CONTENIDO pág. INTRODUCCION
5
CAPITULO I. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
7
1.1 DINERO
7
1.1.1 ¿Que Ha Sido Históricamente Y Que Es El Dinero?.
7
1.1.2 Propiedades Básicas Del Dinero.
7
1.2 CUANTIFICACIÓN DEL DINERO
9
1.3 INTERÉS
11
1.3.2 Variables Que Inciden Sobre El Interés.
12
1.3.3 Cuantificación Del Interés.
13
1.3.4 Tasa De Interés.
14
1.3.5 Tipos De Interés.
14
1.3.6 Algunas Tasas De Interés Importantes.
14
CAPITULO II. DINERO, TIEMPO Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA
22
2.1 DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA
22
2.2 VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO
22
2.3 SERIE UNIFORME (A)
25
2.4 GRADIENTE
39
2.4.1 Gradiente Aritmético (G).
39 1
2.4.2 Gradiente Geométrico (C).
46
2.5 SERIES UNIFORMES CONSECUTIVAS CON CRECIMIENTO GEOMÉTRICO
53
CAPITULO III. III. INTERESES: MODALIDADES, MODALIDADES, PERIODOS PERIODOS Y EQUIVALENCIAS
107
3.1 RELACIÓN DE EQUIVALENCIA ENTRE INTERESES DE DIFERENTES. PERÍODOS 107 3.2 INTERÉS NOMINAL vs. INTERÉS EFECTIVO
109
3.2.1 Interés Nominal.
109
3.2.2 Interés Efectivo.
110
3.2.3 Relación De Equivalencia Equivalencia Entre Interés Nominal Nominal Y Efectivo (R D E). 110 3.3 ALGUNAS ANOTACIONES SOBRE NOMINAL Vs EFECTIVO
112
3.4 TASAS DE INTERÉS EN CADENA
115
3.5 UNIDAD DE VALOR REAL CONSTANTE (UVR)
141
3.5.1 El Sistema Colombiano de Ahorro y Vivienda.
141
CAPITULO IV. INFLACION Y DEVALUACION
158
4.1 INFLACION
169
4.2 DEVALUACIÓN
176
4.2.1 Definición De Devaluación.
177
4.2.2. Devaluación En Colombia.
177
4.2.3 Determinación De La Tasa De Cambio.
181
4.2.4 Devaluación O Revaluación.
182 2
4.2.5 Relaciones De Equivalencia
184
4.3 ALGUNAS RELACIONES IMPORTANTES
193
CAPITULO V. CRITERIOS ECONOMICOS PARA TOMA DE DECISIONES Y EVALUACION DE ALTERNATIVAS 223 5.1 EVALUACION ECONOMICA DE PROYECTOS
224
5.2 ANALISIS POR MEDIO DE FLUJOS NETOS
224
5.3 INTERÉS DE OPORTUNIDAD Y RIESGO
225
5.4 CRITERIOS CON BASE EN LA L A DIFERENCIA ENTRE INGRESOS Y EGRESOS
225
5.4.1 Valor Presente Neto (Vpn).
226
5.4.2 Valor Futuro Neto (Vfn).
228
5.4.3 Valor Anual Neto (Van).
229
5.4.4 Relación Entre Vpn, Vfn, Van El Vpn.
230
5.5 CRITERIO RELACIÓN BENEFICIO/COSTO(B/C)
231
5.6 CRITERIOS CON BASE EN LA RENTABILIDAD OBTENIDA
232
5.6.1 Tasa Interna De Retorno (Tir).
232
5.6.2 Verdadera Rentabilidad (Vr).
234
5.7 CRITERIOS CON BASE EN EL MONTO FINAL ACUMULADO
237
5.7.1 Valor Futuro De Los Flujos De Fondo (Vfff).
237
5.8 CRITERIOS CON BASE EN EL TIEMPO DE RECUPERACION DE LA INVERSION
238
5.8.1 Periodos De Recuperación En Pesos Corrientes Y Sin Interés. 3
238
5.8.2 Periodo De Recuperacion En Pesos Corrientes Incluyendo I*.
238
5.8.3 Periodo De Recuperacion En Pesos Constantes.
238
5.9 EVALUACION DE ALTERNATIVAS
238
5.9.1 Clasificacion De Las Alternativas Alternativas
239
5.10 CRITERIOS DE EVALUACION SEGUN EL TIEMPO DE ALTERNATIVAS
240
5.10.1 Alternativas Con Beneficios Diferentes, Mutuamente Excluyentes, Igual Vida Y Diferente Inversion. 240 5.10.2 Alternativas Con Diferentes Beneficios, Mutuamente Excluyentes, Diferente Vida E Inversion. 241 5.10.3 Alternativas Independientes Con Diferentes Diferentes Beneficios, Vida E Inversion.
241
5.10.4 Alternativas Complementarias.
242
5.10.5 Alternativas Que Producen Iguales Beneficios.
242
ANEXO
252
4
INTRODUCCION
El presente libro es un texto a nivel introductorio para un primer curso en ECONOMIA PARA INGENIEROS, para estudiantes de Ingenierías. Este texto busca facilitar al estudiante, la consulta precisa pero profunda para el desarrollo de labores académicas en el área de economía para ingenieros. Creemos que este enfoque es el que mejor se adapta a las necesidades de estos lectores, por que les permite concentrarse en aplicaciones que tiene la Economía en las diversas ramas de la ingeniería, además creemos que el libro también puede servir como un útil libro de consulta. Nuestro objetivo central del texto y del curso es el de dar la herramienta que nos ayuda a explicar de una forma sencilla y fácil los diferentes conceptos financieros y económicos básicos para entender, analizar y evaluar situaciones y alternativas de inversión y endeudamiento. Los temas que se trataran en el presente texto, se encuentran ordenados de una forma comprensible para estudiantes de Ingenierías, donde cada uno de los temas se subdivide en grandes capítulos que, a su vez, se subdividen en módulos; con el objetivo de que el lector pueda identificar rápidamente el tema que le interese. Dentro del módulo, la titulación permitirá, de un vistazo rápido, decidir cuál tema se requiere consultar.
5
Este texto está cuidadosamente ilustrado, tiene cuadros, tablas que constituyen en si mismos módulos de información autónoma. Utilidad en si, es el fin perseguido en este texto, por eso se espera que sea de gran ayuda para el estudio del curso de Economía Para Ingenieros.
6
CAPITULO I. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
1.1 DINERO Básicamente los economistas definen dinero como algo que es generalmente aceptado para el pago de bienes y servicios o cancelación de deudas. Los billetes y monedas entonces encajan en esta definición; pero también los cheques son aceptados, luego los saldos en cuenta corriente constituyen dinero. De otro lado la palabra dinero (plata) es comúnmente usada para referirse a riqueza "Ardila tiene mucha plata"; involucrando no solo dinero sino todo tipo de propiedades. Igualmente es usada esta palabra para referirse a ingresos "Un ejecutivo gana mucha plata".
1.1.1 ¿Que Ha Sido Históricamente Y Que Es El Dinero?. Dinero?. De una u otra forma diversos artículos han sido usados como dinero en distintos tiempos: Granos, lana, tabaco, metales, etc. La característica que todos ellos compartieron fue escasez, adicionalmente durabilidad y divisibilidad pero ante todo su aceptación general. La principal función del dinero es facilitar el intercambio de bienes y servicios. A diferencia de un sistema económico primitivo basado en el trueque, el intercambio con dinero le imprime facilidad y eficiencia a las transacciones. El dinero no sólo reduce el tiempo y esfuerzo dedicado al intercambio sino que permite la división y especialización de trabajo.
1.1.2 Propiedades Básicas Del Dinero. Servir como medio de intercambio Servir como valor almacenable 7
La primera es la propiedad más evidente del dinero al ser usado para la compra de bienes y servicios, adicionalmente el dinero al ser almacenado en busca de compra de bienes y servicios en el futuro, sirve temporalmente como medio para almacenar poder adquisitivo (Aún cuando esta propiedad es rápidamente controlada por la inflación al menos en parte debe cumplirse); por último el dinero permite que los precios de los bienes y servicios se den de acuerdo a un mismo standard o unidad contable. Hoy se habla de dinero plástico, súper dinero e incluso sociedad sin dinero físico para referirse a operaciones automatizadas de transferencia de fondos de todo tipo con base en algún tipo de tarjeta que reúne información sistematizada sobre saldos disponibles por cada individuo en un sistema y que se actualice constantemente con cada transacción. Esto sería posible en un futuro con los avances de infraestructura y de las comunicaciones y sería lógico pensar en que este tipo de sistemas predomina por su seguridad, agilidad y eficiencia. De cualquier forma las propiedades presentadas se seguirán dando y tal vez aunque sea en un volumen relativamente pequeño el dinero físico seguirá siendo necesario.
1.1.3 Banco De La República.
Funciones.
A través del Banco se cumplen las disposiciones relativas al control monetario, de crédito y de cambio que dicte la Junta Monetaria. Es el encargado de computar el ingreso nacional del país. Es el Banco emisor del país, maneja la Casa de la Moneda de Bogotá encargada de la acuñación de la moneda fraccionaria. 8
Administra las reservas de oro y moneda extranjera en Colombia. Es el Banquero y Fiscal del Gobierno. Encargado de guardar las reservas en efectivo de los bancos y liquidador de las deudas y acreencias entre ellos. El encaje de estas instituciones debe mantenerse como depósitos disponibles sin intereses. Actúa como banquero de los Bancos particulares y oficiales, Corporaciones Financieras, Fondo Nacional del Café, Fondos Ganaderos e Instituciones de Desarrollo Cooperativo. Administrador y Banquero de PROEXPO, FIP, Fondo de Desarrollo Industrial y Desarrollo Eléctrico. Administra y maneja los convenios de pago suscritos con otros países. Depositario en Colombia de las disponibilidades del Fondo Monetario Internacional, Banco Mundial, Banco Interamericano de Desarrollo. Funciones relativas al cambio y comercio exterior.
1.2 CUANTIFICACIÓN DEL DINERO Para determinar cuanto dinero hay en una economía se debe medir lo que es aceptado para el pago de bienes y servicios.
9
Esta medición puede hacerse incluyendo lo que es generalmente aceptado para el pago de bienes y servicios, o menos estrictamente incluyendo en una medida cada vez más amplia otros instrumentos menos líquidos hasta llegar a una oferta monetaria ampliada.
1.2.1 Medios De Pago (M1). Es la concepción más básica de dinero, consistente con la definición ya expresada de dinero. Incluye solo al efectivo en circulación mas los depósitos en cuenta corriente.
M1 = Efectivo + Depósitos en Cuenta Corriente Para 1998 los medios de pago (M1) alcanzaron un valor cercano a los nueve billones de pesos. Con un crecimiento a Junio cercano al 2% anual. Muy inferior al crecimiento del resto de la década que oscilaba entre el 9% y el 45%.
1.2.2 Otras Medidas Del Dinero. M2:: Le adiciona a los medios de pago lo que se denominan cuasidineros, que son M2 otros instrumentos con cierto grado de liquidez pero que no son generalmente aceptados para el pago de bienes y servicios. Se incluyen las cuentas de ahorro tradicional, las cuentas de ahorro en UPAC, CDTs en general.
M2 = M1 + CUASIDINEROS M3:: Le adiciona a M2 los depósitos a la vista, los depósitos fiduciarios y las M3 cédulas del BCH en poder del público.
10
M3 = M2 + Depósitos a la vista + Depósitos fiduciarios + Cédulas del BCH en poder del público. M3 + BONOS: Es el agregado utilizado para medir la oferta monetaria ampliada y es considerado como un indicador más certero para el control del dinero y la política monetaria puesto que involucra realmente todos los instrumentos y la generación de crédito por parte del sistema financiero. A mediados de 1998 su valor ascendía a los 54 billones de pesos con una variación cercana al 1% anual.
M3 + Bonos = M3 + Bonos del sistema financiero
1.3 INTERÉS Quien está en posesión del dinero tiene ventaja relativa respecto a quien no. Esta ventaja, está reflejada en las múltiples posibilidades de intercambio mediante las cuales se puede generar utilidad; en esencia esta es la razón de ser del interés.
1.3.1 Definición. Interés se puede definir como la retribución pagada o recibida por el uso del dinero. Interés es la renta que se paga por utilizar utilizar el dinero ajeno ó que se recibe por invertir nuestro dinero. Estas situaciones se presentan en diferentes formas, es conveniente desarrollar una serie de relaciones de equivalencia mediante las cuales se puede evaluar con certeza el rendimiento obtenido de una determinada inversión o el costo real que representa una determinada fuente de financiamiento. A continuación pasaremos del plano cualitativo al plano p lano cuantitativo para definir el interés y su uso en las relaciones financieras de equivalencia. 11
1.3.2 Variables Que Que Inciden Sobre El Interés. Adicionalmente el interés puede ser mayor ó menor dependiendo de una serie de factores como son:
Riesgo. Una alternativa que no presenta riesgo es preferida a otra con igual
interés y algún nivel de riesgo. Algunos inversionistas están dispuestos a afrontar un determinado nivel de riesgo tratando de obtener una mayor rentabilidad; es decir a mayor nivel de riesgo mayor será el interés. interés .
Inflación. Es importante hacer énfasis a la relación entre tasas de interés y
tasas de inflación; la inflación es el porcentaje de incremento en el nivel general de precios.. Diversas economías precios economías (países) presentan diversas tasas de inflación y de interés, se observa que en países con mayor nivel de inflación tienen a su vez mayores tasas de interés y esto es lógico ya que un inversionista busca incrementar durante el periodo de la inversión no sólo el monto del dinero invertido sino su capacidad de compra, es decir, que al final de la inversión, con el dinero obtenido se pueda comprar mayor número de bienes y servicios de los que podía adquirir al comienzo de la inversión. Por lo tanto desde este punto de vista entre mayor sea la inflación mayor será el interés.
Dinero Circulante. El dinero, al igual que cualquier otra mercancía, está
sujeto a las fuerzas de oferta y demanda que sobre él se ejercen. El gobierno de todo país ejerce un control sobre el dinero en circulación y para ello efectúa las llamadas OMAS* OMAS* en en las que según su conveniencia, compra ó vende papeles del gobierno, para expandir ó contraer el dinero circulante; otra forma de control es el encaje bancario, donde todo banco debe depositar en el Banco de la República un porcentaje de sus captaciones y según sea el caso el gobierno puede incrementar o disminuir dicho porcentaje. Si el dinero circulante se incrementa, existirán más pesos para comprar y el mismo número de bienes y servicios, lo cual genera por fuerzas de oferta y demanda un incremento en el nivel de precios, lo que significa 12
inflación.
El dinero puede ser ser demandado para realizar algún proyecto; entre entre
mayor número de proyectos exista y mayor sea su rentabilidad esperada (Tasa de crecimiento de la economía), es de esperarse que las tasas de interés sean mayores. *Operaciones de Mercado Abierto
Comercio y Finanzas Internacionales. A nivel internacional, la moneda de
un país está también sujeta a fuerzas de oferta y demanda relacionadas con el comercio exterior y las inversiones internacionales. El precio de una moneda está reflejado en su tasa de cambio respecto a las otras monedas, si mucha gente adquiriera pesos para realizar inversiones en Colombia ó comprar productos, dicho incremento en demanda generaría un incremento del valor del peso respecto a otras monedas ó revaluación del peso, pero si los colombianos adquirieran dólares para comprar artículos en el exterior ó para realizar inversiones externas, la tasa de cambio del peso respecto al dólar aumentaría y esto es llamado devaluación. devaluación. Si aumentara la demanda de dólares se generaría una devaluación del peso en busca de equilibrio, desde este punto de vista la inflación generó devaluación. En general entonces los niveles de inflación, devaluación e interés están interrelacionados.
Acciones Gubernamentales: Se debe tomar en cuenta que el gobierno juega
un rol importante no solo como regulador, sino como actor en el mercado financiero, ya que él en algunos casos es un captador importante de dinero con lo cual el interés tiende al alza, en otros casos un inversionista fuerte y en general muchas de sus acciones inciden sobre el interés.
1.3.3 Cuantificación Del Interés. Desde el punto de vista de un préstamo, Interés es el costo del capital, es decir, es la suma pagada por el uso del dinero ajeno y desde el punto de vista de un inversionista es el retorno obtenido, ó monto 13
adicional al dinero invertido; el interés expresado como porcentaje del dinero invertido es denominado rentabilidad.
1.3.4
Tasa De Interés.
Desde el punto de vista de un proyecto de
endeudamiento, la tasa de interés es la diferencia entre la suma cancelada al final del periodo y la suma que se recibe en préstamo, dividida por la suma recibida inicialmente. Generalmente se expresa como un porcentaje para un periodo de tiempo determinado.
1.3.5 Tipos De Interés. El interés puede ser simple o compuesto, dependiendo de si el interés acumulado al comienzo de un periodo es considerado para el cálculo del interés al mismo periodo.
Interés Simple. El interés por periodo es calculado con base en el capital que
se posee al comienzo del periodo sin tenerse en cuenta el posible interés acumulado al comienzo del mismo.
Interés Compuesto. El interés se calcula con base en el capital inicial más
cualquier suma de interés acumulado al principio del periodo.
NOTA: En adelante, siempre que se hable de interés se estará haciendo
referencia a un interés compuesto.
1.3.6 Algunas Tasas De Interés Importantes. Importantes.
Tasas de captación de Intermediarios financieros.
DTF:: Es la tasa de captación, promedio para los depósitos a término fijo a 90 días DTF realizado por los Bancos Comerciales, las Corporaciones Financieras y las 14
Compañías de Financiamiento comercial. Su cálculo se realiza semanalmente como el promedio ponderado de todas las captaciones efectuadas por las diversas Instituciones Financieras. (También existe el cálculo para 180, 360 días).
TBS:: Es similar al DTF, pero sólo para Bancos y mide diversos plazos desde 7 TBS días hasta un año. Las tasa de Captación de las demás Instituciones Financieras se miden con puntos porcentuales diferenciales respecto a la TBS.
TCC:: Es la tasa de captación de Corporaciones. TCC
Corrección Monetaria. Es la tasa de variación de la UPAC (Unidad de poder
adquisitivo constante). Es la tasa usada en las Corporaciones de Ahorro y Vivienda y se calcula como el 74% de la DTF promedio en las 4 semanas previas al mes que se esta calculando.
Tasas Bursátiles.
TCB mercado Primario en la bolsa de Medellín. : Es la tasa de captación Bursátil para CDT (certificado de Depósito a Término), emitidos en el.
TRB:: Es la tasa de Rentabilidad Bursátil, para títulos de renta fija. (CDT TRB Aceptación, títulos de participación, papeles comerciales, c omerciales, etc.) que se negocian en el mercado secundario (cuando pasa de un inversionista a otro, a diferencia del primario que es cuando recién se emiten los títulos).
IRBB:: Índice de rentabilidad de la bolsa de Bogotá, para papeles de renta fija. IRBB IBOR:: Índice de rentabilidad de la bolsa de occidente, para papeles de renta fija. IBOR
15
Tasas Internacionales.
Prime Rate: Rate: Es la tasa de colocación, de los Bancos de Estados Unidos a sus buenos clientes. Offered Rate) Es la la tasa tasa de interés interbancaria, interbancaria, o LIBOR:: (London InterBank Offered LIBOR sea a la que unos bancos muy grandes que trabajan con captaciones y colocaciones en Eurodólares o Euromonedas, en general le prestan a otros bancos. Se utiliza adicionalmente como referencia para créditos internacionales.
TASAS DE INTERÉS DE CAPTACIÓN TOTAL SISTEMA - EFECTIVO ANUAL PROMEDIO MENSUAL ( Porcentaje) Mes
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
Enero
33.90 35.81 31.94 26.07 25.68 32.82 32.66 25.78 24.67
Febrero
33.32 33.87 28.38 25.55 25.27 34.89 32.39 25.48
Marzo
34.06 36.13 29.97 26.09 25.31 35.03 32.90 25.10
Abril
34.94 32.27 26.98 26.22 25.25 35.69 33.09 24.33
Mayo
34.47 35.79 24.26 25.79 26.21 34.63 31.58 23.38
Junio
35.04 36.23 22.11 26.02 28.30 33.33 31.36 23.21
Julio
36.23 36.78 21.39 25.58 28.94 29.81 31.84 22.96
Agosto
35.36 38.52 25.50 24.33 31.07 29.11 30.07 23.07
Septiembre 36.37 38.62 27.26 24.26 30.94 30.91 28.12 22.87 Septiembre Octubre
36.75 37.62 27.66 24.88 33.05 29.51 28.14 23.54
Noviembre
36.15 37.20 26.87 25.44 36.27 29.54 28.06 24.09
Diciembre
37.52 36.39 26.98 26.37 37.87 33.58 27.76 24.32
Fuente: Encuesta semanal de la Superintendencia Bancaria, a bancos, corporaciones financieras, compañías de financiamiento comercial y corporaciones de ahorro y vivienda. 16
1998
EJERCICIOS EJERCICIOS DESARROLLADOS 1. Tasa de interés. Cuál será la tasa de interés aplicada al prestar $1.000 hoy, para cancelar $1.200 al final de 1 año? Definiendo la tasa de interés como "i" se tendría:
i = ( 1200 - 1000 ) / 1000 i = 0.2 ó 20% La respuesta se puede dar en forma porcentual o decimal como se prefiera. Se pagarán entonces $200 por intereses, y el interés será el 20%. Cuando estamos evaluando un proyecto, al tomar la decisión, se debe tener un punto de comparación (interés mínimo) a partir del cual, el interés de una alternativa será atractivo ó no. 17
2. Interés Simple. Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $1.000 al 30% de interés simple anual durante dos años? .... _______________________ | _______________________ _______________| | _______________| $1.000...........................$1.000 $1.000............... ............$1.000 + $300 ................$1.000 + $300 + $300 Al final del primer año se tiene los $1.000 más los $300 por interés; y al final del segundo año se tendrá los $1.000 iniciales, $300 por interés del primer año y $300 por interés del segundo año ($1.600).
3. Interés Compuesto. Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $1.000 al 30% de interés compuesto anual durante dos años? .... _______________________ | _______________________ _______________| | _______________| $1.000...........................$1.000 $1.000............... ............$1.000 + $300 ............. .....................$1.300 ........$1.300 + $390 $ 390 Al final del primer año se tiene $1.300. Para el segundo año a ño el cálculo será ser á sobre los $1.300 que se poseen al comienzo del periodo, y no solo sobre los $1.000 iniciales; por tanto los intereses causados en el segundo año son: Primer año = $1.000 x 0.30 = $300 Segundo año = $1.300 x 0.30 = $390 Suma final = $1.300 + $390 = $1.690
18
1. Una entidad financiera ofrece duplicar duplicar el dinero invertido en 5 años. ¿Cuál sera la tasa de interés efectiva mensual y anual obtenida en dicha inversión? DATOS : P = Cantidad inicial F = 2P (Cantidad final) n = 5 años = 60 meses i (mensual)= ? i(anual)=? Utilizando la fórmula: F=P(1+i) ^n Despejo: i = (F/P)^(1/n) - 1 2P = P (1+i)^n i = (2) ^ (1/n) – 1 Reemplazando valores: i (m) = (2) ^ (1/60) – 1 = 0.0116 (1.16% mensual) i (a) = (2) ^ (1/5) – 1 = 0.1487 (14.87% anual)
19
2. Su familia adquirió un lote al inicio de 1972 por el valor de $10’000.000 y acaba de hacer un negocio para venderlo al final del año 2007 por $640’000.000. ¿Qué
tan rentable fue el negocio? DATOS : P = $10’000.000 F = $640’000.000 n = 36 años = 432 meses “del inicio de 1972 al final de 2007”
i (mensual)= ? i(anual)=? Utilizando la fórmula: F=P(1+i) ^n Despejo: i = (F/P)^(1/n) – 1 Reemplazando valores: i (a) = (640/10) ^ (1/36) – 1 = 0.1224 (12.24% anual) i (m) = (640/10) ^ (1/432) – 1 = 0.00967 (0.967% mensual)
EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio1. Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $99.000 al 22% de interés compuesto anual durante tres años?
Ejercicio2. Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $99.000 al 22% de interés simple anual durante tres años? 20
Ejercicio3. Cuál será la tasa de interés aplicada al prestar $99.000 hoy, para cancelar $180.000 al final de 1 año?
21
CAPITULO II. DINERO, TIEMPO Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA
2.1 DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA Un diagrama de flujo de caja es la representación gráfica de los ingresos y egresos ocasionados durante la vida de un proyecto. Se emplean en estos diagramas flechas verticales, que señalando hacia arriba representan un flujo de caja positivo (INGRESO), y señalando hacia abajo representan un flujo de caja negativo (EGRESO). Cada flecha parte de una línea horizontal que representa el tiempo, y está subdividida en periodos (días, meses, etc.).
Esta representación gráfica será utilizada a lo largo de este tutorial para ilustrar cualquier proyecto de inversión o endeudamiento. endeuda miento.
2.2 VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO Este concepto significa que cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor si se encuentran en puntos diferentes en el tiempo y si la tasa de interés es mayor 22
que cero. Es importante reconocer que un peso que se recibe en el futuro valdrá menos que un peso que se tenga actualmente, debido a que el dinero puede ganar un cierto interés cuando se invierte por un periodo determinado.
RELACIONES ENTRE CANTIDADES DE DINERO SITUADAS ENTRE DIFERENTES PERIODOS DE TIEMPO Existe hoy (momento cero) una cantidad de dinero P, sobre la cual se genera un interés compuesto i en cada periodo de tiempo (días, meses, bimestres, trimestres, año, etc.). Se desea conocer el monto total acumulado en un tiempo determinado. Sea: P : Valor presente F : Valor futuro n : número de periodos entre P y F i : tasa de interés por periodo (%)
La cantidad final acumulada "F" depende del número de periodos "n" así: Si n = 1. Cuando 1. Cuando ha transcurrido un periodo tenemos la cantidad inicial (P) más el interés generado en ese periodo ("P" multiplicado por la tasa de interés "i"). Utilizando la nomenclatura definida se tendría : 23
F = P + P * ( i ) = P * (1+i)
Cuando ha transcurrido un periodo tenemos la cantidad inicial más el interés generado en ese periodo. Si n = 2. Cuando han transcurrido dos periodos tenemos la cantidad obtenida hasta el primer periodo (P(1+i)), más el interés generado por esa cantidad en el segundo periodo. De forma que el monto acumulado al final del segundo periodo será: F = P * ( 1+i ) + P * ( 1+i ) * i = P * (1+i) ^ 2
Si n = 3. Para 3. Para un tercer periodo tenemos la cantidad acumulada hasta el segundo periodo (P(1+i)2) más el interés generado por dicha cantidad en el nuevo periodo. F = P * ( 1+i ) ^2 + P * ( 1+i ) ^2 * i = P * ( 1+i ) ^3
24
En forma general podemos deducir la relación para n periodos de tiempo:
[1] e inversamente, [2]
En la relación básica desarrollada F= P(1+i)n existen cuatro variables P, F, i, n.
2.3 SERIE UNIFORME (A) Es un flujo uniforme que se presenta durante n periodos de tiempo (mes, trimestre, semestre, etc.) consecutivos, cada uno de ellos con un valor A. Gráficamente se representa de la siguiente forma:
25
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA ENTRE UNA SERIE UNIFORME (A) Y UN VALOR FUTURO (F) SITUADO EXACTAMENTE AL FINAL DE LA SERIE (PERIODO n) Sea: P: Valor presente A: Valor de la serie uniforme n: número de flujos de la serie uniforme i: tasa de interés periódica El valor futuro podría ser expresado como la suma de cada uno de los flujos individuales "A" trasladados hacia el periodo "n", así: Supongamos que cada A es un valor presente ubicado en su respectivo periodo. En la expresión básica F= P (1+i)n ; P representa un monto situado atrás con relación a F y n es el número de periodos que separan a P de F. Análogamente: Para el valor presente A situado en e n el periodo 1: F = A (1+i) ^ (n-1) Para el valor presente A situado en e n el periodo 2: F = A (1+i) ^ (n-2) Para el valor presente A situado en e n el periodo 3: F = A (1+i) ^ (n-3) Para el valor presente A situado en el periodo n-1: F = A(1+i) ^(n - (n-1)) = A(1+i) Para el valor presente A situado en el periodo n: F = A(1+i)^(n-n) = A Para obtener el valor futuro de la serie uniforme, se deben sumar los valores futuros generados por cada A en los diferentes periodos: (1) F= A(1+i)^(n-1) + A(1+i)^(n-2) + A(1+i)^(n-3) + ... + A(1+i) + A Multiplicando (1) por (1+i) se obtiene: 26
(2) F(1+i)= A(1+i)^n + A(1+i)^(n-1) + A(1+i)^(n-2) A( 1+i)^(n-2) + ... + A(1+i)^2 + A(1+i) Y al hacer la substracción (2) - (1) se obtiene: F(i)= A(1+i)^n - A Finalmente se obtiene la expresión:
[3] e inversamente
[4]
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA ENTRE UNA SERIE UNIFORME (A) Y UN VALOR PRESENTE (P) SITUADO UN PERIODO ATRÁS DEL PRIMER FLUJO DE LA SERIE
27
Combinando la expresión
con la expresión [1] F=P(1+i)n se
[4]
obtiene:
[5] inversamente: [6]
OTRA FORMA DE NOTACIÓN DE LAS RELACIONES REL ACIONES DE EQUIVALENCIA Las relaciones de equivalencia que hemos obtenido hasta el momento tienen la forma: Donde: Y: Valor buscado X: Valor conocido (Y / X, i, n): Factor de equivalencia que se lee : "Dado un X, hallar un Y, al i % en n periodos". Con esta forma de notación las relaciones de equivalencia son:
28
[1] F = P ( F / P , i , n )
[2] P = F ( P / F , i , n )
[3] F = A ( F / A , i , n )
[4] A = F ( A / F , i , n ) 29
[5] A = P ( A / P , i , n )
[6] P = A ( P / A , i , n )
Una forma simple y rápida de hallar los factores de equivalencia es realizando programas sencillos de calculadora que pida los valores de i y de n, obteniéndose un resultado muy preciso. Otra forma (la tradicional) es utilizando las tablas de factores. Sin embargo las tablas jamás podrán presentar todas las combinaciones para los posibles valores de tasas de interés y número de periodos, requiriéndose en muchos casos de interpolaciones que conducen a resultados inexactos.
