U.C. U.C.V. V. - FACULT FACULTAD AD DE INGE INGENI NIE ERIA RIA - ESCU ESCUELA ELA DE ING NGEN ENIE IERI RIA A ELÉCT ELÉCTRI RICA CA - DTO DTO DE POTE POTENC NCIA IA - SPI SPI SEMESTRE Oc Oc t 2014 _ Mar 2015 Co n t en i d o Pr o g r am át i c o Pág i n a 1 d e 72
TTEEM od eelación laci ón líne dde trtr aansmi ns misi sión ón MAA 1. 1.M Mode ode od lación laci ón de de línea líneaass de línea deetra tra nsmi ns misi sión ón Objetivos 1. Revisión vis ión de conceptos con ceptos y de cálcu cálculos los de induct ind ucta ancia nci a, capaci capacitanci tancia a y resistenci resis tencia a en líneas líneas de tra tr ansmi ns misi sión ón.. Traspo rasposic sición ión de línea líneas. s. Uso Uso de tablas tablas de d e conduct condu ctores. ores. 2. Línea Líneas multic mul ticirc ircuit uita ales. 3. Consid ons ide eración ració n del efecto efecto de la tie ti erra y de los cable c abless de guarda. 4. Impe mp edancia danci as de d e secuencia secuenc ia en en lí l íneas neas de d e tra tr ansmi ns misi sión ón 5. Mode od elación lació n de línea líneas de d e tra tr ansmi ns misi sión ón.. Pote ot encia nc ia natu natural ral de línea líneas de tra tr ansmi ns misi sión ón – SI SIL. 6. Compensació om pensación n serie y parale paralelo lo de d e línea líneas de transmis transm isió ión. n.
Horas requeridas: 9
U.C. U.C.V. V. - FACULT FACULTAD AD DE INGE INGENI NIE ERIA RIA - ESCU ESCUELA ELA DE ING NGEN ENIE IERI RIA A ELÉCT ELÉCTRI RICA CA - DTO DTO DE POTE POTENC NCIA IA - SPI SPI SEMESTRE Oc Oc t 2014 _ Mar 2015 Co n t en i d o Pr o g r am át i c o Pág i n a 2 d e 72
Inductancia, ndu ctancia, capacitancia capacitancia y resiste resist encia nci a. A.. Inductancia A ndu ctancia de línea líneas de d e transm transmisi isión ón • Enlaces de flujo internos en un conductor cilíndrico de radio r por el que circula una corriente i: ix
x2 i x2 i= x Hx = ix pero ix = r 2 r 2
H dl = ix Bx = Hx
Bx =
x
r 2
i
pero
= r
0
Hx =
donde
x
=
x
i
r 2
0 = 10-7 H/m
r = 1 para material no magnético (cobre, aluminio). Para conductor con alma de acero r d = Bx dx =
x r 2
i dx
i x3 x2 dx = d d= r 2 r 4
int =
0 i
Lint=
1 10-7 H/m 2
• Enlaces de flujo externos a un conductor cilíndrico de radio r por el que circula una corriente i: 0 i i r = 1 para el aire dx d = d = Bx dx = H= x x
0 i
D ln ext = r
cond
Lext = 2 10-7 ln
D H/m r
r
i
D
1
U.C. U.C.V. V. - FACULT FACULTAD AD DE INGE INGENI NIE ERIA RIA - ESCU ESCUELA ELA DE ING NGEN ENIE IERI RIA A ELÉCT ELÉCTRI RICA CA - DTO DTO DE POTE POTENC NCIA IA - SPI SPI SEMESTRE Oc Oc t 2014 _ Mar 2015 Co n t en i d o Pr o g r am át i c o Pág i n a 2 d e 72
Inductancia, ndu ctancia, capacitancia capacitancia y resiste resist encia nci a. A.. Inductancia A ndu ctancia de línea líneas de d e transm transmisi isión ón • Enlaces de flujo internos en un conductor cilíndrico de radio r por el que circula una corriente i: ix
x2 i x2 i= x Hx = ix pero ix = r 2 r 2
H dl = ix Bx = Hx
Bx =
x
r 2
i
pero
= r
0
Hx =
donde
x
=
x
i
r 2
0 = 10-7 H/m
r = 1 para material no magnético (cobre, aluminio). Para conductor con alma de acero r d = Bx dx =
x r 2
i dx
i x3 x2 dx = d d= r 2 r 4
int =
0 i
Lint=
1 10-7 H/m 2
• Enlaces de flujo externos a un conductor cilíndrico de radio r por el que circula una corriente i: 0 i i r = 1 para el aire dx d = d = Bx dx = H= x x
0 i
D ln ext = r
cond
Lext = 2 10-7 ln
D H/m r
r
i
D
1
U.C. U.C.V. V. - FACULT FACULTAD AD DE INGE INGENI NIE ERIA RIA - ESCU ESCUELA ELA DE ING NGEN ENIE IERI RIA A ELÉCT ELÉCTRI RICA CA - DTO DTO DE POTE POTENC NCIA IA - SPI SPI SEMESTRE Oc Oc t 2014 _ Mar 2015 Co n t en i d o Pr o g r am át i c o Pág i n a 3 d e 72
• Enlaces de flujo totales en un conductor cilíndrico de radio r por el que circula una corriente i:
tot = ext + int =
=
0 i
0 i
D + r ln r 4
0 i ln D = ln -1/4 re
D r’
=
=
0 i
ln
0 i
ln
D ln e1/4 r +
D GMR
=
0 i ln D 1/4 e = r
L = 2 10-7 ln
D GMR
H/m
GMR: Radio medio geométrico del conductor = r e-1/4 = 0.7788 r • Enlaces de flujo entre dos puntos externos a un conductor por el que circula la corriente i: De la expresión anterior de enlaces de flujo externos a un conductor se tiene:
i D ext = 0 ln 2 D1
L = 2 10-7 ln
D2 D1
cond
H/m
D1
i D2
Los enlaces de flujo calculados previamente son los producidos por una corriente i que circula por un conductor. En los sistemas reales, hay varias corrientes i 1, i2, i3 etc. circulando por varios conductores cond 1, cond2, etc. En estos casos casos se debe extender extender el concepto de enlaces de flujo producidos por una corriente que circula por un conductor al concepto de enlaces de flujo totales
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 4 de 72
• Enlaces de flujo de un conductor en un grupo: Si se tiene un grupo de conductores por los cuales circulan corrientes I 1, I2, etc. y D1p, D2p, etc representan las distancias del conductor 1 a un punto p, la distancia del conductor 2 al punto p, etc. se tiene: D1p -7 Enlaces de flujo del conductor 1 hasta p debido a I 1: 1p1 = 2 10 I1 ln GMR1 Enlaces de flujo del conductor 1 hasta p debido a I 2:
1p2 = 2
10-7
I2 ln
D2p D12
Enlaces de flujo totales del conductor 1 hasta p debido a las corrientes I 1, I2 ,etc:
1p = 2
10-7
I1 ln
D1p GMR1
+ I2 ln
D2p D12
+ … + In ln
Pero en un sistema de potencia, aplicando Kirchhoff
Dnp D1n
I 1 + I 2 + … + In = 0
Además la expresión anterior se puede reagrupar como sigue:
1p = 2 10-7 I1 ln
1 GMR1
1 + I2 ln
D12
+ … + In ln
1 D1n
Si se selecciona p alejado de los conductores con el fin de calcular todos los enlaces de flujo asociados a la corriente
+ I1 ln D1p + I2 ln D2p + … +In ln Dnp =0
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 5 de 72
Por tanto el total de enlaces de flujo del conductor 1 debido a las corrientes I 1, I2, … In será: 1
1= 2
10-7
I1 ln
GMR1
1 + I2 ln
D12
+ … + In ln
1 D1n
n
=2
10-7
∑ I j ln 1
j = 1
d1j
En esta expresión, los términos d 1j representan las distancias entre el conductor 1 y el conductor j. Cuando j=1, el término GMR 1 se ha llamado por d 11. En general si se tienen varios conductores, cada uno con corrientes I 1, I 2, etc., los enlaces de flujo totales del conductor k evaluados hasta un punto d considerando todas las corrientes son: n
k = 2
10-7
∑ I j ln 1
j = 1
dkj
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 6 de 72
• Enlaces de flujo e Inductancia de líneas trifásicas con distribución equilátera de conductores b D a
3
a = 2
D D
10-7
∑ I j ln 1
-7
daj
j = 1
= 2 10
Ia ln
1 + I ln GMR b
1 D
+ Ic ln 1 D
c
En condiciones balanceadas I a = - (Ib + Ic) por tanto:
a = 2 10-7 Ia ln
1 - Ia ln 1 D GMR
= 2 10-7 Ia ln
Por simetría de esta configuración
D GMR
L a = 2 10-7 ln
D GMR
L a = Lb = Lc
• Enlaces de flujo e Inductancia de líneas trifásicas con distribución asimétrica de conductores a
d12 b
3
d31 d23
a = 2
10-7
b= 2
10-7
c= 2
10-7
c
∑ I j ln 1
j = 1
daj
3
∑ I j ln 1
j = 1
dbj
3
∑ I j ln 1
j = 1
dcj
-7
Ia ln
1 + I ln GMR b
1 + Ic ln 1 D12 D13
-7
Ib ln
1 + I ln GMR a
1 1 + Ic ln D12 D23
-7
Ic ln
1 + I ln GMR a
1 + Ib ln 1 D13 D23
= 2 10
= 2 10 = 2 10
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 7 de 72
Si las inductancias por fase son distintas, la línea no será balanceada en su impedancia, por tanto, aun con tensiones balanceadas en su entrada, las corrientes serán desbalanceadas y las tensiones de salida también serán desbalanceadas. Se deben evaluar las consecuencias de este desbalance de impedancias. Normalmente, si el desbalance es pequeño, no se le considera y se asume que la línea es balanceada. Si el desbalance no es tan pequeño, se hace la trasposición física de la línea. La trasposición de la línea consiste en intercambiar la posición espacial de los conductores a iguales intervalos de distancia a lo largo de toda la línea, para que cada una de las posiciones, sea ocupada por cada fase en igual distancia. La trasposición se hace intercambiando las posiciones de los conductores en unas torres predeterminadas, que se llaman torres de trasposición. Esquemáticamente la trasposición sería: Zonas de trasposición a
d12 b
d23
Posición 1
Conductor a
Conductor c
Conductor b
d31
Posición 2
Conductor b
Conductor a
Conductor c
c
Posición 3
Conductor c
Conductor b
Conductor a
Sección 1 1/3 L
Sección 2 Sección 3 1/3 L 1/3 L Longitud total L de la línea
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 8 de 72
La inductancia total de líneas traspuestas se calcula como el promedio de las inductancias de cada uno de los tramos de trasposición. Los enlaces de flujo de la fase “a” en la primera sección de trasposición (Sección 1) serán: 3
a1= 2
10-7
∑ I j ln 1 = 2 10-7 Ia ln daj
j = 1
1 + I ln GMR b
1 + Ic ln 1 D12 D13
Cuando la fase “a” toma la posición 2 en la segunda sección de trasposición, sus enlaces de flujo serán: -7
a2 = 2 10
Ia ln
1 + I ln GMR b
1 1 + Ic ln D23 D12
Similarmente, los enlaces de flujo de la fase “a” en la tercera sección de trasposición serán: -7
a3 = 2 10
Ia ln
1 + I ln GMR b
1 + Ic ln 1 D31 D23
Los enlaces de flujo promedio de la fase “a” en todo el trayecto de la línea serán:
a = 2 10-7 3 Ia ln 3
1 GMR
+ Ib ln
1 + ln 1 + ln 1 D12 D23 D31
+ Ic ln
1 + ln D13
1 + ln 1 D13 D13
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 9 de 72
Agrupando se tiene:
a = 2 10-7 3 Ia ln 3
1 GMR
1 1 + Ic ln D12 D23 D31 D12 D23 D31
+ Ib ln
Pero Ia = - (Ib + Ic) por tanto:
a = 2 10-7 3 Ia ln 3
1 GMR
- Ia ln
1 D12 D23 D31
Finalmente, los enlaces de flujo para líneas traspuestas serán: 3
a = 2
10-7
D12 D23 D31
Ia ln
GMR Por tanto, una línea una línea asimétrica, si se traspone, puede ser tratada como simétrica. La inductancia promedio de la fase “a” y de cualquiera de las otras dos fases será: 3
La = 2
10-7
ln
D12 D23 D31 GMR
El término 3 D
D
D
se llama distancia media geométrica mutua entre fases, D
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 10 de 72
Si el radio medio geométrico GMR se le llama D s distancia media geométrica propia (self), la expresión anterior resulta de la siguiente forma compacta: La = 2
10-7
ln
Dm
Dm =
donde
Ds
3
D12 D23 D31
Ds = GMR
En líneas no traspuestas, si se requiere considerar el desbalance de impedancias que existe en cada fase, las ecuaciones generales de enlaces de flujos de la fase serían:
a
b
c
1 Daa
ln
1 Dab
ln
1 Dac
Ia
1 = 2 10-7 ln D ba
ln
1 Dbb
ln
1 Dbc
Ib
1 Dca
ln
1 Dcb
ln
1 Dcc
Ic
ln
ln
donde: Daa = Dbb = Dcc : GMR del conductor de fase Dab, Dac, Dbc : Distancia media geométrica mutua entre fases Estas expresiones matemáticas de enlaces de flujo por fase para líneas de transmisión no traspuestas, también se pueden usar si se requiere calcular los enlaces de flujo de una cualquiera de las secciones de trasposición de una línea. Puede indicarse que la consideración matemática de líneas de transmisión asimétricas no
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 11 de 72
• Conceptos de distancia media geométrica mutua y distancia media geométrica propia: Para el caso de líneas trifásicas con distribución asimétrica de fases que se ha venido analizando, se han considerado los conceptos de distancia media geométrica mutua D m y distancia media geométrica propia definidas como: Dm =
3
D12 D23 D31
Ds = GMR
Se ha considerado una línea trifásica con un conductor por fase y cada fase separada de las otras, por distancias arbitrarias D 12, D13 y D23. En este caso es importante resaltar que la distancia media geométrica mutua es una distancia calculada según la expresión matemática previa y solo depende de las distancias entre las fases, es decir, no depende del tipo de conductor. Por su parte, la distancia media geométrica propia se ha definido como el radio medio geométrico del conductor, por tanto esta “distancia” solo depende del tipo de conductor y no de la separación entre fases.
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 12 de 72
Las líneas de transmisión pueden tener mas de un conductor por fase, por tanto para estos casos, se requiere saber como se ajustan los conceptos de distancia media geométrica propia y distancia media geométrica mutua. Para ello, se calculan a continuación estas distancias y la respectiva inductancia para una línea monofásica, constituida por “n” conductores de ida y “m” conductores de retorno. Este caso, aunque un tanto teórico, permite obtener estas distancias medias geométricas y las respectivas inductancias en una forma mas sencilla que si se consideran los casos reales de líneas trifásicas. Además, los conceptos de distancias medias desarrollados con esta línea monofásica, son fácilmente extensibles a los casos de líneas trifásicas. Se considera por tanto la siguiente línea monofásica: I
I b
…
a
n
Fase (x)
a’ b’ m
…
Retorno (y) Línea monofásica
c’
Consideremos que todos los subconductores de la fase son iguales. Asimismo, todos los subconductores del retorno son iguales. En este caso, si la corriente total de la fase se llama I, las corrientes por cada subconductor de la fase serán I/n.
Similarmente, como la corriente del retorno tiene que ser I, la misma de la fase pero en sentido inverso, la corriente por cada subconductor del retorno será I/m.
