Lineas de Fluencia

LINEAS DE FLUENCIA INTRODUCCION El análisis de losas mediante líneas de fuencia ue propuesto inicialmente por Ingerslev y ampliándose de orma considerable por Johansen. Las primeras publicaciones se hicieron en Danés y el método slo destaco cuando !ognestad presento un resumen en ingles de este traba"o # partir de ese ese momen momento to apar apareci ecier eron on vario varios s te$to te$tos s impor importa tante ntes s %ue trata tratan n el método. Este Este método método consid considera era el &ompo &omporta rtamie miento nto 'o Linea Lineall De Los Los (ater (aterial iales es )*tul )*tula a +lástica +lástica ,ue +ermite +ermite Dise-ar Dise-ar Las Losas Losas +ara u Estado /ltimo0 /ltimo0 a compar comparaci acin n de otros otros métod métodos os %ue se basan basan esenci esencialm alment ente e en teor teoría ía elástica y %ue para el reuer1o de las losas se calculan con metodologías de resistencia %ue tienen en cuenta el comportamiento inelástico real. Esta conceptuali1acin no solo elimina la inconsistencia de combinar el análisis elás elástic tico o con con el dise dise-o -o inel inelás ásti tico co22 sino sino %ue %ue tamb tambié ién n tien tiene e en cuen cuenta ta la reserva reserva de resiste resistencia ncia y %ue mediante ciertos ciertos límites límites permite permite un a"uste a"uste arbitrario de los momentos encontrados mediante el análisis elástico para llegar a momentos más prácticos para el reuer1o.

COMO MÉTODO DE DISEÑO #dem #demás ás los los otr otros méto método dos s basa basado dos s en la elas elasti tici cida dad d tien tienen en cier cierta tas s limi limita taci cion ones es como como la geom geomet etrí ría a %ue %ue nece necesi sita ta %ue %ue los los vano vanos s sean sean rectangulares o cuadrados2 condiciones de borde para losas en 3 y 4 dos direcciones. Las cargas deben distribuirse uniormemente al menos dentro de los vanos5 vanos5 pero pero en la práctic práctica a muchas muchas losas losas no cumplen cumplen con estas estas restricciones por e"emplo para losas circulares o triangulares con aberturas grandes losas apoyadas en dos o tres lados respectivamente y losas %ue soporten cargas concentradas. El análisis límite suministra una poderosa y versátil herramienta para dichos problemas. De esta esta maner manera a se han desar desarro rolla llado do vario varios s métod métodos os prácti prácticos cos para para el análisis plástico de losas la teoría de líneas de fuencia es uno de esos métodos2 aun%ue el cdigo #&I no incluye disposiciones especi6caciones para el análisis limite o plástico de losas aun%ue permite la utili1acin de cual%uier método %ue haya demostrada ser adecuada su utili1acin en el apartado 37.8.3 del #&I se re6ere como aceptable al método de líneas de fuencia.

MODELO ANALITICO En la 6gura3 )a0 ilustra una losa reor1ada simplemente apoyada y cargada  ρ < ρb 5 el uni unior orme meme ment nte. e. e supo supond ndrá rá %ue %ue esta esta subr subre eor or1a 1ada da con con diagrama de momentos elástico se indica en la 6gura 3)b02 a medida %ue se

aumenta la carga el momento aplicado resulta igual a la capacidad de ultima fe$in de la seccin transversal de la losa el acero a tensin empie1a a fuir a lo largo de la línea transversal de má$imo momento. #l fuir las defe$in se incrementan desproporcionadamente en la seccin de fuencia2 las deormaciones elásticas son pe%ue-as en comparacin a las inelásticas. +ara la losa de la 6gura 3 la ormacin de una sola línea de fuencia produce el colapso2 se orma un mecanismo.

9I:/*# 3

in embargo2 las estructuras indeterminadas pueden resistir por lo general sus cargas sin presentar colapso a;n después de la ormacin de una o más líneas de fuencia &uando la losa doblemente empotrada de la 6gura 4 )a02 con igual reuer1o para los momentos negativos y positivos2 está cargada de manera uniorme2 presentará una distribucin elástica de momentos como se indica en la 6gura 4 )b0. # medida %ue la carga se incrementa en orma gradual2 las secciones sometidas a mayores esuer1os en los apoyos comen1aran a fuir5 se producen entonces rotaciones en las rtulas lineales de apoyos2 pero contin;an actuando momentos de restriccin con valor constante mp2 de este modo la carga puede incrementarse a;n más hasta %ue el momento en el centro de la lu1 sea igual a la capacidad de momento en este punto y se orma así una tercera línea de fuencia como se ilustra en la 6gura 4 )c0. a losa es ahora un mecanismo donde ocurren grandes defe$iones y se presenta el colapso. El diagrama de momentos "usto antes de la alla se presenta en la 6gura 4 )d0.
9igura 4

TEOREMA DE LOS LÍMITES SUPERIOR E INFERIOR Los métodos de análisis plástico2 como en las líneas de fuencia5 ésta establece %ue la carga ;ltima de colapso de una estructura se encuentra entre dos límites2 uno superior y otro inerior2 de la carga real de colapso.