30
Ejemplos 3. Usted decide invertir durante un año, al final de cada trimestre $100.000. ¿Cuánto habrá acumulado al final del año si los depósitos obtienen un interés del 2,5% trimestral? DATOS : F=? n = 4 trimestres i = 2,5% trimestral
F1= 100.000 F2= 100.000 (1+0.025) 1 = 102,500 F3= 100.000 (1+0.025) 2 = 105062,5 F4= 100.000 (1+0.025) 3 = 107689,06 FT = F1 + F2 + F3 + F4 = 415251,56 31
O usando fórmula para serie uniforme: F = A [ ( 1 + i ) n - 1 ] / i F = 100.000 [ ( 1 + 0,025 ) 4 - 1 ] / 0,025 F = $415251,56
Cuanto debería haberse depositado, para para obtener el mismo valor final, si el
momento del deposito hubiera sido al principio y no al final de cada trimestre.
Aant (1+i) = A Aant = A / (1+i) F = Aant (1+i) [ ( 1 + i ) n - 1 ] / i F = (100.000 / 1,025)(1,025) * [ ( 1 + 0,025 ) 4 - 1 ] / 0,025 F = $415251,56 * Cuanto debería haberse depositado para obtener el mismo valor final si al momento del depósito hubiera sido al inicio y no al final de cada trimestre
32
F=415251.56
i=2.5% 0
4 A=?
Aplicando la formula
Se obtiene
4. Su empresa recibe un préstamo a corto plazo (1 año) el cual deberá ser cancelado mediante cuotas trimestrales fijas (cuota trimestral vencida) si el préstamo es de
y la tasa de interés es del 3% trimestral, determine el
valor de la cuota a pagar
33
P=10'000.000
i=3% 0
4 A=?
Aplicando la formula
Remplazando
Se obtiene
¿Cual hubiera sido el valor de las cuotas si paga anticipado? Aplicando la formula
Se obtiene
34
será el valor de la cuota cuota a pagar en el préstamo anterior si el plazo plazo 5. Cual será hubiera sido dos años y las cuotas del segundo año fueran planeadas para incrementarse en un 10% respecto al primer año
P=10'000.000 i=3%
4
0
8
A1 A2=1.1A1
Resolviendo
Obtenemos
Como 35
Íte m
Val o r
préstamo
10.000.000,00
plazo años
2
Periodos
4
interés trimestral
0,030
Periodo
Saldo
Interés
Cuota a
Abono a
Saldo
Trimestral
inicial
causado
pagar
capital
final
1
10000000
300000
1360553,18
1060553,183 8939446,82
2
8939446,817 268183,4045 1360553,18
1092369,778 7847077,04
3
7847077,039 235412,3112 1360553,18
1125140,872 6721936,17
4
6721936,167 201658,085
1360553,18
1158895,098 5,563E+06
5
5,563E+06
1,669E+05
1496608,501 1329717,269 4,233E+06
6
4,233E+06
1,270E+05
1496608,501 1369608,787 2,864E+06
7
2,864E+06
8,591E+04
1496608,501 1410697,051 1,453E+06
8
1,453E+06
4,359E+04
1496608,501 1453017,962 -4,424E-09
6. Si la modalidad del pago se mantuviera a dos años con cuotas fijas trimestrales vencidas y en lugar de aumentar en el segundo año tuviéramos unas cuotas extraordinarias al final de cada semestre por valor de valor de las cuotas a pagar?
36
¿Cuál seria el
P=10'000.000 i=3%
4
0
8
A
140.000
Resolviendo
Se obtiene
tem
Valor
Préstamo
10000000
plazo años
2
Periodos
8
trimestrales interés trimestral cuota
0,03 140000
extraordinaria interés semestral periodos
0,0609 4
semestrales 37
Periodo
Saldo
Interés
Cuota a
Abono a
Saldo
Trimestral
inicial
causado
pagar
capital
final
1
10000000
300000
1355598,371 1055598,371 8944401,629
2
8944401,629 268332,0489 1495598,371 1227266,322 7717135,307
3
7717135,307 231514,0592 1355598,371 1124084,312 6593050,995
4
6593050,995 197791,5298 1495598,371 1297806,841 5295244,154
5
5295244,154 158857,3246 1355598,371 1196741,046 4098503,107
6
4098503,107 122955,0932 1495598,371 1372643,278 2725859,83
7
2725859,83
8
1452037,253 43561,1176
81775,79489 1355598,371 1273822,576 1452037,253 1495598,371 1452037,253 -5,3551E-09
***
¿Cuál será el saldo al cabo del primer año con las dos modalidades de pago?
(una vez pagado la cuota? P=10'000.000 i=3%
4
0
8
1'360.566 1'496.623
38
2.4 GRADIENTE En ocasiones se pueden presentar flujos periódicos que cambian periodo a periodo en una determinada cantidad o porcentaje; en éstos casos se dice que existe un GRADIENTE. Analizando la forma de aumento (o disminución) del flujo podemos clasificar el gradiente como Gradiente Aritmético o Gradiente Geométrico.
2.4.1 Gradiente Aritmético (G). Un gradiente, a diferencia de una serie uniforme, es un flujo que varía cada periodo. Si la variación periodo a periodo es un valor constante G se dice que es un gradiente aritmético y si dicha variación fuere porcentual tomaría el nombre de gradiente geométrico. Tomemos inicialmente el caso del gradiente aritmético y específicamente del gradiente aritmético positivo (o creciente) que se presenta cuando el flujo crece tal como se observa en la siguiente gráfica.
Relación de equivalencia entre un Gradiente Aritmético (G) y un valor futuro (F) 39
Donde: G : Valor del Gradiente F: Valor futuro i : Tasa de interés compuesto por periodo n : número de periodos Analicemos cada uno de los flujos: Para el segundo periodo en el que se presenta el primer flujo (G) y tomando este G como un valor presente, el valor futuro generado sería:
F = G * ( 1+i )^( n-2 ) (n-2 es el número de periodos entre el primer flujo G y el periodo final n). Para el tercer periodo en el que se presenta un flujo de valor 2G; el valor futuro generado sería:
(1) F = 2 * G * ( 1+i )^( n-3 ) (n-3 puesto que el interés se genera a partir del periodo 3). Para el periodo n-1 el flujo es (n-2)G, por tanto, el valor futuro generado es:
(2) F = (n-2) * G * (1+i)^(n - (n-1)) = (n-2) * G * (1+i) 40
En el periodo n, el flujo (n-1)G es el mismo valor futuro puesto que no genera interés. El valor futuro generado por el Gradiente Aritmético es la suma de cada uno de los valores futuros generados por el flujo de los diferentes periodos. Obtendremos:
(3) F= G * ( 1+i )^(n-2) + 2G * (1+i)^(n-3) + ... + (n-2)G * (1+i) + (n-1) * G Multiplicando por el factor (1+i)
(4) F(1+i)= G(1+i)^(n-1) + 2G(1+i)^(n-2) +...+ (n-2)G(1+i)^2 + (n-1)G(1+i) Restando (3) de (4) se obtiene:
(5) F(i) = [G(1+i)^(n-1) + G(1+i)^(n-2) +...+ G(1+i)^2 + G(1+i) + G] - nG Obsérvese que la parte señalada (con letra inclinada) es similar a la ecuación (1) obtenida en el análisis de la serie uniforme cuya fórmula general es [3]. Podemos escribir:
(6) Finalmente despejamos
[7]
41
e inversamente [8]
Relación de equivalencia entre un Gradiente Aritmético (G) y un valor presente (P)
Recordemos que [2] : F = P * (1+i) ^n Reemplazando [2] en [7] tenemos:
P * (1+i) ^n = G * [ (1+i)^n -1 - n * i] / i^2 Luego, [9]
e inversamente 42
[10]
Relación de equivalencia entre un Gradiente Aritmético (G) y una Serie Uniforme (A)
De la relación [3] r
Reemplazando [3] en [7]
[11]
e inversamente 43
[12] G= A[(i)(1+i) n- i)/ ((1+i) n-1-n(i))]
7. Los $ 10000000 del préstamo trimestral se van a pagar en una cuota creciente en $ 50000 ¿Cuál será el valor valor de la primera cuota trimestral?
P=10'000.000 i=3%
4
0
8
A A+50.000 A+100.000
A+350.000
Aplicando la formula
Remplazando
44
Cuota trimestral:
***¿Cuál será el valor de la primera cuota si trimestralmente decreciera
?
Resolviendo
El valor de la primera cuota es
Gradiente Aritmético Decreciente (negativo). En algunos casos el flujo
(ingresos ó egresos), presenta una disminución constante G en cada periodo. Por ejemplo, observemos el siguiente flujo de egresos:
Como en cada periodo disminuye una cantidad G (en este caso G=100.000) respecto al periodo anterior a partir del primer flujo, se dice que es un GRADIENTE ARITMÉTICO DECRECIENTE ó NEGATIVO.
45
La evaluación de éste tipo de flujo es: Tomar una serie uniforme con el primer valor del flujo y a ésta, restarle un Gradiente Aritmético (G) para quitar el exceso de la siguiente forma:
P= 500.000 (P/A, i%,4) - 100.000(P/G, i%,4) El mismo tratamiento se dará para un flujo de ingresos:
P= 500.000(P/A, i%,4) - 100.000(P/G, i%,4)
2.4.2 Gradiente Geométrico (C). Este tipo de gradiente se presenta cuando el flujo crece cada periodo un porcentaje constante (Delta : D), siendo C el flujo inicial.
46
Relación de equivalencia entre un Gradiente Geométrico (C,D ) y un valor futuro (F)
Donde: C : Valor inicial del Gradiente Geométrico D : Porcentaje compuesto de crecimiento por periodo i : Tasa de interés compuesto por periodo n : Número de periodos F : Valor futuro Analicemos cada uno de los flujos: 47
Para el primer periodo se presenta el flujo inicial C, tomando este C como un valor presente, el valor futuro generado sería:
F = C (1+i)^(n-1) Para el periodo (n-1), el flujo es C(1+D )^(n-2) y el valor futuro correspondiente:
F= C (1+i)(1+D )^(n-2) En el periodo n, el flujo es C(1+D )^(n-1) y no genera interés puesto que es el último periodo. El valor futuro generado por el gradiente geométrico es la suma de cada uno de los valores futuros generados por el flujo de los diferentes periodos. Efectuando esta suma se obtiene:
(5) F = C (1+i)^(n-1) + C(1+D )(1+i)^(n-2) + . . . + C(1+D )^(n-2)(1+i) +C(1+D )^(n-1) Tratando de que cada elemento en la serie equivalga al anterior multiplicamos por el factor (1+i) y dividimos por el factor (1+D ):
(6)
=
+
F
C
C(1+i)n1 + ... +C(1+D )n3(1+i)2 + C(1+D )n2(1+i)
48
Restando (5) de (6): F
=
-
C
C(1+D )n-1
[13]
para todo i ¹ D [14]
para todo i ¹ D (1:Diferente)
Si i = D , la ecuación (5) se convertiría en:
F= C(1+i)^(n-1) + C(1+i)(1+i)^(n-2) + ... + C(1+i)^(n-2)(1+i) + C(1+i)^(n-1) luego,
[15]
49
para i = D
[16]
para i = D
Teniendo en cuenta que F=P(1+i)n obtenemos las fórmulas:
[17]
[18]
Relación de equivalencia entre un Gradiente Geométrico (C,D ) y un valor presente (P)
50
Reemplacemos [2] en [13] P(1+i)n= C *(1+i)n - (1+D )n/(i-D )
luego,
[19]
[20]
De manera similar, es decir, haciendo los reemplazos necesarios, podemos encontrar relaciones de equivalencia entre:
-
Gradiente Geométrico y Serie Uniforme [21] 51
[22]
esa a laborar con un salario de 3`0 3`000. 00.000 000 8. Usted ingresa de cada año su empleador depositara
mensu nsuales al fin final
salarios en un fondo de cesantías
suponga que su salario se incrementara anualmente en un rentabilidad anual del fondo de cesantías es del cabo de
y que la
¿Cuánto abra acumulado al
años sin retiros
30
0
3'360.000
F=?
Aplicando la formula 52
Remplazando
Obtenemos
***Cual será el salario en el año 30? Aplicando la formula
Remplazando
Obtenemos
2.5 SERIES UNIFORMES CONSECUTIVAS CON CRECIMIENTO GEOMÉTRICO En nuestro medio es común encontrar casos en los que durante un año se presentan flujos mensuales constantes y anualmente el flujo mensual crece un porcentaje D. Tal es el caso de ciertas modalidades de pago para prestamos de vivienda y en general del comportamiento de los salarios. A continuación se desarrolla un modelo general para este tipo de flujos. 53
NOTA: Por facilidad cuando se hable de periodos mayores piense en años y cuando se hable de periodos menores piense en meses; pero en general el modelo se desarrolla para cualquier tipo de periodo menores y mayores.
Si: n: Número de periodos mayores ó número de series uniformes. m: Número de periodos menores de cada serie uniforme que hay en un periodo mayor ó número de periodos en los cuales la cuota es constante P: Valor presente equivalente del modelo D: Porcentaje compuesto de crecimiento por series de (m) periodos. b: Valor Inicial de la primera serie uniforme. i: Tasa de Interés de uno de los periodos menores.(im) ii: Tasa de interés de uno de los periodos mayores (in) n* m: Número total de periodo del modelo. (a) P = B[(ii/i)] * [(1+ii) [(1+ii) n - (1+
(b)
P=B [ii/i] [(1+ii)n - (1+ )n ] / [(1+ii) n (ii - )] B=P [i/ii][(1+ii) n (ii - )n ] / [(1+ii)n -(1 - )n]
54
Cada serie uniforme consta de (m) periodos menores con un interés (i) y si cada una de ellas la convertimos en un futuro relativo equivalente, entonces se obtendrán (n) flujos en forma de gradiente geométrico, con un incremento relativo de D, (figura (b)) así la expresión para el primer flujo generado por la serie uniforme inicial es:
La expresión para el segundo flujo y para el tercer flujo, considerando el incremento (D ) relativo es:
Y así sucesivamente hasta el enésimo (n) flujo futuro de expresión. 55
que no genera intereses por ser el último periodo mayor. Determinando todos los anteriores (n) flujos el gradiente geométrico de (n) periodos mayores con un interés (ii) donde ii = (1+i) m - 1 Expresión final para el interés de cada periodo mayor. De tal forma que si los flujos relativos se llevan a un flujo total futuro se puede hallar el equivalente al C del gradiente. Entonces:
Cgrad =
Permitiendo ya esta expresión y utilizando las anteriores expresiones para hallar un P y un F de un gradiente geométrico, obtener las expresiones similares para este modelo. Así de la anterior expresión :
P = Cgrad
Se halla la similar quedando así:
[23]
56
[24]
De igual forma se da la expresión
F =Cgrad
Se encuentra la análoga para este modelo:
[25]
[26] Las fórmulas [23], [24], [25] y [26] no solo son de gran utilidad (puesto que es el modelo más usado en las Corporaciones de Ahorro y Vivienda) sino que se pueden considerar como el modelo general en el cual las fórmulas anteriores para
57
las relaciones de equivalencia entre P, F, A, y C son casos específicos de dicho modelo general.
9. Con los datos del ejercicio anterior sobre cesantías deseamos conocer ahora cuanto es el monto acumulado en pensiones si para ello el empleador deposita mensualmente en un fondo de pensiones
de su salario recuerde que el
salario inicial es de 3’000.000, el incremento anual es del
de pensiones es del
Para hallar el i mensual aplicamos
Remplazando
Obtenemos
Aplicando la formula
58
y el interés del fondo
Remplazando
Obtenemos
estudio al exterior durante dos años y 10. Un profesor se va en condiciones de estudio desea saber cuanto debería dejar en una cuenta bancaria para que su familia pueda cubrir los gastos mensuales que están estimados en crecen mensualmente en un
y que
suponga que el dinero en la cuneta recibirá un
interés mensual de a.
2'000.000
0
24
P=?
Aplicando la formula
59
Remplazando
Obtenemos b. Aplicando la formula Remplazando
Obtenemos
11. Del ejercicio anterior Suponiendo que usted disfrutara de la pensión 15 años cual seria el porcentaje mensual del salario que Ud. tendría si hubiera seguido trabajando que recibiría como pensión
60
B+delta B
15
0
2.154'000.000
Aplicando la formula
Remplazando
Obtenemos
12. Su familia decidió adquirir una vivienda que vale de
para ello dispone
en ahorros y el resto será financiado a 20 años con una tasa del mensual.
Determine el valor de las cuotas mensuales a pagar en las
siguientes modalidades a. Cuotas fijas b. Cuota creciente $5000 mensuales c. Cuota creciente 0.5% mensual d. Cuota fija mensual con crecimiento anual del 6%
61
Cuotas fijas:
60'000.000
i=1.1% 240
0
Aplicando la formula
Reemplazando
Obtenemos
Cuota creciente $5000 mensual: Gradiente aritmético
62
60'000.000
240
0
A A+5000 A+10000
A+1'200.000
Luego
Cuota creciente 0.5% mensual: Gradiente geométrico 60'000.000
240
0
Aplicando la formula
63
Reemplazando
Obteniéndose
Crecimiento anual 6%: cuota fija
Aplicando la formula
Reemplazando
Obteniéndose
Series Geométricas Consecutivas con Crecimiento Geométrico. Existen
sistemas en nuestro medio en los cuales es común encontrar casos en los que durante un año se presentan flujos mensuales que aumentan un porcentaje (X) y a su vez anualmente aumentan otro porcentaje (Y) (Y) . Tal es el caso de de ciertas modalidades de pago para prestamos de vivienda y prestamos en el extranjero.
64
A continuación se desarrolla un modelo general para este tipo de flujos.
NOTA: Por facilidad cuando se hable de periodos mayores piense en años y cuando se hable de periodos menores piense en meses; pero en general el modelo se desarrolla para cualquier tipo de periodo menores y mayores. Si: n : Número de periodos mayores ó número de series uniformes. m : Número de periodos menores de cada serie uniforme que hay en un periodo mayor ó número de periodos en los cuales la
cuota aumenta un porcentaje X
P : Valor presente equivalente del modelo Y : Porcentaje compuesto de crecimiento por series de (m) periodos. c : Valor Inicial de la primera serie uniforme. i : Tasa de Interés de uno de los periodos menores.(im) ii : Tasa de interés de uno de los periodos mayores (in) n * m : Número total de periodo del modelo.
(c)
65
Cada serie geométrica consta de (m) periodos menores con un interés (i) y si cada una de ellas la convertimos en un futuro relativo equivalente, entonces se obtendrán (n) flujos en forma de gradiente geométrico, con un incremento relativo de Y , (figura (c)) así la expresión para el primer flujo generado por la serie geométrica inicial es:
La expresión para el segundo flujo y para el tercer flujo, considerando el incremento (D ) relativo es:
66
Y así sucesivamente hasta el enésimo (n) flujo futuro de expresión.
que no genera intereses por ser el último periodo mayor. La expresión quedaría como una serie geométrica con C :
Para hallar F quedaría así:
Para hallar P quedaría así:
Para hallar C dado un F quedaría así:
67
Para hallar C dado un P quedaría así:
EJERCICIOS DESARROLLADOS
Valor del Dinero a través del Tiempo.
Ejemplo 1. Se dispone de 1'000.000 de pesos el cual se deposita en una entidad financiera que le pagará un interés mensual del 2.5% sobre la cantidad inicial acumulada cada mes. ¿Cuánto se tendrá al final de 1 año? DATOS : P=1'000.000 i= 2.5% mensual n= 12 meses F= ? Aplicando la fórmula F = P * ( 1+i )^n )^n F=1'000.000 (1+0.025)^12
F = 1'344.888,82
68
Ejemplo 2. Cuánto deberá depositarse hoy en una entidad financiera que paga un interés trimestral del 8.5%, para tener $4'000.000 dentro de 2 años? DATOS : F= $4'000.000 i= 8.5% trimestral n= 8 trimestres (2 años) P=? P = F * (1+i)^(-n) P= 4'000.000 (1+0.085)^(-8)
P= 2'082.677,79
Ejemplo 3. Una entidad financiera ofrece que, por cualquier monto que se le entregue, devolverá el doble al cabo de 30 meses. ¿Qué interés está pagando? DATOS : P = Cantidad inicial F = 2P (Cantidad final) n = 30 meses i=? Utilizando la fórmula i = (F/P)^(1/n) - 1 2P = P (1+i)^30 2 = (1+i)^30
i= 0.023 (2.3% mensual)
69
Ejemplo 4. Cada cuánto se duplica el dinero invertido al 2%? DATOS : P= Cantidad inicial F= 2P (cantidad duplicada) n=? n = [ log(F/P) ] / ( log(1+i) ) 2P = P * (1+0.02)^n log 2 = n*log(1.02)
n = 35 periodos de tiempo
Relación de Equivalencia entre una Serie Uniforme (A) y un valor Presente (P) situado un Periodo atrás del primer flujo de la serie. Ejemplo 5. Usted decide ahorrar mensualmente $10.000 los cuales depositará al final de cada mes en una entidad financiera que paga un interés del 2.5% mensual. ¿Cuánto habrá acumulado al cabo de 2 años? A = $10.000 i = 2.5% mensual n = 24 meses
F=? 70
F= $323.490,38
Ejemplo 6. Cuánto debe ahorrar mensualmente un estudiante que desea reunir $2'000.000 al final de sus 5 años de carrera con el fin de montar su propia empresa, si los ahorros le rentan el 3% mensual? A = ? F = 2'000.000 n = 60 meses i = 3% mensual
A= 12.265,92
71
Ejemplo 7. Usted va a comprar un carro que vale $5'000.000 bajo las siguientes condiciones: cuota inicial: 40% Saldo financiado a 5 años al 2% mensual con cuotas mensuales iguales. ¿Cuánto pagará mensualmente? P = $3'000.000 n = 60 meses i = 2% mensual A = ?
A= $86.303,90
72
Ejemplo 8. Usted asume una hipoteca a 25 años por $75’250.000, con una tasa de interés mensual del 2%. Piensa ser propietario de la casa durante 4 años y luego venderla, liquidando el préstamo con un pago final. Cuál será el monto de este pago al final de 4 años?. Las cuotas son fijas y deberán ser pagadas mensualmente.
Primero hallamos el valor de la mensualidad: A = P [ ( 1 + i ) n i ] / [ ( 1 + i ) n - 1 ] A = 75’250.000 [ ( 1 + 0,02 )300 ( 0,02 ) ] / [ ( 1 + 0.02 ) 300 -1 ] A = $1’508.968,521
Ahora hallamos cuánto se ha pagado durante los primeros 4 años: F = A [ ( 1 + i ) n - 1 ] / i F = 1’508.968,52 [ ( 1 + 0,02 ) 48 - 1 ] / 0,02 F = $119’741.962,6 Al final de los primeros 4 años se han pagado $ 119’741.962,6
Si llevamos el valor de la hipoteca al periodo 48, podemos restar estos dos valores F = P ( 1 + i )n F = $194’677.046,5
73
El pago que se debe hacer para cancelar la hipoteca es: $194’677.046,5 - $119’741.962,5 = $74’935.084
Ejemplo 9. Una empresa requiere $2'000.000, los cuales va a recibir como préstamo bancario con las siguientes condiciones: Plazo: 1 año interés: 8% trimestral Forma de pago: cuotas trimestrales iguales vencidas, las cuales incluyen intereses y abonos a capital.
a. Determine el valor de la cuota. n = 4 trimestres i = 8% trimestral P = 2'000.000 A = ?
A= $603.841,61
74
b. Ilustre mediante un cuadro periodo a periodo los siguientes conceptos: - Saldo inicial - Intereses causados - Cuota a pagar - Abono a capital - Saldo final
SALDO
INTERES CUOTA A ABONO A SALDO
INICIAL
CAUSADO PAGAR
I
2'000.000
160.000
II
1'556.158.39 124.492.67 603.841.61 479.348.94 1'076.809.45
III
1'076.809.45 86.144.76 603.841.61 517.696.85 559.112.60
IV
559.112.60 44.729.01 603.841.61 559.112.60 - 0 -
PERIODO
CAPITAL FINAL
603.841.61 443.841.61 1'556.158.39
2'000.000
Los intereses son causados por el saldo inicial de cada periodo. Los abonos a capital se calculan como la cuota a pagar menos los intereses causados. El saldo final se obtiene restando el abono a capital del saldo inicial. Este saldo final será el saldo inicial para el próximo periodo.
c. Compruebe que el total de los abonos a capital es exactamente el préstamo recibido, y que el saldo al final del año es exactamente cero. El cuadro nos muestra que la suma de abonos a capital nos da exactamente los $2'000.000 recibidos, y que el saldo al final del año (cuarto periodo) es cero. 75
d. Analice los saldos periodo a periodo y la relación interés-abono a capital durante los diferentes periodos. Los saldos van disminuyendo cada periodo más rápidamente, dado que el abono a capital aumenta periodo a periodo, mientras que los intereses sobre el saldo inicial del periodo correspondiente van disminuyendo.
Ejemplo 10.
Para comprar maquinaria usted ha recibido un préstamo de
$65’000.000 por dos años, con un interés semestral del 16%, pagadero en cuotas
semestrales iguales vencidas las cuales incluyen interés y abonos a capital. Calcule el valor de la cuota y haga un cuadro donde se incluyen abono a capital, interés, saldo inicial y saldo final.
A = P [ ( 1 + i ) n i ] / [ ( 1 + i ) n - 1] A = 65’000.000 [ ( 1 + 0,16 )4 ( 0,16 ) ] / [ ( 1 + 0,16 ) - 1 ]
76
A = $ 23’229.379,5159
PERIOD SALDO
INTERES
CUOTA
O
CAUSADO
PAGAR
1 2
INICIAL 0
CAPITAL
FINAL
0
1
1
8
52’170.620,4 8’347.299,27 23’229.379,5 14’882.080,2 37’288.540,2
1
3
4
37’288.540,2 5’966.166,43 23’229.379.5 17’263.213,0 20’025.327,1
4 4
A SALDO
65’000.000,0 10’400.000,0 23’229.379,5 12’829.379,5 52’170.620,4
8 3
A ABONO
1
7
6
20’025.327,1 3’204.052,34 23’229.379.5 20’025.327,1 -0-
6
1
6 65’000.000,0
Otra forma de Notación de las Relaciones de Equivalencia
Ejemplo 11. Cuánto deberá invertirse hoy, Julio 1 de 1997 para hacer retiros trimestrales vencidos iguales por $500.000 cada uno durante 1999, si los depósitos obtienen un interés del 8% trimestral?
77
Existen dos formas de resolver este problema:
a. Utilizando la relación de equivalencia entre la serie uniforme ($500.000) y un valor presente situado un periodo atrás del primer flujo de la serie, en este caso en el periodo 6.
Hasta el momento: P '= A ( P/A , i , n ) [6] donde: P ' : Es el valor equivalente a la serie uniforme A en el punto 6. A : $500.000 P : Es P' i : 8% trimestral n : 4 (porque la serie uniforme es de 4 flujos) Dado que la serie uniforme queda convertida en un valor presente situado en el periodo 6 (P'), es necesario llevarlo ahora al periodo cero que es el momento en el cual hacemos el depósito. Para hacer este traslado consideramos a P' como un valor futuro (F) con respecto a P (en el periodo cero), por lo tanto tenemos: P= P' (P/F,i,n) [2] 78
donde: P : Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo cero P' = A(P/A,i,n) F = P' i = 8% trimestral n = 6 (porque P' está situado exactamente en el periodo 6 y es necesario llevarlo al periodo cero). En definitiva: P = A ( P/A , i , n ) ( P/F , i , n )
P = $1'043.600,867 b. Utilizando la relación de equivalencia entre la serie uniforme ($500.000), y un valor futuro situado exactamente al final de la serie, en este caso en el periodo 10.
Hasta el momento: F = A ( F/A , i , n ) [3]
79
Donde: F : Es el valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 10 A : $500.000 i : 8% trimestral n : 4 (porque la serie es de 4 flujos) Dado que la serie uniforme queda convertida en un valor futuro situado en el periodo 10 (F), es necesario llevarlo al periodo cero, siendo F un valor futuro respecto a P (en el periodo cero). Entonces : P = F ( P/F , i , n ) donde: P : Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 0 F : Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 10 i : 8% trimestral n : 10 (porque F está situado en el periodo 10 y es necesario llevarlo a cero) En definitiva : P = A ( F/A , i , n ) ( P/F , i , n )
P = $1'043.600,867
80
Ejemplo 12. Usted recibe un préstamo de $2'000.000, el cual deberá pagar de la siguiente forma: Plazo : 2 años Interés : 2.5% mensual Pagos mensuales vencidos por un valor A durante el primer año, y por un valor 2A durante el segundo año. Determine el valor de la cuota. a. Primera forma de solución:
* Llevamos la serie A al periodo cero (P1) P1= A(P/A,i,n) [6] P1= A(P/A,2.5%,12) * Llevamos la serie 2A al periodo 12 P2= 2A(P/A,i,n) P2= 2A(P/A,2.5%,12) * Llevamos el valor P2 al periodo cero (P2'). P2 es con respecto a P2' un valor futuro, por tanto: P2'= P2(P2/F,i,n) [2] P2'= 2A(P/A,2.5%,12)(P/F,2.5%,12) 81
* Hacemos P igual al valor equivalente de la serie A (retiros hechos en el primer año) en el periodo cero (P1), más el valor equivalente de la serie 2A (retiros hechos en el segundo año) en el periodo cero. P= P1+P2' P= A(P/A,2.5%,12)+2A(P/A,2.5%,12)(P/F,2.5%,12) 2'000.000 = A(10,2577646)+2A(10,2577646)(0,74355585)
A= $78.393,84695 b. Segunda forma de solución Tenemos dos series, cada una de valor A, la primera con 24 flujos (del 1 al 24), la cual llamaremos serie I y la segunda con 12 flujos (del 13 al 24), que llamaremos serie II. * Llevamos la serie I al periodo 24 (F1) F1= A(F/A,i,n) F1= A(F/A,2.5%,24) * Llevamos la serie II al periodo 24 (F2) F2= A(F/A,i,n) F2= A(F/A,2.5%,12) * Llevamos F1 al periodo cero (P1) P1=F1(P/F,i,n) P1=A(F/A,2.5%,24)(P/F,2.5%,24) * Llevamos F2 al periodo cero (P2) P2=F2(P/F,i,n) P2=A(F/A,2.5%,12)(P/F,2,5%,24) 82
* Hacemos P igual al valor equivalente de la serie I en el periodo cero (P1), más el valor equivalente de la serie II en el periodo cero (P2) P=P1+P2 P=(A(F/A,2.5%,24)+A(F/A,2.5%,12))(P/F,2.5%,24) 2'000.000=A(17.885)+A(7.627)
A = $78.394,48 c. Tercera forma de solución Aplicando el mismo procedimiento, pero esta vez llevando lle vando cada una de las series a un valor presente, es decir, llevar llevar la serie I al punto cero; la serie II al punto 12 y luego a valor presente cero. Debemos obtener el mismo resultado. * Llevando la serie I al periodo cero (P1) P1=A(P/A,2.5%,24) P1=17,885A * Llevando la serie II al periodo 12 (P2) P2=A(P/A,2.5%,12) P2=10,2577 * Llevando P2 (tomándolo como F y llevándolo al periodo cero) P2=F(P/F,2.5%,12) P2=7,627A * Hacemos P igual al periodo equivalente de la serie I en el periodo cero(P1),mas el valor equivalente de la serie II en el periodo cero (P2) P=P1+P2 2'000.000=A(17.885)+A(7.627)
A = $78.394,48 83
Ejemplo 13. Usted requiere saber de cuánto dinero debe disponer hoy Enero 1 de 1997, generando un interés del 2% mensual para poder hacer retiros mensuales vencidos durante 1998 de $20.000 cada uno, al final del 98 $100.000 adicionales; durante 1999 $30.000 mensuales, y al final del 99 $150.000 adicionales.