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 13 de 72
Enlaces de flujo del subconductor “a” correspondiente a la fase x: -7
a = 2 10
I n
ln
1 1 + … + ln 1 + ln 1 + ln GMRa Dac Dan Dab
Agrupando términos en la expresión anterior, se tiene: m
a = 2
10-7
I ln
n
Daa’ Dab’… Dam GMRa Dab… Dan
Por tanto la inductancia del subconductor “a” será: La = a = 2n 10-7 ln I/n
m n
Daa’ Dab’… Dam GMRa Dab… Dan
Similarmente, la inductancia del subconductor “b” será: Lb = b = 2n 10-7 ln I/n
m n
Dba’ Dbb’… Dbm GMRa Dba… Dbn
- 2 10-7
I m
1 ln 1 + ln 1 + …+ ln Dam Daa’ Dab’
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 14 de 72
La inductancia promedio de cada uno de los subconductores de fase (x) será: Lpromedio de subcond. de x = (La + Lb + … + Ln)/n La inductancia total de todos los subconductores de la fase llamada x, los cuales todos ellos están en paralelo, será 1/n veces la inductancia promedio de los subconductores. Por tanto: Lpromedio de subcond. de x
Lx =
n
2 = (La + Lb + … + Ln)/n
Sustituyendo en esta expresión los valores de L a, Lb, etc, obtenidos previamente, la inductancia total de la fase x será: mxn
Lx =2 10-7 ln
(Daa’ Dab’… Dam) (Dba’ Dbb’… Dbm) … (Dna’ Dnb’… Dnm) n2
(Daa Dab… Dan) (Dba Dbb… Dbn) … (Dna Dnb… Dnn)
En esta expresión, los términos correspondientes a GMR i se han sustituído por Dii para todo i. Si adicionalmente se definen: Dm =
mxn
n2
(Daa’ Dab’… Dam) (Dba’ Dbb’… Dbm) … (Dna’ Dnb’… Dnm) La = 2
10-7
ln
Dm Ds
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 15 de 72
Las expresiones anteriores que representan las distancias medias geométricas mutuas y propias, aunque aparentan ser muy complicadas, sobretodo para recordarlas fácilmente, en realidad al interpretarlas apropiadamente, no resultan tan extrañas. La distancia media geométrica mutua entre dos fases, si una fase tiene “n” subconductores y la otra fase tiene “m” subconductores, será la raíz “m” por “n” de los productos de las distancias entre cada uno de los “m” subconductores de una fase y los “n” subconductores de la otra fase. La distancia media geométrica propia de una fase que tiene “n” subconductores será la raíz n2 de los productos del GMR de cada subconductor, por las distancias a los otros subconductores de la propia fase. • Distancias medias geométricas e Inductancia de líneas de transmisión con haz de conductores Es práctica común en el diseño de líneas de transmisión usar varios conductores por fase, dependiendo de la potencia que se requiere transmitir. El uso de múltiples conductores por fase, todos ellos iguales, que también se conoce como haz de conductores por fase, tiene varias ventajas con respecto al uso de un solo conductor por fase de mayor tamaño. Posteriormente se indicarán algunas de estas ventajas. Los tipos de haz mas usados en líneas de transmisión son los siguientes: d Duplex
d
d Triplex
d d
d Cuádruplex
2d
d
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 16 de 72
Cuando cada fase tiene mas de un conductor, el cálculo de los enlaces de flujo y la inductancia propia de esa fase debe considerar el radio medio geométrico de cada subconductor y la distancia entre subconductores. En este caso, en vez de hablar de radio medio geométrico, se considera la distancia media geométrica propia. Para el caso duplex, triplex y cuádruplex, las distancias medias geométricas propias serán:
duplex
Ds = 4 GMR x d x GMR x d =
triplex
3 Ds = 9 (GMR x d x d)
cuádruplex
Ds =16 (GMR x d x d x
GMR x d
2 = 3 GMR x d 3 4 2 d)4= 1.0905 GMR x d
Para estas configuraciones de líneas, las distancias medias geométricas mutuas dependerán del tipo y configuración de torres en las que se soportan los conductores. Si suponemos la disposición mas general de fases, con distancias arbitrarias y distintas entre ellas, las distancias medias geométricas mutuas para cada caso se determinarán seguidamente:
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 17 de 72
Caso duplex:
b b1
d
b2
dab
dbc
a a1
d
c dac
a2
c2
d
2x2
Dab =
c1
2x2
Dca =
(Da1b1 Da1b2 Da2b1 Da2b2)
(Dc1a1 Dc1a2 Dc2a1 Dc2a2)
2x2
Dbc =
(Db1c1 Db1c2 Db2c1 Db2c2)
Debido a la trasposición de la línea, la distancia media geométrica mutua será: 3
Dm =
(Dab Dbc Dca)
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 18 de 72
En los cálculos de la distancia media geométrica entre fases, es común hacer algunas simplificaciones. Se ha presentado el cálculo de la Distancia Mutua entre las fases a y b, D ab como: 2x2 Dab =
(Da1b1 Da1b2 Da2b1 Da2b2)
Si la distancia entre fases es grande comparada con la distancia entre subconductores de una misma fase, se pueden hacer las siguientes simplificaciones: Si Da1b1 >> Da1a2
Además Da1b1 =
Da1b2
Da1b1 = Da2b1 = Da1b2 = Da2b2
Con estas distancias, todas aproximadamente iguales, al tomar la raíz cuarta de su producto, resulta Dab que representa la distancia entre el centro geométrico de los dos conductores de la fase a y el centro geométrico de los dos conductores de la fase b. De forma similar ocurre con las distancias Dbc y Dca. En conclusión, la distancia media geométrica entre fases es
aproximadamente igual a la distancia entre los centros geométricos de cada uno de los grupo de subconductores que representan a las fases . Por tanto, en forma aproximada y después de hacer la trasposición de la línea: Dab = Distancia entre los centros geométricos de los conductores de las fases a y b. Dbc = Distancia entre los centros geométricos de los conductores de las fases b y c. Dca = Distancia entre los centros geométricos de los conductores de las fases c y a. 3
Por tanto:
D
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 19 de 72 b2
Caso triplex: d
a2
d
a1
dab
b1
b d
d
b3
c3
dbc d
d
a d
a3
dac
c1
d
c d
c2
3x3
Dab =
(Da1b1 Da1b2 Da1b3) (Da2b1 Da2b2Da2b3) (Da3b1Da3b2Da3b3) 3x3
Dbc =
(Da1b1 Da1b2 Da1b3) (Da2b1 Da2b2Da2b3) (Da3b1Da3b2Da3b3) 3x3
Dca =
(Da1b1 Da1b2 Da1b3) (Da2b1 Da2b2Da2b3) (Da3b1Da3b2Da3b3)
Debido a la trasposición de la línea y haciendo las aproximaciones similares a las del caso anterior, la distancia media geométrica mutua será: 3
Dm =
Dab Dbc Dca
Dab = Distancia entre los centros geométricos de los conductores de las fases a y b. Dbc = Distancia entre los centros geométricos de los conductores de las fases b y c. D = Distancia entre los centros geométricos de los conductores de las fases c y a.
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 20 de 72
Para una disposición asimétrica de una línea con cuatro conductores por fase, asumiendo la línea traspuesta (disposición mas general) se tiene d dab
d
2d a d
d
2d b d
d dbc d
dac
c d
2d d
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 21 de 72
Las distancias medias geométricas mutuas entre fases serán: 4x4 Dab = da1b1 da1b2 da1b3 da1b4 da2b1 da2b2 da2b3 da2b4 da3b1 da3b2 da3b3 da3b4 da4b1 da4b2 da4b3 da4b4 Dbc = Dca =
4x4
4x4
dc1b1 dc1b2 dc1b3 dc1b4 dc2b1 dc2b2 dc2b3 dc2b4 dc3b1 dc3b2 dc3b3 dc3b4 dc4b1 dc4b2 dc4b3 dc4b4 da1c1 da1c2 da1c3 da1c4 da2c1 da2c2 da2c3 da2c4 da3c1 da3c2 da3c3 da3c4 da4c1 da4c2 da4c3 da4c4
Una vez hecha la trasposición y tomando en cuenta las mismas aproximaciones de los casos anteriores, la distancia mutua promedio entre fases será: Dm = donde:
3
Dab Dbc Dca
Dab = Distancia entre los centros geométricos de los conductores de las fases a y b. Dbc = Distancia entre los centros geométricos de los conductores de las fases b y c. Dca = Distancia entre los centros geométricos de los conductores de las fases c y a.
Por tanto
L = 2 10-7 ln
Dm Ds
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 22 de 72
Para el cálculo de la inductancia por fase de una línea trifásica traspuesta con cualquiera de las tres configuraciones mas típicas analizadas previamente, solo es necesario calcular las distancias medias geométricas propias y mutuas, en la forma que se ha hecho previamente y con estos valores, la inductancia será: L = 2 10-7 ln
Dm Ds
Dm = Distancia media geométrica mutua Ds = Distancia media geométrica propia
• Uso de haz de conductores en líneas trifásicas. El uso de haz de conductores en vez de utilizar un solo conductor equivalente al haz, tiene varias ventajas. Entre ellas se pueden destacar la reducción de pérdidas activas por corona y su menor reactancia, entre otras. La reducción de la reactancia al utilizar haces de conductores es significativo en el análisis de Sistemas de Potencia, por lo cual seguidamente se presentan las razones por las cuales la reactancia se reduce.
U.C. U.C.V. V. - FACULT FACULTAD AD DE INGE INGENI NIE ERIA RIA - ESCU ESCUELA ELA DE ING NGEN ENIE IERI RIA A ELÉCT ELÉCTRI RICA CA - DTO DTO DE POTE POTENC NCIA IA - SPI SPI SEMESTRE Oc Oc t 2014 _ Mar 2015 Co n t en i d o Pr o g r am át i c o Pág i n a 23 de d e 72
Por ejemplo para un haz de dos conductores, al comparar la reactancia del haz con la del conductor único equivalente se tiene: r r r 1
2
d
Haz de dos conductores normalmente r 1 = r 2 = r h
Atotal haz = r 12 + r 22 = 2 r h2 2
r h = r
Conductor equivalente
Atotal cond = r 2
Atotal haz Atotal cond
=2
r h2 r 2
=1
Para igual área, el radio equivalente equivalente del conductor único es 2 veces mayor al radio de los conductores en haz, por tanto la inductancia del conductor único será mayor que la del haz.
