hall.


97

3.10.5 Formulación de Aguiar, Romo y Aragón (2007) En base a 80 acelerogramas registrados en el Ecuador, con aceleraciones menores al 10% de la aceleración de la gravedad y 112 sismos artificiales para las cuatro zonas de peligrosidad sísmica del CEC-2000, se obtuvo una ecuación para C  siguiendo la metodología propuesta por Chopra (2005). Para ilustrar el proceso de cálculo, en la figura 3.21 se presenta, a manera de ejemplo, la variación de C  , para los sismos artificiales en suelo S1, para una ductilidad de 4 y para una aceleración máxima del suelo en roca de 0.15 g. (3.19) Donde es el desplazamiento máximo inelástico; es el desplazamiento máximo elástico. La curva de valores medios de C  de la figura 3.21 se coloca en el formato, logaritmo de base 10 de la relación T / T  en el eje de las X, y logaritmo de base 2 de C  en el eje de las Y., como se presenta en la figura 3.22, no se trabajó con el período característico del suelo

T g como lo propone Chopra (2005) sino con T  que es el período en el cual empieza la rama descendente del espectro. Es en este formato en el cual se realizó el ajuste, llegando a los siguientes resultados. Aguiar et al (2007).

   a  C   1    b     R 

c 1   T             T     

0.30103

 C

Figura 3.21 Variación de C  encontrada con sismos artificiales.

(3.20)

98


Figura 3.22 Relación logarítmica de la relación C  en función de T / T  . En la tabla 3.14 se indican el valor de las variables a, b, c,  ,  encontrados en el estudio para ductilidades de 2, 3 y 4 y para los cuatro perfiles de suelo del CEC-2000.

Tabla 3.14 Valores obtenidos en el estudio para diferentes tipos de suelo y ductilidades. Ductilidad 2  a c Perfil de Suelo  b S1 0.35 -3.50 1.40 0.17 0.87 S2 0.60 -2.90 1.31 0.17 0.82 S3 3.40 -1.00 1.50 0.21 1.00 S4 2.10 -1.40 1.00 0.12 1.70 Ductilidad 3 S1 1.00 -2.70 1.40 0.04 0.15 S2 1.00 -1.20 1.40 0.05 0.49 S3 3.00 -1.00 1.80 0.07 0.73 S4 15.00 -0.08 1.40 0.07 0.30 Ductilidad 4 S1 1.30 -1.50 1.76 0.03 0.25 S2 7.80 1.00 1.40 0.02 0.50 S3 1.30 -0.20 1.41 0.01 0.93 S4 0.23 -0.60 1.80 0.04 2.91 Desde el punto de vista práctico la ecuación (3.20) con los valores indicados en la tabla 3.14 trae problemas cuando se desea hallar R  para un factor de ductilidad que no es entero ya que se debería interpolar entre los valores de ductilidad enteros. Por ejemplo, para   2.3 se debe calcular el valor de R  para   2 y luego para   3 y finalmente interpolar entre estos valores para   2.3 . Por esta razón es que se encontró otra ecuación que se ajuste a los resultados obtenidos con la ecuación (3.21) y los valores de la tabla 3.15. Esta ecuación es la (3.22).

 a T 1  0.165    R  1    1    a T 1  0.165    4900 

(3.21)


99

Los valores de a para los cuatro tipos de suelo, se indican en la tabla 3.15. Nótese que del ajuste de los datos sólo se tiene una variable, que es la a . Tabla 3.15 Valores de la variable a Suelo S1 Suelo S2 Suelo S3 100500 91000 73600

Variable

a 

Suelo S4 38900

EJEMPLO 4

Presentar la variación de con el período, para perfiles de suelo S1, S2 y S3, del CEC-2000 y para una ductilidad global de 4. Utilizar las propuestas de: (1) Aguiar y Guerrero (2006); (2) Aguiar y González (2006); (3) Aguiar, Romo y Aragón (2007), ecuación 3.20; (4) Aguiar, Romo y Aragón (2007), ecuación 3.21; Miranda (2000); Miranda y Bertero (1994); Riddell y Newmark (1999). Indicar las ecuaciones de estas tres últimas propuestas.



SOLUCIÓN

En base a los resultados obtenidos en sistemas de un grado de libertad, con comportamiento elasto perfectamente plástico, con 264 acelerogramas registrados en Estados Unidos de Norte América, sobre suelo firme. Miranda (2000) obtiene la siguiente ecuación. Por lo tanto solo se presenta en un perfil de suelo S1.

   1 C   1   1   exp 12Tμ  0.8 μ    μ Rμ  C

1

(3.22)

Miranda y Bertero (1994) realizaron un análisis no lineal en el suelo para determinar la respuesta en la superficie y se utilizó un modelo elasto plasto para el análisis inelástico de la estructura, considerada como un sistema de un grado de libertad. Las expresiones a las que llegan, son.

R 

 1  1  1.0 

(3.23)

Donde  es un factor que depende del período y del tipo de suelo.





(3.24)





(3.25)

 1

1 1 2  exp  1.5ln T  0.6  10T   T 2T

 1

1 2 2  exp  1.5ln T  0.2  12 T   T 5T

2   T    1  exp  3 ln  0.25     3 T 4T   Tg   

Tg

3Tg

(3.26)

Siendo T g el período característico del suelo. La ecuación (3.24) es para un perfil de suelo S1; la (3.25) para un perfil S2 y la (3.26) para un perfil S3. El factor de reducción por ductilidad, propuesto por Riddell y Newmark (1979) incorpora el factor de amortiguamiento  . De tal manera que se estaría hablando de un factor

100


R , , pero se seguirá denominado R  . Es muy importante esto ya que de alguna forma están relacionados la ductilidad con el factor de amortiguamiento. En este modelo, los valores de los períodos de las esquinas del espectro, son:

T1  2

v V a A

T1'  T1

 D T2  2 d v V Para

un

T2'

amortiguamiento del

5%

 p a   q a r  p v   q v r

a

v

 T2 p d  Riddell

 rd

y

 pv   qv  Newmark

(3.27) rv

(1979)

 a  2.77,  v  2.15,  d  2.10. Las restantes variables de (3.27) son: pa  qa  1

q a  3.0  0.3

ra  0.48  0.08

pv  qv  1

q v  2.7  0.4

rv  0.66  0.04

p d  0.87 

recomiendan

(3.28)

rd  1.07

0.055

Los factores R  son:

0  T  0.0303

R  1

0.0303  T  0.125

R   p a   q a 

0.125  T  T1'

R   p a   q a  a

T1'  T  T1

R 

T1  T  T2' T2'  T  T2 T2'  T  10 s.

ra

1   8T 



1.625log  pa   qa  ra



r

T  pv   qv rv T1

(3.29)

R   p v   q v  v r

R 

T T2 p d   rd

R 

1 p d   rd

1.5    10 1.5    10

Riddell y Newmark (1979) encontraron que la relación V / A  88.9 cm / s / g , y que

A D / V  5.9 . 2

El trabajo de Ridell y Newmark (1979) ha sido adoptado en el Código Sísmico de Costa Rica de 2002. Leandro y Santana (2004). Por este motivo será comparado con las propuestas que se han realizado para el Ecuador. En la figura 3.23 se presentan los valores de con las siete propuestas solicitadas en el Ejemplo 4, se deja al lector la realización de comentarios.


101

Figura 3.23 Factores R  encontrados para Ecuador y por otros autores. Para ductilidad 4

3.11 FACTOR DE SOBRE RESISTENCIA En Aguiar (2007) se presentan los resultados de los trabajos realizados por: Osteras y Krawinkler (1990); Freeman (1990); Miranda y Bertero (1989); Cassis y Bonelli (1992); Zhu et al (1992); Uang y Maarouf (1993); Hwang y Shinozuka (1994); Fischinger et al. (1994); Jain and Navin (1995); Panagiotakos y Fardis (1998); Einashi y Mawafi (2002). También se presentan los resultados de sobre resistencia a nivel local de elementos de 12 edificios y a nivel global de 432 edificios, todos ellos de hormigón armado de 1 a 6 pisos y responden a la forma como se diseña en el Ecuador los edificios compuestos por vigas descolgadas ligeramente y columnas bastante esbeltas. En el sub apartado 3.8.4 se habló de este tema, ahora lo que se desea es presentar alguno de los resultados en las investigaciones realizadas en la Politécnica del Ejército. En la figura 3.24 se presenta la sobre resistencia hallados en el estudio en función del número de pisos. El cortante de diseño fue obtenido para una deriva de piso máxima del 1%. (Aguiar, 2007). Cuando la deriva máxima de diseño impuesta es baja, la sobre resistencia es mayor debido a que se obtienen elementos de mayor sección. Esto es lo que se aprecia en la figura 3.24, con los edificios de 2 vanos (9 columnas en total) y de 3 vanos (16 columnas en total). En la figura 3.25 se presenta los valores medios de las derivas de piso halladas.

102


Figura 3.24 Resultados obtenidos para derivas de piso del 1.0%.

Figura 3.25 Relación deriva de piso y sobre resistencia.


103

Para derivas de piso máximas del 2% y en la forma como se construye en el Ecuador 2 las estructuras formadas con vigas y columnas (hormigón de 210 kg/cm y acero de 4200 2 kg/cm ) las estructuras tienen sobre resistencias que están entre 1 y 1.2. Por lo tanto, si se diseña una estructura con la Norma Ecuatoriana de la Construcción, NEC-11 y se ha impuesto un valor de los estipulados en la tabla 3.4. Pero esa estructura tiene una deriva de piso muy alta cercana al 2% permitida por NEC-11 se recomienda que se repita el diseño con un valor de R menor. Se está hablando de estructuras que tienen máximo 16 columnas, de 1 a 6 pisos de H.A., sin muros de corte.

3.12 FACTOR DE REDUNDANCIA En Aguiar (2007) se presenta el trabajo de Tsopelas y Husain (2004) que calcula el factor de redundancia en base a dos índices, el uno de naturaleza determinística rS conocido como índice de resistencia y el otro de carácter probabilística rV que es el índice de variación de redundancia. El índice de resistencia se puede evaluar con la ecuación (3.30), aplicando la Técnica del Pushover pero considerando que el valor V1 (Asociado a la primera rótula plástica en la estructura) es el cortante a nivel de fluencia VY .

rS 

VU VY

(3.30)

Donde es el cortante de fluencia pero con el criterio de que corresponde a la formación de la primera rótula plástica; es la capacidad máxima al corte de la estructura. Para el cálculo del índice de variación de redundancia rV , en dos dimensiones Husain y Tsopelas (2004) deducen la siguiente ecuación:

rV 

1  (n  1)  n

(3.31)

Donde n es el número de rótulas plásticas para el mecanismo de colapso considerado;  es el coeficiente de correlación promedio de las deformaciones.



n 1  ij n n  1 i , j 1



(3.32)

i j

Donde  ij es el coeficiente de correlación entre los momentos M i , M j . Siendo M i el momento de fluencia del elemento estructural donde se formó la rótula plástica i . El valor de rV varía desde, que corresponde a un sistema que tiene mucha redundancia estructural hasta 1 que es un sistema que no tiene redundancia. En efecto si n  1 , la ecuación (4.3) vale la unidad, luego no tiene redundancia. En la figura 3.26 se indican valores de rV para valores del coeficiente de correlación

promedio de 0; 0.20; 0.40 Se aprecia que a medida que  aumenta el valor de rV aumenta es decir el sistema es menos redundante. Valores altos de  implican que hay una gran correlación entre los momentos M i , M j y valores bajos de 

significa que hay poca

104


correlación entre los momentos y se incrementa su redundancia debido a su efecto probabilístico. En base a estos dos índices, Tsopelas y Husain (2004) determinan el factor de redundancia R R con la siguiente ecuación:

 1  k  e rV R R  rS   1 ke

  

(3.33)

Donde  e es el coeficiente de variación de las fuerzas y varía entre 0.08 y 0.14; k es

un factor de forma de la resistencia que varía entre 1.5 y 2.5. De tal manera que k  e varía entre 0.12 y 0.35. Se ha presentado el modelo de Tsopelas y Husain (2004) con el propósito de que se observe que el factor de redundancia evalúa que tanto incursiona la estructura en el rango no lineal. Guendelman (2000) indica que El Índice de redundancia, es el parámetro que permite calificar la redistribución de esfuerzos en la estructura cuando esta incursiona en el rango no lineal.

Figura 3.26 Valores de rV en función del número de rótulas plásticas. En base a los 432 edificios de 1 a 6 pisos de H.A. que responden a la forma como se construyen las estructuras en el Ecuador, se halló los índices de resistencia, redundancia y el factor . Los datos de la geometría, cargas y armadura considerada se indican en Aguiar (2007). En la figura 3.27 se indican los valores hallados del índice de resistencia para el caso de estructuras con 2 vanos. Cada uno de los puntos corresponde al valor encontrado, la línea continua es la de valores medios; el valor promedio de todos los puntos es 1.5


105

Figura 3.27 Relación del número de pisos con el índice de resistencia. En la figura 3.28 se presenta la variación de redundancia hallada con las estructuras de 2 vanos; la curva continua es la que une a los valores medios.

Figura 3.28 Relación del número de pisos con el índice de variación de redundancia. En la figura 3.29 se presentan los resultados del factor de redundancia hallados para las estructuras de 2 vanos considerando un valor . El valor medio de está alrededor de 1.8. Se destaca que se ha presentado los resultados para estructuras que tienen 3 líneas resistentes en cada dirección y se obtenido que el valor medio de es aproximadamente 1.8, cantidad que es mayor al 0.86 propuesto por el ATC-1995 y que consta en la tabla 3.12.

106


Figura 3.29 Valores de

para un valor de

3.13 RECOMENDACIÓN PARA EL ECUADOR SOBRE EL FACTOR En los apartados anteriores se ha presentado, una pequeña parte de las investigaciones realizadas en la Politécnica del Ejército, sobre el factor en estructuras de hormigón armado, conformadas por vigas ligeramente descolgadas y columnas bastante esbeltas de 1 a 6 pisos; las mismas que responden a la forma como se construye en el Ecuador. Del estudio realizado y que está descrito en Aguiar (2007), se recomienda los valores de indicados en la tabla 3.16, para tres niveles de diseño sísmico que se han denominado ND3 en que se espera una elevada disipación de energía; ND2 con una disipación de energía moderada y ND1 con una baja capacidad de disipación de energía de la estructura. Tabla 3.16 Valores recomendados del factor de reducción de las fuerzas sísmicas. Nivel de Disipación de Perfil de Suelo del CEC-2000 Diseño Energía S1 S2 S3 S4 ND3 6.0 6.0 6.0 5.0 Elevada   4 ND2 Moderada 4.5 4.5 4.0 4.0 ND1

 3 Baja   2

3.0

3.0

2.5

2.5

En la tabla 3.16 el valor de depende del tipo de suelo y algo más importante de la deriva máxima de piso inelástica, que esta tenga un valor máximo de 1.5. En la tabla 3.11, se observa que para estructuras de hormigón armado, conformadas por vigas y columnas, el NEC-11 recomienda un valor de . Se entiende que está asociado a un nivel de diseño en que la estructura es capaz de tener una disipación de energía alta. Para lograr este objetivo, el Proyectista Estructural deberá cumplir con todo lo estipulado en el ACI 318S-05. Si va a cumplir con algunos aspectos del ACI y con otros no, el nivel de diseño será moderado y en consecuencia el mayor valor de que tendrá la estructura es 4.5. Si hace caso omiso a lo estipulado por el ACI, el valor de a lo mucho será 2. Por lo tanto, los valores de presentados en la tabla 3.11, están asociados a un nivel de disipación de energía muy alta de la estructura. Para el efecto se debe diseñar la estructura siguiendo todas las recomendaciones del ACI, para que esta tenga gran ductilidad, sobre resistencia y redundancia.


107

3.14 ESPECTRO INELÁSTICO El NEC-11 obtiene el Espectro Inelástico dividiendo el Espectro Elástico, indicado en la figura 3.9 para el factor R  p e . Donde R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido a comportamiento no lineal,

e

p

factor que toma en cuenta las irregularidades en planta,

factor que considera las irregularidades en elevación.

La curva superior de la figura 3.29 corresponde al espectro elástico y la curva inferior al espectro inelástico; las ecuaciones (3.2) y (3.3) quedan de la siguiente manera. (

) (3.34)

( )



EJEMPLO 5

Presentar el espectro elástico e inelástico para un factor de reducción de las fuerzas sísmicas , para un perfil de suelo “C” y para un PGA = 0.4. La estructura se encuentra en una Provincia de la Sierra. Considerar . 

SOLUCIÓN En la figura 3.30, se presentan los espectros elásticos e inelásticos para

.

Figura 3.30 Espectro Elástico e Inelástico para R=6, perfil de suelo “C” y PGA=0.4 g.

108


Es importante tener en cuenta que si se diseña un edificio para el espectro elástico no se espera ningún daño en la estructura pero resultará muy costosa ya que las fuerzas sísmicas serán muy altas. En cambio si se diseña para el espectro inelástico se espera daño en la estructura pero no costará tanto la edificación ya que se ha diseñado para menores fuerzas.

3.15 EL MEGA SISMO DE CHILE DE 2010 Y EL PARÁMETRO En el capítulo 2, se presentó: los datos generales del Mega Sismo de Chile de 2010, espectros de respuesta elástica, obtenidos en Santiago de Chile, en los que se vio que las ordenadas espectrales sobrepasaron largamente el espectro de diseño, de la Norma de 1996, que estaba vigente hasta antes del sismo del 27 de febrero de 2010 y que tuvo una magnitud de 8.8. Se presentó además el nuevo Espectro Emergente, el mismo que corresponde a la Norma de Aislación Sísmica de 2001. Se define como la relación entre la aceleración espectral máxima con respecto a la aceleración máxima del registro. Ahora bien, en el Espectro Emergente, para la zona sísmica con valor ; los valores de son los siguientes para los tres perfiles de suelo que contempla la Norma Vigente en Chile. Para un perfil S1 el valor de ; para un perfil S2, el valor es: y para un perfil el valor es . Cuando se incorporé las lecciones dejadas en el Mega Sismo de 2010, es probable que los valores de se incrementen ya que eso se obtuvo con los registros sísmicos. En la tabla 3.17 se indica en la primera columna la localidad en la cual RENADIC (Red de Cobertura Nacional de Acelerógrafos de la Universidad de Chile) obtuvo registros durante el Mega sismo del 2010. En la segunda, cuarta y sexta columna para cada estación hay dos valores el superior es la aceleración máxima del registro Amax y el inferior es la aceleración máxima del espectro Sa. En las columnas números tres, cinco y siete, se presenta los valores de  hallados, utilizando la ecuación 3.35, para la componente N-S, V y E-W. Aguiar (2011). Lo ideal habría sido encontrar el parámetro  en función del tipo de suelo pero a Noviembre de 2010, todavía RENADIC no tenía esta información. Por lo que se encontró el valor de  promedio para cada una de las componentes de movimiento del suelo de las 22 localidades en que fueron registradas. Las localidades de la parte superior de la tabla 3.17, corresponden a la III Región (Norte de Chile) y la última corresponde a la XV Región (Sur de Chile). En la última fila de la tabla 3.17 se observa que los valores promedios son para la componente horizontal N-S; para la componente vertical; para la componente horizontal E-W. Por otra parte, el menor valor de para la componente horizontal N-S, fue 2.79 y el mayor valor 5.38; cantidades sumamente altas. Para la componente horizontal E-W, los valores límites son 2.43 y 4.80. El valor de está relacionado con la meseta de aceleración constante del espectro de diseño elástico y como se vio en la figura 3.10, cuando se comparó los espectros obtenidos en un Estudio de Peligrosidad Sísmica que realizó el autor de este libro en la ciudad de Guayaquil, en el 2012, la meseta que reporta el NEC-11 presenta valores bajos. Si la obra que se va a diseñar es importante, es conveniente que se haga un estudio de Peligrosidad Sísmica en forma probabilística y determinística y se determine el espectro de diseño elástico. Es fundamental que se haga un estudio de la propagación de las ondas sísmicas, en base a los datos del suelo en que se encuentra el Proyecto y se determinen los factores de amplificación utilizando un modelo bidimensional con elementos finitos. De esta forma se hallará un espectro que se ajusta más al Proyecto.

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE Tabla 3.17 Parámetro  N-S Localidad AMAX, Sa (gals) Copiapó 15.98 (49.0) Vallenar 18.14 (68.60) Papudo (*) 291.21 (1568) Marga-Marga 345.20 (1372) Viña del Mar Centro 214.40 (784) Valparaíso UTFSM (*) 128.95 (558.6) Valparaíso Almendral (*) 216.30 (882) Llolleo (*) 318.97 (1225) Santiago U. Chile FCFM 164.08 (539) Santiago Edif. Andalucía 210.57 (*) (686) Santiago Maipú 549.54 (1911) Santiago Metro Línea 5 227.96 (637) Santiago Hospital Oriente 292.42 (1225) Santiago Hospital Sotero 260.34 del Río (911.4) Matanzas (*) 337.52 (1274) Curico 465.48 (1911) Hualañe (*) 374.70 (1225) Talca (*) 462.25 (1470) Constitución (*) 527.28 (2156) Concepción (*) 393.21 (1176) Angol 916.63 (2842) Valdivia 89.59 (333.20) VALOR MEDIO DE 

109

para el mega sismo de Chile de 2010.

 3.06 3.78 5.38 3.97 3.66 4.33 4.07 3.84 3.24 3.25 3.48 2.79 4.19 3.5 3.77 4.10 3.27 3.18 4.09 2.99 3.10 3.72 3.67

V AMAX, Sa (gals) 7.86 (19.6) 10.24 (29.40) 153.44 (490) 256.15 (931) 179.64 (490) 69.05 (245) 141.08 (343) 661.38 (1764) 110.42 (480.2) 172.40 (588) 236.47 (931) 124.55 (441) 273.21 (1176) 128.51 (401.8) 234.61 (735) 191.43 (735) 370.54 (1176) 213.56 (882) 345.78 (980) 359.51 (1225) 281.37 (980) 51.05 (176.40)

 2.49 2.87 3.19 3.63 2.73 3.54 2.43 2.67 4.35 3.41 3.94 3.54 4.30 3.13 3.13 3.84 3.17 4.13 2.83 3.41 3.48 3.46 3.35

E-W AMAX,Sa (gals) 28.71 (107.80) 19.43 (58.80) 408.59 (1960) 331.49 (1274) 324.64 (1372) 295.35 (940.80) 262.11 (637) 546.63 (2254) 158.84 (490) 302.18 (1176) 478.60 (2058) 163.91 (646.8) 286.96 (1029) 262.76 (788.9) 280.90 (931) 405.63 (1391.6) 442.80 (1274) 407.49 (1225) 613.80 (2450) 280.47 (1029) 683.74 (2450) 132.26 (529.20)

 3.75 3.03 4.80 3.84 4.22 3.18 2.43 4.12 3.08 3.89 4.3 3.94 3.59 3.0 3.31 3.43 2.88 3.01 3.99 3.67 3.58 4.0 3.59

Tan importante como la determinación del espectro de diseño elástico es saber determinar el factor de disipación de energía con el cual se halla el espectro inelástico. Por este motivo es que se trató con bastante detenimiento el cálculo de este factor.

110


3.16 ESPECTROS PARA PRESAS Lo indicado en los apartados anteriores, está enfocado al Diseño de Edificios. Pero el lector de este libro va a tener que diseñar otro tipo de estructuras como Puentes o Presas de Proyectos Hidroeléctricos. Por este motivo en este apartado se habla sobre los sismos que deben considerarse para el diseño de Presas, de acuerdo a lo recomendado por USCOLD (1999), que son las siglas de: United States Committee on Large Dams. Los sismos de análisis son: 

MCE (Maximum Credible Earthquake) Es el terremoto máximo creíble. Para el sitio de la Presa se debe definir las fallas geológicas que se hallan más cerca y para cada una de ellas encontrar la Peligrosidad Sísmica empleando Métodos Determinísticos. Se debe determinar la magnitud máxima esperada en cada falla, para diferentes Períodos de Recurrencia, los mismos que serán fijados en conjunto con el Proyectista Estructural y la entidad contratante; ya que si se emplean Períodos de recurrencia muy altos, se encarece el Proyecto. Se recomienda realizar los estudios de Peligrosidad Sísmica para Períodos de Recurrencia de 1000, 3000 y 10000 años. En algunos Proyectos puede considerarse Períodos de Recurrencia más altos pero lo usual son los valores indicados.



MDE (Maximum Design Earthquake) Es el terremoto para el sismo de diseño. Para una Presa se deben realizar estudios de Peligrosidad Sísmica en forma Probabilística y en forma Determinística; de estos dos estudios se determina el Sismo de Diseño. En algunos casos el Sismo de Diseño puede ser igual al Sismo Máximo Creíble. Para el estudio en forma Probabilística se consideran zonas fuentes; se estudia con detenimiento la sismicidad de cada zona fuente, empezando desde la determinación de ventanas de tiempo en las cuales se considera que la información sísmica es estable hasta la determinación de relaciones de recurrencia; se consideran leyes de atenuación para el movimiento del suelo y se determina la Peligrosidad Sísmica, utilizando algún programa de computación. En América del Sur es muy conocido el programa CRISIS (Ordaz y Aguilar, 2002). El Período de retorno recomendado es de 970 años. Para el estudio en forma determinística, ya en el apartado anterior se habló al respecto; ahora lo que se recomienda al lector es que seleccione bien la metodología que va a utilizar y para ello debe conocer la base de datos con la cual trabajaron investigadores como Campbell y Bozorgnia (2008); Abrahamson y Silva (2008), entre otros, para definir las leyes de atenuación que conducen a la obtención de espectros, estos tienen una base teórica y una base empírica basados en registros de sismos ocurridos en diferentes regiones. Por ejemplo Campbell y Bozorgnia solo trabajaron con los eventos principales, en cambio que Abrahamson y Silva lo hicieron con sismos: premonitores, principales y réplicas.



OBE (Operating Basis Earthquake) Es el Terremoto Básico de Operación, que se halla para un Período de Retorno de 144 años, que corresponde a una vida útil de la Presa de 100 años con 50% de probabilidad de excedencia. Para este sismo la Presa debe comportarse elásticamente.

Para los sismos MCE y MDE se espera disipación de energía en la Presa pero en este caso no tiene mucho sentido hablar del coeficiente de reducción de las fuerzas sísmicas , es mejor hablar la disipación de energía en términos del factor de amortiguamiento . Por lo tanto, en los estudios de Peligrosidad Sísmica se entregan espectros para pero con la ecuación (3.5) se puede hallar espectros para cualquier tipo de amortiguamiento.


111

REFERENCIAS 1. 2.

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113

CAPÍTULO 4

MATRIZ DE RIGIDEZ RESUMEN

La condensación estática de la matriz de rigidez, es la base fundamental para el análisis sísmico de estructuras, tanto en el rango lineal como en el rango no lineal. Por este motivo, en el presente capítulo se presenta esta temática orientada al uso del computador. Se presentan tres formas de encontrar la matriz de rigidez condensada, a saber: la primera involucra la inversión de una matriz, la segunda implica la solución de un conjunto de ecuaciones lineales y la tercera, que es la más se utiliza, mediante la Triangularización de Gauss. Se inicia el capítulo con un repaso de Análisis Matricial de Estructuras, orientado a la obtención de la matriz de rigidez para el análisis sísmico de estructuras, para ello se presentan varios programas elementales que tiene por objetivo ver como se resuelven las estructuras en el computador y de paso aprender MATLAB El análisis sísmico de una estructura puede realizarse considerando pisos rígidos o considerando pisos flexibles, temas que también son analizados en el presente capítulo. Para el primer caso, se presentan dos formas de modelar los elementos, en la primera se considera que las vigas son axialmente rígidas y la columnas totalmente flexibles; en la segunda todos los elementos son axialmente rígidos. Para todos los tópicos presentados en este capítulo se han desarrollado programas de computación en MATLAB y forman parte del sistema de computación CEINCI-LAB, los mismos que ayudan a entender la teoría expuesta y además se realizan algunos ejemplos, como el determinar la matriz de rigidez para el análisis sísmico de una Pila de un Puente considerando nudos rígidos por las dimensiones de sus elementos. Se encuentra la matriz de rigidez de una estructura mixta de hormigón y acero, utilizando la librería de programas de CEINCI-LAB. Se presentan los programas krigidez y krigidez_acero que se utilizarán en los capítulos siguientes. También se presentan dos programas que encuentran directamente la matriz de rigidez lateral y son los denominados rlaxinfi (para pórticos planos) y rlaxinfimamposteria para pórticos con mampostería.

114


4.1

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO

En análisis lineal se considera que la rigidez a flexión (EI)o, es constante; lo propio sucede con la rigidez al corte (GA)o. En consecuencia, la matriz de rigidez de un elemento es constante y lo mismo sucede con la Matriz de Rigidez de la Estructura. En cambio, en análisis no lineal la matriz de rigidez varía en tiempo de acuerdo al daño que está va a experimentando en función de la acción sísmica. En este capítulo se estudian las estructuras en el rango elástico y en este apartado se presentan, sin deducción las matrices de rigidez de un elemento, un estudio muy completo se lo encuentra en Aguiar (2004).

4.1.1 Análisis sin nudo rígido Para los sismos raro (475 años de período de retorno) y muy raro (970 años) las estructuras van a ingresar al rango no lineal (Filosofía de Diseño). En consecuencia existirá daño en las vigas preferentemente y puede ser en alguna columna. Para este caso es conveniente analizar los elementos sin nudos rígidos. En el análisis sísmico de un pórtico plano, se considera que todo el piso se mueve lateralmente lo mismo. Por lo tanto, estos elementos deben modelarse como axialmente rígidos, , como se indica en la figura 4.1.

Figura 4.1 Sistema de coordenadas locales para un elemento axialmente rígido. Para el elemento horizontal indicado en la figura 4.1, se tiene que el sistema de coordenadas locales es igual al sistema de coordenadas globales. Por otra parte, se recuerda que las estructuras se resuelven en coordenadas globales. La matriz de rigidez del elemento, es simétrica con respecto a la diagonal principal, razón por la cual solo se presenta la matriz triangular superior. Con relación al sistema de coordenadas locales de la figura 4.1, la matriz de rigidez es la siguiente.

t b  t b'    k b a   k  t  b'     k '

(4.1)

La forma de la matriz de rigidez, indicada en (4.1) es válida para elementos de sección constante o de variable. Para elementos de sección constante, se tiene:

4( EI ) o  1    L 1  4  k' k

k

(4.2.1) (4.2.2)


a

2( EI ) o L

1  2  1  4   

6( EI ) o  1    L2 1  4  b'  b 12( EI ) o  1  t   L3 1  4  3( EI ) o   (GA) o L2 b

115

(4.2.3)

(4.2.4) (4.2.5) (4.2.6)

(4.2.7)

Donde E es el módulo de elasticidad del material, I es la inercia a flexión de la sección transversal,  es el factor de forma por corte de la sección, A es el área de la sección transversal, G es el módulo de corte y L la longitud del elemento. El factor mide el efecto de corte; en vigas y columnas de dimensiones pequeñas, este valor tiende a cero pero en muros de corte o vigas esbeltas es muy importante este valor. 

EJEMPLO 1

Encontrar la matriz de rigidez, sin considerar nudos rígidos, para una viga de sección constante de 30cm de base por 30 cm. de altura y tiene una longitud de 3.7m. Por otra parte, 2 2 E=2100000 T/m y G=840000 T/m . 

SOLUCIÓN

A  0.3  0.3  0.09 m 2 0 .3  0 .3 3  0.000675 m 4 12 3  1.2  2100000  0.000675   0.004931 0.09  840000  3.7 2 I

k

4  2100000  0.000675  1  0.004931  1  4  0.004931   1510 .21Tm 3 .7  

k '  k  1510 .21Tm 2  2100000  0.000675 1  2  0.004931  1  4  0.004931   743 .99Tm 3 .7   6  2100000  0.000675  1  b  609 .24T 2  3.7 1  4  0.004931  a

b'  b  609 .24T t

12  2100000  0.000675 3.7 3

1   1  4  0.004931   329 .32T / m  

116


329 .32 609 .24  329 .32 609 .24    1510 .20  609 .24 743 .99   k  329 .32  609 .24     1510 .20  Con el propósito de que el lector aprenda MATLAB se presenta un programa que calcula la matriz de rigidez de un elemento viga sin considerar nudos rígidos, se denomina kviga y la forma de uso es la siguiente: [k] = kviga (b,h,L,E)    

b es la base de la sección transversal del elemento. h es la altura de la sección transversal del elemento. L es la longitud del elemento. E es el módulo de elasticidad del elemento. Para el ejemplo 1, los datos de entrada, son:

>> [k]=kviga (0.30,0.30,3.70,2100000) function [k]=kviga(b,h,L,E) % % Matriz de rigidez de un elemento viga sin nudos rigidos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [k]=kviga(b,h,L,E) %------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % L: longitud del elemento. % E: modulo de elasticidad del material % beta: factor de forma se considera 1.2 G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L); kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi)); kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L; k(1,1)=t; k(1,2)=b; k(1,3)=-t; k(1,4)=bp; k(2,2)=kf; k(2,3)=-b; k(2,4)=a; k(3,3)=t; k(3,4)=-bp; k(4,4)=kpf; for i=1:3; for j=i+1:4; k(j,i)=k(i,j); end end fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Viga: \n\n') for i=1:4 for j=1:4 fprintf ('%10.3f', k(i,j)) end fprintf('\n') end %---fin---


117

Para la columna hay dos opciones para modelar el elemento, la primera consiste en suponer que el elemento es totalmente flexible, y la segunda considerar que el elemento es axialmente rígido. En la figura 4.2 se presenta la primera forma de modelaje en coordenadas globales. Por cierto, tanto en la figura 4.1 como en la 4.2 se tiene en la parte inferior . Esta nomenclatura se utiliza a nivel de elementos y la , es un vector que contiene a las cargas, para el presente caso, este vector está conformado por: es la fuerza de corte en el nudo inicial; es la fuerza axial en el nudo inicial; es el momento en el nudo inicial; es la fuerza de corte en el nudo final; es la fuerza axial en el nudo final y es el momento en el nudo final; la convención de signos positiva es la indicada en la figura 4.2.

Figura 4.2 Sistema de coordenadas globales para un elemento vertical, totalmente flexible. El vector , contiene a las componentes de desplazamiento y rotación del nudo inicial y final respectivamente, así por ejemplo, las tres primeras componentes de , son: es la componente de desplazamiento horizontal del nudo inicial, positivo si va hacia la derecha; es la componente de desplazamiento vertical del nudo inicial y es la rotación del nudo inicial. La relación entre el vector de cargas y el vector de desplazamientos , viene dado por medio de la matriz de rigidez del elemento, . (4.3) Para el elemento vertical, de la figura 4.2, la matriz de rigidez en coordenadas globales es la siguiente.

118


t 0  b  t 0  0 r  r 0  k b 0   t 0  r   

 b'  0  a   b'   0   k' 

(4.4)

La variable todavía no definida es:

r

EA L

Tanto en la matriz (4.4) como en la (4.1) se ha utilizado la minúscula, para identificar a la matriz de rigidez del elemento, se utiliza la mayúscula para la matriz de rigidez de la estructura. Por otra parte la negreada es la matriz, en cambio que la es un elemento de la matriz de rigidez. El programa que obtiene la matriz de rigidez de una columna en coordenadas globales es kcolumna function [k]=kcolumna (b,h,L,E) % % Matriz de rigidez de un elemento columna sin nudos rigidos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [k]=kcolumna(b,h,L,E) %------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % L: longitud del elemento. % E: modulo de elasticidad del material % beta: factor de forma se considera 1.2 G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L); kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi)); kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;r=E*area/L k=zeros(6); k(1,1)=t; k(1,3)=-b; k(1,4)=-t; k(1,6)=-bp; k(2,2)=r; k(2,5)=-r; k(3,3)=kf; k(3,4)=b; k(3,6)=a; k(4,4)=t; k(4,6)=bp; k(5,5)=r; k(6,6)=kpf; for i=1:5; for j=i+1:6; k(j,i)=k(i,j); end end fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Columna: \n\n') for i=1:6 for j=1:6 fprintf ('%12.3f', k(i,j)) end fprintf('\n') end %---fin---


4.1.2

119

Análisis con nudo rígido

Para el análisis con los sismos frecuente (47 años de período de retorno) y ocasional (72 años) se espera que la estructura trabaje en el rango elástico. No se admite daño. Por lo tanto, para el análisis sísmico se debe utilizar un modelo con nudos rígidos. Lo propio debe hacerse cuando se considera solo cargas verticales. Se debe considerar nudos rígidos, también cuando se tienen estructuras con elementos con grandes dimensiones, como la Pila de un Puente, ver ejemplo 9. No analizarlo con nudos rígidos es un error, debido a que son altos los valores de y La longitud de los elementos que ingresa al nudo, tienen rigidez axial infinita y rigidez a flexión infinita. Sean c 1 y c 2 las longitudes de rigidez infinita de un elemento, como el indicado en la figura 4.3. En este caso , es la luz libre (distancia entre cara y cara de columna). No solo es cuestión de decir voy a trabajar con cargas verticales y utilizo un modelo de nudo rígido, sino que se debe diseñar el nudo de tal forma que efectivamente sea nudo rígido. Si esto no se ha realizado no se puede considerar nudo rígido. Estrictamente es la distancia desde la cara de la columna izquierda hasta su eje es decir . Donde es la altura de la sección transversal de la columna. Pero si el nudo no ha sido armado en forma adecuada se recomienda trabajar con un valor menor.

Figura 4.3 Coordenadas locales para un elemento A   , con dos sectores de rigidez infinita. La matriz de rigidez para un elemento con dos sectores de rigidez infinita es la siguiente:

t   k=    

b  c1t

t

k  2c1b  c1 t 2

 (b  c1t ) t

b'c 2 t

  a  c1b'c 2 b  c1c 2 t    (b'c 2 t )   2 k '2c 2 b'c 2 t 

(4.5)

Los términos de rigidez k, a, k', b, b', t, son los indicados en las ecuaciones (4.2.1 a 4.2.7). 

EJEMPLO 2

Encontrar la matriz de rigidez, para la viga de sección constante del ejemplo 1, considerando nudos rígidos, para el caso de la figura 4.4.

120


Figura 4.4 Geometría de la viga con dos sectores de rigidez infinita. 

SOLUCIÓN

Al reemplazar c1 = c2 = 0.15 y los restantes datos indicados en el ejemplo anterior, en (4.5 ), se obtiene:

329 .32 658 .64  329 .32 658 .64    1700 .39  658 .64 934 .17   k=  329 .32  658 .64     1700 .39  El programa que determina la matriz de rigidez de un elemento viga, considerando nudos rígidos, se denomina: kviganr . La forma de uso y los datos de entrada son: [k]=kviganr(b,h,c1,c2,L,E)   

b,h son la base y altura de la sección transversal del elemento. c1,c2 son la longitudes del nudo rígido, en el nudo inicial y final, respectivamente. L, E es la luz libre del elemento y el módulo de elasticidad.

function [k]=kviganr(b,h,c1,c2,L,E) % % Matriz de rigidez de un elemento viga con nudos rigidos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %-------------------------------------------------------------------% [k]=kviganr(b,h,c1,c2,L,E) %-------------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % c1 longitud del nudo rígido en el nudo inicial. % c2 longitud del nudo rígido en el nudo final. % L: longitud del elemento de borde a borde sin los nudos rigidos % E: modulo de elasticidad del material % beta: factor de forma se considera 1.2 G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L); kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi)); kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L; k(1,1)=t; k(1,2)=b+c1*t; k(1,3)=-t; k(1,4)=bp+c2*t; k(2,2)=kf+2*c1*b+c1*c1*t; k(2,3)=-(b+c1*t); k(2,4)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t; k(3,3)=t; k(3,4)=-(bp+c2*t); k(4,4)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t;


121

for i=1:3; for j=i+1:4; k(j,i)=k(i,j); end end fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Viga: \n\n') for i=1:4 for j=1:4 fprintf ('%10.3f', k(i,j)) end fprintf('\n') end %---fin--En la figura 4.5, se indica el sistema de coordenadas globales, de un elemento vertical, en el cual se consideran dos sectores de rigidez infinita de longitudes c1, para el nudo inicial y c2, para el nudo final. La matriz de rigidez del elemento, en este caso, es la indicada en (4.6).

Figura 4.5 Coordenadas globales para un elemento vertical, con dos sectores de rigidez infinita.

t     k=     

0  (b  c1t )

t

r

0

0 k  2c1b  c1 t 2

0 r

b  c1t

0

t

0 r

 (b'c 2 t )

  0   a  c1b'c 2 b  c1c 2 t   b'c 2 t   0  2  k '2c 2 b'c 2 t

(4.6)

122


Por facilidad de escritura se han presentado la matriz triangular superior de todas las matrices de rigidez, pero en los respectivos programas se obtiene toda la matriz de rigidez. Primero se han programado los elementos de la matriz triangular superior y después mediante dos lazos se ha encontrado los elementos de la matriz triangular inferior, sabiendo que estas matrices son simétricas, con respecto a la diagonal principal. EL programa que determina la matriz de rigidez de un elemento columna, con nudos rígidos se denomina: kcolumnanr [k]=kcolumnanr(b,h,c1,c2,L,E)   

b,h son la base y altura de la sección transversal del elemento. c1,c2 son la longitudes del nudo rígido, en el nudo inicial y final, respectivamente. L, E es la luz libre del elemento y el módulo de elasticidad.

function [k]=kcolumnanr(b,h,c1,c2,L,E) % % Matriz de rigidez de un elemento columna con nudos rigidos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %--------------------------------------------------------------------------------% [k]=kcolumnanr(b,h,c1,c2,L,E) %--------------------------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % L: longitud del elemento. % E: modulo de elasticidad del material % beta: factor de forma se considera 1.2 G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L); kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi)); kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;r=E*area/L k=zeros(6); k(1,1)=t; k(1,3)=-(b+c1*t); k(1,4)=-t; k(1,6)=-(bp+c2*t);k(2,2)=r; k(2,5)=-r; k(3,3)=kf+2*c1*b+c1*c1*t; k(3,4)=b+c1*t; k(3,6)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t; k(4,4)=t; k(4,6)=bp+c2*t; k(5,5)=r; k(6,6)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t; for i=1:5; for j=i+1:6; k(j,i)=k(i,j); end end fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Columna: \n\n') for i=1:6 for j=1:6 fprintf ('%12.3f', k(i,j)) end fprintf('\n') end %---fin---

4.2

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

Se presenta en forma rápida, la forma como se obtiene la matriz de rigidez de una estructura, orientada al cálculo de la matriz de rigidez lateral. Para el efecto se verá como se obtiene la matriz de Coordenadas Generalizadas, CG; la matriz que contiene a los Vectores de


123

Colocación, VC, el ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura y finalmente el cálculo de la matriz de rigidez lateral.

4.2.1 Coordenadas Generalizadas Para ilustrar el cálculo de la matriz de Coordenadas Generalizadas, CG, en la figura 4.6 se ha dibujado un pórtico de 1 vano y dos pisos. Para el análisis sísmico se considera que las vigas son axialmente rígidas, de tal forma que se tiene un solo desplazamiento lateral por piso. Las columnas son totalmente flexibles. Con estas hipótesis se tiene que cada nudo interior de un pórtico plano tiene dos grados de libertad que son: la componente de desplazamiento vertical y la rotación. Además en cada piso se tiene un desplazamiento lateral. Se puede numerar primero los dos grados de libertad de cada nudo interior y al final los desplazamientos horizontales de piso, así se ha procedido en la figura 4.6. Se pudo también numerar en primer lugar los desplazamientos horizontales de piso y al final los dos grados de libertad de cada nudo.

Figura 4.6 Numeración de los nudos y grados de libertad. A continuación se indica el programa cg, que obtiene los grados de libertad de un pórtico plano, en el que primero se numeran los dos grados de libertad por nudo (desplazamiento vertical y giro) y posteriormente el desplazamiento horizontal por piso. La forma para utilizar el programa es: [CG]=cg(nod,np,nr)   

nod np nr

Número de nudos del pórtico plano. Número de pisos del pórtico Número de nudos restringidos.

Con esta información de entrada el programa se ejecuta y empieza un dialogo entre el programa, que hace preguntas y el usuario que suministra los datos. Con la información del número de nudos, el programa genera una matriz de (nod,3) llena de 1. El número de filas es igual al número de nudos y el número de columnas es igual a 3, que son los tres grados de libertad que tiene un nudo de un pórtico plano. La primera columna define el desplazamiento horizontal, la segunda el desplazamiento vertical y la tercera el giro. A esta matriz se ha denominado CG. Posteriormente cuando se indica el número de nudos restringidos, se genera un lazo en que el usuario debe responder, con letra minúscula, si el nudo restringido puede

124


desplazarse horizontalmente, verticalmente o si puede rotar. Para la estructura de la figura 4.6, las dos primeras filas de la matriz CG que estaban con 1 se cambian por 0. Finalmente en la última parte del programa se obtienen todos los grados de libertad. En resumen, los valores que tiene la matriz CG, en cada etapa son:

1 1  1  1 1  1

1 1 1 1 1 1

1 1 1  1 1  1

0 0  1  1 1  1

0 0 1 1 1 1

0 0 1   1  1   1 

function [CG]=cg(nod,np,nr) % % Programa para encontrar las coordenadas generalizadas % orientado al cálculo de la matriz de rigidez lateral % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [CG]=cg(nod,np.nr) %------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas % nod Número de nudos % np Número de pisos % nr Número de nudos restringidos % ngl=0; CG=ones(nod,3); for i=1:np fprintf ('Nudo mayor del piso, %d ',i) nn(i)=input (' Numero del nudo:'); end % análisis de restricciones for i=1:nr nudres= input ('\n Numero del nudo restringido:'); X1 = input (' Desplazamiento en X ,si(s) o no(n):','s'); if X1=='n' CG(nudres,1)=0; else ngl=ngl+1; CG(nudres,1)=ngl; end Y1 = input (' Desplazamiento en Y ,si(s) o no(n):','s'); if Y1=='n' CG(nudres,2)=0; else ngl=ngl+1; CG(nudres,2)=ngl; end R1 = input (' Rotacion ,si(s) o no(n):','s'); if R1=='n' CG(nudres,3)=0; else ngl=ngl+1; CG(nudres,3)=ngl; end

0 0  9  9 10  10

0 0 1 3 5 7

0 0 2  4 6  8


125

end % grados de libertad for i=1:nod for j=1:2 if CG(i,j+1)~=0 ngl=ngl+1; CG(i,j+1)=ngl; else,end end end ico=0;ii=1; for i=1:nod-nr j=nr+i; if ico==0 ngl=ngl+1; ico=1; else, end if j<=nn(ii) CG(j,1)=ngl; else,end if j==nn(ii) ico=0;ii=ii+1; else,end end % ---end--En la figura 4.7 se indica la entrada de datos, de la estructura de la figura 4.6, para el programa CG. Al final se indica lo que reporta el programa. Cada fila de CG contiene la información de los grados de libertad de un nudo. >> [CG] = cg (6,2,2)

Nudo mayor del piso, 1 Nudo mayor del piso, 2

Número del nudo: 4 Número del nudo: 6

Número del nudo restringido: 1 Desplazamiento en X, si (s) o no (n): n Desplazamiento en Y, si (s) o no (n): n Rotación si (s) o no (n): n Número del nudo restringido: 2 Desplazamiento en X, si (s) o no (n): n Desplazamiento en Y, si (s) o no (n): n Rotación si (s) o no (n): n CG= 0 0 9 9 10 10

0 0 1 3 5 7

4.2.2

0 0 2 4 6 8

Vector de Colocación

El Vector de Colocación de cada elemento, está conformado por los grados de libertad del nudo inicial y del nudo final, escritos en el siguiente orden: primero, el desplazamiento horizontal; segundo, el desplazamiento vertical y tercero, el giro.

126


En la figura 4.7, a la izquierda, se indica la numeración de los nudos y a la derecha, de los elementos de la estructura de 2 pisos y 1 vano. La identificación del nudo inicial y del nudo final de un elemento, es arbitraria. Sin embargo, se recomienda que en columnas el nudo inicial sea el que se halla abajo y el nudo final el que se halla arriba; para vigas, se recomienda que el nudo inicial este a la izquierda y el nudo final a la derecha del elemento. Al aplicar esta recomendación, se tienen los valores indicados en la tabla 4.1 para la ubicación del nudo inicial y final.

Figura 4.7 Numeración de nudos y elementos. function [VC]=vc(mbr,ncol,CG) % % Programa para encontrar el vector de colocación de pórticos planos % orientado al cálculo de la matriz de rigidez lateral % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [VC]=vc(mbr,ncol,CG) %------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas % VC Vector de colocacion % mbr Número de miembros % ncol Número de columnas % % Información de elementos for i=1:mbr if i<=ncol fprintf ('\n Columna %d:',i); ini(i)=input ('\nNumero nudo inicial:'); fin(i)=input ('Numero nudo final:'); else fprintf ('\n viga %d:',i); ini(i)=input ('\nNumero nudo inicial:'); fin(i)=input ('Numero nudo final:'); end end % Arreglo VC. Vectores de colocacion for i=1:mbr for k=1:3 VC(i,k)= CG(ini(i),k);


127

VC(i,k+3) = CG(fin(i),k); end end fprintf(' \n Vectores de colocacion de los elementos \n') for i=1:mbr for k=1:6 fprintf('%7d',VC(i,k)) end fprintf( '\n') end % ---fin---

Elemento Nudo Inicial Nudo Final

Tabla 4.1 Identificación del nudo inicial y final de los elementos. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 3 3 4 5 6 4

6 5 6

Con la información de la tabla 4.1 y con la matriz de Coordenadas Generalizadas, se hallan los Vectores de Colocación, que son:

VC (1)  0

VC (2)  0 VC (3)  9

VC (4)  9 VC (5)  9

VC (6)  10

0

0

9

1

0

0

9

3

1

2

10

5

3 1

4 2

10 9

7 3

5

6

10

7

2

4

6

8 4 8

El programa que obtiene el vector de colocación se ha denominado VC y la entrada de datos es la siguiente: [VC]=vc(mbr,ncol,CG)   

mbr ncol CG

Número de elementos del pórtico. Número total de columnas. Matriz que contiene las coordenadas generalizadas de cada elemento.

Cuando se ejecuta VC el usuario por pantalla debe indicar al programa el nudo inicial y el nudo final de cada uno de los elementos de la estructura.

4.2.3

Ensamblaje directo

Una vez que se tiene determinado el Vector de Colocación de cada uno de los elementos, se procede al cálculo de la matriz de rigidez de la estructura, para lo cual en un gran lazo que va de 1 al número total de elementos (mbr) se halla la matriz de rigidez del elemento k , sea este viga o columna. Luego se realiza el ensamblaje utilizando el vector de colocación como se lo indica en el diagrama de flujo indicado en la figura 4.8. Se ha denominado SS a la matriz de rigidez de la estructura. En el libro Análisis Matricial de Estructuras, Aguiar (2004), se presenta el fundamento teórico del ensamblaje directo, con una serie de ejemplos. El programa klateral obtiene la matriz de rigidez de la estructura, que se ha visto en este subapartado y en la última parte del programa determina la matriz de rigidez lateral, que se estudiará en el próximo apartado. La forma de uso de este programa, es:

128


[KL]=klateral(E) 

E

Es el módulo de elasticidad del material.

Cuando se ejecuta el programa, a más de los datos ya indicados para encontrar las Coordenadas Generalizadas y el Vector de Colocación, el usuario deberá indicar por pantalla, la base, la altura de la sección transversal; las longitudes del nudo rígido inicial y final y la luz libre.

i=1:mbr k i=1:6 i=1:6 jj=VC(i,j) jj==0

no

m=1:6

si mm=VC(i,m) mm==0

no

SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m)

si

Figura 4.8 Diagrama de flujo para encontrar la matriz de rigidez function [KL]=klateral(E) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un pórtico plano % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [KL]=klateral(E) %------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas % VC Vector de colocacion % E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % long: longitud del elemento. % nod=input('\n Numero de nudos:'); np=input(' Numero de pisos:'); nr=input(' Numero de nudos restringidos:'); [CG,ngl]=cg1(nod,np,nr);


129

mbr=input('\n\n Numero de miembros:' ); ncol=input('\n Numero de columnas:'); [VC]=vc1(mbr,ncol,CG) for i=1:mbr if i<=ncol fprintf ('\n Columna %d:',i); B(i)=input ('\n Base:'); H(i)=input ('Altura:'); L(i)=input ('Luz libre:'); C1(i)=input ('Longitud de nudo rigido inicial:'); C2(i)=input ('Longitud de nudo rigido final:'); else fprintf ('\n viga %d:',i); B(i)=input ('\n Base:'); H(i)=input ('Altura:'); L(i)=input ('Luz libre:'); C1(i)=input ('Longitud de nudo rigido inicial:'); C2(i)=input ('Longitud de nudo rigido final:'); end end % Calculo de la matriz de rigidez de la estructura SS=zeros(ngl,ngl); for i=1:mbr b=B(i);h=H(i);c1=C1(i);c2=C2(i);long=L(i); if i<=ncol [k]=kcnr(b,h,c1,c2,long,E); else [k]=kvnr(b,h,c1,c2,long,E); end for j=1:6 jj=VC(i,j); if jj==0 continue end for m=1:6 mm=VC(i,m); if mm==0 continue end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end % Matriz de rigidez lateral na=ngl-np;nb=np; Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl); KL=Kbb-Kba*inv(Kaa)*Kab; fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :') for i=1,np; for j=1,np; fprintf ('%12.3f', KL(i,j)) end fprintf('\n') end %---fin--En el apartado 3.6 se presenta la rutina kvnr que se indica en el programa klateral, tiene la particularidad de que se usa el artificio, mediante el cual la matriz de rigidez de un elemento viga es de 6x6 para poder realizar el ensamblaje directo en la forma indicada en el programa. La otra rutina que se utiliza es kcnr pero esta se obtiene eliminando las impresiones de la rutina kcolumnanr.

130


En el diagrama de flujo presentado se arma toda la matriz de rigidez de la estructura, pero esto no es necesario, se puede obtener solo la matriz triangular superior en forma de vector, etc. En Aguiar (2004) se presenta amplia información al respecto. 

EJEMPLO 3

Hallar la matriz de rigidez de la estructura indicada en la figura 4.9, considerando nudos rígidos. Todos los elementos son de 30/30. Se consideran los mismos valores de E y G, de los ejemplos anteriores, que son E=2100000 T/m2; G=840000 T/m2.

Figura 4.9 Geometría y grados de libertad de pórtico plano, utilizado en ejemplo. 

SOLUCIÓN

En este ejercicio, primero se ha numerado el desplazamiento horizontal de piso y después los restantes dos grados de libertad por nudo. Contrario a la forma como se realizó el programa klateral, de tal manera que la matriz de rigidez de la estructura que se obtendrá en el presente ejercicio es diferente a la que se halla con el programa klateral debido a que los grados de libertad son diferentes. En realidad los valores son los mismos pero están en diferentes posiciones. La matriz de rigidez lateral, que está asociada solo a la componente de desplazamiento horizontal de piso, si es la misma. Sea la columna izquierda, el elemento número 1, la viga el 2 y la columna derecha el 3. Los vectores de colocación de estos elementos, son:

VC (1)  0 0 0 1 2 3

VC ( 3)  0 0 0 1 4 5 VC ( 2 )  2 3 4 5

Nótese que el vector de colocación del elementos dos, tiene cuatro elementos, debido a que la matriz de rigidez del elemento es de 4X4. En el programa klateral, se utilizó un artificio para convertir la matriz de 4X4 en una de 6X6 y consistió en colocar ceros en la primera y cuarta fila y en la primera y cuarta columna, de esta nueva matriz, como se observa en el programa. De esta manera se tiene una sola forma de ensamblar la matriz de rigidez. La matriz de rigidez del elemento dos, se indicó en el ejemplo 2 y la de los elementos uno y tres, es la siguiente, la misma que se ha obtenido con la ecuación (4.6), reemplazando


131

Se considera que en el empotramiento existe una viga de dimensiones iguales a la existente en la planta alta.

0  1468 .28 1249 .60  80425 .53 0   2328 .42 k=      

 1249 .60

 1655 .72   0  80425 .53 0  1468 .28 0 1342 .28   1249 .60 0 1655 .72   80425 .53 0   2797 .02  0

Al efectuar el ensamblaje directo de la matriz de rigidez de la estructura, se obtiene:

0 1655 .72 0 2499 .20  80754 .85 658 .64  329 .32  k=  4497 .40  658 .64   80754 .85  

4.3

1655 .72   658 .64  934 .17    658 .64   4497 .40 

CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

En la figura 4.10, se presenta nuevamente la estructura, de un vano y un piso, que se ha venido analizando y cuyos grados de libertad se indicaron en la figura 4.9. Ahora, se van a separar las coordenadas en principales y secundarias. Cuando la acción sísmica actúa en sentido horizontal, el desplazamiento lateral tendrá valores más altos que los desplazamientos verticales y giros. Por este motivo se dice que es coordenada principal y las restantes son coordenadas secundarias. A la derecha de la figura 4.10 se ha indicado la coordenada principal.

Figura 4.10 Coordenadas "a" y "b", de estructura de ejemplo. En general, para el análisis sísmico de una estructura se deben diferenciar dos tipos de coordenadas que se han denominado principales y secundarias. En lo que sigue para hacer más general la explicación se denominan “coordenadas a”, que para el caso de la figura 4.10 es la 1 y “coordenadas b” que son la 2,3,4 y 5.

132


Con esto, tanto el vector de cargas generalizadas Q, como el vector de coordenadas generalizadas q , están particionados de la siguiente forma:

 Qa  Q     Qb   qa  q     qb 

(4.7.1)

(4.7.2)

Por otra parte, la ecuación básica de análisis estático, que relaciona el vector de cargas generalizadas Q, con el vector de coordenadas generalizadas q, por medio de la matriz de rigidez de la estructura K, es:

QKq

(4.8)

Al reemplazar ( 4.7.1 ) y ( 4.7.2 ) en ( 4.8 ) y al trabajar con submatrices, la matriz de rigidez de la estructura, también estará particionada, de la siguiente forma:

 Qa   K aa K ab   q a        q  Q k k b ba bb     b 

(4.9)

La condensación estática de la matriz de rigidez se da cuando Qa o Qb son ceros, los dos casos se desarrollan a continuación:

4.3.1

Condensación a las coordenadas "a" Este caso se presenta cuando el vector Qb=0.

 Qa   K aa K ab   q a          0  k ba k bb   q b  De donde:

Qa  k aa qa  K ab q b 0  K ba qa  K bb q b Luego: 1 qb  k bb K ba qa

(4.10.1)

1 Qa  ( K aa  K ab K bb K ba )qa

(4.10.2)

Sea K* la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "a". 1 K *  K aa  K ab K bb K ba

4.3.2

(4.10.3)

Condensación a las coordenadas "b" Se presenta cuando el vector de cargas Qa=0. Procediendo en forma similar se

obtiene: 1 qa  k aa K abqb

(4.11.1)

1 Qb  ( K bb  K ba K aa K ab )qb

(4.11.2)


133

+

Sea K la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "b". 1 K   K bb  K ba K aa K ab

(4.11.3)

La ecuación (4.11.3) es la que se utilizó en el programa klateral. En MATLAB como ya se cuentan con rutinas definidas es muy sencillo determinar las submatrices. El cálculo de la matriz de rigidez lateral se encuentra en la parte final del programa. 

EJEMPLO 4

Encontrar la matriz de rigidez condensada a la coordenada lateral 1, indicada en la figura 4.10. Que corresponde a la estructura de la figura 4.9, del ejemplo anterior. 

SOLUCIÓN

En este caso, la partición de la matriz de rigidez de la estructura K se la realiza en la primera fila y primera columna, toda vez que existe una sola "coordenada a". Por lo tanto las submatrices, son:

K aa  2499 .20

K ab  0 1655 .72 0 1655 .72

K bb

80754 .85 658 .64  329 .32  4497 .40  658 .64   80754 .85  

658 .64  934 .17   658 .64   4497 .40 

La submatriz Kba es la transpuesta de la submatriz Kab. Para aplicar la ecuación (4.10.3) es necesario calcular la inversa de Kbb.

1 K bb

1.24  0.1501 0.0026  0.1501  23.27 0.1501  4.790    10 5   1.241 0.1501   23.27   1 K ab K bb K ba  1013 .428  1 K *  K aa  K ab K bb K ba

K *  [1485 .772 ] 4.4

CONDENSACIÓN MEDIANTE SOLUCIÓN DE ECUACIONES

El trabajar con la ecuación (4.10.3) o con la ecuación (4.11.3) implica calcular una matriz inversa, lo cual demanda bastante tiempo de cálculo, si se piensa en estructuras de algunos pisos. Razón por la cual, en la práctica, se transforma el cálculo de la matriz inversa por un sistema de ecuaciones lineales, como se ve a continuación.

134


4.4.1

Caso en que Qb = 0 En la ecuación (4.10.3) se realiza, se define la matriz T de la siguiente manera: 1 T   K bb K ba

(4.12.1)

Al multiplicar ambos lados de la ecuación (4.12.1) por Kbb, se obtiene:

K bb T   K ba

(4.12.2)

Para encontrar la matriz T, se debe resolver un conjunto de ecuaciones lineales, cuya matriz de coeficientes es la submatriz Kbb y los términos independientes son las diferentes columnas de la submatriz Kba. Con el cambio de variable realizado, la ecuación (4.10.3) se transforma en:

K *  K aa  K abT

(4.12.3)

A la matriz se le conoce con el nombre de Matriz de Paso, ya que relaciona dos sistemas de coordenadas. Aguiar (2004). También se le conoce con el nombre de Matriz de Incidencia. 

EJEMPLO 5

Encontrar la matriz de rigidez condensada del ejercicio anterior, por intermedio de la matriz T. 

SOLUCIÓN

Al sustituir las submatrices, del ejemplo anterior en (4.12.2), se obtiene:

80754 .85 658 .64   658 .64 4497 .40   329 .32  658 .64   658 .64 934 .17

 329 .32

658 .64   T11  0       658 .64 934 .17   T21  1655 .72       80754 .85  658 .64  T31  0         658 .64 4497 .40   T41  1655 .72 

La solución del sistema de ecuaciones lineales, reporta

 0.00497      0.30605  T   0.00497      0.30599   

K ab T  [1013 .428] K *  K aa  K abT K *  [1485 .772 ]


4.4.2

135

Caso en que Qa= 0

Se procede en forma similar al indicado en el apartado (4.3.1), con lo que se obtiene: 1 T   K aa K ab

K   K bb  K ba T K aa T   K ab

(4.13.1) (4.13.2) (4.13.3)

Ahora, la matriz T se obtiene resolviendo un conjunto de ecuaciones lineales que tienen una sola matriz de coeficientes que es Kaa pero diferentes términos independientes que son las diferentes columnas de la matriz kab.

4.5

CONDENSACIÓN MEDIANTE TRIANGULARIZACIÓN DE GAUSS

Si bien es cierto, mediante la solución de un conjunto de ecuaciones lineales, se optimiza la obtención de la matriz de rigidez condensada. No es menos cierto, que todavía se puede optimizar el proceso de cálculo únicamente triangularizando la matriz de rigidez, tema que se trata a continuación y es válido únicamente para el caso de que Qa= 0.

