Lista 2 E&P

1

Estatística & Probabilidade

A u l a 03: 0 3: Res Resu u mo de dados dado s e M edi edidas das de posiç posi ção. Problema 01. A seguir temos uma lista de possibilidades para classificar variáveis, em fun ção da escala adotada. (Observe a similaridade com a apresentada na aula anterior)

(a)

Razão

(b)

Ordinal

(c)

(d)

(e)

( ) Salários dos empregados empregados de uma indústria. indústria. ( ) QI de um individuo. ( ) Número de respostas certas certas de alunos alunos num teste teste com dez items.

Razão

( ) Opinião de consumidores sobre um determinado produto.

intervalar

( ) Porcentagem da receita receita de municípios aplicada em educação.

razão

( ) Temperatura Temperatura diária da cidade de João Monlevade. Monlevade. (f)

nominal

(g)

intervalar

( ) Opinião dos empregados da companhia MB sobre a realização ou não de cursos obrigatórios de treinamento.

Problema 02. Informações sobre estado civil, grau de instrução, número d e filhos, salario (expresso como fração do salario mínimo), idade (medida em anos e meses) e procedência de 36 empregados da seção de orçamento da companhia MB são apresentadas na seguinte tabela:

N º E stad stado o Civil

Grau Gr au de

N ºde

Sal ár i o

I dade

Reg egii ão de de

I n st strr u ção

filhos

(x sal. sal. M in .)

anos

meses pr ocedên ci cia a

1

Solteiro Ensino fundamental

-

4,00

26

03

Capital

2

Casado

Ensino médio

1

4,56

32

10

Interior

3

Casado

Ensino fundamental

2

5,25

36

05

Outra

4

Solteiro Superior

-

5,73

20

10

Outra

Dr. Francis Córdova

2


5

Solteiro Ensino médio

-

6,26

40

07

Outra

6

Casado

Ensino fundamental

0

6,66

28

00

Interior

7

Solteiro Ensino fundamental

-

6,86

41

00

Capital

8


-

7,39

43

04

Capital

9

Casado

1

7,59

34

10

Interior

10 Solteiro Superior

-

7,44

23

06

Capital

11 Casado

Ensino médio

2

8,12

33

06

Interior

12 Solteiro Ensino médio

-

8,46

27

11

Outra


-

8,74

37

05

Outra

14 Casado

Superior

3

8,95

44

02

Interior

15 Casado

Ensino médio

0

9,13

30

05

Capital


-

9,35

38

08

Capital

17 Casado

Ensino fundamental

1

9,77

31

07

Interior

18 Casado

Ensino médio

2

9,80

39

07

Interior


-

10,53

25

08

Outra


-

10,76

37

04

Outra

21 Casado

Ensino fundamental

1

11,06

30

09

Outra

22 Solteiro Ensino fundamental

-

11,59

34

02

Interior

23 Solteiro Ensino fundamental

-

12,00

41

00

Interior

24 Casado

Superior

0

12,79

26

01

Interior

25 Casado

Ensino médio

2

13,23

32

05

Outra

26 Casado

Ensino médio

2

13,60

35

00

Capital


-

13,85

46

07

Capital

28 Casado

Ensino fundamental

0

14,69

29

08

Outra

29 Casado

Ensino médio

5

14,71

40

06

Outra

Ensino médio


3


30

Casado

Ensino médio

2

15,99

35

10

Interior

31


-

16,22

31

05

Outra

32

Casado

Ensino fundamental

1

16,61

36

04

Outra

33

Casado

Ensino fundamental

3

17,26

43

07

Capital

34


-

18,75

33

07

Capital

35

Casado

Ensino fundamental

2

19,40

48

11

Interior

36

Casado

Ensino médio

3

23,30

42

02

Capital

Usando os dados, construa a distribuição de frequências das variáveis: (n=36 )

(a) Estado Civil Casado

Freqüência Proporção Porcentagem f i hi= f i/n 100xhi 20 0,5556 55,56%

Solteiro

16

0,4444

44,44

Total

36

1,0000

100,00

(b)

Capital

Freqüência f i 11

Proporção hi 0,3056

Porcentagem 100 hi 30,56

Interior

12

0,3333

33,33

Outra

13

0,3611

36,11

Total

36

1,0000

100,00

Região de Procedência

(c) Número de filhos dos empregados casados 0

Freqüência f i 4

Proporção hi 0,20


1

5

0,25

25,00

2

7

0,35

35,00

3

3

0,15

15,00

5

1

0,05

5,00

Total

20

1,00

100,00


4

Estatística & Probabilidade (d)

