LEMBAR KEGIATAN SISWA
Kelompok : ................... ........................., ......, Kelas : ................ ................................. ................. Nama a nggota nggota kelompok 1. ……………............................... 2. ……………............................... 3. ……………............................... 4. ……………….................. ………………........................... .........
: Suku Banyak TOPIK :Pengertian Suku Banyak MATERI PEMBEA!ARAN AOKA"I #AKT$ : 90 menit : T$!$AN PEMBEA!ARAN Setelah menyelesaikan menyelesaikan Lembar Kegiatan Kegiatan Siswa ini diharapkan diharapkan siswa dapat : 1. Menentukan koeisien pangkat tertinggi! koeisien pangkat terendah! "umlah semua koeisien koeisien suku suku banyak! banyak! banyaknya #ariabel suku banyak! dan suku$suku pada bentuk al"abar.
PET$N!$K PEN%%$NAAN K" : 1. Selesaikan setiap kegiatan pada LKS ini bersama dengan kelompok %nda. &. 'kutilah langkah (langkah yang diminta dan tulislah hasil diskusi ditempat yang telah ditentukan. ).Kumpulkan hasil *iskusi "ika waktu yang telah ditentukan berakhir.
Penganta& Mate&' : Penge&t'an "(k( Ban)ak Pol'nom'al x yang berdera"at
Suku banyak +polinomial, dalam
n ! dengan
n bilangan -a-ah dan
an ≠ 0
dituliskan
dalam bentuk: n
an x + an− 1 x
*era"at suatu suku banyak dalam disebut
dan
a0
+ a n−2 x n−2+ … + a1 x + a0
x adalah pangkat tertinggi dari
koefisien dari #ariabel x n dan
an , an− 1 , a n− 2 , … , a1 ,
n−1
a0
x dalam suku banyak itu. Bilangan
an
disebut #ariabel suku tetap atau konstanta.
merupakan bilangan real.
ika suku banyak dalam #ariabel x dengan koeisen bilangan real dianggap suatu ungsi! maka penulisannya berbentuk: P ( x x ) = an x + an− 1 x n
n− 1
+ an−2 x n−2 +… + a1 x + a0
ika suku banyak dalam #ariabel / dengan koeisien bilangan real dianggap suatu persamaan! maka penulisannya penulisannya berbentuk: n
an x + an− 1 x
n− 1
+ a n−2 x n−2+ … + a1 x + a0= 0
Bentuk ini sering disebut
persamaan persamaanrasional rasional integralderajat n dalam #ariabel x .
1 h o t n o C 3
2
Bentuk x −5 x + 7 x + 3 adalah suku banyak dalam #ariabel
x yang berdera"at ). Sebutkan koeisien
pangkat tertinggi! koeisien pangkat terendah! dan "umlah semua koeisennya.
awab: 3
2
Bentuk: x −5 x + 7 x + 3 mempunyai: • • •
Koeisien pangkat tertinggi 1 dengan pangkat tertinggi )! Koeisien pangkat terendah ) yang merupakan suku tetap atau konstanta! umlah semua koeisien 1 ( 2 3 2 ) 4 2 h o t n o C
5entukan koeisien x dalam setiap operasi al"abar berikut. a.
( x + 2)( 2 x −1 )
( x −1 )2 ( x + 2)( x + 1 )
b.
-.
( x 2+ 2 x −1 )2
awab: a.
( x + 2)( 2 x −1 )
2 x 2 x
2
2
− x + 4 x −2
+3 x −2
adi! koeisien x adalah )
( x −1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 ) ( x −1 )( x −1)( x + 2 )( x + 1) 2
b.
( x −1 )( x +2 )( x −1 )( x + 1)
( x + x −2)( x −1 )
2
2
4
3
2
x + x − 3 x − x + 2 adi koeisien x adalah $1 2
-.
2
( x + 2 x −1 ) x + 4 x + 1 + 4 x −2 x − 4 x 4
4
2
3
3
2
2
x + 4 x + 2 x −4 x + 1 adi! koeisien x adalah $6
3 h o t n o C 20
a.
3 x
b.
2 x
2
− 3 x 2 + x √ 3 −2 disebut suku banyak dengan pangkat tertinggi &0. 2
y + 3 xy − 5 disebut suku banyak berdera"at & dengan dua #ariabel
berdera"at & dan
y "uga berdera"at &.
x dan y ! x
π 3 0
60
-.
tan ¿ x −1
disebut suku banyak berdera"at . ¿ 3 cos ¿ x −¿ 2 3
5
x −¿
4 x
12
3
2
−3 x −8 x
d.