P=[100.000+20.000(F/A,2%,12)](P/F,2%,24)+ [150.000+30.000(F/A,2%,12)](P/F,2%,36)
P = $ 499.724,79
Ejemplo 14. Usted va a comprar un equipo de sonido en un almacén de electrodomésticos, el cual ofrece un crédito cooperativo al 2.5% mensual. La forma de pago será cuotas mensuales vencidas iguales durante 2 años. Al cabo de 6 meses se podría finalizar la deuda cancelando el saldo, el cual sería de $120.000. Cuál es el valor de compra del equipo de sonido?
84
Posibles formas de pago: * P= A(P/A,2.5%,24)
120.000= A(P/A,2.5%,18) 120.000= A(14,353363) A= $8.360,41 Reemplazando el valor de A en *: P = 8.360,41(P/A,2.5%,24)
P = $149.525,81
Ejemplo 15. Un almacén vende cualquiera de sus electrodomésticos de contado o a crédito. Si es de contado, el valor pagado es el precio de lista menos un 30% de descuento. Si es a crédito, debe cancelarse como cuota inicial el 20%, y el resto se pagará en 10 meses con cuotas iguales cada una de ellas por un valor igual al 80% del precio en lista dividido por 10. ¿Cuál es el interés real mensual de comprar a crédito?
85
PL: Precio de lista Hallando el flujo neto equivalente a la diferencia entre las dos formas de pago tenemos:
Donde 0.5 PL representa el dinero que realmente esta siendo financiado ya que a crédito de todas formas debe darse 0.2 PL como cuota inicial y si el comprador dispusiera de 0.5 PL adicionales completaría el precio de compra de contado que es 0.7 PL y se evitaría el pago de las diez cuotas adicionales. En otras palabras, el comprador paga diez cuotas mensuales equivalentes al 8% del precio de lista a cambio de no tener que pagar hoy un 50% del precio de lista (precio de contado menos cuota inicial), lo que puede ser interpretado como un préstamo. 0.7PL=0.2PL + 0.08PL(P/A,i%,10) 0.5PL=0.08PL(P/A,i%,10) (P/A,i%,10)=6,25 Debemos hallar un valor de i despejando la fórmula y con calculadora hallamos que : i = 9,6140% Luego el comprador esta pagando un interés mensual cercano al 10%
86
Gradiente Aritmético Ejemplo 16. Usted va a depositar dentro de 6 meses $50.000, dentro de 9 meses $100.000, dentro de 1 año $150.000, y así sucesivamente hasta que hace el último depósito dentro de 4 años. ¿Cuánto tendrá en ese entonces acumulado, si los depósitos ganan un interés del 8% trimestral? G = $50.000 i = 8% trimestral n = 16 trimestres F=?
F= 50.000 * (1+0,08)16 -1 -16(0,08)/(0,08)2
F= $8'952.676,90
87
Ejemplo 17. ¿Cuánto debería invertir hoy para hacer los siguientes retiros: Dentro de 4 trimestres $200.000 Dentro de 5 trimestres $210.000 Dentro de 6 trimestres $220.000 y así sucesivamente hasta el décimo segundo trimestre, con un interés del 7.5% trimestral?
Separemos el flujo en 2 partes: Una serie uniforme con A= $200.000 y un gradiente aritmético de valor G=$10.000.
El valor P puede calcularse de diferentes formas. Debe tenerse en cuenta que sólo pueden sumarse cantidades si éstas se encuentran en el mismo punto. Podemos resolver el problema de diversas formas: 88
a. Primera Solución: Llevando cada flujo a presente (periodo 3) y luego el total al punto cero P= [200.000 (P/A,7.5%,9) + 10.000(P/G,7.5%,9)] (P/F,7.5%,3) P=1'207.759,22
b. Segunda Solución: Llevando cada flujo a futuro (periodo 12) y después trasladarlo
a
presente.
P=
[200.000(F/A,7.5%,9)
+
10.000(F/G,7.5%,9)]
(P/F,7.5%,12) P= (2'445.969,767+430.646,511)*(P/F,7.5%,12)=$1'207.759,22
c. Tercera Solución: Obteniendo el A equivalente para G y así tener una única serie uniforme P=
{[10.000(A/G,7.5%,9)
+
200.000]
(P/A,7.5%,9)}(P/F,7.5%,3)
P=1'500.395,508*(P/F,7.5%,3) P=1'207.759,22
Gradiente Aritmético Decreciente (Negativo)
Ejemplo18. ¿Cuánto debería depositarse hoy al 10% mensual para obtener los siguientes flujos?
89
Un posible planteamiento con su solución sería: P = 1'000.000(P/A,10%,12) + 100.000(P/G,10%,5)(P/F,10%,3)+ 500.000(P/A,10%,4)(P/F,10%,8)+[1'100.000(P/A,10%,7) – 400.000(P/G,10% ,7)](P/F,10%,12)
P = $8'148.273,705 Otro planteamiento podría ser: P
=
1'000.000(P/A,10%,4)+[100.000(P/G,10%,4)+1'100.000(P/A,10%,9)]*
(P/F,10%,4) + [400.000(P/A,10%,4)*(P/F,10%,8)] + 700.000 (P/A,10%,6)400.000(P/G,10%,6)]*(P/F,10%,13)
P= $8'148.273,05
90
Gradiente Geométrico.
Ejemplo 19. 10 estudiantes recién ingresados piensan asociarse y crear un fondo de ahorros mensuales de tal forma que al culminar sus 5 años de estudio posean un capital de $10'000.000 con el propósito de fundar su propia empresa. Sus ingresos les permiten incrementar el ahorro mensual en un 2% y la entidad financiera les ofrece un interés mensual del 2.5%. ¿Cuánto deberá ser el ahorro mensual inicial de cada uno de los estudiantes? F = $10'000.000 D = 2% mensual i = 2.5% mensual n = 60 meses C=?
C=
= $44.692,3795
Cuota individual inicial = C/10 = $4.469,24
91
Ejemplo 20. El montaje de una empresa requiere hoy una inversión de $100'000.000. En dicha empresa se producirán y venderán mensualmente 10.000 unidades de un producto "J". Producir cada "J" cuesta el primer mes $200 y éste valor crecerá mensualmente 2%. Dicho producto se podrá vender el primer mes por un valor $V y reajustar su precio en 1.5% mensual. Si el producto "J" tiene una vida de 5 años, ¿cuál será el precio de venta que hace que el proyecto genere una rentabilidad bruta mensual del 3%?
Tenemos: P=$100'000.000 C=10.000V C'=$2'000.000 P=C (P/C,3%,1.5%,60) - C'(P/C',3%,2%,60) 100'000.000=10.000V*((1,03)60-(1,015)60)/(1,03)60(0,03-0,015)2'000.000*((1,03)60-(1,02)60)/(1,03)60(0,03-0,02) 100'000.000=10.000V (39,02031719)-2'000.000(44,31)
V= $483,40
92
Ejemplo 21. El señor Carlos Suarez decide comprar una pequeña parcela por valor de $50.000.000, la cual deberá pagar de la siguiente manera: cuota inicial 20% ( de contado ) y el 80% financiado por una corporación de ahorro y vivienda durante 15 años. Si el interés es del 2,5% mensual , determine el valor de la cuota a pagar en los siguientes casos : Cuota fija mensual vencida Cuota mensual creciente Cuota variable mensual creciendo mensualmente en 0,7% El objetivo de este ejemplo es de carácter ilustrativo, por lo tanto se muestra el comportamiento en una gráfica del interés causado y del abono a capital de cada uno de los tres casos mencionados anteriormente durante el periodo establecido.
CUADRO COMPARATIVO DE LAS DIFERENTES MODALIDADES DE PAGO Valor Presente
$40.000.000
Tasa de interés
2,5%
Número de Periodos
180
Delta
0,70%
La anualidad es
1.011.880,47
Cuota Gradiente Aritmético 26.725,830 Cuota Gradiente Geométrico 750.946,97
93
94
Series Uniformes Consecutivas.
Ejemplo 22. Una modista entra a trabajar en una fábrica de confección, pero su deseo es crear su propia empresa dentro de 10 años. Para ello piensa utilizar las cesantías acumuladas al final, y además ahorrar semestralmente la prima de servicios (medio salario cada semestre) en una entidad financiera que paga un interés efectivo anual del 35%. Si en salario del primer año es de $250.000 y crecerá anualmente al ritmo de la inflación esperada (20% anual ), determine:
a. Capital acumulado al final de 10 años de trabajo?. Capacum= Cesacum + Fprimas (1) Cesantías acumuladas: F=P(1+i)
n
F = 250.000 ( 1 + 0, 20 ) 10 F = $ 1’547.934,10
Cesacum = ( 1’547.934,10 ) ( 10 )
Cesacum = $ 15’479.341 El valor futuro de las primas de servicio generan un gradiente geométrico, pues el salario aumenta en un delta igual a la inflación: F = B ( i / ii ) [ ( 1 + i ) n - ( 1 + D ) n ] / ( i - D ) ii = 35% anual B = 125.000 D = 20% n = 10 años m = 2 semestres i = ( 1 + ii ) (1/m) - 1 i = (1 + 0,35 ) (1/2) - 1 i = 0,1619 = 16,19% semestral. 95
F = 125.000 ( 0,35 / 0,1619 ) [ ( 1 + 0,35 ) 10 - ( 1 + 0,20 ) 10 ] / ( 0,35 - 0,20 ) F = $ 25’067.875,53
Reemplazando los valores en (1): Capacum = 15’479.341 + 25’067.875,53 Capacum = $ 40’547.216,53
b. El patrimonio (capital) de la empresa equivale a un capital actual de cuanto?. P = [ F / ( 1 + i ) n ) donde: F = Cap acum i = 20% anual n = 10 años P = [ 40’547.216,53 / ( 1 + 0,20 ) 10 ] P = $ 6’548.601,84
Ejemplo 23. Usted decide comprar un apartamento por $20'000.000 el cual deberá ser pagado así: 30% contado y 70% financiado por una Corporación de Ahorro y Vivienda durante 15 años. Cuál sería se ría la cuota a pagar en cada uno de los siguientes casos, dado un interés del 2% mensual. a)Cuota fija mensual vencida n =1 m =180 meses D=0 P = $14'000.000 i = 2% mensual ii = [(1+0.02) 180-1] entonces ii=3432.08 % 96
Aplicamos
b = 14'000.000
b = $288.158,32 b) Cuota fija mensual creciendo anualmente en un 10% D =10% anual i=2% mensual ii=(1+0.02)12-1= 0.2682 n=15 años m=12 meses
97
Aplicando la formula de la parte a) obtendremos: b = 14'000.000
b = $199.165,55 c) Cuota variable mensual creciendo mensualmente en 0.75%: D = 0.75% mensual i = 2% mensual ii = 2% mensual n = 180 meses m=1
b = 14'000.000
b = $196.334,12
98
Ejemplo 24. En una empresa, con el beneplácito de los trabajadores y con el propósito de acumular una buena jubilación, se decide depositar en un solo fondo individualizado para cada empleado los siguientes montos: Mensualmente el 10% del salario, semestralmente las primas (½ salario) y anualmente las cesantías. Cuánto recibiría mensualmente como jubilación en el 2027 (expresado como porcentaje del salario que tendría en dicho año), un trabajador que ingresa al inicio de 1997 con un salario de $1’000.000 y recibe incrementos anuales del 20%, si el
dinero depositado obtiene una rentabilidad anual del 32% y la pensión de jubilación se recibirá durante 15 años con incrementos anuales del mismo 20%. El problema se puede interpretar como un conjunto de tres tipos de flujo: Series uniformes con crecimiento geométrico (para el 10% del salario):
B= 100.000 ii= 0.32 D = 0.2 m= 12 n=30 i= (1+ii)1/m-1 = (1+0.32)1/12 -1 = 0.023405691 99
Hallando el futuro de esta serie al final del año 2026 F1= 100.000 (F/B, D = 0.2, i= 0.023405691, ii= 0.32, (12*30)) F1= $44.487’169.210
Series uniformes con crecimiento geométrico, para las primas: b= 500.000 D = 0.2 n= 30 ii=0.32 i= (1+0.32)½ -1 = 0.148913 Calculando el futuro para el final del 2026: F2= 500.000 (F/b, D = 0.2, i= 0.148913, ii= 0.32, (2*30)) F2= $34’961.897,81 Un gradiente geométrico para las cesantías: c= 1’000.000 D = 0.2 n= 30 i= 0.32
F3= 1’000.000 (F/C, D = 0.2, i= 0.32, 30) F3= $32.539’153.950 100
El total acumulado al final año 2026 es: F= F1 + F2 + F3 = $111.988’220.970 El salario en ese momento sería: S F = 1’000.000 (1+0.2)30 SF= $237’376.313,80 Para el tiempo que recibe la jubilación:
Series uniformes con crecimiento geométrico: b=? P= 11.988’220.970 m=12 n=15
D = 0.2 ii= 0.32 i= 0.023405691 b= 111.988’220.970 (b/P, D = 0.2, i= 0.023405691, ii= 0.32, (12*15)) b= $1.292’302.593 Þ Primera jubilación, en el 2027 .
Expresado como porcentaje del salario de ese año: b %=
b%= 544.4109% 101
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Usted deposita $ 2’000.000 en una cuenta de ahorro que rinde el 2% mensual,
si no hace ningún otro depósito en la cuenta, cuánto tiempo debe pasar para que la cuenta llegue a $ 3’000.000?.
R / 20,4753 meses. 2. Tras un examen cuidadoso de la finanzas personales, usted decide que el pago máximo mensual que puede pagar en una hipoteca es de US$630. Puede ofrecer un pago inicial de US$ 12.000 y la tasa de interés mensual es del 1%. Si asume una hipoteca de 30 años, cuál es el precio máximo que puede pagar R / 73.247,5486. 3. Se abre una cuenta de jubilación el 15 de Abril de 1985 con un depósito de $2’000.000. Desde entonces, ha depositado $160.000 en la cuenta cada mes. Si
la cuenta devenga interés mensuales del 15%, cuánto dinero tendrá en la cuenta el 15 de Abril del año 2.000?. R / $174.068.657,4 4. Usted está financiando la compra de un nuevo auto con un préstamo a 3 años, con un interés mensual del 1.8%. El precio de compra del auto es de $10’000.000 y la financiación es del 70%. Cuánto valor deben tener los pagos mensuales?. Qué tasa interés tendría que obtener para reducir el pago mensual en $10.000?. R / $265.886,8229; 1,5667% mensual. 5. Hallar el valor presente de 15 pagos que decrecen aritméticamente en $400, si el primer pago es de $5.000 con un interés del 4%. Rta. $27.697,74 102
6. Hallar $X del siguiente flujo de caja con un interés del 20%
7. Hallar el primer pago de un gradiente aritmético creciente en $300, que tenga 50 pagos y que sea equivalente a 50 pagos que crecen un 20%, con un primer pago de $1.000 suponga una tasa del 20%. R/ $6.835,90 8. La compañía de tejados ha ofrecido a una pequeña firma dos opciones para pagar reparaciones necesarias en los tejados. La opción 1 implica un pago de $2.500 tan pronto como el trabajo termine, por ejemplo hoy. La opción 2 concede a la firma diferir el pago durante 5 años, al cabo de los cuales debe hacer un pago único de $5.000. Si la tasa de interés es del 10% anual, calcule el valor presente para cada opción y seleccione la que tenga el menor valor de P. R/ P1 = $2.500; P2 = $3104,60 9. Un gerente está tratando de decidir si compra una máquina nueva hoy o espera y compra una similar dentro de 3 años. La máquina a la fecha le costaría $25.000, pero dentro de 3 años espera que su costo sea de $39.000. Si la compañía usa 103
una tasa de interés del 20% anual, ¿Debería el gerente comprarla hoy o dentro de 3 años?. R/ P después = $22.569,20;debe comprar más tarde. 10.Una compañía planea hacer depósitos de manera que cada uno sea un 12% mayor que el anterior. ¿Cuál será el valor del primer depósito ( al final del año 1 ) si la compañía desea acumular $21.000 al final del año 16? Suponga que la tasa de interés de la compañía es del 12% anual. R/ P = $3.425,10; D = 239,76 11. Un trabajador opta por la modalidad de retiro programado con renta vitalicia diferida para su jubilación. En la cual el afiliado contrata con una aseguradora una renta vitalicia con el fin de recibir pagos mensuales a partir de una fecha determinada, reteniendo en su cuenta individual de ahorro pensional, los fondos suficientes para obtener un retiro programado, durante el periodo que medie entre la fecha en empiece a ahorrar y la fecha en que la renta vitalicia diferida comience a ser pagada por la aseguradora. Si el trabajador ingresa al sistema cuando cumple 25 años con un salario de $500000 de los cuales aporta el trabajador y el empleador el 3.5% con destino a gastos de administración y el 10% con destino a la cuenta de ahorro individual y adicionalmente, el trabajador decidiera aportar trimestralmente otro 10% de su salario y anualmente $10.000 por cada año de edad que tenga. Determine bajo el supuesto de que el obtendrá una rentabilidad del 30% anual en el fondo y que el salario crece anualmente un 24%. a. Cuánto habrá acumulado en su cuenta de ahorro individual cuando cumpla 55 años, en pesos y en número de salarios ? 104
b. Si el trabajador contrata con con una aseguradora el pago mensual, a partir de cuando cumpliera 65 años de una cifra equivalente al 25 % del salario que hubiera tenido si hubiera seguido trabajando y la aseguradora le cobra por eso lo que ella necesitara para que, suponiendo una rentabilidad de sus fondos del 30% y descontando una décima parte de dicha rentabilidad como comisión, se generará lo suficiente para pagarle la cifra contratada hasta su vida esperada 80 años. Cuánto le quedaría en su cuenta para cubrir el retiro programado entre los 55 y los 605 años. 12. En el sistema pensional el patrono aporta mensualmente un 10% del salario de cada trabajador y este último aporta un 3.5% adicional. La edad propuesta para jubilarse es 65 y 60 años respectivamente para hombres y mujeres. Los aportes entran aun fondo donde serán administrados para obtener una rentabilidad atractiva sobre los aporte s recibidos. Una vez obtenida la jubilación cada trabajador recibirá mensualmente una pensión por un valor que podría ser superior o inferior a lo que recibiría de salario si hubiera continuado trabajando dependiendo del tiempo que permaneció aportando al fondo. Dado que el sistema está montado para que el valor esperado de la pensión recibida por el trabajador una vez jubilado sea equivalente a lo aportado y suponiendo que :
Tanto el salario como la pensión de jubilación se incrementaría anualmente en
un 25%.
La Entidad Administradora del fondo de pensiones lograra una rentabilidad
anual del 32%.
El trabajador aportará al fondo durante 30 años y luego recibirá la pensión de
jubilación durante 13 años. 105
Determine que porcentaje del salario (que recibiría si hubiera continuado trabajando) recibirá el trabajador una vez se jubile. R/ 544,34%
106
CAPITULO III. INTERESES: MODALIDADES, PERIODOS Y EQUIVALENCIAS EQUIVALENCIAS
3.1 RELACIÓN DE EQUIVALENCIA ENTRE INTERESES DE DIFERENTES. PERÍODOS Hasta ahora debe estar claro que invertir un millón de pesos al 3% mensual es diferente a invertirlo al 36% anual (3%*12=36%) pero no nos hemos detenido a examinar una relación que exprese equivalencia entre tasas de interés mensuales respecto a anuales o en general equivalencias entre cualquier tipo de periodos. Esta sección se ocupa de ello. Supongamos que deseamos encontrar el interés equivalente para dos periodos de tiempo de diferente duración. Al periodo de tiempo mayor lo llamaremos "periodo mayor" y el otro será entonces "periodo menor". Denotemos: i : Interés efectivo del periodo menor ii : Interés efectivo del periodo mayor m : Número de periodos
107
108
Si el interés del periodo menor (i), equivale al interés del periodo mayor (ii), entonces F debe ser igual si se parte del mismo P: F = P ( 1+i ) ^m = P (1+ii) Por lo tanto: ( 1+i ) ^m = ( 1+ii ) Entonces se obtiene:
[27] ii = ( 1+i )
m
-1
e inversamente: [28] i = ( 1+ii )
1/m
- 1
3.2 INTERÉS NOMINAL vs. INTERÉS EFECTIVO En el lenguaje comercial es muy común hablar de las tasas de interés en términos anuales, no obstante los intereses se paguen o causen en periodos de capitalización o composición inferiores al año, y en forma anticipada o vencida dentro de dicho periodo.
3.2.1 Interés Nominal. Es la tasa de interés que se pagará durante un periodo (generalmente un año) pero sin tomar en cuenta la periodicidad con que se paga. Por ejemplo, para un interés del 8% trimestral, el interés nominal anual sería el 32% pagadero trimestralmente. Como podemos observar, éste interés es una 109
simple multiplicación del interés en cada periodo por el número de periodos de que consta el periodo de referencia en el interés nominal (año). Por lo tanto, para definir completamente el interés a pagar, debe especificarse adicionalmente el periodo (mes, trimestre, semestre, año) y la forma de pago dentro del periodo de capitalización (vencido ó anticipado).
3.2.2 Interés Efectivo.
Es lógico que para un mismo interés nominal,
dependiendo del periodo de capitalización y la forma de pago, el interés que efectivamente se pague varíe, ya que no n o es lo mismo pagar intereses al a l final de un periodo largo que el interés equivalente pero fraccionado en periodos pequeños, puesto que al entregar intereses se deja de disponer de ese dinero. Además, por la misma razón, no es lo mismo pagar intereses al comienzo que al final de un periodo.
3.2.3 Relación De Equivalencia Entre Interés Nominal Y Efectivo (R D E). Definamos: r : Tasa de interés nominal (generalmente 1 año) Periodo de capitalización o composición: Periodo o subperiodo en el que realmente se están causando los intereses (pagando o cobrando). m: Número de periodos o subperiodos de capitalización de que consta el periodo al cual se hace referencia en r. ip: Interés del periodo o subperiodo de capitalización. Forma de capitalización o composición: es el momento en el periodo o subperiodo de capitalización en el que se causan los intereses. Si es al comienzo serán anticipados. Si es al final serán vencidos.
110
Relación de equivalencia entre r y E cuando la forma de capitalización
dentro del subperiodo es vencida Sabemos que
Por ser vencido, ip es un interés efectivo del periodo de capitalización. Mientras más frecuente sea la composición del interés, mayor será la diferencia entre la tasa de interés nominal y la efectiva. En este momento podemos utilizar la relación de equivalencia entre intereses de diferentes periodos, donde el periodo mayor es aquel al cual se hace referencia en el interés nominal, y el periodo menor corresponde al interés del periodo de capitalización: Recordando que según [27]: ii = [( 1+i )^m]-1 Análogamente E = [(1+ip)^m]-1 Luego:
[29] E=(1+r/m)m-1
111
3.3 ALGUNAS ANOTACIONES SOBRE NOMINAL Vs EFECTIVO Para el mismo interés nominal r, si el número de periodos de capitalización aumenta, la incidencia sobre el interés efectivo E es: a. Si la forma de capitalización es vencida el interés efectivo E aumenta, puesto que se pagan los intereses en periodos más pequeños, lo cual hace que el dinero por el concepto de intereses esté menos tiempo en manos de quien lo está pagando. Ejemplo: r = 36% anual Forma de capitalización: vencida Periodo de capitalización: PC
Por $1'000.000, se pagarán $360.000 de intereses, pero dependiendo del periodo de capitalización se pagarán así: Anual
$360.000 al final del año
Semestral
$180.000 al final de cada semestre
Trimestral
$ 90.000 al final de cada trimestre
Bimestral
$ 60.000 al final de cada bimestre
Mensual
$ 30.000 al final de cada mes
112
Es preferible para quien está pagando los $360.000 tenerlos en su poder el mayor tiempo posible, ya que puede obtener beneficios sobre dicho dinero, en este caso pagar $360.000 al final del año PC
n
E
Año
1
0.36
Semestre
2
0.3924
Trimestre
4
0.41158161
Bimestre
6
0,4185191123
Mes
12 0,4257608868
Una vez calculados los intereses efectivos, se verifica que realmente es más conveniente cancelar los intereses en un periodo mayor cuando la forma de capitalización es vencida. b. Si la forma de capitalización es anticipada, el interés efectivo E disminuye, puesto que el dinero por concepto de intereses permanecería mayor tiempo en manos de quien lo paga. Ejemplo 3.11 r = 36% anual Forma de capitalización: Anticipada
Por el $1'000.000 se pagarán los intereses así: 113
Anual
$360.000 al comienzo del año
Semestral
$180.000 al comienzo de cada semestre
Trimestral
$ 90.000 al comienzo l de cada trimestre
Bimestral
$ 60.000 al comienzo de cada bimestre
Mensual
$ 30.000 al comienzo de cada mes
Para quien está pagando los intereses, es preferible hacerlo al principio de cada mes. PC
n
E
Año
1
0,5625
Semestre
2
0,4872099
Trimestre
4
0,45825821
Bimestre
6
0,44954892
Mes
12
0,44124956
Calculados los intereses efectivos, se comprueba que es más conveniente cancelar los intereses en un periodo menor cuando la forma de capitalización es adelantada. Si se comparan los intereses efectivos en las formas de capitalización vencida y adelantada para un periodo de capitalización anual, se observa que la diferencia entre éstos es bastante grande: Ev = 0,36 (interés efectivo anual resultante de la forma de capitalización vencida) Ea = 0,5625 (interés efectivo anual resultante de la forma de capitalización adelantada) Ea - Ev = 0,2025 114
Ahora, si se hace la comparación para un periodo de capitalización mensual la diferencia entre estos intereses es muy pequeña. Ev = 0,4257608868 (interés efectivo anual pagadero mensualmente vencido) Ea = 0,4412495627 (interés efectivo anual pagadero mensualmente anticipado) Ea - Ev = 0,0154886759 Resumiendo: Para el mismo interés nominal r, si el periodo de capitalización es grande, habrá una mayor diferencia entre los intereses efectivos resultantes de las dos formas de capitalización: anticipada y vencida respectivamente; mientras que si el periodo es pequeño dicha diferencia será menor.