20 |

25

Freqüência f i 2

25 |

30

6

0,1667

16,67

30 |

35

10

0,2778

27,78

35 |

40

8

0,2222

22,22

40 |

45

8

0,2222

22,22

45 |



50

2

0,0556

5,56

Total

36

1,0001

100,01

Idade     




5



6

Estatística & Probabilidade Problema 03. Complete os espaços em branco com o valor correspondente: População urbana. ( n = 27 )

Menos de 500.000

Freqüência f i 3



500.001 a 1.000.000

2

0,0740

7,40

1.000.001 a 5.000.000

15

0,5556

55,56

5.000.001 a 10.000.000

4

0,1481

14,81

Mais de 10.000.000

3

0,1111

11,11

Total

27

1,0000

100,00

Número de habitantes

Densidade populacional.

Densidade (hab/km2) Menos de 10

Freqüência f i 9



10 |

30

5

0,1852

18,52

30 |

50

4

0,1481

14,81

50 |



100

6

0,2222

22,22

Mais de 100

3

0,1111

11,11

Total

27

1,0000

100,00





Medidas de posição


7


Problema 04. Contou-se o número de erros de impressão da primeira página do jornal de João Monlevade durante 50 dias, obtendo-se o seguinte gráfico de barras: )i

10 n ( a t

8 ul o s

6 b a ai

4 c n ê

2 ü q e r F

0 5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

Núme ro de e rros de impres são

a) Estabelecer as frequencias correspondentes a cada caso, numa tabela ordenada com f i , hi e 100xhi. b) Graficar o histograma correspondente. Dr. Francis Córdova

8


x i

f i

hi

x i *f i

F i

5

3

0.06

15

3

6

3

0.06

18

6

7

5

0.1

35

11

8

7

0.14

56

18

9

2

0.04

18

20

10

5

0.1

50

25

11

4

0.08

44

29

12

9

0.18

108

38

13

1

0.02

13

39

14

7

0.14

98

46

15

1

0.02

15

47

16

1

0.02

16

48

19

1

0.02

19

49

22

1

0.02

22

50

TOTAL

50

H i

)i

MEDIA = MEDIANA = MODA =

10 t

a

(

n

8 s

o

lu

6 b ai

a

4 c ê

n

2

F

r

e

q

ü

0 5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

Número de erros de impressão


9

Estatística & Probabilidade Exemplo

Problema 05. Informações sobre idade e grau de instrução de 36 empregados da seção de orçamento da companhia MB são apresentadas como: 0,06

Superior 16,5%

27,77%

ai c

0,05

n

22,22%22,22%

ê ü q

1º grau 32,5%

0,04

er f

16,67%

e

0,03

d e d a

0,02

di s n e

2º grau 51,0%

5,56%

5,56%

0,01

D 0,00 0

20

25

30

35

40

45

50

Idade

(a) Histograma

(b) Gráfico de composição em setores (pizza)

a) Calcular a média, moda e mediana da variável Y: idade. b) Calcular a Moda da variável X : grau de instrução. Qual é a frequência absoluta de x = 2º grau?. Dr. Francis Córdova

10



11



12


Problema 06. a) Calcular a média e mediana da seguinte distribuição


13

Estatística & Probabilidade b) As taxas médias geométricas de incremento anual (por 100 habitantes) dos 30 maiores municípios do Brasil, estão dadas abaixo. 3,67 1,82 3,73 4,10 4,30 1,28 8,14 2,43 4,17 5,36 3,96 6,54 5,84 7,35 3,63 2,93 2,82 8,45 5,28 5,41 7.77 4,65 1,88 2,12 4,26 2,78 5,54 0,90 5,09 4,07 40,00%

0,2

ia c n ê

30,00%

ü q ref e d

0,1

e d a

13,33%

id

10,00%

s n

6,67%

e D 0,0 1

3

5

7

9

Taxa média geométrica de incr emento anual (por 100 habitantes)

Histograma a) Elaborar a tabela de frequências absoluta, relativa 100% e acumulada da variável continua X:Taxa média geométrica de incremento anual dos 30 maiores municípios do Brasil. b) Calcular a média de X. c) Calcular a moda de X. d) Elaborar o gráfico de composição em setores (pizz a)

