CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Engenharia Ambiental
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1. A Linha Reta
1. Marque no sistema cartesiano os pontos P1 (-2 ; 3); P2 (0 ; 3); P3 (3 ; 0); P4 (-3 ; -1); P5 (2 ; -2) e P6 (1 ; 8). 2. Com base no que você observou no exercício 1, estabeleça uma regra pela qual se possa relacionar o sinal das coordenadas cartesianas e o quadrante em que está situado o ponto no plano cartesiano. 3. Calcule a distância entre os pontos: a) (3 ; 0) e (-1 ; 1) b) (1 ; -1) e (-2 ; -3) 4. Os vértices de um quadrilátero são (0 ; 0), (2 ; 4), (4 ; 2) e (0 ; -2). Calcule o comprimento dos quatro lados e das duas diagonais. 5. Calcule o perímetro e a área do triângulo ABC onde A(1 ; 0), B(4 ; 0) e C(4 ; 4). 6. Verifique se os pontos abaixo são colineares. Caso não sejam, calcule a área do triângulo formado: a) (2 ; -2), (2 ; 2) e (5 ; -2) b) (12 ; 1), (-3 ; -2) e (2 ; -1) 7. Determine o coeficiente angular das retas que passam em: a) (1 ; 1) e (3 ; 3) b) (0 ; 0) e (5 ; 3) c) (2 ; 7) e (0 ; 4) 8. Determine y para que os pontos A (3 ; 5); B (-3 ; 8) e C (4 ; y) sejam colineares. 9. Verifique se os pontos abaixo pertencem ou não à reta de equação a) (1 ; -1) b) (0 ; 2)
3 4 4 1 0:
10. Forme a equação da reta dadas as condições: a) Passa em (2 ; 3) e tem coeficiente angular -2. b) Passa em (-6 ; -3) e tem inclinação de 45º. c) Passa em (4 ; 2) e (-5 ; 7). 11. Escreva a equação das duas retas, uma paralela e a outra perpendicular ao eixo de x, que passam pelo ponto (-5 ; 7). 12. Dada a reta cartesianos.
3,
determine os pontos de intersecção com os eixos coordenados
13. As intersecções de uma linha reta com os eixos de x e de y são, respectivamente, (2 ; 0) e (0 ; -3). Determine a equação desta reta. 14. Os vértices de um triângulo são os pontos A (-2 ; 1); B (4 ; 7) e C (6 ; -3). Determine a equação das retas suportes dos lados deste triângulo e a equação da altura relativa ao lado BC.
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3 2 6 0 e 1 0. 16. Determine a intersecção da reta 2 0 com outra reta traçada do ponto P (2 ; 6) e 15. Determine o ponto de intersecção das retas perpendicular à primeira.
5 6 0 e 4 1 5 0, são paralelas? 18. Dois lados de um paralelogramo acham-se sobre as retas 2 3 7 0 e 3 4 0. 17. Para que valores de m as retas
Obter as equações das retas suportes dos outros dois lados, sabendo que um dos vértices do paralelogramo é o ponto (3 ; 2).
2 0. 20. Determine o valor de m, afim de que as retas 2 3 0 e 6 1 0, sejam 19. Calcule a distância do ponto (2 ; 1) à reta de equação perpendiculares.
5 4 e o ponto (0 ; 0), calcule a distância deste ponto até a reta. 22. As retas 4 6 0, 6 36 0 e 1 0 determinam um triângulo, cujos 21. Dada a reta
lados estão sobre cada uma destas retas. a) Calcule as três alturas deste triângulo; b) Faça uma figura e verifique na mesma se as respostas encontradas em a) merecem confiança;
23. Calcule os três ângulos internos do triângulo determinado pelas três retas do exercício 22. 24. Estabelecer uma condição de paralelismo e outra de perpendicularismo, usando a equação geral de duas retas, e . (Sugestão: use a condição )
0
0
25. Com a condição estabelecida no exercício 24, verifique se existem retas perpendiculares entre as retas do exercício 22. 26. Das retas abaixo, verifique quais são paralelas e quais são perpendiculares entre si. a) b) c) d) e) f)
3 5 3 3 0 3 12 0 2 4 0 1 2 6 0
27. Calcule o valor de m para que o ângulo formado entre as retas seja de 45º.
2 3
e
15
28. Retome o exercício 26. Aplique a fórmula de determinação do ângulo entre duas retas, para as retas paralelas e para as retas perpendiculares, para verificar o que ocorre na aplicação da fórmula. 29. Calcule os dois ângulos formados entre a reta
5 3 0 e o eixo das abscissas.
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30. Determine a equação da reta que passa por (3 ; -2) e forma um ângulo de 45º com a reta .
2 2 5
31. Estabelecer as expressões para x e y, do tópico de Intersecção de Retas, proveniente da solução do sistema
00.
32. Use as expressões do exercício 31, para determinar a solução do sistema formado por e . A seguir comprove o resultado por qualquer outro processo de solução. Faça o gráfico das duas retas.
2 1 0
4 0
Respostas (A Linha Reta)
2. 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante
Abscissa Ordenada + + – + – – + –
√ 17 u.c. ; b) √ 13 u.c. Lados: √ 20 u.c.; √ 8 u.c.; √ 32 u.c.; 2 u.c. Diagonais: √ 20 u.c.; √ 40 u.c.
3. a) 4.
15. (4/5 ; 9/5) 16. (-1 ; 3) 17. 4 e -5 18.
19.
23y120 3y30 √ u.c.
5. Perímetro: 12 u.c. ; Área: 6 u.a.
20. m = -12
6. a) não são colineares – Área: 6 u.a. b) são colineares
21. 0,78 u. c.