7 x
4
2
7
10
3
8
7
7
x − x −
disebut suku banyak berdera"at 10.
4 h o t n o C
Perhatikan bentuk$bentuk berikut. 5
a. b.
3 x
+ 5 x 2−
x cos x
2 2
x
! bukan merupakan suku banyak karena ada #ariabel
! bukan merupakan suku banyak karena ada #ariabel
x
x yang berpangkat negati.
yang berada dalam ungsi
trigonometri. 1
-.
x + +2 ! bukan suku banyak karena ada #ariabel x
d.
x + √ x + 1, bukan suku banyak karena ada #ariabel 2
1
√ x = x 2 . 5 h o t n o C
5uliskan dera"at! suku! dan koeisien dari polinomial berikut. 2
− 4 x 3 + x −13
a.
2 x
b.
5− y + 2 y
2
− y 5 √ 6
awab: a.
2 x
2
− 4 x 3 + x −13
*era"at: ) Suku$suku dalam urutan turun:
−4 x 3 , 2 x 2 , x , −13
Koeisien: $6! &! 1! $1) b.
5− y + 2 y
2
− y 5 √ 6
*era"at: Suku$suku dalam urutan naik: ! Koeisien: ! $1! &! $ √ 6
− y , 2 y 2 , − y 5 √ 6
x
1
yang berpangkat negati! yaitu
x
= x−
1
x yang berpangkat bilangan pe-ahan! yaitu
6 h o t n o C
7yatakan bentuk di bawah ini dalam urutan naik dan urutan turun. 2
3
a.
− x + 14 + 2 x −7 x
b.
πy −√ 13 y + 2 y −√ 2 y − 90 5
2
4
awab: a. *engan menggunakan siat komutati dan asosiati! diperoleh:
− x 2 +14 + 2 x 3−7 x
2 x
3
− x 2−7 x +14 +urutan turun,
14 −7 x − x
πy −√ 13 y + 2 y −√ 2 y − 90 5
b.
2
2
+ 2 x 3 +urutan naik,
−√ 13 y 5−√ 2 y 4 + 2 y 2+ πy − 90 +urutan turun,
4
−90 + πy + 2 y 2− √ 2 y 4− √ 13 y 5 +urutan naik,
7 h o t n o C
−2 x , 17 y 2 , dan
a. !
2
9 x
4
merupakan monomial
+ 5, 2 x − 9 y 2 , dan x 2 y + 1 merupakan binomial.
b.
3 x −7,6 x
-.
x −2 x + 1 !
3
− xy + y 2 −3 x ! dan
2
a x + bx + c merupakan trinomial.
Polinomial dengan dera"at +pangkat, rendah mempunyai nama khusus! yaitu "ika polinomial mempunyai: • • • • •
*era"at nol disebut polinomial konstan atau konstanta! *era"at satu disebut polinomial linear! *era"at dua disebut polinomial kuadratik atau kuadratik! *era"at tiga disebut polinomial kubik atau kubik! *era"at empat disebut polinomial kuartik atau kuartik.
ika sebuah polinomial ditulis sebagai: n
an x + an−1 x
n− 1
+ a n− x n− + … + a x + a 2
2
1
0
*engan suku berdera"at tinggi ditulis sebagai suku pertama dan suku selan"utnya dalam dera"at menurun dan diakhiri dengan konstanta! polinomial tersebut disebut polinomial dengan urutan turun + descending order ,! dan sebaliknya. a0 + a1 x + … + an−2 x
n− 2
+ an− x n− + a n x n 1
1
*isebut polinomial urutan naik + ascending order ,. Perhatikan illustrasi berikut. •
•
8rutan turun 8rutan naik
4
+ x 2−7 x +5
:
3 x
:
5−7 x + x
2
+ 3 x 4
1 a w s i S i s n e t e p m o K n a h i t a L
A. E*al(as' Penge&t'an ata( Ingatan
x pada polinomial
1. Koeisien pangkat terendah pada suku banyak dalam #ariabel 2 x
5
+ 3 x 4−5 x 3−6 x 2 +7 x −15 adalah ........................................... 2
4 + 3 t −2 t
&. Koeisien pangkat tertinggi pada suku banyak 5
4
3
3
2
2
a b −a b + a b + a + b −6
). Banyaknya #ariabel dari suku banyak 6. Koeisien dari x
5
+ t 3 +10 t 4 −2 t 5 adalah .................................
4
5
3 x
pada bentuk suku banyak
adalah .........yaitu .......................
−5 x 3 +2 x 2 adalah ........................