 0   K aa K ab   q a        q  Q k k bb   b   b   ba De donde:

0  k aa qa  K ab qb

(4.14.1)

Qb  K ba qa  K bb qb

(4.14.2)

-1

Si a la ecuación (4.14.1) multiplicamos por Kaa , y en ésta se reemplaza la ecuación (4.13.1), se obtiene: 1 0  I qa  K aa K ab qb 0  I qa  T qb

(4.14.3)

Ahora, si a la ecuación (4.14.3) multiplicamos por -Kba y sumamos a la ecuación (4.14.2) se encuentra:

Qb  0 qa  K bb  K ba T  qb +

(4.14.4)

De acuerdo a (4.13.2), la ecuación entre paréntesis es la matriz de rigidez condensada

K.

Qb  0 q a  K  q b

(4.14.5)

Al reescribir en forma matricial las ecuaciones (4.14.3) y (4.14.5) se halla.

 0  I      Q b  0

 T   qa    K    q b 

(4.14.6)

Por consiguiente, dada la matriz de rigidez total, se aplica la eliminación de Gauss Jordán hasta eliminar los elementos correspondientes a las coordenadas "a" y lo que se

136


+

obtienen son las matrices T y K . Cuando se tiene que realizar el análisis sísmico de una Presa a Gravedad, se trabaja con elementos finitos y el número de grados de libertad es muy alto. En este caso es muy eficiente aplicar la Triangularización de Gauss. 

EJEMPLO 6

Encontrar la matriz de rigidez condensada, de la estructura de un piso y un vano, de la estructura de los ejemplos 4 y 5, pero aplicando la triangularización de Gauss Jordán. 

SOLUCIÓN

Primero se debe encontrar la matriz de rigidez de la estructura, para la nueva numeración de los grados de libertad, que se indican en la figura 4.11. Nótese que la coordenada lateral, se ha numerado al último.

Figura 4.11 Numeración de los grados de libertad para eliminación de Gauss Jordán .

80754 .85 658 .64  329 .32  4497 .40  658 .64  k = 80754 .85    

  934.17 1655 .72    658 .64 0  4497 .40 1655 .72   2499 .20 658 .64

0

Al triangularizar la matriz de rigidez, se obtiene:

1 0.008156  1 0 0 0  0 0  0 0

 0.004078 0.008156  0.146027 1 0 0

0.000000   0.206764 0.368591  0.00645 0.0030   1 0.31116   0 1485 .772 


137

Finalmente, al llevar a la forma de la ecuación ( 4.14.5 ), se encuentra:

1  0 0  0  0

0 0 0 0.000000   1 0 0 0.368591  0 1 0 0.0030   0 0 1 0.31116   0 0 0 1485 .772 

Los valores de las cuatro primeras filas de la quinta columna, corresponden a -T, la diferencia que existe es debido al redondeo. El último valor es la matriz de rigidez condensada a la coordenada lateral, de la estructura analizada. ...Para fines prácticos la matriz de rigidez se obtiene únicamente de la etapa de triangularización y no necesariamente deben ser unos los elementos de la diagonal...

4.6

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL

Se define ...matriz de rigidez lateral, KL... a la matriz de rigidez asociada a las coordenadas laterales de piso. Cuando en el análisis sísmico de pórticos planos se considera un solo grado de libertad por piso, a este modelo se denomina ...piso rígido... y sirve únicamente para el análisis ante la componente horizontal de movimiento del suelo. Existen dos formas de modelar los elementos de un pórtico plano, ante la acción sísmica horizontal. En la primera forma se considera que únicamente las vigas son axialmente rígidas y las columnas totalmente flexibles. En cambio, en la segunda forma se considera que todos los elementos son axialmente rígidos. El pórtico analizado en los numerales anteriores corresponde a la primera forma de cálculo. En la figura 4.12, se indican los dos modelos anotados, para un pórtico plano de dos pisos y dos vanos. El modelo de la izquierda, corresponde a la primera forma de cálculo y el de la derecha a la segunda forma de cálculo. En el pórtico de la izquierda se nota que solo las vigas son axialmente rígidas; en cambio, en el de la derecha todos los elementos son axialmente rígidos.

138


Figura 4.12 Modelos de cálculo para determinar la matriz de rigidez lateral.

4.6.1

Vigas axialmente rígidas

Para este modelo de cálculo, las matrices de rigidez de los elementos: viga y columna, orientados al análisis en el computador, se indicó en el apartado 4.1, razón por la cual se omite el marco teórico y únicamente se presenta un ejemplo de cálculo. 

EJEMPLO 7

Para el pórtico plano indicado en la figura 4.13, cuyas vigas son de 30/30 y las columnas de 30/40. Se desea encontrar la matriz de rigidez lateral, considerando que solo las vigas son axialmente rígidas. A la derecha de la figura 4.14, se indica la numeración de los elementos. Por otra parte, el módulo de elasticidad E = 2173706.5 T/m2 y no se considera nudos rígidos.

Figura 4.13 Geometría del pórtico y numeración de elementos. 

SOLUCIÓN

En la figura 4.14, se indica a la izquierda los grados de libertad del pórtico de la figura 4.13, al considerar que solo las vigas son axialmente rígidas. Se ha numerado primero los corrimientos laterales de piso y luego los restantes grados de libertad, de tal manera que no se aplicará la triangularización de Gauss. A la derecha de la figura 4.14, se presentan las coordenadas laterales de piso. La matriz de rigidez es de 14 por 14; la submatriz Kaa es de 2 por 2, la Kab de 2 por 12; la Kbb es de 12 por 12 y la Kba de 12 por 2. En forma resumida, las operaciones matriciales son:

16026 .30  8013 .15 4477 .64  3558 .07  1 K aa  K ab K bb K ba      8013 .15 8013 .15   3558 .07 5286 .50 


139

Figura 4.14 Grados de libertad, considerando vigas axialmente rígidas y coordenadas laterales.

11548 .66  4455 .08 KL     4455 .08 2726 .65  4.6.2

Vigas y columnas axialmente rígidas

Cuando todos los elementos de un pórtico plano, conformado por vigas y columnas, se consideran axialmente rígidos, se disminuye notablemente el número de grados de libertad y el cálculo es más rápido. Para el caso de que no se considere nudo rígido, las matrices de rigidez, son: 

Elemento viga

Figura 4.15 Coordenadas globales para un elemento viga, axialmente rígido .

k

a  a k '

k =

(4.15)

La ecuación (4.15) se deduce de la ecuación (4.1), eliminando la primera y tercera columna, y, la primera y tercera fila. El sistema de coordenadas asociado con la ecuación (4.15) se indica en la figura 4.15. 

Elemento columna

t  b  t  b'    b a   b k k=  t b t b'     b' a b' k '

(4.16)

Si en la ecuación (4.3), se elimina la segunda y quinta fila, por un lado, y se elimina la segunda y quinta columna, por otro lado, se obtiene la ecuación (4.16) que es la matriz del

140


elemento columna para el sistema de coordenadas globales indicado en la figura 4.16.

Figura 4.16 Coordenadas globales para un elemento columna, axialmente rígido. 

EJEMPLO 8

Con relación al pórtico plano de la figura 4.13. Encontrar la matriz de rigidez lateral, considerando que todos los elementos son axialmente rígidos. 

SOLUCIÓN

En la figura 4.17, a la izquierda se indica los grados de libertad del pórtico, cuando todos los elementos son axialmente rígidos. Existe un corrimiento horizontal en cada piso y una rotación en cada uno de los nudos. A la derecha de la figura 4.17, se muestran las coordenadas laterales para las cuales se determina la matriz de rigidez lateral. 

Matriz de rigidez del elemento viga.

1304 .22 652 .11   652 .11 1304 .22

k = 

Matriz de rigidez del elemento columna.

2671 .05   3338 .81 k=  2671 .05   3338 .81

 3338 .81  2671 .05  3338 .8132   5564 .69 3338 .81 2782 .34  3338 .81 2671 .05 3338 .81   2782 .34 3338 .81 5564 .69 


141

Figura 4.17 Grados de libertad, considerando que todos los elementos son axialmente rígidos y coordenadas laterales.



Vectores de colocación VC, de las vigas.

VC 7  3 4 VC 8  4 5

VC 9  6 7

VC10  7 8 

Vectores de colocación VC, de las columnas.

VC 1  0 0 1 3

VC 2  0 0 1 4 VC 3  0 0 1 5

VC 4  1 3 2 6

VC 5  1 4 2 7 VC 6  1 5 2 8 

Submatrices Kaa, Kab, Kbb

16026 .303  8013 .152  K aa     8013 .152 8013 .152  0 0 0  3338 .813  3338 .813  3338 .813  K ab   3338 .813 3338 .813  3338 .813 3338 .813 3338 .813 3338 .813

K bb

12433 .601  652 .112   0  2782 .344  0   0

  13737 .83 652 .112 0 2782 .344 0  652 .112 10207 .726 0 0 2782 .344   0 0 6868 .913 652 .112 0  2782 .344 0 652 .112 8173 .136 652 .112   0 2782 .344 0 652 .112 6868 .913 652 .112

0

2782 .344

0

0

142




Matriz de rigidez lateral

16026 .30  8013 .15 4516 .582  3509 .309  1 K aa  K ab K bb K ba      8013 .15 8013 .15   3509 .309 5358 .492 

11509 .718  4503 .841 KL     4503 .841 2654 .658  Se han presentado dos modelos para el cálculo de la matriz de rigidez lateral, el primero es más adecuado pero demanda de una mayor cantidad de números. En estructuras esbeltas es necesario considerar la deformación axial en los elementos, si la relación altoancho en planta, es mayor que tres se debe considerar la deformación axial. En el programa klateral se utilizan dos rutinas que no han sido indicadas la una es la que obtiene la matriz de rigidez de elemento, en vigas, denominada kvnr y la otra la que obtiene la matriz de rigidez de elemento, en columnas. En el ensamblaje de la matriz de rigidez que se utiliza en el programa klateral, se trabaja con matrices de 6 x 6 para los elementos pero al considerar que la viga es axialmente rígida, esta matriz es de 4 x 4 razón por la cual se utiliza un artificio en el programa kvnr para que sea de 6 x 6.

Figura 4.18 Significado físico de los elementos de la primera columna de la matriz de rigidez, para el primer modelo de cálculo.

En la figura 4.18 se indica el significado físico de los elementos de la primera columna de la matriz de rigidez lateral, para el primer modelo de cálculo. Se aprecia que son las fuerzas que producen un desplazamiento unitario en el primer piso y nulo en el segundo piso. function [k]=kvnr(b,h,c1,c2,L,E) % % Matriz de rigidez de un elemento viga con nudos rígidos % Se usa para el cálculo de la matriz de rigidez de la estructura % Se la completa a 6X6 con ceros en la primera y cuarta fila. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %-------------------------------------------------------------------% [k]=kvnr(b,h,c1,c2,L,E) %-------------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % c1 longitud del nudo rígido en el nudo inicial. % c2 longitud del nudo rígido en el nudo final.


143

% L: longitud del elemento de borde a borde sin los nudos rígidos % E: modulo de elasticidad del material % beta: factor de forma se considera 1.2 G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L); kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi)); kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L; k=zeros(6,6); k(2,2)=t; k(2,3)=b+c1*t; k(2,5)=-t; k(2,6)=bp+c2*t; k(3,3)=kf+2*c1*b+c1*c1*t; k(3,5)=-(b+c1*t); k(3,6)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t; k(5,5)=t; k(5,6)=-(bp+c2*t); k(6,6)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t; for i=1:5; for j=i+1:6; k(j,i)=k(i,j); end end %fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Viga: \n\n') %for i=1:4 % for j=1:4 % fprintf ('%10.3f', k(i,j)) % end % fprintf('\n') %end %---fin--No se indica la rutina kcnr por que esta se obtiene de la rutina kcolumnanr suprimiendo las instrucciones de impresión.

4.7 USO DE CEINCI-LAB CEINCI-LAB es un sistema de computación, desarrollado por el autor de este libro, mediante el cual se puede realizar el análisis estático y dinámico, de estructuras, utilizando la librería de programas desarrollados en MATLAB, con lo que se facilita al usuario la programación. En la siguiente dirección electrónica se encuentran varias publicaciones de CEINCI-LAB. http://repositorio.espe.edu.ec 

EJEMPLO 9

En la figura 4.19, se presenta a la izquierda, el modelo de una Pila de un Puente, de Hormigón Armado, conformado por una sola columna de 1.0/2.0 m., y dos vigas de 0.8/1.2 m. El módulo de elasticidad del material es E=1800000 T/m2. Para el análisis sísmico se ha concentrado las masas en los nudos, como se aprecia en la parte central de la figura 4.19; se considera que todo el piso se desplaza lo mismo, es decir sus elementos horizontales son axialmente rígidos. A la derecha se muestra el modelo numérico para el análisis sísmico ante la componente horizontal de movimiento del suelo. Se desea encontrar la matriz de rigidez de la estructura que tiene 7 grados de libertad y la matriz de rigidez condensada a la coordenada principal considerando nudos rígidos debido a las dimensiones apreciables de sus elementos estructurales. Resolver manualmente y presentar un programa de computación utilizando la librería de CEINCI-LAB.


144

Figura 4.19 Pila de un Puente y modelo para el análisis sísmico. 

SOLUCIÓN

En la figura 4.20 se presenta el modelo de cálculo con nudos rígidos. La línea de la mitad representan los ejes de cada uno de los elementos y las partes más negreadas los nudos rígidos; se indica los valores de y . La Pila del Puente está empotrada en la cimentación, razón por la cual para determinar el valor de en el nudo inicial se supone que existe una viga de las mismas dimensiones de la viga superior. C2= 1.0 C1= 1.0

LL=

C1= 0

4.00

LL= 4.00

C2= 0

C2= 0.6

3.40

LL=

C1= 0.6

Figura 4.20 Modelo de análisis con nudos rígidos. tiene

La matriz de rigidez de la viga izquierda que se halla con la ecuación (4.5), en la que se es la siguiente:

[

]

A la longitud del elemento se ha denominado luz libre. Para la viga derecha los valores son: Más abajo se indica esta matriz de rigidez. Para la Pila se trabaja con la ecuación matricial indicada en la ecuación (4.5). En este caso los valores son: La matriz que se obtiene es:


[

145

]

No se ha colocado decimales en la matriz de rigidez del elemento 3. La matriz de rigidez de la estructura se halla por ensamblaje directo. Cuando se realiza el ensamblaje a mano es conveniente colocar los vectores de colocación en la parte superior de la matriz de rigidez del elemento y a la derecha. Se deja al lector la realización del ensamblaje y la verificación de los resultados que se indican más adelante. De igual forma la obtención de las sub matrices con las cuales se obtiene la matriz de rigidez condensada, la misma que vale 48659.17 T/m. 

Elemento 1



Elemento 2



Elemento 3



Matriz de rigidez de la estructura

Ahora, se resuelve el problema, utilizando el programa de CEINCI-LAB denominado: krigidez_nudo_rigido que encuentra la matriz de rigidez por ensamblaje directo. Este programa llama al programa kmiembro_nudo_rigido. El usuario debe elaborar su propio programa de ordenador e indicar los datos que requieren los programas que va a utilizar.

146


A continuación se indica el listado del programa que se ha elaborado para calcular la matriz de rigidez lateral de la estructura de la figura 4.19. Los resultados han sido ya presentados. % Programa para calcular matriz de rigidez para análisis sísmico de % % una Pila de un Puente considerando nudos rígidos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2011 %-------------------------------------------------------------ngl=7; % Número de grados de libertad VC=[1 2 3 1 4 5; 1 4 5 1 6 7; 0 0 0 1 4 5]; L=[4.0; 4.0; 3.40]; % Luz Libre cc1=[0; 1; 0.6]; % Nudo rígido Nudo Inicial cc2=[1; 0; 0.6]; % Nudo rígido Nudo Final seno=[0; 0; 1]; coseno=[1; 1; 0]; ELEM=[0.80 1.20; 0.80 1.20; 1.0 2.0]; E=1800000; % Modulo de Elasticidad [SS]=krigidez_nudo_rigido(ngl,ELEM,cc1,cc2,L,seno,coseno,VC,E) Kaa=SS(1,1); Kab=SS(1,2:7); Kbb=SS(2:7,2:7);Kba=Kab'; K=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba % Matriz de rigidez en coordenadas principales %end 

Programa krigidez_nudo_rigido

function [SS]=krigidez_nudo_rigido(ngl,ELEM,cc1,cc2,L,seno,coseno,VC,E) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez de un pórtico plano % o de una Armadura Plana % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2011 %------------------------------------------------------------% [SS]=krigidez_nudo_rigido(ngl,ELEM,cc1,cc2,L,seno,coseno,VC,E) %------------------------------------------------------------% ELEM Matriz que contiene la base y la altura de los elementos % para el caso de pórticos planos. % ELEM Vector que contiene el área de los elementos de armadura % cc1 Vector con longitud del nudo final de cada elemento. % cc2 Vector con longitud del nudo final de cada elemento % L Vector que contiene la luz libre de los elementos % seno Vector que contiene los senos de los elementos % coseno Vector que contiene los cosenos de los elementos % VC Matriz que contiene los vectores de colocación de elementos % E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % ngl Número de grados de libertad % mbr=length(L); SS=zeros(ngl);icod=length(VC(1,:)); for i=1:mbr if icod==4 A=ELEM(i,1); %Area de elemento Lon=L(i);sen=seno(i);cose=coseno(i); [k]=kdiagonal(A,Lon,E,sen,cose);


147

else b=ELEM(i,1);h=ELEM(i,2);Lon=L(i);sen=seno(i);cose=coseno(i); c1=cc1(i); % Longitud de nudo rigido de nudo inicial. c2=cc2(i); % Longitud de nudo rigido de nudo final. [k]=kmiembro_nudo_rigido (b,h,c1,c2,Lon,E,sen,cose); end for j=1:icod jj=VC(i,j); if jj==0 continue end for m=1:icod mm=VC(i,m); if mm==0 continue end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end return %---fin--

Programa kmiembro_nudo_rigido

function [K3]=kmiembro_nudo_rigido(b,h,c1,c2,L,E,seno,coseno) % % Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2011 %------------------------------------------------------------% [K3]=kmiembro_nudo_rigido(b,h,c1,c2,L,E,seno,coseno) %------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % c1: Longitud de nudo rígido del Nudo Inicial. % c2: Longitud de nudo rígido de Nudo Final. % L: longitud del elemento. % E: modulo de elasticidad del material % seno: seno del elemento para pasar de local a global % coseno: coseno del elemento para pasar de local a global G=840000; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L); kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(12*fi))/(L*(1+4*fi)); b=(kf+a)/L; t=2*b/L; r=E*area/L; if seno==0 % caso de viga K3=[0 0 0 0 0 0; 0 t b+c1*t 0 -t b+c2*t; 0 b+c1*t kf+2*c1*b+c1^2*t 0 -(b+c1*t) a+c1*b+c2*b+c1*c2*t; 0 0 0 0 0 0; 0 -t -(b+c1*t) 0 t -(b+c2*t); 0 b+c2*t a+c1*b+c2*b+c1*c2*t 0 -(b+c2*t) kf+2*c2*b+c2^2*t]; else K3=[t 0 -(b+c1*t) -t 0 -(b+c2*t);

148


0 r -(b+c1*t) 0 -t 0 0 -r -(b+c2*t) 0 end return %---fin--

0 kf+2*c1*b+c1^2*t b+c1*t 0 a+c1*b+c2*b+c1*c2*t

0 b+c1*t t 0 b+c2*t

-r 0 0 r 0

0; a+c1*b+c2*b+c1*c2*t; b+c2*t; 0; kf+2*c2*b+c2^2*t];

EJEMPLO 10

Los dos primeros pisos, de la estructura, presentada a la izquierda, de la figura 4.21, son de hormigón armado, compuesto por columnas de 30/80 cm., y vigas de 30/70 cm., con un 2 módulo de elasticidad de 1800000 T/m . El tercer piso es de acero de lamina delgada conformada por 2 perfiles doble “G” de 200/50/10/3 mm. , cuya sección se indica en la parte derecha de la figura 4.21.

Figura 4.21 Estructura mixta de hormigón y acero.

Figura 4.22 Modelo de análisis sísmico y grados de libertad.


149

Para el análisis sísmico las masas se han concentrado en los nudos y se ha considerado que las vigas son axialmente rígidas. Se pide realizar un programa de computación, utilizando la librería de programas de CEINCI-LAB y presentar la matriz de rigidez asociada a las coordenadas laterales de piso. 

SOLUCIÓN

El momento de inercia de las dos vigas de acero doble “G” es ; y el área es . Como se va a trabajar en T. y m.; la inercia y área anotados se debe transformar a y , respectivamente: El módulo de elasticidad del acero . % Programa para realizar el análisis sísmico de estructura % con dos pisos de hormigón armado y tercer piso de acero. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Mayo de 2011 %-------------------------------------------------------------ngl=15; % Número de grados de libertad %--------------Hormigón Armado----------------------VCH=[0 0 0 1 4 5; 0 0 0 1 6 7; 1 4 5 2 8 9; 1 6 7 2 10 11; 1 4 5 1 6 7; 2 8 9 2 10 11]; LH=[2.9; 2.9; 2.9; 2.9; 5.7; 5.7]; senoH=[1; 1; 1; 1; 0; 0]; cosenoH=[0; 0; 0; 0; 1; 1]; ELEMH=[0.3 0.8;0.3 0.8;0.3 0.8;0.3 0.8;0.3 0.7;0.3 0.7]; EH=1800000; % Modulo de elasticidad del Hormigón [SH]=krigidez(ngl,ELEMH,LH,senoH,cosenoH,VCH,EH);% K elemen. Hormigón %--------------Acero--------------------------------------VCA=[2 8 9 3 12 13; 2 10 11 3 14 15;3 12 13 3 14 15]; LA=[2.9; 2.9; 5.7]; senoA=[1; 1; 0]; cosenoA=[0; 0; 1];A=0.001801; Ix=0.0000097468; ELEMA=[A Ix; A Ix; A Ix]; EA=21000000; % Modulo de elasticidad del Acero [SA]=krigidez_acero(ngl,ELEMA,LA,senoA,cosenoA,VCA,EA); % K Acero %-----------------------------------------------------------S=SH+SA; % Matriz de rigidez Acero y Hormigón Kaa=S(1:3,1:3); Kab=S(1:3,4:15); Kbb=S(4:15,4:15);Kba=Kab'; K=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba % Matriz de rigidez en coordenadas principales %end La matriz de rigidez, asociada a las coordenadas principales, indicadas a la derecha de la figura 4.22, es. [ 

]

Programa krigidez

function [SS]=krigidez(ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez de un pórtico plano % O de una Armadura Plana % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE

150


% Octubre de 2009 Primera Versión % Noviembre de 2009 Segunda Versión (Se incorpora armadura) %------------------------------------------------------------% ELEM Matriz que contiene la base y la altura de los elementos % para el caso de pórticos planos. % ELEM Vector que contiene el área de los elementos de armadura % L Vector que contiene la longitud de los elementos % seno Vector que contiene los senos de los elementos % coseno Vector que contiene los cosenos de los elementos % VC Matriz que contiene los vectores de colocación de elementos % E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % ngl Número de grados de libertad % mbr=length(L); SS=zeros(ngl);icod=length(VC(1,:)); for i=1:mbr if icod==4 A=ELEM(i,1); %Area de elemento Lon=L(i);sen=seno(i);cose=coseno(i); [k]=kdiagonal(A,Lon,E,sen,cose); else b=ELEM(i,1);h=ELEM(i,2);Lon=L(i);sen=seno(i);cose=coseno(i); [k]=kmiembro(b,h,Lon,E,sen,cose); end for j=1:icod jj=VC(i,j); if jj==0 continue end for m=1:icod mm=VC(i,m); if mm==0 continue end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end return %---fin--

Programa kmiembro

function [K3]=kmiembro(b,h,L,E,seno,coseno) % % Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Octubre de 2009 %------------------------------------------------------------% [K3]=kmiembro(b,h,L,E,seno,coseno) %------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % L: longitud del elemento. % E: modulo de elasticidad del material


151

% seno: seno del elemento para pasar de local a global % coseno: coseno del elemento para pasar de local a global G=840000; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L); kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(12*fi))/(L*(1+4*fi)); kpf=kf; r=E*area/L; K1=[kf a 0; a kpf 0; 0 0 r];% Matriz de rigidez en sistema uno T12=[0 1/L 1 0 -1/L 0;% Matriz de paso de sistema 1 a sistema 2 0 1/L 0 0 -1/L 1;% Sistema 2 son coordenadas locales -1 0 0 1 0 0]; K2=T12'*K1*T12;% Matriz de rigidez en coordenadas locales T23=zeros(6,6);T23(1,1)=coseno;T23(2,2)=coseno;T23(3,3)=1;T23(4,4)=cos eno; T23(5,5)=coseno;T23(6,6)=1;T23(2,1)=-seno;T23(1,2)=seno;T23(5,4)=seno;T23(4,5)=seno; K3=T23'*K2*T23; return %---fin--

Programa krigidez_acero

function [SS]=krigidez_acero(ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E) % % Programa para encontrar la contribución de vigas de acero % a la matriz de rigidez. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Enero de 2010 %------------------------------------------------------------% [SS]=krigidez_acero(ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E) %------------------------------------------------------------% ELEM Matriz que contiene el área e inercia de los elementos % L Vector que contiene la longitud de los elementos % seno Vector que contiene los senos de los elementos % coseno Vector que contiene los cosenos de los elementos % VC Matriz que contiene los vectores de colocación de elementos % E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % ngl Número de grados de libertad % mbr=length(ELEM(:,1)) SS=zeros(ngl); for i=1:mbr area=ELEM(i,1);iner=ELEM(i,2);Lon=L(i);sen=seno(i);cose=coseno(i); [k]=kmiembro_acero(area,iner,Lon,E,sen,cose); for j=1:6 jj=VC(i,j); if jj==0 continue end for m=1:6 mm=VC(i,m); if mm==0 continue

152


end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end return %---fin--

Programa kmiembro_acero

function [K3]=kmiembro_acero(area,inercia,L,E,seno,coseno) % % Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales % son datos el ares y la inercia del elemento % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Enero de 2010 %------------------------------------------------------------% [K3]=kmiembro(area,iner,L,E,seno,coseno) %------------------------------------------------------------% area: area de la seccion transversal. % iner: inercia de la seccion transversal. % L: longitud del elemento. % E: modulo de elasticidad del material % seno: seno del elemento para pasar de local a global % coseno: coseno del elemento para pasar de local a global G=0.4*E; beta=1.2; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L); kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(12*fi))/(L*(1+4*fi)); kpf=kf; r=E*area/L; K1=[kf a 0; a kpf 0; 0 0 r];% Matriz de rigidez en sistema uno T12=[0 1/L 1 0 -1/L 0;% Matriz de paso de sistema 1 a sistema 2 0 1/L 0 0 -1/L 1;% Sistema 2 son coordenadas locales -1 0 0 1 0 0]; K2=T12'*K1*T12;% Matriz de rigidez en coordenadas locales T23=zeros(6,6);T23(1,1)=coseno;T23(2,2)=coseno;T23(3,3)=1;T23(4,4)=cos eno; T23(5,5)=coseno;T23(6,6)=1;T23(2,1)=-seno;T23(1,2)=seno;T23(5,4)=seno;T23(4,5)=seno; K3=T23'*K2*T23; return %---fin--Se ha trabajado con un modelo aproximado para el acero ya que se ha considerado los giros, se deja al lector calcular con otro modelo que no considere los giros en el tercer piso; la matriz de rigidez va a cambiar muy poco.

4.8 PROGRAMA rlaxinfi El programa reporta la matriz de rigidez lateral en pórticos planos de hormigón armado y que sean completamente regulares en elevación. La matriz de rigidez lateral se graba en consola con el nombre de KL para que se pueda utilizar en otros cálculos. La forma de uso del programa es: [KL] = rlaxinfi (Nombre)




153

Nombre. Es el nombre del archivo que contiene la base y la altura de la sección transversal y la longitud de los elementos.

function[KL]=rlaxinfi(nombre) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un pórtico plano % considerando que todos los elementos son axialmente rigidos. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [KL]=rlaxinfi(nombre) %------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas % VC Vector de colocacion %E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % long: longitud del elemento. % nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud % de cada uno de los elementos. % nod=input('\n Numero de nudos:'); np=input(' Numero de pisos:'); nr=input(' Numero de nudos restringidos:'); E=input(' Modulo de elasticidad:'); % Coordenadas Generalizadas CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr; for i=1:np ngl=ngl+1; for j=1:nr k=k+1; CG(k,1)=ngl; end end for i=1:nod-nr ngl=ngl+1; k=nr+i; CG(k,2)=ngl; end ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol; ici=0;icf=nr; for i=1:ncol ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf; end ii=ncol; for j=1:np ici=j*nr; for i=1:nr-1 ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1; end end % Arreglo VC. Vectores de colocacion for i=1:mbr for k=1:2 VC(i,k)= CG(ini(i),k); VC(i,k+2) = CG(fin(i),k);

154


end end % Matriz de rigidez de miembro y de la estructura for i=1:mbr B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end % Calculo de la matriz de rigidez de la estructura fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1'); icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :'); SS=zeros(ngl,ngl); for i=1:mbr b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner; if i<=ncol if icod==1 iner=0.8*iner;ei=E*iner; end k(1,1)=12*ei/long^3;k(1,2)=-6*ei/long^2;k(1,3)=-k(1,1);k(1,4)=k(1,2); k(2,1)=k(1,2);k(2,2)=4*ei/long;k(2,3)=-k(1,2);k(2,4)=2*ei/long; k(3,1)=k(1,3);k(3,2)=k(2,3);k(3,3)=k(1,1);k(3,4)=6*ei/long^2; k(4,1)=k(1,4);k(4,2)=k(2,4);k(4,3)=k(3,4);k(4,4)=k(2,2); else if icod==1 iner=0.5*iner;ei=E*iner; end k=zeros(4,4);k(2,2)=4*ei/long;k(2,4)=2*ei/long;k(4,2)=k(2,4);k(4,4)=k(2,2); end for j=1:4 jj=VC(i,j); if jj==0 continue end for m=1:4 mm=VC(i,m); if mm==0 continue end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end % Matriz de rigidez lateral na=np;nb=ngl-np; Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl); KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba; fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :'); %---fin---



EJEMPLO 11

Encontrar la matriz de rigidez lateral del pórtico plano de la figura 4.23, de dos maneras, a saber: i) con inercias gruesas; ii) con inercias agrietadas de acuerdo a lo estipulado por el NEC-11. Para los dos casos E = 2100000. Presentar el archivo de datos y la forma de uso del programa rlaxinfi


155

Figura 4.23 Geometría de pórtico de ejemplo.



SOLUCIÓN

El programa rlaxinfi encuentra la matriz de rigidez lateral de estructuras regulares en elevación. Por lo tanto, en principio no se puede obtener la matriz de rigidez lateral de la estructura de la figura 4.23; se la debe hacer regular y para ello se crean dos elementos ficticios que tienen dimensiones muy bajas (casi cero). En la figura 4.24 se presenta con líneas entrecortadas los elementos ficticios; la numeración de nudos y elementos que considera el programa rlaxinfi.

Figura 4.24 Forma como numera los nudos y elementos el programa rlaxinfi. El archivo de datos que contiene las dimensiones de las secciones y la longitud de los elementos se ha denominado casa y contiene la siguiente información.

156


>> casa=[0.4 0.4 3.0; 0.4 0.4 3.0; 0.4 0.4 3.0; 0.4 0.4 3.0; 0.4 0 .4 3.0; 0.0001 0.0001 3.0; 0.3 0.3 4.0; 0.3 0.3 4.0; 0.3 0.3 4.0; 0.0001 0.0001 4.0] >> load c:\casa >> [KL]=rlaxinfi(casa) Número de nudos: 9 Número de pisos: 2 Número de nudos restringidos: 3 Módulo de Elasticidad: 2100000 Cálculo con Inercias Gruesas, Código = 0. Con Inercias Agrietadas, Código = 1 Ingrese Código de Inercias=0 PROGRAMA REPORTA

6405 .4 KL    2047 .3

 2047 .3 1257 .2 

Al calcular con Inercias Agrietadas, se halla:

4804 .2 KL    1487 .0

 1487 .0 831 .4 

El NEC-11 contempla las siguientes inercias agrietadas: I V  0.5 I g ; I C  0.8 I g . Donde I g es la inercia gruesa.

4.9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO MAMPOSTERÍA En el Ecuador se construyen las columnas dejando unos chicotes, que son hierros de 8 mm de diámetro que sobresalen de la columna unos 40 o 50 cm.; cada 30 o 40 cm., de alto. Posteriormente se coloca la mampostería y los chicotes quedan en la mitad del mortero horizontal utilizado para pegar la mampostería. También se acostumbra primero construir la mampostería dejando entrantes y salientes en el sitio donde van las columnas de hormigón armado, de esta manera la pared se convierte en encofrado ya que cuando se vierte el hormigón, una parte va a la mampostería. En los dos casos la mampostería se está acoplando a la estructura y es fundamental considerarla en el análisis, no hacerlo puede ser peligroso en estructuras que tienen una mala distribución de las paredes (no colocadas en forma simétrica). En la parte superior izquierda de la figura de 4.25, se presenta un pórtico con mampostería acoplada a las columnas; en la parte superior derecha se aprecia el ancho equivalente a del puntal equivalente con que se modela la mampostería que trabaja a


157

compresión. En la parte inferior izquierda de la figura 4.25, se aprecia el modelo del puntal equivalente que tiene un módulo de elasticidad y una sección transversal Finalmente se presenta el sistema de coordenadas globales para la diagonal equivalente.

4 3

Em

P-p

Am 2 1

Figura 4.25 Modelo de la diagonal equivalente. La matriz de rigidez de la diagonal equivalente en coordenadas globales, es la siguiente.

cos2   E m . Am cos sin  K L  cos2    cos sin 

cos sin 

 cos2 

sin 2 

 cos sin 

 cos sin   sin 2 

cos2  cos sin 

 cos sin     sin 2   cos sin    2 sin  

Am  a.t Donde

es el ancho del modelo del puntal equivalente;

(4.17) es el ancho de la

mampostería. En Aguiar (2008) se presentan los siguientes modelos para definir el ancho equivalente: Holmes (1961); Mainstone (1971); Bazan y Meli (1980); Hendry (1981); Liauw y Kwan (1984), Decanini y Fantin (1986); Paulay y Priestley (1992); FEMA (1997); Crisafulli (1997). En Carrillo (2008) se encuentran descritos los modelos indicados. Una vez definido la matriz de rigidez de la mampostería, por medio del modelo de la diagonal equivalente se encuentra la matriz de rigidez de la estructura por ensamblaje directo y luego se aplica la condensación estática para hallar la matriz de rigidez lateral del pórtico, considerando la mampostería.

158


Para hallar la contribución de la diagonal equivalente, en la matriz de rigidez de la estructura, se debe tener en cuenta que el vector de colocación tiene cuatro elementos y corresponden a los grados de libertad horizontal y vertical del nudo inicial y final, como se aprecia en la última gráfica de la figura 4.25. Se destaca que la diagonal se pudo haber colocado en el otro sentido debido a que el sismo es reversible.



EJEMPLO 12

Determinar la matriz de rigidez lateral, del pórtico indicado en la figura 4.26, incorporando la mampostería en el análisis. La resistencia a la compresión del hormigón utilizado es f c'  210 kg / cm 2 y de la mampostería f m'  35 kg / cm 2 . Calcular el módulo de elasticidad del hormigón con la siguiente expresión: E  12000

f c' y el módulo de elasticidad

de la mampostería Em  500 f m' . El espesor de la pared es t  0.15 m. Considerar en el modelo numérico que las columnas y las vigas son axialmente rígidas. Se pide: 1.- Detallar el cálculo para el Modelo de la Norma del Perú E 070. 2.- Comparar los resultados obtenidos con los diferentes modelos.

Figura 4.26 Descripción de la estructura de ejemplo 12.



SOLUCIÓN

En la figura 4.27, a la izquierda se han numerado los elementos, en la forma como hay que hacerlo para utilizar el programa rlaxinfimamposteria, primero se han numerado las columnas, luego la viga y finalmente la diagonal equivalente de la mampostería. En el centro de la figura 4.27 se tienen los grados de libertad considerados cuando las vigas y columnas son axialmente rígidas y a la derecha se aprecia el pórtico con la coordenada lateral, cuya matriz se va a calcular. Las matrices de rigidez de los elementos, columna, viga y mampostería, son: 

Elemento Columna (igual para elementos 1 y 2) Obtenido con inercias gruesas y con L=2.80 m.

 185.6642  259.9298 K   185.6642   259.9298

485.2023 259.9298

185.6642

242.6012

259.9298

     485.2023


Numeración de elementos



Grados de libertad Coordenada Lateral Figura 4.27 Modelo numérico de cálculo.

Elemento Viga Obtenido con L=3.50 m.

198.7389 K  99.3694 

 198.7389

Elemento Diagonal Equivalente

L

3.252  2.70 2

 4.2252

L 4.2252   1.0563 m. 4 4 Am  a t  1.0563  0.15  0.1584 m 2

a

E m Am 175000  0.1584   6562 .50 L 4.2252 3.25 2.70 Cos   0.7692 Sen   0.6390 4.2252 4.2252  3882.8  3225.5 2679.6 K   3882.8  3225.5   3225.5  2679.6 

     2679.6

3882.8 3225.5

Vectores de colocación

VC (1)  0

0

1

2

 0

0

1

3

VC (3)  2

3

VC ( 4)  0

0

1

0

VC

( 2)

159

160 


Matriz de rigidez completa

4254.1 K  259.9 259.9 

683.9 99.4

259.9  99.4  683.9

Submatrices

K AA  4254.1 

259.9

K AB  259.9

259.9

t K BA  K AB

683.9 K BB   99.4

99.4 683.9

Matriz de rigidez lateral

K L  4081.6 En la figura 4.28 se presenta, los valores de la matriz de rigidez lateral que se halla, con nueve modelos, para encontrar el ancho del puntal equivalente, se deja al lector que saque sus propias conclusiones con los diferentes resultados.

Rigidez Lateral del Pórtico [Tn/m]

6000 1. Holmes (1961) 5000

2. Mainstone (1971) 3. Bazan (1980)

4000

4. Hendry (1981) 5. Liauw y Kw an (1984)

3000

6. Decanini y Fantin (1986) 7. Paulay y Priestley (1992)

2000

8. FEMA (1997) 9. Crisafulli (1997)

1000

Valor Medio 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Modelo Matemático Figura 4.28 Matriz de rigidez lateral encontrada con nueve modelos.

4.10 PROGRAMA rlaxinfimamposteria La forma de uso del programa rlaxinfimamposteria es muy similar al del programa rlaxinfi. Debido a que se debe crear un archivo de datos con la siguiente información:  

Base, altura y longitud de todas las columnas y de todas las vigas. En este orden. Se debe indicar el nudo inicial, el nudo final y la longitud de la diagonal equivalente.

Por pantalla, se suministra información complementaria como el número de nudos, número de pisos, módulos de elasticidad del hormigón y de la mampostería, etc.


161

El ancho de la diagonal equivalente se halla con el modelo de Paulay y Priestley (1992) que ha sido acogido por la norma de Albañilería del Perú E 070. function[KL]=rlaxinfimamposteria(nombre) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un pórtico plano % considerando que todos los elementos son axialmente rigidos. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Incorporación de Mampostería en Noviembre de 2007 % %------------------------------------------------------------% [KL]=rlaxinfimamposteria(nombre) %------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas % VC Vector de colocacion %E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % long: longitud del elemento. % t: espesor de la mampostería % nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud % de cada uno de los elementos. El nombre debe tener extensión .tex. % Esto para columnas y vigas. Después para la mampostería se debe % indicar el nudo inicial, el final y la longitud de la diagonal. % % Se considera el modelo de la Norma de Perú para el ancho % equivalente de la mampostería. % nod=input('\n Numero de nudos:'); np=input(' Numero de pisos:'); nr=input(' Numero de nudos restringidos:'); nd=input(' Numero de diagonales de mamposteria:'); E=input(' Modulo de elasticidad de Hormigon (T/m2):'); Em=input(' Modulo de elasticidad de Mamposteria (T/m2):'); t=input(' Espesor de la Mamposteria (m):'); % Coordenadas Generalizadas CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr; for i=1:np ngl=ngl+1; for j=1:nr k=k+1; CG(k,1)=ngl; end end for i=1:nod-nr ngl=ngl+1; k=nr+i; CG(k,2)=ngl; end ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol; ici=0;icf=nr; for i=1:ncol ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf; end ii=ncol; for j=1:np

162


ici=j*nr; for i=1:nr-1 ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1; end end % Lectura de datos % for i=1:mbr B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end for i=mbr+1:mbr+nd; ini(i)=nombre(i,1);fin(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end % % Arreglo VC. Vectores de colocacion for i=1:mbr for k=1:2 VC(i,k)= CG(ini(i),k); VC(i,k+2) = CG(fin(i),k); end end for i=mbr+1:mbr+nd; VC(i,1)=CG(ini(i),1); VC(i,2)=0; VC(i,4)=0; VC(i,3)=CG(fin(i),1); end % Matriz de rigidez de miembro y de la estructura fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1'); icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :'); SS=zeros(ngl,ngl); for i=1:mbr+nd if i<=mbr b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner; end long=L(i); if i<=ncol if icod==1 iner=0.8*iner;ei=E*iner; end k(1,1)=12*ei/long^3;k(1,2)=-6*ei/long^2;k(1,3)=-k(1,1);k(1,4)=k(1,2); k(2,1)=k(1,2);k(2,2)=4*ei/long;k(2,3)=-k(1,2);k(2,4)=2*ei/long; k(3,1)=k(1,3);k(3,2)=k(2,3);k(3,3)=k(1,1);k(3,4)=6*ei/long^2; k(4,1)=k(1,4);k(4,2)=k(2,4);k(4,3)=k(3,4);k(4,4)=k(2,2); elseif i>ncol & i <=mbr if icod==1 iner=0.5*iner;ei=E*iner; end k=zeros(4,4);k(2,2)=4*ei/long;k(2,4)=2*ei/long;k(4,2)=k(2,4);k(4,4)=k(2,2); else fprintf ('\n Para diagonal equivalente'); i dx=input('\n ingrese la distancia horizontal de mamposteria:'); area=(long/4)*t; rig=Em*area/long; C=dx/long; k=zeros(4,4);k(1,1)=rig*C*C; k(3,3)=k(1,1); k(1,3)=-k(1,1); k(3,1)=k(1,3); end for j=1:4 jj=VC(i,j); if jj==0


163

continue end for m=1:4 mm=VC(i,m); if mm==0 continue end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end % Matriz de rigidez lateral na=np;nb=ngl-np; Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl); KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba; fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :'); save c:\KL %---fin---



EJEMPLO 13

Presentar el archivo de datos, para hallar la matriz de rigidez lateral del pórtico, presentado a la izquierda de la figura 4.29. Todas las vigas y columnas son de 30/40 cm., el 2 ancho de la pared es de 20 cm. El módulo de elasticidad del hormigón es 1500000 T/m y el 2 módulo de elasticidad de la mampostería es 100000 T/m . Ilustrar la forma de uso del programa rlaxinfimamposteria

Figura 4.29 Estructura con mampostería acoplada y numeración de nudos y elementos



SOLUCIÓN

>> casa_mamposteria=[.3 .4 3.2;.3 .4 3.2;.3 .4 3.2;.3 .4 3.2;.3 .4 5;.3 .4 5;1 4 5.49;3 6 5.38] casa_mamposteria = 0.3000

0.4000

3.2000

164


0.3000 0.4000 3.2000 0.3000 0.4000 3.2000 0.3000 0.4000 3.2000 0.3000 0.4000 5.0000 0.3000 0.4000 5.0000 1.0000 4.0000 5.4900 3.0000 6.0000 5.3800 >> [KL]=rlaxinfimamposteria(casa_mamposteria) Numero de nudos:6 Numero de pisos:2 Numero de nudos restringuidos:2 Numero de diagonales de mamposteria:2 Modulo de elasticidad de Hormigón (T/m2):1500000 Modulo de elasticidad de Mampostería (T/m2):100000 Espesor de la Mampostería (m):.20 Calcula con: Inercias gruesas, código=0. Con inercias agrietadas, código=1 Ingrese código de inercias :0 Para diagonal equivalente i= 7 Ingrese la distancia horizontal de mampostería: 4.6 Para diagonal equivalente i=8 Ingrese la distancia horizontal de mampostería: 4.6 Con el último dato se halla el Cos dividiendo este valor para la longitud de la diagonal equivalente; con esto se halla la matriz de rigidez en coordenadas globales. *

+

REFERENCIAS 1. Aguiar R., (2004), Análisis Matricial de Estructuras, Centro de Investigaciones Científicas. Politécnica del Ejército. Segunda edición, 550 p., Quito. 2. Bazán E., and Meli R., (1980), “Seismic analysis of structures with masonry walls”, Proceedings of the Seventh World Conference on Earthquake Engineering, Vol. 5, 633640, Istanbul, Turkey. 3. Carrillo C., (2008), Comparación de la respuesta sísmica incorporando y desacoplando la mampostería y técnicas de reforzamiento, Tesis de Pregrado en Ing. Civil. Politécnica del Ejército, 200 p., Quito. 4. Crisafulli F., (1997), Seismic behaviour of reinforced concrete structures with masonry infills, A thesis submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy in Civil Engineering, University of Canterbury, 404 p., Christchurch, New Zealand. 5. Decanini L., y Fantin G., (1986), “Modelos simplificados de la mampostería incluida en pórticos. Carácteristicas de rigidez y resistencia lateral en estado limite” Jornadas Argentinas de Ingeniería Estructural, Vol 2, 817-836, Buenos Aires, Argentina. 6. Holmes M., (1961), “Steel frames with brickwork and concrete infilling”, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Vol. 19, 473-478. 7. Liauw T., and Kwan K., (1984), “Nonlinear behaviour of non-integral infilled frames”, Computers & Structures, 18 (3), 551-560. 8. Mainstone R., (1971), “On the stiffnesses and strengths of infilled frames”, Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Supplement IV, 57-90. 9. Paulay T., and Priestley M., (1992), Seismic design of reinforced concrete and masonry buildings, John Wiley & Sons Inc, 744 p.


165

CAPÍTULO 5

MATRIZ DE MASAS RESUMEN Se presenta el marco teórico para el cálculo de la matriz de masas, orientado al análisis sísmico de estructuras, en el plano y en el espacio. Se inicia el capítulo calculando la energía cinética de las estructuras y de este cálculo se encuentra la matriz de masas. Por la importancia del tema se obtiene la matriz de masas en dos sistemas de coordenadas diferentes y se ve la relación que existe entre estas dos matrices, empleando la matriz de transformación de coordenadas. Posteriormente se presentan reglas prácticas de cómo obtener la matriz de masas para el análisis plano considerando piso rígido y considerando piso flexible. Por considerarlo didáctico se presenta el cálculo de la matriz de masas para una estructura en forma de péndulo invertido considerando la interacción suelo estructura. Luego se generaliza este estudio al análisis de la interacción suelo estructura en pórticos planos, modelando el conjunto suelo-cimentación con resortes; se determina también la matriz de rigidez y la matriz de amortiguamiento, a pesar de que en un capítulo posterior se verá el cálculo de la matriz de amortiguamiento. Luego se presenta el cálculo de la matriz de masas, rigidez y amortiguamiento de un pórtico plano con aisladores de base elastoméricos por dos motivos, el primero que el lector incursione en esta forma de diseño de estructuras con sistemas de control pasivo y el segundo que vea la gran similitud que existe con el marco teórico de interacción suelo estructura, debido a que el suelo trabaja como un aislador de base natural con poco amortiguamiento. Posteriormente se presenta una regla práctica para hallar la matriz de masas para el análisis espacial considerando tres grados de libertad por planta que son: dos desplazamientos horizontales y un giro de torsión con relación a un eje perpendicular a la losa; se indica también el cálculo de la matriz de rigidez en coordenadas de piso y el uso del programa matriz_es que sirve para hallar la matriz de rigidez en estructuras cuyo centro puede ser colineal o no. Finalmente, se encuentra la matriz de masas en una estructura de acero de lámina delgada la misma que ha sido modelada con masas puntuales. En cada una de las masas se consideran tres grados de libertad y son los desplazamientos horizontales y el desplazamiento vertical, se da recomendaciones de cómo construir estructuras de lámina delgada para cubrir grandes luces y que sean seguras sísmicamente en sentido longitudinal, que es el crítico.

166


5.1

ENERGÍA CINÉTICA

La energía cinética de una estructura T es igual a la energía cinética de traslación más la energía cinética de rotación.

T Donde

1 1 .2 m v2  J  2 2

(5.1)

m es la masa, v es la velocidad lineal de traslación, J es el momento de .

inercia de la masa y  es la velocidad angular. Tanto la velocidad lineal como la angular deben evaluarse en el Centro de Masa, que es el lugar geométrico donde se supone está concentrado el peso. Meriam y Kraige (1997)



EJEMPLO 1

Calcular la energía cinética de la estructura mostrada en la figura 5.1, en la cual se ha concentrado la masa en los nudos; se desprecia el momento de inercia de las masas , de las masas. Las columnas no pueden deformarse axialmente.

Figura 5.1 Pórtico plano con masas puntuales en los nudos. 

SOLUCIÓN

Por ser las columnas axialmente rígidas, no existe desplazamiento vertical en los nudos. Se recuerda que un elemento , es totalmente flexible. Por lo tanto, el sistema tiene cuatro grados de libertad, que son los corrimientos horizontales y rotación de los nudos. Ahora, como se desprecia la inercia rotacional de las masas, las coordenadas principales, serán los desplazamientos horizontales y las coordenadas secundarias, serán los giros. A las coordenadas principales se las identifica con la letra y a las coordenadas secundarias con la letra , como se aprecia a la izquierda de la figura 5.2. A la derecha de la mencionada figura, únicamente se colocan las coordenadas principales, debido a que la solución dinámica se realiza para las coordenadas principales. En la deformada, que se presenta a la izquierda de la figura 5.2, se recuerda que en los nudos se cumple que la rotación de la columna es igual a la rotación de la viga. De igual manera que en el empotramiento no hay giros ni desplazamientos. La energía cinética T será igual a:


167

. 2 . 2 . 2  1 1 1 .2 T  m1 q 1  m2 q 2  m1 q 1  m2 q 2  2 2 2 

.

.

q 1 la velocidad de traslación horizontal de la masa m1 y q 2 la velocidad de traslación horizontal de la masa m 2 . Siendo

Figura 5.2 Coordenadas principales

y secundarias .

5.2 REGLA DE CÁLCULO DE LA MATRIZ DE MASAS Para sistemas de varios grados de libertad, la energía cinética se puede escribir en forma matricial de la siguiente manera:

T  ̇

(5.2) ̇

Donde ̇ es el vector de velocidades y M es la matriz de masas, que es simétrica, con respecto a la diagonal principal. Además todos los elementos de la diagonal son positivos. Para deducir la regla práctica, de cálculo de la matriz de masas M , y, para no alargar la exposición se considera un sistema de dos grados de libertad. En consecuencia, se tendrá:

.  q q  .1   q 2 

m11 M  m21

.

m12  m22 

.

Al reemplazar el vector q y la matriz de masas M en la ecuación (5.2) y teniendo presente que

m21  m12 se tiene: 1. T  q 1 2 T

 q2   .

1 m11 q 1  m21 q 2 2  .

.

m11 m  21

m12  m22 

.  q 1  .  q 2 

.   q1 m12 q 1  m22 q 2   .   q   2  .

.

168


. 2 . . . 2 1 T  m11 q 1  2 m12 q 1 q 2  m22 q 2  2 

Luego, la regla práctica para encontrar la matriz de masas, es la siguiente:

1 . 2

i.

Encontrar la energía cinética de la estructura y sacar factor común

ii.

Los elementos de la diagonal principal son los coeficientes de q i .

iii.

Los elementos que están fuera de la diagonal, son simétricos y por ejemplo, para el

. 2

término,

mij vale

1 . . qi q j . 2

Al aplicar la regla indicada a la estructura indicada en la figura 5.1, que se encontró la energía cinética en el apartado anterior se tiene que la matriz de masas es:

m1 0

M

0 m 2 

5.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA Para facilitar el cálculo de la energía cinética T de una estructura, se recomienda el siguiente procedimiento: i. ii. iii. iv. v.

Seleccionar las coordenadas principales de la estructura. Encontrar los desplazamientos y giros en el centro de masas. Hallar el diagrama de distribución de velocidades. Calcular la Energía Cinética y sacar factor común 1 / 2 . Aplicar la regla vista en el apartado anterior para hallar los elementos de la matriz de Masas.

vi.

Figura 5.3 Pórtico plano con piso rígido.




169

EJEMPLO 2

Encontrar la matriz de masas para la estructura de la figura 5.3; las masas se encuentran distribuidas en todo el piso, el mismo que se considera totalmente rígido. Adicionalmente dos columnas son axialmente rígidas. (Lamar, 1981). 

SOLUCIÓN

La estructura tiene 4 grados de libertad, se recuerda que los elementos A   disminuyen un grado de libertad y que los elementos I   disminuyen dos grados de libertad. Luego el número de grados de libertad es igual a 4 * 3  4 *1  2 * 2  4 . Los nudos interiores tienen tres grados de libertad, de ahí el primer producto. Aguiar (2004). En la figura 5.4 se indica el sistema de coordenadas generalizadas, para el ejemplo, son todas coordenadas principales. Se destaca que las coordenadas principales son aquellas que se necesitan para definir la posición de las masas.

Figura 5.4 Grados de libertad de estructura analizada. El centro de masas se halla en L / 2 debido a que el elemento es de sección constante y la masa está uniforme distribuida. Por lo tanto, se debe hallar los desplazamientos y giros en L / 2 , para el efecto es conveniente dibujar cada una de las deformadas elementales, por separado e ir encontrando los desplazamientos y giros en el Centro de Masas, C.M. Luego, se aplica el principio de superposición, que no es más que sumar los resultados parciales en el C.M. En la figura 5.5, a la izquierda, se presentan los desplazamientos y giros en el C.M. El diagrama de distribución de velocidades, son estos desplazamientos y giros pero con velocidades, este diagrama se indica a la derecha de la figura 5.5. En el diagrama de velocidades, del segundo piso, se ha sumado las dos velocidades verticales. El momento de inercia de un elemento de longitud L y con masa uniforme distribuida es:

J

m L2 12

(5.3)

170


Donde es el momento de inercia de la masa

;

es la longitud del elemento.

Figura 5.5 Desplazamientos y giros en centro de masa y diagrama de distribución de velocidades. Una vez que se tiene el diagrama de distribución de velocidades se evalúa la energía cinética. .    . 1   . 2  q2 L q 4 T  m1 q 3    2 2  2   

   

2

 2  m1 L   12 

. . q4   q 2  L 

   

2

    

2   2 .    2 2 . 1   q 2 L   m2 L .   q2  m 2 q 1   2  12  2          

El primer término corresponde a la energía cinética de traslación y el segundo a la energía cinética de rotación, tanto para la masa del segundo piso como para la masa del primer piso. Así mismo, se aprecia que se ha calculado la velocidad lineal resultante, cuando se tienen dos componentes de velocidad. Luego de algunas simplificaciones y agrupar términos, se tiene:

T

1  . 2  m1 L2 m2 L2  m2 q 1   2  3 3 

. 2 .2 m . 2 2 m1 L . .   q 2  m1 q 3  1 q 4  q2 q4  3 6  

Al aplicar la regla indicada en el apartado anterior, se tiene:


m11  m2

171

m34  m43  0

m1 L2 m2 L2  3 3 m33  m1 m22 

m1 3 mL  1 6

m23  m32  0 m14  m41  0

m44 

m12  m21  0

m24

m13  m31  0

Se escribe solo la matriz triangular inferior, debido a que la matriz de masas es simétrica.

m2  0  M 0   0 

m1 L2 m2 L2  3 3 0 m1 L 6

m1 0

m1 3

        

5.4 MATRIZ DE PASO En la figura 5.6 se tiene a la izquierda un pórtico cuyo piso es totalmente rígido y las columnas totalmente flexibles; la masa está repartida en toda la longitud del elemento horizontal, luego el momento de inercia de la masa , se considera en el cálculo.

Figura 5.6 Dos sistemas de coordenadas principales. La estructura tiene tres grados de libertad, en la parte central, de la figura 5.6, se ha indicado una opción de la ubicación de los grados de libertad y en el extremo derecho, de la misma figura, se tiene otra opción. Como son dos sistemas diferentes de coordenadas, se ha 



denominado sistemas Q  q y Q  q , siguiendo la nomenclatura del libro “Análisis Matricial de Estructuras”, Aguiar (2004). La letra mayúscula define el vector de cargas generalizadas y la minúscula el vector de coordenadas generalizadas. En este caso los tres grados de libertad son coordenadas principales. Sea, M la matriz de masas en el sistema de coordenadas Q  q y M masas en el sistema





Q q .



la matriz de

172


Se define la matriz de paso T que permite pasar del sistema Q  q al sistema 



Q  q , de la siguiente manera: q  T q

(5.4)

M Tt M T

(5.5)

Se demuestra ahora, que:



DEMOSTRACIÓN La energía cinética T (sin negrilla) es igual a: . 1 .t T  q Mq 2

Al reemplazar (5.4) en esta expresión se tiene: t

 . 1 .   T   T q  M  T q  2    Luego:

1 . T q 2

t

T

t



.

MT q

De donde:

M Tt M T Se deja al lector, que demuestre que la matriz de masas, para el sistema de coordenadas de la mitad de la figura 5.6 es:

 m  M  0   0 

0

   mL  2   mL2  3  0

m mL 2

Cuando las coordenadas se consideran en el centro de masa, sistema de la derecha de la figura 5.6, se obtiene:

 m  M   0  0 

0 m 0

 0  0 mL2  12 


173

En la figura 5.7 se presentan las deformadas elementales con las cuales se encuentra la matriz de paso T . La matriz T se obtiene dibujando las deformadas elementales en el sistema

q  y se mide en el sistema q . Al proceder de esta manera se obtiene.

Figura 5.7 Deformadas elementales

1  T  0  0 

.

0 L   2 1

0 1 0

Al efectuar el triple producto matricial indicado en la ecuación (5.5) se halla

 1 0   M  0 1  L 0  2 

 0  0  1 

 m  0   0 

0 m mL 2

 0   mL  2   mL2  3 

1  0  0 

 0  m L   1   0 2  0 1 0 

0

0 m 0

.

 0   0  mL2  12 

Dos objetivos se perseguían con la realización del ejercicio, el primero que el lector vea que si considera el sistema de coordenadas en el centro de masas, la matriz de masas que se obtiene es simétrica y el segundo que la matriz de masas de una estructura no es única, depende del sistema de coordenadas pero estas matrices se encuentran relacionadas por medio de la matriz de paso T .

5.5 ANÁLISIS PLANO Uno de los aspectos más complejos que se tiene al analizar una estructura, es definir el modelo numérico de cálculo, el mismo que represente en forma sencilla y a la vez real el comportamiento sísmico o dinámico, que tendrá la edificación. En el presente apartado se presentan varios modelos para el análisis de pórticos planos.

5.5.1 Análisis con masas concentradas a nivel de piso Como se indicó en el capítulo anterior, en pórticos planos se puede considerar, que únicamente las vigas son axialmente rígidas y los restantes elementos son totalmente flexibles. En consecuencia, se tiene un grado de libertad por piso, la componente de desplazamiento

174


horizontal y dos grados de libertad adicional en cada uno de los nudos que son la componente de desplazamiento vertical y la rotación. Por otra parte, se considera que las masas son puntuales y se encuentran concentradas a nivel de cada piso, teniendo cada una de ellas un grado de libertad que es la componente de desplazamiento horizontal de piso.

Figura 5.8 Modelo de masas concentradas de un pórtico plano. En la figura 5.8, a la izquierda se presenta un pórtico plano, que puede tener voladizos y a derecha el modelo numérico para el análisis sísmico, en el cual se ha concentrado la masa a nivel de cada piso, de tal manera que m1 es la masa total del piso 1; m 2 es la masa total del piso 2; etc. Normalmente se desprecia la inercia rotacional de las masas, de tal manera que la energía cinética del sistema es igual a la energía cinética de traslación.

T

. 2 . 2 . 2 . 2 1 m q  m q  m q  m q  1 1 2 3 4 2 3 4 2 

De donde:

m1  M   

m2 m3

     m4 

En el modelo de masas puntuales, la matriz de masas es diagonal y los elementos son las masas de cada piso, de tal manera que la forma general de M es la siguiente:

m1    M     Donde

m2 ... mi ...

        mn 

(5.6)

mi es la masa total del piso i; mn es la masa total del último piso. El modelo de

masas puntuales concentradas en cada piso sirve para: 

Realizar el análisis sísmico ante la componente horizontal de movimiento del suelo. Este modelo no permite considerar la componente vertical.


175

Por considerar la respuesta sísmica a nivel de piso. No permite encontrar la respuesta a nivel de una viga específica o de una columna específica del piso. Si se desea encontrar la respuesta en el tiempo en los elementos, se deben considerar todos los grados de libertad como coordenadas principales. Es decir a más de los corrimientos horizontales de piso se debe tomar en cuenta el desplazamiento vertical y rotación de cada nudo del pórtico. Esto se ilustra en el pórtico de un piso y un vano de la figura 5.9.

Figura 5.9 Modelo en el cual se consideran todos los grados de libertad. En la figura 5.9, se considera que la viga es axialmente rígida, de esa manera se tiene un solo desplazamiento horizontal de piso. Si se va a realizar el análisis sísmico con todos los grados de libertad, la matriz de masas será de cinco por cinco y tendrá valor únicamente el elemento de la primera fila y primera columna, que vale m, los demás elementos son cero El modelo de la figura 5.9 permite encontrar la variación de momentos, de cortantes, de fuerza axial, en cada instante de tiempo. Si bien es cierto se realiza el análisis sísmico en la coordenada principal indicada a la derecha de la figura 5.9, no es menos cierto que se hallan los restantes grados de libertad por medio de la matriz de incidencia, estudiada en el capítulo anterior.

5.5.2 Análisis con entrepisos flexibles En el modelo con piso flexible se concentran las masas en cada una de las juntas como se aprecia a la derecha de la figura 5.10. En la parte izquierda, se indican los grados de libertad con los cuales se encontrará la matriz de la estructura, cuando se desee considerar simultáneamente sismo horizontal y vertical. En el modelo se considera que todos los elementos son totalmente flexibles. Nótese, la forma de numerar las coordenadas, primero se numeran las componentes de desplazamiento horizontal y luego las componentes de desplazamiento vertical; finalmente las rotaciones de los nudos. Se procede de esta manera ya que ahora las coordenadas principales son los desplazamientos horizontales y verticales; las coordenadas secundarias son los giros, En la parte central de la figura 5.10 se indican las coordenadas principales, en este caso la matriz de masas es de 16 por 16. Para el modelo de masas puntuales en las juntas, la forma de la matriz de masas es la siguiente:

176


M H M  

 M V 

MH

m1  M V     

m2 ...

     mn 

(5.7)

Figura 5.10 Grados de libertad para análisis estático y dinámico .Modelo de masas puntuales en nudos.



