Longitud de Arco

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LONGITUD DE ARCO En matemática, En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

CALCULO MEDIANTE INTEGRAL Al considerar una curva definida por una función una función respectiva derivada respectiva derivada

y su

que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del

arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

(1) En el caso de una curva definida paramétricamente mediante mediante dos funciones dependientes de t como punto

e

hasta el punto

, la longitud del arco desde el se calcula mediante:

(2) Si la función está definida d efinida por coordenadas polares donde las coordenadas radiales y el ángulo po polar es están re relacionados me mediante en el intervalo

, la la lo longitud del ar arco co comprendido

, toma la forma:

(3) En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral una integral elíptica de segunda especie. Entre especie. Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, la catenaria, el el círculo, círculo, la la cicloide, cicloide, la la espiral espiral logarítmica, la logarítmica, la parábola, la parábola la parábola semicúbica y la línea recta. línea recta.

FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERI CIVIL Un caso un poco más general que el último, es el caso de coordenadas curvilíneas generales (e incluso el de espacios no euclídeos) caracterizadas por un tensor métrico

donde la longitud de una curva

viene dada

por:

(4) Por ejemplo el caso de coordenadas polares se obtiene de este haciendo .

EJEMPLOS DE CÁLCULO El perímetro de una circunferencia de radio R puede calcularse a partir de la ecuación de esta curva en coordenadas polares

Para calcular el perímetro se utiliza entonces la ecuación (3)

Se obtiene que el perímetro de una circunferencia es proporcional al diámetro, lo que se corresponde con la definición de pi. Para determinar la longitud de un arco de circunferencia, basta restringir el ángulo de barrido de la curva a un intervalo más pequeño.

La longitud del arco queda

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PARA FUNCIONES DE UNA VARIABLE Suponiendo que se tiene una curva rectificable cualquiera, determinada por una función , y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva

que va

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a uno . Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos

rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también se puede exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a uno existirá un cateto

asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido,

siendo entonces cada hipotenusa, una aproximación de

, de manera que para cada

, al aplicarse el teorema. Así,

estaría dada por la sumatoria de todas aquellas

hipotenusas

desplegadas. Por eso se tiene que:

Pasando a operar algebraicamente la forma en la que se calcula cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;

Luego, el resultado previo toma la siguiente forma:

Ahora bien, mientras más pequeños sean estos

segmentos, mejor será la

aproximación buscada; serán tan pequeños como se desee, de modo que cero. Así,

se convierte en

transforma en un

, y cada cociente incremental

general, que es por definición

tienda a se

. Dados estos cambios,

la aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;



CENTRO DE MASA Y CENTROIDES






PRESIÓN Y FUERZA DE UN FLUIDO PRESIÓN DE UN FLUIDO Los nadadores saben que cuanto más profundo se sumerge un objeto en un fluido mayor es la presión sobre el objeto. Las compuertas de las represas se construyen más gruesas en la base que en la parte superior porque la presión ejercida contra ellas se incrementa con la profundidad. Para calcular la presión de un fluido se emplea una ley física importante que se conoce como el principio de Pascal. Muchos de los trabajos de Pasca l fueron intuitivos y carentes de rigor matemático pero anticiparon muchos resultados importantes. El principio de Pascal establece que la presión ejercida por un fluido a una profundidad h es la misma en todas direcciones. La presión en cualquier punto depende únicamente de la profundidad a la que se halla el punto. En un fluido en reposo, la presión p a una profundidad h es equivalente a la densidad w del fluido por la profundidad, p = w . h. Definimos la presión como la fuerza que actúa por unidad de área sobre la superficie de un cuerpo.

FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE CON PROFUNDIDAD CONSTANTE Dado que la presión de un fluido aparece en términos de fuerza por unidad de área, p =, la fuerza total que ejerce el fluido contra la base en un recipiente con base plana horizontal se puede calcular multiplicando el área de la base por la presión sobre ella F = p . A = presión. Área. Teniendo en cuenta la fórmula para calcular la presión resulta el valor de la fuerza F = w . h . A

FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE CON PROFUNDIDAD VARIABLE Supongamos que una placa sumergida verticalmente en un fluido de densidad w se desplaza desde y = a hasta y = b sobre el eje y. La fuerza ejercida por el fluido contra un lado de la placa es F = w . donde h(y) es la profundidad y L(y) es la longitud horizontal medida de izquierda a derecha sobre la superficie de la placa al nivel y.


Longitud de Arco

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