Universidade Federal de Santa Maria – UFSM Departamento de Processamento de Energia Elétrica – DPEE Eletromagnetismo II – ESP 1047 Prof. Rafael Concatto Beltrame –
[email protected]
1/6
Lista de Exercícios 01 – Análise Vetorial 1. Álgebra vetorial
1.1) Dados os vetores A 2a x 5a z e B a x 3a y 4a z , determine A B A B .
1.2) Se os vetores posição dos pontos T e S sã são 3a x 2a y a z e 4a x 6a y 2a z , respectivamente, determine: (a) as coordenadas de T e T e S ; (b) o vetor distância de T até S ; (c) a distância entre T e S .
2
2
2
1.3) Demonstre que A B A B AB .
1.4) Se A 4a x 6a y a z e B 2a x 5a z , determine:
(a)
B 2
2
B ;
(b) O vetor unitário perpendicular perpendicula r a ambos os vetores A e B .
1.5) Os pontos P pontos P , Q e R e R estão estão localizados em (–1, 4, 8), (2, –1, 3) e (–1, 2, 3), respectivamente. Determine: (a) a distância entre P e e Q; (b) o vetor distância de P de P até R até R;; (c) o ângulo entre QP e e QR; QR; (d) a área do triângulo PQR triângulo PQR;; (e) o perímetro do triângulo PQR triângulo PQR..
1.6) Dados os vetores T 2a x 6a y 3a z e S a x 2a y az , determine: (a) a projeção escalar
de T sobre S ; (b) o vetor projeção de S sobre T ; (c) o menor ângulo entre T e S .
1.7) Considere A 2 xa x ya y z a z e B 3x a x 6a y a z . No ponto (1, 2, –4): (a) calcule
2
2
A B ; (b) determine o ângulo entre A e B ; (c) encontre o vetor projeção de A sobre B .
Lista de Exercícios 01 – Análise Vetorial
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM Departamento de Processamento de Energia Elétrica – DPEE Eletromagnetismo II – ESP 1047 Prof. Rafael Concatto Beltrame –
[email protected]
2/6
2. Sistemas e transformação de coordenadas 2.1) Expresse os seguintes pontos em coordenadas cilíndricas e esféricas: (a) P (1, –4, –3); (b) Q(3, 0, 5); (c) R(–2, 6, 0).
2.2) (a) Se V xz xy yz , expresse V em coordenadas cilíndricas; (b) Se U x 2 y 2 3 z 2 , expresse U em coordenadas esféricas.
2.3) Converta os seguintes vetores para os sistemas de coordenadas cilíndrico e esférico:
(a) F
a x ya y 4a z 2
2
2
y z
;
xa x ya y za z (b) G x 2 y 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z
2.4) Dados dois pontos em coordenadas cilíndricas P (10, 60º, 2) e Q(4, 30º, –4), determine a distância entre eles.
2.5) Se A 5a 2a a z e B a 3a 4a z , determine:
(a)
(b)
B
;
B ;
(c) O ângulo entre A e B ;
(d) O vetor unitário normal ao plano que contém ambos A e B ;
(e) O vetor projeção de A em B .
Lista de Exercícios 01 – Análise Vetorial
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM Departamento de Processamento de Energia Elétrica – DPEE Eletromagnetismo II – ESP 1047 Prof. Rafael Concatto Beltrame –
[email protected]
3/6
3. Cálculo vetorial 3.1) Utilizando o comprimento diferencial dl , determine o comprimento de cada uma das seguintes curvas: (a) 3, 4 2, z constante ; (b) r 1, 30º , 0 60º ; (c) r 4, 30º 90º , constante .
3.2) Dado que S x 2 xy , calcule S dS sobre a região y x 2 , 0 x 1 . S
3.3) Se H x y a x x 2 zy a y 5 yza z , calcule H dl ao longo do contorno da Figura 1. L
Figura 1 – Referente ao exercício 3.3.
3.4) Determine o vetor unitário normal à S ( x, y, z ) = x2 + y2 – z no ponto (1, 3, 0). 3.5) A temperatura de um auditório é dada por T = x2 + y2 – z . Um mosquito que está no auditório, localizado em (1, 1, 2) deseja voar com uma orientação de modo a se aquecer o mais depressa possível. Com qual orientação o mosquito deve voar?
