LOGARITMOS Y VALOR ABSOLUTO [Escriba el subtítulo del documento] Logaritmo es una forma de expresar la potenciación, Esto significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se puede expresar como potencia. El valor absoluto de un número real es su valor después de quitarle su eventual signo negativo. Si el número es positivo, su valor absoluto es él mismo; mientras que si es negativo, el valor absoluto es el número opuesto.
WILDER ANDRES ARIAS MURILO JUAN PABLO LOPEZ QUIÑONEZ 01/01/2012
TABLA DE CONTENIDO.
Pág.
LOGARITMOS……………………………………………………………………………………………...3 PROPIEDADES GENERALES……………………………………………………………………………3.1 REGLAS DE LOS LOGARITMOS……………………………………………………………………….3.2 ELECCION Y CAMBIO DE BASE………………………………………………………………………3.3 EVALUA TUS CONOCIMIENTOS LOGARITMOS……………………………………………….3.4
VALOR ABSOLUTO…………………………………………………………………………………….5 PROPIEDADES FUNDAMENTALES…………………………………………………………………5.1 VALOIR ABSOLUTO DE UN NUMERO COMPLEJO……………………………………………5.2 EVALUA TUS CONOCIMIENTOS……………………………………………………………………..5.3 WEBGRAFIA………………………………………………………………………………………………....11
LOGARITMOS El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.
Se lee “logaritmo de X en base b es
igual a n; si y solo si b elevado a la n da por resultado a x” . Para que esta
definición se cumpla se debe cumplir unas reglas generales.
La base “b” tiene que ser
positiva, distinta de 1 y mayor que 0 (b≠1y b>0).
X tiene que ser un numero positivo(X>0).
n
puede
ser
cualquier
numero real(n ϵ R) Así, en la expresión 10 2 = 100, el
Grafico 1
Propiedades Generales de los Logaritmos. 1. La Base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa, (Al ser negativa, se tendría potencias pares que son positivas y potencias impares que son negativas, lo que genera número sin logaritmo).
logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log 10 100 = 2. Podríamos decir que un logaritmo es una forma de expresar la potenciación, Esto significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se puede expresar como potencia. El gráfico siguiente nos muestra el nombre que recibe cada uno de los elementos de una potencia al expresarla como logaritmo
2. Los números negativos no tiene logaritmo.
3. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de 1 es cero.
4. No existe el logaritmo de cero.
5. El logaritmo de a en base a es uno.
exponente por el logaritmo de la base:
4. El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.
6. El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente. √
7. Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo.
8.
Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo.
Reglas de los Logaritmos: 1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
Elección y cambio de base. Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto b como k son diferentes de 1):
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:
En la que k es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos: 3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del
El logaritmo más ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicaciones en física, matemáticas, ingeniería y en ciencias en general. También es bastante utilizado el logaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), de intensidad de sonido (dB), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces. Evalúa tus logaritmos :
conocimientos
1. Exprese la ecuación dada en forma exponencial: a.
b.
c.
d.
e.
c.
d.
e.
⁄
3. Evalúe la expresión dada. a.
4
b.
c.
d.
√
VALOR ABSOLUTO. El valor absoluto de un número real es su valor después de quitarle su eventual signo negativo. Si el número es positivo, su valor absoluto es él mismo; mientras que si es negativo, el valor absoluto es el número opuesto. Se nota |x| el valor absoluto de x; En las calculadoras y los ordenadores se utilizan las letras abs.
2. Exprese la ecuación dada en forma de logaritmo.
Por ejemplo: | - 4,5 | = 4,5 (se quita su signo negativo) y | 3,14 | = 3,14 (no se modifica).
a.
b.
