BC1418: Cálculo Vetorial e Tensorial 1.
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Verifiqueasseguintesidentidades:
· × 0 · × 0 · + ·+· × + ×+× · + , ‖‖ , ‖‖ × + 2× × × + × × + × × × · × ·· ·· × × × · × · × · × · × × · × + × · × + × · × 0 çã ,,,, ,,, , (a)
e
(b)
(c)
(d)
(e) (f)
(g)
(h) Ocasoparticulardoitem(g)quando
e
(i)
(j)
Tomaremos as seguintes expansões em uma base retangular:
Assim: (a)
Pela regra do produto misto, temos a seguinte matriz com duas linhas iguais (determinante nula):
· × + + 0 ∎ × ·0 · ‖‖‖‖ cos, , ‖‖‖ ‖‖‖ cos cos⁄2 0 · × 0 ∎ · + ·+· · + , , · , , + , , , , · + , + , + + , + , + , , + , , , , · , , + , , · , , ·+· · +· ∎ · + · ( + ) ( · ) + ( · ) + ·+ · ∎ Ou, pela definição de produto vetorial, como argumentos da operação (
e
), temos que
é um vetor perpendicular a ambos os vetores
, pois, por definição,
.
Analogamente, (b)
.
Pela distributividade, bastaria que
. Ou seja:
ou, pela notação de Einstein:
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BC1418: Cálculo Vetorial e Tensorial (c)
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× + ×+× × + ,, × ,, + ,, ,, × +, +, + + , + , + , , + , , ,, × ,, + ,, × ,, ×+× ∎
Pela distributividade, bastaria que
. Por outro lado, utilizando uma
abordagem mais sistemática, temos que:
(d)
Pela regra da associatividade provada no item (b), temos:
(e)
Pela regra da associatividade provada no item (c), temos:
(f)
Sendo:
· + ··+·· ∎
× + ××+ ×× 2× ∎
e:
× , , ×× 212 221 331 +313 1(22 +33) 1(22 +33) 1(11 +22 +33) 1(11 +22 +33) +111 111 1· 1(·) 323 332 112 +121 2(33 +11) 2(33 +11) 2(11 +22 +33) 2(11 +22 +33) +222 222 2· 2(·) 131 113 223 +232 3(11 +22) 3( 11 +22) 3(11 +22 +33) 3(11 +22 +33) +333 333 3· 3(·) ××(··, ··, ··) (·, ·, ·)(·, ·, ·) ·,, ·,, ··
temos que:
Portanto:
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Ou seja, o produto vetorial triplo
onde
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× × ××+
retorna um vetor que é uma soma vetorial de
(g)
e :
· · ↔ ↔ ××××·+· × × × × ·+ · ××+××+×× · · ·+ · ·+ · ··+··+·· ∎ e
.
Utilizando, então, a antissimétria do produto vetorial e trocando os vetores
Logo:
e
, temos que:
Seja:
× , , ,, × , , ,, · + + 2233 +3322 3322 2233 3311 +1133 3311 1133 1122 +2211 2211 1122 × · × + + + + + + + + + + + + + + + + ···· · · · ·
e:
temos que:
onde:
Assim:
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BC1418: Cálculo Vetorial e Tensorial (h)
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De acordo com o resultado do item (g):
quando
· · · × · × · · · · ×·× · ‖‖‖‖ · × ×·×‖×‖ ≥0 ‖‖‖‖ · ≥0 ‖‖‖‖ ≥ · × × × × × · × · × · ,+ , +·,, + + × ··× ×××·×·× × ×××××× · ×+ · × ·× ·× ∎ e
, temos:
como o resultado final é o quadrado da norma do vetor
Assim:
(i)
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Pela relação de
do item (f), tomando
, este deve ser maior ou igual a zero:
para a associação, sabemos que:
Todavia, existe uma propriedade de invariância por permutações cíclicas do produto misto:
Logo:
O mesmo é valido tomando
(j)
para a associação, onde temos, analogamente, que:
Utilizando o resultado do item (g), temos que:
Analogamente:
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×·×·×× · ·· · ·· · ·· ·· · · · · · ×·× · · · · · · × · × ·
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Perceba que o termo da diagonal principal de
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× · × ·· ,
, se repete na diagonal
×·× × · × + × · × + × · × ···· ·· + ·· +···· 0 ∎
inversa de
. Logo, se somarmos ambos os resultados, esses termos se anulam. Isso acaba
se repetindo para todos termos das operações, ou seja:
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BC1418: Cálculo Vetorial e Tensorial 2.
,,}
Seja
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umabaseortonormalorientadasegundaaregradamãodireita.Considereosvetores
+2 +3 , 4 +5 , 3 +2 + ,
(a) Verifiquequeformamumabase.
(b) Qualovolumedoparalelepípedogeradopor
e ?
(c) Qualaorientaçãodessabase?
çã (a)
Para verificar que uma tripla de vetores formam uma base em um espaço linearmente independentes entre si, ou seja:
ℝ
, basta verificar que eles são
++0 ⇔ 0
Para satisfazer tal igualdade, é válido verificar que o produto misto entre os mesmos retorna um valor não nulo, o que implica que a disposição entre eles gera um sólido com volume igual ao módulo desse produto. Assim:
1 2 3 · × 43 52 019≠0 ∎
9
(b)
O valor do volume do paralelepípedo é dado pelo módulo do resultado do item (a), que é igual a
(c)
Como o valor do produto misto é negativo, essa base é orientada segunda a regra da mão esquerda.
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.
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BC1418: Cálculo Vetorial e Tensorial 3.
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Expresseoprodutoescalarentredoisvetoresemtermosdesuascomponentescovariantesecontravariantes.
çã As componentes contravariantes e covariantes de um vetor são aquelas que representam, respectivamente, os coeficientes da expansão do vetor uma base específica e na base dual (recíproca) dessa base específica.
·, ·, ·,,} ℯ ,,ℯ ℯ′ ,,ℯ ,,} ,,}
Ou seja, adotando as operações com o vetor
expandido em uma base retangular (ortonormal):
para sua expansão na base : e na base dual o conjunto
:
e
são denominados, respectivamente, por conjunto dos componentes
contravariantes e covariantes do vetor
.
Para encontrar o conjunto dos componentes contravariantes do vetor dado, devemos seguir as definições da base:
ℯ ,,} ℯ′ ,,} · { 1,0, sese ≠ ,,ℯ ,,ℯ , , ℯ ,,ℯ 1 · + + · + + + + + +· + + + + · · ( ·) · ( ·) ·
e sua dual:
e as seguintes regras de reciprocidade:
1
Assim, o produto escalar de dois vetores e , sendo:
pode ser expresso, seguindo a definição da equação , como:
Note que:
onde
e
é a métrica e sua inversa, respectivamente. Sabendo que:
temos:
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BC1418: Cálculo Vetorial e Tensorial 4.
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Determineoprodutovetorialentredoisvetoresnumsistemadecoordenadasoblíquo.Determineascomponentes covariantesecontravariantesdesseproduto.
çã A partir da definição dadas pela resolução do exercício 3 e da definição de ortogonalidade das bases com suas permutações cíclicas:
× e ′′ × × e ′ × × e × ∑ ( · ) · ·∑ = = ∑ ( · ) · ·∑ = = · 1 × 1 e ′ · 1 × 1′ · 1 × 1 e ′ · 1 × 1′ · 1 × 1 e ′ · 1 × 1′ ,,ℯ ,,ℯ · , · , · ℯ ·, ·, ·ℯ · × , · × , · × ℯ · ×′ , · ×′ , · ×′ ℯ × × ( ×)( ) , ( ) × ( ×)( )′ , ′( ) × × × + + × + × + × × + ×+ ×+ ×+ ×+ × + + + + + + ( ) ; em permutações cíclicas verifica-se que os coeficientes das expansões podem ser expressos por:
e que os coeficientes de ortogonalidade são expressos por:
Assim, temos que:
Logo, concluímos que:
O mesmo é igualmente verificado se expandirmos uma das somas para facilitar a visualização:
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BC1418: Cálculo Vetorial e Tensorial 5.
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Use o resultado acima para demonstrar a validade de coordenadasoblíquo.
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× × · ·
num sistema de
çã Utilizando a notação de Einstein e a permutação cíclica dos componentes como definido no resultado do exercício 4, sabendo que:
′ · ×′ ×′ · ×′ × · × | ·· ·· | 10 01 1 ××[× ×] ′ [( )( )] ′ ( +) ′ ( +) +( ) ( + +) ( + +) · · ∎ ×× × ℓ ( ×ℓ) [( )( )] ( ×) ( +) ′ ( +) +( ) ( + +) ( + +) · · ∎
temos que, para as componentes contravariantes dos vetores:
Ou, de outra forma:
Como o resultado obtido não depende de nenhuma peculiaridade da base adotada, o mesmo é válido para as componentes contravariantes dos vetores.
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BC1418: Cálculo Vetorial e Tensorial 6.
Dadaabase
,,} 1,1,1 çã emque
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4 +2 , 3 +3 , 2
éumabaseortonormal,encontreascomponentescovariantesecontravariantesdovetorque
ligaaorigemaoponto
.
A partir da definição dadas pela resolução dos exercício 3 e 4, como o vetor que liga a origem do sistema ao ponto dado pode ser expresso por:
1,1,1 0,0,0 1,1,1 · ,, ++ × 4 +2 × 3 +3 18 × 3 +3 × 2 6 6 × 2×4 +2 4 8 · ×4 +2·6 6 36 × −− + × −−− + × −−
onde percebe-se que:
calculando os produtos:
e a base dual:
temos que suas componentes contravariantes e covariantes para a base dada e sua dual são dadas respectivamente por:
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·, ·, · ·, ·, ·ℯ 4+2, 3+3, 2 16 + 16, 19 + 29, 12ℯ 2,6 ,2 0, 13 , 12ℯ
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BC1418: Cálculo Vetorial e Tensorial 7.
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Mostreque
· × · × + (b) ∫ × × se (c) × (a)
çã · × · × +· × ⏟ . · × + × · × ∎ × × +× × × + ∎ × × +× × × Logo × é constante ∎ (a)
(b)
(c)
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BC1418: Cálculo Vetorial e Tensorial 8.
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×
Otorque deumaforça comrespeitoaumponto édadopelaexpressão
· × ·
emque éovetordeposiçãodoiníciodovetor emrelaçãoa .Aprojeçãode emumeixo passandopor , i.e.,aquantidade
çã
emque éumvetorunitárionadireçãodoeixo ,échamadadetorquede comrelaçãoaoeixo .Proveque éindependentedaposiçãode em .
Adotando uma translação ao ponto
, obtemos o novo vetor direção
′ ′ ′ × · × · × ·× · ∎
e sabendo que é um vetor definido dentro do eixo
′
dado por:
, ou seja, possui mesma direção, tal que:
temos que a nova projeção obtida é expressa por:
Ou seja, a projeção de em é independente do ponto referencial
A figura acima ilustra a projeção
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adotado.
invariante com a posição do ponto de referência
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′
.
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BC1418: Cálculo Vetorial e Tensorial 9.
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Provequerotaçõesinfinitesimaissãovetores.Dica:considereduasrotaçõessucessivas,porexemplo,deumângulo aolongodoeixo ,quelevaumponto daesferaunitáriaaoponto ;eemseguida umarotaçãode ao
⃗ +( ×⃗ ) çã
longodoeixo quelevaoponto .
noponto
⃗ ⃗ +( ×⃗ ) ⃗
naesfera.Useasrelações
e
Para que essas rotações infinitesimais sejam consideradas vetores, além de possuírem magnitude e direção, devem obedecer à lei da linearidade. Ou seja, dadas duas rotações infinitesimais com magnitude e direção, a soma de ambas deve retornar uma outra rotação infinitesimal de magnitude e direção obedecendo à construção da mesma. Especificamente, podemos definir as rotações infinitesimais como:
⃗ ⃗ +⃗ ≈⃗ +( ×⃗ ) ⃗ ⃗ +⃗ ≈⃗ +( ×⃗ ) ⃗ ≈⃗ + ×⃗ ≈⃗ + +×⃗ ⃗ ⃗ ′ ×⃗ ‖‖⃗ sen(,⃗ )≈ ‖‖⃗ e
que levam, respectivamente, do ponto e do ponto
ao ponto
em uma esfera unitária ao ponto
através da rotação de um ângulo
através da rotação de um ângulo
. Para que sejam vetores, a seguinte igualdade
deve ser obtida:
Perceba que as operações de rotação são, por parte, dadas por produtos vetoriais de um vetor
ao plano de angulação (ou paralelo ao eixo de rotação) e outro vetor
que é normal
que representa um vetor que liga dois
pontos ( e ). Esse produto retorna um vetor na direção ortogonal ao vetor
e dentro do plano de angulação.
Entretanto, esse movimentação resulta numa translação em si, e não em uma rotação, como é ilustrado na
figura abaixo, onde
é o resultado para uma operação com um ângulo maior. Logo, essa operação só é válida
para rotações infinitesimais, onde o ponto ângulo
é aproximadamente o ponto referente à rotação, tal que, para um
suficientemente pequeno:
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Unindo ambas as rotações infinitesimais, temos a seguinte rotação final que leva o ponto
⃗ ≈⃗ + ×⃗ (⃗ + ×⃗ )+ ×(⃗ + ×⃗ ) ≈0 ⃗ + ×⃗ + ×⃗ + ×( ×⃗ ) ≈⃗ + + ×⃗ ∎
ao ponto
:
para rotações infenitesimais
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08/05/14 – pág. 14/14
