Variable® Anguloi Formado«por Líneas Notable« do un Triángulo.
37
CAPITULOIII
CAPITULO XI Petadas y Balanzas Sumas Notables Progresiones Geom étricas
Ruert.»#.
289
Poleas y Engranajes
Verdadesy mentiras Críploantmótica. Inecuaciones Lineales con una Incógnita. CongruenciadoTriángulo».
i,í
CAPITULO XII
CAPITULOIV
Máximos y Mínimos. Cuadrado» y Cubo» Perfecto*. Producto» Notables T ra /o »
Ordenamiento de Información, Cuatro Oporacionos Aritmética#, Síntoma do
de Figura».
Inecuaciones Lineales en Doí Variables. Propiedades Fundaméntalos do la Bliectri/ydelaMedialn/
CAPlTULOXIll 91
CAPITULOV
325
Corte. Promedio.. Máximo, y Mínimos de Algunas Expresión,,» .. ............... , I órmules Básicas para ol Cálculo do Area»
Secundof ,S ^ útn,,m pr,f^0f, V Visores do un Núrnoro. Ecuaciones do SoflundoGrado. Goomé(fjcfl, y Ba#o ^ ^ ^
347
CAPITULO XIV
...... 369
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ÍNDICE
Introducción
m
ÍT vo s lp le . Conjuntos. Eouaoiones Lineales con una Variable. Angulos de
un Triángulo CAPITULO» Deductivo Compuesto. Numeración. Sistema de Ecuaciones Lineales con dos Variables Ángulos Formados porLíneas Notables de un Triángulo.
CAPITULO III Verdades y mentiras. Criptoaritmética. Inecuaciones Lineales con una Incógnita Congruencia de Triángulos.
CAPÍTULO IV Ordenamiento de Información. Cuatro Operaciones Aritméticas. Sistema de Inecuaciones Lineales en Dos Variables. Propiedades Fundamentales de la Bisectriz y de la Mediatriz.
CAPÍTULO V Parentescos. Números primos y divisores de un un Número. Ecuaciones de Segundo Grado. Desigualdades Geométricas y Base se media de un Triángulo.
CAPÍTULO VI Traslados. Divisibilidad. Inecuaciones de Segundo Grado en una Variable. Propiedades Básicas en los Paralelogramos y Trapecios.
137
CAPÍTULO VII Arreglos Numéricos. Máximo Común Divisory Mínimo Común Múltiplo. Teoría de Exponentes. Proporcionalidad y Semejanza.
159
CAPÍTULO VIII Inductivo Simple. Fracciones. Móviles. Relaciones Básicas en un Triángulo Rectángulo
195
CAPÍTULO IX Elementos Recreativos. Porcentajes. Relojes. Los Puntos Cardinales.
227
CAPÍTULO X Certezas. Sucesiones. Progresiones Aritméticas. Circunferencias.
251
CAPÍTULO XI Pesadas y Balanzas. Sumas Notables. Progresiones Geométricas. Ruedas, Poleas y Engranajes
289
CAPÍTULO XII Máximos y Mínimos. Cuadrados y Cubos Perfectos. Productos Notables. Trazos de Figuras.
325
CAPÍTULO XIII Cortes. Promedios. Máximos y Mínimos de Algunas Expresiones Algebraicas. Fórmulas Básicas para el Cálculo de Áreas.
347
CAPÍTULO XIV Frecuencia de Sucesos. Razones y Proporciones. Factoriales. Propiedades Fundamentales para el Cálculo de Áreas.
369
CAPITULO XV Rotación y Traslación de Figuras. Proporcionalidad. Combinatoria. Á reas d
397
Regiones Circulares.
CAPÍTULO XVI Rutas y Trayectorias.
E cuaciones Regla
E x p o n e n c ia le s .
oe
paralelepípedos.
433
CAPITULOXVII Calendarios. Reparto Proporcional. Logaritmo. Áreas Laterales y Totales.
461
CAPÍTULO XVIII Otros temas de Razonamiento Lógico-Matemático. M ezclas.
O peradores
Matemáticos. Volúmenes. 493
CAPITULO XV Rotación y Traslación do Figuras. Proporcionalidad. C o m b in a to ria . Á r e a s d e
397 Regiones Circulares.
CAPITULO XVI Rutas y Trayectorias.
Rogla
de
Tres.
Ecuaciones
E x p o n e n c ia le s . 433
Paralelepípedos.
CAPITULO XVII Calendarios. Reparto Proporcional. Logaritmo. Áreas Laterales y Totales.
^
CAPÍTULO XVIII Otros temas de Razonamiento Lógico-M atem ático. Matemáticos. Volúmenes.
M e z c la s .
Operadores 493
INTRODUCCIÓN
preuniversitaria.
La calidad de las explicaciones y la variedad de ejercicios resueltos y propuestos garantiza que este manual se convierta en la herramienta esencial del estudiante que desee afianzar su competencia académica en este rubro crucial en los examenes cíe selección y admisión a los centros universitarios. El razonamiento lógico-matemático necesario para dar solución a un problema, simple o complejo, exige un pensamiento analítico, exacto, riguroso, metódico, según el clásico enfoque cartesiano. Con más de quinientas páginas, este volumen cubre las necesidades básicas del estudiante preuniversitario y da el sello de garantía para un aprendizaje efectivo y eficiente, acorde con el desarrollo de los cursos propedeúticos de los centros académicos. El razonamiento lógico-matemático es un eje fundamental en la form ación preuniversitaria, puesto que tiene que ver, centralmente, con el desarrollo de habilidades cognitivas esenciales en el pensamiento científico. La operación con números, con variables, con propiedades topológicas, enhebra los conocim ientos básicos, pilares sólidos para las ciencias, humanidades e ingenierías. Por ello, el curso de razonamiento lógico-matemático tiene peso gravitante en los exámenes, puesto que es un aspecto que evalúa una com petencia de enorm e potencial académico. De modo que si un estudiante obtiene un buen puntaje en esta área, ello es garantía de una buena performance en los estudios universitarios. Este libro se compone de problemas ágiles, novedosos, redactados para m otivar el desarrollo del pensamiento en los jóvenes estudiantes. Dada la presentación de situaciones amenas propias de la vida cotidiana, estamos seguros de que la lectura de este libro será agradable y ejercerá un impacto positivo en el aprendizaje fluido de las rigurosas matemáticas. J as
uvam ente de otro enunciado L.. oc.uuu, ei razonam iento logico m atem ático ope opera con axiom as, teorem as \ corolarios en un juego de la mente riguroso y apasionante.
CAPÍTULO I Deductivo Simple. Conjunto», licuaciones Lineales con una Variable. Ángulos do un Triángulo.
1.1.
DEDUCTIVO SIM Pl.l
En esta sección vemos lo aplicación del proceso deductivo a situaciones no tan compli y de mínima dificultad a lo cual denominamos "deductivo simple” porque se requieren p o ca s variables preposicionales y un razonamiento directo; por supuesto que también requerimos un poco de creatividad de los estudiantes. cadas
1.1.1. Proceso Deductivo Concepto. I I proceso deductivo consiste en analizar y relacionar un conjunto de enun ciados llamados premisas, y a partir de ellos llegar a una conclusión. Nosotros aquí veremos casos particulares de dedución en los cuales se usan básicamente la estructura "si , entonces ", y de manera implícita algunas leyes como la conmutatividad y asociatividad de la conjunción do proposiciones Deducción inmediata. Llamamos así al proceso mediante el cual la conclusión se ob tiene de manera directa relacionando los datos o premisas. Ejemplo 1
'
Si se tiene los siguientes enunciados: I En un determinado sorteo, los que tienen números pares tienen posibilidades de ganar algún premio. II A Gaby y Katty les dieron números impares. III La suma del número de Patty con el de Katty es un número impar. Entonces se concluye que A) Gaby tiene posibilidades de ganar algún premio, B) Patty tiene posibilidades de ganar algún premio. C) Gaby y Katty tienen posibilidades de ganar algún premio U) Katty tiene posibilidades de ganar algún premio ) Gaby, Katty y Patty tienen posibilidades de ganar algún premio
CAPÍTULO VI Traslados. Divisibilidad. Inecuaciones de Segundo G rado en una Variable. Propiedades Básicas en los Paralelogram os y Trapecios.
137
CAPÍTULO VII Arreglos Num éricos. M áxim o Com ún D ivisor y M ínim o C om ún M últiplo. Teoría de Exponentes. Proporcionalidad y Sem ejanza.
159
CAPÍTULO VIII Inductivo Simple. Fracciones. M óviles. R ela cion e s B ásicas en un T riá n g u lo Rectángulo
195
CAPÍTULO IX Elementos Recreativos. Porcentajes. Relojes. Los Puntos Cardinales.
227
CAPÍTULO X Certezas. Sucesiones. Progresiones Aritméticas. Circunferencias.
251
CAPÍTULO XI Pesadas y Balanzas. Sumas Notables. Progresiones Geométricas. Ruedas, Poleas y Engranajes
289
CAPÍTULO XII Máximos y Mínimos. Cuadrados y Cubos Perfectos. Productos Notables. Trazos de Figuras. 325 CAPÍTULO XIII Cortes. Promedios. Máximos y Mínimos de Algunas Expresiones Algebraicas. Fórmulas Básicas para el Cálculo de Áreas. 347 CAPÍTULO XIV Frecuencia de Sucesos. Razones y Proporciones. Factoriales. Propiedades fundamentales para el Cálculo de Áreas.
369
INTRODUCCIÓN
R azonam iento ló g ico -m a te m á tico es un manuai que reúne un conjunto de procedim ientos teóricos, útiles en la resolución de problemas-modelos en la formación preuniversitaria La calidad de las e xp lica cio n e s y la varied ad de e je rcicio s re s u e lto s y pro pu estos g a ra n tiz a que este m anual se co n vie rta en la h e rra m ie n ta e se n cia l del e stu d ia n te que desee afia n za r su com p e te n cia a ca d é m ica en e ste rub ro cru cia l en lo s e x á m e n e s de selección y a d m isió n a los ce n tro s un ive rsita rio s.
lógico-matemático n e ce sa rio p a ra d a r so lu c ió n a un problema, simple o complejo, exige un pensamiento analítico, e xa cto , rig u ro s o , m e tó d ic o , según el clásico enfoque cartesiano. El razonamiento
Con más de quinientas páginas, este vo lu m e n c u b re las necesidades básicas del estu d ia n te preuniversitario y da el sello de garantía para un aprendizaje efectivo y eficiente, a co rd e con el desarrollo de los cursos propedeúticos de los centros académ icos. El ra z o n a m ie n to ló g ico -m a te m á tico es un eje fu n d a m e n ta l en la fo rm a c ió n pre un ive rsitaria , p u e sto que tie n e que ver, ce n tra lm e n te , con el d e s a rro llo de ha bilid ad es c o g n itiv a s e se n cia le s en el p e n s a m ie n to c ie n tífico . La o p e ra c ió n c o n núm eros, co n va ria b le s, con p ro p ie d a d e s to p o ló g ica s, e n h e b ra lo s c o n o c im ie n to s básicos, p ila re s s ó lid o s para las cie ncias, h u m a n id a d e s e in g e n ie ría s .
Por ello, el curso d e razonamiento lógico-matemático tiene p e s o gravitante en los exá m en es, puesto q u e es un aspecto que evalúa una competencia de enorme potencial a c a d é m ic o . De m o d o que si un estudiante obtiene un buen puntaje en esta área, ello es g a ra n tía de una bu en a performance en lo s estudios universitarios. Este libro se compone de problemas ágiles, novedosos, redactados para motivar el desarrollo del pensamiento en los jóvenes estudiantes. Dada la presentación de situaciones amenas propias de la vida cotidiana, estamos seguros de que la lectura de este libro será agradable y ejercerá un impacto positivo en el aprendizaje fluido de las rigurosas matemáticas. Un o b je tiv o importante del razonamiento lógico-matemático e n su aplicación a la ciencia y a la v id a cotidiana es el método de justificación de las inferencias. Es decir, se ocupa en gran parte de establecer técnicas para mostrar que un determinado enunciado se sigue deductivamente o no se sigue deductivamente de otro enunciado, En ese sentido, el razonamiento lógico matemático opera con axiomas, teoremas y corolarios en un juego de la mente riguroso y apasionante
INTRODUCCIÓN
R azonam iento lógico-m atem ático es un m anual que reú ne un con ju nto de
La calidad de las exp licacio ne s y la va rie d a d de e je rc ic io s re s u e lto s y p ro p u e s to s le se e afia nza r su com p ete ncia a ca d é m ica en e ste ru b ro c ru c ia l en lo s e x á m e n e s de selección y adm isión a los ce n tro s u n ive rsita rio s. El razonamiento ló g ic o -m a te m á tic o n e c e s a rio p a ra d a r s o lu c ió n a un p ro b le m a , sim ple o com plejo, e xig e un p e n s a m ie n to a n a lític o , e x a c to , rig u ro s o , m e tó d ic o , según el clásico enfoque ca rte sia n o .
Con más de quinientas páginas, este v o lu m e n c u b re la s necesidades básicas del estudiante preuniversitario y da el sello de garantía para un aprendizaje efectivo y eficiente, acorde con el desarrollo de los cursos propedeúticos de los centros académ icos
El razonamiento lógico-matemático es un eje fundamental en la formación preuniversitaria, puesto que tiene que ver, centralmente, con el desarrollo de habilidades cognitivas esenciales en el pensamiento científico. La operación con números, con variables, con propiedades topológicas, enhebra los conocimientos básicos, pilares sólidos para las ciencias, humanidades e ingenierías. Por ello, el curso de razonamiento lógico-matemático tiene peso gravitante en los exámenes, puesto que es un aspecto que evalúa una competencia de enorme potencial académico. De modo que si un estudiante obtiene un buen puntaje en esta área, ello es garantía de una buena performance en los estudios universitarios
Este libro se compone de problemas ágiles, novedosos, redactados para motivar ei desarrollo del pensamiento en los jóvenes estudiantes. Dada la presentación de situaciones amenas propias de la vida cotidiana, estamos seguros de que la lectura v este libro será agradable y ejercerá un impacto positivo en el aprendizaje fluido de las rigurosas matemáticas. ciencia v i t a ' ! ^ Z ° rtante df raz° " a™ ento lógico-matemático en su aplicación a la ciencia y a la vida cotidiana es el método de justificación de las inferencias. Es decir se e n u n c ia d o ^ Z , a , establecer técnicas Para mostrar que un determinado En 9U,® deductlvamente o no se sigue deductivamente de otro enunoado. corfilarincan °' e iaz0liarnien*° lógico matemático opera con axiomas, teoremas y
1 en un juego de la mente riguroso y apasionante.
IN TR O D U C C IÓ N
R azonam iento ló g ico -m a te m á tico es un manual que reúne un conjunto de procedimientos teóricos, útiles en la resolución de problemas-m odelos en la form ación preuniversitaria. La calidad de las explicaciones y la variedad de ejercicios resueltos y propuestos aarantiza que este m a nua l se convierta en la herramienta esencial del estudiante que desee a fia n za r su competencia académica en este rubro crucial en los exam enes de selección y a d m isió n a los centros universitarios.
El razonamiento lógico-m atemático necesario para dar solución a un pro blem a simple o complejo, exige un pensam iento analítico, exacto, riguroso, m etódico, seg ún el clásico enfoque cartesiano. Con más de quinientas páginas, este volum en cubre las n e ce sid a d e s b á s ic a s del estudiante preuniversitario y da el sello de garantía para un a p re n d iz a je e fe c tiv o y eficiente, acorde con el desarrollo de los cursos p ro p e d e ú tico s de los c e n tro s académicos. El razonam iento lógico-m atem ático es un eje fu n d a m e n ta l en la fo rm a c ió n preuniversitaria, puesto que tiene que ver, centralm ente, con el d e s a rro llo de habilidades cognitivas esenciales en el pensam iento cie ntífico. La o p e ra c ió n c o n números, con variables, con propiedades topológicas, e n h e b ra los c o n o c im ie n to s básicos, pilares sólidos para las ciencias, hum anidades e in g e n ie ría s. Por ello, el curso de razonam iento ló g ico -m a te m á tico tie n e p e so g ra v ita n te en los exám enes, puesto que es un aspecto que eva lú a una c o m p e te n c ia de e n o rm e potencial académ ico. De m odo que si un estu dia nte o b tie n e un b u en p u n ta je en e s ta área, ello es garantía de una buena perform ance en los e stu d io s u n iv e rs ita rio s . Este libro se com p on e de pro blem a s ágiles, n o ve d o so s, re d a c ta d o s p a ra m o tiv a r el desarrollo del p e n sa m ie n to en los jó v e n e s e stu d ia n te s. D a d a la p re s e n ta c ió n de situaciones am enas propias de la vida cotid ia na , e s ta m o s s e g u ro s de q u e la le c tu ra de
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Un objetivo importante del razonamiento lógico-matemático en su a n l i r a r i n n «enea y a la vida cotidiana es el método de justificación de pa en gran pa rte de e s ta b le c e r té c n ic a s p a ra m o s tra r a u e
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CAPÍTULO I Deductivo Simple. Conjuntos. Ecuaciones Lineales con una Variable. Ángulos de un Triángulo. ---------------------------------- -------------------------------------------------------- — -------------------------------------------------------------------------------- /
1.1.
DEDUCTIVO SIM PLE En esta sección vem os la aplicación del proceso deductivo a situaciones no tan compli cadas y de m ínim a dificultad a lo cual denominamos “deductivo sim ple” porque se requieren pocas variables proposicionales y un razonamiento directo; por supuesto que tam bién requerim os un poco de creatividad de los estudiantes.
1.1.1. Proceso Deductivo C oncepto. El proceso deductivo consiste en analizar y relacionar un conjunto de enun ciados llam ados prem isas, y a partir de ellos llegar a una conclusión. Nosotros aquí verem os casos particulares de dedución en los cuales se usan básicamente la estructura “s i..., entonces...”, y de manera implícita algunas leyes como la conmutatividad y asociatividad de la conjunción de proposiciones. D educción inm ediata. Llamamos así al proceso mediante el cual la conclusión se ob tiene de m anera directa relacionando los datos o premisas.
Ejem plo 1 Si se tiene los siguientes enunciados: I. En un determ inado sorteo, los que tienen números pares tienen posibilidades de ganar algún premio. II. A G aby y Katty les dieron números impares. III. La sum a del núm ero de Patty con el de Katty es un número impar. Entonces se concluye que: A) Gaby tiene posibilidades de ganar algún premio. B) Patty tiene posibilidades de ganar algún premio. C) Gaby y Katty tienen posibilidades de ganar algún premio. D) Katty tiene posibilidades de ganar algún premio. E) Gaby, Katty y Patty tienen posibilidades de ganar algún premio.
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A ( a m b ié n e s elemento
■B-, indica que Toa°=
o
del conjun to B.
"■
b
ainm pntos son c o m u n e s a los conjuntos Ay -a - son “B” Indica que algunos elem entos Portan,o: A" se interseca parcialmente con B .
III. Ningún “A” es “B”. Indica que ningún elem ento es c o m ú n a lo s c o n ju n to s A y B. Por tanto: “A” y "B” son disjuntos.
¡vers¡tario Centro preun Res.Ciuciò ?rff/sasando la s premio*«*. III, Patty tie n e un n ú m e ro pa r, p u e s n ú m e ro p a r + n u m e ro R elación
1m.
De II y " impar. 2 o. De I y p o r te n e r P a tty un n ú m e ro par,
Conc!íISÍ
t ie n e
p o s ib ilid a d e s
X
ella tie ne p o s ib ilid a d e s d e g a n a r alg ún p
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^
ganar algún premro.
Clave;
r r —
"
r
como usar ios diagramas:
I. Todos los “A ” son “B In d ic a que todo elemento del
del conjunto B. Por tanto: “A" se incluye en "B”.
conjunto A también es e^rner)i
II. Algunos “A” son “B”. Indica que algunos elementos son com unes a los coniunt B. Por tanto: "A" se interseca parcialmente con “B”. 0s A y
III. tanto: Ningún es son “B”. disjuntos. Indica que ningún elem ento es com ú n a lo s con ju ntos A y B. Por “A ”“A y ”“B”
APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 2 Si: ii ^ njp uno *os c1ue da monedas de S/. 1 de propina es profesional, odos los que dan monedas de S/. 5 de propina son profesionales. Se concluye que: A) A lgunos de los que dan m onedas de S/. 1 dan m onedas de S/. 5. B) N inguno de los profesionales da monedas de S/. 5. C) Todos los que dan m onedas de S/. 1 dan m onedas de S/. 5. D) A lg un o s p ro fesionales dan m onedas de S/. 1. E) N inguno de los que da m onedas de S/. 5 da m onedas de S/. 1.
Resolución 1. Denotamos:
P = conjunto de profesionales, Q = conjunto de las personas que dan monedas de S/. 1 de propina, y R = conjunto de las personas que dan monedas de S/. 5 de propina.
De I, se tiene:
¡2. De II, se tiene:
3. Del esquema anterior, es claro que R y Q son disjuntos, por ello: Ninguno de los que da monedas de SI. 5 da monedas de S/. 1. Clave: E Deducción simple e ingenio. Aquí vemos aquellos problemas cuya solución requiere además de un razonamiento lógico simple y rápido, un poco de nuestra creatividad e ingenio. Ejemplo 3 Para satisfacer sus deseos de fumar, un mendigo recoge colillas, y con 4 de ellas hace un cigarrillo. Si ayer sólo pudo conseguir 25 colillas, ¿cuál es la máxima cantidad de cigarrillos que pudo fumar ayer? A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
Centro
,ersitano pre¡Jn,y/
UN^sM
Resolución
25¿4_ 1 6
„
forma ( D cigarrillos, los fuma: quedan 6 colillas + 1 colilla = 7 colillas
7u_
forma (T ) cigarrillo, lo fuma:
3
queda 1 colilla + 3 colillas = 4 colillas
1
4
forma (? ) cigarrillo, lo fuma:
0 1
le queda una colilla.
•. Total de cigarrillos que pudo fum ar ayer: 6 + 1 + 1 = 8.
C|ave; e
, ,.2. problemas Resueltos Problema 1
« aiho Beto y Coqui tienen
S l r S T S « * “ al y el que nene 3^caram melos tienen Beto y A A ,3
y
2 ca ra m e lo s, no necesariam ente en ese tje n e 2 c a ra m elos está aburrido, Por su estado de ánimo. ¿Cuántos cai,
tos?
B>6
^ C>
Resolución
Resolvemos por deducción inmediata.
Beto le habla al que tiene 3 caramelos y hablan del que tiene 2 caramelos. 1. Como entonces: - Beto tiene 5 caramelos, y -Aldo y Coqui tienen 2 y 3 caramelos, pero no necesariam ente en ese orden.
2. Como el que tiene 3 caramelos habla con Coqui, entonces: - Coqui tiene 2 caramelos, y - Aldo tiene 3 caramelos. Luego, Beto y Aldo tienen juntos: 5 + 3 = 8 caramelos.
Clave: D
APTITU D MATEMÁTICA
Problema
2
Si: I- Todas m is p rim a s tie ne n m ás de 20 años, y "• A lg u n a s de m is p rim a s son solteras.
Entonces se concluye que: A) B) C) D) E)
Todas las mujeres solteras tienen más de 20 años. Ninguna mujer mayor de 20 es soltera. Algunas de mis primas tienen más de 20 años. Todas mis primas son solteras. Algunas mujeres mayores de 20 son solteras.
Resolución Denotam os: M = conjunto de mujeres que tienen más de 20 años, P = conjunto de mis primas, y S = conjunto de mujeres solteras. De I, se tiene:
De II, se presentan dos posibilidades:
Pero la primera no 6s posible porque estaríamos afirmando que todas las solteras son mayores de 20, lo cual es falso (por ejemplo, las niñas recién nacidas son obviamente solteras y menores de 20). Luego, el diagrama correcto es el de la segunda posibilidad, y así tenemos la conclusión: Algunas mujeres mayores de 20 son solteras.
Clave: E
itro r<~3
p r o b le m a U n
S
a n c ia n o
m
h e re n c ia q u e c o n s is te d e c in c o
^
d e jó
si s u s
c u s
¡g f¡
S i to d o s
^ « Í^ X ^ fS m W ro d e c a d a te ^ n o ?
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nos iguales >¿
J
y
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J
„ 1 5 2 0, O 144 m
T
O ) ' 60m
32 m E)
176 m
i
Resolución lesolución
1. Puesto que 5 no es divisible por 4, cada parcela debe se r dividida en 4 partes iguale^ obteniéndose 20 partes en total. 2. A cada hijo le co rre sp o n d e 5 d e las partes obtenidas. 3. Como todos recibieron terrenos iguales, cada uno de hijos debe haber recibido un terreno de la forma
I
i— I
los
---------------- ’
32m
1 -
48m
cuyo perímetro es P = 160
m.
Clave: Problema 4
Ayer tenía 17 años y el próximo año tendré 18. Si mañana será mi cumpleaños,
fp rh fl n a r í9 fecha nací?
A) 30 de junio D) 01 de enero
B) 28 de febrero E) 29 de febrero
¿en qué
C) 31 de diciembre
Resolución 1. Como ayer tenía 17 años y mañana es mi cumpleaños: - Hoy aún tengo 17 años, y - Mañana cumpliré 18 años. próximo año
2. Como el próximo año tendré 18: - El próximo año ocurre mañana, y - Hoy es 31 de diciembre. ••• Mi cumpleaños es el 01 de enero.
-ayer --. _ 17
hoy 17 31 dic.
___mañana (cumpleaños) ....................... ..
18 01 ene.
Clave: D
------------
1.2.
A P T ITU D M ATEM ÁTICA
C ONJUNTOS
r e s o te tó ñ eS lt ? o h ! ^ aremOS 'a nOCiÓ" de COniun,° en a p e o n e s concretas. En la los d ia a ra m a s d e v i T USa COnl° e strate g la las re p re se n ta cio n e s g ráficas com o
ios diagramas de Venn-Euler y el de Lewis-Carrol.