. Koeisien #ariabel x berpangkat ) dari pen"abaran suku banyak
( x −1 )2 . ( x −2 )2
adalah .......................... 2
4. umlah semua koeisien dari pen"abaran polinomial: 3. Koeisien x
2
( x + x −3 ) . ( x + 5 )
5
3
dari pen"abaran polinomial 3
. 8rutan turun dari suku banyak x −5 + x − x 3
7− y
10. Koeisien pada bentuk al"abar
3
2
adalah ...................................................................................
2
adalah ...........................................................................
−5 y + 2 y 2 dalam urutan naik adalah .................................................
B. #aluasi Pemahaman dan Penguasaan Materi Petun"uk : awablah dengan singkat! "elas! dan benar. 1. 5uliskan dera"at! suku$suku dalam urutan naik dan koeisiennya. 7 5 6 4 6 x −5 x + 2 x − 4 x −10 x a. 2
+3 b3−10 b 2+ 20 b 5+ 7 b2 +5 b5
b.
2b
-.
r + 4 r −r + 2 r + 9 r + 5 r
d.
( y + 4 y + 1 ) ( y + 3 y )
12
8
6
6
7
2
2
6
2
&. 5uliskan dera"at! suku$suku dalam urutan turun dan koeisiennya. 2 4 x − x + 1 + 3 x a. b.
−6 x 7− 4 x 2 + 5 x5 +1
-.
x −2 x + √ 3 x + x 5
3
1 2
50
d.
2
u −
π 3
u −√ 3 u + u 92
61
). 5entukan koeisien dari: 2 2 x dalam 2 x ( x −3 ) a. 2
b.
x
-.
k dalam
d.
n
dalam 3
4
2 x
( x + 2 )+ 2 x + 1 2
( 3 k + 5 )( k 2−k −1)2 2
2
adalah ......................................................
2
9. 8rutan naik dari suku banyak x − 2 x + x √ 3 + 7 5
2
( 2 y − y )( 4 y −2 y + 1 ) sama dengan ....................
dalam ( n + n −3 )( n + 5 n + 3 )
LEMBAR KEGIATAN SISWA
Kelompok : ........................., Kelas : ................................. Nama a nggota kelompok 1. ……………............................... 2. ……………............................... 3. ……………............................... 4. ………………...........................
: Suku Banyak TOPIK : ;perasi %l"abar pada Polinomial MATERI PEMBEA!ARAN AOKA"I #AKT$ : 90 menit : T$!$AN PEMBEA!ARAN Setelah menyelesaikan Lembar Kegiatan Siswa ini diharapkan siswa dapat : 1. Melakukan operasi al"abar pada polinomial.
PET$N!$K PEN%%$NAAN K" : 1. Selesaikan setiap kegiatan pada LKS ini bersama dengan kelompok %nda. &. 'kutilah langkah (langkah yang diminta dan tulislah hasil diskusi ditempat yang telah ditentukan. ). Kumpulkan hasil *iskusi "ika waktu yang telah ditentukan berakhir.
Mate&' : Ope&as' Al+aa& pa-a Pol'nom'al Pada bentuk polinomial dapat diterapkan operasi al"abar pen"umlahan! pengurangan! perkalian! dan pembagian. Khusus untuk operasi pembagian! akan dibahas tersendiri.
A. Pen+(mlaan -an Peng(&angan *ua bentuk polinomial dapat dilakukan pen"umlahan dan pengurangan dengan men"umlah atau mengurang antar koeisien pada suku se"enisnya! seperti -ontoh berikut ini. 8 x + 3 x = ( 8 + 3 ) x =11 x
+i,
8 x
+ii, +iii, +i#,
+siat distributi,
−3 x =( 8 −3 ) x =5 x
+siat distributi,
5 x y
2
+ (−2 x y 2 )=( 5 + (−2 ) ) x y 2=3 x y 2
5 x y
2
−(−2 x y )= [ 5 −(−2 ) ] x y =( 5 +2 ) x y =7 x y 2
2
2
2
8 h o t n o C
+Penerapan siat distributi, Sederhanakanlah. 2
a. b. -.
5 x
2
+ 7 x −11 x
3 xy
2
−15 xy + 5 xy
−5 y 2 + 3 y 2 + 2 y 2
awab: 2
a. b.
5 x
+ 7 x −11 x =( 5 + 7 −11) x = x
3 xy
2
2
2
2
−15 xy + 5 xy =( 3−15 + 5 ) xy =−7 xy
+Siat distributi, +Siat distributi,
−5 y + 3 y + 2 y =(−5 + 3 + 2 ) y = 0. y = 0 2
-.
2
2
2
2
9 h o t n o C
Selesaikanlah.
( 6 x −8 x + 7 x + 10 ) +( 10 x + 11 x −13 ) 3
a.