3.4 TASAS DE INTERÉS EN CADENA Hay casos en los que existe más de un tipo de interés actuando a la vez y en cadena sobre un capital, es decir, sobre el capital se aplica una tasa de interés generando un "nuevo capital" y sobre éste se aplica otra tasa de interés obteniéndose una nueva cantidad. Un ejemplo del uso de tasas de interés en cadena puede observase en nuestro medio, en el cual es muy común trabajar con UPACS en las corporaciones de ahorro y vivienda. En dichas corporaciones se habla de "interés por corrección monetaria" y de un "interés adicional sobre saldo corregido", este último se aplica una vez hecha la corrección monetaria. El objetivo de la creación de la UPAC (Unidad de Poder Adquisitivo Constante) fue, tener una unidad que eliminara los efectos de la inflación y así, mantener un supuesto poder de compra similar a través del tiempo, de esta forma la corrección monetaria se encargaría de ir 115
colocando el valor de dicha unidad en un nivel tal que mantuviera su poder adquisitivo. Sin embargo, se crearon posteriormente topes (límites) para la corrección monetaria. Si la inflación se presenta por debajo de dicho tope, hasta éste punto llega la corrección monetaria; pero, si la inflación sobrepasa el tope, la corrección monetaria llega sólo hasta el límite. Después no sólo se dieron dichos topes sino que la corrección monetaria se calculó con base en una ponderación entre la inflación y las tasas de interés vigentes en el sistema bancario DTF. Actualmente ya nada tiene que ver con la inflación. Su cálculo solo depende del valor de la tasa de captación DTF. Así: "La corrección correcc ión monetaria para e l próximo mes será ser á el 74% del promedio pr omedio de la DTF de las últimas cuatro semanas. VALOR DEL UPAC PRIMER DIA DE CADA MES 296,94
300,73
305,00
309,39
314,00
A O ENERO FEBRERO MARZO ABRIL
MAYO
JUNIO
72 74
125,05
127,22
129,30
131,28
133,31
135,56
75
151,66
154,03
156,20
158,64
161,03
163,55
76
181,48
184,18
186,57
189,10
191,68
194,28
77
213,49
216,51
219,28
222,38
225,43
228,62
78
251,92
255,48
258,75
262,41
266,01
269,77
79
292,81
296,94
300,73
305,00
309,39
314,00
80
347,71
352,87
357,77
363,08
368,29
373,76
116
81
415,53
422,31
428,53
435,53
442,41
449,63
82
502,79
511,00
518,53
526,99
535,31
544,05
83
610,08
620,08
630,84
642,01
652,54
663,56
84
736,74
746,69
755,84
765,95
775,98
789,26
85
879,44
894,31
908,22
924,33
940,19
956,87
86
1.080,35 1.099,46
1.115,66 1.133,87 1.151,77 1.170,57
87
1.301,01 1.322,24
1.341,72 1.363,62 1.385,15 1.407,76
88
1.574,22 1.599,84
1.624,19 1.650,66 1.677,79 1.706,28
89
1.926,42 1.959,71
1.990,52 2.025,10 1.058,98 2.094,37
90
2.352,28 2.393,91
2.431,78 2.474,41 2.516,57 2.561,67
91
2.933,48 2.993,87
3.051,07 3.113,72 3.174,43 3.239,34
92
3.727,89 3.801,48
3.869,22 3.939,66 4.005,24 4.066,33
93
4.480,24 4.546,02
4.605,96 4.672,14 4.736,36 4.806,86
94
5.324,29 5.403,82
5.477,23 5.559,74 5.640,77 5.725,59
95
6.397,30 6.522,48
6.640,92 6.772,11 6.898,81 7.033,65
96
7.946,44 8.092,70
8.234,40 8.385,98 8.538,86 8.701,06
97
9.799,67 9.958,90
10.098,53 10.247,89 10.394,57 10.545,23
98
11.576,3 11.739,9
11.890,92 12.062,86 12.246,23 12.454,09
117
AÑO JULIO
AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE
72
100,52
101,50
102,63
74
137,83
140,24
142,70
144,85
147,11
149,33
75
166,02
168,61
171,23
173,70
176,28
178,82
76
196,74
199,23
202,03
204,79
207,68
210,52
77
231,75
235,03
238,36
241,62
245,05
248,40
78
273,33
276,63
279,86
282,76
285,89
289,02
79
318,52
323,26
328,07
332,79
337,75
342,61
80
379,13
384,75
390,46
396,09
402,54
408,88
81
456,73
464,18
471,76
479,21
487,03
494,72
82
552,64
561,66
570,83
579,84
589,33
599,45
83
674,66
686,14
696,92
707,18
717,26
726,78
84
798,55
811,16
824,31
837,62
851,66
865,30
85
973,29
990,55
1.008,12
1.025,42
1.043,61
1.061,52
86
1.189,02 1.207,21 1.224,51
1.242,03
1.261,19
1.280,21
87
1.429,99 1.453,33 1.477,05
1.500,37
1.524,86
1.548,94
88
1.734,32 1.763,86 1.796,29
1.828,25
1.861,81
1.893,51
89
2.128,50 2.164,36 2.200,16
2.235,52
2.273,86
2.311,91
90
2.609,27 2.659,60 2.711,86
2.764,00
2.818,87
2.874,36
91
3.304,26 3.371,95 3.440,53
3.509,62
3.582,73
3.654,29
92
4.124,80 4.182,57 4.239,00
4.293,28
4.352,97
4.414,81
93
4.876,14 4.948,76 5.022,81
5.095,49
5.171,44
5.246,16
94
5.807,88 5.894,14 5.982,67
6.072,11
6.177,09
6.282,23
118
95
7.168,96 7.309,83 7.438,10
7.559,64
7.688,84
7.814,82
96
8.855,34 9.014,95 9.180,86
9337,62
9.491,43
9.641,93
97
10.686,94 10.831,98 10.979,08
11.121,5
11.270,5
11.417,3
98
12.920,9 13.186,5*
119
EJERCICIOS
Relación de equivalencia entre intereses de diferente periodos
Ejemplo 1. Un interés del 3% mensual a cuánto equivale en términos anuales?. En este caso el periodo menor es el mes, y el periodo mayor es el año. Datos : i: 3% mensual n: 12 ( dado que el periodo mayor, año, consta de 12 periodos menores, meses) ii: ? ii = (1+0,03)^12 - 1 = 42,576%
Ejemplo 2. Compruebe que invertir $1'000.000 al 36% anual durante 5 años es aproximadamente igual que invertirlo al 2.5955% mensual durante 60 meses. P= $1'000.000 ii= 0,36 anual : i= 0,025955 mensual n= 5 años : n=60 meses F = P ( 1+ii )^n; F = P ( 1+i )^n F = $1'000.000(1+0,36) 5; F=$1'000.000(1+0,02595)60
F = $4'652.587,417; F=$4'651.272,123
120
Ejemplo 3. Usted recibe un préstamo de un fondo de empleados por un monto de $1'000.000 pagadero en tres años de la siguiente forma: Cuotas mensuales iguales por un valor A. Cuotas semestrales extraordinarias por un valor de $50.000 cada una. Si el fondo le presta a un interés del 2% mensual, cuál será el valor real de A?
Los pagos mensuales generan una serie uniforme de valor desconocido A, a un interés del 2% mensual durante 36 periodos. Los pagos semestrales generan otra serie uniforme de $50.000 a un interés semestral desconocido ii durante 6 periodos. P= $1'000.000 i= 0,02 mensual ii=? n=6 Dado que un semestre consta de 6 meses ii= (1+i)n-1 ii= (1+0,02)6-1 = 0,12616 Cálculo de A 1'000.000= A(P/A,2%,36)+50.000(P/A,12.616%,6) 1'000.000= A(25,4888) + 50.000 (4,0406)
A= $31.306,56 121
Ejemplo 4. 4. Usted decide comprar un carro el cual deberá ser pagado con cuota inicial del 25% y el resto financiado al 39,29% anual. Deberá cancelar 24 cuotas mensuales vencidas y 4 cuotas semestrales vencidas. Teniendo en cuenta que el valor de una cuota semestral vencida es igual al valor de 3 cuotas mensuales y que el saldo después del primer pago semestral es de $1'212.478,60. Cuál fue el valor de compra del carro?
Sabiendo que i = (1+ii)^(1/n)-1 podemos calcular el interés mensual i MENSUAL= (1+ 0.3929)^(1/12) - 1 i MENSUAL= 2.8% Podemos calcular el interés semestral así: i SEMESTRAL = (1+i)^n-1=(1,028)^6-1 i SEMESTRALL = 18.02% . 0,75 P=A(P/A,28%,24) + 3A(P/A,18.02%,4) 0,75 P=17.30626A + 3(2.689)A P=33.83A [1] Dado que el saldo presentado en el enunciado para el mes 6 (seis) fuera pagado, el diagrama de flujo sería el siguiente:
122
Trayendo el valor de todos los flujos al momento cero tenemos: 0,75P=3A(P/F,18.02%,1) + 1'212.478(P/F,18.02%,1) + A(P/A,2.8%,6) 0,75P=2,542A+1'027.350 + 5,453A [2] Reemplazando la ecuación [1] en la [2] 0,75(33.83A)= 7,995A +1'027.350 A = $59.117 El valor del carro es: P=33,83(59.117)
P = $2'000.000
Ejemplo 5. Usted quiere obtener una rentabilidad sobre su dinero del 35% anual. Si las entidades que ha consultado pagan los intereses mensualmente, cuál será la tasa de interés mensual que equivale al 35% anual? ii=35% anual i= ? mensual i=(1+0,35)1/12 - 1= 0,025324
i=2.53% mensual
123
Relación de equivalencia entre efectivo y nominal cuando la
capitalización es vencida
Ejemplo 6. INSA Ltda. requiere $1'000.000 durante 1 año y para ello acude a los bancos comerciales, los cuales están prestando dinero a una tasa del 32% nominal anual pagadero trimestralmente vencido. Como INSA requiere el $1'000.000 durante todo el año, cada vez que requiera pagar intereses, acudirá a otro banco por un nuevo préstamo y al final del año cancelará todas las deudas ocasionadas por el $1'000.000 solicitado. Construya un diagrama para cada transacción con cada banco y uno final en el que se resuman dichas transacciones. Encuentre a partir de ello el interés efectivamente pagado por INSA, el cual será lo que pague por encima del $1'000.000 al final del año expresado como un porcentaje (%) del $1'000.000 que recibió. Compare dicho resultado con el que se obtiene utilizando la fórmula desarrollada. r=0,32 anual n= 4 trimestres = 0,32/4 = 0,08 (Interés efectivo trimestral) Inicialmente INSA acude al banco A para solicitar el $1'000.000 requerido El pago de intereses al banco A genera una serie uniforme con un valor de $80.000, es decir el 8% de $1'000.000 durante 4 trimestres.
124
Una vez transcurrido el primer trimestre del año, INSA acude al banco B para solicitar los $80.000 que debe pagar de intereses en el banco A.
El pago de intereses al banco B genera una serie uniforme con un valor de $6.400 (8% de $80.000) durante los tres trimestres que restan del año. Ya han pasado dos trimestres e INSA acude al banco C para solicitar los $80.000 que debe pagar al banco A, más los $6.400 de intereses a pagar en el banco B
El pago de intereses al banco C genera una serie uniforme de 2 flujos con un valor de $6.912 (8% de %86.400). 125
Transcurridos tres trimestres, INSA acude al banco D para solicitar el dinero que debe pagar por intereses: $80.000 al banco A, más $6.400 al banco B, más $6.912 al banco C.
El pago de intereses al banco D genera un flujo de $7.464,96. Al finalizar el año INSA debe cancelar todos los préstamos más los intereses causados en el último trimestre en cada uno de los bancos.
Lo que INSA efectivamente pagó por intereses fueron $360.488,96, es decir, el 36.048896% del $1'000.000. Utilizando la fórmula desarrollada obtenemos:
E = 0,36048896 E = 36.048896%
126
Ejemplo 7. Usted está pensando en abrir una cuenta en uno de tres bancos. Cuál de ellos ofrece la mejor tasa de interés? Banco N.1 Interés anual del 6.7% capitalizado trimestralmente vencido. Banco N.2 Interés anual del 6.65% capitalizado mensualmente vencido. Banco N.3 Interés anual del 6.65% Capitalizado continuamente. Para el Banco N.1 : r = 6.7%, n=4 E1 = ( 1 + r / n ) -1 E1 = ( 1 + 0.067 / 4 ) 4 - 1 E1 = 6.87% efectivo Para el Banco N.2: r = 6.65%, n= 12 E2 = ( 1 + 0.0665 / 12 ) 12 - 1 E2 = 6.856% efectivo Para el Banco N.3: r = 6.65%, n=365 E3 = (1 + 0.0665 / 365 ) 365 - 1 E3 = 6.875% efectivo
Entonces el banco N.3 es el que ofrece una tasa de interés más favorable. Intereses Anticipados vs Vencidos (Efectivos) Ejemplo 8. Usted solicita un préstamo de $600.000 a un año y por ellos le cobran un interés anticipado del 20%. Cuál es el interés efectivamente pagado por el dinero?
127
=
= 0,25
i = 25% Note que usted solo recibe $480.000 y al pagar $600.000 esta pagando $120.000 más de lo que recibió lo cual representa un 25% de interés:
Ejemplo 9. Si un banco quiere obtener una tasa efectiva anual del 36%, cuánto deberá cobrar en forma anticipada anual para obtenerla?
ia=26.47% anual
Relación de equivalencia entre nominal y efectivo cuando la forma de capitalización del subperiodo es anticipado Ejemplo 10. INSA Ltda requiere $1'000.000 durante un año, y para ello acude a la banca comercial, la cual está prestando al 30% nominal anual pagadero semestralmente anticipado. Como INSA requiere del $1'000.000 durante todo el año, deberá inicialmente solicitar un monto lo suficientemente adecuado para que al descontarle los intereses reciba el millón completo, y cada vez que requiera pagar intereses, efectuará una operación similar con otro banco, de forma que no requiera hacer desembolsos de sus propios fondos. 128
Realice diagramas que ilustren la operación con cada banco y el resultado neto. Compare los resultados de los diagramas con el obtenido mediante la fórmula desarrollada.
r =0,30 ; n =2 ia = (interés semestral anticipado) P(1 - ia ) = 1'000.000
P = 1'176.470,588 Inicialmente INSA acude al banco A con el fin de solicitar $1'176.470,588 para poder disponer durante el año del millón de pesos, ya que los $176.470,588 se emplean en el pago adelantado de intereses por el primer semestre.
129
La equivalencia entre los diagramas se interpreta así: Pagar el 15% semestral anticipado por $1'176.470,588 (diagrama 1), es igual que pagar el 17,6470588% semestral vencido por el $1'000.000 (diagrama 2). Para pagar los intereses del banco A del segundo semestre INSA acude al banco B. P(1 - ia) = 176.470,588 P = 176.470,588/(1 - 0,15)
P = $207.612,4565 Ya que INSA debe pagar $176.470,588 al banco A más los interés adelantados por el segundo semestre del año al banco B, el préstamo a solicitar en éste es de $207.612,4565.
130
De igual manera, pagar el 15% semestral anticipado por $207.612,4565, es igual que pagar el 17,6470588% semestral vencido por $176.470,588. Al finalizar el año, INSA debe cancelar los préstamos a los bancos A y B.
INSA efectivamente pagó por interés $384.083,045, es decir el 38,4083045% del $1'000.000. Utilizando la fórmula desarrollada se tiene:
E=
E = 0,38408304 E= 38.40%
Relación RV vs RA 131
Ejemplo 12. Un banco busca obtener un interés efectivo anual equivalente para sus diferentes formas de presentación de tasas a cobrar. Si una de dichas tasas es el 34% trimestre anticipado, cuál será la tasa nominal que pagada trimestralmente vencida sea equivalente? r a = 34% trimestral n=4 = 4(0,34)/(4 - 0,34) rv = 0,3715846995 trimestral rv = 37,15846995% trimestral
b. Si las n son diferentes:
Ea=
Igualando Ev y Ea se obtiene: ra = na[1 - (nv/(nv + rv))nv/na] rv = nv[(na/(na - ra))na/nv - 1]
Ejemplo 13. Un banco ofrece a sus clientes varias modalidades de pago e intereses en sus diversas líneas de crédito para industrias ya establecidas, pero 132
desde el punto de vista del banco son equivalentes, una de ellas, por ejemplo, para el préstamo de 2’000.000 a 2 años y con intereses del A% nominal anual
pagadero trimestralmente vencido, genera cuotas (que incluyen capital e intereses) trimestrales por un valor de $ 348.029,52 cada una. Cuál sería la cuota uniforme semestralmente anticipada a pagar con intereses nominales anualmente pagaderos semestralmente anticipados?
P = A [ ( 1 + i ) n - 1 ] / [ ( 1 + i ) n i ] P = $ 2’000.000
A = $ 348.029,52 n = 8 trimestres i = interés trimestral efectivo
Reemplazando: 2’000.000 = 348.029,52 [ (1 + i ) 8 - 1 ] / [ (1 + i ) 8 i ],
por calculadores i = 8% por prueba y error i = 8% efectivo trimestral. El interés nominal anual será: r / n = 0,08 r = 32% nominal anual 133
La cuota uniforme semestralmente anticipada con intereses nominales anuales la encontramos así: P = A + A [ ( 1+ i ) n -1 ] / [ ( 1 + i ) n i ) P = 2’000.000
n = 3 meses A = valor de al cuota isem = ( 1 + i trim )n -1 isem = ( 1 + 0,08 ) 2 - 1 isem = 0,1664 = 16,64% Reemplazando: 2’000.000 = A + A [ ( 1 + 0,01664 ) 3 - 1 ] / [ ( 1 + 0,01664 ) 3 (0,01664) ]
A = 620.628,78 cuota semestral anticipada.
Tasas de interés en cadena
Ejemplo 14. Se recibe, de una corporación de ahorro y vivienda, un préstamo de $10'000.000 en un momento en que el valor de la UPAC es $5.000 La corporación colocó las siguientes condiciones: Plazo: un año Interés: corrección monetaria del 21% anual y un interés adicional del 10% efectivo anual sobre saldo corregido. En pesos:
134
Sobre los$10'000.000 se hace la corrección monetaria que es del 21% anual: 10'000.000(1+0.21) = $12'100.000 Es decir, los $10'000.000 equivaldrían a $12'100.000 dentro de un año, siendo éste el saldo corregido. Sobre dicho saldo se aplica ahora el interés adicional del 10% efectivo anual en el mismo año: 12'100.000(1+0.1) = $13'310.000 Esta cantidad, $13'310.000 es lo que debe pagarse al final del año de plazo, y por tanto en este momento la UPAC debe ser también corregido: Valor del UPAC: $5.000 5000(1+0,21)= $6.050 0______________1 Entonces, una UPAC vale $6.050. Si se observa los $10'000.000 en términos de UPACS en el momento del préstamo y al término de un año se tiene entonces mediante la aplicación de la corrección monetaria: Pesos:
135
Valor del UPAC: UPACS
Como se observa, la UPAC conserva su poder adquisitivo, es decir, tanto en el momento del préstamo como al finalizar el año de plazo, éste equivale a 2.000 UPACS. Aplicando ahora el interés adicional del 10% sobre el saldo corregido del préstamo, obtenemos la cantidad total a pagar tanto en pesos como en UPACS. Pesos: $12'100.000(1+0.1) = $13'310.000 UPACS: 2.000(1+0.1) = 2.200 (UPACS de ese momento) Se sabe que el valor final del UPAC es $6.050., luego: 2.200($6.050) = $13'310000 136
Que concuerda con la cantidad calculada inicialmente. De analizar el anterior ejemplo, se puede concluir fácilmente que si tenemos: i1= tasa de interés efectiva del tipo 1 i2= tasa de interés efectiva del tipo 2 it= tasa de interés efectiva total (Reúne los tipos de interés) Se obtiene:
[32] it= (1+i1) (1+i2) - 1
En el Ejemplo 14: i1= tasa por corrección monetaria (21%) i2= tasa de interés adicional (10%) it= (1+0.21) (1+0.1) - 1 = 33,1% Con este interés efectivo total podemos directamente obtener el saldo final: $10'000.000 (1+0.331) = $13'310.000 NOTA: Debe tenerse en cuenta que i1 e i2 sean tasas de interés efectivas en su tipo, y correspondientes al mismo periodo de tiempo. El anterior no es el único caso en el que se presentan intereses en cadena, también los hay cuando por ejemplo, se hace una inversión en el exterior en moneda de ese país, supongamos Estados Unidos cuya moneda es el dólar. 137
Por ello, habrá que convertir, inicialmente, los pesos en dólares, invertir los dólares (en Estados Unidos) sobre los cuales se recibe un interés por rentabilidad de la inversión, generándose un nuevo monto en dólares. Estos "nuevos" dólares al convertirlos en pesos, reportarán un mayor número de pesos por cada dólar, esto por efecto de la devaluación.
Ejemplo 15. Supongamos que un inversionista colombiano va a realizar un proyecto en USA que consiste en invertir US$10.000, para recibir al cabo de un año US $11.200. Si al momento de realizar la inversión la tasa de cambio es $700 por cada dólar y al final del año será un 25% mayor por efecto de la devaluación. Cuál será la rentabilidad lograda en pesos colombianos? i1= interés en USA en dólares i2= devaluación del peso respecto al dólar (debido a la devaluación, al cambiar un dólar por pesos, se debe recibir una mayor cantidad de pesos) it= interés total recibido en pesos colombianos Periodo: 1 año i1= (11.200-10.000)/10.000 = 12% i2= 25% it= (1+0.12) (1+0.25) - 1 = 40% Observemos el movimiento en dólares, pesos y la tasa de cambio:
138
Es equivalente a hacer el cálculo: 7'000.000*(1+0.4)= $9'800.000
Ejemplo 16. Un inversionista Colombiano piensa invertir $20'000.000 en un proyecto mexicano, el cual requiere exactamente esa cantidad a la tasa de cambio actual. Este dinero rentará en México un equivalente al 2,5% mensual, obteniéndose al cabo de 2 años NPMEX$180.872,60. Si el peso colombiano, a un ritmo de devaluación del 20% anual respecto al nuevo peso mexicano (NPMEX$) tiene al cabo de 2 años una tasa de $288 pesos colombianos por cada nuevo peso mexicano ($288/NPMEX$). Cuál será la rentabilidad anual obtenida por el e l inversionista colombiano y cuál será el flujo f lujo tanto en pesos colombianos como en nuevos pesos mexicanos? Se calcula inicialmente la tasa de cambio actual, sabiendo que dentro de 2 años la tasa de cambio será $288/NPMEX$ y la devaluación será del 20%:
139
Conociendo TC0 y aplicando la devaluación tendríamos: TC1= TC0(1+0.2)2 Luego: $288/NPMEX$= TC0 (1,44) TC0=$200/NPMEX$ i1= interés anual en nuevos pesos mexicanos i2= devaluación anual del peso colombiano respecto al nuevo peso mexicano it= interés anual en pesos colombianos i1=(1+0,025)12 - 1 = 34,488% i2= 20% it= (1,34488) (1,2)- 1 = 61,386% Por los 2 años, el inversionista obtendría: F= 20'000.000 (1+0,61386)2 = $52'090.623,78 Los flujos serían entonces:
140
3.5 UNIDAD DE VALOR REAL CONSTANTE CONST ANTE (UVR) Este es el nuevo sistema de refinanciación de creditos : el sistema UVR.
3.5.1 El Sistema Colombiano de Ahorro y Vivienda.
La ley de vivienda
Espíritu Señalar los criterios para que el Gobierno regule un sistema especializado de financiación de vivienda individual a largo plazo, ligado al índice de precios al consumidor Determinar condiciones especiales para la vivienda de interés social urbana y rural. Fijar las condiciones para hacer efectivo el derecho constitucional a la vivienda digna
Objetivos Proteger el patrimonio de las familias representado en vivienda. Proteger y fomentar el ahorro destinado a la financiación y a la construcción de vivienda. Proteger a los usuarios de los créditos de vivienda. Propender por el desarrollo de mecanismos eficientes de financiación de vivienda a largo plazo. 141
Velar para que el otorgamiento de los créditos consulten la capacidad de pago de los deudores. Facilitar el acceso a la vivienda en condiciones de equidad y transparencia. Promover la construcción de vivienda en condiciones financieras que hagan asequible la vivienda a un mayor número de familias. Priorizar los programas y soluciones de vivienda de las zonas afectadas por desastres naturales y actos terroristas.
Reliquidación de créditos de Vivienda
Objetivo Proporcionar alivio a los deudores de créditos de vivienda, al día o en mora, afectados por el desproporcionado crecimiento de las deudas hipotecarias. Criterios generales a tener en cuenta para las reliquidaciones de los créditos 1. Los abonos se hacen para un crédito por persona. 2. Si el deudor tiene varios créditos de vivienda, deberá elegir aquel sobre el cual se hará el abono e informarlo a los establecimientos de crédito. 3. Los abonos se hacen sobre todos los créditos que existan para una misma vivienda 4. En caso de que el crédito haya sido reestructurado en una una misma entidad, la reliquidación se efectuará teniendo en cuenta la fecha del crédito originalmente pactado. 142
5. Las reliquidaciones y los abonos cobijan a todos los los créditos de vivienda vigentes al 31 de diciembre de 1999. 6. No importa el saldo . 7. La reliquidación se hace a partir del 1 de enero de 1993 o de la fecha de su desembolso. 8. No importa si fue cedido una o más veces. 9. Quien acredite que que hasta el 31 de diciembre diciembre se encontraba atendiendo un crédito de vivienda a nombre de otra persona natural o jurídica, puede requerir la subrogación del crédito a la entidad financiera. 10. La subrogación se puede solicitar entre enero y marzo. 11. La persona a quien se le subrogue el crédito, debe demostrar capacidad de pago adecuada para continuar con la obligación. 12. Obtenida la subrogación, los créditos pueden beneficiarse de la reliquidación.
Sanciones
No se puede recibir más de un abono. Si se acepta, el deudor tiene 30 días para restituir los abonos que recibió. Si no lo hace incurrirá en las sanciones penales establecidas para la desviación de recursos públicos.
143
Reliquidación Créditos Al Día
Créditos al día: Aquellos que al 31 de diciembre de 1999 no se encontraban
atrasados en más de 30 días. La reliquidación es automática.
Proceso
Para créditos denominados en Upac 1. Si el crédito fue desembolsado desembolsado con anterioridad al 1 de enero de 1993, se toma el saldo en Upac al 31 de diciembre de 1992 2. Ese saldo se convierte en pesos con base en la cotización de la Upac Upac a esa fecha. 3. El resultado se divide por el valor en pesos de la UVR correspondiente al 1 de enero de 1993. 4. Si el crédito fue desembolsado con posteridad al 1 de enero de 1993, se toma toma el saldo en Upac a la fecha del desembolso y se convierte a pesos utilizando la cotización de la Upac en esa misma fecha. 5. El resultado de la conversión, se divide divide por el valor en pesos de la UVR de ese día. Para créditos denominados en pesos 1. Si el crédito fue desembolsado desembolsado con anterioridad al 1 de enero de 1993, se divide el saldo en pesos a 31 de diciembre de 1992, por el valor en pesos de la UVR al 1 de enero de 1993. 144
2. Si el crédito se desembolsó con posteridad al 1 de enero de de 1993, se divide el el monto del mismo, en la fecha del desembolso, por el valor en pesos de la UVR de ese día.
Pasos generales para la reliquidación tanto en pesos como en upac
1. El número de UVR resultante de las divisiones divisiones realizadas en los créditos en pesos o en Upac, constituye el monto o saldo inicial del crédito para efectos de la reliquidación. 2. Una vez determinados los saldos, se toma uno a uno los pagos realizados por el deudor en cada una de las fechas en que se hicieron, tal como si el crédito efectivamente desde su inicio se hubiera denominado en UVR. 3. Se debe tener en cuenta la tasa de interés: interés: Si el crédito estaba en Upac, se reliquida utilizando los mismos puntos adicionales que se convinieron en la fecha de cada pago sobre la UVR.
Ejemplo: si un crédito se pactó a CM + 18 y posteriormente se modificó a CM +16, estos puntos adicionales se tienen en cuenta para la reliquidación, según como estuvieran vigentes el día de cada pago. 4. Una vez efectuada la reliquidación, incluido el crédito de Fogafín, se se establece la diferencia en moneda legal entre el saldo registrado por la entidad al 31 de diciembre de 1999 y el que para esa misma fecha se obtuvo con el proceso de reliquidación. 5. La diferencia entre uno y otro es el valor del abono para cada crédito, que se se aplica a la deuda contraída con el establecimiento de crédito. 145
6. La reliquidación correspondiente al crédito de Fogafín, se abona al saldo del préstamo.
Régimen De Financiación De Vivienda A Largo Plazo
Condiciones de los créditos 1.
Los créditos de vivienda vivienda individual a largo plazo se denominan
exclusivamente en UVR 2.
Se destinan a la compra de vivienda nueva o usada o a la construcción de
vivienda individual. 3.
Tienen una tasa de interés remuneratoria, calculada sobre la UVR, que se
cobra en forma vencida y no podrá capitalizarse. 4.
La tasa tasa de interés es fija durante toda toda la la vida del crédito, a menos que que las
partes acuerden una reducción de la misma. 5.
La tasa debe expresarse en términos anuales efectivos
6.
Los créditos tiene un plazo para su amortización comprendido entre 5 y 30
años 7.
Las garantías de los créditos son hipotecas de primer grado constituidas
sobre las viviendas financiadas. 8.
El monto máximo del crédito no puede exceder el porcentaje establecido por
el Gobierno sobre el valor de la vivienda (70%*).
146
9.
La primera cuota del préstamo no puede representar más del 30%* de los
ingresos familiares. 10. Los créditos pueden prepagarse total total o parcialmente sin penalidad. 11. Si hay prepagos parciales, el deudor tiene derecho a elegir si el monto abonado disminuye el valor de la cuota o el plazo. 12. El establecimiento de crédito tiene tiene que obtener y analizar la información información referente al respectivo deudor y a la garantía, de tal manera que proyecte la evolución del precio del inmueble y de los ingresos del deudor 13. Los créditos deben estar asegurados contras los riesgos determinados por el el Gobierno: incendio, vida y terremoto. 14. Los sistemas de amortización amortización deben ser aprobados por la Superintendencia Superintendencia Bancaria.
Sistema De Amortización
Unidad de valor real constante (UVR). Unidad de cuenta que refleja el
poder adquisitivo de la moneda, con base en la variación del IPC certificada por el DANE. La metodología de cálculo la estableció el Conpes (Actualmente se estudia en el congreso que el ente quien debe definir el valor de la Uvr sea el banco de la Republica y no el Conpes) .
147
Si se modifica su metodología, ésta no afectará los contratos ya suscritos, ni los bonos hipotecarios o títulos emitidos en procesos de titularización de cartera hipotecaria. Metodología para el cálculo de la UVR El valor en moneda legal colombiana de la UVR cambiará diariamente durante el período de cálculo comprendido entre el 16 de un mes hasta el 15 del mes siguiente, de acuerdo con la siguiente fórmula: UVR = UVR * (1+i)
Feb15
Feb16
Marzo15
Marzo16 0
1
29
1
Donde, UVR = valor en moneda legal colombiana de la UVR el día t del período de cálculo UVR = valor en moneda legal colombiana de la UVR el último día del período de cálculo anterior i = variación mensual IPC t = número de días calendario transcurridos desde el inicio de un período de cálculo hasta el día de cálculo de la UVR d= número de días calendario del respectivo período de cálculo
Valor de la UVR 148
El primero de enero del 2000 se fijó el primer valor en pesos de la UVR en $103.3396: La equivalencia entre la UPAC (Unidad de poder Adquisitivo Constante) y la UVR a diciembre 31 de 1999 fue: $160.7750 para convertir las operaciones de Upac a UVR. Graficamente una cuota fija en UVr's es un flujo cambiante decreciente pero lineal Ejemplo:
UVR 16 de abril = 107.9417 A. Cuotas iguales en UVR Se calcula una cuota constante en e n UVR para toda la vida del credito, ej.