Ejemplo de comprobación: Considere una línea traspuesta con dos conductores por fase a 40 cm de separación, cada uno de radio r=1.725 cm y una distancia promedio entre fases de 9 mts. Cual será la inductancia por fase de esta línea y la que presentaría una línea con la misma separación entre fases y un solo conductor por fase con un área equivalente a la de los conductores en haz. Haz:
Lhaz = 2 10-7 ln
Dm e-1/4 r hazd
= 2 10-7 ln
900
= 2 10-7 ln 122.8 = 9.62 10-7 H/m
e-1/41.725x40
Dm 900 Conductor L = 2 10-7 ln Dm -7 ln -7 ln = 2 10 = 2 10 c equivalente e-1/4 2 r h e-1/4 r e-1/4 2 1.725
= 12.3 10-7 H/m
U.C. U.C.V. V. - FACULT FACULTAD AD DE INGE INGENI NIE ERIA RIA - ESCU ESCUELA ELA DE ING NGEN ENIE IERI RIA A ELÉCT ELÉCTRI RICA CA - DTO DTO DE POTE POTENC NCIA IA - SPI SPI SEMESTRE Oc Oc t 2014 _ Mar 2015 Co n t en i d o Pr o g r am át i c o Pág i n a 24 de d e 72
• Inductancia de líneas de doble circuito (Líneas
multicircuitales )
La disposición de dos circuitos sobre las mismas torres supone distancias relativamente pequeñas entre los circuitos, por tanto el acoplamiento magnético entre los dos circuitos es apreciable y el cálculo de la inductancia efectiva por fase deberá considerar la disposición espacial del conjunto de los circuitos. A efectos de analizar analizar el problema en una forma general, general, se considera considera un doble doble circuito traspuesto, traspuesto, cada uno constituido por un haz de dos conductores por fase. Se presenta la disposición espacial espacial de los conductores en sus tres secciones de trasposición. a
c’
d
b 5
1
2
11 12
6
9 10
9
b’ 7
8
3
Sección 1
10
7
1
a’ 3
b 4
8
2
5
4
c
5
11 12
Sección 2
6
3
4
9 10
c’ 6
a’
b
a
a’
c
b’
c
11 12
a 1
c’
b’ 2
7
8
Sección 3
Los dos circuitos están en paralelo, por tanto los haces a-a’ constituyen la fase a de la línea de doble circuito. Igualmente se hace con los haces b-b’ y c-c’. Debe notarse que los haces de una misma fase se sitúan espacialmente espacialmente de forma tal que su separación sea la máxima máxima posible a fin de aumentar aumentar el radio equivalente equivalente del haz. Con ello se
U.C. U.C.V. V. - FACULT FACULTAD AD DE INGE INGENI NIE ERIA RIA - ESCU ESCUELA ELA DE ING NGEN ENIE IERI RIA A ELÉCT ELÉCTRI RICA CA - DTO DTO DE POTE POTENC NCIA IA - SPI SPI SEMESTRE Oc Oc t 2014 _ Mar 2015 Co n t en i d o Pr o g r am át i c o Pág i n a 25 de d e 72
d12 = d34 = d56 =d78 = d910 = d1112 = d En el primer ciclo de trasposición: trasposición: d13 ≈ d14 ≈ d23 ≈ d24 ≈ daa’
d15 ≈ d16 ≈ d25 ≈ d26 ≈ dab
d17 ≈ d18 ≈ d27 ≈ d28 ≈ dab’
d111 ≈ d112 ≈ d211 ≈ d212 ≈ dac’
d19 ≈ d110 ≈ d29 ≈ d210 ≈ dac
Se considera además que d aa’ dab dab’ dac dac’ son las distancias entre centros de haces. Por tanto: Daa = Dbb = Dcc =
16 16
16
(GMR)4 d4 daa’8 = (GMR)4 d4 dbb’8 = (GMR)4 d4 dcc’8 =
4 4
4
GMRxd
daa’
GMRxd
dbb’
GMRxd
dcc’
Ds =
3
Daa Dbb Dcc
La distancia media geométrica entre fases es: Dab =
16
=
4
16
(d15d16d17d18)(d25d26d27d28)(d35d36d37d38)(d45d46d47d48) = dab dab’ da’b da’b’
Por tanto: Dm =
3
Dab Dbc Dca
Dbc =
Dca =
dbc dbc’ db’c db’c’ L = 2 10 -7 ln
dab4 dab’4 da’b4 da’b’4
Dm D
dca dca’ dc’a dc’a’
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 26 de 72
• Uso de Tablas de conductores (reactancias a 60 Hz) Normalmente, los fabricantes de conductores suministran los datos de sus conductores a través de tablas. En estas tablas, cada conductor está caracterizado por un nombre asignado y por su sección transversal medida típicamente en MCM (mil circular mil). En forma tabular se indican varios parámetros del conductor, tales como su radio, su GMR, el tipo de conductor, su reactancia a 60 Hz en nuestro caso, etc. Los valores de reactancia son por unidad de longitud y es común suministrarla en dos datos distintos, cuya suma es la reactancia total por unidad de longitud. Un valor será la reactancia inductiva del conductor a 1 pie o 1 metro de separación según el sistema a usar. El otro valor será un factor de espaciamiento de la reactancia, de acuerdo a su expresión matemática. L = 2 10-7 ln
Dm Ds
XL = 0.0754 ln
XL = 2 f 2 10-7 ln Dm Ds
/ Km = 0.1213 ln
XL = 0.0754 ln Dm + 0.0754 ln 1/Ds Xa
/ Km
Xd
XL = 0.1213 ln Dm + 0.1213 ln 1/Ds Xa
Dm Ds
Xd
/ mi
Dm Ds
= 754 10-7 ln
Dm Ds
/m
/ mi Xa : Factor de espaciamiento de la reactancia inductiva Xd : reactancia inductiva a 1 pie de separación o a 1 metro de separación según la constante usada
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 27 de 72
B. Capacitancia de líneas de transmisión q Para x r x 0 = 8.85 10-12 F/m r: radio del conductor x2 Diferencia de potencial entre dos puntos V12 = E dx = Intensidad de campo eléctrico E =
q
ln
x1
r E = 0
Para x x2 x1
Voltios
Potencial de un conductor debido a las cargas de un grupo de conductores:
Vkp=
1
n j=1
q j ln d jp dkj
dkp k j
p
d jp
Considerando que: qn = - ( q1 + q2 + … + qn-1) se tiene: n-1 n 1 1 d q + q j ln jp j ln Vkp= dkj dnp j=1 j=1 Si en punto p se lleva al infinito con el fin de considerar todo el campo eléctrico producido por las corrientes de los conductores k y j, la ecuación anterior se reduce a: n 1 1 q j ln Vk=
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 28 de 72
Concepto de capacitancia de una línea de dos conductores:
C=
q
Vab =
Vab =
(Faradios/metro)
V
Pero qa = -qb
qa
Vab = qa
ln
D2
qa
ln
D
- ln
Cab =
r ar b
=
Vab
ln
qb
ln
D2
r b D
a
D qa
+
r a
r b
r a
ln
D
Cab
b
D
r ar b Si r a = r b
Cab =
D ln
Can = Cbn = Cn =
qa Vab 2
=
(Faradios/metro)
Capacitancia entre fases
r
D ln
r
(Faradios/metro)
x 8.85x10-12
Cn = ln
D r
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 29 de 72
La reactancia capacitiva será:
Xc =
1
=
fC
ln (D/r)
(F/m)
x 60 x 8.85x10-12
= 0.0477 x 109 ln (D/r) (F/m)
para 60 Hz
Las unidades de Xc son ohm x metro a neutro La expresión anterior puede escribirse como: Xc = 0.0477 x 109 ln (1/r) + 0.0477 x 109 ln (D)
(ohm x metro)
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 30 de 72
Capacitancia de líneas trifásicas con disposición simétrica de conductores de fase: c
D
Va =
D
a
b
D
Vb = Vc =
1 qb qc
1 r
qa ln ln ln
1
+ qb ln
D
1
+ qc ln
qa
=
ln
D
D
r
D
r Can = Cbn = Ccn =
D
r
D
ln
(F/m)
r
Capacitancia de líneas trifásicas con disposición asimétrica de conductores de fase: De forma similar a la inductancia, si las fases no tiene una disposición simétrica, las capacitancias por fase son distintas, por tanto si se requieren iguales capacitancias por fase, se debe hacer trasposición de la línea. 2
2
b
D12
D12
D23
1
2
a
D12
D23
1 a
D31
Sección 1
3 c
c
D23
1 c
D31
Sección 2
3 b
b
D31
Sección 3
3 a
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 31 de 72
Vab =
Vab = Vab =
1
1
1
qa ln
qa ln qa ln
D12
r D23
r D31
r
+ qb ln
+ qb ln + qb ln
r D12
r D23
r D31
+ qc ln
+ qc ln + qc ln
D23 D31 D31 D12 D12 D23
Sección 1 de la trasposición
Sección 2 de la trasposición
Sección 3 de la trasposición
Considerando la línea competa, esto es, promediando los valores de todas las trasposiciones:
Vab =
1
qa ln
D12 D13 D23
+ qb
r 3
r 3
ln
D12 D23 D31
+ qc ln
D12 D23 D31 D12 D23 D31
3
Si se define
Dm =
1 Vab = 1 Vac =
D12 D23 D31
qa ln qa ln
Dm
r Dm
r
Distancia media geométrica mutua (entre fases)
+ qb ln + qc ln
r Dm
r Dm
3 Van = Vab + Vac
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 32 de 72
3 Van =
1
2 qa ln
También se tiene: 3 Van =
3
ln
Dm
r
+ qb ln
qa + qb + qc = 0 Dm
r
r
+ qc ln
Dm
r Dm
por tanto:
Cn =
ln
Dm
= Can = Cbn = Ccn
r
Capacitancia de líneas trifásicas con varios conductores por fase: Por similitud con las expresiones de inductancia de líneas con varios conductores por fase, el cálculo de la capacitancia debe considerar las distancias medias geométricas mutuas entre fases y las distancias medias geométricas propias entre subconductores de una misma fase. En este caso se usan los radios de los conductores y no sus radios medios geométricos como en el caso inductivo. Por tanto se tiene: Dm es la misma distancia que la calculada para el efecto inductivo
Cn =
ln
Para dos conductores por fase: Dm
Ds
rd
Ds = 3
r d2
Para tres conductores por fase:
Ds =
Para cuatro conductores por fase:
Ds = 1.09
4
r d3
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 33 de 72