Problema 07. Você foi convidado para chefiar a seção de orçamento ou a seção técnica da companhia MB. Após analisar o tipo de serviço que cada seção executa, você ficou indeciso e resolveu tomar a decisão baseado em dados fornecidos para as duas seções. |O departamento de pessoal forneceu os dados da tabela Problema 02 para os funcionários da seção de orçamentos, ao passo que para a seção técnica os dados vieram agrupados segundo as tabelas abaixo, que apresentam as frequências dos 50 empregados dessa seção, segundo as variáveis grau de instrução e salário. Baseado nesses dados, qual seria a sua decisão? Justifique.

Fundamental

Frequência f i 15

Médio

30

Superior

5

Total

50

Instrução

Proporção h i = f /n i

Porcentagem 100 h i

1,000

100,00


14

Estatística & Probabilidade Classe de salários 7,50 | 10,50

Ponto médio

Frequência f i

Proporção h i

Porcentagem 100 h i

1,0000

100,00

14



10,50 |

13,50

17

13,50 |

16,50

11

16,50 |

19,50

8

  

Total

50

Dica: Para decidir qual seção irei chefiar, primeiramente farei um gráfico de barras (utilizando a frequência relativa ao invés da frequência absoluta, devido ao diferente número de observações em cada seção ) para cada seção para comparar o grau de instrução dos funcionários. Em seguida, farei um histograma para cada seção (utilizando os mesmos intervalos para ambas as seções, facilitando assim a comparação) comparando assim o salário dos funcionários.

)i f

0.6 vi

0.5 al

0.4

a

( t e r

0.3 ai c

0.2 ü

0.1

ê

n q e r F

0 1o.grau

2o.grau

superior

Grau de instrução

Gráfico de barras para a Seção de Orçamentos ) i f 0.6 ( a v 0.5 i t a 0.4 l e r a 0.3 i c n 0.2 ê ü 0.1 q e r 0 F

1o.grau

2o.grau

superior

Grau de instrução

Gráfico de barras para a Seção Técnica Dr. Francis Córdova

15


0,09

0,15 33,33%

ai 0,08 c n

c n

27,78%

ê 0,07

ê

ü

ü

q 0,06 e rf

q

0,10

er

22,22%

f

0,05

e d

56,0%

ai

e d

e 0,04

28,0%

e

13,89%

d

a 0,03 d

d a

0,05

id

i s

16,0%

s

n 0,02 n

e

e

D 0,01

D

2,78%

0,00

0,00 0

4

8

12

16

20

24

Salário

Histograma para a Seção de Orçamentos

0

4

8

12

16

20

24

Salário

Histograma para a Seção Técnica

Através dos gráficos de barras, pode-se notar que ambas as seções têm proporções semelhantes de funcionários com grau de instrução de 1o grau ou superior e que, a seção técnica apresenta uma proporção levemente maior de funcionários com grau de instrução de 2o grau. Considerando os salários, pode-se notar que a seção de orçamentos apresenta salários mais distribuídos, desde salários mais baixos até bem altos. Então, você será chefe de qual departamento?


16


Aula 4: M edi das de di spersão e Gr áfico box pl ots


17

Estatística & Probabilidade Notações: dm(X) = desvio médio absoluto var(X) = variância

dp(X) = √var(X) = desvio padrão Observação: As formulas acima são utilizadas para um conjunto de dados x i , sem considerar repetições, isto é, sem considerar as frequências absolutas f i ou frequências relativas h i

Problema 01. Reescrever as fórmulas acima considerando as repetições, isto é, em função das frequências. Problema 02. Quer se estudar o número de erros de impressão de um livro. Para isso escolheu-se uma amostra de 50 páginas, encontrando-se o número de erros por página da tabela abaixo.

(a)

Erros x i 0

Freqüência f i 25

1

25

x i * f i 0

(x i - x ) 2 0,4356

20

45

20

0,1156

2,3120

2

3

48

6

1,7956

5,3868

3

1

49

3

5,4756

5,4756

4

1

50

4

11,1556

11,1556

Total

50

33

18,5424

35,2200

2 f i * (x i - x ) 10,8900

Qual o número médio de erros por página?