1.2.1. Determinación y representación gráfica de conjuntos Intuitivamente un conjunto es una colección de objetos con una característica común, a estos objetos se les denomina elementos del conjunto. Los conjuntos generalmente se denotan con letras mayúsculas, tal como: A, B, C, ... X, Y, Z, y a sus elementos se deno tan con letras minúsculas tal como: a, b, c, ... x, y, z. D e te rm in a c ió n de c o n ju n to s . Un conjunto quedará bien determ inado si se conocen todos sus elem entos ya sea explícita o implícitamente. Existen dos form as de determinar un conjunto, las cuales son: •
P o r e x te n s ió n . Consiste en indicar explícitam ente cada uno de los elementos de un conjunto. P or ejem plo: Si A es un conjunto cuyos elem entos son: 2, 5, 8 , a, d, etc. entonces se denota como A = {2, 5, 8 , a, d}.
•
P o r c o m p re n s ió n . C onsiste en caracterizar todos los elem entos de un conjunto por una o m ás propiedades com unes. Por ejem plo: Si A es el conjunto de los estudiantes del C entro P reuniversitario de la UNMSM, entonces: A = {x/x es un estudiante del Centro P reuniversitario de la UNM SM }.
Ejemplo 1 El conjunto M está formado por los posibles resultados que se obtienen al lanzar dos monedas. Si los resultados para la primera moneda son c (cara) y s (sello) y por cada uno de ellos se tiene las mismas posibilidades para la segunda, entonces: M B) M C) M D) M E) M A)
= {x / x es una cara de la moneda} = {x / x es un sello de la moneda} = {x / x es una cara o un sello de la moneda} = {es, cc, ss, se} = {s, c}
Resolución Los posibles resultados son: Moneda 1: c, c, s, s Moneda 2: s, c, s, c Lueqo el conjunto M = {es, cc, ss, se} Clave: D Representación gráfica de conjuntos. Para representar gráficamente a los conjuntos se utiliza figuras geométricas llamadas Diagramas de Venn-Euler.
lentes (subconjunto de intersección del con¡yM Así tenemos:
a
hombres y
^
ljsan lentes (subconjunto de intersección del mujeres que no us de |qs que no usan |0ntes) « conjunto mujeres y ei c Ejemplo 2
conjuntos M, N y P co n s u s re s p e c tiv o s elementos
¿Qué afirmación es verad
M,------^ --- -^N
A) 3 e M
/ í
/ tO \ Z-2 [*3 ) •1 V l / / V V A / .6 /
B )M = {1 ,4 , 6, 7 }
C) N = {2, 3, 4, 5, 6 } D )4 í M E) 2 £ N
.5
|
Resolución
Del gráfico se puede observar que: -
3 pertenece a M y a N a la vez M = {1, 2, 3, 4, 6, 7 } N = {3, 4, 5, 6} 4 pertenece a M y N a la vez 2 no pertenece a N
Clave: E 1.2.2. Operaciones con conjuntos Unión: Dados dos conjuntos A y B, entonces A u B = { x / x e A do gráficamente por la región sombreada.
A u B= A
>^
A
u
B
AuB
v x e B } representa
DV
APTITUD MATEMÁTICA
Intersección: Dados dos conjuntos A y B, entonces A nB = {x/xeA
a x g
B}
representado gráficam ente por la región sombreada.
AnB=B
AnB
A o B =
Diferencia: Dados dos conjuntos A y B, entonces A - B = {x / x e A
a
x g B}
(representado gráficam ente por la región sombreada.
A -B=A
A -B
A -B
Complemento de un conjunto: Dado un conjunto universal U y los conjuntos A y B tenemos: (¡^ A = B - A = { x g U / x g B a x ^ A } ¡representado gráficamente por la región sombreada.
Observación. Si B = U, entonces
A - A c- A
-U-A-{x/x
guax
^A}
Centro Preuniversitario UNMSM
Ejemplo 3 Dados tres conjuntos A , B y C, tales que
Re?
A u B = {O, 1, 2, 3, 4 ,8 } - - '1.2, 3, 4, 5, 7} C = í1
A Bn
I)
A n C = {2 , 3 }
Hallar: [(A
u C)
- (A
A) {4 , 5, 8}
u
B)]
u
B) {4, 5 ,7 }
[(B n
C ) - ( A n
II) III)
C )]
C) {3, 5, 7}
0 ) {3, 5, 8}
{=) 0
Resolución
Utilizando el diagrama de Venn-Euler, tenemos:
[(A u C) - (A u B)] = {1, 2, 3, 4, 5, 7} - {O, 1, 2, 3, 4, 8 }
Luego:
m
,.
• (5.7 } [ ( B n C ) - ( A n C ) ] = { 3 , 4} - {2, 3}
= {4} de donde [(A u C) - (A u B)] u [(B n C ) - (A n C )] = {4, 5, 7}
Clave: B 1.2.3. Problemas resueltos Problema 1 "abe'Z
^
t ^
de Cusco, Huaraz y Cajamarca, se
Cajamarca, 34 visitaron Huaraz, pero n i n ^ rCa í n bl0n visitaron Cusco, 22 visitaron ron Cusco y Huaraz, pero no Cajamarca Fi m ° ’ Visitar0n Cusco o Huaraz, 12 visita-
el triple de los que visitó Cajamarca v Hiiar J marCa * Huar^
Pero no Huaraz? A) 5
? de turistas visitó sólo Cusco es ¿Cuántos visitaron Cajamarca y Cusco.
B )6
D )8
E )9
A PTITU D MATEMATICA
Resolución ¡i, l ° a í el n ú m ím 2 1“ ™ ! ™ qU6 VÍSi,ar° n Ca¡amarea V Cusco, pero no Huaraz. m i . f n um ero de turistas que vistaron las tres ciudades III) Llevando a un d ia gra m a los datos del problem a, tenem os:
Luego tenemos: x+n 34 + 12 + 22 + 3x 3x x n n
= 22 , también = 110 = 42 = 14 = 22 - 14 =8
Clave: D
Problema 2 En una encuesta realizada a una determinada cantidad de postulantes al Centro Preuniversitario de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos se obtuvo el siguiente resultado: • El 34% del total postulan a Medicina Humana o Enfermería. • A enfermería sólo postulan mujeres. • Treinta y seis postulantes lo hacen a Enfermería. • El número de mujeres que postulan sólo a Medicina es la mitad de las personas que postulan sólo a Enfermería. • Catorce varones postulan a Medicina. ¿Cuántos encuestados no postulan a Medicina ni a Enfermería? A) 142
B ) 132
C ) 136
D ) 145
E) 138
Resolución I) Sea T: el número total de postulantes encuestados. II) La x: el número de personas que no postulan a medicina ni a enfermería. III) Llevando a un diagrama los datos del problema tenemos:
IV) D
e l
gráfico tenemos:
68 + x = T, luego: w
T ’ 6 8 ^
7= 200
V) Luego: x = 200 - 68 = 132
C'aveProblema 3 De cierto número de mujeres; se sabe que: . Un grupo sólo tienen zapatos negros, otro grupo sólo zapatos azules y |as r
tes de otros colores. • El 33% de ellas tienen zapatos azules, pero no tienen 20 años. • El 9% no tienen zapatos negros ni azules y son mayores de 23 años • El 16% no tienen zapatos negros ni azules y no son mayores de 23 años
s!a'
¿Qué porcentaje son de 20 años y tienen zapatos azules, si ellas son la seyta todas las que tienen zapatos negros? " Par*e de A) 6%
B) 5%
D) 7%
C) 4%
E) 8%
Resolución I) Sea x: el número de mujeres que tienen 20 años y zapatos azules; luego las que tienen zapatos negros serán: 6x. II) Ordenando los datos del problema en un diagrama tenemos;
Zapatos negros
Zapatos azules
Ni negros ni azulp<;
20 años X
No mayores de 23 años
-1 6 %
Mayores -^23_años__^
- 3 3 % s
Del gráfico, obtenemos:
■
I j )%7
7x + 33% + 16% + 9% = 100% => 7x = 42% => x = 6%
Clave: A
A P T IT U D M A TEM Á TIC A
Problema 4 De 192 pobladores de una asociación se determinó lo siguiente: 70 eran iqueños, 80 huanuqueños y 90 eran músicos; de estos últimos 39 eran iqueños y 31 eran huanuqueños. ¿Cuántos de los que no son huanuqueños no eran iqueños ni músicos? A) 28
B) 25
D) 22
C) 24
E) 23
Resolución I) Sea y: el núm ero de pobladores que no son huanuqueños ni iqueños ni músicos, luego del diagrama tenemos: y = 192 - (70 + 20 + 80) y = 1 9 2 -1 7 0 y = 22
II) Graficando los datos del problema en un diagrama tenemos: T = 192 H u an u q u eñ o s(80)
Iqueños (70)
/ (
Músicos(90) / 20
J
»
( 31
V
---------
\ y
23
Clave: D 1.3. ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE Por medio de símbolos, el álgebra puede manejar toda clase de problema en un solo episodio de razonamiento. En el simbolismo radica parte de !a notable eficacia del álge bra. Los procesos del álgebra se pueden aplicar en forma directa al problema de encontrar cantidades desconocidas que se presenta en muchas situaciones. La Ecua ción del Primer Grado o Lineal con una Variable es una de las ecuaciones más sencillas del álgebra. Nosotros utilizaremos las ecuaciones álgebraicas en las aplicaciones directas. Para esto necesitamos recordar las estrategias de despejar la variable o incógnita de la ecuación. 1.3.1. Ecuaciones en resolución de problemas Concepto 1. Una ecuación algebraica es una igualdad de dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones que conforman una ecuación se denominan lados o miembros, que se separan por un signo de igualdad
.. lioea, e n i a ^ e x es una ecuacon que PUMe ^ co„« p t^
UnaeCUaC'°"
de a y b soncos.an.as » a . » .
n donde
e n la * * * *
* ?
aX + b = 0. donu
,
,
1-3.2. Prc
I se lleva a cabo una sene de operac
resolver una ®cuaC^ al'ente en el cual la variable se encuentra . >
esr que : £s hasta
^
aunaecuaciónequ'
tral
un miembro-
s/
aieWP'0 Í
,
Pedr„ y Mario es 69 años. Si la edad de Juan es el <,ob
e>i8^
»
Resolución
Del problema se tiene que: Edad de Juan: 2J Edad de Pedro: J Edad de Mario: 2J - 6
Además, 2J + J + 2J - 6 = 69 => 5J = 75 => J = 15 Luego, la edad de Mario = 2 (15) - 6 = 24 años. Clave: A
Ejemplo 2 Carlos y Alberto empiezan a jugar teniendo Carlos el doble de dinero que Alberto. Cuando Carlos pierde SI. 400, entonces Alberto tiene el doble de lo que tiene Carlos. ¿Con cuánto empezó Carlos? A) SI. 900
B) SI. 600
C)
S I.
1000
D) S/. 800
A)
E) S/. 400
Resolución Del problema se tiene que:
Carlos tiene: 2x Alberto tiene: x De la suposición tenemos que: x + 400 = 2 (2x - 400) x + 400 = 4X. QOO 3x=1200
Luego, Carlos tiene 2x = 8 00^
Clave: D
APTITUD MATEMÁTICA
1.3.2. Problem as Resueltos Problem a 1
Un obrero por cada semana que trabaja ahorra S/. 80, pero cuando deja solamente de trabajar un día por semana gasta S/. 40 de sus ahorros. Si durante 12 semanas ahorró S/. 360, ¿en cuántas semanas no ahorró? A) 7
B) 6
C) 5
D) 8
E) 4
Resolución Número de semanas en el que no ahorro: x Número de semanas en el que ahorro: 12 - x Del enunciado tenemos que: 80 (12 - x) - 40x = 3 6 0 96 - 8x - 4x = 36 12x = 60 x=5
Clave: C Problema 2 Se tienen dos grupos de monedas de pesos diferentes. El primero consta de 44 mone das de 8 g cada moneda, y el segundo consta de 40 monedas de 10 g cada moneda. ¿Cuántas monedas debemos de intercambiar de ambos grupos para que adquieran igual peso los dos grupos y no varíe el numero inicial de monedas de cada grupo? A) 12
B) 10
C) 18
D) 16
E) 20
Resolución Número de monedas de 8 g x +n: 44 \ -n Número de monedas de 10 g / - n: 40 * +n ^Júmero de monedas a intercambiar: n Del problema se tiene que: (44 - n) 8 + 10n = (40 - n)10 + 8n 17 6 - 4n + 5n = 200 - 5n + 4n 2n = 24 n = 12 Clave: A Problema 3 En una familia el padre gana 120 soles por hora y la madre gana 110 soles por hora. Después de 25 días trabajados el padre recibió 14 500 soles más que la madre, puesto que laboró 4 horas más por día. ¿Cuántas horas trabajó diariamente la madre?
sitarlo Centro prei>n¡'/
Hre
n
y
c /h o ra g a n a : 1 10 p e so s
„ , s° l‘“ lón ha¡ÓP°rd!a l 1 nadre: n + 4 V o/hora gana: 12 0 pes de noras q^ f trabajó Por d N S Í ° d a í o ,asqUe „ se tie n e q u e : , , 1 ,
D e lp ro b,e
25 (
l 20n + 48°
0
= 1450°
11n = 58
I2n + 48
^ = 10
Problema 4
tarjetas navideñas del mismo precio y
S/. 5, pero para comp A) S/. 30
Q g / 42
« ® ' ' 36
£) g/ ^
C)SA
Resolución Costo de c/u da las tarjetas: n Dinero que tengo= 36 11 = 3
Por lo tanto tengo SI. 35
*ave- E
Problema 5
Todos mis pantalones son negros, menos cuatro, todos son azules, menos cuatro; todos son verdes, menos cuatro. ¿Cuántos pantalones tengo en total? A) 5
B) 9
C) 6
D) 8
E) 7
Resolución Número total de pantalones: n Negros Azules Verdes n = (n - 4) + (n - 4) + (n - 4) n = 3n -12 2n = 12 n=6 .4. ÁMríifii~>í» . t. ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO .4. 1.1. Conceptos Básicos de Triánnni Triángulos Elementos de un triángulo. Los elementos básicos del triángulo A BC son • Lados: AB , BC y AC B • Vértices: A , B y C • Ángulos interiores: < A , < B y
Clave. C
-------
• Clasificación. Se pueden clasificaren relación a sus lados o
como se mencionan a continuación.
a p t it u d
MATEMATICA
en relación de sus ángulos,
a) Con relación a sus lados:
b) Con relació n a sus ángulos:
B
Rectángulo
Acutángulo
m < A=90°
m < A <90° m < B < 90c m < C < 90'
Obtusángulo m < A >90°
Observaciones • La base de un triángulo es uno (cualquiera) de sus lados. • Perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus lados. • Lado opuesto al vértice de un triángulo es el lado donde no está dicho vértice. . Ángulos adyacentes a un lado de un triángulo son aquellos ángulos cuyos vértices son los extremos de dicho segmento.
Ejemplo 1 En la figura adjunta, ¿qué afirmación es verdadera? N A) A MNQ es isósceles. B) A QNP es acutángulo. C) A MNQ es rectángulo. D) A QNP es escaleno. E) A MNQ es obstusángulo.
Centro
Preunivers¡‘ari0
UNMSN1
Reso ¡ación
e ,a medida de todos los ángulos ComPle,an1° f 0g tdángulos MNQ y QNP
Ejemplo 2
in,eri0reS „b tu s á n g u lo y la m edida de sus án3u.
En la figure
A QNP eS
los son diferentes
A) 35°
^ A QNP es escalen -
B) 40°
Clave: D
C) 45° D) 25°
1.4.2. Relaciones
Angulares de un
E) 50°
Triángulo
á ng u lo s
interiores es igual a 180°.
Resoluc
todo triángulo la suma de las medidas de su a) En
• En el • En el a + p + e = i8 0 '
28
„> En todo triángulo la medida de un ángulo externo es Igual a la sum a de las m edidas de
=> o • Dato • Sum Luec
1.4.3. Prob
los ángulos interiores no adyacentes. Probi En la A) 4Í
(3= a + 0
B) 5l C) 5 D) 5
E)E c) En todo triángulo la suma de las medidas de sus tres ángulos e x te rn o s no opuestos por el vértice es 360°
Ejemplo 2 En la figura adjunta, p + 0 = 60°. Calcular el valor de (P - 0) A) 35° B) 40° C) 45° D) 25° E) 50° Resolución • En el A AFE: a + p = 9 0 °........................................................ (1) • En el A ABF: p = a + 0 (por ángulo externo) => a = p - 0 => en (1) p - 0 + p = 90° => 2p - 0 = 9 0 ° ...... (2) • Dato p + 0 = 6 0 ° ..................................................................... (3) . Sumando (2) y (3): 3p = 150° => p = 50° en (3) => 0 = 10° Luego: p - 0 = 40° Clave: B ¡29 1.4.3. Problemas Resueltos Problema 1
En la figura adjunta, a = 16oy AB = BD = DE = EF = FC. Calcular el valor de 9. A) 48° B) 50° C) 52° D) 54° E) 56° Resolución
B
D
F
• Completamos la medida de todos los án gulos interiores en los triángulos EFC, DEF, BDEyABD. • Enel AABD: 0 + 4 cc + 4 a = 180° =>Q\= 180° - 8 a => 0 = 180° - 8 (16°) => 0 = 52° Clave: C
Centro
sitano unmsM u n¡ver p re á n g u lo equilátero y m < ED C = 70". Calcular
probi®013 mostrada,
EBC es un
B
En la figura A) 30°
B)15° C) 20° D) 25° E) 35°
• A BCD es isósceles => 2z = 80°=> z =4Q.
• A DCE es isósceles x + z = y = 70° = > x = 30°
Clave: A
Problema 3 30
En la figura adjunta, AB = BD = EC. Hallar ei valor de x. A) 10°
B
D
=> 2 z = 8 0 ° => z = 40'
x = 20
Clave: B
Problema 4
APTITUD MATEMÁTICA
De la figura adjunte, ¿qué afirmación
es verdadera?
Resolución • En el A EDB prolongamos EB para formar un ángulo externo. • En el A ABC: 2x = y + z (por ángulo externo)
Clave: B
.
PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1. A Carmen, Alicia, Betty y Diana se les asigna un sólo número entero del 5 al 8 a cada una de ellas. Si Alicia no tiene un número par, pero si tiene un número mayor que el de Diana, y Betty y Diana tienen números pares, ¿cuánto suman los números asignados a Carmen y Betty? A) 14
B) 12
C) 11
D) 13
E) 15
Problema 2. Si algunos estudiantes practican deportes, algunos estudiantes reciben S/. 30 de propina y todos los que reciben S/. 30 de propina practican deportes, entonces: A) B) C) D) E)
Ninguno que practica deportes recibe S/. 30 de propina. Algunos estudiantes que practian deportes reciben SI. 30 de propina. Todos los que practican deportes son estudiantes. Ningún estudiante recibe SI. 30 de propina. Todos los que practican deportes y reciben SI. 30 de propina son estudiantes.
Centro Preuniversitario U N M S M
e m blem a 3 Un niño qu e e stá a p re n d ie n d o a caminar avanza 4 pasos y rPtr uno de sus pasos equivale a 30 cm. Si el niño repite esta peculiar fo rmt ° Ce^ 2 hasta lle g a r a un punto situado a 6 m de su punto de partida y todo su r J o C a yen ¿hasta L * recta, ¿ cuá u rec°rn do fu',ri9r llegara u,.ntos pasos h a b rá dado? ca d a
línea recta, ¿cuántos pasos
C) 54
A) 52
D ) 50
60
B) 56
Problema 8. eran peruanc de éstos era pisados que
A) 40
Problema 4. Javier tiene 3 cajas ¡guales, en una de ellas coloca caram elos e otra chocolates y en la última caramelos y chocolates. Luego las cierra y empaqueta ^Pero momento de rotularlas se equivoca en todas. ¿Qué caja debe abrir para rot i r° al correctamente si sólo puede extraer un dulce de dicha caja? ar'a$
Problema ! sabe que d al número hembras a
A) 228.
A) La que dice “caramelos". B) La que dice “chocolates". C) La que dice “chocolates y caramelos”. D) La que dice “caramelos” o “chocolates” indistintamente.
Problem; entre ingi Visual B; Visual B;
E) Cualquiera de las cajas.
A) 8 Problema 5. A Zelma le preguntaron: “¿Cuál es la fecha de tu cumpleaños?", y e||a contestó: “Anteayer tenía 29 años y el próximo año tendré 32 años” . ¿Cuántos años tiene Zelma y en qué fecha nació?
Problei de 40 é
A) S /.: A) 31 años y 31 de diciembre.
B) 31 años y 1 de enero.
C) 30 años y 30 de diciembre.
D) 30 años y 1 de enero.
E) 30 años y 31 de diciembre.
Probi y Cari; A) S/
Problema 6. De un grupo de 90 estudiantes se sabe que: 12 prefieren matemáticas, pero no literatura; 27 prefieren literatura, pero no tienen 18 años; 18 que no prefieren literatura no prefieren matemáticas y tienen 18 años; 7 prefieren literatura y tienen 18 años, pero no prefieren matemáticas, 4 prefieren matemáticas y literatura y tienen 18 años. ¿Cuántos estudiantes que no tienen 18 años, no prefieren matemáticas ni literatura? A) 22
B) 24
C) 25
D) 21
E) 20
Prot se re una
A)S Prc obs SI. A)
Problema 7. De 250 personas que viven en una ciudad se tiene la siguiente información^ 75 eran ayacuchanos, 92 eran huancaínos, 105 eran profesionales, de estos últimos 4 eran ayacuchanos y 36 huancaínos. ¿Cuántas personas de los que no son a y a c u c h a n o no eran huancaínos ni profesionales?
Pr
pe si
to A) 58
B) 64
A C) 54
D) 55
E) 52
P r o h lf»
o
AP TITU D
m a t e m á t ic a
p le a d o s q u e u s a b a „ te rn o n o e ra n p e ru a n >s
)40
8)39
-
0)42
0)35
E)38
sa be que de las h e ^ b ^ te s L a s o í c ™ d° nd® ,hay 8400 cabezas de ganado ovino se
a A ) 228.
B ) 2 250
C )2 1 5 0
s
a
D ) 2050
r
a
s
E) 2350
Problema 10. En un centro superior tecnológico de computación estudian 67 alumnos entre ingresantes y regulares, de ellos 47 conocen Matlab, 35 Visual Basic y 23 Matlab y Visual Basic. ¿Cuántos estudiantes de este centro de estudios no conocen Matlab ni Visual Basic? A) 8
B) 10
C) 9
D) 7
E) 12
Problem a 11. El valor de cierto libro se duplica cada 10 años. Si el valor del libro después de 40 años es SI. 96, ¿cuál fue el valor inicial del libro? B) SI. 6
A) SI. 3
C) SI. 4
D) SI. 5
E) S/.7
Problem a 12. Marcos le pregunta a Carla: “¿Cuánto has gastado de los SI. 140 que te di? y Carla le contesta: “He gastado las 3/4 partes de lo que no he gastado . ¿Cuanto gasto Carla?
B)
A ) S I. 40
S I. 60
C) SI. 30
D) SI. 50
E) SI. 80
una ganancia total de S I. 7?
A) SI 1 00
B) SI. 0,50
C) SI. 0,60
D) S/.0,65
E)S/.0,70
“
3 ¿cuán ,o s eran sus hiios?
Problema 14. Un padre va a, r
? "o ¿
A)8 '
r
“
-
b) 5
s s s s ^ S si el heladero vendió 70 paq todos/. 2000. ¿Cuanto gano A) SI. 440
B) SI 420 B) b /- ^
"
C>7
S
0 )6
s S
^ S
E)9
iS
^ ^
efectuada? ^ C) SI. 320
D) S/,360
Centr°
¡taño preuv¡vers
pro jjlema
uNMS1 ^
16 En la
A B = BC = BP- C a lc u la r el valor de figura rrios
tra da
-
A) 5° B)10°
C)15° D)20° E)30°
adjunta, calcular el valor de x. Problema 17. En la fig ura
A) 15° B) 20° C) 40° D) 30° E) 45° 34
Problema 18. En la figura adjunta, calcular el valor de x. A) 36' B) 40' C) 20c D) 30° E) 32°
Problema 19. En la figura mostrada, AB = BC = AD. C a lcu lar
A) 8° B) 10° c) 15° D) 18°
E) 5o
B
el va lo r de x.
Problema 20. En la figura adjunta, A B + A D = B C . C a lc u la r e l v a lo r d e x.
A) 20°
B
B) 12° C) 15° D) 16° E) 18°
CLAVES 1. D
5. E
9. B
13. B
17. D
2. B
6. A
10. A
14. B
18. D
3. A
7. C
11. B
15. C
19. B
4. C
8. E
12. B
16. B
20. A
C A PITU LO II D ed u ctivo C om puesto. Num eración. S is te m a de E cu acio n es Lineales con Dos Variables. Á n g u lo s F o rm ad o s p or Líneas Notables de un Triángulo.
2.1.
D E D U C T IV O C O M P U E S T O
En está sección veremos problemas en los cuales debemos relacionar la información dada; como nombres de personas con alguna actividad u oficio que ellos realizan o el lugar de pro ced e ncia que nosotros llamaremos variables. La información que se recibe casi siempre está dada en forma desordenada, que aparenta no guardar ninguna rela ción, pero haciendo uso del ingenio y de la deducción lógica se podrá obtener la relación buscada a p a rtir de dicha información.