EJEMPLO 3 Se desea encontrar la matriz de masas para la estructura de la figura 5.11,

concentrando las masas a nivel de cada uno de los nudos. La masa

m1  m 2  0.612

T s2 . m

Figura 5.11 Modelo de cálculo con piso flexible, grados de libertad para el análisis estático y dinámico.



SOLUCIÓN

En la figura 5.11, a la derecha, se indica la geometría de la estructura, con las masas concentradas a nivel de los nudos, todos los elementos son flexibles. También se muestra todos los grados de libertad a la izquierda, de la figura 5.11 y en la parte central se presentan las coordenadas principales. Al aplicar la ecuación (5.7) se halla.


m1 0 M  0  0

0

0 0.612  0.0 0  0.0 0   m2  0.0

0

m2

0

0

m1

0

0

177

 0.612 0.0 0.0  0 .0 0.612 0.0   0 .0 0.0 0.612  0 .0

0.0

0.0

5.6 PÉNDULO INVERTIDO Las estructuras en forma de péndulo invertido son aquellas que tienen una sola columna y sobre ella se tiene una losa con o sin vigas descolgadas. El modelo de análisis se indica en la figura 5.12 a la izquierda se indica la geometría de la estructura y a la derecha los grados de libertad que se consideran para el análisis sísmico. El modelo no considera deformación axial en la columna, para el ejemplo que se está presentando.

Figura 5.12 Modelo de cálculo de una estructura en forma de péndulo invertido. En las estructuras en forma de péndulo invertido, la componente rotacional es fundamental considerarla en el análisis, de tal manera que no se desprecia la inercia rotacional J . La energía cinética vale:

T

. 2 1 .2 m q 1  J q 2  2 

De donde:

m

M 0 Siendo

0 J 

(5.8)

m la masa total del sistema y J el momento de inercia de la masa, que vale: J



m 2 a  h2 12



(5.9)

5.7 MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA En este apartado se deduce la ecuación (5.9) con el propósito de conocer más sobre el momento de inercia de la masa J . Para la deducción se considera un elemento diferencial

178


dm que se halla a una distancia 5.13. Por definición se tiene:

r del eje de rotación, como se ilustra a la derecha de la figura J   r 2 dm m

Figura 5.13 Cálculo del momento de inercia de la masa con respecto al eje Z. Se considera que la densidad  es constante. Luego el diferencial de masa es igual al producto de la densidad por el diferencial de volumen.

dm   dV   dx dy dz Por otra parte:

r2  X 2 Y 2 Luego:





J   X 2  Y 2  dx dy dz En la figura 5.13, a la izquierda, se observa que la profundidad es constante y vale De igual forma al ser la densidad constante, sale de la integral con lo que se halla:

J b

 X

2

b.



 Y 2 dx dy

Al integrar únicamente en el cuadrante superior, los resultados se multiplican por 4 y se encuentra:

J 4b 

  X



h/2 a/2

0

2

 Y 2 dx dy

0

Luego, de efectuar las integrales indicadas y al reemplazar límites, se llega a:

a2  h2  J bah   12  Pero el producto  b a h es la masa del sistema m , con lo que: m 2 J a  h2 12






179

Que era lo que se quería demostrar. Se destaca que la ecuación (5.3) es un caso particular, para h  0 . Se ha calculado el momento de inercia de la masa con respecto al eje Z de la figura (5.13). Existen dos momentos de inercia más, con respecto a los ejes X e Y, se deja al lector la deducción de las respectivas ecuaciones que son similares a la encontrada.

5.8 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA 5.8.1 Péndulo Invertido Por considerarlo de interés y sobre todo para reafirmar la forma de cálculo de la energía cinética; se presenta un modelo sencillo de interacción suelo estructura, para el péndulo invertido que se ha venido analizando. En la figura 5.14 se indica dicho modelo en el que se consideran cuatro grados de libertad, los dos primeros son los que se tenían anteriormente y los grados de libertad 3 y 4 corresponden al desplazamiento de la cimentación y a la rotación de la cimentación. En la figura 5.14, a la izquierda se tiene el modelo de cálculo en el cual la masa de la cimentación tiene un valor mo y la masa de la cubierta tiene un valor m . Como hipótesis se considera que la cimentación se mueve como cuerpo rígido, de tal manera que cuando la cimentación se desplaza q 3 , toda la estructura se desplaza q 3 y cuando la cimentación rota q 4 , la masa superior se desplaza una cantidad igual a L q 4 , esta cantidad es negativa debido a que se considera la rotación en sentido anti horario como positiva, luego la masa superior se desplaza hacia la izquierda. Con estas indicaciones en la figura 5.15 se indica el diagrama de velocidades y también se ilustra los desplazamientos y giros de la cimentación como cuerpo rígido.

Figura 5.14 Modelo de interacción suelo estructura considerado. 2

T Donde

J

2

. . . . 2 . 2 1 . 1 . 1 1   m q 1  q 3  L q 4   J  q 2  q 4   m0 q 3  J c q 4 2  2  2 2  

es el momento de inercia de la masa de cubierta y

J c es el momento de

inercia de la masa de la cimentación. Al desarrollar la ecuación de la energía cinética, se tiene:

180


Figura 5.15 Diagrama de distribución de velocidades.

T

2 .2 .2 .2 . . . . . . . .  1  .  2   m q  J q  m  m q  J  J  mL q  1 0 c 2 3 4  2 m q 1 q 3  2mL q 1 q 4  2mL q 3 q 4  2 J q 2 q 4  2   





Luego la matriz de masas resultante se indica a continuación. Se ha escrito la matriz triangular inferior, por ser simétrica la matriz de masas.

 m  0 M  m   mL

J 0

m  m0

J

 mL

     mL2  J  J c 

(5.10)

5.8.2 Interacción suelo estructura para el caso plano. En la figura 5.16 se presenta, a la izquierda, un pórtico plano de un vano y dos pisos, con sus respectivos plintos; en la parte central se tiene el modelo numérico en el cual la masa total del primer piso se ha concentrado en ; la masa total del piso 2 en ; la masa de la cimentación en . El suelo se ha modelado con dos resortes de rigidez horizontal y de rigidez rotacional . A la derecha de la figura 5.16, se indican los grados de libertad. Nótese que se considera que la rotación es positiva si es horaria. Por otro lado, la altura desde la cimentación hasta la masa es ; y la altura desde la cimentación hasta la masa es En la figura 5.17 se presenta una deformada general del sistema estructural. A la izquierda se tiene la deformada de la estructura sin interacción. En la parte central el desplazamiento lateral de la cimentación como cuerpo rígido. Finalmente, a la derecha, la rotación de la cimentación (se consideró horario positivo). Al aplicar el principio de superposición lineal en las deformadas presentadas en la figura 5.17, se obtiene el diagrama de distribución de velocidades presentado en la figura 5.18. La energía cinética del sistema vale.


̇

̇

̇

̇

̇

̇

̇

181

̇

Figura 5.16 Modelo de análisis Plano de Interacción suelo-estructura.

Figura 5.17 Deformada General. Al desarrollar la expresión indicada, sacar factor común y al aplicar la regla indicada para encontrar la matriz de masas, se encuentra.

(5.11) [

]

182


Figura 5.18 Diagrama de distribución de velocidades. 

EJEMPLO 4

Determinar, la matriz de rigidez y la matriz de masas de la estructura presentada en la figura 5.19, para el análisis sísmico considerando la interacción suelo estructura. El peso específico del suelo y del hormigón, son: ; El módulo de elasticidad del hormigón . El módulo de Poisson del suelo es . Se desprecia el momento de inercia de las masas de la cimentación. Para la estructura con base empotrada hallar la matriz de rigidez lateral con el programa rlaxinfi considerando inercias gruesas; en base a la carga uniforme distribuida hallar la matriz de masas. 

SOLUCIÓN El archivo de datos para usar el programa rlaxinfi del ejemplo es:

0.4000 0.4000 0.4000 0.4000 0.3000 0.3000

0.4000 0.4000 0.4000 0.4000 0.3000 0.3000

2.8000 2.8000 2.8000 2.8000 4.0000 4.0000

La matriz de rigidez lateral, con base empotrada es: *

+

La matriz de masas con base empotrada es:

*

+


183

Figura 5.19 Estructura de Ejemplo 4, considerando interacción suelo estructura.

Figura 5.20 Modelo numérico y grados de libertad. En general la matriz de rigidez, para el caso plano, en que se considera la interacción suelo-estructura tiene la siguiente forma. Aguiar (1991).

[

]

(5.12)

184


Donde es la matriz de rigidez, considerando la base empotrada, , son las rigideces de los resortes lineal y angular del suelo-cimentación, respectivamente. Nótese que cuando se trabaja con coordenadas relativas la matriz de rigidez es diagonal. Existen algunas fórmulas para encontrar estas rigideces equivalentes, un clásico son las propuestas por Veletsos y Wolf (1977), que se indican a continuación. (

(5.13)

)

(

(5.14)

)

Donde es el módulo de corte dinámico; es la profundidad de desplante de la cimentación; es el módulo de Poisson del suelo; , son radios equivalentes, debido a que las fórmulas de las rigideces lineal y angular, se los obtiene para zapatas aisladas de área circular.

√

√

(5.15)

Donde es el área de la base de la cimentación que está en contacto con el suelo; es el momento de inercia de la base de cimentación, en la dirección que se analiza. El módulo de corte dinámico se halla de la siguiente manera. (5.16) Siendo

es la densidad del suelo;

es la velocidad de la onda de corte del suelo.

Continuando con la solución del Ejemplo 4, se tiene que:

Figura 5.21 Cálculo del área e inercia de la cimentación.

.

/

√


185

√

(

( *

)

) +

[

]

[

]

5.9 AISLADORES DE BASE En el mega sismo de Chile de 2010, las estructuras con aisladores de base o con disipadores de energía tuvieron un excelente comportamiento sísmico lo que ha motivado un incremento notable de las construcciones con estos dispositivos de control pasivo, en Chile. En el Ecuador todavía no despeja la construcción de edificios con aisladores de base; se han construido varios puentes con aisladores FPS (Frictional Pendulum System) en el estuario del río Esmeraldas y en Bahía de Caráquez. Aguiar et al. (2010). En la figura 5.22 se tiene una estructura de un vano y un piso sobre aisladores de base elastoméricos (goma-acero-goma-acero….). Se ha denominado , a la rigidez, amortiguamiento y masa del sistema de aislamiento, , , , a la rigidez, amortiguamiento y masa de la estructura (con base empotrada) que en los libros de aislación sísmica se denomina superestructura. Aguiar et al. (2008). En la figura 5.22 se aprecia que los aisladores de base se han colocado debajo de una losa de piso y están sobre la cimentación, la misma que puede ser: plintos, viga o losa de cimentación. Los aisladores se deforman en la forma indicada a la derecha de la figura 5.22, trabajan al corte, pero mueven a la superestructura como cuerpo rígido, de tal manera que todo el sistema se desplaza , como se aprecia a la izquierda de la figura 5.22. La superestructura se deforma el mismo que se mide con relación al desplazamiento

186


Figura 5.22 Nomenclatura y coordenadas relativas.

5.9.1 Matriz de Masas La energía cinética del sistema estructural indicado en la figura 5.22, es la siguiente: ̇

̇

̇

Luego: [ ̇

̇

̇

̇ ]

De donde: *

+

5.9.2 Matriz de Rigidez y Amortiguamiento La matriz de rigidez que se presentó para el caso de interacción suelo estructura, ecuación (5.12) es diagonal, en la que en primer lugar se ha numerado los grados de libertad de la estructura y después de la cimentación. Ahora si en ese modelo, no se considera el resorte rotacional y además primero se numera el desplazamiento de la cimentación y luego de la estructura, como se indica en la figura 5.23, la matriz de rigidez es: [

]

Donde es la rigidez del resorte traslacional; es la matriz de rigidez de la estructura con base empotrada. El modelo indicado en la figura 5.23, corresponde también al de aislación sísmica por lo que al trabajar con coordenadas relativas, su matriz de rigidez es: [

]

Siendo la rigidez del sistema de aislación y superestructura obtenida con base empotrada.

(5.17) la matriz de rigidez de la


187

q3

q1

q3 m2

m2

q2 m1

mo

q2

m1

kd

q1

mo

Figura 5.23 Similitud con modelo de aislación sísmica Se deja al lector que demuestre que la matriz de masas del sistema indicado en la figura 5.23 es.

[

]

En base a la matriz de masas presentada y a la indicada en el apartado anterior, el lector puede generalizar está matriz para el caso plano, de estructuras con aisladores de base, solamente debe tener en cuenta que . La matriz de amortiguamiento se verá con detenimiento en el capítulo 7, sin embargo para aprovechar el tema que se está tratando se presenta a continuación, la matriz de amortiguamiento para el modelo numérico indicado en la figura 5.22. [

]

(5.18)

5.9.3 Ecuación diferencial del movimiento En la figura 5.24 se ha vuelto a presentar el modelo de 2 grados de libertad indicado en la figura 5.22, para tenerlo presente, ya que en este apartado se indica a continuación el sistema de ecuaciones diferenciales de ese modelo numérico de cálculo, con el propósito de entender un poco más el comportamiento de estructuras con aisladores de base. La ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de las estructuras con aisladores de base elastoméricos, es la siguiente. ̈

̇

(5.19)

Donde ,son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de la estructura con ̇ ̈ , son los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración; es el aisladores de base; vector que relaciona el movimiento del suelo con los grados de libertad de la estructura, para el caso de análisis sísmico en sentido horizontal y para el sistema de 2 grados de libertad, que se está analizando, el vector vale 1 y 0; es la aceleración del suelo.


188

Figura 5.24 Sistema de dos grados de libertad. Al reemplazar las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, del sistema de 2 grados de libertad, indicado en la figura 5.24, en la ecuación diferencial del movimiento, se halla. *

̈ +[ ] ̈

̇ ][ ] ̇

[

[

]* +

*

(5.20)

+* +

Al desarrollar el sistema de ecuaciones diferenciales se encuentra. ̈

̈ ̈

̇ ̈

̇

Ahora lo que interesa ilustrar es como se obtiene del sistema a:

para ello se denomina masa total (5.21)

Al trabajar solo con la primera ecuación diferencial se tiene: ̈

̇

̈

Como aproximación se considera que ̈ ̈

. Luego la ecuación diferencial queda. (5.22)

̇

Que corresponde a un sistema de un grado de libertad con masa total sistema de 1 gdl., se sabe que:

. En un

√

Pero la frecuencia natural aislación. Luego:

. Donde

(

)

es el período objetivo del sistema de

(5.23)


189

Una forma práctica de encontrar la rigidez del sistema de aislación, es mediante la ecuación (5.23). El proyectista estructural se impone el período que desea tenga la estructura con aisladores de base, normalmente un valor alto que está entre 2 y 3 seg.; con este valor y con la masa total de la estructura se halla Se entiende que para el período seleccionado las ordenadas del espectro de aceleraciones son bastante bajas. Luego las fuerzas estáticas equivalentes serán bajas. Al período seleccionado se denomina período característico. Retomando a la ecuación (5.22), en sistemas de un gdl., se sabe que el factor de amortiguamiento es igual a: √

√

(5.24)

El amortiguamiento depende de los aisladores que se utilicen. Existen aisladores elastoméricos con alto amortiguamiento y también hay de bajo amortiguamiento. 

EJEMPLO 5

Encontrar la matriz de rigidez, masa y amortiguamiento; con base empotrada y con aisladores de base; de la estructura de cuatro pisos, presentada en la figura 5.25 si todas las columnas son iguales y tienen una sección transversal de 45/60 cm.; las vigas de los tres primeros pisos son de 35/60 cm., y las del cuarto piso de 35/50. El módulo de elasticidad del hormigón . Para la estructura con aislamiento en la figura 5.26 se indican la carga uniforme distribuida en cada piso; el período objetivo es de 2 seg., el amortiguamiento de los aisladores es .

3,6

4.00 T/m m4

4

m3

3

m2

2

m1

1

3,6

4.97 T/m

3,6

4.97 T/m

3,6

4.97 T/m

7,1

5

7,1

Figura 5.25 Estructura de 4 pisos con base empotrada. 

SOLUCIÓN

En la figura 5.25 se presenta la carga uniforme repartida con la cual se realiza el análisis sísmico. Al multiplicar esta carga por la longitud total (19.2 m.) se halla el peso por cada uno de los pisos y al dividir para la gravedad se encuentra la masa. Para los pisos 1 al 3 2 2 la masa es 9.74 T s /m.; para el piso 4 es 7.84 T s / m.

190


[

]

La matriz de rigidez se obtuvo con el programa rlaxinfi, visto en el capítulo anterior y es la siguiente.

[

]

En el capítulo 6 está dedicado al cálculo de las Propiedades Dinámicas de una estructura, como los períodos y modos de vibración pero para completar el ejercicio se presenta en la Tabla 5.1, los períodos de vibración, frecuencia natural y modos de vibración, de la estructura que se está analizando y en la figura 5.26 se dibujan dichos modos. Tabla 5.1 Propiedades Dinámicas de estructura analizada con base empotrada. Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Período (s.) 0.7076 0.2260 0.1230 0.0834 Frecuencia (1/s.) 8.8799 27.8023 51.0922 75.3812 Modo de -0.0527 0.1428 0.2124 -0.1854 vibración -0.1310 0.2048 0.0117 0.2084 -0.1947 0.0379 -0.2032 -0.1483 -0.2360 -0.2198 0.1414 0.0598 Modos de vibración con Base empotrada m4

m4

m4

m4

m3

m3

m3

m2

m2

m2

m1

m1

Modo 1

Modo 2

m3

m2

m1

m1

Modo 4

Modo 3

Figura 5.26 Modos de vibración con base empotrada. En el capítulo 7 se estudia el cálculo de la matriz de amortiguamiento. Pero por el mismo argumento de poder resolver el ejercicio, se coloca esta matriz.

[

]


191

EJEMPLO 6

En la figura 5.27 se presenta el modelo para el análisis sísmico de la estructura con aisladores de base. En la planta baja se ha construido una losa maciza de 10 cm., de espesor, sobre vigas, que se denomina losa de aislación. Este peso más el peso de las columnas de la planta baja y el peso de los aisladores es de 1.815 T/m. Al multiplicar este peso por 19.20 y al dividir para la aceleración de la gravedad se encuentra . En la tabla 5.2 se presentan las propiedades dinámicas de la estructura con aisladores de base y en la figura 5.28 se dibujan los modos de vibración. Para la estructura con aisladores de base es importante tener presente que se trabaja con coordenadas relativas. Se pide encontrar las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento de la estructura con aisladores de base de la figura 5.27. Además dibujar los modos de vibración.

3,6 m

4.00 T/m m4

5

m3

4

m2

3

m1

2

mb

1

3,6 m

4.97 T/m

3,6 m

4.97 T/m

3,6 m

4.97 T/m

1.815 T/m

7,1 m

5m

7,1 m

Figura 5.27 Estructura de 4 pisos con aisladores 

SOLUCIÓN

[

[

]

]

192


[

] √ √

[

]

Tabla 5.2 Propiedades Dinámicas de estructura analizada con aislamiento sísmico. Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Período (s.) 2.10 0.37 0.17 0.10 0.07 Frecuencia 2.998 17.078 36.614 62.222 86.519 (1/s.) Modo de 0.143 0.217 0.226 -0.244 -0.321 vibración 0.006 -0.039 -0.149 0.297 0.521 0.014 -0.162 -0.404 0.401 0.183 0.020 -0.317 -0.356 0.034 0.394 0.023 -0.443 -0.034 0.352 0.295 Modos de vibración con aislamiento sísmico m4

m4

m3

m3

m4

m3

m2

m2

m1

m1

m1

mb

mb

mb

Modo 1

m4

m2

Modo 2

m4

m3

m2

m2

m1

m1

mb Modo 3

m3

Modo 4

mb Modo 5

Figura 5.28 Modos de vibración de la estructura con aisladores de base. Se deja que el lector comente la forma de los modos de vibración encontrados, especialmente del primer modo.

5.10 ANÁLISIS ESPACIAL En la figura 5.29, se presenta el modelo en el cual, se considera que la losa es totalmente rígida en el plano; de tal manera que en cada piso se tiene, tres grados de libertad por planta, que son la componente de desplazamiento horizontal en sentido X; la componente


193

de desplazamiento horizontal en sentido Y; la rotación de piso con relación a un eje perpendicular a la losa.

Figura 5.29 Modelo de piso rígido para análisis sísmico espacial. Nótese como se han numerado los grados de libertad, primero los desplazamientos horizontales en sentido X, de abajo hacia arriba; luego los desplazamientos horizontales en sentido Y, de abajo hacia arriba y finalmente las rotaciones de piso.

5.10.1 Matriz de Masas En la figura 5.29 se presenta a la izquierda, una estructura de dos pisos, cuyas dimensiones en planta son a y b . La masa total del primer piso es m1 y la masa total del segundo piso es m 2 . A la derecha de la figura 5.29 se indican los grados de libertad, en el C.M.; primero se ha numerado las componentes de desplazamiento horizontal en sentido X, empezando desde el primer piso, luego las componentes de desplazamiento horizontal en sentido Y, finalmente las rotaciones o torsión de piso, en todos los casos la numeración va desde el primer piso al último. La matriz de masas resultante es:

m1    M    

m2 m1 m2 J1

        J 2 

En general, para un edificio de n pisos, la matriz de masas es la siguiente:

m M   

m

   J 

(5.25)

194


m1  m     J1  J   

m2 

J2 

     mn 

(5.26)

     Jn 

(5.27)

m1 la masa total del piso 1; m 2 la masa total del piso 2, etc.; J 1 es el momento de inercia de la masa m1 ; J 2 es el momento de inercia de la masa m 2 , etc. Para un piso i se Siendo

tiene que:

Ji  Donde



mi 2 ai  bi2 12



ai , bi son las dimensiones de la losa en el piso i.

5.10.2 Matriz de Rigidez en coordenadas de piso Se denomina, a la matriz de rigidez en coordenadas de piso y a la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos planos, de la estructura. La ecuación con la que se halla la matriz es la siguiente. ∑

(5.28)

Donde es el número de pórticos que tiene la estructura, en sentido X, y en sentido Y; es la matriz de compatibilidad del pórtico i, que relaciona las coordenadas laterales del pórtico, , con las coordenadas de piso de la estructura, las restantes variables han sido ya identificadas. Aguiar (2004) (5.30) Para encontrar la matriz de compatibilidad de deformaciones , se construyen las deformadas elementales y se miden las deformaciones laterales en cada uno de los pórticos. Al proceder de esta manera, se puede ver que también se halla la matriz con la siguiente ecuación, siempre y cuando se hayan numerado las coordenadas de piso en la forma indicada en la figura 5.29.

A (i )

Sen Cos  Cos Sen   ...... .....  Cos Sen 

r1 r2

   (5.31)  ....  rn 


195

Donde es el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con el eje de las X.; es la distancia desde el C.M. al pórtico en el piso 1, 2, …n. El valor de tiene un signo, será positivo si la orientación positiva del pórtico, rota con respecto al C.M. en forma anti horaria, caso contrario es negativo. La matriz

tiene

filas y

columnas. Siendo

el número de pisos del

pórtico.



EJEMPLO 7 Calcular la matriz de masas y de rigidez de la casa de dos pisos que se indica en la

figura 5.30, si la carga muerta D  500

kg kg y la carga viva L  200 2 . Estas cargas son 2 m m

iguales en los dos pisos. Las columnas son de 30/30 y las vigas de 25/25. El módulo de elasticidad es Considerar 3 grados de libertad por piso. Para el análisis se considera la carga muerta más un porcentaje de la carga viva. Este porcentaje depende del uso de la edificación. Para viviendas este porcentaje es del 25%. El porcentaje considera la poca probabilidad que existe para que se registre un sismo con toda la carga viva.

Figura 5.30 Descripción de la estructura cuya matriz de masas se calcula. 

SOLUCIÓN

kg  16 m 2  8000 kg  8.0 T 2 m kg PL  200 2  16 m 2  3200 kg  3.2 T m PT  PD  0.25 PL  8  0.25  3.2  8.8 T . PD  500

196


T s2 8.8  0.898 9.8 m 0.898 J1  J 2  4.00 2  4.00 2  2.395 T m s 2 12

m1  m2 





0.898  m 0.898  

2.395  J  2.395  

[

]

La matriz de rigidez lateral de los pórticos, se la obtuvo con el programa rlaxinfi, trabajando con inercias gruesas. Como todas las columnas son iguales (30/30 cm.) y las vigas son iguales (25/25 cm.) la matriz de rigidez lateral de todos los pórticos son iguales. *

+

Se considera que el C.M., coincide con el centro de gravedad de la planta. Con ésta hipótesis que es válida en estructuras en las cuales las masas están distribuidas en forma simétrica se hallan las siguientes matrices *

+

*

+

*

+

*

+

Al emplear la ecuación (5.28) se halla:

[

]

5.10.3 Programa matriz_es Este programa sirve para el cálculo de la matriz de rigidez en coordenadas de piso, de estructuras que tengan el centro de masas colineal o no colineal. Antes de utilizar este programa se debe determinar la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, tanto en sentido X, como en sentido Y. 

[KE]=matriz_es(ntot,iejes,r,NP,KL,RT)

Los datos para el programa matriz_es son los siguientes.

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE ntot iejes

r

NP KL

RT

197

Número total de pórticos tanto en sentido X, como en sentido Y. Número de pórticos en la dirección del análisis sísmico. Si se realiza el análisis sísmico en sentido X, se indicará el número de pórticos en ese sentido. Lo propio para el sentido Y. Este vector sirve para cuando el centro de masas es colineal. La estructura de la figura 5.30 tiene el centro de masas colineal para ese caso los datos para el análisis sísmico [ ]. Se da un solo valor de la distancia del centro de en X serían masa al pórtico, con este dato el programa encuentra las matrices indicadas en el ejemplo anterior. Donde es la identificación del pórtico. Si la estructura no tiene el centro de masa colineal igual se debe dar un valor a . El programa pregunta si la estructura es regular o irregular. Si es regular el programa trabaja con el vector . Si la estructura es irregular el programa ignora al vector y trabaja con la matriz , que se indicará más adelante. Es el número de pisos que tiene la estructura. Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de cada uno de los pórticos. Primero se debe colocar las matrices de los pórticos en el sentido de análisis y luego las matrices de rigidez lateral de los pórticos en sentido perpendicular. Es obligatorio indicar este matriz. Cuando se trata de estructuras regulares se da . Cuando es rregular el programa ignora . Para estructuras irregulares, la matriz está compuesta por las matrices indicadas en el ejemplo anterior, para cada uno de los pórticos. Para el ejemplo 7, los datos y forma de usar el programa matriz_es, es la siguiente:

El programa presenta la matriz de rigidez en coordenadas de piso indicada en el ejemplo 7. function [KE]=matriz_es(ntot,iejes,r,NP,KL,RT) % % Programa que calcula la Matriz de rigidez en coordenadas de piso % considerando tres grados de libertad por planta, dos desplazamientos % horizontales y una rotación de piso % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2011 %----------------------------------------------------------------------% [KE]=matriz_es(ntot,iejes,r,NP,KL,RT) %----------------------------------------------------------------------% Datos % iejes= # de ejes de columnas en dirección de análisis sísmico. % ntot Número total de pórticos.

198


% NP Número de Pisos % KL= Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los % pórticos. Primero los de sentido X. % r= Vector que contiene la distancia del pórtico al centro de masa, de % cada uno de los pórticos, con signo, positivo anti horario. % RT= archivo de datos que contiene todos los vectores r en el caso de que % la estructura sea irregular Pero hay que dar esta información. % Si el Centro de Masas es colineal RT=r. %------------------------------------------------------% Reporta % KE Matriz de rigidez en coordenadas de piso. %-------------------------------------------------------nx=iejes; ny=ntot-nx; %Submatrices de rigidez: KEE Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP); Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end; te=input('\n Tipo de estructura : Regular=1 Irregular=2 \n '); if te==1 for i=1:ntot for k=1:NP rtet(k,k)=r(i); end rteta=rtet*rtet; ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; if i<=nx Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet]; else Kyy=Kyy+KL(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet]; end end elseif te==2; rtet=zeros(NP,NP); n=1 for i=1:ntot; rtet=RT(n:i*NP,:); n=n+NP; rteta=rtet*rtet; ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; if i<=nx Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet]; else Kyy=Kyy+KL(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet]; end end end %Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta KE=[Kxx cero Kxt;cero Kyy Kyt;Kxt Kyt Kteta]; return


199

5.11 EJERCICIO DE REFUERZO 

EJEMPLO 8

En la estructura, que se encuentra a la izquierda, de la figura 5.31, las barras AB y BC son homogéneas, de sección constante y de masas respectivamente; la barra CD es totalmente flexible. En la parte central de la figura 5.31, se indican los dos grados de libertad que tiene la estructura, se pide encontrar la Matriz de Masas. (Lamar, 1981)

Figura 5.31 Estructura de Ejemplo 8, grados de libertad y diagrama de velocidades.



SOLUCIÓN

A la derecha de la figura 5.31 se indica el diagrama de distribución de velocidades, se deja al lector la comprobación respectiva. ̇

0 ̇

( ̇

) 1

̇

Luego de reemplazar y factorar se halla la matriz de masas.

[



]

EJEMPLO 9

En la figura 5.32 se presenta el modelo numérico de análisis sísmico de una estructura de acero de lámina delgada, la misma que va a ser analizada con un modelo de piso flexible. Las masas discretas valen en los extremos y en el cumbrero. Se pide encontrar la matriz de masas, considerando que cada masa tiene tres desplazamientos: dos horizontales y un vertical. 

SOLUCIÓN

En la figura 5.33 se presentan los grados de libertad de la estructura, en total se tienen 18 grados de libertad. En cada nudo existe una componente de desplazamiento horizontal en dirección X, otra en dirección Y, y otra en dirección vertical.

200


Figura 5.32 Modelo de análisis sísmico de una estructura de acero de lámina delgada.

Figura 5.33 Grados de libertad de la estructura con masas puntuales. Al evaluar la energía cinética se tiene:

Al sacar factor común ½ se encuentra.


201

De donde: [

]

(5.32)

Donde es la matriz de masas para cuando solo se considera sismo en dirección transversal; es la matriz de masas para cuando solo se considera la acción sísmica en sentido longitudinal; es la matriz de masas para cuando el sismo actúa en sentido vertical. Estas matrices valen.

(5.33) [

]

[

]

La matriz de rigidez tiene una forma similar y vale.

[

]

(5.34)

Donde , , , son las matrices de rigidez asociadas a las coordenadas: transversales, longitudinales y verticales, respectivamente. Estas matrices se obtienen con los vectores de colocación los mismos que están compuestos por los grados de libertad indicados en la figura 5.33. Así por ejemplo, para hallar los vectores de colocación para el pórtico ] y para el segundo pórtico transversal son [ ]; de transversal primero son [ tal manera que se encuentran las matrices de rigidez de los pórticos transversales en coordenadas principales y se ubican en la diagonal de ; es un modelo aproximado ya que no se considera el acoplamiento de los pórticos longitudinales (igual sucede cuando se analiza con un modelo de Piso Rígido). 

COMENTARIO

Las estructuras de acero para cubrir piscinas, laboratorios, auditorios, se construyen con modelos similares al indicado en la figura 5.32, se tienen dos ejes de columnas en el sentido longitudinal y varios ejes de columnas en el sentido transversal. La luz en el sentido transversal, por lo general está alrededor de los 20 m., como es importante esta luz que se cubre con dos columnas, la viga tiene dimensiones considerables, de tal manera que la estructura es bastante rígida en sentido transversal. En el sentido longitudinal los pórticos se encuentran cada 4 o 5 m. AL pensar solo en cargas verticales, no es necesario colocar vigas en sentido longitudinal sino únicamente correas formadas por un perfil G y en el cumbrero se acostumbra colocar una doble G. Ahora bien al considerar el sismo, estas estructuras son sumamente vulnerables en sentido longitudinal ya que son muy flexibles. Aguiar (2012). Por lo tanto, se recomienda que en estructuras de acero de lámina delgada se piense en el sismo y se le confiera mayor rigidez en sentido longitudinal. Por ejemplo para la estructura de la figura 5.32 hace falta una columna en la mitad del pórtico (bajo el cumbrero). En Aguiar (2012) se presenta el reforzamiento sísmico realizado en 3 piscinas de Quito; en una vivienda de interés social y en un laboratorio.

202


REFERENCIAS 1. Aguiar R., (2012), “Reforzamiento sísmico de estructuras de lámina delgada”, Revista Internacional de Ingeniería de Estructuras, 17 (1), 36 p. 2. Aguiar R., Añazco D., Ángulo R., (2010), “Modelo aproximado para el análisis sísmico del Puente Norte 1 en Ecuador construido con aisladores FPS”, Revista Internacional de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil, Universidad de Puerto Rico, 10 (2), 149-161, Puerto Rico. 3. Aguiar R., (2004), Análisis Matricial de Estructuras, Centro de Investigaciones Científicas. Politécnica del Ejército, Tercera Edición, 550 p., Quito. 4. Aguiar R., (1991), Análisis sísmico de estructuras en forma de péndulo invertido, Centro de Investigaciones Científicas. Politécnica del Ejército, 325 p., Quito. 5. Lamar S., (1981), Dinámica de Estructuras, Maestría en Ingeniería Sismo Resistente. Universidad Central de Venezuela, Caracas. 6. Meriam J., and Kraige L., (1997), Engineering Mechanics Dynamics, John Wiley & Sons, Inc., Fourth Edition, Volume 2, 725 p., New York. 7. Veletsos A., (1977), Dynamics of structures foundations systems, structural and geotechnical mechanics, Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, N.J.


203

CAPÍTULO 6

MODOS DE VIBRACIÓN RESUMEN Se presenta la solución del problema de vibraciones libres, sin considerar el amortiguamiento del sistema, el mismo que conduce a la obtención de los valores y vectores propios de una estructura. Con los valores propios se hallan las frecuencias y períodos de vibración y los vectores propios son los modos de vibración. 1/ 2

Posteriormente se indica el algoritmo de M con el cual se obtienen los períodos y modos de vibración en las estructuras. Además se presenta un programa en MATLAB para este algoritmo, denominado modosplano. Un método clásico para encontrar los valores y vectores propios, es el Método de Jacobi, razón por la cual se estudia con bastante detenimiento, este método. Todo esto es historia ya que actualmente se encuentran los valores y vectores propios en MATLAB con un simple programa denominado eig que reporta los valores propios sin ordenarlos de menor a mayor. En CEINCI-LAB el programa que ordena los valores propios de menor a mayor se denomina orden_eig. Un tema muy importante, en la dinámica de estructuras, es el relacionado con los Modos Ritz, que permite encontrar los modos de vibración con todos los grados de libertad, por este motivo se trata en este capítulo. Con el propósito de reforzar lo visto en el capítulo anterior se continúa con el estudio de la interacción suelo-estructura es pórticos planos, pero esta vez se determinan los períodos de vibración de la solución del problema de valores y vectores propios y el período fundamental se compara con el que se obtiene en forma aproximada al considerar base empotrada más los períodos de traslación y rotación en un sistema de un grado de libertad. Por otra parte, se presentan programas para encontrar la respuesta en el tiempo de pórticos planos con aisladores de base elastoméricos, aplicando el método denominado: Procedimiento de Espacio de Estado, que se estudia en el capítulo 8 pero para que el lector vea la ventaja de utilizar estos dispositivos de control pasivo se presentan todos los programas con los cuales se halla la respuesta en el tiempo de un pórtico plano con aisladores de base.

204


6.1

VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO

La forma general del sistema de ecuaciones diferenciales, para el análisis dinámico, en un sistema de múltiples grados de libertad, es: ..

.

M q C q  K q Q

(6.1)

Donde M , C , K son las matrices de masas, amortiguamiento y rigidez; Q es el .

..

vector de cargas, q, q, q son los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración, respectivamente. Para el caso de vibración libre sin amortiguamiento se tiene que Q  0 . Luego, el sistema de ecuaciones que se resuelve en este apartado es:

C 0 y

..

M q  K q0

(6.2)

Se plantea la solución de ( 6.2) de la siguiente manera:

q (t )   f (t ) Donde

(6.3)

 es un vector que no depende del tiempo y que contiene los vectores propios

y f (t ) es una función del tiempo. La primera y segunda derivada, con respecto al tiempo de q , son: .

.

..

q (t )   f (t ) .

..

q (t )   f (t )

..

Al reemplazar q (t ), q (t ) y q (t ) en la ecuación ( 6.2 ) se tiene: ..

M  f (t )  K  f (t )  0 De donde: ..   f (t )   K  M  0  f (t )   

Se denomina: ..

f (t )   f (t )



..

f (t )   f (t )  0

(6.4)

Luego se tiene:

K   M    0

(6.5)

En resumen, el problema de vibración libre, definido en la ecuación (6.2) se ha descompuesto en dos problemas, que son: _

K   M    0 ..

f (t )   f (t )  0


205

6.1.1 Valores Propios La ecuación (6.5), representa el problema de valores y vectores propios, donde  es el valor propio y  es el vector propio. Una vez calculado  se obtiene de la ecuación (6.4) el valor de f (t ) . La ecuación (6.5) tiene soluciones de la matriz de coeficientes es nulo.

det

 distintas de cero, solamente si el determinante K  M 0

(6.6)

Al resolver la ecuación (6.6) se obtiene un polinomio característico; si se tiene una matriz de rigidez y de masas de orden n  n, este polinomio será de orden n. De la solución de este polinomio se encuentran n raíces de

 . Si las matrices K

M son reales, simétricas y definidas positivas; los valores de  son reales y positivos. 

y

EJEMPLO 1 Un pórtico plano de dos pisos, tiene las siguientes matrices de rigidez y de masas.

12352 .0 K   3983 .0

 3983 .0 2100 .8 

2.02 M  0.00

0.00 0.97 

Se pide encontrar los valores y vectores propios, aplicando las definiciones del apartado 6.1. 

SOLUCIÓN

K  M  0  12352 .0  3983 .0 2.02 0.0  K  M       3983 .0 2100 .8   0.0 0.97   3983 .0  12352 .0  2.02 K  M    3983 .0 2100 .8  0.97   





K  M  12352 .0  2.02   2100 .8  0.97     3983 .0   0 2

 P    1.9594 2  16225 .056   10084792 .6  0

1  676 .888

 2  7603 .737

Cuando se resuelva el polinomio característico P ( ) , siempre se notarán las raíces de menor a mayor esto es en estructuras.

1  2  3 .........  n

206


6.1.2 Propiedades dinámicas Una vez que se ha resuelto el problema de valores propios, y se ha obtenido las raíces del polinomio característico, se pasa a calcular las frecuencias de vibración W ni usando la ecuación (6.7). El subíndice i representa el modo i.

Wni  i Ti 

(6.7)

2 Wni

(6.8)

Con cada una de las frecuencias de vibración, se obtienen los períodos de vibración,

Ti con la ecuación (6.8). Para el ejercicio 1, se tiene: Wn 1  1  676 .888  26.017 Wn 2   2  7603 .737  87.1994

T1 

2 2   0.242 s. Wn1 26.017

T2 

2 2   0.072 s. Wn 2 87.1994

6.1.3 Modos de vibración Cada uno de los valores propios, está asociado a un modo de vibración. Estos modos de vibración indican la forma como va a responder la estructura durante un sismo o una excitación dinámica; por este motivo es importante fijarse en sus valores, especialmente en el primer modo de vibración ya que nos puede estar indicando que la estructura va a tener un buen o mal comportamiento sísmico. Los modos de vibración son adimensionales. Se obtienen los modos de vibración, reemplazando los valores propios obtenidos en la ecuación (6.5). Este procedimiento se apreciara mejor a medida que se continúa resolviendo el ejercicio. 

EJEMPLO 2 Hallar los modos de vibración del ejemplo 1.



SOLUCIÓN o

Cálculo del primer modo de vibración

 (1) .

K  1  M   (1)  0 Sea

 (1)

de la forma:

a 

 (1)    b 


207

Al reemplazar valores se tiene:

 12352 .0  3983 .0 2.02 0.0  K  1  M    676 .888       3983 .0 2100 .8   0.0 0.97  0.0   12352 .0  3983 .0 1367 .314    656 .581  3983 .0 2100 .8   0.0 10984 .686  3983 .0      3983 .0 1444 .219 

K  1  M   (1)  0 10984 .686  3983 .0  a  0   3983 .0 1444 .219   b   0       De donde

10984 .686  a  3983 .0  b  0  3983 .0  a  1444 .219  b  0 Aparentemente se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas. Pero eso no es cierto, ya que si a la segunda ecuación se multiplica por –2.7579, se obtiene la primera ecuación y es una de las características de los vectores propios. Siempre hay una ecuación menos. De tal manera que el sistema de ecuaciones es linealmente dependiente, eso significa que hay una gran cantidad de vectores propios. Por ejemplo, si a = 1 y se reemplaza en la primera ecuación, se obtiene b = 2.758, pero si b = 1 se obtiene que a = 0.363, es decir que tendríamos:

 1 

0.363

 (1)    2.758 

 (1)     1 



Al existir un infinito número de vectores propios, se habla de vectores propios normalizados. La forma más común de normalizar los modos es:

 (i ) t

M  (i )  

(6.9)

Donde  es una constante de normalización que puede tener cualquier valor. Algunos consideran el valor del promedio de las masas, otros lo normalizan de tal forma de  sea la unidad Por didáctica se va a llamar X el vector propio sin normalizar, como los que se han obtenido en los ejemplos realizados y  al vector propio normalizado. Para el modo de vibración i, se tendrá:

 (i )   (i ) X (i )

(6.10)

208


Al sustituir (6.10) en (6.9) y luego de despejar

 (i ) 



X

(i ) t

 (i )

 M

se tiene:

(6.11)

X

(i )

EJEMPLO 3

Normalizar los modos de vibración del ejercicio 1, que se ha venido resolviendo en el presente apartado, si la constante de normalización es la unidad,   1 . 

SOLUCIÓN

Al reemplazar valores en (6.11) se obtiene propio normalizado vale:

 (1)  0.326 . Por lo tanto el primer vector

1.000  0.326    2.758  0.899 

 (1)   (1) X (1)  0.326 

o Cálculo del segundo modo de vibración X

( 2)

 12352 .0  3983 .0 2.02 0.0  K  2  M    7603 .737       3983 .0 2100 .8   0.0 0.97  0 .0   12352 .0  3983 .0 15359 .549    7375 .625   3983 .0 2100 .8   0.0  3007 .549  3983 .0      3983 .0  5274 .825 

K   2 Sea



M  X ( 2)  0

 a  X ( 2 )    al reemplazar en K   2 M  X ( 2 )  0 se tiene: b 

 3007 .549  3983 .0  a  0   3983 .0  5274 .825   b   0       De donde el sistema de ecuaciones resulta:

 3007 .549 a  3983 .0 b  0  3983 .0 a  5274 .825 b  0


209

Al igual que antes, solo se tiene una ecuación con dos incógnitas, así que se impone un valor para cualquiera de las variables. Si a = 1, se tiene que:

1.000  X ( 2)     0.755  ( 2)

A partir de X se encuentra por un procedimiento similar al anterior el vector propio normalizado a la unidad. Encontrando:

 0.623

 ( 2)     0.471  En la figura 6.1 se grafican estos modos para el caso del pórtico plano de dos pisos en el que se han concentrado las masas a nivel de piso.

0,471

0,899 2

0,326

0,623

1

Grados de Libertad Figura 6.1 Modos de vibración de una estructura de dos pisos. 1

6.2 ALGORITMO DE M 2 En el apartado anterior se presentó el cálculo de las propiedades dinámicas y de los modos de vibración de una estructura desde un punto de vista conceptual. Ahora bien en la práctica se calculan los valores y vectores propios de una matriz utilizando algún método, uno de los más utilizados es el de Jacobi que encuentra todos los valores y vectores propios de una matriz simétrica. Se tiene que definir por lo tanto esa matriz, a partir de las matrices de rigidez K y de masas M . Para el efecto, una alternativa es utilizar el algoritmo que en este apartado se indica. La ecuación (6.5) puede escribirse de la siguiente manera:

K  M Sea

( 6.12)

210


M



1 2

o

(6.13)

Al reemplazar (6.13) en (6.12) se tiene:

K M



1 2

o   M M



1 2

o

Por otro lado se tiene que: 1

1

M M2 M2 Al reemplazar en la última ecuación se encuentra:

K M



1 2

Al multiplicar por la izquierda, por M

M



1 2

1 2

o   M o 

1 2

K M

se obtiene:



1 2

o   o

(6.14)

Se denomina

Ko  M



1 2

K M



1 2

(6.15)

De donde, la ecuación ( 6.14 ) se transforma en:

(6.16)

K o o   o

El procedimiento de cálculo para encontrar los valores y vectores propios de una 1

estructura aplicando el algoritmo de M 2 es el siguiente: 1

1. Se encuentra la matriz M 2 . Normalmente la matriz de masas es diagonal de 1

tal manera que M 2 se encuentra sacando la raíz cuadrada de los elementos de la diagonal. 

1

2. Se determina M 2 . Para el caso de matrices diagonales no es más que la inversa de los elementos de la diagonal. 3. Se determina

Ko .

4. Se aplica cualquier Método de cálculo de valores y vectores propios en 5. Finalmente se hallan los vectores propios

M

1  2

Ko .

o

El programa modosplano escrito en MATLAB determina los períodos y modos de 1

vibración de pórticos planos, utilizando el algoritmo de M 2 . Previamente el usuario habrá obtenido con otro programa la matriz de rigidez lateral o carga esta matriz. La forma de uso, es: [Modos]=modosplano (K)  

K es la matriz de rigidez lateral del pórtico. Modos son los modos de vibración del pórtico.


211

function [Modos]=modosplano(K) % % Calculo de modos de vibracion de porticos planos. % Empleando algoritmo de M elevado a la 1/2. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI ESPE % ----------------------------------------------------------------% [Modos]=modosplano(K) % ----------------------------------------------------------------% K Matriz de rigidez lateral del portico plano % M Matriz de masas, se programa como vector ya que es diagonal % NP Numero de pisos. % Por pantalla se indicara las masas de cada piso. % Previamente el usuario habra calculado la matriz de rigidez lateral % con otro programa. % T Periodos de vibracion. % NP = input (' \n Numero de pisos '); for i=1:NP fprintf ('Indique la masa del piso , %2d',i); M(i) = input (', Valor de la masa: '); end M12=sqrt(M); for i=1:NP M12(i)=1.0/M12(i); end MINV=zeros(NP,NP); MINV=diag(M12); Ko=MINV*K*MINV; [V,D]=eig(Ko); Modos=MINV*V; Wn=sqrt(D); T=diag(Wn); for i=1:NP T(i)=2*pi/T(i); end fprintf ('\n Periodos de vibracion ') T fprintf ('\n Modos de vibracion ') Modos; % ---fin 

EJEMPLO 4 Encontrar los períodos y modos de vibración de la estructura de la figura 6.2. Si

E  1738965 .21 T / m 2 . La carga es uniforme distribuida en cada piso y tiene una magnitud de 2.0 T/m., aplicando el algoritmo de M



1 2

.

SOLUCIÓN

Al multiplicar la carga uniforme repartida por la longitud total de 8 m., y al dividir por el 2 valor de la gravedad, se encuentra la masa concentrada en cada piso, que vale 1.633 Ts /m. La matriz de rigidez y la matriz de masas para el cálculo del problema de valores y vectores propios, son:

212


 1538 .1

 2761 .1 K   1538 .1  285 .7

285 .7   1080 .6 836 .9 

2278 .0  1080 .6

30x30

1.633 M   0  0

30x30 30x30 30x30

30x30

30x30

30x30

30x30

30x30

30x30 30x30

30x30

30x30

30x30

30x30

30x30 30x30

30x30

0  1.633 0  0 1.633 0

Figura 6.2 Pórtico y modelo con masas puntuales.

M

1/ 2

1.278   0  0

0 1.278 0

De donde, la matriz

 0  1.278  0

M

1 / 2

0.783   0  0

0 0.783 0

 0  0.783 0

K o resulta:

 941 .86

1690 .81 K o   941 .86  174 .95

1395 .00  661 .73

174 .95   661 .73  512 .46 

Los períodos de vibración resultan:

T1  0.6921 s.

T2  0.2135 s.

T3  0.1221 s.

Los modos de vibración, son:



(1)

0.1963   0.4486  0.6104 



( 2)

0.5232   0.3757   0.4444 



( 3)

0.5478    0.5196  0.2057 

En la figura 6.3, se indican los respectivos modos de vibración. Nótese que el primer modo no tiene punto de inflexión. El segundo modo tiene un punto de inflexión y el tercer modo tiene dos puntos de inflexión.


213

47

PRIMER MODO

SEGUNDO MODO

TERCER MODO

Figura 6.3 Modos de vibración El cálculo de los valores y vectores propios, en la matriz

K o se hallaron aplicando el

Método de Jacobi que se indica en el siguiente apartado. Si se desea encontrar los períodos de vibración con el programa modosplano se debe proceder de la siguiente manera: >> K=[2761.1 -1538.1 285.7; -1538.1 >> [Modos] = modos plano(K)

2278.0

-1080.6; 285.7

-1080.6

836.9]

Numero de pisos 3 Indique la masa del piso, 1, Valor de la masa: 1.633 Indique la masa del piso, 2, Valor de la masa: 1.633 Indique la masa del piso, 3, Valor de la masa: 1.633 Luego el programa reporta los períodos y modos indicados en el ejemplo. Con la salvedad que está cambiado de signo los valores del tercer modo pero esto no tiene trascendencia ya que los modos son una base. MATLAB presenta otra opción para calcular directamente los valores y vectores propios directamente, por consola, utilizando el comando eig pero de forma diferente a la que está en el programa modosplano. Pero el programa eig de MATLAB no presenta los valores propios ordenados de menor a mayor, eso lo hace el programa orden_eig de CEINCI-LAB que se verá posteriormente. 

EJEMPLO 5 Determinar, por consola, los valores y vectores propios del ejemplo 4.



SOLUCIÓN

>> K=[2761.1 -1538.1 285.7; -1538.1 2278.0 -1080.6; 285.7 >> M=[1.633 0 0; 0 1.633 0; 0 0 1.633]; >> [V,D] = eig (K,M)

-1080.6

836.9];

En V se encuentran los modos de vibración o vectores propios y en D los valores propios.

214 


COMENTARIO Al ver la forma tan elemental como se halla los valores y vectores propios con

MATLAB, parecería no tener sentido presentar el algoritmo de , al igual que el método de Jacobi, porque esto ya es historia pero vale la pena hacerlo para que la gente conozca como están hechos algunos programas de computación y no convertirse solo en usuario de estos programas. En el Ecuador, en la década de los años 1980-1990, en primer lugar se programa en Fortran, que era bastante difícil y se tenían computadoras que eran bastante lentas por ese motivo se investigaba en otros algoritmos aproximados para el cálculo de valores y vectores propios. Creamer (1986).

6.3 MÉTODO DE JACOBI Un método clásico para encontrar los valores y vectores propios de una matriz simétrica es el Método de Jacobi. Los teoremas fundamentales en que se basa el método son:  Teorema 1. Dos matrices A y B se dicen que son semejantes si existe una matriz que admite inversa P, tal que:

B  P 1 A P

(6.17)

 Teorema 2. Si A y B son dos matrices semejantes, entonces tienen los mismos valores propios.  Teorema 3. Si una matriz es diagonal. Entonces los valores propios son los elementos de la diagonal.  Teorema 4. Toda matriz simétrica es diagonalizable en una base de vectores propios.  Definición de Matriz Ortogonal. Una matriz H se dice que es ortogonal, si:

H Ht  I

 H 1  H t

(6.18)

La idea básica del Método de Jacobi es construir una serie de matrices que son semejantes a la original, para lo cual se emplea una matriz de paso P que es ortogonal. Las matrices semejantes que se van obteniendo tienden a ser diagonales. El procedimiento es iterativo y termina estrictamente cuando se llega a una matriz diagonal. El procedimiento termina cuando en la última matriz encontrada, la suma de los elementos fuera de la diagonal en valor absoluto es menor a una tolerancia prefijada. La matriz final es semejante a la matriz original y además se considera diagonal. Por lo tanto los valores propios son las cantidades de la diagonal. Existe las siguientes posibilidades para hacer cero a los elementos fuera de la diagonal: i) Hacer ceros por filas, ii) Hacer ceros por columnas, iii) Hacer cero al mayor elemento fuera de la diagonal en valor absoluto, iv) Una combinación de los casos anotados.

6.3.1 Desarrollo del Método Sea cero,

a p ,q el elemento de la fila p y columna q, de una matriz A, que se desea hacer

p  q , el elemento se encuentra en la matriz triangular inferior en el ciclo k. La matriz P,


215

con la cual se construirá la matriz semejante y con la cual se logrará el objetivo propuesto tiene la siguiente forma:

   AK      

       

a p ,q

P 

1   P   

Ak 1

Cos

      

Sen 1

 Sen

Cos

0

      

      1

(6.19)

En la ecuación ( 6.19 ) se han indicado los elementos no nulos de la matriz P. En general ésta matriz se determina de la siguiente manera. i.

ii.

En la diagonal principal todos los elementos son 1 a excepción de dos términos que valen Cos  . Estos términos corresponden a los ubicados en la fila p y columna p; y al ubicado en la fila q y columna q. El elemento a p ,q de la matriz triangular inferior tiene por valor  Sen , su simétrico vale

Sen

La matriz P, indicada en la ecuación (6.19) es ortogonal. En consecuencia se cumple que la inversa de la matriz P no es más que la transpuesta. A esta matriz se la conoce también con el nombre de matriz de rotación. La base del método consiste en evaluar correspondiente a la matriz



de tal manera que el elemento

a p ,q

Ak 1 sea nulo. El valor de  se obtiene a partir de la siguiente

ecuación:

tg 2 

2 a p ,q a p , p  a q ,q

(6.20)

6.3.2 Procedimiento de cálculo El procedimiento de cálculo para encontrar los valores y vectores propios de una matriz A simétrica es como sigue: i.

Se construye la matriz

pero

1 1

P

A1 semejante a la matriz A

 P . Luego: t 1

A1  P11 A P1 A1  P1t A P1

216


Se obtiene la matriz A2 semejante a A1 , etc.…

ii.

A2  P2t A1 P2 A3  P3t A2 P3 A4  P4t A3 P4 ........................ Ak 1  Pkt1 Ak Pk 1 Se puede decir que

Ak 1  Dk 1  E k 1 . Donde Dk 1 es una matriz diagonal y E k 1

lo que está fuera de la diagonal. Entonces.

lim k 

lim k 

1   Dk 1       E k 1  0

Por el teorema 2, los valores propios

2 ... ....



parte el test de parada deberá verificar que

       n 

de A son los valores propios de

a

k 1 i, j

Ak 1 . Por otra

  . La sumatoria en valor absoluto de

los elementos fuera de la diagonal es menor que una cantidad muy pequeña

.

6.3.3 Cálculo de los Vectores Propios Al desarrollar el procedimiento indicado en el apartado anterior, se tiene:

A1  P1t A P1 A2  P2t A1 P2  P2t P1t A P1 P2 A3  P3t P2t P1t A P1 P2 P3 A4  P4t P3t P2t P1t A P1 P2 P3 P4 ...

........

Ak 1  Pkt1 Pkt Pkt1 .......P4t P3t P2t P1t A P1 P2 P3 P4 .......Pk 1 Pk Pk 1

(6.21)

t

El producto de las matrices P transpuesta de (6.21) converge a P y el producto de las matrices P de (6.21) converge a P, que es matriz ortogonal. Luego se tiene que:

Ak 1  P t A P

(6.22)

Por lo tanto por el teorema 4, las columnas de la matriz P de (6.22) son los vectores propios de A. Como se indicó el método de Jacobí se aplica en la matriz K o


217

6.4 MODOS RITZ En el apartado 6.2 de este capítulo, se obtuvo los modos de vibración de un pórtico plano, considerando que los elementos horizontales son axialmente rígidos de tal manera que existe un grado de libertad horizontal por piso y un corrimiento vertical y rotación en cada uno de los nudos. El cálculo se realizó con la matriz de rigidez lateral que es aquella matriz que está asociada a los desplazamientos laterales de piso. Al proceder de esta manera en el análisis dinámico, únicamente se obtienen los desplazamientos horizontales de cada piso, no es factible conocer los desplazamientos verticales y giros de cada uno de los nudos. De igual manera los modos de vibración que se obtienen están relacionados exclusivamente con los desplazamientos horizontales. Si se desea conocer los modos de vibración, asociados a todos los grados de libertad, se debe trabajar con toda la matriz de rigidez pero normalmente la matriz de masa solo tiene cantidades diferentes de cero en las coordenadas laterales de piso de tal manera que trabajar con toda la matriz de rigidez y con toda la matriz de masa para hallar los valores y vectores propios demandaría demasiadas operaciones y algo muy importante que no todos los algoritmos de cálculo podrían resolver el problema de valores y vectores propios. Wilson (1997). 

EJEMPLO 6

En la figura 6.4 se indica un pórtico de un piso y un vano, en el cual se han numerado sus grados de libertad considerando que la viga es axialmente rígida. La matriz de rigidez es de 5 X 5 y la matriz de masas es también de 5 X 5 pero únicamente el término (5,5) tiene una cantidad diferente de cero. Se desea calcular los valores y vectores propios de la estructura, si las matrices de rigidez y de masas, son:

80754 .85   K   

658 .64

 392 .32

658 .64

4497 .40

 658 .64

934 .17

80754 .85

 658 .64 4497 .40

0.00  1655 .72  0.00   1655 .72  2499 .20 

Figura 6.4 Estructura de análisis para ilustrar los modos Ritz.

0.00  0.00    M  0.00    0.00  0.45 

218


Se ha escrito la matriz triangular superior de K ya que la matriz es simétrica y los elementos de la diagonal de la matriz de masas.



SOLUCIÓN

El problema de valores y vectores propios está definido por la siguiente ecuación:

K  

M  0

(6.23)

Donde  es el vector que contiene los valores propios y  la matriz que contiene los vectores propios. K es la matriz de rigidez y M es la matriz de masa. Debido a que la matriz M contiene ceros en la diagonal es factible aplicar la condensación estática para lo cual la ecuación (6.23) puede escribirse de la forma

 K AA K  BA

K AB   A  0      K BB   B  0

  A  M B   B 

0

(6.24)

Al trabajar con las submatrices indicadas se obtiene:

K AA  A  K AB  B  0

1   A   K AA K AB  B

(6.25)

K BA  A  K BB  B   M B  B

(6.26)

De la ecuación (6.25) se obtiene:

 A  T B

(6.27)

Siendo:

(6.28)

1 T   K AA K AB

Al reemplazar (6.27) en (6.26) se encuentra:  K BB B   M B B

(6.29)

Donde:  K BB  K BB  K BA T

(6.30)

La ecuación (6.29) es similar a la ecuación (6.23). Por lo tanto, se debe hallar la submatriz K BB y luego hallar los valores y vectores propios. A la matriz T se le conoce con varios nombres uno de ellos es matriz de incidencia, otro matriz de Paso ya que permite pasar de las coordenadas B a las coordenadas A. Para el ejemplo que se está analizando las submatrices son:

K AA

80754 .85  658 .64    392 .32   658 .64

658 .64

 392 .32

4497 .40

 658 .64

 658 .64

80754 .85

934 .17

 658 .64

t K BA  K AB

658 .64  934 .17   658 .64   4497 .40 K BB  2499 .20

K AB

0.0  1655 .72   0.0    1655 .72


219

Al reemplazar los valores en (6.28) se obtiene la matriz T, y al reemplazar en (6.30) se halla

 . Estas matrices resultan: K BB

0.00497    0.30604   T   0.00497      0.30604 

 K BB  1485 .77511

Al reemplazar en (6.29) se tiene:

K

 K BB B   M B B

Por definición de vectores propios  K BB   MB  0

B

 BB

  M B  B  0

tiene que ser diferente de cero. Luego:

 1485 .77511    0.45  0

  3301 .72248

 hubiese sido de orden 2x2 o de mayor orden el determinante de K BB  K BB   M B debe igualarse a cero. Finalmente al reemplazar el valor de  en (6.29) se t halla  B . En este caso  B puede ser cualquier valor pero para que cumpla  B M B  B  1 El valor de  B  1.49071 .

Si

Al reemplazar T y

B

en (6.27) se halla

A

0.00741    0.45621  A     0.00741     0.45621 De esta manera se ha encontrado el vector



0.00741    0.45621        A     0.00741  B    0.45621   1.49071  Por lo tanto, es factible encontrar los modos de vibración con todos los grados de libertad.

6.5 INTERACCIÓN SUELO- ESTRUCTURA Se continúa con el estudio de la interacción suelo-estructura en pórticos planos que se inició en el capítulo anterior, modelando el suelo con resortes. Estos modelos simplificados ayudan a entender mejor el comportamiento de las estructuras. Se puede trabajar este tema


220

con elementos finitos pero no se verían ciertos detalles como los que se presentan con el ejercicio que se va a resolver. 

EJEMPLO 7

La estructura de la figura 6.5, corresponde a un Bloque Estructural del Centro Educativo Municipal “Sucre”, de la ciudad de Quito, inicialmente la estructura era de 2 pisos de hormigón armado, con columnas de 30/80 cm., y vigas de 30/70 en el vano largo y 30/30 en el voladizo. Posteriormente decidieron realizar un tercer piso con una estructura de acero de lámina delgada conformada por dos perfiles doble “G” de 200/50/10/3 mm., los mismos que 2 4 tienen un área transversal de 0.001801 m y un momento de inercia de 0.0000097468 m . El 2 2 módulo de elasticidad del hormigón es 1800000 T/m y del acero 21000000 T/m .

Figura 6.5 Estructura Plana de Hormigón y Acero. 2

La carga muerta “D” considerada en el análisis es de 760 kg/m , en el primer piso; 650 2 kg/m en el segundo piso y 50 kg/m , en el tercer piso. El ancho cooperante en base al cual se 2 determinará la matriz de masas es de 4.5 m. La carga viva “L” es de 250 kg/m en los dos primeros pisos y cero en el tercer piso ya que es inaccesible a la cubierta. Para el análisis sísmico trabajar con D+0.25 L. 2

Se pide encontrar los períodos y modos de vibración, sin y considerando la interacción suelo-estructura y comentar sobre las formas modales. El estrato de suelo tiene una velocidad de la onda de corte de y un peso específico promedio de .


221

SOLUCIÓN

En el capítulo 5 se ilustró la forma de cálculo de las matrices de rigidez y de masas de un pórtico plano, considerando la interacción suelo-estructura, por lo que se recomienda su lectura ya que se va a presentar solo resultados.

Figura 6.6 Grados de libertad, para la estructura mixta de hormigón y acero con base empotrada. 