3.6) Se D 2 z a cos a z , calcule: 2
2
(a) D d S ; S
(b)
D dv ; v
para a região definida por 0 5, 0 2 ,
Lista de Exercícios 01 – Análise Vetorial
1 z 1 .
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM Departamento de Processamento de Energia Elétrica – DPEE Eletromagnetismo II – ESP 1047 Prof. Rafael Concatto Beltrame –
[email protected]
4/6
3.7) Se r xa x ya y za z e T 2 zya x xy 2 a y x 2 yza z , determine:
(a) r T ; (b) r T ;
(c) r r T ; (d) r r 2 .
3.8) (a) Dado que A xya x yza y xza z , calcule
d S , onde S é a superfície de um cubo,
S
definido por 0
1, 0 y 1, 0 z 1 .
(b) Resolva novamente a parte (a) considerando que S permaneça o mesmo e A yza x
xza xya z .
3.9) Calcule o fluxo total do vetor F 2 sen a z cos a z a z que sai através de um cilindro ôco, definido por 3, 0 z 5 .
3.10) Se F 2 xy a x y a y , calcule F d l em torno de L mostrado na Figura 2. L
Figura 2 – Referente ao exercício 3.10.
3.11) Se V
sen cos r
, determine:
(a) V ;
(b) V ; (c) V . Lista de Exercícios 01 – Análise Vetorial
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM Departamento de Processamento de Energia Elétrica – DPEE Eletromagnetismo II – ESP 1047 Prof. Rafael Concatto Beltrame –
[email protected]
5/6
Respostas 1. Álgebra vetorial 1.1) 38,432 1.2) (a) T (3; –2; 1) e S (4; 6; 2) (b) (1; 8; 1) (c) 8,124
1.3) A própria demonstração 1.4) (a) 71 (b) (–0,811; –0,487; 0,324)
1.5) (a) 7,681 (b) (0; –2; –5) (c) 42,569º (d) 11,023 (e) 17,309
1.6) (a) 2,858 a s
(b) aT = (–0,286; 0,857; –0,429) (c) 65,910º
1.7) (a) –4 (b) 92,092º
(c) 0,590 a B = (–0,261; –0,522; –0,087)
2. Sistemas e transformação de coordenadas 2.1)
(a) Cilíndricas: (4,123; 284,036º; –3). Esféricas: (5,099; 126,040º; 284,036º) (b) Cilíndricas: (3; 0º; 5). Esféricas: (5,831; 30,960º; 0º) (c) Cilíndricas: (6,325; 288,440º; 0º). Esféricas: (6,325; 90º; 288,440º)
2.2)
(a) V z cos 2 sen cos z sen
(b) U r 2 1 2 cos 2
2.3)
(a) Cilíndrico:
1 2 z 2
(b) Cilíndrico:
2 2 z 2
Lista de Exercícios 01 – Análise Vetorial
2 a 4 a z . Esférico: sen
a
z a z
4 cos a r sen cos a r r
4
. Esférico: r 2 sen 2 a r
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM Departamento de Processamento de Energia Elétrica – DPEE Eletromagnetismo II – ESP 1047 Prof. Rafael Concatto Beltrame –
[email protected]
2.4)
9,095
2.5)
(a) –5 (b) (5; –21; –17) (c) 100,313º (d) (0,182; –0,764; –0,619) (e) (–0,192; 0,577; –0,769)
3. Cálculo vetorial 3.1)
(a) 2,356 (b) 0,524 (c) 4,189
3.2)
0,283
3.3) –1,5 3.4)
(0,312; 0,937; –0,156)
3.5)
(2; 2; –1)
3.6)
(a) 209,440 (b) 104,720
3.7)
(a) 6 zya x 3 xy 2 a y 3 x 2 yza z 2 2 (b) 4 zya x 3 xy a y 4 x yza z
(c) 6 xyz 3 xy3 3 x 2 yz 2
(d) 2 x 2 y 2 z 2 2r 2
3.8)
(a) 1,5 (b) 0
3.9)
90
3.10) –2,667 3.11) (a)
sen cos r2
a r
cos cos
(b) 0 (c)
2sen cos r 3
Lista de Exercícios 01 – Análise Vetorial
r2
a
sen r 2
a
6/6