Flujo en UVR's:
149
i anual=12% i mensual=0.948879293% Uvr=$103.8641 A=111.7795 Uvr
Flujo en pesos:
Características
1. Se puede llamar de cuota baja 2. La cuota incluye capital más intereses 3. La cuota mensual es constante en UVR 4. El incremento de la cuota en pesos es equivalente a la inflación mensual, la cual en términos acumulados es equivalente a la inflación del año 5. El saldo decrece en UVR´s, ya que hay amortización de capital desde la primera cuota y por lo tanto en pesos el incremento del saldo de la deuda es menor a la inflación. 6. No se presenta capitalización de intereses 150
Ventajas
1. El incremento de la cuota es igual o inferior inferior al ajuste porcentual del salario mínimo anual, en razón a que el incremento del salario mínimo deberá ser al menos el crecimiento de la inflación, según fallo de la Corte Constitucional. 2. Si el comportamiento de los precios en el mercado inmobiliario se asemeja a la inflación e inclusive es un poco menor, tanto el deudor como las entidades financieras tendrían un cubrimiento del saldo de la deuda frente al valor de la garantía por lo menos equivalente a la relación definida en el momento del desembolso de la obligación
Aspectos a tener en cuenta
1. El incremento de la cuota es mensual, frente a los incrementos salariales que se ajustan anualmente. 2. Si bien es cierto que en términos anualizados el incremento de la cuota no es mayor a la inflación, se presentan incrementos mensuales diferentes por la ciclicidad del comportamiento de la inflación durante los primeros meses del año. 3. El valor de la cuota en UVR´s es conocido desde el inicio del crédito. El valor en pesos se conoce mensualmente, una vez la Secretaría Técnica del Consejo Superior de Vivienda publique el valor de la UVR.
Ejemplo Supuestos: Tasa de interés: 12 % Inflación mensual: 1% Credito: $1.000.000 151
Tasa de #Cuota Unidad
Saldo en Saldo en Cuota en interes
Amortizacion
pesos
en unidades
unidades unidades en unidades
Cuota en pesos
0
100
1.000.000 10.000
1
101
1.007.858 9.979
116.10
94.89
21.21
11.726
2
102.1
1.015.752 9.957
116.10
94.69
21.41
11.843
3
103.3
1.023.683 9.936
116.10
94.48
21.62
11.962
4
104.6
1.031.649 9.914
116.10
94.28
21.82
12.081
5
105.10 1.039.650 9.892
116.10
94.07
22.03
12.202
6
106.15 1.047.686 9.870
116.10
93.86
22.24
12.324
7
107.21 1.055.756 9.847
116.10
93.65
22.45
12.447
8
108.29 1.063.860 9.825
116.10
93.44
22.66
12.572
9
109.37 1.071.997 9.802
116.10
93.22
22.88
12.698
10
110.46 1.080.166 9.779
116.10
93.01
23.09
12.825
11
111.57 1.088.367 9.755
116.10
92.79
23.31
12.953
12
112.68 1.096.599 9.732
116.10
92.57
23.53
13.082
13
113.81 1.104.861 9.708
116.10
92.34
23.76
13.213
152
B. Sistema Abono a Capital Constante en Uvr´s Abonos a capital constante en UVR's es una serie variable pero porcentual.
Se calcula asi: Cuota =Interes + Abono a capital Abono cte = P/n
Periodo Saldo
Int.
A*C
Cuota
Saldo
1
P
P*i
P/n
P*i + (n/P)
P-(P/n)
2
[P- (P/n)]
[P- (P/n)]*i
P/n
i[P-(P/n)]+(n/P)
P - 2(P/n)
Características
1. Este sistema se podría llamar de cuota media. 2. La cuota mensual decrece en unidades. 3. El incremento de la cuota en pesos es menor a la inflación. 153
4. El saldo decrece en UVR´s, ya que hay amortización de capital desde la primera cuota y por lo tanto en pesos el incremento del saldo de la deuda es menor a la inflación. 5. No se presenta capitalización de intereses.
Ventajas
1. El incremento de la cuota es menor menor al ajuste ajuste porcentual del salario mínimo anual. 2. Si el comportamiento de los precios en el mercado inmobiliario se asemeja a la inflación e inclusive es un poco menor, tanto el cliente como las entidades financieras tendrían un cubrimiento de saldo de deuda frente al valor de la garantía mayor a la relación definida en el momento del desembolso de la obligación (relación saldo de la deuda sobre valor real del inmueble).
Aspectos a tener en cuenta:
1. Si bien es cierto que en términos anualizados el incremento de la la cuota es menor a la inflación, se presentan incrementos mensuales diferentes por la ciclicidad del comportamiento de la inflación durante los diferentes meses del año. 2. El valor de la cuota por millón en pesos es más exigente que que en el sistema de cuota baja y que el promedio de sistemas de amortización utilizados actualmente por las entidades financieras, lo que dificulta el acceso a los créditos hipotecario para vivienda teniendo en cuenta la relación cuota ingreso esperada. 3. El valor de la cuota en UVRs es conocido desde el inicio del crédito. El valor en pesos se conoce mensualmente, una vez la Secretaría Técnica del Consejo Superior de Vivienda publique el valor de la UVR. 154
Ejemplo Supuestos: Tasa de interés: 12 % Inflación mensual: 1% Credito: $1.000.000
Tasa de Abono a #Cuota Unidad
Saldo en Saldo en Cuota en interes
capital
pesos
en
unidades unidades en
unidades unidades
Cuota en pesos
0
100
1.000.000 10.000
1
101
1.004.389 9.944
150.44
94.89
55.56
15.195
2
102.1
1.008.766 9.899
149.92
94.36
55.56
15.293
3
103.3
1.013.129 9.833
149.39
93.83
55.56
15.392
4
104.6
1.017.479 9.788
148.86
93.31
55.56
15.491
5
105.10 1.021.815 9.722
148.33
92.78
55.56
15.590
6
106.15 1.026.136 9.667
147.81
92.25
55.56
15.690
7
107.21 1.030.441 9.611
147.28
91.72
55.56
15.790
8
108.29 1.034.730 9.656
146.75
91.20
55.56
15.891
9
109.37 1.039.001 9.500
146.23
90.67
55.56
15.993
10
110.46 1.043.254 9.444
145.70
90.14
55.56
16.094
11
111.57 1.047.489 9.389
145.17
89.62
55.56
16.196
12
112.68 1.051.703 9.333
144.64
89.09
55.56
16.299
13
113.81 1.055.898 9.278
144.12
88.56
55.56
16.402
155
UVR TABLA OFICIAL Enero - Junio
156
UVR TABLA OFICIAL Julio - Diciembre
157
CAPITULO IV. INFLACION Y DEVALUACION DEVALUACION
El poder de la moneda en circulación no permanece fijo, lo cual ha sido demostrado por muchos estudios sobre las economías de diversos países del mundo. La gran mayoría de veces, la cantidad de bienes y servicios que se pueden adquirir con una unidad monetaria en circulación, disminuye cuando se compara el presente con el tiempo pasado. A este fenómeno se le llama INFLACIÓN. Habrá inflación cuando sube el precio del combustible, cuando sube el precio del transporte, cuando se aumenta el salario mínimo, etc.. En general, la inflación es un fenómeno interno de un país. En países donde la inflación sobrepasa ciertos límites, el análisis de proyectos de inversión debe incluir este fenómeno, puesto que un inversionista nada gana con invertir a una tasa determinada, si la tasa de inflación es superior a esta. Se define el término inflación como el alza generalizada y permanente del nivel de precios. Al caso contrario se le denomina DEFLACIÓN. Para medir la inflación se utilizan los llamados índices de precios, donde un índice es un valor relativo que nos permite conocer el cambio ó comportamiento de una variable a través del tiempo, y es usualmente expresado en un número que es un porcentaje de precios multiplicado por 100.
158
INDICE DE PRECIOS AL CONSUMIDOR (IPC) El índice de Precios al Consumidor es un indicador estadístico que permite establecer periódicamente las variaciones en el gasto de consumo final promedio de los hogares, debidas exclusivamente a los cambios en los precios de un conjunto de bienes y servicios adquiridos por la población para el consumo final y, por esta vía, determinar el comportamiento y evolución real de las variables económicas fundamentales como el consumo privado, los salarios, las tasas de interés, etc, con base en las cuales los agentes económicos toman sus decisiones de inversión y consumo. Asimismo, permite orientar las políticas monetarias, fiscales y cambiarías, las cuales influyen directamente en el nivel de actividad económica y generación de empleo en el país.
159
Colombia, Indice de Precios al Consumidor (IPC) (variaciones porcentuales) 1992 - 2007 Base Diciembre de 1998 = AÑO 2007, MES 02
100,00
Mes
1992
1993
1994
1995
1996 1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
Enero
3.49
3.24
3.15
1.84
2.51
1.65
1.79
2.21
1.29
1.05
0.80
1.17
0.89
0.82
0.54
0.77
Febrero
3.34
3.25
3.68
3.52
4.01
3.11
3.28
1.70
2.30
1.89
1.26
1.11
1.20
1.02
0.66
1.17
0.70
Marzo
2.31
1.87
2.21
2.61
2.10
1.55
2.60
0.94
1.71
1.48
0.71
1.05
0.98
0.77
Abril
2.85
1.94
2.37
2.23
1.97
1.62
2.90
0.78
1.00
1.15
0.92
1.15
0.46
0.44
0.45
Mayo
2.32
1.60
1.54
1.65
1.55
1.62
1.56
0.48
0.52
0.42
0.60
0.49
0.38
0.41
0.33
Junio
2.24
1.54
0.90
1.20
1.14
1.20
1.22
0.28
-0.02
0.04
0.43
-0.05
0.60
0.40
0.30
Julio
1.99
1.23
0.91
0.77
1.51
0.83
0.47
0.31
-0.04
0.11
0.02
-0.14
-0.03
0.05
0.41
Agosto
0.75
1.25
0.97
0.63
1.10
1.14
0.03
0.50
0.32
0.26
0.09
0.31
0.03
0.00
0.39
Septiembre
0.83
1.12
1.09
0.84
1.19
1.26
0.29
0.33
0.43
0.37
0.36
0.22
0.30
0.43
0.29
Octubre
0.85
1.06
1.11
0.88
1.15
0.96
0.35
0.35
0.15
0.19
0.56
0.06
-0.01
0.23
-0.14
Noviembre
0.72
1.29
1.11
0.79
0.80
0.81
0.17
0.48
0.33
0.12
0.78
0.35
0.28
0.11
0.24
Diciembre
0.94
1.13
1.49
0.92
0.72
0.61
0.91
0.53
0.46
0.34
0.27
0.61
0.30
0.07
0.23
En año corrido
25.13
22.60
22.59
19.46
21.63
17.68
16.70
9.23
8.75
7.65
6.99
6.49
5.50
4.85
4.48
2007
1.95
* Entre marzo de 1994 y febrero de 1995, se realizó la Encuesta de Ingresos y Gastos en 28.000 hogares de las 23 capitales de los antiguos departamentos, para determinar cambios en los hábitos de consumo y la estructura del gasto de la población colombiana. Con los resultados de esta encuesta, bajo el trabajo de un grupo i nterdisciplinario de especialistas y la asesoría de l a entidad estadística del Canadá, se desarrollo una nueva metodología para calcular el IPC, que es apli cada a partir de enero. Se creó una nueva c anasta con una estructura de dos niveles, uno fij o y uno flexible, que permite actualizar la canasta de bienes y servicios, por cambios en el consumo final en un periodo relativamen te corto (lo cual no era posible en la anterior canasta). Además la nueva canasta quedó conformada por 405 artículos (la anterior poseía 195), amplió la cobertura socioeconómica a toda la población del índice e igualmente mejoró la fórmula de cálculo.
Fuente: DANE
160
Que se puede hacer con el IPC
-Factor de ajuste salarial -Factor de ajuste de estados financieros -Factor de ajuste para solución de demandas laborales, fiscales. -Factor para el calculo de la perdida del poder adquisitivo de la moneda. -Factor para equilibrios en partidas en las cuentas nacionales. -Factor de análisis del comportamiento de la economía -Actualiza el poder adquisitivo de cualquier flujo monetario-indexación. -Aísla el efecto precio sobre flujos monetarios-Deflactacion. -Determina equivalencias del poder adquisitivo, entre periodos de tiempo diferentes, cuanto valen hoy x pesos del año y/o cuanto valdrían x pesos de hoy en el año y. -En Colombia el índice de precios al consumidor (IPC) ha cambiado de base en cuatro oportunidades: la primera base 100 tomada en diciembre de 1954; la segunda ase 100 en diciembre de 1978; la tercera base 100 en diciembre de 1988 (que hasta hace poco se venia trabajando); la cuarta base 100 en diciembre de 1998(de actual vigencia). El DANE es quien se encarga de la tarea de medición del índice de precios al consumidor, que es el principal instrumento para la cuantificación de la inflación, 161
puesto que mide los cambios en los. precios de un conjunto representativo de los bienes y servicios consumidos por la Mayoría de la población. Este conjunto de bienes y servicios se denomina «canasta básica» y se mantiene constante durante el período de vigencia de la base con la cual se trabaja, el cual según normas internacionales para el IPC es aproximadamente de 7 años; la actual canasta se estableció con base en los resultados arrojados por la encuesta realizada en los años 1994-1995. El IPC tiene una periodicidad de publicación mensual, generalmente el día cinco del mes siguiente al de referencia y produce la siguiente información relacionada: - Un índice total nacional, que captura el efecto precio agregado de todas las especificaciones de precios en cada una de las ciudades que componen el marco geográfico de la investigación. - Índices por niveles de ingresos, bajos, medios y altos. - Índices para las ciudades que componen el marco geográfico de la investigación, Bogotá, Cali, Medellín, Barranquilla, Bucaramanga, Manizales, Pereira, Pasto, Cúcuta, Cartagena, Montería y Villavicencio. Para definir la estructura general del nuevo IPC se tuvieron en cuenta las siguientes consideraciones: - La clasificación de bienes y servicios que será utilizada corresponde a la clasificación del consumo de los hogares en cuentas nacionales, específicamente los usos finales que allí se presentan.
162
- La estructura elegida asegura la continuidad en la información estadística que el índice ha venido produciendo, hasta un nivel razonable de utilidad por parte de los usuarios principales y generales del proyecto. - La estructura elegida debe permitir cierto grado de comparabilidad internacional de la información estadística que produce el índice, al menos con aquellos sistemas estadísticos donde las condiciones sociales y económicas de los países hacen factible la comparación. - La estructura elegida debe permitir minimizar la aparición de sesgos en la medición del efecto precio asociado al gasto del consumo final de los hogares, inherentes al trabajo de los índices de precios al consumidor a partir de canastas fijas. La aplicación de los criterios de construcción expuestos anteriormente, determino avanzar en una variante metodológica sobre los índices de precios tipo Laspeyres, consiste en identificar dos niveles generales en la estructura, con diferencias en sus características y la forma de actualización. Estos niveles son: a). Estructura fija: Es la parte de la estructura del indicador sobre precios al consumidor que solo puede ser actualizada a partir de la aplicación y procesamiento de una encuesta de ingreso y gasto familiar. Esto quiere decir, que permanece inmodificable durante la vida de revisión del IPC. b). Estructura flexible: Permite cotizar precios sobre una gama mas amplia de bienes y servicios, capturando la heterogeneidad de la demanda entre individuos y regiones del país; permite también una mayor rapidez en la actualización del patrón para seguimiento de precios, al menos por debajo del gasto básico. 163
Composición de la Canasta Básica AGREGADO NACIONAL Alimentos
25.4649
Vivienda
16.9946
Vestuario
8.7131
Salud
8.4029
Educacion
9.3459
Diversion
9.4684
Transporte
20.4367
Otros gastos 1.1734 Total
100.0000
Los criterios utilizados para seleccionar las especificaciones de la canasta para seguimientos de precios son: 1. La participación de gasto: Este seguimientos de precios encuentra los artículos que mas pesan en el gasto del de l consumo final de los hogares en el país. 2. La frecuencia de demanda: Selecciona los artículos demandados por el mayor número de consumidores, que tienen una participación de gasto pequeña, pero son consumidos por muchos hogares en el país. 3. Estudio de la evolución de la participación de gasto de los bienes y servicios: Determinante para incluir los bienes y servicios con una dinámica importante en el mercado. 164
4. Estudio de las expectativas del crecimiento de la demanda: Para incluir aquellos bienes y servicios que aparecen como nuevos en el patrón de consumo de los hogares en el país, y por ventajas tecnológicas o de penetración de mercado, se agura su mayor importancia mas adelante. 5. Relacion en el perfil epidemiológico y los gastos para el mantenimiento y cuidado de la salud.
Método General Para Medir El IPC. El cálculo del índice de precios al
consumidor se efectúa desde el nivel mas bajo, en la estructura flexible en el IPC, parte de la cotización de precios de una especificación de gastos. Se deben conservar las especificaciones asociadas y se cotizan en las mismas fuentes, en cada periodo, para esta manera capturar, en la variación de precios, solo cambios puros de precios y aislar los cambios de precios relacionados con los cambios de calidad. El procedimiento consiste en calcular para cada fuente informante, la variación de precios de bien o servicios, en primera instancia: fuentel- PrecioTf1 / precio T-1f1
T. periodo
fuente2- PrecioTf2 / precioT-1f2
f: fuente
fuente3- PrecioTf3 / precioT-lf3 La variación que se utiliza como base, resulta del promedio geométrico de las anteriores variaciones:
variación promedio =
165
Con esta variación de precio se actualiza o se indexa el valor del índice del bien o servicio. variación Mes={[índice mes T / índice mes T-1]x100} -100 variación año corrido variación
índice mes T, año X = {[-----------------------------{[---------------- ---------------]x100} -]x100} -100 índice diciembre año X índice mes T, año X
Anualizada = {[----------------------------{[-------------- ----------------]x100} -]x100} -100 índice mes T, año anterior Variaciones anuales (12 meses) 2000 Total IPC
8.25 8.89 9.73 9.96 10.00 9.68
Alimentos
5.63 6.72 8.52 9.93 10.24 9.91
Vivienda
5.66 5.78 5.86 5.20 5.37 5.23
Vestuario
2.93 2.55 2.47 2.70 2.59 2.80
Salud
14.64 14.47 12.92 12.32 11.63 11.20
Educación
12.57 7.99 9.65 9.64 9.68 9.66
Esparcimiento 2.59 3.84 3.37 3.31 3.3 1 3.14 2.99 Transporte
15.85 18.14 19.23 19.50 19.70 18.42
Otros gastos
16.07 18.24 19.46 18.65 17.61 17.43
Fuente: DANE - IPC
166
INFLACIÓN CONSUMIDOR (Equivalente Anual) Feb. 00 Mar. 00
Abr. 00
May. 00 Corrido
Alimentos
6.7
8.5
10.0
10.2
8.7
Vivienda
5.8
5.9
5.2
5.4
3.4
Vestuario
2.6
2.5
2.7
2.6
1.4
Salud
14.5
12.9
12.3
11.6
6.6
Educación
8.0
9.7
9.6
9.7
7.8
Esparcimiento 3.8
3.4
3.3
3.1
5.6
Transportes
18.1
19.2
19.5
19.7
10.6
Otros gastos 18.2
19.5
18.7
17.6
11.9
Total
9.7
10.0
10.0
7.0
8.9
Fuente: DANE
167
No puede descuidarse el aumento del IPP durante el año. Pronto se reflejará en el IPC.
Poder Adquisitivo De La Moneda. En algunos países debido a la inflación y
devaluación el dinero va perdiendo su capacidad de compra. De este modo se desestimula el ahorro, favoreciendo a los deudores, quienes devuelven el dinero con una capacidad de compra inferior, lo cual hace que los prestamistas presionen la subida de las tasas de interés como compensación. A fin de evitar estos inconvenientes, se ha experimentado en algunos países, el sistema del valor
168
constante, que consiste en reconocerle a los dineros invertidos un interés llamado interés por corrección monetaria. La variación en el poder adquisitivo de la moneda es una consecuencia directa del proceso inflacionario y debido a su presencia continua es importante conocer y diferenciar los conceptos de pesos corrientes y pesos constantes.
4.1 INFLACION
Pesos corrientes vs. Pesos constantes. Permanentemente se presentan
transacciones comerciales en las cuales hay necesidad del dinero para poder expresar la retribución en unidades de intercambio. En nuestro medio, el PESO es la moneda utilizada. Los pesos que se usan en dichas transacciones se denominan PESOS CORRIENTES y son los pesos (billetes) que se encuentran en circulación. Un ejemplo clásico se observa en los cheques en donde se identifican las cifras como moneda corriente (m/cte.). Son pesos corrientes entonces los que se usan en las transacciones comerciales y están sujetos a la pérdida de poder adquisitivo por efecto de la inflación. El PESO CONSTANTE representa un valor que mantiene el poder adquisitivo y para ello se debe eliminar el efecto inflacionario, y hacer referencia al poder adquisitivo del peso en un periodo determinado (periodo base). Si se pensara en una moneda hipotética que no sufriera pérdidas de poder adquisitivo por efecto de la inflación (mantuviera constante su poder adquisitivo) 169
se estaría hablando del PESO CONSTANTE (para el caso de Colombia). Sin embargo, como el peso ha tenido y tendrá un poder adquisitivo diferente en cada momento, no bastaría con decir peso constante, sino que adicionalmente, se tendría que hacer referencia a un periodo base, por ejemplo, peso constante de diciembre de 1.996. Se estaría haciendo referencia al poder adquisitivo del peso en ese momento, y sería una unidad hipotética en la que el flujo de cualquier proyecto podría representarse. NOTA: Como se anotó cuando se habló de tasas de interés en cadena, el UPAC inicialmente fue creado bajo la misma filosofía del peso constante, pero su sentido se distorsionó al imponérsele topes a la corrección monetaria. Un proyecto puede ser representado en pesos corrientes ó en pesos constantes, y la forma de relacionarlos es por medio de la INFLACIÓN. El dinero puede ser expresado en pesos corrientes en forma directa ó convertirlo a pesos constantes. Si el periodo base del cual se habla en el peso constante antecede al periodo en el cual se quiere mostrar un flujo en pesos corrientes y/o constantes, la manera de convertir pesos constantes en pesos corrientes es inflando los pesos constantes. O, si se quiere convertir pesos corrientes en pesos constantes se debe deflactar. Para inflar (convertir pesos constantes en pesos corrientes):
Pesos corrientes (n) = Pesos constantes(0) *
Donde: 170
: Multiplicatoria ó Productoria INF j: Inflación en el periodo j Si se supone inflación constante en los n periodos entonces: Pesos corrientes(n) = Pesos constantes(0) (1 + INFj)n
Si se utiliza índices de precios IPC en lugar de tasas de inflación, se tiene:
Pesos corrientes(n) = Pesos constantes(0) *
INFj: Inflación en el periodo j Para deflactar (convertir pesos corrientes en pesos constantes):
Pesos constantes(0) = Suponiendo inflación constante para los n periodos:
Usando índices de precios se tiene:
Pesos constantes(0) = Pesos corrientes(n) c orrientes(n) *
ÍNDICES PARA CONVERSIÓN A PESOS CONSTANTES Y A DÓLARES US$ 171
AÑO
IPC
INFLACI N
(Base 1988+100) Año% 1929
0.302
1930
0.242
-19.71%
1931
0.19
-21.55%
1932
0.144
-24.43%
1933
0.084
-41.41%
1934
0.118
39.59%
1935
0.122
3.75%
1936
0.131
7.15%
1937
0.136
4.36%
1938
0.149
9.49%
1939
0.15
0.25%
1940
0.142
-5.40%
1941
0.148
4.41%
1942
0.168
13.85%
1943
0.201
19.42%
1944
0.239
18.73%
1945
0.244
2.42%
1946
0.292
19.42%
1947
0.331
13.27%
1948
0.379
14.52%
1949
0.414
9.21%
1950
0.49
18.49%
1951
0.503
2.75% 172
1952
0.517
2.61%
1953
0.552
6.79%
1954
0.576
4.41%
1955
0.589
2.26%
1956
0.635
7.81%
1957
0.763
20.16%
1958
0.825
8.13%
1959
0.89
7.88%
1960
0.954
7.19%
1961
1.01
5.87%
1962
1.075
6.44%
1963
1.425
32.56%
1964
1.552
8.91%
1965
1.778
14.56%
1966
2.009
12.99%
1967
2.156
7.32%
1968
2.297
6.54%
1969
2.494
8.58%
1970
2.663
6.78%
1971
3.026
13.63%
1972
3.45
14.01%
1973
4.262
23.54%
1974
5.371
26.02%
1975
6.322
17.71%
1976
7.946
25.69%
1977
10.2
28.37% 173
1978
12.114
18.76%
1979
15.603
28.80%
1980
19.654
25.96%
1981
24.833
26.35%
1982
30.8
24.03%
1983
35.925
16.64%
1984
42.493
18.28%
1985
52.033
22.45%
1986
62.932
20.95%
1987
78.049
24.02%
1988
100
28.12%
1989
126.12
26.12%
1990
166.94
32.37%
1991
211.72
26.82%
1992
264.94
25.14%
1993
324.816
22.60%
1994
398.24
22.60%
1995
475.738
19.46%
1996
578.64
21.63%
1997
680.94
17.68%
Fuente: Banco de la República, Principales indicadores económicos 1923-1992; Banco de la República Revista mensual; Banco de la República, Subgerencia de Estudios Económicos, Estadística; DANE
174
Nota: IPC: índice de precios al consumidor. Hasta 1953 se calculó de acuerdo con la tasa de crecimiento anual de índice de precios al consumidor para el nivel de ingresos medios. A partir de 1954 se tiene el total ponderado.
Tasa de Interés Real o Dura . En una inversión se pretende no sólo obtener
una retribución, en el fondo se trata de recibir un valor cuyo poder adquisitivo sea superior al del dinero invertido. El interés (i) representa en moneda corriente la tasa de interés más no discrimina que parte de ella es simplemente la correspondiente a la inflación (componente inflacional), la cual representa en sí un aumento ó retribución real del dinero invertido. Esta tasa libre de inflación o incremento real del poder adquisitivo del dinero invertido se conoce como tasa de interés real (iR) ó tasa de interés duro (iD). Hasta el momento se ha hablado de pesos corrientes y la tasa de interés utilizada ha sido i, pero si se tiene el flujo en pesos constantes la tasa de interés a utilizar será una tasa de interés libre de inflación iD conocida como INTERÉS DURO o INTERÉS REAL.
Relación de equivalencia entre i y iD.
Sea: i : Tasa de interés en pesos corrientes. iD : Tasa de interés libre de inflación (tasa de interés en pesos constantes) Teniendo la equivalencia entre pesos corrientes y pesos constantes, podemos establecer la relación entre i e i D . INF es la inflación para un año y se sabe que el factor (1 + INF)n permite convertir pesos corrientes del periodo n en pesos constantes del periodo cero. 175
Para los pesos constantes el interés que permite llevarlos de un punto a otro en el tiempo es i D por medio del factor 1/(1 + i D)n, para llevar pesos constantes equivalentes del periodo n a pesos constantes del periodo cero. Sea P una cantidad: P(1 + iD) =
[32]
ó
Lo anterior es válido para un periodo o para varios, siempre y cuando la INFLACIÓN sea constante.
4.2 DEVALUACIÓN Generalmente la economía de un país está relacionada con la economía de otros países y de ésta forma con la economía mundial. Cada país utiliza internamente una unidad monetaria propia; por tanto para realizar un intercambio comercial entre naciones es indispensable que exista algún mecanismo que facilite dicha operación. De dicha necesidad nace la tasa de cambio, que es un factor de conversión entre dos monedas diferentes.
176
La tasa de cambio puede definirse como el número de unidades monetarias de un país que hay necesidad de dar por una unidad monetaria extranjera. Por ejemplo, en Colombia se puede decir que en cierto momento para adquirir un dólar, se requerían $1000 colombianos, luego la tasa de cambio es $1000 por dólar ($1000/US$).
4.2.1 Definición De Devaluación. La devaluación puede definirse como el incremento porcentual de la tasa de cambio de una moneda blanda respecto a una moneda dura (relativamente) durante un periodo determinado; es decir, la pérdida del poder adquisitivo frente a las otras monedas. En Colombia se tiene como base para la tasa de cambio internacional el dólar y la devaluación se hace también respecto a dicha moneda. Por ejemplo, si la tasa de cambio del peso colombiano respecto al dólar, pasó de $1000/US$ al inicio del año, a $1100/US$ al final, la devaluación durante dicho año fue del 10%.
4.2.2. Devaluación En Colombia. Hasta 1990 el banco de la república tuvo bajo su responsabilidad todas las transacciones de compra, venta de divisas por ello existía lo que se denominaba la tasa de cambio oficial. Para cada día se determinaba la tasa de compra, de venta, generalmente un poco superior a la del día inmediatamente anterior. Esta política cambiaria se denomino devaluación gota a gota (ó internacionalmente "crawling pegged"). A partir de 1991 las negociaciones en dólares se autorizaron para los bancos ingresándose así a una nueva era con tasa de cambio libre o flotante (internacionalmente denominada "floating rate"). Esto implica que ya quien define el valor de la tasa de cambio no es el banco de la república sino el mercado. Se 177
habla entonces a partir de este momento de la tasa representativo del mercado (TRM). AÑO TASAS DE
DEVALUACION
CAMBIO 1929 1.04 1930 1.04
0.00%
1931 1.04
0.00%
1932 1.05
0.96%
1933 1.57
49.52%
1934 1.55
-1.27%
1935 1.75
12.90%
1936 1.76
0.57%
1937 1.85
5.11%
1938 1.75
-5.41%
1939 1.75
0.00%
1940 1.75
0.00%
1941 1.75
0.00%
1942 1.75
0.00%
1943 1.75
0.00%
1944 1.75
0.00%
1945 1.75
0.00%
1946 1.75
0.00%
1947 1.75
0.00% 178
1948 1.82
4.00%
1949 1.96
7.69%
1950 1.96
0.00%
1951 2.51
28.06%
1952 2.51
0.00%
1953 2.51
0.00%
1954 2.51
0.00%
1955 2.51
0.00%
1956 2.51
0.00%
1957 5.38
114.34%
1958 6.4
18.96%
1959 6.4
0.00%
1960 6.7
4.69%
1961 6.7
0.00%
1962 9
34.33%
1963 9
0.00%
1964 9
0.00%
1965 13.5
50.00%
1966 13.5
0.00%
1967 15.78
16.89%
1968 16.9
7.10%
1969 17.83
5.50%
1970 19.03
6.73% 179
1971 20.81
9.35%
1972 22.7
9.08%
1973 24.65
8.59%
1974 28.26
14.65%
1975 32.84
16.21%
1976 36.2
10.23%
1977 37.72
4.20%
1978 40.79
8.14%
1979 43.79
7.35%
1980 50.92
16.28%
1981 59.07
16.01%
1982 70.29
18.99%
1983 88.77
26.29%
1984 113.89
28.30%
1985 172.2
51.20%
1986 219
27.18%
1987 263.7
20.41%
1988 335.86
27.36%
1989 433.92
29.20%
1990 568.73
31.07%
1991 638.61
12.29%
1992 737.98
15.56%
1993 804.33
8.99% 180
1994 831.27
3.35%
1995 987.65
18.81%
1996 1005.4
1.80%
1997 1293.58
16.60%
1998* 1396.69
-
(*) Datos a mayo 29 de 1998 Fuente: Banco de la República, Principales indicadores económicos 1923-1992; Banco de la República Revista mensual; Banco de la República, Subgerencia de Estudios Económicos, Estadistica; y DANE Nota:: Tasa de Cambio. Equivalente en pesos Col$ por cada 1 US$. Desde 1929 Nota hasta 1969 se refiere a la cotización de venta promedio mensual. Desde 1970 hasta 1979 se refiere a la cotización de compra promedio mensual y se conocía como la tasa de cambio oficial. A partir de 1980 hasta 1990 corresponde a la tasa de cambio de último día del año. A partir de 1991 se refiere a la tasa representativa del mercado del último día del año, de acuerdo con la Resolución No. 15 del 27 de noviembre de 1991 de la Junta Directiva del Banco de la República.
