HIPERBOLA Perhatikan gambar gambar 1 :
1. Hiperbola berpusat di O(0,0) dan sumbu utama sejajar dengan sumbu X
D efi nisi ni si : H i per bola ad adalah tem tempat kedud keduduk ukan an titi tik-ti tik -titik tik yang yang seli selisi sih h ja j ar aknya ter ter hadap hadap dua titi titikk ter ter tentu tentu me mempunyai punyai nilai ni lai yang tetap tetap..
Hand out Matematika Peminatan XI MIPA SMAN 1 Bantul
Page 1
Menurut definisi :
PF2 - PF1 = 2a.
√ ( ) ( 0) √ ( ) ( ⋯ ) = 2 √ ( ) () = 2 √ ( ) kedua ruas dikuadratkan… ( ) = 4 4 … √ ( ) ()+( ) 2 … = 4 4 … √ ( ) () 2 … 4√ ( ) () = 4 4 √ ( ) () = kedua ruas dikuadratkan (( ) ) = ( ) … ( ) ⋯ = 2 … . 2 … ⋯ ⋯ = 2 … . ( ) = ( ) = 1, = ℎ ( )
= (, ) /hiperbola datar Unsur-unsur hiperbola : 1. Pusat O(0,0) 2. Fokus F1(c,0) dan F2(-c,0) 3. Puncak A1(a,0) dan A2(-a,0) ( terletak pada sumbu mayor/nyata/transfersal : y = 0) 4. Puncak B1(0,b) dan B2(0,-b) ( terletak pada sumbu minor/sekawan/konjungsi : x = 0)
5. Persamaan direktriks x =
±
( ) 6. Panjang latus rektum : L = 7. Persamaan asimtot : y = ± Latihan 1. Tentukanlah unsur-unsur hiperbola berikut : 1. 2. 3. 4. 5. 6.
9 =1 6 =1 6 36 6 = 1 9 9 =1 16x2 – 9y2 = 144 40x2 – 9y2 = 360
Hand out Matematika Peminatan XI MIPA SMAN 1 Bantul
Page 2
Latihan 2. Tentukanlah persamaan hiperbola bila diketahui berpusat di O(0,0) dan : 1. Fokus F1( -8,0) dan F2(8,0) serta berpuncak di (-7,0) dan (7,0) 2. Fokus di F1( -5,0) dan F2(5,0) dan panjang sumbu mayor 6 satuan 3. Sumbu utama berimpit sumbu X dan melalui titik (3,1) dan (9,5) 4. Berpuncak di (-6,0) dan (6,0) serta persamaan asimtot y = ±
3
2. Hiperbola pusat P(α,β) dan sumbu utama sejajar sumbu X Sejalan dengan hiperbola pusat O(0,0) diperoleh persamaan :
( ) ( ) = (, ) /hiperbola datar Unsur-unsur hiperbola : 1. Pusat P(α,β) 2. Fokus F1(α+c,β) dan F2(α-c,β) 3. Puncak A1(α+a,β) dan A2(α-a,β) ( terletak pada sumbu mayor/nyata/transfersal : y = β) 4. Puncak B1(α,β+b) dan B2(α,β- b) ( terletak pada sumbu minor/sekawan/konjungsi : x = α)
5. Persamaan direktriks x =
±
( ) 6. Panjang latus rektum : L = 7. Persamaan asimtot : (y-β) = ± ( ) Latihan 3. Tentukan unsur-unsur hiperbola berikut: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
(−) (+) 9 =1 6 (+3) (+) 6 =1 (−) (+) 36 =1 6 (−6) (−) 9 =1 6 x2 – y2 – 14x – 32y – 11 = 0 9x2 – 16y2 - 18x – 64y – 199 = 0
Latihan 4. Tentukan persamaan hiperbola bila diketahui : 1. 2. 3. 4.
Pusat (-4,1) sebuah titik puncak di (2,1) dan panjang sumbu imaginer 8 satuan Pusat di (2,-1) sebuah puncak (4,-1) dan sebuah fokus (5,-1) Titik-titik puncak (0,0) dan (6,0) serta sebuah fokus (8,0) Titik-titik fokus di (0,0) dan (4,0) serta melalui (9,12)
Hand out Matematika Peminatan XI MIPA SMAN 1 Bantul
Page 3
3. Hiperbola pusat O(0,0) dan sumbu utama sejajar sumbu Y Sejalan dengan hiperbola datar diperoleh persamaan :
= (, ) /hiperbola tegak Unsur-unsur hiperbola : 1. Pusat O(0,0) 2. Fokus F1(0,c) dan F2(0,-c) 3. Puncak A1(0,a) dan A2(0,-a) ( terletak pada sumbu mayor/nyata/transfersal: x =0) 4. Puncak B1(b,0) dan B2(-b,0) ( terletak pada sumbu minor/sekawan/konjungsi: y = 0)
5. Persamaan direktriks y = ± ( ) 6. Panjang latus rektum : L = 7. Persamaan asimtot : y = ± Latihan 5. Tentukan unsur-unsur hiperbola : 1. 2. 3. 4. 5. 6.
9 =1 6 =1 6 36 6 = 1 9 9 =1 16y2 – 9x2 = 144 40y2 – 9x2 = 360
Latihan 6. Tentukan persamaan hiperbola bila diketahui : 1. Fokus F1(0, -8) dan F2(0,8) serta berpuncak di (0,-7) dan (0,7) 2. Fokus di F1( 0,-5) dan F2(0,5) dan panjang sumbu mayor 6 satuan 3. Sumbu utama berimpit sumbu Y dan melalui titik (1,3) dan (5,9) 4. Berpuncak di (0,-6) dan (0,6) serta persamaan asimtot y = ±
3
4.Hiperbola pusat P(α,β) dan sumbu utama sejajar sumbu Y
Sejalan dengan persamaan sebelumnya deproleh persamaan :
( ) ( ) = Hand out Matematika Peminatan XI MIPA SMAN 1 Bantul
Page 4
Adalah persamaan hiperbola dengan pusat P(α,β) dan sumbu utama sejajar sumbu Y. Unsur-unsur hiperbola : 1. 2. 3. 4.
Pusat P(α,β) Fokus F1(α,β+c) dan F2(α,β-c) Puncak A1(α,β+a) dan A2(α,β-a) ( terletak pada sumbu mayor/nyata/transfersal: x = α) Puncak B1(α+b,β) dan B2(α- b,β) ( terletak pada sumbu minor/sekawan/konjungsi: y = β)
5. Persamaan direktriks y =
±
( ) 6. Panjang latus rektum : L = 7. Persamaan asimtot : (y-β )= ± ( ) Latihan 6. Tentukan unsur-unsur hiperbola berikut: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
(−) (+) 9 =1 6 (+3) (+) 6 =1 (−) (+) 36 =1 6 (−6) (−) 9 =1 6 y2 – x2 – 14y – 32x – 11 = 0 9y2 – 16x2 - 18y – 64x – 199 = 0
Latihan 7. Tentukan persamaan hiperbola bila diketahui : 1. 2. 3. 4.
Pusat (1,-4) sebuah titik puncak di (1,2) dan panjang sumbu imaginer 8 satuan Pusat di (-1,2) sebuah puncak (-1,4) dan sebuah fokus (-1,5) Titik-titik puncak (0,0) dan (0,6) serta sebuah fokus (0,8) Titik-titik fokus di (0,0) dan (0,4) serta melalui (12,9)
Hand out Matematika Peminatan XI MIPA SMAN 1 Bantul
Page 5