2
2
10 y
b.
(¿ ¿ 3 + 7 y 2− 4 y −2 )−(5 y 3−2 y + 3 ) ¿
awab:
( 6 x −8 x + 7 x + 10 ) +( 10 x + 11 x −13 ) 3
a.
2
2
¿ 6 x + ( −8 x + 10 x ) + ( 7 x + 11 x )+( 10 −13) 3
2
2
−8 + 10 7 + 11 3 ¿ 6 x + ( ¿ x 2 ) + ( ¿ x ) +(−3 ) ¿ 6 x3 + 2 x 2+ 18 x − 3 10 y
b.
3
(¿ ¿ 3 + 7 y − 4 y −2 )−(5 y −2 y + 3 ) ¿ 2
10 y 2
¿(¿ ¿ 3 −5 y 3)+ 7 y +(−4 y + 2 y )+(−2 −3 ) ¿ 5 10−¿ y
¿ ¿¿
¿ 5 y 3+ 7 y 2 −2 y −5
3
2
−8 x + 7 x + 10 10 x + 11 x −13
6 x
2
===================== 2 ∴ 6 x
+ 2 x2 + 18 x −3
3
2
+ 7 y −4 y −2 5 y − 2 y + 3
10 y
b.
3
3
=====================$ ∴ 5 y
3
+7 y 2−2 y −5
+Siat distributi,
Pada operasi binomial! terdapat hal khusus berikut:
( 2 x +3 x − 4 ) −( 2 x + 3 x −4 ) =0 3
2
3
2
Bentuk seperti ini disebut polinomial nol.
B. Pe&kal'an *alam melakukan perkalian polinomial! kita biasanya menggunakan siat distributi. a . ( b + c + … + k )= a. b + a . c + … + a . k -an
( b + c + … + k ) . a=b . a + c . a + … + k . a 0 1 h o t n o C
Selesaikanlah. 2
a.
( 5 x + 3 )( 2 x −5 x +1 )
b.
( 2−3 x + x 2)( 4 −5 x + x 2)
awab: a.
( 5 x + 3 ) ( 2 x 2−5 x +1 ) ¿ 5 x ( 2 x2 −5 x +1 ) + 3 ( 2 x 2−5 x + 1 ) ¿ 10 x 3− 25 x 2 + 5 x + 6 x 2−15 x +3 ¿ 10 x 3− 19 x 2−10 x + 3
2
3
5
10 x
3
−5 x
1
−25 x
5 x
6 x 3
10 x
2
−19 x
−15
3
−10
+3
+ ←
Hasilnya b.
( 2−3 x + x 2)( 4 −5 x + x 2) akan lebih mudah "ika diker"akan se-ara menurun.
4
2
−3 x
x
8
−12 x
4 x
−10 x
15 x
−5 x
2
2
2
−22 x
−5 x
2
−3 x
x
+ 21 x 2
−8 x
+ x
2 x 8
2
4
+ 4
←
Hasilnya
Se-ara umum! kita dapat mengalikan polinomial dera"at
m dengan polinomial dera"at
n sebagai berikut.
( a x m + b x m− + …) ( A x n+ B x n− + … ) =a . A x m +n +b . B x m+n − + … 1
1
2
>al ini berarti:
Ketika mengalikan dua polinomial kita mene!apkan si"at#si"at m n m+ n pe!pangkatan yang telah dipela$a!i di kelas % yaitu x . x = x
1 1 h o t n o C
f ( x ) dan
*iberikan dua buah suku banyak
g ( x ) yang ditentukan oleh
f ( x ) = x + x − 3 x + 1 dan 3
g ( x ) = x −2 x + 2 x −1 3
2
5entukan: a.
f ( x ) + g ( x )
b.
f ( x ) − g ( x ) serta dera"atnya.
-.
f ( x ) . g ( x ) serta dera"atnya.
serta dera"atnya.
awab: f ( x ) + g ( x ) = x + x − 3 x + 1 + x − 2 x + 2 x −1= 2 x − x − x 3
a.
2
3
f ( x ) + g ( x ) =2 x − x − x dan 3
adi!
2
2
3
2
f ( x ) + g ( x ) berdera"at ).
x
b.
(¿ ¿ 3 + x 2−3 x + 1)−( x 3−2 x 2+2 x −1 ) f ( x ) −g ( x )=¿ ¿ x3 + x 2−3 x + 1− x 3 + 2 x2− 2 x + 1=3 x 2−5 x + 2 f ( x )− g ( x ) =3 x −5 x + 2 dan 2
adi!
f ( x ) − g ( x ) berdera"at &.
x (¿ ¿ 3 + x −3 x + 1)( x 3−2 x 2+ 2 x −1 ) f ( x ) . g ( x )=¿ 2
-.