Análisis con Base Empotrada

En la figura 6.6, se indica los grados de libertad con los que se encuentra la matriz de rigidez asociada a las coordenadas laterales de piso. Primero se ha numerado las coordenadas principales, las mismas que van de la 1 a la 3; luego los restantes grados de libertad, numerados en forma arbitraria; se ha creado un elemento ficticio que es la columna de la planta baja, se pudo encontrar la matriz de rigidez lateral sin ese elemento ficticio. El programa con el cual se halla la matriz de rigidez lateral, para utilizar la librería de programas de CEINCI-LAB es el siguiente. % Programa para realizar el análisis sísmico de estructura % con dos pisos de hormigón armado y tercer piso de acero. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2011 %-------------------------------------------------------------% Número de grados de libertad ngl=21; %--------------Hormigón Armado----------------------VCH=[0 0 0 1 4 7; 0 0 0 1 10 13; 0 0 0 1 16 19; 1 4 7 2 5 8; 1 10 13 2 11 14;

222


1 4 7 1 10 13; 1 10 13 1 16 19; 2 5 8 2 11 14; 2 11 14 2 17 20]; LH=[2.9; 2.9; 2.9; 2.9; 2.9; 5.7; 1.9; 5.7; 1.9]; senoH=[1; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0]; cosenoH=[0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1]; ELEMH=[0.3 0.8;0.3 0.8; 0.001 0.001; 0.3 0.8;0.3 0.8;0.3 0.7;0.3 0.3; 0.3 0.7; 0.3 0.3]; EH=1800000; % Modulo de elasticidad del Hormigón [SH]=krigidez(ngl,ELEMH,LH,senoH,cosenoH,VCH,EH);% K elemen. Hormigón %--------------Acero--------------------------------------VCA=[1 16 19 2 17 20; 2 5 8 3 6 9;2 11 14 3 12 15;2 17 20 3 18 21;3 6 9 3 12 15;3 12 15 3 18 21]; LA=[2.9; 2.9; 2.9; 2.9; 5.70; 1.9]; senoA=[1; 1; 1; 1; 0; 0]; cosenoA=[0; 0; 0; 0; 1; 1];A=0.001801; Ix=0.0000097468; ELEMA=[A Ix; A Ix; A Ix; A Ix; A Ix; A Ix]; EA=21000000; % Modulo de elasticidad del Acero [SA]=krigidez_acero(ngl,ELEMA,LA,senoA,cosenoA,VCA,EA); % K Acero %-----------------------------------------------------------S=SH+SA; % Matriz de rigidez Acero y Hormigón Kaa=S(1:3,1:3); Kab=S(1:3,4:21); Kbb=S(4:21,4:21);Kba=Kab'; K=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba % Matriz de rigidez en coordenadas principales %end La matriz de rigidez lateral que se obtiene es: [

]

Tabla 6.1 Cálculo de las masas en estructura con base empotrada.

Piso

D

No 1 2 3

T/m² 0.76 0.65 0.05

L T/m² 0.25 0.25 0

Ancho D+0.25L cooperante T/m² M 0.82 4.5 0.71 4.5 0.05 4.5 [

Carga q T/m 3.70 3.21 0.23

Carga Longitud P m T 7.60 28.13 7.60 24.37 7.60 1.71

Masa m Ts2/m 2.870 2.486 0.174

]

En la tabla 6.2 se presentan las propiedades dinámicas que se hallan en la estructura con base empotrada utilizando el programa orden_eig de la librería de CEINCI-LAB Tabla 6.2 Propiedades dinámicas en estructura con base empotrada. Modo 1 2 3 Período (seg.) 0.2345 0.1670 0.0569 0.1699 0.1914 -0.5319 0.4121 0.3965 0.2743 1.6865 -1.7021 -0.0737 Los valores del Primer Modo de vibración están indicando que el tercer piso es muy flexible ya que se va a desplazar aproximadamente cuatro veces de lo que se desplaza el segundo piso; algo similar se tiene para el segundo modo. Las estructuras responden fundamentalmente en el primer modo.


223

Por lo tanto, las ampliaciones que se realizan con lámina delgada son muy flexibles, con relación a los pisos inferiores que son de hormigón armado. 

Análisis con Interacción

En la figura 6.7 se presenta la cimentación en base a la cual se obtiene las rigideces traslacional y rotacional, se ha impuesto plintos rectangulares para ser más general la explicación del cálculo de los radios equivalentes , . √

√

Figura 6.7 Cimentación considerada para el cálculo de las rigideces traslacional y rotacional.

224


(

)

(

(

)

(

[ La masa de los dos plintos,

)

)

] vale:

En la figura 6.8 se presenta el modelo considerado para la interacción suelo estructura, se indican los grados de libertad y las alturas a cada una de las masas medidas a partir de la cimentación, para la evaluación de la matriz de masas.

Figura 6.8 Modelo considerado para la interacción suelo estructura.


225

En la tabla 6.3 se presentan las propiedades dinámicas de la estructura considerando interacción suelo-estructura. Nótese que el período fundamental es 0.2488 seg., mayor al 0.2345 seg., que se tenía con base empotrada. Por otra parte, en este ejercicio el período y la forma modal del quinto modo son números complejos; la forma de interpretación de estos valores de la forma , siendo . Aguiar √ √ , es mediante su módulo (1991). Tabla 6.3 Propiedades Dinámicas de estructura con Interacción Suelo-Estructura Modo 1 2 3 4 5 Período (seg.) 0.2488 0.1718 0.0600 0.0108 0+0.0015 i -0.1603 -0.1453 0.3764 -1.5236 0+14.9189 i -0.3833 -0.2845 -0.4759 -1.3179 0+24.7765 i -1.4021 1.9515 -0.1335 -1.1585 0+34.7263 i -0.0127 -0.0143 0.090 1.7466 0+0.0292 i -0.0070 -0.0057 0.0125 -0.0575 0-3.3975 i Se deja al lector el dibujo de las formas modales, se recuerda que las deformaciones de la estructura son con respecto al movimiento de la cimentación que se mueve como cuerpo rígido. En Interacción suelo-estructura se cumple, en forma aproximada, la siguiente relación. (6.31) Donde es el período de vibración de la estructura considerando interacción sueloestructura; es el período de vibración de la estructura con base empotrada; es el período de vibración, traslacional, considerando a la estructura infinitamente rígida con un solo grado de libertad; es el período de vibración rotacional considerando a la estructura totalmente rígida con un solo grado de libertad.

√ √

(6.32)

(6.33)

Donde es la masa total del sistema; es el momento de inercia rotacional con ∑ respecto a la base de la cimentación; ; es la aceleración de la gravedad. Las restantes variables han sido ya indicadas. Para el ejemplo que se ha desarrollado se tiene.

√


226

√

√ El período que se obtuvo a partir del valor propio parecida a la encontrada con la ecuación (6.31).

es 0.248 seg.,cantidad muy

6.6 AISLADORES DE BASE En la figura 6.9 se presenta la estructura, con aisladores de base que se analizó en el capítulo anterior, ahí se obtuvo que para un período objetivo de 2 seg., la rigidez . Esta es la rigidez de los 4 aisladores. Por lo tanto la rigidez de un solo aislador será T/m. Ahora para hallar las dimensiones del aislador se procede de la siguiente manera.

3,6 m

4.00 T/m

5

m4

4

m3

3

m2

2

m1

3,6 m

4.97 T/m

3,6 m

4.97 T/m

3,6 m

4.97 T/m

1.815 T/m

mb Kb

Kb

Kb

Kb

Cb

Cb

Cb

Cb

7,1 m

5m

1

Kb Cb

7,1 m

Figura 6.9 Modelo Numérico para estructura con aisladores elastomericos. (6.34) Donde es el módulo de corte de la goma, también conocido como módulo de almacenamiento; es el área de la goma que trabaja al corte, que está, vulcanizada con el acero; es la altura pero solo de goma del aislador. La Norma Chilena de Aislación Sísmica (2002) recomienda que el valor de obtenga para un 50% de deformación lateral de la goma con respecto a su altura.

se 2

En la figura 6.10 se tienen las dimensiones del aislador, para un kg/cm , y un valor de (altura solo de gomas); es un aislador circular con un orificio en la parte central. El diámetro exterior es de 58 cm y el diámetro interior es de 6 cm. Luego:


.

227

/

El aislador de la figura 6.10 es esquemático; la goma tiene 4 mm., de espesor y las placas de acero 2 mm. Si se dibuja todas las gomas, la figura va a ser muy grande.

Figura 6.10 Dimensiones del aislador elastomérico a utilizar. 

EJEMPLO 8

Encontrar la matriz de rigidez de la estructura indicada en la figura 6.9, la matriz de masas y los períodos de vibración, utilizando los programas de CEINCI-LAB. Modelar a los aisladores como resortes que tienen una rigidez , considerar los grados de libertad indicados en la figura 6.11, la losa de aislación solo tiene un grado de libertad en el piso, que se ha definido con la coordenada 1 y considerar los desplazamientos laterales de la superestructura con relación al desplazamiento lateral del sistema de aislación. Las dimensiones de las columnas son de 45/60 y las vigas de los tres primeros pisos son de 35/60 y del cuarto piso de 35/50. El módulo de elasticidad del hormigón es 2168870 2 T/m . En el modelo numérico de la figura 6.11, no influye las dimensiones de la viga de la losa de aislación. 

SOLUCIÓN

En el capítulo 5 se resolvió este problema, considerando que todos los elementos de la superestructura son axialmente rígidos, para el efecto se utilizó el programa rlaxinfi. Ahora de acuerdo al modelo de la figura 6.11, solo las vigas son axialmente rígidas, de tal manera que la matriz de rigidez lateral es diferente. Pero los períodos de vibración y formas modales son los mismos o difieren muy poco, razón por la cual se presenta el programa con el cual se resuelve el ejercicio y los programas de CEINCI-LAB que se han utilizado, en el siguiente apartado. Las matrices de rigidez y masa, son:

[

]

228


[

30

5

32 31

22

4

24

14

27

17

m4

5

29

m3

4

m2

3

m1

2

mb

1

20 19

10 9

37 28

18

8 7

35

25

15

36

26

16

6

2

34 33

23

3

]

21 12

11

13

1 Figura 6.11 Grados de libertad y coordenadas principales.

Tabla 6.4 Propiedades Dinámicas de estructura con aisladores de base Modo 1 2 3 4 Período (seg.) 2.10 0.38 0.18 0.10 -0.1419 -0.2168 0.2262 0.2431 -0.0063 0.0388 -0.1483 -0.2956 -0.0147 0.1613 -0.4039 -0.4002 -0.0208 0.3156 -0.3559 -0.0327 -0.0245 0.4423 -0.0347 -0.3510

5 0.08 -0.3217 0.5222 0.1846 0.3947 0.2962

El programa que se indica a continuación, encuentra las matrices de rigidez, masa, periodos de vibración, modos de vibración, que se han anotado y también halla la matriz de amortiguamiento, tema que se estudia en el siguiente capítulo y encuentra la respuesta en el tiempo ante la componente horizontal del sismo de El Centro de 1940 utilizando el algoritmo de Procedimiento de Espacio de Estado que se estudiará posteriormente; se presenta todo en este ejemplo para tener completa la respuesta. % Ejemplo 8 % % Dr. Roberto Aguiar % 18 Nov 2011 %----------------------------------------------------------nod=20;np=4;nr=4; [CG,ngl]=cg_aislador(nod,np,nr); GEN=[1 1 5 3 1 1 1;5 5 9 3 1 1 1;9 9 13 3 1 1 1; 13 13 17 3 1 1 1; 17 1 2 2 1 1 1; 20 5 6 2 1 1 1; 23 9 10 2 1 1 1; 26 13 14 2 1 1 1; 29 17 18 2 1 1 1]; [NI,NJ]=gn_portico(GEN);

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE [VC]=vc_aislador(NI,NJ,CG); NUDOS=[1 0.0 0.0 4 4 0.0 3.6; 2 7.1 0.0 4 4 0.0 3.6; 3 12.1 0.0 4 4 0.0 3.6; 4 19.2 0.0 4 4 0.0 3.6]; [X,Y]=glinea_portico(NUDOS); % dibujo(X,Y,NI,NJ); [L,seno,coseno]=longitud (X,Y,NI,NJ); ELEM=[0.45 0.60;0.45 0.60;0.45 0.60;0.45 0.60; 0.45 0.60;0.45 0.60;0.45 0.60;0.45 0.60; 0.45 0.60;0.45 0.60;0.45 0.60;0.45 0.60; 0.45 0.60;0.45 0.60;0.45 0.60;0.45 0.60; 0.35 0.60; 0.35 0.60; 0.35 0.60; 0.35 0.60; 0.35 0.60; 0.35 0.60; 0.35 0.60; 0.35 0.60; 0.35 0.60; 0.35 0.60; 0.35 0.60; 0.35 0.60; 0.35 0.50; 0.35 0.50; 0.35 0.50]; E=2168870; kb=[100.3; 100.3; 100.3; 100.3]; [SS]=krigidez_aislador(ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E,kb); Kaa=SS(1:5,1:5);Kab=SS(1:5,6:37);Kbb=SS(6:37,6:37);Kba=Kab'; K=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba% Matriz de rigidez de aislación estructura masas=[3.56;9.74;9.74;9.74;7.84]; [M]=masas_aislador (masas) % Matriz de masas de aislación estructura [T,fi,OM]=orden_eig(K,M) % Estructura con aislación zedas=0.05;% Superestructura Ks=K(2:5,2:5);Ms=M(2:5,2:5); [Ts,fis,OMs]=orden_eig(Ks,Ms); % Estructura con base empotrada [Cs]=amortiguamiento(Ms,fis,OMs,zedas) % Amortiguamiento Base Empotrada mt=M(1,1); % Masa total zedab=0.10; % Amortiguamiento Aislador cb=2*zedab*sqrt(mt*sum(kb)); cero=[0 0 0 0]; C=[cb cero;cero' Cs]; % Matriz de amortiguamiento con Aisladores J=[1;0;0;0;0]; % Vector de Incidencia load rec_centro; %Sismo de El Centro de 1940 p=ux/100; % Paso el acelerograma a m/s2. n=length (p); % Numero de puntos del sismo for i=1:5; q(i)=0; qp(i)=0; end; q=q'; qp=qp'; Y=[q;qp] for i=1:n a=p(i); % Un valor del acelerograma t(i)=i*dT; % Tiempo [Yn]=pee_de_uno(K,C,M,J,a,dT,Y); qb(i)=Yn(1); % Desplazamiento del sistema de aislación qt(i)=Yn(5); % Desplazamiento en el tope de la estructura qt1(i)=Yn(2); %Desplazamiento en el primer piso Y=Yn; end figure (1) % Acelerograma plot(t,p);xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Aceleracion'); title ('Acelerograma'); figure (2) % Desplazamiento Sistema de Aislación plot(t,qb);xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Desplazamiento'); title ('Aislacion'); figure (3); % Desplazamiento de Superestructura cuarto piso plot (t,qt); hold on; plot (t,qt1,'r'); xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Desplazamiento'); title ('1er Piso 4to piso'); figure (4) plot(t,qb); hold on; plot (t,qt,'r'); xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Desplazamiento'); title ('Aislacion-Super estructura');

229


230

6.7 PROGRAMAS DE CEINCI-LAB PARA AISLADORES DE BASE Para que se entienda el archivo de datos del ejemplo 8, que se acaba de presentar y sobre todo para comprender los programas de la librería de CEINCI-LAB, se presenta en la figura 6.12, la numeración de los nudos dentro de un rectángulo, de los elementos dentro de un círculo, se ha numerado las coordenadas principales de primero, del 1 al 5, luego los restantes grados de libertad y a la derecha se indica el modelo de cálculo para el análisis sísmico.

5

30

32

17

31

29

33

13

4

22

24

13

23 14

26

23

6

26 27

8

5 1

18 24

19

17

28 28

18

16

29 20

25

11

12

21 12

8

22

3 2

5

m3

4

m2

3

m1

2

mb

1

8 7

21

m4

12

11

10 9

2 1

15

7 6

20

37

11

10

20

16

27

6

7

1

14

17

5

36 31

15

25 16

9

19

35

10

15

2

34 30

14

9

3

18

13 4

3

19

4

Figura 6.12 Numeración de nudos, elementos y grados de libertad. 

Programa cg_aislador [CG,ngl]=cg_aislador (nod,np,nr)

Este programa calcula, la matriz que contiene a las Coordenadas Generalizadas de cada uno de los nudos y el número de grados de libertad de la estructura. Para los nudos del sistema de aislación 1, 2, 3 y 4; este arreglo es [ 1 0 0 ], solo puede desplazarse en sentido horizontal. Es decir este programa reproduce los grados de libertad que están indicados en la figura 6.12. Los datos de entrada, son: nod np nr

Número de nudos del pórtico. Número de pisos. Número de nudos restinguidos.

function [CG,ngl]=cg_aislador(nod,np,nr) % % Programa para encontrar las coordenadas generalizadas % en un Portico Plano con Aisladores de Base sobre la cimentación % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2011 %------------------------------------------------------------% [CG,ngl]=cg_aislador(nod,np,nr) %------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas % nod Numero de nudos


231

% np Numero de pisos % nr Numero de nudos con aisladores de base sobre cimentacion % ngl=0;CG=zeros(nod,3); for i=1:nr CG(i,1)=1; end ngl=ngl+1;icon=nr; %------------Coordenadas Principales---------------------------for i=1:np ngl=ngl+1; for j=1:nr nn=icon+j; CG(nn,1)=ngl; end icon=nn; end %-----------Coordenadas Secundarias---------------------------icon=nr; for i=1:np for j=1:nr nn=icon+j;ngl=ngl+1; CG(nn,2)=ngl; ngl=ngl+1; CG(nn,3)=ngl; end icon=nn; end return 

Programa gn_portico [NI,NJ]=gn_portico (GEN)

Este programa obtiene dos vectores denominados NI, NJ que contienen los nudos iniciales y finales del pórtico. Los datos de ingreso vienen en la matriz GEN, el usuario podrá ver el significado de cada variable de ingreso en el programa que se indica a continuación. function [NI,NJ]=gn_portico(GEN) % % Programa para generar el Nudo inicial y final de los elementos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Septiembre de 2009 % Revisado Septiembre 2011 %------------------------------------------------------------% [NI,NJ]=gn_portico(GEN) %------------------------------------------------------------% GEN=[i,ia,ib,nig,ii,ina,inb] % i Número del elemento % ia Nudo inicial del elemento % ib Nudo final del elemento % nig Número de elementos a generar % ii Incremento en la numeración de los elementos % ina Incremento en la numeración del nudo inicial % inb Incremento en la numeración del nudo final

232


% NI,NJ Vectores con los nudos iniciales y finales generados nf=length(GEN(:,1)); for ij=1:nf i=GEN(ij,1);ia=GEN(ij,2);ib=GEN(ij,3);nig=GEN(ij,4); ii=GEN(ij,5);ina=GEN(ij,6);inb=GEN(ij,7); NI(i)=ia;NJ(i)=ib; for k=1:nig i=i+ii;NI(i)=ia+ina;NJ(i)=ib+inb; ia=NI(i);ib=NJ(i); end end return % ---end--

Programa vc_aislador [VC]=vc_aislador (NI,NJ,CG)

Este programa halla la matriz que contiene a los vectores de colocación de cada uno de los elementos de la estructura. Este programa es diferente al vc_portico debido a que ahora se trabaja con coordenadas relativas. Si se trabajará con el programa vc_portico, el vector de colocación del elemento 1, sería: [1 0 0 2 6 7]. Pero como los desplazamientos de la superestructura son relativos al sistema de aislación, el vector de colocación es [0 0 0 2 6 7] y esto se obtiene con el programa vc_aislador Los datos de entrada son: NI, NJ , vectores que contienen al nudo inicial y final de la estructura y CG que es la matriz que contiene a las coordenadas generalizadas. function [VC]=vc_aislador(NI,NJ,CG) % % Programa para calcular la matriz con los vectores de colocación % en Porticos Planos con Aisladores de Base. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2011 %------------------------------------------------------------% [VC]=vc(NI,NJ,CG) %------------------------------------------------------------% NI Vector con los nudos iniciales de los elementos % NJ Vector con los nudos finales de los elementos % CG Matriz que contiene las coord. generalizadas de nudos mbr=length(NI);icod=length(CG(1,:));VC=zeros(mbr,icod); for i=1:mbr for j=1:icod VC(i,j)=CG(NI(i),j);VC(i,j+icod)=CG(NJ(i),j); end if VC(i,1)==1 if VC(i,4)==1 continue else VC(i,1)=0; end end end return % ---end----


233

Programa glinea_portico [X,Y]=glinea_portico (NUDOS)

Este programa obtiene dos vectores denominados X, Y, con las coordenadas en sentido X, Y, de cada uno de los nudos de la estructura. El ingreso de datos se realiza en la matriz NUDOS, el contenido de esta matriz se ve en el listado del programa que se indica a continuación. function [X,Y]=glinea_portico(NUDOS) % % Programa para generar las coordenadas de los nudos en forma lineal % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Septiembre de 2009 %------------------------------------------------------------% [X,Y]=glinea_portico(NUDOS) %------------------------------------------------------------% NUDOS=[i,xi,yi,ij,inci,dx,dy] %i Nudo inicial % xi,yi Coordenadas del nudo inicial % ij Numero de nudos a generar % inci Incremento en la numeración del nudo inicial % dx Incremento de longitud en X. % dy Incremento de longitud en Y. % X,Y Vector que contiene las coordenadas de los nudos nf=length(NUDOS(:,7)); for k=1:nf i=NUDOS(k,1);X(i)=NUDOS(k,2);Y(i)=NUDOS(k,3); ij=NUDOS(k,4);inci=NUDOS(k,5); dx=NUDOS(k,6);dy=NUDOS(k,7); for ii=1:ij X(i+ii*inci)=X(i)+ii*dx; Y(i+ii*inci)=Y(i)+ii*dy; end end return 

Programa longitud

[L,seno,coseno]=longitud (X,Y,NI,NJ) Este programa halla tres vectores que se han denominado L, seno, coseno, que contiene la longitud de cada uno de los elementos, el primer vector; el seno del ángulo que forma el eje del miembro con el eje de las X, y el coseno del ángulo anterior. Esta información sirve para obtener la matriz de rigidez en coordenadas globales. En la figura 6.13 se indica, a la izquierda un elemento inclinado que forma un ángulo , con la horizontal; la longitud del elementos se halla con las coordenadas X, Y, del nudo inicial y final, por eso son datos los vectores X, Y, que contienen las coordenadas de todos los nudos; NI, NJ, los vectores con la información del nudo inicial y final de cada elemento. Con los valores del seno y coseno se halla la matriz de paso de coordenadas locales a globales. Aguiar (2004).

234


Figura 6.13 Coordenadas Locales y Globales de un elemento. function [L,seno,coseno]=longitud (X,Y,NI,NJ) % % Programa que calcula longitud, seno, coseno de los elementos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Septiembre de 2009 %------------------------------------------------------------% [L,seno,coseno]=longitud (X,Y,NI,NJ) %------------------------------------------------------------% X,Y Vector de coordenadas de los nudos % NI,NJ Vector de nudos inicial y final de elementos mbr=length(NI); for i=1:mbr dx=X(NJ(i))-X(NI(i));dy=Y(NJ(i))-Y(NI(i)); L(i)=sqrt(dx*dx+dy*dy); seno(i)=dy/L(i);coseno(i)=dx/L(i); end; return 

Programa krigidez_aislador

[SS]=krigidez_aislador (ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E,kb) El programa krigidez_aislador determina la matriz de rigidez de la estructura, es similar al programa krigidez, que obtiene la matriz de rigidez de un pórtico plano con base empotrada. Ahora se debe dar un dato más que es: Kb Vector que contiene la rigidez de cada uno de los aisladores. function [SS]=krigidez_aislador(ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E,kb) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez de un portico plano % o armadura plana con aisladores de base % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2011 %------------------------------------------------------------% [SS]=krigidez_aislador(ngl,ELEM,L,seno,coseno,VC,E,kb)


235

%------------------------------------------------------------% ELEM Matriz que contiene la base y la altura de los elementos % para el caso de pórticos planos. % ELEM Vector que contiene el área de los elementos de armadura % L Vector que contiene la longitud de los elementos % seno Vectorque contiene los senos de los elementos % coseno Vector que contiene los cosenos de los elementos % VC Matriz que contiene los vectores de colocación de elementos % E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % ngl Número de grados de libertad % kb Vector que contiene la rigidez de cada uno de los aisladores % mbr=length(L); SS=zeros(ngl);icod=length(VC(1,:)); for i=1:mbr if icod==4 A=ELEM(i,1); %Area de elemento Lon=L(i);sen=seno(i);cose=coseno(i); [k]=kdiagonal(A,Lon,E,sen,cose); else b=ELEM(i,1);h=ELEM(i,2);Lon=L(i);sen=seno(i);cose=coseno(i); [k]=kmiembro(b,h,Lon,E,sen,cose); end for j=1:icod jj=VC(i,j); if jj==0 continue end for m=1:icod mm=VC(i,m); if mm==0 continue end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end % Contribucion de aisladores icont=length(kb); % Numero de aisladores for i=1:icont SS(1,1)=SS(1,1)+kb(i); end; return 

Programa masas_aislador [M]=masas_aislador(masas)

Programa para encontrar la matriz de masas de un pórtico plano con aisladores de base, cuyo modelo numérico de cálculo, es similar al que está a la derecha de la figura 6.12. Los datos se ingresan en el vector: masas

Contiene la masa del sistema de aislación , pero la total; del primer piso , total; del segundo piso , etc. Con esta información el programa encuentra la masa total de la estructura con sistema de aislación que se había denominado , que es el primer elemento de la matriz de masas.

236


function [M]=masas_aislador(masas) % % Programa para encontrar la matriz de masas de una estructura % Plana con aisladores de base elastomericos sobre la cimentacion % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2011 %------------------------------------------------------------% [M]=masas_aislador(masas) %------------------------------------------------------------% masas Vector que contiene las masas de cada piso empezando % por la masa de la losa de aislación; luego del primer % piso hasta la del último piso. ngl=length(masas); M=zeros(ngl); for i=1:ngl if i==1 M(i,i)=sum(masas); else M(i,i)=masas(i);M(1,i)=masas(i);M(i,1)=masas(i); end end return 

Programa orden_eig

[T,fi,OM]=orden_eig (KE,MASA) Programa que encuentra los valores y vectores propios de una estructura, a partir de los siguientes datos: KE MASA

Matriz de rigidez de la estructura. Matriz de masas de la estructura.

El programa reporta: T fi OM

Períodos de vibración de la estructura de mayor a menor. Modos de vibración de la estructura. Frecuencias de vibración.

function [T,fi,OM]=orden_eig(KE,MASA) % % Programa que calcular y ordenar los valores y vectores propios % de menor a mayor % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Octubre de 2009 %------------------------------------------------------------% [T,phi,OM]=orden_eig(K,M) %------------------------------------------------------------% KE,MASA Matrices de rigidez y de masas % V,OM Vectores propios y frecuencias de vibración %T Períodos de vibración n=length(KE); [V,lamda]=eig(full(KE),full(MASA)); OM=sqrt(diag(lamda));[OM,ind]=sort(OM);fi=V(:,ind);


237

for i=1:n; T(i)=2*pi/OM(i); end; T=T'; Md=diag(fi'*MASA*fi);S=sqrt(1./Md);% Normalización de modos fi=fi*diag(S);% Normalizado de tal manera que fi'*M*fi=1 return 

Programa amortiguamiento [C]=amortiguamiento (M,phi,OM,zeda)

Programa que determina la matriz de amortiguamiento, siguiente capítulo. Los datos de entrada, son: M phi OM zeda

tema que se estudiará en el

Matriz de masas. Matriz que contiene los modos de vibración. Vector con las frecuencias de vibración. Factor de amortiguamiento, un solo valor el mismo que se considera igual en todos los modos de vibración.

function [C]=amortiguamiento(M,phi,OM,zeda) % % Programa para encontrar la matriz de amortiguamiento de una estructura % Amortiguamiento tipo Wilson y Penzien % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2009 %------------------------------------------------------------% [C]=amortiguamiento(M,phi,OM,zeda) %------------------------------------------------------------% M Matriz de masa de la estructura % phi Matriz que contiene los modos de vibración normalizados % OM Vector que contiene las frecuencias de vibración de menor a mayor. % ngl Número de grados de libertad % zeda Factor de amortiguamiento de la estructura, un solo valor n=length(M(:,1)); ZEDA=zeros(n);for i=1:n; ZEDA(i,i)=zeda; end mms=diag(phi'*M*phi); % mms es un vector unitario Cd=zeros(n);for i=1:n; Cd(i,i)=2*ZEDA(i,i)*OM(i)/mms(i); end C=M*phi*Cd*phi'*M; return;end 

Programa pee_de_uno [Yn]=pee_de_uno (K,C,M,J,a,dT,Y)

Este programa encuentra la respuesta en el tiempo de una estructura, empleando el Método denominado: Procedimiento de Espacio de Estado, que se estudiará más adelante. Antes de describir los datos de entrada, es importante indicar el sistema de ecuaciones diferenciales que se resuelve. ̈

̇

(6.35)

Donde son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del sistema; es el vector de incidencia de los grados de libertad con el movimiento del suelo; es la ̇ ̈ , son los vectores de desplazamiento, aceleración del suelo definida por su acelerograma; velocidad y aceleración.

238


En la formulación del Método: Procedimiento de Espacio de Estado, de la ecuación (6.35) se despeja el vector ̈ . ̈

̇

(6.36)

En la ecuación (6.36), están prácticamente indicados todos los datos que ingresan al programa, faltando indicar que el vector de estado está formado por el vector de desplazamientos y por el vector de velocidades. * ̇+ Los datos de entrada son: K C M J a dT Y

Matriz de rigidez. Matriz de amortiguamiento. Matriz de masas. Vector de incidencia de movimiento del suelo, teniendo en cuenta la forma de escritura de la ecuación (6.36). Un valor del acelerograma, Incremento de tiempo con el cual viene el archivo del acelerograma. Vector de estado que contiene los desplazamientos y velocidades, en el tiempo discreto .

El programa reporta, el vector de estado en el tiempo

que se ha denominado

.

function [Yn]=pee_de_uno(K,C,M,J,a,dT,Y) % % Procedimiento de Espacio de Estado pero obtiene la respuesta % en el tiempo. En este programa se halla para cada aceleración % del suelo la respuesta en el tiempo. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Octubre de 2009 %------------------------------------------------------------% [Yn]=pee_de_uno(K,C,M,J,a,dT,Y) %------------------------------------------------------------% K,C,M Matrices de rigidez, amortiguamiento y masas %J El vector de cargas Q=-M*J*a %a Valor de una aceleración del acelerograma % dT Incremento de tiempo %Y Vector que contiene a los desplazamientos y velocidades % en el tiempo discreto k. Solo se halla la respuesta para % un solo valor de aceleración % Yn Nuevo vector Y para tiempo discreto k+1 n=length(K);for i=1:n; cero(i)=0; end; cero=cero'; F=[zeros(n) eye(n); -inv(M)*K -inv(M)*C]; B=[cero;J];A=expm(F*dT);Bd=F\(A-eye(2*n))*B; Yn=A*Y+Bd*a; return Con relación a la estructura de 4 pisos, con aisladores de base, ejemplo 8; el programa descrito en el apartado anterior y que utiliza los programas del sistema CEINCI-LAB, que se han indicado, reporta los siguientes gráficos.


239

240


Figura 6.14 Respuesta en el tiempo de ejemplo 9. 2

El primer gráfico corresponde al acelerograma utilizado, las unidades son m/s ; el segundo es la respuesta en desplazamientos del sistema de aislación. Nótese que el desplazamiento máximo está alrededor de los 15 cm. En el tercer gráfico de la figura 6.14 se indican los desplazamientos del sistema de aislación y del 4to piso de la estructura; finalmente en el último gráfico están los desplazamientos del 1ro y 4to piso. Se destaca una vez más que los desplazamientos de la superestructura son relativos al movimiento del sistema de aislación.

REFERENCIAS 1. ACHISINA, (2001), Proposición de código para el análisis y diseño de edificios con aislación sísmica, Asociación Chilena de Sismología e Ingeniería Sísmica., 70 p., Santiago de Chile. 2. Aguiar R., (1991), Análisis sísmico de estructuras en forma de Péndulo Invertido, Politécnica del Ejército, 325 p., Quito. 3. Aguiar R., (2004), Análisis matricial de estructuras, Politécnica del Ejército. Segunda Edición, 550 p., Quito. 4. Creamer B., (1986), Análisis aproximado de los efectos dinámicos en estructuras espaciales usando los métodos aproximados: Rigideces Sucesivas y Método de los ejes de corte. Lenguaje de programa Fortran 77, Tesis de Pre grado en Ing. Civil. Escuela Politécnica del Ejército, Quito. 5. Wilson E., (1997), Three dimensional Dynamic Analysis of Structures. With emphasis on Earthquake Engineering, Computer and Structures Inc, Berkeley, California.


241

CAPÍTULO 7

MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO RESUMEN El amortiguamiento viscoso, por su sencillez y porque reporta resultados aceptables en la Ingeniería Sísmica es uno de los más utilizados para modelar el comportamiento dinámico de suelos, de aisladores y disipadores de energía elastoméricos y de estructuras. Por este motivo se inicia el capítulo presentando la curva de histéresis para el caso de de vibración forzada con excitación armónica, en un sistema de un grado de libertad.Se encuentra la energía disipada, en forma exacta y se presenta un programa para hallar esta energía con métodos numéricos pero el objetivo principal del programa del Ejemplo 1, es que el lector vaya viendo como se trabaja en los programas de análisis no lineal. Posteriormente, se deduce la ecuación que se utiliza para el cálculo del factor de amortiguamiento equivalente, en función de la energía disipada y de la energía elástica encontrada por medio de la rigidez secante. Esta ecuación se ha utilizado en la ESPE, para encontrar el factor de amortiguamiento de aisladores de base y disipadores de energía elastoméricos sometidos a ensayos cíclicos con cargas armónicas en los que se ha variado la deformación de la goma y la velocidad angular de la excitación. Luego se presenta un trabajo clásico desarrollado por Jennings en 1968 en que obtiene el factor de amortiguamiento equivalente, en un modelo de histéresis bilineal, en función de la demanda de ductilidad y del coeficiente que relaciona, la rigidez post fluencia con la rigidez elástica. Este trabajo fue acogido por el ATC-40 en 1996 e incorpora un factor de corrección para ser aplicado en tres tipos de estructuras: i) La tipo A, que tienen un alto componente de diseño sísmico; ii) La Tipo C, que corresponde a estructuras con poca capacidad de disipación de energía y, iii) La Tipo B, que es un caso intermedio. El ATC-40 propone una ecuación para el cálculo del factor de amortiguamiento efectivo en función del amortiguamiento intrínseco de la estructura; del factor que toma en cuenta el tipo de estructura y del factor de amortiguamiento equivalente. De esta manera se puede estimar el factor de amortiguamiento esperado en una estructura en función de la demanda de ductilidad y hallar el espectro inelástico para el factor de amortiguamiento esperado.

242


Después se presentan dos definiciones fundamentales, asociadas con la matriz de amortiguamiento y son la determinación de la Tasa de Disipación de Energía y el cálculo de la Disipación de energía; se resuelven varios ejemplos en los que se encuentra el cálculo de la matriz de amortiguamiento, para amortiguadores viscosos que trabajan en forma horizontal y en forma vertical. Se encuentra la matriz de amortiguamiento para una estructura, considerando dos sistemas de coordenadas generalizadas y después mediante la obtención de la matriz de paso se comprueba el ejercicio realizado. La obtención de la matriz de amortiguamiento a partir del cálculo de la Disipación de Energía es muy útil para estructuras con disipadores de energía o aisladores de base elastoméricos y se desea encontrar la matriz de amortiguamiento en las condiciones reales en que se halla la estructura y más no como una combinación de las matrices de masa y rigidez. Es muy válido este último procedimiento por este motivo es obligatorio estudiar el Método de Rayleigh y el Algoritmo de Wilson y Penzien que se presentan a continuación pero si se desea en forma más exacta es conveniente evaluar la energía disipada. El Método de Rayleigh es un clásico y encuentra la matriz de amortiguamiento como una combinación lineal de las matrices de masa y rigidez pero trabajando solo con los dos primeros modos de vibración. Un método más general es el Algoritmo de Wilson y Penzien en que se halla la matriz de amortiguamiento con todos los modos de vibración de la estructura por este motivo se presentan dos programas denominados: amortiguamiento_1 que obtiene la contribución de la matriz de amortiguamiento en cada modo de vibración y luego suma todas estas contribuciones; el programa se denomina amortiguamiento y encuentra directamente la matriz de amortiguamiento. Posteriormente se presenta el desacoplamiento de las ecuaciones diferenciales, que gobiernan los problemas dinámicos, en forma numérica y teórica. El desacoplamiento es la base del Método de Superposición Modal con espectro de diseño que se presenta en el siguiente capítulo. Pero también se utiliza el desacoplamiento para encontrar la respuesta en el tiempo. Se destaca que en no todos los sistemas dinámicos se pueden desacoplar las ecuaciones diferenciales, por ejemplo en estructuras con aisladores de base FPS (Frictional Pendulum System) no se puede desacoplar el sistema por lo que se emplea otros algoritmos. Es estas estructuras tampoco se utiliza el amortiguamiento viscoso. Finalmente se resuelve el problema de Vibraciones Libres de Sistemas con Amortiguamiento de múltiples grados de libertad, por el método del exponencial de la matriz, también conocido como procedimiento de espacio de estado y se indica el programa denominado vlibreamortiguado que halla la respuesta en el tiempo de un pórtico plano sometido a un ensayo de vibración libre, el programa gráfica la respuesta en desplazamientos para el último piso del pórtico. Se demuestra, mediante un sistema de un grado de libertad, que al considerar el amortiguamiento, los valores y vectores propios son números complejos. Se indica la forma como se debe hallar la frecuencia natural de vibración a partir de los números complejos y la forma de interpretar los modos de vibración con números complejos. En el desarrollo numérico del problema de vibraciones libres amortiguadas se presenta el cálculo del exponencial de una matriz y otros aspectos que son empleados en el Procedimiento de Espacio de Estado que se presenta posteriormente.


7.1

243

DISIPACIÓN DE ENERGÍA

En el capítulo 1 se estudio la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad, sometido a una excitación armónica de la forma , donde es la magnitud máxima de la fuerza; es la frecuencia de la excitación armónica; la variable tiempo. En la figura 1 se presenta el sistema de un grado de libertad con la excitación armónica.

Figura 7.1 Sistema de 1 gdl sometido a una fuerza armónica. La ecuación diferencial que gobierna este problema es la siguiente:

̈

̇

(7.1)

Donde son la masa, amortiguamiento y rigidez del sistema de un grado de libertad; ̇ ̈ , son el desplazamiento, velocidad y aceleración del sistema. En el capítulo 1, se vio que la solución de la ecuación diferencial está compuesta por una solución homogénea y la solución particular. La homogénea desaparece en los primeros instantes de tiempo y el sistema queda vibrando en la solución particular que es la siguiente. (7.2) Donde ecuaciones.

es la amplitud máxima y

X 

el ángulo de fase, que se hallan con las siguientes

Fo

k  m    c   2 2

B  A



2

c 2 k m

  tg 1    tg 1 

  

La velocidad del sistema ̇ se halla derivando (7.2) con respecto al tiempo y se obtiene: (7.3)

̇ De la ecuación (7.2) se halla:

De donde el coseno de

es:

244


√

√

Por lo tanto, la velocidad es:

̇

√

La fuerza que ingresa a la estructura es la proveniente del resorte amortiguador . (Lamar, 1982). Luego:

más la fuerza del

̇ √

vale

(7.4)

En la figura 7.2 se gráfica la ecuación (7.4). Cuando el desplazamiento , la fuerza . El desplazamiento máximo del sistema vale , y la fuerza máxima .

Figura 7.2 Energía disipada en un ciclo.

7.1.1 Energía disipada El área sombreada de la figura 7.2, corresponde a la disipación de energía de la estructura en un ciclo. En un programa de análisis no lineal, la velocidad es uno de los parámetros con los cuales se obtienen las curvas de histéresis por este motivo se recomienda observar con detenimiento las velocidades que se han colocado en la figura 7.2. En la rama ascendente la velocidad es mayor a cero, cuando el desplazamiento llega a su máximo valor, la


245

velocidad se hace cero y cuando empieza a decrecer el desplazamiento, la velocidad es menor a cero. El área disipada, es el área de la elipse que se halla de la siguiente manera:

Donde es la energía disipada, se deja al lector la deducción de los semi ejes de la elipse que valen: √

√ Luego la energía disipada en un ciclo de histéresis, es: (7.5)

7.1.2 Factor de amortiguamiento equivalente Una fórmula muy utilizada para determinar el factor de amortiguamiento en el laboratorio es la siguiente: (7.6)

Donde: es el factor de amortiguamiento equivalente; es la energía disipada; es la energía que absorbe el sistema en forma elástica. Se desea demostrar esta fórmula para el caso de amortiguamiento viscoso, con el propósito que se conozca más el tema. Se considera que la frecuencia de la excitación es igual a la frecuencia natural del sistema . Nótese que se ha escrito sistema en lugar de estructura debido a que la ecuación (7.6) se aplica también a suelos cuando se considera amortiguamiento viscoso. Ledesma (1992). Entonces si se tiene.

√

Si se multiplica y divide para √

se tiene: √

√

√

En el capítulo 1 se vio que

√

. A este valor se ha denominado

(7.7) .

De la figura 7.2 se aprecia que la energía elástica que absorbe el sistema triángulo) es:

De donde:

. Al reemplazar este valor en la ecuación (7.7) se tiene:

(área del

246


De donde:

7.1.3 Modelo Bilineal Con el propósito de que el lector empiece a incursionar en el rango no lineal, en la figura 7.3 se presenta el modelo de histéresis bilineal, para un sistema de un grado de libertad, que tiene una rigidez en el rango elástico y una rigidez en el rango inelástico. La fuerza máxima y desplazamiento máximo asociado al rango elástico, son . Luego la rigidez elástica .

Figura 7.3 Modelo de histéresis bilineal. El rango inelástico se inicia a partir del punto de fluencia, que tiene un desplazamiento , tiene una rigidez .Siendo la relación entre la rigidez inelástica con respecto a la rigidez elástica (7.8) Una vez que se alcanza el punto máximo que tiene desplazamiento , ̇ empieza la descarga, con una rigidez ; el modelo no contempla degradación de rigidez en la descarga y se continúa con el ciclo de carga. El área de la curva sombreada es la energía disipada , que se va a calcular a continuación en el cuadrilátero que se indica en la figura 7.4, y se multiplicará por 4.

Figura 7.4 Cálculo de la energía disipada.


247

A más de calcular el área sombreada es importante fijarse en la figura 4 y justificarse por que se multiplica por 4 para hallar la energía disipada pero esto además ayuda a entender el modelo bilineal. Jennings (1968)

(

)

(

)(

Al reemplazar las áreas elementales en

)

y luego de simplificar términos se obtiene:

(

)

(7.9)

Para hallar la energía que absorbe el sistema se trabaja con el modelo de la rigidez secante, que es muy utilizado en Ingeniería Sísmica, de tal manera que se debe calcular el área sombreada de la figura 7.5.

Figura 7.5 Energía absorbida por el sistema de rigidez secante. (7.10) Una vez que se tienen calculadas las energías , para encontrar se debe utilizar la ecuación (7.6) pero se desea obtener una ecuación en función de la demanda de ductilidad de la estructura , definida por: (7.11) La fuerza máxima en un ciclo de carga ( Pero

. Por otra parte

se halla con la siguiente ecuación. ) . Luego

( [

) ]

248


Luego la energía

se obtiene con la siguiente expresión: [

]

(7.12)

Ahora al desarrollar la ecuación (7.9) se tiene: ( Sacando factor común

)

, y luego de factorar se halla. (7.13)

Finalmente el factor de amortiguamiento equivalente se encuentra con la siguiente ecuación. Jennings (1968)

[

]

(7.14)

7.1.4 Recomendaciones del ATC-40 

El amortiguamiento viscoso efectivo, para el rango no lineal igual al amortiguamiento viscosos inherente a la estructura equivalente

 eq ,

 eq

se puede considerar

 , más el amortiguamiento viscoso

el mismo que se ha obtenido en el apartado anterior mediante la rigidez

secante propuesta por Jennings (1968). El ATC-40 al considerar las imperfecciones de las curvas de histéresis, en el sentido de que no son rectas como se ha considerado en el modelo bilineal sino curvas, introduce un factor de corrección  , el mismo que se indica en la figura 7.6. De tal manera que el amortiguamiento viscoso efectivo, es: 

 eq      eq

( 7.15)

En la figura 7.6, se aprecian tres curvas para determinar el factor de corrección  , las mismas que corresponden a tres categorías de comportamiento estructural. La Tipo A, tiene un comportamiento estable y perfectamente histerético. La tipo C, es para estructuras con un pobre comportamiento histerético que corresponden a estructuras con mal comportamiento sísmico y la Tipo B, es para un caso intermedio. En la figura 7.6, se aprecia que el ATC-40 considera

  1 , para un  eq menor a

0.15 para las estructuras tipo A. Para las tipo B, el factor es 0.667 para un amortiguamiento viscoso equivalente menor a 0.25 y para las estructuras tipo C, el factor es 0.333 lo que implica una considerable reducción en el área del diagrama de histéresis. Por otra parte, el valor  eq tiene que ser menor a 0.45.

249






Figura 7.6 Variación del factor de modificación del amortiguamiento en función del amortiguamiento viscoso equivalente.



EJEMPLO 1

En el capítulo 1 se resolvió un sistema de un grado de libertad sometido a una excitación armónica de la forma . Los datos del sistema, son:

Kg s 2 m  17.51 cm.

k  27146

kg cm

  0.05 

La excitación está definida por:

Fo  1 T  1000 kg

c  2 mk  68.943

kg s cm

.

Ta  0.3 s

 

2 1  20.944 Ta s

La respuesta en el tiempo que se encontró en el capítulo1, fue:

q(t )  5.10919  10 2 sen20.944t   3.78996  10 3 cos20.944t  Se pide, elaborar un programa de computación en MATLAB para determinar: i) un ciclo de histéresis; ii) la energía disipada en un ciclo utilizando la ecuación (7.5); iii) mediante un programa en que se obtengan las áreas mediante integrales; iv) el factor de amortiguamiento viscoso equivalente que se halla con la ecuación (7.6)



SOLUCIÓN A continuación se presenta el listado del programa que resuelve el Ejemplo 1.

% Amortiguamiento viscoso en un Problema de vibración % Forzada con excitación armónica. Ejercicio 1 de capítulo 7. % % Dr. Roberto Aguiar % 18 de marzo de 2012 %------------------------------------------------------------clear; clc A=0.0510919; B=-0.00378996; om=20.944; %Respuesta en el tiempo kr=27146; c=68.943;X=sqrt(A*A+B*B); dt=0.01;icod=0; for i=1:32

250


t(i)=(i-1)*dt; q(i)=A*sin(om*t(i))+B*cos(om*t(i)); qp(i)=A*om*cos(om*t(i))-B*om*sin(om*t(i)); Fr(i)=kr*q(i); %Fuerza en el resorte Fa(i)=c*qp(i); %Fuerza en amortiguador Ft(i)=Fr(i)+Fa(i); % Fuerza Total if abs(qp(i))-0.1 < 0 & icod==0 % cambia de signo velocidad j=i; E1=trapz(q,Ft); % Area de la curva superior Primer Cuadrante icod=1; end if q(i) < 0 & icod==1 q1a=q(j+1:i);F1a=Ft(j+1:i); jj=i;np=i-j; %número de puntos+1 for k=1:np-1 %Para uso de trapz q1(k)=q1a(np-k);F1(k)=F1a(np-k); end E2=trapz(q1,F1); % Area de la curva inferior Primer Cuadrante icod=2; end if abs(qp(i))-0.1 < 0 & icod==2 q2=q(jj:i);F2=Ft(jj:i); jjj=i; E3=trapz(q2,F2); %Area de la curva superior Tercer cuadrante icod=3; end if q(i)>0 & icod==3 q3a=q(jjj+1:i);F3a=Ft(jjj+1:i); jjjj=i; np=i-jjj; %número de puntos+1 for k=1:np-1 % Para uso de trapz q3(k)=q3a(np-k);F3(k)=F3a(np-k); end E4=trapz(q3,F3); %Area de la curva inferior Tercer cuadrante icod=0; % Se inicia otro ciclo end Tab(i,1)=q(i); Tab(i,2)=qp(i);%Tab(i,3)=Ft(i); end Ed=pi*c*X^2*om % Energía disipada obtenida con ecuación Edis=E1-E2+E3-E4 % Energía disipada hallada con integrales Ee=0.5*kr*X^2; % Energía absorvida elasticamente zeda=Ed/(4*pi*Ed) % Factor de amortiguamiento equivalente Tab figure (1) plot (q,Ft) En la figura 7.7 se presenta el ciclo de histéresis dibujado por partes, en la parte superior se encuentra la carga y descarga en un sentido y en la parte inferior la carga y descarga en el otro sentido. La energía disipada en un ciclo de histéresis que se halla con la ecuación (7.5) es . La energía disipada que se halla obteniendo el área con integrales es: . La diferencia que existe es debido a que no se llega en forma exacta a los puntos que definen cada uno de los tramos de la curva de histéresis. Por ejemplo no se llega exacta al punto de desplazamiento máximo ̇ . El incremento de tiempo con el que se calcula es


251

constante todo el tiempo, se debería en las proximidades al cambio de la curva disminuir este incremento de tiempo.

Figura 7.7 Ciclo de histéresis dibujado por tramos. Se recomienda mirar con detenimiento la parte del programa que calcula las áreas, debido a que en forma similar se realiza un programa de análisis no lineal. El factor de amortiguamiento equivalente, que se halla con la ecuación (7.6) vale . 

EJEMPLO 2

Para una estructura de un grado de libertad, con un modelo de histéresis bilineal y con un valor (Relación entre la rigidez inelástica a la elástica) se le pide. Presentar un gráfico de la variación del amortiguamiento equivalente, para los tres tipos de estructuras que ha considerado el ATC-40 para encontrar el factor de que corrige el factor de amortiguamiento equivalente que se halla con la ecuación (7.15). Comentar los resultados.



SOLUCIÓN

En base a las curvas indicadas en la figura 7.6, se encontró la variación de cada tipo de estructura. Estas ecuaciones, son:

, para

252 


Estructuras Tipo A

{



)

}

Estructuras Tipo B

{



(

(

)

}

Estructuras Tipo C

En la figura 7.8 se presenta la solución del ejemplo. En el eje horizontal se tiene la ductilidad y en el vertical el valor de . Los comentarios que se realizan a la figura 7.8, son: i)

Las estructuras que no son sismo resistentes presentan una gran degradación de rigidez en la descarga, una gran pérdida de resistencia en cada ciclo de carga y un efecto pinching muy pronunciado en el cierre de grietas, antes de empezar un nuevo ciclo de carga. Por todo esto el área disipada es muy baja y esto lo considera el ATC-40 con un valor . Por este motivo estas estructuras tipo C no van a disipar gran cantidad de energía.

Figura 7.8 Variación de

ii)

en función de la ductilidad.

Una estructura tipo C, no va a llegar a tener una ductilidad de 4. A lo mucho va a tener una ductilidad de 2 y del gráfico de la figura 7.8, se aprecia que el factor de ductilidad equivalente es menor a 0.10. Este dato es muy importante tener en cuenta cuando se diseñan Presas con Hormigón Rodillado. En estructuras tipo A, se puede llegar a factores de amortiguamiento equivalente, menores o iguales a 0.3.


253

7.1.5 Modelo de Kelvin Voight En el mega sismo de Chile de 2010 quedó de manifiesto que las estructuras con aisladores de base o disipadores de energía tuvieron un excelente comportamiento sísmico. Ahora bien, en este apartado se presenta el modelo de Kelvin Voigh que se utiliza para definir el comportamiento de láminas de goma entre placas de metal. Tanto los aisladores de base como los disipadores de energía elastoméricos están formados por láminas de goma entre placas de acero. El modelo de Kelvin Voight que está compuesto por un resorte de rigidez K y un amortiguador viscoso C que trabajan en paralelo como se aprecia en la figura 7.9

Figura 7.9 Modelo de Kelvin Voight Donde q1 , q 2 son los desplazamientos del amortiguador y del resorte; q es el desplazamiento total del sistema y f (t ) es la fuerza aplicada que es función del tiempo t . Por equilibrio de fuerzas se tiene que la fuerza aplicada f (t ) es igual a la fuerza del resorte f R más la fuerza del amortiguador f A .

f (t )  f R  f A

(7.16)

La ecuación de compatibilidad de desplazamientos, establece que:

q(t )  q1 (t )  q 2 (t ) El comportamiento elástico del sistema está definido de la siguiente manera:

f R  K q 2 (t )  K q(t )

( 7.17)

En el modelo de Kelvin Voight se considera amortiguamiento viscoso por lo que la .

fuerza f A es igual al amortiguamiento C multiplicada por la velocidad q 1 que es igual a la .

velocidad q . .

.

f A  C q 1 (t )  C q (t )

( 7.18)

Al reemplazar (7.17) y (7.18) en (7.16) se halla: .

C q(t )  K q(t )  f (t )

( 7.19)

Para determinar las propiedades dinámicas de la goma o del dispositivo de amortiguamiento, se los somete a un ensayo de vibración forzada con cargas armónicas por lo que interesa hallar la respuesta en el tiempo del oscilador Kelvin Voight ante la excitación armónica indicada en la figura 7.10. (Aguiar et al. 2010; Aguiar y Haro, 2010).

254


La excitación f (t )  F0 senwt  . Donde F0 es la amplitud máxima de la fuerza f (t ) y

w la frecuencia de la excitación. La ecuación diferencial a resolver es: .

c q(t )  k q(t )  Fo sen w t 

(7.20)

Figura 7.10 Excitación armónica Si se considera ; en la solución de la ecuación diferencial que se presentó en el capítulo 1, se tiene que la solución permanente vale:

q(t ) 

Fo K 2  C  

El ángulo de fase es:

2

sen t   

(7.21)

C     K 

  tg 1 

(7.22)

.

Luego la velocidad q (t ) se obtiene con la siguiente ecuación:

Fo 

.

q(t ) 

K 2  C  

2

cos t   

La fuerza f (t ) es: .

f (t )  C q (t )  K q (t ) f (t )  C

F0  K 2  C 

2

cost     K

F0 K 2  C 

2

sent   

(7.23)

El programa kelvin reporta las curvas de histéresis para el modelo de Kelvin Voight. [q] = kelvin(K,C,Fo,w)    

K Es la rigidez del oscilador. C Es el amortiguamiento. Fo Es la máxima fuerza de la excitación armónica.  Es la frecuencia de la excitación. El programa reporta la curva de histéresis y el desplazamiento máximo.

function [qmax]=kelvin(k,c,Fo,w) % % Curva de histeresis de un oscilador Kelvin-Voight % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI ESPE % Agosto de 2006


255

%-----------------------------------------------------------------% [qmax]=kelvin(k,c,Fo,w) %-----------------------------------------------------------------% k : rigidez del oscilador kelvin-voight % c : amortiguación del oscilador kelvin-voight % Fo: Amplitud máxima de excitación Fo Sen (wt) % w : Frecuencia de la excitación % dt : incremento de tiempo con el cual se calcula la respuesta. % q : Respuesta en desplazamientos. % Ft: Fuerza en el tiempo % tmax=10; n=1000; t=linspace(0,tmax,n)'; % Calculo de fi if k==0 fi=0; else fi=atan(c*w/k); end % Respuesta en desplazamientos den1=k*k+(c*c*w*w); coef1=Fo/sqrt(den1); for i=1:n q=coef1*sin(w*t+fi); end qmax=max(abs(q)); % Respuesta en fuerzas coef2=(Fo*c*w)/sqrt(den1); coef3=(Fo*k)/sqrt(den1); for i=1:n Ft=coef2*cos(w*t+fi)+coef3*sin(w*t+fi); end plot (q,Ft) ylabel('Fuerza');xlabel('Desplazamiento') %---fin---



EJEMPLO 3 Encontrar las curvas de histéresis para el modelo de Kelvin Voight, para los siguientes

casos:

kg cm kg K  20 cm kg K  20 cm K  20

i. ii. iii.

K 0

iv.

C 0 Kg s cm Kg s C  2.0 cm Kg s C  0.45 cm C  0.45

En todos los casos la fuerza f (t )  80 sen t 



SOLUCIÓN

Para resolver el ejemplo se utilizó el programa kelvin se deja al lector interpretar las curvas de histéresis presentadas en la figura 7.11.

256


Caso i)

Caso ii)

Caso iii) Caso iv) Figura 7.11 Curva de histéresis para Ejemplo 3.

7.2

TASA DE DISIPACIÓN DE ENERGÍA

En el apartado anterior se vio que el amortiguamiento de una estructura está asociado a la disipación de energía, que se va a denominar .Ahora, se presenta en forma más conceptual la tasa de disipación de energía pero antes se define en forma más rigurosa el amortiguamiento viscoso para ello en la figura 7.12 se presenta un modelo muy sencillo; en este caso el amortiguador trabaja en dirección horizontal, el embolo se comprime o se alarga únicamente en sentido horizontal, por la forma en que se ha dibujado. La fuerza del amortiguamiento viscoso, es:

Donde ̇ respecto a “a”.

̇ es la velocidad relativa de los extremos. Es velocidad relativa de “b” con

Figura 7.12 Amortiguamiento viscoso elemental Sea E la tasa de disipación de energía y la disipación de energía de la figura 7.12 valen:

, para el modelo


257

̇ ̇ En general la tasa de disipación de energía se evalúa con la siguiente ecuación: ∑

∑ ̇

Donde es el número de grados de libertad; amortiguamiento que se halla en la fila “i”, columna “j”. ̇ los grados de libertad “i”. “j”, respectivamente.

̇

Por otra parte, la disipación de energía ∑

(7.24) es el elemento de la matriz de ̇ , son las velocidades relativas en

se encuentra con la ecuación (7.25) ∑ ̇

̇

(7.25)

La ecuación (7.25) fue propuesta por Rayleigh. Al comparar las ecuaciones (7.24) y (7.25) se tiene: (7.26) Otra forma de escribir la ecuación (7.25) es la siguiente: ̇

̇

(7.27)

Donde es la matriz de amortiguamiento; ̇ es el vector de velocidades. De tal manera que la matriz de amortiguamiento (en forma conceptual) se calcula en forma similar a la matriz de Masas.



EJEMPLO 4

Determinar la matriz de amortiguamiento de la estructura presentada, a la izquierda de la figura 7.13 si las vigas son totalmente rígidas y las columnas axialmente rígidas de tal manera que el sistema tiene los dos grados de libertad, indicados a la derecha de la figura 7.13. Las masas se han concentrado en cada uno de los pisos. Lamar (1982)



SOLUCIÓN

Por la forma en que se han dibujado los amortiguadores, todos ellos trabajan en sentido horizontal. El amortiguador trabaja con las velocidades relativas de ̇ con respecto a ̇ . El amortiguador trabaja con la velocidad ̇ .; finalmente, el amortiguador con la velocidad ̇ .

Figura 7.13 Estructura de Ejemplo 4 y grados de libertad.

258


Para encontrar la matriz de amortiguamiento se debe encontrar la disipación de energía. { {

̇

̇

̇ {

̇ ̇ ̇

̇ } ̇

̇

̇

̇ } ̇ ̇ }

̇

Luego la matriz de amortiguamiento es: *



+

EJEMPLO 5

En la estructura presentada a la izquierda de la figura 7.14, las dos columnas de la planta baja son axialmente rígidas; además las vigas son totalmente rígidas, de tal manera que el sistema tiene los 4 grados de libertad que se indican a la derecha de la figura 7.14. Las masas están concentradas a lo largo de las vigas. En esta estructura actúan 4 amortiguadores, el trabajan con las velocidades relativas horizontales, en cambio el con la velocidad vertical en el punto “a”, con respecto al piso inferior. Se pide encontrar la matriz de amortiguamiento de la estructura. Lamar (1982).

Figura 7.14 Estructura y grados de libertad de Ejemplo 5.



SOLUCIÓN

Para la solución del ejercicio es recomendable construir cada una de las deformadas elementales para encontrar el desplazamiento vertical de la viga superior en el punto “a” con relación al piso inferior, que dicho sea de paso no puede subir ya que las columnas de la planta baja son axialmente rígidas. Se recomienda la lectura del libro Análisis Matricial de Estructuras, Aguiar (2004). El desplazamiento vertical en el punto “a” es:


2

̇

̇

̇

̇ ̇

̇

259

3

Luego de elevar al cuadrado y factorar, se tiene: 2

̇

̇

̇ ̇

.

/ ̇

.

/ ̇

(

) ̇ ̇ 3

De donde la matriz de amortiguamiento es la siguiente:

[



]

EJEMPLO 6

Resolver el Ejemplo 5, con las coordenadas presentadas en la figura 7.15. Se recuerda que las columnas de la planta baja son axialmente rígidas y que las dos vigas son totalmente rígidas.

Figura 7.15 Estructura y grados de libertad de Ejemplo 6



SOLUCIÓN

Se recomienda al lector que haga las deformadas elementales y encuentre le desplazamiento vertical en el punto “a” con estas nuevas coordenadas. Este desplazamiento resulta.

{

̇

̇

̇

0 ̇

̇ 1 }

260


( (

[



)

)

]

EJEMPLO 7

A la izquierda de la figura 7 se presenta el sistema de coordenadas con que se obtuvo la matriz de amortiguamiento en el Ejemplo 5; se denomina a esta matriz . A la derecha de la figura 7 se indica el sistema de coordenadas para el cual se halló la matriz de amortiguamiento * * en el Ejemplo 6. Se han denominado a estos dos sistemas “Q-q” y “Q -q ”. Se pide encontrar la matriz de paso , tal que: , y comprobar que la matriz de amortiguamiento en el * * sistema “Q -q ” que se va a denominar , se halla de la siguiente manera:

Siendo

la matriz de amortiguamiento en el sistema “Q-q”

*

*

Sistema Q-q Sistema Q -q Figura 7.16 Dos sistemas de coordenadas para Ejemplo 7.



SOLUCIÓN La matriz de paso , resulta:

[

]

Se recuerda que la matriz de paso se halla construyendo deformadas elementales en el sistema y midiendo las deformaciones en el sistema . Al realizar el triple producto matricial , con la matriz matriz de amortiguamiento encontrada en el Ejemplo 6.

del Ejemplo 5, se halla la


261

7.3 AMORTIGUAMIENTO TIPO RAYLEIGH La forma de encontrar la matriz de amortiguamiento, presentada en el apartado anterior, es muy útil cuando se está analizando estructuras con disipadores de energía visco elásticos los mismos que están ubicados en sitios específicos de la estructura. En el modelo matemático que se adopte los amortiguadores deberán estar colocados en las masas, para que sea más fácil su evaluación. Una forma más sencilla de encontrar la matriz de amortiguamiento de una estructura es considerarla como una función dependiente de la matriz de Masas y de rigidez , como se presenta en este apartado y en el próximo. El modelo de Rayleigh considera que la matriz de amortiguamiento es una combinación lineal de las matrices de masa y de rigidez.

C  a o M  a1 K

(7.28)

a o y a1 , son dos constantes que se obtienen en base a los dos primeros

Donde

modos de vibración, utilizando la siguiente ecuación:

i  Siendo

a1 W ni ao  2 W ni 2

(7.29)

 i , factor de amortiguamiento del modo i; W ni , frecuencia natural del modo i.