2.1.1. Deductivo Compuesto con Datos Explícitos Ejemplo 1
Cuatro amigos, Gustavo, Alberto, César y Roberto, practican cada uno un deporte diferente. (I) Gustavo quisiera jugar tenis en lugar de fútbol. (II) Alberto le pide prestadas las paletas de frontón a Roberto. (III) César nunca fue buen nadador. ¿Qué deporte practica César? A) tenis
B) fútbol
C) natación
D) frontón
E) básquet
Resolución Primera forma 1 Se construye un cuadro de doble entrada, donde se coloca los nombres y los deportes diferentes (de preferencia en la primera columna van los nombres)
Frontón
Natación
Del ejemp mediante 1. Constr
i^c^oéportes
Frontón
Natación
Tenis
j^lonibres]^ Gustavo____ Al be r t o_ _ César Roberto
4 Los demás espacios blancos de la tabla se llenan como consecuencia de los espj; ya marcados resumidos en la siguiente regla: “Para cada par de variables, tantoehorizontal como en la vertical debe ir un solo “3” o la palabra “sí” y el resto dec espacios completamos con “x” o con la palabra "no”, luego se obtiene:
„ e/ cuadro de acuerdo a la información dada en el pr0b,e 2. Luego se empieza a llenar el cua práctica fútbol, entonces entre Gusta* entonces entre Roberto
^
Rotert° ~
y fronton 3 o si , luego
Dee0)mGí0 de los d ustavo p ° e »> R obeno p
De <"') César pr
_Ni Gi
Al C R a De ,a información (III) César no practica natación, por lo tanto se deduce ni £
“ E
K
S
?
a ,u
61teniS' en,0nces en,re Albert0 y natac'°n, y enírg
Tercera form;
forma de cual no es ne raz°namiento "
^ ~ t a z o * , como en la vertical ¿ b e T u ^ s o io V o . í
^
S^ UenCia de " * - p a c « Varíables' tantéenla
pacos completamos con V o con la palabra W , luegoseobtiene.6' reS‘° de '0S
Del ejemplo 1 De informacic es nadador, li Hay Problerr ese cas siguiente eje Ejemplo 2 Tres amiga; movilizan u; Rírnac y los
tabla se concluye:
(0 Cuando (II) Desde (III) La que
r - R n T r p r a a i^ t e n s
RObe^
o
Z
¿En qué d
, ón.
Clave:*
A) Lince D) Lince -
X
APTITUD MATEMÁTICA
Segunda form a
mediante el uso de l ^ f l e ^
,3S d° S variab,es (nombres
y d e p o rte ), e s
truimos las dos columnas donde colocamos los nombres y deportes. nombres
Gustavo Alberto César Roberto
DEPORTE
Fútbol Frontón Tenis Natación
2. Luego de los datos mencionados se tiene: De (I) G ustavo practica fútbol, que lo relacionamos con una flecha. De (II) Roberto practica frontón, que lo relacionamos con otra flecha. De (III) C ésar practica tenis, y en consecuencia Alberto practica natación.
NOMBRES G ustavo A lberto C ésar R oberto
DEPORTE Fútbol Frontón Tenis Natación
Tercera forma Otra forma de resolver este tipo de problemas es mediante un proceso “directo”; en el cual no es necesario hacer ningún tipo de cuadro adicional, sólo haciendo uso de un razonamiento lógico y a partir de ello deducir nuevas informaciones. Del ejemplo 1 se tendría lo siguiente: De información (I) Gustavo practica fútbol, de (II) Roberto practica frontón, de (III) César no es nadador, luego César practica tenis y se deduce que Alberto practica natación. Hay problem as donde hay información de personas con varias actividades u oficios, ese caso usarem os el cuadro de decisiones ampliado, como veremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2 Tres amigas: Sandra, Blanca y Vanessa escogieron un distrito diferente para vivir y se movilizan usando un medio de transporte distinto; los distritos son: Lince, Jesús María, Rímac y los medios de transporte son: bicicleta, moto y microbus. (I) Cuando Blanca tenga dinero se comprará una moto y se mudará al Rimac. (II) Desde que Vanessa vive en Jesús María ya no tiene bicicle . (III) La que vive en Lince toma dos microbuses. ¿En qué distrito vive Sandra y en qué A) Lince - bicicleta D) Unce - microbús
medio de transporte se moviliza?
B) Rimac - bicicleta D) Jesús Mana - bicicleta
C) Jesús María-moto
R e s o lu c ió n
usual (o caí Vearr I Sandra ' Blanca Vanessa
Ejerr Tres uno en el R im ac. m oviliza en b ic ic le ta . Luego Lince / Jesús María
Rimac // Bicicleta /
M oto
(I) (II) (III (l\ (V
¿Ci
Sandra Blanca Vanessa
A) D)
3. De (I) y (II) y observando la tabla se sigue que Blanca vive en Lince y también que Sandra vive en el Rimac y llenamos el prim er cuadro.
Rimac Sandra Blanca Vanessa
Bicicleta
microbús y como consecui
Bicicleta
Por lo tanto.
"earay^ r0b'e"ia s ,
Pos'ción e„ „ c°n una ,
que e
UaHdad
c°n la información 3
Re
----------------
APTITUD MATEMÁTICA
usualmente es, va colocado los nombres, lo trasladamos a la primera fila, y la cualidad (o característica) que estaba en la primera fila la trasladamos a la primera columna. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 3 Tres amigos de nombres, apellidos y ocupaciones diferentes, se reúnen en la casa de uno de ellos y tenemos la siguiente información: (I) Samuel no apellida Mamani. (II) Quispe trabaja de contador. (III) El actor se llama Hugo. (IV) El profesor no apellida Condori. (V) Uno de los amigos es Carlos. ¿Cuál es la ocupación y el apellido de Samuel? A) profesor - Quispe D) actor - Quispe
B) profesor - Mamani E) actor - Condori
C) contador - Quispe
Resolución 1. Construimos el cuadro ampliado y colocamos los nombres, los apellidos y las ocupaciones. — -— Samuel Hugo Carlos
Mamani
Quispe
Condori
Contador
Actor
Profesor
2. De la información que se tiene: de (I), (li), (III) y (IV) se tendría el siguiente cuadro: —— Samuel Hugo Carlos
Mamani X
Quispe
Condori
Contador X
Actor X / X
Profesor X
Como se ve, hay dificultad para poder llenar el cuadro y así obtener la respuesta deseada. 3. Luego, sí construimos el cuadro de la siguiente forma: Mamani
Quispe
Condori
Samuel
Huqo
Carlos
Contador Actor Profesor Donde se ha cambiado de posición la de los nombres por la de las ocupaciones (profe siones) respectivas. 4. De la información que se tiene en (II), (III) y (IV):
Contador Actor Profesor
Mamani X X y
Quispe y X X
Condori X / X
Samuel X
Hugo X / X
Carlos X
Centro Preuniversitario UNMSM ---------------------
De (!) sabemos que Samuel no apellida Mamani, luego se d e d u c e q u e Samuel qs dor, luego la tabla se llena como consecuencia de los d a to s ya m a rc a d o s , lu e g o ten ^ el cuadro: Srr|0$ Mamani I Quispe
I Condori
Sam uel
Contador Profesor
Por tanto, Samuel es Contador y su apellido es Quispe Otra forma Secuencia: 1,2,3, 4. Se observa que Samuel es contador y su apellido es
n
o
m
b r
Quispe
e s
a p e l l id o s
O C UPACIÓ N
+ C ontador consecuencia 2
Mamani
P rofesor
Conrinr¡-*JL2!!!secuenc¡a 1
Ejemplo 4
Üaly, Ornar ? erio
? 2 ? a n e n <™ Ur>ivers¡ds s t á J y n ° estáe J a en A no esf, I a Omar ' UniVersidad? 'dla ln9en
estudia J Que está < estLJdia
T u r
Pe riod¡srno - c
le ría o Periodiscu a l se deduce
a p t i t u d m a t e m á t ic a
Por lo tanto, Marilú estudia Turismo en la Universidad A. Clave: B
2.1.2. Deductivo Compuesto con Datos Implícitos Son aquellos problemas donde luego de llenar el cuadro de doble entrada con los datos en form a directa no se puede concluir. Es entonces que se busca un dato o más adicio nales implícitos en los anteriores.
Ejemplo 5 Se sabe que las profesiones de Judith, Elba, Rosa y Queta son profesora, nutricionista, abogada y odontóloga, aunque no necesariamente en ese orden. Si: I) II) III) IV)
Judith está casada con el hermano de la nutricionista. Elba y la odontóloga van a trabajar en la movilidad de la nutricionista. Rosa y la profesora son solteras e hijas únicas. Elba y Q ueta son am igas de la abogada, la cual está de novia.
¿Q uién es la abogada y quién es la odontóloga? A) Rosa - Judith D) Elba - Q ueta
1*3
B) Rosa - Elba E) Queta - Rosa
C) Judith - Queta
Resolución “^ \ p r o f e s i ó n P ro fe s o ra
N u tricio nista
Abogada
O dontóloga
Judith
X
Elba
y
X X
X
X
Rosa
X
Q ueta
X
n o m b re s \
X
Como la abogada está de novia, entonces Judith que es casada no es abogada. De donde se deduce que es odontóloga. ^■^orofesión Profesora
Nutricionista
Abogada
Odontóloga
J u d ith
X
X
X
y
y
X
X
X
Elba
X
X
y
X
Rosa
X
y
X
X
Queta
Por lo tanto, la abogada es Rosa y la odontóloga Judith
Clave: A
C entro P re u n ive rsita rio U N M S M
2.1.3. Problemas Resueltos Problema
1
En una sala de conferencias se en^ ^ e n t ó e n ^ l o r d e T d e °a s profes ^ 0 médico. Los nombres aunque no necesariamem M' OTesio ne5 Pedro, Daniel, Juan y Luis. Si se sabe que. I) II) III) IV)
Pedro y el contador no se llevan bien. Juan se lleva muy bien con el médico. , f . Daniel es pariente del a b o g a d o y éste es amigo de Luis. El ingeniero es muy amigo de Luis y del médico.
¿Quién es el abogado? A) Pedro
. , C) Daniel
Como C; no se ap
D) Juan ó D a n ie l u>
E) Luis
B) Juan
IUU1VI ■ profesion
Contador
Ingeniero
nombres^
Abogado
v X
Pedro
X
Daniel Juan
X
Luis
y
X
ima miA
Prob
X X X
Como Pedro y el contador Luis __ „
M é d ico
R osó que
X
enton-
nn úc
- Ali. - La Ent A) D)
R(
Clave: B Problema
Las señoritas Rocío, Carmen, Juana y María, tienen los apellidos Alva, Barreto, Delgado, aunque no necesariamente en ese orden. Si se sabe que: _w,vive i. oíen atí Comas. sabe - Rocío y Delgado fueron a la casa de Calvo que Calvo que vive en Com as. a - Carmen, Alva Barreto son secretarias de la PRE y la Drimoro porque vive enyAncón. PRE y la p rim era siem pre Alva, Calvo y María los ¿Cuál es el u y—María 1 los viernes se van a jugar bingo. nombre de la señorita Alva? A) María B) Juana
C) Carmen
ü \ R ^ !" - **
APTITUD MATEMÁTICA
Resolución '^ \a p e llid o s n o m b re s ^ \
Alva
B arreto
X
X
Rocío Carmen Juana
C alvo
D elgado
X
X
X
María
X
X
X
Como Calvo vive en Comas y Carmen vive en Ancón, entonces se deduce que Carmen no se apellida Calvo. ^ \ a p e ll ¡ d o s n o m b re s ^ \
A lva
B arreto
C alvo
D elg ado
✓
X
X
X
X
X
✓
✓
X
X
X
Rocío C arm en
X
Juana
X
X
M aría
X
v/
La señorita Alva tiene por nombre Rocío. Clave: E Problema 3 Rosa, Carmen y Alicia son amigas. Una es soltera, otra es casada y otra es viuda (aun que no necesariamente en ese orden). Se sabe que: -A licia no es casada. - La viuda y Rosa son colegas. Entonces: B) Rosa es soltera. E) Carmen es viuda.
A) Rosa es viuda. D) Alicia es viuda
C) Alicia es casada.
Resolución \^ s ta d o
soltera
casada
viuda
Rosa
X
y
Carmen
X
X
X y
Alicia
y
X
X
n o m b r e s '\
Como Alicia no es casada, entonces Alicia no es viuda, por lo tanto, Alicia es soltera. Luego, Carmen es viuda. Clave: E
Problema 4 rv
o (¡onpn diferentes ocupaciones: periodista, médico, kinesiólogo M Y Z y W. Se sabe que:
Ana, B ertha, C a rlo s y Dian ,
y matemática y viven en las Ciudades M . Y ^ ^ w . - Carlos no vive en M ni en y. _ £| er¡od¡sta nunca a emigrado de Z. - Diana es kinesióloga. - El médico vive en M. ¿Qué profesión tiene Ana? A) abogada
B) médico
C'i Deriodista penodista
C)
D) kinesióloga
E) matemática
Res o lució*1
mat.
rriéd-
peí
y A
M
Y
z
w
X
X
X
-/
P or ejem f
X
X
H a lla r la <
•/
X
X
X
’’’ x X
x v/
X
X
emigrado de Z y C arlo s v iv e e n Z , e n to n c e s C a ri* como el periodista nunca a periodista.
P a ra la donde :
¡ve en W, e n to n ces A n a no e s m é d ico . mat.
M
Y
z
w
X
v/
period.
méd.
kines.
Ana
X
X
X
y
X
X
X
X
✓
s/
Bertha
X
X
Carlos
y
X
X
X
X
X
v/
X
Diana
X
X
y
X
X
y
X
X
X
X
Resolui
P a ra la c íe n te <
Obse - El si
Luego, Ana tiene la profesión de matemática.
- C on
Clave: E
Veanr
2.2. NUMERACION
Los sistemas de numeración son conjuntos de símbolos convencionales que sirven para Representar (en forma correcta) y operar con los números. 2.2.1. Reglas
2. Se usan los s ! r r U > o l o s f ^ (X >1)como base del sistema de numeración hasta una unidad anterior a la base " C° nOCldos como cifras, d íg ito s o guarismos del número que represente te |b a s T d d ^ t "130'00 ^ ak xk~1 + a, k-1 X
Abreviadamente
'aS C¡fraS a n te rio re s con potencias
ls ema de nurr>eración de la siguiente manera + - + a 3x 2 + a 2x + a, ... ( 1 ) se escribe:
k k-i- • • a3a2a
... r * : - ”® - - . « , » ; . 'donde: ,a
2' , a( ■ *i r 1,2- ■— ■■ i k —i orden que
(2)
|Se Cifi
—
Ad
ocuPa oada cifra
a
APTITUD MATEMÁTICA
Por ejemplo: Hallar la escritura de las siguiente expresiones-
Para la primera expresión: E = 345 213 donde se escriben sólo los coeficientes y la base es el número que se repite. Para la segunda expresión: Debemos completar las potencias que faltan con el coefi ciente cero. F = 7a + 0 .7 3 + 6 .7 2 + 0 .7 + 1 => F = 10 601 (7)
Observación - El sistem a de num eración común es el sistema de numeración decimal (base 10). - Convencionalm ente la base 10 no se escribe. Veamos un cuadro de diferentes sistemas de numeración y las cifras que pueden usarse.
C r-e
Nombre del Sistema
Cifras
2
Sistema de Numeración Binario
0, 1
3
Sistema de Numeración Ternario
0 ,1 ,2
4
Sistema de Numeración Cuaternario
0, 1, 2, 3
•
• 10
Sistema de Numeración Decimal
0 ,1 ,2 , 3,... ,9
12
Sistema de Numeración Duodecimal
0 ,1 ,2 , ...,9 ,1 0 , 11
X
Sistema de Numeración en Base X
0 , 1 , 2 ......( X- 1 )
(Se denomina cifra no significativa al 0 Cifra significativa: 1 , 2 , 2, 3, ..., (x - 1) Además para cifras mayores que 9 a =10,
p = 1 1 , y = 12 , 5 = 13, 8 = 14, $ * 15,
, etc.
Centro
preuniversitario
unmsm
éste se encierra
entre p a ré n te s is , p o r e je m p lo :
s i et valor es mayor, cifra c u a r ta = (40) = cifra cincuenta
2 0 1 3 4(G) = 2.6* + 0.63+ 1.62+ 3 .6 1+ 4.6° I I______ ►a su derecha hay I________ ►a su derecha hay ---------------- ►a su derecha hay ------------------- ►a su derecha hay --------------------- ►a su derecha hay
0 1 2 3 4
cifras cifra cifras cifras cifras
(Descomposición Polinómica en Bloques. Veamos los siguientes casos que nos permitirán entender este concepto.
A) Primer caso: Cuando las cifras se repiten periódicamente.
Por ejemplo:
Si se tiene el numeral N =ababab(X) y vemos que se repite el periodo
N = abOOOO(x) + ab00(x) + i b (x) ab(X)(-| 0000(x)) + a b (X) ( 10 0 ( x ) ) + ¡ b (x)
N = ab(x) <10000(x) + io o (x) +
N =ab(X) (10101(x)) (a)
Nota: Regla práctica Para calcular (a)
, se tiene:
a p t i t u d m a t e m á t ic a
P or ejem plo: S ea
N = 225022502250
2 2502 2
( 6)
N = 2 2 5 0 (6) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (6)
5022
50
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 01 (se lee de derecha a izquierda)
B) S eg u n d o caso. Cuando las cifras no se repiten en forma periódica. Cada bloque que
se forma se considera como si fuese una cifra y se aplica el criterio general. Veamos algunas form as de descomponer un numeral de 4 cifras.
Ejemplo 1 Jaimito dijo el dia de ayer: "mi año de nacimiento es un número impar representado por Í 9i b y en el año
a b añ0S' iCuán'° S ^
^
19 (a + b) (a + b) A) 45
B) 35
C) 54
Resolución Edad = Año actual - Año nacimiento a.b=
D) 34
E) 43
c. nm—
-
ÜNMSM
ab = 4-3
ab = 12 Del año I9ab = impar => b es impar =>> a b =- 43
Entonces en el año 19 (a + b)(a + b ) = 1977 edad Jaimito = 1977 - 1943 = 34 años
!.2.3. O bservación
Importan
1 . Si abc(x) 3 a
2. Si abc(x) = mnP(x)
=>a = m, b = n , c - p
3 .S i¡ te « ,= ™ M =>
-A mayor numeral
4. Representación en sistema decimal Si N tiene dos cifras =>10
< N < 102
Si N tiene tres cifras => 102 < N < 103 Si N tiene k cifras
=> 10k'1< N < 10k
Porejemplo: 104 < 2 0 4 8 0 < 10 5
5. Representación en base “ x ” Nx= N en base x Si NA tiene dos cifras => x < NY < x2 Si N tiene tres cifrs» X .„..cue scifras => x2 < NA < x3 Si Nx tiene k cifras xk'1 < N. < vk x • X'
Por ejemplo: 53 < 1234^
< 54
AP TITU D
E jem p lo 2
Ca,cu,are,va,orde ( m * n * p . a . x ) s ¡ -
m a t e m á t ic a
6)=_ _ ^ (x)
A )1
B )2 C) ' 7
°) - 6
E) 0
Resolución A m ayor n um eral m e n or base
=> x < 6 => x = 5
y
x>4
Del n um eral se tiene: a a a (6) = a . 111(6) = a(62 + 6 + 1) = 43 a En la igualdad
4 3a = m n p 4 (5) 43a =
m . 53 + n . 52 + p . 5
v ---------- ---------- ' O
+4
5
o
43a = 5 + 4
y
a<6
o
129 = 43 (3) = 5 + 4 Luego convirtiendo a base 5:
|51
=> 333(6) = 1004(5)=>|m = 1 , n = 0 , p = 0 => m + n + p - a - x = 1 - 3 - 5 = - 7 Clave: C
Ejemplo 3 ¿En cuántos sistem as de numeración 3344 se denota con tres cifras?
A) 43
B) 41
C) 42
0)45
E, 44
Resolución
Sea Nx = 3334 como N tiene tres cifras =>
x2 < Nx < xx2 < 3344 < x3
x 2 < 3344
a
3344 < X3
=>
x <57,4
=> =>
14,7 < x <57,4 x = 15, 16, 17 , . . . , 5 7
a
x > 14,7
57 - I 4 _ 43 # de sistemas -
^
Clave: A
■*
C e n tro
unmsm
í Z 4 Problemas Resueltos Problema 3
— - de' numera,: ra - 2,a,a+^ < “> «95
B>8 5
D) 80
C ) 75
¿Cuántos nu> cifras iguales
g) ^
A) 4 R e s o lu c ió n
£+4-^ 8
Se tiene que:
Ka^¿J >0
Resolución
I
¡
Para un núi
Mayor dígito menor que la base
Primer dígito mayor que cero
Por dato: ;
a<4
a >2
Reem plaz
a=3 luego: (a _ 2) a (a + 4 )g = 137g - 1 x 8
+ 3 x 8 + 7
= 64 + 24 + 7 = 95
Problem
Claven
Problema 2 ¿En qué sistema de numeración 481 se representa como abab ? Dar como (a + b) más la base del sistema desconocido. A) 11
B) 9
C) 15
D) 13
¿En qué bajo la fe
respu6S;: A)base Resolu«
E) 14
Resolución
a (a +
Sea x = La base desconocida Tenemos que:
=> a > Dando a= 1 ; a=2 : a=3 :
481=abab (X)
481 = 101(x).ab(x) 37.13 = (x2+ l)(a x + b )
a =; n a=n-
=> x2+1 = 37 => x 2 = 36 => x = 6
Cantic
=>ax + b = 13=>6a + b = 13 1 1 2 1 y 1 7 X =>a + b + x = 2+ 1+ 6 = 9
1
+
2
=> n2
r. lave■í
—--------
APTITUD MATEMATICA
P ro b lem a 3
¿Cuántos num erales de tres cifras del sistema decimal se expresan en base 11 con tres cifras iguales? A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 9
Resolución Para un núm eral de tres cifras en el sistema decimal se cumple. 1 o o < abe < 1000 . . . (1)
Por dato: abe = xxx(n> = x.1 11(11) abe = 133x R e em plazando en 1:
1 0 0 < 133x<1000 0 ,74 < x < 7,4 rí> x = 1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7 => | Son siete numerales.
Clave: D
Problema 4
¿En qué sistema de numeración existen 1485 números naturales que se representan bajo la forma a (a + b) b ? A) base 52
B) base 54
C) base 55
D) base 64
E) base 65
Resolución a (a + b) b(n)
n = base buscada
=> a > 0 , 0 < a + b < n Dando valores tenemos: a = 1 => b = 0 , 1 , 2 , ... , ( n - 2 ) => ( n - 1 ) valores a = 2 => b = 0, 1 ,2 ........( n - 3 ) =i> ( n - 2 ) valores a=3 b = 0 , 1 , 2 ........( n - 4 ) = } ( n - 3 ) valores
a - n - 2 => a = n -1 =>
b = 0, 1 b=0
=> 2 valores => 1 valor
Cantidad total de números: 1 + 2 + 3 + . . . + => (n -1) = 1485 n2 - n = 2970 => n2- n -2970 = 0 => (n - 55) ( n + 54) = 0 => n = 55
(n ~ 1V - = 1485
Clave: C
,r*tarl0
Centropreuflirt , eCüAClONBS LINEALES CON DOS VAR,ABL6s
23 SISTEMA * dos ecuaciones lineplfs^ cada una con dos incàgn E s u n c o n ju n to a
aX + b y = c ]
. ..
(
1
^
'tas
s (X , y y
dx + ey = f J Donde a,b,c,d,e y f son números reales dados Una solución del sistema (1) es un p a r de números de> e lsistema (1). Para que el sistem a (1 ) te n g a Sn,n ° ta d o P o i ' ■>./ *0. Para determ inar la solución se puede emnl ° n ún in ° conocidos: adición, sustracción, sustitución, ig u a la c ió n e t CUal9u¡Q ^
yj.
Ejemplo 1 u .j~ — r
El precio de seis metros de tela casimir es el mismo precio de i s Elprecio c nrann de 10m de tela de lanilla es S/. 60, ¿cuánto cuesta «/ m elprecio de
S^ae,^T’eíroc,ete> ec,i
A)S./. 14
B)S/ 15,5
C)S/. 13,5
D) S / 15
e^S/ 13
Resolución
Costo de cada metro de tela casimir: x Costo de cada metro de tela de lanilla: y
*
Del problema se tiene 6x =15y =>x = - y
( 1)
10y = 60 => y = S/ 6 En (1): x = —(6) = 15
C|ave:
Ejemplo 2
Nelson lanzó um° veces un dado. El máximo puntaje total q u e pudo haber obt • 120, pero obtuvo 66 y sólo sacó puntaje par. Si 3 veces obtuvo e l puntaje 6 ■r 65 veces obtuvo el puntaje 2? ¿Cuántas Aj 10
B) 6
Resolución
'■* * ¡anzamientos
n:#de P:#de
veces que salió 4
veces que salió 2
C) 4
D) 15
E) 12
APTITU D MATEMATICA
Del problema se tiene que: Puntaje máximo = 6 m = l2 0 n + p + 3 = 20
=> m = 20
=> n + p = i 7 = ^ n = 1 7 _ p
0)
Adem ás se sabe que: 3(6) + 4n + 2p = 66 (1 )e n (2)
4n + 2p = 48 => 2n + p = 24
(2)
: 2(17-p) + p = 24 34 - 2p + p = 24
p = 10 C \a v e : A
2 .3 .2 . P r o b l e m a s R e s u e lt o s P r o b le m a 1
Un g a nade ro esta ba indeciso entre com prar 72 ovejas o po r el m ism o precio 9 vacas y 9 toros, en to n c e s con el m ism o dine ro decide c o m p ra r ei m ism o n ú m ero de anim ales de cada clase. ¿ C u ánto s anim ales com pró? B) 27
A ) 30
C) 24
D) 21
E ) 18
Resolución D : d i n e r o q u e t ie n e
0 : p r e c io
d e c a d a o v e ja
V : p r e c io d e c a d a v a c a T : p r e c io d e c a d a t o r o
-
1) D = 720 = 9V + 9T => 80 = V + T 2) D = x0 + xV + xT De (1 ) y (2) : 720 = X0 + x (V + T) = x0 + 8 x0 3)
720 = (9 x) 0 x= 8 3x = 24 Clave: C
Problema 2 La suma de las cifras de un número de dos dígitos es 12. Si el orden de los dígitos se invierte, el número resultante excede al número original en 36. Hallar el número original. A) 75
B) 57
C) 48
D) 56
Resolución N = ab a + b=
12
=> a =
12
- b .... ( 1 )
ba - ab = 3 6 => 10b + a - 10a - b = 36
9 b - 9 a = 36
E) 42
C e ntro P re un ive rsita rio
UNMSM
Simplificando:
b -a = 4 ...... (2) (1) en ((2): 2) : o ( => 2b = b '- (1^ = 16 16 => => b En (1)
a =4
=8
=> N - 48
Problema 3
^
Se divide un mismo número entre 2 números consecutivos, obteniéndo casos 45 de cociente. Si los 2 residuos suman 73, uno de ellos es 0 e° arr¡^ B)14
C) 24
D) 28
E )4 5
A) 12 Resolución Del problema se tiene que:
Adem ás:
N=q(45)^r1=(q +V45 +r2 45q + r,
= 45q + 45 + r2
• (2)
D e (1 ) y (2) se tie n e q u e : 2 r1 = n Q =>r1 = 5 9
(1)
r, - r 2r 45
r , h 73
Luego r2 = 14
Clave: B Problema 4
si no me quedo con ninguno? A) 780
B) 360
C) 390
D) 42 0
E) 720
Resolución # decenas: x # docenas: y Compro Regalo 10x Vendo
2x
Recibo 12x
Regalo
Entrego
y
13y
12y
Recibo = Entrego 12x
vendo = 12y = 432
=
13y
( 1)
= > y = 36
En (V:12x= 13(36) => x = 39 compro: 10x = 390 Clave: A
APTITUD MATEMATICA 2.4. ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES D E U N T R IÁ N G U L O
2 4.1. Propiedades Básicas i) Ángulo formado por dos bisectrices interiores E n t o d o t r i á n g u l o la m a y o r m e d id a d e \ á n g u lo f o r m a d o p o r la s b is e c t r ic e s d e d o s á n g u l o s i n t e r i o r e s e s ig u a l a 9 0 ° m á s la m it a d d e la m e d id a d e l t e r c e r á n g u lo in te r io r .