Teorema del límite inferior si para determinada carga e$terna es posible encontrar una distribucin de momentos %ue satisace los re%uisitos de e%uilibrio2 sin %ue los momentos e$cedan el momento de fuencia en ning;n sitio2 y si se satisacen las condiciones de rontera2 entonces la carga dada es un límite de la capacidad de carga real.

Teorema del límite !"#erior si para un pe%ue-o incremento en el :

despla1amiento2 el traba"o interno %ue hace la losa suponiendo %ue los momentos en todas las rtulas plásticas son iguales al momento de fuencia y %ue las condiciones de rontera se satisacen> es igual al traba"o e$terno hecho por la carga dada para ese mismo pe%ue-o incremento en el despla1amiento2 entonces2 esa carga es un límite superior de la capacidad de carga real. i se satisacen las condiciones del límite inerior2 con certe1a la losa puede soportar la carga determinada2 i se cumplen las condiciones del límite superior2 una carga mayor %ue la determinada producirá con certe1a la alla. El método de las líneas de fuencia para el análisis de losas es un procedimiento de límite superior y2 en consecuencia2 la carga de alla calculada para una losa con resistencias conocidas a fe$in puede ser mayor %ue el valor real.

RE$LAS PARA LAS LINEAS DE FLUENCIA Los términos línea de fuencia positiva y línea de fuencia negativa se utili1an para dierenciar entre a%uéllas asociadas con tensin en la parte inerior y tensin en la parte superior de la losa2 respectivamente. Las pautas para determinar los e"es de rotacin y las líneas de fuencia se resumen a continuacin= 3. Las líneas de fuencia son rectas puesto %ue representan la interseccin de dos planos. 4. Las líneas de fuencia representan e"es de rotacin. 7. Los bordes apoyados de la losa también establecen e"es de rotacin. i el borde está empotrado2 se puede ormar una línea de fuencia negativa %ue suministra resistencia constante a la rotacin. i el borde está simplemente apoyado2 el e"e de rotacin proporciona restriccin nula. ?. /n e"e de rotacin pasará sobre cual%uier columna de apoyo. u orientacin dependerá de otras consideraciones. 8. Deba"o de las cargas concentradas se orman líneas de fuencia %ue salen radialmente desde el punto de aplicacin de la carga. 6. /na línea de fuencia entre dos segmentos de losa debe pasar por el punto de interseccin de los e"es de rotacin de los segmentos adyacentes de losa . /na ve1 %ue se establece el patrn general de fuencia y rotacin mediante la aplicacin de las pautas estipuladas anteriormente2 puede determinarse la ubicacin y orientacin especí6ca de los e"es de rotacin y la carga de alla de la losa con cual%uiera de los dos métodos siguientes

AN%LISIS MEDIANTE EL E&UILI'RIO DE SE$MENTOS &ada segmento2 considerado como un cuerpo libre2 debe estar en e%uilibrio ba"o la accin de las cargas aplicadas2 los momentos a lo largo de las líneas de fuencia y las reacciones o cortantes a lo largo de las líneas de apoyo. e observa %ue2 puesto %ue los momentos de fuencia son momentos principales2 los momentos de torsin son iguales a cero a lo largo de las líneas de fuencia y2 en muchos casos2 las uer1as cortantes también son iguales a cero. +or lo general2 al enunciar las ecuaciones de e%uilibrio slo se considera el momento unitario m.

AN%LISIS MEDIANTE EL MÉTODO DE TRA'A(O )IRTUAL El traba"o e$terno reali1ado por las cargas para producir una defe$in virtual arbitrariamente pe%ue-a debe ser igual al traba"o interno hecho a medida %ue la losa rota alrededor de las líneas de fuencia para permitir esta defe$in. +or consiguiente2 se da a la losa un despla1amiento virtual unitario y de este modo pueden calcularse las rotaciones correspondientes en las diversas líneas de fuencia. #l igualar el traba"o interno con el e$terno2 se obtiene la relacin entre las cargas aplicadas y los momentos ;ltimos resistentes de la losa. Las rotaciones y defe$iones elásticas no se tienen en cuenta al enunciar las ecuaciones de traba"o2 puesto %ue son muy pe%ue-as en comparacin con las deormaciones plásticas.

Tra*a+o e,terno reali-ado #or la! .ar/a! #l imponer un despla1amiento virtual pe%ue-o2 una carga e$terna %ue act;a sobre un segmento de losa reali1a un traba"o igual al producto de su magnitud constante por la distancia a lo largo de la cual se mueve el punto de aplicacin de la carga. i la carga está distribuida sobre una longitud o sobre un área2 en ve1 de ser concentrada2 el traba"o puede calcularse como el producto de la carga total por el despla1amiento del punto de aplicacin de su resultante.