4.2.3 Determinación De La Tasa De Cambio. El banco de la república en su política cambiaria define un corredor o banda cambiaria y permite que el mercado con sus fuerzas de oferta y demanda determine el valor al que se negocian pesos por dólares Así:
181
La Oferta de dólares se da La Demanda de dólares se da por: por: Pagos
de
exportaciones Dólares
recibidos en dólares
requeridos
para
pago
de
importaciones.
Endeudamiento o emisión de Cancelación de intereses y abonos a capital títulos en el exterior
por deuda externa.
Inversión extranjera llegando a Inversiones Colombia
de
Colombianos
hacia
el
exterior.
Reintegro de utilidades o de Salida de utilidades, dividendos o reintegros inversiones realizadas en el de capital de inversiones hechas por exterior Gastos
empresas extranjeras en Colombia. de
turismo
hacia Gastos para turismo hacia el exterior
Colombia Giros hacia Colombia
Giros hacia el exterior.
Preferencia de posesión de Preferencia de posesión de dólares en vez pesos a cambio de dólares que de pesos por expectativas de devaluación se tuvieran. Cualquier
generalmente. otra
razón
implique venta de dólares
que Cualquier otra razón que implique compra de dólares.
4.2.4 Devaluación O Revaluación. Si la demanda por dólares supera a la oferta la tasa de cambio tiende a incrementarse generándose una devaluación.
182
Si por el contrario la oferta de dólares supera la demanda la tasa de cambio tiende a disminuir generándose una revaluación.
Ventajas de la Devaluación. Un país devalúa con el objetivo de:
* Fomentar la exportación de productos o servicios de fabricación nacional. Esto se logra debido a que el precio de un producto se torna competitivo en la medida en que sea más barato para los extranjeros. * Desestimular las importaciones buscando incentivar el consumo de los productos nacionales y a la vez incentivar la industria nacional para producir aquellos bienes que se tornan más costosos. * Mejor imagen hacia el crédito exterior. Para hallar la tasa o pronosticar la devaluación, se toma como base un año de características normales, sin que haya tenido repercusiones de bonanzas económicas del comercio exterior.
Desventajas de la Devaluación.
* La maquinaria y los equipos importados se hacen más costosos desestimulandose así la renovación de tecnología que mejora la productividad.
* La deuda externa se hace más costosa pues al pagar se deben dar más pesos por cada dólar.
* Los productos que involucran materia prima importada se hacen más cosotosos y se puede generar inflación.
183
4.2.5 Relaciones De Equivalencia CLASE DE DINERO
INTERÉS
1 Pesos corrientes
i$
2 Pesos constantes
iD$
3 Dólares corrientes
iUS$
4 Dólares constantes
iDUS$ iadicional
5 UPACs
a
CM
[38] i$ = ( 1 + INF ) * ( 1 + iD ) - 1 [39] i$ = ( 1 + DEV ) * ( 1 + iUS$ ) - 1 [40] i$ = ( 1 + CM ) * ( 1 + iadicional ) - 1
Situaciones y Efectos. Para su entendimiento se tomará como base un
ejemplo en el que se visualizan diversas situaciones de inflación interna y externa, además de un manejo claro de la devaluación. Supóngase un producto X que se fabrica en Estados Unidos y en Colombia con igual calidad y tecnología, y que dicho producto en cada país es representativo de la economía interna. En Colombia tiene un precio de venta de $12.000 y en Estados Unidos de US$10. Supóngase adicionalmente que las normas y aranceles del comercio exterior no benefician a ningún país en especial.
184
Para mayor claridad elaboraremos un cuadro en el que se observe el precio para un comprador colombiano y uno estadounidense del producto X elaborado en Colombia o en Estados Unidos.
Situación de Equilibrio
La tasa de cambio entre las dos monedas sería: TC = $12.000 / US$10 = $1.200 / US$
Producido en Comprado en
COLOMBIA USA
COLOMBIA
$12.000
$12.000
USA
US$10
US$10
Consideremos ahora una inflación en Colombia del 20% y en Estados Unidos del 0%. Adicionalmente el gobierno ha ofrecido mantener la tasa de cambio constante, por tanto la devaluación fue del 0%.
Producido en Comprado en
COLOMBIA USA
COLOMBIA
$14.400
$12.000
USA
US$12
US$10
Inflación en Colombia del 20%, en USA del 0% con devaluación nula (0%)
El precio futuro de producir y comprar el artículo en Colombia será:
185
FCol= PCol(1+INFCol) FCol= 12.000(1+0,20)= $14.400 El precio futuro de producir y comprar el artículo en Estados Unidos será:
FUsa=PUsa(1+INFUsa) FUsa= US$10(1+0)=US$10 El valor del artículo producido en Estados Unidos y comprado en Colombia es el valor de dicho artículo en Estados Unidos por la tasa de cambio correspondiente, es decir:
PCol= US$10($1.200/US$)= $12.000 El valor del artículo X adquirido en Estados Unidos y elaborado en Colombia es:
$12.000(1+0,20)/($1.200/US$) = US$12 se aplicara una devaluación del 50% obtendríamos:
Producido en Comprado en
COLOMBIA USA
COLOMBIA
$14.400
$18.000
USA
US$8
US$10
El valor del producto X elaborado y adquirido en el mismo país no cambia puesto que no se está realizando ninguna transacción internacional. Aplicando la devaluación, la nueva tasa de cambio será: 186
TC1=TC0 (1+DEV) TC1=$1.200/US$ (1+0,5)= $1.800/US$ El precio del producto X elaborado en Estados Unidos y comprado en Colombia será:
PCol= PUsa*TC1 PCol= US$10($1.800/US$)= $18.000 El valor del producto X elaborado en Colombia y adquirido en Estados Unidos será:
PUsa= PCol/TC1 = $14.400/($1.800/US$) =US$8 Analicemos como sería la situación de equilibrio:
Situación de equilibrio
Producido en Comprado en
COLOMBIA USA
COLOMBIA
$14.400
$14.400
USA
US$10
US$10
La devaluación para esta situación de equilibrio será:
DEV=
Þ DEV= 187
DEV=20%
El valor de la tasa de cambio para el equilibrio será:
TCeq= TC0(1+DEV) TCeq= $1.200/us$(1+0,20)=$1.440/us$
Tasa De Cambio Real (Trc). Tomado del informe del Banco de la República
al Congreso La variable relevante para el análisis de la competitividad de la economía es la tasa de cambio real (TRC). Esta variable contempla simultáneamente los cambios en la tasa de cambio nominal, en los precios de la economía Colombiana y los de la economía mundial. En este sentido, la TRC mide el valor de una canasta determinada de bienes domésticos en comparación con una canasta similar de bienes producidos por las economías con las que se comercia. En consecuencia, la TRC se podría definir como el precio relativo de los bienes extranjeros en términos de los bienes nacionales, valorado dicho precio relativo en moneda legal. Así, un aumento en la TRC, o lo que se conoce como una "Devaluación real", reduce las importaciones pues implica que por cada bien externo hay que dar a cambio más bien el doméstico. De esta forma, una devaluación real beneficia a los productores internos que se compiten con las exportaciones. De forma similar, dicho aumento en la TRC debe beneficiar a los exportadores, pues por cada bien que vendan en los mercados extranjeros (a los precios internacionales) recibirán a cambio más bienes internos. 188
Son varios los factores económicos que hacen fluctuar la TRC. Comúnmente se cree que devaluaciones de la tasa de cambio nominal devalúa también a la TRC y, por ende, aumenta la competitividad de la economía. Esta idea solo es válida en el muy corto plazo y puede conllevar un costo alto para la sociedad en términos de inflación. Estudios recientes demuestran que una devaluación nominal que no está acompañada de una caída en el gasto doméstico, se traduce en inflación entre tres y seis meses luego de producida. En ese lapso, los precios de la economía aumentan tanto como aumentó inicialmente la devaluación nominal y, por lo tanto, la TRC regresa a su nivel original. En este sentido, las devaluaciones nominales solo aumentan a la TRC transitoriamente y con un costo potencial en términos de inflación. A diferencia del manejo del tipo de cambio nominal, existen otras variables económicas que si pueden generar efecto permanente o de largo plazo sobre TRC. Este tipo de variables se conocen como "Fundamentos" de la TRC y su efecto sobre dicha tasa se da a través de la oferta o la demanda agregada de la economía. Los fundamentos de la TRC que se transmiten por su efecto sobre la demanda son el nivel de gasto público y de gasto privado. Aumentos de uno u otro tipo de gasto tiende a apreciar la TRC. Los fundamentos reales de la TRC que operan a través de la oferta son aquellas variables asociadas con la productividad y el ingreso permanente de la economía. Por ejemplo, una recuperación en la productividad de la economía con respecto al resto del mundo tiende a apreciar la TRC. Igual efecto tienen los aumentos en el ingreso permanente de la economía atribuible, por ejemplo, a una mejora en los términos de intercambio o a una bonanza petrolera. La literatura especializada identifica otros factores relevantes para el comportamiento de la TRC asociados con las condiciones generales del 189
país, tales como la estabilidad del sistema financiero, un ambiente propicio para los negocios y fenómenos como la violencia. Desde el principio de los años 90s, la TRC colombiana sufrió un fuerte proceso de apreciación que deterioró la competitividad de la economía. En parte esta apreciación real compensó la devaluación que se había presentado entre 1989 y 1990, pero fue persistente y se prolongó de octubre de 91 a diciembre del 94. Como se dijo, los movimientos de mediano y largo plazo en la TRC son el resultados de movimientos en los fundamentos. Por lo tanto, dicha apreciación se puede atribuir el auge del gasto privado y el desmesurado incremento en el gasto público. Otros fenómenos que afectaron a esta variable fueron la bonanza petrolera y las expectativas ligadas a ella, el incremento en la productividad de la economía después de la apertura y el gran incremento en los términos del intercambio observado en 1994. Desde 1997 algunos de estos movimientos en las variables fundamentales de la TRC se han revertido. En efecto, el auge de gasto privado cesó y los precios internacionales del petróleo y del café cayeron. Un concepto muy importante en esta discusión es la TRC de equilibrio. Técnicamente la TRC de equilibrio se define como aquella tasa que es consistente con el equilibrio interno y externo de la economía. Cuando hay diferencia entre la TRC observada y la TRC de equilibrio, la brecha se corrige con cambios en la tasa de inflación o con movimientos en la tasa cambio nominal. Si la banda establecida para la tasa de cambio nominal es coherente con los fundamentos de mediano plazo, su amplitud permite que fluctuaciones de la tasa nominal contribuyan a cerrar esta brecha. De hecho, en 1997 confluyeron un aumento en la tasa de cambio nominal y una disminución en el ritmo de inflación, que despreciaron la TRC. Los estudios que se elaboraron para la definición de la banda cambiaria por 1998 señalaban que la brecha entre la TRC observada y la 190
equilibrio era pequeña y se podía corregir con movimientos de la tasa de cambio nominal en el interior de la misma.
Algunos efectos del comportamiento de la tasa de cambio sobre
diversos sectores de la economía nacional. Una situación de anclaje del dólar se presenta cuando al finalizar un periodo de tiempo, el precio se mantiene como al comienzo del mismo. En esta situación se considera que los exportadores y el turismo del país se ven perjudicados y que ganan los empresarios que tengan deudas en el exterior y la gente que viaja fuera del país. La situación se torna particularmente crítica para una gran cantidad de empresarios cuyos ingresos dependen de las exportaciones. Con una devaluación nominal igual a cero resulta casi imposible que los exportadores sostengan su competitividad en el exterior. Por ejemplo, si al comienzo del periodo un exportador de frutas tropicales vendía cada caja en 20 dólares en el mercado externo y sus costos eran de 15 dólares, esto indicaba que tenía un margen del 25 por ciento. Si al finalizar el periodo el costo de producción de una caja se incrementa el 20 por ciento según el Índice de Precios al Productor (IPP), es decir, a 18 dólares por caja de frutas tropicales. En cambio el precio del producto aumentó solo 3,5%, que fue la inflación internacional. La fruta se vende al terminar el periodo a 20,70 dólares. En resumen, el margen de este productor pasó del 25% a tan solo 13%. Entonces, la devaluación no pudo equilibrar los costos internos de producción. Esta es la adversidad a la que se ven sometidos los exportadores nacionales por causa de la revaluación. Con la revaluación el principal afectado es el sector exportador en conjunto. Cuando esto sucede el llamado a actuar es el Banco de la República, modificando el manejo cambiario, interviniendo el mercado cuando el dólar está muy cerca al techo de la banda cambiaria o se ha desplomado, vendiendo divisas con el fin de 191
detener el alza o comprando para frenar su caída. Otro camino a seguir es cambiar la banda, es decir los límites mínimos y máximos dentro de los que debe variar el precio de la divisa dependiendo de la oferta y la demanda. Es decir el banco se puede limitar a intervenir dentro del techo y el piso, comprando y vendiendo dólares, cuando las condiciones lo justifican, o adoptar medidas más drásticas como modificar la banda o cerrar el endeudamiento externo del sector privado. La inestabilidad política o las medidas que se tomen en el extranjero con respecto al país también pueden afectar el precio del dólar, al generar incertidumbre y especulación en el mercado, como por ejemplo la descertificación de E.U. contra la lucha antinarcóticos de Colombia en 1996. Con el ingreso masivo de dólares provenientes de la mayor inversión extranjera y de los reintegros de divisas de los sectores fuertes de la exportación, como los sectores petrolero y cafetero en el caso colombiano, se producirá una caída del dólar. Sin embargo, con esta perspectiva no todos pierden. Los grandes beneficiados de la situación de anclaje son aquellos empresarios que hayan adquirido deudas en el exterior. Ese dinero les resulta más barato que si lo hubieran obtenido con un crédito local. Con tasas internas altas, es natural que las empresas consideren fijar su atención fuera del país para conseguir fuentes de financiación. Los turistas nacionales que deseen vacacionar en el exterior también pueden verse beneficiados, pues su viaje resulta más barato. Con los mismos pesos de principio de periodo, se adquieren más dólares de lo que se hubieran comprado al final del mismo con una devaluación considerable. Y como resultado se compran más francos, yenes, marcos o pesos mexicanos. Los únicos turistas que no se 192
favorecen son los que vienen a Colombia, y por esto el turismo nacional también se ve golpeado. Finalmente, cuando sucede un fenómeno como éste, cómo se comportan las inversiones afuera? Para esta clase de periodos no es muy atractivo colocar el dinero en cuentas de E.U. o Europa ya que el rendimiento en dólares no supera el del mercado local, donde la rentabilidad efectiva anual puede ser superior.
4.3 ALGUNAS RELACIONES IMPORTANTES Cuando se hacen inversiones en otras monedas diferentes a la moneda local y se desea calcular la rentabilidad real obtenida, no hay que tener en cuenta el índice de inflación en el país extranjero en cuya moneda se hace la inversión; esto debe ser así porque el inversionista gana y gasta en moneda local y sus actividades se ven afectadas por el aumento del costo de la canasta familiar del país de residencia, sin importarle el aumento de costo de la canasta familiar en el extranjero.
Ejemplo 3 Un inversionista estadounidense está realizando un proyecto de inversión en Colombia que ofrece una rentabilidad en pesos colombianos de 35% anual. Si él en su país logra una rentabilidad del 10% anual, cuál será la tasa de devaluación del peso respecto al dólar, por encima o por debajo de la cual se hará atractivo el proyecto? iCol=35% iUsa=10% DEV=? DEV= 193
DEV=22,72%
Ejemplo 4 Si la rentabilidad del 35% en Colombia está acompañada de una inflación del 25%, cuál sería la tasa de inflación en Estados Unidos que generaría un interés libre de inflación equivalente al obtenido en Colombia, si la rentabilidad de dicho país es del 10%? INFCol = 25% iCol =35% iUsa =10% iD=? Hallemos primero el valor de la inflación en Estados Unidos:
INFUsa=
INFUsa=
INFUsa= 1,851 Podemos ahora calcular el valor del i D: 194
iD=
iD=
iD=8%
Ejemplo 5 La tasa de cambio del peso colombiano respecto al dólar es $1000/US$, y la tasa de cambio del Bolívar respecto al dólar es Bs$200/US$; durante el próximo año se espera una inflación en Colombia del 25% y en Venezuela del 35%.Suponiendo que se parte del equilibrio cambiario y con una inflación en Estados Unidos del 4%, cuál será dentro de un año la tasa de cambio del peso respecto al Bolívar que genera equilibrio cambiario? INFCol=25% INFUsa=4% INFVen=35% TCCol=$1000/US$ TCVen=Bs$200/US$ TCCol/Ven=? Hallamos las futuras tasas de cambio de Venezuela y Colombia: F/S=
195
F=
F=
Igualmente para Venezuela:
F=
= Bs$259,62/US$
Calculemos ahora la tasa de cambio Colombia - Venezuela:
TCCol/Ven =
= $4,63/Bs$
Tasa De Cambio Real (Trc). Tomado del informe del Banco de la República
al Congreso La variable relevante para el análisis de la competitividad de la economía es la tasa de cambio real (TRC). Esta variable contempla 196
simultáneamente los cambios en la tasa de cambio nominal, en los precios de la economía Colombiana y los de la economía mundial. En este sentido, la TRC mide el valor de una canasta determinada de bienes domésticos en comparación con una canasta similar de bienes producidos por las economías con las que se comercia. En consecuencia , la TRC se podría definir como el precio relativo de los bienes extranjeros en términos de los bienes nacionales, valorado dicho precio relativo en moneda legal. Así, un aumento en la TRC, o lo que se conoce como una "Devaluación real", reduce las importaciones pues implica que por cada bien externo hay que dar a cambio más bien el doméstico. De esta forma, una devaluación real beneficia a los productores internos que se compiten con las exportaciones. De forma similar, dicho aumento en la TRC debe beneficiar a los exportadores, pues por cada bien que vendan en los mercados extranjeros (a los precios internacionales) recibirán a cambio más bienes internos. Son varios los factores económicos que hacen fluctuar la TRC. Comúnmente se cree que devaluaciones de la tasa de cambio nominal devalúa también a la TRC y, por ende, aumenta la competitividad de la economía. Esta idea solo es válida en el muy corto plazo y puede conllevar un costo alto para la sociedad en términos de inflación. Estudios recientes demuestran que una devaluación nominal que no está acompañada de una caída en el gasto doméstico, se traduce en inflación entre tres y seis meses luego de producida. En ese lapso, los precios de la economía aumentan tanto como aumentó inicialmente la devaluación nominal y, por lo tanto, la TRC regresa a su nivel original. En este sentido, las devaluaciones nominales 197
solo aumentan a la TRC transitoriamente y con un costo potencial en términos de inflación. A diferencia del manejo del tipo de cambio nominal, existen otras variables económicas que si pueden generar efecto permanente o de largo plazo sobre TRC. Este tipo de variables se conocen como "Fundamentos" de la TRC y su efecto sobre dicha tasa se da a través de la oferta o la demanda agregada de la economía. Los fundamentos de la TRC que se transmiten por su efecto sobre la demanda son el nivel de gasto público y de gasto privado. Aumentos de uno u otro tipo de gasto tiende a apreciar la TRC. Los fundamentos reales de la TRC que operan a través de la oferta son aquellas variables asociadas con la productividad y el ingreso permanente de la economía. Por ejemplo, una recuperación en la productividad de la economía con respecto al resto del mundo tiende a apreciar la TRC. Igual efecto tienen los aumentos en el ingreso permanente de la economía atribuible, por ejemplo, a una mejora en los términos de intercambio o a una bonanza petrolera. La literatura especializada identifica otros factores relevantes para el comportamiento de la TRC asociados con las condiciones generales del país, tales como la estabilidad del sistema financiero, un ambiente propicio para los negocios y fenómenos como la violencia. Desde el principio de los años 90s, la TRC colombiana sufrió un fuerte proceso de apreciación que deterioró la competitividad de la economía. En parte esta apreciación real compensó la devaluación que se había presentado entre 1989 y 1990, pero fue persistente y se prolongó de octubre de 91 a diciembre del 94. Como se dijo, los movimientos de mediano y largo plazo en la TRC son el resultados de movimientos en los fundamentos. Por lo tanto, dicha apreciación se puede atribuir el auge del gasto privado y el desmesurado incremento en el gasto 198
público. Otros fenómenos que afectaron a esta variable fueron la bonanza petrolera y las expectativas ligadas a ella, el incremento en la productividad de la economía después de la apertura y el gran incremento en los términos del intercambio observado en 1994. Desde 1997 algunos de estos movimientos en las variables fundamentales de la TRC se han revertido. En efecto, el auge de gasto privado cesó y los precios internacionales del petróleo y del café cayeron. Un concepto muy importante en esta discusión es la TRC de equilibrio. Técnicamente la TRC de equilibrio se define como aquella tasa que es consistente con el equilibrio interno y externo de la economía. Cuando hay diferencia entre la TRC observada y la TRC de equilibrio, la brecha se corrige con cambios en la tasa de inflación o con movimientos en la tasa cambio nominal. Si la banda establecida para la tasa de cambio nominal es coherente con los fundamentos de mediano plazo, su amplitud permite que fluctuaciones de la tasa nominal contribuyan a cerrar esta brecha. De hecho, en 1997 confluyeron un aumento en la tasa de cambio nominal y una disminución en el ritmo de inflación, que despreciaron la TRC. Los estudios que se elaboraron para la definición de la banda cambiaria por 1998 señalaban que la brecha entre la TRC observada y la equilibrio era pequeña y se podía corregir con movimientos de la tasa de cambio nominal en el interior de la misma. Algunos efectos del comportamiento de la tasa de cambio sobre diversos sectores de la economía nacional: Una situación de anclaje del dólar se presenta cuando al finalizar un periodo de tiempo, el precio se mantiene como al comienzo del mismo. En esta situación se considera que los exportadores y el turismo del país se ven perjudicados y que ganan los empresarios que tengan deudas en el exterior y la gente que viaja fuera del país. 199
La situación se torna particularmente crítica para una gran cantidad de empresarios cuyos ingresos dependen de las exportaciones. Con una devaluación nominal igual a cero resulta casi imposible que los exportadores sostengan su competitividad en el exterior. Por ejemplo, si al comienzo del periodo un exportador de frutas tropicales vendía cada caja en 20 dólares en el mercado externo y sus costos eran de 15 dólares, esto indicaba que tenía un margen del 25 por ciento. Si al finalizar el periodo el costo de producción de una caja se incrementa el 20 por ciento según el Índice de Precios al Productor (i.e.), es decir, a 18 dólares por caja de frutas tropicales. En cambio el precio del producto aumentó solo 3,5%, que fue la inflación internacional. La fruta se vende al terminar el periodo a 20,70 dólares. En resumen, el margen de este productor pasó del 25% a tan solo 13%. Entonces, la devaluación no pudo equilibrar los costos internos de producción. Esta es la adversidad a la que se ven sometidos los exportadores nacionales por causa de la revaluación. Con la revaluación el principal afectado es el sector exportador en conjunto. Cuando esto sucede el llamado a actuar es el Banco de la República, modificando el manejo cambiario, interviniendo el mercado cuando el dólar está muy cerca al techo de la banda cambiaria o se ha desplomado, vendiendo divisas con el fin de detener el alza o comprando para frenar su caída. Otro camino a seguir es cambiar la banda, es decir los límites mínimos y máximos dentro de los que debe variar el precio de la divisa dependiendo de la oferta y la demanda. Es decir el banco se puede limitar a intervenir dentro del techo y el piso, comprando y vendiendo dólares, cuando las condiciones lo justifican, o adoptar medidas más drásticas como modificar la banda o cerrar el endeudamiento externo del sector privado. 200
La inestabilidad política o las medidas que se tomen en el extranjero con respecto al país también pueden afectar el precio del dólar, al generar incertidumbre y especulación en el mercado, como por ejemplo la descertificación de E.U. contra la lucha antinarcóticos de Colombia en 1996. Con el ingreso masivo de dólares provenientes de la mayor inversión extranjera y de los reintegros de divisas de los sectores fuertes de la exportación, como los sectores petrolero y cafetero en el caso colombiano, se producirá una caída del dólar. Sin embargo, con esta perspectiva no todos pierden. Los grandes beneficiados de la situación de anclaje son aquellos empresarios que hayan adquirido deudas en el exterior. Ese dinero les resulta más barato que si lo hubieran obtenido con un crédito local. Con tasas internas altas, es natural que las empresas consideren fijar su atención fuera del país para conseguir fuentes de financiación. Los turistas nacionales que deseen vacacionar en el exterior también pueden verse beneficiados, pues su viaje resulta más barato. Con los mismos pesos de principio de periodo, se adquieren más dólares de lo que se hubieran comprado al final del mismo con una devaluación considerable. Y como resultado se compran más francos, yenes, marcos o pesos mexicanos. Los únicos turistas que no se favorecen son los que vienen a Colombia, y por esto el turismo nacional también se ve golpeado. Finalmente, cuando sucede un fenómeno como éste, cómo se comportan las inversiones afuera? Para esta clase de periodos no es muy atractivo colocar el dinero en cuentas de E.U. o Europa ya que el rendimiento en dólares no supera el del mercado local, donde la rentabilidad efectiva anual puede ser superior.
EJERCICIOS
201
Ejemplo 1. Un inversionista estadounidense está realizando un proyecto de inversión en Colombia que ofrece una rentabilidad en pesos colombianos de 35% anual. Si él en su país logra una rentabilidad del 10% anual, cuál será la tasa de devaluación del peso respecto al dólar, por encima o por debajo de la cual se hará atractivo el proyecto? iCol=35% iUsa=10% DEV=? DEV= DEV=22,72%
Ejemplo 2 Si la rentabilidad del 35% en Colombia está acompañada de una inflación del 25%, cuál sería la tasa de inflación en Estados Unidos que generaría un interés libre de inflación equivalente al obtenido en Colombia, si la rentabilidad de dicho país es del 10%? INFCol = 25% iCol =35% iUsa =10% iD=? Hallemos primero el valor de la inflación en Estados Unidos: INFUsa= INFUsa= INFUsa= 1,851 202
Podemos ahora calcular el valor del i D: iD= iD= iD=8%
Ejemplo 3. 3. La tasa de cambio del peso colombiano respecto al dólar es $1000/US$, y la tasa de cambio del Bolívar respecto al dólar es Bs$200/US$; durante el próximo año se espera una inflación en Colombia del 25% y en Venezuela del 35%.Suponiendo que se parte del equilibrio cambiario y con una inflación en Estados Unidos del 4%, cuál será dentro de un año la tasa de cambio del peso respecto al Bolívar que genera equilibrio cambiario? INFCol=25% INFUsa=4% INFVen=35% TCCol=$1000/US$ TCVen=Bs$200/US$ TCCol/Ven=? Hallamos las futuras tasas de cambio de Venezuela y Colombia: F/S= F= F= 203
Igualmente para Venezuela: F=
= Bs$259,62/US$
Calculemos ahora la tasa de cambio Colombia - Venezuela: TCCol/Ven =
= $4,63/Bs$
Ejemplo 4 Un inversionista estadounidense está acostumbrado a obtener una tasa en dólares constante del 10%. Durante el próximo año espera una inflación en su país del 5%. Está pensando en invertir en Colombia y sabe que dicho país actualmente tiene una tasa de cambio en equilibrio, y piensa mantenerla devaluando mensualmente un 2%. Cuál será la tasa de interés en pesos que hace equivalente para dicho inversionista invertir en Colombia? iD=10% DEV=2% mensual INFUsa=5% iCol= ?