Sendo x 

(b)

F i

x

o número médio de erros por página, tem-se:

0  25  1  20  2  3  3  1  4  1 50



33 50



0,66

E o número mediano? Representando o número mediano de erros por md, tem-se, pela ordenação dos valores observados, que os valores de ordem 25 e 26 são 0 e 1, respectivamente. Assim md 

0 1 2



0,5


18

Estatística & Probabilidade (c)

Qual é o desvio padrão? 2

var( X )  

25  0  0,66



20  1  0,66

2



3  2  0,66

2



1  3  0,66

2



1  4  0,66

50

25  0,4356  20  0,1156  3  1,7956  1  5,4756  1  11,1556 50



35,22 50



2 

0,7044

Logo, dp( X )

(d)



0,7044



0,8393

Faça uma representação gráfica para a distribuição

30 )i n (

25 a t lu

20 o s b

15 ia

10

a c n ê

5 q

0

ü e r F

0

1

2

3

4

Número de erros de impressão

Gráfico de barras do número de erros por página

(e)

Se o livro tem 500 páginas, qual o número total de erros esperado no livro?

Uma vez que a média de erros por página é 0,66 e o livro tem 500 páginas, o número esperado de erros no livro é 0,66  500  330

Problema 03. As taxas de juros recebidas por 10 ações durante um certo período foram (medidas em porcentagem) 2,59; 2,64; 2,60; 2,62; 2,57; 2,55; 2,61; 2,50; 2,63; 2,64. Calcule a média, a mediana e o desvio padrão.

Média: x



2,59  2,64  2,60  2,62  2,57  2,55  2,61  2,50  2,63  2,64 10



2,595

Mediana: md



2,600  2,610 2



2,605 Dr. Francis Córdova

19

Estatística & Probabilidade Desvio Padrão: var( X )  

 0,0052  0,0452  0,0052  0,0252   0,0252   0,0452   0,0452 10

0,0152   0,0952 10



0,0018  dp( X ) 

0,0018

0,0424



Problema 04. Para facilitar um projeto de ampliação da rede de esgoto de uma certa região de João Monlevade, as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 50 dos 270 quarteirões que compõem a região, e foram encontrados os seguintes números de casas por quarteirão:

(a)

2

2

3

10

13

14

15

15

16

16

18

18

20

21

22

22

23

24

25

25

26

27

29

29

30

32

36

42

44

45

45

46

48

52

58

59

61

61

61

65

66

66

68

75

78

80

89

90

92

97

Use cinco intervalos e complete a seguinte tabela Vmin = 2 = 19

Vmax = 9

Vmax – Vmin = 95

Classes nº casas 0| 20

Ponto médio

Frequência f i

Fi

Proporção h i

10

12

12

0,24

Amplitude de cada intervalo: 95/5

20|

40

30

15

27

0,30

40|

60

50

9

36

0,18

60|

80

60

9

45

0,18

100

70

5

50

0,10

80|

Total

50

1,00

0.015

e d a d i s n e D

0.010

0.005

0.000 0

20

40

60

80

100

Núm ero de casas por q u arteir ao


20


(b)

Determine uma medida de tendência central e uma medida de dispersão.

x i

Freqüência f i

F i

x i * f i

f i * (x i - x) 2

2

2

2

4

2952.1928

3

1

3

3

1400.2564

10

1

4

10

925.3764

13

1

5

13

751.8564

14

1

6

14

698.0164

15

2

8

30

1292.3528

16

2

10

32

1192.6728

18

2

12

36

1005.3128

20

1

13

20

416.9764

21

1

14

21

377.1364

22

2

16

44

678.5928

23

1

17

23

303.4564

24

1

18

24

269.6164

25

2

20

50

475.5528

26

1

21

26

207.9364

27

1

22

27

180.0964

29

2

24

58

260.8328

30

1

25

30

108.5764

32

1

26

32

70.8964

36

1

27

36

19.5364


21

Estatística & Probabilidade 42

1

28

42

2.4964

44

1

29

44

12.8164

45

2

31

90

41.9528

46

1

32

46

31.1364

48

1

33

48

57.4564

52

1

34

52

134.0964

58

1

35

58

309.0564

59

1

36

59

345.2164

61

3

39

183

65

1

40

65

66

2

42

132

68

1

43

68

760.6564

75

1

44

75

1195.7764

78

1

45

78

1412.2564

80

1

46

80

1566.5764

89

1

47

89

2360.0164

90

1

48

90

2458.1764

92

1

49

92

2660.4964

97

1

50

97

3201.2964

Total

50

2021

1270.6092

604.1764

1308.6728

33320.18

Respostas; Média: 40,42; desvio-padrão: 25,81.