El amortiguamiento tipo Rayleigh indicado es un caso particular del amortiguamiento desarrollado por Caughey (1960), el mismo que viene expresado de la siguiente manera: n 1

C  M  a i ( M 1 K ) i

(7.30)

i 0

Donde n, es el número de modos que se consideran en el análisis. La ecuación (7.30) permite calcular la matriz de amortiguamiento considerando un número n de modos de vibración; si n  2 se tiene el amortiguamiento tipo Rayleigh. 

EJEMPLO 8

Encontrar la matriz de amortiguamiento tipo Rayleigh de una estructura cuyas matrices de rigidez y de masas, son las siguientes:

1545 .747 K  2318 .620 Se considera que



2318 .620  4637 .241

0.709 M  0.000

0.000  1.299 

1   2  0.05

SOLUCIÓN De la solución del problema de valores y vectores propios, se halla:

262


Wn1  19.002 Al reemplazar

1   2  0.05

1 s

Wn 2  73.410

1 s

en la ecuación ( 7.2 ) se halla:

a0 a  19.002  1 2  19.002 2 a0 a  73.410 0.05   1 2  73.410 2 0.05 

De donde:

a0  1.509

a1  0.0011

Luego, la matriz de amortiguamiento, resulta:

C  a 0 M  a1 K 0.709 C  1.509  0.00 7.4

0.00  1545 .747  0.0011  1.299  2318 .62

2318 .62  2.7702  4637 .241 2.5505

2.5505  7.0612 

ALGORITMO DE WILSON Y PENZIEN

La evaluación de la matriz de amortiguamiento tipo Caughey, considerando n modos de vibración, tiene cierta dificultad, razón por la cual es conveniente utilizar el algoritmo desarrollado por Wilson y Penzien (1972) para obtener la matriz C . Este algoritmo parte de la matriz de amortiguamiento ortogonal C , definida de la siguiente manera:

 t C   C   2  M  Siendo

(7.31)

 la matriz modal



  1

2

3

1   2    ...    

...

n 

...

...

n

Wn1  Wn 2   ...  ...   Wnn 

               

(7.32)

(7.33)

(7.34)


(7.35)

M   t M  

Donde M ,  , Por otra parte, la matriz



263

son matrices diagonales. Por lo tanto la matriz C



es diagonal.

C puede escribirse de la siguiente manera:

 

C  t

1

 t C   1

(7.36)

Al reemplazar la ecuación (7.31) en (7.36), se obtiene:

 

C  t

1

C   1

(7.37)

Por otro lado, si en la ecuación (7.35) se premultiplica por

M 

 1

 

M  I  M

De donde:

 

 1  M 

1

 1

M 

 1

, se obtiene:

t M 

t M

(7.38)

De un modo similar a partir de la ecuación (7.35) se obtiene:

 

t 1

 

 M  M

1

(7.39)

Al reemplazar (7.39), (7.31) y (7.38) en la ecuación (7.37), se obtiene:

 

C  M  M De donde se obtiene la matriz

1

2   t M

(7.40)

C i , que define el amortiguamiento en cada modo de

vibración i.

Ci  Siendo

i ,

2  i W ni M  i   it M  Mi





(7.41)

el modo de vibración i. Finalmente la matriz de amortiguamiento

se

obtiene mediante el sumatorio indicado en la siguiente ecuación. n

C  Ci i 1



EJEMPLO 9

Determinar la matriz de amortiguamiento, aplicando el algoritmo de Wilson y Penzien, de una estructura cuyo valor de  1   2  0.05 . Por otra parte, las matrices de rigidez y de masas, son:

348000 K   125000

 125000  88000 

734 .0 M  0.0

0.0  587 .0

264




SOLUCIÓN Los valores propios, son

1  61.9323

0.01548 

1    0.03747  M1  1t M 1  1.0 

y

 2  562 .0970 , y los vectores propios son: 0.03351 

2     0.01731 M 2   2t M  2  1.0

Modo 1

W n1  61.9323  7.8697

2 1W n1 M 1



2  0.05  7.8697  0.7870 1

Al aplicar la ecuación (7.41) se obtiene:

101 .6104 C1   196 .6778 

196 .6778  380 .6911

Modo 2

Wn 2  562 .0970  23.7086

1434 .0948 C2    592 .5193

2 2Wn 2 2  0.05  23.7086   2.3709 1 M 2

 592 .5193  244.8089 

Finalmente, al sumar las dos matrices de amortiguamiento, se obtiene:

1535 .7052 C  395 .8415

 395 .8415  625 .4999 

Nótese en este ejemplo que la contribución del modo dos es más importante en valores que la contribución del modo uno. El programa denominado amortiguamiento_1 obtiene la matriz de amortiguamiento de una estructura utilizando el algoritmo de Wilson y Penzien. Para su uso en la modalidad consola el usuario debe indicar la matriz de rigidez y el vector zeda que contiene los factores de amortiguamiento  , tantos como el orden de la matriz de rigidez. La forma de uso, es: >> [C]=amortiguamiento_1 (K,zeda)  

K zeda

es la matriz de rigidez. vector que contiene los factores de amortiguamiento.

Posteriormente por pantalla se indican las masas de cada piso.


265

function [C]=amortiguamiento_1 (K,zeda) % % Calculo de la matriz de amortiguamiento utilizando % Algoritmo de Wilson y Penzien % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI ESPE % ----------------------------------------------------------------% [C]=amortiguamiento_1 (K,zeda) % ----------------------------------------------------------------% K Matriz de rigidez lateral del portico plano. % M Matriz de masas. % NP Número de pisos. % Por pantalla se indicara las masas de cada piso. % Previamente el usuario habra calculado la matriz de rigidez lateral % con otro programa. % T Periodos de vibracion. % C Matriz de amortiguamiento. % zeda Vector que contiene los coeficientes de amortiguamiento. % NP = input (' \n Numero de pisos '); M = zeros(NP,NP); C = zeros(NP,NP); for i=1:NP fprintf ('Indique la masa del piso , %2d',i); M(i,i) = input (', Valor de la masa: '); end [V,D]=eig(K,M); Wn=sqrt(D); W=diag(Wn); for i=1:NP fi=V(:,i); mi=fi'*M*fi; aux=2*zeda(i)*W(i)/mi; C=C+aux.*M*fi*fi'*M; end fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento') C % ---fin 

EJEMPLO 10 Ilustrar la forma de uso del programa amortiguamiento_1 con los datos del Ejemplo 9.



SOLUCIÓN

>> K = [348000 -125000; -125000 88000] >> zeda =[0.05; 0.05] >> [C] = amortiguamiento (K,zeda) Número de pisos 2 Indique la masa del piso, 1, Valor de la masa: 734 Indique la masa del piso, 2, Valor de la masa: 587



REPORTE DE PROGRAMA

Matriz de amortiguamiento C= 1.0 e+003 * 1.5357 -0.3958 -0.3958 0.6255


266

7.5

PROGRAMA amortiguamiento

En lugar de encontrar la contribución de cada uno de los modos a la matriz de amortiguamiento y luego sumarlos se puede calcular la matriz de amortiguamiento directamente con la siguiente ecuación:

C  M  Cd  t M Donde

(7.42)

C es la matriz de amortiguamiento de la estructura;

matriz modal cuyas columnas son los modos de vibración cuyos elementos valen

2

en el modo de vibración i;

(i )

Wn

Wn

(i )

(i )

/

(i ) t

es la matriz de masas;



M  , siendo  (i )

(i )

(i )

;

C d es una matriz diagonal el factor de amortiguamiento

la frecuencia natural de vibración en el modo i;

modo de vibración en el modo i. Es conveniente encontrar los modos manera que el triple producto matricial

 es la



(i )

 (i )

es el

normalizados de tal

 (i ) t M  (i )  1 .

El programa amortiguamiento que se presenta a continuación encuentra la matriz de amortiguamiento mediante la ecuación (7.42). function [C]=amortiguamiento(M,phi,OM,zeda) % % Programa para encontrar la matriz de amortiguamiento de una estructura % Amortiguamiento tipo Wilson y Penzien % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2009 %------------------------------------------------------------% [C]=amortiguamiento(M,phi,OM,zeda) %------------------------------------------------------------% M Matriz de masa de la estructura % phi Matriz que contiene los modos de vibración normalizados % OM Vector que contiene las frecuencias de vibración de menor a mayor. % ngl Número de grados de libertad % zeda Factor de amortiguamiento de la estructura, un solo valor n=length(M(:,1)); ZEDA=zeros(n);for i=1:n; ZEDA(i,i)=zeda; end mms=diag(phi'*M*phi); % mms es un vector unitario Cd=zeros(n);for i=1:n; Cd(i,i)=2*ZEDA(i,i)*OM(i)/mms(i); end C=M*phi*Cd*phi'*M; return; end

7.6

ECUACIONES DIFERENCIALES DESACOPLADAS En el algoritmo de Wilson y Penzien, se empezó indicando que:

 t C   C   2  M  Para demostrar esta ecuación, es necesario explicar el desacoplamiento del sistema de ecuaciones diferenciales. Para ello, se recurre al sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas dinámicos. Esta es:

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE ..

.

M qC q K qQ Donde

267

(7.43)

M , C , K son las matrices de masas, rigidez y amortiguamiento .

..

respectivamente; Q es el vector de cargas generalizadas, q, q, q son los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración. El sistema de ecuaciones diferenciales (7.43) es acoplado, debido a que las matrices de rigidez y de amortiguamiento no son diagonales ya que tienen elementos fuera de la diagonal principal. Para desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales y tener las nuevas matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, diagonales, se plantea el siguiente cambio de variable:

q X

(7.44)

Donde  es la matriz Modal cuyas columnas son los respectivos modos de vibración. En realidad  es una matriz de paso que permite pasar de las coordenadas q a las coordenadas X. La ecuación (7.43) se transforma en: ..

.

M  X  C  X  K  X  Q

(7.45)

M   t M 

(7.46)

C  t C 

(7.47)

K  t K 

(7.48)

Q   t Q

(7.49)

Donde:



EJEMPLO 11

Antes de realizar la demostración de la ecuación (7.47) en forma analítica, se hace lo mismo pero en forma numérica. Para el efecto se desea desacoplar las ecuaciones diferenciales de la estructura de la figura 7.17, en la cual, a la izquierda se presenta un pórtico con piso flexible y sus correspondientes grados de libertad; al centro se indican los grados de libertad que permiten considerar la componente sísmica horizontal o vertical de un sismo y a la derecha el modelo de masas concentradas en los nudos. Las matrices de rigidez, masa y amortiguamiento, para los cuatro grados de libertad del modelo indicado al centro de la figura 7.17, son:

47816 .896  47149 .665 K   164 .613   164 .613

 47149 .665

 164 .613

47816 .896

 164 .613

 164 .613

75737 .177

164 .613

 137 .177

164 .613  164 .613   137 .177   75737 .177 

268


Figura 7.17 Estructura con piso flexible, modelos y grados de libertad.

 m1 0 M  0  0

0 m2

0 0

0

m1

0

0

 13.064  11.045 C   0.043   0.043 

0 0.612  0.0 0  0.0 0   m2  0.0  11.045 13.064  0.043 0.043

 0.612 0.0 0.0  0.0 0.612 0.0   0.0 0.0 0.612  0.0

0.0

0.0

 0.043

0.043   0.043 0.043  21.529  0.019    0.019 21.529 

SOLUCION

0.00396 0.90388  0.90388 0.00396   0.00  0.90387  0.90387  0.00

0.00 0.00 0.90388 0.90388

 0.90387   0.90387   0.00396   0.00396 

La matriz de amortiguamiento C se halló mediante el algoritmo de Wilson y Penzien. Se ha indicado también la matriz modal  que se obtiene de la solución del problema de valores y vectores propios. La primera columna de  corresponde al primer modo, la segunda al segundo modo, etc. Por otra parte, luego del triple producto matricial indicado en las ecuaciones (7.46) a (7.48) se encuentra:

155170 .00   K    

123980 123530

     1087 .9


1   M    

1 1

269

     1

Era de esperarse que los elementos de la diagonal de la matriz de masa sean la unidad debido a que los modos están normalizados de la forma

39.394  C      



 (i )t M  (i )  1 .

35.210 35.147

     3.2984 



Tanto en K , M , C se han escrito únicamente los términos de la diagonal ya que los restantes elementos son cero. Al ser diagonales las matrices se tienen para el ejemplo, 4 ecuaciones diferenciales cada una de ellas en una sola variable, estas son: ..

.

X 1  39.394 X 1  155170 X 1  Q1 ..

.

..

.

..

.

X 2  35.210 X 2  123980 X 2  Q2 X 3  35.147 X 3  125530 X 3  Q3 X 4  3.2984 X 4  1087 .9 X 4  Q4 Al tener ecuaciones diferenciales en una sola variable, la solución analítica es sencilla. Lo que no sucede cuando se tienen ecuaciones diferenciales con dos o más variables que se presentan cuando no se desacopla el sistema de ecuaciones diferenciales.

0.05      

0.05 0.05

     0.05

393 .916    352 .108     351 .468   32.983 

Para el ejemplo que se analiza, se ha indicado las matrices



Luego, al utilizar la ecuación (7.31) se halla la matriz C



y . anotada. Es importante



destacar que se pudo obtener la matriz de amortiguamiento C , diagonal debido a que se utilizó el algoritmo de Wilson y Penzien para hallar C . *

*

*

Para demostrar que K , M , C son diagonales se debe realizar el triple producto matricial indicado en las ecuaciones (7.48), (7.46) y (7.47) respectivamente. Además se debe tener en cuenta que debido a la ortogonalidad de los modos de vibración se cumple que:

 (i )t M  ( j )  0

 (i )t K  ( j )  0

Donde i, j, representan los modos i, j. De tal manera que las matrices tendrán elementos en la diagonal principal.

K * , M * solo

270


 (1) t K (1)    * K      

        ( n) t ( n)   K 

 ( 2) t K ( 2) 

 ( i ) t K ( i ) 

*

Algo similar se obtiene para M , en donde un término cualquiera de la diagonal

 ( i ) t M  ( i ) pero por la forma como se obtuvieron los modos, para el presente (i )t ejemplo, se tiene:  M  ( i )  1. principal vale

En la solución del problema de valores y vectores propios, estudiado en el capítulo 6, se tenía:

K  (i )  i M  (i ) Donde dos lados por

i es el valor propio del modo i. Además i  Wni2 . Ahora si se multiplica a los

 (i )t

se tiene:

 (i )t K  (i )  i  (i )t M  (i )

  (i )t K  (i )  i

De tal forma que los elementos de la diagonal de la matriz K frecuencias de vibración elevadas al cuadrado.

W n21   K    

7.7

W n22 



son iguales a las

     W nn2 

VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO

El sistema de ecuaciones diferenciales, que definen el problema de vibración libre con amortiguamiento, en sistemas de n grados de libertad es el siguiente: ..

.

M qC q K q0 Al multiplicar esta ecuación por M

1

..

(7.50)

por la izquierda se tiene: .

q  M 1 C q  M 1 K q  0

(7.51)

Por otra parte, como artificio numérico de cálculo se incorpora la siguiente relación: .

.

qq0 Al escribir en forma matricial las ecuaciones (7.52) y (7.51) en este orden, se tiene:

(7.52)


. 0 q      ..   M 1 K q 

   M 1C  I

271

q  . 0 q 

(7.53)

Se define la matriz F de la siguiente manera:

 0 F  1  M K

   M C I

(7.54)

1

La matriz F es de orden (2n x 2n). Siendo n el número de grados de libertad. Ahora se plantea el siguiente cambio de variable:

q  X  . q 

(7.55)

El vector X es de orden ( 2n ) y está compuesto por el vector de desplazamientos y el vector de velocidades. Al derivar X con respecto al tiempo se tiene:

. q X   ..    q  .

(7.56)

Al reemplazar (7.54) en (7.53) y posteriormente al sustituir (7.56) y (7.55) se tiene: .

X F X 0

(7.57)

7.7.1 Exponencial de una matriz El sistema de ecuaciones diferenciales (7.57) se puede escribir de la forma: .

XF X

de paso

Sea D una matriz, diagonal, semejante a la matriz F . Por lo tanto, existe una matriz  que admite inversa, tal que:

D   1 F 

(7.58)

Donde  es la matriz modal de orden n x n, cuyas columnas son los vectores propios de la matriz F . Se plantea el siguiente cambio de variable para resolver la ecuación (7.57).

X  U

(7.59)

272


U 1 (t )  U (t )  U  2       U n (t ) Al derivar (7.59) con respecto al tiempo, se encuentra: .

.

X U

(7.60)

.  U 1 (t )  .  . U 2 (t )   U    .  U (t )  n  Al reemplazar (7.60) y (7.59) en (7.57) se tiene: .

.

 U   1 F  U

U  F U 1

Pero el producto  F  es la matriz diagonal D . Por lo tanto, se ha logrado desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales. .

U  DU

(7.61)

Al ser desacoplado el sistema (7.61) por ser D , diagonal, se tiene:

C1 e  1 t    C2 e  2 t   U (t )       C n e n t 

1 , 2 , n

(7.62)

C1 , C 2 ,C n son las constantes de integración, que se obtienen en función de las condiciones iniciales. Sea X 0 el vector de condiciones iniciales, para t  0 . Al tener presente en la ecuación (7.59) que para t  0 el exponencial e  t es igual a la unidad, se tiene: C 1  C  2 X0         C n  Donde

son los valores propios de F . Por otra parte,

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE Sea

273

C 0 el vector que contiene a las constantes de integración. X 0   C0

 C 0   1 X 0

(7.63)

La ecuación (7.62) se puede escribir de la siguiente manera:

C 1 e  1 t   e  1 t    C2 e2 t   e2 t  U (t )           n t C n e  

     e n t 

1 t C 1   e C   e2 t  2          C n  

  C  0  e n t 

Se denomina, matriz E a la matriz de los exponenciales.

e 1 t  e2 t E    

     e n t 

(7.64)

Con lo que se tiene:

U (t )  E C 0  E  1 X 0 Pero X (t )   U (t ) . Luego:

X (t )   E  1 X 0

(7.65)

La forma reducida de Jordan, establece que el exponencial de una matriz es igual a:

e F t   E  1

(7.66)

X (t )  e F t X 0

(7.67)

Finalmente:

7.7.2 Resumen del procedimiento de cálculo Para resolver un problema de vibración libre, en sistemas de n grados de libertad, considerando el amortiguamiento. Son datos, las matrices de masas, amortiguamiento y rigidez: M , C , K y el vector de condiciones iniciales X 0 . El procedimiento de cálculo es el siguiente:

   

Se determina la matriz F . Se hallan los valores y vectores propios de la matriz F . Con los vectores propios se encuentra la matriz modal  . Con los valores propios se halla la matriz E .

274

 


Ft

Se halla el exponencial de e Finalmente se encuentra la respuesta X (t ) mediante la ecuación (7.67).

El programa vlibreamortiguado, resuelve el problema de vibraciones libres en un sistema de múltiples grados de libertad considerando el amortiguamiento. La forma de uso del programa es la siguiente: [q]=vlibreamortiguado(K, zeda, Xo)   

K es la matriz de rigidez lateral de la estructura, la misma que deberá indicarse en consola. zeda es el vector que contiene los factores de amortiguamiento. Si el sistema tiene n grados de libertad, se deberán indicar n valores de  . Xo es el vector de condiciones iniciales, que contiene los desplazamientos y velocidades del sistema. El orden de este vector es 2n; los n primeros valores corresponden a los desplazamientos y los n restantes a las velocidades en t  0 .

function [q]=vlibreamortiguado(K,zeda,Xo) % % Vibraciones libres considerando amortiguamiento. % Solucion por medio del exponencial de una matriz. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI ESPE % ----------------------------------------------------------------% [q]=vlibreamortiguado(K,zeda,Xo) % ----------------------------------------------------------------% K Matriz de rigidez lateral del portico plano, viene de consola. % M Matriz de masas. % NP Numero de pisos, igual al número de grados de libertad. % Por pantalla se indicara las masas de cada piso. % Previamente el usuario habra calculado la matriz de rigidez lateral % con otro programa. % T Periodos de vibracion. % C Matriz de amortiguamiento. % zeda Vector que contiene los coeficientes de amortiguamiento. viene de % consola, sirve para calcular matriz de amortiguamiento. % Xo Vector de condiciones iniciales, viene de consola. % F Matriz de orden 2nx2n % q Los n primeros valores corresponden a los desplazamientos y los % restantes a las velocidades. % dt Incremento de tiempo con el cual se obtiene la respuesta. % n Número de puntos que se desean obtener en la respuesta. % Programado para dt=0.02 y n=100 dt=0.02; n=100; NP = input (' \n Numero de pisos '); M = zeros(NP,NP); C = zeros(NP,NP); % Matriz de Masas for i=1:NP fprintf ('Indique la masa del piso , %2d',i); M(i,i) = input (', Valor de la masa: '); end % Matriz de amortiguamiento mediante algoritmo de Wilson y Penzien [V,D]=eig(K,M); Wn=sqrt(D); W=diag(Wn);


275

for i=1:NP fi=V(:,i); mi=fi'*M*fi; aux=2*zeda(i)*W(i)/mi; C=C+aux.*M*fi*fi'*M; end % Matriz F CERO=zeros(NP,NP); IDENT=eye(NP,NP);MIK=(-1)*inv(M)*K; MIC=(-1)*inv(M)*C; F=[CERO IDENT; MIK MIC]; % Valores Propios de F [V,D] = eig(F) % Respuesta en el tiempo for j=1:n t=j*dt; E=expm(F*t); EE=real(E); q=EE*Xo; tt(j)=t; des(j)=q(NP); end % Dibujo para la respuesta en el tiempo del último piso plot (tt,des) xlabel ('Tiempo (s)'); ylabel ('Desplazamiento ultimo piso'); title ('Vibracion libre considerando amortiguamiento'); % ---fin 

EJEMPLO 12

Encontrar la respuesta en el tiempo, para el tercer piso, de la estructura indicada en la figura 7.18, cuyas matrices de rigidez y masa, son:

 2761 .1 K   1538 .1  285 .7

 1538 .1 2278 .0  1080 .6

285 .7   1080 .6 836 .9 

1.633 M   0  0

0  1.633 0  0 1.633 0

Para los siguientes casos: i)

ii)

En t=0 ; los desplazamientos laterales son 1.0 cm., para el primer piso; 2.0 cm., para el segundo piso y 3.0 cm., para el tercer piso. Las velocidades son nulas para t=0. En t=0; únicamente el desplazamiento del tercer piso vale 3.0 cm. Las velocidades son nulas.

Para los dos casos los valores de

1   2   3  0.05

Esta estructura fue analizada en el capítulo 6, cuando se hallaron los modos de vibración.



SOLUCIÓN Los vectores de condiciones iniciales, para los dos casos que se van a analizar, son:

276


0.01  0.02    0.03  X0    0  0    0 

30x30 3

30x30 30x30 30x30

30x30

30x30

30x30

30x30 3

0  0    0.03 X0    0  0    0 

30x30

30x30 30x30

30x30

30x30

30x30 3

30x30

30x30 30x30

30x30

4

4

Figura 7.18 Pórtico plano sometido a dos ensayos de vibración libre. Se detalla el cálculo para el primer caso, con el programa vlibreamortiguado >> K=[2761.1 -1538.1 285.7; -1538.1 2278.0 -1080.6; 285.7 >> zeda=[0.05; 0.05; 0.05]; >> Xo=[0.01; 0.02; 0.03; 0; 0; 0]; >> [q]=vlibreamortiguado(K,zeda,Xo) Número de pisos 3 Indique la masa del piso, 1, Valor de la masa: 1.633 Indique la masa del piso, 2, Valor de la masa: 1.633 Indique la masa del piso, 3, Valor de la masa: 1.633

-1080.6

836.9];

La respuesta, para los desplazamientos laterales del tercer piso se indica en la figura 7.19. El programa vlibreamortiguado encuentra la respuesta en el tiempo para un incremento de tiempo de 0.02 s., y hasta un tiempo de 2 s., si se desea la respuesta para un incremento de tiempo menor se debe cambiar dt en el programa. De igual forma si se desea calcular para un mayor tiempo se debe cambiar n.


277

Figura 7.19 Respuesta en el tiempo para los 2 primeros segundos, caso 1 de Ejemplo 12.

Figura 7.20 Respuesta en el tiempo para los 2 primeros segundos, caso 2 de ejemplo 12. En la figura 7.20 se indica la respuesta en el tiempo para el caso 2, en que únicamente el tercer piso se mueve 2 cm. y todas las demás condiciones iniciales son nulas.

7.8

PROPIEDADES DINÁMICAS COMPLEJAS

Si se obtienen los valores y vectores propios de la matriz F del ejemplo anterior, los valores y vectores propios son números complejos, esto es debido a que con el amortiguamiento las formas modales no se conservan. Por esta razón se acostumbra llamar modos no normales de vibración o modos fuera de fase.

278 


EJEMPLO 13

Presentar los modos de vibración del ejemplo 12, que corresponde a la estructura de 3 pisos indicada en la figura 7.18.



SOLUCIÓN

Al imprimir la matriz V, del programa vlibreamortiguado se hallan los 6 modos de vibración. Los dos primeros se indican a continuación:

 (1)

 0.0014  0.0274 i   0.0031  0.0627 i     0.0043  0.0853 i    0.2494  0.5698    0.7753 

 ( 2)

 0.0014  0.0274 i   0.0031  0.0627 i     0.0043  0.0853 i    0.2494  0.5698    0.7753 

Las tres primeras cantidades corresponden a los desplazamientos laterales y las tres últimas a las velocidades. Los restantes modos de vibración, son:

 ( 3)

 0.0011  0.0227 i   0.0008  0.0163 i    0.0010  0.0193 i    0.6682  0.4798     0.5675 

 ( 5)

 0.0007  0.0136 i  0.0006  0.0129 i     0.0003  0.0051 i    0.6999   0.6639    0.2628 

 ( 4)

 0.0011  0.0227 i   0.0008  0.0163 i    0.0010  0.0193 i    0.6682  0.4798     0.5675 

 (6)

 0.0007  0.0136 i  0.0006  0.0129 i     0.0003  0.0051 i    0.6999   0.6639    0.2628 

En todos los casos se aprecia que los modos son complejos conjugados, de tal manera que no se tienen 6 modos, sino únicamente 3. Para entender su significado físico se debe encontrar el módulo del complejo. Estos resultan:


 (1)

0.0275  0.0628    0.0854    0.2494  0.5698    0.7753 

 ( 2)

PRIMER MODO

0.0227  0.0163    0.0193    0.6682  0.4788    0.5675 

SEGUNDO MODO

 ( 3)

279

0.0136  0.0129    0.0051    0.6999  0.6639    0.2628 

TERCER MODO

Figura 7.21 Modos de vibración Al obtener el módulo se pierde el signo, de tal manera que es bastante difícil dibujar las formas modales pero al observar los valores complejos del primer modo se aprecia que las tres primeras cantidades tienen el mismo signo, luego se puede dibujar la forma modal. De igual manera al observar el tercer modo con números complejos se aprecia que dos cantidades tienen el mismo signo y la tercera signo diferente, de manera que es posible dibujar la forma modal y al observar el quinto modo se tiene algo similar. En la figura 7.21 se presentan los modos de vibración encontrados. 

EJEMPLO 14

Presentar los valores propios del ejemplo 5, que corresponde a la estructura de 3 pisos indicada en la figura 7.18



SOLUCIÓN Al imprimir la matriz diagonal D, del ejemplo realizado se tiene que los valores propios

son:

1  0.4539  9.0676 i 3  1.4713  29.3899 i 5  2.5739  51.4131 i

2  0.4539  9.0676 i 3  1.4713  29.3899 i 6  2.5739  51.4131 i

Los valores propios son números complejos conjugados. En el siguiente sub apartado se va a demostrar que un valor propio cualquiera tiene la siguiente forma:

280


   Wn  Wa i

   Wn  Wa i

De tal manera que la parte real del número complejo es el valor de imaginaria es

(7.68)

 Wn

y la parte

Wa . Se recuerda que la frecuencia de vibración amortiguada es igual a: Wa  Wn 1   2

El módulo del número complejo vale:

 2 Wn2  Wn2 1   2   Wn Por lo tanto, para hallar las frecuencias de vibración se debe hallar los módulos. Para el ejemplo estos resultan:

Wn1  9.079

1 s

Wn 2  29.4267

1 s

Wn 3  51.4775

1 s

7.8.1 Deducción en base a un sistema de un grado de libertad Solamente por facilidad, la demostración se realiza para un sistema de un grado de libertad. En este caso la matriz F puede escribirse de la siguiente manera.

 0 F k   m

1  c   m

Para hallar los valores propios, se debe cumplir que el determinante de F   I sea cero. Donde I es la matriz identidad.

  det( F   I )  det  k   m

 0 c    m  1

De donde:

P ( )   2 

c k   0 m m

En el capítulo 1, se vio que para sistemas de 1 gdl, se cumple que:

c  2  Wn m

k  Wn2 m

Por lo tanto, el polinomio característico P ( ) queda:


281

P( )  2  2 Wn   Wn2  0 Las raíces de P ( ) , son:

1   Wn  Wa i

2   Wn  Wa i

Por lo tanto, los valores propios de F , son en general, complejos conjugados y el coeficiente de la parte imaginaria es el valor de la frecuencia natural del sistema amortiguado y la parte real corresponde al producto   Wn . Para fines prácticos se tiene que Wa  Wn , con esta aproximación el coeficiente de la parte imaginaria es el valor de la frecuencia natural del sistema. Para encontrar los modos de vibración, se deben reemplazar los valores propios en:

F   I    0 Así, para el primer valor propio se tiene:

 Wn  Wa i  k   m 

  c    Wn  Wa i  m  1

 a  0  b   0    

  Wn  Wa i   Wn2 

    Wn  Wa i  1

 a  0  b   0    

Como el sistema de ecuaciones es linealmente dependiente, para la solución se considera:

a  1 i

De donde:

b  Wa   Wn   Wa   Wn  i Por lo tanto, el primer modo resulta:



1 i

   Wa   Wn   Wa   Wn  i 

 (1)  

Procediendo de igual forma se halla el segundo modo de vibración, que es el conjugado de

 (1) . De tal manera que la matriz modal 

1 i    Wa   Wn   Wa   Wn  i

resulta:

1 i

  Wa   Wn   Wa   Wn  i 

Para hallar el exponencial de la matriz F , se debe calcular la inversa de

(7.69)

 , esta es:

282


 1 

1 4 Wa

Wa   Wn   Wa   Wn  i  i  Wa   Wn   Wa   Wn  i

1 i   1  i 

La matriz E , para el sistema de 1 gdl., que se está analizando, resulta:

0  e  WnWa i t  e  2 t   0

e  1 t E  0

  e  WnWa i t  0

De donde:

e  Wn t eWa t i E 0 

0 e

 Wn t

El exponencial de e

Ft

e

Wa t i

     0   Wn t cos Wa t  i sen Wa t e   0 cosWa t   i senWa t   

resulta:

e F t   E  1 eF t 

e  Wn t  Wn sen Wa t   Wa cosWa t   Wa   Wn2 sen Wa t 

sen Wa t 

  Wa cosWa t    Wn sen Wa t 

1

Si bien las matrices , E ,  contienen números complejos, el triple producto matricial de las mismas contiene solo cantidades reales. Luego la solución del problema de vibración libre, con cualquier tipo de amortiguamiento, está en el campo de los números reales.

REFERENCIAS 1. Aguiar R., (1996), Índices de daño sísmico en edificios de hormigón armado, Monografías de Ingeniería Sísmica. Centro Internacional de Métodos Numéricos, IS-17, 97 p., Barcelona. 2. Aguiar R., (2004), Análisis Matricial de Estructuras, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, Tercera Edición, 550 p., Quito. 3. Aguiar R., Auqui M., Garzón N., (2010), “Aisladores de base elastoméricos con perno macizo”, IV Congreso Internacional de Puentes. Instituto de la Construcción y Gerencia ICG, 9 p., Lima, Perú. 4. Aguiar R., Haro A., (2010), “Comparación entre modelos analíticos y ensayo de una estructura con muro viscoelástico”, Revista SIGMA. Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha, 7 (18), 8-11, Quito. 5. ATC-40 "Seismic evaluation and retrofit of concrete buildings", Applied Technology Council, Redwood City, California, 1996. 6. Jennings J., (1968) “Equivalent viscous camping for yielding structures”, Journal Engineering Mech. Div. ASCE, 94 ( 1 ), 103-116. 7. Lamar S., (1981), Curso de Dinámica de Estructuras, Maestría en Ingeniería Sismo Resistente. Universidad Central de Venezuela, Caracas. 8. Ledesma A., (1993), Curso de Dinámica de suelos y cimentaciones. Master en Ingeniería Sísmica y Dinámica Estructural Universidad Politécnica de Cataluña, Barcelona.


283

CAPÍTULO 8

RESPUESTA ELÁSTICA EN EL TIEMPO RESUMEN Se presenta el Método de Newmark, para encontrar la respuesta lineal, en el tiempo, de un sistema de múltiples grados de libertad, ante una acción sísmica. En primer lugar se deducen las ecuaciones generales, para el caso de aceleración constante y de aceleración lineal. Luego se aplica el Método, para el análisis sísmico plano y se resume el procedimiento de cálculo. Se indica además el programa newmarlineal que grafica la respuesta de desplazamientos del último piso de un pórtico plano e indica la respuesta máxima. El programa es de carácter general ya que ingresan como datos las matrices de masas, amortiguamiento, rigidez y el vector J que define las cargas generalizadas. Encuentra la respuesta ante un acelerograma. Posteriormente, se describe el modelo de análisis sísmico, para pórticos planos y se realiza un ejemplo en el que se ilustra el cálculo de las respuestas en el tiempo de desplazamientos laterales y del cortante basal. Se destaca que el corte basal hallado en el análisis elástico es bastante alto y que en la práctica se divide este valor para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, debido a comportamiento inelástico de la estructura. Después se presenta el método denominado: Procedimiento de Espacio de Estado para encontrar la respuesta en el tiempo de una estructura de múltiples grados de libertad; se indican dos formas de resolver con sus respectivos programas de computación, que son el pse en el que se envía todo el acelerograma a esta subrutina y el programa pse_de_uno en que se va enviando para cada instante de tiempo la aceleración del sismo. El marco teórico del Procedimiento de Espacio de Estado se inició en el capítulo anterior. Como aplicación práctica se presenta el análisis sísmico de estructuras con aisladores de base elastoméricos colocados sobre las columnas. Esta es una muy buena opción para el diseño de estructuras cuya primera planta sea destinada a parqueadero. Varios objetivos se persiguen en este apartado y son los siguientes: El primero que el lector sepa la forma de calcular directamente las reacciones de empotramiento perfecto de una estructura. Esto se necesita hacerlo para encontrar la carga vertical que gravita en cada aislador, con este dato se encontrará la rigidez de cada aislador.

284


Para encontrar el vector de cargas se presenta el programa de CEINCI-LAB denominado cargas. El segundo objetivo, que el lector vea que a los aisladores se los puede modelar como un elemento más de la estructura, para esto se define el sistema de coordenadas locales, su matriz de rigidez, el sistema de coordenadas globales, la matriz de paso de locales a globales y se presenta el programa kaisladores que halla la contribución de los aisladores a la matriz de rigidez de la estructura por ensamblaje directo. El tercer objetivo es ilustrar como se obtiene la matriz de masas considerando las masas concentradas en todos los nudos y considerando la inercia rotacional, para esto se presenta el programa masas_ais. El cuarto objetivo está relacionado con la obtención de la matriz de amortiguamiento en una estructura considerando todos los grados de libertad. En este caso no se puede hallar directamente los valores y vectores propios, se debe trabajar como se indicó en capítulos anteriores y de igual manera la matriz de amortiguamiento se la encuentra particionando la matriz y hallando cada una de sus sub matrices. Todos estos objetivos son aplicados a otro tipo de estructuras como el caso de Puentes. De ahí su importancia de conocerlos con profundidad. El quinto y principal objetivo es demostrar la eficiencia del uso de los aisladores de base en la estructura, con el ejemplo que se realiza se aprecia que el aislador es el que se deforma pero el desplazamiento de la superestructura con respecto al desplazamiento del aislador es mínimo, casi cero. El lector puede observar cómo se reducen las fuerzas y momentos que ingresan a la superestructura. Se resuelve un ejemplo y lo principal es que se presenta el programa con el cual se halla la respuesta en el tiempo debajo de los aisladores, sobre los aisladores y en el último piso. Se consideró la componente Norte-Sur del sismo de El Centro de 1940 como excitación sísmica, se encontró la respuesta en el tiempo de desplazamientos, se halló el desplazamiento máximo y para ese desplazamiento máximo se encuentra las fuerzas y momentos en cada uno de los elementos de hormigón armado.

8.1 MÉTODO DE NEWMARK ..

..

Sea q i y q i 1 los vectores de respuesta, de aceleración de un sistema de n grados de libertad en los tiempos discretos t i y t i 1 , ante acciones dinámicas y

t

el incremento de

tiempo, como lo muestra la figura 8.1 Se define:

  t  ti

t i  t  t i 1

para

De ecuación (8.1), se observa que para t  t i , se tiene qué

t  t i 1



(8.1)

 0

y para

  t . Siendo: t  t i 1  t i

La aceleración del sistema para un instante cualquiera ..

..

q( )  qi

..



, viene definida por:

..

 f ( ) (qi 1  qi )

(8.2)




Figura 8.1 Variación de la aceleración entre t i , t i 1 De tal forma, que:

f ( )  0

para   0

f ( )  1

para   t

285



En otras palabras, se tiene que:

0  f ( )  1

t i , t i 1 

La ecuación (8.2) considera que la ley de variación de las aceleraciones en el intervalo es la misma para los n grados de libertad. La velocidad del sistema para un tiempo cualquiera del intervalo puede expresarse

como: .

.

t ..

q ( )  q i   q ( ) d

(8.3)

0

Al reemplazar (8.2) en (8.3) se tiene: .

.

 ..



..  ..     q i 1  q i  f   d  0

q( )  q i   q i d 0 .

..

..

Se destaca que q i , q i y q i 1 son los vectores de velocidad y aceleración en los tiempos discretos t i y t i 1 respectivamente, son cantidades constantes. Luego: t

. . .. ..  ..  q( )  q i  q i    q i 1  q i   f ( ) d  0

(8.4)

Sea: 

g ( )   f ( ) d 0

(8.5)

286


t  

t

 f ( )d

(8.6)

0 t

t 2    g ( )d

(8.7)

0

Para

  t i 1  t

se tiene al reemplazar (8.6) en (8.4) .

.

..

..

..

q i 1  q i  q i t  (q i 1  q i )  t De donde: . . .. ..   q i 1  q i  1    q i   q i 1  t  

(8.8)

Al reemplazar (8.5) en (8.4) e integrar, se halla: 

t .





. .. ..  ..      q  d   q d   q  d   q  q  i 1 i   g ( )d 0 0 i 0 i  0

.

..

q( )  q i  q i   q i .

..

q( )  q i  q i   q i Para

  t i 1  t



2

..  ..    q i 1  q i   g ( )d 2  0

2 2

..

..



 (q i 1  q i )  g ( )d 0

se encuentra, luego de sustituir (8.7) .. t 2  ..   q i  q i t  q i   q i 1  q i   t 2 2   .

q i 1

..

De donde: . ..  1   .. q i 1  q i  q i t      q i   q i 1  t 2   2 

(8.9)

. .. 1  .. q i 1  q i  q i t      q i t 2   q i 1 t 2 2  ..

Al despejar q i 1 de esta última ecuación, se tiene: ..

q i 1 

1  t

.  ..    1   q i q  q  q  t   1 i  1 i i    2  

Al reemplazar (8.10) en (8.8), se obtiene:

(8.10)


q i 1  q i  1    q i t   t .

.

..

287

. ..  1    q  q  q  t    t q i  1 i i i   2  1    

1  t 2

Luego: .

q i 1  

  t

q i 1  q i   1   

(8.11)

EJEMPLO 1 Determinar los valores de



 .    ..  q i  1   t q i   2 

 y  . Si f ( ) se considera constante y vale 0.5

SOLUCIÓN Al ser constante f ( ) de ecuación (8.5), se tiene:

1 g ( )   2 Al sustituir este valor en ecuación (8.7), se obtiene:

t  

t

2

 0

1  d 2

1 2 t 4 1  4

t 2  

Por otra parte, al reemplazar f ( ) en ecuación (8.6) se halla:

t  

t

 0

1 d 2

1 t 2 1   2

t  

Por lo tanto, cuando se considera que la variación de la aceleración en la respuesta del sistema es constante, los valores de

 y  son respectivamente

1 1 y . A este caso se 4 2

denomina Método de Aceleración Constante o Método del Trapezoide.



EJEMPLO 2

Determinar los valores de siguiente ecuación:

 y  si f ( ) varía en forma lineal y viene definida por la


288



f ( )  

t

SOLUCIÓN Al emplear la ecuación (8.5), se encuentra:

g ( ) 

2 2 t

Al reemplazar este valor en (8.7) e integrar, se halla:

t 2  

1 2 t

t



2

d

0

1 t 3 2 t 3

t 2  

1 6



Al trabajar con la ecuación (8.6), se obtiene:

t  

t



 t d 0

1 t 2 t 2 1   2

t  

Por lo tanto, para el caso de aceleración lineal



1 1 y  6 2

8.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWMARK El sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna los problemas dinámicos (en su mayor parte), está definido por la ecuación (8.12). La solución de este sistema se realizará con el Método de Newmark. ..

.

M q  C q  K q   M J a (t )

(8.12)

Donde M , C , K son las matrices de Masa, Amortiguamiento y Rigidez del sistema. .

Se consideran constantes para análisis lineal.

..

q, q, q son los vectores de desplazamiento,

velocidad y aceleración, respectivamente, J es un vector que contiene unos para el caso plano, depende del modelo numérico de análisis, a(t) es la aceleración de movimiento del suelo. Normalmente se considera la componente horizontal. Para el tiempo discreto t i 1 , la ecuación (8.12), queda:

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE ..

289

.

M q i 1  C q i 1  K q i 1   M J a i 1

(8.13)

Por otra parte, el vector de desplazamientos en forma incremental, es

q i 1  q i 1  q i

(8.14)

Las ecuaciones (8.11) y (8.10) en función de t quedan: ..

q i 1  .

q i 1 

 1  .. 1 1 .  q  q  q   1 i 1  t i  2  i  t 2



  .    .. t q i q i 1  1   q i  1   t    2 

(8.15)

(8.16)

Finalmente, al reemplazar (8.16), (8.15) y (8.14) en (8.13), se obtiene luego de agrupar términos. 

K q i 1  Fi 1

(8.17)

Siendo: 

K K 

1  M C 2  t  t

(8.18)

 1 .  1    .   ..    ..  t q i   K q i Fi 1   M J a i 1  M  q i    1 q i   C 1   q i  1   2    2   t     (8.19) 

Se denomina a K como la matriz de rigidez efectiva, que es una matriz constante para análisis lineal y a Fi 1 el vector de cargas efectivas, que es variable en cada instante de tiempo. Al resolver el sistema de ecuaciones lineales definido en (8.17) se encuentra q i 1 . Por lo tanto el vector de desplazamientos para el tiempo i  1 se obtendrá sumando éstos valores a los del tiempo i, utilizando la ecuación (8.14). La aceleración y velocidad para el tiempo i  1 se encuentran con las ecuaciones (8.15) y (8.16). Si en el tiempo

t  0 , la aceleración del suelo es diferente de cero y si las condiciones

.

iniciales

..

q(0)  q(0)  0 . Se debe evaluar q (0) con la ecuación del movimiento que queda: ..

M q ( 0 )   M J a ( 0)

8.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO El procedimiento de cálculo, para el análisis lineal, utilizando el método Newmark, es el siguiente:

 de

290

i.


Se determina la matriz de rigidez efectiva. 

K K  ii.

Para el instante de tiempo

1  M C 2  t  t

i  1 se determina el vector de cargas efectivo.

 1 .  1    .   ..    ..  t q i   K q i Fi 1   M J a i 1  M  q i    1 q i   C 1   q i  1    t 2   2            iii.

Se obtiene el incremento de desplazamiento para el tiempo resolver el sistema de ecuaciones lineales:

i  1,

para ello se debe



K q i 1  F i 1 iv.

Se calculan la aceleración, velocidad y desplazamiento en el incremento de tiempo i  1. ..

q i 1  .

q i 1 

 1  .. 1 1 .  q  q  q   1 i 1  t i  2  i  t 2



  .    .. t q i q i 1  1   q i  1   t    2  q i 1  q i 1  q i

v.

Se actualizan desplazamientos, velocidades y aceleraciones y se pasa al próximo punto desde el paso ii.

q i  q i 1 .

.

..

..

q i  q i 1 q i  q i 1 

EJEMPLO 3

Encontrar la respuesta en el tiempo, del pórtico plano de la figura 8.2 ante el sismo del 9 de noviembre de 1974, registrado en Perú. Las matrices de rigidez, masas, amortiguamiento y el vector J, se indican a continuación.

 2761 .1 K   1538 .1  285 .7

 1538 .1 2278 .0  1080 .6

 6.3608 C   2.1516  0.0124

285 .7   1080 .6 836 .9   2.1516 5.3010  2.1143

1.633 M   0  0

0.0124   2.1143  3.0325 

0  1.633 0  0 1.633 0

1 J  1 1


30x30 3

30x30

30x30 30x30

30x30

30x30

30x30

30x30 3

30x30

30x30 30x30

30x30

30x30

30x30 3

30x30

30x30 30x30

30x30

291

4

4

Figura 8.2 Modelo de cálculo de un pórtico plano para el análisis sísmico.



SOLUCIÓN

Para el análisis sísmico plano, en que se concentran las masas, como se indica en la figura 8.2, el vector J es unitario. Para encontrar las matrices de rigidez, masas y amortiguamiento, las unidades utilizadas son T., m., y s. Esto se debe tener cuenta para que el 2 acelerograma tenga unidades de m/s . Para resolver el problema se elaboró el programa newmarklineal y la forma de uso es la siguiente: [Y] = newmarlineal (p,M,C,K,J,dt,beta)        

p M C K J dt

Corresponde al nombre del archivo que contiene el acelerograma. Es la matriz de masas de orden (nxn) Siendo n el número de grados de libertad. Es la matriz de amortiguamiento. Es la matriz de rigidez. Es el vector unitario, para el caso plano (Q = - M J a(t) ). Es el incremento de tiempo del acelerograma y con el cual se halla la respuesta dinámica. beta Vale 0.25 cuando se considera aceleración constante o 0.167 para aceleración lineal. Y Es la respuesta máxima de los desplazamientos, en valor absoluto, del último piso de un pórtico plano.

>> K=[2761.1 -1538.1 285.7; -1538.1 2278.0 -1080.6; 285.7 -1080.6 836.9]

>> M=[1.63 0 0; 0 1.63 0; 0 0 1.63] >> C=[ 6.3608 -2.1516 0.0124; -2.1516 5.3010 -2.1143; 0.0124 -2.1143 3.0325] >> J=[1; 1; 1] >> load Peru04.dat >> [Y] =newmarklineal (Peru04,M,C,K,J,0.02,0.167)

292


El archivo del acelerograma tiene un dt  0.02 y se ha considerado   0.167 . La respuesta del tercer piso se indica en la figura 8.3 y el valor máximo del desplazamiento es 0.0226 m. Este ejercicio se resuelve también, más adelante, por el Procedimiento de Espacio de Estado. function [ymax]=Newmarklineal(p,M,C,K,J,dt,beta) % Respuesta en el tiempo de un sistema de multiples grados de libertad % por el Metodo de Newmark, ante una sismo definido por su acelerograma % % Por: Roberto Aguiar Falconi % 27 de enero de 2015 %-----------------------------------------------------------------% [ymax]=Newmarklineal(p,M,C,K,J,dt,beta) %-----------------------------------------------------------------% p : vector que contiene los registros del acelerograma en gals % M : matriz de masas del sistema (T s2/m) % C : matriz de amortiguamiento del sistema (T s/m) % K : matriz de rigidez del sistema (T/m) % J : Q=-M J a(t) es vector unitario para caso plano. % dt : incremento de tiempo con el cual se calcula la respuesta. % beta: Vale 1/4 para aceleracion constante, 1/6 para aceleracion lineal, % 1/8 escalonada % gama: Vale 0.5 % d, v, a : desplazamiento, velocidad y aceleracion de la respuesta % % El programa solo guarda el corrimiento en ultimo piso n=length(p);tmax=dt*n;t=linspace(0,tmax,n)';gama=0.5;ngl=length(K); % Cambio de cm/s2 a m/s2 en el acelerograma for i=1:n p(i)=p(i)/100; end % Constantes auxiliares de cálculo fac1=1/(beta*dt);fac2=gama/(beta*dt); fac3=1/(beta*dt*dt); fac4=(1/(2*beta))-1;fac5=1-(gama/beta); fac6=1-(gama/(2*beta)); % Calculo de K sombrero Ks=K+fac3*M+fac2*C; % Condiciones iniciales nulas for i=1:ngl d(i)=0; v(i)=0; a(i)=0; end d=d';v=v';a=a'; % Respuesta en el tiempo for i=1:n-1 F=-M*J*p(i+1)+M*(fac1*v+fac4*a)-C*(fac5*v+fac6*dt*a)-K*d; dq=Ks\F;aa=fac3*dq-fac1*v-fac4*a; vv=fac2*dq+fac5*v+fac6*dt*a;dd=dq+d; y(i)=dd(ngl);tt(i)=dt*i; % Desplazamiento en ultimo piso y1(i)=dd(1); % Desplazamiento del primer piso d=dd; v=vv; a=aa; end plot (tt,y) ylabel('Desplazamiento ultimo piso');xlabel('Tiempo') ymax=max(abs(y)) %---fin---


293

Figura 8.3 Respuesta en desplazamientos del tercer piso.

8.4 MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISIS PLANO El modelo numérico con el cual se realiza el análisis sísmico, se lo ha venido desarrollando en los capítulos anteriores, sin embargo en el presente apartado, se describe en forma rápida.



EJEMPLO 4

Encontrar la respuesta sísmica del pórtico 2, de una construcción de 2 pisos, de la figura 8.4, ante el acelerograma sintético, indicado en la figura 8.5. Este acelerograma genera en forma aproximada el espectro del CEC-2000 para un perfil de suelo S2 en la zona de mayor peligrosidad sísmica de Ecuador.

Figura 8.4 Estructura de análisis

294


El registro de la figura 8.5 es una acelerograma artificial, que tiene una duración de 20 segundos y la fase inicial y final son de 5 segundos, cada uno. De tal forma que la fase intensa, la que produce daño tiene una duración de 10 segundos. 2

Las cargas que se consideran para el análisis, son de 500 kg/m para la carga muerta y 2 de 200 kg/m para la carga viva, de tal manera que la carga para el análisis sísmico es de 550 2 kg/m ya que se trata de una vivienda. (550 = 500 + 0.25 x 200).

Figura 8.5 Acelerograma sintético.



SOLUCIÓN

En la figura 8.6, se aprecia que sobre el pórtico 2, gravitan dos cargas triangulares, de tal forma que la carga uniforme distribuida sobre el pórtico, tiene un valor de:

P0 

W s 0.55  4.0 T 2  * 2  1.467 3 3 m

Siendo W la carga uniforme distribuida por unidad de área, s la luz corta, que en este caso es igual y vale 4.0 m., se multiplica por 2 ya que son dos áreas cooperantes. Desde un punto de vista conservador en lugar de considerar el área cooperante triangular se pudo considerar rectangular. En la figura 8.7 se presenta la geometría del pórtico 2, con las cargas actuantes y las secciones de las vigas y columnas. Las vigas se consideran axialmente rígidas, de tal manera que se tiene un solo desplazamiento horizontal por piso. Las columnas se consideran totalmente flexibles, con esta indicación en la figura 8.8 se indican los grados de libertad, respectivos. En la figura 8.8, se indican las coordenadas principales, que son la 9 y la 10. Las coordenadas secundarias van del 1 al 8. Las coordenadas principales se han numerado al final, debido a que la matriz de rigidez lateral, se obtiene aplicando la primera etapa de Gauss, que consiste en triangularizar el sistema, como se indicó en el capítulo 4. La matriz de rigidez de la estructura es de 10 por 10, luego al aplicar la primera etapa de Gauss pero hasta la fila 8, se obtiene la matriz de rigidez lateral en las dos últimas filas. Únicamente para aplicar el Método de Newmark se trabaja con la matriz de rigidez lateral, que para el presente ejemplo es de 2 por 2.


295

Figura 8.6 Área cooperante de carga para el pórtico 2

Se trabaja con un modelo de masas puntuales por piso, como se indica en la figura 8.9, de tal manera que m1 es la masa total del piso 1 y m 2 es la masa total del piso 2.

m1  m2 

T s2 1.467  4  0.599 9. 8 m

Figura 8.7 Geometría del pórtico 2 y cargas actuantes.

296


Figura 8.8 Coordenadas principales y secundarias La matriz de masas es de 10 por 10, en la cual solo existen valores diferentes de cero en la fila 9 y columna 9, que vale m1 y en la fila 10 y columna 10, que vale m 2 . Se trabaja con modos Ritz, como se vio en el capítulo 6. Para el ejercicio, las propiedades dinámicas del pórtico que se analiza se indican en la tabla 8.1.

Modo 1 2

Tabla 8.1 Propiedades dinámicas de pórtico 2. Frecuencia Natural Valor Propio (1/s) 646.645 25.429 9017.31 94.959

Figura 8.9 Modelo para el cálculo de las masas

Período (s) 0.247 0.066


297

Como se trabajó con matrices de 10 por 10, los modos de vibración tienen 10 elementos y son:

 (1)

0.00495  0.2043     0.00495    0.2043  0.0069    0.1456   0.0069    0.1456  0.5151    1.1850 

 ( 2)

 0.00757  0.01458    0.00757    0.01458   0.01541     0.5521  0.01541     0.5521  1.185     0.5151 

Para entender el significado de los modos de vibración, se debe mirar primero la figura 8.8; ahí se aprecia que la primera coordenada corresponde al desplazamiento vertical del nudo izquierdo de la primera planta, positivo si va hacia arriba, la segunda al giro de ese nudo, positivo si es antihorario, etc. Las dos últimas coordenadas corresponden al desplazamiento lateral del primero y segundo piso. Nótese que los desplazamientos verticales, tanto para el primer modo como para el segundo modo, son pequeños, pero existen y los giros en cada uno de los nudos, no son tan pequeños, especialmente para el primer modo. Se recuerda que los modos lo único que indican es la forma como va a responder la estructura y son adimensionales.

Figura 8.10 Modos de vibración considerando todos los grados de libertad. En la figura 8.10 se ha dibujado las dos formas modales; cada uno de los nudos se ha identificado con una letra tanto para la posición inicial como para la posición final. Con el propósito de ilustrar la forma del modo no se ha dibujado en forma proporcional a los resultados. Lo importante de todo esto, es que se vea que ha más de los desplazamientos horizontales existen desplazamientos verticales y rotaciones, en cada uno de los nudos.

298


Normalmente, para el análisis sísmico plano, se dibujan los modos de vibración como se indica en la figura 8.11, para las coordenadas principales, debido a que las coordenadas secundarias influyen muy poco en la respuesta estructural.

Figura 8.11 Modos de vibración considerando solo los desplazamientos horizontales. A pesar de que la matrices de rigidez, masa y amortiguamiento son de 10 por 10, la estructura solo tiene dos modos de vibración, debido a que las dos últimas matrices solo dos cantidades son diferentes de cero. En las figuras 8.12 y 8.13 se muestran la respuesta en el tiempo del desplazamiento horizontal del primer y del segundo piso. Como se trabaja en el rango elástico la estructura oscila siempre con respecto al eje de coordenadas (desplazamiento igual a cero); cuando la estructura responde en el rango no lineal este eje varía de acuerdo a las deformaciones permanentes del sistema. Se aprecia en estas figuras que los dos pisos tienen básicamente el mismo comportamiento, claro está que el segundo piso tiene mayores desplazamientos horizontales que el primer piso. Para fines prácticos, interesa los desplazamientos laterales máximos, estos son: 0.0107 m., para el piso uno y 0.0242 m., para el piso dos.

Desplazamiento Primer Piso (m)

0,015 0,01 0,005 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-0,005 -0,01 -0,015 Tiempo (Seg)

Figura 8.12 Respuesta en el tiempo del desplazamiento horizontal del primer piso.

20

Desplazamiento Segundo Piso (m)


0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0 -0,005 0 -0,01 -0,015 -0,02 -0,025

2

4

6

8

10

12

14

16

18

299

20

Tiempo (Seg)

Figura 8.13 Respuesta en el tiempo del desplazamiento horizontal del segundo piso. Por otra parte, en la figura 8.14 se presentan las fuerzas horizontales que actúan en los pisos uno y dos, la suma de estas fuerzas horizontales, reporta el cortante basal que se ha denominado V y en la figura 8.15 se indica la respuesta en el tiempo del cortante basal.

F2

F1

V Figura 8.14 Fuerzas horizontales equivalentes y cortante basal Como era de esperarse las respuestas máximas se hallan en la fase intensa del acelerograma que va desde los 5 hasta los 15 segundos. Figuras similares, se puede presentar para ver la variación en el tiempo, de los momentos a flexión, cortantes o fuerzas axiales, en vigas y columnas. El cortante basal máximo, que se observa en la figura 8.15 es de 14.456 T., es una cantidad muy alta. Como se estudió en el capítulo 3, este es el cortante elástico y el cortante inelástico para el cual se diseña la estructura, se obtiene dividiendo el cortante elástico para el


300

factor de reducción de las fuerzas sísmicas R , que es función del factor de reducción por ductilidad R , del factor de resistencia Rs y del factor de redundancia . Aguiar, (2007)

16

Cortante Basal (Ton)

14 12 10 8 6 4 2 0 -2 0

5

10

15

20

Tiempo (Seg)

Figura 8.15 Variación en el tiempo del cortante basal.

8.5 PROCEDIMIENTO DE ESPACIO DE ESTADO El Procedimiento de Espacio de Estado, SSP, es muy utilizado para encontrar la respuesta en el tiempo de estructuras y es muy apropiado para trabajar con matrices de rigidez, masa y amortiguamiento que no son diagonales. El Procedimiento de Espacio de Estado, tiene enormes ventajas de exactitud y tiempo de ejecución respecto a métodos clásicos. Además de ello no presenta problemas de estabilidad en la solución numérica.

8.5.1 Formulación del Problema El sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas de dinámica estructural, fue indicado en la ecuación (8.12) sin embargo para tenerlo presente se vuelve a repetir la mencionada ecuación. De igual manera se repite la obtención de la matriz y de la ecuación de estado que se presentó en el capítulo anterior. ̈

̇

Donde son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, respectivamente; ̇ ̈ son los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración. es el vector de cargas generalizadas. Al premultiplicar la ecuación por M ..

1

, por la izquierda, se halla:

.

q  M 1 C q  M 1 K q  M 1 Q

(8.20)

Como artificio numérico de cálculo se introduce la siguiente ecuación: ̇

̇

(8.21)

Se introduce la siguiente notación: * ̇+

̇

̇ [ ] ̈

Con esta notación, las ecuaciones (8.21) y (8.20), quedan:

(8.22)


301

.

X F X r

(8.23)

Donde:

 0 F  1  M K

I 1

M C

  

 0  r   1  M Q

( 8.24)

(8.25)

Hay dos formas de presentar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales, definido en (8.23), las mismas que se indican a continuación.

8.5.2 Primera forma de solución La solución del sistema (8.23) es:

X k 1  A X k  P1 rk 1  P2 rk 1  rk 

Ae

t F

(8.27)

P1  F 1  A  I 

F 1

(8.26)

 1  P2  F 1  P1  A   t  1  K C  K 1 M    0   I

(8.28) (8.29)

En la ecuación (8.26) el subíndice k corresponde al instante de tiempo k y el subíndice k+1 al instante de tiempo k+1. En la ecuación (8.27), t es el incremento de tiempo con el cual se desea hallar la respuesta en el tiempo. En el programa pse que se presenta más adelante, se ha considerado que t es el incremento de tiempo con el cual se obtuvo el acelerograma y es igual al incremento de tiempo con el cual se halla la respuesta en el tiempo. Para hallar el vector de estado X en el instante k+1 mediante la ecuación (8.26) se debe conocer el valor de X en el instante k, el valor de la excitación en los instantes k y k+1. La fuente de error se tiene en el cálculo del exponencial de la matriz:

A  exp(t F )   E  1

(8.30)

Siendo  la matriz modal, cuyas columnas son los vectores propios de F , E es la matriz diagonal cuyos elementos son exp(t  ) , donde  son los valores propios de F .

8.5.3 Formulación de la respuesta en la Primera forma La solución de la ecuación (8.23) es la siguiente: t

X (t )  exp F t  X 0   expF t    r   d 0

(8.31)

302


Al discretizar la respuesta y considerando un incremento constante de tiempo

t

se

puede encontrar la respuesta en un instante t  k  1t en función del valor anterior para

t 0  k t .

X kt  t   exp F t X kt  

 k 1t

 expk  1t   F  r  d

kt

Se considera que la variación de la excitación

instante de tiempo k  1t es lineal. Luego:

r    r kt     kt 

r entre el instante de tiempo k t y el

r kt  t   r kt  t

kt    k  1t

Al sustituir esta variación de r   en la integral y considerando el siguiente cambio de variable:

  k  1t  

 d   d

Se tiene:

r kt  t   r kt    X kt  t   exp F t X kt    exp F t     r kt  d t   0 t

Ecuación que puede expresarse en forma condensada, de la siguiente manera:

X k  1  A X k   P1 r k  1 P2 r k  1  r k  Donde:

A  e t F P1  F 1  A  I   1  P2  F 1  P1  A   t  El algoritmo de Espacio de Estado puede ser considerado como la generalización de la integral de Duhamel (Capítulo 1) para varios grados de libertad.

8.5.4 Programa pse El programa pse encuentra la respuesta en el tiempo de un sistema de n grados de libertad ante una acción sísmica definida por un acelerograma. La forma de uso del programa es la siguiente: [q]=pse(M,C,K,Qo,p,dt)     

M es la matriz de masas del sistema, de orden nXn. El usuario debe indicar por consola esta matriz. C es la matriz de amortiguamiento del sistema, que debe el usuario dar por consola. K es la matriz de rigidez del sistema, que debe el usuario dar por consola. Qo es el vector que multiplica a la aceleración del suelo, se debe indicar por consola. p es el nombre del archivo que contiene al acelerograma.


303

dt es el incremento de tiempo del acelerograma. Con este incremento de tiempo se encuentra la respuesta en el tiempo. Si se tiene un sistema de un grado de libertad, la ecuación del movimiento es: ..

.

m q  c q  k q   m a (t ) Para este caso el valor de Qo que se debe indicar al programa es: Qo=[-m] Para un sistema de múltiples grados de libertad, el sistema de ecuaciones diferenciales es el siguiente: ..

.