B
x = 90° + -
2
b) Ángulo form ado por dos bisectrices exteriores E n to d o triá n g u lo
la m e n o r m e d i d a d e l á n g u l o f o r m a d o
p o r la s b is e c tr ic e s d e d o s
á n g u l o s e x t e r i o r e s e s i g u a l a 9 0 ° m e n o s la m it a d d e l a m e d i d a d e l t e r c e r á n g u lo in t e r io r .
x = 90° —
2
c) Ángulo form ado por una bisectriz interior y otra bisectriz exterior En todo triángulo la menor medida del ángulo formado por la bisectriz de un ángulo interior y la bisectriz de un ángulo exterior es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo interior.
B
„P rs u n W M O
U fijM S M
*itn ra v una b is e c triz m form ado p o r una altur¿ y jg form ad o p o r u n a a ((u ra
/
" '£ & « w » * " £ £ - * » » *"*'
‘í * s
, - r r S í - » ”*
H
D
Si BH es altura del triángulo ABC
_
XX
y BD es bisectriz del ángulo ABC e) Ángulo formado por una altura y una mediana
En todo triángulo rectángulo la menor medida del ángulo form ado p o r mediana que parten del vértice del ángulo recto es igual a la d ife rir, n Una a^üra de los ángulos agudos.
..................
c,ac,e/as “ Vi/ni
58
I Si BH es altura del triángulo AB C j [ y M es punto medio de A C
Ejemplo
I
x=a-Q
1
la figura adjunta, calcular A) 126° Q 123•
B) 1 3 r 0 )1 2 4 •
E) 125°
Resolución 'm M N P -g Q o ^ 48
=66°i(ProPiedadb) . mpRM=9p+ 66° 3) Clave: C
A P T IT U D M A T E M A T IC A
E je m p lo 2
E n la fig u ra a d ju n ta . BM es m e diana del triá n g u lo A B C . C a lcu la r el va lo r de x. A) 30°
B) 2 2 °3 0 '
C) 4 0 °3 0 '
D) 32°
B
E) 25°
Resolución A • En el A A B C :
x
= 5 a - 3 a =>
x
= 2a
• En el A A B C : 5 a + 3 a = 90°
2 a = 2 2 ° 3 0 ' =>
x
= 2 2 °3 0 '
Clave:
B
2 .4 .2 . Problemas Resueltos Problema 1 E n la f i g u r a a d j u n t a , A B = B C = B D , c a l c u l a r e l v a l o r d e
A ) 12°
C)
6o
x.
B) 10°
D) 9o
E) 18°
Resolución
• A ABD es isósceles • En el A ADC: x
(propiedad c)
=> m * D = 2x • A BCD es isósceles => m *B C D = 2x+a • Por ángulo externo en el A ABE y el A CD E : a + 40° = a + 4x => x = 10°
C Clave: B
rsitaño
Centropreun ¡v®1
unmsm
problem* mostrada. en la
calcular
gl valor de (x - y)-
f'9ura
A) 15’
B) 16“
C) 17° D) 18" E) 14° Resolución
= 90 . EnelAABC: xx -y u -° 0
+p=
9
74° 2
— 5 3o,(pr0 pjed
ad b)
O°=> y = 9 0 ° -x = 3 7 °
= * x - y = 16° Clave;
60
Problema 3 En la figura adjunta, calcular el valor de x . A) 40°
B) 30°
0)20°
D) 15°
E)45° Resolución
• Prolongamos BD y EPI hasta que se cortan en P C , • En el
a
2x ABE: m * DPF = — = x
2
• A DFP : 4x + 4x + x = 180° => x = 20e
Clave: C
.5.
a p t it u d m a t e m á t ic a
P r o b le m a 4
E n la f ig u r a m o s t r a d a , c a l c u la r e l v a l o r d e
(o . + p +
0). B
A ) 180° B )360° C )270° D ) 120° E) 90°
Resolución
2v = >
• En el A A B D : B = —
• En el A EB C :
0
2x
P = —
E n el A s o m b re a d o
=>
0+
0 = y
=> p = x
x + a + y = 180°
a + p = 180°
Clave: A
PRO BLEM AS PRO PUESTO S P ro b le m a 1. De tres amigos, se sabe que: Juan no estudia en la Universidad Católica. David no está en la Universidad de San Mar cos, el que está en la Universidad Católica no estudia Ingeniería Industrial, el que está en la Universidad de San Marcos estudia Ingeniería M ecánica. David no estudia Economía. Si la otra Universidad es la Técnica del Callao, ¿qué estudia Tomás y dónde? A) Econom ía en la U. San Marcos.
B) Econom ía en la U. Técnica del Callao.
C) Econom ía en la U. Católica. D ) Ing. M ecánica en la U. Católica. E) Ing. M ecánica en la U. de San Marcos.
Problema 2.
Cinco am igas buscarán trabajo, pero deciden hacerlo en cinco distritos
diferentes: La Molina, San Isidro, Pueblo Libre, Lima y Miraflores. Si se sabe que: -
Elsa irá a la Molina. Las su eg ras de C arm en y Mirian viven en San Isidro, por lo cual deciden no ir a es e
-
distrito. M irian vive en P ueblo Libre. . M ó n ica vive en Lim a y es la única que ha decidido buscar trabajo en el mismo distrito
-
d on d e vive. A N a n c y le es indiferente el distrito donde trabajará.
L/NMSM
esita"0 Centropreun*0
Podemos afirmar. A) M
ir la n
buscará M
en Pueblo Ubre
c ¡T e 7 a e rtT q u e Carmen buscaré trabajo en Pueblo Ubre.
Problema 3. Alberto, Pedro, Jonathan y Jorge postularan a la s u n iv e rs id a d ^ ,
O/jg
Lima, U. de San Marcos y U. Villarreal, ellos estudiaran m atem ática , a rq u ,tec* S U N l, ü
ría y periodismo.
lJr^<
Se sabe que: -
Alberto no desea Villarreal n i la de Lima. E l que desea estudiar en la UNI estudiará arquitectura. El que postula a San Marcos no estudia ingeniería y a q u í tie n e a u a e Jonathan prefiere matemática que periodism o.
-
E l que pretende la de Lim a quiere ingeniería.
-
A Pedro le agrada arquitectura.
P e r,o d ,Sf. 0
¿Qué y dónde estudiará Jorge? A ) Ingeniería - UNI B)A rquitectura - S. M arcos D) Ingeniería - U. de Lima E) Periodism o - S. M arcos ..
j
a o c u
d
C ) M a fP m * * -
m a tic a - ( j d
* Llnia
practican los siguientes deportes: natación, atletismo, fúi fútbol y Los 0 „Vcs, Breña, San Borja y M iraflores. S e sabe que:
S E S Í en los 5¿S£ *
- C no vive en los Olivos ni en Breña. - El atleta vive en los Olivos. - A vive en Miraflores. - Des futbolista.
- El nadador nunca a emigrado de San Borja. ¿Qué deporte práctica A? A) natación
B) atletismo
C) fútbol
D) básquet
E) tenis
Problema 5. A una fiesta asistieron 4 parejas que sólo bailaron entre ellos y al mismo tiempo, un rock, un bolero, una salsa y un vals. Al salir ellas comentaron: Natty: Disfruté más bailando bolero con Raúl, que rock con Paul. Patty: Mientras bailaba bolero con Dany, él me besó. Katty. Cuando bailaba salsa con Tony, nos tropezamos. Betty: Nunca más volveré a bailar salsa con Raúl. ¿Quiénes bailaron vals con Katty y Betty respectivamente?
C)Pau' - Raa
APTITUD
m a t e m á t ic a
Problem a 6 . C a lc u la r e lv a lo r d e j a * b + m + n) a 5 8 , m) = b b 5 4 (n ) A ) 21
B) 22
~
y
Í 6 2 (m) = b b
C voo C)
23
57 („ )
D) 24
E)
25
7 ' ¿ A q U é S ÍS te m a c o r r e s P o n d e 2 2 4 4 , s i s u e q u iv a le n t e e n e l s is t e m a h e p ta \
A )o c ta l
B) nonal
P ro b le m a
8.
C ) d é c u p lo
D ) u n d e c im a l
E ) d u o d e c im a l
S e r e p a r t e S / . 6 1 6 e n t r e c ie r t o n ú m e r o d e p e r s o n a s , c o r r e s p o n d lé n d o le s
¡¡b „,, ib ,., ,ib (7)........ Sb(» ,
r e s p e c t i v a m e n t e a c a d a u n a d e e lla s :
s o le s . C a lc u la r e l
v a lo r d e (a + b ).
B) 5
A) 3
Problem a 9. 300
y
600.
aO c h o ja s ,
El
n ú m e ro
C) 4
de
6
D)
p á g in a s
que
t ie n e
un
E )7 lib r o
e s tá
c o m p r e n d id o e n tr e
S e s a b e q u e : Í N D I C E = a h o ja s , I N T R O D U C C I Ó N = c h o ja s ,
PR O BLEM AS =
ab
h o ja s
y
T E O R ÍA =
*3 ^
T O T A L = a b c j h o j a s . ¿ C u á n t a s h o j a s t ie n e e l
li b r o ?
A) 235
B) 255
C ) 165
D) 265
vo c r
E) 285 63
P ro blem a 10. En dos sistemas de numeración de bases consecutivas, hay en una 520 numerales de tres cifras más que en el otro. Calcular la menor de dichas bases. A)
base 11
B) base 13
C) base 9
D) base 15
E) base 14
P ro b lem a 11. En dos salones hay igual número de personas, por cada cinco personas que salen del primero, del segundo salón salen 3 para entrar al primero y uno más se retira a su casa. Cuando hay 50 personas en el primero, en el segundo hay 20. ¿Cuántas personas había inicialmente en cada salón?
A) 100
B) 90
C) 85
D)80
E) 75
Problema 12. Si al doble del dinero de Gaby se le agrega el triple del dinero de Sandra, resulta SI. 8 y si al séxtuple del dinero de Gaby se le resta el cuádruple del dinero de Sandra, resulta S/.11. ¿Cuánto dinero tienen entre ambas?
A) SI. 1
B) SI. 3,5
C) SI. 2,5
D) SI. 2
E) SI. 1,5
Problem a 13. En las aulas P, Q y R de un colegí*) se tienei quelas«w t e P y 'Q J j j j j tienen 85 alumnos; y las aulas Q y R juntas tienen 75 alumnos, y V tienen 80 alumnos. ¿Cuántos alumnos tiene el aula Q?
A) 35
B) 40
C) 45
D) 50
E) 48
i p r e u n iv e r s it a r io U N M S M
ia Fn una hacienda hay vacas, caballos y ce rd o s Sin Problema 1 caballos 36 anim ales; sin c o n ta r l0 s n f Cuál es ^númem de caballos en dicba n a c e r á
A) 10
C) 12
B) 18
a r /a *
|s ^
D) 8
^ 76
Problem a 15. Gustavo tiene en total mn aves entre pollos, pat
patos menos 8 m; todos son pavos menos 12 n y todos son polín* S y P avoc pollostiene Gustavo? rr'enos g s- íq
A) 13
B) 17
C) 23
0 )2 4
Problema 16. En la figura adjunta, PM = MR. Calcular el valor de Q A) 120c B) 130° C) 100° D) 110° E) 105°
& Problema 17. En la figUra adjunte, a + [ i + 0 + y = 150° A) 100‘ B) 105° C) 110° D) 115°
E) 120°
C a lc u la r “y
A PTITU D
m a t e m à t ic a
P ro b le m a 19. En la figura adjunta, calcular el valor de “ x" A ) 40° B) 20° C ) 10° D) 36° E) 18°
P r o b l e m a 2 0 . E n el g rá fic o m o strado, calcula r el v a lo r de “x” .
CLAVES 9. A
13. B
17. B
10. B
14. D
18. E
11. D
15. C
19. D
12. B
16. A
20. A
CAPÍTULO III _________
3.1.
° g n ita - C ongruencia de Triángulos.
VERDADES Y MENTIRAS n S i Í r P r t T o Í r h mentiras es una Parte importante de la lógica matemática que permite descifrar acertijos sobre veraces y mentirosos, es decir, identificar a los personajes hipotéticos que dicen siempre la verdad o siempre mienten, a partir de sus afirmaciones o de terceros. El tema encarna la idea esencial del famoso enunciado de Kurt Godel (el llamado Segundo Teorema de Incompletitud) que afirma que todo sistema matemático consistente con suficiente poder para realizar lo que se conoce como aritmética elemental debe padecer la sorprendente limitación de no poder nunca demostrar su propia consistencia. Para identificar a los personajes hipotéticos utilizaremos los razonamientos por casos, reducción al absurdo, por analogía y otros. Estos razonamientos nos permitirá descartar un cierto núm ero de posibilidades inconsistentes y tener só|o una posibilidad consistente.
3.1.1. V eraces y M e n tiro s o s C o n c e p to . Los veraces o caballeros son los personajes que siempre formulan o dicen enunciados verdaderos. Los mentirosos o bribones son los personajes que siempre form ulan enu n cia do s falsos. Cada personaje que participan en las acciones de los problem as o es un veras o un mentiroso, en algunos casos podrán ser veraces o m entirosos hasta un núm ero limitado de afirmaciones. E je m p lo 1 S up o nq a m o s que los casados siempre mienten y los solteros siempre dicen la verdad. S “Luis y yo som os solteros” , y Luis dice: “'Félix es casado'. Si solo uno de ellos m iente, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I) II)
Félix dijo la verdad. Félix es casado y Luis es soltero.
III)
Félix es soltero y Luis es casado.
IV) V)
Luis dijo la verdad. Félix es soltero y Luis miente.
A) I y III
IW B) II y IV
n i v V c) y
D) m y i v
E )n i y v
c ^ ^ ,an° ______»»*>»■««*
BeSOlUción
,
A'<'«emo,
Según Félix:f ig ^ ^ s a d o . L u i s m ie n te
L u is e *
todo es un absurdo, así esta posibilidad queda de sca rta d a ,
s s s ---» *
^ . , x
S d te T v lr ta F y e s soltero. Cu
8ve: g
E je m p lo 2
Supongamosque ofrezco a Lewis dos premios: Premio 1 y Premio 2 runenunciado. Si el enunciado es verdadero, entonces debo darle un nequPf (sin decir cuál de los dos). Si su enunciado es falso, entonces no na de los do! % s Lewisdesea el Premio 1, ¿cuál de los siguientes enunciados p o d r i d nin9ún n r% Par*% garantice que ganará el Premio 1? a forrnular n e% »'
H) Usted n o me d ■ ¡V ) U ste d m e d a r á l? » ' P r e m /o 1 e l P rem ¡0 -j ■ D )V E)
I) Usted me dará el Premio 2. III) Usted no me dará el Premio 2. V) Usted me dará uno de los premios. B)IV C )l A) II
Resolución Supongam os
que fórmula el enunciado
( I) .
Si este enunciado es verdadero, tendría el
Premio 2 y no tendría el Premio 1; si el enunciado es falso, no ten d ría ningún premio.
Este
enunciado no podría escoger. Supongamos que formula el enunciado (II). Si éste es verdadero, te n d ría el Premio 2 yno el Premio 1; si denunciado es falso, tendría el Prem io 1 y no ten d ría ningún premio, es un absurdo. Luego con este enunciado tendría siempre el P rem io 2. Supongamos que formula el enunciado (III). Si el enunciado e s ve rd ad ero , tendría el Premio 1; si el enunciado es falso, tendría el Premio 2 y no ten dría ningún p re m io , es un absurdo Luego con este enunciado tendría siempre el Premio 1.
^ n u ñ d a d o í J S ^ qU8
l0S enUnCÍad0S (l) y ( ll) ’ d e s c a r ta m o s la formulación
Asi, Lewis, si deseael Premio 1, tendrá que formular el enunciado (III)
A P T IT U D M A TE M À TIC A
3 . 1. 2. P r o b l e m a s
R e s u e lt o s
P r o b le m a 1
A m e l ia ll e g ó a la is la d e lo s C a b a lle r o s y lo s B r ib o n e s a e n t r e v is t a r s o la m e n te a \o s m a t r im o n i o s . L o s c a b a lle r o s s ie m p r e f o r m u l a n e n u n c ia d o s v e r d a d e r o s , \ o s b u b o n e s s ie m p r e f o r m u l a n e n u n c ia d o s f a ls o s , y c a d a h a b it a n t e e s u n c a b a lle r o o u n b ñ b ó n . A m e tta ll a m ó a u n a p u e r t a , e l m a r i d o le a b r ió a m e d ia s y s u c e d ió e l s ig u ie n t e d iá lo g o . • M a r id o . “ ¿ Q u é d e s e a ? ” • A m e l ia : “ H a g o u n c e n s o , y n e c e s it o in f o r m a c ió n s o b r e u s t e d y s u e s p o s a . ¿ C u á l, s i a lg u n o lo e s , e s u n c a b a lle r o , y c u á l, s i a l g u n o lo e s , e s u n b r ib ó n ? " • M a r i d o : “ i A m b o s s o m o s b r ib o n e s '. " ¿ D e q u é c la s e e s e l m a r i d o y d e q u é c la s e e s la m u je r ? A ) E s p o s o e s u n c a b a l l e r o y e s p o s a e s u n a b r ib o n a . B ) E s p o s o e s u n b r i b ó n y e s p o s a e s u n c a b a lle r o . C ) A m b o s s o n b r ib o n e s . D ) A m b o s s o n c a b a lle r o s .
E) No se puede determinar. Resolución Supongamos que el marido es un caballero, entonces su afirmación es verdadera, su mujer y él son bribones. Es decir, que el marido es caballero y bribón a la vez, esto es un absurdo. Descartada esta posibilidad. De lo anterior, el marido es un bribón. Así su afirmación es falsa, y su mujer es caballero. Si su mujer no fuese caballero, ambos serían bribones y su enunciado sería verdadero, esto sería un absurdo. Por lo tanto: Esposo: bribón. Esposa: caballero.
Clave: B Problema 2 En una cierta isla, los creyentes del dios “Poder” siempre mienten y los no creyentes siempre dicen la verdad. Un extranjero llegó a la isla y se encuentra con cinco nativos del lugar, pregunta al primero de ellos si es creyente del dios “Poder". Este responde a la pregunta; el segundo, el tercero y el cuarto informan que el primero negó ser creyente; pero el quinto informa que el primero es realmente creyente. ¿Cuántos de los cinco nativos son creyentes del dios “Poder”? A) 1
B) 3
C) 5
D) 4
E) 2
Resolución Supongam os que el primero es creyente del dios “Poder". Entonces sus afirmaciones fueron:
69
C«,troPrmm1«>' »,anoUNMS“ * nativo
no soy creyente (fa/Sn,
2°°,nativo 3" , 4° nativo 5
primero es negó se r ere primero reaimentey^
eyentG,
(ver
■Poder”. Entonces sUs ^
‘'¡Or, Deaquí, setieneun creyentey cuatro no creyentes ^Qrd ' no sov c r e y e n t e (verdadero), Supongamosqueelprimero esno nrimero creyentenegó deldios ^ r0) ser “¡ creyente (verdadero), primero es realmente creyente (falso). 1
fueron:
'
5°. nativo 1ese r.nativo Deaquí, obtiene un creyente y cuatro no creyentes. cinco nativos de la ¡S|a. 2°.,3e r., 4° nativo De ambos casos, siempre se tiene con respecto a los 5o.nativo 41
Creyente s r'r*ventes No creyentes
C|ave:4 Rosa,
Sofía
Rosa
Raúl
C a rlo s
Tania
V
F
F
V
F
F
F
F
V
2 a.
V
V
V
F
F
3a 4a
F
V
V
F
V
5a
V
F
V
V
F
^^Alumnos r.
. „tm falló en todas y los otros tres fallaron
lugares? „ r» D) Raú?y CaHos
_ .. B) Rosa y Raúl E) Sofía y Carlos
C) Raúl y Tañía
Resolución Observando el cuadro de resultados, las respuestas de Rosa y Estosignificaque uno de ellos contestó todas correctamente y el o
en {0das.
Observando las respuestas de Rosa y Tania, no coinciden solamente en la seg# ptaSj pregunta. De aquí, deducimos que Rosa contestó correctamente todas la P Taniase equivocó solamente en una pregunta. Así se tiene: Rosa Tania
i» lugar, 2°. lugar,
Carl°S
5° |Ug ar
a p t it u d m a t e m á t ic a
A h o r a c o m p a r a n d o la s r e s p u e s t a s c o r r e c t a s d e R n * a i R a ú l d e d u c im o s : S o f í a . o. lu g a r , R o s a c o n la s r e s p u e s t a s d e S o fí a y d e
4
R a ú l : 3 er. lu g a r . A s í , S o f í a y C a r l o s o c u p a r o n lo s d o s ú l t i m o s lu g a r e s .
C lave: E P r o b le m a 4
U n j u e z e s t a b a c o n v e n c i d o q u e c u a t r o d e lo s c in c o s o s p e c h o s o s . R a ú l, M a r t in , J a v ie r ,
Marmol n Frank pran ln«i acocinne Ho “i «-.i;»«-.” r»—i „ _____ i____. • _ ___ • Raúl
“ Y o n o la m a t é ” .
• M a rtín
“ R a ú l m ie n t e ” .
• J a v ie r
“ M a r t í n m ie n t e ” .
• M anuel
“ M a r t í n la m a t ó ” .
• F ra n k
“ M a n u e l d i c e la v e r d a d ”
S i s o la m e n t e u n a d e la s a f ir m a c io n e s e s c ie r t a , ¿ q u ié n n o e s e l a s e s in o ?
A) Raúl
B ) F ra n k
C ) M a rtín
D) M anuel
E ) J a v ie r
Resolución L a s a f ir m a c io n e s d a d a s p o r lo s c in c o s o s p e c h o s o s s o n e q u iv a le n t e s a d e c ir .
Raúl Martín Javier Manuel »Frank
No la maté. Raúl la mató. Raúl no la mató. Martín la mató. Martín la mató.
Supongamos que la afirmación de Raúl es verdadera, entonces las de los demás son falsas. De la falsedad de la afirmación de Javier se deduce que Raúl la mató y esto es un absurdo con la afirmación verdadera de Raúl. Así, esta posibilidad queda descartada. Supongamos que la afirmación de Martín es verdadera, entonces las de los demás son falsas. De estas falsedades deducimos: • Según Raúl • Según Martín • Según Javier • Según Manuel • Según Frank
Raúl la mató Raúl la mató Raúl la mató Martín no la mató Martín no la mató
De aquí, se tiene que Martín no es el asesino de “Lolita" y los otros cuatro son los asesinos. Siguiendo el razonamiento, en forma análoga realizado para Raúl, se descarta la veracidad de las afirmaciones de Javier, Manuel y Frank. Clave: C
ve*“9"
>
aci°
. ,oar ¡ ^ étÍCa de crlp m
otroSét!cas yotroS' an‘ ^
^
Car3C,e
de la® f
ifras que están representadas Por, formación de núm eros, en las
a y S o .a .e n te u n a c ifra o v ,c e v e rs a .
letra le <
¡
^
H^
S
S
¡ m b o to 8 ^
"°
0 bserv^iónL
3-2'3'TÍP° S
■ «ica con Letra®
3 231. Criptoarittn
St í s í ¡ - — — Ejemplo 1
s
E)17„ «14.4
A) 2828
«2626
B) w *
Resolución
Luego:
C=2
U=8
E=4
S=9
P= 1
M=6
=>
P E P E = ' ' 414
APTITU D MATEMÀTICA
Ejemplo 2
S i:
I
G
N
O
C a lc u l a r : N O
R
A
+ T
A ) 61 7 5 6
N E
T N
E E
S
8
=
R
+ G
B) 56 816
É
5 Ñ
3
1
I
4
9
3
2
0 6
O
C ) 61 5 2 6
D) 70 516
E) 70 716
R e s o lu c ió n
I
G
N
O
R
A
N
T
E
S
8
=
5
3
1
4
9
3
2
0
6
S e r e a l i z a la e q u i v a l e n c i a d e v a l o r e s :
1=8
0=1
1=2
G = 5
R = 4
E = 0
N = 3
A = 9
S =
6
S e r e e m p la z a n d ic h o s v a lo r e s y s e o b t ie n e :
Ñ~
+ T E N E R
+ G E N I O
3 1 + 2 0 3 0 4
+ 5 0 3 8 1
0
= 7 0 7 16 Clave: E
B) En las operaciones aritméticas Se presentan como suma, resta, multiplicación, división, etc., o como una operación combinada.