Tra*a+o interno reali-ado #or lo! momento! re!i!tente! El traba"o interno hecho durante la aplicacin de un despla1amiento virtual se encuentra sumando los productos de los momentos de fuencia m por unidad de longitud de rtula2 por las rotaciones plásticas @ en las respectivas líneas de fuencia2 consistentes con el despla1amiento virtual. i el momento resistente m es constante a lo largo de la línea de fuencia de longitud 32 y si se e$perimenta una rotacin A el traba"o interno es2 Wi= ml θ

i el momento resistente varía2 ésta ;ltima se divide en n segmentos dentro de cada uno de los cuales el momento es constante. El traba"o interno es entonces Wi=( ml 1 + ml 2 + ml 3 + ... mln) θ

+ara todo el sistema2 el traba"o interno total reali1ado es la suma de las contribuciones de todas las líneas de fuencia. i una losa se reuer1a de manera idéntica en direcciones ortogonales2 el momento resistente ;ltimo es igual en estas dos direcciones y a lo largo de cual%uier otra línea independientemente de su direccin. e dice %ue tal losa está reor1ada isotrpicamente. in embargo2 si las resistencias ;ltimas son dierentes en dos direcciones perpendiculares2 se dice %ue la losa es ortogonalmente anisotrpica o simplemente ortotrpica5

E(EMPLO DE APLICACI0N An1li!i! de "na lo!a re.tan/"lar2 La losa en dos direcciones de la 6gura 7 está simplemente apoyada en los cuatro lados y soporta una carga ;ltima2 uniormemente distribuida2 de 2 w =kg / m . Determine la resistencia ;ltima a momento de la losa %ue se va a reor1ar de manera isotrpica.

Sol".i3n Las de fuencia se ormaran con el siguiente patrn

9I:/*# 7= Losa rectangular y patrn líneas de fuencia

Por Tra*a+o )irt"al &omo se orman líneas de fuencia positivas siguiendo el patrn %ue se ilustra en la 6gura 7 y se tiene BaC como la dimensin incgnita. La dimensin correcta BaC será a%uella %ue ma$imice la resistencia a momento re%uerida para soportar la carga . Los valores de a y m se determinarán por tanteos. En la 6gura a2 la longitud de la línea de fuencia diagonal es # partir de la seme"an1a de triángulos2 se calculan BbC y BcC.

9I:/*# ?= :eometría

Donde= 2 diagonal =√ 16 + a

√ 16 + a b=

2

4

a

c=

a √ 16 + a

2

4

+or lo tanto la rotacin plástica de la línea de fuencia diagonal con una deormacin unitaria corresponde a centro de la losa es=

9I:/*# ?= Deormacin unitaria

θ 1=

1

b

1

a

c

√  +a

+ =

4 16

2

+

4

a √ 16 + a

2

=(

1

√ 16 +a

2

 a

 4

4

a

)( + )

La rotacin de la línea de fuencia paralela a los lados largos de la losa es= θ 2=

1 4

 1

+ =0.5 4

+ara una primera iteracin se escoge

a =4

La longitud de la diagonal %uedara  √ 32=5.66 1

La rotacin en la línea de fuencia diagonal es= θ1= 5.66 ( 2 ) =0.35 El traba"o interno reali1ado al aplicar el incremento en la defe$in es= Wi= m∗5.66∗0.35∗4 + m∗0.5∗8=12 m El traba"o e$terno es= 8∗4∗1 w ∗1 We= ∗2 +

(

2

3

)(

8∗4

 w ∗1 2

)(

∗2 +

8∗4∗1

w∗1

2

3

)

∗2 =

160 3

w

Igualando el traba"o e$terno con el interno= mr =4.47 w

El cuál es el momento )mr0 resistente para la carga ultima )0 e presenta una tabla donde se dan distintos valores de BaC para generar alternativas y poder escoger la más desavorable.

a 5 567 8 867 9 967 7 767 :

4e

4i

m

8F2GH 8H277 8G 8?2GH 87277 84 82GH ?277 ?F

3?m 342m 34277m 342Hm 34m 342Gm 3424m 342?3m 32GHm

323 ?2?? ?28? ?287 ?2?? ?273 ?238 72F 72H

 K#L# 3= *esultados Iteracin

&omo podemos apreciar %ue para el patrn de líneas de fuencia establecido el valor de a =3 2 es crítico y el momento re%uerido para la losa es de ?.8?.

CONCLUCIONES El método desarrollado no es un método de dise-o como tal si no %ue más bien se trata de método desarrollado para evaluar evaluar estructuras e$istentes con el 6n de conocer la carga de colapso de la estructura además es un método basado en el dise-o plástico y considera la redistribucin de momentos antes del colapso así como las grandes deormaciones %ue se originan en el régimen plástico.

'I'LIO$RAFIA M3N

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M7N :. (. #rroyo &ontreras y *. *ios @sornio 2 (étodo de Lineas de 9luencia en el dise-o De Losas de &oncreto *eor1ado con (alla oldada.