Puesto que los datos están dados para un año, hallemos entonces la devaluación anual: DEVanual=(1 + DEVmensual)12 - 1 DEVanual=(1 + 0,02) 12 - 1 = 26,82%
204
Como se dice que hay una tasa de cambio en equilibrio, el i D en los dos países será igual: iDCol=
- 1 = iD Usa = 0,10
Necesitamos entonces la inflación en Colombia: = 1 + DEV INFCol = (1 + 0,2682)(1 + 0,05) -1 = 0,3316 Ahora sí, calculemos el interés corriente en Colombia: ((1 + iCol)/(1 + INF Col))- 1 = 0,10 iCol = (1 +0,10)(1 + 0,3316) - 1 = 0,4647 iCol = 46,47%
Ejemplo 5. Un profesor ganó una beca para estudiar en Estados Unidos y tiene un año para ahorrar el dinero que le cuesta el curso de inglés por valor de us$3.000 (no incluido en la beca). Para esto va a una Corporación de Ahorro y Vivienda la cual paga un interés del 24% anual con un interés adicional del 8% anual capitalizable mensualmente vencido. Si se conoce que la inflación en Colombia el año anterior fue del 28%,y en USA fue del 5,35% y la tasa de cambio en ese momento es $700/us$. Calcular:
205
a) ¿Qué cantidad en pesos colombianos debe ahorrar mensualmente el profesor para tener al cabo de un año el equivalente a los us$3.000 ? b) ¿Cuál sería la cantidad que debería ahorrar el profesor en UPACS ,teniendo en cuenta que el valor del UPAC hoy es $5,000 c) ¿Cuál sería la cantidad que debería ahorrar si el monto mensual es el mismo en pesos de hoy? Datos ii=24% anual INFCol=28% i adicional=8% M.V. INFUsa=5,35% TC0=TC(Enero 1/92)=$700/us$ a) X=F(A/F,i,12)
Calculamos la devaluación: DEV=
-1
DEV=
-1
DEV=21,5% 206
Hallamos la TC1 TC1=TC0(1+DEV) TC1=$700/us$(1+0,215) TC1=$850,5/us$ Ahora calculamos el interés total mensual efectivo i adicional mensual = i adicional mensual = 0,6666% i mensual =(1+ii) 1/n -1 i mensual =(1+0,24) 1/12-1 i mensual = 1,8088% iT =(1+i adicional mensual)*(1+i mensual)-1 iT =(1+0,006666)*(1+0,018088)-1 iT =2,4875% mensual
Ahora podemos calcular el costo del curso de inglés en pesos colombianos us$3000*$850,5 = $2'551.500 Reemplazando en el factor obtenemos X=2'551.500(A/F,2.4875%,12)=$185.081,80 b) Al valor del UPAC le aplicamos el ii=24% anual y obtenemos: $5.000(1+0,24)=$6.200 Si el valor del UPAC hoy es de $5.000 el costo del curso en UPACS será: $2'551.500/($5.000/UPAC)=510,3 UPACS
207
X=F(A/F,0,6666%,12) X=40,988 UPACS Lo que equivale a: 40,988UPAC*$6.200/UPAC=254.127,75 c) Calculamos en pesos constantes el valor del curso: $constantes(0) = $constantes(0) = $constantes(0) = $1'993.359.40 Conocida la inflación anual obtenemos la inflación mensual: INF mensual = (1+0,28) 1/12-1 INF mensual = 2,0785% mensual Entonces el interés duro (iD) será: iD=
-1
iD = 0,40165% mensual 208
X=1'993.359,40(A/F,0,40165%,12)
X=$162.475,60
Ejemplo 6. 6. Una empresa colombiana va a comprar una máquina a un proveedor de Estados Unidos y este ofrece dos sistemas de pago que para él son equivalentes. El primero, consiste en 8 pagos trimestrales de US$2.849,13 y el segundo en 4 pagos semestrales de US$5.783,73. El interés trimestral es del 3%. El valor de la máquina es de US$20.000. Si la tasa de cambio en el momento de la compra es de $1.055/US$ y dos años después será de $1559/US$ con una devaluación constante, determinar: a) Interés a pagar si se toma el sistema de cuotas semestrales. b) Interés efectivo anual de financiación. c) Saldo en pesos de la deuda transcurrido un año. 209
a) Para hallar el interés semestral utilizamos la siguiente fórmula: ISEM = ( 1 + I TRIM )n - 1 donde n = 2 ISEM = ( 1 + 0.03 ) 2 - 1 ISEM = 0.0609 = 6,09% b) El interés efectivo anual depende de dos tasas de interés: El interés que cobra el proveedor estadounidense y el interés de la devaluación de nuestra moneda, por lo que tenemos un interés en cadena. IEF-TRIM = ( 1 + DEV TRIM ) ( 1 + I TRIM ) - 1 Para saber el valor porcentual de la devaluación de nuestra moneda lo hacemos de la siguiente manera :
TC1 = TCO + Dev * TCO (TC1 - TC0) / TC0 = Dev (1559 - 1055) / 1055 = 0,47777 (Dev en 2 años) Ahora calculamos la devaluación en un año: i = ( 1 + ii ) ^(1/n) - 1 i = ( 1 + 0,47777 )^(1/8) - 1 = 0,05 = 5% Reemplazando en: ief-trim = ( 1,05 ) ( 1,03 ) - 1 ief-trim = 0,0815 Para conocer el interés efectivo anual usamos nuevamente la fórmula que relaciona las unidades periódicas: 210
ief-anual = ( 1 + 0,08135 ) 4 - 1 ief-anual = 0,368 = 36,8% anual c)
Nos trasladamos al cuarto trimestre P = 2849,13 [(1.03) 4 - 1] / [(1.03) 4 (0.03)] P = US$10.590,5 Esto es lo que hasta ahora se ha pagado, pero como estamos situados en la mitad de un flujo uniforme, este valor es el saldo de la deuda. Hallamos la devaluación anual: DEV ANUAL = (1,05)4 - 1 DEV ANUAL = 0.2155 = 21,55% anual Con la relación básica de equivalencia sabremos el valor de la tasa de cambio dentro de un año, pues vamos a llevar un valor presente a un valor futuro conocido. (El interés será la devaluación en este caso) F = P ( 1 + DEV ) n F = 1055 (1.2155) 1 F = $ 1.282,3525 / US$ 211
Luego el saldo en pesos es: S = (US$ 10.595,50) ($ 1.282,3525 /US$) S = $ 13’587.165,91
Ejemplo 7. Suponga que Colombia, Estados Unidos y Alemania parten de una situación de equilibrio en 1995 y para el próximo año se esperan entre otros los siguientes parámetros económicos: Tasas de interés del peso en Colombia 33% Inflación en Colombia 19% Tasas de interés del dólar en USA 14% Tasas de inflación en Alemania 12% Las tasas de cambio iniciales son: Pesos por dólar 1055 Marcos por dólar 5 a. Si se espera continuar dentro de un año con situación de equilibrio, determine la tasa de cambio esperada: - Del peso respecto al dólar - Del marco respecto al dólar b. ¿Cúal será la tasa de interés del marco? a) Para hallar el valor de la tasa de cambio del peso ante el dólar usamos la fórmula que relaciona la devaluación con la tasa de cambio, pero desconocemos la devaluación del peso ante estas dos monedas. La devaluación del peso ante el dólar la hallamos así: 212
DEV = ( 1 + INF COL ) / ( 1 + INF USA ) INFUSA = [ ( 1 + I USA ) ( 1 + INF COL ) / ( 1 + I COL ) ] -1 INFUSA = 0.02 = 2% Reemplazando en la fórmula de devaluación: DEV = [ ( 1 + 0.19 ) / ( 1 + 0.02 ) ] - 1 DEV = 0,166 = 16,66% ANUAL
Ahora si utilizamos la relación de devaluación con tasas de cambio: DEV = [ TC 1 / TC0 ] - 1 Entonces: TC1 = (1,166) ($1.055 / US$) TC1 = $1230,83 / US$ Para hallar la tasa de cambio del marco ante el dólar repetimos el proceso anterior: DEV = [ ( 1 + INF ALEM ) / ( 1 + INF USA ) ] - 1 DEV = ( 1,12 / 1,02 ) - 1 DEV = 0,098 = 9,8% ANUAL TC1 = ( DEV + 1 ) ( TC 0 ) TC1 = ( 1,098 ) ( DM 5 / US$ ) TC1 = DM 5,49 / US$ 213
b) I ALEM ALEM = { [ ( 1 + I COL ) ( 1 + INF ALEM ) ] / [ 1 + INF COL ] } - 1 I ALEM 1 ,12 ) ] / [ 1,19 ] } - 1 ALEM = { [ ( 1,33 ) ( 1,12 I ALEM ALEM = 0,2517 = 25,17% ANUAL
Ejemplo 7. Un magnate piensa depositar hoy un dinero con el propósito de heredar a sus hijos trillizos, que están cumpliendo 5 años, un dinero que podrá retirar cada uno al comienzo de cada mes con montos equivalentes en su momento a lo que hoy se compra con $300.000; a partir de su mayoría de edad y hasta que cumplan 30 años, momento en el cual ya deben tener definida su profesión. Si el dinero depositado devenga un interés del 34% anual y la inflación esperada es del 19% anual. Cuánto deberá depositar el magnate hoy? Cuando los hijos cumplan 18 años serán 156 meses y cuando cumplan los 30 serán 299 meses:
214
IT = 34% ANUAL INF = 19% ANUAL ID = ( I - INF ) / ( 1 + INF ) ID = ( 0,34 - 0,19 ) / ( 1 + 0,19 ) ID = 0,15 / 1,19 ID = 12,605% ANUAL Equivalente mensualmente a: IM = ( 1 + I A )1/2 - 1 IM = 0.9942092% mensual Para hallar la cantidad presente para este conjunto de flujos, hallamos: F = A ( F/A, 0,9942092%, 144 ) Que corresponde a la serie uniforme situada en el periodo 156 y con duración de 144 periodos F = 300.000 ( F/A, 0,9942092%, 144) F = $95’236.249,8139
215
Que para el siguiente se toma como un F 1 P = F ( P/F, 0 ,99442092%, 299 ) P = $4’944.892,7310
Ejemplo 8. Una empresa requiere tecnificar su sistema productivo para enfrentar la apertura económica y para ello va a importar una nueva máquina fabricada en Estados Unidos y con un valor de adquisición de US$ 20.000. El proveedor está dispuesto a financiar la máquina con un interés del 9% M.V. y un plazo de 2 años con pagos uniformes (incluyendo capital e intereses) cada uno al final de cada mes. Si la tasa de cambio hoy es de $725 por dólar y se espera una devaluación anual de 19,5618%. Determine el saldo de la deuda en dólares y pesos al cabo de 6 meses.
Solución: Hallamos el interés del periodo mensual : 9 % M.V. = 9/12 = 0.75% mensual
216
Calculamos la devaluación mensual: i = (1+ii)1/n-1, i = ( l+0.195618 ) 1/12 -1 = 1.5% Ahora calculamos el valor de A (A/P,i,n) por programa de calculadora A = US$913,7 aproximadamente. Entonces, Saldo = 913,7 (P/A, 0.0075, 18), por programa de la calculadora tenemos : Saldo = US $ 15331 Saldo en pesos = 15331*725 ( 1.015) 6
Saldo en pesos = $12’153.594,54 Otra forma de hacerlo es con valores futuros : Saldo = 20000 ( F/P; 0.0075, 18 ) - 913.7 ( F/A, 0.0075, 6 ) Saldo = 20917.0447 - 5586.024961 Saldo en dólares = US$ 15331. Saldo en pesos = $12’153.594,54
Ejemplo 9. Su familia va a comprar un apartamento que vale $ 20’000.000 y su forma de pago es 40% de contado y 60% financiado por Ahorra más mediante una línea de crédito que tiene un interés del 19% anual por corrección monetaria más un interés adicional del 12% M.V; el plazo es 15 años y los pagos serán cuota uniforme mensual con crecimientos anuales del 25% que corresponde a la inflación anual esperada. ¿Cuál es el interés real de la financiación y a cuánto equivaldrá en pesos constantes de hoy el valor de la última cuota mensual de los años 5, 10 y 15 ?
217
Solución: Calculamos el interés efectivo del período mensual: r/n = 12/12 = 1% Luego, calculamos el interés total o interés en cadena anual: i = (1+CM)*(1+iadic) - 1 Pasamos interés efectivo mensual a anual: E = ( 1.01)^12 - 1 = 0.1268 Ahora calculamos el i total i total = ( 1.19 )*(1.1268) - 1 = 0.3409 anual ir = ( i - Inf ) / ( 1+ Inf ) = ( 0.3409 - 0.25 ) / 1.25 1 .25 = 0.07273 anual Finalmente calculamos el valor de la cuota mensual B = 12’000.000 (B/P, 0.3409, 0.25, n) donde n = 5, 10, 15;
B permanece constante en el año En pesos constantes tenemos B/1.25 218
Ejemplo 10. Un inversionista de Estados Unidos visitó Colombia y decidió comprar una vivienda para disfrutarla durante su etapa de jubilado. Mientras tanto, será arrendada por un canon mensual equivalente a 500.000 pesos constantes del momento de la compra. El valor de adquisición es 100 millones de pesos, de los cuales el 30% será la cuota inicial y el saldo lo financia una Corporación de Ahorro y Vivienda a 20 años con un interés por corrección monetaria más un interés adicional del 15% anual, y se amortizará mediante cuota fija en UPACs. O mediante otra alternativa de financiación que le ofrece el First Bank of America con un sistema de pago de cuota fija, también a 20 años y con un interés del 9% M.V. en dólares. Si el valor esperado inicial tanto de la UPAC como del dólar es $1.000, el DTF promedio esperado 30.297%, la inflación anual esperada en Colombia es 23.872% y Estados Unidos es 3.605%, con una devaluación que corrija las diferencias entre dichas devaluaciones, determinar para cada sistema de financiación, el precio de venta que haría obtener una rentabilidad del 1.5% mensual en dólares sobre toda la inversión realizada, si decidiera vender dentro de 10 años. Financiación en la CAV: C.M.= 0.74 DTF= 0.74 * 0.30297= 0.2241978 C.M.mensual= (1+0.2241978)1/12-1 C.M.mensual= 0.017 = 1.7% Interés adicional: iad= 15% anual iad= (1+0.15)1/12-1 = 0.011714917 mensual iad= 1.1714917% mensual. 219
Inflación en Colombia: INFCol= 23.872% anual INFCol= (1+0.23872)1/12-1 = 0.018 mensual INFCol= 1.8% mensual Inflación en Estados Unidos: INF EU= 3.605% anual INFEU= (1+0.03605)1/12-1 = 0.00295564 mensual INFEU= 0.295564% mensual Entonces, la devaluación será:
DEV=
anual
DEVmensual= (1+0.195618)1/12-1 = 0.015 mensual DEVmensual= 1.5% La rentabilidad en dólares es del 1.5% mensual y en pesos es: iCol= (1+DEV) (1+iEU) - 1= 1.015 * 1.015 - 1 = 0.030225 mensual iCol= 3.0225% mensual de rentabilidad esperada en pesos. Los 30 millones inicialmente invertidos por el estadounidense tendrán un valor dentro de 10 años igual a: F30= 30’000.000 (1+iCol)120 = 30’000.000 (1+0.03225)120 F30= $1068’984.467 Se recibe mensualmente un arriendo de 500,000 pesos constantes. En 10 años se habrá recibido una cantidad F A, según el flujo de la siguiente figura:
220
Como la cuota está en pesos constantes se necesita un interés libre de inflación: iD= 1.2008841% mensual F A= 500.000 (F/A, 1.20088%, 120) F A= 132’779.756 pesos constantes del periodo cero En pesos corrientes: F A= (1+INF)120 = (1+0.018)120 F A= $1129’445.361 El valor inicial del crédito en UPACs: P= $70’000.000 = $70’000.000 / ($1.000/UPAC)
P= 70.000 UPACs
La cuota a pagar en UPACs es: A= 70.000 (A/P, 1.1714917%, 240) A= 873.409764 UPACs. Transcurridos 10 años, se ha pagado del crédito la siguiente cantidad:
221
Pagado = 873.409764 (P/A, 1.1714917%, 120) = 56162.40986 UPACs del periodo cero Aplicando a cada cuota del crédito el interés deseado (rentabilidad), se obtiene: i Dadic=
= 1.300393%
Pagado = 873.409764 (F/A, 1.300393%, 120) = 249411.768 UPACs en el año 10
222
CAPITULO V. CRITERIOS ECONOMICOS PARA TOMA DE DECISIONES Y EVALUACION DE ALTERNATIVAS
Para evaluar proyectos se debe seguir un proceso general decisorio así:
Identificación de la situación problema Análisis. Planteamiento de alternativas.
Evaluación de alternativas.
Implementación de la decisión tomada.
Debemos tener en cuenta que el objetivo de la búsqueda es comparar el costo de identificación de nuevas alternativas con el beneficio incremental sobre las alternativas ya identificadas. Las inversiones que pueden ser requeridas en un proyecto son:
Activos corrientes: Capital de trabajo requerido para el financiamiento de los
costos, cuentas por pagar, etc.
Activos fijos: terrenos, edificaciones, maquinaria.
Activos diferidos: estudios preliminares, gastos de constitución y puesta en
marcha.
223
5.1 EVALUACION ECONOMICA DE PROYECTOS Se calculan periodo a periodo y se examinan independientemente el proyecto y las fuentes de financiación (las cuales serán examinadas también individualmente). En el momento de tomar la decisión se analizan individualmente y en conjunto, también si se financiará con fondos propios o se utilizarán determinadas fuentes de financiación.
5.2 ANALISIS POR MEDIO DE FLUJOS NETOS Todo inversionista se mueve en un determinado medio que le presenta alternativas u oportunidades de inversión. Dichas oportunidades están acompañadas de una rentabilidad implícita que depende básicamente del medio ambiente que lo rodea y de la habilidad para visualizar las oportunidades. Sin embargo, es común que cada inversionista tenga oportunidades con las cuales se familiariza por estar presentes constantemente. Entonces, la rentabilidad que estas alternativas generan será normal para él. Se llamará INTERÉS DE OPORTUNIDAD (i*) a la rentabilidad obtenida normalmente por cada inversionista en las alternativas de inversión que continuamente se le presentan. Cada alternativa nueva en estudio será atractiva 224
en la medida que supere en términos de beneficios a las alternativas normales de cada inversionista.
5.3 INTERÉS DE OPORTUNIDAD Y RIESGO
Obviamente, se pretenderá obtener una rentabilidad superior al interés de oportunidad, por ello, es común oír hablar de una tasa mínima de retorno atractiva, que no es otra que el interés de oportunidad. Cabe decir que para un buen porcentaje de personas, las oportunidades normales de inversión se encuentran en el mercado financiero, y por lo tanto las rentabilidades obtenidas allí, constituyen sus intereses de oportunidad
5.4 CRITERIOS CON BASE EN LA DIFERENCIA ENTRE INGRESOS Y EGRESOS NETO = INGRESOS - EGRESOS Estos criterios se basan en examinar la diferencia entre ingresos y egresos. Para ello es necesario situar tanto los ingresos como los egresos en un mismo punto utilizando el interés de oportunidad (i*) del inversionista que está estudiando el proyecto, pues dicho interés es el que normalmente él obtiene en los otros 225
proyectos que ya conoce y entonces se logra hacer equivalentes cifras diferentes que están situadas en periodos diferentes. Por ejemplo, si un inversionista tiene un interés de oportunidad del 30% anual, es lógico que cada peso hoy, lo convertirá en $1,30 al cabo de un año que es equivalente a $1 hoy para él.
5.4.1 Valor Presente Neto (Vpn). Es la utilidad adicional que se recibe cuando se invierte en proyectos que le generan más de lo que le produciría invertirlo al interés de oportunidad. Cuando se toma como punto para comparar los ingresos y egresos el presente, debemos entonces trasladar ingresos y egresos al punto cero, y luego hallar su diferencia para obtener el Valor Presente Neto : Valor Presente Neto = Valor Presente Ingresos - Valor Presente Egresos VPN = VPI - VPE Veamos el ejemplo tomando como base:
Recordando P = F / ( 1 + i ) ^n VPI = 550.000/(1+i*) + 580.000/(1+i*)^2 + 675.000/(1+i*)^3 VPE = 1.000.000 226
INVERSIONISTA i*
VPI
VPE
VPN
A
30% 1.073.509,331 1.000.000 73.509,331
B
35% 1.000.000
1.000.000 0
C
40% 934.766,76
1.000.000 -65.233,23
INTERPRETACION DE LOS RESULTADOS Para el inversionista A, este proyecto es atractivo puesto que recibe $73.509,331 adicionales a la cantidad que obtendría en los otros proyectos ya conocidos (i*=30%). Dicho en otras palabras, si quisiera obtener en los otros proyectos ya conocidos lo que está recibiendo en éste, necesitaría invertir no sólo el $1.000.000, sino adicionalmente el VPN; es decir, $1.073.503,331, lo cual muestra la ventaja de éste proyecto respecto a los otros ya conocidos. El inversionista B debe concluir al tener un VPN = 0 que el proyecto en estudio le genera $0 por arriba del interés de oportunidad (i*), es decir, en este proyecto obtiene la misma rentabilidad que en los ya conocidos. El inversionista C, a diferencia del A, conoce proyectos que rentan más (i*=40%); la cifra arrojada por el VPN = -65.233,23 se interpreta como una utilidad que se deja de recibir si decide emprender este proyecto. Dicho en otras palabras, si quisiera obtener en los otros poryectos ya conocidos lo que recibe en éste, no necesitaría invertir el $1.000.000 ya que con $934.766,76 (1.000.000 - 65.233,23), le bastaría para obtener los mismos ingresos que genera el proyecto en estudio; lo cual demuestra la desventaja de este proyecto respecto a los ya conocidos. Como regla para la toma de decisiones utilizando este método tenemos: 227
Se compara el VPN contra cero; si es mayor (+) el proyecto en estudio es atractivo, si es menor (-) el proyecto no es atractivo y si el VPN es igual a cero, el proyecto es indiferente.
5.4.2 Valor Futuro Neto (Vfn).
Este criterio consisten en la diferencia entre
ingresos y egresos, desplazados hasta el último periodo de vida del proyecto usando el interés de oportunidad para desplazar cada uno de los ingresos y egresos. VFN = VFI - VFE Recordando F = P (1 + i) ^n VFI = 550.000(1+i*)2^+ 580.000(1+i*) + 675.000 VFE = 1.000.000(1+i*)^3 INVERSIONISTA
i*
VFI
A
30% 2.358.500 2.197.000 161.500
B
35% 2.460.375 2.460.375 0
C
40% 2.565.000 2.744.000 -179.000
228
VFE
VFN
INTERPRETACION DE LOS RESULTADOS El inversionista A, al cabo de tres años que dura el proyecto, tendrá una utilidad adicional de $161.500 a la cantidad que hubiera obtenido en los proyectos ya conocidos. Para el inversionista B resulta indiferente invertir en este proyecto ó en los ya conocidos. El inversionista C si decidiera invertir en este proyecto, al final de los tres años obtendría $179.000 menos, comparativamente con lo que podría obtener en los otros proyectos. Como regla para toma de decisiones tenemos:
5.4.3 Valor Anual Neto (Van). Este criterio convierte los ingresos y/o egresos en anualidades, y luego toma la diferencia entre el Valor Anual de Ingresos (VAI) y el Valor Anual de Egresos (VAE). VAN = VAI - VAE
229
Para calcular el VAI pasamos todos los ingresos a futuro y luego a la serie A. VAI = [550.000(1+i*)^2 + 580.000(1+i*) + 675.000] ( A/F,i*,3) INVERSIONISTA i*
VAI
VAE
VAN
A
30%
591.102,756 550.626,56 40.476,19
B
35%
589.664,46 589.664,46 0
C
40%
588.302,75 629.357,79
41.055,04
Como regla para toma de decisiones utilizando este criterio tenemos:
NOTA : Cabe decir que lo mismo se puede hacer con el gradiente aritmético y el geométrico.
5.4.4 Relación Entre Vpn, Vfn, Van El Vpn. podemos relacionarlo con el VFN o con el VAN, utilizando simplemente los factores de conversión correspondientes ya que VPN es un P común y corriente al igual que VFN es un F y VPA un A. De esta forma podemos establecer las siguientes relaciones
230
VPN = VFN (P/F,i*,n)
VPN = VAN (P/A,i*,n)
VAN = VFN (A/F,i*,n)
VAN = VPN (A/P,i*,n)
VFN = VPN (F/P,i*,n)
VFN = VAN (F/A,i*,n)
5.5 CRITERIO RELACIÓN BENEFICIO/COSTO(B/C) Este índice se apoya en el método del VPN, aunque en algunas ocasiones puede producir resultados inconsistentes con los arrojados por el VPN. Debido a la relación que existe entre VPN, VFN y VAN, el índice B/C, podemos hallarlo también con base en éstos métodos. La relación B/C indica la cantidad que se recibe por cada peso que se invierte y se calcula hallando primero el valor presente, futuro o anual de ingresos, luego se calcula el valor presente, futuro o anual de egresos y se establece la relación entre los valores de ingresos y los de egresos dividiendo la primera cantidad por la segunda : B/C = INGRESOS / EGRESOS B/C = VPI / VPE = VFI / VFE = VAI / VAE INVERSIONISTA
i*
B/C
A
30%
1,073509
B
35%
1
C
40%
0,934766
B/C = VPI / VPE = (VPE+VPN) / VPE =(VPE /VPE)+(VPN/VPE)=1+(VPN/VPE) B/C = 1 + (VPN/VPE) 231
En la relación VPN / VPE pueden ocurrir 3 casos : (VPN/VPE) > 0 : Es la rentabilidad adicional del proyecto por encima del interés de oportunidad debido a que los ingresos son mayores que los egresos. (VPN/VPE) = 0 : Significa que el dinero invertido es igual al dinero recibido, es decir, el proyecto es indiferente. (VPN/VPE) <0 : El proyecto en este caso no es atractivo comparado con los ya conocidos, dado que VPE> VPI. Regla de decisión:
5.6 CRITERIOS CON BASE EN LA L A RENTABILIDAD OBTENIDA 5.6.1 Tasa Interna De Retorno (Tir). Es la rentabilidad implícita del proyecto. Se calcula como la tasa de interés que hace equivalente los egresos a los ingresos, es decir, tomando el ejemplo tenemos :
232
1'000.000=(550.000/(1+TIR)^1)+(580.000/(1+TIR)^2)+(675.000/(1+TIR)^3) Evaluando por prueba y error el factor derecho obtenemos
TIR
Factor derecho
39%
947.213,65
38%
959.950,86
36%
986.334,08
35%
1'000.000
INTERPRETACION: El 35% de la rentabilidad periódica (anual) del dinero que permanece invertido cada periodo en el proyecto; es decir, durante el primer año el $1.000.000 genera el 35% ($350.000), obteniéndose al final del año un total de $1.350.000, de los cuales se retiran $550.000, quedando para el segundo año $800.000 que generan el 35% ($280.000), teniendo así al final del año $1.080.000 de los cuales se retiran $580.000 quedando para el último año $500.000 que al producir el 35% ($175.000), se tendría al final del proyecto los &675.000 a retirar. Regla de Decisión:
233
5.6.2 Verdadera Rentabilidad (Vr). Es un criterio que pretende obtener la rentabilidad del dinero invertido durante toda la vida del proyecto, para ello se parte del supuesto lógico de que el dinero recibido durante el transcurso del proyecto será invertido al interés de oportunidad (i*) acumulando una cifra al final del proyecto que corresponde al VFI. Para el ejemplo base, los$550.000 recibidos en el primer año, serán reinvertidos y convertidos en $550.000(1+i*)^2 al finalizar el proyecto. Los $580.000 recibidos en el segundo año, serán convertidos en 580.000(1+i*) al final del tercer año. Por lo tanto estas cantidades más las recibidas al final del tercer año conforman el VFI.
Gráficamente:
Se reinvierte la cantidad invertida el primer año:
234
Se reinvierte la cantidad invertida el segundo año:
Se recibe en el tercer año
VFI = 550.000 ( 1 + i* )^2 + 580.000 58 0.000 ( 1 + i* ) + 675.000
(VFI/INVERSION)^(1/n) - 1 NOTA : En el caso en el que la inversión no se efectúe toda en el periodo cero, sino en varios periodos, el denominador en esta expresión será el valor presente de la inversión total.
235
Para el ejemplo n = 3 INVERSIONISTA i*
VFI
VR ( % )
A
30
2.358.500 33,11039
B
35
2.460.375 35
C
40
2.565.000 36,8870
Regla de decisión:
NOTA : Se debe tomar en cuenta que la verdadera rentabilidad es una tasa intermedia entre la tasa interna de retorno y el interés de oportunidad; así : TIR > VR > i* TIR < <>
TASA DE CRECIMIENTO DEL PATRIMONIO En el caso de que el dinero disponible para invertir sea superior a la inversión a realizar y se desee conocer la rentabilidad del dinero disponible, la verdadera rentabilidad (VR) sería reemplazada por Tasa de Crecimiento del Patrimonio
236
(TCP) que conceptualmente tendría un significado similar, pero hablaría de la rentabilidad de todo el dinero disponible, como se explicará posteriormente.
5.7 CRITERIOS CON BASE EN EL MONTO FINAL ACUMULADO 5.7.1 Valor Futuro De Los Flujos De Fondo (Vfff). (Vfff). Monto final acumulado bajo el supuesto de que el inversionista, a medida que recibe los ingresos que le genera el proyecto, los reinvierte al interés de oportunidad (i*). VFFFN = VFE = 1.000.000(1+i*)^3 VFFF = VFI INVERSIONISTA
i*
VFFF
VFFFN
A
30%
2'358.500
2197.000
B
35%
2´´460.375
2460.375
C
40%
2´´565.000
2744.000
VFFF : Valor futuro de los flujos de fondo de la alternativa nula Regla de decisión:
237
5.8 CRITERIOS CON BASE EN EL TIEMPO DE RECUPERACION DE LA INVERSION 5.8.1 Periodos De Recuperación En Pesos Corrientes Y Sin Interés. Este criterio busca encontrar el tiempo transcurrido para recibir del proyecto los pesos que le fueron entregados como inversión, sin exigirle a cambio dinero alguno por concepto de interés.
5.8.2 Periodo De Recuperacion En Pesos Corrientes Incluyendo I*.
Este
criterio se basa en el cálculo del criterio requerido para recuperar el dinero invertido y el interés de oportunidad generado mientras permaneció invertido.
5.8.3 Periodo De Recuperacion En Pesos Constantes.
En un medio
inflacionario sería muy poco acertado pensar en recuperar solo los pesos corrientes invertidos sin importar el poder adquisitivo del dinero. Este criterio busca determinar el periodo requerido para recibir del proyecto una cantidad tal que equivalga en términos de poder adquisitivo al dinero invertido.
5.9 EVALUACION DE ALTERNATIVAS Utilizando los criterios ya estudiados, podemos llegar a concluir si una alternativa es atractiva o no. Cuando simultáneamente se estudian varias alternativas se habla de evaluación de alternativas. Por lo general, al llevar a cabo esta evaluación, se busca la mejor opción o el mejor grupo de ellas de acuerdo al caso específico.