Método de Solución C ada uno de los problemas se analizan y resuelven en forma particular ya que no existe un método definido.
Ejemplo 3 Calcular P + R + E, si se cumple: PRE|=
A) 11
B) 14
2
+ 4 +
6
+ ... + 42.
C) 12
D) 23
E) 18
Resolución Luego de efectuar la operación: 2 + 4 + 6 + ... + 42 = 2 (1 + 2 + ... + 21) í
21
x
22
'
rsitario
UNMSM
CentroPreunive.
+ 6 + 2= 12 Se tiene:
R
E
'
C|ave. c
800
Ejemplo 4
+
abb
33A D
H allar el valor de
)6
E )7
C)
B)5 A )3
a b b
Resolución , - m a v e r tic a lexpresalasumaenfo
33A_
gQ0
Se
p e las decenas: D e la s u n id a d e s :
B + 3 + 1 = 10 __> B =
B+A =
6 =>
A _
4
10
466 + C o m p r o b a c ió n :
334 _____
74
Clave: D Ejemplo 5 Si: PRE x M PRÉ x S Hallar: PRE x
A) 25 864
= =
3496 2185
SM
B) 36 545
C) 25 346
D)
28 356
E) 65 467
Resolución Escribiendo verticalmente: PRÉ
X
SM PRE x M PR E xS ABCDE
Nota:
Reem plazando:
PRE x SM 3496 2185 25346
PRE = 437: SM = 58 Clave: C
a p t it u d M A T E M A T IC A
2.3.2. Criptoaritmética con otros Símbolos Ejemplo 6 S i s e t ie n e la s ig u ie n t e m u lt ip l ic a c i ó n , h a l la r la s u m a d e la s a s t e r is c o s r e p r e s e n t a n a c if r a s d if e r e n t e s ) .
* * * c5 3 9 A ) 24
B) 36
q u e f a 'la n ( to d o s lo s
x
140
c ) 27
D) 28
E ) 32
Resolución A c a d a f i l a d e la m u l t i p l i c a c i ó n s e le a s i g n a c o n u n a le t r a * * * 5 x — ► (A )
* 39140
*tB) — ► (C )
J_a primera cifra del resultado ( C ) es “0". Pero ¿de dónde sale este “0”? Es el resultado de multiplicar la cifra (*) de (B) por la primera cifra de (A), es decir, (*) (5) que acaba en “0”, lo cual nos indica que: O (5) = Z ó Entonces, necesariamente (*) = 4 para no caer en contradicción con el enunciado. Ahora por simple inspección se calcula todas las cifras:
9
7T
5 x
________ 4 3 9 14 0 luego, la suma pedida es: 9 + 7 + 8 + 4 = 28 Clave: D E jem plo 7 Hallar el residuo de la siguiente división en la cual cada asterisco es una cifra:
aaabbb l
ab (3a) (2b)0*
*** *** * A) 3
B) 6
C) 4
D) 5
E) 8
¡ta rio
n¡verSt Centro preo>
ResolucióH Se observ*
en
UNMsf*
e, cocote ^ e:
, 3 4 ( c o n tr a d ic c ió n ) = 0 . 1 '? ’ i Si a = 1 Si a = 2
Si a
A
c o n t r a d ic c ió n )
y ^ = o. 1 . 2 , 3 . 4 ¿ C° y h = 4 se c u m p
x3 y
*333444 L-^4—
Comprobación- ^
qqq7
274
272 244 238
Residuo
3,2.5- Problemas Resueltos Problema 1
=12 76
Si ábe - cba = 1¿9 Y a + c Calcular: (2a + 3c) B) 28
a; 30
C) 32
R esolución a -1
Sea:
ob-1í
a b c c b a
En las unidades:
1d g
Si c > a (contradicción) c
Entonces:
En las centenas: (a - 1)-c = 1
a- c=2
... (ct)
Por dato:
a + c = 12 ...(P)
Luego de (a) y (P) se tiene: a = 7; c = 5 2a + 3c = 2 (7) + 3 (5) = 14 + 15 = 29
D) 29
a p t it u d m a te m á tic a
p r o b le m a 2
Si A E = A
B, ha lla r el resultado de la siguiente suma:
PAPA+
A) 4 8 48
B ) 6464
M AMA
=
BEBE
C ) 8484
D) 8282
E) 75?5
R e s o lu c ió n PAPA S e e s c r ib e la s u m a e n f o r m a v e r tic a l:
4
_M AM A_ BE BE
E n la s u n i d a d e s :
A
+ A = E
=>
2 A = E (p a r)
44
p o s ib ilid a d e s p a r a E ^
o
P a r a E = 4 ( e n lo s d e m á s v a l o r e s d e E h a y c o n t r a d ic c i ó n ) , r e e m p la z a m o s e n e l d a t o a d ic io n a l: A
4=
L a s p o s ib ilid a d e s p a r a A
A x B
=> A
3=
B
^2
S i A = 1 c o n t r a d ic c ió n p u e s B * 1
E n to n c e s .
A = 2
=>
B =
8
A h o r a la s u m a t o t a l p e d i d a s e r á : B E B E
= 8484
Clave: C Problem a 3
Si vPERU = U, entonces PRE + U es:
A) 326
B) 324
C) 323
D) 320
E) 321
Resolución Si %/pERU = U => PERU = uu- Las posibilidades para U: Si U = 1 => 11* PERU
Fr0blema 4
morlón hallar la suma de las cifras del producto.
* 3
*0 4 * * * 1* 5 B) 6
A)9
C)
4
E)
0 )8
7
Resolución
A cada fila de la multiplicación se le asigna una letra:
* * *
x —► (A)
*3
- > (B)
. 0*
-> (C)
* 4 * *1*5
—►(D) (E)
Se observa que la primera cifra del resultado (E) es 5, que ha “bajado” directamente de: primer producto (C), esto indica que la primera cifra de (C) vale 5. ¿De dónde sale este 5?, es el resultado de multiplicar la cifra 3 de (B) por la primera cifra de (A), es decir: 3 x (*) =... 5 y se deduce que: * = 5 Ahora se tiene el primer producto:
’ *3
^ 0r
X
x Efectuando 3de ,8) por (A) ge obtiene:
7 05
a p t it u d m a t e m á t ic a
Luego:
2 35 4 3 7 0 5 4 *
E l s e g u n d o p r o d u c t o s e o b t ie n e p o r s im p l e i n s p e c c ió n , e s d e c i r :
235 4 3 7 0 5 94 0 101 0 5
La suma de las cifras del producto es: 11+0 + 1 + 0 + 5 = 7 Clave: E
<
IN E C U A C IO N E S LIN EA LES CON UNA INCÓGNITA
D efin ición
Una inecuación es un planteamiento que señala que dos expresiones mantienen una relación de orden. Las dos expresiones que conforman una inecuación se denominan lados o miembros y se separan por una relación de orden “<, <, > ó >". Una inecuación lineal con una incógnita “x” es una desigualdad que puede escribirse en la siguiente forma: ax + b < 0, ax + b < 0, ax + b > 0 ó ax + b > 0 en donde a y b son constantes y a * 0. Estrategia. Para resolver una inecuación lineal con una incógnita se lleva a cabo operaciones hasta que se llega a una inecuación equivalente en la cual la incógnita se encuentra sola en un miembro. Ejemplo 1 Un ómnibus parte de Piura a Lima con cierto número de pasajeros, se detiene en Trujillo. Si bajaran la cuarta parte, continuarían viajando menos de 19 Person* s' “ saieros bajaran la sexta parte, continuarían viajando más de 17 personas. 6 partieron de Piura? A) 20
B) 24
C) 21
D) 25
E) 23
Centro Preuniversitario U N M SM
Resolución Número de pasajeros que partieron de Piura: x 3 - x < 19 5
e Z'
=> x < 25. 3 ... (1)
> 17
=> x > 20,4 ... (2)
de (1) y (2) se tiene que: o
20,4 < x < 25,3; x = 4
o
y
x=6
luego, el único x que verifica el problema es x = 24 C|
;e
3.3.2. Problemas Resueltos Problema 1 De una bolsa de caramelos, vendo 80 y me quedan por ven de r m ás de la tere la bolsa. Si hubiera vendido 14 caramelos más, me quedarían m e n o s de 3 0 ° ^ Paríede ¿cuántos caramelos tenía la bolsa inicialmente? Cararr>elos
I A) 126
B) 123
C) 117
D) 132
E) 111
Resolución Número de caramelos en la bolsa: n e Z*
n
80 > — n
=>
n - 8 0 - 1 4 <30
n>80
=> n <124
=> n > 120
... (2)
de (1) y (2) se tiene que: o
120 < n < 124 ; n = 3 n = 123
Problema 2
Clave: B
En un aula, el doble del número de alumnos es tal que disminuido en 10, no excede a 89 y que el triple los mismos aumentado en 13 no es menor que 158. ¿ Cuál es el número de alumnos deldeaula?
Resolución
APT,tud ^
e m m ,ca
N u m e ro d e a lu m n o s : n e Z* 2 n -1 0 < 8 9
=>
2n< 99
3n +
=>
3n > 145
de (
13> 158
1)
y (
2)
1
n < 4 9 ,5
... ( )
n > 4 8 ,3
... ( )
2
s e t ie n e q u e : 4 8 ,3 < n < 4 9 ,5 n = 49 C la v e : E
Problema
3
M e r o b a r o n S I. 2 , e l t r ip le d e l d in e r o q u e m e q u e d a e s m a y o r q u e S /
3 6 v e l d o b le
d i n e r o q u e t e m a e s m e n o r q u e S I . 3 2 . ¿ C u á n t o d i n e r o m e q u e d a e n n u e v o s s o le s ?
A)
S I. 1 5
B )S /. 14
C )S /. 13
D ) S /. 1 7
E )S /.1 8
R esolución E l d in e r o q u e te n g o : n e Z +
E l d in e r o q u e m e q u e d a : n - 2
3
(n - 2 ) > 3 6
2n < 32
=>
n - 2 > 1 2
=>
n < 16
=>
n
> 14
...(1 )
...(
2)
de (1) y (2) se tiene que: 14 < n < 16 luego, n = 15 Por lo tanto, me queda SI. 13. Clave: C
Problema 4 Un carpintero hizo cierto número de sillas, de las cuales vende 65 y le queda por vender más de la mitad. Después hace 9 sillas y vende 20, quedándole menos de 56 sillas por vender. ¿Cuántas sillas hizo el carpintero? A) 132
B) 140
C) 142
D) 143
C e n tro P re u n iv e rs ita rio
UNMSM
R esolución N u m e r o d e s il/a s in ic ia le s , n e r
s > n > 1 3 0 ... ( V
n/2 >ov- •
n - 65 + 9 20 < 56 => n < de (1)y(2 ) se
tiene que: 130
(2)
132; n = 131
sillas fabricadas: 131
+ 9=140
luego, nuevo número de
, 4. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
3 .4 . 1. Definición congruentes si tienen s u s la d o s y á n g u l o s r e s p e c t a
Dos triángulos son congruentes.
Dados dos triángulos ABC y A 'B 'C .
82
3 El triángulo ABC es congruente al triángulo A ' B 'C ’. Notación: A ABC = A A B 'C '.
3.4.2. Casos de Congruencia de Dos Triángulos 1er. CASO ALA (ángulo - lado - ángulo): Dos triángulos son congruentes si tie congruentes un lado y los ángulos adyacentes a él.
A
ABC s / \ A ' B ' C '
ente
. C A S O LAL (lado - ángulo - |ad
n
,TUD T
c o n g r u e n t e s d o s la d o s y e l á n g u lo
A
ABC
emática
C° n 9 ' U e m e s -
=
A’ B' C ’
r. CASO LLL (lado - lado - lado):
D o s t r i á n g u l o s s o n c o n g r u e n t e s s i t ie n e n s u s t r e s la d o s c o n g r u e n t e s r e s p e c t iv a m e n t e .
C
A
A ABC
=
A
A’ B’ C'
83
°. CASO LLA (lado — lado — ángulo): Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y un ángulo congruente opuesto al lado mayor.
Ejemplo 1 En la figura: BC = 6 cm y ED = 10 cm. Hallar AB.
A) 12 cm
B) 14 cm
C) 16 cm
D) 8 cm
E) 10 cm
Resciuci°n . S e prolonga D E h asta A
^
k A A 'E =
^
C D E ( C a s 0 A lA
luego: A A '= 1 0 cm y C D = í,
% => A-E = 4 c m
A A 'E s ^
. AB = 14 cm
CN Ejemplo 2
Enlafigura: BE = 20 cm. Hallar EC A)10¿2cm
B)10cm
C)20j2cm
D) 20 cm
E) 30 cm
Resolución
•Trazamos CH i
BE
Como m £ EBC = m < EAB = 0 => A BHC = A ABE (Caso ALA) => HC = 20 cm •Además: m í ACH = m < EAC = P (ángulos alternos internos) y como 9 + ¡5 = 45° (fc>.| ABC isósceles) EC = 20^2 cm
Clave: C
a p t it u d m a t e m a t ic a
.3. Problemas Resueltos Problema 1
33 "
E n la f ig u r a : lo s t r i á n g u l o s A B C y E F C s o n c o n g r u e n t e s , p - a =
H a lla r “ x"
A ) 71° B) 61° C) 70° D) 60° E) 57°
Resolución E
• m <
BAC = m
(fc ^ A B C • En
< FCE = a + ß
= fe s , E F C )
A B C : a + a + ß = 90°
=> 2 a + ß = 9 0 °
• Del dato:
=
ß - a
• De donde:
3a
33°
=>
= 57° =>
ß
=
a
= 19°
a
+
33°
• Luego: x + 19° = 90° x = 71° Clave: A
Problema 2 En un triángulo ABC, las alturas BH y AQ se interceptan en el punto E. Si AE = BC. Hallar m < BA C.
A) 30°
B) 45°
C) 60°
D) 37°
E) 53°
Resolución B
■m < AEH = m í BEQ = 0
(ángulos opuestos por el vértice) => m < EBQ = m < EAC
• Luego: fc,AHE = ^ B H C (caso ALA) =>AH = BH
m
< B A C M 5 °(^ A B H isósceles) Clave: B
.blerv*3
pro
A)l2cm
í c e l e s r e c to e n B . h a l l a r la d i s t a n c i a e n t r e A g C ,s ó s c e u n a re c ta q u e p a s a p o r B y c ' la desoe y ^ n . , O A n m r p e n o M u , __
0) 10 cm
D ) 16 cm
C ) 14 c m
E) 18
• m < ABQ = m < PCB = R , . m < BAQ = m < PBC = a =>
a
(ci+Bv>
AQB = A BPC (CasoALA^ ^
AQ = BP = 10 cm BQ = PC = 24 cm • Como: PQ = BQ - BP •. PQ = 14 cm
Clava. Problema 4
. .R_ BC AD = 4 cm, CN =
10
cm y BE = 16 cm. Hallar DN
En el gráfico, si. AB - do,
A) 9 cm ß) 18 cm C) 16 cm D) 12 cm E) 10 cm Resolución
• Por B se tra z a RS//DN: • m < RBA = m < BCS = a, y •m < SBC = m
<
RAB
=
<|>( a
+ ♦ = 90:i
=> ÉS, ABR = k\B S C (Caso ALA) => RB = DE = 6 cm y
BS
= EN = 12m
»Luego:
DN = RS = RB + BS = 6 cm + 12 cm ••• DN= 18 cm Clave: B
a p t i t u d m a t e m á t ic a
P R O B LE M A S PR O PUESTOS P r o b le m a 1. Pedro, Pablo, César Raúl v inr
que cuatro de ellos viven en el segundo pisóV e^ o t r ^ n ^ ? ^ 0'0 de d° S piSOS v se sabe personas que viven en el segundo piso siemnr» J í i« * pnmer p'so Se sabe c'ue 'as dicen siem p re la verdad, Pedro dúo “César J L » T ^ y as que v,ven en e' P rim e r piso en el segundo piso", ¿quiénes viven e n e l pr mer v P‘S° " Y Ra° ' ^ “César primer y segundo piso respectivamente? A ) P edro y C ésar
B) César y Pedro
D) C ésar y Julio
E) Raúl y César
C) César y Raúi
P r o b l e m a 2. P epita realiza una encuesta entre sus cinco am igos David, A\ex, Carlos,
Luis y Ornar, o b te n ie n d o las siguientes respuestas:
---------------- N o m b r e s P r e g u n ta s — —
D a v id
A le x
C arlo s
j \
L u is
Ornar
'
¿ T ie n e s e n a m o r a d a ?
Sí
Si
No
¿ E s t á s e n la u n i v e r s id a d ?
No
No
Si
¿ T e g u s t a la c e r v e z a ?
Sí
No
No
l
No
Si
¿ T e g u s to ?
No
Sí
Sí
|
No
Si
Si Si
\
\
No \ «
S i u n o d e e l lo s s ie m p r e m ie n t e , o t r o d ic e la v e r d a d s ó lo u n a v e z , o t r o d ic e s ie m p r e la v e r d a d y lo s o t r o s d o s m ie n t e n s ó lo d o s v e c e s , ¿ q u ié n m ie n t e s ie m p r e ?
A) David
B) Alex
C) Carlos
D) Luis
E) Ornar
Problema 3. Sonia, Raquel, Iris, Pamela y Maribel han competido en la ’’Gran Maratón de Los Andes”. Al preguntarles quién fue la ganadora ellas respondieron: • Sonia:
“Ganó Raquel”.
• Raquel:
“Ganó Iris".
• Iris:
“Ganó Maribel".
• Pamela:
“Yo no gané".
• Maribel:
“Iris mintió cuando dijo que yo gané".
Si una de ellas es la ganadora y solamente es cierta una de las afirmaciones, ¿quien ganó la competencia?
A) Sonia
B) Raquel
C )lís
■ » »
E )U M
Centro Preuniversitario UNMSM
Problema 4. Se sabe que Rosa miente los lunes, martes y miércoles, y q¡c otros dias de la semana; Diana miente los jueves, viernes y sábados, y ¡ 0 ^ VQr dice la verdad. Cierto día ellas conversaban y dijeron lo siguiente: s • Rosa: “Ayer fue uno de los días que me tocaba mentir". • Diana: “Ayer fue también uno de los días en los que me tocaba rriQ ¿Qué día de la semana fue la conversación? A) sábado
B)jueves
C) viernes
D) domingo
p.
} lur¡es
Problema 5. Supongamos que las personas que tienen ojos negros tienen ojos azules dicen la verdad. De Selma, Karín, Maña y Ana se sah eníen V y tienen ojos negros y la otra ojos azules. Si Karín dijo: "Selma tiene o ° ^ Ue trQs % dijo: “Selma tiene ojos negros ”, ¿qué afirmación es verdadera ? J° S a¿uie<¡ e//a6
y
A)Ana y María tienen ojos negros. C) Selma y María tienen ojos negros. E) María tiene ojos azules.
)
B) Karín dice la 0 ) Ana tiene* V6rdaci °JOs aZuies
Problema 6. Si a74b + c 7 a + 5 b a 2 = b b a 6 8 , calcular el valor de v A>1
A>75
B>5
C )6
RISA ~
calcu'ar: R I - S A .
B) -75
57
D) 8
£)7
D) -57
E)-48
Problema 8. Si APT + MAT = STOP (0 = cero) y STOP tien e m á x im o valor. calcular el valor de: P + A + T + A + S. A) 16
B) 18
C) 19
D) 20
E) 17
----------------------------—
B)21 E) 24
—
p r o b le m a 1 0 . S i e l c u a d ra d o d e
A ) 24
B) 21
mn4
t e r m in a e n
¡ 5 5 . c a .c u .a r e , v a .o r d e m * „ * a .
C) 18
P r o b l e m a 1 1 . U n c o m e r c ia n t e d e q o lo s in a s
B) 128
a p t i t u d m a t e m à t ic a
a n m n a c ..e
i *
C ) 158
p r o b l e m a 1 2 . L a t e r c e r a p a r t e d e u n n ú m e r o m á s 2 3 e s m e n o r q u e e l p r o p io n ú m e r o . S i e l d o b le d e d i c h o n ú m e r o e s m e n o r q u e 9 5 , ¿ c u á l e s e l m í n im o v a l o r e n t e r o p a r q u e p u e d e to m a r e s te n ú m e ro ?
Problema
1 3 . L a s u m a d e t r e s m e n o r e s n ú m e r o s n a t u r a le s c o n s e c u t i v o s d e 3 c if r a s e s
u n c u a d r a d o p e r f e c t o . C a l c u l a r la s u m a d e la s c if r a s d e l m a y o r d e e s t o s n ú m e r o s .
P r o b l m a 14. Ruth compra una cantidad de lapiceros, vende 60 de ellos y le queda más de las dos terceras partes. Después compra 12 lapiceros más y vende 44 quedándole menos de 90. ¿Cuántos lapiceros compró Ruth en total?
B) 195
A) 188
C) 193
D) 190
E )7
Problem a 15. ¿Cuántos números enteros mayores que 2 cumplen con la condición de que la cuarta parte del número más 5 es menor que la quinta parte del número más 9?
B) 77
A) 76
Problema 16. tal
que AB
E) 74
D) 72
C) 60
En un triángulo ABC, la m < A B C = 105°, sobre AC se toma el punto M.
= MC.
Las mediatrices de
BC
y
ÁM
se cortan en
Q.
Hallar m
*
< BCA = m < ACQ. A) 30‘
B) 40c
C) 45c
D) 35c
E) 50°
BACl si
m
Centro
preunitario U N M S M *QS.
p r o b le m a
17. Del gràf,cC
A ) 20°
R
B) 18° C )2 2 °
D) 24°
£)3°° problemi
18 1
Del
W "ar
q S = s r , PQ = 2 4 cm y
cm, hallar P r
problema 19. En la figura: A) 16 cm B) 32 cm
90
C) 30 cm D) 24 cm E) 18 cm
En un triàngolo rettàngolo ABCrecto en B se traza la altura
5h|m,
BHC se » . la < X » Menar HM de .a, manera que MC |. Aa * m
37°
53°
*T
B>T
C) 53°
D) 37°
E) 3C
CLAVES i. £
5. E
9. D
13. B
17. B
2. C
6. C
10. B
14. C
18. B
7. D
11. E
15. B
19. B
12. C
16. C
20. A
3. D 4. B
8.B
C A P I T U L O IV O r d e n a m ie n t o d e I n f o r m a c ió n . C u a tr o O p e r a c io n e s A r it m é tic a s . S is t e m a d e I n e c u a c io n e s L in e a le s e n D o s V a r ia b le s , p r o p i e d a d e s F u n d a m e n t a le s d e !a B i s e c t r i z y d e la M e d ia t r iz .
4. 1 .
O R D E N A M IE N T O
DE
IN F O R M A C IÓ N
Los problemas que se presentan en esta sección tienen como característica que en ellos siempre se presentan datos desordenados los cuales contienen toda la información, la cual debemos relacionarlos entre si, ordenarlos de acuerdo a los datos o encontrar correspondencia entre ellos. Se recomienda que conforme se vayan leyendo los datos, se vaya haciendo una representación gráfica buscando esquematizar los datos de manera ordenada.
4 .1 .1 . Tipos de Situaciones En el siguiente esquema se muestra las posibles situaciones que se pueden presentar.
Ordenamiento Lineal a) Creciente o Decreciente. Cuando se quiere ordenar los datos en forma creciente o
decreciente.
Ejemplo 1 Si se sabe que: - Teresa es mayor que Susana^
^ ^ Qf. que Teresa.
- Silvia es menor que ^ \¡a ^ ‘en - Susana es menor que Silvia. ¿Quién es la mayor?
B) Juana A) Susana
C) Silvia
O) Julia
E) Teresa
& )Juand
Resolución
De los datos se tiene: Susana
Teresa
Teresa
> Julia
Silvia
>
silvia
> Susana
” luego: Teresa > Julia > Silvia > Susana
>
La mayor es Teresa
Clave: E
b ) H orizontales. Los datos se ubican horizontalmente de m a n e ra lógica.
Ejem plo 2
En una carrera compiten 5 amigos. Antonio llegó antes que Armando, quien llegó en cuarto lugar SiArsenio llegó inmediatamente después que Anselmo, Arsenio llegó después que Antonio y Anselmo llegó antes queAlberto. ¿Quién llegó en segundo lugar?
A) Antonio
B) Armando
C) Alberto
D) Arsenio
E) Anselmo
APT,tud matematica
R e s o lu c ió n
poniendo en casilleros de izquierda a derecha enum erados del 1'°. al 5'“ ., tenemos:
^ ro Antonio
2°. Anselmo
3ro.
4o.
Arsenio
5°
Armando i
Alberto
C lave: E
Ejemplo 3 F | v o lc á n T e m b o r o e s tá u b ic a d o a l e s te d e l K r a k s tn o K r a k a t o a . E l S u m a t r a a s u v e z e s tá u b ic a d o
n
x
* *
¿ C u á l e s e l v o lc á n u b ic a d o m á s a l e s te ? A ) K ra k a to a
B ) S in g a p u r
C ) T e m b o ro
D ) M is t i
E ) S u m a tra
Resolución D e lo s d a t o s : K r a k a t o a ------- T e m b o r o S i n g a p u r ------- K r a k a t o a S u m a tra O rd e n a n d o :
------- S in g a p u r
S u m a t r a - S in g a p u r - K r a k a to a - T e m b o ro
E l v o lc á n u b ic a d o m á s a l e s te e s e l T e m b o ro .
Clave: C
c) Verticales. Los datos del problema se ubican de forma vertical en un cuadro o una lista de modo que entre ellos exista una relación indicada en el enunciado.
Ejemplo 4 José, Alberto, Luis, Carlos y Fernando viven en un edificio de seis pisos, cada uno en un piso diferente. Si se sabe que: - El tercer piso está desocupado, - Alberto vive en el piso adyacente al piso desocupado y Fernando vive en el piso adya cente al de José y Carlos. ¿Quién vive en el primer piso?