7. a) 1 ; b) 3/5 ; c) 3/2 8. 9/2 9. a) pertence ; b) não pertence
2 7 0 3 0 5 9 38 0 11. 7 ; x 5 10. a) b) c)
12. (0 ; -3) e (6 ; 0) 13.
3 2 6 0 y3 0 5x y 27 0 x2y0 Altura relativa ao lado BC: 5y70
14. Lados do triângulo:
22. 6,06 u. c. ; 4,11 u. c. ; 3,54 u. c. 23. 85º26’ ; 59º02’ ; 35º32’ 24. paralelismo: AN = BM perpendicularismo: AM + BN = 0 25. não 26. paralelas: a) e c) ; e) e f) perpendiculares: a) e b) ; b) e c) 27. m = -3 28. retas paralelas: anula-se o numerador retas perpendiculares: anula-se o denominador 29. 78º41’ e 101º19’ 30. y = -2 ou x = 3
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2. A Circunferência
1. Determinar a equação da circunferência de centro no ponto (3 ; 5) e raio 2. 2. Determinar o centro e o raio da circunferência 2x2 + 2y2 + 4x – 4y – 14 = 0. 3. Determinar o centro e o raio da circunferência x2 + y2 – 4x = 0. 4. Determinar o centro e o raio da circunferência (x – 4)2 + (y + 2)2 = 9. 5. Determinar o centro e o raio da circunferência x2 + y2 = 36. 6. Determinar a equação da circunferência cujo centro é a origem dos eixos coordenados e que passa pelo ponto (-3 ; -4). 7. Determinar a equação geral da circunferência de no ponto (2 ; 5) e que passa pelo ponto (-1 ; 1). 8. Determinar a equação da circunferência cujo centro é a intersecção da reta x = 2 com o eixo das abscissas e que passa pela origem dos eixos coordenados. 9. Verificar quais das equações abaixo representam circunferências: a) x2 + y2 = 16 b) x2 + y2 + 16 = 0 c) 3x2 + 3y2 + x – 3y – 10 = 0 d) x2 + y2 – xy + 7x = 0 e) 2x2 + 2y2 + 4x – 4y + 20 = 0 f) x2 – y2 – x – 10 = 0 10. Determinar a equação da circunferência com centro no ponto de intersecção das retas x + y = 4 e 2x – y = 5 e cujo raio é a distância deste ponto a origem. 11. Qual a equação geral da circunferência de centro no ponto (1 ; 0) e tangente ao eixo das ordenadas? 12. Quais os pontos de intersecção da reta x + y = 3 com a circunferência x2 + y2 = 5? 13. Verificar se a reta y = 2x – 1 é tangente à circunferência x2 + y2 + 2x – 4y = 0. Qual o motivo? 14. Quais os pontos de intersecção da circunferência x2 + y2 + 3y + 2 = 0 com os eixos coordenados? 15. Estabeleça a equação de toda circunferência de centro sobre o eixo de x. 16. Estabeleça a equação de toda circunferência de centro sobre o eixo de x. 17. Forme a equação da circunferência na qual a área do círculo que a mesma determina vale 18π m2 e o centro está no ponto (3 ; 0). 18. O comprimento de uma circunferência é 94,2 cm. Determine a equação desta circunferência sabendo que a mesma tem centro em (4 ; 0). Use π = 3,14.
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19. Determine o comprimento da corda da circunferência x2 + y2 – 25 = 0, onde a distância da corda ao centro da circunferência é de 3 cm. 20. As extremidades de uma corda são os pontos (0 ; 2) e (4 ; 2). Com estes pontos e o centro da circunferência fica determinado um triângulo eqüilátero. Qual a equação da circunferência relativa a essa corda? Respostas (A Circunferência)
1. x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0
11. x2 + y2 – 2x = 0
2. xo = -1 ; yo = 1 ; R = 3
12. (1 ; 2) e (2 ; 1)
3. xo = 2 ; yo = 0 ; R = 2
13. Sim. Motivo: o sistema tem uma solução
4. xo = 4 ; yo = -2 ; R = 3 5. xo = 0 ; yo = 0 ; R = 6 6. x2 + y2 = 25 7. x2 + y2 – 4x – 10y + 4 = 0 8. x2 + y2 – 4x = 0
x y 2x 4y 0 21
14. Intersecção com o eixo x: não há. Intersecção com o eixo y: (0 ; -1) e (0 ; -2)
15. x2 + y2 + mx + k = 0 16. x2 + y2 + my + k = 0 17. x2 + y2 – 6x – 9 = 0
9. a) sim b) não c) sim d) não e) não f) não
18. x2 + y2 – 8x – 209 = 0 19. 8 cm 20. x2 + y2 – 4x – 4( x2 + y2 – 4x – 4(
10. x2 + y2 – 6x – 2y = 0
√ 3 1)y + 4(2√ 3 1) = 0 √ 3 1)y + 4(1 2√ 3) = 0
3. Parábola, Hipérbole Eqüilátera e Elipse
1. Determinar a equação da parábola com foco no ponto (3 ; 2) e diretriz y = -1 (na forma de função quadrática). Calcular também o vértice. 2. Determinar o foco,vértice e diretriz da parábola y = x2. 3. Determinar o foco,vértice e diretriz da parábola
y x 3.
4. Determinar o foco,vértice e diretriz da parábola y = x2 – 3x + 1. 5. Determinar a equação da hipérbole eqüilátera, com assíntotas paralelas aos eixos, centro no ponto (-2 ; 3) e c = 5.