238
5.9.1 Clasificacion De Las Alternativas
Según los Beneficios que Generan. Alternativas que generan diferentes
beneficios : Es el caso más general, como su nombre lo indica los beneficios generados por las alternativas son diferentes para cada una de ellas; por lo cual su evaluación se basa en la maximización de los valores presentes, anuales y futuros netos, ó en el cálculo de la Tasa Interna de Retorno (TIR), aunque también se podría realizar un análisis incremental entre las alternativas consideradas. Alternativas que generan igual beneficio : Una característica de estas alternativas, es que el valor total de los beneficios producidos por cada una de ellas en cada periodo es el mismo, por lo que requieren de un estudio especial que consiste en hacer un análisis de costos, buscando la alternativa que genere los beneficios requeridos al mínimo costo.
Según la Relación de las Alternativas entre sí. Mutuamente Excluyentes :
Son alternativas que no se pueden realizar simultáneamente, por lo tanto se debe seleccionar la mejor. Independientes : Este tipo de alternativas no están afectadas entre sí por la decisión que se tome en una de llas, sin embargo, generalmente existen restricciones que hacen que una decisión indirectamente afecte al conjunto de alternativas, como por ejemplo la disponibilidad de dinero. Complementarias: Son aquellas alternativas en las cuales para llevar a cabo una, requiere realizar otra que la complemente.
Según la Duración. Es importante en muchos casos la duración de las
alternativas y su clasificación de acuerdo a si presentan IGUAL ó DIFERENTE vida económica. 239
Segun la Inversión. Varios de los criterios ya vistos ofrecen resultados en los
cuales se involucra la invesión, y por lo tanto debe tenerse muy claro si se están analizando alternativas con IGUAL o DIFERENTE inversión.
5.10 CRITERIOS DE EVALUACION SEGUN EL TIEMPO DE ALTERNATIVAS ALTERNATIVAS
CON
BENEFICIOS
DIFERENTES,
MUTUAMENTE
EXCLUYENTES, IGUAL VIDA E IGUAL INVERSION El objetivo es elegir la mejor alternativa utilizando cualquiera de los criterios vistos. Sólo se debe tener cuidado al utilizar la TIR, ya que este criterio no tiene en cuenta el dinero que sale del proyecto durante su transcurso; solo habla del dinero que continúa invertido y este puede ser substancialmente diferente para cada alternativa, aún comenzando todos con igual inversión.
5.10.1 Alternativas Con Beneficios Diferentes, Mutuamente Excluyentes, Igual Vida Y Diferente Inversion. La única diferencia respecto a la anterior, es que todas las alternativas presentan diferente inversión, por ello los criterios que involucran en su resultado el monto invertido no son criterios adecuados. Tal es el caso del de la VR y el VFFF, los cuales debemos reemplazar por sus sustitutos adecuados si deseamos una evaluación correcta, como son la TCP y el VFP. VFP = VFFF + (EXCEDENTE) (1+i*) ^n Donde el EXCEDENTE es el dinero disponible y que no fue invertido en el proyecto. Tomando como dinero disponible mínimo la mayor de las inversiones de las alternativas. VFP es el Valor Futuro del Patrimonio. TCP es la Tasa de Crecimiento del Patrimonio y se obtiene : TCP= ( VFP / ( (INVERSION (INVERSION MAYOR)^(1/n) ) ) -1 240
5.10.2 Alternativas Con Diferentes Beneficios, Mutuamente Excluyentes, Diferente Vida E Inversion. A diferencia del caso anterior este tiene diferente vida, por lo tanto los criterios VFN y VAN dejan de ser apropiados. Además, para el cálculo de VFP y TCP se debe utilizar la mayor vida económica de las alternativas.
5.10.3
Alternativas Independientes Con Diferentes Beneficios, Vida E
Inversion. En este caso, si no existieran restricciones, se limitaría al estudio individual de cada alternativa y su respectiva decisión en cuanto a llevarse a cabo o no. No obstante, es común que existan restricciones en cuanto uno o varios de las siguientes variables :
Capital Disponible
Mercado
Materias Primas
Mano de obra
Tiempo
Tecnología
La restricción más común es la del capital disponible. Por lo tanto, analizar este tipo de alternativas con restricciones se convierte en el estudio de conjuntos de alternativas que generalmente son excluyentes entre sí, quedando así en uno de los casos ya expuestos. Una herramienta de gran utilidad en el estudio de alternativas con restricciones es la Programación Lineal. 241
5.10.4 Alternativas Complementarias. En este caso el análisis correcto debe fusionar inicialmente como una alternativa global el flujo de las alternativas complementarias y luego calcular los criterios que según el caso sean los adecuados para la toma de decisiones, teniéndose en cuenta el análisis de los casos anteriores.
5.10.5 Alternativas Que Producen Iguales Beneficios. En este caso, por recibirse los mismos beneficios por todos las alternativas, el análisis se reduce a la minimización de costos. La mejor alternativa será aquella que genere los beneficios buscados al mínimo costo. Definimos : COSTO DE UN ACTIVO : Costo de Operación y Mantenimiento Costo de Posesión COSTO TOTAL = COSTO DE OPERACION Y MANTENIMIENTO + COSTO DE POSESION Los criterios para este caso son : Costo Presente Equivalente (CPE) Costo Anual Equivalente (CAE) Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE) Costo Futuro Equivalente (CFE) Costo Gradiente Geométrico Equivalente (CGCE) En nuestro medio inflacionario un CAUE expresado en Pesos corrientes perdería el sentido pues cada año los pesos tendrían menor poder adquisitivo y el costo real sería menor. 242
Sin embargo, utilizando en los cálculos del CAUE, Pesos Constantes e interés libre de inflación (iD), un costo anual sería bastante claro en su concepción. CGCE con _= INFLACION en Pesos Corrientes, es equivalente al CAUE $ Constantes: CAE = {CAE O y M + [P - VM/(1+iD*)^n ]* (A/P,iD*,n)} COSTO DE POSESION (CP) $ Constantes: CP = P - VM / ( 1 + iD*)^n Respecto a CFE podemos decir que la mayoría de las veces es más sencillo proyectar hacia el futuro los costos en PESOS CONSTANTES que en PESOS CORRIENTES. La manera de relacionar pesos corrientes y cosntantes es por medio de la inflación esperada. Si las alternativas tienen igual vida, el análisis es bastante sencillo en la medida en que se conozcan los costos, pues con calcular cualquiera de los criterios enunciados y compararlos, se puede tomar la decisión. Sin embargo, si las alternativas tienen diferente vida, se debe buscar algún mecanismo para formar un tiempo de vida igual :
Extender la vida de las alternativas más cortas
Reducir la vida de las alternativas más largas
Pensar en reemplazos hasta igualar vidas totales
243
EJERCICIOS DETERMINE:: DETERMINE A.
Si dispone de $6 millones y los proyectos son únicos e independientes, en
cuáles debería invertir?. B.
Cuál sería la rentabilidad anual de los los $6 millones en la decisión tomada
según el punto a ? C.
Si puede recibir un préstamo de de $1 millón pagadero en su totalidad (capital e
intereses) dentro de 4 años al 28% anual qué decisión tomaría ? D.
Cuál es la rentabilidad individual de cada proyecto en el que invertiría?.
E.
Si A, B y D fueran mutuamente excluyentes y el préstamo solo pudiera tomar
si se hace E, plantee el ejercicio como un problema de programación lineal.
DESARROLLO 2P = P*´(1+i)3 2 = (1+i)3 (2)-1/3 - 1 = i 0.26 i = 0.2599 0.2
A.
244
OPCIÓN A
VPN = VPI – VPE VPI = 1´299.956 VPE = 1´000.000 VPN = 299.956 TIR = 0.35
OPCIÓN B
VPN = VPI – VPE VPI = 640.000(P/A, 0.26, 3) + 2´640.000(P/F, 0.26, 4) VPE = 2´000.000 VPN = 278.000 TIR = 0.32 245
OPCIÓN C
VPN = VPI – VPE VPI = 880.000(P/F, 0.26, 2) + 3´250.000(P/F, 0.26, 3) VPI = 2´178.990 VPE = 2´000.000 VPN = 178.990 TIR = 0.3
OPCIÓN D
VPN = VPI – VPE VPI = 9´287.021,63(P/F, 0.26, 4) VPI = 3´724.308 VPE = 3´000.000 246
VPN = 724.308 TIR = 0.33
OPCIÓN E
VPN = VPI – VPE VPI = 1´550.000(P/A, 0.26, 3) + 6´550.000(P/F, 0.26, 4) VPI = 5´580.047 VPE = 5´000.000 VPN = 580.047 TIR = 0.31
PROYECTO
VPN
TIR
A
299.956
0.35
B
278.000
0.32
C
178.990
0.30
D
724.308
0.33
E
580.047
0.31
247
POSIBILIDADES
VPN
A + B + C + 1´000.000(1+i*)
687.730
A + B +D
1´232.688
A + C +D
1´133.256
A+E
810.005
B+D
1´003.298
C+D
902.730
A + D + 2´000.000(1+i*) 2´000 .000(1+i*)
954.266
La mejor opción es A + B + D sin tomar el préstamo.
B. VFI A = 3 ´100.000 VR = (VFI total / INVERSIÓN) 1/n - 1 VFI B = 5´742.704 VFI D = 9´387.021 VFI Total = 18´229.797 n=4 La rentabilidad total de la inversión es del 34%.
C.
248
VPN = VPI – VPE VPI = 1´000.000 VPE = 2´684.354,56(P/F, 0.26, 4) VPE = 1´065.519 VPN = -65.019
POSIBILIDADES
VPN
B+E+P
793.450
C+E+P
694.018
B + C +D + P
1´116.701
A+B+D
1´232.688
A+C+D
1´133.256
Sigue siendo mejor opción A + B +D sin tomar el préstamo.
249
D. VR = (VFI total / INVERSIÓN) 1/n - 1 Con n = 4
VR A = 0.3269 32.69%
TIR A = 35%
VR B = 0.3017 30.17%
TIR B = 32%
VR C = 0.2873 28.73%
TIR C = 30%
VR D = 0.33 33.00%
TIR D = 33%
VR E = 0.2950 29.50%
TIR E = 31%
La mayor rentabilidad nos la otorga el proyecto D.
E. Programación lineal Vamos a optimizar el VPN VPN = VPN AX1 + VPNBX2 + VPNCX3 + VPNDX4 + VPNEX5 CAPITAL = CAP AX1 + CAP BX2 + CAPCX3 + CAPDX4 + CAP EX5 Condiciones: Mutuamente excluyentes X1 + X2 + X3 1 X1X2 = 0, X2X3 = 0, X1X4 = 0 X1 = 0 Para obtener P es necesario escoger E, pero, para escoger E no es indispensable tomar P. Entonces X4 X5. 250
VPN = 229.958X 1 + 278.000X2 + 178.900X3 + 724.308X 4 + 580.047X 5 1´000.000X 00X1 + 2´000.000X 2 + 3´000.000X3 + 5´000.000X 4 – 7´000.000 1´000.0
1´000.000X5 Si
X1 = 1
X2 = 0
X3 = 0
X4 = 1
X5 = 0
VPN
=
810.005 X1 = 1
X2 = 0
X3 = 0
X4 = 1
X5 = 1
VPN
=
744.986 X1 = 0
X2 = 1
X3 = 0
X4 = 1
X5 = 1
VPN
=
793.450 X1 = 0
X2 = 0
X3 = 1
X4 = 0
X5 = 0
VPN 724.308
Tomamos 229.958X1 + 580.047X 4 = 810.005 1´000.000X1 + 5´000.000X4 = 7´000.000 X1 = 0 0.047 X4 = 1.3964 X1 = 3.5224 0.047X4 = 0
251
=
ANEXO
1. OBJETIVOS
253
1.1 OBJETIVO GENERAL
253
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
253
2. INTRODUCCIÓN
254
3. GENERALIDADES DEL PROCESO DE PROGRAMACIÓN
255
3.1 EJERCICIO 1
263
3.1.1 Solución.
264
3.2 EJERCICIO 2
273
3.2.1 Solución.
274
4. OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES
282
252
1. OBJETIVOS
1.1 OBJETIVO GENERAL
Realizar un programa para las calculadoras de Texas Instruments (TI 68k)
cuya finalidad es ayudar al estudiante que cursa la materia Economía para Ingenieros o Ingeniería Económica, en cuanto a agilizar los procesos de cálculo, documentándolo de manera adecuada y didáctica.
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Hacer la programación en el lenguaje TI-Basic en Daisuke-Edit.
Documentar el programa en cuanto a su forma de uso y de operación teniendo teniendo
en cuenta que el estudiante debe manejar los los conceptos previo a su uso.
Desarrollar unos ejercicios modelo para mostrar de forma práctica el uso de la
herramienta.
253
2. INTRODUCCIÓN
El desarrollo del aprendizaje de la materia economía para ingenieros, requiere de conceptos claves y dominio del tema. Pero igualmente se necesitan herramientas que disminuyan la pérdida de tiempo en los cálculos, a demás ilustrar y visualizar con mayor facilidad los tópicos concernientes a la materia. Por eso se ha desarrollado un programa, el cual me facilite la determinación de cálculos, y visualización de procesos. Tenga en cuenta que el análisis de cada problema particular debe ser interpretado por el usuario.
254
3. GENERALIDADES DEL PROCESO DE PROGRAMACIÓN PROGRAMACIÓN
Se escribió el programa en Daisuke-Edit ejecutándolo en TIEmu. Se muestra un pantallazo del entorno de programación y el emulador.
El desarrollo del programa estuvo comprendido entre el 21 de febrero y el 3 de Marzo de 2008 y conlleva un proceso de prueba constante aprovechando la conectividad entre los dos programas antes mencionados.
255
Se programa de forma que no se generen errores de ningún tipo, ni en la eventualidad de que el usuario ingrese datos inválidos. El programa es compatible con las calculadoras TI 68k de la Texas Instruments, las cuales son: TI-89, TI 92 (Puls), Voyage TM 200 y TI-89 Titanium. A continuación se muestran unas imágenes de las mismas en TIEmu.
TI-89
TI-89 Titanium 256
TI-92 (Plus)
257
TM
V o y a g e 200
1.
CÓDIGO FUENTE DEL PROGRAMA
economía() Prgm © Fecha: 03-03-2008 © Título: Ingeniería Económica © Versión: 1.2 © Autor: Froilán Andrés Morales Sanabria om> © http://www.ticalc.org/archives/files/authors/95/9551.html © UIS, Ingeniería Mecánica. © Creado usando Daisuke-Edit http://www.daisuke.tk http://www.daisuke.tk Local fór,pf,ti,lvar,tx,ltx,nvar,dlogs,k,vark,var,vars,cont,desp,ex,ps,fs,is,ns,iis,ms,ias,as,g s,cs,ds,bs,vi,ve,mg,me,md,gr,ax,lb,pic Try NewFold economía Else setFold(economía) EndTry setMode("Graph","FUNCTION") →mg setMode("Exact/Approx","APPROXIMATE") →me setMode("Display Digits","FLOAT 12") →md PlotsOff FnOff ClrDraw setGraph("Grid","Off") →gr setGraph("Axes","Off") →ax setGraph("Labels","Off") →lb {"p","f","i","n","ii","m","ia","a","g","c","d","b"} →lvar For k,1,12 lvar[k] →vark If getType(#vark)="NUM" getType(#vark)="NUM" string(#vark)→#(vark&"s") EndFor ClrIO Loop Dialog Title "INGENIERÍA ECONÓMICA v1.2" Text "Seleccione la Ecuación:" DropDown " ",{"Interés Compuesto","Tasas","Anti Compuesto","T asas","Anticipada-Vencid cipada-Vencida","Serie a","Serie Uniforme","Grad. Uniforme","Gra d. Aritmético","Grad. Geométrico","Grad. Escalonado","Flujos Combinados"},fór Text ""
258
DropDown "Ver Imagen ",{"No","Si"},vi ",{"No","Si"} ,vi DropDown "Ver Ecuación",{"No","Si"},ve Text "" Text " Por: Froilán A. Morales S." Text " " " Text " UIS, Ingeniería Mecánica." EndDlog If ok=0 Exit If vi=2 Then If fór=1 Then "inte" →pic ElseIf fór=2 Then "tasa" →pic ElseIf fór=3 Then "vean" →pic ElseIf fór=4 Then "seru" →pic ElseIf fór=5 Then "arit" →pic ElseIf fór=6 Then "geom" →pic Else "esca" →pic EndIf If getType(#pic)="PIC" Then ClrDraw RclPic #pic Pause EndIf EndIf If fór≥4 and fór≠8 Then
0→pf PopUp {"Presente","Futuro"},p {"Presente","Futuro"},pf f If pf=0 Cycle EndIf If fór=1 Then "INTERÉS COMPUESTO" →ti {"P","F","i","n"} →lvar "F=P*(1+i)^n"→tx ElseIf fór=2 Then "TASAS" →ti {"ii","i","m"} →lvar "i=(ii+1)^(1/m)-1" →tx ElseIf fór=3 Then "TASA ANTICIPADA" →ti {"i","ia"} →lvar
259
"i=ia/(1-ia)"→tx ElseIf fór=4 Then "SERIE UNIFORME" →ti If pf=1 Then {"P","A","i","n"}→lvar "P=A*(1-(1+i)^¯n)/i" →tx Else {"F","A","i","n"}→lvar "F=A*((1+i)^n-1)/i" →tx EndIf ElseIf fór=5 Then "GRADIENTE ARITMÉTICO" →ti If pf=1 Then {"P","G","i","n"}→lvar "P=G*((1+i)^n-1-n*i)/(i^2*(1+i)^n)" →tx Else {"F","G","i","n"}→lvar "F=G*((1+i)^n-1-n*i)/i^2"→tx EndIf ElseIf fór=6 Then "GRADIENTE GEOMÉTRICO" →ti If pf=1 Then {"P","C","d","i","n"}→lvar {"P=C*(1-((1+d)/(1+i))^ {"P=C*(1-((1+d)/(1+i))^n)/(i-d)"," n)/(i-d)","P=n*C/(1+i)"} P=n*C/(1+i)"} →ltx Else {"F","C","d","i","n"}→lvar {"F=C*((1+i)^n-(1+d)^n)/(i-d)","F=n*C*(1+i)^(n-1)"} →ltx EndIf ElseIf fór=7 Then "GRADIENTE ESCALONADO" →ti If pf=1 Then {"P","B","d","i","m","n"}→lvar {"P=B*((1+i)^m-1)/i*(1-((1+d)/(1+i)^m)^n)/((1+i)^m-1-d)","P=n*B*(1-(1+i)^¯m)/i"} Else {"F","B","d","i","m","n"}→lvar {"F=B*((1+i)^m-1)/i*((1+i)^(m*n)-(1+d)^n)/((1+i)^m-1-d)","F=n*B*(1(1+i)^¯m)/i*(1+i)^(m*n)"}→ltx EndIf ElseIf fór=8 Then "FLUJOS COMBINADOS" →ti {"P","F","B","d","i","m","n"} →lvar {"P*(1+i)^(m*n)+B*((1+i)^m-1)/i*((1+i)^(m*n)-(1+d)^n)/((1+i)^m-1d)+F=0","P*(1+i)^(m*n)+n*B*(1-(1+i)^¯m)/i*(1+i)^(m*n)+F=0"} →ltx EndIf If ve=2 Then If fór≤5 Then
Pause tx Else
260
→ltx
If fór=8 Disp "*Colocar signos adecuados" Pause ltx EndIf EndIf dim(lvar) →nvar ""→dlogs For k,1,nvar lvar[k] →vark dlogs&":Request """&vark&""","&vark&"s,0" →dlogs EndFor "Dialog:Title """&ti&""""&dlogs&":EndDlog" →dlogs Loop expr(dlogs) If ok=0 Exit 0→cont For k,1,nvar lvar[k]→var lvar[k]&"s" →vars If #vars="" Then DelVar #var cont+1→cont k→desp Else Try expr(#vars)→#var Else Pause "Error: Revise los valores ingresados ("&var&")." 0→ok Exit EndTry EndIf EndFor If ok=0 Cycle If cont=1 Then If fór=6 Then ltx[1]→tx If desp≠3 and desp≠4 Then
If i=d Then ltx[2] →tx EndIf EndIf ElseIf fór=7 Then ltx[1]→tx If desp≠3 and desp≠4 and desp≠5 Then
If (1+i)^m-1=d Then
261
ltx[2] →tx EndIf EndIf ElseIf fór=8 Then ltx[1]→tx If desp≠4 and desp≠5 and desp≠6 Then
If (1+i)^m-1=d Then ltx[2] →tx EndIf EndIf EndIf expr(tx)→ex lvar[desp] →var lvar[desp]&"s" →vars If fór≥4 and fór≠8 and desp≥3 Then If fór≥6 and desp=3 Then
nSolve(ex,d)|d>¯1 and d<1 →d Else nSolve(ex,#var)|#var>1. ¯10→#var EndIf ElseIf fór=8 and desp≥4 Then
If desp=4 Then nSolve(ex,d)|d>¯1 and d<1 →d Else nSolve(ex,#var)|#var>1. ¯10→#var EndIf Else right(solve(ex,#var))→#var EndIf string(#var)→#vars ElseIf cont=0 Then Pause "Error: Se debe dejar una variable indefinida (en blanco)." Else Pause "Error: Se admite únicamente una variable indefinida (en blanco)." EndIf EndLoop EndLoop setMode("Graph",mg) PlotsOn FnOn setGraph("Grid",gr) setGraph("Axes",ax) setGraph("Labels",lb) setMode("Exact/Approx",me) setMode("Display setMode("Display Digits",md) DispHome EndPrgm
262
2. SOLUCIÓN DEL PRIMER EXAMEN PARCIAL
A modo de ejemplo se resolverán los siguientes ejercicios, para conocer la funcionalidad del programa. Tenga en cuenta que el usuario debe realizar el análisis del problema y dar solución
esquemática.
Pues
el
programa
solo
hace
operaciones,
no
planteamientos.
3.1 EJERCICIO 1. Universidad Industrial de Santander Escuela de Estudios Industriales y Empresariales Economía para Ingenieros - Primer examen parcial Enero 29, 2008
Profesor: Carlos Enriq ue Vecino A renas, Ph.D. Ph.D.
1. (Valor 40%)
Una empresa fabricante de calzado requiere remplazar varias
máquinas para tecnificar su proceso productivo. Para su adquisición se tramita un préstamo de 100 millones de pesos a 10 años con un interés del 1.5% mensual, el cual deberá pagarse mediante una cuota mensual vencida que crece 2% cada mes respecto a la cuota anterior. Según los cálculos del crédito, al final del quinto año, momento en el que la cuota mensual supera lo que la empresa tiene especificado como presupuesto mensual para el pago de créditos, el gerente financiero de la empresa decide hacer un abono extraordinario de $61’280.140,3 con el propósito de que la modalidad de
pago pase a cuota fija.
263
3.1.1 Solución. Análisis y Planteamiento Planteamiento del del Problema: Problema:
La empresa fabricante de calzado en el instante del préstamo pensaba pagar sus cuotas siguiendo las condiciones iníciales del mismo. Por ello el esquema sería.
Este comportamiento es de un gradiente geométrico así que utilizando el programa de la calculadora Texas Instruments se deben seguir los siguientes pasos:
264
1. La calculadora debe trabajar en HOME.
Estando allí se busca el programa en VAR-LINK, carpeta de economía, programa de economía, (La ubicación de la carpeta y nombre del programa son modificables) [ENTER]. Aparece algo así:
Se cierra el paréntesis y de nuevo se da [ENTER]:
265
A partir de éste momento el programa lo guiará realizando preguntas que permiten seleccionar el tipo correcto de ecuación, además si desea ver la gráfica para el tipo de problema, las variables y su significado en la ecuación, entre otras. Para la primera parte del problema se necesita un gradiente geométrico, para ello seleccionemos la ecuación adecuada. Si deseo ver la gráfica y la ecuación selecciono la opción si para cada una, (estas dos últimas opciones no son requisito para el desarrollo del programa) pero en cambio le permiten al usuario visualizar el tipo de problema a solucionar y los valores a reemplazar. Si le he asignado la opción de gráfica, la calculadora mostrará la siguiente imagen:
Oprimo [ENTER]:
266
De nuevo [ENTER] y me da dos opciones Presente y Futuro . Esto se debe tener en cuenta dependiendo de las variables conocidas y la incógnita. En éste caso las variables conocidas son: d, i, P, n ; y se desconocen F y C . Como necesito calcular C a a partir de P → utilizo la fórmula de presente .
Para un valor de:
Para asignar valores en porcentajes se selecciona [CHAR] → Puntuation → %.
267
Una vez ingresados los valores, se deja en blanco el valor desconocido; (El programa solo admite un valor desconocido) y se presiona de nuevo la tecla [ENTER], en cuanto se ha despejado o calculado la incógnita se muestra de nuevo el cuadro de diálogo anterior pero con el valor de la incógnita.
(Este sería el valor de la primera cuota y a partir de la cual se realizaran incrementos del 2%). 268
Como el préstamo se interrumpe al finalizar el quinto año, es decir en el final del periodo # 60. Se realiza un abono extraordinario y además se cambia la modalidad de pago a una cuota fija hasta el final del préstamo.
Gráfica real del préstamo
Transcurridos cinco años el saldo será: El valor futuro de la deuda sin abonos ( –) el valor futuro de los abonos en ese mismo período → Para el valor futuro de la deuda sin abonos se trabaja con la fórmula de interés
compuesto en el programa. Con los valores de:
269
Siendo así El valor futuro de los abonos se calcula con la fórmula de gradiente geométrico. → Para valores de:
El programa conserva los valores tanto ingresados como los calculados, en éste ejemplo ya habíamos calculado el valor de , por ello nos aparece en cuadro de diálogo su valor y no requiere ingresarlo de nuevo.
270
Oprimo [ENTER] y se calcula así el valor de F .
Realizando la diferencia entre F Y F g obtengo: g obtengo:
La empresa decide abonar $61’280.140,3 para que la cuota no supere lo estipulado por la empresa mensualmente para pago de créditos, con este abono la deuda sería de:
El saldo será 271
Para la nueva forma de pago pa go ó nuevo sistema de crédito, créd ito, (cuota fija) el saldo en ese instante sería el mismo presente. Aplicando el programa para serie uniforme con valores de:
272
Cuando se suministran más datos de los requeridos el programa indica el error. Obtengo el valor de la cuota fija que a su vez es la pregunta del problema.
3.2 EJERCICIO 2. 2. (Valor 60%)
Dado que la relación del precio de la pechuga de pollo respecto
al de la pierna-pernil es superior en el exterior, una empresa avícola en Bucaramanga firma un contrato para exportar mensualmente 80 mil libras de pechuga durante 5 años. De acuerdo al estudio realizado se dispone de la siguiente información: La inversión requerida para la adecuación, implementación y puesta en marcha del proceso productivo y la logística de exportación asciende a $200’000.000 y
toma poco tiempo (menos de un mes). Para la exportación se incurrirá en unos egresos mensuales incrementales, es decir, por encima de los costos que se tendrían si se vendiera las pechugas en Colombia. Dichos egresos incrementales por concepto de control de producción, documentación, trámite, embalaje, transporte y logística internacional están conformados por un mon to fijo de $10’000.000 más un egreso de $500 por cada libra de pechuga. Se estima que todos los costos incrementales de producción y exportación crecerán 5% anualmente.
273
Dado que la pechuga podría ser vendida en Colombia, obteniéndose un ingreso por libra de pechuga de 2 mil pesos que crecería anualmente un 5%, los ingresos por exportación deberían ser suficientes para cubrir tanto los costos mencionados previamente como estos ingresos que se dejarían de percibir. El cliente en el exterior depositará al momento de la exportación el valor pactado de “X” dólares por libra de pechuga y el banco de la empresa avícola convertirá
dichos dólares a una tasa de cambio estimada de 2.000 pesos por dólar al momento de la primera exportación. Se estima que posteriormente la tasa de cambio crecerá mensualmente a un ritmo equivalente al 4,907021% anual. Si se espera obtener mínimo 3% de rentabilidad mensual en la inversión en este proyecto, determine el valor mínimo por libra de pechuga “X” requerido para cubrir
los ingresos dejados de recibir en Colombia, los costos incrementales (control de producción, embalaje y exportación) y para adicionalmente recuperar totalmente la inversión en 5 años (incluyendo obviamente la rentabilidad esperada).
3.2.1 Solución. . La idea para solucionar el problema es igualar todos los egresos generados por la exportación con los ingresos producidos por el pago de las pechugas en dólares, en el mismo instante de tiempo. Por eso se dividirá el problema analizando lo concerniente a la logística de exportación y luego los ingresos recibidos en la exportación. Para la primera parte: (inversión inicial, costos de embalaje, logística, ingresos que se dejan de recibir en Colombia por libra de pechuga).
274
Gráfica de egresos para la exportación
Llevando todo al futuro del periodo 60. Para el gradiente escalonado en rojo usando el programa con valores de:
275
276
Para el gradiente escalonado en negro con valores de:
Para la inversión inicial de 200’ el futuro por la ecuación de interés compuesto para valores de:
277
El futuro total que se espera obtener con la exportación de las pechugas es:
278
Para calcular el valor al cual se deben vender como mínimo las pechugas en el exterior en pesos. Se realizará mediante un gradiente geométrico. El incremento mensual equivalente al 4.907021% anual (de la tasa de cambio), será igual a: En este caso tenemos hallar
, y por ello utilizamos esta ecuación, para
, pero en la calculadora se toman como .
279
e ya que se usa la fórmula
ara este gradiente geométrico con los valores de la gráfica mostrada a continuación, y usando el programa de la T.I. en la ecuación de gradiente geométrico:
280
Tengo como resultado un valor de Este valor es el equivalente al de 80.000 lbs . De pechuga por tanto el valor por libra de pechuga será:
La tasa de cambio en el mercado es de $ 2.000,00 / US$. →
281
4. OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES
Cuando se desarrollan o se intentan resolver problemas se deben buscar medios que faciliten la solución, éste programa agiliza e ilustra problemas claves y básicos, que complementado con algunos conceptos de economía permite el desarrollo de cualquier problema planteado en ésta materia. El programa está diseñado para que el usuario interactué y navegue fácilmente. Es muy práctico y además indica los pasos a seguir. Se deja a consideración del profesor, la opción de adquirir el programa a través de un enlace en su portal web, ya que próximamente se subirá a la página www.tical.org en la lista de programas realizados por el integrante del grupo Froilán Morales en el siguiente enlace:
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