A) Femando
B) José
C) Alberto
D) Luis
E) Carlos
Ordenando: [T I 6 F
(T I 5 |~C~] 4 f
ó
j 3
1 A |2
J t A L
E
1
El que vive en el primer piso siempre es Luis.
Clave::D
II. Ordenamiento C ircular
Cuando los datos los ubicamos en forma circular, por ejemplo, alrededor de una mesa circular, etc.
Ejemplo 5
Cuatro hermanos: Aráis, Xuarami, André y Mili, para hacer sus tareas se sientan alrede dor de una mesa con 4 sillas igualmente separadas entre sí. Sabemos que: -Xuarami se sienta junto y a la derecha de André. -Los hermanos cuyos nombres tiene la misma cantidad de letras no se sientan juntos. ¿Quién se sienta frente a Mili?
B) Aráis
C) Xuarami
D) Zamir
E) Mili
aptitud MATEMATICA
R e s o lu c ió n
X u a ra m i M ili
F r e n t e a M il i s e s i e n t a X u a r a m i .
Clave-. C
Ejemplo 6 O c h o e s t u d i a n t e s d e d i v e r s a s a u l a s d e u n a a c a d e m i a v a n a l c o m e d o r s e s ie n t a n e n u n a m e s a c i r c u l a r c o n s e r v a n d o la m i s m a d i s t a n c i a e n t r e s í: - E l d e l 1 0 1 e s t á f r e n t e a l d e l 2 0 1 y e s e l ú n ic o e n m e d io d e l 1 0 2 y d e l 2 0 2 - E l d e l 2 0 4 e s t á a la i z q u i e r d a d e l e s t u d i a n t e d e l 2 0 1 y f r e n t e a l d e l 1 0 2 . . F r e n t e a l d e l 2 0 2 e s t á e l d e l 1 0 3 , é s t e a s u v e z e s t á a l a iz q u i e r d a d e l e s t u d i a n t e d e l 2 0 3 . ¿ C u á l d e e llo s e s t á e n t r e lo s e s t u d ia n t e s d e l 3 0 1 y 2 0 1 ?
A ) 201
B) 204
C ) 102
D)
203
E ) 101
95
R esolución
Por lo tanto, entre los estudiantes del 301 y 201 está el del 204. Clave: B 4.1.2.
Problemas Resueltos Problema 1 La ciudad X tiene más habitantes que la ciudad W. La ciudadIW fene menos habtentes que la ciudad Y, pero más que la ciudad Z. Si X tiene menos habitantes que Y, ¿que tiene menos habitantes? A) W
B) Y
C) Z
D) R
E) X
Centr°
p rei>n'
/NMSm
\jefsta('°
Resol^°n rrtosdatostene
pe ¡os ^
$ :# > * y>X
de¡rtu'
y,X > # >Z menos habitantes Ci«v.
*1t e a t r o
? p r o b le m a
y o c u p a n u n p a l c o d e c in c o a
¡n 9 r e s a n , | p a |C 0 , B r e n d a y D a l i a s i e m p r e S e 'e \ c a r ia , D a ' - a y ^ e x t r e m o s d e ^ g n e | f e r c e r a s j e n ( o ? s e s,6 ^
a s * : 3 s s ? ~ _*_~^ m ^ Elena , juntas Brendase& q) Brenda
E) ^nge|a
B) Carla A) Dalia Ordenando:
Resolución
0
LU
i
3°
CD
Ta
4"
i-
5°
C\J
Datos:
40
50
ó u
6
r
’
0
r
n
10
u
«
f
B ;
30
e
D
I
a
1
3° i e ¡ j j o 3 3 Dalia siempre ocupa el tercer asiento
Clave: A
Problema 3
En un edificio de seis pisos en el cual viven seis personas A, B, C, D, E y F, cada unaen un piso diferente. Se sabe que: - E vive adyacente a CyB. - Para ir de la casa de E a la de F hay que bajar 3 pisos. -A vive en el segundo piso. ¿Quién vive en el último piso? A)F
B)D
C)E
D)C
E )B
A P T IT U D M ATEM ATICA
R e s o lu c i ó n
o también
| E n e l ú l t i m o p is o v iv e D
C\ave-. B p r o b le m a 4 S e is p r i m o s j u e g a n
d o m i n ó a l r e d e d o r d e u n a m e s a d e f o r m a c ir c u la r . D a v id n o e s t á
s e n t a d o a l la d o d e C o q u i t o n i d e S ilv ia . P i e r o n o e s t á a l la d o d e L i z n i d e S ilv ia . C o q u it o n o e s t á a l l a d o d e P i e r o n i d e L iz . R e g i n a e s t á j u n t o y a la i z q u i e r d a d e C o q u it o . ¿ Q u ié n e s t á s e n ta d o
j u n t o y a la d e r e c h a d e L iz ?
A ) S i lv i a
B ) D a v id
C ) C o q u it o
D)
R e g in a
E ) P ie r o
Resolución P r im e r o u b ic a m o s a R e g in a y a C o q u it o .
L u e g o , d e l e n u n c ia d o
lo s
que
no
a l l a d o d e C o q u i t o s o n D a v id , P i e r o
e s tá n
y
s e n ta d o s
L iz , e n t o n c e s :
Los que no están sentados al lado de Silvia son Piero y David, luego:
Piero no está al lado de Liz.
(Junto y a la derecha de Liz està David.
Clave: B
Centro Preuniversitano UNMSM
4
21 Conceptos de las Cuairo Op®fae‘ones
o M » . r dos .
S « m .o » » » r
A+0
o -010^ p^ o' ^r m e jeDmTp lo
-s — >
+ c +
m - S ....+ N
Sum a
c » n „ d a C , en
^
to ta l
c a n tid a d e s
Resta o Sustracción
consis(e en extraer una cantidad (sustraent|0)
Es ia operación invefM ■ » * “ e, resu|tado es la sustracción o diferencia, a otra mayor (minuendo) oonae
M - sc I ^ Minuendo Sustraendo
D 7 ^ Diferencia
(M > S)
Es^'aoperación Jue nlsTndica cuantas veces contiene una cantidad (multiplicando) a otra (producto). A
x
B
=
| | Multiplicando Multiplicador
P
l > Producto
División Es una operación que consiste en dividir una cantidad (dividendo) en partes iguales (divisor) y a la cantidad de partes que se obtiene se le denomina divisor. Hay dos í/'pos de división: Exacta o Inexacta. A) División Exacta: Cuando el cociente es un número entero, es decir, el residuo es cero.
[ D =d q I
D = dividendo
q = cociente
d = divisor B) División
Inexacta: Cuando el residuo es distinto de cero.
d' ^ 0
^ = dividendo
q = cociente
d = divisor
r = resto
aptitud matemática H a y d o s t ip o s d e d i v is ió n I n e x a c t a :
1 por defecto: D = d q + rd a r
0<
rd < d
= r e s id u o p o r d e f e c t o
2. Por exceso: D - d (q + 1) - ro a 0 < r < d r = r e s id u o p o r e x c e s o
Ejem plo 1 D i v id i r
A)
7
500
e n tre
17 y
y -10
h a l la r
el
r e s id u o
B) 9 y -10
p o r d e fe c to
C) 7 y 4
y por D)
6
exceso.
y -9
E)
6
y -5
Resolución P o r d e fe c to :
5 0 0 1 17 160 29 1_53 7
|500 = 17 (29) + 7 => rd= 7
P or exceso:
500 \_Y7_ 510 30
-10
500 = 17 (3 0 )-1 0 => r = -1 0
e
Clave: A
4 .2.2. Propiedades Básicas 1) 2) 3) 4)
La suma del residuo por defecto y el residuo por exceso es igual al divisor: rd+ re= d El residuo máximo es una unidad menos que el divisor: rmáx = d -1 El residuo mínimo es la unidad: rmln = 1 En una división exacta, si al dividendo y divisor se le multiplica o se le divide por un
número, el cociente no se altera. 5) En una división inexacta, si al dividendo y divisor se le multiplica o se le divide por un número, el cociente no se altera, pero el resto queda multiplicado o dividido por el mismo número.
Otras Propiedades 1) Si se conoce la suma (S) y diferencia (D) de dos números, entonces;
# m ayor =
S + P
¡# menor =
Ejemplo 2 La suma de dos cantidades es 59 y su diferencia 15. Halle la suma de las c¡f números as A) 10 y 6
B) 9 y 4
C )1 0 y4
D) 6 y 9
ri-
Ejem plo 4
g
Si la diferencia de dos nr esos números? nur^eros es 21?
y5 Resolución Sean My Nías dos cantidades (M > N) „ S+D 5 9 + 11 5* 7A 74 07 M = ------- = ------ — = — = 37
2
N=
S - D _ 59 - 15
2
B) 229 y 12
A)22Qy ™ o
^
c
® V 11
Resolución
x
Suma de cifras = 3 + 7 _
D = diferencia # menor =
menor =
Ejemplo 3
q +1
^
18~1
^ 204
rr~ =r 12
#mayor=D+#menor ^ # ™y°r =217 + 12 = 229
°Sn0mer°s,Sef. 0etl&>
4} Si se conoce el producto (P) y ei co . w y ej cociente fn\ ^
ic
aSUma
C )7
C la v e : B
6 05 "úmeros entonce*.
# m ayor = ^ A )5
c.
^
menor =
E je m p lo 5
D) 11
/? V q
£) 12
Resolución
£' Producto de dos números es 1435
Sean ‘A
A „„
y ’B" los números pedidos:
A + B = 34i
,
0)S4
C ,M
E )6 3
p = 135
:W e n (lf
435 Vsu cociente 3/5. Han,
B)2<
Resolución
/7I
^ -^ o e e e n ,^
PTOW » 8 - ,
i =l 6B +(B-1) en(V
=>
17 B 1B ' 1
17B- U B
= 341 # mayor =
=> 8- Í ^ . 18 ~ 19
°
A=3«-IS-322
/f _
/^ 3 5 ~
,_____ _
Vq VÍ7?=V45Í5=15
0tra manera: Sean A y
r
,Qs numero buscadas AB, , 35
3) Sise Clave: C
Ree^Plazando
t^ayor ÍT ?
,
'Pwenor=:
omeros, se sabe que:
1 y 12
m e n o r= £ _ r q -1
r = ----- • 2) Sise conoce la suma (S) y el cociente (q) de una división exacta dP ri
Pin
Nota: Si la división es inexacta-
2— = ~2 = 22 ‘' Suma de Clfras =2 + 2 = 4
s
■¿cuá'esson
^
y10
44
S s 7qq # mayor = ----ia y o r= — q+1
Su c°ciente « es 18 y su r®siduo 1? ^ CS18)
? A = 5 8 8 = 135
Luego:
5
A
3
' 8 ~5
« o =>A =—b
d2 8
= 45^
=> B = 15
.^ u n ^ e ro ^ .)
Centro <•-
4.2.3. ComplementoAritmético de un N u n . El complemento aritmético es lo que le falta a un núm ero p a ra /; o rd e n inmediato superior.
er/a 3ar a
Ejemplo
°0/a Conelnúmero 525, se tiene que e l C.A. de 525 es lo qu e fa lta
Paracon\/er
£ngenera!
C.A. (525) = 1000 - 525 = 475
N Número Ped'd°' de nurnerac¡ón.
C A(N ,) = 10* - N
N°fa
„
%l
n número cualquiera, se resta dicho número de |a
59
í-nmDlemento aritmética se obtiene como resultado.
Deizquierda a derecha l a £ a cifra s ^ n S a s e ^ ^ t í de numeraciónen el quese^^ef aop^ os terminales se agregan en el C .A . del sistema de numeración, si hay Ejemplo
Por descomposición polinómica: 900 - (1x + 2x + ... + 9x) = 378 900 - (10 + x + 20 + x + ... + 90 + x) = 378 900 - (10 + 20 + ... + 90) - 9x = 378 900 - 450 - 378 = 9 x 72 = 9 x /. x = 8
.7 . Problem as R esueltos Los problemas a continuación son referentes a las cuatro operaciones, es decir, no se necesita demasiado conocimiento para poder resolverlos, pero sí es necesario analizar el problema para que su resolución sea clara.
Problema 1 Hallar la suma de las 4 últimas cifras del resultado de sumar: A) 15 B) 16 C) 20 D) 22 E) 18
35353 282 ________ __ 3 ... abcd
Resolución Se tiene que: # sumandos = n # cifras de cada sumando = 2n -1 => 2 n -1 = 25 2n = 26=>n = 13 En la cifra de las unidades: => d = 3 y llevamos 3
En la s decenas 3 + 6 (5 + 8 ) = 81 => c = 1 y levam os 8 f J f l + 3'»»)“* 38 38 3
en las
cantan^ ^ b= 8yllevamoS5{s) = 73
— •3+ol*'/
b i lla r 3 + 6 v En |as u n id a d e s d e ^ y ||ev/arT1o s 7
^
c jf r a s _
3
+
8
+ ^
15
Cíave: Problema
■
La sum a d e l
dw denW t s
^ una división es 41 veces el residuo por dPfQ
2°5veces dicho residuo.
dlferenC'a
Halle el cociente por e * Clg
D) 7
A) 4
. Vla
E)8
C) 6
Resolución
Reem plazando:
Sea D = dq + r, r < d D + d = 41 r D -d = 25 r 2D = 66 r D = 33 r y d = 8r
33 r =
(8
32 r =
8
r) q + r rq
32 = 44 q=— M 8
>el cociente por exceso = q + 1= 4 + 1 = 5
Clave: B
Problema 3 La suma de los cuatro términos de una división entera es 4 2 5 . Si se multiplica por 5 al dividendo y al divisor; y se efectúa nuevamente la división se o b s erv a q ue la suma de los cuatro términos ahora es 2073. Halle el cociente inicial. A) 11
CJ13
B) 12
D) 14
E) 15
Resolución
Sea:
D = dq + r, r
D + d + r = 425 - q
cado: r ,Ca*3or^ Ridendo y al divisor, entonces el residuo también queda multipli* 5D + 5d + q + 5r = 2073 5(D + d + r) + q = 2073 5 (425 - q) + q = 2073 2125-2073 = 4q 52 = 4q ,
4
„3 Clave:
a p t it u d m a t e m á t ic a
problem a 4 E l C .A . d e b b c d e s
A
)6
B>
b + b + c + d , h a l le e l v a l o r d e c .
8
R e s o l u c ió n
P o r r e g la p r á c t i c a : C . A . ( b b c d ) = ( 9 -
y p o r c o n d ic ió n d e l p r o b le m a : (
p e ro
9^
b )(y - b
)(9
- C) ( 1 0
b )(9 - b )(9 - c )(1 0 -
b + b + c + d < 3 6 , e n t o n c e s s e t ie n e q u e :
(9 -
d)
d) = b + b +
b )(9 -b )(9 - c
c+
)(10
d ... ( 1 )
- d )< 3 6
por lo tanto: 9 - b = 0 = > b = 9 en (1): (9 - c)(10
d) = 9 + 9 + c + d
luego: por descomposición polinómica: 1 0 ( 9 - c ) + ( 1 0 - d ) = 18 + c + d 1 0 0 - 1 0 c - d = 18 + c + d 82 = 1 1 c + 2 d
8 => bbcd = 9968 .-. c =
6
Clave: A 4.3.
SISTEM A DE IN E C U A C IO N E S LINEALES EN DOS VARIABLES
4.3.1. Conceptos B ásico s Concepto. Un sistema de inecuaciones lineales en dos variables es cualquier par de inecuaciones de las formas:
a1x + b, y < c1 a2x + b2 y < c2
a ,x + b, y ^ c1 a2x + b2 y > c2 donde ay a2, bv b2, cr c2 son números reales dados; x e y son las variables.
U illd w ». Centro) Preuniversiianu Preuniversitario UNMSM Estrategia. Para resolver inecuaciones de dos o más variables se debe las relaciones de orden menor, mayor, menor o igual, o m ayor o igual ( 6ner «o cuales se deben ordenar en forma adecuada para perm itirnos o b tene r i ' 5ó problema. a soiuc¡ ^ ks
a, x + b, y ^ ct a2x + tx, y z c 2
• etc. Ejemplo 1 María camina por lo menos 5 km cada día; ella y Carmen reco rren ano? e 12 km cada día. ¿A lo más, cuántos kilómetros camina C arm en d i & arnfc>as
A) 5
D) 10
C)7
B )8
9 Iq .
E)6
^as
Resolución
(I) M > 5 María c a m in a :
=>
M
(II) M
C a rm e n c a m in a : C
i
m in .
+
Mmín - 5
.C
< 12 => C max á = 7'
4- máx.
5 Clave: 4.3.2. Problemas Resueltos Problema 1
La propina de Rosita con el doble de la propina de Manta suman menos de S/. 26. Si el triple de la propina de Manta con el doble de la propina de Rosita suman más de S/. 39, ¿cuál es la máxima propina que puede tener Marita si se sabe que es un número entero de nuevos soles? A) S/. 11
B) S/. 13
C) S/. 10
D) S/. 14
E) S/. 12
Resolución Propina de Rosita: R Propina de Marita: M
Wendy (en ese orden) e s nno!t¡ Ladiferencia entre el número de gatos de Yoli y los de , eZulema (en ese orden) tantnr 3 diferenc,a entre el número de gatos de Xioni ylos os de Yoli (es ese orden) son npnaf10 3 dlferencia entre el número de gatos de Vilmay AjXioni . ’ n e 9 a ta s¿Q“ é" («nemas gaios? C) Wendy
D) Mima
E) Yoli
R e s o l u c ió n it g a t o s d e X i o n i :
x
# g a t o s d e Y o li:
y
# g a to s d e Z u le m a :
z
# g a to s d e V ilm a :
v
# g a to s d e W e n d y :
D e l p r o b le m a s e tie n e (I)
X > y
¡!J. y-w>o=,y>w ( III)
x - z < o = > x < z
( IV ) V - y < 0 = > v < y
w
=■ v < y < X < z W < y
Problema
3
C la v e : B
le dice a Luis: “Si me das S/. 5 tendremos i S/. 4 , t e n d r á s m e n o s q u e e l t r i p l e d e lo t m is n i a c a n t id a d d e d in e r o m í n i m o , t i e n e Luis s i sólo p o s e e m o n e d a s d e S / 1™ q u e d a r ia " ¿ C u á n t o d in e r o J o rg e
doy
A )S /.
18
B )S /. 19
C ) S I. 2 3
D ) S /. 2 4
com o
E ) S /.1 3
Resolución J o r g e t ie n e : J L u is t ie n e :
L
J + 5 = L - 5 = > J = L - 1 0
3 (J -4 )> L +
4 = > 3 ( L - 14)
> L +
4
=>
3L - 42 >
L+ 4
=> 2 L >
46
=>
L>
23
Lm,™ . = 24 Clave: D Problema 4 La suma del número de caramelos que tiene Pedro y el doble de los que tiene Joaquín es menor que 51. La diferencia entre el triple de los caramelos de Pedro con los de Joaquín es mayor que 67. Si el número de caramelos de Pedro excede en uno al triple de los de Joaquín, ¿cuántos caramelos tiene Joaquín? A) 28
B) 18
C) 14
D) 7
E) 9
Resolución # caramelos de Pedro: P # caramelos de Joaquín: J P + 2J < 51 ... (1) 3P - J > 67 ... (2) P = 3J+1 ...(3) (3) en (1): 3J + 1 + 2J < 51 => 5J < 50 => J < 10 (3) en (2): 9J + 3 - J > 67 => 8J > 64 => J > 8 Luego, 8 < J < 1 0 = > J = 9, pues J e Z* Clave: E
ijversitario UNMSM
centroP "“ " 1'
44
propiedades
FUNDAMENTALES d e l a b i s e c t r i z y d e L a /V7e n
Ar*lz
4 .4 .1. Definiciones
a) Distancia de un punto a una recta Dada una recta
TL *
4 4.2. P rop iedad es F un d a m e n ta le s
y un punto P exterior a ella, la d is ta n c ia d *
_
•*--- ► con el símbolo d ( P,
L
o
^
a)
Pac* /L ¿ c/e^
), es la longitud d e l s e g m e n to P q
% %
cfeScy(
pie de la perpendicular.
El lu g a r g e o m é tric o
' "’‘'''EMAtica
APTITUD MATEMto
d e la bisectriz d
Cualquier punto de la bisectrizdeun
ángjí" ¿ángulo ¡ “' i
aángulo equidista de ios lados del
punto cualquiera
P A
* En *a figura.
+ L
Q
Q
b) Distancia de un punto a dos rectas Un punto P equidista de dos rectas distintas
_
_
contiene a P, si d (P, L-¡ ) = d(P, L2 ).
Li
v
1 Y
l „•
2 1 ln9una de ,as p
Ua,e$
b) El lugar geométrico de la mediatriz de un segmento
Cualquier punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento. P es un punto cualquiera de la mediatriz
L => AP = PB
109
• En la figura:
c) Mediatriz
—
Pe L o AAPB es isósceles j
A
ea a p s w M c ü ,ara(segmen(o
c) Propiedad del triángulo isósceles
U
La altura relativa al lado desigual es mediatriz, bisectriz y mediana.
B
i AB=BC o BM es mediatriz, bisectriz y mediana
l/n m s m
Centropnu n i ^ ° entonces
E„.r,« — ®*“ ' ab
el triángulo es isósceles.
»
A) 3 cm
B) 7cm C) 6 cm 0) 5 cm
E)4cm Resolución
• Trazamos AD => A ADc es isósceles: AD = DC • En el A ADC: m
>
110 => AB = AD = 4 cm => DC = 4 cm Clave: E E/emp/o 2
En la figura adjunta, EF = 5 cm. Calcule AB. A) 10 cm B) 8 cm C) 9 cm D) 11 cm E) 12 cm Resolución
•CE es bisectriz de BCF=>EB = 5cm
4.4.3. Problem as R e sue ltos APt 'Tüd Mate
Problem a 1
^AtICa
En_ un triángulo ABC, el ángulo A mide 25“ AC ) luego se traza la mediatriz de
r ¡5
,
e bnA) 130°
q
’raza la bisectriz
-a , corta a
B )2 5
B Ñ ^ stáen n de ACen p
C) 50°
Resolución
D) 45c
E) 75-
B
* E n el
^ABN:
m
* A B ^ P e s ic -
P ro b le m a 2 En la figura adjunta, M e =
Clave; 8 cm
y d n
3 A)
8 cm
c ) 7 cm
cm.
Calculie BM.
6 cm D) 5 cm
E) 4 cm
Reso/u ción
•Trazamos MP k a AC => BM = MP = NC = x (Prop. Bisectriz) •
A MCD es isósceles (MC = DC) => 3 cm + x = 8 cm ==>x=: 5 cm
Clave: D
Centro P r e u n iv e r s it a r io UNMSM
Problema 3
En un triángulo ABC sobre el lado AC se toma un punto M - la m __ — ’ nec>iatr¡> prolongación de AB en P; y la mediatríz de MC corta a l lado R n Sim #ABC = 56°, calcule la m <$PMQ. (~ ' e H Q A )28°
B) 64°
C) 60°
D) 5QO
Resolución Trazamos p f ij
yp B/:\ •
y
mq
^ AP My A MQ c son 'sós
(propiedad b)
Ce/e«
• A ABC: a + p + gg0 >C
• También a + p + x 56°
Problema 4
Cl,ave.
I
En la figura, V
v T
o
2 *""> « » » *«
y ÒB r” K a ^
,
SlAD¡ MC
A) 36'
C)40°
B) 18'
D) 63°
B)70°
solución
* Traza,mos Rn bD
y
r:— d m
* 4 ABD V A D M c son isósceles ' Enel ÁA B c x + x +
36° + iq ° = 180c
^
x ~ 63°
Clave: 0
PROBLEMAS PROPUESTOS
PTlTUD T
emática
problema 1. Cuatro parejas de esposos están sentarte , distribuidos simétricamente. Alberto se ubica frente a p=.3 r 6 d e d o r d e u n a mesa „ cha de Sonia; José está sentado entre dos damas S o ^ qUÍ8n 8stá¡unt°V a la d ? * Oscar y Nelly se sientan juntos y las otras damas se Uaman c T f" mto a una sienta frente a José? e llaman Carmen y Betty. ¿Q™én se A) Nelly
B)
O scar
C ) Sonia
r» Carm '
a rm e n
E) R aúl
Problema 2. De cinco futbolistas, donde ninguno tiene la vertidos, se sabe que Claudio tiene 2 goles más que Abel FlalTf-D , de 90les con tó, pero uno m enos que Abel; Andrés más goles que Robertn S máS que Rober' ¿Cuántos goles m enos que Claudio tiene Andrés? P6r° menos que Abe'-
A) 1 Problema
B) 2
c)4
D) 3
E) 5
3. Seis amigos se ubican simétricamente alrededor de una m e « r¡r, ,
- Carlos no esta sentado al lado de Emilio ni de Raúl.
circular:
- Pedro ni está sentado al lado de Daniel ni de Raúl. - Emilio no está al lado de Pedro ni de Daniel. - Manuel está junto y a la derecha de Emilio. ¿Quién está sentado junto y a la izquierda de Pedro?