M q  C q  K q   M J a (t ) En este caso el valor de Qo es: Q0   M J Como se aprecia Qo es el vector que multiplica a la aceleración del suelo a (t ) . Es importante tener presente las unidades en las cuales está el acelerograma. Si las unidades 2 están en cm./s , en el cálculo de las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento se deberá trabajar con T., y cm., como se aprecia en el primer ejemplo que se resuelve, posteriormente. Si en todo el cálculo dinámico se ha trabajado en T., y m., el usuario del programa 2 2 debe cambiar las unidades del acelerograma de cm./s a m/s . Esto antes de utilizar el programa pse, la otra opción es modificar al programa de tal manera que la aceleración del 2 2 suelo se pase de cm./s ., a m/s .; este procedimiento se ilustra en el segundo ejemplo. Lo importante es que se tengan unidades compatibles. function [q]=pse(M,C,K,Qo,p,dt) % % Procedimiento de Espacio de Estado para sistemas de n grados de libertad % Programa general en que se requiere la respuesta ante un acelerograma. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI ESPE % ----------------------------------------------------------------% [q]=pse(M,C,K,Qo,p,dt) % ----------------------------------------------------------------% M Matriz de masas. % C Matriz de amortiguamiento. % K Matriz de rigidez. % Qo Coeficiente del vector de cargas que multiplica a la aceleración % del suelo. % p Acelerograma para el cual se calcula la respuesta en el tiempo. % Previamente el usuario habrá calculado las matrices de masa, % amortiguamiento, rigidez, así como el coeficiente Qo. % F Matriz de orden 2nx2n % q Los n primeros valores corresponden a los desplazamientos y los % restantes a las velocidades. % dt Incremento de tiempo con el cual se obtiene la respuesta. ngl=length(K); % Matriz F CERO=zeros(ngl,ngl); IDENT=eye(ngl,ngl);MIK=(-1)*inv(M)*K;MIC=(-1)*inv(M)*C; F=[CERO IDENT; MIK MIC]; % Exponencial de la matriz F multiplicado por dt A=expm(dt*F);

304


% Matrices P1 y P2 IDEN=eye(2*ngl,2*ngl); P1=inv(F)*(A-IDEN); P2=inv(F)*((1/dt)*P1-A); % Vector r de cargas sísmicas for i=1:ngl; NULO(i)=0; end; MIQ=inv(M)*Qo; % respuesta en el tiempo n=length(p); for i=1:2*ngl; Xk(i)=0;end; Xk=Xk';q=Xk(ngl); for i=1:n-1 t(i)=i*dt; MCARGA=MIQ*p(i); MCARGA2=MIQ*p(i+1);rk=[NULO'; MCARGA];rk2=[NULO'; MCARGA2]; Xk2=A*Xk+P1*rk2+P2*(rk2-rk); % Solo almacena la respuesta en el tiempo del ultimo grado de libertad q(i)=Xk2(ngl); Xk=Xk2; end q=q'; t=t'; % Dibujo para la respuesta en el tiempo del ultimo piso plot (t,q) xlabel ('Tiempo (s)'); ylabel ('Desplazamiento ultimo piso'); % ---fin 

EJEMPLO 5 Encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de 1 gdl., que está definido por:

T s2 cm

m  0.004898

c  0.0030775

T cm

k  0.193366

T cm

Ante el sismo registrado en el Perú el 9 de noviembre de 1974, cuyo archivo está en gals y se denomina Peru04.dat. El intervalo de tiempo de este archivo es 0.02 s. (Este ejercicio fue resuelto en el capítulo 2).



SOLUCIÓN

En la figura 8.16 se presenta la respuesta en el tiempo del sistema, pero antes se indica la forma como se debe proceder para la entrada de datos, para utilizar el programa. >> M=[0.004898] >> C=[0.003775] >> K=[0.193366] >> Qo=[-0.004898] >> load Peru04.dat >> [q]=pse(M,C,K,Qo,Peru04,0.02) Las matrices F , F

1

0  F   39.4786

, A, P1 , P2 , son:

  0.6283  1

 0.9921 A  0.7826  0.0199 P1    0.0079

0.0002  0.0198 

 0.0159 F 1   1 

 0.0253  0 

0.0198  0.9797   0.010 P2   0.0052

 0.0001   0.0099 


305

Figura 8.16 Respuesta en el tiempo de ejemplo 1. 

EJEMPLO 6

Encontrar la respuesta en el tiempo, del tercer piso, de la estructura indicada en la figura 8.2, ante el sismo de Perú del 9 de noviembre de 1974. Las unidades con las cuales se obtuvieron las matrices de rigidez, masa y amortiguamiento son T., y m. (Estas matrices fueron ya indicadas en el Ejemplo 3).

 2761 .1 K   1538 .1  285 .7

 1538 .1 2278 .0  1080 .6

 6.3608 C   2.1516  0.0124 La

matriz

1   2   3

de  0.05 .

285 .7   1080 .6 836 .9   2.1516 5.3010  2.1143

amortiguamiento

1.633 M   0  0

 1.633 Q0   1.633  1.633

0.0124   2.1143  3.0325  se

obtuvo

0  1.633 0  0 1.633 0

con

los

siguientes

valores

2

Se modificó al programa pse debido a que el acelerograma está en cm./s y se desea 2 tener en m/s . Las sentencias que se incrementaron son: for i=1:n p(i)=p(i)/100; end En la figura 8.17 se indica la respuesta de desplazamientos del tercer piso, se aprecia que prácticamente se obtuvieron los mismos resultados cuando se aplicó el Método de Newmark.

306


Figura 8.17 Desplazamientos del tercer piso de ejemplo 2. Los desplazamientos laterales máximos, para cada uno de los pisos y el cálculo de la deriva máxima de piso se indican en la tabla 8.2. La deriva máxima de piso es el desplazamiento relativo de piso dividido para la altura de piso.

Piso

3 2 1

Tabla 8.2 Cálculo de la deriva máxima de piso Desplazamiento Desplazamiento Altura de Piso Máximo Relativo (m) (m) (m) 0.0227 0.0063 3.00 0.0164 0.0092 3.00 0.0072 0.0072 3.00

Deriva de Piso (%) 0.21 0.31 0.24

En la última columna de la tabla 8.2 se indica la deriva máxima de piso en porcentaje. Interesa el mayor valor de todos ellos. Este es 0.31%.

8.5.5 Segunda forma de solución Para la segunda forma de cálculo, en la ecuación (8.25) se remplaza con lo que se obtiene. [

,

(8.32)

]

La solución es la misma presentada en la ecuación (8.26) pero escrita de otra manera. (8.33) Donde:

 0 F  1  M K

I  M 1C

   (8.34)

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE [

307

]

El programa que encuentra la respuesta en el tiempo de la forma indicada en este apartado se denomina pee_de_uno. Este programa para cada valor de la aceleración del suelo encuentra la respuesta en el tiempo. En el capítulo 6 se presentó este programa.

Figura 8.18 Estructura de un piso con aislador de base.

8.6 AISLADORES DE BASE ELASTOMÉRICOS CASO PLANO En el capítulo 5, se presentó el marco teórico para el caso de una estructura de un piso con aisladores de base elastoméricos; en la figura 8.18 se muestra el modelo numérico de análisis y se va a volver a presentar las ecuaciones diferenciales, con el propósito de entender bien el modelo y poder generalizarlo para pórticos de varios pisos.

*

̈ +[ ] ̈

̇ ][ ] ̇

[

[

]* +

*

+* +

El significado de las variables está indicado en forma gráfica en la figura 8.18. Al desarrollar el sistema de ecuaciones diferenciales se encuentra. ̈

̈ ̈

̇ ̈

̇

Se denomina:

Con lo que las ecuaciones diferenciales quedan de la siguiente forma. : ̈ ̇ ̈ ̈

̇

-

̈

(8.35) (8.36)

La ecuación (8.35) corresponde al sistema de aislación y la (8.36) a la superestructura, que en este caso es de un piso. Generalizando lo presentado para pórticos planos con aisladores de base elastoméricos, y en lugar de denominar a la coordenada del aislador se la denomina a secas y a las coordenadas laterales de la superestructura se las llama con la letra ; se tiene: ̈ ̈ ̇ (8.37) ̈

̇

[

̈]

(8.38)

308


Donde ; son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, con base empotrada; es un vector unitario para el caso plano, de orden . Siendo el número de pisos. En la figura 8.19, se muestra la nueva nomenclatura de los grados de libertad utilizada para un pórtico plano de 4 pisos con aisladores de base.

Figura 8.19 Nueva nomenclatura para estructuras planas con aisladores de base. Al despejar de la ecuación (8.37) ̈ , se tiene

q   a(t )  m (t )

1

C

(b )



t

q  K (b) q  r ( s ) M ( s ) u

Al sustituir ̈ en la ecuación (8.38) y luego de simplificar

M ( s ) u  C ( s ) u  K ( s ) u  M ( s ) r ( s ) m (t )

1

C

(b)

, se tiene:



t

q  K (b) q  r ( s ) M ( s ) u

(8.39)

Al desarrollar el segundo término de (8.39) se tiene:

M ( s ) u  C ( s ) u  K ( s ) u  M ( s ) r ( s ) m (t )

1

C

(b)



1

t

q  K (b) q  M ( s ) r ( s ) m (t ) r ( s ) M ( s ) u

Al pasar de lado el último término de la ecuación anterior, al lado izquierdo, se halla: 1

t

M ( s ) u  M ( s ) r ( s ) m (t ) r ( s ) M ( s ) u  C ( s ) u  K ( s ) u  M ( s ) r ( s ) m (t )

1

C

(b )

q  K (b) q



Al sacar factor común ̈ , en los dos primeros términos,

M

(s)

1

t



 M ( s ) r ( s ) m (t ) r ( s ) M ( s ) u  C ( s ) u  K ( s ) u  M ( s ) r ( s ) m (t ) ~ (s) Se denomina Matriz de Masa corregida M , a:

1

C

(b )

q  K (b) q

1 t ~ M ( s )  M ( s )  M ( s ) r ( s ) m (t ) r ( s ) M ( s )



(8.40)

Luego, el sistema de ecuaciones diferenciales para la superestructura, queda:

~ M ( s ) u  C ( s ) u  K ( s ) u  M ( s ) r ( s ) a~ (q, q ) 1 a~ (q, q )  m(t ) C (b ) q  K (b ) q





(8.41) (8.42)

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE Donde

309

a~(q, q ) es el vector de aceleración total asociada con la superestructura

rígida. De La Llera et al. (2005); han desarrollado varios métodos de solución del sistema de ecuaciones diferenciales, en forma aproximada, en todos esos métodos se considera en la ecuación diferencial (8.37) que ̈ , que implica suponer que la flexibilidad de la superestructura no influye en la respuesta del sistema de aislamiento, especialmente cuando el período de vibración de la superestructura es menor a 1.0 s. Kulkarni y Jangrid (2002). Con esta hipótesis la ecuación (8.37) queda:

̈

(8.43)

̇

Que corresponde a un sistema de un grado de libertad, para el caso plano. En este apartado se van a estudiar dos Métodos que son el Cuasi-Estático y el de Masa Corregida, destacando de antemano que estos métodos pueden ser aplicados para estructuras espaciales, claro está con sus respectivas matrices de masa, rigidez y amortiguamiento.

8.6.1 Método Cuasi-Estático En el Método Cuasi-Estático; la ecuación diferencial (8.43) se resuelve con el Método de Newark o con Procedimiento de Espacio de Estado y se encuentra la respuesta y ̇ . ̇ Con estas respuestas se halla la aceleración que ingresa a la superestructura ̃



1 a~(q, q )  m (t ) C (b) q  K (b) q



Finalmente, la respuesta de la superestructura se halla en forma estática mediante las ecuaciones (8.44) y (8.45) (8.44) K ( s ) u  F ( s ) (q, q )

F ( s ) (q, q )  M ( s ) r ( s ) a~ (q, q )

(8.45)

La ecuación (8.44) es la ecuación básica de equilibrio de estructuras estáticas pero aquí se debe calcular en cada incremento de tiempo, F (q, q ) que son las fuerzas que actúan en la superestructura en cada piso. Esta ecuación es la parte estática de la ecuación (8.41). (s)

8.6.2 Método de Masa Corregida Para tener presente las ecuaciones se indica el procedimiento de cálculo a seguir con el Método de Masas Corregidas, pero generalizándolo al caso espacial. Seguín (2007). i.

ii.

~ (s)

Se halla la matriz de masas corregidas M

1 t ~ M ( s)  M ( s)  M ( s) r ( s) M (t ) r ( s) M ( s) Se encuentra la respuesta en el sistema de aislamiento q y q

g M ( t ) q  C ( b ) q  K ( b ) q   M ( t ) r ( b ) u Nótese que se ignora la aceleración de la superestructura. Para cada instante de tiempo se hallan los vectores q y q , empleando el Procedimiento de Espacio de Estado P.E.E., o cualquier otro método de análisis dinámico.

310

iii.


~(q, q ) Se halla el vector de aceleraciones de la superestructura a



1 a~(q, q )  M ( t ) C (b) q  K (b) q

iv.



Se encuentra la respuesta dinámica en la superestructura, empleando el PEE.

~   C ( s ) u  K ( s ) u  M ( s ) r ( s ) a~(q, q ) M ( s) u En Aguiar et al. (2008) se presentan ejercicios y programas de computación para encontrar el análisis sísmico de estructuras espaciales con aisladores de base utilizando estos dos métodos.

8.7 ESTRUCTURAS CON AISLADORES SOBRE LAS COLUMNAS En los capítulos anteriores se colocó los aisladores de base sobre la cimentación. Ahora, se desea ilustrar como se realiza el análisis sísmico cuando los aisladores se colocan sobre las columnas del primer piso, como se observa en la figura 8.20, que corresponde al parqueadero del Hospital Militar de Santiago de Chile.

Figura 8.20 Aisladores de base sobre columnas del primer piso. En algunos edificios, la planta baja se ha destinado para parqueaderos y en los pisos superiores se tienen los departamentos, generándose la falla denominada piso blando que ha generado gran daño en varias estructuras durante sismos severos. El caso más reciente se tiene en el Mega sismo de Chile de 2010. Pero en este sismo el Hospital Militar de Santiago de Chile tuvo un excelente comportamiento sísmico a tal punto que los pacientes la noche del 27 de febrero de 2010 sintieron el Mega sismo como un pequeño temblor. (Aguiar, 2011). Al tener los aisladores de base sobre las columnas estos se conservan de mejor forma con relación a los que se colocan sobre la cimentación. Por esto interesa ilustrar como se realiza el análisis sísmico de la estructura indicada en la parte superior izquierda de la figura 8.21, es un pórtico de 2 pisos, con dos ejes de columnas, 3 vigas y 2 aisladores de base que tienen una altura . Por facilidad se ha considerado que todas las columnas son iguales y tienen dimensiones ; de igual manera las vigas son iguales y de dimensión . La luz del pórtico es y la altura de cada entrepiso .


311

En la parte superior derecha de la figura 8.21 se presentan las cargas verticales que gravitan sobre las vigas. En la parte inferior izquierda de 8.21 se indica la numeración de los nudos y elementos. Nótese que al aislador se lo modela como un elemento de longitud ; este modelaje también se puede hacer cuando los aisladores se colocan sobre la cimentación. Finalmente, en la parte inferior derecha de la figura 8.21, se presentan los grados de libertad, se considera que las vigas son axialmente rígidas de tal manera que hay un grado de libertad horizontal por piso que en este caso son el 1, 6 y 11. La rigidez horizontal del aislador se obtiene con la siguiente ecuación: (8.46)

Donde es el período objetivo que el Proyectista Estructural se impone para el diseño de la estructura (generalmente es de 2 seg.); es la masa que gravita sobre el aislador y es igual al peso (reacción vertical) sobre la gravedad.

Figura 8.21 Estructura con aisladores elastoméricos colocados sobre las columnas.

8.7.1 Cálculo de las reacciones Para hallar las reacciones se debe considerar a la superestructura que se halla sobre los aisladores. A la izquierda de la figura 8.22 se presenta el modelo de cálculo para el ejercicio

312


de la figura 8.21. A la derecha de 8.22 se presentan los grados de libertad, considerando que las vigas son axialmente rígidas. Se tienen 10 grados de libertad; interesa conocer la reacción vertical y la . Se utiliza este modelo para calcular directamente las reacciones, caso contrario se debió emplear un modelo con empotramiento en el sitio donde van los aisladores. El sistema de coordenadas indicado a la derecha de la figura 8.22 está compuesto por coordenadas “a” y “b”. Las coordenadas “a” son aquellas cuyo desplazamiento es cero para el cálculo de las reacciones. . Las coordenadas “b” van de la 6 a la 10.Con esta acotación la ecuación básica de análisis estático se escribe de la siguiente manera.

QKq  R  Qa   K AA Q   K  b   BA

K AB  0  K BB  qb 

(8.47)

Donde R es el vector que contiene a las reacciones de la estructura; Q a es el vector de cargas asociado a las coordenadas

a

(apoyos); Q b es el vector de cargas de la estructura

como que si estuviera empotrada en la base. Al desarrollar los productos matriciales se halla:

R  Qa  K AB q b Qb  K BB q b

(8.48)

Figura 8.22 Modelo para el cálculo de las reacciones de la superestructura. Luego el procedimiento de cálculo para encontrar las reacciones es el siguiente: i.

ii. iii. iv. v.

Encontrar la matriz de rigidez de toda la estructura, utilizando todos los programas de CEINCI-LAB que se han indicado en los capítulos anteriores de este libro. Particionar esta matriz y hallar las submatrices que están indicadas en la ecuación (8.47). Encontrar el vector de cargas , que contiene a: . Para el efecto se debe utilizar el programa cargas. Particionar y hallar: . Resolver el sistema de ecuaciones , y encontrar . Calcular con la primera ecuación de (8.48)

A continuación se indica el programa cargas, se deja al lector que vea la entrada de datos. function [Q,Q2]=cargas(njc,nmc,ngl,L,seno,coseno,CG,VC,F,Fm) % % Programa que calcula el vector de cargas Q de un pórtico plano

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE % con cargas en los elementos y en las juntas % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Octubre de 2009 %------------------------------------------------------------% [Q,Q2]=cargas(njc,nmc,ngl,L,seno,coseno,CG,VC,F,Fm) %------------------------------------------------------------% njc número de juntas cargadas % nmc número de miembros cargados % ngl número de grados de libertad %L Vector que contiene la longitud de los elementos % seno Vector que contiene el seno de cada elemento % coseno Vector que contiene el coseno de cada elemento % VC Matriz de vectores de colocación de elementos %F Matriz con: Nudo cargado, FH, FV, Momento % Fm Matriz con: Núm elem, Carga, Código, elem a gener, incr. num elem. % Código=1 Carga Uniforme en elemento horizontal % Código=2 Carga Triangular en elemento horizontal % %Q Vector de cargas generalizadas % Q2 Matriz con Vectores de empotramiento perfecto en % coordenadas locales de todos los elementos % CARGAS EN JUNTAS Q=zeros(ngl,1);ic=length(VC(1,:));mbr=length(L); Q2=zeros(mbr,ic);% Empotramiento perfecto en coord. locales. if njc~=0 for i=1:njc nudo=F(i,1); for j=1:3 gdl(j)=CG(nudo,j);Q(gdl(j))=F(i,j+1); end end end % CARGAS EN LOS ELEMENTOS if nmc~=0 nf=length(Fm(:,5)); for icon=1:nf i=Fm(icon,1); % Numero de elemento cargado P=Fm(icon,2); % Carga en elemento icod=Fm(icon,3); % Código del tipo de carga ielem=Fm(icon,4); % Elementos a generar con igual carga y longitud icr=Fm(icon,5); % Incremento en la numeración de elementos con igual carga if icod==1 & seno(i)==0 % CARGA UNIFORME EN ELEMENTO HORIZONTAL Q2(i,2)=P*L(i)/2;Q2(i,5)=Q2(i,2); Q2(i,3)=P*L(i)*L(i)/12;Q2(i,6)=-Q2(i,3); elseif icod==1 & seno(i)~=0 % CARGA UNIFORME EN ELEMENTO INCLINADO Px=P*seno(i)*coseno(i);Py=P*coseno(i)*coseno(i); dx=L(i)/100; for k=1:100 x(k)=(k-1)*dx;fac=x(k)/L(i); f1(k)=(1-fac)*Px; %Funcion de forma fi1 * Px f2(k)=(1-3*fac^2+2*fac^3)*Py; %Funcion de forma fi2 * Py f3(k)=(x(k)*(1-fac)^2)*Py; % Funcion de forma fi3 * Py f4(k)=fac*Px; %Función de forma fi4 * Px f5(k)=(3*fac^2-2*fac^3)*Py; % Funcion de forma fi5 * Py f6(k)=(-x(k)^2/L(i))*(1-fac)*Py; % Funcion de forma fi6 * Py

313

314


end Q2(i,1)=trapz(x,f1);Q2(i,2)=trapz(x,f2); Q2(i,3)=trapz(x,f3);Q2(i,4)=trapz(x,f4); Q2(i,5)=trapz(x,f5);Q2(i,6)=trapz(x,f6); end T23=zeros(6,6);T23(1,1)=coseno(i);T23(2,2)=T23(1,1);T23(3,3)=1; T23(4,4)=T23(1,1);T23(5,5)=T23(1,1);T23(6,6)=1;T23(2,1)=-seno(i); T23(1,2)=seno(i);T23(5,4)=-seno(i);T23(4,5)=seno(i); Q3=-T23'*Q2(i,:)'; % Vector de empotramiento en coordenadas globales for ij=1:6 gdl=VC(i,ij); if gdl==0 continue else Q(gdl)=Q(gdl)+Q3(ij); end end for ik=0:ielem for ki=1:6 Q2(i+ik*icr,ki)=Q2(i,ki); % Se genera los elementos iguales gdl=VC(i+ik*icr,ki); if gdl==0 continue else Q(gdl)=Q(gdl)+Q3(ki); end end end end end return % ---end---

8.7.2 Matriz de rigidez de los aisladores En la figura 8.23 se muestra la nomenclatura utilizada para definir la geometría de un aislador; el mismo que ha sido modelado como un elemento de longitud . Se define , a las longitudes de la capa de acero. Almazán (2001)

Figura 8.23 Nomenclatura utilizada para definir la geometría de aislador. A la izquierda de la figura 8.24 se indica el sistema de coordenadas locales para el elemento aislador de base, que se denomina . Donde es el vector que contiene la fuerza horizontal y vertical y , el vector de desplazamientos: horizontal y vertical. A la derecha de la figura 8.24 se presenta el sistema de coordenadas globales del aislador, que se ha denominado , donde es el vector de cargas y , el vector de deformaciones asociado a las coordenadas indicadas. Aguiar, (2004).Sea la matriz de rigidez del aislador


315

en coordenadas locales, que se encuentra con la siguiente ecuación. [

(8.49)

]

Donde es la rigidez horizontal del aislador; es la rigidez vertical del aislador. La rigidez horizontal ya se indicó como se obtiene; la rigidez vertical se halla en función del área de las placas, del módulo de compresión para el conjunto goma-acero y de la altura total de goma del aislador.

Figura 8.24 Sistema de coordenadas de un aislador. Interesa encontrar la matriz de rigidez del aislador en coordenadas globales, para ello se debe determinar en primer lugar la matriz de paso , definida de la siguiente manera:

p  T p Esta matriz es:

0 1 T 0  1 Sean K 0 y

 li 1 0 0

0 1

lj   0

(8.50)

K 0 las matrices de rigidez asociadas a las coordenadas locales y globales

del aislador. Se conoce la matriz de rigidez K 0 y para encontrar

K 0 se utiliza la siguiente

ecuación. Aguiar (2004).

K 0  T t K 0 T

( 8.51)

Una vez que se tiene la matriz de rigidez de cada aislador en coordenadas globales, se encuentra la contribución de los aisladores a la matriz de rigidez de la estructura por ensamblaje directo utilizando los vectores de colocación. Esto se lo hace con el programa kaisladores, que se lista a continuación. function [KELAS]=kaisladores(ngl,nais,Ko,Lo,VCAIS) % % Programa para encontrar la contribución de los aisladores a la % Matriz de rigidez de un pórtico % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2009 %------------------------------------------------------------% [KELAS]=kaisladores(ngl,nais,Ko,Lo,VCAIS) %-------------------------------------------------------------

316


% ngl Número de grados de libertad de la estructura % nais Número de aisladores de la estructura % Ko Matriz que contiene la rigidez horizontal y vertical de cada % uno de los aisladores, colocados en la diagonal Ko(2*nais,2*nais) % Lo Matriz de transformación de coord. locales a globales en aislador % Tiene 2 filas y 6 columnas % VCAIS Matriz que contiene los vectores de colocación de los aisladores % % KELAS Matriz que contiene la contribución de los aisladores a la matriz % de rigidez de la estructura % KELAS=zeros(ngl); for i=1:nais ii=[1:2]+(i-1)*2; K=Ko(ii,ii); % Rigidez en coordenadas locales KG=Lo'*K*Lo; % Rigidez en coordenadas globales for j=1:6 jj=VCAIS(i,j); if jj==0 continue end for m=1:6 mm=VCAIS(i,m); if mm==0 continue end KELAS(jj,mm)=KELAS(jj,mm)+KG(j,m); end end end; return %---fin---

Figura 8.25 Modelo de masas puntuales.

8.7.3 Matriz de Masas Para encontrar la matriz de masas M se concentró la masa en los nudos, como se observa en la figura 8.25. Los giros son muy bajos en comparación a los desplazamientos


317

laterales, por esto los giros son coordenadas secundarias pero como se está trabajando con todos los grados de libertad se considera la energía cinética de rotación que vale J  siendo

J

el momento de inercia de la masa que es igual a J  m r , donde

se considera igual a

2

r es el radio de giro que

r  L / 20 .

El programa que determina la matriz de masas en el sistema CEINCI-LAB se denomina: masas_ais. function [M]=masas_ais(ngl,L,VC,Fm,g) % % Programa que calcula la Matriz de masas en pórticos planos % con un modelo de masas puntuales % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2009 %------------------------------------------------------------% [M]=masas_ais(ngl,L,VC,Fm,g) %------------------------------------------------------------% ngl número de grados de libertad %L Vector que contiene la longitud de los elementos % VC Matriz de vectores de colocación de elementos % Fm Matriz con: Núm elem, Carga, Código, elem a gener, incr. num elem. % Código=1 Carga Uniforme en elemento horizontal % Código=2 Carga Triangular en elemento horizontal %g aceleración de la gravedad % %M Matriz de masas M=zeros(ngl); nf=length(Fm(:,1)); % Número de filas de datos for icon=1:nf i=Fm(icon,1); % Numero de elemento cargado P=Fm(icon,2); % Carga en elemento icod=Fm(icon,3); % Código del tipo de carga ielem=Fm(icon,4); % Elementos a generar con igual carga y longitud icr=Fm(icon,5); % Incremento en la numeración de elementos con igual carga if icod==1 % CARGA UNIFORME EN ELEMENTO radio=L(i)/20; m(1)=P*L(i)/(2*g);m(2)=m(1);m(3)=(P*L(i)/(2*g))*radio*radio; m(4)=m(1);m(5)=m(1);m(6)=m(3); end for ij=1:6 gdl=VC(i,ij); if gdl==0 continue else M(gdl,gdl)=M(gdl,gdl)+m(ij); end end for ik=1:ielem for ki=1:6 gdl=VC(i+ik*icr,ki); if gdl==0 continue else

318


M(gdl,gdl)=M(gdl,gdl)+m(ki); end end end end return % ---end---

8.7.4 Matriz de Amortiguamiento Cuando se trabaja con todos los grados de libertad, la matriz de rigidez no tiene inversa. Por lo tanto, no se puede obtener directamente los valores y vectores propios a partir de las matrices K y M se debe hacerlo considerando la base empotrada, con las submatrices K BB y M BB . Con estas dos submatrices K BB y M BB se halla la matriz C BB , aplicando el algoritmo de Wilson y Penzien, que se presentó en el capítulo anterior. Se destaca que la matriz de amortiguamiento asociada a todos los grados de libertad tiene la siguiente forma.

C AA C C BA

C AB  C BB 

El objetivo es calcular ahora C AA y C AB ; C BA  C AB ' .Para ello se trabaja con la matriz de influencia estática X i estudiada en capítulos anteriores. Se recuerda la forma como se obtuvo esta matriz.

qb  X i qa K BB X i   K BA

Al observar la primera ecuación de (8.52) se puede ver que

(8.52)

X i es una matriz de

transformación de coordenadas. Aguiar (2004). Luego:

C AA  X it C BB X i

(8.53 )

La submatriz C BA se encuentra con la ecuación (8.52) pero trabajando con las matrices de amortiguamiento.

C BA  C BB X i 

(8.54)

EJEMPLO 7 La estructura de la figura 8.21, es de hormigón armado con un módulo de elasticidad y tiene la siguientes dimensiones:

La estructura tiene un factor de amortiguamiento ; y que se van a colocar aisladores de base elastoméricos con . El período objetivo Los aisladores tienen las siguientes dimensiones:


319

Considerar que la rigidez vertical de los aisladores es 100 veces la rigidez horizontal. Se pide encontrar la respuesta en el tiempo en los grados de libertad 1, 6 y 11 (ver figura 8.21) ante la componente N-S., del sismo de El Centro de 1940. Presentar el desplazamiento relativo del segundo piso, con respecto al primer piso. Encontrar también el desplazamiento lateral máximo y para dicho valor encontrar las fuerzas y momentos en cada uno de los elementos de hormigón armado. 

SOLUCIÓN

El programa desarrollado para resolver el Ejemplo 7, utilizando la librería de programas de CEINCI-LAB se indica a continuación. clear all; close all; echo off % % Programa para el análisis sísmico de Pórtico con % Aisladores Elástoméricos en la parte superior de las columnas % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Noviembre de 2009 %------------------------------------------------------------% aislador_elastomerico_ej1_libro %------------------------------------------------------------% 1. Datos generales L1=5.0; H=3.0; %Longitud y altura del pórtico bv=0.40; hv=0.60; %base y altura de las vigas bc=0.60; hc=0.60; %base y altura de columnas bm=0.20; %ancho de mampostería zeda=0.05; %Factor de amortiguamiento de superestructura zedab=0.15; %Factor de amortiguamiento de aisladores li=0.10;h=0.40;lj=0.10;% Dimensiones en altura de aislador nais=2; %Número de aisladores Tb=2.0; % Período objetivo de sistema de aislación g=9.81; % Aceleración de la gravedad E=1800000; % Modulo de elasticidad del material njc=0; F=0; % Número de juntas cargadas. Se debe colocar F=0 %-------------------------------------------------------------------------% 1. Cálculo de reacciones en superestructura nod=4; % Número de nudos del pórtico de superestructura gdlv=[2 4]; % grados de libertad verticales de aisladores nmc=2; % Número de miembros cargados de superestructura Fm=[1 3.0 1 0 0;%Elem carg, carga, código, elem a gener, incr numero elemento 4 2.0 1 0 0];%Carga uniforme repartida en viga 4. CG=[1 2 3;1 4 5;6 7 8;6 9 10]; ngl=10; % Número de grados de libertad de superestructura % MATRIZ DE GENERACION DE NUDOS DE LOS ELEMENTOS GEN=[1 1 2 1 3 2 2; %elem, ni, nf, elem a gene, inc en elem, inc en ni, inc en nf 2 1 3 1 1 1 1]; % Generación de vector NI (Nudo Inicial) y NJ (Nudo Final) de elementos [NI,NJ]=gn_portico(GEN); % MATRIZ DE GENERACION DE COORDENADAS DE LOS NUDOS NUDOS=[1 0.0 0.0 0 0 0 0;% i, xi, yi, nudos a gener, incr num nudo, dx,dy 2 L1 0.0 0 0 0 0;

320


3 0.0 H 0 0 0 0; 4 L1 H 0 0 0 0]; % Generación de las coordenadas de los nudos [X,Y]=glinea_portico(NUDOS); % Dibuja la superestructura dibujo (X,Y,NI,NJ); % Vector de colocación [VC]=vc(NI,NJ,CG); % Longitud, Seno y Coseno de elementos [Ls,senos,cosenos]=longitud (X,Y,NI,NJ); % Secciones de los elementos SECCION=[1 bv hv 1 3; % Eleme, base, altura, elem a gener, increm en elem 2 bc hc 1 1]; [ELEM]=gelem_portico(SECCION); % Matriz de rigidez de la estructura [K]=krigidez(ngl,ELEM,Ls,senos,cosenos,VC,E); %Matriz Rigidez Estructura r=[1:ngl];r1=[1,2,3,4,5]; %Grados de libertad para calcular reacciones apoyos r2=setdiff(r,r1); %Grados de libertad de nudos libres Kaa=K(r1,r1);Kab=K(r1,r2);Kbb=K(r2,r2); Xi=-Kbb\Kab'; %Matriz de influencia estática Kbf=Kbb; % Matriz de rigidez con base empotrada % Cargas solo en los elementos horizontales [Q,Q2]=cargas(njc,nmc,ngl,Ls,senos,cosenos,CG,VC,F,Fm); % Kaa*qa+Kab*qb=F1+R; Kab'*qa+Kbb*qb=F2 F2=Q(r2);qb=Kbb\F2; % Cálculo de las reacciones F1=Q(r1);% Son las contribuciones de los elementos cargados R=Kab*qb-F1; %----------------------------------------------------------------------% 2. Rigidez de aisladores elastoméricos wn=2*pi/Tb;% Frecuencia para Tb=2 s. wn=2*pi/T Mo=R(gdlv)/g; % Masas de los apoyos con aisladores Kb=diag([wn^2*Mo]);% Rigidez de los aisladores horizontales for k=1:nais % Rigidez de aisladores en diagonal (kb, kv) de cada aislador kk=[1:2]+(k-1)*2; Ko(kk,kk)=[Kb(k,k) 0; 0 100*Kb(k,k)]; % Rigidez de aislador horiz. y vert. end %-------------------------------------------------------------------------% 3. Matriz de rigidez, superestructura y subestructura CG=[0 0 0;0 0 0;1 2 3;1 4 5;6 7 8;6 9 10;11 12 13;11 14 15]; ngl=15; % Número de grados de libertad de superestructura y subestructura % MATRIZ DE GENERACION DE NUDOS DE LOS ELEMENTOS GEN=[1 1 3 1 1 1 1; %elem, ni, nf, elem a gene, inc en elem, inc en ni, inc en nf 3 3 4 1 1 2 2; 5 5 7 1 1 1 1; 7 7 8 0 0 0 0; 8 3 5 1 1 1 1]; % Generación de vector NI (Nudo Inicial) y NJ (Nudo Final) de elementos [NI,NJ]=gn_portico(GEN); % MATRIZ DE GENERACION DE COORDENADAS DE LOS NUDOS NOD=[1 0.0 0.0 0 0 0 0;% i, xi, yi, nudos a gener, incr num nudo, dx,dy 2 L1 0.0 0 0 0 0; 3 0.0 H 0 0 0 0; 4 L1 H 0 0 0 0; 5 0.0 H+h 0 0 0 0; 6 L1 H+h 0 0 0 0; 7 0.0 2*H+h 0 0 0 0;

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE 8 L1 2*H+h 0 0 0 0]; % Generación de las coordenadas de los nudos [X,Y]=glinea_portico(NOD); % Dibuja la superestructura dibujo (X,Y,NI,NJ); % Vector de colocación [VC]=vc(NI,NJ,CG); % Longitud, Seno y Coseno de elementos [L,seno,coseno]=longitud (X,Y,NI,NJ); % Secciones de los elementos solo vigas y columnas SECC=[1 bc hc 1 1; % Eleme, base, altura, elem a gener, increm en elem 3 bv hv 1 1; 5 bc hc 1 1; 7 bv hv 0 0]; [ELEMEN]=gelem_portico(SECC); % Matriz de rigidez de la estructura [K]=krigidez(ngl,ELEMEN,L,seno,coseno,VC,E); %Matriz Rigidez Estructura sin aisladores %-------------------------------------------------------------------------%4. Contribución de aisladores % Vector de colocación de aisladores VCAIS=[1 2 3 6 7 8; 1 4 5 6 9 10]; Lo=[-1 0 -li 1 0 -lj; 0 -1 0 0 1 0];%[d1,d2]=Lo*[p(i);p(j)] [KELAS]=kaisladores(ngl,nais,Ko,Lo,VCAIS);% KELAS es la contribución de los aisladores KT=K+KELAS;% Mariz de rigidez estructura con aisladores %-------------------------------------------------------------------------%5. Matriz de masas y de amortiguamiento % Matriz de Masas (Modelo de masas puntuales) Fmasa=[3 0.576 1 0 0;%Elem carg, carga, código, elem a gener, incr numero elemento 4 3.0 1 0 0; 7 2.0 1 0 0];%Carga uniforme repartida en viga 4. [M]=masas_ais(ngl,L,VC,Fmasa,g); % Matriz de amortiguamiento [T,phi,omega]=orden_eig(KT,M);% Períodos y Frecuencias de vibración [C]=amortiguamiento(M,phi,omega,zeda); Cb=diag(2*zedab*wn*Mo); % Amortiguamiento horizontal de los aisladores for k=1:nais kk=[1:2]+(k-1)*2; Co(kk,kk)=[Cb(k,k) 0; 0 0]; % Amortiguador de aislador horiz end [CELAS]=Caisladores(ngl,nais,Co,Lo,VCAIS);% Contribución de aisladores CC=C+CELAS; %-------------------------------------------------------------------------%6. Vectores de incidencia S=zeros(ngl,2);Jh=zeros(ngl,1); pp=CG(:,1); k1=pp(find(pp>0)); Jh(k1,1)=1; %Sismo horizontal pp=CG(:,2); k2=pp(find(pp>0)); Jv(k2,1)=1; %Sismo vertical % Respuesta en el tiempo ante componente horizontal load rec_centro nn=length(ux);tu(1)=0;ugx=0.01*ux; %Acelerograma viene en gals % Condiciones iniciales qp=zeros(ngl,1);q=qp; %Vector de velocidades y desplazamientos iniciales nulos Y=[q;qp]; % El vector inicial de q es el de las cargas verticales estáticas. Y1=Y; % Para segunda corrida en que se halla vector q asociado a desp. max. de aisl. %qmax=zeros(ngl,1);% Para calcular desplazamientos máximos en diferentes tiempos %qmax1=zeros(ngl,1);% Para calcular desplazamientos cuando se produce desplaz1 max

321

322


% Respuesta en el tiempo de aisladores punto en punto for iji=1:nn-1 iji acel=-ugx(iji);tu(iji+1)=iji*dT; [Yn]=pee_de_uno(KT,CC,M,Jh,acel,dT,Y); Y=Yn; for i=1:ngl; if i==1 % Se almacena desplazamiento inferior de aislador de base q1t(1,iji+1)=Y(1); end if i==6 % Se almacena desplazamiento superior de aislador de base q6t(1,iji+1)=Y(6); end if i==11 % Se almacena desplazamiento en segundo piso de estructura q11t(1,iji+1)=Y(11); end end end for i=1:length(q1t) q6tr(1,i)=q6t(1,i)-q1t(1,i); %desplazamientos relativos de 6 con 1 q11tr(1,i)=q11t(1,i)-q6t(1,i); %desplazamiento realtivo de 11 con 6 end [qmaxaislador,ind]=max(q6t(1,:)) % ind es el instante de despla. máximo Y=Y1; % Se inicia de nuevo en cero for iji=1:ind % Vector q asociado a desplazamiento máximo aislador iji acel=-ugx(iji); [Yn]=pee_de_uno(KT,CC,M,Jh,acel,dT,Y); Y=Yn; end qmax=Y(1:ngl); % Desplazamientos y giros asociados a despl.- máx. % Calculo de Momentos y Fuerzas máximas en los elementos en desp. max. Q2=zeros(length(L),6); [FF]=fuerzas(ngl,ELEMEN,L,seno,coseno,VC,E,qmax,Q2)% Por sismo en X % Fuerzas en los aisladores fprintf ('\n Fuerzas y desplazamientos en los aisladores'); %[FFA,Dx]=fuerzas_aisladores(ngl,Ko,VCAIS,qmax,li,lj,h)% Por sismo figure (1) subplot(311), plot(tu',q1t'); subplot(312), plot(tu',q6t','r'); subplot(313), plot(tu',q11t','g') figure (2) subplot(111), plot(tu',q1t'); grid; hold on; plot(tu',q6t','r:') figure (3) subplot(111);plot(tu',q6tr'); figure (4) subplot(111);plot(tu',q11tr'); % ---end--En la parte superior de la figura 8.26 se encuentra los desplazamientos laterales del grado de libertad 1, bajo el aislador. Nótese que están multiplicados por , de tal manera que prácticamente no se mueve la sub estructura.


323

Figura 8.26 Desplazamiento horizontal en grados de libertad: 1, 6 y 11. En la parte central de la figura 8.26 se presenta el desplazamiento lateral del aislador; el desplazamiento máximo es 5.27 cm. Finalmente, en la parte inferior se tiene el desplazamiento lateral del segundo piso, coordenada 11, la respuesta de desplazamientos es prácticamente la misma que el desplazamiento del aislador con lo que el desplazamiento relativo es muy bajo como se observa en la figura 8.27, los mismos que están multiplicados por .

Figura 8.27 Desplazamiento relativo del segundo piso. En la figura 8.28 se presentan las fuerzas y momentos en los elementos de hormigón armado (HA) asociados al desplazamiento máximo del aislador que es 5.27 cm. Se deja al lector que modifique el programa y obtenga las fuerzas y momentos en el elemento lineal con el cual se modela el aislador.

324


Figura 8.28 Fuerzas y momentos en los elementos de H.A.

REFERENCIAS 1. Aguiar R., (2004), Análisis Matricial de Estructuras, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército. Tercera Edición, 550 p., Quito. 2. Aguiar R., Factor de reducción de fuerzas sísmicas en edificios de Hormigón Armado, Centro de Investigaciones Científicas, 117 p., Quito. 3. Aguiar R., Almazán J. L., Dechent P., Suárez V., (2008), Aisladores de base elastoméricos y FPS, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército. 4. Almazán J. L., (2001), Torsión accidental y natural en estructuras aisladas con el sistema de péndulo friccional, Tesis Doctoral. Pontificia Universidad Católica de Chile, 288 p., Santiago. 5. De La Llera J. Almazán J., y Seguín C., (2005), “Control de Estructuras asimétricas mediante aislamiento sísmico”, IX Congreso Chileno de Sismología e Ingeniería Antisísmica, 12 p., Concepción. 6. Kulkarni J., Jangrid R., (2002), “Rigid body response of base-isolated structures”, Journal of Structural Control, 9, 171-188. 7. Seguín E., (2007), Torsión en sistemas aislados sísmicamente con dispositivos elastoméricos, Tesis para optar por el grado de Doctor en Ciencias de la Ingeniería. Pontificia Universidad Católica de Chile, 229 p., Santiago de Chile.


325

CAPÍTULO 9

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL RESUMEN Análisis No Lineal es bastante complejo y desde el punto de vista práctico demanda bastante tiempo a pesar de contar con equipos informáticos muy sofisticados por este motivo se seguirá utilizando el Método de Superposición Modal, en el diseño sísmico de las estructuras a pesar de que han aparecido otros métodos no tan sencillos como el de Superposición Modal ni tan complejos como el No Lineal, uno de estos es el Método del Espectro de Capacidad, sin embargo se requiere un trabajo considerable como es la determinación del Espectro de Capacidad de una estructura. Por todo esto, se continuará utilizando el Método de Superposición Modal, que se presenta en este capítulo. El fundamento del método está en el desacoplamiento del sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas dinámicos, el mismo que se indicó en el capítulo 7. En este capítulo se aplica el método al Análisis Sísmico de Pórticos Planos de acuerdo a lo estipulado en la Norma Ecuatoriana de la Construcción de 2011, se utiliza para el efecto el espectro inelástico del NEC-11 y se realizan los controles de Cortante Basal Mínimo, deriva de piso y efecto . El programa modal_plano_nec11 sirve para este análisis plano. Se presenta también el programa desplazamientos_modales con los que se hallan los desplazamientos en cada modo de vibración y el desplazamiento resultante aplicando el Criterio de Combinación Modal de la Norma Técnica de Perú de 2003. De igual manera se presenta el programa fuerzas_modales que halla las fuerzas resultantes aplicando el mismo criterio. El lector puede modificar el criterio con uno de los ocho criterios de combinación modal que se indican en este capítulo o con cualquier otro criterio. Se presenta además el programa espectro_nec11 que determina las aceleraciones espectrales para un determinado número de períodos utilizando el espectro de aceleraciones inelástico del NEC-11. Posteriormente se realiza el análisis sísmico en coordenadas de piso, considerando tres grados de libertad por planta empleando el espectro del NEC-11 y se realiza el análisis sísmico plano de una estructura que tiene aisladores elastoméricos sobre las columnas.

326


9.1 INTRODUCCIÓN El Método de Superposición Modal es uno de los más utilizado para el análisis sísmico de estructuras, en la práctica profesional y a la vez es uno de los métodos más criticados por los investigadores, sobre todo cuando se lo utiliza para encontrar la respuesta no lineal de estructuras. Para el rango elástico, el método no tiene críticas pero para el rango inelástico sí que las tiene, por este se debe ser bastante cauteloso y un tanto conservador en su utilización. En este apartado se presenta el método en forma general, aplicable a cualquier estructura que está gobernado por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

M q  C q  K q  Q

(9.1)

̇ ̈ , son los Donde son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez; vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración. es el vector de cargas generalizadas. La ecuación (9.1) corresponde a un sistema de ecuaciones diferenciales acoplado, debido a que la matriz de rigidez por lo regular no es diagonal, lo propio sucede con la matriz de amortiguamiento. El desacoplamiento del sistema de ecuaciones diferenciales se presentó en el capítulo 7 por lo que aquí se presenta en forma muy general, para desacoplarlo se realiza el siguiente cambio de variable:

q X

(9.2)

Siendo el vector de desplazamientos en el nuevo sistema de coordenadas, la matriz modal, conformada por cada uno de los modos de vibración de la estructura que se hallan del problema de vibración libre sin amortiguamiento.



   (1)  ( 2)  (3) ... ...  ( n)



(9.3)

Donde es el primer modo de vibración, es el segundo modo de vibración, etc. En las coordenadas el sistema de ecuaciones diferenciales está desacoplado; en este nuevo sistema de coordenadas se tiene:

  C  X  K  X  Q  M X

(9.4)

Las matrices de masa, amortiguamiento, rigidez y vector de cargas en el nuevo sistema de coordenadas se halla con las siguientes ecuaciones matriciales.

M   t M 

C  t C 

K   t K 

Q  t Q

El vector de cargas generalizadas

(9.5)

para el análisis sísmico, vale por lo regular: ..

Q  M b U g

(9.6)

Donde es un vector que relaciona el movimiento del suelo con los grados de libertad; para el análisis sísmico de pórticos planos en los que se ha concentrado las masas de piso, es un vector unitario; ̈ es la aceleración del suelo, que viene definida por su espectro ya sea de respuesta o de diseño. El vector es:


 (1) t   ( 2) t     Q   M b U g ...     ( n) t 

327

(9.7)

Se recomienda ver el capítulo 7, donde está con detalle el desacoplamiento de las ecuaciones diferenciales, que queda:

     ...  

 ..  x   ..1    x    2  2   ...       ..   xn   

Wn1  Wn 2   ...  

 .  x Wn21   x1   1 .       Wn22   x2    x2       ...     ...  ...       2  x  Wnn   .  Wnn   n    xn  Q  

9.2 DESPLAZAMIENTOS MÁXIMOS La ecuación diferencial de la fila i, del sistema de ecuaciones diferenciales desacoplado, que se acaba de presentar, es:

 xi  2   W ni x i   W ni2 x i   ( i ) t M b U g Al dividir todo para

se tiene:

xi  2  W ni x i  W ni2 x i  

 ( i ) t M b  Ug 

Al reemplazar (9.9) en ésta última ecuación, se tiene: .

xi  2  Wni x i  Wni2 xi   i U g Donde

(9.8)

es el factor de participación del modo i.

 (i )t M b  i  (i )t  M  (i )

(9.9)

La expresión (9.8) corresponde a la ecuación diferencial de un sistema de un grado de libertad. Ahora bien si ̈ viene expresado por un espectro de diseño, para un determinado valor de amortiguamiento . La máxima respuesta es:

 T xi   i  i  2

2

  Adi 

(9.10)

Donde es el período de vibración del modo ; es la aceleración espectral asociada al período . De la ecuación (9.10) es importante destacar lo siguiente:

328




La definición de espectro está relacionada a un sistema de un grado de libertad. Por lo tanto el factor permite pasar la respuesta en desplazamientos, de un sistema de un grado de libertad a un sistema de múltiples grados de libertad.



Se ha utilizado la definición de seudo espectro para encontrar el desplazamiento espectral S di . 2

T  S di    i  Adi 2 Wni  2  Adi

Para tener la respuesta en las coordenadas

se utiliza la ecuación (9.2) con lo que se

halla: 2

T  q (i )   i  i  Adi  (i )  2 

(9.11)

El factor de participación modal, se considera en valor absoluto y representa que tanto participa el modo en la respuesta. Con la ecuación (9.11) se encuentra la respuesta de una estructura en cada modo de vibración. Para hallar la respuesta total se debe utilizar un criterio de combinación modal, que se estudiará en este capítulo, más adelante. Sin embargo de ello a continuación se presenta el programa desplazamientos_modales de la librería de CEINCI-LAB, que halla los desplazamientos máximos aplicando el Criterio de Combinación modal de la Norma Técnica de Perú 2003. Se destaca que este criterio es bueno para edificios pero no para Presas de Proyectos Hidroeléctricos. El usuario puede fácilmente modificar el criterio, en el programa.  Datos: T phi Ad gama Na

[qt]=desplazamientos_modales(T,phi,Ad,gama,na)

Periodos de vibración en cada modo de vibración de la estructura. Matriz modal . Vector con las aceleraciones espectrales en cada modo de vibración. Vector que contiene los factores de participación modal. Número de modos con los que desea encontrar la respuesta sísmica.

Resultados: qt

Vector que contiene los desplazamientos elásticos máximos.

function [qt]=desplazamientos_modales(T,phi,Ad,gama,na) % % Programa que determina los desplazamientos en cada modo de vibración % y los desplazamientos totales, aplicando el criterio de la Norma de Perú 2003 % Son desplazamientos totales Elásticos (sin multiplicar por el factor R) % % T Son los periodos de vibración en cada modo % phi Es una matriz que contiene a los modos de vibración, primera columna % es el primer modo de vibración, segunda columna es el segundo modo. % Ad Es un vector que contiene las aceleraciones espectrales en cada % modo de vibración. % gama Es un vector con los factores de participación de cada modo % na Número de modos de vibración % q Es la matriz que contiene los desplazamientos en cada modo % qt Es el vector de desplazamientos resultantes luego de la combinación modal


329

% Criterio 0.25 Valor Absoluto+0.75 Valor Máximo Probable % %-----------------------------------------------------------------------------------------% Dr. Roberto Aguiar % Octubre de 2010 % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------------------------------------for i=1:length(T) T2(i)=T(i)^2; end TSQ=T2'; %======================================================================= === gamaAd=(gama.*Ad)'; perigamaAd=(gamaAd.*TSQ/(4*pi*pi)); for i=1:na for j=1:na q(j,i)=perigamaAd(i)*phi(j,i); end end for i=1:na % Criterio de Combinación Modal de Norma Técnica de Perú 2003 RRR(i)=0; RR(i)=0; for j=1:na RRR(i)=RRR(i)+abs(q(i,j));RR(i)=RR(i)+q(i,j)*q(i,j); end qt(i)=0.25*RRR(i)+0.75*sqrt(RR(i)); end return

9.3

FUERZAS MÁXIMAS MODALES

Para encontrar las fuerzas en cada modo de vibración

se tiene que:

Q (i )  K q (i ) 2

Q

(i )

T  T   K  i  i  Adi  (i )   i Adi  i   2   2 

2

K  (i )

Del problema de vibración libre sin amortiguamiento, se tiene:

K   M   0

 K    M

Pero



 Wn2

 2    Ti

2

   .

Luego:

Q ( i )   i Adi M  (i )

(9.12)

Si se realiza un análisis sísmico en coordenadas de piso, el vector es el vector que contiene las fuerzas y momentos en coordenadas de piso. En cambio si se realiza un análisis

330


sísmico plano, el vector contiene las fuerzas laterales en cada uno de los pisos, que se nota también con la letra . Es solo nomenclatura. Aguiar (2004) Nuevamente la ecuación (9.12) reporta las respuestas máximas de cargas (Fuerzas y/o momentos) en cada modo de vibración. Para encontrar la resultante se debe aplicar un criterio de combinación modal. El programa del sistema de computación CEINCI-LAB que determina las fuerzas resultantes se denomina fuerzas_modales y se presenta a continuación. function [Ft]=fuerzas_modales(M,phi,Ad,gama,na) % % Programa que determina las fuerzas en cada modo de vibración % y las fuerzas totales, aplicando el criterio de la Norma de Perú 2003 % % M Es la matriz de masas % phi Es una matriz que contiene a los modos de vibración, primera columna % es el primer modo de vibración, segunda columna es el segundo modo. % Ad Es un vector que contiene las aceleraciones espectrales en cada % modo de vibración. % gama Es un vector con los factores de participación de cada modo % na Número de modos de vibración % P Es la matriz que contiene las fuerzas en cada modo % Ft Es el vector de fuerzas resultantes luego de la combinación modal % Criterio 0.25 Valor Absoluto+0.75 Valor Máximo Probable % -------------------------------------------------------------% Dr. Roberto Aguiar % Octubre de 2010 % CEINCI-ESPE %--------------------------------------------------------------masafi=M*phi; gamaAd=(gama.*Ad)'; for i=1:na for j=1:na P(j,i)=gamaAd(i)*masafi(j,i); end end for i=1:na % Criterio de Combinación Modal de Norma Técnica de Perú 2003 RRR(i)=0; RR(i)=0; for j=1:na RRR(i)=RRR(i)+abs(P(i,j));RR(i)=RR(i)+P(i,j)*P(i,j); end Ft(i)=0.25*RRR(i)+0.75*sqrt(RR(i)); end; return

9.4 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL En el Método de Superposición Modal, se hallan las respuestas en cada modo de vibración y para encontrar la respuesta resultante, se debe aplicar un criterio de combinación modal. En la literatura existen una gran cantidad de criterios entre los que se destacan los siguientes: 

Criterio del Máximo Valor Probable (SRSS)

Sea r un cierto valor de respuesta que se desea obtener, puede ser un desplazamiento, un momento, un corte, etc. El criterio del valor máximo probable, es:


331

N

 r 

r

2

(9.13)

i

i 1

Donde es el número de modos que se consideran en la respuesta, es el modo de vibración. Por su sencillez es uno de los más utilizados. Es apropiado su uso cuando las frecuencias naturales de vibración se encuentran bastante separadas, más del 10%. Utilizar este criterio cuando no cumple esta condición puede llevar a subestimar la respuesta. Este criterio también es conocido por las siglas SRRS (Square Root Sum of Squares) 

Criterio de la doble suma

Este criterio se usa cuando las frecuencias naturales están bastante cercanas entre sí.

r  2

N

N

N

ri r j

 r    1   2

i

i 1

 ij 

2 ij

i 1 j 1

(9.14)

1   Wni  Wnj



Wni  Wnj

Donde son las frecuencias de vibración de los modos i, j. es el porcentaje de amortiguamiento para cada modo de vibración. Tal vez la parte más complicada del método es determinar los valores de para cada modo. Una forma más refinada del criterio de la doble suma se tiene en función del tiempo de duración del sismo que se ha denominado . En este caso, se tiene:

 ij 

Wai  Waj

 Wai   'jWaj ' i

Wai  Wni 1   i2

 i'   i 

2 s Wni

(9.15)

Este criterio considera la proximidad entre los valores de las frecuencias de los modos que contribuyen a la respuesta, la fracción del amortiguamiento y la duración del sismo. Este criterio es adecuado para el análisis sísmico de Presas. 

Criterio de la combinación cuadrática completa (CQC)

El criterio CQC (Complete Quadratic Combination), Chopra (2001), considera la posibilidad de acoplamiento entre los modos de vibración.

r2 

N

N

 

ij

ri r j

i 1 j 1

 ij 

8  2 1  a  a 1.5

1  a 

 ij 

2 2

a

 4 2 a1  a 

1  a 

2 2

2

8  i  j  i  a j a1.5



 



Wnj Wni

 4 i  j a 1  a 2  4  i2   j2 a 2

(9.16)

332


Cuando las frecuencias están bastante separadas, el criterio de la combinación cuadrática completa, proporciona valores similares al criterio del máximo valor probable. 

Superposición directa

La superposición directa de los máximos modales proporciona un límite superior al valor máximo de la respuesta total. Por lo tanto aplicar este criterio es muy conservador. N

r

r

(9.17)

i

i 1



Propuesta de Alejandro Gómez

El criterio propuesto por Alejandro Gómez (2002) integra de alguna manera el criterio directo con el criterio del valor máximo probable, al margen de la cercanía o no de las frecuencias naturales. El criterio es el siguiente:

r 

r12

 N    ri   i2 



2

( 9.18)

Norma Técnica de Perú 2003

En la Norma Técnica de Perú de 2003 se combinan los resultados obtenidos, en cada uno de los modos de vibración, con la siguiente ecuación:

r  0.25

N

r

i

 0.75

i 1

N

r

2

i

( 9.19)

i 1

En la Normativa de Perú se reconoce que el criterio del valor máximo probable reporta valores bajos y que el criterio de superposición directa da valores muy altos por lo que lo más conveniente es combinar estos dos criterios en forma lineal con los coeficientes indicados en la ecuación (9.19). 

Norma Técnica de Guatemala (1996) Es similar al de la Norma Técnica del Perú (2003) pero ahora la combinación es 50% del criterio de la suma directa y 50% del criterio del valor máximo probable. Santana (2008).

r  0.50

N



ri  0.50

i 1



N

 ri2

(9.20)

i 1

Laboratorio de Investigación Naval (NRL)

El criterio NRL (Naval Research Laboratory) considera el valor absoluto del modo que más aporta a la repuesta y lo añade al criterio SRSS. (Iberisa, 2008) Normalmente el modo que más aporta es el primero de tal manera que puede escribirse de la siguiente manera:

r  r1 

N

 ri 2  r 12 i 1

(9.21)


333

Se han presentado ocho criterios, seis de ellos son relativamente fáciles de evaluar y dos un poco más complejos, porque se debe indicar el valor de . En Aguiar et al. (2006) y en Campos (2006) se presenta un estudio sobre el Criterio de Combinación Modal a utilizar en Pórticos Planos. Para el efecto se consideró que las respuestas encontradas mediante análisis no lineal es el exacto. El Criterio de la Norma Técnica de Perú (2003) fue el que se aproximó más a las respuestas encontradas del análisis no lineal.

9.5 ANÁLISIS SÍSMICO PLANO 

EJEMPLO 1

Realizar un análisis modal plano de acuerdo al NEC-11, para el pórtico en sentido X, que tiene dos vanos, de la estructura de dos pisos, cuya distribución en planta es la indicada en la figura 9.1. La altura de cada entrepiso es de 3.0 m; todas las columnas son de 20/30 cm., con la forma geométrica indicada en la figura 9.1; las vigas de 25/25 cm. Las cargas verticales que gravitan son de 500 kg/m2 para la carga muerta y 200 kg/m2 para la carga viva, es una construcción destinada a vivienda.

Figura 9.1 Distribución en planta de estructura de dos pisos. La estructura se halla ubicada en la ciudad de Portoviejo sobre un perfil de suelo C, de acuerdo a la Norma Ecuatoriana de la Construcción, NEC-11. El factor de reducción de las fuerzas sísmicas es . La matriz de rigidez lateral considerando inercias agrietadas ( ), que se obtiene con el programa rlaxinfi, es la siguiente.

1243.5 KL    492.6

 492.6 317.9 

Para encontrar la matriz de rigidez lateral se trabajó con un módulo de elasticidad igual a que se halla reemplazando en √ (kg/cm2). Realizar el control de cortante basal mínimo, deriva de piso y efecto .



SOLUCIÓN

En la figura 9.2 se presenta el área cooperante con la cual se calcula la masa de cada piso, en este caso se trabaja con una carga rectangular, en lugar de carga trapezoidal o

334


triangular; es más conservador trabajar con la distribución de cargas indicadas en la figura 9.2. El área cooperante para la carga vertical, es:

A  9  2  18 m 2 Como es vivienda el aporte de la carga viva a la matriz de masas es del 25%. Con esta acotación en la tabla 9.1 se indican el valor de las cargas totales en el pórtico debido a la carga muerta y a la carga viva, orientadas al uso del programa modal_plano_nec, que se indica al final del Ejemplo.

Figura 9.2 Repartición de cargas verticales al pórtico en sentido X.

Piso 1 2 

Tabla 9.1 Valores de la carga muerta, viva y altura desde la base al piso Carga Muerta Total Carga Viva Total Altura 3.00 WD  0.5 * 18  9 T . WL  0.25 * 0.2 * 18  0.9 T .

WD  0.5 * 18  9 T .

WL  0.25 * 0.2 * 18  0.9 T .

6.00

Matriz de Masas La masa del piso 1 es igual a la masa del piso 2 y tiene un valor de:

m1  m 2 

m1 M  0

T s2 9  0.9  1.0102 9.8 m

0  1.0102  m 2   0.0

 1.0102 0. 0

Con la matriz de rigidez y con la matriz de masas, se hallan los valores propios y los modos de vibración. Estos son: 

Propiedades Dinámicas

1  103.8

2  1441.9

 0.3950   0.9132

 ( 2)  

 (1)  

 0.9132  0.3950 

Se recuerda que para el análisis sísmico es fundamental que los valores propios se encuentren ordenados de menor a mayor.


335

1  2  3 .........  n Con los valores propios se hallan las propiedades dinámicas de la estructura, que son las frecuencias naturales y los períodos de vibración .

Wni  i Wn1  103.8  10.188

1 s

Ti 

2 Wni

T1 

2  0.6168 s. 10.188

Wn 2  1441.9  37.9723

T2 

1 s

2  0.1655 s. 37.9723

Los períodos de vibración obtenidos son bastante altos debido a que la matriz de rigidez se obtuvo con inercias agrietadas. 

Aceleraciones Espectrales

Las aceleraciones espectrales inelásticas, asociadas a los períodos de vibración encontrados, son:

Se destaca que para Portoviejo El programa con el que se obtiene las aceleraciones espectrales se denomina: espectro_nec11 y se presenta el final del ejemplo. 

Factores de Participación Modal

Una vez hallados los modos de vibración se procede al cálculo de los factores de participación modal

i  Para el ejemplo el vector

1 

2 

  (1) t

0  1 1.0102  0.9132  1.0102 1 M b  1.3215 0    1.3215 (1) 0   0.395  1 1.0102 M   0.395  0.9132  1.0102  0.9132 0



( 2) t

( 2) t

tiene dos unos.

 0.395

(1) t



 (i )t M b  (i )t M  (i )

M

M

b



( 2)

 0.9132 

 0.9132

0  1 1.0102 0.3950  1.0102 1 0

0   0.9132 1.0102 0.3950  1.0102 0.3950  0



 0.5235  0.5235 1

Pero el factor de participación modal se considera en valor absoluto. Luego los factores son:

 1  1.3215

 2  0.5235

336


Los factores de participación son adimensionales y lo que indican es que tanto participa el modo en la respuesta. De igual manera, los factores de participación no son únicos, dependen del valor de los modos de vibración, lo que sí es único son las fuerzas laterales que se tienen en cada modo de vibración y los desplazamientos modales. 