• Tablas de conductores (reactancias capacitivas a 60 Hz) Se ha obtenido la siguiente expresión para la reactancia capacitiva
Xc = 0.0477 x 109 ln (1/r) + 0.0477 x 109 ln (D)
Xa = 0.0477 x 106 ln (D)
Xd = 0.0477 x 106 ln (1/r)
(ohm x Km)
(ohm x Km)
(ohm x metro)
Xa : Factor de espaciamiento de la reactancia capacitiva Xd : reactancia capacitiva a 1 Km. de separación
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 34 de 72
C. Resistencia de líneas de transmisión Si por un conductor circula corriente continua, ésta se distribuye uniformemente por toda la sección transversal del conductor. La resistencia que presenta se llama resistencia en corriente continua y su valor viene dado por la siguiente expresión: l Rcc = : resistividad del conductor l: longitud efectiva A: sección transversal A En corriente alterna, la distribución de corriente no es uniforme en la sección transversal del conductor debido al efecto pelicular que indica que la corriente es mayor en la periferia que en su interior, lo que conlleva a una disminución de la sección efectiva del conductor y por tanto a una mayor resistencia que en este caso se llama resistencia en corriente alterna. Este efecto es despreciable para frecuencias bajas (60 Hz). El efecto que se debe considerar es la variación lineal de la resistencia y de la resistividad con la temperatura. En este sentido la resistividad y la resistencia de los conductores eléctricos a una temperatura de 20°C es la siguiente:
= 1.77 x 10-8
.m para el Cobre
= 2.83 x 10-8
La resistencia en función de la temperatura es:
.m para el Aluminio
R2 T + t2 = R1 T + t1
T = 234.5°C para el cobre T = 228.0°C para el aluminio
En la expresión anterior, T es la temperatura en °C para la cual la resistencia es cero. Esta es una constante para cada material Normalmente los fabricantes indican la resistencia en cc a 20°C y con estos datos se calcula con la
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 35 de 72
Consideración del efecto de la tierra. Consideración del efecto de la tierra en la impedancia inductiva de líneas de transmisión Para líneas trifásicas traspuestas, la inductancia y la impedancia inductiva se ha calculado en la siguiente forma: L = 2 10-7 ln
Dm Ds H/m
Dm : Distancia media geométrica mutua entre fases Ds : Distancia media geométrica propia de fase
Dm /Km Ds En estas expresiones no esta considerado el efecto inductivo del conductor de neutro si lo hubiera, ni los efectos de la tierra y de los cables de guarda. ZL =
r + j 0.0754 ln
La tierra se puede simular desde el punto de vista inductivo, como un conductor ficticio de longitud infinita situado en la superficie del terreno y paralelo a la línea. El terreno se caracteriza por una resistividad uniforme que debe ser conocida. Como las líneas de transmisión pueden pasar por terrenos con distinta resistividad (suelos arcillosos cercanos al mar, suelos rocosos, etc) la resistividad es distinta en cada caso, pero siempre se puede obtener la resistividad promedio ponderada o trabajar con distintas secciones de la línea que tengan resistividades muy diferentes.
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 36 de 72
• Efecto de la tierra en la impedancia inductiva de líneas trifásicas a + Ia
Van I + b Vbn + Ic
Zan
-
Zan
+
Van - n In V
Znn’
V+ bn’
Zab
+ Vcn’
Zan
In
n’
Znn’
Zan Ib Zan Ib Zan Ic + + +
= Zaa’ I + Zab Ib + Zab I + Z
I + Va’n’ – (Z
+ Van’
Zab
Zaa’
Considerando la fase a: + + + Zaa’ Zab Ib Zab Ic Zan In
Ia
Zab
Zaa´
Vcn
n
a’
Zaa’
-
+ Van’ n’
I +Z
Ib + Z
I + Znn’ I )
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 37 de 72
Van - Va’n’ = (Zaa – Zan) Ia + (Zab - Zan ) (Ib + Ic ) + (Zan – Znn )In
In = - (Ia + Ib + Ic )
Van - Va’n’ = (Zaa + Znn – 2 Zan) Ia + (Zab + Znn – 2 Zan ) Ib + (Zab + Znn – 2 Zan) Ic definiendo: Zii = Zaa + Znn – 2 Zan Vaa’ Vbb’ Vcc’
=
Zii Zij Zij Zij Zii Zij Zij Zij Zii
Ia Ib Ic
y Zij = Zab + Znn – 2 Zan matricialmente se puede escribir:
En general para una línea con retorno por tierra se tiene: Zaa = r aa + j w Laa Znn = r nn + j w Lnn
Zan = j w Man y Zab = j w Mab
Escrito en forma mas simplificada y en general para cualquier fase: Zi = r i + j w Li
Zn = r n + j w Ln
Zin = j w Min y Zij = j w Mij
Por tanto: Zii = ( r i + r n ) + j w ( Li + Ln – 2 Min ) = r ii + j w Lii Zij= ( r n ) + j w ( Mij + Ln – 2 Min ) = r ij + j w Lij Pero: L = 2 10-7 ln i Lii = 2 10-7
1 GMRi
Ln = 2 10-7 ln
1 GMRn
1 1 ln + ln - 2 ln GMRi GMRn
L = 2 10-7 ln
1
+ ln
1
2 ln
1 Dig
Min = 2 10-7 ln 1 Din 1
H/m =
2
10-7
Mij = 2 10-7 ln Din2 ln GMRi GMRn
-7 H/m = 2 10 ln
Din2
1 Dij
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 38 de 72
Definiendo:
Din2 De = GMRn
Lii = 2 10-7 ln
Por tanto: Zii = ( r i + r n ) + j w ( 2 10-7 ln Zij= ( r n ) + j w ( 2 10-7 ln De Dij
De H/m GMRi
De Dij
Lij = 2 10-7 ln
De De ) = ( r + r ) + j 0.0754 ln i n GMRi GMRi D ) = r ij + j 0.0754 ln e /Km Dij
H/m
/Km
Para calcular el valor de la resistencia que considera el efecto de retorno por tierra r n se utiliza el valor encontrado empíricamente por Carson: Rn = 9.869 10-4 f
para 60 Hz
/Km
Rn = 0.05921
/Km
El valor De también según Carson viene dado por:
De = 2160
f
en pies (ft)
en
.m
Para 60 Hz y en
.m
De = 85
en mts
Por tanto los elementos de la matriz de impedancia serie de una línea de transmisión traspuesta de 60 Hz considerando el efecto del suelo tienen la siguiente forma: Zii-n = (r i + Rii-n) +j (xi + Xii-n)
r i + j xi
Zij-n = Rij-n + jXij-n
Rij-n + jXij-n
Componentes de la impedancia de la línea sin considerar el efecto de tierra Componentes del efecto de la tierra
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 39 de 72
Resistividad de terrenos
Fuente: https://sertec1.sslpowered.com/sertec.com.py/telergia/telergia/in
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 40 de 72
• Consideración del efecto de la tierra en la impedancia capacitiva de líneas de transmisión La tierra afecta la capacitancia de las líneas de transmisión debido a la modificación del campo eléctrico ante la presencia de tierra. El análisis de este efecto se hace a través del método de las imágenes, que consiste en sustituir la tierra como elemento real, por conductores imagen de los conductores reales que se verían en un espejo ubicado en la superficie de la tierra. Estos conductores imagen se sitúan por el efecto espejo a una profundidad desde el suelo igual a la altura que desde el suelo tienen los conductores reales. La carga de estos conductores imagen debe ser de signo contrario a la de los conductores reales. La validez de este método de las imágenes se basa en que el campo eléctrico producido por los conductores reales de una línea de transmisión, considerando la superficie de la tierra como una superficie equipotencial, es el mismo al que producen el conductor real y su imagen ubicado en la forma descrita. Se describe gráficamente esta situación con un solo conductor real. Conductor sobre Conductor sobre ++ el suelo el suelo ++ ++ + + ++ Equivalente a Líneas de fuerza Líneas de fuerza H del campo eléctrico del campo eléctrico suelo Situación real
2H Conductor ficticio
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 41 de 72
Para una línea trifásica, los conductores y sus imágenes serán: 1
D12
+qb 2
+qa
En esta configuración de 6 conductores se tiene: D23
D13
+qc H13 H1
H12
H12
H23 H31
Vab =
1
r
- ln
H12 H1
+
3
+ qb ln
H3
H2
qa ln
D12
+ qc ln
H23
r D12 D23
D31
- ln -+ ln
H2 H12
+
H23 H31
Expresiones similares se pueden escribir para las otras dos secciones de trasposición. Tomando el promedio de las tres trasposiciones, el coeficiente de q, es decir, la capacitancia es: -qc 3 -qa 1
Cn =
Dm ln - ln r
Sección 1 de trasposición
3 3
H12 H23 H31 H1 H2 H3
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 42 de 72
El efecto de la tierra en la capacitancia de la línea es incrementar su capacitancia en el término 3
ln
3
H12 H23 H31 H1 H2 H3
Esto término indica que mientras mas altos están los conductores de la línea sobre el suelo, las distancias Hij mas se acercan a las distancias H i, por tanto a mayor altura de la línea, menor es el efecto de la tierra sobre su capacitancia.