A) Daniel
B)
Manuel
C) Emilio
D) Raúl
E) Carlos
Problema 4 Alberto es mayor que Carmen, Rosa es mayor que Javier y éste a su vez mayor que Carmenas, Rosa y Alberto tienen la misma edad, ¿cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos? a I. Rosa es mayor que Carmen. II. Carmen es mayor que Rosa. III. Javier es mayor que Rosa. IV. Alberto es mayor que Javier. A)lylV
B) I y III
C) II y IV
D) II y III
E) III y IV
Problema 5. Seis amigas llegaron a la casa de Javier una tras otra. Sofía llegó inmedia tamente después que Alejandra. Cuando Edith llegó, encontró a todas excepto a Maruja. Si cuando Alejandra llegó encontró solamente a Isabel, ¿en que lugar llegó Dora? A) primera
B) cuarta
C) segunda
D) tercera
E) quinta
Problema 6. Si el complemento aritmético de mnpq es (p-2)(q-2)(p-1)ml halle el valor de m+n+q-p. B) 9
C) 14
D) 10
taño UNtíS"
Preuniversitario UNMSM c roProblema ,nexac(a, e '^ ^ c o c ^ t e ^ u m e n t a e n Z ^ a 7.En unadivisión inexacta, e lcociente es 9 y e l res idendo de . rt
hierrapor 7- £n ^eh/e realizar div' ,„= cifras rifras la multiplica 3yuna seesvuelve a realizar la división, e l cociente i d %rr,ayor asiduo 29. Hallarlas sumas de las dde| e l ddividendo ivaid m en87■ t^deS en ‘rt v° 5s
posible y e
Q) 5
S) 7 nfras se le resta el cuádruplo de su Cnt>, fres cifras &«= D ,e a; s 8 s¡ a un número d e j * sC cifras de dicho número. "»M* Problema 8. la suma de /as cifras de dicho numero. aritmético £ £ Üresulta ’ *¿oo5-H~ 8)13 0)13 A ) 12
/y « 4 4 0
i0
m C )1 5
0 )1 4
8,13
B) S/. 340
E )1 6
íís á a p v C) S/.400
O) S/. 3 0 0
E ) S/. 43q
Problema 10. Ana fue de compras con cierta cantidad de dinero. Com pró 12 Po, uno al mismo precio, y le sobró S/. 50. Si com prar 2 polos m a s le faltó S /. 8 0 ™ ° : % faltó para comprar 2 docenas de polos? A)S/.470
B) S/. 405
C) S/. 535
nto|e D ) S/. 4 6 0
E ) S/.
375
Problema 11. En el aula A el número de alumnos es ig u a l a l n ú m e ro d e alum na tras que en el aula B, el número de alumnos es el d o b le d e l n ú m e ro d e alum n a ^ número de alumnas de ambas aulas juntas no es m e n o r q u e 2 4 , y el total de a|S ^ (hombres y mujeres) de ambas aulas no es m ayor que 60. ¿ C u á l e s el m áxim o Umn°S de alumnas que pueden haber en el aula B? C )1 3
A) 14
nurT1ero D> 12
E )1°
B) 11
Problema 12. El quintuplo del número de canicas que tiene Gaby, menos el M e del
« X iT únicas ,
S s T “enTSa" ? 'esm ayo r* * 2QueEl11 d°bte ’ 65 menor ■Si Sandra tiene másdel
únicas, ¿cuantas canicas tienen juntas?
A>9
8)6
O?
D) 5
E) 8
Daniel, aun^eniendoTcanir^T110 Y Daniel tienen juntos menos de 20 canicas, pero Daniel tiene el máximo númpm h™5’ se^u,r,a teniendo menos canicas que Benito. Si Dan» “ nume™* « « a s , ¿cuántas „ n ic a s tiene Benito más que
A) 4
B)6
C) 3
D) 5
E)7
a p t it u d m a t e m á t ic a
. m a 1 4 . M a n u e l t i e n e m e n o s d e S / . 2 2 0 e n t r e b ille t e s d e S I : 1 0 v S /
20
•
p r o b 6 , « d e S I 2 0 e s e l m á x im o p o s i b le y e l d o b le d e l n ú m e r o d e b ille te s d e s i n « d lenbúille de & ^ g / 2 0 ¿ c u á n t o s b | lle t e s ( ie n e e n ^ de s i excede a m et er os o
.10
A ) 15
B) 11
C) 13
D) 12
E) 14
1 5 L a s b a l a n z a s m o s t r a d a s n o e s t á n e n e q u ili b r io y lo s o b je t o s d ife r e n te s "1 un¿ f e ¡r e n t e s . S i l o s o b j e t o s p e s a n u n n ú m e r o e n t e r o d e k ilo g r a m o s , d e te r m in e b¡et0 s o m b r e a d o ( ■ ) m á s d o s s in s o m b r e a r ( O ) .
a p r o b le ae tel ie peso nen pe
D )9 k g .
E )8 k g .
p ro b lem a 16. En la figura mostrada, QR=RC, BC=15 m y HC = 1 2 m. Calcule PQ.
A) 4 m
B)
B
6m
115
C) 2 m
D) 3 m E) 5 m
Problema 17. En la figura, AB+AH=8 cm y HD=6 cm. Calcule BH. B A) 2 cm B) 6 cm
C) 10 cm D)4cm E)3cm
Pro»°*alSA) 11*®'
0)12* C)11*15' D) 11"
A
E) 9” 30'
a l 9 En la figura. haMe x.
g
problema 19-c A) 12”
B) 25° C) 20”
A
D) 15” E)10°
A) 10°
B) 9o C) 12° D) 14° E) 11°
CLAVES
1.A
5. B
9. A
13. D
17. D
2. C
6. E
10.A
14. C
18. C
3. B
7. D
11. D
15. A
19. D
4. A
8. D
12. C
16. D
20. B
CAPÍTULO V Parentescos. Números Primos y Divisores de un Número Ecuaciones de Segundo Grado. Desigualdades Geométricas y Base Media de un Triángulo.
sAm p a r e n t e s c o s En muchas casos de nuestra vida real nos tropezamos con la situación de identificar la relación existente entre los personajes de nuestro entorno familiar, ya sea ésta por relación de consanguinidad o por relación de unión legal de los mismos. Justamente en este capítulo aprenderemos a identificar las relaciones más elementales existentes de nuestros parientes o de terceros. Las relaciones de parentesco familiar pueden darse por consanguinidad o por la unión legal de dos personas (matrimonio, adopción u otros). Nuestro objetivo será identificar, en unos casos la relación familiar existente entre los personajes que se describen en los problemas y en otros casos buscaremos el mínimo número de sus integrantes. Para esto utilizaremos los diagramas lógicos de flechas y los razonamientos regresivo, progresivo y/o deductivo.
5.1.1. Relación Familiar Concepto 1. Relación entre padre, madre, hijo, hija, hermano y hermana. Padrastro. Marido de la madre, respecto de los hijos que ella tuvo ames. Madrastra. Mujer del padre respecto de los que este llevó al matrimonio. Hijastro (a). Hijo (a) de uno solo de los cónyuges respecto del otro. Entenado (a). Hermano (a). Nacido del mismo padre y de la misma madre o sólo del mismo
padre o de la misma madre. Hermano carnal. Nacido del mismo padre y de la misma madre. Medio hermano. Nacido sólo del mismo padre o de la misma madre. Hermanastro (a). Hijo (a) de uno solo de los esposos con respecto al hijo o hija del otro.
ce ntro Preuniversitario UNMSM
Ejemplo 1
„secuencia de un matrimonio. Si estamos
Consideramos ,u .
Parent6SCO
de la celebración ¿e' P n™ de la esposa del umc
0 de su madre?
hlja
B) Padre-niJa E) padrastro - entenada
A) Hermano -hermana
H ijo a *,
D) Abuelo - nieta
Resolución 0 Raú| está en el día de su primer matrimonio P Son sinónimos ^ p r e s e n t a r n o s las relaciones fam iliares existentes,' ¿ N el diagrama de necnd
Madre de Raúl
!
Esposa R a ú l - --------- * de Raúl
matrim onio anterior r — -
H o m b re
Hija Luego, la relación familiar existente es Padrastro - entenada. Clave: E
Concepto 2. Relación entre tío, tía, sobrino, sobrina, primo y prima. • Tío. El hermano o primo del padre o de la madre de una persona. • Tío carnal. El hermano del padre o de la madre. • Tía. Hermana o prima del padre o la madre de una persona. • Tía Carnal. La hermana del padre o de la madre. • Sobrino (a). Hijo (a) del hermano (a), o del primo (a). Los primeros se llaman sobrinos carnales y los otros, sobrinos segundos, terceros, etc. • Primo (a). Hijo (a) del tío o tía. • Primo hermano. Hijo del tío o tía carnal. Primo carnal. Ejemplo 2
parenttcotennnPrn re?6 Germán es mi Prir™ hermano. Si Germán es hijo único, ¿Qué co tengo con el padre del tío de Germán? A) Sobrino (a)-tío
D>H »n«,W - hanMna
B)H¡io(a)-padre t ) Primo (a) - primo
C) Nieto (a)
ApTlTUD
R e s o lu c ió n -
Al personaje que habla en el problema nn mujer lo llamaremos: Yo. El padre de G em S 0 pr¡mos. Representando por e, diagrama
08 ideW icar «J G e r ^ '
Matematica ...*W\
^
0 es un¡j
S' Setlenelasrelac¡on^ ? , l? ^ o s Padre del tío de Germán
Padre de^______________T(o de Germán hermanos o primosJl*Germán -\>o
Pnmo hermanos
Germán
Luego, la relación familiar que tengo es sobrino (a) - tío.
1 2 Número
Clave: A de Integrantes de la Familia
Concepto. Determinar el número de integrantes de una familia Pn consiste generalmente en hallar la cantidad mínima de Dersnn« " problemaen dicha acción. Para esto debemos tener presente S * I"*69™ la famllia ésta puede desempeñar en una misma acción S p X m a n Z ^ de persona p u s * ser según se i„0iq„ , padIe, S S S T fS T a cada una de as personas debemos atribuir la mayor cantidad de caracteSas familiares, con el objetivo de minimizar la cantidad de sus integrantes. actens,lcas Ejemplo 1
En un almuerzo familiar están presentes tres padres, tres hijos y dos nietos. ¿Cuántas personas como mínimo están compartiendo el almuerzo? A) 5
B) 4
C) 7
D) 8
E)6
Resolución
Un bisabuelo es a la vez padre, un abuelo es también padre y a la vez hijo, un padre es también hijo y a la vez nieto. Así se tiene el mínimo número de personas que comparten el almuerzo, en el siguiente diagrama: bisabuelo «
3 hijos
i' -►abuelo
4
y' padre
«
Así, el mínimo número de personas es 4. 2 nietos
11
hijo
3 padres
Clave: B
«
CentrePmuniversitanoUNMSM Ejemplo 2 Los esposos Gálvez tienen 5 hijas. Si cada hija tiene un h e rm a n o y C ad sobrinos, ¿cuál es e l mínimo número de personas q u e co n fo rm a n P c f a
A) 11
B) 14
C) 13
err* ia *
15
D ) 12
'
'6<
Resolución
Minimizando el número de integrantes, todas la s h ija s tie n e u n s cuatro hijos. Así se tiene el mínimo número de in te gra ntes
^ e rrhan
y
Esposos
i i
Hijal
Hija2
¡ ' m
Hija3
Hija4
n , Gálvez .. . Padre «------ - j —-------► Madre
Hija5
Hermano
m
r T
Sobrino 1 Sobrino2 Sobrino3 Sobrino4
Así, el mínimo número de personas es 12.
C|ave; ^
5. 1.3 . Problemas Resueltos Problema 1
Si Juan es hijo único de Pedro, ¿qué parentesco tiene Juan con el esposo de la madre del bisnieto de Pedro? (A) Abuelo - nieto C) Padre - hijo o tío - sobrino E) Padre - hijo o suegro - yerno
B) Padre - hijo D) Suegro - yerno
Resolución Sea M la madre del bisnieto de Pedro y H el esposo de M. Se tiene dos posibilidades, como se muestra en los diagramas:
I
J
Pedro
Pedro
JuanK
Juan I p ad re - hijo
J
M.
esposos
^
J'
esposos ^ H
i bisnietos
bisnietos
de Pedro
de Pedro
Lueg°, la relación exi te entre Juan y H es suegro - yerno o padre - hijo.
# ^^ Clave:
aptitud matematica
problema 2 Si la hija de Janeth es la madre de
mi hija, ¿qué parentesco tengo con Janeth?
A) Yerno —suegra D) Suegro - nuera
B) Hijo - madre E) Nieto - abuela
C) Sobrino - Via
R esolu ción
Se tiene el diagrama: Janeth - s,
Hija de Janeth «~ esppsos » yo
Hija
Luego, la relación que tengo con Janeth es yerno - suegra. Clave: A Problema 3
Carmen le muestra a Rosa el retrato de una señora y dice: “No tengo ni hermanos ni hermanas, pero la madre de esta señora es la hija de mi madre" ¿Quién es la señora que aparece en el retrato? A) Madre de Carmen D) Carmen
B) Nieta de Carmen E) Hija de Carmen
C) Sobrina de Carmen
Resolución
Carmen es hija única y la madre de la señora del retrato es Carmen, como se muestra en el diagrama: Madre de Carmen
Madre del retrato = Carmen
Retrato de señora
Luego, el retrato de señora es hija de Carmen. Clave: E
Problema 4 En una reunión se encuentran dos madres, dos hijas y una nieta. ¿Cuántas muje como mínimo se encuentran en dicha reunión? A) 4
B) 6
C) 3
D)7
Centro
p re u m
Abuela + • ..
I
2 m adres
Madre < ■-
i
2 hijas • Así, el m ín im o
Hija
n ú m e r o d e m u je re s e s 3.
CI,9Ve. 5.2.
NÚMEROS PRIMOS Y DIVISORES DE UN NU M ER O
5.2.1. Clasificación de Números a) Números primos. Los números primos o núm eros p rim o s absolutos s números enteros mayores que uno y que tienen com o único d iv is o r p0s¡t¡ °n acjUe,,o$ y ellos mismos. Vo ,a un¡da(J
Ejemplo:2, 3,5, 7, 11, 13, 17,...
b) Números compuestos. Llamados también no primos son aquellos ser divisibles por sí mismo y por la unidad lo son por otro factor ^
además de
Ejemplo: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,... c) Números primos entre si. Son dos o más números que no tienen f a r t n comunes. M uenen factores primos Ejemplo: 8 y 15 6, 7 y 25
15, 9 y 25 d) Números consecutivos ^ w diferencia del anterior en una unidad°
n“ meros enfer°s tales que cada unosi
Ejemplo: 5y 6 ... 15; 16 16 y 1~7 17 101' 102; 103 >3 yy 104 10 "6; -7: '7; - 8« yw -9n tn forma general semnr
' “ re« * ™ » P o r „ ; n n . „ , 2;
aptitud matemática
5.2.2. Teoremas Fundamentales sobre Números Primos 1• Todo número compuesto tiene por lo menos un tacto
2. La serie de los números primos es ¡limitada
Pnm° mayor que 1
3. Si un número primo no divide a otro número necesaria 4. Todo número que divide a un producto de dos tacto es primo con él. ellos, necesariamente divide al otro factor C ° r8S V 6S Pr'm° entre si con un° de 5. Todo número primo que divide a un Drorinrtr, , a uno de ellos. " ^ de Van° S facto" * . divide por |0 menos 6. Todo número primo que divide a una potencia de un número divide a este núm 7 . Si dos núm eros son primos entre sí primos entre sí.
todas s u ^ n t ■ . aestenum er° SUS P° tenC'as tambié" *> " números
8. Todo número primo es impar a excepción del número primo 2 9. Dos y tres son los únicos números consecutivos y primos a la vez 5.2.3. Regla Práctica Para Determ inar si un Número es Primo
1. Se extrae la raíz cuadrada aproximada del número. De ser exacta la raíz, el número
no es primo. 2. En caso contrario, se divide el número por cada uno de los números primos menores que la parte entera de su raíz cuadrada obtenida en la primera parte. Si todas las divisiones son inexactas, entonces el número es primo, en caso contrario, de haber alguna división exacta el número no es primo. Ejemplo Determinar si el número 211 es primo. 1. La raíz cuadrada de 211 es aproximadamente 14,5 ... 2. Se toma la parte entera 14, los menores números primos son 2, 3, 5, 7 , 11,
13.
3. 211 no es múltiplo de 2, de 3, de 4, de 5, de 7, de 11 ni de 13. Por lo tanto, el número 211 es primo.
5.2.4. Teorema Fundamental de la Aritmética (Teorema de Gauss) Todo número entero mayor que uno es igual a un producto de factores primos diferentes elevados a exponentes enteros positivo. Esta descomposición en factores primos es denominada descomposición en sus factores primos. Ejemplo
180 = 22 x 32 x 5 441 = 32 x 72
Descomposición Canónica o
123
Ejemplo
Hallar la cantidad de divisores positivos de 180.
f 180 = 22 x 32 x 5 ; 2 + 1;2 + 1; 1 + 1 ; (3 ) (3) (2) = 18 divisores
5.2.6. Problemas Resueltos Problema 1 Halle el residuo de dividir el producto de los m il prim eros núm eros p rim o s entre 60 A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 15
Resolución 1) Sea N el último número primo. 2) Producto de los 1000 primeros números primos: 2 x 3 x 5 x 7 x 1 1 . ..xN . 3) División entre 60, y simplificación de factores com unes: ( 2x3x 5x7... N)/(60) = ( 2 x 3 x 5 x 7 . . . N ) / ( 2 x 2 x 3 x 5 ) = (7x11 x...xN )/2 4) Pero el producto 7 x 11 x 13x... N es un número im p ar y un im p a r dividido entre 2 da como residuo la unidad. 5) Por lo tanto, el residuo original es: 1 x (factores 6) El residuo original es 30.
sim p lificad os) = 1
x 2 x 3 x 5 = 30.
Clave: C Problema 2 ¿Cuántos divisores positivos es cero? como mínimo tiene cdocd si cd| es un número primo y 0
C) 18
D) 12
E) 16
aptitud MATEMATICA
Resolución 1) Descomposición polinómica de cdocd
cd X1000 + cd =
2) Descomposición canónica de 1001 cd
io o i
cd
7 x 11 x 13 x cd
3) Si cd es 11 ó 13 , la cantidad de divisores es 3) bi w •• 4) si Sd es diferente de 11 o 13, la cantidad de d iw ic * * 2* 3 = 12 « s o res 5) por lo tanto, la mínima cantidad de divisores es * ? * * GS 2 x 2 * 2 x 2 = 16 divisores
p ro b le m a
3
Clave,
d
Un número tiene por factores primos a 2 y 3 Si al númpm . de sus divisores positivos se reduce a la cuarta parte ñera n 5 d,‘V,de entre 8' el ní™ero por 6 la c a n t id a d de divisores positivos es 15 /8 del original Hall 7 " ^ ° 8618 mu,tiplica A) 24
C) 18
B )7 2
D) 48
E) 144
R esolución
1) Sea el número de la forma: 2a x 3b 2) El número de sus divisores positivos es: (a + 1) (b + 1) 3) Si se divide entre 8 ó 23 y el número es 2a‘ 3 . 3b y el número de divisores es: (a - 3 + 1) (b + 1) = (1/4) (a + 1) (b + 1) => 4 (a - 2) = a + 1 =>a = 3 4) Si se le multiplica por 6 ó (2
x
3) el número es 2a +1 . 3b+1 y el número de divisores es:
(a + 1 + 1) (b + 1 + 1) = (15/8) (a + 1) (b + 1) siendo a - 3 = > b = 1.
5) Por lo tanto, el número es. 2 x 3 - 24
Clave: A
Problema 4
Si 36 x 10atiene 12 divisores A) 4
B) 2
C)1
D)6
E)5
Resolución 2a+2 x 32 x 5a
1) Descomposición canónica del número 2) Divisores positivos múltiplos de 2 y no de 5 3) Cantidad de divisores múltiplos de 2 Entonces
2 (21+ax32) (1+ a + 1) (2 +
^
a=2 Clave:
JíS„a„oUNMSM Centro ■°pw
¿I
n rRAOO « OE SEGUNDO GRW ECUACION de
„„«»« « —
, nde a
b yesón
.„ „ o »
una variable V
„
u„ .
constantes y a* 0 .
' de a« según ses„ n * ySr « . l » l . « » l« * ' ' “ A' una ecuación
i" a " CU“ iÓnC“ “ « i « o ScüK uac,0n
de segundo grado.
— - a x«+ b factonzación de
- . r
re” w '
so t -
•An rpcjulía difícil, existe una fórmula a la que se denomina ía
Cuando la factonzacion re
jgr expres¡ón cuadrática.
fo^ U|,
cuadrática que da las ra ic e a
. ••• „ Si c¡ a c = 0, en donde a, b y c so n co n stanlle tess yv, a, * 0 Fórmula Cuadratica. axí 2+ + hx dx + o entonces:
b ± Vb2 - 4ac 2a Estos valores de “x" son las raíces de la ecuación cuadratica. Ejemplo 1
En una colecta se reunió S/. 2300. ¿Cuántas personas colaboraron, si el número de soles que dio cada uno excede en 4 al número de personas? A) 30
B) 48
Resolución Número de personas: n, n e Z+ c/u dio: S/. n + 4 Del problema se tiene que: n (n +4) = 2300 n2+4n - 2300 = 0, factorizando: n w -4 6
C) 24
D) 64
E) 46
53 3
APTITUD MATEMATICA problemas Resueltos problema
1
juan está — conversando con sus«-uiyus amigosyvobserva oh««« ano »i juan ------------- ---------— cuadrado y multh'1— ' --------_ . »os y observa cuadrado y multiplicado por 5 es 24 veces este número meno^ 7 h a y en el grupo? s A) 3
B) 2
C) 4
D)5
V * 08 elevado a» ¿Cuántas personas
E )8
R e solu ción
Número de sus amigos: n, n e Z + 5n2 = 24n - 27 5n2 - 24n + 27 = 0, factorizando-
n
®
/ \ .3
(5n - 9) (n - 3) = 0 n = 9/5 ó n = 3 n=3
El número de personas en el grupo es 4. Clave: C
Problema 2
127
Se ha comprado cierto número de revistas por SI. 100. Si el precio por ejemplar fuese SI. 1 menos, se comprarían 5 ejemplares más por el mismo monto, ¿cuántas revistas se compró? A) 30
B) 40
C) 24
D) 20
E) 25
Resolución
Costo de cada una de las revistas: SI. n, neZ + Número de revistas: 100/n Del problema se tiene que: 100 n- 1 Simplificando:
100 = 5 _ => ----------------------100n - 100n + 100 = 5 => 100 « n n=-M cn 5nz-5n n n2 - n
n n2- n - 20 = 0, factorizando: ^
+4 5
(n + 4) (n - 5) = 0 n=- 4 ó n=5 n=5 Luego, el numero de revistas es 100/5 = 20 Clave: D
...rio
UNMSM
Centro prevn've
problema 3
jjbroS por un valor de S/. 60. Se |e ext
Un „Hiendo los re5W " :9 £ 2 2 „vendiendolos n cgda libro.
deellos y vendí S/- 3. ¿C uánto A)
2
8
E )s/
'
B) S/. 1 °
SI. 4
D)S/
Resolución costo c/u libros: * x e T p c . Prec¡0 de com pra y G : G a n a n c ia
(x + 8) (x - 5) = 0 x = -8 ó x = 5 .. x = 5 Luego, el costo de cada libro es de S/. 5
Clave: E Problema 4 Al responder una encuesta un granjero contestó: “tengo 24 vacas, 32 toros y el total de ellos es 100”. ¿Qué sistema de numeración utilizó el ganadero para contestar la encuesta?
A) decimal
B) senario
C) heptanario
D) quinario
E) nonario
Resolución
Sea x la base del sistema de numeración. Del problema se tiene que: 24 + 32x= 100x 2x +4 + 3x + 2 = 1(x2) x2- 5x - 6
= 0 factorizando: x
(x - 6) (x + 1) = o x=6 ó x =- 1
x ^
® +1
x =6 sistema de numeración es el senario. Clave: B
DESIGUALDADES GEOMÉTRICAS Y BASE
^M A
m
^EDI a Dg Um
propiedades Básicas
tica
, r ,ANgulo
a) L ad o -ángulo En todo triángulo, a mayor longitud de un Iah
AB > BC
a >0
b) Desigualdad triangular En todo triángulo, la longitud de cada lado es menor que la suma Hp i «« . •* otros dos y mayor que su diferencia. longitudes de los
B
* AC - BC < AB < AC + BC (si AC> BC) * AB - BC < AC < AB + BC (si AB> BC) * AB - AC < BC < AB + AC (si AB> AC)
5.4.2. Propiedad
de la Base Media de un Triángulo (o teorema de los puntos medios)
El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad de su longitud.
MN // AC
y
AC MN =— 2
Observación. Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una recta paralela a uno de los otros dos lados, entonces el tercer lado queda bisecado. Si AM = MB y l m
II AC
otario UNMSM
Centro Preunivers"3"
Ejempl° 1
| ángulo
BCDes
obtuso, AB = A D = 15 cm y CD ,
2
aic
En la f|9urf J g d e B¿. e¡ valor entero <¡ A) 17 cm B) 15 cm C) 16 cm 0 ) 13 cm
E)
14 cm
Resolución .
a
ABD es equilátero
BD =
. a BCD: 15 cm - 2 cm < x <
15
crn
15 cm + ■crn
(propiedad “b”) ^ 13 cm < x < 17 cm * BCD es obtuso => x < 15 cm (prop x=
14 cm
Clave; £ E jem plo
2
En „ « J - . « »
el «.«no, »al.r entero del p e rin e o B
A) 48 cm B) 49 cm C) 47 cm D) 50 cm E) 51 cm
a
Resolución • Perímetro = 3x • A ABC: x>(x + 8) - ( x - 8) (propiedad ub") => x > 16 => 3x > 48 • Perímetro (mínimo entero) = 49 cm
Clave: B
ApTITUD MATEMATICA „ le m a s R e s u e lto s
j. P t°
problema 1 e n u n t r iá n g u lo r e c tá n g u lo
A B C , re c to en B se tra za la altura
H BC c o rta a H C e n P S i A B = K cm ( k
A) 2K cm
B ) ( 2 k - 3) c m
.0
B H l )a b i s e r t
.
). C alcule el máx,mo valor
C )(3 k -1 )c m
D )(2 k -1 )c m
E) ( k - i íc m
Resolución A ABC-, m<>ABH = m < P C B v m O A H = m BP < k + k =
2k
(P ro p. d e sig uald ad triangular) =>BP
=
2k -1
Clave: D p ro b lem a 2
• Cuántos triángulos con 20 cm de perímetro existen tales que sus lados miden un núme ro entero de cm? B)
A) 7
8
C) 9
D) 10
E) 11
R e s o lu c ió n • Dato: a + b + c = 20 =>b + c < 2 0 - a , a + c = 2 0 - b y a + b = 20- c • b- c < a < b + c=>|a<20-a=>a<10 • a - c < b < a + c =>)b < 20 - b => b < 10 •a -b < c < a + b^c<20-c=>c<10
Luego: • a + b + c - 20; 9 9 2 9 8 3 9 7 4 9 6 5 Existen 8 triángulos
a + b + c = 20;
8 8 4 8 7 5 8 6 6
• a + b + c = 20 7
7
6
Clave: B
Centro Preuniversitario UNM SM
Problema 3
En la figura adjunta, AF = 18 cm.