Fuerzas Laterales Ahora se calculan las fuerzas laterales, en cada modo de vibración. CHEQUEAR ACELERACIONES ESPECTRALES

P ( i )   i Adi M  ( i ) 0   0.3950   1.2348  1.0102 P (1)  1.3215 * 1.6478 *    1.0102   0.9132   2.8548   0 0   0.9132   1.1309  1.0102 P ( 2 )  0.5235 * 1.9600 *    1.0102  0.3950  0.4892   0 En la figura 9.3 se presentan las fuerzas laterales, en cada piso y los cortantes asociados. Para cada modo de vibración, a la izquierda se tiene para el primer modo y a la derecha para el segundo modo de vibración.

Figura 9.3 Fuerzas laterales y cortantes en cada modo de vibración. 

Criterio de Combinación Modal en cortantes Se aplica el criterio de combinación modal de la Norma de Perú de 2003.

V  0.25

N

 i 1

Vi  0.75

N

V

2

i

i 1

V1  0.254.0896  0.6417   0.75 4.0896 2  0.6417 2  4.2876 T . V2  0.252.8548  0.4892   0.75 2.8548 2  0.4892 2  3.0083 T . A partir de los cortantes obtenidos, luego de aplicar el criterio de combinación modal, se determinan las fuerzas estáticas por un procedimiento inverso. En la figura 9.4 se indican los resultados encontrados.


337

Figura 9.4 Fuerzas estáticas equivalentes obtenidas del análisis modal plano. 

Cortante Basal Mínimo

El cortante basal encontrado del análisis dinámico es: Este cortante tiene que ser mayor o igual al cortante basal mínimo estipulado por la Norma Ecuatoriana de la Construcción de 2011, NEC-11. (9.22)

Donde es el factor de importancia; es el coeficiente de la aceleración de la gravedad del espectro elástico, asociada al período fundamental; es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, que en este ejercicio se considera ; , , factores que toman en cuenta las irregularidades en planta y elevación; en este ejemplo valen 1. es el peso reactivo que es igual a la carga muerta más el porcentaje de la carga viva.

2

La aceleración espectral inelástica asociada al período fundamental es 2.3417 m/s ; esta cantidad ya está dividida para . Por lo tanto, solo resta dividir para la gravedad para tener coeficiente de Al dividir para la gravedad se halla 0.2389. El cortante basal mínimo es mayor que el cortante hallado del análisis dinámico. Por lo tanto se debe encontrar el coeficiente de corrección para que la estructura tenga como mínimo el cortante basal mínimo estipulado por NEC-11 (9.23)

Al multiplicar el valor de por las fuerzas laterales indicadas en la figura 9.4, se halla las fuerzas laterales corregidas por cortante basal mínimo las mismas que se indican en la figura 9.5.

338


Figura 9.5 Fuerzas corregidas por Cortante Basal Mínimo 

Desplazamientos Inelásticos y Deriva de Piso Los desplazamientos elásticos que se hallan con las fuerzas laterales corregidas son:

*

+* + *

*

+

+

De acuerdo al NEC-11 los desplazamientos inelásticos, siguiente ecuación.

se encuentran con la

(9.24) *

+

El desplazamiento lateral máximo que tendrá la estructura es bastante alto 9.48 cm. Esto se debe a que la estructura es bastante flexible. Ahora se procede al control de la deriva o distorsión de piso, el desplazamiento relativo inelástico para la altura de piso .

i 

qine(i )  qine(i 1) hi

que se halla dividiendo

(9.25)

0.0948  0.0410  0.0179 3.00 0.0410 1   0.0137 3.00

2 

La deriva de piso máxima encontrada en 1.79 %, cantidad menor al 2% permitida por el NEC-11. En teoría se debe continuar con el análisis sísmico pero se recomienda incrementar


339

las dimensiones de los elementos estructurales debido a que con esa deriva se espera un gran daño en la estructura. Ghobarath et al. (1997). 

Efecto

Cuando se tienen desplazamientos laterales significativos, el peso propio tiende a voltearla, de tal manera que en la estructura deformada, por la acción sísmica, actúan cargas adicionales los mismos que son tomados en cuenta cuando se analiza con teoría de segundo orden. Las normativas sísmicas tratan este tema en forma simplificada controlando el efecto . Para ello se debe determinar el índice de estabilidad de piso .

i 

Pi  ei Vi hi

(9.26)

Donde es la carga vertical que gravita desde el piso i hasta el tope, se calcula en función de la carga muerta D más el porcentaje de la carga viva L; es el cortante de piso; es la deriva de piso calculada con los desplazamientos elásticos , y es la altura de entrepiso. Se destaca que es la deriva de piso elástica. El NEC-11 establece que si

la estructura no tiene problemas de efecto la estructura debe ser reforzada a menos que se demuestre mediante un análisis de segundo orden que la estructura sigue siendo estable. Finalmente si tanto las derivas de piso como las fuerzas estáticas se multiplicarán por.

P   y se prosigue con el cálculo pero si

f P  

1 1  i

(9.27)

Con relación a la estructura de dos pisos que se está analizando en la tabla 9.2 se presenta el control del efecto ..

Piso

1 2 

Tabla 9.2 Cálculo del índice de estabilidad de piso. Fuerza Cortante Peso desde Deriva de Horizontal ( T. ) piso al tope piso elástica ( T. ) ( T. ) 1.41 4.72 19.80 0.0046 3.31 3.31 9.9 0.0060

Programa modal_plano_nec

function [V]=modal_plano_nec(alt,pesoD,pesoL,KL) % % Análisis Modal plano de acuerdo al NEC-11 % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Abril de 2012 %----------------------------------------------------------------------% [V]=modalplanonew(alt,pesoD,pesoL,KL,KLG) %----------------------------------------------------------------------% alt Vector que contiene las alturas a cada piso medido desde la base. % pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso. % pesoL Vector que contiene el porcentaje de carga viva L de cada piso. % KL Matriz de rigidez lateral del pórtico con inercias agrietadas. %-----------------------------------------------------------------------

i 0.0190 0.0178

340


% PESO Peso total Reactivo calculado con carga viva V Cortante Basal % H Altura total del edificio %----------------------------------------------------------------------NP=length(alt);H=alt(NP); for i=1:NP-1; j=NP-i+1; alt(j)=alt(j)-alt(j-1);end %Matriz de masas for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8; mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+pesoD(i)+pesoL(i);end; % Periodos de vibración y periodo fundamental [T,fi,OM]=orden_eig(KL,masa);Tf=T(1); R=4;fip=1;fie=1; % Reducción de espectro elástico a inelástico % Aceleraciones modales [Ad]=espectro_nec11 (R,fip,fie,T); I=1; % Factor de Importancia Ad=I*Ad; % Ad ya está dividida para el factor R. %Cortante basal Mínimo Sa=Ad(1)/9.8;Vmin=I*Sa*PESO %Factores de participación modal for i=1:NP; b(i)=1; end;b=b';NUM=fi'*masa*b;DEN=diag(fi'*masa*fi); for i=1:NP; gama(i)=abs(NUM(i)/DEN(i));end %Fuerzas modales masafi=masa*fi;gamaAd=(gama.*Ad)'; for i=1:NP; for j=1:NP; P(j,i)=gamaAd(i)*masafi(j,i); end end %Cortantes VV=zeros(NP,NP); for i=1:NP; for j=1:NP;k=NP+1-j; if k==NP; VV(k,i)=VV(k,i)+P(k,i); else VV(k,i)=VV(k+1,i)+P(k,i); end end end %Criterio de Norma Técnica de Perú de 2003 se aplica en cortantes for i=1:NP RRR(i)=0; RR(i)=0; for j=1:NP RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j)); RR(i)=RR(i)+VV(i,j)*VV(i,j); end Corte(i)=0.25*RRR(i)+0.75*sqrt(RR(i)); end;Corte=Corte'; % Cálculo de las Fuerzas Laterales for i=1:NP j=NP+1-i; if j==NP F(j)=Corte(j); else F(j)=Corte(j)-Corte(j+1); end end %Control del Cortante Basal Mínimo

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE V=sum(F);F=F'; if Vmin > V; factor1=Vmin/V; F1=factor1*F; else F1=F; end; %Control de la deriva de los pórticos q=KL\F1;qine=0.75*R*q; F=F'; for i=1:NP j=NP+1-i; if j==1 drift(j)=qine(j)/alt(j);drife(j)=q(j)/alt(j); else drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/alt(j); drife(j)=(q(j)-q(j-1))/alt(j); end end gamamax=max(drift)*100; fprintf ('\n Modos de vibracion');fi fprintf ('\n Periodos de vibracion');T fprintf ('\n Factores de participacion');gama fprintf ('\n Aceleraciones espectrales');Ad fprintf ('\n Cortante Basal Minimo ');Vmin fprintf ('\n Fuerzas laterales en los porticos sin controles');F=F' fprintf ('\n Desplazamientos laterales inelasticos');qine fprintf ('\n Derivas de piso'); drift=drift' fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje, sin control de P-Delta');gamamax %Control de efecto P-Delta for i=1:NP j=NP-i+1; if j==NP Peso(j)=masa(j,j)*9.8;Corte(j)=F1(j); else Peso(j)=masa(j,j)*9.8+Peso(j+1);Corte(j)=F1(j)+F1(j+1); end theta(j)=(Peso(j)/Corte(j))*drife(j); if theta(j)>=0.30 fprintf ('\n Estructura debe ser reforzada'); elseif theta(j)>=0.10 & theta(j)<0.30 fpd(j)=1/(1-theta(j)); else fpd(j)=1; end end F2=max(fpd)*F1;V=sum(F);gamamax=max(fpd)*gamamax; fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje, con control de P-Delta');gamamax fprintf ('\n Indice de estabilidad de piso');theta' fprintf ('\n Fuerzas laterales finales luego de controles');F2 %---fin 

Programa espectro_nec11

function [Ad]=espectro_nec11 (R,fip,fie,T) % Programa que determina las aceleraciones espectrales para determinados % períodos de vibración. Utilizando la nueva Normativa Ecuatoriana de la % construcción NEC-11. Versión Octubre de 2011 % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Abril de 2012 %----------------------------------------------------------------------

341

342


% [Ad]=espectro_nec11 (R,fip,fie,T) %----------------------------------------------------------------------% R Factor de reducción de las fuerzas sísmicas % fip Factor de irregularidades en planta % fie Factor de irregularidades en elevación % T Períodos de vibración % Resultados: % Ad Aceleraciones Espectrales para cada período de vibración en m/seg2 %----------------------------------------------------------------------% Sae Espectro Elástico % Fa Factor de amplificación de las ordenadas espectrales por efecto % del tipo de suelo. % Fd Factor de amplificación de las ordenadas espectrales por efecto % del tipo de suelo. % Fs Factores que toma en cuenta comportamiento no lineal del suelo, la % degradación del período y desplazamientos relativos del suelo. np=length(T); %Número de puntos para determinar aceleraciones espectrales FAC=R*fip*fie; is=input ('\n Ingrese código para perfil de suelo 1=A, 2=B, 3=C, 4=D, 5=E :'); iz=input ('\n Ingrese zona sísmica 1=0.15 g, 2=0.25 g, 3=0.30 g, 4=0.35, 5=0.4 g, 6=0.5 g :'); ip=input ('\n Ingrese código de Región 1=Costa, 2=Sierra, 3=Oriente :'); FA=[0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9; 1 1 1 1 1 1; 1.4 1.3 1.25 1.23 1.2 1.18; 1.6 1.4 1.3 1.25 1.2 1.15; 1.8 1.5 1.4 1.28 1.15 1.05]; FD=[0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9; 1 1 1 1 1 1; 1.6 1.5 1.4 1.35 1.3 1.25; 1.9 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3; 2.1 1.75 1.7 1.65 1.6 1.5]; FS=[0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75; 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75; 1.0 1.1 1.2 1.25 1.3 1.45; 1.2 1.25 1.3 1.4 1.5 1.65; 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0]; Fa=FA(is,iz);Fd=FD(is,iz);Fs=FS(is,iz); if iz==1; z=0.15; end; if iz==2; z=0.2; end; if iz==3; z=0.3; end if iz==4;z=0.35; end; if iz==5;z=0.4; end; if iz==6;z=0.45; end To=0.1*Fs*Fd/Fa; % Período To Tc=0.55*Fs*Fd/Fa; % Período donde inicia rama descendente de espectro if is==1; r=1; end; if is==2; r=1; end; if is==3; r=1; end; if is==4; r=1.5; end; if is==5; r=1.5; end; if ip==1; eta=1.8; end; if ip==2; eta=2.48; end; if ip==3; eta=2.6; end for i=1:np if T(i) <= To Sa(i)=z*Fa*(1+(eta-1)*(T(i)/To))*9.8;Ad(i)=Sa(i)/FAC; end if T(i) > To & T(i) <= Tc Sa(i)=eta*z*Fa*9.8;Ad(i)=Sa(i)/FAC; end if T(i) > Tc Sa(i)=eta*z*Fa*9.8*(Tc/T(i))^r;Ad(i)=Sa(i)/FAC; end end return


343

9.6 ANÁLISIS SÍSMICO ESPACIAL 

EJEMPLO 2

Presente un programa de computación utilizando la librería de programas de CEINCILAB, para determinar los desplazamientos y fuerzas en coordenadas de piso, de la estructura indicada en la figura 9.6. En la parte superior se tiene una vista espacial y en la parte inferior la distribución en planta de las columnas. Realizar un análisis sísmico en sentido X, considerando que la estructura se halla ubicada en la ciudad de Quito sobre un perfil de suelo D y su uso es de vivienda. La carga 2 2 muerta D = 600 kg/m y la carga viva L = 200 kg/m , igual para los dos pisos. Considerar un factor .

Figura 9.6 Elevación y Planta de estructura de Ejemplo 2.

344


Las matrices de rigidez lateral de los pórticos indicados en la figura 9.7, encontradas con inercias agrietadas, para un módulo de Elasticidad , que se encontró con el programa rlaxinfi, son las siguientes:

*

+

*

+

Figura 9.7 Pórtico tipo en sentido X, y en sentido Y. 

SOLUCIÓN La matriz de Masas, para las coordenadas de piso indicada en la figura 9.8, es:

[

Figura 9.8 Coordenadas de piso en el Centro de Masa.

]


345

% Análisis Espacial en Coordenadas de Piso, utilizando Espectro % del NEC-11 y empleando Método de Superposición Modal % % Dr. Roberto Aguiar % Abril de 2012 %-------------------------------------------------------------% 1.- Matrices de rigidez lateral K1=[4331.2 -1642.2;-1642.2 978.6]; KA=[2721.7 -1124.9;-1124.9 784.1]; % 2.- Matriz de rigidez en coordenadas de piso ntot=6;iejes=3;NP=2; r=[-3;0;3;-4;0;4];KL=[K1;K1;K1;KA;KA;KA];RT=r; [KE,rtet,A]=matriz_es(ntot,iejes,NP,r,KL,RT); % 3.- Matriz de masas m=3.1837;J=26.5306; M=[m 0 0 0 0 0;0 m 0 0 0 0;0 0 m 0 0 0;0 0 0 m 0 0; 0 0 0 0 J 0; 0 0 0 0 0 J]; % 4.- Propiedades Dinámicas [T,fi,OM]=orden_eig(KE,M); % 5.- Aceleraciones Espectrales R=4;fip=1;fie=1; [Ad]=espectro_nec11 (R,fip,fie,T); % 6.- Factores de participación modal para sismo en X b=[1;1;0;0;0;0]; NUM=fi'*M*b;DEN=diag(fi'*M*fi); for i=1:6; gama(i)=abs(NUM(i)/DEN(i));end % 7.- Desplazamientos Modales na=6; [q]=desplazamientos_modales(T,fi,Ad,gama,na) qine=R*q % 8.- Fuerzas Modales [Ft]=fuerzas_modales(M,fi,Ad,gama,na) En la tabla 9.3 se indican los períodos de vibración (con inercias agrietadas) y los factores de participación modal.

Modo

Tabla 9.3 Períodos de vibración y factores de participación modal. 1 2 3 4 5 0.395 0.369 0.271 0.114 0.092 0 2.326 0 0 0.978

6 0.074 0

La estructura analizada no tiene problemas de torsión, por esta razón cuando actúa el sismo en sentido X, los desplazamientos laterales solo existen en ese sentido y no hay giros de torsión; en la tabla 9.4 se presentan estos desplazamientos y fuerzas estáticas equivalentes en coordenadas de piso, en la figura 9.9 se indican estas fuerzas estáticas que deben ser repartidas a los pórticos. Tabla 9.4 Desplazamientos y Fuerzas en Sentido X, en coordenadas de piso. Piso 1 2 Desplazamiento Elástico 0.5 1.21 Horizontal (cm) Desplazamiento Inelástico 2.0 4.86 Horizontal (cm.) Fuerza lateral en sentido X 6.25 11.61 (T.)

346


Figura 9.9 Fuerzas Horizontales en Centro de Masas.

9.7 ESTRUCTURAS CON AISLADORES DE BASE En la figura 9.10 se presenta la sección transversal del puente que une Bahía de Caráquez con San Vicente, en Ecuador, el mismo que fue construido con aisladores de base FPS (Frictional Pendulum System) de la tercera generación (Triple Péndulo de Fricción). Estructuralmente se puede decir que el puente tiene tres tramos que son los dos accesos al puente, tanto en Bahía de Caráquez como en San Vicente que no tienen aisladores de base y el tramo central que tiene una longitud de 1710 m., con aisladores de base.

Figura 9.10 Sección transversal del Puente de Bahía de Caráquez. (Romo y Mosquera, 2010)


347

La longitud total del puente, incluido los accesos es de aproximadamente 2 km. Fue inaugurado en Agosto de 2010 y a esa fecha era el Puente más largo construido en el Ecuador con aisladores de base. 

EJEMPLO 3

Utilizando la librería de programas de CEINCI-LAB se pide elaborar un programa para el análisis sísmico plano, mediante el método de superposición modal, de la estructura indicada en la parte superior de la figura 9.11 si las columnas son de 30/65 cm., y las vigas de 20/30 cm. 2 El módulo de elasticidad del Hormigón es T/m . Determinar también la rigidez horizontal del aislador elastomérico si el período efectivo de la estructura es 2.0 seg. Los aisladores elastoméricos tienen un factor de amortiguamiento equivalente y la estructura un factor La carga vertical que gravita en la viga superior es 3 T/m., y en la viga inferior 0.5 T/m. La estructura se halla ubicada en Quito sobre un suelo tipo D. Utilizar el espectro del NEC-11, con un factor de importancia de 1.

Figura 9.11 Estructura con aisladores elastoméricos y grados de libertad considerados. En la parte inferior de la figura 9.11 se indican los grados de libertad del modelo en el que se consideran que las vigas son axialmente rígidas. De los 10 grados de libertad realizar el análisis sísmico para las 2 coordenadas laterales. Considerar que la rigidez vertical de los aisladores es igual a 10 veces la rigidez horizontal.



SOLUCIÓN

La reacción vertical en cada aislador es: = 9 T. Por lo tanto, la masa que gravita en cada aislador es . Siendo la aceleración de la gravedad. Luego la masa 2 Ts /m. Si el período efectivo es 2 seg., la frecuencia natural es . De donde la rigidez horizontal de cada aislador vale T/m. Por la condición del ejercicio la rigidez vertical vale T/m. La Norma de aislación de Chile de 2001 recomienda calcular la rigidez vertical del aislador , como la rigidez vertical de una columna de hormigón

348


armado de un piso tipo y de sección idéntica a la del aislador; también presenta ecuaciones para hallar la rigidez vertical del aislador para producir una frecuencia vertical de vibración superior a 10 Hz. La matrices de rigidez y de masas, relacionadas con las coordenadas laterales 1 y 2, son las siguientes: *

+

*

+

Los períodos de vibración que se hallan con estas matrices, son: [

]

Se recuerda que el período objetivo de la estructura es 2.0 seg. Por este motivo se obtuvo ese período en el primer modo. Los modos de vibración son: *

+

*

+

El espectro del NEC-11 es para un factor de amortiguamiento del 5%. Ahora la estructura va a tener aisladores de base que tienen un factor de amortiguamiento de 15%. Habría que encontrar el factor de amortiguamiento de todo el sistema, hay varios trabajos al respecto uno de ellos es el propuesto por Inaudi et al. (1993) denominado “Energía Modal de Deformación”, en el que se determina el factor de amortiguamiento en función de las propiedades dinámicas (frecuencia natural de vibración) de la estructura sin y con aisladores de base y de los factores de amortiguamiento. En el presente ejercicio se considera que el factor de amortiguamiento equivalente es igual al factor de amortiguamiento que tiene la estructura (5%) más el factor de amortiguamiento de los aisladores (15%) con lo que se obtiene un . Para encontrar el espectro asociado a este amortiguamiento a partir del espectro del NEC-11, se encuentra el factor con el que se debe multiplicar las ordenadas espectrales con la siguiente ecuación. (

(9.28)

)

El UBC (1997) propone en forma conservadora determinar el factor de reducción por amortiguamiento que es el inverso de , mediante la tabla 9.5, en función del amortiguamiento efectivo del sistema de aislación, Tabla 9.5 Factores de modificación de respuesta por amortiguamiento. 5 10 20 30 40 0.8 1.0 1.2 1.5 1.7 1.9

2.0

Luego el espectro elástico para 5% de amortiguamiento, habrá que dividir para el valor , se destaca que es bastante conservador esta propuesta. La Norma Chilena de Aislación Sísmica presenta una propuesta para calcular para los tres perfiles de suelo de su código. Los desplazamientos laterales que se encuentran son: *

+

Nótese que el aislador es el que se desplaza 22.68 cm.; en la parte inferior del aislador el desplazamiento lateral esperado es 0.03 cm.

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE Las fuerzas estáticas equivalentes en los grados de libertad 1 y 2, son: *

+

El programa que se elaboró para resolver este ejercicio es el siguiente: % Programa para el Análisis Sísmico Plano de un Pórtico Plano % con Aisladores de Base Elastoméricos ubicados sobre las columnas % del Primer Piso % % Dr. Roberto Aguiar % 4 de Abril de 2012 %------------------------------------------------------------% 1.- Rigidez de aisladores kb= 9.064;kv=10*kb; ko=[kb 0; 0 kv]; % 2.- Geometría y Grados de libertad de Pórtico nod=6;np=2;nr=2;mbr=6;nais=2;na=2;zedab=0.15;zeda=0.05; [CG,ngl]=cg_aislador_col(nod,np,nr); % Arreglo CG GEN=[1 1 3 1 1 1 1; 3 3 4 1 1 2 2; 5 3 5 1 1 1 1]; [NI,NJ]=gn_portico(GEN); [VC]=vc(NI,NJ,CG); X=[0.0; 6.0; 0.0; 6.0; 0.0; 6.0]; Y=[0.0; 0.0; 3.25; 3.25; 3.55; 3.55]; [L,seno,coseno]=longitud (X,Y,NI,NJ); %dibujo(X,Y,NI,NJ); % 3.- Contribución del Hormigón a la matriz de rigidez LH=L(1:mbr-nais); senH=seno(1:mbr-nais);cosH=coseno(1:mbr-nais); VCH=VC(1:mbr-nais,1:6); bc=0.3;hc=0.65; %dimensiones de las columnas bv=0.20;hv=0.30; %dimensiones de las vigas ELEMH=[bc hc;bc hc;bv hv;bv hv]; EH=1800000; [SH]=krigidez(ngl,ELEMH,LH,senH,cosH,VCH,EH); % 4.- Contribucion de los Aisladores cero=zeros(2);li=0.05;lj=0.05; Ko=[ko cero; cero ko]; Lo=[-1 0 -li 1 0 -lj; % Matriz de Paso 0 -1 0 0 1 0]; VCAIS=VC(mbr-nais+1:mbr,1:6); [SA]=kaisladores(ngl,nais,Ko,Lo,VCAIS); %5.- Matriz de rigidez total ST=SH+SA %6.- Condensación Estática Kaa=ST(1:na,1:na);Kab=ST(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab'; Kbb=ST(na+1:ngl,na+1:ngl);K=Kaa+Kab*inv(Kbb)*Kba %7.- Matriz de Masas g=9.8;m1=0.5*6/g;m2=3*6/g; M=[m1 0;0 m2]; % 8.- Propiedades Dinámicas [T,fi,OM]=orden_eig(K,M); % 9.- Ordenadas espectrales R=1;fip=1;fie=1;

349

350


[Ad]=espectro_nec11 (R,fip,fie,T); % 10.- Factor de amortiguamiento del aislador fa=(0.05/(zedab+zeda))^0.4;Ad=fa*Ad; % 11.- Factores de Participación Modal b=[1;1];NUM=fi'*M*b;DEN=diag(fi'*M*fi); for i=1:na; gama(i)=abs(NUM(i)/DEN(i));end gama % 12.- Desplazamientos Modales [q]=desplazamientos_modales(T,fi,Ad,gama,na) % 13.- Fuerzas Modales [Ft]=fuerzas_modales(M,fi,Ad,gama,na) Se recomienda al lector si alguna subrutina que llama el programa, no la tiene que intenté hacerlo con las otras subrutinas que se han indicado en este libro, de esta manera afianzará sus conceptos.

REFERENCIAS 1. ACHISINA, (2001), Proposición de código para el análisis y diseño de edificios con aislación sísmica, Asociación Chilena de Sismología e Ingeniería Sísmica, Grupo de Protección Sísmica, Santiago de Chile. 2. Aguiar R., (2004), Análisis Matricial de Estructuras, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército. Tercera Edición, 550 p., Quito. 3. Chopra A., (2001), Dynamic of Structures: Theory and aplications to earthquake nd engineering, 2 edn., Prentice Hall: Saddle River New York. 4. Ghobarah A., Aly N. and El-Attar M. (1997) “Performance level criteria and evaluation. A critical review of proposed guidelines”. Seismic design methodology for the next generation of codes. Fajfar and Krawinkler Editors, Balkema, Slovenia. 5. Gómez J., (2002), “Presentación de un nuevo modelo matemático para cálculo de la respuesta modal total de estructuras de edificios”, XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, Colegio de Ingenieros Civiles de Puebla, 10 p., Puebla, México. 6. Iberisa (2008), “Puente solicitado por un espectro sísmico”, www.iberisa.com. 7. ICBO, (1997), Division IV-Earthquake Regulations for Seismic Isolated Structures, Chapter 16, Uniform Building Code, 1997 Edition, International Conference of Building Officials, Whittier, California 8. Inaudi J., Zambrano A., and Kelly J., (1993), On the analysis of structures with viscoelastic dampers, Earthaquake Engineering Research Center, UBC/EERC-93/06, 119 p. 9. Norma E.030, (2003), Reglamento Nacional de Construcciones. Norma Técnica de Edificaciones. Diseño Sismo resistente, Servicio Nacional de Normalización, Capacitación e Investigación para la Industria de la Construcción. SENCICO, 36 p., Quito. 10. NRCC., (1990, National Building Code of Canada, Associate Committee on the National Building Code. National Research Council of Canada, Ottawa. 11. Romo M., y Mosquera P., (2010), Puente sobre el estuario del río Chone, Primer Encuentro Académico: “Puentes Siglo XXI”, Escuela Politécnica del Ejército, Noviembre de 2010, Bahía de Caráquez. 12. Santana G., (2008), “Evaluación del Código Sísmico de Guatemala”,www.disasterinfo.net, 13 p.


351

CAPÍTULO 10

SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE FLEXIÓN RESUMEN El análisis de una viga en voladizo, que trabaja a flexión, es muy utilizado para modelar edificios con muros de corte, razón por la cual en este capítulo se deduce en primer lugar la ecuación diferencial de una viga a flexión de sección constante o variable, modelada como un sistema continuo, sometida a cargas transversales al eje del elemento. Todo el estudio se enfoca hacia vigas de sección constante. Posteriormente se estudia con detenimiento el problema de vibración libre en sistemas continuos, para tres casos que son: viga en voladizo, viga apoyada-apoyada y viga en voladizo considerando la interacción suelo estructura; es importante reconocer las formas modales especialmente de la viga en voladizo con base empotrada. Luego se realiza un estudio bastante detallado sobre la ortogonalidad de lo modos de vibración en sistemas continuos y finalmente se resuelve el caso de vibración forzada de una viga en voladizo con base empotrada ante una acción sísmica definida por un acelerograma. El marco teórico se complementa con la realización de ejemplos y programas de computación. Se han elaborado los siguientes programas: vlibrevoladizo, que presenta las formas modales para una viga en voladizo con base empotrada; vlibreapoyado, que halla las formas modales para una viga apoyada- apoyada; vlibreinteraccion, que demuestra cómo se incrementa el período de vibración, de una estructura si se halla en suelos blandos, obtiene curvas para diferentes relaciones de la rigidez trasnacional del suelo-cimentación con respecto a la rigidez de la estructura y también de la rigidez rotacional del suelo-cimentación con respecto a la rigidez de la estructura. Se presenta también el programa masamodalflexion, que determina la masa modal equivalente de una viga en flexión, para los cinco primeros modos y se demuestra que es el mínimo número de modos que se deben considerar en la respuesta sísmica. El último programa desarrollado es vforzadavoladizo, que halla la respuesta en el tiempo del desplazamiento lateral en el tope de la viga en voladizo, con base empotrada, ante un sismo caracterizado por su acelerograma.

352


10.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO Se estudian las vibraciones de una viga de flexión, de sección constante o variable, sometido a unas fuerzas transversales al eje de elemento, P( x, t ) las mismas que varían en el __

tiempo, como se ilustra en la figura 10.1. Se denomina m a la masa por unidad de longitud; L a la longitud del elemento. Si bien en la figura 10.1 se han colocado dos apoyos fijos para presentar el problema, se puede tener cualquier tipo de apoyo. Lamar, (1981).

c

c

Figura 10.1 Viga con carga transversal al eje del elemento. Para encontrar la ecuación diferencial que gobierna el problema, es necesario considerar un elemento diferencial como el mostrado en la figura 10.2 y en el describir las cargas actuantes; el peso propio no está en la dirección en que se realiza la suma de fuerzas. Sean V , M el cortante y momento a la izquierda del elemento diferencial, se considera únicamente el primer término de variación de la serie de Taylor para el cortante y momento a la derecha del elemento diferencial. Del equilibrio de fuerzas verticales, se tiene:

V  (V  Donde

__ dV d 2Y dx)  P dx  m dx 2  0 dx dt

(10.1)

Y ( x, t ) es el desplazamiento vertical en el punto x y en el instante de tiempo

t . De paso nótese la convención de signos positiva considerada para el cortante y la flexión. Simplificando la expresión y dividiéndola para dx se tiene: __ dV d 2Y  P m 2 dx dt

(10.2)

Del equilibrio de momentos, con respecto al punto A, se tiene:

Vdx  M  P

dx2 2

 (M 

dM dx)  0 dx


353

Figura 10.2 Elemento diferencial y cargas actuantes Por ser un elemento diferencial, se puede considerar que igual a cero. Luego de simplificar los momentos y dividiendo para

V 

dx elevado al cuadrado es

dx , se halla:

dM dx

(10.3)

De la resistencia de materiales se conoce que:

d 2Y M  2 EI ( x) dx

 M  EI ( x)

d 2Y dx 2

Derivando esta última expresión obtenemos el cortante, como sigue:

V 

d  d 2Y  EI ( x )   dx  dx 2 

V E

dI ( x) d 2Y d 3Y  EI ( x ) dx dx 2 dx 3

Ahora al derivar esta última ecuación y al reemplazar en (10.2) se halla:

EI ( x)

d 4Y dI ( x) d 3Y d 2 I ( x ) d 2Y d 2Y  2 E  E  P  m dx dx 3 dx 4 dx 2 dx 2 dt 2

(10.4)

Que es la ecuación diferencial general para una viga de flexión, de inercia variable, que está sujeto a cargas transversales al eje. Para elementos de sección constante la derivada de la inercia con respecto a x es cero, con lo que la ecuación (10.4) queda:

d 4Y d 2Y EI 4  m 2  P dx dt

(10.5)

Se deja constancia, desde un punto de vista riguroso, que las derivadas que intervienen en (10.5) no son derivadas ordinarias, sino derivadas parciales ya que Y es función de (x,t). Por lo tanto, la ecuación (10.5) debió haberse escrito de la siguiente manera:

EI

 4Y  2Y  m P x 4 t 2

354


10.2 VIBRACIÓN LIBRE Para el caso de vibración libre se tiene que la fuerza transversal ecuación diferencial a resolver es:

EI

d 4Y d 2Y  m 0 dx 4 dt 2

Se plantea la solución como el producto de una función modal del tiempo

P  0 . Luego la (10.6)

v(x) por una función

y (t ) Y ( x, t )  v( x) y(t )

(10.7)

Al obtener la derivada cuarta de Y con respecto a x, y la derivada segunda de Y con respecto al tiempo y al reemplazar en (10.6) se halla: __

d 4v m d2y y ( t )  v ( x ) 0 EI dx 4 dt 2 Al dividir todo por

v(x) se halla: d 4v __ 2 dx 4 y (t )  m d y  0 v( x) EI dt 2

De donde:

d 4v d2y __ dx 4   m dt 2 v( x) EI y (t )

(10.8)

El lado izquierdo de la ecuación (10.8) solo depende de la variable x, y el lado derecho depende de la variable t . Luego para que se cumpla (10.8) es importante y necesario esta 4 igualdad sea igual a una constante a

d 4v d2y __ dx 4   m dt 2  a 4 v( x) EI y (t ) Luego el problema de vibración libre, definido en (10.6) se ha desacoplado en dos problemas, que son:

d 4v dx 4  a 4 v( x) d2y m dt 2   a4 EI y (t )



__



d 4v  a 4 v( x)  0 4 dx

d 2 y EI 4  __ a y (t )  0 dt 2 m

(10.9)

(10.10)


355

Se aprecia que la ecuación (10.10) representa un problema de vibración libre sin amortiguamiento en un sistema de un grado de libertad pero para ello debe cumplirse que:

Wn2 

EI __

a4

(10.11)

m Por lo tanto, para encontrar la frecuencia natural primero el valor de

Wn del sistema, se debe calcular

a mediante la ecuación (10.9) cuya solución es:

v( x)  A sen(ax)  B cos(ax)  C senh(ax)  D cosh(ax) Las constantes de integración:

10.2.1 

(10.12)

A, B, C , D dependen de las condiciones de contorno.

Viga en Voladizo

EJEMPLO 1

Encontrar los modos de vibración de la viga de flexión en voladizo presentada en la figura 10.3, calculada como un sistema continuo. Si la longitud es de 4.0 m.

X

EI

L

Figura 10.3 Viga en voladizo de flexión. 

SOLUCIÓN Para la viga en voladizo, las condiciones de borde, son:

i. ii. iii. iv.

x0 En x  0 En x  L En x  L En

   

v ( x)  0  ( x)  0 V 0 M 0

356


Para reemplazar las condiciones de borde es necesario calcular las derivadas de

v(x)

v ' ( x)  A a cos(ax)  B a sen (ax)  C a cosh(ax)  D a senh(ax) v '' ( x)   A a 2 sen (ax)  B a 2 cos(ax)  C a 2 senh(ax)  D a 2 cosh(ax) v ''' ( x)   A a 3 cos(ax)  B a 3 sen (ax)  C a 3 cosh(ax)  D a 3 senh(ax) El cortante se calcula con la tercera derivada y el momento con la segunda derivada. Con esta indicación al reemplazar las condiciones de borde, se tiene en forma matricial:

 0  1  cos(aL)   sen (aL)

1

0

0

1

  0   senh(aL)   cosh(aL)  1

 sen (aL)

 cosh(aL)

cos(aL)

 senh(aL)

A B   0 C    D

(10.13)

Para que se cumpla (10.13) debe cumplir que el determinante de los coeficientes debe ser cero. Luego:

 0  1 det  cos(aL)   sen (aL)

1

0

0

1

 sen (aL)

 cosh(aL)

cos(aL)

 senh(aL)

  0 0  senh(aL)   cosh(aL)  1

Al desarrollar el determinante y después de algunas simplificaciones, se tiene:

1  cos(p) cosh( p)  0

(10.14)

Siendo:

paL

(10.15)

Las tres primeras raíces de p , son:

p1  1.875

p 2  4.694

p3  7.854

A partir de la tercera raíz se cumple, aproximadamente que:

p n  2 n  1



n3

2

El sistema de ecuaciones definido en (10.13) en linealmente dependiente, luego es necesario imponerse el valor de una variable y hallar las restantes. Para A  1 las constantes de integración, son:

A 1

C  1

D

cos( p)  cosh( p) senh( p)  sen( p)

B  D

(10.16)

Para hallar las formas modales, se debe reemplazar el valor de las constantes de integración en la ecuación (10.12).


357

El programa vlibrevoladizo encuentra en forma gráfica los tres primeros modos de vibración de una viga de sección constante en voladizo. La forma de uso del programa, es: [v]=vlibrevoladizo(L)  

L es la longitud de la viga en voladizo. v es la forma modal.

function [V]=vlibrevoladizo(L) % % Vibraciones libres en un sistema continuo de una viga de flexion en voladizo % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [v]=vlibrevoladizo(L) %------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento % Las tres primeras raices de: 1+cos(p)*cosh(p)=0 % son: p1=1.875 p2=4.694 p3=7.854 % p=aL % Constantes de Integracion p1=1.875;a1=p1/L;dx=L/100; p2=4.694; a2=p2/L; p3=7.854; a3=p3/L; A=1; C=-1; D1=(cos(p1)+cosh(p1))/(sinh(p1)-sin(p1));B1=-D1; D2=(cos(p2)+cosh(p2))/(sinh(p2)-sin(p2));B2=-D2; D3=(cos(p3)+cosh(p3))/(sinh(p3)-sin(p3));B3=-D3; for i=1:100 x(i)=i*dx; v1(i)=A*sin(x(i)*a1)+B1*cos(x(i)*a1)+C*sinh(x(i)*a1)+D1*cosh(x(i)*a1); v2(i)=A*sin(x(i)*a2)+B2*cos(x(i)*a2)+C*sinh(x(i)*a2)+D2*cosh(x(i)*a2); v3(i)=A*sin(x(i)*a3)+B3*cos(x(i)*a3)+C*sinh(x(i)*a3)+D3*cosh(x(i)*a3); end hold off plot(v1,x,'--'); hold on plot(v2,x,':'); plot(v3,x,'-.') ylabel('Altura'); title('Formas modales de una viga en voladizo') hold off %---fin--En la figura 10.4, se indican las tres primeras formas modales de la viga en voladizo del ejemplo 1.

10.2.2 

Viga apoyada EJEMPLO 2

Encontrar los modos de vibración de la viga apoyada-apoyada, de sección constante, presentada en la figura 10.5, calculada como un sistema continuo. Si la longitud es de 4.0 m.

358


Figura 10.4 Formas modales para una viga de 4.0 m., de longitud. 

SOLUCIÓN Para la viga apoyada-apoyada, las condiciones de borde, son:

i. ii. iii. iv.


   

v ( x)  0 M ( x)  0 v( x)  0 M ( x)  0

c

c

Figura 10.5 Viga apoyada-apoyada. Las condiciones de borde, conducen al planteamiento del siguiente sistema de ecuaciones.


 0  0   sen ( p)   sen ( p)

1

0

1

0

  1  cosh( p )   cosh( p) 1

cos( p)

senh( p )

 cos( p)

senh( p)

A B   0 C    D

359

(10.17)

Procediendo de igual manera, que el ejemplo anterior, se halla que el polinomio característico es:

sen( p) senh( p)  0

(10.18)

Las raíces de (10.18) son:

p1   En general, se tiene que:

p 2  2

p3  3

pi  i 

(10.19)

De las dos primeras condiciones de borde se concluye que:

BD0

(10.20)

Luego quedan dos ecuaciones dependientes, al imponernos A  1 se encuentra:

C

sen ( p ) senh( p )

Figura 10.6 Modos de vibración de una viga apoyada-apoyada.

(10.21)

360


En la figura 10.6 se indican las tres primeras formas modales de la viga apoyadaapoyada. El programa que encuentra los modos de vibración de una viga de sección constante, apoyada-apoyada, se denomina vlibreapoyado y la forma de uso es la siguiente: [v]=vlibreapoyado (L)  

L es la longitud de la viga en voladizo. v es la forma modal.

function [V]=vlibreapoyado(L) % % Vibraciones libres en un sistema continuo de una viga en voladizo % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [v]=vlibreapoyado(L) %------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento % Las cuatro primeras raices de: sen(p)*senh(p)=0 % son: p1=3.1416 p2=6.2832 p3=9,4248 p4=12.5664 % p=aL % Constantes de Integracion p1=pi;a1=p1/L;dx=L/100; p2=2*pi; a2=p2/L; p3=3*pi; a3=p3/L; p4=4*pi; a4=p4/L; B=0; D=0; A=1; C1=-sin(p1)/sinh(p1); C2=-sin(p2)/sinh(p2); C3=-sin(p3)/sinh(p3); for i=1:100 x(i)=i*dx; v1(i)=A*sin(x(i)*a1)+B*cos(x(i)*a1)+C1*sinh(x(i)*a1)+D*cosh(x(i)*a1); v2(i)=A*sin(x(i)*a2)+B*cos(x(i)*a2)+C2*sinh(x(i)*a2)+D*cosh(x(i)*a2); v3(i)=A*sin(x(i)*a3)+B*cos(x(i)*a3)+C3*sinh(x(i)*a3)+D*cosh(x(i)*a3); end hold off plot(x,v1,'--'); hold on plot(x,v2,':'); plot(x,v3,'-.'); xlabel('Longitud'); title('Formas modales de una viga apoyada-apoyada') hold off %---fin---

10.2.3

Interacción suelo estructura

En la figura 10.7 se indica el modelo que se considera la para el estudio de la interacción suelo-estructura. Se tiene la viga a flexión de sección constante, con masa uniforme distribuida, la misma que está simplemente apoyada y en su base existen dos resortes: un horizontal de rigidez lineal k d y uno rotacional de rigidez k r . Para el modelo numérico de las figura 10.7, las condiciones de borde, son: i. ii. iii. iv.


   

V   K d  v(0) M  k r   ( 0) V 0 M 0


361

Figura 10.7 Modelo considerado para el estudio de la interacción suelo-estructura Para ver el signo negativo de la primera condición se recomienda mirar la convención de signos positiva de la figura 10.1 al tener un desplazamiento lateral en la base se genera en el resorte una fuerza de sentido contrario a la convención positiva en el resorte por lo que es negativo. Por facilidad se denomina:

kd EI





kr EI

(10.22)

Se conoce que:

V  EI

d 3v  EI v ''' 3 dx

Luego la condición i., conduce a:

EI v ''' (0)  k d v(0)

kd v(0) EI

(10.23)

A a 3  C a 3   B  D   0

(10.24)

 v ''' (0) 

De donde

 A a3  C a3 

Kd B  D   0 EI



Para la condición ii., se tiene:

EI

d 2v ( 0)  k r v ' ( 0)  0 dx 2

 v ' ' ( 0) 

kr ' v ( 0)  0 EI

Luego:

 B a2  D a2 

kr A a  C a  0 EI

Al cambiar de signo y teniendo en cuenta (10.22) se halla:

B a 2  D a 2   A a  C a  0

 B a  D a   A  C   0

(10.25)

362


La tercera y cuarta condición fue desarrollada en el sub apartado 10.2.1, cuando se analizó una viga en voladizo. Por consiguiente, las condiciones de contorno, escrito en forma matricial son:

 a3    cos(aL)   sen (aL)



 a3

a



 sen (aL)

 cosh(aL)

cos(aL)

 senh(aL)

  a   senh(aL)   cosh(aL)  

A B   0 C    D

(10.26)

Para que (10.26) tenga solución diferente de cero, se debe cumplir que el determinante de la matriz de coeficientes debe ser igual a cero. Esta condición reporta:

 a2 1   1 a2   cos(aL) senh(aL) a    sen (aL) cosh(aL)  a           a4  a4   cos(aL) cosh(aL)    1   1  0       Se define:

i

kr EI / L

j

kd EI / L3

(10.27)

Con estas definiciones y con la ecuación (10.15). La ecuación del determinante se transforma en:

 p2 1 1 p2   cos p  senh p  p    sen  p  cosh p   p   j   j i i (10.28)

  p4  p4      1   cos p  cosh p   1  i j   0 i j     

EJEMPLO 3 Presentar en una figura la variación del parámetro p , para el primer modo de

vibración, para valores de j de 1 a 500 y para los siguientes valores de i : 0.5; 5; 50; 500. 

SOLUCIÓN Antes de presentar la solución del ejercicio, se destaca que:

paL



a

p L

Al sustituir este valor en la ecuación (10.11) se tiene:

Wn2 

EI __

m

a4

Wn2 

EI __

p4 4

mL

(10.29)


363

De tal manera que el parámetro p conduce al cálculo de la frecuencia natural de vibración. Para resolver el ejercicio se elaboró el programa vlibreinteraccion cuya forma de utilización es la siguiente: [p] = vlibreinteraccion function [p]=vlibreinteraccion % % Vibraciones libres en un sistema continuo de una viga en voladizo % considerando la interaccion suelo estructura. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [p]=vlibreinteraccion %------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento % ii = kr/(EI/L) jj = kd/(EI/L3) % kr : Rigidez rotacional del conjunto suelo-cimentacion % kd : Rigidez traslacional del conjunto suelo-cimentacion % p=aL % Constantes de Integracion tol=0.1; valores=[0.5; 5; 50; 500]; for k=1:4 ii=valores(k); for jj=1:500 dx=0.001; icod=0; for i=1:3000 p=i*dx; f1= p*((p*p/jj)+(1/ii))*sin(p)*cosh(p); f2= p*((1/ii)-(p*p/jj))*cos(p)*sinh(p); f3=(1-(p^4/(ii*jj)))*cos(p)*cosh(p); f4=1+(p^4/(ii*jj)); ft=abs(f1-f2-f3-f4); if ft <= tol & icod==0 pp(jj)=p; icod=1; end end end if k==1 p1=pp'; elseif k==2 p2=pp'; elseif k==3 p3=pp'; else p4=pp'; end end hold off plot(p1,'--'); hold on; plot(p2,':'); plot(p3,'-.'); plot(p4) xlabel('Valores de j'); ylabel('Valores de p'), title('Primer modo') %---fin---

364


En la figura 10.8 se presenta la figura que se obtiene con el programa y en siguiente sub apartado se comentan las curvas obtenidas.

Figura 10.8 Frecuencias del primer modo de vibración

10.2.4

Variación del período con la interacción

Valores altos de i implican un suelo muy duro, de tal manera que un valor de i  500 significa tener una base empotrada. De igual manera valores altos j corresponden a suelos muy duros. El caso contrario se tendría para valores de i, j muy bajos. En la figura 10.8 se aprecia que para

i  500 y para valores de j  100 el parámetro

p  1.875 que corresponde al valor que se obtiene, para el primer modo de vibración considerando base empotrada. De tal manera que las curvas de la figura 10.8 para valores de i  50 indican que la frecuencia natural disminuye a medida que la rigidez relativa lineal disminuye. Lo propio se puede indicar con los valores de j . El período de vibración se halla con la siguiente expresión

T  2 / Wn . De tal

manera que para suelos de dureza intermedia y de baja resistencia, existe una amplificación del período fundamental de vibración. Amplificación que es mayor en los suelos blandos que corresponden a valores de i, j , muy bajos. En la figura 10.8 se observa un notable incremento de p para valores de

j  10 luego

el incremento disminuye hasta valores que de j que están alrededor de 30 y finalmente son constantes estos valores. Con respecto a la variación de las curvas de la figura 10.8, en lo concerniente al parámetro i se puede indicar que la variación de p es notable entre i  0.5 e i  5 . Luego

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE este incremento disminuye pero también es notable entre mayores de i la variación de p es mínima.

365

i  5 e i  50 . Para valores

Arboleda (1989), en base al modelo presentado concluye en lo siguiente:



0  i  5 o 0  j  10 el suelo no es apto para una cimentación superficial. Si 5  i  50 y 10  j  20 se debe considerar el efecto de la interacción suelo



estructura en el análisis. Si i  50 y j  60 se debe analizar con base empotrada.



Si

10.3 ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN La ecuación diferencial (10.5) se la reescribe de la siguiente manera:

EI

d 4Y d 2Y  m P dx 4 dt 2

EI Y   m Y  P



''

''

__ ..

Para el caso de vibración libre se tiene:

EI Y  ''

''

__ ..

 mY 0

En la forma de solución, planteada en la ecuación (10.7) en lugar de llamar a la forma

modal

v(x) se la va a denominar  (x) . De tal manera que: Y ( x, t )  v( x) y(t )

Y ( x, t )   ( x) y(t )



Luego la ecuación diferencial del movimiento de vibración libre, queda:

EI  ( x) ''

''

__

..

y (t )  m  ( x) y (t )  0

__

Al dividir para m  ( x ) y (t ) se halla:

EI  ( x) ''

__

m  ( x)

''

EI  ( x)

..

''

y (t )  0 y (t )

__

m  ( x)

''

..

y (t )  y (t )

(10.30)

Se vuelve a copiar de nuevo las ecuaciones (10.10) y (10.11) para demostrar que el lado derecho de la ecuación (10.30) vale

Wn2 ..

d 2 y EI 4  __ a y(t )  0 dt 2 m Wn2 

y(t ) EI   __ a 4 y(t ) m EI __

m Luego:

a4

366


..

y (t )   Wn2 y (t )

..

y (t )   y (t )  0



(10.31)

Donde

  Wn2 Retomando la ecuación (10.30) se tiene:

EI  ( x) ''

__

m  ( x)

''

..

y (t )   Wn2 y (t )

De donde:

EI  ( x)  m  ( x) W ''

__

''

2 n

0

Para el modo j se tiene:

EI 

'' j



__

( x) ''  m  j ( x) Wnj2  0

Al multiplicar esta última expresión por resultante entre

i (x)

0 y L se halla:

 EI  ( x) L

'' j

''

L __

i ( x) dx  Wnj2  m  j ( x) i ( x) dx  0

0



en que i  j e integrando la ecuación

0

Al integrar por partes la primera integral, considerando

u  i (x) y dv a lo restante,

se tiene:

EI  ( x)  ( x)   EI  ( x)  ( x) dx L

L

'

'' j

i

'' j

0

'

' i

0

Luego:

EI  ( x)  ( x)   EI  ( x)  ( x) dx '' j

L

'

i

L

'' j

0

'

' i

0

L __

 Wnj2  m  j ( x) i ( x) dx  0 0

Para una viga en voladizo, se tiene que en x  L el cortante vale cero pero el cortante está relacionado con la tercera derivada de  (x) . De igual manera en el desplazamiento vale cero luego en x  0 se tiene que  ( x)  0 . Estas dos condiciones conducen a que el primer término valga cero. Por lo tanto, la ecuación queda: L





L __

  EI  'j' ( x) i' ( x) dx  Wnj2  m  j ( x) i ( x) dx  0 0

'

0

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE 

367

Nuevamente al integrar por partes la primera integral pero ahora se considera

u  i' ( x) y dv a lo restante:



   EI 

 EI  'j' ( x) i' ( x)

L

L

0

'' j

( x) i'' ( x) dx

0

La expresión completa queda:



   EI 

 EI  ( x)  ( x) '' j

' i

L

L

0

'' j

( x)  ( x) dx  W '' i

2 nj

0

L __

m

j

( x) i ( x) dx  0

0

Otra vez, para la viga en voladizo se tiene que en x  L el momento es igual a cero pero el momento está relacionado con la segunda derivada de  (x) . También se tiene que para

x  0 el giro es igual a cero, esto es que  ' ( x) . Con estas dos condiciones se anula la

primera expresión, con lo que se tiene: L

L __

0

0

'' '' 2  EI  j ( x) i ( x) dx  Wnj  m  j ( x) i ( x) dx  0

De donde: L

L __

'' '' 2  EI  j ( x) i ( x) dx  Wnj  m  j ( x) i ( x) dx 0

(10.32)

0

Procediendo de un modo similar para el modo i, se tendría:

EI  ( x)  m  ( x) W '' i

Ahora al multiplicar por

 j (x)

''

__

2 ni

i

e integrando entre

0

0 y L (se vuelve a repetir el proceso

de cálculo) se halla: L

L __

0

0

'' '' 2  EI i ( x)  j ( x) dx  Wni  m i ( x)  j ( x) dx

(10.33)

Para el caso de que Wnj  Wni al restar la ecuación (10.32) menos (10.33) se halla: 2

2

L __

 m  ( x)  i

j

( x ) dx  0

(10.34)

0

Al sustituir la ecuación (10.34) en cualquiera de las ecuaciones (10.32) o (10.33) se encuentra: L

 EI  0

'' i

( x )  j'' ( x ) dx  0

(10.35)

368


En resumen, las condiciones de ortogonalidad para una viga en voladizo que trabaja a flexión, son: L __

 m  ( x)  i

j

( x ) dx  0

0 L

 EI 

'' i

( x )  j'' ( x ) dx  0

0

10.3.1

Valores propios y modos normalizados Para el caso en que el modo i sea igual al modo j, se tiene de la ecuación (10.33)



L

W  2 ni

''  EI i ( x) 0 L __



 m  ( x)

2

dx  i

2

(10.36)

dx

i

0

Que es la ecuación con la cual, también se pueden encontrar los valores propios en la viga en voladizo. Para este mismo caso en que el modo i  j se tiene que las dos condiciones de ortogonalidad son diferentes de cero. L __

m

 EI   dx  0 L

2 i

( x) dx  0

0

'' 2 i

0

Se normalizan los modos de vibración, de la siguiente manera:

i ( x)

i ( x) 

L __

m

2 i

(10.37)

( x) dx

0

Con lo que se halla: L __

m

2 i

( x)dx  1

(10.38)

0

Con esto, la ecuación (10.36) queda: L



W   EI i'' ( x) 2 ni



2

dx

(10.39)

0

10.4 VIBRACIÓN FORZADA Se resuelve el caso de una viga de flexión en voladizo sometida a una acción sísmica definida por su acelerograma. La ecuación diferencial para este caso es:


EI Y  ''

''

__ ..

369

__

 m Y   m a (t )

(10.40)

a(t ) es la aceleración del suelo. Se plantea la solución de la siguiente manera:

Donde



Y ( x, t )   i ( x) yi (t )

(10.41)

i 1

Reemplazando (10.41) en (10.40) se halla:

 EI   

''

i

i 1

''

 __

i 1

 j (x)

Al multiplicar esta última ecuación por

 y (t )  EI   

L

i 1

'' '' i

i

__

..

yi (t )   m i ( x) y i (t )   m a(t )



..

e integrar entre

0 y L se halla:

L __

L __

0

0

 j ( x) dx   y i (t )  m i ( x)  j ( x) dx  a(t )  m  j ( x) dx i 1

0

En forma similar, a la del apartado anterior, al integrar por partes la primera integral y aplicar las condiciones de borde para una viga en voladizo se halla: 

 y (t )  EI  i 1



L

i

'' i

..

L __

L __

0

0

 ( x) dx   y i (t )  m i ( x)  j ( x) dx  a(t )  m  j ( x) dx '' j

i 1

0

De la ortogonalidad de los modos de vibración (solo hay valores para i  j ) se tiene para el modo j

 EI   L

y j (t )

'' 2 j

L __

..

dx  y j (t )  m  ( x) dx  a(t )  m  j ( x) dx

0

0 L __

Al dividir por

L __

2 j

m

2 j

( x) dx

0

y teniendo en cuenta la ecuación (10.36), se halla,

0

escribiendo en primer lugar el segundo término. L __

..

y j (t )  y j (t ) Wnj2   a (t )

m 0 L __

m

j

( x) dx (10.42)

2 j

( x) dx

0

Se denomina masa modal

m

* j

 L __    m  j ( x) dx  m *j   0L __

m 0

2 j

( x) dx

2

(10.43)

370


Con lo cual, la ecuación (10.42) queda: ..

y j (t )  W y j (t )  a(t ) 2 nj

m *j L __

m

j

( x) dx

0

La respuesta en el tiempo es:

y j (t ) 

 m *j

t

L __

Wnj  m  j ( x) dx

 a( ) sen W t   d

(10.44)

nj

0

0

10.4.1 

Masas modales EJEMPLO 4

Encontrar las cinco primeras masas modales para una viga de flexión, en voladizo, de 4.0 m., de longitud.



SOLUCIÓN En el sub apartado 10.2.1 se encontró la siguiente ecuación:

1  cos(p) cosh( p)  0 Las 5 raíces de esta ecuación, son:

p1  1.875

p2  4.694

p3  7.854

La forma modal se había denominado

p4  10.996

p5  14.137

v(x) que ahora se llama  (x) es:

 ( x)  A sen(ax)  B cos(ax)  C senh(ax)  D cosh(ax) Las constantes de integración encontradas en el sub apartado 10.2.1 son:

A 1

C  1

D

cos( p)  cosh( p) senh( p)  sen( p)

B  D

p  a L de donde a  p / L . Con toda esta información se elaboró el * programa masamodalflexion que obtiene m j con la ecuación (10.43), que queda: Por otra parte

L  m L    j ( x) dx 0  m *j  L __



2 j

( x ) dx

0

El programa reporta las siguientes masas modales

2


371

Tabla 10.1 Masas modales de viga en flexión en voladizo Modo j 1 5 m* j

__

m 1 2 3 4 5

0.6130 0.1882 0.0648 0.0315 0.0391

__

m

m j 1

* j

0.6130 0.8012 0.8660 0.8975 0.9366

Las normativas sísmicas establecen que el mínimo número de modos de vibración que se consideren en el cálculo sea tal que la suma de las masas modales sea mayor a 0.9, de tal manera que con los resultados encontrados se debe trabajar con 5 modos de vibración. La forma de uso del programa, es: >> L=4 >> [m]= masamodalflexion (L) function [m]=masamodalflexion (L) % % Calculo de masas modales de viga en flexion en voladizo. % Calculo para los cinco primeros modos de vibracion % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [m]=masamodalflexion(L) %------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento % Las cinco primeras raices de: 1+cos(p)+cosh(p)=0 % son: p1=1.875 p2=4.694 p3=7.854 p4=10.996 p5=14.137 % p=aL % Constantes de Integracion p1=1.875;a1=p1/L;dx=L/100; p2=4.694; a2=p2/L; p3=7.854; a3=p3/L; p4=10.996; a4=p4/L; p5=14.137; a5=p5/L; A=1; C=-1; D1=(cos(p1)+cosh(p1))/(sinh(p1)-sin(p1));B1=-D1; D2=(cos(p2)+cosh(p2))/(sinh(p2)-sin(p2));B2=-D2; D3=(cos(p3)+cosh(p3))/(sinh(p3)-sin(p3));B3=-D3; D4=(cos(p4)+cosh(p4))/(sinh(p4)-sin(p4));B4=-D4; D5=(cos(p5)+cosh(p5))/(sinh(p5)-sin(p5));B5=-D5; for i=1:100 x(i)=i*dx; v1(i)=A*sin(x(i)*a1)+B1*cos(x(i)*a1)+C*sinh(x(i)*a1)+D1*cosh(x(i)*a1); v2(i)=A*sin(x(i)*a2)+B2*cos(x(i)*a2)+C*sinh(x(i)*a2)+D2*cosh(x(i)*a2); v3(i)=A*sin(x(i)*a3)+B3*cos(x(i)*a3)+C*sinh(x(i)*a3)+D3*cosh(x(i)*a3); v4(i)=A*sin(x(i)*a4)+B4*cos(x(i)*a4)+C*sinh(x(i)*a4)+D4*cosh(x(i)*a4); v5(i)=A*sin(x(i)*a5)+B5*cos(x(i)*a5)+C*sinh(x(i)*a5)+D5*cosh(x(i)*a5); v11(i)=v1(i)*v1(i); v22(i)=v2(i)*v2(i); v33(i)=v3(i)*v3(i); v44(i)=v4(i)*v4(i); v55(i)=v5(i)*v5(i); end NUM1=trapz(x,v1);NUM2=trapz(x,v2);NUM3=trapz(x,v3); NUM4=trapz(x,v4);NUM5=trapz(x,v5) DEN1=trapz(x,v11);DEN2=trapz(x,v22);DEN3=trapz(x,v33); DEN4=trapz(x,v44);DEN5=trapz(x,v55); m1=NUM1*NUM1/DEN1;m2=NUM2*NUM2/DEN2;m3=NUM3*NUM3/DEN3;

372


m4=NUM4*NUM4/DEN4;m5=NUM5*NUM5/DEN5; m=[m1/L; m2/L; m3/L; m4/L; m5/L]; suma=sum(m) %---fin---

10.4.2

Respuesta en el tiempo

Para hallar la respuesta en el tiempo de una viga de flexión en voladizo ante una acción sísmica se debe desarrollar un poco más la ecuación (10.44) que se copia a continuación.

y j (t ) 

 m *j

t

L __

Wnj  m  j ( x) dx

 a( ) sen W t   d nj

0

0

La integral que contiene a la aceleración del tiempo es la que se desarrolla a continuación:

 a( ) sen W t   d   a( )senW t

t

nj

nj

0



t cos  sen cosWnj t d

0

t

t

t

0

0

0

 a( ) sen Wnj t   d  senWnj t  a( ) cos d  cosWnj t  a( )sen d De tal manera que la ecuación (10.44) queda:

 m *j

t t   y j (t )  senW t a (  ) cos  d   cos W t a (  ) sen  d    nj nj L __ 0 0   Wnj  m  j ( x) dx 0

Para calcular las frecuencias naturales de vibración se trabaja con la ecuación (10.11) en la que se sustituye a  p / L

Wn2 

EI __

a4 

m

EI p 4 __ L4 m

 Wn 

p2 L2

EI __

m

Al reemplazar:

p1  1.875

p2  4.694

p3  7.854

p4  10.996

p5  14.137

Se tiene:

Wn1  Wn 4 

3.5156 L2 120 .9120 L2

EI

Wn 2 

__

m EI __

m

Wn 5 

22.0336 L2 199 .8548 L2

EI __

m

Wn 3 

61.6853 L2

EI __

m

EI __

m

(10.45)


373

Finalmente la respuesta en el tiempo se obtiene con la ecuación (10.41) 

Y ( x, t )    j ( x) y j (t ) j 1



EJEMPLO 5

Encontrar la respuesta en el tiempo de una viga de flexión en voladizo, ante el sismo registrado el 9 de noviembre de 1974 en Perú. Se desea la respuesta en el tiempo en el tope de la viga. La geometría y masa por unidad de longitud, son:

EI  231862 .028 T .m 2 . 

__

L  15 m.

m  0.2694

T .s 2 . m2.

SOLUCIÓN Se consideran los cinco primeros modos para hallar la respuesta en

xL .



Y ( x, t )    j ( x) y j (t ) j 1

Y ( x  L, t )  1 ( x) y1 (t )   2 ( x) y 2 (t )  3 ( x) y3 (t )   4 ( x) y 4 (t )  5 ( x) y5 (t ) El programa vforzadavoladizo encuentra la respuesta en el tope del edificio ante un sismo definido por un acelerograma. Es importante que las unidades de los datos sean 2 compatibles. En este caso el acelerograma tiene que estar en m/s . La forma de uso del programa es: [des]=vforzadavoladizo (EI,mu,L,Sismo,dt) 

EI

   

mu L Sismo dt

Valor de la rigidez a flexión de la viga en voladizo. __

Es el valor de la masa por unidad de longitud m . Es la longitud de la viga en voladizo Es el nombre del archivo que contiene el acelerograma. Es el incremento de tiempo del archivo del acelerograma.