Visto como función, el valor absoluto se define distinguiendo según el signo del número:
La suma de dos números de mismo signo es otro de mismo signo que se obtiene
sumando
sus
valores
absolutos. La suma de dos números de signos opuestos tiene el signo del número Su representación gráfica coincide con la diagonal y = - x cuando x es negativo, y con la diagonal y = x cuando es positivo (ver figura). Como enseñarlo y a que tipo de estudiantes. En la enseñanza existen varias maneras de definir este concepto sencillo, dependiendo de la edad de los alumnos. El momento idóneo es cuando se acaba de aprender los números negativos (los alumnos tienen diez años aproximadamente). La notación en este punto de los cursos suele ser así: (+7) para 7 y (-5) para -5, es decir que todos los números llevan un signo y se escriben entre paréntesis.
de mayor valor absoluto, y su valor absoluto es la diferencia (positiva) de los valores absolutos. El producto de dos números se obtiene multiplicando los valores absolutos y aplicando la regla de los signos (- por - da + etc.) Luego, cuando están ya familiarizados con el tema, se identifican los números positivos con los naturales, es decir que se quitan el signo positivo y los paréntesis: (+5) vuelve a escribirse 5, y (-7) se escribe -7, pues (+5) + (-7) y (+5) (+7) dan el mismo resultado, que se conviene escribir 5 - 7; y la noción de valor absoluto ya no tiene la misma visibilidad.
Grafico 2
Resulta muy intuitivo presentar el valor absoluto como el número sin su signo. De hecho, se puede "descomponer" cada número en su signo y su valor absoluto: El principal interés inmediato es la facilidad con la que se puede explicar la suma y el producto de dos números relativos:
Grafico 3
La necesidad de hablar de nuevo de valor absoluto surge cuando se toca el tema de las distancias entre puntos en una recta graduada (para alumnos de 15 años aproximadamente). Esto se hace
considerando sus abscisas y observando que el valor absoluto de un número cualquiera es naturalmente la distancia entre el punto correspondiente y el origen: d (0, x) = |x| Grafico 5
Grafico 4
Luego se calcula la distancia entre dos puntos cuales quieran de la recta así:
(ejemplos en la figura). La distancia luego el valor absoluto permite caracterizar los intervalos abiertos y cerrados:
Donde
Es el centro de intervalo y
Es su radio. Del mismo modo:
.
Es decir que un intervalo es el conjunto de los puntos cuya distancia al centro del mismo es inferior (o igual) a su radio (ejemplos en la figura). Para los estudiantes en ingeniería, el valor absoluto se invita de nuevo en los espacios vectoriales y los espacios elucídelos, que poseen ambos normas vinculadas con el valor absoluto. En un espacio vectorial, la norma de un vector (su longitud en el caso más común) verifica siempre la propiedad Donde λ es un escalar (un número real en general). En particular los espacios elucídelos poseen varias normas, entre ellas una llamada elucídela definida por
Donde n es la dimensión. Por ejemplo módulo de los números complejos es definido por
Y para los complejos reales, es decir con parte imaginaria nula, el módulo coincide con el valor absoluto. Para n = 1 se obtiene
Desigualdad triangular (V éase también Pro piedad aditiva)
Pues el valor absoluto es la raíz cuadrada del cuadrado:
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:
Otras propiedades Simetría Identidad de indiscernibles Desigualdad triangular
Note que, por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo. Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real Propiedades fundamentales No negatividad Definición positiva Propiedad multiplicativ a
(equivalente a la propiedad aditiva) Preservación de la división (equivale nte a la propiedad multiplicativa) Otras dos útiles inecuaciones son:
Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:
reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:
Valor absoluto de un número complejo
Grafico 6
El valor absoluto de un número complejo
es
la
distancia
desde
al origen. Aquí
De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.
valor absoluto.
El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si
Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:
Es el conjugado de z, entonces se verifica que:
vemos su conjugado
que tienen
el
y
mismo
De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma
Con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:
Como los números complejos son una generalización de los números
Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección. Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en
el valor absoluto un endomorfismo del grupo multiplicativo números complejos.
como de
los
Evalúa tus conocimientos valor absoluto. Representa las funciones valor absoluto. 1. f(x) = |x - 2| 2.
3. 4. f(x) = |x² -4x + 3| 5. f(x) = |- x² + 5x - 4| 6. f(x) = |x| − x 7. f(x) = |x| / x
WEBGRAFIA. http://es.wikipedia.org/wiki/Logarit mo http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Do cuments/Derivadas/Repaso_Logarit mos.pdf
http://www.profesorenlinea.cl/mate matica/logaritmo.html