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 43 de 72
Consideración del efecto de los cables de guarda. Efecto inductivo de los cables de guarda en líneas trifásicas (Líneas con dos cables de guarda) Zvv’
Iv
Zww’
Iw
Zaa’
Ia
Zaa’
Ib
Zaa’
Ic
n -
n’ -
Znn’
In
Las ecuaciones de las tensiones para cada conductor serán: Va Vb Vc Vv V
Zaa Zba = Zca Zva Z
Zab Zbb Zcb Zvb Z
Zac Zbc Zcc Zvc Z
Zav Zbv Zcv Zvv Z
Zaw Zbw Zcw Zvw Z
Ia Ib Ic Iv I
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 44 de 72
Estas ecuaciones se pueden escribir en la siguiente forma mas compacta: Vabc Vvw
Z A ZB = Z Z C D
Iabc Ivw
En estas ecuaciones matriciales, las tensiones de los dos cables de guarda Vv y Vw son cero con respecto al neutro, ya que estos cables están aterrados.
También hay que considerar que la matriz Z A puede tener incluido el efecto de la tierra. Vvw =
Vv = 0 Vw
Por tanto aplicando la reducción de Kron al sistema de ecuaciones anterior se tiene: Vabc = (Z A – ZB ZD-1 ZC) Iabc = Zabc Iabc
Nótese que el sistema inicial de ecuaciones que era de orden 5 (cinco conductores, tres de fase y dos de guarda) se ha reducido en el último sistema de ecuaciones a orden 3 (las tres fases del sistema). El efecto de los cables de guarda esta representado por el termino negativo de la última expresión.
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 45 de 72
• Efecto capacitivo de los cables de guarda en líneas trifásicas (Líneas con dos cables de guarda) Para líneas trifásicas simétricas, se ha obtenido la siguiente expresión de la tensión fase neutro:
Va =
qa
ln
D
Vb =
r
qb
ln
D
Vc =
r
qc
ln
D
r
La tensión fase neutro escrita en forma general es:
q
V=
ln
D
r
= P q
donde:
P=
1
ln
D
r
P P es el coeficiente de potencial que para el caso de una línea trifásica, este valor se transforma en una matriz de coeficientes de potencial de rango 3. La expresión matricial de coeficientes de potencial para una línea trifásica con dos cables de guarda es: Va
Paa Pab Pac Pav Paw
qa
Vb
Pba Pbb Pbc Pbv Pbw
qb
Pca Pcb
Pcc Pcv Pcw
qc
Pva Pvb Pvc Pvv Pvw
qv
Vc Vv
=
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 46 de 72
El anterior sistema de ecuaciones de orden 5 (5 conductores) puede reducirse a uno de orden 3 que represente las 3 fases y tenga incluidos los efectos capacitivos de los dos cables de guarda. Paea ello, se considera que Vv = Vw = 0 y se hace una reducción de Kron resultando el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:
Va Vb Vc
=
Paa Pab Pac
qa
Pba Pbb Pbc
qb
Pca Pcb Pcc
qc
Vabc = Pabc qabc
Pabc es la matriz de coeficientes de potencial de una línea trifásica que tiene incluido el efecto de los dos cables de guarda. La matriz original de coeficientes de potencial de rango 6 puede tener ya incluido el efecto de la tierra, si en el cálculo de P abc se consideró el término que representa este efecto. 3
ln
3
H12 H23 H31 H1 H2 H3
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 47 de 72
Si la línea tiene conductores en haz, el cálculo de los términos de la matriz P sigue realizándose de la misma forma y con la misma expresión matemática de P
P=
1
ln
D
r
Solo se sustituye el radio r, por el radio equivalente del haz y si la línea no tiene una disposición geométrica equilátera de sus fases, se considera que la línea esta traspuesta y D pasa a ser la distancia media geométrica entre fases, es decir:
P=
1
ln
Dm
Ds
Una vez calculados los coeficientes de potencial, se puede calcular la capacitancia de la línea de la forma siguiente:
C =
q V
(F/m)
V=
1
q
C
Comparando esta expresión con la que define los coeficientes de potencial ( V = P q ) se tiene: -1 C = P
Y = j w C = j w P-1
Por tanto para obtener la matriz de admitancia shunt de la línea, se calcula la matriz de coeficientes de potencial, se invierte y se multiplica por jw que se puede escribir así:
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 48 de 72
Yabc =
Yaa
-Yab -Yac
-Yba
Ybb -Ybc
-Yca
-Ycb
Ycc
(ohm-1)
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 49 de 72
Modelación de líneas. Los parámetros de las líneas de transmisión (resistencia, inductancia, capacitancia) están uniformemente distribuidos a lo largo de la línea. La resistencia e inductancia caracterizan la impedancia serie de la línea y la capacitancia conforma la admitancia shunt de la misma. Cabe señalar que en esta descripción se ha despreciado la conductancia de línea, la cual aunque no es nula, puede representar las pérdidas en el aislamiento por corona y otros, su valor es tan pequeño en comparación con el resto de parámetros, que su efecto no influye de forma significativa en los modelos de líneas para análisis de sistemas de potencia. Estos parámetros característicos de las líneas, por su distribución a lo largo de ellas, se representan por la sucesión de un número infinito de elementos, cada uno de ellos de longitud dx, según se representa a continuación:
V1 : Extremo emisor
V1
R dx
L dx
6 6 6 6
V2 : Extremo receptor
C dx
Elemento diferencial
V2
Zx = Rdx + j ω Ldx Yx = j ω Cdx
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 50 de 72
En cada elemento diferencial se tienen las siguientes relaciones matemáticas: dV = Zx dx I dI = Yx dx V
dV = Zx I dx
dI = Yx V dx
Derivando las ecuaciones anteriores y sustituyendo una en la otra se tiene: d2V = Zx Yx V dx2 Si ahora se define:
d2V dx2
= 2 V
d2I = Zx Yx I dx2
=
Zx Yx
d2I dx2
: se llama constante de propagación
= 2 I
La solución general de las dos ecuaciones diferenciales será V = k1 cosh x + k2 senh x I = k3 cosh x + k4 senh x
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 51 de 72
Las cantidades k 1, k2, k3, y k4 son constantes de integración cuyos valores son: K1 = V2 K2 =
tensión del extremo receptor
Zx
I2 =
donde Zc = K4 =
Zx/Yx
K3 = I2
corriente del extremo receptor
I2 = Zc I2
Zx/Yx se llama la Impedancia característica de la línea y sus unidades son ohm Yx
V2 =
Zx/Yx
V2 =
1 V2 Zc
Las ecuaciones anteriores pueden ser escritas matricialmente para un elemento diferencial como: V I
=
cosh x 1/Zc senh x
Zc senh x cosh x
V2 I2
Si se hace x = l , donde l es la longitud total de la línea, las ecuaciones de corrientes y tensiones resultan: V I
=
cosh l 1/Zc senh l
Zc senh l cosh l
V2 I2
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 52 de 72
• Circuito π equivalente como modelo de la línea de transmisión: Consideremos que la línea pueda ser representada por el siguiente modelo:
V1
I2
Z’
I1
Y’ 2
Y’ 2
V2
En este modelo matemático, las ecuaciones que relacionan la entrada con la salida son: V1 = Z’ I2 +
Y’ V2 2
Y’ V + 2 1
I2
I1 =
+ V2 +
Y’ V2 2
Asociando términos de este sistema de ecuaciones con los de la expresión matricial anterior, se tiene:
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 53 de 72
Y’ 1 tgh l = 2 Zc 2
Z’ = Zc senh l
Por tanto el circuito π equivalente será:
Zc senh l
I1
1 tgh l 2 Zc
V1
I2
1 tgh l 2 Zc
V2
A veces también es útil expresar los parámetros del modelo π de la línea en la forma siguiente:
I1
V1
Z senh l l Y’ tgh l l 2
I2 Y’ tgh l l 2
V2
Z y Y son en este caso la impedancia y la admitancia total de la línea
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 54 de 72
• Modelos simplificados de líneas de transmisión Para las longitudes típicas de las líneas de transmisión es razonable usar algunas aproximaciones del modelo general equivalente en π obtenido anteriormente. Para valores pequeños de l se cumple: senh l = l