22

Estatística & Probabilidade (c)

Dê uma situação prática onde você acha que a mediana é uma medida mais apropriada do que a média. A mediana é uma medida de posição mais importante do que a média, por exemplo, em situações em que a variável em estudo tem algum valor muito discrepante que “puxa” a média para cima ou para baixo. (Desenhe uma tabela onde isso acontece!)

(d)

Esboce um histograma onde a média e a mediana coincide. Existe alguma classe de histogramas onde isso sempre acontece? Em distribuições simétricas, a média e a mediana c oincidem. Por exemplo:

0.2

e d a d i s n e D

0.1

0.0

4

6

8

10

12

14

16

Histograma

(e)

Esboce os histogramas de três variáveis (X, Y, Z) com a mesma média aritmética, mas com as variâncias ordenadas em ordem crescente. Por exemplo, consideremos os seguintes gráficos:

0.10

X

e d a d i s n e D

0.05

0.00

-1 0

0

10

20

30

Média =10,0 e Variância = 4


23


0.08 0.07

Y

e d a d i s n e D

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

-1 0

0

10

20

30


0.06

0.05

Z

e d a d i s n e D

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

-10

0

10

20

30


Para garantir que você esta ligado com a ideia, faça as tabelas de frequências absoluta e relativa das variáveis X, Y, Z. Problema 05. Suponha que a variável de interesse tenha a distribuição como a figura abaixo,

Você acha que a média é uma boa medida de posição? E a mediana?. Justifique.


24

Estatística & Probabilidade Nessa situação, tanto a média quanto a mediana (que coincidem) não se apresentam como boas medidas de posição. Elas não retratam bem a distribuição da variável estudada. Nessas condições, seria melhor considerar a moda, ou modas, pois nesse caso a distribuição é bi-modal.

Problema 06. Numa pesquisa realizada com 100 famílias, levantaram-se as seguintes informações:

Numero de filhos

0

1

2

3

4

5

Mais que 5

Frequência de famílias

17

20

28

19

7

4

5

(a)

Qual é a mediana do número de filhos?.......

(b)

A moda do número de filhos é ........

(c)

Que problemas você enfrentaria para calcular a média? Faça alguma suposição e encontre-a.

O cálculo da média fica prejudicado pelo fato de haver uma categoria representada por “mais que 5” filhos, sem a especificação do valor exato. Neste caso, deve-se usar o conhecimento empírico que se tem da variável para propor um valor máximo para o intervalo, ou o ponto médio da classe.

Quantis Tanto a média como o desvio padrão podem não ser medidas adequadas para representar um conjunto de dados, pois: (a) são afetados, de forma exagerada, por valores extremos. (b) apenas com estes dois valores não temos ideia da simetria ou assimetria da distribuição dos dados. Para contornar esses fatos, outras medidas têm de ser consideradas. Vimos que a mediana é um valor que deixa metade dos dados abaixo e metade dos dados acima. De modo geral, podemos definir uma medida, chamada quantil de ordem p ou p-quantil, indicada por p(q), onde p é uma proporção qualquer 0 < p < 1, tal que 100p% das observações sejam menores do que q(p). Indicamos, abaixo, alguns quantis e seus nomes particulares. q(0,25): 1º quartil = 25º percentil = q1 q(0,50): Mediana = 5º Decil = 50º percentil = q2 q(0,75): 3º quartil = 75º percentil = q3 Dr. Francis Córdova

25

Estatística & Probabilidade q(0,40): 4º Decil q(0,95): 95º percentil Dependendo do valor de p, há dificuldades ao se calcular os quantis. Isso é ilustrado no problema a seguir: Uma medida de dispersão alternativa ao desvio padrão é a distancia ou in tervalo in terquar til , definida como a diferença entre o terceiro e o primeiro quartis, ou seja:

d = q(0,75) - q(0,25) = q 3 – q q 1 Problema 07. Suponha que tenhamos os seguintes valores de uma variável X: 15, 5, 3, 8, 10, 2, 7, 11, 12. Ordenando os valores temos n= 9 e x1 = 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, xn = 15. (a) Elaborar a função de distribuição acumulada F(x) (b) Calcular: q(0,50), q(0,20), q(0,10) e q(0,75). Solução: Use a definição do p-quantil;