Calcule AC.
A) 30 cm B) 24 cm C) 32 cm D) 27 cm E) 25 cm
Resolución B
• Trazamos D G //B F ^ A q ^ •Enel
A
DGC: GF = p c 3 (9 cm) = 2 7
_
cm
18 cm
clave.
Problema 4
En la figura adjunta, AB = DC = 8 cm, AM = MD y BN = NC. Calcule MN A) 1 cm B) 2 cm
B
C) 6 cm D) 4 cm E) 3 cm Resolución
• Trazamos AE tal que: DN = NE=a => com oBN = NC yDC = 8 cm => BD = EC = 8 cm - 2a • Como AB = DC => A ABE es isósceles g En el A ADE: MN = - cm =
Clave: ü
pro blem as
apt ,tu° m*tEMMica
pro puesto s
p r o b le m a 1. E l p a d re d e J o s é e s el h e rm a ™ te n g o c o n e l a b u e lo d e l g e m e lo de J o s é ? .
.
A) N ie to -a b u e lo
B) Bisnieto
Carnal ^
K¡
„ s o b r in o -.»
m i martro ' tQ u é PareWesco
u
E 2 S * - c ° " 5," J ,," d0 ,u a" ” ' « » * * » . « * * . , W l0 ! tuviTOn”os A)
256
B) 16
C)128 E) 64
P ro b le m a 3. N ancy y Karina son hijas de Carmen Ra,-„ una hija llam ada Isaura. Nancy tuvo una hija que s e 'l l m m t L ? ^ C° n Karina V tuvieron naciendo com o consecuencia Cecilia. ¿Cuáles de Tac Stasecasó con César verdaderas? 6 Uales de '■» s,gu,entes afirmaciones son
I)
Cecilia e Isaura son primas.
II) Isaura es sobrina de Nancy y prima de María III) Cecilia e Isaura son nietas de Carmen IV) Cecilia es bisnieta de C arm en. V)
M aría es sobrina de Karina y nieta de Carmen.
A) III. IV y V D) I, III y IV
8 ) II, IV y V E )II, ni y v
O ' . II y III
P ro b le m a 4. En una cena fam iliar están presentes solamBntQ h todos son h erm a n o s m enos 3 y todos son h e r m a n é T 1te hermanos yhermanas. Si encuentran en la c e n a ? 6rmanaS menos 4 ' ¿ ^ n t a s mujeres se
A)4
8)3
C)2
D)5
Z T r 5‘ ^ G° nZaleS' R- CaStr° y ° R°jas está" ^clonados de ellos:
£)6 entre
sí. Se sabe
Entre estas tres personas, se hallan el cónyuge de S. Gonzales, el hermano o la hermana de R. Castro y la cuñada de C. Rojas. El cónyuge de S. Gózales y el hermano o la hermana de R. Castro pertenecen al mismo sexo. ¿Qué afirmación es verdadera? A) R. Castro es hombre casado. C) R. Castro es hombre soltero. E) R. Castro es mujer casada.
B) S. Gonzales es hombre soltero. D) S. Gonzales es mujer soltera.
Problema 6. ¿A cuántos números primos menores que 20 se les resta algún num primo y el resultado es otro primo? B) 6
C) 5
D) 4
—7. Si aboabo es pro a u *» — Problema
'■'-IQi
valor de aó.
>
A, 38
B) 85
C)S1
1?
0 )3 4
Problem a 8. Si e l número de la forma aba (3) es primo halle 3a + 2b (ie tr
dígitos diferentes). Aj 3
as
B;5
0 )7
Problema 9. Determine el menor número múltiplo de 35 que tenga 12 d
AJ70
B)210
C) 280
8
0 )6
v,sores D
D) 140
£) losS% ¡
sea Problema 10. Javier necesita cuatro número prim os d ife re n te s ta l sea 35 y la suma exceda en tres unidades a la s u ^ U& B)de1 dos de ellos C) 2 3 A) 5 Cuántos grupos de cuatro números primos cum plen dicha s c o n d ^ ^
SUrna E) 4d los °^qQ6ll°s
Pmhiema 11 En un zoológico hay cierto número de monos, de ellos la octava part* Z v a d o al cuadrado se encuentran en los árboles, mientras que los doce restantes e l
2 3 S 2 S Í S ™ nos como máximo hay en el Z00|09ÍC0? A)24
B) 48
C) 56
D) 16
E) 64
Problema 12. Un grupo de personas entre ellas tres mujeres asistieron a un almuerzo en un restaurante. El gasto de S/. 12, se repartió inicialmente entre todos, pero después los hombres resolvieron por gentileza que las mujeres no debían pagar, cada hombre pagó entonces S/. 4 más y la cuenta quedó saldada. ¿Cuántas personas habían en el grupo?
A) 4
B) 6
C) 9
D) 12
E) 15
Problema 13. Marcos tiene SI. 2645 en monedas de S/. 5, y agrupa sus monedas en tantos grupos como monedas hay en cada grupo. ¿Cuál es el monto en cada grupo de monedas? A) SI. 350
B) SI. 235
C) SI. 115
D) SI. 120
E) S/. 125
docena más de media« íteíf d6 ™ dias costan'a S/.6 menos, entonces me darían una pomo respuesta la suma de cifras P°rS/' 180' ¿Cuántas medias dan por S/. 180?, de
aptvtvidWATEWMvck
Carlos tiene S/. 110. A cada sobrino le da tantos nuevos so\es comoY\\\os 13 ^le al hran nuevos soles comosobrinos sobrinostiene tiene.Carlos? S'\ además e\ número de tie° Lm aún iaual num p hlerr sOU . _ .tantos ro r\e sobrinos, ¿cuántos
™o s e b )1 2 C) 11 A ) 14 Problema 16. Las diagonales de un cuadrilát p r o b a b le
de este cuadrilátero está entre-
O) 10
m,den 8
E) 16 16
y 10 Cm ,
" , e ' D e ri
Perímetro más
A) 14 cm y 16 cm D) 42 cm y 50 cm
B) 18 cm y 36 ctn t ) 12 cm y 14 crT1
p roblem a 17. Si las diagonales de un trapecio miden valor entero de la mediana,
A ) 17cm
B) 16 cm
C) 13 cm
c ) 38 cm y 4Qcrn
6 cm y 18 cm. Calcule el máximo
D)
14 cm
Problem a 18. El lado AC de un triángulo ABC mide>7n,-m o
.
—
a la bisectriz del ángulo BAC. En dicha bisectriz pomsT^Ü BH perpendiajlar H M //Á B
A )8G m
y H Ñ //Á C con M en AC y N e n B C Calcula = im ^ ° H traZam° S calcule el mayor valor entero de MN B )? C m
C> 9 c ™
D)
10 cm
E)11cm
Problema 19. Los lados ÁB y AC|deun triángulo ABC miden 12 m y 24 m re s p e c ta n te Calcule el mayor valor entero que puede tomar la medida de la mediana ÁM
A>17m Problema
B)8m
C>18m
D) 20 m
20. En la figura mostrada, AC = 20 cm. Calcule PQ.
A) 12 cm
B
B) 10 cm
C) 15 cm D) 11 cm E) 9 cm
P
E)14m
135
preuniversitario
unmsm
clAveS
Centro
1. A 2.0
3.B 4. B
136
13. C
17. B
9 .0
14. A
5. A
18. c
10. c
15. D
19.
6.0
11. B
7.C
16. B
20. B
12-c
8. E
a
CAPÍTULO VI Traslados. Divisibilidad. Inecuaciones de Segundo Grado en una Variable Propiedades Básicas en los Paralelogramos y Trapecios.
traslado s
1. Conceptos Básicos
En esta sección hemos reunido una variedad de problemas y situaciones concernientes con la determinación de la menor cantidad posible de desplazamientos y movimientos de figuras y objetos para obtener otros o para que verifiquen alguna propiedad o condición previamente establecida. El propósito de esta sección es revisar y ejercitar la habilidad e ingenio del estudiante para resolver este tipo de situaciones. Ejem plo
Sobre una mesa hay 10 vasos ordenados en fila e intercalados entre uno lleno con gaseosa y otro vacío, tal como lo muestra la figura. ¿Por lo menos cuántos vasos deben ser movidos para alterar el orden de manera que queden los 5 vacíos de un lado y los 5 llenos del otro lado?
0000000010 8
9
10
Resolución
1ra. posibilidad:
2a. posibilidad:
3ra. posibilidad:
Movemos los vasos 2, 4, 6 y 8 y los ponemos al lado del vaso 10 o movemos los vasos 3, 5, 7 y 9 y los ponemos al lado del vaso 1. En cualquiera de estos casos movemos 4 vasos. Intercambiamos de posición los vasos 2 y 7, también los vasos 4 y 9. Aquí también movemos 4 vasos. Cogemos el vaso 7, vaciamos la gaseo«lenel' a su lugar inicial; igualmente, cogemos el vasc>9 vacam en el vaso 4 y lo regresamos a su pos,con,ni cal.
r s it a r io
Centro
UHM*1”
preuniV*
1
+ ...................
2
movido 2 vasos
(los numerados con 7 y 9), y ^
es |a
6 1. 1. P roblem as R e s u e lto s
Problema 1 j
Las figuras 1 y 2
nr>r firhas circulares idénticas. ¿Por lo meno«* o. *
ser cambiadas de posición para formar |a f i g u ^ s
d é la s fic h a s d e la n g u i a
A) 3
3)4 C) 5 D) 6
fig .2
E)2
Resolución Este tipo de ejercicios se resuelve por simetría y es suficiente m o ve r 4 fichas de la siguiente manera:
Clave: B
Problema 2 Si el peso que puede llevar una canoa no excede los 100 kg, ¿por lo menos cuántos viajes debe hacerse para que esta canoa logre llevar de una orilla a otra de un río a 2 mujeres que pesan 50 kg cada una y a un hombre que pesa 70 kg? A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
R e s o lu c ió n
aptitud
IC* En cada viaje debe viajar la mayor cantidad do« k, ,a persona de menor peso (alguien debl ^ f ' deiPeonas y „ rpn si: H (70 kg.) A (50 kg.) y B (50 kg).
' C° ndUC'endo la
* * * hacerto
Debe realizarse 5 viajes. p roblem a 3
Clave: D
Para una de sus recetas culinarias, doña Pepa requiere »v3rt, * sólo dispone de dos jarras, ambas sin graduar de 3 v 5 Mm h 4 Wr° s de a9ua Si veces como mínimo tendrá que pasar el agua de una jarra a otra para o b t e ^ f ' ¿0Uá"taS requerido?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E)5
Resolución Los números en las jarras indican la cantidad de litros que quedan en ellas al final de cada vez.
s resulta un c o c i e n ^ cociente exacto el cuales^. 15". Porque 15 dw M » de Qtro núm ero e n tero B, si existe un De ,gua, manera un num ero ^ A C x B resulta el n u m ero A. y
ó % es divisor de
tercer número entero C, tal que ai mu, y
2.2. Principios F u n d a m e n ta le s d e
Divisibilidad
Para las notaciones de divisibilidad y multiplicidad utilizaremos: O a= b que significa “a” es múltiplo de “b”. A. Operaciones con Múltiplos
0 0 0 a) n + n = n
Ejemplo:
15 + 3 5 = 5 0
APT' ^
O b)
n-
O O n= n
m « tEMAt i c
,
5 + 5 = °5 Ejem plo:
2 4 -1 4 =
2 ¿ - 25
=
10
0 2
c) n x k= n (slendokun número entero).Ejemplo-
x 3 =
5
d ) [ n ] = n (siendo k un número entero).
Ejem plo:
( 3 ) = ( 3 ) ( 3 } = (3m)(3n) = 3(3mn) = 3k = |
k B. Principio de Arquímides Si el producto de dos números enteros A y B es múitini« ^ ^ ^
.
0 Ejem plo:
0
23 x B = 15
=> B = 15
c. Si
un Número es Múltiplo de Varios Números, entonces es Múltiplo del MCM de esos Números
Ejemplos
Si “a" es múltiplo de 3; “a" es múltiplo de 4 y “a" es múltiplo de 5, entonces “a” es múltiplo del MCM (3, 4, 5) es decir, múltiplo de 60. V
V
U
--- ----------- ----
O
a = 3, a = 4 ya = 5z> a = MCM (3,4, 5) = 60 Si “a” es divisible por 5 y da 2 de residuo; y además es divisible por 3 y da 2 de residuo entonces “a” es divisible por MCM (5, 3) = 15 y da 2 de residuo .
D. Todo Núm ero es Múltiplo de los Factores Primos que lo Conforman y de Cada Uno de los Divisores del Mismo Ejemplo
El número 24 tiene por factores primos a 2 y 3, entonces es múltiplo de 2 y es múltiplo de 3. A la vez es múltiplo de 4 , 8 , 6 ,12 y del mismo 24.
6.3.3. Criterios de u,..~
a) D iv is ib ilid__ a d por 2n Sea N=abcd => N - 2
O
O
d = 2 o cero
O
N=4
O
Ns°
¿d = °
«
ES • a
232 es mc¡it¡plo de 2, de 4 y de 8
Ejemplos
4262 es múltiplo de 2.
b) Divisibilidad por 5n 1
0 0
«
d
= 5 o c e ro
Sea N = abcd => N " 5
EiemP'° S
^
N = 25
»
cd =
N = 125
»
bcd =
25 125
1125 es mútltiplo de 5, de 25 y de 125.
4265 es mútltiplo de 5. c) Divisibilidad por 3n
___
o
S e a N = a b cd e = >
N=3
o
N=9
^
_ °
o
a+b+c+d+e- 3
#
a+ b+ c+ d+ e= 9
S
Ejemplos o o 234 es múltiplo de 3 y de 9, porque 2 + 3 + 4 = 9 = 3 y 9
o 501 es múltiplo de 3 porque 5 + 0 + 1 = 6 = 3
d) Divisbilidad por 11 (alternar signos “+” y S e a N = M ^ N = “n 0
, comenzando por las unidades)
e-d + c -b + a = 1° o cero
Ejemplos 1331 es múltiplo de 11 porque 1 - 3 + 3 - 1 = 0
55418 es múltiplo de 11 porque 8 - 1 + 4 - 5 + 5 = 1 1 = 1°1
, Divisibilidad por 7 (alternar la comenzando por las unidades) ----------o
S e a N = a b c d e .=, N =
7
«
" pl,cac¡ón Por
APT'TuD matpm. ,
1
CA ' 2 con signos »+»
(f +
- (c + 3b + 2a) _ ° Ejemplos
l° cero
71 436 904 es múltiplo de 7, porque: 1
X4
+
3x
0 +
2x9-
1
x6-
3x 3- 2x4+ 1 V !
,
o
X 1 + 3 X7 = 21 = 7
17 024 es múltiplo de 7, porque: •jX4 + 3 x 2 + 2 x O - 1 x 7 - 3 x 1 = 0 6 3 4. problem as R esueltos Problema 1
En una conferencia de catedráticos de la universidad hok* se sabe que del total de hombres, 1/5 eran m éd ico s X n ' reun,dos 180 Personas.Si abogados, ¿cuántas mujeres habían en la conferencia? ‘"Qenieros y 1/3 eran B M 05
C 17"
» I»
E ) 100
Resolución
1) Sea N el número de hombres en la conferencia 2) Debemos observarque las cantidades de hombres de cada profesión debe ser números enteros, por lo tanto, N debe ser múltiplo de 5, de 7 y de 3 a la vez 3) Al ser múltiplo de 5, 7 y 3 debe ser del MCM (5, 7, 3) = 105 4) El único múltiplo de N dentro de la cantidad de personas (180) es 105. 5) Por lo tanto, el número de mujeres presentes es: 180 -1 0 5 = 75
Clave: C Problema 2 Al restarle a un número de 5 cifras la suma de sus cifras, el resultado siempre resulta múltiplo de: A) 9
B) 2
C) 7
D) 5
E)6
Resolución Sea: n = abcde = 104a + 103b + 102c + 10d + e = Í9 + lla + Í 9 + lib + Í 9 + lic + Í9 + lid + e Clave: D
APTITUDMKfEMfcftCAt u A C lO N E s DE .3*
resultane®
B á s ic o s
desegul ° 9s formas.
d+e) « e in ^ er° * C , +d ^ ' 9 ,b+c -(3
Clav*
a x 2+ b x + c < 0 ,
n
ax+ bx + c > 0 ó ax + bx + c> 0
aX+b* + C< ’
la vez, hay entre 100 y 250?
h VC son constantes reales y a * 0.
3 y por7 a
Monde- a. D y
0 , riebernos hallar los valores r , y r 2 dela incógnita que anu\an\a expres\on para su s ° 'u d ° '" e n d i e n t e , y tener en cuenta ios siguientes casos.
0)10
proW *3 nWe,0S ¡Cutn,0S B)7
C )9
cuadrát'ca cor \ \ \ \ \ \
A )6
aX2+ bx + c < 0
^
M el núrner0 p
UNA VARIABLE
. c o n ce^tCiituaciones pueden ser planteadas matemáticamente mediante inecuaciones i-3-1• nwerse>s s gn una sola vanable real. Estas inecuaciones en una variabte V Vienen
♦o es sie m pre m últiplo de
j ^
s e g u n d o g r a d o en
!Se , ^ * POr
-¡ entonce
(x .r,K x -r2)< 0
13X7 = 21 N = 21 K 10 0 < 21 K < 250
;r .—
* ---------
4 7 ... < K < 11, 9
a a« * - * p° L . . ^ ® ,n w
; K. =
—co
5 , 6 , 7 , 8 , 9, 10 y 11
9««*nd; , S 2^ 7- valores n,,,0S*áN Pa
l l
+
+ r
rn
+CO
Conjunto solución: < r , , r 2>
Clave: B
6) rornamo5
ax2+ bx + c ^ 0 ^x - r,Xx - O < 0
z n x r .
l l l \ \ \ \ \ » -----l \
C onjunto solución. I r ,, r2j
ax2+ bx + c > 0
1
7) porlo tant0’
ax2+ bx + c > 0 (x - r,Hx '
(x - r,)(x - r2) ? 0
>°
,=Eb es múltiplo de7. Hallar el máxho
S e l« « » '32* 5 "
E) 14
valor de “a + b
D) 15
C) 16
B) 17 A) 18
Resolución
-IO + a = 9’ 18'
+ ^ = 10 + a
1} 32¡5 es múltiplode 9, enton
íúnwva 3) 35b es múltiplo de 7, entonces: 1 x b + 3 x 5 + 2 x 4) Simplificando (“b” cifra de 0 al 9):
Ejemplo
eS 8: 10 + 8 = 18' 1
^
We de dicho número, el resulta
Si al cuadrado
—
menor que
A) 2
k * 9 1 = 21 b + 21 = 2 ° - —
! ^ ^ ^ o r e s aertW O^P*e^eto m ar^ M
15. ¿Cuamo B) 6
C) 4 '
Resolución
5) por lo tanto, “b” toma 2 valores:
b = 0 ,b = 7
6) Como se necesita el máximo valor:
b=7
Sea el número n e Z. Del enunciado del problema. Clave,0
1
7) El máximo valor de a + b:
"7 4* 8 = 15
< 15
0n^mer0
E)7
Qi
rj n s -4 , -3 , -2 , - 1. 0 , 1,2
*S 6.
¡.3.1. Problemas R e s u e lto s
*Ve.
Problema 1
La suma de dos números enteros es 144 y 17 veces el m ayor de ell producto de dichos números. ¿Cuál es el máximo valor que puede torr, &S rrien A ) 132
B ) 126
C ) 124
D ) 119
e; i^i 8
055
d e eiL
Resolución Sea x el mayor de los números, el otro será 144 - x. Del enunciado:
126.
17 x < x (144 - x ) x2- 127x < O ,—„ x (x - 127) < o
< 3 — ZZT/
Problema 2 n i / « i*» ...— —
r. Llave: B
cs 0
- 0 127 +00 CS <0>127> Abel cuenta sus pollos y dice:'Si al número de pollos que tengo lo elevo al cuadrado y luegole sumo tres veces la cantidad de pollos que tengo, siempre me resulta mayor que 54n. ¿Cuántos pollos como mínimo tiene Abel? A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
R esolución
Número de pollos que tieneAbel: x (x>0) Del enunciado: x2 + 3x> 54 x2 + 3x - 54 >0 ___* (x + 9) (x - 6) > 0
h
-oo -9
ik
6 -foo
CS: <-oo, -9> U <6, +co>
pero como x > 0 , sólo queda x e <6, +oo>. Lueqo x °
m in.
=7 Clave: C
Coquito tiene dinero solo en dos de «*..o u nUevos soles^S. en uno de sus bolsiL ?'sillos Ven amK los números de nuevos soles que t,en° 'ene S/. 2 8 su"ian un „ • mayor cantidad de dinero que p u e d e ?" * os bo|* * » en e, ax^
ner Coquito? A) S/- 28
B) S/. 13
enterode
°
°Sno excede á i ! l Produ<*>de
C )s/
¿c^ e s | a S/. 22
Resolución
E) s/ 24
Número de nuevos soles en el bolsillo 1 • n Número de nuevos soles en el bolsillo 2: n + 2 V^olal: 2n + ^
Del enunciado:
J n ( n + 2) <
n2 + 2n -14 3 < o ------"
_
”13
J
_
(
11
140 13) ( n - 1l ) S0 Cs 1-13,11]
pero como n > 0, sólo queda n e < 0,111 Lueao n tener Coquito es S/. 24. a W l ~ 11 y la mayor cantidad que puede
Clave: E
.
Problema 4 pepe le dice a Beto: Tengo dos bolsas con canicas „ más que en la otra, y el producto del número de candas d ™ 165”. ¿Cuantas canicas como mínimo tiene Pepe? A) 32
B) 28
^ í
" 90 cuatro 0lsas es ^ayorque
D124
c )2 6
ü > 24
E ) 30
Resolución
Número de canicas en la bolsa 1: x
'l
Número de canicas en la bolsa 2: x + 4 | Tota,: 2x +
4
Del enunciado: x (x + 4) > 165 x 2 + 4x -1 6 5 >
-15
11
0
_
(x + 15) ( x -
11) > 0
CS: <-oo, -15> U <11, 4o o > 4
pero como x>0, queda x e <11, 4-co>. Luego xm¡n = 12 y Pepe tiene 28 canicas como mínimo. Clave: B
C e n tro P r e u n iv e r s ita r io U N M S M
6.4.
PROPIEDADES B ÁSIC AS E N L O S P A R A L E L O G R A M O S Y r D
i RAP£C/
6.4.1. Paralelogram os Tipos
Para/e/ogramo o Romboide
Cuadrado
Trapecios
Tfa« o b fe ó s cefe
Os
ApTlTUD
„ , propiedades de los Paralelogramos
'C*
a) Las diagonales de un paralelogramo Se bisecan B,
b) Las diagonales de un rectángulo miden iguales
-------------c
C)
Las diagonales de un rombo se cortan perpendicular™«,*» ángulos interiores. Pena1Cularmente, y son bisectrices de ios
[a c I
bd !
D d) Las diagonales del cuadrado miden igual y se cortan perpendicularmente; además son bisectrices de los ángulos interiores.
AC = BD y ACIBD
Cent*
taño preonivßrS'
Observació^:
, ta H¡PotenuSa
Rela,lVa
■ En(odotriángulorec.árg ¿
¡tud de
la mediana relativa a la hipotenusa 6s
; ^ nusa.
'9uai
»m itadde la W
S¡ m < B -9 0 ° Ib o =
6 4 5. Propiedades en
ao
y A O -O C =
o c
los Trapecios
“ bases.
Si
MN es mediana
del trapecio ABCD
MN//BC//AD y MN = ^-(AD + BC)
b) La longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la sem¡diferencia de las longitudes de las bases.
Sí AP = PC y
BQ = QD
PQ = ^ (A D -B C )
ApT»TUDMATEMATíCA
Ejempl°
en la f¡gura- BC " 12 cm' C D _ 1 8 cm y MN = a rm o En y ° cm. Calcular AD B) 20 cm A) 26 cm D) 22 cm
C) 24 cm E) 28 cm
• Prolongamos CN hasta E • A ECD es isósceles => CN = NE . q ____ x + 12 cm 8 cm ------\ (mediana) => x = 4 cm X
18 cm
E
• AD = 4 cm + 18 cm = 22 cm Clave: D
Ejemplo 2 En la figura, M
y
N
son puntos medios de
BC y ÁD respectivamente (AB < CD), MN = 5 cm y AB + CD = 14 cm. Calcular CD.
A) 10 cm
B) 11 cm
C) 9 cm
D) 12 cm
E) 13
cm
Resolución
CD - AB propiedad b) •-------------- 5 cm =( ----------------------------=> CD - AB = 10 cm ...(1) • CD + AB = 14 cm
...(2)
• Sumado (1) y ( 2):C D = 1 2 cm
A
C e n tro P re u n vi e rs tia rio U N M SM
6 .4 .6 . P ro b le m a s R e s u e lto s
P ro b le m a 1
En la fig u ra adju nta, ABCD es un tra p e cio , B C = a cm y C D = h la longitud de la m ediana. C rr>. C a /c ^
(a + b) A ) — — cm
D) (a - b) cm
e,^ i0r
(2a + b) B ) — - — - cm
E)
^ cm
• Trazam os B E / /CÜ=>oA¿n rn • A A B E e s is ó s c e le s 0 A dem ás E D = a Cm
'
b ° rn
= > M e d ia n a
=^ ! L ^ c m + b
Problema 2
Enlafiguraadjunta, DC=2AB. Calcular el valor de V . R A) 10°
B)20‘
C)15°
0)30°
E) 25°
Resolución B
• Trazamos la mediana BM => BM = DM = MC (Prop. mediana relativa a la hipotenusa) => m m m x = 15° Clave: C