Para el ejemplo se debe proceder de la siguiente manera: >> EI=231862.028 >>mu=0.2694 >>L=15 >>load Peru04.dat >>[des]=vforzadavoladizo (EI,mu,L,Peru04,0.02) La respuesta en el tiempo se presenta en la figura 10.9. A continuación se lista el programa. function [des]=vforzadavoladizo(EI,mu,L,sismo,dt) % % Cálculo de la respuesta en el tiempo, de una viga de flexión % en voladizo. Cálculo de desplazamiento en el tope del voladizo

374


% % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [des]=vforzadavoladizo(EI,mu,L,sismo,dt) %------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento % EI : es la rigidez a flexion de la viga en voladizo % mu : es la masa por unidad de longitud de la viga en voladizo % sismo : es el vector que contiene al archivo del acelerograma. % dt : incremento de tiempo del acelerograma. % des : desplazamiento en el tope del voladizo % Las cinco primeras raices de: 1+cos(p)*cosh(p)=0 % son: p1=1.875 p2=4.694 p3=7.854 p4=10.996 p5=14.137 % % Constantes de Integracion p1=1.875;a1=p1/L;dx=L/100; p2=4.694; a2=p2/L; p3=7.854; a3=p3/L; p4=10.996; a4=p4/L; p5=14.137; a5=p5/L; A=1; C=-1; D1=(cos(p1)+cosh(p1))/(sinh(p1)-sin(p1));B1=-D1; D2=(cos(p2)+cosh(p2))/(sinh(p2)-sin(p2));B2=-D2; D3=(cos(p3)+cosh(p3))/(sinh(p3)-sin(p3));B3=-D3; D4=(cos(p4)+cosh(p4))/(sinh(p4)-sin(p4));B4=-D4; D5=(cos(p5)+cosh(p5))/(sinh(p5)-sin(p5));B5=-D5; % Calculo de Integrales donde interviene accion sismica np=length(sismo);tmax=dt*np;t=linspace(0,tmax,np)'; for i=1:np F1(i)=sismo(i)*cos(i*dt);F2(i)=sismo(i)*sin(i*dt); end F1=F1';F2=F2';INT1=trapz(t,F1);INT2=trapz(t,F2); % Calculo de frecuencias de los cinco primeros modos aux1=sqrt(EI/mu); aux2=1/(L*L); aux=aux1*aux2; Wn1=3.5156*aux; Wn2=22.0336*aux; Wn3=61.6853*aux; Wn4=120.912*aux; Wn5=199.8548*aux; % Calculo de numerador que contiene al acelerograma para 5 primeros modos for i=1:np NSIS1(i)=sin(Wn1*i*dt)*INT1-cos(Wn1*i*dt)*INT2; NSIS2(i)=sin(Wn2*i*dt)*INT1-cos(Wn2*i*dt)*INT2; NSIS3(i)=sin(Wn3*i*dt)*INT1-cos(Wn3*i*dt)*INT2; NSIS4(i)=sin(Wn4*i*dt)*INT1-cos(Wn4*i*dt)*INT2; NSIS5(i)=sin(Wn5*i*dt)*INT1-cos(Wn5*i*dt)*INT2; end % Cálculo de la Integral del denominador en funcion del modo de vibracion for i=1:100 x(i)=i*dx; v1(i)=A*sin(x(i)*a1)+B1*cos(x(i)*a1)+C*sinh(x(i)*a1)+D1*cosh(x(i)*a1); v2(i)=A*sin(x(i)*a2)+B2*cos(x(i)*a2)+C*sinh(x(i)*a2)+D2*cosh(x(i)*a2); v3(i)=A*sin(x(i)*a3)+B3*cos(x(i)*a3)+C*sinh(x(i)*a3)+D3*cosh(x(i)*a3); v4(i)=A*sin(x(i)*a4)+B4*cos(x(i)*a4)+C*sinh(x(i)*a4)+D4*cosh(x(i)*a4); v5(i)=A*sin(x(i)*a5)+B5*cos(x(i)*a5)+C*sinh(x(i)*a5)+D5*cosh(x(i)*a5); v1(i)=v1(i)*mu; v2(i)=v2(i)*mu; v3(i)=v3(i)*mu; v4(i)=v4(i)*mu; v5(i)=v5(i)*mu; end INT31=trapz(x,v1);INT32=trapz(x,v2);INT33=trapz(x,v3); INT34=trapz(x,v4);INT35=trapz(x,v5); % Masas modales aux3=mu*L; Mj1=0.6130*aux3; Mj2=0.1882*aux3; Mj3=0.0648*aux3; Mj4=0.0315*aux3;Mj5=0.0391*aux3; %Calculo de y(t) FAC1=-Mj1/(Wn1*INT31);FAC2=-Mj2/(Wn2*INT32);FAC3=-Mj3/(Wn3*INT33);


375

FAC4=-Mj4/(Wn1*INT34);FAC5=-Mj5/(Wn1*INT35); y1=FAC1*NSIS1;y2=FAC2*NSIS2;y3=FAC3*NSIS3;y4=FAC4*NSIS4;y5=FAC5*NSIS5; %Desplazamientos en el ultimo piso v1L=A*sin(p1)+B1*cos(p1)+C*sinh(p1)+D1*cosh(p1); v2L=A*sin(p2)+B2*cos(p2)+C*sinh(p2)+D2*cosh(p2); v3L=A*sin(p3)+B3*cos(p3)+C*sinh(p3)+D3*cosh(p3); v4L=A*sin(p4)+B4*cos(p4)+C*sinh(p4)+D4*cosh(p4); v5L=A*sin(p5)+B5*cos(p5)+C*sinh(p5)+D5*cosh(p5); des=v1L*y1+v2L*y2+v3L*y3+v4L*y4+v5L*y5; plot(t,des); xlabel ('Tiempo (s)'); ylabel ('Desplazamiento lateral en el tope') %---fin---

Figura 10.9 Respuesta de desplazamientos ante el sismo de nov., de 1974.

REFERENCIAS 1. Arboleda J., (1989), Aspectos principales del fenómeno de interacción suelo estructura, Primer Curso de Cimentaciones. Escuela Politécnica del Ejército, 81-117. Quito. 2. Lamar S., (1981), Curso de Dinámica de Estructuras, Maestría en Ingeniería Sismo Resistente. Universidad Central de Venezuela, Caracas.

376


CAPÍTULO 11

SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE CORTE RESUMEN Se presenta el desarrollo numérico de una viga de corte de sección constante, modelada como un sistema continuo de infinito número de grados de libertad. Este modelo se utiliza para el estudio de pórticos conformado por vigas y columnas sin muros de corte. Se resuelve, en primer lugar, el problema de vibración libre y se compara el primer modo de vibración de una viga de corte con una viga de flexión. Posteriormente se estudia la ortogonalidad de los modos de vibración y finalmente se resuelve el problema de vibración forzada ante acciones sísmicas definidas por un acelerograma. Se han elaborado los siguientes programas de computación: vlibrevigacorte con el cual se obtienen los modos de vibración de la viga de corte; vlibrecomparacion que sirve para comparar el primer modo de vibración de las vigas de corte y de flexión; vigacortebasal con el cual se halla la respuesta en el tiempo del cortante basal de una viga de corte ante una acción sísmica.

11.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO Un pórtico plano, compuesto únicamente por vigas y columnas, puede modelarse como una viga de corte, en voladizo, como se aprecia en la figura 11.1. En el presente capítulo se estudia, esta viga de corte como un sistema continuo, de tal manera que tiene infinito número de grados de libertad. Para encontrar la ecuación diferencial que gobierna a una viga de corte, al igual que en el capítulo anterior se considera que actúan cargas transversales P( x, t ) al eje del elemento. De ésta viga se toma un elemento diferencial de longitud figura 11.2.

dx , el mismo que se presenta en la


377

X

GA

L

Figura 11.1 Modelo numérico de una viga de corte.

Figura 11.2 Elemento diferencial y cargas actuantes Del equilibrio de fuerzas se tiene:

V  (V  Donde

__ dV d 2Y dx)  P dx  m dx 2  0 dx dt

(11.1)

Y ( x, t ) es el desplazamiento vertical en el punto x y en el instante de tiempo

__

t ; m es la masa por unidad de longitud. Simplificando la expresión y dividiéndola para dx se tiene:

dV __ d 2Y m 2   P dx dt De la teoría de la elasticidad se conoce que:

(11.2)

378


 xy  Siendo

 xy

   x, t  

G

V ( x, t ) / Ac ( x, t ) G ( x)

Ac el área efectiva de corte que es igual al área de la sección transversal A

dividida para el factor de corte

 . De donde:

  x, t   

V  x, t  G ( x) Ax 

Por otra parte se conoce que la rotación



es la derivada de

Y ( x, t ) con respecto a

x . Luego:

  x, t    De donde el cortante

V dY  G ( x) Ax  dx

V es igual a: V 

G ( x) A( x) dY  dx

(11.3)

Para una viga de sección constante, al derivar (11.3) con respecto a x y reemplazar en (11.2) se tiene:

GA d 2Y __ d 2Y  m 2  P  dx 2 dt

(11.4)

11.2 VIBRACIÓN LIBRE Para este caso la ecuación diferencial se reduce a:

GA d 2Y __ d 2Y m 2 0  dx 2 dt Se plantea la solución como el producto de una función modal del tiempo

y (t )

(11.5)

 (x)

por una función (11.6)

Y ( x, t )   ( x) y(t ) x y con respecto a t se halla: GA d  d y y (t )  m  ( x) 2  0 2  dx dt

Al encontrar las derivadas de (11.6) con respecto a 2

__

2

Luego: __

m d 2 d2y y ( t )   ( x ) 0 GA dx 2 dt 2 Al dividir todo por

 (x)

se halla:


379

d 2 __ 2 2 m dx y (t )   d y  0  ( x) GA dt 2 De donde:

d 2 d2y __ dx 2  m  dt 2  ( x) GA y (t )

(11.7)

Con igual razonamiento que en el capítulo anterior, para que (11.7) se cumpla es 2 importante que esta igualdad sea igual a menos una constante a

d 2 d2y __ dx 2  m  dt 2  a 2  ( x) GA y (t ) Luego el problema de vibración libre se ha desacoplado en dos problemas, que son:

d 2 dx 2   a 2  ( x) d2y __ m  dt 2  a 2 GA y (t )



d 2  a 2  ( x)  0 dx 2



d 2 y GA 2  a y (t )  0 dt 2 __ m

(11.8)

(11.9)

La ecuación (11.9) representa un problema de vibración libre sin amortiguamiento en un sistema de un grado de libertad pero para ello debe cumplirse que:

Wn2 

GA __

a2

(11.10)

m

La solución de la ecuación diferencial (11.8) es:

 ( x)  A sen(ax)  B cos(ax) Las constantes de integración:

(11.11)

A, B dependen de las condiciones de contorno.

11.2.1 Viga en Voladizo 

EJEMPLO 1

Encontrar los modos de vibración de la viga de corte en voladizo presentada en la figura 11.3, calculada como un sistema continuo. Si la longitud es de 4.0 m. 

SOLUCIÓN Para la viga en voladizo, las condiciones de borde, son:

v. vi.

x0 En x  L En

  ( x)  0  V 0

380


X

GA

L

Figura 11.3 Viga en voladizo de corte Antes de calcular las constantes de integración, es necesario desarrollar la ecuación con la cual se calcula el cortante. Para ello se reemplaza (11.6) en (11.3), se tiene:

V 

GA



 ' ( x) y (t )

x  L se debe cumplir que:

Para que el cortante sea cero en

 ' ( L)  0 De la primera condición se tiene que:

 (0)  0

 B0

La segunda condición conduce a:

 ' ( x)  A a cosax  B a sen(ax) Luego:

 ' ( L)  0  cos p Luego la ecuación que se debe resolver para hallar el valor de p es:

cos p  0 Siendo:

paL

Las raíces son:

p

2n  1 2

Al reemplazar n=1, 2 y 3 se halla p1  1.5708 ; p 2  4.7124 ; p3  7.854 , etc.

(11.12)

(11.13)


381

Figura 11.4 Modos de vibración de una viga de corte en voladizo. En la figura 11.4 se presentan los tres primeros modos de vibración de la viga de corte, en voladizo. Esta figura fue realizada con el programa vlibrevigacorte, que se utiliza de la siguiente manera: [V]=vlibrevigacorte (L) 

L

Es la longitud del elemento.

function [V]=vlibrevigacorte(L) % % Vibraciones libres en un sistema continuo de una viga de corte en voladizo % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [v]=vlibrevigacorte(L) %------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento % Las tres primeras raices son: % p1=1.5708 p2=4.7124 p3=7.854 % p=aL % Constantes de Integracion p1=1.578;a1=p1/L;dx=L/100; p2=4.7124; a2=p2/L; p3=7.854; a3=p3/L; A=1; for i=1:100 x(i)=i*dx; v1(i)=A*sin(x(i)*a1); v2(i)=A*sin(x(i)*a2);v3(i)=A*sin(x(i)*a3); end hold off plot(v1,x,'--'); hold on plot(v2,x,':'); plot(v3,x,'-.')

382


ylabel('Altura'); title('Formas modales de una viga de corte') hold off %---fin---

11.2.2 Comparación de formas modales 

EJEMPLO 2

Presentar en un grafico el primer modo de vibración de una viga de flexión y de una viga de corte, en voladizo. 

SOLUCIÓN

En la figura 11.5 se presenta el primer modo de vibración de una viga de corte en la cual se aprecia que en la parte inferior tiene mayores amplitudes que la viga de flexión y en la parte superior se tiene mayores amplitudes en la viga de flexión que en la de corte. Este ejemplo es muy ilustrativo del comportamiento de las estructuras e indica que los edificios compuestos únicamente por vigas y columnas tienen mayores desplazamientos en los pisos inferiores que un edificio solo con muros de corte pero en la parte superior el comportamiento es al revés, de ahí que lo ideal es tener una combinación entre el comportamiento de una viga de flexión con una viga de corte. El programa que compara los modos de vibración se denomina: vlibrecomparacion y se utiliza de la siguiente manera: [A]=vlibrecomparacion (L) 

L Es la longitud del elemento

function [A]=vlibrecomparacion(L) % % Comparacion del primer modo de vibracion de una viga de flexion % y del primer modo de vibracion de una viga de corte. % Normalizados en los dos casos a la unidad en el tope del voladizo % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [A]=vlibrecomparacion(L) %------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento % Viga de flexion p1=1.875;a1=p1/L;dx=L/100; A=1; C=-1; D1=(cos(p1)+cosh(p1))/(sinh(p1)-sin(p1));B1=-D1; for i=1:100 x(i)=i*dx; vf(i)=A*sin(x(i)*a1)+B1*cos(x(i)*a1)+C*sinh(x(i)*a1)+D1*cosh(x(i)*a1); end % Viga de corte p1=1.578;a1=p1/L; A=1; for i=1:100 x(i)=i*dx; vc(i)=A*sin(x(i)*a1); end hold off plot(vf,x,'--'); hold on plot(vc,x,':'); ylabel('Altura'); title('Comparacion de formas modales')


383

hold off %---finSe destaca que la figura 11.5 ha sido complementada con la ayuda del programa PAINT. De igual manera se utilizó un artificio que no consta en el programa vlibrecomparacion que se indica a continuación para que el eje horizontal vaya de -3 a 3.

Figura 11.5 Comparación del primer modo de vibración

11.2.3 Frecuencias de vibración Las frecuencias de vibración de una viga de corte, se obtiene con la ecuación (11.10) la misma que se escribe a continuación.

Wn  a

GA __

m

Al reemplazar (11.13) en (11.12) y despejar el valor de

a

2 n  1 

Luego:

Wn  Al reemplazar

a se halla:

2L

2 n  1  2L

GA __

(11.14)

m

n  1 se halla la frecuencia del primer modo de vibración W n1 ; con

n  2 se halla Wn 2 , etc. Las relaciones de estas frecuencias son:

384


Wn 2 3 Wn1

Wn 3 5 Wn1

Wn 4 7 Wn1

Por lo tanto en una viga de corte de sección constante se cumplen las relaciones indicadas de las frecuencias naturales de vibración. Lamar (1981)

11.3 ORTOGONALIDAD DE MODOS DE VIBRACIÓN La ecuación (11.18) puede escribirse de la siguiente manera:

 ( x) '

 a 2  ( x)  0

'

Para el modo i se tiene:

 ( x)

 a 2 i ( x )  0 Al multiplicar esta ecuación por  j (x) e integrar entre 0 y L se tiene: ' i

'

' ' 2   j ( x) i ( x) dx  a   j ( x) i ( x) dx  0



L

L

0

0

Primera Integral Sea:

u   j ( x)



 du   'j ( x) dx



dv  i' ( x) dx

 v  i' ( x)

'

Luego al integrar por partes se tiene:

 ( x)  ( x)    ( x)  ( x) dx L

' i

j

L

' i

0

' j

0

En

x  0 por empotramiento se tiene que  j (0)  0 . Por otro lado en x  L el L

cortante es cero, luego

 ( L)  0 . Luego la primera integral queda:   i' ( x)  'j ( x) dx ' i

0

Por lo tanto, se tiene: L

L

0

0

  i' ( x)  'j ( x) dx  a 2   j ( x) i ( x) dx  0 De donde: L

a

2



L

j

( x) i ( x) dx   i' ( x)  'j ( x) dx

0

Pero el valor de

0

2

a en función de la frecuencia natural, para el modo i, vale: __

m a W GA 2

De donde:

2 ni


W

2 ni

L __

m

j

GA

( x) i ( x) dx 



0

385

L

  ( x)  ' i

' j

(11.15)

( x) dx

0

Considerando ahora el modo j y repitiendo el mismo proceso de cálculo se llega a: L __

GA

Wnj2  m i ( x)  j ( x) dx 



0

L



' j

( x) i' ( x) dx

(11.16)

0

Al restar (11.16) menos (11.15) se tiene:

W

2 nj

W

2 ni

  m  ( x)  L __

i

j

( x) dx  0

0

Para

i j L __

 m  ( x)  i

j

( x ) dx  0

(11.17)

0

De la ecuación (11.15) o de la ecuación (11.16) se concluye: L



GA



0

 i' ( x )  j' ( x ) dx  0

(11.18)

En resumen, de la condición de ortogonalidad de los modos de vibración se tiene que

para

i j

L __

 m  ( x)  i

0 L



GA

0



j

( x ) dx  0

 i' ( x )  j' ( x ) dx  0

11.4 VIBRACIÓN FORZADA Para el caso de tener una viga de corte sometida a un movimiento del suelo, definido por su aceleración a(t ) . La ecuación (11.4) queda: '

__  GA '  __ ..   Y   m Y   m a(t )  

( 11.19 )

Se plantea la solución, de la siguiente manera: 

Y   i ( x) yi (t )

( 11.20 )

i 1

Al reemplazar (11.20) en (11.19) se tiene: '

 .. __ __  GA '  y ( t )  ( x )   i   i   yi (t ) m i ( x)   m a(t ) i 1 i 1   Al multiplicar por  j (x) e integrando entre 0 y L . 

'

 .. L __ L __  GA '  y ( t )  ( x )  ( x ) dx  y ( t ) m  ( x )  ( x ) dx   a ( t )   i i i 0 j   i  0 j 0 m  j ( x)dx i 1 i 1 

L

Al integrar por partes la primera integral y considerando las condiciones de borde: 

  yi (t )  i 1

L

0

GA





..

L __

L __

 ( x)  ( x) dx   yi (t )  m  j ( x) i ( x) dx   a(t )  m  j ( x)dx ' i

' j

i 1

0

0

386


Cambiando de signo a la expresión y para un modo i  j se tiene: L

GA

y i (t ) 



0

 ( x) dx  y (t )  m 

L __

m

Al dividir para

' i

L __

..

2

i

2 i

L __

( x) dx  a(t )  m i ( x) dx

0 2 i

0

( x) dx se tiene:

0 L



..

y i (t ) 

GA



0

 ( x) dx

L __

m

L __

2

' i

i

y i (t )  a (t ) 2 i

 m  ( x)dx

( x) dx

0

0 L __

m

2 i

( x)dx

0

Por la ecuación (11.16) el coeficiente de ..

y i (t )  W yi (t )  2 ni

yi (t ) es Wni2 . Luego:

mi*

a(t )

L __

 m  ( x)dx i

0

Donde

mi es la masa modal y vale:  L __    m  i ( x) dx  mi   0L __

m

2 i

2

(11.21)

( x) dx

0

Finalmente, la respuesta en el tiempo, para el modo i, vale:

y i (t ) 

mi

t

L __

Wni  m i ( x) dx

a( ) sen Wni t    d



(11.22)

0

0

11.5 CORTANTE BASAL La ecuación con la cual se obtiene el cortante es:

V ( x, t )  Al reemplazar el valor de



 ' ( x) y (t )

y (t ) hallado, para el modo i, se tiene: t

mi V ( x, t )   i 1 Wni 

GA



a( ) sen Wni t    d

0

GA

L __

m

i

( x) dx



i' ( x)

0

Se denomina: t

Ai (t )  Wni  a( ) senWni (t   ) d

(11.23)

0

Luego el cortante en cualquier punto de la viga se obtiene con la siguiente ecuación:


GA  i 2 ni



i' ( x)



m V ( x, t )   i 1 W

Ai (t )

L __

m

387

i

(11.24)

( x) dx

0

Sea

V0 el cortante en la base de la viga de corte, denominado cortante basal. GA ' i (0)   mi  V0   2 L Ai (t ) (11.25) __ i 1 Wni  m i ( x) dx 0

Se va a demostrar que:

GA

i' (0)

 W

2 ni

 1

L __

m

i

( x) dx

0

Con lo que se simplifica notablemente el cálculo del cortante basal, para ello se reescribe la ecuación (11.8), de la siguiente manera, para el modo i. '

__  GA '  d 2 2 2  a  ( x )  0   ( x )  W m i ( x)  0 ni  i  dx 2   Al multiplicar por dx e integrar entre 0 y L se tiene: '

L __  GA '  2  ( x ) dx  W ni  m  i ( x ) dx  0 0   i  0 L

La primera integral es directa, con lo que se halla: __  GA '   GA '  2  ( x )   ( x )  W m i i ni      0 i ( x) dx  0   X L    X 0 ' Pero i ( x  L)  0 por condición de borde de cortante en voladizo. Luego: L

__  GA '   i (0)  Wni2  m i ( x) dx  0    X 0 0 L

Al pasar el segundo término al lado derecho y dividir para esa cantidad se halla:

GA

i' (0)

 W

2 ni

 1

L __

m

i

( x) dx

0

Con lo que la ecuación (11.25) queda: 

V0   mi Ai (t ) i 1



t

i 1

0

V0   mi Wni  a( ) senWni (t   ) d

388


No tiene importancia el signo del cortante basal por lo que se lo ha omitido, al desarrollar el senWni (t   ) se tiene: t t    V0   mi Wni  senWni t  a( ) cos d  cosWni t  a ( ) sen d  i 1 0 0  

(11.26)

11.6 MASA MODAL Para una viga de corte se tiene que:

i ( x)  A sen

(2i  1) x 2L

Al reemplazar este valor en (11.21) se encuentra: 2

2 L  L __   (2i  1)  __   xdx  m    A sen   m  i ( x) dx 2L     0  mi   0L L __ __ (2i  1) 2 m  A 2 sen 2 xdx 0 m i ( x) dx 2L 0

L   2L 2i  1x     m   cos  2 L  0   2i  1

2

2

__

mi 

x 2i  1x cos 2i  1x  L /   sen 2L 2 L  0  2 22i  1

L

__

m m  * i

4 L2

__

2i  12  2

 i

m 

L 2

8 mL

2i  12  2

__

Pero el producto m L es la masa total

mi* 

M t . De donde la masa modal, queda:

8 Mt

(11.27)

2i  12  2

En la tabla 11.1 se presentan las masas modales en los cinco primeros modos de vibración y la sumatoria de las mismas. Se destaca que algunas normativas sísmicas recomiendan que el número de modos a considerar sea aquel en que la sumatoria de las masas modales es mayor al 90% de la masa total. Tabla 11.1 Masas modales de viga de corte Modo i

1 2 3 4 5

mi* Mt 0.811 0.090 0.032 0.017 0.010

5

m i 1

* i

Mt

0.811 0.901 0.933 0.950 0.960


389

EJEMPLO 3

Encontrar las cinco primeras frecuencias naturales y sus correspondientes períodos, de una viga de corte de las siguientes características:

T G  695586 .08 2 m 

A  0.36 m

2

Ts 2 m  0.68 2 m __

L  15 m.

SOLUCION Las frecuencias y períodos de vibración, se hallan con las siguientes ecuaciones:

Wni 

2 i  1 

GA __

2L

m

Ti 

2 Wni

Tabla 11.2 Frecuencias y períodos de vibración Modo i

1 2 3 4 5

W ni

Ti

(1/s)

(s)

58.0110 174.0330 290.0549 406.0769 522.0989

0.1083 0.0361 0.0217 0.0155 0.0120

Los resultados obtenidos se indican en la tabla 11.2 

EJEMPLO 4

Encontrar la respuesta en el tiempo del cortante basal en los primeros 5 segundos, de la viga de corte del ejemplo anterior, ante el sismo del 9 de noviembre de 1974, registrado en Perú, que dura 40 segundos. Hallar el cortante basal máximo considerando los cinco primeros modos de vibración y presentar la contribución, al cortante basal, de cada uno de los modos.

T G  695586 .08 2 m 

A  0.36 m

2

L  15 m.

Ts 2 m  0.68 2 m __

SOLUCIÓN

Para resolver este problema se desarrolló el programa vigacortebasal, cuya forma de uso es la siguiente: [Vmax]=vigacortebasal(G,A,mu,L,Sismo,dt)  

G A

Es el módulo de corte de la viga. Es el área de la viga de corte.

   

mu L Sismo dt

Es el valor de la masa por unidad de longitud m Es la longitud de la viga de corte. Es el nombre del archivo que contiene el acelerograma. Es el incremento de tiempo en que viene el acelerograma.

__

390


function [Vmax]=vigacortebasal(G,A,mu,L,sismo,dt) % % Frecuencias Naturales de una viga de corte en voladizo para % los cinco primeros modos de vibracion % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [Vmax]=vigacortebasal(G,A,mu,L,sismo,dt) %------------------------------------------------------------% G : Modulo de corte % A : Area de la seccion transversal de la viga de corte % mu : Masa por unidad de longitud % L : Longitud de la viga de corte % beta : factor de forma por corte se considera igual a 1.2 % sismo: Nombre del archivo que contiene al acelerograma. % dt : Incremento de tiempo del acelerograma. beta=1.2;aux1= sqrt((G*A)/(mu*beta)); aux2=pi/(2*L); aux=aux1*aux2; % Frecuencias Naturales y periodos Wn1=aux; Wn2=3*aux; Wn3=5*aux; Wn4=7*aux; Wn5=9*aux; % Calculo de Integrales donde interviene accion sismica np=length(sismo);tmax=dt*np;t=linspace(0,tmax,np)'; % cambio de unidades del acelerograma de cm/s2 a m/s2 for i=1:np sismo(i)=sismo(i)/100; end for i=1:np F1(i)=sismo(i)*cos(i*dt);F2(i)=sismo(i)*sin(i*dt); end F1=F1';F2=F2';INT1=trapz(t,F1);INT2=trapz(t,F2); % masas modales Mt=mu*L;m1=0.811*Mt; m2=0.090*Mt; m3=0.032*Mt; m4=0.017*Mt; m5=0.010*Mt; FAC1=m1*Wn1;FAC2=m2*Wn2; FAC3=m3*Wn3;FAC4=m4*Wn4;FAC5=m5*Wn5; % Calculo de numerador que contiene al acelerograma para 5 primeros modos for i=1:np NSIS1(i)=sin(Wn1*i*dt)*INT1-cos(Wn1*i*dt)*INT2; NSIS2(i)=sin(Wn2*i*dt)*INT1-cos(Wn2*i*dt)*INT2; NSIS3(i)=sin(Wn3*i*dt)*INT1-cos(Wn3*i*dt)*INT2; NSIS4(i)=sin(Wn4*i*dt)*INT1-cos(Wn4*i*dt)*INT2; NSIS5(i)=sin(Wn5*i*dt)*INT1-cos(Wn5*i*dt)*INT2; end % Calculo del Cortante Basal Vo=FAC1*NSIS1+FAC2*NSIS2+FAC3*NSIS3+FAC4*NSIS4+FAC5*NSIS5; plot (t,Vo) xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Cortante Basal') Vmax=max(abs(Vo)) %---fin--En la figura 11.6, se presenta la respuesta del cortante en la base para los primeros cinco segundos. No se indica la respuesta para los 40 segundos debido a que ve una gran mancha de resultados y no se visualiza bien. El cortante máximo considerando los cinco primeros modos de vibración es 37.2611 T., y en la tabla 11.3 se presentan los cortantes máximos que se obtienen en cada modo de vibración.


Modo V0 (T.)

Tabla 11.3 Cortante Basal, máximo, hallados en cada modo de vibración 1 2 3 4 38.8588 12.9370 7.6663 5.7018

391

5 4.3123

Se aprecia en la tabla 11.3 que el cortante basal del primer modo es ligeramente mayor al cortante basal que se halla con los cinco primeros modos de vibración; esto se al signo que tiene el cortante en cada modo. La suma de los cortantes en cada modo, de la tabla 11.3, es 69.4607 T. Este vendría a ser el valor que se obtiene al aplicar el criterio de combinación modal de la suma de los valores absolutos de cada modo de vibración, que por cierto es un criterio muy conservador. Si se aplica el criterio del valor máximo probable que es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados se tendría que el cortante vale 42.2759 T.

Figura 11.6 Respuesta del cortante para los primeros 5 segundos. En base al ejemplo realizado se ha visto la importancia que tiene en estudiar con detenimiento los criterios de combinación modal, tema que se utiliza fundamentalmente cuando se realiza el análisis sísmico por el Método de Superposición Modal.

REFERENCIAS 3. Lamar S., (1981), Curso de Dinámica de Estructuras, Maestría en Ingeniería Sismo Resistente. Universidad Central de Venezuela, Caracas.

392


CAPÍTULO 12

VIGA DE CORTE ACOPLADA A UNA DE FLEXION RESUMEN Se presenta, en primer lugar, la teoría de una viga de corte acoplada a una viga de flexión, que sirve para analizar edificios compuestos por vigas, columnas y muros de corte, en el mismo formato indicado en los dos capítulos anteriores, como un sistema continuo de infinito número de grados de libertad. Luego, por considerarlo de interés y ser muy actual se presenta el modelo desarrollado por Eduardo Miranda en (1999) para una viga de corte acoplada a una viga de flexión. Para complementar el marco teórico de este modelo se han elaborado los siguientes programas en MATLAB: variacioncarga que sirve para visualizar los modelos de carga distribuida que considera el modelo de Miranda. desplazamientomiranda este programa encuentra los desplazamientos laterales a lo largo de la viga en voladizo para varios tipos de carga lateral. comparacionesdesplazamiento es otro de los programas desarrollados. Este programa sirve para comparar los desplazamientos laterales que se hallan en una viga en voladizo cuando sobre ella actúan una carga triangular y una carga uniforme distribuida. betauno es el programa que obtiene el parámetro  1 que permite pasar el desplazamiento lateral obtenido de un sistema de un grado de liberad al desplazamiento lateral máximo en el tope de un edificio. Este parámetro es muy importante para evaluar en forma rápida la deriva máxima de pisos y también para encontrar la respuesta elástica de un edificio ante la acción de un sismo definido por su espectro de desplazamientos; por este motivo se presenta también la propuesta de Algan (1982) para hallar  1 en edificios sin muros de corte. Para comparar los resultados que se hallan con la propuesta de Algan con los que se obtienen a partir de una viga de corte se elaboró el programa algan que presenta en forma gráfica esta comparación.


393

desplazamientolateral es otro de los programas elaborados en MATLAB, que presenta la variación de los desplazamientos laterales, en una viga de corte acoplada a una de flexión. Variacionderiva es un programa que permite visualizar la deriva de piso en forma continua en toda la altura del edificio. Para la mayor parte de los programas se presentan curvas para diferentes tipos de edificios mediante un parámetro  se podrá ver el comportamiento de un edificio en el cual predomina más el efecto de flexión sobre el de corte o al revés. Finalmente y como una aplicación práctica se presenta un resumen del proyecto desarrollado por el autor de este libro en el Centro de Investigaciones Científicas de la Politécnica del Ejército, en el 2005 sobre la “Evaluación rápida de la deriva máxima de pisos en edificios de hormigón armado”. Se presenta debido a que dos de los parámetros que intervienen en la evaluación  1 y  2 fueron estudiados en este capítulo. De tal manera que es muy importante conocer la teoría de sistemas continuos.

12.1

IMPORTANCIA DEL ESTUDIO

En el capítulo 10 se estudió el comportamiento de una viga en flexión, que es el modelo de un edificio con muros de corte; en el capítulo 11 se estudio el comportamiento de una viga de corte que es el modelo de un edificio con columnas y vigas. Ahora se va a estudiar el comportamiento de una viga de flexión acoplada a una viga de corte, que es el modelo numérico de cálculo de un edificio con columnas, muros de corte y vigas. En los pisos inferiores el muro de corte es más rígido y sujeto al pórtico, ante cargas laterales; en cambio, en los pisos superiores el pórtico es más rígido y sujeto al muro de corte. De tal manera que es muy apropiado tener estructuras con vigas, columnas y muros de corte. En la figura 12.1, a la izquierda se presenta el modelo de un pórtico acoplado a una viga de flexión y a la derecha la viga en voladizo. Se ha cambiado la nomenclatura, ahora al eje del elemento se denomina eje z y a la altura de la viga en voladizo H. El modelo está caracterizado por dos parámetros de rigidez, uno de corte que se denomina C1 ( z ) y uno de flexión C 2 ( z ) .

C1 ( z ) 

GA( z )

C 2 ( z )  EI ( z )



(12.1)

G es el módulo de corte de la viga; E es el módulo de elasticidad;  es el factor de forma por corte; A(z ) es el área transversal de la viga de corte e I (z ) es el Donde:

momento de inercia a flexión de la viga a flexión. Del equilibrio de fuerzas horizontales se tiene:

C ( z) Y

''

2

( z)

  C ( z) Y ( z)  w( z) ''

'

'

1

(12.2)

Ahora se denomina w(z ) a la variación de la carga perpendicular al eje del elemento. Al extenderse la ecuación (12.2) a fuerzas inerciales se tiene:

C ( z) Y 2

''

( z)

  C ( z) Y ( z) ''

'

1

'

__ ..

 m Y  w( z )

(12.3)

394


z

GA EI

H

Figura 12.1 Modelo numérico de una viga de corte acoplada a una de flexión. Se ha notado („) la derivada de Y con respecto a z, (.) la derivada de Y con respecto al __

tiempo t. Por otra parte m es la masa por unidad de longitud. Para el caso de vibración libre se tiene:

C ( z) Y

''

2

( z)

  C ( z) Y ( z) ''

'

'

1

__ ..

 mY 0

(12.4)

Se plantea la solución, de la forma:

Y ( z, t )   ( z ) y(t )

(12.5)

Al reemplazar (12.5) en (12.4) se halla:

C ( z)  ( z)  C ( z)  ( z) ''

''

2

'

1

'

__ ..

m y0

(12.6)

Las condiciones de borde son las siguientes:

iii.

z0 En z  0 En z  L

iv.

En

i. ii.

En

zL

 ( z)  0 .  ' ( z)  0  '' ( z )  0 C2 ( z)  '' ( z) '  C1 ( z)  ' ( z)  0

Se puede continuar con la solución, en forma similar a la desarrollada en los capítulos anteriores pero se considera más importante presentar el modelo desarrollado por Miranda, en1999.

12.2

MODELO DE MIRANDA

Al desarrollar la ecuación (12.2) para el caso de una viga se sección constante pero sin considerar la respuesta en el tiempo se tiene:


EI u ( z) ''

Siendo

''

395

 GA '  '  u ( z )  w( z )   

u(z ) es el desplazamiento en el punto z. Al dividir todo para EI se halla: u ''' ' ( z ) 

2 H

2

u '' ( z ) 

w( z ) EI

(12.7)

Donde:

2 H

2



GAc EI

(12.8)

Para valores muy pequeños de  el comportamiento es de una viga de flexión, para   0 sería viga de flexión. Por el otro lado, para valores muy altos de  el comportamiento es de una viga de corte; concretamente para    es viga de corte. De tal manera que de acuerdo al valor de  se puede tener una viga de flexión o una de corte o una que tenga las propiedades de las dos. La forma de distribución de la carga lateral considerada por Miranda, está definida por:

w( z )  Wmax

1  e a z / H 1  e a

(12.9)

Wmax es el valor máximo de la carga distribuida. Mediante el parámetro a se puede tener variaciones de carga: triangular si a  0.01 ; parabólica sí a  2.03 ; uniforme Donde

distribuida si a tiene un valor muy alto.



EJEMPLO 1

Presentar la variación de la carga a lo largo de la altura de la viga, para los siguientes valores de a: 0.01, 2, 5 y 2000. La variación e la carga dividirla para Wmax .



SOLUCIÓN

Para resolver el problema se elaboró el programa variacioncarga cuya forma de uso es la siguiente: [w]=variacioncarga (a) 

a

Es un vector que contiene 4 valores de variación de la carga.

a para los cuales se desea hallar la

>>a=[ 0.01; 2; 5; 2000] >> [w]=variacioncarga(a) En la figura 12.2 se presenta la variación de la carga para los valores de

a solicitados.

396


Figura 12.2 Diferentes variaciones de carga transversal function [w]=variacioncarga(a) % % Variacion de la carga en viga de corte acoplada a la flexion % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [w]=variacioncarga(a) %------------------------------------------------------------%a :Parámetro que define la variacion de la carga a=0.01 es % triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida. % Es un vector que se da como dato, el programa obtiene la % distribucion de carga para 4 valores de a. % Wmax : intensidad de la carga uniforme distribuida. Programado para 1 dz=0.01; hold off; for k=1:4 aa=a(k); for z=1:101 zh=(z-1)*dz;num=1-exp(-aa*zh);den=1-exp(-aa);w(z)=num/den;zz(z)=zh; end if k==1 plot(w,zz,'--'); hold on; elseif k==2 plot(w,zz,':'); elseif k==3 plot(w,zz,'-.'); else plot(w,zz) end end xlabel ('Valor w(z) / Wmax'); ylabel ('z / H'); %---fin---


12.2.1

397

Respuesta en desplazamiento

La respuesta de la ecuación diferencial (12.7) encontrada por Miranda (1999) para la variación de carga definida en (12.9) es:

W H4 u ( z )  max  a EI 1  e





2   z  z   z   z   az / H  C 4    C5  C6  C1 senh    C 2 cosh    C 3 e H  H  H H  

(12.10)

Las constantes de integración para la viga en voladizo son:

 2 e a  a 2 e a  a 3  a  2   2 C1  a  3 a 2   2  C2 

a 2 e  a   2 e  a  a 3  a 2   2 senh  2 e  a  a 2   2 1  cosh a 3 a 2   2   4 a 2   2  cosh 1 a a2  2 1 C4  22

C3 

C5 

C 6  C1 

(12.11)

2





(12.12) (12.13)

(12.14)

a 2 e a   2 e a  a 3  a  2 a  2 a 2   2 

 2 e a  a 2   2 senh 1 1  2 2  2 4 2 2 cosh a a     a    cosh

(12.15)

(12.16)

EJEMPLO 2

La viga en voladizo indicada en la figura 12.3 de 15 m., de altura tiene una rigidez EI  1 y sobre ella actúa una carga triangular cuyo valor máximo es 2 T./m., Se desea presentar un gráfico para la variación del desplazamiento transversal dividido para el desplazamiento máximo. Para los siguientes valores de  : 1; 2; 10 y 50.



SOLUCIÓN

Para resolver este problema se elaboró el programa desplazamientomiranda cuya forma de uso es la siguiente: [u] = desplazamiento(Wmax,alfa,H,EI)    

Wmax alfa H EI

Valor máximo de la carga distribuida. Vector que contiene los cuatro valores de Altura de la viga en voladizo. Rigidez a flexión de la viga en voladizo.



que definen la estructura.

398


z

EI=1

H = 15

Figura 12.3 Viga en voladizo sometida a carga triangular. function [u]=desplazamientomiranda(Wmax,alf,H,EI) % % Respuesta de una viga de flexion acoplada a una de corte, propuesta % por Miranda (1999). Valida para vigas de seccion constante. % Programado para distribucion de carga triangular. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [u]=desplazamientomiranda(Wmax,alf,H,EI) %------------------------------------------------------------%a :Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es % triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida. % Wmax :Intensidad de la carga uniforme distribuida % alf :Vector que contiene los cuatro valores de alfa para los cuales % :se encuentra el desplazamiento de la viga % alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero % comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte. %H :Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion % EI :Rigidez a flexion de la viga. %Constantes de Integracion a=0.01; for k=1:4 alfa=alf(k); num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2; den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1; num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2; num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2); aux1=num21/den1; aux2=num22/den2; c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa))); den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3; den4=2*alfa^2; c4=-1/den4; num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2; den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5; num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2; aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa)); c6=aux5+aux3-aux6;


399

% Calculo de desplazamientos aux7=EI*(1-exp(-a));aux=Wmax*H^4/aux7;dz=0.01;hold off for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=aux*(coef1+coef2);y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)/u(101); hold on end if k==1 plot(u,y,'--') elseif k==2 plot(u,y,':') elseif k==3 plot(u,y,'-.') else plot(u,y) end xlabel ('Relacion u(z) / u(H) '); ylabel (' z / H ' ); title ('Variacion de carga triangular'); end %---fin---

Figura 12.4 Variación del desplazamiento lateral con la altura.

En la figura 12.4 se presenta el desplazamiento lateral de las cuatro vigas. Nótese las elásticas de deformación para   1 y   2 corresponden a estructuras cuyo comportamiento es en flexión y las elásticas de deformación para   10 y   50 son para estructuras de corte.

400


12.2.2

Efecto de la distribución de cargas

La forma como se aplica las cargas en la viga en voladizo, influye en la respuesta en desplazamientos, para ver este efecto se resuelve el siguiente ejemplo.



EJEMPLO 3

Se desea hallar la variación de los desplazamientos, con la altura, de la viga indicada en la figura 12.5 si sobre ella actúa una carga uniforme distribuida de magnitud 2 T./m. y comparar con los resultados que se obtienen cuando sobre ella actúa una carga triangular con magnitud máxima de 2 T/m. Para los dos casos considerar:

 6

EI  1

H  15 m.

Wmax  2.0 T / m.

Se desea comparar la respuesta de desplazamiento lateral desplazamiento en el tope de la viga.

u(z ) con relación al

z

EI=1

H = 15

Figura 12.5 Viga en voladizo sometida a carga uniforme distribuida y triangular.



SOLUCIÓN

En la figura 12.6 se indica la respuesta en desplazamientos para los dos tipos de carga. Al haber obtenido la respuesta para u ( z ) / u ( H ) se pueden comparar las respuestas ya que en los dos casos esta relación tiene un valor máximo en el tope de uno. Se aprecia que con la carga triangular esta relación es menor a la que se obtiene con la carga uniforme distribuida.


401

Figura 12.6 Comparación del efecto de aplicación de las cargas. El programa, elaborado en MATLAB, con el cual se resolvió este ejemplo se llama: comparaciondesplazamiento. Su forma de uso es: [u] = comparaciondesplazamiento (Wmax,alfa,H,EI)    

Wmax es la carga máxima por unidad de longitud. alfa es el valor  que define el comportamiento estructural. H es la altura de la viga en voladizo. EI es la rigidez a flexión de la viga en voladizo.

function [u]=comparaciondesplazamiento(Wmax,alfa,H,EI) % % Compara los desplazamientos laterales de una viga en voladizo % ante carga triangular y carga uniforme distribuida. % Utilizando desarrollo numerico de Miranda (1999). % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [u]=comparaciondesplazamiento(Wmax,alfa,H,EI) %------------------------------------------------------------%a :Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es % triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida. % Wmax :Intensidad de la carga uniforme distribuida % alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero % comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte. %H :Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion % EI :Rigidez a flexion de la viga. %Constantes de Integracion aa(1)=0.01; aa(2)=2000;

402


for k=1:2 a=aa(k); num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2; den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1; num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2; num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2); aux1=num21/den1; aux2=num22/den2; c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa))); den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3; den4=2*alfa^2; c4=-1/den4; num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2; den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5; num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2; aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa)); c6=aux5+aux3-aux6; % Calculo de desplazamientos aux7=EI*(1-exp(-a));aux=Wmax*H^4/aux7;dz=0.01;hold off for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=aux*(coef1+coef2);y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)/u(101); hold on end if k==1 plot(u,y) else k==2 plot(u,y,':') end xlabel ('Relacion u(z) / u(H) '); ylabel (' z / H ' ); title ('Comparacion de cargas'); end %---fin---

12.3

APLICACIONES

Una de las principales aplicaciones de la temática que se ha venido estudiando es poder evaluar en forma sencilla y rápida el desplazamiento lateral de un edificio, que en este capítulo se ha denominado u(z ) , ante un sismo definido por su espectro de respuesta elástica. Sea

S d el desplazamiento espectral elástico asociado al período de vibración T , el

desplazamiento lateral en cualquier punto del edificio se obtiene en forma aproximada con la siguiente relación:

u j  1  j S d

(12.17)

Donde  1 es un parámetro que permite pasar los desplazamientos de un sistema de un grado de libertad, que se tiene al utilizar el espectro, a un sistema de múltiples grados de libertad, que se tiene en el edificio. Tema que será desarrollado en el próximo sub apartado.  j es la forma del desplazamiento lateral evaluado en el piso j; u j es el desplazamiento lateral en el piso j.


403

12.3.1 Parámetro  1 Se define el parámetro  1 como el factor de participación modal desplazamiento modal en el tope del edificio. N

1 

m j 1

j

j



N

m j 1

Donde

j

 1 multiplicado por el

N

(12.18)

2 j

N es el número de pisos; m j es la masa del piso j;  j es el modo de

vibración en el piso j;

N

es el valor modal en el último piso. Para el caso de que la masa sea

igual en todos los pisos y encontrando los modos de vibración normalizados a la unidad en el último piso, la ecuación (12.18) se convierte en: N

1 

 j 1

j

N

 j 1

2 j

Con la nomenclatura, utilizada por Miranda (1999) se tiene: N

1 

 j 1

j

(12.19)

N

 j 1

2 j

Siendo:

 j   (z j ) 

u( z j )

(12.20)

u(H )

z j la altura desde la base del suelo hasta el piso j. Al reemplazar (12.10) en (12.20) y evaluando el desplazamiento lateral en u (H ) se tiene: Donde

2

zj  zj   zj   zj   az / H C1 senh    C 2 cosh    C 3 e j  C 4    C 5  C6 H H H H     (z j )  C1 senh   C 2 cosh   C 3 e  a  C 4  C 5  C 6 (12.21)



EJEMPLO 4

Presentar curvas del parámetro  1 para edificios de 1 a 20 pisos y para los siguientes valores de  : 2, 4, 8 y 30. Considerar que la altura de cada piso es igual y vale 3.0 m.


404 

SOLUCIÓN

Antes de presentar el programa betauno con el cual se hallan las curvas pedidas, veamos como se procedería para el caso de un edificio de 2 pisos. En este caso la altura total es H  6 m. Por lo tanto se debe evaluar  ( z1  3.0 m.) y   z 2  6.0 m. con la ecuación (12.21) . Luego de lo cual se realiza la sumatoria de la ecuación ( 12.19 ) para hallar forma de uso del programa betauno es la siguiente:

 1 . La

[beta]=betauno(alfa) 

alfa

Es un vector que contiene los valores de las curvas de

1 .



para los cuales se desean hallar

>> alfa = [ 2; 4; 8; 30 ]

>> [beta]=betauno(alfa) function [beta]=betauno(alf) % % Calculo del parametro beta1 utilizando el modelo de Miranda (1999) % Obtiene la curva para 1 a 10 pisos para varios valores de alfa. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [beta]=betauno(alf) %------------------------------------------------------------%a :Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es % triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida. % alf : Vector de datos de alfa que da el usuario. % alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero % comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte. %H :Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion %N :Numero de pisos KT=length(alf); a=0.01;hold off for K=1:KT; alfa=alf(K); %Constantes de Integracion num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2; den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1; num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2; num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2); aux1=num21/den1; aux2=num22/den2; c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa))); den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3; den4=2*alfa^2; c4=-1/den4; num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2; den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5; num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2; aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa)); c6=aux5+aux3-aux6 % Calculo de denominador denominador=c1*sinh(alfa)+c2*cosh(alfa)+c3*exp(-a)+c4+c5+c6; % Calculo del numerador for N=1:20 H=3*N;dz=H/N;


405

for z=1:N zh=z*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh/H)+c2*cosh(alfa*zh/H)+c3*exp(-a*zh/H); coef2=c4*(zh/H)^2+c5*(zh/H)+c6; si(z)=(coef1+coef2)/denominador; end % Calculo de sumatorias sumn=0; sumd=0; for z=1:N sumn=sumn+si(z); sumd=sumd+si(z)*si(z); end beta(N)=sumn/sumd; end if K==1 plot(beta,'--'); hold on; elseif K==2 plot(beta,'-.') elseif K==3 plot(beta,':') else plot(beta) end xlabel ('Numero de pisos '); end; % ---fin--En la figura 12.7 se presentan las curvas obtenidas con el programa betauno. Como se indicó anteriormente valores bajos de  corresponden al comportamiento de edificios que

trabajan como una viga de corte, en esos edificios se tienen valores altos de  1 . Por el otro lado, valores altos de  corresponden a edificios que trabajan como una viga de flexión, para este caso los valores del parámetro

1

son bajos.

Figura 12.7 Variación de

1

en función del número de pisos.

406




EJEMPLO 5 Comparar las curvas del parámetro

 1 que se obtienen para   0.5

y

  1 con las

que se hallan con la ecuación propuesta por Algan (1982) en función del número de pisos siguiente:

1  

3N 2 N 1

N

(12.22)

SOLUCIÓN

La ecuación propuesta por Algan (1982) fue deducida para una viga de corte de sección constante. Por lo tanto, es aplicable a estructuras en base a vigas y columnas, sin muros de corte.

 1 varía muy poco a partir de los 10 pisos, razón por la que se comparan las curvas para edificios de 1 a 10 pisos, en la figura 12.8. Para un valor de   2 coinciden la El parámetro

curva con la de Algan.

Figura 12.8 Comparación de

1

con ecuación propuesta por Algan.

En base al programa betauno se elaboró el programa denominado algan añadiendo las siguientes sentencias: % Propuesta de Algan for N=1:10 beta(N)=3*N/(2*N+1); end plot(beta)


407

12.3.2 Desplazamiento lateral La ecuación (12.17) sirve para encontrar la respuesta elástica, en desplazamientos, de un edificio ante un espectro elástico. En este sub apartado interesa encontrar la relación u( z) / S d  1  j para ver como varían los desplazamientos en diferentes estructuras caracterizadas por el valor



.

EJEMPLO 6 Encontrar la relación

valores de función 



j

:

u ( z ) / S d para cuatro estructuras definidas por los siguientes

0.5; 3; 8 y 30. Considerando que son edificios de 20 pisos. Calcular con la

normalizada a unidad en el tope.

SOLUCIÓN

En la figura 12.9 se presenta la respuesta del problema, la misma que se encontró con el programa desplazamientolateral que se utiliza de la siguiente forma: [u] = desplazamientolateral (N,alfa)  

N Alfa

es el número de pisos. es el vector que contiene los valores de

.

Para el ejemplo se tiene: >> alfa=[0.5; 3; 8; 30] >> desplazamientolateral (20,alfa)

Figura 12.9 Variación del desplazamiento en altura para diferentes estructuras.

408


Es interesante notar en la figura 12.9 que existe un punto en z / H  0.85 que define el comportamiento para valores menores y para valores mayores. Es como un punto de inflexión donde cambia el comportamiento de las estructuras, las que se deforman menos antes de este valor a partir de este punto se deforman más. function [u]=desplazamientolateral(N,alf) % % Determina la variacion del desplazamiento lateral en altura, como un % sistema continuo para diferentes valores de alfa. Utilizando el modelo % propuesto por Miranda (1999) % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [u]=desplazamientolateral(N,alf) %------------------------------------------------------------%a :Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es % triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida. % alf : Vector de datos de alfa que da el usuario. % alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero % comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte. %H :Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion %N :Numero de pisos % Este programa calcula: u(z)/Sd = beta1 * La forma modal KT=length(alf); a=0.01;hold off for K=1:KT; alfa=alf(K); %Constantes de Integracion num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2; den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1; num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2; num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2); aux1=num21/den1; aux2=num22/den2; c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa))); den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3; den4=2*alfa^2; c4=-1/den4; num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2; den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5; num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2; aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa)); c6=aux5+aux3-aux6; % Calculo de denominador denominador=c1*sinh(alfa)+c2*cosh(alfa)+c3*exp(-a)+c4+c5+c6; % Calculo del numerador H=3*N;dz=H/N; for z=1:N zh=z*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh/H)+c2*cosh(alfa*zh/H)+c3*exp(-a*zh/H); coef2=c4*(zh/H)^2+c5*(zh/H)+c6; si(z)=(coef1+coef2)/denominador; end % Calculo de sumatorias sumn=0; sumd=0; for z=1:N sumn=sumn+si(z); sumd=sumd+si(z)*si(z); end beta=sumn/sumd; dz=0.01;


409

if K==1 for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2)/denominador; y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)*beta/u(101); end plot(u,y,'--'); hold on; elseif K==2 for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2)/denominador; y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)*beta/u(101); end plot(u,y,'-.') elseif K==3 for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2);y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)*beta/u(101); end plot(u,y,':') else for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh); coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2)/denominador; y(z)=zh; end for z=1:101 u(z)=u(z)*beta/u(101); end plot(u,y) end xlabel ('u(z) / Sd '); ylabel (' z / H ' ) end % ---fin---

12.4

DERIVA DE PISO

En el diseño de las estructuras, interesa conocer cuales son las derivas en cada uno de los pisos, para saber si se encuentran dentro de lo tolerable por las normativas sísmicas y sobre todo para tomar ciertas precauciones en los lugares en que se tengan mayores derivas de piso. Se define la deriva de piso dividido para la altura de piso

j

como la relación entre el desplazamiento relativo de piso

hj .

j 

u j 1  u j hj

(12.23)

410


La deriva de piso es aproximadamente igual a la derivada de u con respecto a continuación se halla la deriva a lo largo de la viga multiplicada por H / u ( H ) .

du( z / H ) H  dz u( H )

z.A

z z z  C 2 senh  C3 a e az / H  2C 4  C5 H H H C1 senh  C 2 cosh  C3 e a  C 4  C5  C6

C1 cosh

( 12.24 )



EJEMPLO 7

Presentar la variación de la deriva de piso normalizada por el producto H / u ( H ) para valores de  : 2; 5; 10 y 30. El valor del desplazamiento en el último piso dividido para la altura total es la deriva global, luego lo que se pide en el ejercicio es la relación entre la deriva de piso dividida para la deriva global.



SOLUCIÓN En la figura 12.10 se presenta la variación de la deriva de piso solicitada. Nótese que

los mayores valores se hallan para valores de

z  0.5 es decir en los pisos inferiores. H

Figura 12.10 Variación de la deriva a lo largo de la altura. El programa con el cual se obtiene la figura 12.10 se denomina: variacionderiva y la forma de uso es la siguiente: [u] = variacionderiva (alfa) 

alfa

es el vector que contiene los valores de



La entrada de datos para el ejemplo es la siguiente:


>> alfa = [ 2; 5; 10; 30] >> [u] = variacionderiva (alfa) function [u]=variacionderiva(alf) % % Determina la variacion de la deriva de piso con la altura, multiplicada % por H/u(H). Trabajo de Miranda (1999) Calcula la variacion de la deriva % para varios valores de alfa. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------% [u]=variacionderiva(alf) %------------------------------------------------------------%a :Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es % triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida. % alf : Vector de datos de alfa que da el usuario. % alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero % comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte. %H :Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion %N :Numero de pisos % Este programa calcula: u(z)/Sd = beta1 * La forma modal KT=length(alf); a=0.01;hold off for K=1:KT; alfa=alf(K); %Constantes de Integracion num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2; den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1; num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2; num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2); aux1=num21/den1; aux2=num22/den2; c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa))); den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3; den4=2*alfa^2; c4=-1/den4; num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2; den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5; num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2; aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa)); c6=aux5+aux3-aux6; % Calculo de denominador denominador=c1*sinh(alfa)+c2*cosh(alfa)+c3*exp(-a)+c4+c5+c6; % Calculo del numerador dz=0.01; for z=1:101 zh=(z-1)*dz; coef1=c1*alfa*cosh(alfa*zh)+c2*alfa*sinh(alfa*zh)-c3*a*exp(-a*zh); coef2=2*c4*zh+c5; u(z)=(coef1+coef2)/denominador;y(z)=zh; end if K==1 plot(u,y,'--'); hold on; elseif K==2 plot(u,y,'-.') elseif K==3 plot(u,y,':') else plot(u,y)

411

412


end ylabel (' z / H ' ) end % ---fin---

12.4.1 Parámetro  2 Se define el parámetro deriva global

g

 2 como la relación entre la deriva de piso con respecto a la

del edificio. La deriva global relaciona el desplazamiento lateral máxima en el

tope con respecto a la altura total del edificio H .

2 

Max j 

g



Max j   du( z ) H   Max  u(H )  dz u ( H )  H

Para encontrar los valores máximos de

(12.25)

du se debe hallar la segunda derivada e dz

igualar a cero.

d 2u  z   z   C1  2 senh    C 2  2 cosh    C 3 a 2 e  a z / H  2 C 4  0 2 dz  H  H (12.26)

z / H con la ecuación (12.26) se reemplaza en la ecuación (12.24) y se encuentra el valor de  2 . Una vez que se halla el valor de

Los parámetros  1 ,  2 tienen varias aplicaciones, una de ellas es para encontrar la deriva máxima de piso en forma rápida. En el Centro de Investigaciones Científicas de la Politécnica del Ejército en el 2005 se desarrolló el proyecto denominado “Evaluación rápida de la deriva máxima de piso en edificios de hormigón armado” que por considerarlo de importancia se presenta a continuación un resumen del mismo.

12.5

EVALUACIÓN RÁPIDA DE LA DERIVA MÁXIMA DE PISO

Se incluyó el parámetro deriva máxima de piso siguiente manera:

5

en la forma propuesta por Miranda (2000) para evaluar la

 , en edificios de hormigón armado, quedando la ecuación de la

 

1  2  3  4  5 H

Sd

(12.27)

 1 es el valor de paso del sistema de un grado de libertad al sistema de múltiples grados de libertad;  2 es un factor de amplificación que permite determinar la distorsión máxima de entrepiso a partir de la deriva global de la estructura;  3 es un factor que Donde

permite calcular los desplazamientos laterales máximos con comportamiento inelástico a partir de los máximos desplazamientos laterales con comportamiento elástico;  4 es un factor que sirve para determinar el cociente entre la distorsión máxima de entrepiso y la distorsión global


413

pero calculado en una estructura con comportamiento inelástico con relación a la misma relación pero calculada con comportamiento elástico;  5 es un factor que toma en cuenta el modelo de histéresis utilizado para hallar la respuesta no lineal; H es la altura total del edificio y S d es el desplazamiento espectral elástico asociado al período efectivo Te de la estructura. De la investigación realizada, se recomienda utilizar la ecuación de Algan (1982) para el cálculo de  1 . Para el parámetro  2 en base al análisis de 3840 resultados de120 edificios de 1 a 10 pisos, se obtuvo:

 2  0.0231 N 2  0.3018 N  0.6759 Donde

(12.28)

N es el número de pisos. Para el parámetro  3 en base a 63 acelerogramas

de sismos registrados en Colombia, Perú, Argentina y Chile, con aceleraciones mayores al 10 % de la aceleración de la gravedad, se encontró la siguiente expresión:

3 



c   1  11 / c

c(T ,  )  c(T ,  ) 

Te

2.07

1  Te Te

2.07



0.381 Te

para   0.0



0.248 Te

para   0.05

1.247

1  Te

1.247

(12.29)

(12.30)

(12.31)

Donde  es la ductilidad del sistema,  es la relación entre la rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elástica. Las ecuaciones (12.29) a (12.31) fueron obtenidas sin considerar el tipo de suelo. Para tener en cuenta el tipo de suelo se trabajó con 24 acelerogramas artificiales que reportan, en forma aproximada, los espectros del Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC_2000. Del estudio se encontró las siguientes ecuaciones: d  a  T    3  1   b  c         TS  

Tabla 12.1 Valores de Perfil de Suelo

a

S1 S2 S3 S4

30.00 71.80 81.04 86.00

1

(12.32)

a, b, c, d encontrados en el estudio. c d b 1.34 2.00 2.00 2.10

-1.49 -1.50 -2.55 -2.60

0.60 0.50 0.50 0.48

TS 0.50 0.52 0.82 2.00

En la tabla 12.1 se indican los valores de a, b, c, d hallados en el estudio para los perfiles de suelo S1 (roca o muy duro), S2 (de dureza intermedia), S3 (blando) y S4 (muy blando). Para el parámetro  4 del análisis de 1944 casos, correspondientes a 72 edificios de 1 a 6 pisos, se obtuvo la siguiente relación:

414


 4  0.029 N  0.9796 Finalmente, para el parámetro

5

( 12.33 )

se recomienda utilizar los resultados presentados en

la tabla 12.2; los mismos que se infirieron a partir del estudio de Lee et al (1999). Tabla 12.2 Valores de Ductilidad

5

1 1.00

5

2 1.14

en función de la demanda de ductilidad.

3 1.17

4 1.19

5 1.22

6 1.23

Para ver la bondad de la propuesta realizada se encontró la deriva máxima de piso aplicando la metodología propuesta y se comparó con la obtenida con el programa IDARC mediante análisis no lineal dinámico, en 72 estructuras sometidas a 25 registros sísmicos y se encontró una muy buena aproximación como se ilustra en la figura 12.11.

Figura 12.11 Relación

 IDARC / 

encontrada en el estudio.

REFERENCIAS 1. Aguiar R., (2006), Deriva máxima de piso y curvas de fragilidad en edificios de Hormigón Armado, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 188 p., Quito.


415

2. Algan B., (1982), Drift and damage considerations in earthquake resistant design of reinforced concrete buildings, Ph.D., thesis. University of Illinois, Urbana, Illinois. 3. Miranda E., (1999), “Approximate seismic lateral deformation demands in multistory buildings”, Journal of Structural Engineering, 125 (4), 417-425 4. Miranda E., (2000), “Inelastic displacement ratios for structures on firm sites”, Journal of Structural Engineering, 126 (10), 1150-1159. 5. Miranda E., (2001), “Estimation of inelastic deformation demands of SDOF systems”, Journal of Structural Engineering, 127 (9), 1005-1012.

416


Libro Dinamica de Estructuras

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