l tanh 2
l = 2
tanh l l
= 1
Con el uso de estas aproximaciones en el modelo general matemáticamente exacto, tradicionalmente, las líneas de transmisión, dependiendo de su longitud, se han modelado mediante el uso de alguno de los tres circuitos siguientes, dependiendo del nivel de precisión que sea requerido en los resultados: Modelo para líneas largas (longitudes mayores a 150 millas o 240 Km.): En estas líneas se usa típicamente el modelo exacto sin las aproximaciones consideradas previamente. Z senh l I2 l I1
V1
Y’ tgh l l 2
Y’ tgh l l 2
V2
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 55 de 72
Modelo para líneas de longitud media (longitudes entre 50 y 150 millas o entre 80 y 240 Km.): En estas líneas l << 1 y las aproximaciones anteriores son válidas. Z’ = Z
En este caso si l << 1
y
Y’ Y = 2 2
Los parámetros distribuidos del circuito equivalente exacto, se sustituyen por los parámetros concentrados Z y Y de la línea
V1
I2
Z
I1 Y 2
Y 2
V2
Z y Y son la impedancia serie y la admitancia shunt total de la línea
Las relaciones matemáticas entre la entrada y la salida son la relaciones típicas de un cuadripolo, caracterizado por las típicas constantes A, B, C y D.: A = D = (Z Y)/2 +1 V1 = Z ( I2 + Y/2 V2 ) + V2 V1 = A V2 + B I2 B=Z I1 = C V2 + D I2 I1 = V2 Y (1 + (Z Y)/4) + ((Z Y)/2 +1) I2 C = Y (1 + (Z Y)/4)
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 56 de 72
Modelo para líneas de longitud corta (longitudes menores a 50 millas o a 80 Km.): El modelo de las líneas de transmisión consideradas cortas, con longitudes típicamente menores a 50 millas, se considera el mismo modelo de parámetros concentrados de longitud media, despreciando las admitancias shunt en dicho modelo. I1 V1
Z
I2 V2
Ecuaciones del modelo: V1 = V2 + I2 Z I1 = I2 Z es la impedancia serie de la línea
En algunos casos, cuando la relación X/R de la impedancia serie de la línea es muy grande, se desprecia R y el modelo de la línea se reduce a una reactancia serie. • Potencia natural de una línea de transmisión ( SIL ) La potencia natural de una línea de transmisión es un valor particular de potencia, normalmente potencia activa, que transmite la línea. Es útil conocer esta potencia para compararla con distintas potencias que se transmiten durante el ciclo típico de carga de la línea y adelantar su comportamiento. Zx/Yx Previamente se ha definido la impedancia característica de la línea como: Z = c
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 57 de 72
Si se desprecia la conductancia shunt y la resistencia serie de la línea, la impedancia característica se reduce a: Rc =
L/C
En este caso la impedancia característica se reduce a un valor de resistencia.
Se define el S I L (Surge Impedance loading) de una línea, como la potencia entregada por la línea a una carga resistiva igual a R c. La corriente que suple la línea en estas condiciones es: Vlinea
Vlinea I2 =
SIL= 3
L/C
3 Vlinea
kV2línea SIL=
3
L/C
MW
L/C
Cuando por una línea se transmite una potencia igual a su S I L, la tensión en su extremo emisor es igual a la de su extremo receptor, por tanto la potencia reactiva que absorbe la línea en su reactancia inductiva es igual a la potencia reactiva que genera en su reactancia capacitiva. En esta condición, la línea vista desde sus extremos, no consume ni produce potencia reactiva neta que salga o entre en la línea. Expresado de otra forma, en estas condiciones la línea no aporta ni consume potencia reactiva del sistema.
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 58 de 72
La transmisión de potencias por una línea distintas a su S I L, ocasiona caídas o elevaciones de la tensión del extremo receptor con respecto a la de su extremo emisor como se presenta en la siguiente gráfica:
En esta gráfica se indica la variación de tensión del extremo receptor U 2 de una línea de transmisión sin pérdidas y con longitud l, para una tensión U 1 del extremo emisor, cuando por esta línea se transmiten distintos niveles de potencia. Si por la línea se transmite una potencia igual a su carga característica (S I L), U 2 = U1. Si la línea está operando en vacío, U 2 > U1. Si se transmiten cargas elevadas, por ejemplo, su plena
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 59 de 72
A efectos de cuantificar el S I L de distintas líneas de transmisión, su impedancia característica será: μ0 μ 0 ln D D D 1 L = ln = ln dado que: 60 a L/C = r’ ε0 2π r r Rc = 2π 2 π ε0 Ca = D ln r se asume la aproximación r’ = r D los valores D/r varían típicamente entre 100 y 2000. En la expresión anterior Rc = 60 ln r 200 < Rc < 400 Ω por tanto, la variación típica del S I L será: Las características típicas de líneas de transmisión aéreas, se presentan en la tabla siguiente:
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 60 de 72
• Corriente de vacío en líneas de transmisión (charging current) Cuando una línea esta energizada desde un extremo, con el otro extremo abierto, la corriente que se recibe en el extremo cerrado de la línea se llama corriente de vacío o charging current. Esta corriente está asociada principalmente a la capacitancia de la línea. Por definición, esta corriente se calcula de la forma siguiente: Ivacío = Icharging = j 2 π f Cn Van
donde:
f : Frecuencia Cn : Capacitancia fase tierra de la línea Van: Tensión nominal fase neutro
Compensación de líneas de transmisión Líneas con pérdidas despreciables, operando en su S I L no presentan caídas de tensión. Para potencias transmitidas superiores al S I L, se ocasionan caídas de tensión, mientras que potencias transmitidas inferiores al S I L, producen elevación de la tensión. Las variaciones en la magnitud de la tensión deben ser controladas y mantenidas en un margen determinado. Una de las formas de lograr este objetivo es mediante la compensación de las líneas. Es de destacar que en la red de transporte, no todas las líneas tienen compensación, ya que el control de las tensiones se hace también con los generadores, los compensadores, los transformadores y con otros elementos de regulación de tensión. Dependiendo del signo de la variación de la tensión, las líneas se pueden compensar para elevar la tensión del extremo receptor, normalmente en condiciones de alta carga, o para reducirla, normalmente en condiciones de baja carga.
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 61 de 72
Compensación shunt a través de reactancias Normalmente en condiciones de baja carga, las líneas de transmisión producen mas potencia reactiva que la que consumen. Este exceso de potencia reactiva en la red es la causante de la elevación de las tensiones. Para controlar este aumento, las líneas de transmisión pueden ser compensadas conectando una reactancia, típicamente en el extremo receptor, que es en el que se eleva la tensión si no hay compensación. De esta forma, la reactancia absorbe un porcentaje de la potencia reactiva neta generada por la línea, regulándose la tensión en su extremo receptor. El modelo equivalente de la línea con la reactancia será:
V1
I2
Z
I1
B j c 2
j
Bc 2
Modelo línea de transmisión
I ’2
V2
6 6 6 j X 6
V2
j X = - j B B = % Bc
Modelo del reactor
La susceptancia B del reactor es un porcentaje de la susceptancia total de la línea B c. Normalmente estos reactores tienen interruptores propios de forma tal que ellos pueden ser conectados o desconectados de la red, dependiendo de las condiciones de tensión presentes.