, ,=,,…     =  =   ( )( ) ( )    +   < << + ()= ()  ()   >  {

Onde

 = −− 

Definição. Os cinco valores x 1 , q 1 , q 2 , q 3 e x n são importantes para se ter uma boa ideia da assimetria da distribuição dos dados. Para uma distribuição simétrica ou aproximadamente simétrica, deveríamos ter:

(a) Dispersã o i nferi or = q o superior 2 – x 1 ≈ x n – q 2 = Dispersã – q – q (b) q 2 1 ≈ q 3 2

– x (c) q 1 1 ≈ x n – q 3

(d) Distanci as entr e mediana e q 1 , q 3 menor es do que distan cias entr e os extr emos e q 1 , q 3 .


26

Estatística & Probabilidade Distribuição simétrica: Normal ou gaussiana

50 %

x 1

q q 1 2 q 3

x n

As cinco estatísticas de ordem consideradas acima podem ser representadas esquematicamente como

n q 2 q 1 x 1

q 3 x n

Problema 07. Baseado nas seguintes medidas verifique se a forma da distribuição dos dados é normal. 37 35 31

40

21

49

Intervalo interquartil: Dispersão inferior (di): Dispersão superior (ds): Os valores acima obtidos indicam que a distribuição dos dados tem forma ..................................   

Problema 08. Obtenha o esquema dos cinco números para os dados do problema 4. Calcule o intervalo interquartil e as dispersões inferior e superior. Baseado nessas medidas verifique se a forma da distribuição dos dados é normal.

50 31 20

61

2

97


27

Estatística & Probabilidade 

Intervalo interquartil:



Dispersão inferior (di):



Dispersão superior (ds):

q3



q2

q1 



61

x(1)

x( n )





q2



20



31 2





41 

29

97 31 



66

Para que a distribuição dos dados tenha forma normal (simétrica, em geral), é necessário: di



ds

q2



q1

q2



q1 e q3



q3

 

q2

q2

di e ds



Os valores acima obtidos indicam que a distribuição d os dados não tem forma normal. Os valores acima obtidos indicam que a distribuição dos dados tem forma ..................................

Problema 09. Obter os três quartis, q(0,10) e q(0,90) para os dados do problema 4. q (0,10)



q (0,90)



13  14 2



78  80 2

13,5 ,



q(0,25)



19,5 ,

q(0,50)



31,0 ,

q (0,75)



61,0 ,

79,0

Desenho esquemático (Box plots) Considere a informação contida no esquema dos cinco números:

n q 2 q 1 x 1

q 3 x n

esta informação pode ser traduzida graficamente n um diagrama, ilustrado na seguinte figura:


28


3d /2 q

q 1 d q q 2 q 3 3d /2 q

Para construir este diagrama, consideremos um retângulo onde estão representados a mediana e os quartis. a partir do retângulo, para cima, segue uma linha até o ponto mais remoto que não exceda

LS = q + ( 1,5)d 3 q chamado limite superior. De modo similar, da parte inferior do retângulo, para baixo, segue uma linha até o ponto mais remoto que não seja menor do que

L I = q 1 - (1,5)d q chamado limite inferior. Os valores compreendidos entre esses dois limites são chamados valores adjacentes. As observações que estiverem acima do limite superior ou abaixo do limite inferior estabelecido serão chamadas pontos exteriores e representados por asteriscos. Essas são observações destoantes das demais e podem ou não ser o que chamamos de outliers ou atípicos.

Problema 10. Construa o Box plot para os dados do problema 02 da aula 3. Classe salarios

Freqüência f i

4,00 |

8,00

10

8,00 |

12,00

12

12,00 |

16,00

8

16,00 |

20,00

5

20,00 |

24,00

1

Total

36

Proporção h i

Porcentagem 100 h i 27,78

22,22

2,78 1,00

100,00


29

Estatística & Probabilidade 25

.) M. S(

15

s oi r al a S

5

Box-Plot dos Salários dos funcionários da Companhia MB Pode-se perceber uma distribuição assimétrica à direita.


Lista 2 E&P

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