¿ x3 ( x 3−2 x 2+ 2 x −1 ) + x 2 ( x3 −2 x 2 + 2 x −1 )−3 x ( x3 −2 x 2 +2 x −1 ) + 1 ( x3 −2 x 2 + 2 x −1 ) ¿ x 6+ ( −2 x 5+ x5 ) + ( 2 x 4 −2 x 4 −3 x 4 ) + (− x 3+ 2 x 3 + 6 x 3+ x3 ) + (− x2 −6 x2 −2 x 2 ) + (−3 x + 2 x )−1 ¿ x 6− x 5−3 x 4 + 8 x 3−9 x 2− x −1
2
f ( x ) . g ( x ) berdera"at 4.
f ( x ) . g ( x )= x − x −3 x + 8 x −9 x − x −1 dan 6
adi!
5
4
3
2
Berdasarkan uraian pada
&isalkan f ( x ) dan
g ( x )
masing#masing suku 'anyak 'e!de!a$at
[ f ( x ) . g ( x ) ] adalah ( m + n )
m dan n maka( de!a$at da!i 2 1 h o t n o C
Misalkan p ( x ) , q ( x ) , dan
r ( x ) masing$masing suku banyak berdera"at
m , n , dan
s ! maka dera"at
dari suku banyak: p ( x ) . q ( x ) + r ( x ) adalah nilai maksimum dari
(m + n ) atau s . p ( x ) . q ( x ) + r ( x ) .q ( x ) adalah nilai maksimum dari ( m + n ) atau n + s . + + p ( x ) . q ( x ) . r ( x ) adalah m n s .
a. b. -.
at'an Kompetens' "'s/a 02 A. E*al(as' Penge&t'an ata( Ingatan Petun"uk : awablah dengan singkat! "elas! dan benar. 2 2 1. Bentuk sederhana dari:) y −5 y −10 −6 y + 15 y &.
( x + 2 x −5 x + 3 ) + (− x + 2 x − 4 )
).
(− x + 2 x − 4 ) −( x + 2 x −5 x + 3 )=¿
3
2
3
adalah .........................................................................
3
3
sama dengan............................................... .................................
2
..................................................................................................
f ( x )= 4 x − x + 8 x −1 dan 3
6. *iberikan suku banyak$suku banyak #ariabel x berpangkat tertinggi dari 3
2
2
3
3 x
==================== $ %dalah ................................................ 3. >asil pen"umlahan menurun berikut ini 3 2 2 x + 4 x −7 3 3 x −9 x + 10 −8 x 2−11 x + 6 ====================2 %dalah........................................................ 2 2 . *era"at ( x −3 x + 2 ) ( x + 7 ) ( x −3 x + 2 ) adalah ...................... 2 ( + x −3)( 2 x + 3 ) adalah ........................ x 9. >asil dari perkalian 2
2
2
−4 x − 8 x + 6 adalah .................................
4. >asil dari operasi pengurangan 3 2 x −4 x − 8 x − 6 3 2 3 x + 5 x + 6 x −1
2
3
[ f ( x ) − g ( x ) ] adalah ................................................................
. >asil dari operasi pen"umlahan x + 5 x + 6 x −1 dan
10. >asil dari perkalian
g ( x ) =4 x + 2 x − 10 x . Koeisien
( x + 2 x −3 )( x + 1) adalah ........................
B. E*al(as' Pemaaman -an Peng(asaan Mate&' Petun"uk : awablah dengan singkat! "elas! dan benar. f ( x )= x + x dan 2
1. *iketahui polinomial a.
f ( x ) + g ( x ) serta dera"atnya.
b.
f ( x )− g ( x ) serta dera"atnya.
-.
f ( x ) . g ( x ) serta dera"atnya.
g ( x ) = x − 5 x + 1 . 2
&. 5entukan perkalian polinomial berikut dan tulis hasilnya dalam urutan naik dan turun. 2 2 ( 3 t + 4 t + 2)( 4 t + 10 t + 3 ) a. b.
( 5 u3− 4 u2 + 3 u + 1 )( 3 u 2−2 u + 5 )
-.
( 7 x −5 x −2 x + 3 )( x −3 x −1 )
d.
( 8 x 4 + 9 x 3−7 x −3 )( 2 x3 − x + 3)
e.
( 8 + 7 x −3 x )( 8−7 x + 3 x )
5
3
2
2
). abarkanlah. (a + b +c ) 4 a. a −b + c ')
¿ ¿ ¿
2