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 62 de 72
• Compensación serie a través de condensadores El objetivo principal al compensar una línea de transmisión con un condensador conectado en serie con dicha línea en una de sus extremos, el receptor, es aumentar la capacidad de transporte. La capacidad de transmisión de una línea puede ser incrementada si en serie con la línea se conecta un condensador. El aumento de la capacidad de transporte depende de la capacitancia del condensador comparada con la impedancia de la línea. Un objetivo adicional de la compensación serie es la mejora que conlleva en el perfil de tensiones. El aumento en la capacidad de transporte a través de la compensación serie de líneas es una forma de ajustar los programas de inversión y de solventar deficiencias en la transmisión. Normalmente para aumentar la capacidad de transporte, es mucho mas rápido y a veces mas económico instalar un banco de condensadores serie con una línea, a construir una segunda línea. Sin embargo la instalación de bancos de condensadores serie con líneas también presenta algunos inconvenientes que se deben resolver. Algunos de ellos serán tratados posteriormente. El modelo equivalente de la línea con la compensación serie será:
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 63 de 72
I2
Z
I1
I2 j X
V1
j
Bc 2
j
Bc 2
V2
Modelo línea de transmisión
V’2
Modelo del banco de condensadores
Porque el condensador serie aumenta la capacidad de transporte? Consideremos el modelo de la línea con algún detalle adicional al presentado previamente: I1
Rs
j X
s 6 6 6 6
I2
Zs V1
B j c 2
B j c 2
V2
Zs = Zs
θ
V1 = V1
δ1
V2 = V2
δ2
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 64 de 72
S1 =
V1 I*1
=
= V1
V1 V2
B V1 j c 2 δ1 - δ1 + θ
V1 – V2 * = - V1 V*2 + Z*s Zs +
Zs
V21 Zs
θ
+
Bc V21 2 () = V j + 1 2 Z*s
- j V21 Bc 2
Separando parte real e imaginaria y definiendo δ = δ 1 - δ 2 se tiene: P1 = -
Q1 = -
V1 V2 Zs V1 V2 Zs
cos( δ + θ ) +
V21 Zs
V21 sen( δ + θ ) + Zs
cos(θ )
2 B sen(θ ) - V 1 c 2
De forma similar, las potencias activa y reactiva en el extremo receptor serán: P2 =
Q2 =
V1 V2 Zs
cos( δ - θ ) -
V22 Zs
cos(θ )
sen( δ - θ ) -
V22 Zs
2 B sen(θ ) + V 2 c 2
V1 V2 Zs
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 65 de 72
Si se asume Rs pequeña, de forma tal que X s/Rs sea grande, caso por lo demás típico en líneas de transmisión, se tiene: V1 V2
P2 =
Zs
cos(90 - Θ ) -
V22 Zs
cos(90) =
V1 V2 Xs
sen( δ )
Esta es la ecuación de la potencia activa transmitida por la línea. A la salida del condensador serie, esta ecuación de potencia activa se convierte en: P’
2
=
V1 V2
sen( δ )
Xs- X
además:
V’2 = V2 + I2 (- j X )
El diagrama unifilar del conjunto línea - condensador serie con las ecuaciones de potencia transmitida serán:
j Xs 6
6 6 6
I1 V1
Zs B j c 2
B j c 2
P2 =
V1 V2 Xs
sen( δ )
P2 =
I2
P’
2
=
V1 V2 Xs- X
I2 -jX V2
V’2
sen( δ )
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 66 de 72
La reactancia total del grupo línea – condensador serie se ha reducido, en consecuencia la capacidad para transmitir potencia activa aumenta. Este aumento es proporcional al inverso de la reactancia total del grupo línea – condensador, por tanto el incremento en la capacidad de transporte está definido por la cantidad que el condensador compense a la reactancia de la línea:
X = % Xs La compensación serie capacitiva de la línea a través de condensadores serie, regula la tensión del extremo receptor y aumenta la capacidad de transporte, sin embargo deben considerarse aspectos adicionales a los mencionados, porque la compensación serie puede presentar inconvenientes que deben ser considerados y resueltos antes de su instalación. Los principales y las acciones correctivas que normalmente se toman son los siguientes: • Cuando se hace compensación serie de una línea, el porcentaje de compensación oscila entre el 25% y el 70%. Nunca se compensa por encima de este valor porque existiría peligro real de presentarse tensiones no controladas, debido a elevados niveles de resonancia entre la línea y el condensador serie. Se puede visualizar la presencia de esta resonancia con una revisión a los circuitos equivalentes de la línea y del condensador, la reactancia inductiva de la línea puede anularse con la reactancia del condensador serie, resultando una impedancia total muy pequeña, en el entorno del punto de resonancia. Aun con los porcentajes recomendados de compensación, cuando esta se encuentra cerca de la generación, durante perturbaciones se pueden producir efectos resonantes de tipo electromecánico en bajas frecuencias entre el condensador serie, las reactancias de la línea y el conjunto caldera – turbina – generador, que pudieran ocasionar daños, normalmente en los
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 67 de 72
• Los condensadores serie no soportarían las corrientes de cortocircuito que se ocasionan durante fallas, sobretodo, cercanas a los condensadores, por tanto durante estas perturbaciones, los condensadores deben cortocircuitarse a través de un interruptor en paralelo que se cierra durante la falla y se abre una vez despejada la misma. • Deben tomarse precauciones especiales desde el punto de vista de las protecciones de estos equipos para tratar exitosamente todo tipo de fallas.
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 68 de 72
Modelación de líneas de transmisión mediante componentes simétricas A efectos de incluir el efecto de la tierra en la inductancia de líneas de transmisión, fue necesario considerar el acoplamiento existente entre cada conductor de fase y el camino de retorno por tierra. En estas condiciones, previamente se ha establecido la siguiente matriz de impedancias serie de una línea: Vaa’ Vbb’ Vcc’
Zii Zij Zij = Zij Zii Zij Zij Zij Zii
además se ha definido previamente:
Ia Ib Ic
Zii = Zaa + Znn – 2 Zan Zij = Zab + Zan – 2 Zan
En términos de componentes simétricas se tiene:
T
V0aa’ V1bb’ V2cc’
V0aa’ V1bb’ V2cc’
=
=
Zii Zij Zij Zij Zii Zij Zij Zij Zii
T-1
T
Zii Zij Zij Zij Zii Zij Zij Zij Zii
I0a I1b I2c
T
I0a I1b I2c
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 69 de 72
V0aa’ V1bb’ V2cc’
Z0 0 0 = 0 Z1 0 0 0 Z2
I0a I1b I2c
donde:
Z0 0 0 0 Z1 0 0 0 Z2
=
T-1
Zii Zij Zij Zij Zii Zij Zij Zij Zii
T
Z0 = Zii + 2 Zij = Zaa + 2 Zab + 3 Znn - 6 Zan Z1 = Zii - Zij = Zaa - Zab Z2 = Zii - Zij = Zaa - Zab Las componentes de secuencia de la caída de tensión entre los terminales de línea son: V0aa’ = V0an – V0a’n’ = Z0 V0a V1bb’ = V1an – V1a’n’ = Z1 V1a V2cc’ = V2an – V2a’n’ = Z2 V2a I0a
I0a
I1a
Z0 V0an secuencia cero
V0a’n’
I1a
I2a
Z1 V1an secuencia positiva
I2a Z2
V1a’n’
V2an secuencia negativa Z =Z Z =Z
V2a’n’
Z
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 70 de 72
Si se requiere utilizar el modelo de parámetros concentrados de la línea (solo se usa en casos especiales), las redes de secuencia de la línea se construyen de la forma siguiente: Las matrices de capacitancias y de coeficientes de potencial relativos al efecto capacitivo de las líneas de transmisión se han definido de la forma siguiente:
Paa P=
Pab
Pac
Pba
Pbb Pbc
Pca
Pcb Pcc
Los elementos Pij de la matriz P de coeficientes de potencial tiene incluidos el efecto de la tierra y de los cables de guarda
Caa - Cab - Cac -1
C= P =
-Cba Cbb -Cbc
Matriz de capacitancias shunt de la línea
- Cca - Ccb Ccc En líneas simétricas o traspuestas se tiene:
Pab = Pac = Pbc
y
Cab = Cac = Cbc
U.C.V. - FACULTAD DE INGENIERIA - ESCUELA DE INGENIERIA ELÉCTRICA - DTO DE POTENCIA - SPI SEMESTRE Oct 2014 _ Mar 2015 Contenido Programático Página 71 de 72
Por tanto: Paa P=
Pab
Caa - Cab - Cab
Pab -1
Pab
Pbb Pab
Pab
Pab Pcc
C= P =
-Cab Cbb -Cab - Cab - Cab Ccc
También:
Paa Y = j ω C = jω P-1 = j ω
Pab
Caa - Cab - Cab
Pab
Pab
Pbb Pab
Pab
Pab Pcc
= jω
-Cab Cbb -Cab - Cab - Cab Ccc
De forma similar al desarrollo de las componentes simétricas para la impedancia serie de la línea, la admitancia shunt de secuencia será: Y0 = Yii + 2 Yij
Y1 = Yii - 2 Yij
Y2 = Yii - 2 Yij
Por tanto las componentes de secuencia de la línea considerando el efecto capacitivo serán: