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Para o clarão de 50 fótons, sua energia associada com comprimento de onda de 550 nm é de:
50 50 ℎ − 6, 6 26068 ×10 · 2 , 9 97925 ×10 ∴ 50· 1,602177 ×10− 550×101 − 113
18. Os aparelhos de raio X utilizados pelos dentistas funcionam com uma tensão da ordem de 90 kV para aceleração dos elétrons emitidos por um cátodo. Suponha que os elétrons são emitidos com energia cinética inicial desprezível. Determine o comprimento de onda mínimo dos raios X produzidos por esses aparelhos. Justifique sua resposta explicando como se dá a produção de raios X. A produção de raio X se dá pelo bombardeio de elétrons aceleradas pelo cátodo em um anodo. Esses elétrons desaceleram ao se chocarem com o núcleo dos átomos do anodo devido à interação coulombiana, pois transferem momento para o núcleo. Essa desaceleração submete o elétron a uma perda de energia, o que acaba gerando ondas eletromagnéticas como um fóton de raio X. Como o raio X emitido deve ter energia máxima igual ao do elétron incidente que perde toda a sua energia, de acordo com a equação de Einstein, para um elétron:
ℎ ℎ ℎ − 6 , 6 26068 ×10 · 2 , 9 97925 ×10 ∴ 1,602177 ×10− 90×101 0,14 Å
Para um elétron, segue que:
Logo, comprimento de onda mínimo
para que os elétrons sejam ejetados do anodo é:
19. Calcule o valor de ∆λ para um fóton espalhado a um ângulo de 60 °: (a) por um próton livre. (b) por um elétron livre. (c) por uma molécula de N 2 presente no ar.
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De acordo com a equação de Compton:
onde:
Δ ℎ 1cos , − 1cos60° ≈ 1,105 ×10− · ℎ 1 cos60° 62,,6926068 ×10 97925 ×10 − 1, 1 05×10 Δ 1,672622 ×10− 0,66×10− Å 105 ×10×10−− 0,012 Å Δ 9, 11,09382 − 1, 1 05×10 Δ 2· 14· 1,660539 ×10− 0,24×10− Å
Logo, o deslocamento de Compton em um ângulo de 60° para um próton livre é de:
Enquanto, para o elétron livre é de:
E para uma molécula de N² presente no ar é de:
20. O comprimento de onda de uma certa linha da série de Balmer é 379.1 nm. A que transição corresponde essa linha? De acordo com a fórmula de Rydberg-Ritz:
tem-se:
1 1 1 , √1⁄ 11 ⁄ 2 √ 1⁄4 11⁄ ∴ √ 1⁄4 1⁄1,0973731×10 · 379,1 ×10− 10 10 2
Logo, para a série de Balmer com
:
Assim, a transição correspondente para o comprimento de onda dado na séri e de Balmer e da camada para a camada .
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21. Um astrônomo descobre uma nova linha de absorção com λ = 164.1 nm na região ultravioleta do espectro contínuo do Sol. Ele atribui a linha à série de Lyman do hidrogênio. A hipótese está correta? Justifique sua resposta. De acordo com a fórmula de Rydberg-Ritz:
tem-se:
1 1 1 , √1⁄ 11 ⁄ 1 1 √ 1 1⁄ ∴ √ 1 1⁄1,097373 ×101 · 164,1 ×10− 1,5 1 1,5
Logo, para a série de Lyman com
:
Para a série de Lyman, a transição para o comprimento de onda dado corresponderia à camada para a camada , a qual não poderia existir, pois as posições delimitadas possíveis de acordo com o modelo atômico de Bohr são bem definidas uma vez que a energia é quantizada.
22. Em uma amostra que poderia conter hidrogênio, entre outros elementos, quatro linhas espectrais são observadas no infravermelho com comprimentos de onda de 7460 nm, 4654 nm, 4103 nm e 3741 nm. Para se descobrir se há hidrogênio e etc. na amostra pode-se comparar essas linhas com a dos espectros característicos dos elementos. Quais dessas linhas pertencem ao espectro característico do hidrogênio? De acordo com a fórmula de Rydberg-Ritz:
tem-se:
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1 1 1 , √1⁄ 11 ⁄
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5
Logo, para a série de Pfund, que demandaria menos energia, logo, maior comprimento de onda, com :
√ 1⁄25 11⁄ 74601 √ 1⁄25 1⁄1,097373 ×10 · 7460 ×10− 6 4654 1 √ 1⁄25 1⁄1,097373 ×10 · 4654 ×10− 7 4103 1 √ 1⁄25 1⁄1,097373 ×10 · 4103 ×10− 7,5 3741 1 √ 1⁄25 1⁄1,097373 ×10 · 3741 ×10− 8
Assim, para o comprimento de onda de
:
Para o comprimento de onda de
:
Para o comprimento de onda de
:
E para o comprimento de onda de
:
4654 73741 8
7460 6
5
Assim, apenas as linhas correspondentes aos comprimentos de onda de e , que possuem transições da camada para as camadas e , respectivamente, pertencem ao seu espectro de emissão.
, ,
23. O muón é uma partícula idêntica ao elétron exceto pela massa, que é de 105.7 MeV/c² (cerca de 207 vezes a massa do elétron). Um muón pode ser capturado por um próton formando um átomo muônico. Calcule, para este átomo: a) O raio da primeira orbita de Bohr. b) A energia do estado fundamental. c) O comprimento de onda mais curto e o mais longo para a série de Balmer. De acordo com a mecânica clássica, a força magnética elétron é dada pela fórmula:
de atração do muón ao centro do
4
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Como, pela primeira lei de Newton e desprezando a correção de massa reduzida:
Onde
4 , 4 ℏ ⃗ ×⃗ , ℏ , 4 ℏ ℏ ⇒ 4 1 − 6, 6 26 ×10 1 · 2 − ∴ 4 ·8,854×10 105,7×102,998 · 1,×10602×10 − − ·1· 1 , 6 02×10 2,559 ×10− Å 2,559×10− Å ∞ 1 1 ∫ ∫ 4 4 [ ] ⇒ 4
é a aceleração centrípeta (tomando como modelo o átomo de Bohr), segue que:
onde:
Assim, de acordo com postulado de Bohr:
onde:
tem-se:
Para a primeira órbita do átomo onde
:
Logo, o raio do átomo formado entre um muón e um próton é de
.
Agora, a energia potencial devido a força de atração do núcleo vinda de fora do átomo à uma distância do centro é:
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E a energia cinética do muón devido ao seu movimento translacional é:
12 12 · 4 1 + 2 · 4 4 4 12 1 ⇒ 8 − 1· 1 , 6 02 ×10 ∴ 8 ·8,854×101,602−×10 · 2,−559×10− 2,813 2,813 8 · 4ℏ ⇒ 42ℏ · 1 ℎ 41 4ℏ 1 1 , 1 41 4ℏ 1 1 1 1 1 − 1 1 ⇒ [ ] ,
Logo, a energia total do muón em seu estado fundamental é:
Assim, a energia do estado fundamental do átomo é de
.
Podemos escrever a energia também como:
Pelo postulado de Bohr, segue que a frequência da radiação eletromagnética emitida quando o muón sofre uma transição de estado quântico para :
Como:
temos que:
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onde:
− 4 44ℏ·8,854 − 6, 6 26×10 4 · 2, 9 98 ×10 2 ×10− 105,7×102,998×10 · 1,602×10 − · 1,602×10− ·1 4,40789 Å 2 → ∞ − 1 − 4,40789 ×10 2 0 1,763 − 3 4,40789 ×10− 2 1 31 3,174
Logo, para a série de Balmer, onde acontece quando
, o comprimento de onda mais curto
:
E o comprimento de onda mais longo
acontece quando
:
24. (a) Calcule os três comprimentos de onda mais longos (em Å) da série de Lyman e indique sua posição em uma escala linear horizontal. Indique também o limite da série (comprimento de onda mais curto) nessa escala. Algumas dessas linhas está no visível? (b) Repita este mesmo procedimento para as séries de Pashen e Brackett. (c) Calcule a frequência, comprimento de onda e o número de onda da raia H β , que correspondem a transições de n = 4 para n = 2, da série de Balmer.
De acordo com a dedução do exercício 23, o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o elétron sofre uma transição de estado quântico para é:
1 41 4ℏ 1 1 1 1 − 1 1 ⇒ [ ] , − 1 9, 1 09 ×10 4ℏ − 4 − 6, 6 26×10 4 · 2, 9 98 ×10 2 9,411663·8,854×10×10− − 9,109×10− · 1 · 1,602×10−
onde, tomando a massa do elétron igual a
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e
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:
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1 2 3 4 − 1 1 − 9,11663 ×10 1 2 1 216 Å − 1 1 − 9,11663 ×10 1 3 1 026 Å − 1 1 − 9,11663 ×10 1 4 972,4 Å − → ∞ 9,11663 ×10− 1 1 0 911,7 Å 3 4 5 6 − 1 1 − 9,11663 ×10 3 4 18 754 Å − 1 1 − 9,11663 ×10 3 5 12 820 Å − 1 1 − 9,11663 ×10 3 6 10 940 Å − → ∞ 9,11663 ×10− 31 0 8 205 Å 4 5 6 7 − 1 1 − 9,11663 ×10 4 5 40 518 Å − 1 1 − 9,11663 ×10 4 6 26 256 Å − 1 1 − 9,11663 ×10 4 7 21 659 Å Logo, para a série de Lyman, onde e
, os 3 comprimentos de onda mais longos
acontecem quando
,
E o comprimento de onda mais curto
Para a série de Pashen, onde e
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:
, os 3 comprimentos de onda mais longos ,
E o comprimento de onda mais curto
e
, respectivamente:
acontece quando
acontecem quando
Para a série de Brackett, onde
e
e
:
, os 3 comprimentos de onda mais longos ,
,
, respectivamente:
acontece quando
acontecem quando
,
e
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,
, respectivamente:
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− → ∞ 9,11663 ×10− 4 1 0 14 587 Å 2 4 − 1 1 − 9,11663 ×10 2 4 4 862 Å 1 4862 ×101 − 2,057 − 2 , 9 98 ×10 4862 ×10− 61,66
E o comprimento de onda mais curto
Para a série de Balmer, onde
acontece quando
, o comprimentos de onda
:
quando
é:
Seu número de onda e frequência são, respectivamente:
25. (a) Calcule a energia de um elétron na órbita n = 1 do tungstênio, tomando Z −1 como carga efetiva do núcleo. (b) O valor experimental dessa energia é 69.5 keV. Suponha qu e a carga nuclear efetiva é (Z − σ), onde σ é a chamada constante de blindagem, e calcule o valor de σ a partir do resultado
experimental. De acordo com a dedução do exercício 23, a energia de um elétron na órbita de um átomo é:
42ℏ · 1 9, 1 09× − 10 − − 9,4109·8,×10854 ×10 · −74 ·12· 16,,660226×102×10− · 11 11,61 72,48 4 2ℏ · 1 4 2ℏ ⇒ Sabendo que o número atômico , segue:
do tungstênio é 74 e a massa do elétron igual a
Para a constante de blindagem , tem-se:
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69,5 − 6, 6 26 ×10 − 4 ·8, 8 54×10 · 2· · 1 2 74 69,5×10 · 1,602 ×10− 9,109 ×10− · 1,602 ×10− 2,5 Logo, o resultado experimental
indica que a constante de blindagem é:
26. Enuncie e discuta as consequências do princípio da correspondência. No limite de grandes órbitas e altas energias, os resultados quânticos devem coincidir com os resultados clássicos. De acordo com o princípio de correspondência, sejam quais forem as modificações introduzidas na física clássica para descrever o comportamento da matéria em nível submicroscópico, quando esses resultados são estendidos ao mundo macroscópico, devem estar de acordo com as leis da física clássica, que foram exaustivamente testadas em nosso dia a dia.
(Gabriel R. Schleder)
27. Calcule o raio da órbita de Bohr no hidrogênio para n = 100. Use o princípio de correspondência para calcular os comprimentos de onda da radiação emitida por elétrons que decaem para este nível a partir dos níveis n = 101 a 103.
28. Em uma mistura de hidrogênio ordinário e trítio (isótopo que tem um núcleo com massa aproximadamente três vezes maior que H), que separação terão os comprimentos de onda da linhas Hα , que correspondem a transições de n = 3 para n = 2, do dois tipos de hidrogênio?
De acordo com a dedução do exercício 23, o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o elétron sofre uma transição de estado quântico para é:
1 41 4ℏ 1 1 1 1 − 1 1 ⇒ [ ] , 9,109 ×10− 1
onde, tomando a massa do elétron igual a
Fernando Freitas Alves
e
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:
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4ℏ − 4
− 6, 6 26×10 4 · 2, 9 98 ×10 2 9,411663·8,854×10×10− − 9,109×10− · 1 · 1,602×10− 3 2 − 1 1 [ ] − 1 1 ⇒ 1+ ⁄ [ ] − − 9, 1 09 ×10 1 1 − ∴ 1+ 1 6.02210×10− 9,11663 ×10 2 3 6 567,6 Å − − 9, 1 09 ×10 1 1 − 1+ 3 6.02210×10− 9,11663 ×10 2 3 6 565,2 Å | | 2,4 Å
Logo, o comprimento de onda da radiação emitida pelo elétron quando ele transpassa da camada para , utilizando a correção para massa reduzida, é:
Analogamente, o comprimento de onda sob os mesmos parâmetros para o trítio, utilizando a correção para massa reduzida, é:
Assim, a separação de seus comprimentos de onda será de:
29. Discuta a dualidade onda partícula dos elétrons. De acordo com os experimentos de J.J. Thomson, ao medir a razão entre carga e massa do elétron através de um tubo de raios catódicos, ficou evidente a existência e o caráter corpuscular do mesmo. Esse trabalho lhe rendeu o prêmio Nobel de Física em 1906. No entanto, de acordo com os experimentos de seu fil ho G.P. Thomson, ao se analisar o efeito de difração de elétrons de alta energia em uma substância policristalina, ficou evidente o caráter ondulatório do mesmo. Esse trabalho, controversamente, também lhe rende o prêmio Nobel em 1938. G.P. Thomson conseguiu demonstrar, então, independentemente a relação de de Broglie.
ℎ⁄
ℎ
A relação de de Broglie diz , onde é o comprimento de onda, é a constante de Plank e é o momento. Essa relação, serve tanto para radiação quanto para partículas.
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Dessa forma, aspectos ondulatórios estão relacionados com aspectos corpusculares, onde se pode prever que o comprimento de onda de de Broglie de uma onda de matéria associada ao movimento de uma partícula material que tem um momento . Essa é a dualidade onda partícula, o qual foi provada para o elétron por G.P. Thomson.
30. Qual o comprimento de onda de de Broglie para uma bola de futebol de massa m = 0.5 kg se movimentando com uma velocidade de 5 m/s? E para um elétron com energia cinética de 100 eV? E para um objeto muito pequeno, porém macroscópico de massa 10−9 g (a massa do elétron é de 9×10−29 g!) que se move com a velocidade da luz? Baseado nestes resultados, porque não observamos efeitos de difração e interferência para tais objetos utilizando fendas? De acordo com a relação de de Broglie:
tal que:
ℎ , , − 6,6260,5×10· 5 3× 10− Å − 9,109 ×10−6, 6· 26 2×101009,1·109,602×10×10−− 1,23 Å − 6, 6 26 ×10 10− × 10− ·2,998×10 2×10− Å
o comprimento de onda de de Broglie
Para o elétron, seu comprimento de onda
para a bola de futebol é:
é:
Para o objeto que se move na velocidade da luz, seu comprimento de onda
é:
Não podemos observar efeitos de difração para tais objetos utilizando fendas pois não possuímos tecnologia suficiente para se criar tais superfícies. No entanto, para o elétron citado, percebe-se que seu comprimento de onda de de Broglie está em escala atômica, ou seja, é praticamente o tamanho de um átomo. Para tal, podemos utilizar métodos de difração em cristais utilizando a lei de Bragg, onde o espaçamento entre os planos de um cristal específico são tais que, para certos ângulos, é possível mensurar a intensidade múltipla de sua onda devido ao efeito de superposição construtiva da mesma ao se espalhar por entre os planos e ser refletida.
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31. Num aparelho de televisão os elétrons são acelerados por um potencial de 23 kV. Qual é o comprimento de onda dos elétrons? De acordo com a relação de de Broglie:
tal que:
ℎ , , − 9,109×10− ·6, 622623×10×109,109 · 1,×10602−×10− 0,081 Å
o comprimento de onda de de Broglie do elétron acelerado é:
32. Para uma partícula cuja energia cinética é muito maior do que sua energia de repouso, vale a aproximação E = pc. Calcule o comprimento de onda de de Broglie de um elétron de 100 MeV de energia usando essa aproximação. De acordo com a relação de de Broglie:
tal que:
e:
ℎ , , + ; ≫ ⇒ ≈ ⇒ ≈ − 100 ×106,2,6926×10 98×10 · 1,602 ×10− 1,24×10− Å
o comprimento de onda de de Broglie do elétron é:
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